Разработка приближенно-аналитического метода решения уравнений влагопереноса и фильтрации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЕ РЕСПУБЛИКИ

РГ6 ОД институт лвтатш

J .м<-' \ .

На правах рукописи

. - УЖГАЛИЕВ Марат Уметелкевич

РАЗРАБОТКА ПРИБЛШИШО-АНМИтаЧЕСКОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ ВЛАГСПЕРЕНССД И ФИЛЬТРАЦИИ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плаамы

Д в т о р е ф е р а г

диссертация на соискание учено!) степени кандидата фиэикй-мотематическит неук

ешсек 1994

Работа выполнена в лаборатории гидроаэродинамики Института автоматики Национальной экядг.мик наук Киргизской Республика.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

ст.н.с., Б.И.Бийбосунов

Официальные оппоненты - член-корреспондент Национальной

академии наук Республики Казахстан, заслуженный деятель науки Республики Казахстан, доктор технических наук, профессор Ш.А.Ершин

- доктор (Тизико-мотематических наук, ст.н.с. А.Асанов.

Ведущая организаций - Кыргызский государственный педагогический институт им.И.Арабаела

Защита состоится " Pf " OliЦLß.lfl 1994 г. в '/£*чясов на заседании Специализированного Совета К 01.93.32 по присуждению ученой степени кандидата неук в Институте автоматики HAH Кыргызской Республики по адресу: г.Бишкек-71, пр.Чуй, 265.

С диссертацией могио ознакомиться в научной библиотеке HAH Кыргызской Республики.

Автореферат разослан " // " ЛЛЛ^/ )71{) 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного Совота К 01.93.3!'., кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник В.ДСЛГИН

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ

Актуальность работы. Научное исследование и решение зад^ч, связанных с процессами влегопереноса и фильтрации,несомненно представляются, актуальными.

Как известно, в процессе исследования задач влагопереноса до настоящего времени накоплен большой фактический материал, имеющий в основном вид экспериментального характера, хотя в них есть некоторый противоречивые рассуждения и неполные" формулы. Известно, ого дифференциальное уравнения переноса совместно с печальными граничными условиями отображают в аналитической форме основное черты изучаемого процесса, т.е. являются его математической моделью. Решение модели позволяет получить полную картину распределения потенциалов переноса в почвогрунтах, проследить изменение полей потенциалов пс времени и на этой основе, дать детальный анализ кинетики и динамки процесса.

Боль'лие успехи.достигнутые за последние годы р теории ела-грпереноса и фильтрации,непосредственным образом связаны с широким использованием аналитической теории, роль которой непрерывно увеличивается, ведь никакие ямп рическиа методы исследования или приближенные методы полуэмпирического характера не могут.заменить аналитических методов исследования.

Решения, получаемые классическими методами не всегда ока-эыяаются удобными для практического применения, они приводят к еще большим осложнениям при решении систем дифференциальных уравнений влагопереноса.

Неоднородность физических свойств среды принуждает нас переходить от решения pffyfeрешилльных уравнений переноса с постоянными коэффициентами к решг-кмо уравнений, где. вез или отдельные коп№иц(генты ярляпгся в конечном счете фунтияни координат.

3

В этой связи первостепенной задачей, стопщзи перед иннди-тическоМ теорией влегопереноса и фильтрации, является разработка мзтодов решения систем дифференциальных уравнений переноса с переменными коэффициентами. .■•-...

Цель работы. Целью диссертационной работы является:

- разработка экономичного' и бглее точного приближенно-аналитического метода решений задач стационарной'и нестационарной напорной фильтрации и инфильтрации жидкости в пористой среде, позволявшего с помощью ЭВМ описать полную физическую картину процессов влагопереноса в почвогрунтах;

- р эффективном рршении уравнений влагопереноса-и напорной филйрации при различных.формах коэффициентов фильтрации;

- в нахождении совокупности общих и частных редениИ при различных формах эптомодельности применительно к задачам подземной гидродинамики.

. Научная новизне заключается п следующем:

- разработан (трибликенно-аналитический метод решения квазилинейного дифференциального уравнения в частных проиэподшх .. второго порядке параболического типа, описывающего процессы сла-гопереноса;

- решен ряд дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процессы стационарной и нестационарной фильтрации при различных коэффициентах фильтрации и п различных Формах автомодельное?«;

- преложенными приближенно-аналитическими методами можно •""■льзоваться г теоретическом и практическом решении некоторых: •••;ессоп дифференциальных уравнений, описыпающих различные про-чессы.

Прам-тич едкая ценность ' работы состоит-к том, что лолучен-

ные результаты могут бить использованы при расчетах параметров технологии орошения, р определении и прогнозировании устойчивости оползне опасных горних склонов, а.также в строительстве гидротехнических сооружений. Полученные результаты легко реализуются в виде прикладных программ для ЗШ с последующим применением в шше указанных областях.

Апробаций работ». Основные результаты работы докладывались на: 1У Всесоюзном сеынн&ре школы молодых ученых по численным методам механики сплошной среды, п.Абрау-Дюрсо, Краснодарский край, 7992 г.; Всесоюзном совещании-семинаре по проблемам построения сеток для решения задач матфиэики, г.Челябинск, 199" г.; У1 Международной школе-семиияре по ссЕрекенн"М-проблемам мехвчики едкости и газа, г.Самарканд, 1902 г., а такие н республиканских конференциях и на научных семинарах в Институте'агтоматики МАЛ КырЫзской Республики.

Публикации. По результатам выполненных исследования опубликовано II научных статей, полностью отражающих содержание диссертации.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 127 страницах машинописного текста, состоит из введения, двух глрп, заключения-, содержит 8'таблиц и список литературы, включавший 114 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБСТН ' •

Пераап глапп постя^ена введению, где обобщаются и анализируются вопросы влагогсареноса и тоории Фильтрации, а таака и >:рот-це излагаются задачи диссертационной работы.

. В ?Т второй главы в кратком изломении даются теор^т^'^скмо .сснорч процессов влагопороноса почвы, осногныл уравнения и пэс-тпнорчя задачи п-.пиде квазилинейного д:«й?врег<цияльнэгз ^рчт-и^нус ,

5

? частных ГфОИЭПОДННХ tiruyufu 1Ш().ндк.и »(Циииличеиьш-и mita.

~ ^ Г«/ ) ^ 1 ^Kcvb-J m

при следующих начальны: и граничных условиях:

W[x,i) I = ticl*)

^o (2)

V.

Здесь и соответственно коэффициенты диф|узив-

ности и влагоп>фоводност'и, в целом их можно называть коэффициентами влагопереноса.

Далее в ? 2 второй главы излагаются методы решения уравнения (1). Учитывая, что функции -6) < &Си ^¿у^) являются аналитическими, предствпляем их в виде рдпа, разлагая по малому параметру £ , т.е.

кы^ТК^, »И-!**"* , (3)

где: \у/{ Ь*А) неизвестные функции.

Из уравнения (I), согласно соотношения (3), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ¿, имеем

..................(46). <4>.

¿Мгм ф ■ 9 <т>ъ,.<М '<Мч]

к * Яг* '"'¿с ' 7

(4п>

Уравнение Иа) после подитынивни

и при соответстйувщем выборе ¡¿о и ^ приводится н виду:

и решается н автомодельной форме к виде

> л* ' <7>

После ряда преобразований оно приводится к Еыровденному гипе'р- • геометрическому уравнении и "решение получается в виде:

Подробный вид данного решения при различных значениях показателя автомодельности приведен в таблице I. Второе уравнение системы (4), преобразуется подстановкой

при этом учитывается соотношение (5) для М-р . и имеет неоднородный вид .

Решение уравнения (8) ищется в автомодельной форме в виде

■ После преобразования из уравнения (8) получая система из трех неоднородных равнений относительно функции ^(.&) * /¿С&З и £3СЮ . где правые части этих неоднородных уравнений вырвкены через решения уравнения нулевого приближения, т.е.

Перечень

решений уравнения нулевого приближения при различных значениях параметра "*

Т ! гтп ! " " ! П ! 1 . !и гоанич-

I 2 з . 4 5 » 6

I. п - 0 .

У! = Г

3. У! = 2

I. и = -I

2. 3. 4. 5. 6. >7 = У) = -з И = -4 /7 = -5 Я - -6 5 С*,**, С*£р и с,

Система (9) решена методом подбор.",, т.е. методом неопределенных коэффициентов и совокупность найденных решений приэедена в таблицах 2, 3, 4.

Кроме того, данная система решена методом вариации произвольных постоянных.

В конце второй главы подробно проанализированы получение решения уравнений (4а) и (46) согласно начальных и граничных условий.

Третья глава -.иссертационной работы полностью посвтцена нахождению автомодельных решения стационарной и нестационарной фильтрации при различных коэффициентах фильтрации в однородно-изотроаной, неоднородно-изотропной и однородно-анизотропной среде в различной форме явтомодельности и отдельным параграфом изложены методы решения этих же уравнений с помощью ряда с особенностями .

В 5 I третьей глагьт рассмотрены основные уравнения стационарной и нестационарной фильтрация' в соответствии с целы ра^огы.

Во втором ппрпгряфс данной г.чана изпоъет роггсния ся«>дуи-

9

Перечень

решений первого уравнения систеш (9) при разлитых значениях параметра

' Н •

I

I » '

♦Согласно !начальных гранич-х условий

Л«*'.

т т

I. У\ = 0 -ю С,/0' 41°

п И .= I 1 -О

3. ¡1 _ о -г') г,/'*

I. У] = -I

2 и = -2 г'' С^С^о

3. У] = -3 ■О

4. и = -4 ■О

Jl,¡

1 .3 £

¿я,- е^о-

3

4

Перечень

реиэниЯ второго уравнения системы (9) при различных значениях параметра * у] "

1 . УГ 'сэ

'Согласно ' 7

, ' / , , 'начальных ^ Тг,,

) граничных!

>2,1 2 < »<2,2*- * 'условий !

! 2 3 4

К) = 0 %,(-<>{> г }

г. .«я I

3. Я 2 ' )

I, Л '= -I

О Л = -2

3. А7 * -3

•Л У) = -4 О

5 '

4 г*/

г■

-1

•П>' ! с-

^ -Г

^ г /-/ -Г/, >/

щих уравнений стационарной фильтрации:

а) ПпН^^^О (Ю)

Qx*- Ну1

в) a f/^pJLl+'JLDstl ШТ <12)

fulímtéj Qx J Цм+Sj Щ J

где ~ функция напора,

Й, i,¿/1 ^ - действи тельные параметры.

Урашения СЮ) и (II) решены в форме автомодельности:

А уравнение (12) рассмотрено в двух формах автомодельности вида:

.» ' Но.,- ^(Ш,) « ■ Ум ,

н

где УН - показатель автомодельности.

Все три уравнения после несложных преобразований приведены к гипергеометрическим уравнениям типа Гаусса, решения которых соответственно имеют вид:

¡7

тз

Перечень

решений третьего уравнения системы (9) при различна* значениях параметра п У1 "

♦Г*" /Г „И 'Согласно ' ! !начальных и' Г 1 -КЬ,* £->2'Л

I 2 3 4 ! 5 ! 6

I. К - 0

2. 3. п * У] = Г п

I. И = -I Их^н^'у сз,Г°> Ч& ! Г

2. ' 3. У1 = У! = -2 -3 ^ЩЧ*-?*')

4. >7 - -4

у I ,-Га с / ** (-* /ах+*г )г \ .

Им) - [А Ь(т -т--* -т*' ~г' 'Сорт)) +

Далее, в 5 3 эти уравнения (10), (II) и (12) решены с помощью ряда с особенностями

1+6-

1 = с

где.С^^. Доказана сходимость данного ряда. Получены уравнения для определения показателя Г и рекурентная формула для определения коэффициентов ряда» в виде:

где О,

II

- коэффициенты соответствующих ^дифференциальных уравнений, выраженные через параметры и .показатель автомодель-ности.

В 5 4 рассмотрено уравнение нестационарной фильтрации вида:

где 1С,-Ф 1СХ коэффициенты фильтрации;

. - функция напора. ,

Уравнение (13) решено в автомодельной формэ в, виде:

Процесс решения уравнения (ТЗ1 идентичен решениям уравнения влагопереноса (4а), что также отражено в диссертации в виде таблиц".

В § 5 третьей главы иалонены подробный анализ полученных решений согласно граничным условиям стационарной и нестационарной фильтрации.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ I. Разработаны приближенно-аналитические' методы решения квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка параболического типа, описывающего влагопе-ренос в почвогрунтах с учетом гравитационных и капиллярных сил в случае напорной инфильтрации:

- показаны методы решения уравнений нулевого (4а) и первого (46) приближения, которые рассмотрены п автомодельном виде (7) и.(7^ и првобовзованы в нырожденные гипергеометрические уравнения;

_ - показано применение методов подбора (неопределенных коэффициентов) и вариации произвольных постоянных в решении системы неоднородных уравнений первого приближения влагопереноса;

- полученные решения проанализированы в соответствии с начальными и граничными условиями при различкчх значениях параметра " Ц ";

- в полученных решениях легко определяются аналитические зависимости для вакнейших характеристик процесса инфи-ьтрации: рассчитать рациональные элементы технологии орошения, как, например, скорость вгтгнвания, скорость просачивания и глубины увлажнения, содержащие в качестве параметров почвенные характеристики, а также параметры оползневых процессов горных склонов;

15

- полученными формулами можно установить конкретные вцпы коэффициентов диффузии и ьлагопрояодности для различных типов

почв характерных республике.

2. Приближенно-аналитическими методами найдены решения уравнений стационарной и нестационарной фильтрации с учетом различных видов коэффициентов фильтрации и в некоторых формах автомодельнос-твй:

- в однородно-изотропной среде, т.е. при = ¡йлСх,у) в

-¡Св-ймИ решено уравнение (10) и пол учено решение в виде ¡ги~ пергеоыетрической функции и ряда;

'. - в неоднородно-изотропной среде, т.е. при ^¡(и,^) -

автомодельноети и получено решение, аналогичное предыдущим;

-при решении уравнений стационарной фильтрации показаны даа метода преобразования в гипергеометрические уравнения;

- подробно изложены.метода решения уравнения стационарной фильтрации с поютдыо ряда с.некоторыми особенностями;

- показано решение уравнения нестационарно!! фильтрации в автомодельном Еиде, преобразуя их в вырожденное гипергеометрическое уравнение; : .

- полученными решениями: при.известной функци;; напора и

- коэффициентах фильтрации,- ыс»;но определить; приближенно-анали-■ тичёские-выражения- линии тока; положение депрерснонной кривой, : величину удельного расхода подземного потока, а также восстановить неизвест?№ участки границ области фильтрации.

-у рассмотрено уравнение (II) и репение получено таюке в виде гипергеометрической Функции и ряда;

- при коэффициентах фильтрации вида к?, к%0*>У) 55

• решение уравнения (12) рассмотрено также в форме

£2

, ......... (/ ^........... ^

фильтрации .могут быть использованы в теоретическом и практическом решении некоторых классов дифференциальных уравнений, omnjbi-еято'их рэзличны» процессы..

.4. Анализ полученных решгний позволяет распространить область применения предложенного приближенно-аналитического метода к на решение пространственных задач напорной и безнапорной- инфильтрации и фильтрации, я также линейных и нелинейных'задач ма~' тематической физики.

Ccholпне результаты диссертации опубликованы п следующих работах:

Т.- Бийбосунов Б.И., Уметалиев М. Численное решение задач фильтрации и инфильтрации при исследовании оползневых процессов, В сб.: Материалы ТУ Всесоюзной школы молодых ученых по численным методам механики сплошной среды. 26-31 мая 1992 г., п.Абрау-Дпр-се, Краснодарский край.

2. Бийбосунов Б.Й., Уметалиев М. Модифицированное построение сетки МО при моделировании оползневых процессов в горных склонах. Вс сб.: Материалы Всесоюзного совещания-семинара по проблемам построения сетск для решения задач мятфизиий. 3-9 сентября 1992 г., г.Челябинск.

3. Бийбосунов Б.И;, Бийбосунов И.Б., Уметалиев М. Гидродинамические методы исследования и прогнозирования оползневых

»

процессов нп юге Кыргызстан«. В сб.: Материалы У! Международной тке'ди-семинярп "Современные проблемы мегЕНИки тидкости и газа", Гб-30 ппнтп*гп !9У? г., Сямармнд.

4. Еийбосунов Б.И., Уметалиев М. Приближенная мс одикв гидродинамических расчетов при исследовании процессов оползания • горных склонов. В сб.: БПИ: Проблемы разработки полезных иско-

наемих в условиях высокогорья. Бип1кек, 1992.

5. Бийбосунов И.Б., Уметалиев М. Приближенно-аналитическое решение уравнения фильтрации. В сб.: Материалы Республиканской конференции по дифференциальным уравнениям. Ош, Т993.

6. Бийбосунов Б.И., Уметалиев М. Сб одном методе аналитического решения неоднородного уравнения плоской фильтрации. Деп. в КырНИШГГИ 21 ноября Т9УЗ г., * Ш.

7. Бийбосунов Б.И., Уметалиев К. Прибликенно-аналитический подход к решению уравнения члагопереноса в почиогр/нтах. Деп.

б КырНИИНТИ 21 ноября 1993 г., Г 645.

8. Бийбосунов Б.И., Уметалиав М. Автомодельные решения параболического уравнения процесса влагопереноса. Деп. в КырНИИНТИ 21 ноября 1993 г., Г 646.

9. Бийбосунов Б.И., Уметалиев М. Вывод автомодельных решений однородно-анизотропного уравнения фильтрации. Деп. в КырНИИНТИ 21 ноября 1993 г., Г 647.

10. Бийбосунов Б.И., Уметалиев М. Вывод автомодельных решений неодоюродно-изотропного уравнения фильтрации. Деп. в КырНИИНТИ 21 ноября 1993 г., 648.

11. Бийбосунов Б.П., Уметалиев М. ЧастньФ пример для ре-тения параболического уравнения процесса влагопереиоса..Деп. в

КырНИИНТИ 21.ноября 1993 г., Г 649.