Разработка статистических критериев мощности стохастично дефектных и неоднородных (композитных) материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ 6 од

X 8 ШОІІ $33 АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-МЕХАНІЧНИЙ ІНСТИТУТ ім. Г. В. КАРПЕНКА

На правах рукопису

КВІТ

Роман Іванович

РОЗРОБКА СТАТИСТИЧНИХ КРИТЕРІЇВ МІЦНОСТІ СТОХАСТИЧНО ДЕФЕКТНИХ І НЕОДНОРІДНИХ (КОМПОЗИТНИХ) МАТЕРІАЛІВ

Спеціальність: 01.02.04 — механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Львів — 1993

Робота виконана в Фізико~і»<мсанічноцу інституті іи. Г.В.Карпеика АН України, м.Львів

Науковий керівних - кандидат фіаико-математичних наук, старший науковий співробітник ШВИЦЬКИЙ ПЕТРО МИХАЙЛОВИЧ Офіційні опоненти: чтсн-кореспондент АН України,

' - доктор фізико-математичних наук,

. професор'

. • КІТ ГРИШРІЙ СЕМЕНОВИЧ

. • кандидат фізико-катематичних надк,

доцент

' . ашш ВАСИЛЬ ІВАНОВИЧ .

Провідна установаІнститут проблем міцності АН України, «.Київ

Захист відбудеться "ЗР" 19ЭЗр. о К? год.

на засіданні спеціалізованої вчено! ради Д 015.42.01 при фізкхо-мйханічкоцу інституті ім. Г.В.Карпенка АН України за адресою: 290601, Львів, МСП, вул. Наукова, 5.

З дисєртаціев можна ознайомитися в бібліотеці * фізико-чіехаііічниго інституту ім. Г.В.Карпенка АН України. Автореферат розісланий *<?&" ІПМШк 1993р.

Учений секретар сЬйціаиізойакої вченої рад»

НШЙОРЧИН Григорій Миколайович

Актуальність ітроблзми. У механіці дсформівних твердих • тіл велике значеная надається розробці теорії міцності та критеріїв руйнувдлня лонструкц:їніс; матеріалів, Цч проблема е актуальною і для і пленарної' практики. На міцність впливав дефектність і неоднорідність структури, які розглядаа^ься переважно з' детерміністичних позицій. Важливим завданням в врахування стохестичності структури матеріалів ігри оцінці їх міцьіених характеристик. Лпяз спос.теріггшться деякі супереч-нсс.ті ніж розробленими теоретичній моделями розрахунку на міцність з л.етерміноьйнкии величинами на вході та емпіричним урахуванням сипздкоаих парамотріз матеріалу та навантажень.

■V реальних матеріалах даЬзкти харакїеріїзувї'ьсл випадковими знпченачіїк їх геометричних, деформівних та міцнісних параметрів. З останні роки напрямок імовірнісної механіки рушу-нання активно розвивається. Суть цього напрямку полягаз о комплексному nlrxop.it цс базується-на результатах механіки руйнування з детермінованими дефектами та даних, стриманих ймовтрнісно-статіїсткчн'ми методами. Врахування дефектності та гипадкевоот: як воаемоп.ов"дзаних язів; дао змогу якісно ' '

побудувати теорію міцності та критерії руйнування конструкційних матеріалі*. 7

Ьетгм роботи з розроблення мотодші і алгоритмів розрахунку ймовірнісних характеристик міцності та побудови ста-тист/лних критеріїв руйнуванкя різних модельних матеріалів зі структурними дефектами на оснозі комплексного застосування методів детерміністичної игхеяі.чи руйнуванні! ча йновірнірка-статкстичн'лх методів.

-З-

Загальна методика виконання досліджень. На базі концепції явного введ: чия випадкових геометричних характеристик дефектів /тріщин та включень/ провод ться аналітично-числовий розрахунок на міцність елементів конструкцій. Пр цьоцу .використовуються дь.'ермініст.ічні розв"язки механіки руйнування та ймовірнісно-статистичні положення. Окремі теоретичні результати застосовані для опису відомих експериментальних залежностей. .

Наукова новизна. Проведено дослідження спливу враху-ваиня початкового відхилення напрямку поширення тріщини на ймовірність зруйнування та критерії міцності пластин із тріщинами, дгчкина і орієнтація яких є стохастично розподіленими. П-’і великій кількості тріщин розрахунок ведеться НІ основі узагальненої на складний напружєни" стан теорії Вейбула-Золотіна. Побудовані діаграми граничного стану з урахуванням тривимірності /осесиметрично навантажене тіло з дископодібними тріщинами випадкового радіуса та орієнтації/ та досліджено вплив кількості тріщин у матеріалі і виду напруженого отану на ймовірнісні характеристики міцності. Зроблено порівняння отриманих результатів з відомими експериментальними даними. Узагальнено метод розрахунку ймовірнісних характеристик міцності на дисперсні композитні матеріали з ■ пруаними чужорідними включеннями. Започатковані дослідження з пргнозування міцності стохастично дефектних ортотропних ксмпозиїких матеріалів. -

Автор захизіая такі положення:

1. Формулювання розрахункових моделей і визначення функцій • імовірнісного розподілу граничного навантаження стсхас-тично дефектних і неоднорідних тіл /матепівлів/ для: пластин з прямолінійними тріщинами з можливим відхиленням напрямку їх розвитку при двовісному напруленоі^у стані;

• тривимірних тіл з дископодібними тріщинши при осесимет-ричному навантаженні; пластин з пружними елілтичнимч включеннями /дисгірсні композитні матеріали/; ортотропних композитних матеріалів.

2. Розрахс ані і побудовані ймовірнісні критерії міцності та проаналізовані їх особливості для стохастично дефектних матеріалів при плоскому та осесиметрлчному навантаженні; дисперсних кої гозитншс матеріалів; ортотропних композитів.

3. Чисельний аналіз впливу параметрів тріщинуватості /неодно-

рідності/ структури і масштабного фактора на ймовірність зруйнування і критерії міцності стохастично дефектних ма' теріалів. ■. ' ■

Практична цінність. Отримані, результати можуть бути використані: .

і/при розрахунках на міцність елементів констглсцій під дісп складного налрузкеного стану для оцінки їх надійності /знаходження ймовірності зруйнування, середнього, значення руйнуючого навантаження і ряду іншх характеристик ііі ' ності/ при.ізотропності та^ анізотропності властивостей їх структури;

2/ для розвитку досліджень міцності стохастично дефектних матеріалів в імовірнісному аспекті. •

Отримані результате увійшли де звітів по бюджетних темах: РБ 10/251 /№1.86.0043090/, РШ 14/300 /пр. 12/90 від 29.12.90/. Р£ 14/340 /Бюро ЮТЯМ АН України №18 від 25.I2.8S/.

Алуобапія роботи. Основні результати роботи були представлені на 1 Всесоюзному симпозіумі "Механіка і фігика руйнування композитних матеріалів і конструкцій" /Ужгород,1968/, III та.ІУ Всесоюзних симпозіумах "Міцність матеріалів і елементів конструкцій при складному напруженому стані" /Житомир, І9В9; Севастополь, 1992/, на ХІУ аонференції молодих вчених <йізико-механічнй!'о інституту ім.Г.К.Карпенка ЛН України /Львів,, 1989/, ка III Бсесоозноцу симпозіумі по механіці руйнування /Житомир, 1990/, на ХУІ та ХУІІ конференціях молодих вчених Інституту механіки АН України /Київ, 1991, 1992/, на III Всесоюзній конференції по механіці неоднорідних структур /Львів, 1991/, на УІ Міжнародному симпозіумі "Методи дискретних особливостей в задачах математичної фізики" /Харків, 1993/, на науковому семінарі "Міцність композиційних матеріалів" ФМІ ім. Г.В.Карпзнка АН України /Львів, 1993/.

Публікації. За матеріалами дисертації оїгубл і ковано 12 друкованих праць. _ .

Обсяг роботи. Дисертація складається з передмови, вступу, чотирьог глав та підсумків і містить 165 сторінок, в тоцу числі 50 рахунків, 3 таблиці і список літератури з І?5 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ • '

У передмові обгрунтована актуальність теми, сфорцульо- . вана мета роботи, зиділені основні положення,-які виносяться на захист» викладено короткий зміст дисертації та її апроба-ціп. . •

У вступі дається огляд робі® по застосування й&овір-нісно-статистичнюс методів у механіці руйнування.

У пешій главі представлено відоцу загальну схему /Витвіщький П,Н, , 1980/ розрахую^ на міцність стохастично дефектних і неоднорідних матеріалів. Розглядається тіло під діеп двоп8"аштричного навантаження р та У. матері-

алі тіла рівномірно розсіяні дефекти /тріщини або включення/, які не взаемодівть пік собоя. Дефекти характеризуються випад-ковиш розміром ^ та кутом орієнтації оС стосовно до напрямку дії зусиль р . Імовірнісні розподіли величин і та об залежать від структур# матеріалу 1 вважають _л відомими. Дефектність структури характеризується густиною сумісного розподілу ймовіцостей /Ас// та функціея розподілу ' Тріщтостій-

кість матеріалу лрийня і всади однаковою. Якцо в. одиниці . Уа об"ецу тіла міститься в’середньому Па іїервиншхдефекттк • ' .

елементів, тоді в тілі об"ему V в середньому матимемо • П=ПвУЛ4 таких елементів. Гранична навантааеніл для елекента. тіла з одним дефектом при двопараметричі цу навантаженні ' ножна записати в загальному вигляді .' '

’ ірикк(зейг* <у~ар і /1/

де тріщиностійкі?1» матеріалу, коефіцієнт тертя .

берегів тріщина, аналітична представлення функції залежить від типу дефекту і від підходу до розв"язку задачі.

З випадоовосїі величин и їа ( випливао випадковість граничного навалтакення на інтервалі від р^,, (Ц) до //лал(^) • Функція розподілу граничного навантаження |р| для елемента «їла з одаш дефектом ыаз вигляд

Мт)вЯ ((*.*> А* М і рлип рюьх . /2/

■ <и»(Г

Тур інтегрування здійсняється за тими змінними, для яких виконується нерівність під знаком інтеграла.

Згідно з гіпотезоз найслабшої ланки для тіла з п дефектами викс^исїовува-ся формула

РпОМ>*<-[<-6Орі*п>]" . м

Значення функції при фіксованому навантаженні

дорівнює ймовірності зруйнування тіла .

На основі функції {ьОр!.1}) иоана отримати ряд статистичних характеристик міцності: середнз та найбільш імовірне значення5 величину навантаження, яка відповідав заданій іпо -вірності зруйнування тіла» дисперсію тоїцо» '

Побудовано діаграми граничного стану в координатах СОГ-'ДНІХ ЗН£і .ЗНЬ руйнуючого навантяження при високі ступенях однорідності /більш імовірні малі тріщини/ матеріалів зі ^ .'охасіично розподіленими тріщинами, обмеженої довжини. При цьоцу досліддено вплив тріщинуватості структури ' масшт бного Актора. Дяя великої кі ькості тріщин розрахунок проводився зп узгат-«ьненоп на складний налруаений стан теорією Вейбула-

Волотіна. ІІри збільшенні кількості тріщин статистичні криві переходять в детерміністичні криві мінімальних середніх зна-. чень-руйнуючого навантаження. Побудовані криві залежності середнього значення міцності від кількості тріщин для різних видів напруженого стану.

Проведено обчислення ймовірності зруйнування та побудовані критерії міцності пластин зі стохастячно розподіленими тріщинами при врахуванні початкового відхилення напряму пойи-рення тріщини. При цьому використовується відомий детерміністичний розв"язок В.В.ІІанасюка і Л.Т.Бережницького /Вопр. мвх. реал твердого тела. 1964, Вцп.З/, Зроблено порівняння з розв'язками, які базуються на придушенні, що тріщина поии-ризться в своїй площині /Вктвицький П.М., Попгнь 0.0., 1960/. При однаковій кількості дефектів міцність тіла - меншоа при врахуванні початкового напрямку поширення тріщин, причому цз

*

зменшення залежить від виду напрушзиог стану. При великій кількості тріщин це врахування на змінюа виду діаграм критерію {.^йнування, за винятком області» де переважають напруження стиску» .

У другій главі узагальнено побудЬву ймовірнісних критеріїв міцності на просторовий випадок /білья адекватний реальності/. Розглянуто осесииетрично навантажене -4/ло / • у

£х = їСу=г^р / зі стохастячно розік ілвнкми дископодібними тріщинами, які характеризуються випадковими парамотрзми-радіусом В та кутом орієнтації об /кут «ів нормаллю ди трі- . щини і віссп 2 симетрії навантаження, СКсСйЗС/2. /. Я - обмежена величина і підлягав спадному ^-розподілу. На основі функції розподілу граничного навантаженая для елемента тіла

з однією ізольованою тріщиною

£і (tpi,^)=| Sin «с fx (R' dd dR , /4/

/ £,££) - гуетика po тоділу R , ^et,r^)rt«V^Jiifc./ побудовано ряд діаграм граничного стану в координатах середнього значення руйнуючого навантаження та при заданій імовірності зруйнували тіла. Діаграми побудовані для різної кількості тріщин. При великій кількості трі: ..и розрахунок проводився за співвідношеннями, отриманими узагальненням теорії Вейбула-Болотіна на складний напружений стан. Міцність тіла стає нижчою зі зростаннях складності напруженого стану. Масштабний ефект зросле зі-зменшенням роз ірів тіла та зі збільшенням неоднорідності його матеріалу. Отримано ряд найбільш імовірних значень руйнуючого навантаження, які д бра узгоджуються з відомими результатами / И-sher, Hollomon , 1947/, Знайдені ймовірнісні характеристики міцності /середнє значення, дисперсія, коефіцієнт зміни міцності/ корелюють з відомими в літературі / Kateuo , 1983/.

Побудовано задшшість імовірності зруйнування від, прикладеного навантаження і зроблено порівняння а експерямен-тальними даними / Sirfin , Bollard, 1982/. Проведено узгодження кривих густині. Ймовірності розподілу міцності та валі жостей -середньої міцності від об"вцу при простому розтязі з резуль-ть.ами эксперименту /Лебедей А.О., 1977/. ’

Третя глава присвячена поширенню методу розрахунку ймовірнісних хараіяерист»: і міцності матеріалів на дисперсні 'юмпозчгні матеріали; /пружні матриці з сплощеними еліггглч-

НИМИ ВОЮЧЄННЯМи/% Прийнято, ЦО , Дв &( , - модулі

зсуву матеріалу включення і матриці відповідно. Розглянуто два випадки. У першоцу включення хі_ актеризуються випадковою орієнтацією і заданими розмір, м, а в другому - випадковими є орієнтація і розмір включень. Гайнування неоднорідного матеріалу може починатися у вклі генні, біля нього або на границі матриця-включення, Вважаємо, ,о руйнування ініціюється включеннями, геометричні характеристики яких /довяина 2<Х і кут оріентац ї еС / ^ стохасїично розподіленими, За критерій руйнування ізольованого включення і ремо співвідношення типу загину кулонівського тертя /Черепанов Г.П., 1983/

' ^^"-6"^" . /5/

де К**- коефіцієнт зчеплення, У- коефіцієнт тертя, нормальне та дотичне напруження у включенні. Побудовано діаграми середні* з' ачень руйнуючих включення напруяень для тіла З різною КІЛЬКІСТЮ включень. Для ВСТШІО' пення міцності композитного матер алу зроблене порівняння граничних напружень для включень з граничними напруженнями для матриці з тріщинами, цо виникають на місці включень. При однаковій кількості включень середні значення руйнуючого навантаження при врахуванні тільки орієнтації в більшими, тобто сумісне врахування отохастичності розмірів і орієнтації понижує міцність.

У четвертій главі розроблено і^.горитм розрахунку ймо-вірнг-тї зруйнування та п.будови критеріїв міцнесті при складному напруденоцу стані стохастичко дефектних ортотроп-тг компогтгів. Отримано розлом л макронапружень /напружень, усередаиних г»о площі структурного елемента/ Лля тріщвдопо-

дібних дефектів в ортотропних композитах при плоскій деформації. Побудовяко критерій максимальних макронаяружень для композита з довільно орієнтованими тріщинами з перевачіаачоп орієнтацією в напрямку ар(4увания. Гостину розподілу орієнтації тріщин вибираємо у вигляді закону

^ /6/

який мав такий фізичний зміст: найбільш імовірною в орієнтація тріщин у напрямку осі з більшим модулем пружності £і .

/Л = Е,/Е*

Отримло функція розподілу руйнуючого навантаження для ортотроішого композиту у вигляді .

я/2 - ,У2 .

Ь ('№> "І І/а со*\с ^ (,пЖ>п/

де і_ - ^ / і - півдовжина тріщини, ^1 - довжина структур-

ного елемента/» *С- параметр тріщинуватості матеріалу /чим більше ТС , тим імовірніші малі тріщини/, (.((рі,^) визначається з критерію максимальних накрон'тружень.

Проведено розрахунок імовірності зруйнування композита залежно від прикладеного навантаження для різної кількості тріщин і тріщинуватості матеріалу. На основі отрииєних аналітичних співвідношень побудовані статистичні критерії міцності при заданій імовірності зруйнування. Показано вплив ортотропії матеріалу на міцність при рівних видах напруженого стану для фіксованої кількості дефектів.

У підсумках сі рцульованг основні результати і висновки, які випливають з проведених у роботі досліджень.

. ОСНОВНГ РЕЗУЛЬТАТИ І КОРОТКІ висновки

У роботі з сдиних позицій розглянуто декілька аспектів геореі,.чного розрахунку ймовірності зруйнування і побудови ймовг- чісних критеріїв міцності при складному напруженому стані стохчстично дефектних, дисперсних та ортотролних ком-пі іитних матеріалів. '

1. На відміну від відомих в літера.урі підходів здійснено побудову діагра граничного 'ітану двовісному розтязі-стиску пластин з тріщинами /плоска модель/ для високого ступеня параметра однорідності іл-геріалу, що характери-

ув велику ймовірність малих тріщин у структурі. Дослі-даено особливості видозміни цих діаграм залежно від впливу параметра тріщинуватості і масштабного фактора.

2. Побудоєанр критерії міцності стохастпчно дефектних мате-

ріалів при врахуванні початкового відхилення напрямку поширення тріщи . Встановлено, що при великій кількості тріщин / П^-Ю1 / врахування початкового відхилення напрямку поширення трії ини впливає на вид діаграм міцності "■ тільки в області переважаючого стиску. ---

Встановлена мчжа застосовності результатів, і гримованих за підх' чом П.М.Ви'гр-цького, з результатами за узагальнено» на складний напружений стан теоріє» Вейбула-Болотіьа, При кількості дефектів пр- 10х можна застосовувати модифіков-лий підхід В.В.Болотіна, що приводить до

м. :емати''ни спрощень. .

3. Добудовано діаграгді граничного стану осесиметрично каван-гажекої J ті..а з дископодібними тріщинами, які характеризуй! *>ся в ладковими геометр ччнмки параметрами. Досліджено

-ІЗ-

вплив аміни тріщинуватості структури. Знайдено параметри розподілу Вейбула при складному напруженому стані. Проведено пор^нянкя з відомими в літературі аналітичними та числовими дослідженнями /зокрема^ як частковий випадок, отримано відомі результати Фіщера-Холомона, які узагальнені на довільне співвідношення компонент прикладеного навантаження/. .

4. Теоретично встановлені відносні значення характеристик міцності тіл при характерних видах навантаження /одно-,, дво- і тривісного/. Значені статистичні характеристики

МІЦНОС' ' тіл з великою кількістю дископодібних тріщин добре узгоджують .-я а результатами Метсу /при п»10Івід-ноона похибка становить Ц % /.

5. Проведено узагальнення методу ймовірнісного розрахунку у*цності на дисперсні композитні матеріали. Розглянуто в-падок, коли руйнування ініціюється у м”яких пружних включеннях, геометричні характеристики яких в випадковими величинами з певними законами ймовірнісного розподілу. Побудовано діаграми середніх значень руйнуючих включення напружень ДЛЯ ТІЛ З різною КІЛЬКІСТЮ ВКЛГ''ЄНЬ. РоЗГлЯ-нуго два випадки: а/ розмір включень е детермінованим, а випадковою в тільки орієнтація; б/ випадковими в і розмір, і орівнтяція. Дня встановлення міцності композитного матеріалу зроблено порівняння граничних напружень для включень а граничними напруженнями для матриці з . тріщинами, що виникають на місці включень*

6. Розроблено алгоритм розріоунку ймовірнісних характеристик міцності' та побудови д'аграм граничного стацу орто-

тропних croxacwHO дефектних композитів при складному напруженому стені. Досліджено вплив ортотропії, структурної неоднорідності композиту» or5"euy та виду напруженого стану на ймовірність зруйнування,

7. Отримано, ЩО міцність при срновісноиу розтязі впоперек армування при фіксованій кількості дефектів я менше», и In при рівнодвояісіїоцу, що е наслідком ортотропії матеріалу.

' ОСНОВІ ШЛІКАЦИ ПО ДИСЕРТАЦІЇ

1. Вктвицкий П.М., Квит Р.И* Расчет прочности композитов со стохастически распределенными упругими включениями //Тез» докл. I Всес. аимпоя. "Мех, и фкэика разруш. композит* катер, и конструкций", Ужгород, 19в8г.-'Укгород,19УЙ.~£.9»

2. Витвицкий И.М., Квит Р.И. Теория статист»ічес.чих критериев прочности композитов с дисперсными включениями при сложном напряденном состоянии /Дез, дою». II Весе, симпоз. "Крочн. матер, и эдем, яонстр. при слоя. напр, состоянии”, Житомир, 19В9г,- Киев: Ш1 АН УССР, І969.-С.31-32.

3. Квит Р.И. Критерии прочности стохастически дефектных пластин при учете начального направления развития трещины //>іатер, ХІУ конф. мол. ученнх Фкз.-«ех. m-ra All УССР,-Львов, 1990,-ё.'/'2-г<‘8,~БмЄяиогр.: Зназа,- Рус.~ Деп. п ВИНИТИ 06.04,90 »ІЄ90~Н90.

4. Внтвицкий П.М., Кви» Р.И, Вероятностные критерии раоруаа-

. і ия материалов с Чолысим числом трецнн при оеясиымзтричнбм напряженном состояния //Сез. доал. III Ёсвс. ом,ад. ’‘Тресті-ностойкость матор. л влемвк, констр.", Кктоккр. 1990г«-Киеь. ШІ All УССР, 1090»- С.Ш, .

5. Витвицькнй II.Ы., Квіт Р.І. Імовірнісні критерії міцності для тіл зі ст^хастично розподіленими дископодібними тріщинами при осесиыетричному напруженоцу стані //Фіз.-хім. механіка матеріалів,- 1990,- №3,- С.53-56.

6. Квит Р.И. Определение напряженно-деформированного состоя-

ния о ортогротшх композитных материалах с трещиноподоб-ньши дефектами пр различных видах внешней нагрузки // .

Матер, ХУІ конф. мол. ученых Ин-та механики 'Н УССР,-Киев, 1991,- С.102-106. - Библиогр.: 3 назв.- Рус,- Деп. .

в ВИНИТИ 12.II,91 !М2Ь9-БЭ1.

7. ВитакцкиЬ П.М., Делявский М.В., Квйт Р.И. Предельное

раЕНОвесие ортотрилпых стохастически дефектных плит при растяжении и двухкомпонектном сдвиге //Тез. докл. III Всес.конф.' по механике неоднород. структур, Львов, 1991г.-Лье-з: ,’ІШММ АН УССР, 1991.- С.Ь7. .

В. Вит щькиЯ II.Мі, Квіт Р.І. Спроба ймовірнісного теоретичного опису експериментальних статистичних закономірностей і характеристш: міцності деяких матеріалів //Фіз.-хім. мех. матеріалів,- 1992.- №І.-С.95-98.

9. Делявський М.В., Квіт Р.І. Розподіл макронг -рукень біля

тріїциноподібних дефектів в анізотропному мікронеоднорід-ноцу тілі при плоскій деформації та поздошхньоцу зсуві //Там ЖЄ.-І992,- £2.-0.50-54. .

10. Квіт Р.І. До визначення ймовірнісних характеристик міцності матеріалів з великов кількістю дископодібних тріщин //Матер. ХУІ І кон!*1, мол. вчених Ін-ту механіки АН України.-

Київ, 1992,- СД77-І8І,- бібліогр.: 3 назви,- Укр,- Деп. в УкрІНТЕІ.'07.07.92 Н02І. Ш2. ' ■

11. Витвицкий П.М., Кейт Р.И. Влияние трещиноватости структуры и маиятабного фактора на критерии прочности стохастически дефектных материалов пр- сложном напряженном состоянии /Лез. докл. ІУ тимпоз. "Прочн, матер, и элем, констр. пра сложи, напряг;. состоянии", Севастополь, 1992г. Киев: ИПП АН окраины, 1992.- С.І6-І7.

12. Витвицький П.М., Квіт Р.І. Мат''<атичнв моделювання впливу структурних параметрів на міцність ортотропних стохастично деф- :тних матеріалів //Тези допов. УІ Міжнар.

- сішпоз. "Методи дискрь.а-. особливостей в задачах матем. фізики", Харків, травень 1993р.- Харків, 1993.- С.с.