Разработка алгоритмов и программ для численного моделирования сложных релаксирующих систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ргб од

1 о апр 199§хжовскии государственный авиационный институт

(технический университет)

На правах рукописи Романова Надежда Николаевна

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОИЛИ РЕЛАКСИРУВДИХ СИСТЕМ.

Специальность 01.02.05-механика жидкостей, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Московской Государственной текстильной академии им. А.Н.Косыгина

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Доктор физико- математически: наук, профессор Ясинский Ф.Н, Доктор физико- математически: наук, профессор Осшов А. И. кандидат физико- ыатеиатичес* наук, старший научный сотрудо Егоров Б.В. Институт механики МГУ

Защита состоится 21 апреля 1995 г. в час. мин. на заседании диссертационного совета К 053.18.02 в Московской Государственном авиационной институте по адресу: Волоколамское шоссе, 4.

Автореферат разослан " ХО " //№7$ 1995 г*

Ученый секретарь совета /у ^

Л.Ф. Лобанова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы; Решение ряда задач химической физики,

физики ударных волн, физики атмосферы, физической газодинамики, а также молекулярной спектроскопии и акустики, требует знания функции распределения молекул по колебательным и вращательным степеням свободы в стационарных, в том числе сверхзвуковых газовых потоках. При решении этих задач приходится сталкиваться с необходимость!) решать жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, нелинейных, при этом большой размерности. Создание быстродействующих и надежных алгоритмов и программ численного интегрирования таких систем является непременной частью математического моделирования релаксационных процессов.

Целью данной работы является создание комплекса алгоритмов и

программ для решения задач релаксации и использование его для выявления механизмов нарушения равновесия и построения неравновесной функции распределения по колебательным и вращательным степеням свободы в газодинамических системах на основе численного эксперимента.

Научная новизна и практическая ценность работы. Предложены

новые алгоритмы решения системы кинетических уравнений, позволяющие в несколько раз сократить затраты времени машинного времени и комплекс реализугщих их программ для ревения кинетической задачи формирования кривой распределения молекул по колебательным и вращательным уровням для различных форм газодинамического потока и различных форм констант колебательно- враща-

тельных и вращательно- поступательных переходов. Алгоритмы опробованы на тестовых заданиях.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Метода ускорения счета для задач релаксационной газовой

I

динамики: метод разрежения и метод асинхронного интегрирования. Эти метода позволяют в Б- б раз сократить затраты машинного времени по сравнению с градационными. способами интегрирования в указанных задачах при удовлетворительной точности получаемых результатов. Эти методы могут быть использованы при отыскании в первом приближении оптимальных режимов работы, например, лазерных установок.

2. С помощью этих методов установлено, что при сильном охлаждении газа, состоящего из ангармонических осцилляторов в сверхзвуковом сопле наличие косой ударной волны может привести к образованию абсолютной инверсии заселенностей колебательных уровней. Существует оптимальный угол наклона косой ударной волны, когда получаемый эффект становится максимальным.

3. Найдено, что формирование кривой распределения по вращательным уровням в достаточной мере зависит от темпов изменения поступательной температур п потоке, от формы выбранных конотант пароходов, формы газодинамического потока и, в меньшей степени от квантовости переходов.

4. Метод асинхронного интегрирования позволил произвести "сшивку" кинетических кривых, отвечающих различным форыаи констант переходов с одновременным сокращением вычислительных затрат.

Достоверность и научная обоснованность результатов

подтверждается совпадением с результатами численных расчетов.

выполнены! по другим методикам и с результатами экспериментов, описанных в литературе.

Практическая ценность. Предложение в диссертации

алг о ритмы и программы позволяют сократить затраты малинного времени и промоделировать ранее недоступные задачи релаксационной газовой динамики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были

доложены на 3 Всесоюзной школе- конференции "Кинетические и газодинамические процессы в неравновесных средах" (1986 г.) и на школе- семинаре "Фундаментальные проблемы физики ударных волн" ( 1987 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть печатных

работ.

ч

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения,

двух глав, заключения, семи приложений и списка литературы из 61 наименования. Объем диссертации III страниц, включая 19 рисунков, 22 страницы с таблицами.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении о бсуждается актуальность выбранной темы исследования, формулируется цель работы, кратко излагается содержание диссертации. Приведен литературный обзор методов, которые используются для численного интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных, уравнений, связанных с решением кинетических задач, а также обзор теоретических и экспериментальных работ, посвященных механизму колебательно-вращательного обмена энергией при столкйовении галбгеноводоро-

дов с инертными разами.

В первой главе предложены алгоритмы, сокращающие время

расчета кинетических задач , что позволило выполнить большую серию численных экспериментов . Метода ускорения основаны на физических особенностях задачи и проверены на модельных задачах. Приведена оценка погрешности предлагаемых алгоритмов.

Метод разрежения по уровням основан на сглаживании сплайнами логарифмической кривой, описывающей распределение молекул по колебательным или вращательным уровням. При решении системы из п уравнений на каждом временном шаге пересчитывается к выбранных уровней, остальные восстанавливаются сплайнами. Характер кривой распределения по энергетическим уровням позволяет выполнить%это с достаточно высокой точностью. Понижая размерность системы в п/к раз, получаем выигрыш во времени счета, сравнимый со степенью понижения размерности. В численных экспериментах получен в среднем выигрыш в 5-6 раз (в отдельных случаях до 15 раз) в зависимости от необходимой точности решения. Основная погрешность возникает при пересчете верхних уровней, заселенность которых очень мала, при этом можно безошибочно проследить зону возникающей неравновесности, что является основной задачей оценочных экспериментов.

В предложенном методе асинхронного интегрирования в системе

<Ьс'<У;= Хг>... Хп) 1=1,. .п

переменные х1 разбиваются на группы. В каждой группе вводится свое локальное время 1 и свой шаг по времени ь. 1=1 ,т т<п, 1;-время лидирувдей группы ( на рисунке I t=tr()).

В этих обозначениях сформулировано условие , разрешающее шаг 1-ой группе в момент времени 1. Предположим, что 1-я группа в момент времени 1 должна сделать шаг К (см. рисунок I). Рисунок I.

к к " -Г-Н-г!

Другие группы имеют в этот момент времена ik< ^ и Чтобы осуществить шаг ь , необходимо вычислить правые части дифференциальных уравнений i-ой группы , где участвуют неизвестные не только из этой группы, но и из k-ой и ш-ой групп. Для k-ой группы значения неизвестных экстраполируются с по формуле:

ч

h, <ч> h,

ч V v<0> „<1> k , V к

\ ТГ + " \ "ql '

где Х^-вектор решения k-ой группы

q-порядок метода k-ой группы в момент вреиени t

Для га-ой группы значения неизвестных Х^ находится интерполяцией

по такой же формуле с шагом hm=(t.+h J-t^ <0 .

Оценивались точность вычислений посредством сравнения с решением задачи, проинтегрированной одной группой методом Гира, а также время вычислительного процесса (на ЕС 1046, IBM PC) в синхронном и асинхронном случаях.

П работе анализировались различимо услопил ооглясопшгия промой для «синхронного режима.

Чтобы учесть точность репений и затраты машинного времени сравнение сихронного и асинхронного методов интегрирования выполнялось по их пропускной способности (С).

С=Д1/Т, Л1=-п*1п(Р/Ро). Здесь А1- количество извлечешюй информации, п- размерность задачи, Т- затраченное время.

Анализируя результаты с точки зрения пропускной способности

ф

алгоритма, установлено, что лучшие результаты дал эксперимент с условием согласования времен t+hv<t.

Оценивался выигрыш в вычислительных затратах, который можно получить от введения асинхронности.

Пусть имеется система из п уравнений dx/d.t = F. (xt ,х2,. .хп), i=i,..n, в которой п4 уравнений можно отнести к груше "быстрых", т.е. требувдих при численном интегрировании малого по времени hmin и пг уравнений принадлежат к груше "медленных", которые требуют шага h

L " max

Введем ffean/h- величину, характеризующую вычислительную работу, например, количество вычислительных операций на единичном отрезке времени, где а- величина, характеризующая затраты на вычисление единственной правой части системы Pt, at- затраты на интерполяцию (или экстраполяцию), h- шаг интегрирования системы. Допустим, что затраты на вычисление каждой правой части с ростом п остаются постоянными. Тогда вычислительную работу без введения асинхронности можно оценить по формуле

= an/h . . СИНХр • т\г\

Аналогично, интегрирование с применением асинхронности потребует выполнения следующей вычислительной работы

"асинхр. = ап.Л\В1„+ + в»"»^»

Рассмотрим выигрыш от применения асинхронности

ш _ п /П —

синхр. асинхр.

а (п1+п2)/Ьт.п

ап /Ь . +ап /л +а п,/Ь

1 тт 2 таи I 2 т». г

После элементарных преобразований получаем

1+ П./П,

№

1+ (е4 + е2)п2/п4 где е = а/а , е= ь /Ь. , е<< 1, е,<< 1

° I 1 ' 2 тт так '4 '2

Интересно рассмотреть предельный случай п4=1, п2>> п1,е1чО, в2-.0, тогда выигрыш в затратах, очевидно, будет У7 п. Т.е. при наличие одного уравнения (п4=1) с малым характерным временем и большой группы (п2= п-1) уравнений с большими характерными временами, а также при большом объеме вычислений Р. (что действительно имеет место в кинетических задачах) выигрыш может стремится к п , не превосходя п.

Следует отметить, что во многих случаях оценка 0= ап/Ь является слишком мягкой, т.к. с увеличением размерности п системы возрастают и затраты на счет правых частей, т.е. а возрастает с ростом п.

Во второй главе методы ускорения применяются для ряда

конкретных задач, относящихся к кинетике колебательных и вращательных степеней свободы двухатомных молекул в газодинамических системах.

Проводились численные эксперименты для расчета распределения малой примеси молекул СО в Ar по колебательным уровням в сопле с заданным распределением давления. Метода ускорения счета позволили провести большую серию оценочных экспериментов при сохранении хорошей точности результатов.

В работе показана возможность получения абсолютной перезаселенности колебательных уровней ангармонических осцилляторов при наличии косой ударной волны (КУБ) в конце плоско- параллельного канала сверхзвукового сопла. Оценен оптимальный угол наклона КУВ, когда получаемый эффект становится максимальным.

В работе предложена программа решения системы кинетических уравнений для заселенностей вращательных уровней hcl (с учетом rt и RV обмена) в сильно неравновесных газодинамических системах. Программа позволяет проследить формирование кривой распределения по энергетическим уровням для различных способов вычисления констант скоростей поуровневого обмена (эмпирических- Поляни-Вудола и теоритических- Уманского- Лебедя). Вращательная кинетика рассматривалась в газодинамических потоках различных форм(истечение через отверстие или сопло). Цель проведенных экспериментов:

1. проследить образование перезаселенности, и, возможно инверсии верхних вращательных уровней HCL в процессе RT и RV обмена в условиях расширяющегося потока.

2. Выявить влияние вращательного ряспродолшшп п начальной точки потока на фориу врмцптплыюго рмшродилинип и оииом потоке.

3. Сравнить полученные результаты с результатами существующих экспериментальных, численных и аналитических расчетов

При этой :

-рассматривалась малая примесь молекул HCL в Аг : (nicL/nAr=i/l00, где п- численная плотность). '

- в начальной точке газодинамического потока распределение HCL по вращательным уровням считалось как равновесным, так и \ стационарным распределением излучавдего ротатора в поле внешнего [ электромагнитного излучения (с Дланковским спектром). |

Исследовалось влияние на форму распределение следующих [ факторов: •

1) степени многоквантовости вращательных переходов j

2) влияние формы полей газодинамических скоростей v(r) и температур поступательных степеней свобода Т(г).

Были выбраны следующие модели:

1) мод е ль свободно расширяющегося потока, не учитывающая изменение вдоль потока вращательной энергии двухатомных молекул

2) модель газодинамического сопла, учитывающая изменение вдоль • потока полной вращательной энергии молекул.

Основная серия оценочных численных экспериментов была ! проведена с использованием счета с разрежением системы ; и методом асинхронного интегрирования. [

s

В заключении сформулированы основные руезультаты, полученные в !

I

ходе диссертационного исследования. [

i

В приложении приведены таблицы с результатами численных экспе- ! риментов, а также материалы, необходимые для решения прямой задачи сопла.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Предложенные в работе методы ускорения счета (метод разрежения по уровням и метод асинхронного интегрирования) позволили сократить в 5-6 раз затраты машинного времени и в результате провести большую серию численных экспериментов с колебательной и вращательной неравновесностью в условиях расширяющегося газодинамического потока.

Использование метода разрежения системы колебательных кинетических уравнений по уровням дает выигрыш во времени счета, пропорциональный коэффициенту разрежения. При этом можно верно оценить размеры и границы "плато" (зоны относительной перезаселенности) даже при самых больших коэффициентах разрежения.

В результате экспериментов с кинетическими системами получены следующие результаты.

I. При сильном охлаждении газа, состоящего из ангармонических осцилляторов в сверхзвуковом сопле наличие косой ударной волны может привести к образованию абсолютной инверсии населенностей по колебательным уровням. Существует оптимальный угол наклона косой ударной волны, когда получаемый эффект становится максимальным. Найдены оптимальные условия для формирования максимальной абсолютной перезаселенности по колебательным уровням в условиях косой ударной волны.

2. Предложена программа, позволяющая проследить формирование кривой распределения по вращательным уровням для каждого колебательного уровня для различных форм констант межмолекулярного обмена и различных форм газодинамического потока.

Программа позволяет выяснить роль значительного числа факторов

на формирование кинетической кривой HCL, оценить зону максимального искажения функции распределения по сравнению с равновесным распределением и условия, при которых такое искажение возникает.

3. Оценочные эксперименты показали необходимость использования разных вероятностей вращательного обмена при описании вращательной кинетики HCL, находящегося на адиабатических и неадиабатических вращательных уровнях.

Применение алгоритма асинхронного интегрирования позволило произвести "сшивку" соответствупцих участков кинетических кривых со значительным сокращением вычислительных затрат.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Комаров Э.Л., Макаров В.Н., Романова H.H., Ясинский Ф.Н. О построении быстрых алгоритмов для задач реласкационной газовой динамики.- В сб. " Физико- химическая кинетика в газовой динамике"., Изд- во МГУ, 1986, с. I09-II5.

2. Романова H.H. Об одном способе сокращения затрат иашинного времени при решении задач релаксационной газовой динамики.-

Тезисы докладов обласной конференции молодых ученых, Иваново, Изд. ИВТИ, 1986, с.144.

3. Романова H.H. Асинхронный метод интегр1фования систем

обыкновекнных дифференциальных . уравнений.- Тезисы всесоюзной научно- технической конференции молодых ученых, . Иваново, Изд. ИВТИ, 1987, с. 38.

4. Романова H.H. О сокращении затрат машинного времени в

задачах релаксационной газовой динамики.- В сб." Кинетические и газодинамические процессы в неравновесных средах", Изд- во МГУ, 1986, с.9.

5.Романова H.H., Макаров В.Н. Ясинский Ф.Н. Образование инверсии заселенностей колебательных уровней ангармонических молекул при прохождении через

неравновесный газ косой ударной волны.- В сб. "Физико-химическая кинетика в газовой динамике", Изд- во МГУ, 1986, с. 150- 154.

6. Романова H.H., Чайкина Ю.А. Численное решение системы кинетических уравнений для заселенностей вращательных уровней молекул HCL в условиях расширяющегося потока.- В сб. "Фундаментальные проблемы физики ударных волн", Азау-87, Черноголовка,1987, тезисы докладов, т.1, часть 2, с. 249-250.