Вероятностно-феноменологический подход в статической физике фрактальной неупорядоченных конденсированных сред тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Нащональна Академш Наук Украши Науково-технолопчний концерн "1нститут монокристал1в" 1нститут монокристал1в

правая рукопису

РГ6 -ОД На

-1» о\а »

В1РЧЕНКО ЮрШ Петрович

УДК 519.216:536.75

1мов1рностно-феноменол:о1пчний шдхщ у статистичнш ф!зищ фрактально неупорядкованих конденсованих середовищ

Спещальшсть 01.04.02 Теоретична фгзика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацп на здобуття ваукового стугтепя доктора фязико-математичних наук

Харшв - 2000

Дисертащя е рукописом.

Дисертащя виконана в 1нститут1 монокрист&лш HAH УкраТни, Науковотехнологгений концерн 'Институт монокристадш" м. ХаркЬ.

Науковии консультант: акад. HAH УкраТни Пелетминськии C.B.

Офщшш опоненти:

Провщна организация:

доктор фхзико-математичних наук

Петров Е.Г.,

задщувач ву^щлом в Ьнституп теоретично! ф1зики ¡м.Н.Н.Боголюбова; доктор ф1зико-математичшп наук Яценко О.О.,

провцщий СШВробщШК В 1нСТИ1уТ1

теоретично! ф1зики ННЦ ХФТ1 доктор ф1зико-математичних наук брмолавв О.М.,

зав!дувач кафедрою теоретично! физики Харкшського нацюнального утверситету; Донецький Державний Упшерситет, ф!зичыий факультет, кафедра теоретично! ф1зики

27.09

Захист вадбудеться _ _ 2000 р. о_годиш

на заседании Спец1алповано! ради Д 64.169.01

в 1нститут1 монокристалш HAH Украши.

Адреса: 61001, м. Харшв, пр. Ленша, 60.

3 дисертащею можна ознаиомитися в бйэлютещ 1нституту монокристал!в HAH Укра!ни.

Автореферат рсшсланий "

^¿U/c/L-,2000 p,

Вчений секретар Спещал1эовапо1 ради Д 64.169.01

кандидат техтчних наук

Атрощенко Л.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

гуальшсть теми.

При дослщженш методами статистично! мехашки неупорядкованих гем, як1 е рсалктичними моделями коцденсованих середовшц, зав-[ приходиться вирциувати питания про гмомрностне моделюваппя :астичпо! структура, на якш розглядаеться випадкове поле, що гаеться (наприклад, поле намагтченосп, якщо атоми середовшца уцють магштним моментом). Для серед, неупорядковашсть яких «инае з метастабшыюст1 !х термодинам1чного стану, що мае дуже 1кий час релаксацп до 1стишю1 ртповаги, вказане моделювалня :обх!дн1стю приходиться здшснювати на основ 1 феномевояогхчних ^ставлень, залучаючи адекватн! чисто статистичш аргументи. При <у стохастична геометрия вказаних систем може бути вельми р1э-аштною. У найпростшюму випадку, неупорядковашсть пов'язана »рушениями кристалично! грати випадково розташованими з малою ■иною - чужерцдаими домцпками, вакансиями I т.ш. 1х розташуваяня :ори твердого тка описуюгь, як правило, пуассоншським точковим 1дк.овим полем з вцщов1дбою густиною. Протилежний, у емнел! ематичних засобш, що використовуються, випадок реалпзуеться при гетерогепно неупорядкованих структур. Точкой 1 вйпздкош поля ;.ому випадку е т.з. сепарабелът поля. Зокрема, таш стохастичт ел1 використовуються при опиа полшристал1чних структур. Разом з там, як вщомо, у природа широко зустр1чаються кондеп-шш середовшца, просторова конструкц!я яких представляв собою м1жний випадок, як з математичноТ точки зору, так 1 по ф1зичному слу. Неупорядковашсть !х геометра неможливо охарактеризувати 1еннями малого числа величин розм1рност1 довжини, а, навпаки, вони актеризуються широким спектром масштаб1в, якии змшюеться вщ ;атомних вщетаней до макроскотчних розтр[в. Про тали середовшца родне говорити, що вони б фрактально неупорядкованими. Прикладами фрактально пеупорядкованих середовищ, для яких у ертапд розробляеться формал1зм статистично! механжи, е так!, що, риклад, створюють сильно порист! (губчат1), зокрема, порошков! уктури, к0л01ди I т.ш.

Не дивлячись на те, що математична теория фракталгв мае тривалу >рпо, та вже солцщий стаж нараховуе практика застосування фрак-ьных структур у теоретичшй фшщц проблема статистичыого опису сторово! структури вказаних середовшц та, бш.ш того, побудова

статистично! механжи ф1зячннх пол1в на них залишаеться малорозро бленою. Причини такого положения лежать у неордшарнш математич-Н1Й природ! таких геометричних конструкщй, як точков1 випадковг поля з дробною величиною фрактально! розлпрность

У дисертаца розглядаються 1деалЬоваш геомстричш модели неу-порядкоиаиих середовшц, коли просторове розподдлення речовини у них створюе ефективну просторову структуру з неураховуемо малим об'емом в поршнянш з об'емом, що занмаеться пустотами. У цьому випадку, для характеризаш! розташування и еу порядков апого середо-вища, можна ввести таку метричну характеристику, як фрактальна роз лир теть, в1др!знення яко! вщ розМ1рност1 фЬичного простору приводить, як В1Домо, до появи самопод^бних функщональних залежностей локальних фЬичних характеристик середовшца вщ розм1р1в областей, по яким здшснюеться усереднення.

До цього часу мавться декшька фундаментальних доопджень у математично! теорп фракталов, у яких вивчаеться задача побудови розподшень шов1рностей для стохастичних фракталов. Млж тим щ доапдження не ор1ептоваш на фЬичш додатки. Тому, 1х результати не можуть бути використан1 для побудови статистичного опису фрактально неу порядков аних середовищ. При опис1 таких серед необхщно потурбуватись про те, щоб розподолення 1мов1рностей володшо власти-востями, наявшеть яких диктуеться ф1зичними кпркувапнями. Так, у пасл1Док просторово! однорщносэт середовищ необх1дна стпохастична трансляцгйна гнваргантшетъ випадкових точкових множин, що 1х описують. Важливо також, щоб фрактальна розкиршеть цих випадкових множин самоусереднювалась, осшльки вона, феноменолопчно, е досто-В1рним параметром, що вилпряеться. Окр1м того, необхщно кнування на стохаетичпш фрактальнш структур! тако! м!ри, конструкщя яко! б не залежала вщ випадковост! реал 1заци стохастичпого фракталу. У робот! таш шри називаються м1рами, маючими невипадковий тип. Наявтсть тако! м!ри дозволяе вводити густину розподшення для кожно! ф!зично1 величини на стохастичпоиу фрактал!, тобто вводити для кожно! з них вцщовцдау локальну характеристику.

Проблема конструктивного завдання моделей стохастичних фрактал ¡в, володночих указанный властивостями, 6 чисто геометричною. Проте, без II р1шення неможливо нав1ть ставити задачу матсматичыого моделювання розподшення ф1зичних величин на фрактально неупоряд-кованих середовищах. Якщо ж стохастичш фрактали задов'шьняють перерахованим вимогам, то с амий природнш метод завдання полт на них

полягае у тому, щоб визначати !х штегральн! значения у кожно! скш> завгодно мало! облает! простору занурення фракталу. Прохе, при цьому, ввиду ¡шпадковост! геоиетрично! структура фракталу, щ штегралып значения також е випадковими, тобто е випадковими полями. У зв'язку з цим, виникае задача конструктивного (феномен олопчного) завдання випадкових псмпв на стохастичних фракталах. Користуючись аналопею з1 статистичною мехашкою, можна вважати, що найбЬгып загальшй та найбшын природпш шли для цього перебувае у побудов1 феном-енолопчного функщоналу вшьно! енерги (або ентропи), пов'язано! з кожним випадковим розподшсппям фЬичпого флуктуащонного поля на стохастичному фрактал!, та визначення на його основ! розподолення ¡мов1рностей Пббсу. Випадков! поля, визначеш зг!дно цьому принципу, у робот! називаються г1ббс{всъкими> а сам формал!зм !х побудови - флук-туацгипою статистичною мехаткою. Очевидно, що конкретна реа-лизц1я описаного шляху побудови Г1ббс1вських пол1в вимагае визначення функционального штегралу по значениях томив на стохастичному фрактал^ для можливост! обчислення в]днов1дних статистичпих сум. Виявляеться, що визначення та метода конкретного обчислення таких функцюнальних штегралш т!сно пов'язат з апалопчними задачами рьв-нонавамсно! статистично! механжи гратчастих систем та конструктивно! квантово! теорн поля. Проге, до цього часу, це направления розроблено щлком недостатньо.

Виходячи з сказаного вшце, розробка методов 1мов1рност!юго они су просторово! конструкцц фрактально неупорядкованих середовищ та методов розрахунку статистичних характеристик пббсгвських випадкових псыш на них, коли ураховуються кореляци пов'язаш з взаемод1ею, уявляеться досить актуальною.

Мета дисертаци.

Зпдно з актульшстю ршення описано! проблеми, метою роботи була побудова флуктуацшно! статистично! механши пол1в на стохастичних структурах, що моделюють физичш середовища 1 як! проявляють, з геометрично! точки зору, фрактальний тип неупорядкованостк

Для досягнення ще! мети передбачалося:

1. Дати метод Ькшрностного опису точкових випадкових пол ¡в -стохастичних фрактал ¡в с дробною розм1ршстю.

2. На основ! цього методу, зконструговати стохастичт фрактали, яш

е стохастично транслящйно швар1антш I як-1 б мал и невипадкову фрактальну розм1ршсть.

3. Визначити на таких фракталах м1ру невшадкового типу таку, щоб середа! значения фДзичних величин у малих просторових областях, зайнятйх точками ^фракталу, залежали б самопод1бним образом в[д розм!рив цих областей.

4. На основ1 стохастичного штегралу за щею м'фою ввести клас функ-цюнал!В вшьно! енерги, як1 б задотльняли умов! термодинам1ЧноТ

СТГЙКОСТ1.

5. Зконструювати стохастичнии функцюнальний интеграл на фрактал! 1, на Його основ1, ввести статистичш суми, що нов'язаш з функщоналами в1льео! енерги.

6. На основ! функционал 1в вшьноТ енергп 1 статистичних сум з ними пов'язаних, ввести пббс1всыи випадков1 поля на стохастичному фрактал I.

7. Розробити метод наближного обчислення статистичних характеристик Г1ббс1вських пол1В на фрактал! за допоыогою д1аграмно1 технши рахування вцщовидаих функщональних ¡нтеграл1в.

Наукова новизна отриманих результайв:

У дисертацп одержано так1 пов1 результата :

1. Знайдений клас феноменолопчних гамшлошапш скалярного пб-бс'шсього випадкового поля на гратах, для яких кнують граличш термоданам1чш стани, та встановлено, що точки фазових перетвор-ень для цих стан!в складають множину не загального положения у простор! параметр!в кожного з гамгльтошанш цього класу.

2. Побудовано розклад, що збкаеться, по зворотному радоусу взаемо-дп для характеристичного функщоналу пббсшського випадкового поля на гратах. Дана оцшка радиусу зб1жпост1 цього розкладу.

3. Доведена теорема про неможли1исть 1снування стохастичних фрактал ¡б, що являюхъся одночасно стохастично трансляцшно ш-вар1аотними та самоподабними.

4. Запропоновано метод 1мов1рпостного опису стохастичних фрактал 1в на основ! шпточних подр1бнень простору та введения масштабного випадкового процесу.

5. Визначений клас стохастичних фрактал ¡в з маршвским подр1бн-енням. Для цього класу точкобих структур доведена теорема про самоусереднююдпсть !х фрактально! роз.чпрностц для яко! одержана явна формула. На стохастичних фракталах вказаного типу побудований стохастичний штеграл.

6. Визначет 1 дослщжет динам1чт системи фрактально! фрагмента^!.

7. Побудований функщональний штеграл на стохастичних фракталах з марювским подр1бненням та д1аграмна технхка його обчислення.

Теорехичне та практичне значения отриманих результат1в.

Теоретична та практична значиьнсть отриманих результатов обумо-влюготься тим, що розроблеш теоретичш метода дозволяють, у межах статистично! ф!зики, провадати математичне моделювання властивостей середовтц, як! маютъ фрактальний тип пеупорядкованость

Особистий внесок автора.

Дисертапдя являе собою узагальнення результатов дослщжень, що проведен! особисто автором або з його визначною участю. Дисертант е автором (або сшвавтором) бшыи 120 публикаций. У списку, який мютиться у кшщ автореферату, приведен! л з них (за вийнятком тез допов1дей на конференщях), на основ! яких написаний текст дисертацд. Що стосуеться наукових прадь э цього списку, як! виконат у сп!вав-торств!, особистий внесок автора полягае в загальпш постановщ задач!, розробщ методу доапдженпя, виконанш аигиптичних розрахунюв. При одержанн! паукових результат!в в роботах, що вказат, дисертант:

- сконструював теорцо збурень пббовського випадкового поля у низькотемпературнш фаз! разом з урахуванням вндшення фази з с!метр!ею, яка зруиноваяа;

- виконав доведения математичних тверд жень, що стосуються утмо-дальност1 розподолень ¡мов!рностей;

- удосконалив метод обчислення функцюналыгих штеграл!в по м!рах, що пов'язаш з випадковими процесами та полями;

- запропонував метод побудови розподьяень ¡мов1рностей ансамблю випадкових точкових множин на основ! юпточних подр!бнень простору та введения випадаового масштабного процесу, що описуе заповнення шпток точками ансамблю;

- знайшов клас анал1тичних гамшьтошашв скалярного поля, для яких, при наявносп понадгаусового убування розподшу 1мов1р-ностей для значень поля у фазовому простор! одного вузла, довив юнування гранича их термодипамичних сташв;

- показов, що точки фозових псреход1в у простор! параметров гамшь-тошану складають множину не загальиого положения (пббс^вське правило фаз);

- побудовав кластернии розклад для граткових систем статистичноТ

. мехники з некомпактпим фазовим простором та знайшов муеку на

область зб!жност1 цього розкладу;

- побудовав розклад по зворотному радгусу взаемодп для систем з некомпактним фазовим простором та ощнив область зб1жност! цього розкладу;

- визначив клас моделей стохастичних фрктал!в з марывським подр1бненням;

- вв1в поняття стохастичного фракталу з фрактальною розмшктыо, що самоусереднюеться;

- ДОВ1В, що стохастичш фрактали з маршвським нодр^бненням воло-дноть стохастичною визначентстю;

- вв1в поняття стохастичного фракталу з невипадковим типом фрактально! М1ри;

- дов!в теорему про невипадковкть фрактально! розм1рност1 та неви-падковкть типу фрактально! м1ри для стохастичних фрактал!в з мартвеким подр!бненням та показав, що ця м!ра е 2)-м1рою Хаусдорфа;

- одержав формулу, що виражае фрактальну розм!ршсть через па-раметри розпод1лу ¡мов1рностей для класу стохастичних фрактал ¡в з маршвеким подр!бпенням;

- довш теорему про пеможлишсть ¡снування точкових випадкових пол ¡в, що являготься одночасно стохастичпо трансляцшно швар1-антними та самопод^беими;

- для випадкових величин, яш розподшен! на стохастичному фрактал! згцдао з /?-М1рою Хаусдорфа, дов1в теорему про самопод1Сну залежшсть 1х вщ об'ему усереднення;

- побудовав формгшзм статистично! мехашки пббс!вських випадкових пол ¡в на стохастичних фракталах, що являються стохастични-ми фракталами з маркшсышм подр!бненням;

- у межах конструкцн статистичпо! механпси на стохастичному фрактал 1, побудовав кластерний розклад для характеристичного функщоналу випадкового поля;

Основним налрямком дисертацп е синтез та дослцукення стохастичних моделей, що описують фрактально неупорядковаш об'екти статистично! ф1зики. Адекватним шструментом синтезу б таш математичт конструкцн, як випадковг поля. Разом з тим оперування з випадковими полями (зокрема, з точковими) зпптовхуеться 31 значними математич- • ними труднощами. Це пов'язано з тим, що усереднення по будь-якому випадковому полю екв ¡валентно деякому фупкщональному штегралу по полях на простор! К*' (у випадоку точкових полш - на бшыи складно! математично! конструкцн [39]). Складност1 усереднення проявляються навпъ для таких, вЦщосно нростих, випадкових псыш, як гауссшськц якщо приходиться обчислювати середш нелшшних та (або) нелокальних ■ функцюнал!в в1д випадкових реал1зацш.

У зв'язку з цим, значне мгсце у дослщженнях днсертанта, протягом тривалого часу, займали питания розробки адекватних математичних метода анал1зу тих стохастичних задач, як1 пов'язат з неупорядкова-ними середовшцами.

У задачах статистично! ф1зики неупорядкованих середовшц, як правило, приходиться маги справу з випадковими полями (процесами), яш шдукуються розподиеннями ¡мошрцостей випадкових "параметрш" середовища. Це означав, що розподшення 1мов1рностей для ф1зичних величин, що спостер!гаються, е суперпозпщею розподшення 1мов1рпостей середовища та деякого воображения (у загальному випадку, стохастич-ного). Це вщображення породжуеться, налриклад, ргвнянпямн руху та (або) польовими ршняннями, де випадковкть середовища математично

проявляеться у вигляд! випадкових коефшденпв. 1ншим прикладом цього положения е пббс1вськ1 розподолення шов1рностей, як! шдукують-ся мжроскопичними гамшьтошанами з взаемодаею яасток середовшда. Наприклад, якщо фрактально неупорядковане середовшце складаеться з юшв, ЯК1 мають власний магттний момент, то розподшення 1мов1рностсй для випадкового поля густини магттного моменту на фрактал 1 е супер-позищею г1ббс1вського розподалення шов1рностей на основ! обмшного гамшьтошану та розподалення ¡мов1рностей точкового випадкового поля, що формуе стохастичний фрактал. Р1внянкя ж руху магштного моменту, з необхщпстю, е стохастичним, оскшьки мктить випадков! коефиценти, що описують флуктуацд мшроскопичних параметр1в. Така ситуащя розглядалась у [1], де було проанал]зовано вплив флуктуацш на тип можливих ршноважних рйпень.

Наявшсть сказано! суперпозиц!!, при побудов1 ф!зичних величин, що спостер^гаються, приводить до дсдаткових складностей у дослвдженш неупорядкованих середовшц, навиъ при еалвност! малого параметру у математичпо! копструкщ! модели Наприклад, для динашчних задач, що пов'язаш з неупорядкованими середовшцами, подолання перешкод, яш зустр!чаються при вивченш детермшованих систем, таких, як поява секулярних членш, у стохастичних задачах зшгговхуеться з додатковою труднощю, що вщбувае з-за того, що резонанст точки сам! стають випадковими та виникае т.з. стохастичний резонанс. Тому побудова дааграмно! техннси обчислення середыIX величин повинна враховувати цей факт [10], [18]. Друга перешкода, що являеться специф!чною для неупорядаованих середовшц, пов'язана з явшцем перколяпд. Наприклад, доопдження руху час тки у випадково неупорядкованому середовшцу шляхом маркшських апроксшацш, при наявност! мало! густини, приводить у вшцих порядках теорп обурень до розб1жностей у "штегралах 31ткнень" [5]. Тому, коректна теор1я обурень у таких задачах, будуеться на шших принципах, як1 приводить до пересумуванню ряду теори обурень по малому параметру [6]. Виникнення вказано! патолог!! е одне з проявлень перколяцшно! дааграми - характеристики, яка кнуе у кожного . неупорядкованого середовшда [8]. Вона, зокрема, маеться ! у випадку фрактально! неупорядкованост!.

Перколяц1я пов'язана з появою просочування випадкового поля при змшепш параметр'ш иого розподшення 1мов1рностей [38]. Вона пороговим образом змшюе властивост! середовища. 3 одного боку, це зумовлюе появу р1зних ф1зичиих ефект1в, таких як, наприклад, тепловий нробш нашвпровшшкових матер!ал!в [40],[41], фазовий перехщ Мотта ! т.ш.

По перколяцшому ж сценарно, видбуваеться втрата середовшцем деяких якостей, що виражаеться у вигляд1 "старшня" матерталу [28]. Зокр-ема, це старшня може носити характер геометрочного зруйнування -фрактально! фрагментащо. 3 ¡ншого боку, наявн!сть перколяцшного фазового переходу е тою обставнною, яка ускладнюе дослщження неупо-рядкованих середовшц методом разкладу по малому параметру, оскшыш приводить до "розб1жностей ряд!в теорп обурень [5]. Що стосуеться фрактально! неупор ядковалносто, то для не! мозкливо введения понятая перколящ! у зв'язку з теоремою про самоусереднююмкть фрактально! розм1рност! [30]. Бона нав'язувае таку геометр1чну структуру стоха-стияного фракталу, у якШ, з омов!ршстю 1, вдоутш ¡зольоваш точки. Це приводить, при досить великш фрактальной розмгрност!, до появи, з ненульовою !мов!ршстю, зв'язних шлях ¡и, ям пронизують фрактал.

Перколяцья, властива стохастичнш геометр!! неупорядкованого серед ов ища. Вона ускладнюе дослодження випадкових пббсовських полов на них, як! володноть власнимл фазовими перебудовами. 3 шшого боку, щ перебудови вщбуваються внаслщок явшца просочувалпя са-м!х пббс!вських полов. Наприклад, у скалярному випадку, розгляду якого присвячена дисертацоя, просочування перебувае у виникненн!, з ненульовою шов1ртстю, несконченопи кластер1в точок грати, у яких поле "параметру порядку" мае один ! той же знак. Тому труднопц математичного анал!зу фазових переходов на унорядкованих структурах мають те ж походження.

Вщомо, що при досл1джент фазових переход1в пббсовських пол1в, навпъ у водсутшсть неупорядкованост! просторово! структури, на якш вони будуються, проминають велик! математичн! труднощ! з-за втрати стшкост! розподолення омоворностей при малих обуреннях гамольтошану (больш того, неоднозначност! обчислення середнгх иа його осново), у зв'язку^ чим, у (статистнчцу мехашку вводиться нонятро_ кпазосеррдшх. По перше, по пдй причин!,' мае мосце розб!жность ^эядоЬ теорп обурень у високотемпературнш фаз!. Окр1м того, у низькотемпературнш фазо, для придания однозначности пеобходна процедура видшення основного стану. Для таких вцшосно простих моделей, як модель Ынга, ця процедура тровоальна та, тому, для них можлива нобудова теорп обурень, що сходиться [7] у низьких температурах. Теорема про збожшсть, у цьому випадку, доводиться на основ! технши кореляцшних неровностей [25], [31]. Проте, вже при незначогах ускладненнях фазового простору поля, наприклад, як це мае мосце для гашльтошалу векторно! модело, що

допускав виникнення сшральних структур, опис р1зцомаптюст1 основных сташв е непростою задачею [2], [12], [35].

Розб1жтсть ряда у високотемпературнй фаз1 пов'язана з яшсною перебудовою функщ! розподшення флукзуацш параметру порядку. У найпростнпому скалярному випадку, у точц! фазового переходу вщбува-еться вхрата нею властивост! ун!модальност1, тобто единост1 вершини. Кожна з множили вершин вщповщав можливому фазовому стану сист-еми, що проявлюеться нижче критично! точки. бдишсть вцщовлюеться у термодипам1чнш меж1 шляхом введения квазкередтх. В наел ¡док цього, актуальним при дослщжепш фазових перехода е знаходження ефективних критерпв ун!модалыюст1 фуншц! розподшення флуктуащй випадкового поля. Ця задача вирнпувалась дисертгштом у абстрактнш форм! [17], [19], а також для пол ¡в шдукованих гаусс1всышми випадкови-ми полямн, Б1дпов1Дно, у класичному [9] та квантовому [20], [24] випадках (застосування до т.з. фазових перехода шд впливом шуму у [27]).

У статистичшй механнц особливе значения, при опис! розподалень !мов!рностей для флуктуащй ф!зичних величин, мають т.з. стшш закони розподьлення. Щ закони розподкення володпоть властшпстю самоподоб-носп, яка витшае з рЬняння, що !х визначае (р1вняння ренорм-групи). 3 шшого боку, геометр1чна структура ф!зичних фрактал!в, описуеться точковими випадковими полями, яш володпоть стохастичною самоподдб-шетю. Тому функщ! розподигення флуктуацш повинш бути самопод!бш, тобто належати класу стшких закон1в розподшення. У зв'язку з цим, для дослшкення фазових перехода на фрактальних структурах необхщш критерш ушмодальносп стшких закошв розподигення. Такий критерш був знайдепий у [26].

Значне и!сц,е у роботах дисертанта займае розробка технши обчи-слення математичних очшувань значень функцюнал!в вщ випадкових реалЬад^ш гауосшских полЬ. Це цов'яэанр _з тим, щр усереднення по негаусс1вским Полям, ■ як правило, не' можна виконати аналогично у явному вигляд1, проте основу конструкцп теорп обуреяь для наближного обчислення таких середв!х складають ддаграмш метода по гаусс!вських полях, що апрокешують. Якщо для гауссшського поля, середа! вщ Л1-шйного та квадратичного одноточкових функцюналш даються у виглядо явних формул, то усереднення б!льш складних функционал 1в, як це було вже сказано, кожний раз уявляе собою самостшну задачу. Наприклад, для так званих адитивних функцюнал!в ця задача зводиться до ршення допом1жпого ршвяввя Шредшгера, яке у квадратичному випадку мае явне, але, при багатовим1рност! простору, складне ршення, [4], [14],

[32]. (При pimeimi ж квантов их задач, пов'язаних з штегру палиям по гаусавським випадковим полях [13], виникае також додаткове усеред-нення, що ускладнк>€ кшцевий результат.) На випадок нелокальних фушоцонал1в, рипення nisi задач1 [11], [16] зводиться до штегрального р1впянпя з кореляцшпим ядром, та тому, часто пе може бути знайдено у явнш анал1тичшй форм1. Проте дисертантоп! вдалось дата його рйпення на випадок фувкцюналу типу виб1рково! кореляцшно! фупкци [12]. У [15] вирнпувалась така ж виняткова задача, що допускав точнии анал1з у неоднорцщому випадку, коли кореляцшпе ядро пе е функщею р1зпищ аргументов. (Pi3Horo роду техшчш детал1 побудови алгоритмов обчислень середн1х по гауотским випадковим полях, у тих випадках, коли задач! не мають точних ршень, опублжоват в [33], [34], [36], [37]). Додаток функцюнального штегрування по випадковим процесам до задач теорИ квантового хаосу був також эроблений у роботах [3], [23].

Вже було сказано, що основою перенесения методов статистично! мехапнси на ф1зичш структур и фрактального типу е розробка метода синтезу стохастичних фрактал1в, як! е стохастичво трансляций шва-piaHTHi, та також володпоть локальною самоподобшстю. 1дея, па якш засноваш метода синтезу, що розвипеш дисертантом, дана у робот! [29], де була здшснена побудова точкового випадкового поля фрактального типу на ochobi стохастичпо! динам1чно! системи. У робот1 [30] було проанал1зовало понятгя стохастичпо! самопод1бпост1 для стохастичного фракталу та була доведена теорема про неможливють побудови фрак-тал1в, що являються одночасно трансляцшно швар1антними та глобально самоподдбними.

Апробацш роботи.

Матер1али роботи доповццалися i обговорюпались на:

• "III Всесоюзнш Hapafli за вибран. проблемами статистично! физики, Москва, ^.982 i.; ; ' j •• i i : 1 ■ _ . ;*

• Всесоюзнш конференцп " Статистические методы в теории передачи и преобразования сигналов" Ки1в, 1988 г.;

• Радянсько-Чешськом С1мпоз1ум1 "Физика магнитных доменов и фазовые переходы" Донецк, 1988 г.;

• XI Всесоюзном ceMiHapi "Теория информации", Ульяновск 1989 г.;

• М1жнародной конференцй "Nonlinear World", г.Киев 1989 г.;

• Мгжнародном CiMno3iyMi "Generation of Large-Scale Structures in Continuous Media", Пермь-Москва, 1990;

• 3d Max Born's Simposium, Sobotka Castle (Wroclaw),1993;

• а також на наукових семшар&х в ш - те радювиыорювань (Харкгв), ш-те прикладно! математики (Донецьк), ш-те ф1зики атмосфери АН СРСР (Москва), Национальном науковом центр! ХФТ1 (Харьков).

Публ1кацп\

Матер1али, що включен! до дисертаци мгстяться у 41 робот! автора. Вони вийшли з друку на протязо 1979 - 1999 рошв. Основен результата дисертаци опублнсовано у 30 роботах, у виданнях, ят рекомендован! ВАК. Загальыий список цих публшацш наведено в кшщ автореферату.

Структура та обсяг дисертаци.

Дисертащя складаеться з вступу, п'яти глав, додатку та списку використаних джерел, який мютить в соб1 182 найменувань. Обсяг роботи дисертаци 326 сторшок.

ЗМ1СТ РОБОТИ.

У встуш обгрунтована актуальность теми дослщження, розглянуто стан проблеми, сформульована мета роботи. Вказан! особливост! тое! проблеми, виршенню яко! присвячена дисертащя, причому це стосу-еться як особливостей з точки зору ф1знчних властивостей об'екпв, що вйвчаються - фрактально неупорядкованих середовшц, так! з точки зору вказшки тих математичних труднощей, ям встають на шляху вирнпення поставлено! задач!. Приведений короткий огляд зм1сту по главах.

Перша та друга глави присвячет дослщженню пббсшських випадкових скалярних псипв на гратах, що вододцоть некомпактним фазо-вим простором. Необхщшсть вивчення гратчастих систем статистично! механнси (г!ббс1вських випадкових пол!в на Ъл), як! визначаються гамшь-тошанами загального вигляду ! що мають некомпактний фазовий прост!р, пов'язана з тим, що основою для побудови пббсшських випадкових псшв 1 на стщастичпих; фракталах хз. кллочш под^бнрдня рростору,- за-нурення та визначення на !х основ! поняття функционального'¡нте^ралу по полях на фрактал!. Для кожного покриття, що входить у подр!бн-ення клгтками простору занурення, иббивське поле на стохастичному фрактал! нороджуе ефективну гратчасту систему статистично! меха-ниси. При цьому побудова функцюнального ¡нтегралу, шляхом якого обчислюються статистичш суми пббтських випадкових пол ¡в, пов'язана з обчисленням статистчних сум для послщовност1 гратчастих систем з вщповщними "клггочними" гамкьтошанами. Останш породжують-ся гаммьтошаном поля <р(х) на стохастичному фрактал 1 усередненням значень ¡р{х) по клюках, що м!стять точки випадково! реал1зацп фрак-

талу. Отже, введения пббавського випадкового поля на стохастичному фрактал! екв^валентпо завданпю нескшчеипо! послщовност1 пббс1вських випадкових пол1в на гратах з постШною, що зменшуеться, та з клггочними гамшьтотанами, що визначеним образом пов'язаш м1ж собою.

Пббс1вськ1 поля, що задаються па гратах юпточного подр1бпенпя, з метою побудови пббсшського поля на стохастичному фрактал 1, во-лодиоть Т1е1 особлшистю, що фазовий прост1р кожного вузла грати е некомпактним. Це пов'язано з тим, що, по самому смислу використання поняття фрактала у якост! ф^зичного об'екта, ф1зичн1 величини, як! вцщесет до кожно! кл!тки, представляють собою середа! по великому числу часток, що складають фрактал та мктяться у щй клггщ. Тому, припустимо, щоб Ц1 величини могли приймати дов!льно великг за модулем значения. Некомпактшсть фазового простору при побудов! розподшення !мов1рностей Г!ббсу означав, що !мов1рностна м1ра значень скалярного поля повинна бути розподьлена по всш дшсно! ос1, тобто I! густина -О (</>), взагал! кажучи, нще не дор!внюе нулю. Гратчаси системи статистично! мехааши, яш володйоть такою властивктю, з одного боку, е узагальнен-ням тих систем, що традацшно розглядались у статнстичнй механщ!, а, з шшого боку, таке узагальнення потребувало перегляду деяких основних положенъ, на яких обпиралось !х вивчення. Наприклад, густина 0(<р) = (6{<р — 1) + + 1))/2 тако! типово! гратчасто! системи, як модель Ынга, зосереджена т1яьки на двох точках, та ця обставина !стотно спрощуе II математичне досл!дження. Навпроти, густина у модел! (/У1, 0(<р) = С ехр {—щ<р2/2 — ■ио<р4/4} володае некомпактним шхнем та тому математичне дослщження породжуваного !ю пббс!вського випадкового поля е набагато складншшм.

У зв'язку 31 с казан им, перша задача, яка виникла на шляху ршгення поставлених у дисертацн проблем, перебувала у перенесенн! формал!зму статистично!; мехатки ,та основних в!домих II точних результатов на;

' * I { I ' 1 ч ,1. | '

¿ипадок,'ко^и значения пббовського поля, не обов'язково'зосер'едЗкет! на компактному носи. Некомпактшсть розподалення значень поля най-сильншим образом впливае як на ¡спувашя термодинамично грапичних сташв, на структуру 1х фазово! д!аграми, так ! на зб!жшсть ряда теори обурень. Головн! проблеми, як! пеобхщно було виршшти, полягали:

1) у доказ1 !снування термодинам!чно! меж1 для набору кореляцшних функцш пббсхвського випадкового поля ^(х);

2) у узагальнент пббс!вського правилу фаз, тобто у доказ! того, що точка загального положения у простор! параметр1в системи вцщовщае чистй термодинам!чнш фаз!;

- 143) у розробщ методу обчислення статистичних характеристик (1^(11)...у>(®„)) випадкового поля <р(х) у термодинам1чнш межь

Перша глава присвячена ршенню задач перших двох пунктш ще! програлш.

Пункт 1) пов'язаний з там, що, для побудови саме феноменолопчно! статистично! механши теплових флуктуацш, необхщно введения широкого простору галильтошашв, для яких мая смисл формал1эм розподшш ¡мов1рностей ГЧббсу. Вщомо, що кнування термодинам1чно граничних станш пббс1вського поля ткно пов'язано з властивктю термодинам!чноТ стшкосп гам1льтон1ану, яке е трив^альним фактом для систем з компакт-ним фазовим простором. Виявилось, що, для перенесения формал1зму статистично! механжи на некоьшактний випадок, природными вимогами до гамшьтониану Нд[<р], та до густини що являються аналогами

термодинам1ЧНо1 стшкоста, е скшченшсть при будь-якому а штегралу (понадгаусово убування густини)

10(<р)е^' ¿<р < оо Я

та здшсненшсть, для будь-яко! реал1азаци поля <р(х) в област1 Л, умови

НаМ > -ВЕ^), в>0.

хел

Гамкьтошани, ят володготь такою властивктю, нами назваш в дис-ертадп гамшьтошанами класу 93г. Для них вдалось довести кнування множили термодиналнчно граничних характеристичних функцюналш поля.

Пункт 2) пов'язаний з тим, що множила граничних характеристичних функцюнал1в поля, при фпссуваыш параметр1в системи, взагал1 кажучи, може М1стити бигып одного елемента, тобто можлив! так! значения па-раметр!в) гам|льтон!апу, 1для яких граничне випадкове поле визначспо не-< • однозначно. Ця неоднозначнкть тягне за собою вестшккть випадаового поля по вщяошенню до мало! вар!ацн гам^льтошану. Проявления цього математичного механизму, ф^зично, означав наявшсть фазового переходу 2-го роду у систем! для вцщов!дних значень параметрш. Однозначний виб!р фазового стану поля, згвдно Боголюбову, досягаеться введениям квазкереднгх, для точного визначення яких необхцщо, виходячи з струк-тури гамьльтошану, видшити той тип вар^ац'ш, який у всякому раз! приводить до переходу у стшкий стан. Цей перехщ супроводжуеться виникненням т.з. параметра порядку. Ця проблема носить назву пробле-ми видшенея фази. У зв'язку з цим виникае також проблема обчислення

самого параметру порядку. Наявшсть фазових перебудов пббавського поля ускладнюе обчислееня його статистичних характеристик у тер-модипам1чн1й меж1, оскигьки у точках простору парам етр1в, де е так! перебудови, зашдомо неможливо застосовувати шяку теорно обурень. Тому при обчислеыт характеристик поля по теори обурень, важливо не попасти у точки фазових переходов. У зв'язку з цим у дисертацп доведено твердження про те, що точки" фазових переходов у простор! параметр1в гамигьтоншу складають множину не загального положения, що можна штерпретувати як узагальнене пббовське правило фаз. Ця теорема узагальнюе в!дому теорему М1ракль-Соля та Галлавогп у ста-тистичшй механщ! гратчастих систем з компактним фазовим простором.

Друга глава присвячена рппенню проблеми, яка вказана у третьому пункт!, побудов! теорп обурень для обчислення статистичних характеристик пббсшського поля. У випадку систем з парною взаемод!ею, побудовано нсластерний розклад для характеристичного функщоналу та встановлена область зб^жност! тако! теорп обурень, тобто зпайдеш гараптоваш оцшки точное™ фшсованого порядку розкладу. 3 шею метою, у глаш одержана нескшченна система р1внянь, яш зчиплюються, дая корелящйних функщй С(хх, ...,хп) поля та доведена зб1жн1сть теори обурень при побудов! П рнпень у визначено! обласи змшення параметров гамиьтошану, що явним образом оцшюеться. При цьому, теор!я обурень ефективно е розкладом по зворотньому рад!усу пзаемоди. У нульовому порядку, вона приводить до наближення "самоузгодженого поля".

Третя та четверта глави присвячет ршенню проблем стохастич-но1 геометрп, що пов'язаш з !мов1рпостшш описом випадкових фракталь-них точкових множил та сштезом реалктичних, з фозично! точки зору, моделей таких структур.

У статистичнш ф1зиц! звичайно вшсористовувались або ординарт точков1 випадков1 пол£, для яких, з 1мошрр1стго 1, у кожпо! обмежено! област1 знаходить^;я т!льки кшдеве число точок, або'т.з. сгпарабелът точков1 випадков! поля, кожна реал1загця яких, з математично! точки зору, вцщовлюеться повтстю завдалням л1чильно!, пцльноТ в ще! ре-ал!зацп множини точок. На випадкових полях першого типу засновала вся статистична мехатка газ1в (радин). Кх фрактальна розм1ршсть доршнюе нулю. Випадахлп реал1защ1 полгв другого типу можуть бути представлен! у вигляд! довшьного об'едпання випадково розташовапих в простор! занурення геометр1чних Т1л, як! мають випадкову форму. 1х фрактальна розм!ршсть зб1гае з розм!ртстго простору занурення. У ста-тистачшй ф1зшц вони використовуються при моделюванш гетерогенно

неупорядкованих середовищ. Метода конструктивного завдання розпо-дкень иктрностей для вказаеих випадкових полов добре розроблень

Стохастичт фрактали з довольною фрактальною розм1ртстю, що моделюють середовища, язи водповцщим образом неупорядковаоп, займ-ають проможний випадок та загального методу 1х 1моворностного онису не 1снуе. Тому, перш за все, у третш глав1 була виршоена техшчна проблема математично конструктивного завдання рознодшень 1моворностей точкових випадкових можин дов1пьного вигляду 1, на нодстав1 цього ршення, запропоновано метод побудови розподагень ¡моворностей для стохастично трансляцшно швароантних фрактал ¡в.

Розгляд у дисертаци обмежуеться тольки однокомпонеопним випад-ком, тобто коли маеться Т1льки один тип точок (одна речовина) фрактально розподалених у простор! зануренвя (у матрицо). Другим, бшьш остотним обмеженшш, у межах якого проводилось досл1дження у робот!, е те, що випадкош точково множини, як1 моделюють рознодоленпя речовини, мають нульовий об'ем. На шдставо таких точкових полов описуеться така фЬична ситуащя, коли доля об'ему фрактально розпо-дьленоо речовини по водношеншо до доло об'ему, що займаеться пустотами (речовиною матрищ), занадто мала. При цих обмеженнях, та при умов1 достатньоо однорцщостг розподолепня точок (речовини) по простору занурення, можна вважати, що середовшце, з геометричноо точки зору, створюе структуру - точкове випадкове поле з постшноо фрактальною розморшстю, яка в1др1зняеться вщ розм1рност1 ф1зичного простору.

Наш метод побудови рознодшень 1Мов1рностей для стохастичних фракталов заснован на послцдовних клоточних подр1бненнях простору занурення та введенш випадкового розгалуженого (у загальному випадку, немарковського) масштабного процесу, що описуе заповнення клггок точками випадковоо множини. Математична теороя методу побудови випадкдвих точкових ролЦ розроблепа нами у всой ,повн<рть Пррте, клал ноЬив, що генеруються цим методом у запальному випадку, метить об'екти патологочно, з фозичюо! точки зору, у тому смисло, що вони не задовольняють вимсш безперервносп змшення омоворносто. У зв'язку з чим, ми вводимо понятгя стохастичног визначенностг поля. Пояснимо смисл цього поняття.

Нехай {А[т)> - клоточе подробнення, тобто последовгйсть покрить простору занурення клотками Тут параметр т = 1,2,... ха-

рактеризуе масштаб кл1тки, а £ - вектор обрано!, по угод1, кутовоТ точки вслотки. Згодгоо методу, що використовуеться в дисертаци, для завдання розпод1иення ¡моворностей стохастичного фракталу {X} не-

обхщно вказати ímobíphoctí Л ЗЕ ф 0} bcíx випадкових по-

дш - заповненнл точками випадково! реал1зац!! X фракталу кожпо! з iuiítok подр1бпення. В загальному випадку, для ¡мов1рпостного опису стохастичпого фракталу, необхщно ввести нескшечний набор функцш = Ш / П X Ф 0} для довольного

набора iuiítok з векторами (ii,...,x„) кутових точок. Щ ímobíphoctí е функцьями порядка дробления (масштабу) тп та наборов векторш (asi, ...,!„), проте шдлеглими т.з. умовам узгодженост1, яш виконують роль, аналопчну TÍei, яку вони мають, зпдно TeojjeMÍ Колмогорова, при визпаченш розподшень ÍMOBÍpHOCTeñ сепарабельних точкових випадкових полгв. Саме широка можливкть вибору цих функщи приводить до того, що така конструкция розподигення ¡мов!рностей може приводити до ф1зичпо безглуздих структур. Ми вважаемо, що ф1зично осмисленними стохастичними фракталами е там, коли ni функцп е безперервними функщями в!д BeKTopÍB xi,...,xn при будь-якому порядку тп.

Дуже важливою власттистго ф1зичних фракталов, яка, власне, i була стимулом для введения у теоретичну ф1зику пошггтя фрактала, е 1х самшод1бшсть. У зв'язку з цим, необхцщо було виявити, у якому смисл1 модел! стохастичних фрактал ш, що зконструйоваш у дпсертаци, всшодноть щею властивктю. Для цього, рашш за все, необхцщо було виршшти питания про визначення ф1зичних величин, що пов'язаш 3Í стохастичними фракталами. В свою чергу, це привело до необхцщост! побудови пол!в на таких випадкових точкових множинах, тобто вказати cnocí6 математичного моделювання розпод1лених на стохастичних фракталах ф1зичних величин. У зв'язку з гам, що фрактали не е многовидами, з математично! точки зору, вщповцдь на це питания не е однозначною. Розумне визначення поняття поля на фрактал i повинне бути безпосередньо пов'язано з там способом, як це поле спостеркаеться у i ф13Ичному експеррмепть рскшьки- будь-яке ф1зичне) поле проявляется завдяки реакщ! прил аду усереднепвям по його об'ему, а единим засобом для штегрування па фрактал! е т.з. штеграл Хаусдорфа, то поля на фрактал i hobhhhí розглядатись як функцп, що штегруються за Хаусдорфом. Впасл1док цього, величини, що спостеркаються, повинш вводитись як штеграли Хаусдорфа по мал их областях спостереження. Щ штеграли е, взагал! кажучи, стохастичними. Проте ix значения, у сукупност1, яка створюеться иеремкценням мало! стандартно! облает! усереднення вздовж фракталу, складають випадкове поле на простор! занурення. Це поле е стохастично безперервним. Впкористовуючи цей факт у третш глав! доводиться теорема про асимптотично самопощб-

ну залежнкть стохастичних штегралш Хаусдорфу вщ розм1ру об'ема усереднення при величиш розм'фу прагнучо! до нуля.

У цШ же гла®1, доводиться також дуже важлива у идейному вщно-шенш теорема, яка безпосередньо пов'язана з питаниям про самоподабну залежшсть випадкових полш, що породжуються стохастичними фракталами по вказаному вище механизму. Ця теорема забороняе кнування стохастичних фрактал !в (будь-яких, що стохастично визначеш, за вийнятком трив!альних випадыв), що являються одночасно стохастично трансляцшно швар1антними та самоподабними. Ця теорема аналопч-на теорем! Добрушша про в!дсутшсть стащонарних, безперервних по 1мов1рност1, автомоделышх випадкових пол ¡в.

Нарент, у третш глав1 вводяться динам!чн! системи фрагментацп (т.з. р]-системи), яш породжують стохастично транслящйно швар!-адтш фрактали у в игл яд! граничних точкових множил при необмежено! еволюдп цих систем. Для них вдаеться обчислити функцп розподцлення Л^™') !мов1рностей для довольного набору клЬок. На основ! отриманих функщй розлодшення для стохастичних фрактал ¡в такого типу апал^зуеться можливкть перколяции, тобто !снування шляху по близько розташованим точкам, який перес 1кае весь фрактал.

Умови узгодженост1 для 1мов1рностей заповнення клеток точками фракталу е досить складними штегральними спшвцщошеннями для нес-кшченного набору функцш. Для побудови конкретних моделей стохастичних фрактал 1в важливо видшити такий 1х клас, який би описувався кшцевим (хоч 1 досить довшьним) набором параметр!в та для якого умови узгодженост1 задовольняюються трив1альним образом. Тому у четверти глав1 визначаеться клас Р[д] моделей стохастичних фрактал Ьз, як1 називаються в дисертадп випадковими точковими полями з масштабно одноргдким мартвсъким подрйзнекклм. Зокрема, серед таких струк-: тур маеться широкий клщс стохастично гпр ансляцтно швар1антних.

! Побудова стохастичних фракталлв з маркизським' под^>!бнепшгм здшсню-еться на основ! масштабного марк!вского розгалуженого випадкового процесу, який характеризуеться феноменолопчним розподаленням 1мо-в1рностей д(сг), яке вказуе чому дор1внюеться ¡мов^рнкть заповнення точками фракталу набора а кл!ток серед тих, що одержуються з дано! заповнено! кл!гки подаленням I! з показником N самоподобья.

Для класу Г [5] стохастичних фрактал 1в доводиться теорема про 1х стохастичну визначентсть, а також доводиться, що !х фрактальна роз-м1рн!сть Ю самоусереднюется, тобто вона не е випадковою величиною, що дуже важливо для ф\зичних використувань. Одержана явна форму-

ла, що виражае фрактальну розм!ртсть через параметри розподшення ¡мов1рностей q(■). Дал! доводиться, що, на стохастичних фракталах класу т.з. М1ра Хаусдорфа-Каратеодор! володае невипадковим

типом, тобто конструкщя !! не залежить 1мд вибору випадково! реалЬацп поля та, бьпьш того, вона просторово однор!дна при змшенш м1сця спостереження на фрактал!. Ця м1ра е И-м1рою Хаусдорфу. II значения для частнни реал1зацн X Пй, що метиться у просторово! обласп <7 в простор! занурення, виражаеться формулою

Ро(ХПО) = Нт

Осккьки фрактал стохастйчний, то значения ще! м!ри випадковц тобто вона е стохастинною. Саме палвшсть тако! м!ри дозволяе ввести стоха-стичний штеграл на фрактал!, у даному випадку - штеграл Хаусдорфа.

П'ята глава присвячена побудов*1 феноменологгчно! статистично! мехашки випадкових пол!в на фракталах. На в^дмшу вщ пол!в, роэ-глянутих у третш глав!, як!, сам! по соб!, були невипадков!, але при штегруванш по фракталу приводили до випадкових значень внаслщок випадковост1 його структури, поля, яш розглядаються у цщ глав!, вже мають свое власне розподшення ¡мошрностей. Де розподшення ¡мов!р-ностей, як вже було проголошено у пункт! про цш дисертащйно! робота, ми беремо у пбб^ськш форм1, оскшыш наша теор!я, за задумом, повинна феноменолог!чно описувати теплов1 флуктуаци фгзичних величин, розподшених на фракталь За загальною ¡деею, на основ! феноменоло-пчного функционалу вшьпо! енерги, вводиться наступне розподшення !мов1рностей для флуктуацш поля

де) м!ра //[■] повинна розумггась цк м!ра?у- функциональному простор! • поЛ1в на реалпзацй X стохастичпого фракталу, який знаходится

у простор! занурення Л. Згщно з щм статистична сума Нд визпачаетьсл функцюнальним гатегралом по цих полях,

Нл = / ехр{-Нл^]}£)лМс1МлМ >

а величини, що спостер1гаються, повинш розглядатпсь як математичн! очшування по розподшенню шов^рностей Р{-}. При цьому, функщ-ональному штегралу повинен бути наданий цшком конкретний смисл, тобто дано таке коректне математичне визначення, що гарантуюе його

хснувашы та вказуе на шлях иого конкретного обчислення. Це ви-являеться можливим на випадок стохастичних фрактал ш з маркшським подр1бненпям, оскышки для них маеться теорема про невипадков!сть фрактально! розм!рност!, яка доведена у третй плавь Це дозволяе побудувати функц1ональний штеграл за таким же принципом, за яким вш будуетъея, у конструктивно! квантово! теор!! поля, звичайний фей-нмашвський штеграл по полях на просторах з цшою розм!ршстю. А саме, скористатись клиочними подр1бненнями та на !х основ! визначати штегральш суми. При цьому, наявшеть на стохастичних фракталах з маркгвським шэднбненням: М1ри Хаусдорфа, дозволяе вибрати невипад-ковим образом доференщал ще! м1ри у вигляд!

ДАМ<Ы*>] = П Я(*>(£))М£)

та конкретизувати вигляд функцюналш Нд[</?], як! штегруються по щей м!р1.

Розгляд у дисертаци обмежуеться тшьки " гамьиьтои^анами", що опи-суютъ не б!льш шж двохточкову взаемодно,

1 т

нлМ = «у ^(»-^^(»МуК^^Ж^»))-

1"Цх)<р{х)ц0{й1р{х)), в

де шдекс Н у штеграл!в вказуе на те, що вони розумноться за Хаус-дорфом. На г!ббс!вськ! аппадков1 поля, що породжуюються такими гамшьтошанами, переноситься вся теор1я, яка була розвинена у другш глав!, оскшьки функщональпий штеграл представляе собою грашщю : штргральних сум, кожеа з дких е ст&тистистачною сумою для гратчасто! -! системи статистичноГ мехашки з вцщовцщим кл!точним гамшьто^аном. Напршслад, статистична сума Нд виражаеться формулою

Ед = Нт / ехр|—Н[<р(х)]| П 0(<р(х))А<р(х),

цлг"* х:л1т>ПХ£0

де N - хз. ступень дробления (параметр самоподабья, що визначае фрактал з маркшським подр^бненням). 1снування гранищ забезпечуеться як раз тим, що М1ра штегрування на фрактал! з маркшським подр1бненням,

тобто Mipa у штегралах, що визначають Нл[-], мае невипадковий тип, оскшьки кл!точш гамкьтошани даються формулою

НЛ°М = Е v(x -x')ip(x)(p(x') - vN Y, h(xM*)>

де un — const /N^. На в1дмшу в!д фупкцюнальпого штегралу по полях, що задат па всьому простор! зануренпя, у визначепш функцюнального штегралу по полях на стохастичному фракталi, залеяопсть ваги v^ вщ ступеню дробления N метить, замкть розьпрпост! d простору занурення, фрактальну po3MipHicTb D. 0кр1м того, цей штеграл е стохастичним, завдяки випадковост! структури фракталу, тобто величини, що обчи-слюються на його основ!, зале жать В1Д випадково! реал ¡за oil X. У дисертаци доведено, що визначений таким чином стохастичний функ-цюнальний штеграл збшаеться з LMOBipnicTro 1 та, тому, вш е коректно визначеним. На основ! такого штегралу обчислюеться статистична сума, яка також е "стохастичною" таумовш середш значения (y(xi)...<p(xn)) по розподаленню Fi66cy з гамигьтошалом Нд[<р] для поля <р(х) на фрактал!. Умовою при цьому е фшсащя випадково! реал!заца X фракталу. Як i для будь-яко! неупоряддовано! системи статистично! механнш, на заключпому eTani повинне здшснюватись усереднення по неупорядкова-Hocri. У дапому випадку, таке усереднення повинне здшснюватись по реалгзацгях X на основ! функцш розподьяення ..., При

цьому ri66ciBCKi умовш середн! (ip(xi)...<p(xn)) перейдуть у безумовш середн! (ip{xi)...tp{xn)), як! е величинами, що спостеркаються ф!зично.

Проте, функца Р(А^.....Л^^) не мають смислу у границ! т —>

оо. Тому, для явного виконання усереднення, зам1сть них, вводяться конф!гурацшш функца

; . ; . • ' Г . ! 1 ,

як! вже волод1ють границей при т —► оо (та термодинам1чною границей при Л —► IR.^). У термшах цих функщй вже вдаеться обчислити, у межах теора обурень по взаемода, середш значения (tp(xi)...<p(xn)). Наприклад, при n = 1,2 з точн!стю до першого порядку по взаемода, щ середн! даються формулами

<*(*)) = (ф))0 - XN^D~j:>(<p2)2Pjv(x-zMx,z)d2,

л

(ФЫу)) = (ФЫу))о ~ W^frVp [«(®-»)fa(®,»)/2 +

№~d [Л(е) f v(y - z)i3(x,y,z)dz +h(y) J v{x - z){3{x,y,z)dz V л л

Тут A - зворотна температура, (у>2)2 - феноменолоИчна функщя температуря, яка пов'язана з флуктуащей поля <р у в1дсутпост1 як розу-порядкування, так i взаемодп. Середт {<^(г))0, (tp(x)ip(y))0 нульового наближення мають вигляд

Ш)0 = ND-d(S)ph(X),

(ФЫу))о = \№-Ц^)р(6(Х-у) + h(x,y)h(x)h(y)) .

Конфцурацйш функпд fn(-), яш входять у щ вирази, обчислюються явним образом у випадку стохастичних фракталов з маршвським подр^б-ценням. Наприклад,

h{x,y) - const (v>2)р [dist(e,»)]jD_rf ,

де const визначаеться конкретною моделлю стохастичного фракталу та е флуктуациею фрактально! Mipti.

У додатку дисертацп приводяться основыi висновоки виконано! роботи та даеться список проблем, рйпення яких, з точки зору дисертан-та, дало б великий штовх для подальшого розвитку Teopi! фрактально неупорядкованих середовищ.

OCHOBHI висновки

Проведено дослщження по розробщ формал13му р'шноважно! ста-тистично! ф1зики фрактально неупорядкованих середовшц у випадку, коли доля об'ема, зайнятого речовиною середовища нехтовно мала в пор^вняшп з^долрю об'ема матршц. У результат! прёведених дослщжеш} вдалось подол ати ряд принципових перешкод, пов!'язаних як з описом геометри стохастично фрактального середовища, так i з побудовою на стохастичних фракталах пббс1вських випадкових пол1в, що описують флуктуацп фгзичних величин.

Основш висновки по робот! можна сформулювати таким чином:

1. Розроблен метод побудови розподшень ¡мов1рностей для стохастичних фрактали на основ! шпточних подр1бнепь та введения

випадкового масштабного процесу, що описуе заповнення кл1ток точками фракталу.

2. Знайдепо клас аналггичних гамьльтошашв скалярного поля на гратах, для якого, при наявност! понадгаусового убування розподщу 1Мов1рностей для значень поля у фазовому простор! одного вузла, доведено кнування граничних термодинамичних сташв.

3. Показано, що точки фазових псреход1в у простор! параметрш гамшьтошану складають множину не загального положения (г^Сб-с1вське правило фаз).

4. Побудовано класгерний розклад для гратчастих систем статистич-но1 мехники з некомпактним фазовим простором та знайдено оцшку на область зб1жпост! цього розкладу.

5. Визначено клас моделей стохастичнмх фракталш з марк1всышм подр1бненням.

6. Введено поняття стохастичного фракталу з фрактальною роз-мпнстыо, що самоусереднюеться.

7. Доведено, що стохастичт фрактали з маршвським подр1бненням володноть стохастичною визначентстю.

8. Введено поняття стохастичного фракталу з невипадковим типом фрактально! м1ри.

9. Доведено теорему про невипадков1Сть фрактально! розм1рност1 та невипадковкть типу фрактально! м1ри для стохастичних фрактал1в з марктским подр1бненням та показано, що ця М1ра е £)-м1рою Хаусдорфа.

10. Одержано формулу, що виражае фрактальну розм1ршсть через параметра .розподдлу; 1мов!рно(:тей1ддя кл^у стохастичщ? фрактал ¡в; з маршвским подр1бненням. ■ ' ' ' '

11. Доведено теорему про неможливкть ¡снування стохастичних фрактал ¡в, що являються одночасно стохастично транслящйно швар!-антними та самопод1бними.

12. Для випадкових величин, ям розподкеш на стохастичному фрактал! згщио з /)-м1рою Хаусдорфа, доведено теорему про самопо-Д1бну залежнкть 1х В1д об'ему усереднення.

13. Побудовано формализм статистично! мехашки пббс1вських випад-кових псшв на стохастичних фракталах, що являються випадкови-ми точковими полями з маршвським подробненпям.

14. У межах конструкцн статистично! мехашки на стохастичному фрактал!, побудовано кластерний розклад для характеристичного функцюналу пббс!вського випадковога поля.

Список опублжованих праць за темою дисертацп.

1. Вирченко Ю.П., Соболева Т.К., Кившарь Ю.С., Kinks in the nongomogeneous medium, in "Nonlinear and Turbulent Processes in Physics" World Scientific, Singapour, 1343-1351 (1990).

f

2. Вирчевко Ю.П. К теории основного состояния обменной модели Гсйзенберга. в кн."Проблемы теоретической физики", ред. А.Г.Ситенко, Киев, Наукова думка, 1991, С.80-96.

3. Virchenko Yu.P., The quasiclassical statistical description of quantum dynamical systems and quantum chaos. in "Stochasticity and Quantum Chaos", eds. Zbigniew Haba, Wojciech Cegla, Lech Jakobczyk, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1995.

4. Вирченко Ю.П., Мазшшишвшш A.C., Плотность распределения вероятностей энергетического функционала от траекторий стохастического процесса. ЦНИИ Атоминформ, М., (1987), сс.26.

5. Вирченко Ю.П., Ласкин Н.В., О расходимостях при построении ! кинетр,ическщ уравнений.// Тфор.=има|т. физ. 44, №2, 238-250

(1980). ! ! •

6. Вирченко Ю.П., Ласкин Н.В., Огрубленное описание распределения решений уравнения Ланжевена.// Теор. и мат. физ. 41, №3 406-417 (1979).

7. Вирченко Ю.П., Описание фазы с нарушенной симметрией в модели Изинга методом квазисредних. / / Теор. и мат. физ. 52, №3, 473-490 (1982).

8. Вирченко Ю.П., Соболева Т.К., Совпадение порогов просачивания Р(с) и Р(н) в двумерных моделях теории перколяции.// Доклады АН УССР сер.А, №10 , 38-40 (1986).

9. Вирчепко Ю.П., Мазманишвили A.C., Одновершинностъ одного класса распределений, связанных с комплексным процессом Орнштейна-Уленбека.// Доклады АН УССР, сер.А, №1, 55-57, Киев, (1988).

10. Вирченко Ю.П., Половин Р.В., Стохастическое разрушение нарастающеШ волны при прохождении её через электрически активную среду.// Укр. физ. жур. 33, №12, 1863-1868 (1988).

11. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C., Статистические свойства функционала свёртки от нормального марковского процесса.// Доклады АН УССР, сер.А, №1, 14-16, Киев, (1988).

12. Вирченко Ю.П., Пелетминскии С.В., О решениях уравнений динамики спиральных обменных структур.// Теор. и мат. физ. 81, №3, 441-454 (1989).

13. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C., Флуктуации фотоотсчётов суперпозиции гауссовых мод оптического излучения.// Изв. ВУЗов Радиофизика 32, №6, 784-786 (1989).

14. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C., Распределение средней мощности в линейной системе, возбуждённой белым шумом.// Радотехника и электроника 35, №12, 2546-2549 (1989).

15. Вирченко Ю.П., Григорьев Ю.Н., Equilibrium distribution of the charged particles in the phase space.// Ann. of Phys. (USA), 209, 1, 1-12 (1991).

16. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C. Распределение вероятностей случайного функционала свёртки от нормального марковского процесса.// Проблемы передачи информации. 26, №1,96-101 (1990).

17. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C., Существенная одновершинностъ распределения вероятностей случайных квадратичных функционалов.// ДАН УССР, сер.А, №12, 3-5 (1990).

18. Вирченко Ю.П., Барц Б.И., Моисеев С.С., Устойчивость и стохастический параметрический резонанс осциллятора с мультипликативным шумом.// Укр. физ. жур. 37, №1, 1792-1799 (1992).

19. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C., Существенная одновер-шинностъ распределений вероятностей случайных квадратичных функционалов.)I Кибернетика и системный анализ, Киев, №2, 172-175 (1992).

20. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C., Одновершинность распределения числа фотоотсчётов гауссоваеих оптических полей.// Проблемы передачи информации, 31, №1, 83-89 (1995).

21. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C., Статистические свойства кросс-корреляционного функционала от двух марковских нормальных процессов.// Изв. ВУЗов "Радиофизика" 39, № 7, 916-924 (1996).

22. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C., Распределение кросс-корреляционного функционала от двух процессов Орнштейна-Уленбека.// Доклады HAH Украины, № 4, 27-30, (1996).

23. Вирченко Ю.П., Болотин Ю.Л., Статистика квазиэнергий для регулярного и хаотического режимов в квантовомеханических системах с гамильтонианами, периодически изменяющимися во времени.// Теор. и мат. физ. 108, №3, 431-447 (1996).

24. Virchenko Yu.P., Unimodality of photocount distribution for optical noise field.// Journal of Physics A 29, № 22, 7105 -7111 (1996).

25. Virchenko Yu.P., Correlation inequalities for lattice gas statistical models.// Украинский математический журнал, № 6, 765-773 (1998).

26. Virchenko Yu.P., Exact Unimodality of One-Dimensional Stable Distributions./ / Доклады HAH Украины, № 11, 74-77 (1997).

27. Virchenko Yu.P., Level First Passage Time Distribution Unimodality in Detection Problem.// Доповцц HAH Украши, № 12, 89-92 (1998).

28. Virchenko Yu.P., Percolation Mechanism of Material Ageing and Distribution of the Destruction Time.// Functional Materials 5, № 1, 7 - 13 (1998).

29. Virchenko Yu.P., Dulfan A.Ya., Model of Uniform Stochastic Fractal.// Functional Materials 5, № 4, 471 - 474 (1998).

30. Virchenko Yu.P., Dulfan A.Ya., Mathematical models of self-similar random fields.// Functional Materials 6, № 3, 392-409 (1999).

31. Вирченко Ю.П., Корреляционные неравенства в моделях решёточного газа. ХФТИ, Харьков (1984), сс.12.

32. Вирченко Ю.П., Ласкин Н.В., Мазманишвили A.C., Статистика функционалов, опредленных на решениях стохастических дифференциальных уравнений. ДонФТИ -84-8, Донецк (1984), сс.16.

Додатков! роботи дисертанта, ям використовуються в дисертацп

33. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C., Домнина И.М., Алгоритм численного нахождения собственных чисел интегрального корреляционного оператора многомерного процесса Орнштейна-Уленбека.// Автоматизированные системы управления и приб. автоматики. Вища школа, вып.87, 52-54 (1988).

34. Вирченко Ю.П., Домнина И.М., Построение решения стационарного матричного уравнения Ляпунова.// Вест. ХПИ, техн. киберп. и её прил., 263, вып.9, 70-72 (1989).

35. Вирченко Ю.П., Пелетминский C.B. Скобки Пуассона и дифференциальные э¡пеоны сохранения в теории магнитоупругих сред. в кн."Проблемы теоретической физики", ред. А.Г.Ситенко, Киев, Наукова думка, 1990, С. 53-77.

36. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C., Алгоритм численного решения линейного матричного уравнения.// АСУ и приборы автоматики, Харьков, вып.89, 116-117 (1989).

37. Вирченко Ю.П., Мазманишвили A.C., Метод функционального интегрирования как средство анализа нелинейных инерционных преобразований гармонических случайных процессов.// АСУ и приборы автоматики, Харьков, вып.95, 62-69 (1990).

38. Вирченко Ю.П., Перколяция. в "Энциклопедический словарь. Математическая физика", М., Российская энциклопедия. 1997.

39. Вирченко Ю.П., Пуассоновские среды, в "Энциклопедический словарь. Математическая физика", М., Российская энциклопедия. 1997.

40. Virchenko Yu.P., Vodyanitskii A.A., Semiconductors materials heat breakdown under action of the penetrating electromagnetic radiation.

I. General theory, // Functional Materials 3, № 1, 5-11 (1996).

41. Virchenko Yu.P., Vodyanitskii A.A., Semiconductors materials heat breakdown under action of the penetrating electromagnetic radiation.

II. One-dimensional model analysis, j j Functional Materials 3, № 3, 312-319 (1996).

В1РЧЕНК0 Ю.П. "Гмошрпостаофеномснолопчний пщхщ у статистич-нш физищ фрактально неупорядкованих конденсованих середовтц." Рукопис. Дисертащя на здобуття наукового ступеня доктора ф1зико-математичних наук за спещалынстго 01.04.02 - Теоретична физика. Ьститут монокристал1в HAH Укрални, Харкгв, УкраТна, 2000.

Дисерталдя присвячена побудов! формализму р'шпованшо! статистич-но1 физики неупорядкованих конденсованих середовищ, що уявляють собою, з геометрично! точки зору, стохастичн! фрактали. Статистична механ!ка флуктуацш фЬичпих полш на таких структурах будуеться на ocnofli пббавських розподьлепь iMocipiiocTcfl, по апалогй з р1вповажиою статистичною механикою систем багатьох Т1Л. Ф^зичними прикладами середовищ, яш мають необхщну для застосувапня формализму, що роз-виваеться, структуру, е конденсоваш просторово однорццп у середпьому макроскопичш системи, у яких просторове розподшення речовини сильно змшюеться у великому диапазон! масштабно, що лежить м1ж макроско-пичними розм^роми та типовими м^жатомними вщстанями. Такими е сильно порист!, депдртп, гомогенно змипаш композит! матер1али. У межах роботи вирпиуються принципов! питання математично! ф!зики, виникаюч! при !мов!рностному ormci такого роду структур.

Юночов! слова: статистична мехашка, спшвадношення узгодженост!, пббс1вське випадкове поле, випадков! точков! множини, npocTip занур-ення, дшамичн! системи дробления, стохастична означешсть, стохастич-на iiiBapiaHTHicTb, стохастична самопод1бтсть, маршвське подр!бнення, фрактальна розм!рн!сть, фрактальна Mipa.

ВИРЧЕНКО Ю.П. "Вероятностно-феноменологический подход в статистической физике фрактально неупорядоченных конденсированных сред." Рукопись. Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук по специальности - теоретическая физика. Институт монокристаллов HAH Украины, Харьков, Украина, 2000.

Диссертация посвящена построению формализма равновесной статистической физики неупорядоченных конденсированных сред, представляющих собой, с геометрической точки зрения, стохастические фракталы. Статистическая механика флуктуации физических полей на таких структурах строится на основе гиббсовских распределений вероятностей, по аналогии с равновесной статистической механикой в системах многих тел. Физическими примерами сред, имеющих необходимую для применения развиваемого формализма структуру, являются конденсированные пространственно однородные в среднем макроскопические системы,

у которых пространственное распределение вещества сильно изменяется в большом диапазоне масштабов, лежащем между макроскопическими размерами и типичными межатомными расстояниями. Таковыми являются сильно пористые, дендритные, гомогенно перемешанные композитные материалы. В рамках работы решаются принципиальные вопросы математической физики, возникающие при вероятностном описании такого рода структур.

Ключевые слова: статистическая механика, соотношения согласованности, гиббсовское случайное поле, случайные точечные множества, пространство погружения, динамические системы дробления, стохастическая определённость, стохастическая инвариантность, стохастическое самоподобие, марковское измельчение, фрактальная размерность, фрактальная мера.

VIRCHENKO Yu.P., "Probabilistic and pbenomenological approach in statistical physics of fractal disorder condensed media." Manuscript. The dissertation on doctor scientific degree of Physics-mathematics sciences, on the speciality 01.04.02 - Theoretical physics. Institute for Single Crystals of National Academy of Sciences, Kharkov, Ukraine, 2000.

The dissertation is devoted to construction of equilibrium statistical physics of strong disorder condensed media, representing, from geometrical point of view, stochastic fractals. The statistical mechanics of fluctuations of physical fields on such structures is built on base of Gibbs' probability distributions, by analogy with the equilibrium statistical mechanics of many-body systems. The physical examples of media possessing the structure necessary for application of developed formalism, are condensed macroscopic systems being spatially uniform on the average and having the space distribution of matter which is changed in large range of scales lying between macroscopic sizes and typical interatomic distances. Such materials are strong porous media, dendrites, homogeneously mixed composites. The following basic problems of mathematical physics connected with probabilistic description of such structures are solved in frameworks of dissertation.

On bases of cellular refinements, the methods of synthesis of stochastic fractal models representing random point sets are developed. It is reached by means of a random "scale" branching process which describes the filling of cells by points belonging to each random realization. It is shown that, at simple particular case, Poisson's point random fields has constructed on the basis of this mathematical instrument.

The fundamental concepts of stochastic translation invariance and of stochastic self-similarity of random sets are introduced. The theorem about impossibility of existence of random sets having simultaneously both of these properties is proven.

The concepts about stochastic fractal with self-averaging fractal dimension and about fractal having the fractal measure of nonrandom type on them are introduced.

Among all possible types of scale processes, the simple uniform markovian process with finite set of ways of branching is considered. Such process determines the class of models of point random sets with Markov refinement. For stochastic fractal of such type, it is proven the theorem about self-averaging of their fractal dimension D and about nonrandom type of fractal measure on it. This measure is Hausdorff's D-measure. Besides, for models of this class, the fractal dimension D as the function of parameters of probability distribution of scale process is calculated.

It is introduced the concept of stochastic definiteness of fractal that asserts natural, from physical point of view, requirement of smallness of probability change at each small moving for all random events connected with the fractal. In connection with this, it is proven that the random sets with Markov refinement have the property of stochastic definiteness.

With the purpose of consideration of physical values distributed on a stochastic fractal, the concept of field on fractal points is introduced. The fields are defined by averaging on the basis of integral on Hausdorff's -D-measure on small volumes containing fractal points. In turn, they are random fields on immersion space of fractal. Probability distribution for such random fields induced by probability distribution of stochastic fractal, are constructed. For them, the theorem about their self-similar dependence on sizes of averaging domain is proven.

Further, Gibbs' distributions for random fluctuations of random fields on stochastic fractal are introduced. In the work, the scalar Gibbs' field is considered only. For construction of such class Gibbs' random fields, the space of analytic Hamiltonians being functionals of field realizations is defined. They are expressed as a sum of terms describing multipoint nonlocal interactions of arbitrary order n between fractal points. Each term is presented in the form of n-multiple integral on Hausdoff's D-measure.

The study of statistical systems of such typeis realized on the base of approximate lattice systems being models of the statistical mechanics. With the purpose of development of research apparatus, in frameworks the

statistical mechanics, it is introduced the concept of systems determined by functional integral with supergaussian decrease of field distribution in isolated vertex. In this сазе, the existence of limit thermodynamic states is proven. Besides, Gibbs' "rule of phases" is proven for such systems. It is generalization of theorem of Miracle-Sole and Gallavotti according to which the phase transition points in parameter space of Hamiltonian make the set being not in general position.

With the purpose of calculation of statistical characteristics of random Gibbs' field both on usual lattice and on stochastic fractal, the cluster decomposition for characteristic functional of lattice systems of the statistical mechanics having noncompact one-vertex phase space is constructed. It is estimated the domain of convergence of this decomposition. The decomposition on inverse radius of interaction is constructed and the domain of its convergence is found.

Keywords: statistical mechanics, consistency conditions, Gibbs' random field, random point sets, immersion space, dynamical fragmentation systems, stochastic definiteness, stochastic invariance, stochastic self-similarity, Markov refinement, fractal dimension, fractal measure.