Разработка и применение асимптотического по времени подхода в кинетике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Р Г б ОД инстатут ОБЩЕЙ ФИЗИКИ РАН

1 7 АПР 1995

Решетняк Сергей Александрович

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПО ВРЕМЕНИ ПОДХОДА В КИНЕТИКЕ

01.04.02-теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи УДК - 536.75

Москва-1995

Работа выполнена в Отделении оптики Физического института им.

П.Н.Лебедева РАН.

Официальные оппоненты:

1.Кузнецов Николай Михайлович, Институт химической физики

РАН. г.Москва,проф.,зав. отделом. 2.Осипов Алексей Иосифович, Физфак МГУ, г.Москва, проф., гл. н. сотр.

З.Конев Юрий Борисович,Институт высоких температур РАН, г.Москва,проф., вед. н. сотр.

Ведущая организация - Институт Механики МГУ, г.Москва.

Защита состоится " /" 1995 г. в " час.

на заседании Диссертационного Ученого совета ИОФАН N Д003 4.9 03 по адресу: 117333,г.Москва,ул.Вавилова,38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИОФАН.

Автореферат разослан.^____" 1995 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физ.-мат. наук.

/Н.А.Ирисова/

Введение

Актуальность темы. Поведение открытой системы при одновременном эздействии на нее внешнего поля и шума с учетом малых изменений дина-лческих переменных описывается кинетическим уравнением Фоккера-План-а (ФП) или системой балансных уравнений (СБУ) для заселенностей уров-эй.Данные уравнения возникают также в результате учета тепловых флук-/аций е малой выделенной подсистеме,находящейся в контакте с термос-атом, и списывают процесс релаксации к состоянию равновесия.Они тлеют ВД -ч л

§1Р> = I 1Р> , (1)

л

це ^ -линейный оператор, |Р> -функция распределения физической еличины.

Если физическая величина принимает непрерывный спектр значений,то Р> -обычная функция распределения,а ¿. -дифференциальный оператор:

¿>>=|{~АМР + |[вИР]}.

случае дискретного спектра значений физической величины | Р> есть ектор-столбец,а £ -матрица-с заданными коэффициентами:

ГЛ т ' ?

де -скорость перехода с уровня т на 0 .

¿'равнения ФП и СБУ играют важную роль в неравновесной статисти-:еской физике /1-3/.Начиная с классической теории броуновского движе-:к2.зтп уравнения лспсльг.уктсп в статистической теории газа и лидкос-■и, в квантовой электронике , в моделях химических реакций ,неравно-;есных фазовых переходов и самоорганизующихся структур . В ряде случаев с помощью обобщенных когерентных состояний уравнение для матрицы □ютности можно привести к уравнению ФП . Уравнение ФП применяется в :аких важных областях,как квантовая теория поля (метод стохастического шантованпя) и суперсимметричная квантовая механика . Существуют также >аботы указывающие на тесную аналогию между броуновским движением и зантовш поведением частиц (см.»например /4/).

В последнее время интерес к уравнен™ ФП возрос в связи с возмож-

ностьв анализа на его основе стохастических нелинейных уравнений:

^ - ЛгСЮ+ТгЛ;, (2;

<?;(1)>=0 , = 4 Ву , бу - вл ,

где -случайные силы,моделирующие воздействие шума на систему либс тепловые флуктуации.Можно показать /2/,что анализ системы ланжевенов-ских уравнений (2) вполне эквивалентен решению уравнения ФП:

g-iJ-A&P+Zfa&P]}, (з)

где P(x,t) -функция распределения набора физических величин X .

В основе уравнений ФП и СБУ лежат марковские случайные процессь или процессы с короткой памятью.Независимо от выбора начальной функции распределения система с течением времени релаксирует к единственному равновесному распределению .Деление переменных координаты и времени сводит решение одномерного уравнения (3) к определению собственный функций (05)- ^ (х) и собственных значений (CS)- следующей краевой задачи:

=d

d%

« "dxL*00 dx

■■= -Д f 00 <РИ (*) , (4)

где ^ = ßp , p ~ &exp(- 2l) , = - ß(V)o/? - потенциальная Функция.

СЗ краевой задачи (4) кеьыролщены, неотрицательно, к ш мо>;но занумеровать в порядке возрастания по велшине. Решение уравнения ФП пред-ставимо в виде ряда по СФ и СЗ:

PCx,0) = $(x-x0).

Начальная стадия релаксации протекает очень быстро и члены ряда (5) с высшими СЗ с течением времени вымирают.На практике чзще всего требуется знать решение,которое формируется на достаточно больших вре-

ах наблюдения и учитывает первые несколько членов ряда (5).Такие эния являются асимптотическими по времени функциями распределе-.Особую значимость они имеют,когда при решении какой-либо проблемы знциальный барьер значительно превосходит интенсивность шума и •^.Б этом случае реализуется долгсживущая метастабильная стадия ре-сзции,которая целиком описывается двумя первыми членами ряда

.Для потенциалов Ы(к) .возрастающих на бесконечности медленнее или

2

X ,спектр СЗ является непрерывным.Однако и в этом случае можно повить проблему построения асимптотических по Бремени функций распре-ения.Асимптотический по времени подход наиболее адекватно описывает едение марковских случайных процессов и согласуется с осноЕополага-й.идеей /5/ Боголюбова H.H. об упрощении кинетического описания с ением времени.

Многообразие приложений уравнений <5П и СБУ и их фундаментальная ь в кинетике вызвали появление большого числа работ по методам их лкза.Наиболее полный обзор работ содержится в монографии Рискена авнение Фоккера-Планка" /1/.Точные решения известны для очень узко-класса данных уравнений.Поэтому большое внимание уделяется прибли-ным методам,из которых можно отметить следующие.Часто нестационар-решения этих уравнений находятся из условия равенства потока плот-ти вероятности некоторой постоянной величине (приближение постоян-

0 потока).При наличии в задаче малого параметра используется теория мущений.Если малый параметр имеется при старшей производной в урав-ии ФП.то применяется сингулярная теория возмущений,аналогичная ме-у ЕКБ е квантовой механике.который,как известно.приводит к непра-ьным результатам вблизи классических точек поворота.Вариационные оды неудобны тем,что приходится оперировать с пробными функциями 'пределения.Часто решение представляется также в виде ряда по избным специальным функциям (например,по полиномам Зрмита).Однако •сь остается проблема определения коэффициентов данного разложе-:.Основными недостатками этих теорий является то,что они применимы io для узкого класса уравнений СП,либо для расчета минимальных СЗ

1 детального построения неравновесных функций распределения.Таким ¿азом проблема построения универсального метода решения уравнений ФП !ВУ,открывающего перспективы решения большого числа прикладных за-

дач,является весьма актуальной.

Цель работы. Во-первых,разработать универсальный и достаточно эффективный метод построения решений уравнения ФП и СБУ,применимый длг произвольных потенциальных функций и независящий от наличия в задач« какого-либо малого параметра.Во-вторых,с помощью разработанного метод: провести исследование требующих анализа актуальных проблем физическо; кинетики.

Основные направления исследований.Разработанный в диссертацш асимптотический по времени подход в анализе указанны;', кинетически? уравнений был применен в следующих направлениях: построена стохастическая теория химических реакций,позволяющая определить классически« скорости диссоциации и рекомбинации частиц,взаимодействующих по произвольному закону; исследована кинетика заселенностей уровней атомов I молекул,найдены квантовые скорости электрон-ионной рекомбинации I плазме,рекомбинации атомов в молекулу в газа;-; и скорости обратных т процессов;проанализированы неравновесные фазоЕые переходы е бистабиль-ных системах и построена теория явления стохастического резонанса; классически и квантовым образом проанализирован переход через поро1 лазерной генерации в газах; исследован процесс срыва слежения за сигналом е радиофизической системе автоматической подстройки частоть (аналог неравновесного фазового перехода).

Научная новизна работы. Разработан уникальный математический ал-парат, закрывающий проблему интегрирования одномерных уравнений ФП.СЯй и определенного класса многомерных уравнений ФП.На его основе решень несколько фундаментальных проблем е кинетике.В частности,впервые построена единая теория процесса пен-пенкой рекомбинации,как частные случаи включающая классические теории Лаюяевена и Томсона соответственно для больших и малых давлений газа.Теоретические результаты совпадают с экспериментальными данными для ион-ионной рекомбинации в молекулы КгР и ХеС1.Впервые исследована кинетика параметра порядка в бистабильныи системах,позволяющая трактовать фазовый переход второго рода в рзмкаа обычных среднестатистических величин; предсказан эффект аномальной восприимчивости бистабильной системы на малое внешнее поле,обусловленный усилением отклика системы за счет энергии шума; построена теория стохастического резонанса для всех частот внешнего сигнала,объясняющая

экспериментальные наблюдения в оптических бистабильных системах.Другие решенные в диссертации проблемы представлены в конце автореферата в заключении.

Практическая ценность работы,в первую очередь,связана с разработкой методов решения уравнений ФП и СБУ,которые широко применяются в исследовании объектов самой различной природы в физике,химии,биологии, экологии и т.д.

Наеденные в рамках стохастической теории химических реакций скорости элементарных процессов имеют практическую ценность в анализе физико-химических свойств газов и плазмы,кинетики физических процессов активных лазерных сред.В частности,скорость ион-ионной рекомбинации является основным процессом,приводящим к возникновению инверсной населенности в эксимерных лазерах,и может использоваться для оптимизации их работы.

Полученные аналитические функции распределения заселенностей атомарных и молекулярных уровней дают возможность анализировать услоеия возникновения инверсной населенности в газах и плазме,расчнтьшать основные параметры газодинамических и плазмодинамических лазеров,лазеров в условиях различного типа разрядов.

Результаты классической и квантовой теории газовых лазеров,полученные в диссертации,позволяют оценить характерные времена возникновения генерации,исследовать неравновесную статистику фотонов,определить ширину линии генерации и доверительныйй интервал времени наблюдения фотоотсчетов,при котором измерение интенсивности излучения вблизи порога генерации не приводит к ошибке.

Построенная в диссертации тесрпл стохастического резонанса и бистабильных системах объясняет эксперименты в оптических бистабильных системах по аномальному поведению отношения сигнал/шум в зависимости от интенсивности шума.Результаты теории тлеют широкое приложение,так как системы с йистабильным потенциалом реализуются ео многих областях физики.Представленная теория может служить основой для создания нового типа усилителей сигналов за счет энергии шума.

Теория процесса срыва слежения за сигналом в радиофизических системах автоматической подстройки частоты имеет прямое отношение к разработке радиоприемных устройств,обеспечивающих устойчивую дальнюю

- б -

связь, 1Ш1 устройств типа радиолокаторов,автодальномеров и др.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации получены в Физическом институте им.П.Н.Лебедева РАН в Оптическом отделе им.Г.С.Ландсберга в период с 1979 по 1994 годы и докладывались на семинарах этого института,а также на семинарах Института общей физики РАН,Математического института им.В.А.Стеклова РАН,МГУ им.М.В.Ломоносова. Диссертация написана на основе 28 оригинальных работ,описок которых представлен в конце автореферата.

Личный вклад автора.Работа выполнена в Отделении оптики ФИАН в теоретическом секторе "Оптика неравновесных сред".Исследования по разработке универсального метода КФР для построения асимптотических по времени решений уравнений ФП и СБУ,неравновесных, функций распределения заселенностей уровней атомов и молекул,а также по разработке стохастической теории химических реакций,учету пространственны;-: корреляций параметра порядка в теории неравновесных фазовых переходов,теории явления стохастического резонанса выполнены автором лично.Развитие аппарата теории функций Грина и исследование неравновесных фазовых переходов в пространственно-однородных системах выполнены совместно с С.М.Харчевым. Работы по теории процесса срыва слежения за сигналом в радиофизических системах выполнены совместно с Г.Н.Третьяковым.

Автор диссертации выражает искреннюю благодарность член-корреспонденту РАН И.И.Собельману за интерес и благожелательное отношение к проведенным исследованиям,проф. Л.А.Шелепину и зав.Оптическим отделом проф. В.АДеглову за постоянное внимание и полезные советы по ряду проблем,а также Леонову В.Н. за помолу в освоении компьютерной техники.

Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения.Она изложена на 307 стр..включает одну таблицу и 30 рисунков.Описок литературы содержит 218 наименований.

Содержание диссертации

Во введении дана постановка проблемы,показана актуальность темы ;иссертации и кратко представлено ее содержание.

В первой главе "Асимптотические решения уравнения Фоккера-Планка [ системы управляющих уравнений" разработан аппарат построения решений ■казанных уравнений,основанный на трех тесно связанных между собой щходзх.Аппарат не требует наличия в задаче малого параметра,применим ;ля произвольных потенциальных функций,а также для уравнений с завися-(ими от времени коэффициентами.

В первом подходе используется теория функций Грина к расчету СЗ краевой задачи (4) и определению средних значений физических величин [а асимптотической по Бремени стадии установления состояния равноЕе-;ия.Основная функция Грина определяется как решение следующего диффе->енциального уравнения:

^ ['° й= " ^+ ?Сх)' х е • (5)

Итерированные функции Грина определяются через основную в виде ;ратных интегралов:

&

(/,<„) = $ (X; 2) рю 3 [г> х„) ¿2 , I (х, у о) - ЗМ.

а.

Шпурами функций Грина называются числа или свертки интегралов,которые выражаются через СЗ:

О. п=1 У «

Шпуров вполне достаточно для того,чтобы вычислять СЗ обычными ал-'ебраическими методами.Например,первые два СЗ находятся по формулам:

'де К -номер итерированной функщш Грика.Чем выше номер К ,тем боке высокая степень точности достигается.

На метастабилыюй стадии релаксации достаточно определить основную функцию Грина Я (х,хв) ;а в формула:-: (7) положить к=1 .При этом среднее значение физической величины Ф(х) имеет вид

<Ф> = 90 + д Мс1х- е * ,

а

где Ф„ -среднее значение по равновесной функции распределения р(х) -

Однако в рамках теории функций Грина нельзя найти ежи неравновесные функции распределения или СФ краевой задачи (4).Поэтому'в работе с целью их определения был разработан второй подход,использующий эквивалентное краевой задаче (4) интегральное уравнение:

х -( ?

Ч'п&О-С-А.Цбфу?Р&)1Р„(7) , (8)

а а.

где С -произвольная постоянная.

Применяя итерационную схему решения (8),где на каждом последующем шаге уточняется не только СФ,но и СЗ,имеем

ад = см-л^яи-лУ^Гя^---]. * ?

% (х) = 51Н*Ст) ,

Частичная сумма с учетом первых двух членов этого ряда соответствует первому приближению для %(х) ,с учетом первых трех членов ряда-второ-му приближению и т.д.Требуя в каждом приближении выполнение условия ортогональности к СФ основного состоянии ,находим пос-

ледовательные приближения для первого СЗ:

е

,0} 1 i (2) а1 г

Л-сц-ы , л - ^ > 3 ?(?>№Мх.

Для расчета Еторой СФ ^¿(х) следует учитывать условия ортогональности не только к % ,но и к % .В рамках данного подхода можне вычислять все СФ и СЗ. В работе была доказана сходимость данной итерационной схемы,проанализирована ее связь с аппаратом теории функций Грина,рассмотрены примеры с известными точными решениями.

Разработанный в диссертации третий универсальный подход применив

акже в тех случаях,когда спектр СЗ является непрерывным или краевая адача теряет смысл (например.в случае зависящих от времени козффици-нтов уравнения ФП).Здесь решение представляется в Еще ряда по степе-

Л

ям определенного интегродифференциалъного оператора Б :

* 1 ^

О)

де -параметр разложения, зависящий только от времени.

Частичные суммы ряда (9) являются также асимптотическими по вре-ени решениями уравнения ФП и были названы квазиставдонарнкми функция-и распределения (КФР).Первый член в (9) соответствует равновесной ункщш распределения.Главное асимптотическое по времени решение опре-еляется первыми двумя членами ряда (9).Данный подход является альтер-ативой известному в физике методу Кубо,в рамках которого решения троятся вблизи начального момента времени рассмотрения.Для независя-их от времени коэффициентов уравнения ФП разложение (9) содержит ре-ультаты краевой задачи (4).В этом случае решение представимо в виде яда по -временны},1 производным параметра ..уравнение для ко-

орого можно получить из соотношения нормировки:

Его решение имеет вид

^ л -А±

. г* 1 V . "

4- -г- с

1 о - —} п

це С„ -постоянные,определяемые из начальных условий,а /4п есть СЗ раевой задачи (4),так как они удовлетворяют точному характеристичео-эму уравнен™:

1-уИй, + /А 4-.,, - 0.

Ряд (9) является знакочередующаяся с монотонно убывающими по ве-ичине членами и,следовательно,сходящимся.КФР решают проблему интегри-эвания одномерного уравнения ФП,поскольку сводят ее к задаче интегри-эвания обыкновенного дифференциального уравнения,методы решения кото-

poro хорошо разрзботаны.

Многомерные уравнения ФП (3) описывают гораздо более широкий круг физических явлений,поэтому их анализ значительно сложнее одномерных уравнений.В частности,равновесную функцию распределения удается определить только в случае выполнения условий детального баланса

которые являются необходимыми условиями того,что СЗ соответствующей краевой"задачи вещественны.В явном виде КФР удается построить для достаточно узкого класса многомерных уравнений ФП.В общем случае проблема их решения непосредственно связана с построением функций Грина.

Асимптотические по времени решения СБУ подобны решениям уравнения ФП.Многие формулы совпадают между собой при замене символа суммирования на интеграл.Рассмотренные выше подходы в решении уравнения ФП имеют здесь свои- дискретные аналоги/Эта тесная аналогия объясняется общим марковским характером релаксационных процессов,присущих статистике как непрерывных,так и дискретных случайных величин.

Во второй главе диссертации "Применение асимптотических решений к расчету скоростей химических реакций построена последовательная диффузионная теория химических реакций.Ее основные положения были сформулированы Крамерсом /б/. Он рассматривал реакцию как процесс броуновского движения частицы в некотором потенциальном поле,имеющем барьер.Ланже-веновские уравнения (2) движения частицы имеют вид

jnr- 1 i , .

- - ~ V.(Jj Г -,¿tj J

<T(t}> = 0 , <?(*)!(#)> = ¿zX(i-t1) ,

где T(t) -случайная сила,моделирующая воздействие окружающей среды на реагирующую систему, И -коэффициент трения или диссипации, ,

Т -температура среды, j* -масса частицы. Реакция считалась завершенной, если частица проходит потенциальный барьер.Основным условием применимости теории является классичность подхода и протекание реакции за большое число столкновений.

Однако практическое использование данной модели было затруднено

из-за требующих решения ряда вопросов: как определить скорости реакций, если большинство реальных потенциалов взаимодействия не имеют барьера; какие состояния считать связанными,а какие свободными; как находить скорости обратных процессов; как перейти от двухчастичной задачи взаимодействия к одночастичиой,если существует корреляция между относнтельншл движением реагирующих частиц и движением их центра масс. В литературе были рассмотрены предельные случаи больших и малых коэффициентов трения К и оставался открытым вопрос определения скоростей реакций для произвольных 'У .

На все . эти вопросы даны ответы во второй главе диссертации. В частности показано,что при определенном выборе границы R между связанными и свободными состояниями реагирующих частиц из расчетов на основе максвелл-больцмановской двухчастичной функции распределения вытекает правильное отношение скоростей прямой и обратной реакций,совпадающее с отношением квазиклассических статсумм.Установлено,что в результате перехода от двухчастичной задачи взаимодействия к одночастичиой реальный потенциал взаимодействия заменяется на определенный эффективный потенциал,который имеет барьер,обусловленный учетом центробежной энергии вращения реагирующей системы.При этом описывающее реакцию кинетическое уравнение тлеет вид

+ r% -г Y¿ ' 1 ~ ¡ >

где fa -массы реагирующих частиц; Y¿ -коэффициенты трения,определяемые подвижностями частиц в разреженных газах или вязкостью среды для плотных газов или жидкостей посредством формулы Стокса; У^Сг) -эффективный потенциал взаимодействия; Г"0 -положение минимума реального потенциала взаимодействия 2/fr) .

Существуют дга режима релаксации к состоянию равновесия,соответствующие большим и малым значениям коэффициента У .Пусть С00 -частота колебаний молекулы вблизи дна потенциальной ямы. Апериодический режим реализуется при С0о .Здесь траектория движения частицы на фазовой

плоскости ( ) носит беспорядочный характер и уравнение (10) описы-

вает процесс диффузии по координате:

= (11) г п ъг['иГ'дг1 ,

где рУ , р^ехрС- 2/е/т) -коэффициент диффузии.

_ В другом предельном случае О0 на фазовой плоскости существуют замкнутые траектории,параметры которых целиком определяются полной энергией Е реагирующих частиц (колебательный режим релаксации).Здесь кинетическое уравнение (10) эквивалентно уравнению диффузии по энергии

Я-гоЦи^Ш , «»

где -частота обращения по замкнутой траектории, I -ее площадь

или действие.

В работе было сделано обобщение на случай произвольных коэффициентов трения- У .Уравнение (12) можно представить в виде уравнения диффузии амплитуды колебаний,которое формально совпадает с (11),но имеет другие коэффициент диффузии и потенциал:

где С -произвольная постоянная.

Было сделано предположение о существовании такого расстояния Г^ между реагирующими частицами,при котором происходит переключение с одного ' РОЛаКООЦ1-1* ДТ/ГСЙ. Т0т!1са Г^Р^КЛК^Ч^г ТЛ~ ^ пттпотт^ттстяялк из равенства: = 0 .Постоянная С в потенциале "\7(г) находилась из равенства: при Г» .На основе решения единого уравнения диффузии были получены следующие скорости диссоциации и рекомбинации в молекулу:

г

где $ ^(г)сЛг , Г0 -энергия связи или высота потенциального

барьера. Ч

Скорости (13) определяются параметрами потенциала взаимодействия ,коэффициентами трения реагирующих частиц и температурой среды.Они содержат правильные предельные случаи при У о)0 и '2Ч< .Численный эксперимент /7/, моделирующий ланжевеновские уравнения движения для короткодействующего потенциала, указывает на точность формул (13) в предела:-: фактора И2.

В случае кулоновского потенциала взаимодействия формулы (13) содержат классические результаты /8,9/ Ланжевена и Томсона по ион-ионной рекомбинации. Для больших давлений газа ( ) скорость рекомбинации

определяется электрическим дрейфом ионов одного сорта в поле иона другого сорта:

где -заряд ионов, %. -их подвижности.

Для разреженных газов или малых давлений газа ( ) скорость

рекомбинации совпадает с результатом Томсона:

к^тп; ? , .

где -радиус Томсона, средняя тепловая скорость,

= ^(/¿[/л^+КО" Л"длшы свободного пробега ионов в газе.

Скорости ион-ионной рекомбинации,найденные для конкретных процессов в зависимости от давлений газа,хорошо согласуются с экспериментальными данными /10/.Расчеты,выполненные для ряда других реакций,указывают на то ..что стохастическая теория для короткодействующих потенциалов взаимодействия может претендовать,по крайней мере,на качественное объяснение процс-иось,» дли двлънодепствуйшдх потенциалов Ка веннсе описание.

Третья глава "Асимптотические функции распределения в атомарной и молекулярной кинетике" посвящена вопросам определения аналитических функций распределения засоленностей уровнен атомов и молекул,расчету квантовых скоростей рекомбинации и диссоциации.

В плазме основную роль при формировании заселенностей атомарных уровней играют электрон-атомные столкновения первого и второго рода и радиационные процессы.Основные закономерности можно рассмотреть на примере годородной плазмы.Скорости рекомбинации и ионизации опреде-

ляются на основе следующей СБУ:

где и Куг,п -вероятности столкновительных и радиационных процессов -

и Аи

'е -плотность электронов.

Так как коэффициенты в (14) зависят от времени через ,то краевая задача на СЗ и СФ не тлеет смысла и асимптотическое по времени решение находилось в рамках подхода КФР. Полученное в первом приближении решение с учетом переходов между соседними уровнями имеет вид

Рп=?А , ^^[У+МеУ1] , (15)

А, = ¿>кГк, в<и= П (I* ^) , ,

где Ч.к-Г0^ ' ехР(- £г> (%) , и -статвео и энергия уровня

П , \ -температура электронов, Ц> -заселенность основного состояния атома.

Заселенности самых верхних уровней ( И>П0) быстро приходят в равновесие с непрерывным спектром электронов и подчиняются распределению Саха-Больциана с текущими значениями Те и .Подчиняя (15) данному граничному условию,сразу приходим к уравнению для концентрации атомов, из которого определяются скорости ионизации и рекомбинации плазмы:

где I -потенциал ионизации атома, -масса электрона.

Стоящее под знаком суммы выражение имеет резкий максимум по

.который соответствует так называемому положению узкого места на спектре энергетических уровней атома и является полным аналогом потенциального барьера в диффузионной теории химических реакций.Его положение можно оценить из условия: л/Т .Заселенности уровней,расположенные ниже узкого места,сильно отличаются от своих равновесных значений. Для того,чтобы результаты расчетов не зависили от выбора граничного уровня П0 ,его следует выбирать выше узкого места.Расчеты показы-

зают,что для плотной плазмы коэффициент рекомбинации в интервале тем-тератур 0.05 эВ<: Те 0.5 эВ модно представить в воде степенной зави-

;шости .

= Ч (

гго совпадает с результатами численных экспериментов /11,12/,а также диффузионного приближения /13,14/.

Функция распределения (15) включает в себя известное приближение 'стационарного стока" /15/ и указывает параметры плазмы,при которых ;яа реализуется.КФР позволяют учитывать все возможные переходы между 'Роенями и исследовать кинетику заселенностей уровней произвольных атомов. Так анализ для рекомбинирующей плотной литиевой плазмы указывает на возникновение инверсии населенностей между 45 и ЗР уровня-я,обусловленной различием их столкновительных времен жизни.С помощью :ФР удалось проанализировать эффект "закалки",возникающий при быстром диабатическом разлете и охлаждении плазмы,активную среду плазмодина-;ического лазера и учесть вынужденные процессы излучения в резонаторе.

Квантовые скорости диссоциации молекул определяются на основе СБУ аселенностей их колебательных уровней:

_ > о р р _ (Г) ' р р , (1 ' р р ■ _ л р Р +

СП ^ С и+1,п (1 + 1 ^П-1,П гт-НгП-1

(16)

- е>м,т Р ^ -1

це у\/п -скорости колебательно-поступательных процессов; корости обмена колебательными квантами при столкновении двух молекул состояниях и и гч ; Дп,ги "вероятности радиационных переходов.

Система уравнений (16) нелинейная и достаточно сложна для анализ. Однако в случае не сильны:', колебательных возбуждений газа ее можно :шеар1шовать и найти решение.Процедура линеаризации основана на эм,что на нижних уровнях быстрый обмен колебательными квантами фсрми-/ет тршюровскую функцию распределения, определяемую температурой 6 элебательного возбуждения гага /16,17/:

где С -энергия первого колебательного уровня, Т -температура газа.

Проводя осреднение по распределению ,можно ввести полные ско-

рости обмена колебательными квантами:

СО

О V Л ' О

Как показывает анализ,линеаризация уравнений (16) не приводит к большой ошибке, если колебательная температура удовлетворяет неравенству

(1?)

где лЕ -постоянная энгармонизма, ^f\л=i + +Ё^) 6*1 (&10/Щ0) .

Главное асимптотическое по времени решение линеаризованных уравнений (16) имеет такой же вид, как и функция распределения заселенно-стей атомарных уровней в плазме:

Р,- Р* [V + А, - ?п (1- Ш е'* , (18;

^ — 0 о

К»0 М=0 ц-Ч Кк,И "

где ' V -заселенность основноп

колебательного уровня. '

Полученная функция распределения (18) сравнивалась с результатам: численного моделирования уравнений (16; для молекудярлаги аьога /16/. 1 результате было установлено,что аналитическое решение (18) для колеба тельных температур (17) практически совпадает с распределением,найден ним в /18/.

Скорость диссоциации определяется потоком через верхние колеба тельные уровни и,как показывают расчеты,имеет вид

и у ^(ъ+ь) сч-г)

к» - & ¿~ 1 к - я е ■

к=о

где Кй -скорость диссоциации,полученная с учетом только колебательно

-х

-поступательных процессов, + + - ПРИ отрыве колебательной

температуры 6 от газовой Т скорость Ка может на несколько порядков превосходить К^ и,следовательно, обмен колебательными кванта},ш может резко увеличить скорость диссоциации молекулы.

Таким образом,применение асимптотических по времени функций расп-зеделешпх позволило громоздкий численный счет заменить аналитическими формулами,а также получить квантовые скорости реакций рекомбинации и цюсоциации.

В четвертой главе "Исследование неравновесных фазовых переходов" федставлен анализ фазовых переходов,как процессов развивающихся во зремени.Ответственная за фазовый переход физическая величина g назы-¡ается параметром порядка.В теории неравновесных фазовых переходов 'чет флуктуации £ имеет принципиальное значение.В основе анализа ле-!ит уравнение Ландау-Халатникова /19/ с учетом случайной силы l(t) , монтирующей тепловые флуктуации.В простейшем случае однокомпанентного [араметра порядка это уравнение имеет вид

§ = - Ц W , = a^d(T-Ta) , е>0, (19)

<T(t)> - 0 , <Tft)?ft+t)> ,

де Ф -термодинамический потенциал системы вблизи точки Т=7С фазо-ого перехода, Т -критическая температура, £ -интенсивность флукту-ций или шума,пропорциональная температуре Т .Ниже точки фазового пе-

<3\'ПТТД О. О Т/Т пг^.т'йититэт' Ф тплодт ТТТЗД ОТПЛЛа^ПТТТТТТЧУ ттитл Ь^-

истемы с такт,и потенциалами называются бистабильными. Уравнение (19) писывает передемпфированное движение броуновской частицы б потенци-льном поле Я5 .Попадание частицы в одну из потенциальны;; ям означает сзнккноЕение новой фазы системы.

Стохастическому уравнению (19) отвечает следующее уравнение ФП:

%еЬ-= Ф—Fg , К -действующая на систему сила; -начальное значение зраметра порядка или его флуктуация,образовавшаяся при переходе через

(21)

критическую область температуры.

Найденные асимптотические по времени решения уравнения (20) показывают, что существуют два характерны/. Бремени релаксации:

где и -первые СЗ краевой задачи (4), 2/в= -высота потенциального барьера ( ).Время определяет моменты,начиная о которых формируется метастабильная функция распределения (5),и совпадает по порядку величины со временем релаксации в теории Ландау. Время характеризует продолжительность жизни метастабидьной стадии релаксации и существенно больше .Как показывают расчеты,на этой стадии релаксации среднее значение параметра порядка имеет вид

где -интеграл ошибок.

Из (21) следует,что фаговый переход можно объяснить даже без принятия ео внимание внешней силы Р" .Средний параметр порядка имеет наибольшее значение при £ > ^/д£/1а.Г .Система попадает в одну из потенциальных ям и остается в ней еплоть до моментов времени "¿¿»пока тепловые флуктуации ке разрушат метастабильное состояние.В состоянии равновесиг <^>=0 .Согласно (21) восприимчивость системы на малое внешнее поле имеет вид

Первый член в (22) совпадает с восприимчивостью в модели Ландау. Появление второго члена связано с учетом тепловых флуктуации параметра порядка.Восприимчивость X с ростом интенсивности £ шума резко увеличивается до максимального значения и при дальнейшем росте £ восприимчивость падает (эффект аномальной восприимчивости).Данное поведение 7С вызвано неравновесным потоком переходов через потенциальный бзрьер при воздействии на систему шума.

Аналогичное положение дел имеет место при явлении стохастическое

езонанса,возникающего в случае периодической внешней силы: F-F0Ш(cJ^)i з (19) легко получить отклик нешумящей бистабильной системы:

а

Отклик шумящей системы на Енешнвю силу находился на основе урав-ения (20). Для малых амплитуд Гс решение (20) можно искать в Еиде ? = р + р .где р -независящая от Р"0 часть функции распределения, р -ропорциональное возмущение,Такое разбиение £ удобно,так как сред-ее значение по функции распределения р задает отклик системы а шум,а среднее значение ^ по р -отклик системы на сигнал. Урав-ения для р и р имеют вид

¥-те (»>♦*£). р и-

Решение уравнения для р представляет собой ряд по СФ % ({>) соот-етствующеи краевой задачи, методы решения которой были разработаны в ервой главе диссертации.Функцию распределения р' можно искать в виде

оо

?= > Рв ~ г//6) ,

де коэффициенты разложения Сц (1) удовлетворяют следующим уравнений:

оо _ ос»

На метастабильной стадии релаксации коэффициенты С^были определены практически для произвольных СО .В результате проведенного анализа установлено, что отклик шумящей системы на сигнал превышает (23) ! случае квазистатических частот (*) «у^:

— ос»

а также в частотном интервале « :

ОхСсЛ-*) ) 7£</>= к

Из этой формулы следует,что шум изменяет не только амплитуду сигнала, но и его фазу. Усиление сигнала в области частот Ы«^ формируется крайне медленно за время порядка tí ,а в области частот,' близких к частоте Крамерса ( ) -очень быстро за время "¿^ .Высокочастот-

ные сигналы ( шумом не искажаются. Прямые вычисления отношения

сигнал/шум (З/Ы) показали,что там,где есть усиление амплитуды сигнала, наблюдается аномальное поведение З/М в зависимости от интенсивности шума, подобное аномальному поведению восприимчивости системы. Найденное отношение 5/Н объясняет эксперименты по стохастическому резонансу в оптических бистабильных системах /20,21/.

В неоднородных системах параметр порядка зависит от пространственных координат.Учет пространственных корреляций осуществляется /22/ путем добавления в правую часть (19) члена,описывающего диффузию £ в объеме кристалла:

Ъ1? ЭФ

ц-т + т, (24)

где £ -коэффициент диффузии.

На основе (24) описывается пространственно-временная картина неравновесного фазового перехода.Эквивалентом (£4) является уравнение ФИ с вариационными производными.В диссертации была рассмотрена одноионная модель кристалла в одномерном приближении /23/. В этом случае диффузионный член в (24) можно представить в виде конечных разностей:

где константа связи, с/ -размер элементарной ячейки кристалла.

Данной системе ланлевеноЕСКИх уравнений соответствует многомерное равнение ФП для функции распределения

ешенне зтсго уравнения было найдено в первом порядке теории возмуще-ий по константе связи и проанализировано среднее значение <<>>-арзметра порядка для всей цепочки.Показано..что пространственные'' кор-еляции параметра порядка приводят возникновению внутреннего поля ейса,которое линейно нарастает со временем,пропорционально константе вязи и начальной флуктуации параметра порядка.В отличие от равновес-ой одномерной модели Изинга /23/ поле Вейса порождает упорядоченное остояние системы с<£>-£ О при конечной температуре на метастабильной тадш релаксации.

Ярким примером неравновесного фазового перехода является возник-овение генерации в лазере.В диссертации были рассмотрены квазикласси-еская и квантовая модели одномодового лазера,активные среды которых □стовляют двухуровневые атош.В рамках квазиклассическон теории, ис-зльзующей стохастические уравнения движения для комплексной амплитуды оля излучения,получена корреляционная функция флуктуации интенсивноо-и излучения и ширина ее спектра для произвольных значений параметра зкачки.На ее основе найдена формула для времени наблюдения статистики отоотсчетов,при котором измерение поля лазера не приводит к большой либке.В рамках квантовой теории лазера с помощью уравнений для диаго-зльных и иедиагональных элементов матрицы плотности излучения проана-азирсвана зеодсция статистик:'! фотонов от начального состояния с нуле-лм числом фотонов до равновесного состояния развитой генерации.Найде-з характерное время развития генерации и ширина линии излучения.Ана-итические функции распределения числа фотонов в'поле излучения хорошо эгласуются с численным расчетом /24/.На пороге генерации квантовая эория совпадает о КЕззпклассическим описанием.

В пятой главе "Анализ срыва слежения га сигналом в радиофизичес-IX системах" исследован процесс срыва слежения за сигналом в системах зтсматическсй подстройки частоты (АГГЧ) -аналог неравновесного фазово-э перехода.Процесс срыва слежения за сигналом обусловлен нелиней-

ностыо характеристика! дискриминатора и наличием различного рода помех в результате приема сигнала.Частота поступающего в приемник сиг-

нала равна сумме несущей частоты и допплеровского сдвига S2Z зависящего от времени. В системе АПЧ имеется дискриминатор-устройство,которое сравнивает частоту Qs с частотой -Qg гетеродина,близкой к Sl0, и в_ зависимости от величины и знака расстройки X=J2s-j2g формирует напряжение F(x) .Это напряжение подается на управляющую сетку лампы генератора,который изменяет свою частоту так,чтобы приблизить ее к частоте сигнала.Поступаемая в дискриминатор помеха преобразуется в случайное напряжение 7 ft) ..где через Уд^ обозначена его интенсивность .

Важной характеристикой системы АПЧ является операторный коэффициент передачи К(р) ,определявши равенством:-Й£=К(рУ17 ,где -напряжение на входе генератора.В диссертации были исследованы системы АПЧ о коэффициентами передачи двух видов

к(0в , кср)» > > с25)

(1+рт)р р1 dt

где К -коэффициент усиления, Т -постоянная времени фильтра.

В основе проведенного анализа лежат стохастические дифференциальные уравнения для расстройки по частоте или эквивалентные им уравнения ФП.Уравнения движения расстройки Л на фазовой плоскости возникают из определения К(Р) .В частности,для первого коэффициента передачи (25) и равномерноускоренного движения передатчика относительно приемника,получаем

Т Л + dx =_к(7(х)+ G-K^Tft),

<т(Ф-о , <T(t)TCt'j>= £f-t-t1),

где G -параметр,связанный с ускорением относительного движения.

В безразмерных переменных это уравнение совпадает с уравнением движения броуновской частицы в потенциальном поле 2/(V) :

dï = _7Г_ u'(r) + Ч (г) , vtr) ~(К F-G) , az лр

<SCtr> = 0 , <^Cx)«SCc')> = -2eSCr-trO , ,

"t X olr

?t= — . -r- . u= — , JK- -характерный размер области,где F(x) ли-

iXndz ша. н

В области линейности F(/) существует возвращающая сила, которая щемится уменьшить величину расстройки.Для |у| > ху характеристика F(*) здает и возвращающая сила отсутствует.Поэтому попадание расстройки е îacTb [xl^-X^ на фаговой плоскости приводит к срыву слежения за сиг-юм.Учитывая аналогию с движением броуновской частицы,срыв слежения сигналом означает переход через потенциальный барьер.Вероятность два слежения вычисляется подобно скорости химической реакции и была "щена для произвольных значений постоянной времени фильтра,козффици-га усиления з кольце слежения и параметра,характеризующего скорость ¿енения отслеживаемой частоты.При больших ускорениях отнссительногс •¡жения между приемником и передатчиком система АПЧ с первым козффи-знтом передачи (25) становится неустойчивой и непригодна для слеже-ï за сигналам.

Для системы АПЧ со вторым коэффициентом передачи (25) найдена верность срыва слежения в практически наиболее интересной области па-¿етров S kTSí ,где Й -крутизна характеристики дискриминатора,Про-злизировано влияние граничных и начальных условий на вероятность ¿ва,проведен учет зависимости флуктуационной характеристики Na[x) от зстройки по частоте.Показано,что для Ис {_<) типа "узкого провала" в г-четах можно полагать N0(xj постоянной.Аналитические результаты под-грждены проведенным численным экспериментом.

Заключение

Исследованные в диссертации проблемы,в которых используется уранние Фоккера-Планка и его дискретный аналог-система балансных (управ-сщих) уравнений, не исчерпывают весь круг задач,где они применяют-.Основной чертой объединяющей эти проблемы,является марковский .чартер релаксационных процессов,способных быстро забывать предысторию

своего развития.Поэтому асимптотический по времени подход к их анализ является вполне адекватным.Проведенное исследование показало,что прак тическн интересную стадию эволюции описывает квазистационарнзя функци распределения первого порядка или функция распределения,учитывающа первую собственную функцию и собственное значение краевой задачи.При чем решения,полученные в первом приближении,могут существенно отли чаться от равновесных.

Таким образом проведенное в диссертации исследование продемонс трировало универсальность асимптотического по времени подхода в анали зе неравновесных систем и его эффективность при решении ряда конкрет кых физических проблем.

Ниже сформулированы основные достижения,полученные в диссертации

1.Разработан универсальный математический аппарат построени асимптотических по времени решений одномерного уравнения Фоккера-План ка и его дискретного аналога- системы балансных уравнений.Решения по лучены для уравнений с произвольными коэффициентами^ том числе зави сящими от времени.Найден класс многомерных уравнений Фоккера-План ка,для которых данный аппарат применим.

2.Развита диффузионная теория химических реакций для произвольны реальных потенциалов взаимодействия частиц и коэффициентов диссипации Показано, что в частном случае кулоновского взаимодействия теория опи сывает процесс ион-ионной рекомбинации-. Е предельны;-; случаях больше: малых давлений газа теория содержит классические результаты Ланжевен к Тсмсока. Развитая теория имеет ванное значение в анализе активны сред эксимерных лазеров. Найденные теоретические старости рекомбинаци ионов е молекулы КгР и ХеС1 подтверждены экспериментальными данным /10/.

3.Громоздкий численный анализ заоеленноотей уровней атомов и мо лекул заменен аналитическими функциями распределения,позволяющими на ходить условия возникновения инверсной населенности,положение узког места на спектре энергетических уровней атомов или молекул,квантовы скорости ионизации или диссоциации,учесть вынужденные процессы коге

рентного излучения в резонаторе.Установлено,что при возбуждении колебательных уровней молекул процессы обмена колебательными квантами существенно ускоряют диссоциацию молекул. Полученные аналитические функции распределения для молекулярного азота совпадают с результатами дасленного моделирования /18/.

4.На основе уравнения Ландау-Халатникова для параметра порядка с учетом тепловых флуктуации исследован неравновесный фаговый переход зторого рода. Найдены времена формирования фазового перехода и его шзни.Предсказан эффект аномальной восприимчивости бистабильной системы на малое внешнее поле.С ростом интенсивности шума восприимчивость зезко возрастает до максимального значения и при дальнейшем росте ин-генсиЕности шума восприимчивость падает.Проанализировано явление стохастического резонанса для всех частот слабого периодического спгка-га.Установлено,что усиление сигнала за счет энергии шума тлеет место (ля квазистатических частот сигнала,а также вблизи частоты Крамер-:а.Усиление вызвано неравновесными переходами через потенциальный ¡арьер. Найденное отношение сигнал/шум ведет себя подобно аномальной юсприимчивости и объясняет эксперименты в оптических бистзбильных системах /20,21/. Проведен учет пространственных корреляций параметра ;орядка в одномерной системе,эквивалентной модели Изинга.В первом порядке теории возмущений по константе связи найдено внутреннее поле :ейса, приводящее к возникновению упорядоченного состояния.

5.Исследован переход через порог лазерной генерации для модели днсмодсвого газового лазера,активной средой которого являются двуху-ОЕневые атомы.В рамкэх квазиклассической теории лазера получена кор-еляционнач функция флуктуаций интенсивности излучения и ширина ее пектра для произвольных значений параметра накачки.В квантовой теории азера из уравнения для матрицы плотности излучения найдены ширина ли-ии излучения и неравновесные функции распределения числа фотонов,оплывающие эволюцию из вакуумного состояния в состояние развитой генера-ии и хорошо согласующиеся с результатами /24/ численного эксперимен-а.

6.В радиофизических системах автоматической подстройки частоты исследован процесс срыва слежения за сигналом,эквивалентный движению броуновской частицы в потенциальном поле (аналог неравновесного фазового перехода).Найдена вероятность срыва слежения за сигналом, обусловленная нелинейностью характеристики дискриминатора,в зависимости от основных параметров радиофизических систем.Аналитические результаты подтверждены проведенным численным моделированием флуктуационных уравнений.

Литература

I. Risken Н. The Fokker-Plank equation/ZSpringer-Verlag,Berlin,Heidelberg, New York,Tokio,1984,p.454.

£. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика //M.:Наука,1982,608c.

3. Chandrasekhar S. Stochastik Problems in Physics and Astronomy//Rev. Mod.Phys.,1943,v.15,No.1,p.1-89.

4. Garbaczenski P.,Yigier J.P. Brownian motion and its descendants ac-cordind to Schroding-er.// Phys.Lett.A,1992,v.l67,No.5-6,p.445-451.

5. Боголюбов H.H.Проблема динамической теории в статистической физике //М.:Гоотехиздат,1946,117с.

6. Kramers Н.А. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions//Physica(The Hague),1940,v.7,p.284-304.

7. Carmeli B.,Nitzan A. Theory of Activated Rate Processes: Bridging between the Kramers Limits // Phys.Rev.Lett.,1983,v.51,No.4,p.233-235.

6. Langevin P. Recombinaison et mobilites des ion dans les £as;Chapit-re III.La Recombinaison des ions /'/' Ann.Chim.Phys.,1903,v.28,p.433-530.

9. Thomson J.J. Recombination of Gaseous Ions,the Chemical Combination of Gases, and Monomolecular Reactions // Phil.Mag., 1924,v.47,p. 337-378.

10. Зксимерные лазеры.Под ред.Ч.Роудза //М.:Мир,1381,с.122.

II. Bates D.R.,Kingston A.S.,McWirter R.W.P.Recombination between electrons and atomic ions // Proc.Roy.Soc.,1962,v.A267,p.297-312.

12. Гордиец Б.Ф..Гудзенко JI.И..Шелепин Л.А. 0 релаксационных процессах

п усилении излучении в плотной плазме /УЖЭТФ,1968,т.55,с.942-949. Питаевский Л. П. Рекомбинация злектроноЕ в сдноатомном газе //Ж'ЗТФ, 1962,т.42,с.1326-133?.

Еиберман Л.М..Воробьев В.С.,Якубов И.Т. К теории ионизации и ре-комбинаци в низкотемпературной плазме//ЖЭТФ,1969,т.55,с.1992-2001. Гордиец Б.Ф. ..Осипов А.И. .Шелепин Л.А.Кинетические процессы в газах и молекулярные лазеры /УМ.¡Наука,1980,512с.

Тгеапог С.Е.,Rich .J.W. ,Rehm R.G. Vibrational relaxation of anhar-monic oscillators with exchange-dominated collisions // J.Chem. Fhys.,1968,v.48,p.1798-1807.

Кузнецов H.M. К колебательной релаксации многоатомных газов и газовых смесей //ДАН СССР,1S69,т.185,N4,с.856-875. Bray К.N. С.Vibrational relaxation of enharmonic oscillator molecules: relaxation under isothermal conditions //J.Fhys.В (Free.Fhys. See.),1953,V.1,p.705-717.

Лифшпц E.M.,Питаевский Л. П.Физическая кинетика//М.: Наука, 1979,527с. McNsmara В.»Wiesenfeld К.,Roy R. Observation of Stochastic Resonance in a Ring Laser /'/' Fhys.Rev.Lett. ,1983,v.60,flo.25,p.2626--2629.

Дккман М.И.,Великович А.Л.,Голубев Г.П.,Лучинский Д.Г.,Цуприков С.В. Стохастически резонанс в пассивной полностью оптической бис-табильной системе //Письма в ЖЭТФ,т.53,еып.4. ,с.182-185(/<?9() Гинзбург В.Л. Несколько замечаний о фазовых переходах второго рода и микроскопической теории сегнетоэлектрпксв //ФТТ,1960,т.2,вып.9, с.2031-2043.

Fyi.'?p S.5., гьзкин М. ¡П. Термодинамика, стахиохиадекая физика и кинетика /т.: Наука, 1977,552с.

Арекки Ф..Скалли М.,Хакен Г.,Вайдлих В. Квантовые флуктуации излуче-

пал jictcjeuti / / ivi. : ivmp, lb r fiou-C.

Работы автора по теме диссертации

мпетннк С.А.,Шелепин Л.А. 05 одном методе интегрирования уравнения эккера-Планка //ПМ и ТФ,1977,N5,0.13-16.

апетняк С.А.,Шелепин Л. А. Метод квазиравновесных функций в фигичес-

кой кинетике //Тр.ФИАН СССР,1978,т.106,с.90-118.

3.Петров В.Э.,Решетняк С.А.,Третьяков Г.Н.,Шелепин Л.А. Многомернь уравнения Фоккера-Планка и их решение // Тр.ФИАН СССР,1930,т.124 с.75-96.

4.Решетник С.А.,Харчев С.М.,Шелепин Л.А. Асимптотические решения урар нения Фоккера-Планка /7 Кр.сообщ.по физике. Сб.ФИАН (КСФ),1980,Ы8,с 20-25.

5-Решетняк С.А.,Харчев С.М.,Шелепин Л.А. Асимптотические методы в тес рии линейных кинетических уравнений // ТШ,1981,т.49,N1,0.131-139.

6.Решетник С.А.,Харчев С.М.,Шелепин Л.А. О собственных функциях собственных значениях кинетических уравнений // КСФ,1982,N9,с.43-45

7.Решетник С.А.,Харчев С.М.,Шелепин Л.А. Асимптотические решения диен ретнах уравнений // КСФ,1981,N11,с.34-40.

8.Решетник С.А.,Харчев С.М..Шелепин Л.А. Асимптотические методы в тес рии кинетических уравнений // Тр.ФИАН СССР,1984,т.144,о.4-36.

Э.Решетняк С.А..Шелепин Л.А. К диффузионной теории химических реакщ; // ПМ и ТФ,1981,N5,с.83-92.

10.Решетник С.А.,Шелепин Л.А. О константе равновесия в диффузионнс теории химических реакций // ПМ и ТФ,1983,N1,0.5-10.

11.Решетник С.А.,Шелепин Л.А. Теория Крамерса для реакций с участие трех атомов // ЖЭТХ,1983,т.19,N4,с.400-413.

1£.Решетник С.А.,Шелепин Л.А. Метод КФР в диффузионной теории химичес них реакций // Тр.ФИАН СССР,1984,т.144,с.37-66.

13.Решетняк С.А. О скорости трехчастичной ион-ионной рекомбинации теории броуновского движения // Физика плазмы, 1988, т.14,вып.10,с 1528-1237.

14.Решетник С.А. Скорости бимолекулярных реакций в рамках статистичес кого подхода // Тр.ФИАН СССР,1991,т.213,о.3-35.

15.Козлов Г.И.,Решетник С.А. Расчет параметров плазмодиначического лг зера на парах лития // ЖТФ,1977,т.47,вып.7,с.1516-1522.

16.Решетник С.А. ..Шелепин Л.А. О кинетически/; процессах в лазерах /'/ ЖПС,1978,т.29,С.424-431.

17.Решетняк С.А.,Шелепин Л.А. Плазмодинамические лазеры // ЖТФД974 Т.44,с.1724-1732.

18.Решетник С.А. Вопросы кинетики в лазерах на плазме и вращательнь переходах // Тр.ФИАН СССР,1975,т.83,с.146-215.

!.Решетник С.А. ,Харчев С.М.,Шелепин Л.А. Эволюция статистического распределения фотонов в лазерном поле излучения // Квантовая электроника, 1983,Т.10,N12,с.2373-2390.

(.Решетняк С.А.,Харчев С.М.,Шелепин Л.А. Асимптотические решения в теории Ландау фазовых переходов второго рода //Тр.ФИАН СССР,1986,т. 173,0.94-114.

.Reshetnyak S. A. .Kharchev S.M. On kinetics of laser generation //' J.of Soviet Laser Research,1990,v.11,No.5,p.455-496.

.Reshetnyak S.A.,Makeev V.Yu.,Kharchev S.M.,Shcheglcv V.A. Kinetics of nonequilibrium secGnd-crder phase transitions in one-dimensional systems // J.of Soviet Laser Research,1332,v.13,No.6,p.452-462.

.Решетняк С.А..Щеглов Б.А. Усиление периодического сигнала неравновесной бистзбильной системой // КСФ,1893,Ы11-12,с.37-42.

.Решетняк С.А.,Щеглов В.А. Спектральные характеристики отклика бистабильной системы на шум // КСФ,1993,N11-12,с.43-47.

.Решетняк С.А. ..Третьяков Г.Н. О вероятности срыва слежения в системе с фильтром Еторого порядка //Радиотехника и электроника,1980,т.25, МП, с. 2301-2308.

•Решетняк С.А.,Третьяков Г.Н.О влиянии формы флуктуационной характеристики дискриминатора на вероятность срыва слежения в -системе с двумя интеграторами //Межвузовский сб."Автоматическое управление", 1977,0.162-167.

.Решетняк С.А.,Третьяков Г.Н. Срыв слежения е системе с фильтром второго порядка // Изв.Вузов СССР-Радиоэлектроника,1980,т.23, Н1,с. 60-65.

.Решетняк С.А.,Третьяков Г.Н.,ЩеглоЕ В.А. К вопросу о наблюдении за сигналом в радиофизических системах автоматической подстройки частоты // КОЗ),1994,N11-12,С.26-31.