Разработка приближенно-аналитических и численных методов решения ряда задач механики жидкости и газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ . ИНСТИТУТ ФИЗИКИ И МЕХАНИКИ ГОРНЫХ ПОРОД

на правах рукописи УДК 533. 697

МАМБЕТКУЛОВ ЖЕНИШ

РАЗРАБОТКА ПРИБЛИЖЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИХ И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ РЯДА ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

Специальность 01.02.05-Механюса,жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

БИШКЕК-1995

Работа выполнена в Кыргызском ордена "Знак Цочета" сгяьсхо-. " хозяйственном институте им. К.И.Скрябина -

Научный консультант:

заслуженный деятель науки KP, член-корреспондент HAH Кыргызской Республики, доктор физико-математических наук, профессор И.Б.Бийбосунов

Официальные оппоненты: лауреат Гос.премии PK, академик инженерной академии наук Республики Казахстан, доктор физико-математических, наук, профессор Ш.С.Смагулов., доктор физико-математических наук, профессор А.Ф.Воеводнн., доктор физико-математических наук, профессор А.А.Асанов.

Ведущая организация: »

Академия гражданской авиации Республики Казахстан, г.Алматы.

Защита состоится "Л<э" JlM-ßfrp Я, 1996г. в 'jO часов на заседании специализированного Совета Д.01.95.38 по защите докторских диссертаций при Институте физики и механики горных пород HAH Кыргызской Республики по адресу: 720315, г.Бишкек, уя.Медсрова 98

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке HAH Кыргызской Республики (720071, г.Бншкек-71, проспект Чуй 265) Автореферат разослан "¿2Д" 1995 года.

Ученый секретарь —,

Специализированного Совета, к.ф.-м.н^ А / В.В.Долгин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Современная механика жидкости и газа бурно развивалась за последние пятьдесят лет и достигла крупных успехов в теоретическом объяснении множества явлений, наблюдаемых при течениях жидкостей и газов. Особенно большое развитие получили за этот период три раздела механики жидкости и газа: газовая динамика, теория пограничного слоя и подземная гидродинамика. Быстро развивающиеся авиационная и ракетная техника, турбиностроение и кораблестроение, а также новые виды орошения и ирригации поставили перед механикой жидкости и газа ряд новых задач, послуживших дальнейшему подъему на новый уровень этой отрасли науки.

Для решения проблем, выдвигаемых перед механикой жидкости и газа применяются различные точные и приближенные математические методы интегрирования дифференциальных уравнений движения, уравнений переноса тепла, вещества и других уравнений, выражающих законы сохранения физических процессов.

С другой стороны, строгая математическая постановка задач механики жидкости и газа приводит к сложным системам нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, решение .которых в большинстве случаев осуществляется теми или иными численными методами на современных ЭВМ. К сожалению, выдаваемые этими машинами результаты приводят к необходимости весьма длительного анализа, а также к сравнению полученных данных с другими теоретическими и экспериментальными данными.

-3-

Вместе с тем необходимость обобщения результатов расчета и установления простых закономерностей, которые могли бы дать качественную картину явления заставляет развивать различные приближенно-аналитические методы, имеющие по сравнению с численными методами преимущества наглядности.

В общем случае движения жидкости и газа моделируются уравнениями Навье-Стокса, которые содержат ряд нелинейных членов и поэтому нахождение точных аналитических решений представляют большую трудность. Как известно, когда мы имеем дело с идеальной жидкостью, то уравнения Навье-Стокса переходят в уразнеиия Эйлера. Хотя по внешнему виду система уравнений Эйлера выглядит намного проще, однако из-за нелинейности данной системы нахождения каких-либо точных аналитических решений здесь также весьма трудно. В связи с этим используются разнообразные приближенно-аналитические методы решения указанных уравнений.

В математическом отношении среди сложных и до конца еще не решенных проблем механики жидкости и газа является газовая динамика. Основной особенностью газовой динамики от других разделов механики сплошных сред является то, что в них существуют дозвуковые и сверхзвуковые области, а также иногда появляются смешанные зонь{, т.е. одновременно возникают течения со сверхзвуковой и дозвуковой скоростями. Движение газа в этой зоне описывается уравнениями эллшггико-гиперболического типа, общие свойства которых до настоящего времени изучены недостаточно.

Как известно, из-за нелинейности основных уравнений газовой динамики большинство ее задач решаются в различных вспомогательных, плоскостях, в частности в плоскости годографа, где уравнения газодинамики переходят в линейную систему. Однако,

решения рада прямых задач и в плоскости годографа становятся весьма затруднительными, так как границы рассматриваемой области в плоскости годографа в большинстве случаев остаются неизвестными. Поэтому возникает необходимость перехода в какую-либо специальную плоскость, где можно было бы сформулировать краевую задачу газовой динамики в прямой постановке с известной границей. В частности, такой плоскостью является плоскость модуля скорости и функции тока, где искомыми функциями являются угол наклона вектора скорости и потенциал скоростей. В этой новой плоскости уравнения газовой динамики записываются в виде нелинейной системы уравнений смешанного типа, или п виде нелинейного уравнения в частных производных второго порядка.

Таким образом, вывод уравнений газовой динамики в новой плоскости и разработка приближенно-аналитических методов решений нелинейных.уравнений гидромеханики является одной из центральных задач данной диссертации.

Кроме газовой динамики существуют целый ряд задач гидродинамики, которые описываются нелинейными уравнениями. Так например к ним относятся, движение многокомпонентной жидкости, процесс диффузии в газах, явление влаго- и теплопереноса в пористых средах, нестационарная фильтрация жидкости в пластах и т.д. Среди этих проблем, особую роль в условиях Средней Азии играет процесс влаго- и теплопереноса в почвах. Это связано прежде всего с тем, что в условиях аридной (засушливой) зоны возникает необходимость экономного использования водных ресурсов в связи с дефицитом воды и разработка новых перспективных, способов орошения, а также оптимизация существующих поливных технологий, которые могли бы обеспечить нужный для растений водно-тепловой режим почв при

-5-

минимальной затрате поливной воды . В связи с этим в условиях Кыргызстана становится существенный фундаментальное изучение водно-теплового режима почв, в частности создание новых математических моделей или модифицировать существующие модели теории влагопереноса для ненасыщенных грунтов и разработать более эффективные методы решения поставленных задач. Исследование динамики влагопереноса затруднено еще тем, что в зоне аэрации (орошения) задача становится с передвигающимися неизвестными границами, общая теория которой до сих пор не создана. В связи с этим развитие приближенно-аналитических методов решения нелинейных задач, использование различных математических приближений, оценка точности методов их линеаризации даст возможность провести физический анализ изучаемых явлений, а сами решени? можно использовать для обоснования достоверности численных методов решения.

Цель работы. Анализ вышеупомянутых вопросов приводит к следующим целям и задачам:

- вывести уравнения газовой динамики в новой плоскости модуля скорости " и функции тока

- сформулировать краевые задачи для теории сопла в прямой и обратной постановках в вышеуказанной плоскости;

- разработать приближенно-аналитический метод решения нелинейного уравнения в частных производных второго порядка;

- установить в общем виде рекуррентные соотношения для полученной системы нелинейных уравнений и нелинейного условия на стенке;

- найти точные решения нелинейного уравнения газовой динамики в околозвуковом приближении;

- исследовать плоское стационарное течение газа в соплах заданной формы, когда звуковая зона является криволинейной;

-е-

- вывести формулы перехода из плоскости (б' >4^ )в физическую плоскость (X < ^ );

- изучить на основе предложенной модифицированной математической модели влаго- и тегоюпереноса в почвогрунтах распространение влаги в ненасыщенной зоне аэрации;

- используя разработанный приближенно-аналитический метод газодинамики решить нестационарную задачу влагопереиоса в одномерной и двумерной постановках;

- провести численные расчеты инфильтрации воды в почвогрунт с поверхности земли с учетом изменения температуры почвы:

Методика исследования. Для решения поставленных задач были использованы теория уравнении в частных производных, основные законы механики, метод малого параметра, групповой анализ дифференциальных уравнений, метод сеток и характеристик, теория эллиптических и гиперболических функций, вариационно-разностный и итерационные методы и другие. При нахождении аналитических решений был использован метод сведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка с переменными коэффициентами, которые после ряда преобразований приводятся к гипергеометрическим уравнениям Гаусса. Реализация численного алгоритма проводилась на ЭВМ с использованием алгоритмического языка Фортран-^.

Научная новизна диссертационной работы. В результате исследований впервые выведены новые уравнения газовой динамики в плоскости модуля скорости " б' "и функции тока^ ", где искомыми функциями являются угол наклона вектора скорости " 0 " и потенциал скоростей " ^ "; найден широкий класс решений нелинейного уравнения газодинамики; сформулирована и решена

-7-

краевая задача теории сопла; разработан приближенно-аналитический метод решения прямой и обратной задач теории сопла и предложен один из возможных вариантов численного решения комбинированным методом "сеток-характеристик"; определены формулы перехода характерных линий из плоскости (о , ^ ) в плоскость течения (X , ^ ); предложена модифицированная математическая модель влаго- и теплопереноса в почвогрунтах; на основании этой модели изучен водно-тепловой режим почвы при поливах; разработанными приближенно-аналитическими методами решена нелинейная задача влагопереноса в пористых средах в одномерной и двумерной постановках; вариационно-разностным методом численно решена начально-краевая задача влаго- и теплопереноса в почвогрунтах при бороздковых поливах; из сочетания натурных данных л численных экспериментов определены коэффициенты диффузии, влагопровод-ности и теплопроводности.

Обоснованность и достоверность разработанных приближенно-аналитических и численно'-акалитических методов заключаются в использовании в них теории уравнений в частных производных, специальных функций, группового анализа дифференциальных уравнений, вычислительных алгоритмов и вариационных принципов. Достоверность качественных и количественных результатов достигается путем сравнения полученных данных с результатами других авторов и экспериментов.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты исследований дают возможность провести качественный анализ особенности околозвукового потока вблизи обтекаемых тел и в окрестности крити-ческого.сечения сопел Л аваля. Полученные аналитические формулы и численные результаты могут быть использованы при проектировании

-8-

аэродинамических труб, создании безударных сопел реактивных двигателей и перспективных летательных аппаратов. Предложенная модифицированная математическая модель влаго- и теплопереноса в пористых средах и разработанный приближенно-аналитический метод могут быть непосредственно использованы при управлении водно-тепловым режимом почв и применены при определении оптимальных параметров орошения.

Личный вклад. С помощью новой вспомогательной плоскости впервые выведены уравнения газовой динамики относительно утла наклона вектора скорости и потенциала скоростей в переменных модуля скорости и функции тока: разработан аналитический метод решения нелинейных уравнений в частных производных второго порядка; с помощью приближенно-аналитического метода решена прямая задача теории сопла Лаваля; предложен алгоритм численного решения краевой задачи теории сопла в плоскости (£, ) путем совмещения двух методов "сеток и характеристик"; разработана модифицированная математическая модель влаго- и теплопереноса в пористых средах; приближенно-аналитическим методом решена нелинейная начально-краевая задача влагопереноса в почвогрунтах, а численная реализация на ЭВМ осуществлена вариационно-разностным методом.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на: пятом, седьмом, восьмом и девятом Всесоюзных совещаниях по аналитическим методам газовой динамики (Москва, 1972, Уфа, 1976, Фрунзе, 1978, Свердловск, 1980), Всесоюзном зональном совещании по теоретической механике(Фрунзе, 1974), на научном семинаре института г идродинамики СО АН СССР (под руководством академика РАН Л.В.Овсянникова, Новосибирск, 1976), научном семинаре Московского

-9- .

Государственного Университета им. М.В.Ломоносова (под руководством академика АН Узбекской ССР, профессора Х.А.Рахматуллина, Москва, 1977), научных семинарах института автоматики HAH Кыргызской республики (под руководством чл.-корр. HAH KP, профессора И.Б.Бийбосунова, Фрунзе, 1971-1995), Всесоюзной конференции "Современные проблемы гидроаэро-дннамики"(Фрунзе, 1980), пятом Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981), научных семинарах ВНИИКА мелиорации (Фрунзе, 1979-1982), шестом Всесоюзном семинаре "Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости" (Новосибирск, 1983), конференции математиков и механиков Киргизии (Фрунзе, 1989), Республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Фрунзе, 1989), Республиканской конференции " Математическое моделирование и проблемы автоматизации" (Фрунзе, 1980), Международной конференции "Проблемы механики и технологии" (Бишкек, 1994), Республиканской научно-методической конференции "Компьютеры в учебном процессе и в науке" (Бишкек, 1994), научно-технических конференциях профессорско-преподовательского состава КСХИ им. К.И.Скрябика (Фрунзе-Бишкек, 1983-1995), Международной научно-практической конференции "Проблема механики и прикладной математики", посвященной памяти доктора физико-математических и технических наук, профессора Ф.И.Франклю (Бишкек, 1995).

Диссератционная работа обсуждалась также на научных семинарах в Ташкенте, Ленинграде, Киеве и в других городах Кыргызской, республики.

-10-

Публикации. По теме диссертационной работы опубликована одна монография " Приближенно-аналитический метод решения некоторых плоских задач газовой динамики" и 25 научных статей, изданных в сборниках "Динамика сплошной Среды" института гидродинамики СО АН СССР, "Динамика многофазных сред" ИТПМ СО АН СССР, Известия АН СССР, механика жидкости и газа , периодических сборниках института автоматики АН Кыргызской республики, а также в сборниках КСХИ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 244 страницах машинописного текста, содержит список литературы из 262 наименований, 27 рисунков, 4 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ «

Во введении обосновывается актуальность проблемы, сформулирована цель исследования, дается обзор публикаций отечественных и зарубежных ученых, близких к теме диссертации, кратко излагается метод исследования и научная новизна, теоретическая и практическая ценность полученных результатов, а также структура и содержание диссертационной работы.

Первая глава посвящена выводу уравнений газовой динамики в новой вспомогательной плоскости модуля скорости и функции тока, где искомыми функциями считаются угол наклона вектора скорости и потенциал скоростей, а также нахождению формулы перехода из этой плоскости в плоскость течения.

В ней рассматривается плоское потенциальное стационарное и изэнтропическое течение идеального газа с уравнениями движения

-а-

1

^Иг Л1- - о

(2)

В плоскости годографа, согласно С.А.Чаплыгину, они переходят

в линеиную систему уравнении

(3)

Хотя данные уравнения линейные, но при отображении области течения в плоскость годографа границы области остаются неизвестными. Поэтому требуется переход на новую вспомогательную плоскость, в частности в плоскость (б', ^ ), тогда уравнения газовой динамики примут следующий вид

или '

■ *

где 9 - угол наклона вектора скорости к оси ОХ > Ь и

функции модуля скорости, причем

при б >0 СиГ^ОЕ.^)— в дозвуковой области; К (б'^О при 0 (И^^-х )-в сверхзвуковой области;, а на звуковой линии б' — 0 , 10"= имеем

Уравнения перехода из плоскости (б^ ) в физическую плоскость (X., ^ ) имеют вид

а

= 0

(5)

В первом параграфе второй главы предварительно установлено граничное условие на стенке обтекаемого тела в плоскости (6* , ^ ), которое имеет вид ~

■Л 9^+ВД (8)

где^(е)= - кривизна стенки, - функция модуля скорости.

Далее, разлагая функцию Чаплыгина )(({/) и модуль скорости в степенные ряды в окрестности звуковой линии ((Г- 0 )

а затем используя метод малого параметра искомые функции 0 . ^, а также величина "с£(б) были представлены в виде асимптотического ряда оо ^ ' оо * оо ^

^ ' Ксо Г ' ^ Ы , ^ * (9)

в результате получены рекуррентные соотношения для определения величин }

В частности для системы уравнений (4) рекуррентная формула

VI -го приближения имеет вид % - ^ >

¥1 VI И.Н (10)

-АЗ-

а для кривизны она записывается так

Л

vt ai-n _ «ч аа-н)

"и. к х- К ИЧ "-W1

^gWWi^ SUw^U -<n>

С помощью групповых свойств дифференциальных уравнений автомодельные решения системы (10) могут быть представлены в форме

Тогда система (10) переходит в следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений

. ¿ovnwiw,

И, I И. . е (13)

^ Ipo 1-°

Соотношения (Ю)-([3) являются общими для всех двумерных стационарных задач газовой динамики, причем для каждой конкретной задачи должны добавляться дополнительные краевые условия.

В § 2.2 сформулируется краевая задача для симметричного сопла Лаваля. Физическая постановка задачи заключается в следующем: пусть при некотором расходе газа через сопло с заданной стенкой достигаются звуковые скорости по всей площади в окрестности критичес-

«

кого сечения. Требуется определить формы .звуковой линии, предельных характеристик, линий постоянных скоростей и других характерных линий, уравнения которых должны устанавливаться после peine-

-Ik-

ння математической задачи. Кроме того найденное решение должно обеспечивать безударность течсння и криволиненность звукового перехода.

Математически эта задача сформулируется так:

наити решение уравнения Л

О -1% СЬУ

■к±

со следующими граничными условиями:

= 0

; (И)

= О - на оси симметрии ? (15)

^^ _ у^(^) — на стенке сопла ^ (16)

= Р(Н') ~ на входе сопла > (17)

~9(б" ~ Уровне симметрии (18)

Уравнение (14) в общем случае не обладает свойством автомодельное™ из-за сложной зависимости функции от б" . Однако, если в окрестности звуковой линии (б"-0') аппроксимировать

линейной функцией Р'б' , то решение уравнения (14)

можно искать в форме

где Л, - произвольный параметр (показатель автомодельности). Тогда для определения функции ^(5) имеем уравнение

Если менять ролями функцию и аргумент то око преобразуется к линейному дифференциальному уравнению вида

ИМ1--0. (2.)

Переходя к новой независимой переменной имеем следующее гипергеометрическое уравнение

нЙ-н^'+^НЬг^кЫ^о.

Линейно-независимые решения этого уравнения имеют вид

„ ск 1 -Л

(23)

(24)

Отсюда при И,- находится следующее решение уравнения (14)

которое удовлетворяет всем требуемым условиям поставленной задачи. Следует отметить, что это решение является главным членом асимптотического ряда (р), так как этот ряд был разложен в окрестности точки б*- 0 , т.е. вблизи звуковой линии. Поэтому решения уравнений остальных приближений , и, , дадут малые

поправки к решению (25) и смело можно утверждать практическую сходимость ряда (9) без строгих математических доказательств.

Проверим теперь криволинейносгь звукового перехода

Ф0> (2б)

1 -16-

отличие от нуля градиента скорости в центре сопла, означает, что звуковая линия перехода от дозвуковых скоростей к сверхзвуковым является криволинейной. Из якобиана перехода

ч . . А

О - П.,. Лл ,

¿иг

1 (27)

следует, что он не меняет своего знака, вследствие чего обеспечивается однозначность взаимного отображения, а также выполнения "Тсугствия скачков уплотнения.

Уравнения характеристик имеют вид .3 . 5 . , , (28)

СоУ

Кроме того, установлены уравнения звуковой линии и других характерны^ линий в плоскости , ^ ).

В § 2.3 находятся точные решения уравнений различных приближений для сформулированной краевой задачи. В частности, уравнение "УН "-го приближения имеет вид

^ Км +

^ г (29)

соответствующие краевые условия

[(йХ -си - а*

-1?-'

Н

В случае сопла, когда определяется формулой (25) задача (29)-(31) записывается в виде

(ч'ЧГи-Жч^и -

(33)

Поскольку однородные уравнения всех приближении по форме одинаковы, следовательно их решения целесообразно найти сразу для УП. -го приближения. Замена функции Оуп.С^')^') новой функцией намного упрощает решение задачи, т.е.

Тогда однородная часть уравнения (32) примет вид

=° ■ (35)

I

Групповые свойства уравнения (35) дают следующий вид автомодельного решения

Ш, ^ (36)

После подстановки решения (36) в уравнение (35)получится линейное обыкновенное дифференциальное.уравнение относительно функции "|п1 • которое после надлежащего подбора новой независимой переменной преобразуется к гипергеометрическому уравнению. В частности, уравнение первого приближения относительно имеет вид

(^^П^+иэд-!^-^ . т

Тогда искомое решение краевой задачи для записывается

(38)

(39)

так ' 5 Ъ I

Аналогичным способом можно найти решение неоднородного уравнения 2-го приближения

и решение неоднородного уравнения YYL -го приближения wi+l iSM.

<С0

которые удовлетворяют соответствующим краевым условиям. Таким образом, разработана методика нахождения искомых решений рекуррентных уравнений до желаемых приближений. _ Далее путем задания кривизны стенки в виде

3- И (411

-4.9-

определены произвольные постоянные входящие в решения из соответствующих краевых условий и осуществлен переход на физическую плоскость. В результате установлены уравнения линий равных скоростей, характеристик двух семейств, линш^на которых функции тока постоянные и звуковой линии.

В § 2.4 решена обратная задача теории сопла, когда звуковой переход является прямым. За исходное уравнение берется нелинейная система уравнений ( ^ ) в околозвуковом приближении ( К^^б* ) и требуется найти ее решения со следующими условиями: на оси симметрии

(42)

и на звуковой линии

(43)

Представляя искомые решения в автомодельной форме

решения системы (А ) в окончательном виде можно записать так

(44)

(45)

где Р(Н^)=Р [Д/СЦ'-Ч1!) " функция Вейерютрасса.

Якобиан перехода

'■'З^^^РВдамаАч]' (47)

при Д/ ф 0 обращается в нуль только на звуковой линии 5^—0 и в нулях функции РОР) , а при приближении к полюсам З стремится к бесконечности, поэтому те точхи плоскости ( б" , ^ )< в которых якобиан обращается в нуль или бесконечность, являются особыми и свойства течения определяются расположением этих особенностей.

Возможные типы таких течений в плоскости ( ОС., ^ ) были классифицированы Л.В.Овсянниковым, а в данной работе они проведены в плоскости (6Г ) и получены уравнения эквипотенциальных линий, уравнения предельных характеристик, линий постоянных скоростей и наклонов, и т.д.

После перехода на физическую плоскость (ЗС.,^ ) получены следующие параметрические уравнения звуковой линии: Х~0

линии тока в дозвуковой области ■ ц

Ць

в сверхзвуковой части

. , _ . р'Ы+ЦЧО

* ааА

(49)

(50)

Отсюда видно, что если сопло симметричное и звуковая линия прямая, то линии тока в окрестности звуковой прямой ведут себя как параболы четвертой степени, за исключением особой точки ^ —. где имеется излом стенки канала.

Третья глава посвящена исследованию решений нелинейного уравнения (5 ) в околозвуковом приближении, т.е

% п>нч I • (51)

Выше было показано, что метод поиска решения уравнения ( ) в автомодельной форме приводит его к гипергеометрическому уравнению Гаусса. В данной главе будем изучать те случаи, когда линейно-незавйсимые решения (23) и (24) могут быть представлены в виде алгебраических функций и многочленов. Возможны два случая:

!) такие значения показателе автомодельности " И, " при которых общий интеграл гиперг^ометрического уравнения (ЗА) в целом представляется в виде алгебраических функций;

2) одно из двух линейно-независимых решений является алгебраическим многочленом, а другое не может быть приведено к алгебраическим функциям.

В диссертации доказывается, что при имеет место первый

случай из указанных вариантов и получено решение

&

<52!

где

(53)

которое совпадает с решением Ф.И.Франкля и описывает безотрывное обтекание профиля с плоской нижней стороной под углом атаки, имеющим скорость звука в бесконечности.

Если И,-А , то одно из линейно-независимых решений приводится к алгебраической функции, а другое нет. Искомое решение имеет вид .. „ ( „

(54)

которое соответствует околозвуковому течению газа с местной сверхзвуковой зоной, ограниченной вниз по течению прямым скачком уплотнения.

Если Ц— , то имеем решение

(55)

соответствующее течению в каналах с плоскими стенками. | Показатель автомодеяьности соответствует обтеканию симметричного профиля со звуковой скоростью на бесконечности и имеет вид '

., . %

ие дает решение вида

[(ЯН! («-и)] ^

(56)

(57)

которое описывает'течение около угла со звуковым изломом образующей.

При показателе получится решение

% - з , -1 <58>

которое соответствует течению газа с большой дозвуковой скоростью в плоском воздухозаборник.

* - о -

В § 3.2 предлагается один из возможных методов численного решения краевой зад ачи теории сопла для линейного уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа. Разработка такой методики связана с тем, что в плоскости (6*, ^ ) характеристическая сетка не является симметричной относительно оси ординат (Б*—0 ), вследствие чего известный метод А.Ф.Фиплипова не применим.

В качестве примера рассмотрим алгоритм численного решения линейного уравнения смешанного типа. ■!.

с краевыми условиями 7

' (60)

• • (62) где ¿(6,У) и известные, а 'йе^Ч') и заданные

функции.

Для решения данной задачи рекомендуется комбинация известных двух методе а: сеток и характеристик, причем в эллиптической (дозвуковой) области используется метод сеток, а в гиперболической" (сверхзвуковой) области- метод характеристик. На линии параболич-ности ( бТ—0 ) требуется удовлетворение условий сшивания для искомой функции и ее нормальной производной, т.е.

(64)'

Четвертая глава посвящена приближенно-аналитическому и численному решению задач влаго- и теплопереноса в пористых средах.

Движение почвенной влаги подчиняется общей физической закономерности ненасыщенной фильтрации в пористых средах. Массо-обмен в почве предполагает перемещение влаги в почве как в форме пара, так и в кдпнллярно-жлдком виде. Этот поток влаги переносит с собой тепло, которое изменяет тепловой режим почвы и влияет на ее теплофизические характеристики. Экспериментально доказано, что пока температура почвы не становится выше 50 С, фактор обуславливающий перенос тепла паром составляет не более 10% от полного переноса тепла, поэтому для природных температур можно пренебречь этим фактором.

Итак, передвижение влаги в почвогрунтах будем предполагать только за счет капиллярно-жидкой фазы и должно подчиняться диффузионной концепции. Многочисленными опытами также показано, что влажность С11лыго влияет на изменение величины коэффициента теплопроводности -Я и теплоемкости С . Физически это объясняется тем, что при увлажнении почвы из их пор удаляется малотеплопроводящий воздух, который заменяется при этом хорошо проводащей тепло влагой. Зависимость Л и С. от влажности даются как пр? ьило, эмпирическими формулами в виде

>

(65)

Для изучения водно-теплового режима почвы предлагается следующая модифицированная математическая модель в двумерной постановке: найти решение нелинейного уравнения влагопереноса

н теплопроводности

(67)

(68)

при соответствующих начально-краевых условиях. Как видно из уравнения влагопереноса ( ), оно не содержит температуру Т , а уравнение теплопереноса наоборот сильно зависит от влажности . Это позволяет сначала решать отдельно задачу влагопереноса, а потом тольхо с учетом изменения влажности решить уравнение теплопереноса (68).

Для решения уравнения влагопереноса используется разработанный в гл.Н приближенно-аналитический метод решения нелинейного уравнения. Сначала решается одномерное уравнение влагопереноса (67) без учета гравитационных сил (предполагая^ ^^^ ^ ). При этом коэффициент диффузии ^ представляется в виде ряда по степеням V/ в результате чего одномерное уравнение влагопереноса записывается как

Путем представления функции влажности в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра 5.

М .=■ + + ... (70)

получены линейные рекуррентные уравнения в частных производных

относительно У/ц , .....\XZit, • Найдено автомодельное решение

уравнения нулевого приближения, которое в конечном итоге выражается через интеграл Лапласа. Полученное решение хорошо описывает процесс инфильтрации воды в ненасыщенный почвогрунтпри поливах дождеванием и согласуется с данными экспериментов.

В следующем параграфе приводится метод нахождения аналитического решения двумерного уравнения влагопереноса вида

где функция

Хм)

= W - аппроксимировалась эмпирической зависимостью С.Ф.Аверьянова. Исходя из группового свойства уравнения (71) его решение представлялось в автомодельной форме, в результате чего оно свелось к уравнению с двумя независимыми переменными, решение полученного уравнения еще раз представилось в автомодельном виде и пол ученное промежуточное уравнение спелось к обыкновенному нелинейному уравнению. Из полученного уравнения найдено решение только одного для значения УС ~ I , которое соответствует нестационарному уравнению Буссинеска.

В § 4.3 исходя из экспериментальных данных п*»тем численного решения обратной задачи определены параметры входящие в коэффициенты диффузии^О^) и влагопроводности

т

,которые

задавались в виде экспоненты через Гарднеровские аппроксимации, т.е. , ¿ОХМУо) , (72)

-а?-

Расчет проводился согласно методу Ф.Б.Абуталиева, согласно которому за основу берутся экспериментальные эпюры влажности в начальный и последующий моменты времени. Далее решается одномерное уравнение влагопереноса с учетом капиллярных и гравитационных потенциалов, при начальном и граничном условиях, соответствующих данным полевых наблюдений. Путем подбора параметров и ^ , достигается совпадение расчетной и экспериментальной эпюры влажности с определенной точностью.

После перехода к разностным соотношениям был применен метод линеаризации уравнения путем замены ^ (.^п. ) 11 )

через ^ н ) > которые на каждом этапе счета считаются

постоянными, далее линеаризованная система решена методом прогонки и определены числовые значения параметров и р> для конкретных типов почв.

В § 4.4 численно решена начально-краевая задача влаго- и тепло-переноса в почве при бороздковых поливах. Исходные данные были взяты из натурных наблюдений, а задача была сформулирована в двумерной постановке, для уравнений (67), (68) при соответствующих начально-краевых условиях. Коэффициенты диффузии"сЬ(\>У) и были взяты в виде (72).

Сначала решается задача влагопереноса для уравнения (67) вариационно-разностным методом. Согласно этой методике сперва с помощью метода прямых производная по времени в уравнении (67) аппроксимируется конечно-разностными отношениями, вследствие чего вместо нестационарного уравнения параболического типа (67) имеем систему неоднородных нелинейных уравнений эллиптического типа, а затем применяется вариационный метод, согласно которому

-2«-

рассматриваемая задача сводится к построению некоторого двумерного функционала, имеющего наметшее значение. Этот функционал имеет вид ' г г, » _ .1

Для приближенного нахождения минимума данного функционала используется метод растепления двумерного функционала на два одномерных функционала и попеременным

" X" и " ^ ", который был разработан Джаныбековым Ч. После аппроксимации производных"^и ^ значения ищутся таким образом, чтобы имело место условие

минимизации функционалов

Полученная нелинейная система алгебраических уравнений решалась итерационным методом.

После решения уравнения влагопереноса становятся известными теплоемкость С(\Х/) и коэффициент теплопроводности почвы Л(^) • Поскольку уравнение теплопереноса (68) также является уравнением параболического типа, следовательно вышеуказанный вариационно-разностный принцип полностью переносится и на этот случай. Сравнение численных расчетов с натурными данными показывают, что учет влажности почвы при решении уравнения тепле ггроводности играет существенную роль. Гахим образом, теоретически и экспериментально изучена динамика водно-теплового режима почвы при бороздковых поливах, хорошее согласие с экспериментальными

-аэ-

данными показывает достоверность предложенной математической модели.

Основные выводы и заключение.

1. Впервые выведены уравнения газовой динамики в плоскости модуля скорости и функции тока, где искомыми функциями являются угол наклона вектора скорости и потенциал скоростей.

2. Разработан метод нахождения точных решений нелинейного уравнения смешанного типа второго порядка в околозвуковом приближении.

1 3. Установлено граничное условие на стенке канала в плоскости , ^ ), в результате которого была сформулирована прямая краевая задача теории сопла;

на основанин теории малых возмущений и группового анализа дифференциальных уравнений разработан приближенно-аналитический метод решения системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка с помощью которого решена сформулированная краевая задача теории сопла Лаваля.

4. Найден эффективный способ нахождения формулы перехода из плоскости (б', ^ ) в плоскость течения (ОС, ^ ).

5. На основании разработанного метода предложены рекуррентные соотношения для У[, -го приближения уравнения в частных производных 2-го порядка и соответствующих краевых условий.

6. Получена асимптотика решения прямой задачи теории сопла с криволинейным звуковым переходом.

7. Решена обратная задача теории сопла для плоского течения с прямой звуковой линией перехода, стенки которого в критическом сечении имеют излом.

8. Определены основные уравнения характерных параметров течения как в плоскости (б', Ц' К так и в физической плоскости (Х,^).

9. Предложен комбинированный метод численного решения уравнения смешанного типа для прямой задачи теории сопла.

10. Найден широкий класс автомодельных решений нелинейного уравнения газодинамики в плоскости Н' ) в околозвуковом приближении, которое описывают различные типы течений в физической плоскости.

11. Разработана модифицированная математическая модель влаго- и теплопереноса в почвогрунтах.

12. Приближенно-аналитическими методами решены начально-краевые задача теории влагопереноса в пористых средах.

13. Численно-аналитическим методом определены параметры, содержавшееся в коэффициентах диффузии и влагопроводности.

14. Вариационно-разностным методом численно решена задача влаго- и теплопереноса при бороздковых поливах.

15. Проведенные сравнения численно-аналитических расчетов с экспериментальными данными показывают хорошие их совпадения, что является доказательством достоверности полученных теоретических результатов.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Бийбосунов И., Мамбеткулов Ж. Об одной задаче теории сопла Лаваля.// Плоское и простарнственное течение жидкости и газа,-Фрунзе: Илим, 1972.

2. Бийбосунов И., Мамбеткулов Ж. О течении газа в со.шах Лаваля Л Тезисы докладов' У-го Всесоюзного совещания по аналити ческим методам газовой динамики. М., ИПМ АН СССР, 1972.

-м-

3. Бийбосунов И., Мамбеткулов Ж. Численное решение уравнения Чаплыгина применительно к теории сопла Л аваля.// Двумерное и трехмерное течение жидкости и газа.-Фрунзе: Илим, 1975.

4. Бийбосунов И., Мамбеткулов Ж. Об одом классе решений газодинамических уравнений теории сопла ЛаваляЛ Труды ФПИ. материалы Всесоюзного зонального совещания по теоретической механике. Фрунзе, 1975, вып.90.

5. Бийбосунов И., Мамбеткулов Ж. Об одном методе решения задачи сопла Лаваля.// Нестационарные проблемы гидродинамики: Динамика стгашной Среды. Новосибирск, 1977, т.ЗО.

6. Бийбосунов И., Мамбеткулов Ж. Сопло Лаваля с прямой звуковой линией перехода.// Двумерное и осесиммегричное течение жидкости и газа.-Фрунзе: Илим, 1972.

7. Бийбосунов И., Мамбеткулов Ж., Мукамбаев Н.Дж. Численное решение нелинейной задачи/тепло- и влагопереноса в почве при бороздковых поливах.// Исследования по теории плоских и осесим-метричных течений жидкости и газа.-Фрунзе: Илим, 1981.

8. Бийбосунов И., Акжолов М., Бабашов А..Мамбеткулов Ж., Муканбаев Н.Дж. Исследование тепло- и влагопереноса в ненасыщенных грунтах.// Материалы VI Всесоюзного семинара "Численные методы решения задач фильтрации многофазной ' несжимаемой жидкости". Новосибирск, 1983.

9. Бийбосучов И., Мамбеткулов Ж. О некоторых автомодельных решениях уравнения околозвукового течения газа.// Рук. деп. в ВИНИТИ, Москва, 1987, № 7488-В87.

• 10. Бийбосунов И., Мамбеткулов Ж. Приближенно-аналитичес-хий метод решения некоторых плоских задач газовой динамики.-Бишкек: Илим, 1995.

11. Джусуева Л.С., Мамбеткулов Ж. Численное решение краевой задачи теории сопла методом прямых.//Двумерное и трехмерное течение жидкости и газа. Фрунзе: Илим, 1975.

12. Джусуева Л.С., Мамбеткулов Ж; Об одном течении в соплах Лаваля.// Труды ФПИ. Материалы Всесоюзного зонального совещания по теоретической механике. Фрунзе: Илим, 1^75, вып.ЗО.

13. Мамбеткулов Ж. Приближенный метод решения задач возникновения ударной волны в цилиндре постоянного сечения.// Труды Кырг. СХИ, сер.инженер., вып. 17, Фрунзе, 1972.

14. Мамбеткулов Ж. Плоские установившиеся течения газа в соплах Лаваля.// Изв.АН СССР. Мех.жидкости и газа, 1977, № 3.

15. Мамбеткулов Ж. Плоские течения в соплах Лаваля. Автореф. дис.канд.физ.-мат.наух. Фрунзе, 1977.

16. Мамбеткулов Ж. Приближенно-аналитический метод решения прямой задачи теории сопла Лаваля.// Материалы Международной научно-практической конференции " Проблемы механики и прикладной математики" , Бишкек, 1995.

11. Мамбеткулов Ж., Мукамбаев Н.Дж. Об одном методе определения коэффициентов влагопереноса в почвогрунтах.// Исследования по теории плоских и- осесиммегричных течений жидкости и газа.-' Фрунзе: Илим, 1981.

18. Мамбеткулов Ж., Мукамбаев Н.Дж. Математическая модель импульсивного полива в мелиорации.// Локальные системы автоматизации по бороздам. Фрунзе, 1986.

• 19. Мамбеггкулов Ж., Мукамбаев Н.Дж. Моделирование движения жидкости в открытых каналах с учетом потери на инфильтрацию Л Рук.деп. в ВИНИТИ, Москва, 1987, № 8449-В87.

-зъ-

20. Мамбеткулов Ж., Мурзакматов М.У. Об определении параметров влагопереноса в зоне аэрации.// Тезисы докладов конференции, математиков и механиков Киргизии, посвященной 70-легию Октября. Фрунзе, 1987.

21. Мамбеткулов Ж., Мукамбаев Н.Дж. О приближенно-аналитическом решении задачи импульсного полива по бороздам.//Тезисы докладов республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Фрунзе, КГУ, 1989.

22. Мамбеткулов Ж., Мукамбаев Н.Дж. Приближенно-аналитические исследования процесса инфильтрации.// Тезисы докладов республиканской конференции "Математическое моделирование и проблемы автоматизации". АН Кырг.ССР, Фрунзе, 1990.

23. Мамбеткулов Ж. Математическая модель влагопереноса в почве при бороздковых поливах.// Тезисы докладов научной конференции, посвященной 60-летию образования Кырг.СХИ, Бишкек, 1992.

24. Мамбеткулов Ж., Мукамбаев Н.Дж., Божокоев М.Б. Аналитическое решение нелинейной задачи впитывания воды в почвогрунт.// Совершенствование методов и средств автоматизации гидромелиоративных систем. Бишкек, 1994.

25. Мамбеткулов Ж., Божымбаев С. Исследования отраженных частиц в канале.// Материалы III Республиканской научно-методической конференции " Компьютеры в учебном процессе и науке". Бишкек, 1994.

МЛМБЕТКУЛОВ ЖЕНИШ

. Суюктардыи жана газдардый Сир кьмла маселелерин чыгаруу учун санДык жана аналитнкалык турдв жахындаштырьшган мсгоддорду иштсп чыгуу жолдору.

Бул жумушта газ агымдарын изилдоэ жа^ы тешздикте жургузул-ген. Жа1уы тегнздикте газ динамикасынын тендемеяерн ыддамдык век-торунун кыйшаюу бурчуна жана ылдамдыктардын потенциалына карата жазылып аргументтери катары функция тогу жана ылдамдык-тын чондугу кабыл алынган. Жакыцдаштыруу-аналитнкалык ыкма менен сопло теориясынын туз жана тескери маселелери чыгарылган. Газ динамикасынын сшыктуу эмес дифференциалдык тендемесинин так чыгарылыштарынын классы табылган. Топурак сыяктуу чейре-лердв ны.чдуулу,лун жана жылуулухтун таралыш маселелери учун жакшыртылган математикалык модель вариацня-айырмалануу методу менен чыгарылган.

The work is devoted to the reseorch of gas current on a new surface, where eguation of gas dynamic is written relativaly at the angle incline of the vector and potential speed in variable module speed and function of current straight and inverse problem of Sop'e theory was solved and closely analytical and numerical methods were developed by the author. VY:de class for precise solution of nonlinear eguation of gas dynamic iransouna approximation has been founded. Problem of moist and heat transmission for modi-ficated mathematic module has been solved by variably different method.

J.Mambetculov's thesis for a doctor's degree entitled " Development of Approximately Analytical and Numerical Method Solving a Number of Problem for Mechanics of Fluids".

-35- . li&J^p-