Разработка методов численного моделирования процессов фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

азербайджанская государственная

нефтяная академия

На пранах рукописи

ГАМЗАЕВ ХАНЛАР МЕХВАЛИ оглы

РАЗРАБОТКА А\ЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ФИЛЬТРАЦИИ ДВУХФАЗНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Специальность 01.02.05 — Механика жидкостей, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Баку - 1992

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика» Азербайджанской государственной нефтяной академии.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Г1ИРМАЛ1ЕДОВ В. Г.

кандидат физико-математических наук, доцент | ТАИРОВ М. А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ИСКАНДЕРОВ А. Д.,

кандидат физико-математических наук, с. н. с. X. Ф. ЛЗИЗОВ

Ведущая организация: Институт кибернетики АН Азербайджана.

Защита состоится «30.» ШТЯсрЯ . 1992 г. в час. на заседании специализированного совета К. 054.02.03 при Азербайджанской государственной нефтяной академии по адресу: 370010, г. Баку, пр. Азадлыг, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Азербайджанской государственной нефтяной академии.

Автореферат разослан

«А Мц ^ . 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат технических наук

АЛЕКПЕРОВА 3. Ю.

- 3 -

ОБЕ! (13 ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность п р о б л е.м и.С проблемой !льтрации многофазной жидкости в пористой среде связаны вая-е теоретические и прикладные задачи нефтегазодобычи,хими-ской технологии,гидротехники и т.д.Наиболее актуальной эта облема ЯЕляется для теории и практики добычи нефти и газа.В мои деле,с процессами фильтрации многофазной жидкости свя-ны вопроси разработки и эксплуатации нефтяных,газовых,газо-нденсатних местороадений,создания подземных хранилиц газа и ц.Широкое-использование вторичных методов воздействия на одуктивпие пласты с цвчью интенсификации добычи не^ти зна-тельио повысило интереи к изучению процессов многофазной яьтрации-.

Экспериментальное исследование этих процессов связаны не 1ько с большими материальными затратами,но с значительными' сническиии трудностями,причем в ряде случаях определение вторых важных характеристик течения становится технически осуществимым.

Поэтому актуальным является разработка методов математи-кого моделирования.На первом этапе математического-модели-ания осуществляется выбор гидродинамической (физической) ели процесса,При этом для адекватного описания процесса бходиыо учитывать реальные свойства флюидов и продцктивко-пласта.относительные фазовые проницаемости,капиллярные си-так как несовершенство используемых моделей моает привести олучеиию качественно че верных результатов.

Использование Физической модели,учитываюцей указанные е факторы.приводит к тому,что соответству^цая математичес-

кая модель формулируется в виде краевых задач для системы нелинейных уравнений в частных производных,решение которых в замкнутом аналитическом виде возкомно получить для весьма частных случаев.

Б связи с этим для решения этих задач необходимо испояь-зобзт численные методы.Учитывая,что задачи многофазной фильтрации обладают рядом специфических особенностей не позволявший использоват известные апробированные.методы.то возникает необходимость в разработке численных методов.учитывающих эти особенности и позволяющих эффективно осуществить численное моделирование различных процессов.Отметим,что-при численном моделировании реальных процессов,связанных с проектирование* и разраб'ткой нефтяных месторождений возникает также необхо-. димость в рассмотрении обратных задач,радач оптимального управления,а такге нетрадиционных краевых задач.

Поэтому разработка эффективного аппарата для численного моделирования различных нестационарных процессов фильтрации однофазной и многофазной падкости в пористой среде являетсй актуальным.Отметим также,что хотя математическому моделированию процессор фильтрации однофазной кидкости или газа'в рамках различных гидрогазодинаыических моделей посвящены исследования многих авторов,однако весьма мало изученным'являются проблема математического моделирования процесса фильтрации разревенного газа в пористой среде и поэтому построение математической модели этих процессов представляет большой интерес Целью работы является разработка технологичес кой цепочки численного моделирования процессов нестационарной Фильтрации однофазной и двухфазной кидкости (газа) в пористой

среде,включаюцей постановку и проведение лабораторных экспериментов,построение математических моделей,создание эффективных алгоритмов,программ на ЭВМ,проведение гидродинамических расчетов и их анализ,

М-етода ис'следовани я.Основные положения и. результаты исследования базируются на принципиальных положениях теории подземной гидрогазодинамики,кинетической теории гааов.В работе используются методы вычислительной математики,математической физики и теории оптимального управления.

Н а ч ч-н а я новизна исследований заключается в том,что предложена методология численного моделирования процессов. двухфазной фильтрации,Разработан и теоретически обоснован дифференциально-разностный метод численного решения задач фильтрации двухфазной жидкости,обладавший свойством адаптируемости к особенностям решения.

Предложены алгоритмы ресения задач идентификации относительных фазовых проницаеиостей и капиллярного давления (используются данные нестационарной фильтрации) и оптимального управления процессом вытеснения нефти водой.

Дана вариационная постановка и метод решения двукьрной задачи фильтрации однофазной жидкости в случае задания на совершенной по вскрытии пласта эксплуатационной сквааине суммарного дебита жидкости.

Предложена математическая модель фильтрации разрешенного газа в пористой среде.

Правтическгя ценность. Предложенные в работе численные методы и разработанные алгоритмы могут быть использованы при численном моделировании фильтрационных про-

цессов в нефтяник и газовых месторождениях.

Разработанный метод решения задачи оптимального управлен* процессом вытеснения нефти содой мокет непосредственно использоваться при проектировании и разработке нефтяных место-роадений.Предложенное методы также могут быть использованы • при численном решении широкого класса прикладных задач.

Апробация работы. Основные результату диссертационной работы докладывались на Всесоюзной школе-семинаре "Математические методы оптимизации в больших экономических и-технических системах'ЧБаку, 1980 );на 4-ой республиканский научной конференции аспирантов вузов Азербайджана (Баку.1981):на Первой (Баку,1982 ) и Второй (Баку.19С5) республиканских конференциях молодых ученых по прикладной математике и кибернетиье;ка Всесоюзной научной конференции "Крае вне задачи фильтрации и их приложения- (Казань,1991);на семи наре отдела "Вычислительные кетодн" ВЦ АН СССР;на совместных семинарах кафедры ' Прикладная математика"'Азербайджанской Го сударсгвенной Нефтяной Акадеыии и Института Кибернетики АН' Азербайджана.

Публикация. По материалам диссертационной работы опубликовано 10 работ.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введений и грех разделов,иэлоаена на .1(0.страницах машинописного .текста,содержит 9 рисунков,2 таблицы и список литературы,включающий 68 названий.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность исследований по теме диссертации формулируется основные цели

«¡следования,излагаятся краткое содеряание и основные выводи диссертационной работ».

Первый раздел посвящен обзору и анализу гсследоваиий.посвяценных построении математических моделей 1роцессоз фильтрации двдхфазной несяинаеиой гидкости и чис- , тенным метода« реаения соответствуквдх задач.На основе анали-¡а вскрыты качественные особенности ревения задач,указан« груднасти,возникавшие при численной моделировании и показана ¡еобходиность ь разработке численного иетода,учитывавшего'в юлной нере- специфические особенности решения.

Так как при численном моделировании требцатся проведение шогосзриантных расчетов и возникает необходимость в рзпении збратных задач к задач оптимального упрлэлвния.требующих в :воп очередь многократного ресеиия прямых задач, то разрабатываемые числешше метода долгий'не только учитывать особен-¡асти реяения,обладать високой точность»,но и бить экономически с точки зрения использования мавиниого времени.

Разработке и теоретическому обосновании таиогб.метода юсвя.цен второй раздел работы.

В нем для численного ренениа плоско-радиальных (плос-*о-параллельннх) задач фильтрации двухфазной нескиваеаой анд-хости предлагается дифференциально-разностный иетод в адап-гивках сетках.

Ввиду того,что при моделировании процессов фильтрации двухфазной ¡гидкости в рамках «одели Рапопорта-Лиса (учитыва-з'ся относительное Ф^зивке проницаемости и капиллярные сил«) з зависимости от выбора к;коиых функций ислользуатса различные эквивалентные математические модели,то в,п.2.1 приводятся

различные постановки плоско-радиальних(плоско-параллельных) задач.

Сначала приводится сдедукщая постановка задачи:найти Функции удовлетворяйся уравнению

начальному условию

ЗСмЬ^ОО , ¿г £±, • и;

и краезы" условиях

где

£

* ¿аь 5 ° 1 й'Н ^ при, ¿«р,

3 -водонасыченнпсть,Г{(¡^-относительная фазовая проницаемость для воды, -коэффициент динамической вязкости воды, ^н-соответствующие обозначения для нефти,

15(^-абсолютная проницаемость пористой среды. & -вирина пласта, К. -протяженность пласта, N -толщина пласта, $с.($)-капи.лларное давление. ОН)-объемный расход вытесняющей фазы, К«, ^о , О» -характерна размерные величины. Здесь и далее в'задачах двухфазной фильтрации соответствует плоско-параллельному,а ¿»4.- -плоско-радиальному движению жидкостей.Значение 1С лО соответствует задаче без "концевого эффекта",а -задаче с

"концевым эффектом".

Ввиду того,что в литературе относительные фазовые прони-даености задаются как в виде зависимости от насыщенности со-яветствукщих фаз,так и от капиллярного давления,то приводят-:я такяе следующие две постановки задач:

г4^Т^Т^б

И И

Известно,что значителыше трудности при численном резе-нии задачи С1 >—С4> П5)-(8) или (9)-(12)возникают йз-за того,чго при стремлении значения 3 к своиы предельный значениям 3 : и В происходит внрокдение как самого уравнения, так и краевых условий.

Поэтому для численного роаениа задачи фильтрации двухфазной жидкости предлагается дифференциально-разностный метод в адаптивных сетках,учитывавший специфические особенности ре--

• !! -

ия задачи.

11.2.2 посвящен угиг..»!:!« щндлптенисго дифферекцкаль-?азностного не г ид.«. ;.т яичмгз-ячн •» от традиционных методов юстроенню расчетной к;; и способу пространственной дис-гнзации.В этом подходе процесс дискретизация по пространс-■-"СП'И'.' из дсух этапов.На первом этапе производится ло-■>но(г ян и грирпион/.я (1) но некоторой изиекящейся во вре-«етки узлов.Ня гтср-)м этапе производные и интегралы,вхо-<е в полученное соотнпиение,аппроксимируются с учетом осо-югти искомого решения.Для аппроксимации вырождающих крае-условий (3).<4> предгзгартпя подход,идея которого заклкз-гся -в отказе от определения значений искомой функции на )й границе.

Предложенный дифференциально-разностный метод сводит ис-!ую задачу (1Ы4) к следуицей задаче Коии для системы ;новенннх дифференциальнпх уравнений (о.д.д.)

ж - --'Ц

1 = , у,

В п.2.3 исследуется вопрос о сходимости предложенного д'яфференциальио-разностного метода для задачи двухфазной Фильтрации в постановка (1Ы4).

С этой целью вт.исыоается система о.д.у. относительно погрешности

%% = г^" - ¿г, * V, , ^

■-с:- И. Ни

СV ^ « ^Х^Г^' + (<

где ¡,= <,*...у">

-есть погрешность аппроксимации для дифференциально-разностной система (13М16) на решении исходной задачи (1)-(4).

Вопрос сходимости дифференциально-разностного метода для задачи (1)-(4) сводится к получению априорной оценки для ре-вения системы о.д.у. С17М20).Доказана

Теорема.Пусть выполняются условия

и функции

> ж) 'I п )

интегрируемы на отрезке Г^Ъд^] .Тогда для решения задачи (!?)-(20) справедлива оценка

ш® .н«/[(

о г»

где

II мь

Из полученной априорной оценки для погрешности следует сходимость предлояенно.го метода;

Ввиду того.что дифференциально-разностный- иетод сводит исходнуя задачу к задаче Коши'для системы о.д.у.,то возникает необходимость в разработке устойчивого алгоритма для численного решения этой системы.В вычислительной практике для численного решения таких систем в основном прииенявг неявный и явный методы Рунге-Кутты.С точки зрения устойчивости обычно предпочтение отдают неявному методу.Однако при применении этого метода полученные нелинейные система алгебраических ■ уравнений не всегда оказываится разрешимыми или итерационные методы,применяемые для реиения этих уравнений,не сходятся.

В связи с этим для численного решения системы о.д.у. в п.2.4 предлагается модифицированный явный иетод Рунге-Кут~

ты.Суть модификации состоит б том,что для обеспечения вычислительной устойчивости весы,используемые в методе,» отличие от классических методов, подбираются в зависимости от решения.

Р. работе вводится определение монотонности решения системы о.д.у. относительно принятой нории к доказывается,что решение системы о.д.у. .соответствующая задаче (5Ы 8).является монотонным в смнсле введенного определения.Аналогично вводится определения для дискретного мучая и доказывается .что явный метод Рунге-Куттн является устойчивым, если веса определять из условия монотонности решения.

Одним из важных элементов технологического оснащения процесса численного моделирования двухфазной фильтрации является конструирование оптимальных относительно решения расчетных сеток.

В п.2.5 приводится алгоритм построения расчетной сетки адаптируищейся к особенностям решения задач двухфазной фильтрации.В начале дается краткий обзор существующих работ по построению сеток,адаптирующихся к решению.Основная идея предложенного подхода состоит во введениии в начальный момент • времени на основе априорной информации о р/ьиении сетки узлов по пространственной переменной.Затем в зависимости от выбора характеристик численного решения,подлежащих определенна с заданной тосностью,предлагается алгоритм определения узлов сетки на новых временных слоях.

На основании предложенного дифференциально-разностного метода в адаптивных сетках были проведены численные экспери-иенты.Показано,что данный метод .применим для широкого диапазона изменения входных данных, зпномичен с точки зрения ис-

пользования времени Э&Н и обладает высокой■точностью.С помощью численного моделирования исследовано влияние темпов нагнетания вода из процесс внтегнения,нефти,

Анализ этих результатов также показал необходимость определения таких темпов нагнетания воды,которые позволили бн оптимальным образом управлять процессом вытеснения.Но прежде чем перейти к рассмотрению этой задачи надо идентифицировать модель вытеснения.Дело в том,что при моделировании процесса вытеснения используются данные об относительных фазовых про-ницаемостей и капиллярного давления,полученные в результате экспериментов.проведенных в стационарных условиях.Очевидно,что использование этих данных при численном моделировании нестацичнарннх процессов вытеснения нефти водой мохе- привести,вообще говоря.к неверным результатом.

Б связи со сказанння необходимо разработать численные ¿етоды идентификации относительных фазовых проницаеиостей и шшллярних сил. ' "

Разработке метода идентификаций на базе дифферекциаль-«-разностного истода в адаптивных сетках,предложенного во зторои разделе,посвящен п.3.1 третьего раздела работы.

В п.3.1 рассматривается следившая задача идентшрика-лш:найти функции 5ГМ (3). Х"ьС&). рк.{.5), 3(*Л> , давлетворяацие уравнении)

* ЯГ Г. ^ ^ / ^ '

условиям

и минйиизирующие функционал • с

где

-.соответственно расчетный и Фактический обьеиные расходы вытесняемой фазы на выходной границе.

Учитывая.что-результаты многочисленных лабораторных и промысловых исследований говоят о том,что искомые функции ОД&). Ки хорошо аппроксимируются Соответственно

Функциями

то в" работе искомые функции ищутся в указанных классах Функ ций.В этом случае исходная задача сводится к идентификации неизвестных параметров ( I° ) .

• ■ Для ревения этой задачи предлагается численный алгоритм, основанный на методе слцчайчого пэиска и дифференциаль-

^ а. о

(К 0 >

!")-рззнолно:« кнго.!!':,

С цель а проверки эффективности предложенного алгоритма на кафедре "Разработки и эксплуатации нефтяных месторождений" Р.ГНй были проведены лабораторные эксперименты.Уст >новка представляла цилиндрический трубу длиной 1,15 м.заполненную образном пористой среди (абсолютная проницаемость и пористость среди,определяемые с помчцыз вспомогательных опытов,были рав-ни,соответственноТи =0.288, К =50(0^.*) насыщенной нефтвз (вход трубы подавалась внтеснакяая жигкость-вода (1Гкс) с различными расходами,а на выходе опредрл-ялся расход нефти.Используя заданные из -эксперимента на основе предложенного алгоритма были определены значения параметров Ь С '' ^ ) '•

При полученных значениях параметров были проведены чис-теннпе расчеты,'показаових хорошую согласованность численных )езультатов с экспериментальными данными,

Предлояенние дифференциально-разностный неточ в адаптив-шх сетках и алгоритм идентификации позволили рассмотреть :ледусздя задачу оптимального управления процессом фильтрации ¡вдхфазной аидкостшнайти Фанкции % удовлетворяющие С9),С 10),(12).условия

»

минимизирующие функционал i

где -желаемое распределение капиллярного давлений

При этом на управление налагается следующее ограниченна

о«*. *в1*> * Яъьх .

Для численного решения сформулированной задачи лредлокен алгоритм,основу которого составляют градиентный метод и диф-> ференциально-разностйый метод.Эффективность алгоритма потвер-вдена ресультатами численных экспериментов.Показана,что оптимальный режим закачки воды.определенный с помощью предлокен-ного алгоритма,обеспечивает эффективный темп продвижения "Фронта" вытеснения.

Яри разработке нефтяных месторождений многие вопросы,в том числе вопроси проведения исследований сквая^н и прогнозирования основных показателей разработки,в математическом плане связаны с решением •дифференциального уравнения в частных производных с неклассическим краевым условием.

В п.3,3.рассматривается двумерная задача фильтрации однофазной падкости в случае задания на совершенной по вскрытие пласта эксплуатационной сквэаине суммарного отбора кидкостй.

В§нду того,что рассматриваемая Задача -вляегся некорректной, то предлагается вариационная постановка и для ее численного решения разрабатывается алгоритм,использующий зконович-иуо разностную схему и градиентный негод.На модельных задачах,'Имеющих' точное реиениг,показали его эффективность,

Б практике разработки газовых и газоконденсатных место-ровдеиий часто приходится иметь дело с процессами фильтрации газов с низкой плотностью (разрешенный газ).Характерным ?ля таких процессов является то,что гредняа длина свободного про-

бегл газовых молекул но является пренебрежимо малой по сравнению с характерным размером течения.Поэтому математическое моделирование этих процессов методами механики сплошных сред. н<- представляется возмоенкм.В связи с ?тим академ том Й.Х.Мирзадканзаде била поставлена зд'дача о моделировании процесса с испольгованием кинетической теории газов.Этот подход осуществлен в п.3.4.

Лля описания .этого процесса ,на молекулярном уровне вве дится функция распределения,и на основе закона сохрлнения количества молекул выводится основное • уравнение,представлятщее собой некоторое интегро-дифференциальное уравнение.При эток предполагается,что изменение скоростей молекул происходит только за счет столкновение их с частицами пористой среды.А за модель пористой среды принимается модель фиктивного.грунта.Ввиду того.что отсутствуют экспериментальные данные о взаимодействии молекул газа с частиц-зми пористой среды,предлагается теоретическая модель взаимодействуй.После принятия ряда упрощений исходное интегро-ди'фференциальное уравнение приводится к некоторому дифференциальному уравнения прового порядка в частных производных,решение которого определяется в явном виде. ■

Основные результаты диссертации, в "теоретическом и практическом плане сводятся к следующему: ;

1.Предложена методология для осуществления численного моделирования процессов фильтрации двухфазной «идкосги в пористой среде.

2.Разработан дифференциально-разностный метод з адаптивных сетках для численного решения задач фильтрации двухфазной

- го -

аидкости,учитывающий особенности ревения.Получена априорная оценка для логревщости и доказана сходимость метода.Доказана монотонность решений полученной системы о.д.у.и предложен устойчивый численный алгоритм для нахождения решения,Показано,что применение адаптивной сетки позволяет существенно сократить количество используемых узлов сетки и.следовательно.время расчета на-ЗВМ.На основе предложенного метода исследовано влияние темпов нагнетания води на процесс вытеснения.

3.'Дла определения функций относительных фазовых проницаеиостей и капиллярного давления предложен алгоритм,использующий данные нестационарной Фильтрации.Эффективность метода потвзрждена результатами лабораторных экспериментов.

4.Предложен эффективный алгоритм определения оптимального режима нагнетания воды в нефтяной пласт при вытеснения нефти водой. .

5.Предложена вариационная постановка и разработан алгоритм' решения задачи фильтрации однофазной жидкости в случае задания по'длине'на совершенной по вскрытию пласта эксплуатационной скважине суммарного отбора аидкости.

6.Предложена математическая модель ф ътрации разрешенного газа в пористой среде,представляющая собой интегро-диф-ференцйальное уравнение относительно функции распределения. Для частного случая получено явное решение.позволяющее рассчитать такие макроскопические параметры,как плотность ,'скорость .давление.

йбтор варашает признательность академику ЙН йзерОайдяака >Й.Х.Мирзадканзаде за ценные советы.большое вникание к работе.

. Основное с.одеркакие дпссерчции опубликовано в работах:

- 2t -

1.Гамзлев X.M.Задача оптимального улрапл^ния процессом вытеснения нзфти в одой//Тезисu JV. республиканской научной конференции аспирантов вузов Азербайджана.-Баку.1931.-С.43.

2.Таиров М.А,.Гамзаев Х.М.Решениэ многомернаязадач нестационарной фильтрации с подвижной, границей нзтодом интегральных соотно£Эний//Материалы I Республиканской конференции молодых ученых по прикладной математике и кибернетике.-Баку,1982.-С.6?. '

3.Гамзаев Х.М.,Таиров M.fi.Расчет оптимального управления процессом вытеснения нефти водой//8ВН и ЙФ.-19834.

С. 394-999.

4.Таиров М.Й.,Гамзаев Х.й. Численное рвение некоторых задач двухфазной фильтрации методом интегральных соотнодае-ний/УИсследование по некоторым вопросам конструктивной-теории Функций и дифференциальных уравнений.Тем.сб.научн .трудов,-Ба-ку:йзд~во ДзИНЕФТЕХИМа,1983,-С.174-1Ö1.

5.Таиров H.A..Гамзаев Х.М.Определение коэффициентов относительных фазовых проницаемостей двухфазной фильтрации на основе численного зксперимента//Исследование по некоторым вопросам конструктивной теории функций и дифференциальных уравнений.Тем.сб.научн.трудов.-Баку:Изд-во йзИНЕФТЕХИ-

На,1983.-С.221-225.

6.Гамзаев Х.М. О сходныесги метода интегральных соотно-иений/УЧисленные методы решения задач математической физики и оптимизации.Сб.научнлрудов.-Баку:Изд-ео АзИНЕФТЕХЙ-

Ма,1986.-С.19-26.

7.Гамзаев Х.М.,Таиров М.А. О моделировании двухфа'ной фильтрации//Численные методы реиения задач математический фи-

зики и оптимизации.Сб.научн.трудов,-Баку:Изд-во йзйНЕФТЕХИ-

б.Гамзаев K.M. О сходимости обобщенного метода интегральных оотновений.-Баку, 1!.Пь,-8с.-Деп,йзНИИНТН J6.J0.1986, Ы 601-йз.

9.Гиизаев Х.Н. Численное роиение здной неклассической задачи теории филиации.-Баку. 1938.-7с.-Деп.в йзНИИИТИ 1S.12.1988. N 1155-йз, '

Ю.Гамззав Х.М. «Яирмамедов Б.Г. 06 одним подходе к построению математической модели* фильтрации разреженного га-за//Краевие задачи фильтрации и их приложения.Тезисы докладов Всесоюзной конференции.-Казань. 1991 .'-С.9.

«а. 1936.-С.83-8?.

За Тир. 100 Печ. л ист/. С? Тип. АэНУ км. М. Лзи.'бекп».!.

Баку—ГСП,' проспект Ленина, 20. .