Разработка методов расчета пологих оболочек на действие локализованных нагрузок тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТР/ДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В.И.УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи ОЛЬШАНСКИЙ Василий Павлович

УДК 539.3

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК НА ДЕЙСТВИЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ НАГР/ЗОК

Специальность 01,02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на сонсканнз ученой степени доктора физико-математических наук

//92

г/

Работа выполнена в Харьковском политехническом институте имени В.И.Ленина»

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.М.Толкачев; доктор физико-математических наук, профессор В.П.Шавчеяко; доктор физико-математических наук, профессор Ю.П.Артюхин.

Ведущая организация - Институт проблем механики АН СССР..

Защита состоится и_"_ 1990 года в час. I

на заседании специализированного Совета Д 053.29.01 по защите ; сертаций на соискание ученой степени доктора физико-математич8< наук по механике при Казанском государственном университета ш В.И.Ульянова-Ленина (аудитория физ.2) по-адресу: 420008, г. Ка ул.Ленина,18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им Н.И.Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан "_" :_ 1990 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор физ.-мат.наук,доцент

ЮШ.Жигалко

— о -

ОНДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблеш. Развитие различных отраслей народис-э хозяйства - авиа- и ракетостроения, нефтяного и химического впгакостроения, промышленного и гражданского строительства, судо-троения и т.д. связано с разработкой эффективных методов расчета а прочность тонкостенных элементов конструкций типа пластин и болсчок. Повшенпна требования к прочности и надежности при мвнывешш натэркалооыкости создают сложив проблеш анализа на-ряаенно-деформарованяого состояния тонкостенных тел в зоне раз-ичнкх концентраторов напряжений. Приходится исследовать пропоешь оболочек а пластин при наличии разрезов, отверстий, лока-иаозшшых внешних силовых и температурных воздействий, Лэкали-озанноа яагружеяие возникает в местах контакта тонкостенных тел различный опорами, накладка»®, ребрами яесткостн и пр. Оно ха-актерно для шото машиностроительных конструкций. Например, в виастроении (см, М.В.Никулин, Прочность и динамика авиационных рига-гелей. - М,: Малипострсенма, 1965, - Внп.Э» - 0. 3-32) "при асчете на прочность корпусов авиационных реактивных двигателей риходится определять напряжешое и деформированное состояние ад-зшдрнческих оболочек в области приложения меотнах нагрузок. Мес-ащ приложения таких нагрузок являются точки подвеса двигателя, 'очют крепления крыльев зубьез в двигателях твердого топлива, :решгения стабилизаторов я при, С локальным нагружекием оболочек различных форм приходится иметь дело при расчета опорных узлов 1аков, цистерн, реакторов, испарительних колона, трубопроводов, герекр&тий строительных сооружений и т.д. Наличие концентрации [гзлряжений приводит к локальному разрушению и ггатере работосш-:обяости конструкции в целом. Поэтому разработка методов опреде-шия напряяэнно-деформированного состояния обслсчек к пластин гри лс!-'ачипованнкх воздействиях тешется решенной актуарной не-

ролнохозяИственяой проблемы.

Это мнение высказывалось в публикациях я других авторов. Так, в обзоре В.И.Моссаковскогэ и В.С.Гудрашвича (Контактная прочность пространственных конструкций. --Киев: Наукова дулжа, 1976, - С. 3-40) отмечается; что ''вопроси исследования поведен* оболочек при локальных нагрузках и контактных взаимодействиях с таются одними из наиболее актуальных в теории оболочек".

Именно актуальность вызывает повышенный интерес к проблеме в течение нескольких последних десятилетий. Псязилос.ь более тыс чи публикаций, посвященных расчету оболочек на локализованные воздействия, но поток та остается интенсивным-и в настоящее врс мя. В связи с этим возникает вопрос: не исчерпала .та себя пробл ма сегодня? Отвечая на пего, Б.К.Михайлов и Ф.Ф.Гаяноз а своем обзоре (Оболочки.и пластины при локальных нагрузках. - Дел. з ВИНИТИ, 1963, íf 6675 - 83) пишут, что "развитие исследований, связанных с разработкой методов расчета оболочек на локальные ; грузки, стимулируется не столько внутренними потребностями сам теории оболочек, сколько появлением новых инженерных проблем, ] которых локальные внешние воздействия на тонкостенные элементы конструкций являются основными, определяющими для дачной kohcti ции. В связи с этим не ослабевает интерес к сингулярным задача) теории оболочек". Таким образом, актуальность рассматриваемой проблемы вызвана технич-зскям прогрессом, трвбуадим соответству; щей научной базы.

Несмотря на значительные успехи в решении проблемы обеспсу Ния локальной прочности оболочек она нуздается в дальнейших ра работкБХ. Чтобы уяснить крут-вопросов, требующих дальнейшего г, следования, обратимся к докладу В.М.Даревского (Труды УТ Bcecci ной конференции по теории оболочек и пластин. - М. : Наука, 196' С. 927-934). В нем указано, что "весьма важно получить для орт 'аропной цилиндрической оболочки п для изотропных и ортотротшыг

»мочек других форм решения задач о действии на эти оболочки ло-ьльнах нагрузок, распределенных.по площадкам конечных размеров, сравнить их с соответстзувдими результатами для сосредоточенных [Грузок". Далее отмечено, что "в строгой постановке задачи о нажженном состоянии оболочки с подкрепляющими элементами, к кото-!М приложена нагрузка, так называемые задачи включения почти не осматривались". Прошло более 20 лат, ко многие из перечисленных пов задач не получили дойного решения. Особенно это касается тодов расчета наиряяений в зоне площадок нагружения конечных змероз, где отсутствие простых замкнутых аналитических решений язано со сложным видом функций Грина а фундаментальных решений, .счет в основном сводился к применений графиков и таблиц, по-роенных численным суммированием медленно, сходящихся тригономет-ческих рядов на ЗШ. Естественно, такая форма решения не в сос-яяив представить все многообразие вариантов,' связанных с раз-чннма размерами за формами площадок нагрутшя, а также пазлкч-ми размерами я формами оболочек. Поэтому сущестьует необходи-сть построения эффективных расчетных формул для вычисления ло-дькых напряжений в оболочках различных форм при действии нагру-к по площадкам конечных размеров.

Отсутствие простых форм функций Грина и фундаментальннх ре-нйй усложняет и тормозят решение многих- ваяных краевых а кон-ктных задач теория оболочзк, При решений контактных задач вклкь няя значительные успехи достигнуты только для замкнутых оболо-к зраяения, где проблема сведена к сингулярным интегральным эвяаниям, В явном аналитическом виде выделены особенности в • определения контактных реакций, но сам решения полученч чиста о. Анализ напряженного состояния оболочек в контактных зада- . í, как правило, не проводился. Поэтому существует необходимость зтроЙ!йя более простых форм фундаментальных решений й. анаямти- ■. зйогс регаонпя контактных р.р-рМ 0 анализом ргспроделй.чпя местных

- (, -

напряжений в оболочках.

Вычисление значений локальных напряжений в зоне малой площадки нагружения связано с суммированием тригонометрических ряд медленной сходимости. Как показал В.М.Дарэвский (Труды У1 Всесс юзной конференции по теории оболочек и пластин. - М.: Наука, I96G. - С. 927-954), при стороне квадратной площадки в одну coi радиуса цилиндрической оболочки погрешность меньше Ъ% будет обе печена при вычислении миллиона членов двойного ряда. Поэтому мз гократное вычисление напряжений при выборе рационального варкаг в проектировочных расчетах требует существенных затрат мзшинно1 времени. Такая ситуация возникает и при решении нестационарных динамических задач локального импульсного, нагружения, где исслб дуемый интервал времени разбивается па малые промежутки и в каг дом из них проводятся вычисления. Поэтому, чтобы избежать неоправданных затрат времени на ЭВМ, существует необходимость в рг работке экономичных методов расчета оболочек, основанных на прс тих и достаточно точных выражениях. Они желательны и при созда£ модулей слонных вычислительных-комплексов. Следовательно, разрг ботка экономичных методов не противоречит применению вычислите; ной техники, а расширяет ее возможности. Предпочтение простым расчетным формулам отдают не только инженеры, а к многие исслед ватели; Так, польский ученый С.Лукасевич в своей монографии (Лс кальные нагрузки в пластинах и оболочках. - М.: Мир,.1882. -544 с.) отмечает, что "в случае сосредоточенных нагрузок решен! в виде рядов следует избегать. Здесь желательны решения в замю .ной форме". Это в равной мере относится и к нагрузкам, распреДЕ ленным по малым областям. На необходимость создания практичесга удобных методов расчета указывает и в своей монографии B.B.Hepj байло (Локальные задачи прочности цилиндрических оболочек. - М. Машиностроение, 1983. - 248 е.). Он подчеркивает, что "к числу недостаточно исследованных проблем, важных как в научном, так i

икладном отношении, относится разработка практически удобных тсдов расчета оболочек, находящихся под действием локальных на-узок".

Изложенное показывает, что несмотря на имеициеся достижения теории локально нагруженных оболочек существует необходимость зработки эффективных методов расчета, позволяющих получить эстые формулы для вычисления местных напряжений и перемещений. т и продиктована цель проведанной работы.

Целью диссертационной работы является разработка аналитичес-с методов расчета оболочек на действие локализованных силовых срузон. Решается проблема оперативного определения местных нап-¡сений в тонкостенных телах в зоне локализованных внешних воз-1ствий, которая имеет важное народнохозяйственное значение, шретная целевая установка заключается в развитии методов плюральных преобразований Фурье для вычисления упругих напряжений, следовании влияния различных факторов на значения этих напряже-I и представлении результатов исследования в форме, удобной для шнерных приложений. Работа направлена на обоснование примене-г интегральных преобразований Фурье для приближенного аналиги-жого суммирования тригонометрических рядов в задачах локальной 1чности, разработку методики аналитического вычисления двойных юбстзенных интегралов в рассматриваемом классе задач, построе-! аналитических решений дифференциальных уравнений.оболочек с шой частью в виде обобщенной ила финитной функций,анализ схо-юсти полученных решений, установление погрешностей предаояен-форг.ул и границ та практической применимости.

Научная новизна исследования я полученных результатов заклкн тся в спедугацем. Предложен достаточно сбщий оригинальный метод лирического вычисления интегралов Фурье и Фурье-Еасселя но. помощью построены новые фундаментальные решения да^ферешщ- \ них уравнений поголпе оболочек двойной гауссовой кривпэ-ш а

пластины на упругом полупространстве. Путем аналитического инте рисования фундаментальных решений по двумерным областям получен достаточно точные простые замкнутые формулы для вычисления ягнр жений в оболочках двойной гауссовой кривизны, нагруженных по кр говой, эллиптической й прямоугольной площадкам, и определены гр ницы их практической применимости. В отличие от известных предо женние асимптотические формулы .учитывают размеры и форму облает: нагружения, форму срединной поверхности оболочки, закон распре д ления локализованной нагрузки. Обнаружено существование дая как дой формы оболочки Параметра подобия напряженного состояния е центре круговой и квадратной площадок нагружения.

Разработан оригинальный комбинированный метод вычисления н, пряжений в оболочках, основанный на совместном применении двойт тригонометрических рядов и интегралов Фурье. Показано, что с оп помощью можно в 20-25- раз сократить число членов, которое требу! ся дая расчета в методе двойных рядов. Выявлены условия резкого возрастания напряжений под нормальной локальной нагрузкой в па» лях отрицательной гауссовой кривизны, опертых на прямоугольный план. .

Сформулированы и доказаны теоремы, выражающие связь фундаментальных решений и функций Грина свободно опертой на прямо- -угольной план панели. С помощью этих теорем впервые обоснована аналитически возможность применения интех-'ральных преобразований Фурье дая приближенного аналитического суммирования тригонометрических радов в задачах локальной прочности оболочек. Показано, что формальней замена тригонометрического ряда интегралом Фурье равносильна аппроксимации суийлн некоторого бесконечного разложений одним его основный членом.

Построены новые аналитические решения контактных задач взаз модействяя панелей со штампами и ребрами жесткости. Установлена математическая аналогия в задачах кручения и растяжения-сжатия

подкреплении, йзучену особенности з распределении основных напря-кпин з оболочке у торца одномерного подкрепления, не выходящего край тонкостенного тела.

Последовало влияние деформаций поперечного сдвига на значения местных напряжений в панелях различии форм.

Поставлено и решено множество конкретных задач локальной прочности оболочек. Предложены оригиналышэ (формулы, новые графя-:ш л таблицы безразмерное величин для оперативного вычисления напряжений.

Достоверность каучнкх результатов, полученных в работе, обеспечивается применением строгих математических методов реэения зеходонх классических дифференциальных уравнений, качественным зостветствиам теоретических виводез ннаенернкм представлениям, хорошей согласованностью в частких случаях полученных результатов с известными теоретически:.!« и зкеперш.'АЦталшшл»: данвимн других авторов, а такие малши отлпчляш чисел, полученных в результате резегшя одних и тех гв задач мвмдаа интегральных преобразований и двоШшх тригонометрических рядов. Достоверность научных результатов подтверждается-полояителышм опытом их использования на практике.

Практическая ценность исследования обусловлена представлеки-эм конечных результатов в-форме, удобной- для.шгааяврных прилогсе-•!ий з различных областях техники. Так, предаонешше замкнутые пормулн позволяют:

- бистро и с хорошей точностью вучислйть глескше напряжения з оболочках различных форм, нагружекних по круговой, еллиптичес-"ой и прямоугольной областям;

- оперативно выбрать для заданной величины нагрузки размеры шяпадкя нагруженчя или толщину усиливающей начладан, обеспечивала работу панели в рам;ах допустимых напряжений;

- установите г-топет»--1*! закон раскроделешш. ичр'-ч-ой нагрузгя.

- 10 -

по намеренным значениям изгибных и тангенцлальных напряжений.

Обнаруженный в работе параметр подобия дает возматаость экспериментально определять местные напряжения.в тонокостеиньк элементах конструкций на их моделях в более удобньк условиях.

Полученные; формы равнопрочных стрингерон имеют меньшую мае по сравнению с ребрами постоянной жесткости, что дает экономию материала.

Выполненные теоретические разработки использовзлись пля об снопанного выбора рациональных параметров опорных узлов: цистерн бакоу, испарительных колонн. Они нужны для расчета на прочность корпусов летательных аппаратов, роактивнцх двигателей, кораблей и локомотивов.

По материалам диссертации составлены "Рекоменпацяи к вычас. напряжений в локально нагруженных оболочках"- куда вошла осноснь: формулы, графики и таблицы. Они 'представлены в форме, удобной дл инженерных приложений и переданы для внедрения в четыре научно-и следовательских и приектНо-коНсгрукторских института г. Харькова Их также.используют и расчетной практике два конструкторских бюро производственных объединений в г.г. Мариуполе л Днепропетровске. Разработанные .теоретические методы расчета, вошли в спецкурс по теории оболочек и применяются - и учебном процессе двух высших учебных-заведений В Г.г. Москве и Харькове. Результаты вНедрени) подтаержиенн соответствующими документами в форме актов и справо!

Апробация работы. Основные.результаты.диссертации докладывались авторами на Всесоюзных конференциях по теории оболочек и пластин (Ленинград, 1973 { Харьков, 197?) ; Всесоюзной конференции по статике и.динамике пространственных конструкций (Киев, 19" Всесоюзном семинаре-совещании по оптимизации в машиностроении (Харьков, 1982) ; Республиканском симпозиуме по концентрами напряжений (Донецк, 1983),Всесоюзной конференции по проблемам

сения материалоемкости силовых конструкций (Горький, 1984); ююзнсй конференции по теории упругости-(Тбилиси, 1984); Все-ikom симпозиуме по математическим-методам механики деформируе-| твердого тела (Москва, IS84); Всесоюзных конференциях по 1анннм задачам механики деформируемого тела (Харьков, 1985; :са, 1989); Всесоюзных;конференциях то современным проблемам «тельной механики и прочности,летательных аппаратов (Куйбы-1986; Казань, 1988); Всесоюзной конференции по тонкостенным юстранствэнным конструкциям покрытий.зданий (Таллин, 1986); ¡озезной конференции по прочности,, жесткости и технологичности 1лий пз композиционных материалов (Запорожье, I9B9),

Отдельные результате.диссертации докладывались на семинарах 1рьковском Доме техники под руководством шад.АН УССР В.Л.Рва-i; в Московском автомеханическом анстиТуте на семинаре под ру-|Дством чл.-корр.АН СССР Э.И.Грйголияа; в Московском авиацкон-икституте. на' сешшарах "Статическая-я дшетческай прочность »стенных конструкций" под руководством, акад. И.Ф.Образцова, ■корр. АН СССР В.В,Васильева, проф. А.Г.Горшкова а "Првклад-методы в задачах прочности" под руководством акад. И.Ф.Обраэ-I, проф. Б.В.Нерубййло, К.т.н. Ю.О.Матгйева, д.ф.-м»н. A.A.-гана. Диссертациям целом обсуждалась на семанарз по механике иной среды в Донецком государствегшоьг университете под руко-' ¡твом чл.-корр, АН УССР А.СДос'модамяанекого,' йа семинаре по отке деформируемого, твёрдого, тела в Московском автомеханики институте под руководством чл.-корр. АН СССР Э.И.Грйголю-на семинаре по динамике и прочности каши в Харьковском по-¡хническом институте под руководством проф. С.И.Богомолова; ¡еминаре по механике пластин и оболочек в Институте проблем тики АН'СССР под руководством проф. А.Л.Гольденвейзера; на |диненном семинаре кафедры теоретической механики и лаборггб- . механики оболочек Казанского государственного университета

под руководством проф. Ю.Г.Коношюва.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 47 статьях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений. Текст диссертации занимает 299 страниц, иллюстрации (12 рисунков и 67 таблиц) - 65 страниц. Библиография содержит 253 наименования на 20 страницах. Приложения занимают 32 страницы. Общий объем работы - 424 страницы.

f.

. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко изложено состояние проблемы, сформулировала цель исследования, перечислены основные положения, вынесзн-нне на защиту. Наличие депонированного обзора И.Ф.Образцова, Б.В.Нерубашго, В.П.Ольшанского (Оболочки при локализованных воздействия);. - Деп. в ВИНИТИ, 1988, Je Б-88.1222) позволило ограничиться в диссертации кратким анализом состояния проблема и перечислением основных достижений при ее решении. Они состоят в еле-думцем: ■

1. Установлена возможность использования уравнении оболочек с большим показателем изменяемости для определения местных напряжений з "зоне приложения локальных нагрузок (А.Л.Гольденвейзер, Ю.Н.Работнов, Г.Н.Чернышев).

2. Изучен характер особенностей напряженного состояния в окрестности точки приложения сосредоточенных сил и моментов (В.М.Дарэвский, В.В.Новожилов, К.Ф.Чернггх, Г.Н.Чернышев, A.C. Христенко). Показано, что для основных напряжений он не зависит от формы среданной поверхности оболочки. Особенности-определяются старшим оператором дифференциальных уравнений, который не содержат параметра кривизны. Они являются такими, Kai? и при действии сосредзточзнакх источников на пластину.

3. Построены фундаментальные решения дифференциальных уравнений оболочки, которые можно использовать в качестве ядер интегральных уравнений при решения граничных и контактных задач. При этом установилось два основных подхода. В первом фундаментальные решения строят в виде комбинации сингулярных решений однородных дифференциальных ураЕнений так, чтобы особенность соответствовала заданное сосредоточенному воздействию (А.Я.Гольденвейзер, {.А.Кпль, Ю.Н.Работнов, А.С.Христенко, ТД.Врченко, w.Flügge ,

ä.Riling , к.i'orsberg и др.). Во втором строятся решения неод-юродных дифференциальных уравнений о правой частью в виде дель-га-функции двух переменных. Такие решения представляются:

- двойными тригонометрическими рядами (В.З.Власов, В.М.Да-эзвский, Ю.ПАгалко, Б.С.Ковальский, Б.В.Нерубайло, С.П.Тимошенко« P.De^laarä , Т.Chao » K.líiaogueiii , Н.Нв1зпег и ДР.);

- одинарным тригонометрическим рядом по одной переменной и ¡нтегралом Фурье - по другой (Э.И.Григолш, В.М.Даревокий,. иН.Иаксиюнко, Б.В.Нерубайло, В.М.Толкачев, Л.А.Фйльштянский, [„Sing . S.Yuan и ДР.)г.

- в двойных интегралах Фурье (П.М.Величко, С.Лукасввич, 1.К.Хизшяк, Ю.А.Шевдяков, В.П.Шевченко, К.Но , F.Chen , J.San-lers , J.Simmonda и др.);

- в форме плоских волк (Ю.П.Артюхин, В.Г.Немиров, Г.Н.Черны-:ев, M.Ietsueya , M.Osamu );

- с помощью обобщенных* аналитических функций (З.И.Григолюк, .А.Фильттинский), .

4. Изучено влияние граничных условий На локальное напряжен-ое состояние (П.М.Величко, Н.Г.Гурьянов, А.М.Калько, Б.К.МихаЙ-ов, ЛЛ'.Могилелкин, Б.В.Нерубайло, В.П-.Шевченко и др.). Показа-о, что при значительном удалении.нагрузки от краев оболочки £ра-ичныг».'условия слэ.бо влияют на распределение мастных Напряжений, ид закрепления торцоз больше влияет на перемещения, <тм на ня- .

пряжения,

5. Изучено влияние поперечного сдвига, ортотропии и неодпс родности материала на значения местных напряжений (Ю.П.Артюхин, В.В.Басильев, А.К.Галйньш, Н.Г.Гурьянов, Ю.П.Яигалко, С.Лукасе-вич, Л.И.Могилевкин, С.Н.Сузгинин, И.Г.Терегулов, В.К.Хидаяк, В.П.Шевченко; А.С.Христенко, R.Cooper , J.stupaicki и др.). Ус таиовлено, что при учете поперечного сдвига появляются логарифмические особенности в выражениях прогибов и тангенциальных уси лий под сосредоточенной нормальной силой, которые отсутствовали при использовании уравнений» построенных на гипотезах Кирхгофа-Лява. Учет ортотропии не меняет характера особенностей напряжен в точке нагружений сосредоточенным источником.

6. Проводейа экспериментальная проверка значений местных н пряжений в оболочках при их локальном кагружении (Н.Г.Гурьянов, В»В.Кяисеев, Ю.^Койоплев, Б»В.НерубаЙло( У.В.Пикулин, А.В.Саче Ков,- E.Hennig ^ A.Tooth и др.). Подтверждена .экспериМентальн возможность использования прикладных теорий оболочек в задачах локальной прочности тонкостенных тел.

7." Проведено сравнение решений уравнений оболочек с решони ями уравнений трехмерной теорий упругости. Установлено, что решения, полученные На основе прикладных теорий, имеют более слаб особенности, Чем решения уравнений трехмерной теории. Но по мер увеличения размеров алс-щадки йагружения погрешности уравнений оболочек уменьшайся и при достижении диаметром Круговой площаД ки двух толщин оболочки их южно использовать в инженерных расчетах (Й.И.ВоровйЧ, С.ЛукасевйЧ, Н.А.Поляков, А.Ф.Улитко, Ю.А.У танов» Ю.А.Шевляков, В.П.Шевченко).

8. Изучено влияние фйЭйческой и геометрической нелинейное-тей на локальное напряжение и деформированное состояние, (А.Я.Ас тахова, М.С.Корнишин,.Л.И.Могилевкин, И.Г.Терегулов, В.И.Фео-досьов, С.М.Черняков).

9. Исследованы особенности решений при действии сосредото-ниых сил на торце тонкостенного тела (С.Лукасевич, В.Н.Макси-нко, Б.В.Нерубайло, А.С.Христенко, И.Л.Шаринов,Е1та D. и др.).

10. Изучено действие локальных нагрузок на оболочки, под-апленные ребрами жесткости, накладками и другими элементами .А.Антуфьев, Е.В.Бинкевич, В.В.Власов, С.И.Галкин, Э.И.Григо-к, В.С.Гудрадавич, В.А.Заруцкий, Ю.Г.Коноплев, А.П.Кузьманко,

H.Максименко, В.И.Моссаковский, В.М.Толкачав, Х.С.Хазанов, В.Шклярчук, Н.А.Федоров, Л.А.Фильштинский, H.Hoff , F.Flaher , Salerno И Др.).

11. Предложены различные постановки контактных задач теории ояочек и эффективные методы их.решения. Определено влияние де-рмаций поперечного сдвига.и обжатия по толщине на характер рений. Систематизированы исследования и проанализированы причины зических и математических некорректностей, вознйкахвдах при рении контактных задач. Установлены особенности в распределениях нтантных реакций при взаимодействии тонкостенных тел с коротыш ребрами и штампами (В.М.Александров, Ю.П.Артшин, И.А.Бир-р, М.В.Блох, Л.В.Божкова, Э.И.Григолюк, В.С.Гудрамович, С.Н.Ка-зев, Т.Н.Карпенко, Г.И.Львов,Е.М.Макеев, В.Н.Максименко, i.t/ЬссакозскйЙ, Б.Л.Пелех, Ю.В.Соболев, М.А.Сухорольский,

I.Попов, В.М.Толкачев, Л.А.Фильштинский, В.Ф.Чижов,к.вгапаек , Krupka , p.liaghai , С.ВвзИта , P.Taal И Др.).

12. Исследовано действие локальных тепловых источников и хазано, что нагрев в точке можнб заменить соответетвуэдими сизыми нагрузкатли (Б.В.Нерубайло, И.Ф.Образцов, Г.НЛернышев,

I.Шевченко, Vi.Fltisg« , K,Sh.irakava. ) ,

13. Кроме аналитических, разработаны численные методы рас-га полей локальных напряжегай в'оболочках (А.Я.Астахова,

Л.Гвитог-екко, Л.Н.Ыогилевк'ш, Й.А.Родионова, Г.К.Судавцова,

i4 ." \ntei; и др.). ■■''•.

14. Решено■множество технических задач, связанных с Действием локальных нагрузок на оболочки (Б.А.Антуфьев, Б.С.Ковальский, А.П.Кузьменко, С.К.Передерий; X.СЛазанов, Ф.Н.Шклярчук, K.Hizosuchi , Л.Tooth И ДР.).

После анализа состояния проблемы дано обоснование направления исследования,.сформулирована цель исследования и приведены основные научные положения, выносимые на защиту;

- метод аналитического обращения интегральных преобразований Фурье, позволивший построить фундаментальные решения уравнений пологих оболочек, а также функций Грина для пластины на упругом полупространстве в форме, степенного ряда, умноженного на логарифмическую функцию;

- метод аналитического интегрирования фундаментальных решений по двумерным областям при нагружении оболочек нормальными и касательными силами по круговой, эллиптической и прямоугольной площадкам;

- исследование погрешностей и обоснование границ применимости метода интегральных преобразований Фурье в практических расчетах оболочек на действие локализованных нагрузок;

- комбинированны!! метод вычисления локальных напряжений, со-четаоднй двойные интегралы и ряды усиленной сходимости;

метод двумерных отображений как способ убыстрения сходимости тригонометрических рядов' медленной сходимости и построенные с его помощью представления функций Грина для опертой на прямоугольной план панели; ч

- теоремы о преобразовании двойных тригонометрических рядов s разложения быстрой сходимости, члены которых - интегралы Фурье; доказательство этих теорем и следствия, вытекащие из них;

- постановка й аналитическое решение контактных задач теории оболочек сведением к сингулярным интегральным уравнениям в ядром в виде степенного ряда С логарифмом, а также анализ напряженного

остояния тонкостенных тел в зоне контакта со штампами и стрин-ерами ;

- численные результаты, полученные при решении задач локаль-ой прочности оболочек различных форм,

В первой главе излагаются истоки метода интегральных преоб-азований в теории оболочек, анализируются его возможности, пре-мущества и недостатки по сравнению с другими методами. Прово,дит-я краткий обзор способов обращения .двумерного преобразования урье (вычисления несобственных интегралов). Далее строятся ин-егральнш представления частных решений дифференциальных урав-ений моментной технической теории тонких пологих упругих изо-ропных оболочек, записанных относительно трех проект«! вектора времещаний и , V , IV , на координатные оси X , у ,2- ло-альной ортогональной системы

+ - (I)

j = ГГз.

Здесь Lji , Ьр > !-р - известные дифференциальные опе-аторы с постоянными коэффициентами; Pj(X,)¡) - проекции внешней агрузки, локально распределенной по некоторой области .

С' помощью двумерного преобразования Фурье

—СО

Ифференциальнне уравнения (I) преобразованы в систем линейных лгебраических уоавненяй относительно трансформант перемещений 1 , V , VI . Построено единственно возможноз решение систем. Затем проведено обращение трансформант по формуле

* . со

г (К у)- 7П7Т // ПО^^с/Ыт]

' —оО

Таким путем получены в общей форме выражения перемещений и напряжений. Например, выражение прогиба от действия нормальной нагрузки р5(Х,У) (/), = рг^0) имеет вид

w(x-у)' Wb'/ß' (t> ^ '

(2)

^"(^A^f-T'e'^didq.

зяось P/Lyhffß (КУ г), Eh3 . i2U- v'-), / «г\ ,

Rj > - радиусы кривизны срединкой поверхности оболочки толщиной h ; Е > V - модуль упругости и коэффициент Пуассона ее материала;^/? А совпадает со знаком гауссовой кривизны поверхности.

Основная трудность реализации метода интеграиьчкх преобра-. зований состоит в вычислении несобственных интегралов» Квадратуры имеют наиболее простой вид при действии на оболочку единичных сил, сосредоточенных в начале координат и направленных вдоль осей. В этом случае

и частные решетя называются фундаментальными.

При построении фундаментальных решений установилось три основных подхода. В первом .интегралы разлагаются в тригонометрический ряд по полярному углу й в ряд-функций Томсона (или им подобных) по полярному радиусу (П.М.Величко, С.Лукасевич, Ю.А.Шевляков, В.П.Шевчекко, к л о , F.Chen , .т. Sonders ). Во втором подходе один интеграл берется аналитически по теории вычетов, а второй - чис-

лонно (С.Лукасевич). При этом нет возможности получить коночный результат в виде замкнутых формул. Третий подход разработан в первой главе. Он позволяет представить интегралы Фурье в виде тригонометрического ряда по полярному углу и степенного ряда с логарифмом по полярному радиусу. Такая,форма решения является более удобной по сравнению с том, что дают другие подходи. Во-пер-знх, она позволяет получить замкнутые асимптотические формулы для вычисления несобственных интегралов в окрестности точки приложения сосредоточенной нагрузки. При малых значениях аргумента степенные ряды быстро сходятся, и ударкшше их нескольких начальных членов дает простой замкнутый результат. Во-вторых, она более удобна в вычислительном отношении, когда приходится использовать фундаментальные решения в качестве ядер интегральных уравнений.

Согласно разработанной методике произведения тригонометрических функций разлагаются в рядыАнгера-Якоби

С05(Сх)С05(7}У) « Ы2-дК0)(-(¡Г)С05(2кфШШ,

К'-О .

где £ = усо$(р, Т] = р1П(р, . ГС05 в, у*ГМ д;

функция Бесселя первого рода порядка Г); дКо. символ Кронекера.

Это позволяет Преобразовать двойной интеграл 4урье,в ряд, члены которого - одинарные несобственные ийтеграта по J ^ Применительно к (2) такое преобразование дает:

и/ = Г (2-дКо)(- /)КФК (Г, Л )С05 (2 к в); :

О ■ ■ . : ■■

/ (ф г >), 7_ША

Для вычисления ¡-к((р,Г, Я) применяется преобразование Меллм

£к «д К)ар,г юг5'с/г.

В пространстве изображений Меллина интегрирование по ^ проводится с помощью выражения

г гу . (_41ЙШ1Г31

в котором Г^) гамма-функция.

Далей обращается изображение в оригинал

^ 6 '/со _

Таким образом, вычисление интеграла на положительной вешес! венной полуоси сводится к интегрированию вдоль прямой, параллелг ной мнимой оси4 Последнее осуществляется по теории вычетов. Полк сы подинтегральной функции расположены в точках вещественной ост где аргументы гамма-функций равны нулю или целым отрицательным числам. 'Кроме множества простых полюсов, на вещественно;! оси идх ется множество полюсов второй кратности. Поэтому при вычислении вычетов в них, кроме обычных степеней полярного радиуса, появляются степени Г, умноженные на 1пГ . После интегрирования по Ц квадратуры приводятся к тригонометрическому ряду по 6 и степе! ноцу с логарифмом по Г Так, для прогиба оболочки под действи! единичной сосредоточенной силы при Л 5-0 получено

-21 -

r0)_ (2-8«о)Г'т+к)[(z,~ /)/и, +

ZirDbf Г (к* ОГ(т+ОГ(т+2к*ОГ(т)

*f [[<» 'тг, *

fAmJZ.f)- ip(m+/)~ {р(гп*2к+1) - tp(rr)i к)- ifi(m)]*

* sm^H+fcQS^fn}- bf^b*.

&m*(Zr)= V-JK (Zf) VmK (Z-<) ; VmKUi)*3Ft (1-m; t-m-K \ K+1-, j^y ) ;

ljj(Z) - пси-функция;^/^ fulfil Ji ' ~ гипергеоыетрическая

Йгнкция.

Аналогичные фундаментальные решения построены для других перемещений и напряжений При действии нормальной и касатачыгах сил.

Усекая ряда, пыпишом асимптотические формулы поведения фундаментальных решений в окрестности точки приложения сосредоточенного источника. Для перемещений от нормальной силы они имеют вид:

и = -¡Щ [(А' ШЛ+(2А + АУ- ПА3 ] ;

Из асимптотического выражения IV при Г = 0 следует известная формула Г.Н.Чернышева для прогиба оболочки двойной гауссовой кривизны под сосредоточенной силой X .'

Цилиндрическая оболочка характеризуется нулевым значением параметра И . В асимптотических формулгх становятся безконечными IV и Кц . Таким образом, в случае цилиндрической поверхности вырождаются фундаментальные решения для прогиба л окружного тангенциального перемещения от действия нормальной силы.

В заключительной части первой главы проводится упрощение фундаментальных решений на линиях главных кривизн. Так как на йях X - 0 или у» 0, отпадает необходимость разлагать в ряд Ангера-Якоби произведение тригонометрических функций. Б связи с тем, что исчезает ряд по К , разработанная методика сводит двойной интеграл Фурье к одинарном!' степенному ряду о логарифмом по отличной от нуля координате. На линиях главных кривизн оказывается просуммированным ряд по полярному углу в Фундаментальном решении.

Например, выражение прегиба на линии у~ 0 представлено в

виде:

И!--1(^тЫ/тШп Цр- + И^ (А)] ;

&М=>С Л{, М; = /- Л..

Такие разложения удобны при рассмотрении.контактного взаимодействия оболочек с линейными штампами и ребрами..Они позволяют .построить аналитические решения контактных задач..

Во второй главе проведено исследование распределения местных напряжений в оболочках различных форм при действии локализованных, т.е. распределенных по конечным облабтям,.нагрузок; Конкретно рассмотрены площадки круговой, эллиптической и прямоугольной форм, которые наиболее часто встречаются"® инженерной практике. Плотность распределения нагрузки задавалась-В'виде степенной функции с произвольным показателем. Предполагалось, что область приложения Нагрузют значительно удалена от краев тонкостенного тала, так что можно пренебречь влиянием граничных условий'на значения мастных напряжений. Это дало возможность' определять их'с помощью частных решений дифференциальных уравнений оболочек, по-строештнх в первой главе. Проблема заключалась в конкретизации функций р. (X, У) и вычислении соотаэтствузшгах им интегралов' Фурье.

- и -

В случав круговой области нагружения, гентр которой лэяан } начале локальной системы координат, плотность распределения нагрузки задавалась функцией

а,у)е & (3) О (х, у) ф & ,

где $ - радиус круга; Pj - величина внешней сили.

Положительные ^ дают регулярные распределения с нарастанием давлений по шре приближения к Центру площадки. Отрицательным соответствуют сингулярные распределения с особенностью на границе круга Г = Я . йрйр = 0 плотность нагрузки постоянна в области и терпит скачоК до нуля на ее границе. Значениям // = ± 1^2 соответствуют известные распределения в контактных задачах Герца и Садовского. При р-*- -I нагружение по кругу переходит в нагружение по окружности (границе круга). Таким образом, распределение (3) позволило рассматривать различные варианты нагружения.

Проблема определения местных напряжений сводилась к вычисле нию несобственных интегралов типа (2), в которых изображения р. Т}") заменялись их выражениями через функцию Бесселя

По изложенной ранее методике интегралы разлагались в тригонометрический и степенной ряды с логарифмом, которые быстро сходятся при малых значениях аргумента. Поэтому в случае небольших размеров крута, когда существенна концентрация местных напряжений путем усечения рядов, были предложены замкнутые формулы. Например, для вычисления тангенциальных усилкй Т/ , Т0 и изгибал-

щих моментов от действия силы получено:

-- - -!ы /'и ТАУ

/ <4>

-Щ71Г1 ■

Л,= Д- <У-ЛУ/'Л)1 Д-У/- У/'

Для некоторых частных значений ^¡7 и Л интегралы Фурье сведены к табулированным функциям Томсона.

Путем сопоставления результатов расчета по асимптотическим формулам и с помощью таблиц специальных функций установлены погрешности асимптотических выражений. Например, погрешности формул (4) не превышают 5%, если ^ I.

Проводитесь такие сравнение результатов расчета по асимптотическим формулам с известными в литературе. Так, в-табл.1 выпи-

-1

вычисленные в центре круга при /\ = 0, ^ = 0 по формулам (4)

саны безразмерные значения изгибагацих шментов ~QjP} ,

и с помощью ЗВД в работе П.М.Величко и др.;

х)

Таблица I

Из графиков работа По формулам (

6 mf 6/л| 6

2. . 1,30 - 1,60 1,28 i,6i

6 0,63 0,93 0,64 0,95

1° 0,38.' 0,67 0,40 0,68

Малые отличия чисел, полученных различными путями, подтве дили хорошую точность1замкнутых решений (4),

Наряду с действием локально распределенных сил рассмотрен действие на оболочки «.локализованные моментов. Их плотность в давалась выражением

, #| * н ф АЛ?

трп

[}0

t?

при Гг£ R

r>R,

при

в котором - символ Кронекера. При Я = I вектор внешнего момента величиной М/ коллинеарен оси у , а при К = 2 колли неарен оси X • Интегралн Фурье разложена в ряды, в результат усечения которых предложены замкнутые формулы для вычисления и гибаицих моментов в зоне площадки небольших размеров. При А = интегралы сведены к функциям Томсона.

Далее исследованы оболочки различных форм при действии но. мальннх и касательных сил, распределенных по эллиптической области с полуосями С1 и Ср . Плотность распределения нагрузки

.'-'Величко A.M., Хияияк В.К., Шевченко В.II. Местные напряжения,: оболочках пояснительной, щелевой и отрицательной кривизны // Тгуд'г) Десятой Всесоюзной -конференции по теории оболочек и гла^Н!.-Тбилиси: Мэцииерейа, 1У75. - T.I. - С. 3J.--4I.

вдавалась финитной функцией

О я ,

зторая переходит в (3) при Cf = C¿= R .'Ей соответствует зображение , ^ ¡

- J^i^iW^cñEJ).

з изложенной вше методике интегралы Фурье разложены в ряды. 1К, в центре площадки в предположений, что Cf^C¿ при дейст-!и сила Fj получены следуядие выражения изгибающих моментов:

bsBf+vB¿i G¿ = B2 + vBf->

,г.т „ o^tíllíatíáiMÉL с ,

[[2ln^p- -ip(m+fj+2)-!¡j(í*m-n)-HKm„(C,)l'\ - f-^

= /-Л ; HKmn(¿f)=~(SHrnn(^)) 5л/77/7 (í /) í

кто

n+2-> €*).

~ ¿а ~

Из них следуют асимптотические форцулы

>(2+ Пс^-И'Щф (^¿)сЦ2)]}, /Т.

Изучалось влияние формы эллиптической области нагружения на распределение местных напряжений. Значения безразмерных изгибающих моментов /Ту ~ Р3 1,2.) , вычисленные в цилиндрической оболочке по ао^мптотвческим фррмулам (б), указаны в табл.

Таблица 2

( у 6/?

7 л. 0,2 0,6 1,0

1/4 5,91 3,22 2,23

I I 6,89 4,09 . 2,87

4 6,73 3,93 2,70

1/4 8,14 6,38 4,20

2 I 8,29 5,47 4,20

4 7,29 4,48 3,25

Нагружение осуществлялось равномерно распределенной силой. Менялась -рорма щгошадки, а площадь оставалась постоянной, равной /г/ При отношении полуосей X = 1/4 область вытянута вдоль образуше цилиндра, а при X = 4 она вытянута вдоль направляющей окруянос ти. Нервы;: вариант нагрукопия более опасен, чем второй. В семействе рассмотренных равновеликих эллиптических площадок наибольш! лзгябожмв мо^нти возникает при ьаттуаеипп тотшдра по кругу

( X. =1). Этот вывод подтвержден ькспоримептально Н.Г.Гурьяновым и Ю.Г.Кононлевым (ом.Труды У1 Всесоюз.конф. по теории оболочек и пластинок. - М.: Наука, 1863. - С. 361-Г<35).

При исследовании напряженного состояния оболочек, нагруженных по прямоугольной области с размерами 2Ь1 , , плотность нагрузки задавалась футсгчей

>, У) я/;,/?, !¡р*/)Г(а< 1) (' л// ( к) ■

Интегралы 5урье разлагались д ряды, а для небольших размеров площадки предлоклни замкнутые асимптотический Формулы, Так, пзтзд-багалие моменты в центре прямоугольника при р~- (7=0^ Л Ъ-0 представляются вирадишямч

1 ¿'тг I Ч 1+\Гк (в)

1-^агс^-, у'; П.

Особенно простой вид формулы (3) приобретают для цилиндрической оболочки, нагруженной по квадратной площадке. В этом случае ¡1{ - - /?

о 11

Сl^-PJ0,05f? In 0,0321-DM№ffi;

4 = P3 [0,051?In ; (6

4 -4Л"'.

, В табл.З содержатся безразмерные значения изгибающих моментов Gj-Uj pjj , вычисленные с помощью формул (б') и нома грамм р.В.Нерубайло (см,Локальные задачи прочности цилиндричос кех оболочек. - М.: Машиностроение, 1983. - 248 е.).

Таблица 3

— J Rh" 4 из номограмм s по формулам (6)

100 0,03 0,16 0,159

I 400 0,05 0,05 0,060

900 0,01 0,16 0,159

50 0,08 0,15 0,152

2 400 0,05 0,10 0,104

600 0,04 , 0,10 0,105

Номограммы построены суммированием: на ЭВМ двойных тригонометрических рядов дая замкнутой цилиндрической оболочки длиной

/у = ^

. Асимптотические формулы обеспечивают удовлетворй-тельвув точность несмотря на то, что в Них не учитывается влияние граничных условий и периодичность решения' по окрукнон координате .

. Из аналитических решений сукууот, что лря действии нормая: ной сглы по круговой атоивдке з центре ее безг.-азь:ернш значение

дгенциальных усилий 77= 77Ы^ 1~ Р*) и изгибающих мо-нтон = при -фиксированном Л определяются только

дим параметром ЬЯ. При распределении нагрузки по квадратной ласти таким параметром начнется ЬЬ0 . Их можно рассматривать к параметры подобия напрякешого состояния и использовать в делировании.

Поскольку в методе интегральных преобразований не учитывался влияние граничных условий, возник Еопрос о границах практи-ской применимости формул, предложенных во второй главе. Для вета на него проводился численный эксперимент, состоящий в оп-делении влияния свободно опертых краев на значения местных на-янений и перемещений. Рассматривалась панель, опертая нй квад-гный плач с размерами 10 Ь .3 центре она нагружа-

ть по маной квадратной площадке. При фиксированном Л менялась ничяна / и вычислялись значения прогибов, тангенциальных уси-!1 и изгибающих моментов методами интегральных преобразований и зйннх тригонометрических рядов, которые суммировались численно ЭВМ, В результате ка плоскости параметров /1 , [0 была вы-тена область» 1'де с погрешность» менее 5% можно применять форты» следующие из метода интегральных преобразований. Оказалось. 5 для оболочек отрицательной гауссовой кривизны эта область содит на большие значения [0 , когда нарушаются условия полости оболочки» полоненные в основу исходных Дифферёйцяатышх 1ВН6НИЙ, т.е, зона возмущения от локальной нагрузки так вели, что в ее пределах метрику на поверхности нельзя отойдествлятЬ метрикой на плоскости. В этом случае расчеФ методом янтеграль-с Преобразований теряет практический смысл.

В ходе численного эксперимента показано, что при выполнении отношения -

и;- \fRiR;'

между размерами■прямоугольного плана и радиусами кривизны срединной поверхности панели отрицательной гауссовой кривизны в ней резко увеличиваются прогибы и изгибакщие моменты под нормальной локальной нагрузкой. Для псевдосферы ( А = - I) такой план является квадратным. Из ланелай различной кривизны, опертых на прямоугольный план, псевдосфера имеет самые большие значения прогибов и изгибащих моментов под нормальной силой.

Для расчета пологих панелей двойной гауссовой кривизны, опертых на прямоугольный план небольших размеров, разработан ком бинировашшГг кечод. Он основан на выделении из тригонометрически рядов составляющей медленной сходимости, порожденной дифференциальным оператором пологой сферы. Эта составляющая быстро затухает по мере удаления от области внешнего воздействия и с высокой точностью аппроксимируется интегралами Зурье, которые вычисляютс аналитически для рассмотренных форм площадок. Оставшаяся проника едая часть решения (невязка на отклонение заданной формы поверхности от сферической) представляется тригонометрическими рядаги, которые быстро сходятся'при вычислении как перемещений, так и напряжений. В результате удалось в 20-25 раз сократить число чле нов, которое требуется для достижения той же точности вычисления напряжений методом двойных тригонометрических рядов. Эффективность комбинированного метода особенно высока при действии касательных сил и изгибаицих моментов по малым площадкам нагрукения, когда сходимость решений в рядах очень медленная.

В заключительной части второй главы проведен краткий анализ соответствия теории и эксперимента (результаты расчетов и измере ний в оксперимепте вынесены в приложения). Использовались извест ныр опыт» /1. Т00Г/1 , проведенные'на сферической панели. Сравненье чоказ'ело, что в внаенорниг расчета;-: молю прпмпплть уравнений ш/онтпой технической теории, с сяк 1 аз моры пло;цад;си. нагрукения превкхат' удвоенную толадкну тонкостенного тела.

Третья глава посвящена разработке методов суммирования три-онометричоских рядов медленной сходимости с помощью фундамен-альных решений. Одним из них является метод двумерных отображе-ий. В работе указываются истоки появления отображения в теории ластин и оболочек. Отмечается, что прежде применялись отображе-ия по одномерной схеме, когда функция Грина разлагалась в ряд

0 фундаментальным решениям, периодическим по одной переменной, сходя из статико-геометрических соображений в работе предложена вумерная схема, где суммируются непериодические фундаментальные зшения по формуле

00 1 к* /

Я (К. у/, К у') = г е 11 (- О ч> %));

у т,п---оо к,у (7)

Здесь Фг - функция Грина панелп, свободно опертой на пря-зугольный план с размерами , /г I X' , у' - глобальные )ординаты, центр которых находится в углу панели, а оси направ-шы вдоль ее сторон; КХ1 , у/) - координаты точки приложения )рмалыгой силы.

При действии касательной силы,коллинеарной оси л , или шента с вектором, кодлинеарным оси у' , суммирование прово-(тся по формуле

чку;ху')= ге ееп)]фф(хтк,уп]). (8)

/*>/?.--те К, 1=0

Основной сингулярный член разложений (7), (8), соответству-

[ий ГП » Г) - К = У = 0, в явном аналитическом виде содер-

/ /

т особенности функций-Грина в точке (Х1>у1), которые совпада-

1 с особенностями Фундаментальных решений. Экспоненциальное . ывание на бесконечности фундаментальных решений обеспечивает

■быструю сходимость предложенных разложений, поскольку с ростом модулей тип возрастают и аргументы суммируемых функций. Если функцию Грина разложить в двойной ряд Фурье, то выражения (?) и (8) переходят в формулы суммирования тригонометрических рядов с помощью фундаментальных решений.

•Далее, привлекая известное в теории обобщенных функций соотношение

00 оо

1 е"** = д(х<~2ттг),

/77=-оо «*>

.формулируем и доказываем две теоремы, выражавшие связь тригонометрических рядов с интегралами Фурье. При выполнении условия.

первая теорема дает соотношение

оо оо

= 1Ф ii ее ПРИаЦфкЦ /хт1) > <э>

(/I т,п=-» к,1=0 О

Согласно второй теореме

ОО Оо

ii аат,п)5татх'1)$тагпх')со5(тр) =

т-1 п-0

41 i (-1)К[^Та(ШсозЦ /х^Ос/й +

С Л гпс-со н-0 о

Оо

+ i //а (й, т))соб(£ 1хп]х1)соз(т]12гип 1.

Первая теорема применяется при суммировании-двойных тригонометрических рядов, определягацих напряженно-деформированное состояние опертой на прямоугольный план панели, а вторая - опертой по торцам замкнутой цилиндрической оболочки.

В правой части выражения (9) интегралы Фурье при Л О убывают по экспоненциальному закону. Поэтоцу при Х'—Х}, у'—у/ в разложении модно сохранить только основной член, соответствующий m=П=Kzzj-0. Это равносильно аппроксимации двойного тригонометрического ряда интегралами Фурье, которая проводилась во второй главе при построении замкнутых аналитических решений для конечных размеров площадок нагружения. Разложение (9) в аналитическом виде дает погрешность такой аппроксимации и открывает возможность определения вклада шарнирно-опертых краев в значения напряжений и перемещений под локальной нагрузкой.

К выражению (9) мо;шо также прийти из метода двумерных отображений. Для этого функции Грина в (7) нужно разложить в двойной ряд, а фундаментальное решение построить с помощью .двумерного преобразования Фурье. Таким образом, двумерные отображений являются статико-геометричесКоп интерпретацией теорем, доказанных аналитически.

Теорема I и вытекающие из нее следствия применялись для расчета сферической панели, опертой на прямоугольный план. Двойные тригонометрические ряды преобразованы в разложения быстрой сходимости по функциям Томсона. Проведено преобразование рядов и для цилиндрической панели. С помошыо дзета-функции Римана в замкнутом аналитическом виде представлен вклад опертых торцов в значе-нйя тангенциальных усилий и изгибающих моментов под локальной нагрузкой. Так, при совпадении центра площадки Нагружения со срединой образующей цилиндра учет этого влияния мояйо осуществить по формулам (/)/> >10):

■л Tg fjtód- ))г) 2 Г 0.0997 0.0847 1 .

Л bt, (Ы,?г

7 (Í~V) [ 0,0788 + 0,0309 (blf)~l + 0,0219 (Ы,)~2]} .

Проводилось сравнение значений усилий.и моментов, вычисленных предложенным ш то дом, с данными Ю.ПДигалко и Н.Г.Гурьянова (см,Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казанск, ун-та.- IS66. - Вып.4. - С. 42-54). В указанной работе при совпадении центра пря>юугодшрЁ площадки со срединой образующей цилиндрической ободочки, у,которой /?, = 0,05 ; Д, = 0,08/$ У = 0,3; R¿h - 78,' f 3. суммированием на ЭВМ тригоно-

метрических рядов получено: Tfh ffzP3 = -961; W'tiPy- -mi 3584} 6<Ít¡*RZP^ 4505.

Расчет^предложенным методом дал соответственно числа: -940; -1029{ 3538; 4369. Наибольшее отклонение наблюдается при вычислении б£ и составляет примерно 35?.

Кроме полного, проводилось частичное преобразование рядов, когда суммировалась аналитически только медленно сходящаяся часть ряда. При исследовании влияния'поперечного сдвига из решений в двойных тригонометрических рядах выделены 'составляющие медленной сходимости и просуммированы с Помощью формулы (9). В результате такой операции удалось в 20 м более раз сократить число членов ' Года, которое требовалось до, преобразований.- Кроме того, в явном

■алитическом виде выделены особенности функций Грина в точка ■лложения нормальной стаи к свободно опертой трансверсально-отропной панели. Обнаружено, что в оболочке отрицательной кри-знн, имеадэй = -1/3, обращается в ноль множитель перед син-ляркой функцией п выражении Г/ , т.е. становится регулярным но из тангенциальных усилий. Особенности изгибающих моментов зависят от модуля поперечного сдвига и являются такими, как классической теории оболочек. В результате многочисленных рас-тов показало, что учет сдвига не оказывает существенного влля-я на значения изгибных начряженпй и им могло пренебречь при счете металлических оболочек. Влияние ослабевает по маре переда от сферической панели д псевдосфере.

Четвертая глава посвящена решению контактных задач теории элочек. Контактная проблема сведана к интегральным уравнением, качество ядер этих уравнений применялись фундаментальные рзпе-

4 в форме степенного ряда с логарифмом, построенные в парней аве„ Сингулярные уравнения такого типа изучались В.М.Аяексан-эвым и его учениками (см.Раззитие теории контактных задач в ]Р. - И.: Наука, 1975. - 493 е.), что способствовало адатлтп-зкому их решению, Методом равносильной регуляризации КарлелйНа-<уа сингулярные уравнения преобразованы з интегральные уравне-

5 Фредгольма второго рода, которые решались методом зозмупеялй. юмощыо принципа сжатых отображений установлены достаточнее ус-зия сходимости построенных решений в виде разложения по стопо-

а малого параметра, зависящего от длины зоны контакта и крпвмз-оболочки. Рассмотрено три типа задач.

В первом исследуется взаимодействие панелей с ■ линейным мотами без угловых точек, когда длина отрезка контакта зависят величины силы, приложенной к штаюту» Слелуя Э.И.Гряголыку и !.Толкачеву (см.Контактные? задачи тэорип пластин п оботочег,;. -

М.; Машиностроение, |360. - 412 е.), в качестве условия сопряжения принято равенство кривизн штампа и деформированной оболочки в зоне контакта. Определение контактных реакций сведено к решению уравнения

1 11

в котором £10 , - радиусы штампа в панели; [(ш - ядро в виде степенного ряда с логарифмом; 21 - длина отрезка контакта. Построено аналитическое решение

¿Л

и доказано,, что условием его' сходимости является

+ + / > д1и-ТГ(6-5г)/16;

Из него доя сферической и цилиндрической оболочек получено: ^<0,42; £0<1,С8.

В случае слегка искривленной пластины, когда ядро можно аппроксимировать двучленным приближением

построены замкнутые аналитические решения контактной задач!? дая одного и двух штампов, расположенных на линии главной кривизны.

Вторым тппол являлись задачи взаимодействия пологих оболочек со стрингерами при растяжении-сжатии подкреплений. Исследовались рег'.р а постоянной и переменной жесткости на растяжение. В случае портпшюй жесткости закон изменения швдодг. кшеречно-

го сечения подбирался из условия равенства напряжений по длине рёбра (равнопрочный стрингер). В задачах о равнопрочном стрингере рассмотрены варианты передачи продольной силы как с торца ребра, тазе и в произвольном сечении. Получены аналитические выражения контактных реакций и площадей поперечных сечений. Обнаружено, что при передаче внешней силы в произвольном сечении контактные реакции имеют две особенности - алгебраическую на краях зоны контакта и логарифмическую в точке приложения нагрузки. Например, для зесьма пологой панели распределение контактных усилий вдоль равнопрочного стрингера имеет вид:

Г(ху__' (п МЛх _ + х

т(х) 4 4{2 х ] тгас

х[2/]Ч1 -\IFT4n _ о.„

ы\п дг, VI х ¿п 2Х

*агс*/п--<-)]}; М0=- ес(~ агез/п-^ *

*(Ас+Вс1л/2У'-, А^-И+РХЬ-РХЧПЕЬ)'1;

2(1+ V)

Здесь Сс - продольные деформации ребра дайной 21 ; Р, -сила, приложенная в точке с координатами (О ). Площадь поперечных сечений имеет скачок конечной величины, который исчезает, когда Р\ приложена в среднем сечении ребра.

К третьему типу отнесены контактные задачи кручения юдкр< ленгй. Так, в случае цилиндрической оболочки, подкрепленной ре1 ром на части образующей, определение погонного контактного мою та ро(Х) сведено к решению интегрального уравнения

у<*-£»; Я-кт е. - #

-е' ис1с ■ -I ' (10

Здесь бс1с - крутильная жесткость ребра; - крутят;

момент, приложенный к его торцу {)(--[ ).

Пркблпжешое аналитическое решение уравнения (10) записан! через многочлены Чебшепа. Оно имеет алгебраические особенности порядка 1/2 на краях.зоны контакта. Отмечено, что только обозк; чещшмп выражение (10) отличается от интегрального уравнения р; тяжения стрингера постоянного поперечного сечения, т.е. каблюд. ется математическая аналогия в задачах кручения п расткженпя-с; т:-ш одномерных ребер. Кроме податливого на кручение ребра, рас> смотрена передача момента оболочке через жесткое одномерное вк чение.

В приложении построены функции Грина для пластины на упру полупространстве, записанные через интегралы

схэ

Я^а'оГтфуЩ , '¡«хЧс*Г'Х«хг)с/с(.

о о

Оба вида интегралов выражены через степенные ряды с логар:

к;ом. Доказана их сходимость на всей числовой оси. Предложена простая асимптотика функций Грина в зоне внешнего воздействия. Кратко описана мзтодпка эксперимента А. Тсо М на сферическом

еега-нто. Приведены расчетные формулы, полученные методом инте: чц-'т преобразований Фурье. Нанесены на рисунки результаты

расчетов и измерений и проведено их сопоставление. Исследовано распределение напряжений в оболочке у края ребра при его растяжении и кручении. Показано, что основные компоненты напряжений сингулярны. Они имеют особенности порядка 1/2, как и напряжения Y вершины трещины в идеально упругом теле. Так, при кручении ребра в окрестности его торца, не выходящего на край оболочки, имеют лесто асимптотические выражения

п - и- г( u7v г/п ^ v un ж) • Gm-Vo//2(-—-cos-f- + —cos^f?-)-,

*2o- 4 (ОШГи jj0 шы^)1 ■

Бдесь Г0 , Сро - локальные полярные координаты с началом на фаю ребра.

В связи с сингулярным характером напряженного состояния подавлена проблема критерия локальной прочности и отмечено, что (дли пз пуаей ее решения предложен В.В.Нсвокиловым й заключается i усреднении сингулярных величин.

основные результаты и вывода .

1. Разработант- эффективные методы расчета тонких упругих болочек на действие локализованных нагрузок и получены простые амкнутые формулы для вычисления напряжений в зоне различных пло-адок нагруаекня.

2. Дано обоснованпе применения двумерного преобразования

Фурье для приближенного аналитического суммирования двойных тригонометрических рядов в задачах локальной прочности оболочек. Оценены погрешности метода и установлены границы его применимости

3. Сформулированы и доказаны две теоремы, выражающие связь мевду рядами и интегралами Фурье. Показано, что предельный переход от' суммирования по дискретному спектру к интегрированию по непрерывному спектру равносилен аппроксимации суммы некоторого бесконечного разложения одним его основным членом. Установлены условия, когда такая аппроксимация допустима.

4. Предложен метод аналитического вычисления интегралов Зурье, основанный на применении интегрального преобразования Мел-лина. С его помощью построены фундаментальные решения уравнений пологих оболочек и представлены в виде степенного ряда с логарифмом по полярному радиусу и тригонометрического по полярному углу. Проведено их интегрирование по площадкам различзых форм. Предложены простио асимптотические формулы для вычисления значений не- , собственных интегралов и в конечном .счете - локальных напряжений в оболочка}: различных форм, нагруженных по площадкам небольших размеров. К степенному ряду с логарифмом сведены ф)ундаментапьные решения уравнений оболочек на линиях главных кривизн, а такие функций Грина для пластины на упругом полупространстве.

5. При равномерном нагружении панели двойной кривизны по кругу и сферы по .эллипсу получены замкнутые решения дая вычисления напряжений в центре площадки нагрукения с помощью табулированных функций Томсона.

6. Предложен комбинированный метод вычисления напряжений в оболочках, где интегралы Фурье используются для приближенного аналитического суммирования выделенной из тригонометрических рядов сосгаукгочоЯ медленной сходимости. В конечной счете решение Працсгпэдсшо комбинацией рядов быстрой сходимости и интегралов Фурье, ададрм вичЕслямтся через оломэнтарные функции или сводят-

я к табулированным специальным функциям.

7. Разработан метод двумерных отображений для аналитического уммирования двойных тригонометрических рядов и показана его эф-ективность при расчете опертых на прямоугольный план панелей и амкнутых цилиндрических оболочек.

8. Проведено сравнение численных результатов, к которым при-одят разработанные методы и непосредственное суммирование двой-ых тригонометрических рядов ча ЭВМ. Показало, что предложенные реобразования позволяют в 25 и более раз сократить число членов, оторое требовалось до преобразований.

Поставлены и решены аналитически контактные задачи взаи-одействия оболочек со штампами и ребрами жесткости. В качестве дер интегральных уравнений использованы фундаментальные решения виде степенного ряда с логарифмом, что позволило разложить рвения контактных задач в ряды по степеням малого параметра. Метода снатнх отображений установлены достаточные условия сходимости остроенних решений. Исследованы особенности в распределечиях онтактннх реакции и напряжений.

10. Исследовано влияние деформаций поперечного сдвига на наченич местных напряжений и показало, что в случае металличес-ой оболочки оно мало, т.е. расчет можно проводить с помощью равнений тина Кярхгофа-Лява.

11. Проведено сравнение теоретических результатов с экспери-ентальными. Отмечено их хорошее совпадение для сферической па-:ели, равномерно нагруженной но круговой площадке нормальной свой. Достоверность полученных результатов подтверждена такяе со-тветствием их теоретическим данным других авторов для некоторых астных задач и близостью чисел, которые дают методы интеграль-:ых преобразовашзй к двоШг'х тригонометрических, рядов.

12. Путем анализа построенных решений исследовано влияние азличных параметров на напряженно-деформированное состояние

оболочек различных форы и установлены некоторые его закономерности при действии локализованных нагрузок.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях:

1. Голоскоков Е.Г,, Олшанский В.П.' Колебания.несимметричных трехслойных пластин при действии локальных подвижных кмпул£ сов// Известия АН СССР, МТТ, - 1974, - й I. - С.126-132.

2. Ольшанский В.П, Об одной форме фундаментального решения уравнешй пологах оболочек// Вычислительная и прикладная матемг тика. - Киев: Вида школа, 1278, - Вып.35. - С.145-151.

3. Ольшанский В.П. Сингулярные решения уравнений оболочек для сосредоточенной касательной нагрузки// Нурнал ПМТФ. - 1978. - М 2, - С.139-144.

4. Ольшанский В.П. Об особенностях напряженного состояния оболочек, загруженных по линия;.; главной, кривизны// Проблемы прочности. - 1978. - № 3. - С,58-62.

5. Гармаш Д.Й., Ольшанский В.П. Неососимметричные динамические задачи для пластины на вязко-упругом основании// Дчнамик пространственных конструкций. - Киев: Киевск.инж.-стр.ин-т, 197В.- С.67-70.

6. Ольшанский В.П. Изгиб оболочки двоякой кривизны в зоне эллиптической площадки йагружения// Известия вузов. Машинострое ние. - 1979,. - ]* 3, - С.8-11,

7. Олманокай В.П. Местные напряжения в цилиндрической обо лочке, нагруженной по эллиптической площадке// Известия вузов» Авиационная техника, - 1978. - ¡У 2. - С.44-49.

8. Ольшачский 3,П. Местные напряжения в оболочке двоякой кривизны, нагруженной по кругу// Известия вузов, Строительство

а архитектура. - IS79. - К I. - G.37-41.

9. Слыпанский В.П., Ленинский В.И. Об одном представлении лотшльногс- напряженного состояния оболочек ка линиях главных кривизн//' Вестник Харьковского политехнического института. Прикладная механика и процессы управления, - Хэрьксв: Выща. иксла, 1979. - Внп.1. - С,5-8.

10. Ольшанский В.П. Местные напряжения в сферической оболочке, нагруженной по эллиптической площадке/7 Динамика и прочность машин. - Харьков: Зжца иксла. 1979. - Вып.29. - С.60-72.

11. Ольшанский В.П. Мэстные усилия в оболочке двоякой кривизны, нагруженной по прямоугольной площадке// Динамика и прочность машин. - Харьков: Внща мкола, 1979. - Вып.30. - 0.43-50.

12. Ольшанский В.П. О распределении усилий в сферической оболочке, нагруженной по эллиптической площадке//' Гидроаэромеханика и теория упругости. - Днепропетровск; Изд. Днепропетровск, ун-та. - 1979. - Вип.25. - C.S6-9I.

13. Ольшанский В.П. Контактное взаимодействие весьма пологой оболочки с ребром равного сопротивления// Доклады АН УССБ,

сер.А. - i960. - tf. 5. - С.52-54.

14. Ольшанский В.П. Напряженное состояние пологой оболочки, нагиуженной па прямоугольном участке поверхности// Проблемы прочности. - 19еО. - Jf 6. - C.III-IIS.

15. Ольшанский В.П. фундаментальные решения уравнений пологих оболочек/7 Известия вузов. Математика. - 1980. - Л 6. -

С.52-36.

15. Ольшанский В.П. Изгиб оболочки двоякой кривизны е зоне . прямоугольной площсд£и нагруженин// Прикладные проблемы прочности и пластичности, - Горький: Изд. Горьковск.ун-та, i960. -¿ни.14. - С.75-81.

Iv. Ольшанский В.П. Действие сосредоточенных нагрузок па

оболочку, подкрепленную робром равного сопротивления// Динашкг и прочность машин. - Харьков: Выща иксла, 1881. - Вып.33. -С.20-27.

18. Ольшанский В.Н. О передаче момента оболочка через дес кое одномерное включение// Известия вузов. Машиностроение. -1981. - Л' 3. - С.3-6,

19. Ольшанский В.II. Напряженное состояние пологой оболочю нагруженной на прямоугольном участке поверхности//1 Математичес: методы и физико-механические поля. - Киев: Каукова думка, 1981

- Вып.13. - С.103-111.

20. Гармаш Л.И., Ольданский В.П. Расчет равнопрочного стр! гера, передающего продольную нагрузку на ортотропную канал ь// Прикладная механика. - 1981, - № 7. - 0.61-66.

21. Ольшанский "В.П. Контактное взаимодействие оболочки со стрингером переменкой жесткости// Динешка и прочность машин. • Харьков; Веда дкола, 1982. - Вып.36. - С.36-70.

22. Ольаанскьй В.П., Чернышев В.Л. О распределении усилий в оболочке, нагрукенной по кругу касательной нагрузкой// Теоре тическая и прикладная механика. - Киев-Донецк: Выща школа, 158:

- Вып.13. - С.62-88,

23. Ольшанский В.П. Интегральные уравнения изгиба оболочек// Вычислительная и прикладная математика. - Киев: Выща шко ла, 1982. - Вып.47. - С.103-110.

24. Ольшанский В,П. Комбинированный метод вычисления напр женпй в оболочках// Известия вузов. Машиностроение. - 1983. -№ 5„ - С.21-23.

25. Ольшанский В.П. К расчету оболочек на действие нагруэ момс-нуного т.та// Строительная механика и расчет сооружений. -

- К В. • С.2С-32.

Я6. Гдада Л.К,, Оды'!рпс:кй В.П. Изгиб оооло-яки двоякой

кривизны моментом, распределенным в круге// .Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев: Будавэльнык, 1984. - Вьтт.45.

- С.78-81.

27. Ким Э.М., Ольшанский B.1I. О контактном.взаимодействии цилиндрической панели с полуплоскостью// Журнал ПМТФ. - 1984. -!& 2. - С.157-160.

28. Ольшанский B.1I. Контактная задача для пологой панели и частично равнопрочного стрингера// Гидроаэромеханика и теория упругости. - Днепропетровск: Изд. Днепропетровск.ун-та, 1984. -Вып.32. - 0.101-105.

29. Ольшанский В.П. Предельное равновесие пластины с частично подкрепленным краем// Доклады АН УССР, сер.А. - 1984. - # 10.

- С.37-39.

30. Ольшанский В.П. Антисимметричный изгиб оболочки в зоне эллиптической площадки нагружения// Проблемы машиностроения. -Киев: Наукова думка, 1985. - Вып.23. - С.65-68.

31. Ольшанский В.П. Контактная задача кручения ребра на панели// Динамика и прочность машин. - Харьков: Вмпа школа, 1985.

- Вып.42. - С.43-46.

32. Ольшанский В.П. Приближенный расчет локальных напряжений в оболочках комбинированным методом// Известия АН СССР, МТТ. - 1986. - & I. - С.149-154,

33. Ольшанский В.П. Расчет напряжений в оболочках при действии локальных нагрузок методом С.П.Тимошенко /У Проблемы прочности. - 1986. - & 3. - С.87-91.

34. Ольшанский В,П. Функции Грина при Изгибе пластины на упругом полупространстве// Прикладная математика и механика. -1967. -Вып.5. - С,866-887.

35. Образцов И.Ф., КерубаЯло Б.В., Ольшанский В.II. Метод двумерных отображений в локальных задачах прочности оболочек//

- 48 - '

Доклады АН СССР. - 1967. - Т.296. - № I. - С.56-59.

36. Перубайло Б.В., Ольшанский В.П. Определение усилий в цилиндрической панэли, нагруженной по эллиптической площадке // Прикладные проблемы прочности и пластичности. - Горьки;;: Изд. Горьковск,ун-та, 1987. - Вып.37. - С.94-98.

37. Ольшанский В.П. Об одном преобразовании функции Грича в теории пологих трансверсально-изотропных оболочек //Известия АН СССР, МТТ. - 1988. - Я I. - СЛ64-169.

38. Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Ольшанский В.П. Определе ние напряжений в цилиндрической оболочке, нагруженной по круговс площадке //Журнал ПМТФ. 1988. - № 6. - С.1&0-1С4. .

39. Образцов й.Ф., Нерубайло Б,В., Ольшанский В.П. Комбиниг ванный метод вычисления локальных напряжений в трансверсально-изотропных оболочках //Расчеты на прочность. - М.: Машинострсеш 1988. - Вып. 20. - С.3-11.

40. Образцов И.щ., Нерубайло Б.В., Ольшанский В.П. Пологая оболочка под действием локальной нагрузки (асимптотические результаты) //.Известия АН СССР, МТТ. - 1988. /,« 6. - С. 156-158.

41. Ольшанский В.П. Определение напряжений в цилиндрическом оболочке, нагруженной по отрезку направляющей окружности // Известия вузов Машиностроение. - К' 8. - С.7-И.

42. Ольшанский В.П. Определение прогибов и напряжении в сферической оболочке, нагруженной по линии // Строительная механика и расчет сооружений. - 1988. - .V» 3. - С.П-14.

/£г

БЛ 1"155и2 Подписано е печать и в свет 4.01.90 г.

Тира.* 100 окз. Заказ 65 Уол.ноч.л.2,8 Уч.над.л. ¿,16

'■"етлфшт ЛПЧа;:! ЛИ УССР, г. Харьков, ул. Пожарского ?/10