Разностные схемы высокго порядка точности для систем дифференциальных уравнений второго порядка с вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

КИЕВСКИЙ У?-гГЕЙ?С?ГГЕТ [ГЧ. ТАРАСА ШЕПЧЕИКО Оагультет жи&грнегжи

На правах рукописи

кктмъ юягус юлдлшееич

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ВЫРОЖДЕНИЕМ

01.91.07 - вачяеляилыгая нзтемгтиха

автореферат

Диссертации «а соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Кнг» -1992

РзСота наполнена на кафедре численные методы математической .игл Киевского университета имени Тараса Шевченко.

Нэучшй руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор МАКАРОВ В.Л.

.•^шальнш оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор ГУЛИН A.B.

кандидат физико-математических наук, доцент ПРИКАЗЧИКОВ В.Г.

Ведущая организация - Минский университет

15~ o*t£p(f№ -/9

rl---~_/гД_ 1992 Г. R---'_£_.

Зацитз состоится ——1992 г. в —— часов

на заседании специализированного Совета Д 068.18.16 о Киевском университете им. Тараса Шевченко по адресу: г. Киев, просшкт акад. Глушкова, 6, факультет кибернетики,

■аудитория —У-------.

С диссертацией мозшо ознакомиться в научной библиотеке

университета. , .■ • • • . ,

_ „ „ ^

Автореферат разослан -------"------------(—-—--1532 г.

Ученый секретарь специалегированного Совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

Зтягд I

- . j ñljJS.I

I ;i4Jr ^-lï'.îïi l> *,..'• ""* 1 i

... , * ^

I. с?™гл ггрзктгргежкз рсботы

■ümarbgggTb»Мзопю взздno гая£гт,возшззк!жо а тзор;л Ст.тдьтргл:'."-гздзсоста и газа,теории толке жш&гвсют оболочек, те ope плоско;; к катекатяческсй фдохдкз сводятся к резеапю кроегкх садзч r.;r¿ as C05CT3SH3S9 ?нэ'!2л:я для скотам ос;:;;ноеогиз д^^ггзк^йльг'г урзгпбняй второго порядка с вамздижеи.

Построонке тспгак епслггпоск'лд р^генкЗ з^ач к rc.v«

панстве схучгоэ зе вог-кояго, а пр^йевекк» к таккм ззднчйя чпслошо,-!.'0?эдов, разрс55ТС!ШЕ для ypcïrrrcïtcsî сс-з епроггдечтпя, кпхоз^ктхг;:..

Поэтому для yrasaî лого класса задач еозепкзот егстуельзая ттоос.п;-ма разработка и обосноезгая Ездесных, ездокото^зл: к&толоз '.а

ПИЯ.

Цздыэ работа язяяется: г.ссгроззл:е и Ессйадогзззге точеоЗ я усо^гг:-эк треггочечшгг рззжостзпз: схем любого порядка тстаэгти для ес-спкс-соярл™„ЗЕнс'Л кргедо" задз'-тл.

- -/(г), -к z < 1, (1)

?(z) О а»;

a тэ-та семосошп^енжпх взрзшцжяно-рззгостагк точной л усе"с:;д:::г тл точечних едем лкйого порядка точности для ся'гасогязкгсяггдк гоктор~г:

ЭТД'Л па СОбСТПОЕПШ с~ЗЧ017ГЯ

L(V>Q)u 1 R{z)u(z)= О , -К X < 1 , F(x) u42c;!I=±,= о

где Z<F'Q)U == - Qfsjufz} Г5)

PfxJ = fí-^jf/sj,

Cfy.y; « (R(x)y,y) í CQÍ^y.yJ Í6J

СХЭ , I y ¡ * O , у В f

F(x) , Q(x) , R(x) -квадратззнз.сегестгешзи шкрицв размерпостн «то, с кусочно-глалкшш элементами,которое для задача (Z),(4) предполагаются ся®етричнЕ?ш..

C':-z7z~s-:3 graoflaagi.K решенст крзекзе гадач к задачи на ссбси&тюъ

osTiOKiH для систем даффервищальт уравнений второго порядка с • гсгдонкги сводятся многие практические задачи (например, задача ра ■¡от j углоскс й радиальных функций вытянутого а|ероада,фильтрации : •:.:с?:т и газа на многослойных пластах, теории тонких, конических о< i переменкой тслтикн, задачи математической физики в кризолин косрдшзтзх и т.п.; Таким задачам посвящены работы Абрамова А "л'Гчо А.Л.. КсйиовоЯ К.Е-, Пак Т.В.. Паркйского Б.С., Григоренко '.-.■взленко А.Д., М/хидинова Н.М. и др. В то zo время в литературе • .ос'гпо относительно мas.u работ, посвяненннх построению и исследов гпзсготочкых численных методов для решения указанных задач, приче :уи1эственно для скалярного случая (Абрамов A.A., Дшсо А.Л., К.Б., Пак Т.В., Ларийский Б.С., Багаут Г И., Балаян Н.М.,. .юкоепч ю.м., Гаераш: и.п., Лужных В.М., Макаров В. л., Салимшаш М.Л. к др.;.

В работе Абрамова A.A., Дыико А. Л., Конюховой Н.Б., Лак Т.Е. Гурийского B.C. предлагаются новые метода расчета угловых и радиа пых функций вытянутого сфероида. Для решения возникагазэдх при это>. сингулярных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравг еий второго порядка используются методы локального устойчивого пе носа граничная условий из особых точек и варианта ортогональной д форенцкальноЯ прогонки.

В работах Багмуга Г.И. были построены и исследованы точная к усеченные разностные схемы любого порядка точности для обыкновешз го дифференциального уравнения второго ::орядка с оператором Лежаг Балаян Н.М., Молокоеич Ю.М., развивая результаты Батута Г.И. рас мотрели вопросы построения и исследования точных и усеченны* ра;: ностных схем высокого порядка точности для вырождающихся краевых задач со слабой особенностью.

В работах Гавршшка И.П., Лужных В.М., Макарова В.Л. постро* и исследованы точная и усеченные схемы любого порядка точности д; обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с выро: аием в случае краевой задачи и задачи на собственные значения.

Направление исследований, связанное с построением трехточечных схем любого порядка точности для несамосопряженных краевых з; П),(2) и задач Штурма-Лиувилля (3),(4) с кусочно-гладкими матр1Г ми' коэффициентами и векторами правых частей , которые максималь® учитывали бы свойства дифференциальной постановки, остается до н; тоящего времени малоизученным.

Научная новизна.Доказано существование и единственность точной т] точечной разностной схемы для несамосопряженной краевой задачи (

(2) и изучена природа ее иедизергентности.

Построены усеченные.разностные схемы т-то ранга на равномерной сетке и .доказана теорема о их скорости сходимости, которая, юл. и в скалярном случае, оказывается в два раза кеишв по порядку по сравнению с традиционной, что обусловлено наличием вырождения в глиной части дифференциального оператора I(F,Q).

Показано, что устранить негативное влияние на скорость сходимости усеченных разностных схем без увеличения вычислительных затрат можно добиться за счет выбора специальной неравномерной сетки, подстроенной год характер вырождения. На таких сетках доказано , что скорость сходимости усеченных разностных схем в-то ранга шеет порядок 0(Я~2(1Я +) Ъ» где 27?-общее число сеточных узлов на отрезке [-1,1]// . ' ' ' ,'

Для задачи Втурмз-Ляушлля (3),(4> введен новый класс самосопряженных усеченных разностных схем, основанной на вариационно« подходе. Этот результат является принципиальным, что традиционный подход к построению усеченных разностных схем я-го ранга приводит к несено-сопряженным. схемам ,пш -я М, что существенно усложняет их алгоритмическую реализацию. Доказаны теорема о скорости сходимости варизционло-разностных усеченннх схем на равномерных и специальных неравномерных сетках. .

С помоаыо вычислительного эксперимента вэ иодедьшх призерах показано неулучшаемость по порядку скорости сходимости предложенных усеченных'разностных схем 0-2 рангов. Практическая и теоретическая депкость.

В работе предложена методика построения и исследования точной и усеченных разностных схем для весамосопряЕенных краевых задач и самосопряженных вариационно- разностных точной и усеченных схем для задач на собственные значения Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с вырождением.

В силу того, что б предлагаемых алгоритмах накладываются относительно слабые требования к исходный данным ("кусочная гладкость элементов

матриц P(x},Q(x),R(x) и вектора fix)) и при этом ■ достигается любая точность только з;. счет увеличения ранга схем, такие алгоритмы предпочтительнее по сравнению с ранее известными для использования в практических расчетах.Отметим также их алгоритмическую простоту, которая позволяет легко реализовать усеченные схемы на современных ЭВМ. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при решении практических задач с вырождением, возникащих в теоретической физике механике, математической ©ззике и других областях..

\

асройэдта рабо-пьРезудьтата, полученные в/диссертации, докладывались на семизэрах "Вопросы теории разностных схем" при кафедре -численные методы математической $гозйкй Киевского университета им-Тараса Шевчея ко, на IU. Республиканской конференции "Вычислительная математика j современном научно -техническом прогрессе" СКанев-1982г..), на Все-.:.женом семинаре-коллоквиуме "Кубатурнне формулы и смежные вопросы"" 1ухара-1Э83г. >.

Публикация .По теме диссертации опубликованы пять работ. Структура и сбъеы дзссергацяд Диссертация изложена страницах м; яинописного текста, и состоит из введения, двух глав, двух прило-а^ний и списка литературы, содержащего 61 наименования. II .Содерааше работа. Во введения проведен краткий обзор литературы, касавдейся загр; гкваемых в диссертации вопросов, дано обоснование актуальности рассматриваемой т&ыы и характеристика полученвнз результатов. 1

Порзай параграф гл.1 посвящен вопросам существования и единственности решения яесамосопрякеняой краевой задачи Г?),(2) .Доказано что если выполнена условия (6) и матричнне коэффициенты P(x),Q(x),

а такие вектор fix) кусочно -непрерывна, то в специальном весовом пространстве 7 существует единственное ранение краевой задачи (1), (2).Во втором параграфе исследуются вопросы конструктивного построения точной и усечённых разностных схем для краевой задачи (1),(2)

пусть Р(х) , Q(x) , I(X) е Q ,f—f ,1J (Т)

(где Q(s)[-1,1 ./-пространство функция, кмевдих кусочно-гладкие

- производнне S-ro порядка на [-1,1]) На отрезке [-1,1} построим равномерную сетку

iL. = Ix. = х_+ ih, i=1 ,#, хп = -1, х„ = U h = 2/N) (8)

п I О и ¿V

' Определение I.Точной трехточечной разностной схемой (ТТРС) для задачи [1),{2) назовем разностную схему вида

у. = yi_i + FJ Р( •) ,Q( ■),}(•) J (9

' В,У0 = Л71~1ух = i = ТТ?М

.Где элементы матричных коэффициентов и вектора Р являются

■туккипоналами, зависящими локально от P(x),Q(x),/(£),когда х меня етея на отрезке [-1,11 (локальность), причем выполняются условия

У{=* и(х{) , 1=1,8-1 ш .кроме того оператор Р[Р(.).<3(.),/(.)) являет оя ЛйаеЯнш по третьему аргументу. Доказывается следующая теорема.

Т е о реи а-1 .Пусть выполнены условия (6), (7) .тогда ТТРС для задачи (1),(2) существует и может Сыть гредставлена в виде

' ^ % >«.« - V« + №ис V Ы-Х<< = Р< > 1=1.я-1

(10)

' V ?

где [К 72 , ,.В(«[й Г,Чг{)] ,

й^т^а) . г) , 2» гт/л;^^;] [ ^чтц^щ^ч у^жтцап}

- 1 -

^да ,¡-1,2: £= 1,8-1-решения матричных задач Копи: Ш РГГ)/- тДи = О , 2 6

= , ^^^РГЖЛ = (1~б„ ) Е , (11)

-№,2; t=t./f-t .

Условия, давергентяоети схемы (9), как известно имеет еид

V В1+1 '

Однако, коэффициент построенной ТТРС этому условию в ослом случае не удовлетворяет, а исходная дифференциальная задача (1)Л2) шеет дивергентную фориу.Тогда возникает вопрос: существует ли такой матричный множитель ф , .который приводит ТОРС к дивергентному виду ? Очевидно , что уравнетие для искомого матрич-

но го кзозагеля Ф.г ззшжвается в следуюдой форме

+ I

^ ,

Репениз его, как нетрудно надеть, имеет вад

что пракдая к нелокальной завасгкоста (воодзородгости) коэффициентов дкваргецтаой фораа зашей ТТРС от входной щфорйащги.

образом существенна» становится Еопрос о единственности 1ГРС .Ибо, если ТТРС неедынственяа, то быть мокет среда шс найдется такая, для которой услощя дшзр: зытвости выполнено .

Я Е Ц и & (о единственности ТТРС ) Пусть Епполнекк услоедя (6), тогда ТТРС для задачи и),(2) единственна.

Для реализация ТТРС (10) введем усеченные разностные схемы. Для этого, переходя к местной система координат в точка х-х

- I ----*

и произведи заиэнн Уз (х), 1=1,8-1 по формулам

- « - I

V, (X)- С^+зЛ; =

а* (з,К)

1=1 ,

П а се,л; , £= 2,?М ,

К § (8,11) $-1

0 (з,Ю

С = ?Ы ,

где

{ ос 2 к I

а = 2 7г а. Cs.ii; ,

аг)

I СО {

р Cs.fi; = 2 7г р Cs.fi; .

записываем ТТРС (70) в терминах а Cs.fi; , р Cs.fi; . Опредглазде 2. Усеченными рззвоепшмк сх&изкз д-го ранга для заг дачи (1), (2) называются разностные схегш евдъ

(аг)> (га)* (тя) (я) 1- * (к? -

М 2/5 - 2>, + П/ЛЯ 1, -В, ; Уг.>{ = -Fi .«-М-*

! та

Ух,.

С 73)

(n) c«; -1 , ,

где V, (W . В{ = f Р,™ (0,h) f \

w

(n) (st) ->f in) Cm)

t = f f, ro,ft;j J^ I, Q(i)äi + [pi2 ro.MJ « »

Г (»J

j р.- а,л; зам ,

с 12

о

F{ = f f, (0,Ji)] J F{; _f|,7iJ /TUÖc + {?~.i2 (Q,Ii) 1

*■ (rn) (n) -if (et) * ■ (n)

' J

f (a) »

J j2 им jam

о

Ш) и 2h <: (m) n 2h i

P (3,h)= 2 П x,j3,h) , Z' (sji) ß (s,h) , i= 1J--1.

a'=0 " >. js ■

Дзлзе исследуемся скорость сходалости усеченна рсзксстшгг схем й-го ранга для краевой задач;: (i). (2). Для этого сводятся. г рассмотрение следущке сеточнне скалярние произведения

«- * в •*. *■

( u,v ] = S ( и,.v.) h i = 1 "

{' /

f u.it =2 ( и. ,v.) h ,г i-1 1 4

-v fx

где u = ufx{; , f.,.1-скалярное приззедониз векторов в Е . Справедлпва слодуиадя.

Я Е М Я.А I. Пусть Енполяеяп условия (6),(7) . Тогда прк достаточно f/a.io?* h имев? место несввеЕства

о»- » ->/2*2 »2

(D v,v )h+ ( А uj ,ть }fi > с f|(i-r «i 1|л + I w

Сл) <я> * * г

¡if А - В } и- ,v )h 1 i С П ¡(1-х ) и- { v \h (16)

na) г (n) !-+г г

I А.-А. I < с h (1-Xt ) , - I BrBi lieft fi-Xj ) (17:

D

- 1С -

ч

а?-*1 , ^ с!г1 (18)

-1

. ;;з» потребовать дополшгтольно, чтобы матрицы Р, (х) и Мх) бгт арерысаымк по Геяадеру со стегшьа ¡х (О < ? П т.е.

' ■:'"У-гЬР/уЛ С , Ю^-ЗО/Д « с\х-у\* ,

-с. ¡((А^'-В^^и^ь)^ 4 сПн»\(1-х?) 1/%Цктн (19)

Л-чл-зе, используя' оценки <15)-(18), доказывается следующая:

-1

Т К О Р Е Ц А 2. Пусть выполнены'условия (6),(7) и матрицы Р}(х), '-¡к£) непрерывны по Гельдеру со степенью ц (О < р. € 1) . Тогда ¡;гл достаточно малом к усеченная разностная схема и-го ранга (11) имеет точность т.е. справедливы неравенства.

(20)

11 1ъ

где 7 -разностный аналог пространства 7,

(и.и) = ((1-г2)и-,1- (и,1>)К , (21)

н

н к

В §3 построены и исследованы точная и усеченные разностные схемы любого порядка точности аа специальной неравномерной сетке. Для этого на отрезке 1-1,1] вводится неравномерная сетка

% г0"'^о<х,<- ■ - <ХГ1} ^

* о 1-1/2

где х ^&Кх % П , П{= -f.fi - —— ;

р=1

Сетка подобрана таким образом, что его узлы сгущаются по мере приближения к концам отрезка, а в центре они разрежены. Используя методику, примененную в случае равномерной сетки строится точная трехточечная разностная схема. Доказана следунцая Т Е О Г Е М А 3. Пусть выполнены условия (б),(7) тогда ТГРС для задачи (1),(2) существует и может быть приведена к виду 1

где , h,=0.5 .

jjU { WJx^i^ J ' f

t x. .

-I -! rri-f) -1- ■

i7s(xt)j J v2(vj;?(vj(3i} J

Затем, используя технику построения усечешшх рззностшн

схем A.A.Самарского, строятся усеченные разностные схемл я-то ранга следующего вида

CmJ» - » * ■»- (25)

в, у- , =оу „ ,=С

i ¿х,1 Л ^z.H-l

где [P(2f(o,ht,,)f \ fPii7Vo,nt;;",J,

о

Tin)(4)=!Pl4}(0.?it)f''jp<™i(Z,Til) W(Z№

-t

j

?'..)] J P12 a.i^) mm

i ~k i 2k Я=0 Я=0

b:-vrs скаляра» прокзвадбвня на сетке ы по формулам

■ " . 1

i Z,v ) = (u^) hi , ( ü.V v- У ftt

i + I г - —ri 4- ?

\

. i: как е- случае .разномерной сетка, доказана сяедуодая творена

о скорости • сздг/иосш усеченная разностная схег>; и-ro ранга.

-1

Т г. Q Р Ж м Д. 4. Пусть вшо.чневз условия (6) и иатрицы Р, fr>,Qfs)

ргпр^рнанк по Гельдеру со стешньш ц. - Тогда JJt (h XJJ

что при ,h^0.c(ht-fraxO\i}} усеченная разностная схема щ-го ранге (25) i-aieoT точность Ofir?iltl+,1,i т.е. справедливы неравенства {¡J-uj v < cr/^^^Vi^UiV ; • '. C^Ö;

iv

С ^ C<7i>

riv- Vj-разностный аналог пространства V в случав неравномерной

О'чсхп*

* » *• 1/2 h h

?Ji~оодое колкчесгео узлов сетка В . .

Вторая глйЕа диссертационной работа посвящена построению к кЬследсргейю вариационно- разностной точной, а также вариацкошо-разностнкзг сгем высокого порядка точности для самосопряженной задачи Щтурмз-Лиуэшя (3),(4) .

В 51 доказывается дискретность спектра исходной задачи (3), ('<), а ?з?л»е суцвствовавке и едавствызност; его решения. Во вторе* параграфе £нодя равномерную на 1-1,11 сетку üft как в случае краевой -аэдзчк изучаются, свойства шаблонных матричных функций

,2 ; i~'\rti-l которие в дальнейшем будуть использовагся при поетро&йш вариационно-разностной точной схемы-Ii §3 ЕьгО'крзл в качестве 'базисных функций

[ С , |s| > ?,

- Qt(s,K) 4 -г $ s < О , (27)

"i^TTii . [ \-ii+f(s,li)[pi+t(0,li)r', о < s ^ 1 .

,используя твзгасу пострс якя вярпцяояшп схем из работа Сьярле о. чМо-гоя копечянз элементов для эллшгспеекпх задач. ИздЛй^'Мггог,

512с.), а тэкяе представлоасо функцкя и(х) в виде су?,шн и (х .) =

л л

У Ф.(о,Х) и.,ик(х1)=и. получаем алгебраическую, сзчосопряжзгпую

сбобаетую задачу за собственнее значения

\ г/ = ц- \ у (23,

гге Ан л блочно-т^ехдпэгонгльлпе кгщзда рззчзркостя г£тпп.",т.е.

5 , А.. = в таи |{-Л > 1,

я

Зл = 5 ви , В, . = е ПСИ |£-Л >7 .

»7

6-ноль матрица.

Мэтргаш Л. ,-гшзхзагся с пояезьх» :с1тегрзльнт.~ соотношения, зави-еяцг-гх от РСз^.СГз) , а .чатркя с пскозьа илтегралоз зьххся-щпх от ЯГз).

По построена варггядаолю-рзззостякя схона (23) является точной разностной схемой для задачи (3),(4).

Для реалкзшгаи точной вернацисияо- разностной схе:п (28) , огрзточЕззясь a-c.rar.3st: ллп в ^сскоеечкшс су: мят для а1(8,к,1\). т.е. пю'кгая е?.:-зсто низ

(и.1 I ® 2,4 !

. Р{/ - а0Сз; + £ 7г а^(зЛ) ,

Р^з.к.П) |30{е-,} + £ П^р^з.х; , иии-1. ссствотстеоняо , и в кзчостзо бг-зх-тапс; фузкщй ватркця

ГО, |з| >

I (г.; си) -?

1 Р{1 (з,Х.П)[Ри (С,к,1г)1 > -Н г « О, ! (з,КЮГР<?1 г(0,л,МГ\ 0 < 1.

:;у:<=м кспольгуя вариаклопш® .летод дискретизации Рэлея-Ратца, получаем самосопряженную, алгебраическую обобщенную задачу на собственные •значения

- (я)

Ф„ (з.Х.П) = -77»?

Ап К Вл у<*>. (30)

где очаонфехгЦ'Загоааяьгаге катрзда размерно«. ти гЛт11

,и ^В1™-* определяется по тем Ее формулам, Что и с Ба_

меной в юа га соот-

ветственно . Вариационно-разностная стека (¿0) Называется усеченной вар;:ащ:о1ГЕо-рз2ПрстЕой схемой ю-го равга для задачи (3), (4).

В 54 доказывается скорость сжодаосйи усечёвзш вариацаонао-разностнкх схем я-го ранга по собственным значениям и собственным функциям. \

(а)

Пусть Х.,Д-ое собственное.значение задачи <3),(4), А, , 1-ое собственное значение усеченной вариационно-разностной схемы

я-го ранга (30), ^-собственная Функция задачи (3),(-4) , соответст-

вуадая собственному значению ¿^-собственная функция усеченной вариационно-разностной сгеш, соотгзтсгаувдая собствэвшу зааче-

(а) .

то' А1, тогда справедлива следувдая.

Т Е О РЕ К А 5. Пусть шполнед условия (б), (7) ш 1-фшскровано, тогда при достаточно калом 7г теюг кесго оценки

о < л яг с с п ,

| &1-$х < с , с * С01) Ч. (31)

В §5 второй глаш введя неравномерную ва (-1,1] сетку .согласно (23), строятся вариационно-разностнае точная и усеченные схемы вг-го ранга.

: В шестом параграфе исследуется скорость сходимости усеченных вариадаокЕо-разЕостных схем и -го ранга. на неравномерной сетке. Доказана следу яцая

Т К О Р Е ц & 6. Пусть выполнены условия (6),(7) и г-диксировано, тогда 3 ЙдШрХЗ; ,что при Гг0 <7liJ), имеют место оцен-

ки '•

-4Ж-2-2Ц.

О < Л, - И, < с 5

1 1 ' (32)

\ у, < с? ■. е* с(В) .

Пожшъкх варвацишво-разаоствзй схмшвшю 0-го ранга нели-ввэйва .зависят от собственного значения X исходной задачи,§7 вто-

рой главы посвящен линеаризованным по Приказчикову В.Г. варианисн-но-разностннм схемам высокого порядка точности.

Доказано,что линеаризованные вариационно-разностные схемы ш-го ранга имеют такую ае скорость сходимости по собственном значениям и собственным функциям, как и яалияеаризовзнные вариациснн; -разностные схемы л-и ранга.

В приложении 1 приведены результата численных расчетов на ЗГ. ■ для краевой' задачи. Расчета проводились с использованием усеченны:-: схем 0-го, 1-го, 2-го рангов.'Рассчитзны краевые задачи с непрерь-нцг® и кусочно-гладкими коэффициентами.

В приложении 2 приведены результата численных расчетов по задачам-на собственные значения, проведенных с использованием вариационно-разностных схем 0-го, 1-го рангов на равномерной, и схемы 0-го ранга на неравномерной сетках.

Результата счета показывает неулучшаемость по порядку теоретически полученных мажорантных оценок скорости сходимости соответствующих усеченных разностных схем.

Осксвкыз разудьтзта работ* КосгрукгивЕО доказано существование и единственность точной трехточечкой разностной схемы для несамосопрязсензой краевой задачи. 2. Построены усеченные разностные схема я-го ранга для краевой задг— чи и доказана скорость их сходимости в специальном весовом пространстве V. .

IX

Построены усеченные разностные, схемы-высокого порядка точности для краевых задач ва специальной неравномерной-сетке. Доказано, что скорость их сходимости ОЕпадает по порядку с традиционной скоростью сходимости для регулярного случая.

3'. Введен новый класс самосопряженных усеченных вариационно-разностных схем для( самосопряженной задачи да собственные значения в случае равномерной и неравномерной сетки.'

Доказана скорость сходимости усеченных вариационно-разностных схем га-го ранга по собственным значениям и.соответствующим 5®! собственным функциям. '

4. Произведена линеаризация вариационно-разностных схем и-го ранга (т >1), я установлена скорость их сходимости по собственным значениям и соответствующим-им собственным функциям, совпадающая по порядку со скоростью сходимости соответствуйте: разностных схем

. без процедуры линеаризации.

5. с помощью вычислительного эксперимента на модельных примерах показано, что теоретические мажорантные оценки скорости сходимости

noez-".osöHH2s в работе усеченных разностных схем (0~2)~то рангов

.являются неулучшаемими по порядку.

Пс теш жссвуп&щ w&üJmtQBsm сявкгтще работы

".Точная и усеченныегразностные схемы для .краевых задач для вн-роадапцйхся систем обыкновенных дифференциальных .уравнений второго пэрядка-Тезисы докладов III Республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом про- , гоессе",Канев,1932,с.58-60. ("соавторш "Лунных В.М. .Макаров ,-й.Л.) Z. Точная и усеченные разностные схемы для краевых задач в случае систем обыкновенных дифференциальных уравнений с выроадением.-Зычисл. к прикл. математика, Киев,Изд. КГ7,Я51,1983,с.З-1Е. (соавторы Лугшых В.М. .Макаров.-ИЛ.;. .

3. Вариационно-разностные схемы высокого порядка точности для векторных-задач Штурма-Лиушлля с вырождением в случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений, второго порядка-Вопро-оы вычислительной-и прикладной ма~оматикк ,Ташкент-1984, вш. 75 с.27-37.("соавтор Макаров И.Л.

4.Точная и усеченная разностные схемы для несамосопряженных краевых задач в случае системы вырождающихся обыкновенных -днфферев-цяальних-уравнений второго.порядка-Вопроск вычислительной и прикладной математики, Ташкент-"! S84,вып. 74, с. 134-147

5. Разностные схемы высокого порядка точности в случае несамосопряженных краевых.задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с вырождением-Математи-ческая физика и нелинейная механика.1991Г, 16(50),Изд.АН-Украины, институт математики.с. 18-20. (соавтор Макаров И.Л.)-