Разработка элементов параметрической теории определения динамических характеристик протяженных напряженных конструкций тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Петров Александр Александрович

4859283

Разработка элементов параметрической теории определения динамических характеристик протяженных напряженных конструкций

Специальность 01.04.06 — Акустика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 О НОЯ 2011

Санкт-Петербург — 2011

4859283

Работа выполнена на кафедре акустики ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Уваров Владимир Константинович.

доктор технических наук, профессор Кирпичников Валерий Юлианович; кандидат физико-математических наук, доцент Дружинин Григорий Александрович.

ФГУП ГНЦ РФ «Центральный научно-исследовательский институт им. академика А.Н. Крылова», г. Санкт-Петербург.

Защита состоится 24 ноября 2011 г. в 16 часов в ауд. У-167 на заседании диссертационного совета Д 212.228.04 ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» по адресу: 198262, г. Санкт-Петербург, Ленинский проспект, д. 101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СПбГМТУ.

Автореферат разослан « /у » октября 2011

19,

Ученый секретарь диссертационного совете? к.т.н., доцент

Васильев Б.П.

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию нелинейных колебаний протяженных напряженных систем. Под последними имеются в виду механические колебательные системы с распределенными параметрами, находящиеся под предварительным напряжением (струна, мембрана). Суть разработанного подхода заключается в линеаризации нелинейных уравнений в частных производных, описывающих динамику нелинейных колебательных систем, уравнениями с переменными коэффициентами (параметрическими уравнениями). Разработанная теория применяется к моделированию колебаний струны, представляющей собой самый простой пример распределенной системы.

Актуальность исследования. При расчете и проектировании акустических приборов и систем применяется подход, суть которого заключается в том, что сложную механическую колебательную систему разделяют на простые подсистемы (звенья). При этом считается, что характеристики системы определяются совокупностью характеристик входящих в нес звеньев. Отсюда следует требование к линейности подсистем. Если какой-либо элемент акустической системы представляет собой распределенную механическую колебательную систему (например, диафрагма микрофона, диффузор громкоговорителя, представляющие собой оболочки вращения, излучающие элементы конструкций, представляющие собой стержни, пластины или оболочки), то часто она описывается нелинейными уравнениями в частных производных. Это приводит к проблеме определения таких динамических характеристик конструкций, при которых нелинейные явления пренебрежимо малы. Таким образом, актуальна задана линеаризации нелинейных колебательных систем с распределенными параметрами.

Кроме того, за последние годы возросло внимание к вопросам компьютерного синтеза звучаний музыкальных инструментов. Решение такого рода задач требует адекватных математических моделей колебательных процессов, происходящих в музыкальных инструментах.

Наконец, наличие теории, адекватно отражающей физические процессы, имеющие место в технических системах, способствует принятию более обоснованных инженерных решений. Поэтому исследования в области теории колебаний остаются актуальной задачей.

Объект исследования: колебания систем с распределенными параметрами.

Основная цель исследования заключается в разработке метода аппроксимации нелинейных волновых уравнений линейными уравнениями с переменными коэффициентами.

В соответствии с основной целью и предметом исследования определены следующие задачи исследования:

— обосновать возможность описания нелинейных распределенных колебательных систем параметрическими уравнениями;

— применить разработанный метод к описанию колебаний струны;

— обосновать экспериментально выводы, сделанные на основе параметрической теории.

Методологическую и теоретическую основы исследования составили работы отечественных и зарубежных авторов в области нелинейных и параметрических колебаний, работы, посвященные исследованию колебаний струн.

Методы исследования. Во время проведения исследования применялись методы теоретического анализа (математического, логического, системного, моделирования, обобщения опыта), спектрального анализа (экспериментального), численного моделирования (при решении дифференциальных уравнений — метод Рунгс-Кутта восьмого порядка, при вычислении спектров — алгоритм быстрого преобразования Фурье).

Информационная база исследования. В качестве информационных источников проведенного исследования использованы:

— научные источники в виде: журнальных статей, научных докладов и отчетов, материалов научных конференций, монографий отечественных и зарубежных авторов;

— результаты собственных расчетов и проведенных экспериментов.

Научная новизна исследования.

1. Разработан метод аппроксимации нелинейных волновых уравнений линейными параметрическими волновыми уравнениями.

2. "Указаны границы применимости дайной аппроксимации.

3. Экспериментально установлены неизвестные ранее закономерности, заключающиеся в самопроизвольном параметрическом возбуждении собственных колебаний струны: при свободных колебаниях возбуждаются те моды, узлы которых совпадают с точкой возбуждения струны; при вынужденных колебаниях струны собственные колебания возбуждаются на субгармонических частотах внешней вынуждающей силы.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается:

— согласованностью теоретических выводов с результатами экспериментальной проверки;

— использованием традиционных средств математического анализа и численного моделирования;

— использованием традиционных методов измерений;

— соответствием полученных результатов логически аргументированным ожиданиям.

Научная ценность результатов исследования:

— предложен метод линеаризации нелинейных волновых уравнений параметрическими уравнениями, который может быть применен к описанию колебательных процессов в мембранах, пластинах, оболочках и других более сложных распределенных системах;

— полученные в диссертации результаты могут служить научным фундаментом для практического их использования, например, при моделировании колебательных процессов в акустических приборах и системах, при исследовании нелинейных искажений в микрофонах и громкоговорителях, при синтезе звучаний музыкальных инструментов.

Практическая значимость и реализация результатов работы. Материалы диссертационной работы используются:

— в научно-исследовательских работах, выполняемых ФГУП «ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова»;

— в научно-исследовательских работах, выполняемых ООО «Неватон» при разработке новых микрофонов;

— в учебном процессе Санкт-Петербургского государственного университета кино и телевидения: в учебно-исследовательских и научно-исследовательских работах студентов, при подготовке выпускных квалификационных работ бакалавров и специалистов.

Внедрение результатов диссертационной работы подтверждено соответствующими актами.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях СПб-ГУКиТ в 2007 - 2010 гг.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 работы. Все работы выполнены в соавторстве, доля автора 90%. В изданиях, определяемых Перечнем ВАК РФ, опубликована одна статья.

Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, основной текст из четырех глав, заключение, библиографический список использованной литературы и приложение. Объем основного текста с введением и заключением составляет 102 страницы, включая 31 рисунок на 22-х страницах. Список литературы содержит 107 наименований.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Нелинейные волновые уравнения, описывающие колебания систем с распределенными параметрами могут быть аппроксимированы параметрическими уравнениями.

2. Границы устойчивости параметрических уравнений определяют пределы применимости параметрической теории.

3. Возможно самопроизвольное возбуждение собственных колебаний струны, объясняемое неустойчивостью параметрических уравнений.

Краткое содержание диссертации

Введение содержит обоснование актуальности темы, формулировку целей и задач диссертационного исследования.

В первой главе содержится обзор известных на сегодняшний день теоретических представлений о колебаниях струны.

Уравнения движения однородной струны, расположенной по оси абсцисс и характеризуемой неподвижной (лагранжевой) координатой х, совпадающей с начальной длиной недеформированной струны, находящейся под некоторым начальным натяжением То, имеют известный вид

p0xtt = (Т0 + Е) ххх - Е ,

р0Уи = (Т0 + Е)ухх-Е{^У (1)

PoZtt = {То + Е) zxx - Е (у) ,

где x(x,t), y(x,t), z(x,t) — соответственно смещения в продольном и двух поперечных направлениях, Е про — соответственно модуль Юнга и плотность материала, из которого изготовлена струна, индексами обозначены частные производные по соответствующим координатам, величина А определяется как

А = + + + 4 (2)

Если положить в (1) z = 0 и использовать приближение

sj{l + xxf + yl

то после отбрасывания нелинейных членов О (х2), О (у4) получаются уравнения, полученные Кирхгофом:

p0xtt - (Е + Т0) ххх = Еухухх,

/ з \ (4)

PoVtt - Т0ухх = Е i ухххх + ухххх + -у2хухх

На практике почти всегда выполняется условие Е Го, особенно для металлических струн. Таким образом, переходя к пределу Е —> оо, можно исключить из системы (4) переменную х, если граничные условия имеют вид

х{о,г) = хМ = о, (5)

где /0 — длина струны, то есть для продольных колебаний соответствуют закрепленным концам. Интегрирование первого из уравнений (4) с учетом условий (5) и подстановка во второе уравнение дает:

+ у2хйх^ухх, (6)

о

где

= \ 4 = (?)

Ро Ро

Величины со, имеют физический смысл скорости распространения поперечных и продольных волн соответственно.

Известно, что решение уравнения (6) можно искать в виде равномерно и абсолютно сходящегося ряда по собственным функциям струны

= (8) п 1о

В этом случае при подстановке (8) в (6) получаются уравнения (точками обозначены производные по ¿):

й + + п=1,2... №

Если в спектре струны присутствует только одно собственное колебание с номером к, то есть УпгО при п ф к, то получается уравнение Дюффинга

Ук+ы1Ук + р2кУ? = 0, (10)

где

2 _ ъ2к2с1 2 _ Шк - -72-1 Рк ~ 774 - Vх

«О 410

Решение уравнения Дюффинга выражается через эллиптические функции, и оно периодическое, причем период колебаний зависит от амплитуды, в чем проявляется общее свойство неизохронности нелинейных систем. Кроме того, кубическая нелинейность в уравнении (10) дает зависимость силы от смещения вида ^ = кхх + к^х3, называемой жесткой характеристикой (рис. 1). Это

Рис. 1. Жесткая характеристика F(:r).

соответствует физическим представлениям, согласно которым квазиунругие возвращающие силы возрастают с увеличением смещения. Это означает, что гибкость резко падает при отклонении струны от положения равновесия. Систему с жесткой нелинейностью также называют системой с отсечкой.

Однако если в спектре присутствуют два или более собственных колебания, а также в случае диссипативных и неавтономных колебаний аналитическое решение системы (9) невозможно. В этих случаях используют приближенные методы. Основные известные результаты получены в одномодовом приближении в квазилинейной трактовке, то есть решения ищутся в виде

где амплитуда и фаза - медленно меняющиеся функции времени. Но в одно-модовых приближениях исследуются колебания только в окрестности какой-либо собственной частоты. Построение общего решения на основе частных решений (12) невозможно, так как в нелинейных системах не применим принцип суперпозиции. Таким образом, анализ многочастотпых колебаний и их устойчивости остается открытой проблемой.

Во второй главе исследуется задача приближенного анализа многочастотных колебаний систем с распределенными параметрами. Проблема ставится следующим образом. Поскольку в системе должен действовать принцип суперпозиции решений, то она должна быть линеаризована. Но обычная линеаризация не позволяет учесть ряд нелинейных эффектов в системе, которые представляют интерес. Предлагаемое решение — аппроксимация нелинейного уравнения линейным уравнением с переменными коэффициентами.

Пусть колебания некоторой континуальной системы описываются нелинейным волновым уравнением

где и — вектор смещений, зависящий от времени £ и от координат X;, а(е, и) — параметр, который в нелинейной системе является функцией смещения, е -С 1 — малый параметр, V2 — оператор Лапласа.

п(0 = Л(*)со8[ш** + ¥>(0],

(12)

иа = а(е, и)У2и,

(13)

Представим функции и и а в виде рядов по степеням малого параметра е и = и(°)+£и(1> + е2и<2> + ...

, , 2 I \ (14)

а = а0 + еаци) 4- £ а2(.и; + ...

Подставляя (14) в (13), имеем

и£} + е^ = а0У2+ еаоУ2и^' + «ц (и®) У2и<°> + О {е2). (15)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е в уравнении (15), получим для нулевого и первого приближений уравнения

и^-ао^и^О,

и|41)-аоУ2и(1)=еа1(и(°))у2и(°). (16) Рассмотрим теперь параметрическое волновое уравнение

ии = а(е,М)У2и. (17)

Полагая

имеем

и = и(°)+£и(1)+£2и(2) + ... а(е, х, г) = а0 + еа^х, £) + £2а2(х, £) + ...

(18)

и<(0) + Ч1' = а0У2и<°) + ШоУ2^1) + еа^х, I)У2и<°> + О (е2), (19)

откуда

и^-а0У2и<°> = 0, 41)-а0У2и(1) = Еа1(х,ОУ2и(°). Сравнивая уравнения (16) и (20), можно заключить, что при

а1(х,1) = а1(п^) (21)

нелинейное уравнение (13) эквивалентно параметрическому уравнению (17) с точностью до малого параметра е.

Изложенный метод позволяет перейти от нелинейного волнового уравнения к линейному параметрическому волновому уравнению. В случае наличия диссипативных потерь, вынуждающей силы в правой части уравнения (13) общий характер задачи не меняется, доказательство проводится аналогично, и остается верной формула (21).

Возможность применения указанного метода к уравнению (6) неочевидна, так как перед нелинейным членом стоит большой параметр с} Но можно показать, что заменами переменных уравнение (6) приводится к виду (13). Введем безразмерные переменные

'О 'О 'О

Уравнение примет вид

+ (23)

о

Пусть заданы начальные условия, которые на отрезке £ € [0,1] могут быть представлены равномерно сходящимися рядами Фурье по синусам:

А (24)

Ут(£, 0) = д(() = 2_^дп8ШппС

П

Обозначим

*=./£(/» + $")■ (25)

Величина е имеет физический смысл полной амплитуды колебания струны. Перейдем к новой переменной и:

и(£.г) = У(£,г)/е. (26)

Уравнение (23) примет вид:

Щт={1+е2щ1и^)Щ(- (27)

о

В новых переменных длина струны равна единице, следовательно, амплитуда £ <?С 1. При £ —>• 0 получается обычное линейное уравнение. Таким образом, можно заключить, что величина е2 есть малый параметр, следовательно, мы привели исходное уравнение (6) к виду (13).

Применяя приведенный выше метод к нелинейному уравнению (6), учитывая диссипативные потери, вводя коэффициент затухания т], имеем:

2 г° г?

Уи + 2 772/4 =

4+%/(&)'*

(28)

Подставляя решение линейного уравнения в общем виде

у(о) = e-it ^ Ат sin {u!mt + ат) sin тгтх/10,

т (29)

Wm = \Ju)2m - Т]2, шт = nmco/lo,

и представляя общее решение нелинейного уравнения (28) в виде ^2nqn(t)smirnx/lo получаем в результате

С 1

qn + 2щп + и2 U + ^ e~2vt т2А2т [1 - cos 2 (£jmt + ат)} \qn = 0. (30) 1. О 0 m J

В уравнениях (30) коэффициент перед qn периодически меняется, следовательно, появляется возможность параметрической неустойчивости, когда решения неограниченно возрастают. Условия, при которых реализуется параметрическая неустойчивость, определяются параметрами шп, Ат и определяют границы применимости параметрической теории.

Рассмотрим устойчивость уравнений (30) в более жестком случае, когда Т] = 0:

i 7Г2С2 )

qn + и>Ц 1 + т2Аш I1 " соа 2 К»* + f Чп = 0. (31)

^ о о т )

Если устойчивы уравнения (31), то заранее можно утверждать, что и уравнения (30) будут устойчивы.

Согласно теореме Флокс общее решение любого из уравнений (31) имеет

вид

q{t) = Clextx{t) + C2e~xtx{-t), (32)

где x(t) ~ ограниченная периодическая функция с периодом, равным ж/щ, где — наименьшая частота из всего множества частот и>т, А — лянунов-ский показатель. Если Re (Л) ф 0, то одно из линейно-независимых решений неограниченно возрастает. В случае, когда Ат = 0 для всех т ф к имеем уравнение Матье, и функции x(i) есть функции Матье. Таким образом, из устойчивости уравнений Матье

Г 7т2с2к2 1

qn + w2 11 + -А\ [1 - cos 2 (ujkt + ак)] | qn = 0. (33)

следует устойчивость уравнений Хилла (31).

Приведем (33) к стандартной форме уравнения Матье qn + (а — — 2 b cos 2r)qn = 0, используя замены

2 2 2 T = u>kt + аь а=^ + 26, Ь=^^п2А\. (34)

И

b

Рис. 2. Карта устойчивости уравнения Матье.

Если на карту устойчивости уравнения Матье нанести прямые а = п2/к2 + 2Ь, то точки пересечения этих прямых с границами зон устойчивости дадут критические значения 6кр, которым соответствуют критические значения амплитуд 4кр), при которых решения уравнений (33) и, следовательно, (31) неустойчивы (рис. 2).

Если затухание достаточно мало, так что в промежутке С1/?? процесс с достаточной точностью описывается уравнением (31), то из устойчивости уравнения (31) следует устойчивость уравнения (30). Амплитуда Ак затухает экспоненциально, поэтому если j4fc|t=0 < то при всех остальных t ^ О Ак<А<£>\

Из (34) следует, что ~ cq/ci, откуда следует, что чем слабее натяжение струны, тем ниже значения критических амплитуд.

В третьей главе приводятся результаты числепного моделирования параметрических и нелинейных колебаний струны. Рассмотрена задача о щипковом возбуждении струны длиной /о, закрепленной на концах. Для простого случая, когда начальное отклонение величиной H струна получает посередине, результаты моделирования приведены на рис. 3—8. При построе-

о 20 40 60 80 100

Л1

Рис. 3. Численное решение линейного волнового уравнения при щипковом возбуждении струны посередине.

о 20 40 60 80 ., 100

Рис. 5. Численное решение линейного волнового уравнения при щипковом возбуждении струны посередине.

0 1 2 3^4

/1

Рис. 7. Численное решение линейного волнового уравнения при щипковом возбуждении струны посередине.

нии решений были приняты следующие параметры: r¡ = 0,01; Cj/co = 20; Н = 0,Olio; точка наблюдения — Хд = ío/9.

Сравнение осциллограмм и спектрограмм, полученных из решений линейного, параметрического (30) и нелинейного (6) уравнений, позволяет сделать выводы о лучшем приближении к точному решению параметрической теории в сравнении с классической линейной теорией.

Спектр колебаний струны, как видно из рисунков 6 и 8, содержит частоты, которые превышают частоты собственных колебаний струны, даваемые формулой

= п= 1,2... (35)

¿I о

Данное увеличение частот собственных колебаний связано с известным свойством жестко-нелинейных систем, в которых частота свободных колебаний зависит от амплитуды.

В четвертой главе представлены результаты экспериментальной проверки предположений, сделанных на основе параметрической теории колебания струны. Эти предположения заключаются в следующем.

1. Свободные колебания струны, как показано во второй главе, можно описать параметрическим уравнением (28). Можно указать условия, при которых собственные колебания этого уравнения неустойчивы. Таким образом, при увеличении начальной амплитуды и, соответственно, глубины модуляции параметра можно добиться параметрического возбуждения собственных колебаний струны, в том числе тех, которые отсутствовали в начальных условиях.

2. Пусть струна находится иод действием внешней гармонической силы Fq(x, í) с частотой ш < u¡i, приложенной в точке жо:

Р0{х^) = Ф06{х-х0)еги\ (36)

где Фо — амплитуда, 6(х) — дельта-функция. Классическое решение задачи на основе линейного уравнения без учета затухания имеет вид:

(0) ^ 2Фо ,sÍB(WMsm(W'c)C0S^ (3?)

Ро ш[ - UJ

Используя (37), можно получить параметрическое уравнение, приближенно описывающее колебания струны:

где

Vtt ~ 4 (1 + /х eos2uit) ухх = F0(x, t)¡ро, (38)

-2 _ 2/i , o\ o <?iB2 о_2Ф0 Sm(7rX0//0)

1G

Представляя решение уравнения (38) в виде ряда по синусам получим

qn + + /iCOs2wí)<jn = Вп cos ut (39)

где

2 _ -K2n2cl _ 2Фо sin(7rxo//o)

~ ' M,' ■

Если ш < uj, то условие резонанса с внешним воздействием не может быть выполнено, и параметрический резонанс возможен только в случае, если решения однородных уравнений неустойчивы, что имеет место при выполнении условия

¿:=1,2... (40)

Из соотношения (40) следует вывод: при возбуждении струны периодической внешней силой с субгармонической частотой возможны резонансные явления.

Таким образом, целью экспериментальных исследований было показать возможность параметрического возбуждения собственных колебаний струны.

Для первого эксперимента использовалась стальная струна с навивкой, длиной /0 = 610 мм, настроенная на частоту Д = 88,5 Гц. В ходе эксперимента производились измерения спектра свободных колебаний струны. Струна возбуждалась щипком в узлах 2-го, 3-го и 4-го собственных колебаний, то есть на расстояниях *о/2, Zo/3, lo/4 от края струны. Электромагнитный звукосниматель располагался на расстоянии 10/7 от края струны.

Измеренные спектрограммы приведены на рис. 9—11, из которых видно, что в спектре свободных колебаний струны присутствуют гармоники, узел которых приходится на точку возбуждения струны. Этот экспериментальный факт не может быть объяснен классической теорией колебаний струны, но является прямым следствием рассмотрения струны в качестве параметрической колебательной системы.

В ходе второго эксперимента струна, длиной Iq = 610 мм, настроенная на частоту /i = 217 Гц, возбуждалась на расстоянии 10/12 от края струны синусоидальным сигналом на субгармонических частотах fi/2, /j/З, f¡/4, /i/5, соответственно 108,50; 72,33; 54,25; 43,40 Гц. Приемник, регистрирующий колебания, расположен на расстоянии 10/7 от другого края струны. Расположение возбудителя и приемника колебаний выбрано таким образом, чтобы они не попадали в узлы собственных колебаний в исследуемой низкочастотной части спектра.

Измеренные спектрограммы приведены на рис. 12—15. По результатам измерений можно сделать следующие выводы:

— при субгармоническом воздействии на струну возбуждаются не только основной тон, но и его гармоники;

1 1

| 1

/ V Д Л / |

V / \ Л

и * V ч

Рис. 9. Спектр свободных колебаний струны (основной тон. /] = 88,5 Гц), возбужденной в узле 2-й гармоники (на расстоянии 10/2 от края струны)

0_77 154 231 308 385 462 539 616 693 Нг

10 (В

Рис. 10. Спектр свободных колебаний струны (основной тон. /1 = 88,5 Гц), возбужденной в узле 3-й гармоники (на расстоянии 10/3 от края струны)

0 77 154 231 308 385 462 539 616 693 №

¿В

1Ы

V

Рис. 11. Спектр свободных колебаний струны (основной тон. /[ = 88,5 Гц), возбужденной в узле 4-й гармоники (на расстоянии 10/4 от края струны)

Рис. 12. Спектр вынужденных колебаний струны (основной тон. /i = 217 Гц), возбуждаемой на частоте /1(/2 = 108,50 Гц)

1 1

п ■ 1

'ii/V * vy JIV ч чч

Рис. 13. Спектр вынужденных колебаний струны (основной тон. /] = 217 Гц), возбуждаемой на частоте /¡/3 = 72,33Гц)

1

|

L и ПГ""= -Wt;*'

Рис. 14. Спектр вынужденных колебаний струны (основной тон. /1 = 217 Гц), возбуждаемой на частоте f^/A = 54,25 Гц)

Рис. 15. Спектр вынужденных колебаний струны (основной тон. /] = 217Гц), возбуждаемой на частоте /¡/5 = 43,40 Гц)

— при уменьшении частоты возбуждения, то есть с ростом к в выражении (40) амплитуды гармоник уменьшаются; это связано с тем, что при больших значениях к зоны параметрического возбуждения сужаются, и растет порог возбуждения.

Заключение

1. Систематизированы основные сведения по теории нелинейных колебаний струны.

2. Поставлена и решена задача аппроксимации нелинейных волновых уравнений линейными параметрическими уравнениями. Указаны пределы, в которых справедлива данная аппроксимация. Разработанный алгоритм перехода от нелинейных к параметрическим уравнениям применен к нелинейному уравнению колебаний струны.

3. Проведено численное моделирование свободных колебаний струны, описываемых параметрическим волновым уравнением, результаты которого показывают лучшее приближение к точному решению в сравнении с классической линейной теорией. Некоторые следствия нелинейности системы сохраняются в параметрической модели.

4. Экспериментально подтверждено следствие параметрической теории колебания струны. При свободных колебаниях жестко заделанной с двух концов струны возможно параметрическое возбуждение собственных колебаний и кратных им обертонов, которые отсутствовали в начальных условиях.

5. Экспериментально подтверждается, что при вынужденных колебаниях возможно субгармоническое возбуждение собственных колебаний струны, как это и предсказывается параметрической теорией колебания струны.

Публикации по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных Перечнем ВАК РФ.

1. Уваров В.К., Петров A.A. Параметрические колебания струны // Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, вып. 52 (336), 2010, №2 - с. 187 - 192.

Прочие публикации.

2. Уваров В.К., Петров A.A. Исследование параметрических явлений при вынужденных колебаниях простой механической колебательной системы с сосредоточенными параметрами. Деп.рук. №192-кт 2008, ОНТИ НИКФИ, 2008.

3. Уваров В.К., Петров A.A. Экспериментальное исследование параметрических явлений при вынужденных колебаниях струны. Деп.рук. №194-кт 2008, ОНТИ НИКФИ, 2008.

4. Уваров В.К., Петров A.A. Экспериментальное исследование параметрических явлений при свободных колебаниях струны. Деп.рук. №193-кт 2008, ОНТИ НИКФИ, 2008.

Издательство СПбГМТУ, Лоцманская 10

Подписано в печать 13.10.2011. Зак. 4252. Тир.80. 1,05

Введение.

1. Обзор основных теоретических представлений о колебаниях струны.

1.1. Линейная теория колебания струны.

1.1.1. Основные положения.

Г.1.2. Недостатки линейной теории колебания струны.

1.2. Нелинейная теория колебаний струны.

1.2.1. Нелинейное уравнение поперечных колебаний струны.

1.2.2. Уравнения колебаний струны в трехмерном пространстве.

1.2.3. Уравнение Кирхгофа.

1.3. Параметрические колебания струны.

1.3.1. Опыт Мельде.

1.3.2. Модуляция натяжения при колебании струны.

1.3.3. Возбуждение пространственных колебаний струны.

Диссертационная- работа посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию нелинейных колебаний протяженных напряженных систем. Под последними, имеются в виду механические колебательные системы с распределенными; параметрами- находящиеся; под предварительным напряжением (струна, ' мембрана), ©уть» разработанного; подхода- заключается1 в линеаризации нелинейных уравнений' в частных, производных, описывающих динамику нелинейных колебательных систем, уравнениями; с переменными; коэффициентами- (параметрическими; уравнениями);. Разработанная- теория применяется; к моделированию колебаний струны, представляющей собой, самый1 простой- пример: распределенной системы.

Актуальность исследования. При расчете; и- проектировании акустических приборов: и систем; применяется подход, суть, которого заключается^ в том, что сложную механическую? колебательную; систему разделяют на , простые: подсистемы; (звенья). При этом- считается; что характеристики. системы определяются совокупностью характеристик входящих в нее звеньев: Отсюда следует требование к линейности подсистем. Если: какой-либо элемент акустической системы представляет собой распределеннуюшеханическую колебательную- систему (например, диафрагма микрофона, диффузор громкоговорителя- представляющие: собой оболочки вращения, излучающие элементы конструкций; представляющие собой стержни, пластины или оболочки), то часто она описывается, нелинейными уравнениями в частных производных. Это приводит к проблеме определения таких динамических характеристик конструкций; при которых нелинейные явления? пренебрежимо малы. Таким образом, актуальна задача: линеаризации нелинейных колебательных систем с распределеннымшпараметрами.

Кроме того, за последние годы. возросло внимание к вопросам компьютерного синтеза звучаний- музыкальных, инструментов:.Решение такогорода задач требует адекватных математических моделей колебательных процессов, происходящих в музыкальных инструментах.

Наконец, наличие теории, адекватно отражающей физические процессы, имеющие место в технических системах, способствует принятию более обоснованных инженерных решений. Поэтому исследования в области теории колебаний остаются актуальной задачей.

Объект исследования: колебания систем с распределенными параметрами.

Основная цель исследования заключается в разработке метода перехода от нелинейных волновых уравнений к эквивалентным линейным уравнениям с переменными коэффициентами.

В соответствии с основной целью и предметом исследования определены следующие задачи исследования: обосновать возможность описания нелинейных распределенных колебательных систем параметрическими уравнениями; применить разработанный метод к описанию колебаний струны; обосновать экспериментально выводы, сделанные на основе параметрической теории; обеспечить внедрение полученных результатов.

Методологическую и теоретическую основы исследования составили работы отечественных и зарубежных авторов в области нелинейных и параметрических колебаний, работы, посвященные исследованию колебаний струн.

Методы исследования. Во время проведения исследования применялись методы теоретического анализа (математического, логического,' системного, моделирования, обобщения опыта), спектрального анализа (экспериментального), численного моделирования (при решении дифференциальных уравнений - метод Рунге-Кутта восьмого порядка, при вычислении спектров — алгоритм быстрого преобразования Фурье).

Информационная база исследования. В качестве информационных источников проведенного исследования использованы: научные источники в виде: журнальных статей, научных докладов и отчетов, материалов научных конференций, монографий отечественных и зарубежных авторов; результаты собственных расчетов и проведенных экспериментов.

Научная новизна исследования.

1. Внесены уточнения в известные ранее нелинейные волновые уравнения, описывающие продольные и поперечные колебания струны.

2. Разработан метод перехода от нелинейных волновых уравнений к эквивалентным параметрическим волновым уравнениям.

3. Экспериментально установлены неизвестные ранее закономерности, заключающиеся в параметрическом возбуждении собственных колебаний струны: при свободных колебаниях возбуждаются те моды, узлы которых совпадают с точкой возбуждения струны; при вынужденных колебаниях струны собственные колебания возбуждаются на субгармонических частотах внешней вынуждающей силы.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается: согласованностью теоретических выводов с результатами экспериментальной проверки; использованием традиционных средств математического анализа и численного моделирования; использованием традиционных методов измерений; соответствием полученных результатов логически аргументированным ожиданиям. V

Научная ценность результатов исследования: предложен метод линеаризации нелинейных волновых уравнений параметрическими уравнениями, который может быть применен к описанию колебательных процессов в мембранах, пластинах, оболочках и других более сложных распределенных системах; полученные в диссертации результаты могут служить научным фундаментом для практического их использования, например, при моделировании колебательных процессов в акустических приборах и системах, при исследовании нелинейных искажений в микрофонах и громкоговорителях, при синтезе звучаний музыкальных инструментов.

Практическая значимость и реализация результатов работы.

Материалы диссертационной работы используются: в научно-исследовательских работах, выполняемых ФГУП «ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова»; в научно-исследовательских работах, выполняемых ООО «Неватон» при разработке новых микрофонов; в учебном процессе Санкт-Петербургского государственного I университета кино и телевидения: в учебно-исследовательских и научно-исследовательских работах студентов, при подготовке выпускных квалификационных работ бакалавров и специалистов.

Внедрение результатов диссертационной работы подтверждено соответствующими актами.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях СПбГУКиТ в 2007 - 2010 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 статьи в виде депонированных рукописей и одна статья в периодическом издании, входящем в перечень ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, основной текст из четырех глав, заключение, библиографический список использованной литературы и приложение. Объем основного текста с введением и заключением составляет 102 страницы, включая 31 рисунок на 22 страницах. Список литературы содержит 107 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие результаты:

1. Рассмотрены основные теоретические представления о колебаниях струны, включающие в себя классическую линейную теорию, нелинейную теорию, параметрические колебания струны. Показано, что нелинейные уравнения получаются вследствие особенностей геометрии струны, в то время как закон упругости при выводе волновых уравнений используется в линейном виде. Кроме того, показано наличие взаимодействия между продольными и поперечными волнами в струне.

2. Указаны основные недостатки нелинейной теории колебания струны, которые заключаются в основном в следующем. Во-первых, деформации и ускорения, записанные в переменных Лагранжа, определены для различных точек континуума и не могут быть использованы одновременно в одном уравнении без соответствующих поправок. Во-вторых, известные нелинейные уравнения не учитывают, что упругие параметры деформированного тела отличаются от своих статических значений на величину, имеющую порядок деформации.

3. Впервые рассмотрены колебания струны с учетом изменения параметров в процессе колебаний. Уточнены нелинейные волновые уравнения продольных и поперечных колебаний струны.

4. Впервые поставлена и решена задача перехода от нелинейных волновых уравнений к эквивалентным параметрическим уравнениям. Разработанный метод перехода применен к нелинейному волновому уравнению Кирхгофа.

5. Проведено численное моделирование параметрического уравнения колебаний струны и системы уравнений продольных и поперечных волн в струне. Как показывают результаты моделирования, в струне могут возбуждаться собственные колебания, отсутствовавшие в начальных условиях.

6. Экспериментально подтверждено следствие параметрической теории колебания струны. При свободных колебаниях жестко заделанной с двух концов струны возможно параметрическое возбуждение собственных колебаний и кратных им обертонов, которые отсутствовали в начальных условиях.

7. Экспериментально подтверждается, что при вынужденных колебаниях возможно субгармоническое возбуждение собственных колебаний струны, как это и предсказывается параметрической теорией колебания струны.

1. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Нелинейные колебания струны// Изв. АН. МТТ - 1993, №4 - с. 87 - 92.

2. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Вынужденные нелинейные колебания струны// Изв. АН. МТТ 1996, №1 - с. 17 - 24.

3. Акуленко Л.Д., Костин Г.В., Нестеров C.B. Влияние диссипации на пространственные нелинейные колебания струны// Изв. АН. МТТ — 1997, № 1 — с. 19-28.

4. Алдошина И.А. Разработка методов расчета частотных и амплитудных характеристик призвуков в громкоговорителях// Труды ЛИКИ, 1976, вып. 28, — с. 71-80.

5. Алдошина И.А, Букашкина О.С., Товстик П.Е. Нелинейные параметрические колебания диафрагмы электродинамического громкоговорителя// Вестник СПбГУ — 2004, сер. 1, вып. 3 с. 70 — 80.

6. Андронов A.A., Леонтович М.А. О колебаниях системы с периодически меняющимися параметрами// Ж. русс, физ.-хим. общ. (физ.) -1927, т. 59-с. 429-443.

7. Араманович Н.Т., Левин В.И. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1969.

8. Бернштейн С.Н. Об одном классе функциональных уравнений в частных производных// Изв. АН СССР сер. Матем. 1940, т. 4 - с. 17-26.

9. Ваганова H.A. Численно-аналитическое моделирование нелинейных процессов для нестационарных задач механики сплошной среды: автореф. дис.канд. физ.-мат. наук Екатеринбург, 2007.

10. Ю.Ваганова H.A., Филимонов М.Ю. Применение метода Фурье и специальных рядов для представления решений нелинейных волновых уравнений// Динамика сплошной среды, Новосибирск, 2002, вып. 120 с. 79-83.

11. Вайнштейн Ф.Л. Резонансные явления при вынужденных колебаниях натянутой упругой нити// В сб. Теор. механ. Строит, механ. Высш. матем. М., 1969-с. 72-78.

12. Вайнштейн Ф.Л. Параметрический резонанс при поперечных колебаниях натянутой упругой нити// В сб. Теор. механ. Строит, механ. Высш. матем. М., 1969 - с. 68 - 72.

13. Вахитов Ш.Я. Современные микрофоны. Теория, проектирование. -СПб.: СПбГУКиТ, 2003. 396 с.

14. М.Вахитов Ш.Я., ВахитовЯ.Ш. Электромеханические преобразователи и динамические микрофоны. СПб.: СПбГУКиТ, 2004. 134 с.

15. Вахитов Ш.Я. Применение системного подхода к расчету некоторых электроакустических параметров электродинамического громкоговорителя прямого излучения// в сб. «Факультету аудиовизуальной техники 75 лет» -СПб.: СПбГУКиТ, 2005. с. 42 - 47.

16. Винницкий A.C. Модулированные фильтры и следящий прием 4M сигналов. -М.: Советское радио, 1969, 548 с.

17. Витт A.A. К теории скрипичной струны// Ж. техн. физики 1936, т. 6, вып. 9 - с. 1459 - 1479.

18. ВиттА.А. Дополнение и поправка к моей работе «Колебания скрипичной струны»// Ж. техн. физики 1937, т. 7, вып. 5 - с. 542 - 545.

19. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы, ч.1. — М.: Советское радио, 1957. 439 с.

20. Горелик Г.С. Резонансные явления в линейных системах с периодически меняющимися параметрами// Ж. техн. Физики 1934, т. 4, вып. 10; 1935, т. 5, вып. 2,3.

21. Демьянов Ю. А. Асимптотический метод решения задач распространения волн в нити// докл. РАН — 1993, т. 57, №4 с. 146 - 149.

22. Демьянов Ю.А. К уточнению теории колебания музыкальных струн// докл. РАН 1999, т. 3 69, № 4 - с. 461 - 465.

23. Демьянов Ю. А. Постановка задачи взаимодействия струны с возбудителем ее колебаний// докл. РАН 2000, т. 372, №6 — с. 743 - 748.

24. Демьянов Ю. А., Малашин A.A. О взаимосвязи волновых и колебательных процессов в струнах с манерой игры исполнителя// докл. РАН -2002, т. 387, №3 с. 333 - 337.

25. Демьянов Ю.А. Уточнение теории колебания мембран// докл. РАН —2002, т. 387, № 2 с. 168 - 174.

26. Демьянов Ю.А., Кокарева Д.В., Малашин A.A. Взаимовлияние поперечных и продольных колебаний в музыкальных струнах// докл. РАН2003, т. 67, №2 с. 272 - 282.

27. Елисеев В.В. Механика упругих тел. СПб.: СПбГПУ, 2003. 336 с. 28.3аездпый А.М. Основы расчета нелинейных и параметрическихрадиотехнических цепей. — М.: Связь, 1973. 448 с.

28. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: ИЛ, 1961.

29. Майзель А.Б., Вахитов Я.Ш., Щевьев Ю.П. Вибрация и шум механизмов и аппаратов. СПб.: СПбГУКиТ, 2006, 116 с.

30. Мак-Лахлан Н. Теория и приложения функций Матье. — М.: ИЛ, 1953.

31. Малышев А.П. Численное моделирование вынужденных нелинейных колебаний нити// Изв. АН. МТТ 2008, №5 - с. 32 - 38.

32. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. — М.: Наука, 1972.470 с.

33. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980. 240с.

34. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1988. 392 с.

35. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969. 380 с.

36. Муницын А.И. Нелинейные колебания нити с натяжным устройством// Изв. АН. МТТ 2001, №2 - с. 24 - 30.

37. Найфэ А. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976. 456 с.41.0бморшев А.Н. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1965. 276с.

38. Похожаев С.И. О классе квазилинейных гиперболических уравнений// Математический сборник — 1975, т. 96 — с. 152 166.

39. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука, 1984. 432 с.

40. Рахматуллин Х.А., Демьянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. -М.: Физматгиз, 1961. 399 с.

41. Рахматуллин Х.А. О косом ударе по гибкой нити с большими скоростями при наличии трения// ПММ — 1945, т. 9, №6 — с. 449 — 462.

42. Римский-Корсаков A.B. Спектр энергии фортепианной струны, возбужденной молотком//Ж. техн. физики — 1937, т. 7, вып. 1-е. 225 -241.

43. Римский-Корсаков A.B. Спектр энергии, текущей от струны в1 деку щипкового музыкального инструмента// Ж. техн. физики — 1937, т. 7, вып. 2. .

44. Рудаков И.А. Нелинейные колебания струны// Вестн. МГУ Сер.1. Матем., мех. 1984, №2 - с. 9 - 13.

45. Светлицкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. — М.: Машиностроение, 1978.

46. Скучик Е. Основы акустики, т.2. — М.:ИЛ, 1959. — 565 с.

47. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. М.: Мир, 1971. 558 с.

48. Степанов В.В. О решениях линейного уравнения с периодическими коэффициентами при наличии периодической возмущающей силы// ПММ — 1950, т. 14, № 3-е. 311-312.

49. Стретт Дж.В. (Лорд Рэлей) Теория звука. М.: Гостехиздат, 1955.

50. Сухоручкин Д.А. О прецессии стоячей волны в струне с закрепленными концами// Изв. АН. МТТ — 2007, №1 — с. 15 22.

51. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. — М.: Машиностроение, 1985.-472 с.

52. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Учебное пособие для университетов. — М.: Наука, 1972. — 736 с.

53. Уваров В.К., Петров А.А. Исследование параметрических явлений при вынужденных колебаниях простой механической колебательной системы с сосредоточенными параметрами. Деп.рук. №192-кт 2008, ОНТИ НИКФИ, 2008.

54. Уваров В.К., Петров А.А. Экспериментальное исследование параметрических явлений при вынужденных колебаниях струны. Деп.рук. №194-кт 2008, ОНТИ НИКФИ, 2008.

55. Уваров В.К., Петров А.А. Экспериментальное исследование параметрических явлений при свободных колебаниях струны. Деп.рук. №193-кт 2008, ОНТИ НИКФИ, 2008.

56. Харкевич А.А. Теория электроакустических аппаратов. — М., 1940. —364 с.

57. Черняк В.Г., Суетин П.Е. Механика сплошных сред. — М.: Физматлит, 2006. 352 с.

58. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: ИЛ, 1978. 336 с.

59. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. -М.: Наука, 1977.

60. Anand G.V. Nonlinear resonance in stretched strings with viscous damping// Journal of the Acoustical Society of America 1966, v. 40, № 6 - p. 1417 - 1528.

61. Anand G.V. Large-amplitude damped free vibration of a stretched string// Journal of the Acoustical Society of America, v. 45(5), 1969.

62. Baldi P. Periodic solutions of forced Kirchhoff equations// arXiv:math/0701394v 1 math.AP. 14 Jan 2007.

63. Вапк В., Sujbert L. Efficient Modeling Strategies for the Geometric Nonlinearities of Musical Instrument Strings// Proceedings of the Forum Acusticum, Budapest, Aug. 2005.

64. Bank В., Sujbert L. Generation of longitudinal vibrations in piano strings: From physics to sound synthesis// Journal of the Acoustical Society of America -2005, v. 117, № 4 p. 2268 - 2278.

65. Carrier G.F. On the nonlinear vibration problem of the elastic string// Quarterly of Applied Mathematics 1945, v. 3, № 2 - p. 157 - 165.

66. Carrier G.F. A note on the vibrating string// Quarterly of Applied Mathematics 1949, v. 7 - p. 97 - 101.

67. Cole J.D., Dougherty C.B., Huth J.H. Constant-strain waves in string// Journal of Applied Mechanics 1953, v. 20, № 12 - p. 519 - 522.

68. Conklin H. Design and tone in the mechanoacoustic piano, part III. Piano strings and scale design// Journal of the Acoustical Society of America 1996, v. 100 (3)-p. 1286- 1298.

69. Dickey R.W. Stability of periodic solutions of the nonlinear string// Quart. Of Appl. Math. 1980, №7 - p. 253 - 259.

70. Elliot J.A. Intrinsic nonlinear effects in vibrating strings// American Journal of Physics 1980, v. 48 - p. 478 - 480.

71. Elliot J.A. Nonlinear resonance in vibrating strings// American Journal of Physics 1982, v. 50 - p. 1148 - 1150.

72. Erkut C. Aspects in analysis and model-based sound synthesis of plucked string instruments: PhD thesis, Laboratory of Acoustics and Audio Signal Processing, Helsinki University of Technology, 2002.

73. Gottlieb H.P.W. Non-linear vibration of a constant-tension string// Journal of Sound and Vibration 1990, v. 143, № 3 - p. 455 - 460.

74. Gottlieb H.P.W. Non-linear, non-planar transverse free vibrations of a constant-tension string// Journal of Sound and Vibration — 1996, v. 191, № 4 p. 563 -575.

75. Gough C.E. The mass-loaded and nonlinear vibrating string problem revisited// Eur. J. Phys. 2000, v. 21 - p. 11-14.

76. Gough C.E. The nonlinear free vibration of a damped elastic string// Journal of the Acoustical Society of America 1984, v. 75 (6) - p. 1770 - 1776.

77. Feng Z.C. Does non-linear intermodal coupling occur in a vibrating string?// Journal of Sound and Vibration 1995, v. 182, № 5 - p. 809 - 812.

78. Kirchhoff G. Vorlesungen über Mechanik, 4. Leipzig, 1897.

79. Kurmyshev E.V. Transverse and longitudinal mode coupling in a free vibrating soft string// Physic Letters, sect. A 2003, v. 310 - p. 148 - 160.

80. Lee E.W. Non-linear forced vibration of a stretchaed string// British Journaljof Applied Physics 1957, v. 8, № 10 - p. 411 - 413.

81. Legge K.A., Fletcher N.H. Nonlinear generation of missing modes on a vibrating string// Journal of the Acoustical Society of America 1984, v. 76, № 1 — p. 5- 12.

82. Liu I-Shih, Rincon M.A. Effect of moving boundaries on the vibrating elastic string// Applied Numerical Mathematics 2003, v. 47, p. 159-172.

83. Melde F. Über Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers// Ann. Physik und Chemie 1859, B. 109 - S. 193 - 215.

84. Miles J. Resonant, non-planar motion of a stretched string// Journal of the Acoustical Society of America- 1984, v. 75 -p. 1505 1510.

85. Miles J. Stability of forced oscillations in the forced vibration of a damped string// Journal of the Acoustical Society of America 1965, v. 38 — p. 855 — 861.

86. Morse P.M., Ingard K.U. Theoretical Acoustics. New York: McGraw-Hill, 1968.

87. Murthy G.S., Ramakrishna B.S. Nonlinear character of resonance in stretched strings// Journal of the Acoustical Society of America — 1965, v. 38 p. 461 -471.

88. Narasimha R. Non-linear vibration of an elastic string// Journal of Sound and Vibration 1968, v. 8 (1) - p. 134 - 146.