Разработка и использование для анализа процесса гидроформовки математической модели, основанной на соотношениях нелинейной теории пластичности в терминах отсчетной конфигурации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СЕЛОШННХ СРЕД

На правах рукописи

МУЛШСВ ВАДИМ ВИТАЛЬЕВИЧ

УДК 539. о

РАЗРАБОТКА. И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЛЯ АНАЛИЗА ПРОЦЕССА ЩРСФОРМОВКИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, ОСНОВАННОЙ НА СООТНОСШЖЯХ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ В ТЕРМИНАХ ОТСЧЕТНОЙ КОНФИГУРАЦИИ

йвцкальность 0I.C2.D4 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на сокскэние учено! степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 1990

• О

гуЛ /

Работа выполнена за кафедре математического коделировгкия Пермского государственного технического университета.

Научные руководители - доктор физико-математических

наук, профессор П.В.Трусов

кандидат технических наук.

доцент М.Г.Давыдов Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, ст.на^чн.сотр.

А.А.Роговей

доктор технических наук, доцент Н.А.Труфанов Ведущая организация - Периода научно-исследовательский технологический институт

Защита диссертации состоится II ноября 1993 г. в "_" часов

на заседании специализированного совета К OC0.RO.01 в конференц зале Института механики сплошных сред ш адресу: 314001, Пермь, ул. Академика Королева, I.

С диссертацией можно ознакомиться а Аизлаотеке института.

Отзыв ва автореферат в двух эюемзякргх, заверенных печатью, просим нгпрагшггь по адресу: 614061, г.Пермь, ул. Академика Королева, д,1, ученому секретарю специализированного совета.

Автореферат разослан __ 1993 г.

Ученые секретарь специализированного совета,

к.т.н., ст.научн.сспр. Бервзин

Р

ОЩЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Акт/адькость теми. Реиение задач геометрически нелинейной теории пластичности сГНТШ возможно как в терминах текущее конфигурации (с ипользованиэм тензора напряжения Коти, тоязера деформация Альменси и т.п.), так и в терминах отсчетной конфигурации (используя тензоры напряжений Пкола-Кирхгоффа, тензор деформаций Ксши-Грина и т.п.). В первом случае исслздозатедь сталкивается с рядом трудностей: обоснование сущэствовавия и адинстэеняости обобщенного решения при переменной конфигурация гала, неоднозначность выбора корогационвых производных при записи определящих соотношений, удовлэтворяюцих принципу материальной индифферентности, необходамэсть в пересчете кснечяо-элзментных сеток яри численном решении задачи и т.д. Постансзка задачи в терминах отсчетноа конфигурации позволяет снять некоторые из этих вопросов, но в то же время остаются проблемы выбора мер напряженно-деформированного состояния, формулировки определящих соотношений ГНГП, инвариантных к наложенному жесткому движению, и построения эффективных алгоритмов поиска численного решения задачи.

Одаому из вариантов решения перечисленных выше проблем поевчщвна настоящая дкссьртавдогаая рэбота.

Цель работа состоит в рэарзботке некоторых из наиболее значила с научной точки зровия слэнентов математического описания объекта МДТГ: математической постановки задачи ГНТП в терминах огсчэтноз конфигурации; формулировке определяющих соотношений для случая болышх пластических дефоряаций; разработка методики решения пэлине&нса задачи: в создании математической модели прогрсса пздроформовки, одаоа из важнейших особенностей которое являются Солыгае пластические деформации.

Для достижения этой шли необходимо решить следующие задачи: I. Дать общую математическую постановку задачи ГНТП в терминах отсчетной конфигурации, определить классическое и обобщенное решения; рассмотреть вопросы существования и единственности обобщенного решения.

Я. Построить определяющие соотношения, описывающие поведение металлов в условиях развитых пластических деформаций и пригодные для использования в задачах, сфорлулированных в терминах отсчетной конфигурации .

3. Разработать методику ретен-ля ссответствущэй задачи ГНТП; используя метод конечны* элементов (МКЭ), получить общ© разрешающие соотношения, пригодные для ревения достаточно широкого круга задач.

4. Рассматривая конкретные технологический процесс гцщюфоряовки сферических сосудов давления, дать техническую постановку задачи и привести упрощающие предположения. Разработать структуру программы. Провести отладку программы к проверку адекватности мотемзтичасхсог; модели исследуемому цродассу. На "снова разработанной математической модели провести анализ основных аакононюрностей и некоторых особенностей процесса гидроформовки: дхя конкретно1тз изделия определить рациональные параметры процесса.

Научнвл ноьазна. Предложена общая математическая постановка задачи ГНТП в терминах отсчотнов конфигурации с определяющими соотношениями, описывающими поведение металлов в условиях больших пластических деформаций, сформулированными также в терминах отсчэтной конфигурации. Для задачи в данное постанов!« определены классическое и обобщенное решения, доказана их эквивалентность. Рассмотрены условия существования и единственности обобщенного решения. Разработана методика решения ооответсгвуювдэа задачи ГЙ1П. С использованием МКЭ получены обобщенные разрешают® соотношения, пригодные для решения достаточно широкого круга задач. Для технологического процесса изготовления сферических сосудов давления предложена математическая модель, позволяющая подобрать оптимальные параметры процзсса.

Практическая значимость. Полученные в работе результаты используются для оптимизации режимоз гидрофорковки сферических сосудов давления. Предложенная я работе математическая модель может бьггь применена для исследования различных технологических процессов обработки металлов давлением, сопровождающихся большими пластическими деформациями.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались нэ следующих конферзнцияе и семинарах: на Всесоюзной школе-семинарэ "Математическое моделирование в науке и технике" спэрмьдэевг.э; на Сибирской школе по современным проблемам механики деформируемого твердого тела сНовосибирск,1988г. >: на зональной научно-технической конференции "Математическое моделирование в инженерной практике"

с Ижевск, 1988г. :> ; на XI Всесоюзной конференции "Численные метода решения задач теории упругости и пластичности" с Волгоград,1988г. э; на ш Всесоюзном симпозиуме "Прочность материалов и элементов конструкции при сложном напряженном состоянии с Житомир,1988г.з; на отраслевом семкнаре "Повышение качества базорых деталэя нашт и апзарзтов методами пластического даформировзвия" с Курган, 1989г. э; на Всероссийской научно-технической конференции "Математическое моделирование технологических процессов обработки материалов давлэниаи" с Пермь, 1990г. э- на хи Всесоюзной конференции по числэнным методам решения задач теории упругости и пластичности с Тверь,1991г.на \и Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике сМосква,1991г.э; на IV Межреспубликанском симпозиуме "Остаточные напряжения: моделирование и управление" сПермь,1992г.5; а также на конференциях и семинарах по механике деформируемого твердого тела в ЛГТУ и ЙМСС УрО РАН.

Публикация. Основные результаты диссертационной работа приведены в т-сиз.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, приложения и содержит 148 страниц, в том число I таблицу, 19 рисунков. Список литературы содержит 248 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введыдаа обоснована актуальность темы диссертационной работы, сфорнулмрованы даль и задачи работы и изложено основное содержание работы по главам.

В первой главе приведен обзор работ, посвященных построению моделей поведения пластических сред и методов решения задач геометрически нелинейной теории пластичности. В разработку основ этой теория существенный вклад внесли Г.л.Бровко, Б.А.Горлач, О.И.Дударь, В.И.Левигас, А.А.Маркга, Ю.И.Няшин, А.А.Роговой, П.В.Трусов и др.

Во второй главе приводится общая постановка изотермической квазистатической нестационарной задачи упругопластичности в терминах отсчетяой конфигурации Х? с учетом больших пластических деформации

Пусть в начальный момент времени .деформируемое тело

занимает некоторую связную область о° в трехмерном евклидовом пространстве кэ сл°с кЪ с границей замыкание области

п° обозначим сй°=л0и5°з. Дале© предполагается, что область о' и граница удовлетворяют ряду требований, которые позволяют корректно сформулировглъ граничные условия (область с регулярной границей в смысла Кагадерона).

Под действием усилий тело деформируется. Необходимо определить поля скоростей гарэмещэний, напряжения и деформации для любого момента времени I из интервала со,<я>, удовлетворяют)» следующей системе уравнений: уравнению равновесия

р - б . Ло<= П°; (I)

уравнению связи напряжений и деформаций

Р - Сг : «0 •» . Г?; (2)

граничным условиям

Я- Р - 1 , Й« Б"; <3>

Ъ - Ь. в?. <4>

Как ужо отмечалось, при решении геометрически нелинейных задач существенный является выбор мер напряженного и деформированного состояний. При постановке задачи в терминах отсчэтной конфигурации, в качестве мери деформации наиболее целесообразным представляется использование тензора деформаций

Генки й, опредалэнного в отсчэтной конфигурации, выбор же меры напряженного состояния уже не является столь однозначным.

В отличю от тэвзора Кош 2, тензоры, описывающие напряженное состояние» в терминах отсч*>тной конфигурации «первый р и второй ЗС тензоры напряжений Лиода-Кирхгоффаэ, не обладает столь же ясным физическим смыслом.

Для тензора р но удается записать достаточно простые соотнооевия, связывающие шаровую и дввиаторную части этого тензора с гидростатическим давлением. которые используются во многих теориях пластичности в предположении об упругом изменении объема и пластическом формоизменения. Кроне того, тензор р не симметричен, что создает некоторые трудности в его использовании при решении прикладных задзч. Уравнения равновесия записанные в компонентах тензора £ нелинейны.

Нияв мы будем пользоваться тензором напряженна з, описывающим наряженное состояние в и определенным из

энергетических соображений. Вввяпм § как тензор, сопряженный к

выбранной мэре деформаций н:

- 2 = й . (5)

т.е. двойная свертка тензора § со скорость» тензора деформаций •

Генки н , определенного в отсчетной конфигурации» характеризует мощность напряжений единицы обкэма 8 отсчетной конфигурации Несложно показать, что данный тэнаор связан с известными тензорами напряжений следующими соотбопюенями:

§ - 5 с(6) I - | & (7)

§ . % « (8)

2 о о

Р

первый инвариант тензора § с точность» до множителя £ , совпадает

р

с шрвым инвариантом о:

5 : ё - е I : Ё . (9)

р

Далзе будем полагать, что определяющие соотношения в выбранных мерах напряженного и деформированного состояний представит в ввдэ

§ - с : Й ♦ % . йе ¡Г; (Ю)

В этом случае тензоры с4 и входядаэ в (2), записываются слз дующим образом.-

с-с:1:1 л;к п а/ -ЭЭГТЭ. (II)

1 I. к I. т ¡.г я ->

где

2Т

а

аи.и. и - л 1 я ^ .

а л • •

I).- главные значения левого тензора искаженна в-^йр'р^- р1-

I =«

' АЛ Л

главные направления правого тензора искажении V- £ У.^р.;

I«1

града» дт места в текущей конфигурации, сх1*%*к***к •

~ изотропные тензоры четвертого ранга. Вектор-функцию из ^'"со'яСО.аОЭ П £1,0СЙ*х10,аа>:>

будем называть классическим решением задачи (1-4), если VI«го,«о в о' она удовлетворяет уравнению

¿•сс^Зэ 4- = а, (14)

а на границе 2°=з°и - условиям

Ъ - Ъ . Й е Б° . (15)

^ О V

Й- * И-*,- * . *« . (16)

где 5е Лег0* СО.<*£>:>, íe £сЗ°х10,«>:>, Йе С*'°СП°. I О. а£>Э, Се

^ V о 1 ж

с*'0со°, [ о.айз.

Переход от классической постановки краевой задачи к некоторой расширенной, функционально - аналитической постановке, с формулировкой -слабого решения, допускает при менее спюгих

ограничениях на функции с^ и изучение краевых задач при помощи достаточно простых средств. В частности, можно дать эффективный метод построения при&лиженного решения.

Функция бевИспв*ю.оо>:> является слабым решением краевой задачи (14)-(16).если

и с8-£>в0 . 23 дхя лпбого йе 9

/Гсс ЛЪ:С$&>Т+ ^.•с&Ь^аи - [ * Й . Ц7>

пА г*

где |йеЙЧп°хСО.оа>Э ; Вс6о,ЪЭ«в ДлЯ СЙо.ОеСЗ°хСО.(П>3^, (18>

здесь равенство Ксйо,о-5 на границе следует понимать в смысле следов; кроме того, здесь предполагаете?., что граница области

и функция 5, допускают продолжение 3 в в аиде вектор-функция р

ИЗ т4СОв*Ю.ийЭ И ЪЬ-.С еСЛКСрЭ , & :С ЛЬ*« САКСрЗ . р >1 . р * *

Запись аеслксрэ означает, что

с»} некоторая функция асх.о определенная для почти всех хеп°сС?м и для всех гек"*1, обладает свойством Каратеодори сэеСАИ?!, т.е. для всех с««"*1 функция а?схэ=асх,гэ измерима на п° как функция переменной * и для почти всех хео° функция ахс/гз=асх,?з является непрерывной в о?"" по переменной к;

«ы существует функция део^ссЛ и константа с>0, такие, что а удовлетворяет условию полиномиального роста

|аСх,?Э |<дСх5 + с £ 1^1"- . <19)

\fl\tl

В котором ч=р/Ср-1Э.

Полагая, что существует и единственны как обобщенное, так и классическое решения поставленной задачи упругопластичности (14)- (16), маяно доказать следующие теоремы.

Теорема I. Классическое решение задачи (14)-(16) является также ее обобщенным решением.

Теорема 2. При удовлетворении требований на гладкость обобщенного решения 5 с последнее является также

классическим реоенизм задачи (14)-(1в).

В настоящей работе обобщенное решение рассматривается в классе функций в)*со°з,.т.е. предполагается

Я: . .

в сЙкс23 , (20)

Опираясь на теорему Браудерз можно сформулировать условия существования обобщенного решения рассматриваемся задачи. Теорема Браудара гласиг:

Пусть и - рефлексивное банахово пространство, и т - оператор из я в к* . Пусть такие выполнены следующие условия: саэ т ограничен;

сьэ т дзмгаепрерывен, т.е. для любого и любой

последовательности элементов пространства «, таких, что

и * и в и, имеем ти тц в к";

Т\ о г» о

сс> т коэрадтгивен; с<» т монотонен в к.

Тогда уравневие та=/ ияеет, по крайне» мере, одно решение при /<=»". Условия са^ и сьэ теоремы Браудера будут выполнены, если коэффициенты уравнения удовлетворяет условию полиномиального роста я едт

с ЛЪе&*сг> . \ елке» . -«аегпвдп

Условие cd3 будет выполнено, если функции с iifx;

1СЧ гьг л*

удовлэтворясгг условию монотонности

9 S

v Г V I t С i > fv 25- iL 2L 1. «» _ - h * * c ДАГх; ^ —• — 1 ^ Н2^- - fc o. (22)

Д ' ' «x1 Ac1 ax3 ■» W J Ux° axaJ 1 '

ДЛЯ всех ,<€.—> e RIZ и ПОЧТИ всех хеО'с к*.

Лс* «х1

Условие с cd теоремы Браудора будет выполнено, если коэффициенты уравнения удовлетворят- следующему равенству

lie —--[ f ^сЗс&^ЭЭ: ¿C&-&J: + fcЭ■ К^ ■ 3dtoJ =e.

1*1^- l%tL°' 1 n* 1 (23)

z

В третьей главе делается попытка обоснования определяющих соотноаениа (10), использованных при постановке задачи ГНТП, и

приводится конкретный вид тензоров свойств ^ и ft.

Согласно принципу детерминизма и локального действия определяющие соотношения для простых материалов могут быть записаны в виде функционалов

s » 3" tc£r>r.eTj, ■

v = (24)

i - ? tC^T.9Tl. в я

где s - выбранная мера напряженного состояния, определенная в отсчеггяоа конфигурации; *> - удельная свободная энергия; г» -

удельная энтропия; ч - вектор теплового потока, определенный в

отсчетной конфигурации; с9гэт - предастория деформирования; ет - предастория изменения темпзратуры; .Т некоторые

функционалы от указанных аргументов.

кап - •

ni оо^>Ш,вш тсгз может быть представлен в виде

{jxoiHR.fiNMOffli. «Р - (25)

где R - собственно-оргогональЕыа тензор, 0 - симметричный положительно огфедэленный тензор. Опираясь на принцип материальной

индифферентности и используя инвариантность тензора напряжения § можно показать, что предыстория тензора к не оказывает влияние на напряженное состояние стеорема приведения Ноллаэ.Таким образом, предыстория деформирования простых материалов может быть полностью описана с помощью левой меры искажений 0. На практике вместо тензора 0 используются производные от него тензоры

деформации, например, тензор деформации Генки н=1пв.

Для дальнейшей конкретизации определяющих соотношений

предположи», что функционалы } позволяют перейти от

интегральной формы определяющих соотношений (24) к дифференциалшсй

§ » § СН.в.аЪ *> = «ЛН.е.аЬ

Г) = цСН.е.а'Э (26)

я « чСН.б.а'з

А^Й.в.аЬ

т.е. что предчстория деформирования мтют быть описана тензором

й, скаляром 9 и ограниченным набором функций а1 с внутренних параметров^, удовлетворяющих некоторым эволюционным дифференциальны* уравнениям-

В работе показано, что горвыа и третий законы термодинамики не накладывают каких-либо конструктивных ограничений на определяющие уравнения. Второй закон исключает процессы с отрицательной диссипации энергии . Это условие сужает класс допустимых уравнений состояния, но не до желаемой степени. При формулировке конкретных определяющих соотношений законы термодинамики дополняют некоторыми гипотезами. Предположим, что:

1. удельная свободная энергия представши в вида суммы двух слагаемых

р = Р^сй.еэ + *> св.а'э. (27)

где *>в- свяжем с термоупругим деформированием, а ри- с изменением внутренней структуры материала;

2. мощность механической работа место разложить на следующие составляющие

где

= - обратимая супругаяэ составляющая,

= н - диссипативная составляющая с часть механической энергии, шрешедаей в тепловую во время пластического дрформировашдо,

йи = §н: н- "запаянная" с или скрытаяэ энергия. отгорая расходуется на изменение внутренней структуры материала снакапливается в полях микронапряжений, соответствующих дефектах, решетки). 3. справедливо эволюционное уравнение дня энтропии п (уравнение Гиббса-Циглэра)

рО = р е Ь + »„■ (28)

Из этих предполомений, во спользовавшис ь первым началом термодинамики, после несложных преобразований можно получить

уравнения для напряжений

сн.еэ . ар С9,аЬ м }

? . - р „ • и __ Оа' /ооч

ей ЭЙ

Дяя необратимых процессов схема описания, основанная на использовании термодинамических уравнений состояния, должна быть дополнена некоторыми предположениями, описывающими производство энтропии, зависящее от термодинамического процесса.

Сделаем следующее предположение: при заданном уровне

напряжений § в рассматриваемых процессах яа множестве скоростей

деформаций ?» удовлетворяющих эволюционным уравнениям (26),

• •

максимум диссипации §о: й достигается на истинных скоростях деформаций с принцип Г- Циглвраэ. Проблема построения уравнений связи напряжений и деформаций сводится к отысканию решения

следующей экстремальной задачи

• * •

§ СЙ,аЪ;Й -» шах (30)

с ограничениями в виде равенств

- А'сй.аЬ . (31>

Выбор внутренних параметров а', запись эволюционных уравнений (31) определяется сложностью исследуемого процесса, необходимостью описания отдельных аффектов деформирования.

Например, предполагая существование некоторой поверхности текучести гс^.ё^.в.хз = о, выбрав параметр упрочнения *=*£чт}, задав закон упругого деформирования ^ = дв : н и закон изменения

• Я: «

внутренней структуры материала в виде £;н = аи :й, можем получить определяющие соотношения типа теории течения с анизотропным упрочнением. Показано, что анзлспнные соотношения могут быть получены как следствие опреде_®ния дассипативнсй функции

* т

Х> " Вен. н, в. со . (32)

принципа максимума диссипации Г.Циглера м предположения, что

функция О есть однородная функция первого порядка по компонентам •

й.

В четвертое главе представлена методика решения задачи геометрически нелилейноя теории пластичности, использующая процедуру пошагового решения с организацией итераций на каждом шаге по методу Ньютона или Ньютона -Канторовича. С целью "экономии вычислительных ресурсов предложено при вычислении приращения меры

Генки лн воспользоваться приближенным соотношением, полученным из

разложения -П в ряд Тейлора

дн = - - дС 'С - лС лС +. . , (33)

где 2 - тензор деформаций Кош-Грина. Приближенным соотношением можно воспользоваться в тез случаях, когда главные значения тензора деформаций Коши-Грша по абсолютной величине не превосходят 2* с "°моцью метода конечных элементов строится конечно-мерное приближение сформулированного во второй главе обобщенного решения задачи. Приведены разрешающие конечно-элементные соотносения для общего вида напряженно-деформированного состояния. Описан алгоритм решения итоговой системы нзлшейных алгебраическое уравнений. В предположении справедливости гипотезы Кирхгоффа-Лява получены конечно-элементные соотношения для опесимметричний оболочки врадения.

В пятое главе результат», полученные в предыдущих главах, используются при построении мгтемятической модели проц&сса пироформования сферических сосудов давления: приведена

техническая постановка задачи; исходя из результатов экспериментальных и предыдущих теоретических исследований сделан ряд упрощающих предположений, позволивших понизить размерность задачи; показана адекватность модели исследуемому процессу; предстзпл&нь! возтожные постановки задач оптимизации параметров рассматриваемого продессз. Приведены результаты решения задачи подзора оптимальных размеров исходной заготовки, обеспечивающих изготовление сосуда заданных размеров с минимальным отклонением от сферы.

В заключении сформулированы основные положения, выносимые на защиту и выводы по работе.

В приложении содержатся документы, подтверждающие практическую цзнность результатов, полученных в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ1 РЕЗУЛЬТАТЫ И ВУВОДО

В настоящей работе

1. Дана общая математическая постановка задачи ГНГП в терминах отсчетаой конфигурации, определены классическое и обобщенное оеиония, при условия ш существования доказана эквивалентность обоих решений. Рассмотрены условия существования и единственности обобщенного решения.

2. Предложены определявшие соотношение, описывавшие поведение металлов в условиях больших пластических деформаций и пригодаь» для использования в задачах, сфэрмулирозанныт в терминах отсчетной конфигурации.

3. Разработана методика решения соответствующей задачи .ГНГП. С использованием ЖЭ получены сйобщэнше разрешающие соотношения, пригодные для репения достаточно широкого круга задач.

4. Для конкретного технологического процесса изготовления сферических сосудов давления дана техническая постановка задачи и приведены упрощагщие предположения.

5. Предложена.'; математическая модэ-ть для данного процесса реализована в виде пакета прикладных программ.

6. Путем сопоставления результатов численных и натурных экспериментов показана адекватность математической модели, исследуемому процессу.

7. На основе математической модели проведен анализ основных

закономерностей и некоторых особенностей гроцесса гвдрофорловки; для конкретноп изделия определены оптимальные параметры процесса.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ÏEME ДИССЕРТАЦИИ

1. Трусов П.В., Чулюков В.В., Онискив 3-Д. Коротацпонныо производные и определяющие соотношенияв теории больших деформаций, -Пермь, 1985. -35с. -Цеп. в ВИНИТИ 20.11.35, NÔQ20-B&5.

2. Мулюков В.В., Николаечко A.A., Трусов П.В. К построению определяющих соотношения б теории больших пластических деформация //Задачи механик! деформируемого твердого тела. Перм. политехи, ил-т. -Пермь, 1986. -с.24-48. -Деп. в ВИНИТИ С2.09.86, N6409. -986.

3. Давыдов М.Г., Мулоков В. В., Трусов П. В. Математическое моделирований процессов с большими пластическими деформациями на осноЕе варианта нелинейной теории пластичности //Моделирование) в механике -1990. -4,n4. -С.76-84.

4. Давыдов М.Г., Мулюков В.В., Трусов П.В.ь Фрейтаг В.А. Матема~ическое моделирование несущей способности цилиндрически сосудов 1В основе нелинейной теории пластичности //Мат. метода и вычисл. тех. в зим. машинястр. -М.гВсес. н.-я. и конструкт. ин-т. хим. мапмностр., 1990. -с.81-89.

5. Давыдов М.Г., Чулпков В.В. Оптимизация процесса гидроупрочн&ния тошсостенных цилиндрических сосудов давления // Краевые задачи: Межвуз. об. науч. тр. -Перм. политехи, ин-т, -1990. -С.176-185.

6. Давидов М.Г., Мулюков В.В., Трусов П.В. Математическое моделирование и кггимизация процесса гидроформовки сферических сосудов // Металлургические и заготовительные производства: процессы и машины. -Свердяовск: УрО АН СССР, 1992. -C.I09-II8.

7. Дудьрь О.И., Мулюков В,В., Онискив В.Д., Трусов П.В. Большие упругопластическиз деформации: определяющие соотношения, алгоритмы, результата решения прикладных задач // Тезисы докладов Всесоюзной школы-семипара "Математическое моделирование в пауке и технике". -Пермь,IS96. -С.125.

3. Дявыдоь М.Г., Мулюков В.В., Фрейтаг В.А., Воронов И.Л. Результата э-сспериментальногс и теоретичэскох-о исследований

провесов гидроупрочнения цилиндрических сосудов с эллиптическими днищами // 1езисы докладов ш Всесоюзного симпозиума "Прочность материалов и цементов конструкцлй при сложном напряженном состоянии". -Киев,1939. -4.1. -С.46-47.

9. Давыдов И.Г., Мулюков В.В. Математическое моделирование процесса шзстическот'о формоизменения тонкостенных сосудов // Тезисы докладов Первой Всесоюзной школы-конференции "Математическое моделирование в машиностроении". Секция 5. "Технология" -Куйбышсз,199С. -С.14.

10. Давыдов М.Г., Мулюков В.В. Математическое моделирование некоторых технологических процэисов, описываемых соотношениями геометричоски нелинейной теории пластичности // Тезисы докладов Всероссийской научно-технической конференции "Математическое моделирование технологических процессов обработки материалов давлением". -Пермь,1990. -С.82-83.

11. Давыдов И.Г., Мулюков В.В, Компьютерное моделирование процессов пластического формоизменения тонкостенных сосудов при больших деформациях // Тезисы докладов ярмярки-свмиеарг "Модели, алгоритмы и гоогрэмкноб обеспечение для САПР и АСУ процессов ОМД на предприятиях черной металлургии." -Челябинск,19Я2.

С.20-21.

Сдано а печать 28.Ч.93. Формат 60x84/16. СУъеи I п. л. Тираж 100. Заказ 1299.

Готапринт Пермского государственного технического университета