Разрешимость проблемы выбора оценки эффективности и ее минимизация в НА-пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный Университет

ил

'-"м На праЕах рукописи

МИТАСОВ Евгений Васильевич

РАЗРЕШИМОСТЬ ПРОБЛЕМЫ ВЫБОРА ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ И ЕЕ МИНИМИЗАЦИЯ В Н^-ПРОСТРАНСТВЕ

Специальности: 01.01.09 - Математическая кибернетика и 05.13.16 - Применение вычислительной техники математического моделирования и математических методов в научных исследованиях ( в области физико-математических наук )

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1396

Работа выполнена б Санкт-Петербургской Государственной инженерно-экономической академии на кафедре высшей математики.-

Научные руководители:.доктор физико-математических наук.

профессор Смирнов М.М. доктор экономических наук, профессор Краюхин Г.А. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Овсянников Д.А. кандидат физико-математических наук, доцент Косулин А.Е. Ведущая организация: Санкт-Петербургский Государственный технический университет.

Залдата состоится " с/и&ртй 1997 года в-^ часов на — —- —

заседании диссертационного совета К-063.67.16 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата физико -- математических наук в Санкт-Петербургском Государственном университете по адресу: 199004,Санкт-Петербург,10-я линия В.О. дом 33, ауд. 38.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке им.А.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан сМ^Ьр&сОЗ 199/тода.

Ученый секретарь диссертационного ■совета К-067.57.16 .доктор физико -

- математических наук В.Ф.Горьковой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Первоначально понятие эффективности применительно к траектории динамической системы не является математическим. Как понятие содержательное, оно возникает в рамках конкретных реализаций динамических систем, для которых решается определенного типа задача оптимального управления, и имеется численная оценка для характеристики виртуальных траекторий. Необходимость создания математического инструмента для оценки эффективности эволюции системы обусловлена важными прикладными задачами, в которых он необходим. Например в экономике - это актуальная сегодня проблема выбора оценки экономической эффективности мероприятий научно-технического прогресса /НТП/. Весь перечень ученых, разрабатывающих аспекты НТП, зарубежных и отечественных - огромен, литература - разнообразна.Ниже отметим, по необходимости неполный ряд имен ученых, внесших существенный вклад в решение проблем НТП,на чьи работы явно опирался автор диссертации: А.Г.Аганбегян, В.И.Зубов, Н.Н.Моисеев, Л.С.Понт-рягин, Л.В.Канторович, А.Б.Горстко, Л.А.Петросян, К.М.Великанов, Г.А.Краюхин, С.Г.Михлшн, В.А.Петров, К.Оппенлендер, К.О.Фридрихе .

Тема диссертации ставит на первый плад математические аспекты этой важной задачи перспективного планирования.То особое место,которое отводится созданию математических моделей эффективности НТП, академик Н.Н.Моисеев объясняет тем, что "его учет - необходимое условие всякой перспективной оценки глобального процесса",что указывает на актуальность темы диссертации.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: в вариационных терминах,с применением функционального анализа построить концептуальную математическую модель оптимизационного плана; ее назначение - исследовать класс задач типа управления динамической системой при наличии двух уровней управления. Для численных результатов в ее рамках нужен аналитический инструмент оценки эффективности траектории, с ясной содержательной трактовкой этого понятия в случаях конкретной реализации динамической системы. НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Разработан оригинальный вариант решения проблемы выбора оценки эффективности динамики системы. В терминах обратной задачи вариационного исчисления с применением функционального анализа, описан конструктивный метод. В рамках метода, двум уровням управления - верхнему и нижнему .сопоставлены два вариационных принципа, выполняющие роль целенаправленных воздействий с оптимальными

свойствами. Их удается согласовать непротиворечивым образом и подчинить один другому. Метод позволяет, попутно с отбором наилучшей траектории на множестве допустимых, в условиях реализации эволюционного процесса с двумя уровнями управления, конструктивно решить задачу оценки эффективности так обусловленной динамики системы. Инструмент оценки оказался заложен в самом формализме такого рода оптимизационной схемы, и его удалось выписать явно,в аналитическом виде,наподобие коэффициента корреляции в теории вероятностей. Более точно, для норм вектора состояния, его зависимой и свободных компонент, в соответствующих гильбертовых пространствах на оптимальной траектории выполняется равенство. Одно из его слагаемых служит индикатором эффективности динамики,а другое - верхней границей эффективности, превышение которой в ходе эволюции - нецелесообразно. МЕТОЛ ИССЛЕДОВАНИЯ основан на разделе теории динамических систем, использующем вариационные принципы для получения эволюции системы с нужными свойствами оптимальности. Для концептуального осмысления краевых задач динамики компонент вектора состояния,найденных ранее, решается обратная задача вариационного исчисления: по дифференциальному уравнению строится соответствующий функционал энергетического типа, и дается содержательная трактовка вариационной задаче на минимум этого функционала,раскрывающая целесообразность ее рассмотрения. В итоге появляется возможность концептуального описания динамики системы в целом, причем в новых, уже строго математических терминах, отличных от первоначальных экономических (или иных). Все приближенные формулы и уравнения получают объяснение и обоснование, как простые следствия ОДНОГО вариационного принципа целенаправленного содержания.Это позволяет использовать методы гильбертова пространства при исследовании вопросов постановки, разрешимости, корректности, оценок погрешности и т.п. применительно к задачам динамики реальных систем.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Разработан авторский вариант решения проблемы выбора оценки экономической эффективности варианта мероприятий НТП в процессе инноваций на отраслевом предприятии с поточной технологией.Для практики экономического анализа получены явные формулы решения вариационной и краевой задач динамики основных показателей эффективности.Проверка - с применением ЭВМ результатов модели на соответствие результатам,получаемым в рамках отраслевой Методики - выявила очевидные преимущества модели: концептуальную ясность ее математических формулировок,аналитичность основных понятий,конечных

- о -

соотношений и результирующих оценок, аналитически простой вид аппроксимирующих формул показателей, хорошее совпадение с результатами Методики при резко в 10 раз !) уменьшенном объеме начальных данных.Выписан явно индикатор экономической эффективности варианта мероприятий НГП,аналитический критерий эффективности и верхняя граница эффективности .В аналогичном ключе исследована задача динамики процесса растворения для многокомпонентных химических систем. Полученные результаты представляют и теоретический интерес, их значимость подтверждают отзывы специалистов -физхимиков и экономистов. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции в Ленинграде в 1980 году"3кономические проблемы научно- технического прогресса в промышленном производстве", на городской конференции при Ленинградском Ломе НТ11 в 1983 году, на семинаре кафедры ИО АСУ и ЭВМ в СПбГИЭА, а также на семинаре кафедры математической теории экономических решений факультета ПМ-ПУ в СПбГУ. -СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, 4-х глав и содержит 132 страницы машинописного текста,6 таблиц, б рисунков и библиографический список, включающий 35 наименований литературы. ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты опубликованы в статьях С 1 - 12 3.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении обоснована возможность конструктивного применения вариационных методов математической физики для описания динамики экономической системы в условиях реализации комплекса мероприятий научно - технического прогресса и для оценки его эффективности. Кратко изложены основные результаты диссертации.

В Главе 1 раскрывается содержание проблемы в экономических терминах, приводится вариант решения задач динамики показателей на основе вычислений по отраслевой Методике,отмечаются его недостатки - громадный объем вычислений при наличии содержательных процедур корректировки, не аналитический,а табличный вид конечных результатов, неяз-ный характер оптимизации цели.От этих недостатков свободна математическая постановка задачи и получаемые в работе ее решения - в виде функций,решающих краевые задачи для дифференциальных уравнений динамики упомянутых показателей экономической эффективности в процессе инноваций.Эти уравнения выводятся, как уравнения Эйлера задач минимизации соответствующих функционалов энергетического типа, система которых и составляет содержание математической концепции инновационного процесса,раскрываемой автором в последующих главах.

Процесс внедрения варианта новой техники на предприятии машиностроения с поточной технологией изменяет величины ряда ее производственных характеристик. В данной работе таковыми являются уровень механизации и автоматизации и , и коэффициент специализации ее рабочих мест. Изменяясь по величине в процессе инноваций,упомянутые характеристики и и & изменяют величины показателей экономической эффективности научно технического прогресса, таких как удельная себестоимость 5 , капитальные вложения Ж и совокупные затраты Е . Тем- самым, эти показатели являются функциями, заранее неизвестными, от переменных и и А в условиях реализации комплекса мероприятий научно-технического прогресса: З^БСУ-Л) ,"ЭС=Ж(и;&) Аргумент и - непрерывно изменяется в интервале . и аргумент

к - соответственно в интервале^ ;~к<] .Представляет интерес найти явный вид функций, выражающих динамику показателей й , УС > & экономической эффективности инновационного процесса.Такие задачи решены автором в работах [5 - 83.Структура полученных там формул показателей £ , Ъ допускала их трактовку,как решений краевых задач для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка, с производными по аргументу и , и с постоянными интегрирования с^-к) и с^-к) , зависящими от второго аргумента -к ,так как в них - только граничные условия зависели от этого аргумента А . С формальной точки зрения , аргумент к играет роль параметра , возмущающего граничные условия краевых задач. Вид возмущений заранее неизвестен и находится приближенно на основе небольшого числа значений на границе,определяющих параметры граничных функций.Поэтому разрешимость краевых задач зависит от разрешимости конкретной системы алгебраических уравнений, определяющей эти параметры.Результаты главы I сформулированы теоремами 2.1-7.1, дающих достаточные условия разрешимости и формулы обобщенных ретешш в сильном смысле краевых задач динамики показателей экономической эффективности инновационного процесса.

Введем следующие обозначения:^ - дифференциальный оператор, задаваемый формулой &<■) ~ ~ ^/¿ц [Р(и) функция/»ЛО -

- положительная гладкая в интервале [ио; (11 ] ; функция ¿(и; &) -

- искомое решение краевой задачи . Поясним и другие сокращения:

- срезающая функция ; °Лг,для £¿7.

^ ■ I

ТЕОРЕМА 2.1 Краевая задача для уравнения = 0 , с граничными функциями ^^ + (Ц+ Ш +<ио(-к-Ьо)

имеет решение .дважды дифференцируемое по аргументу и в

интервале [и0;и1] ,а также гладко зависящее от параметра "к , возмущающего краевые условия и в интервале ; ^ ], если разрешима система уравнений,определяющая константы ,р, ^, $ Хо ."й • ТЕОРЕМА 3.1 Если к^^ то система имеет единственное решение сС , ^ , 8 , ЬЬ , Г* . определяемое по следующим значениям 500 ,3£0 , ,Зог,5ог1 искомой функции Ш-Л)в точках границы области

формулами вида:

«1- бе) ' (*п~*о)(*1-Ьо)

л Зсо * За - 5<ц - . ^ЛоУЯмМ-М-ЬМ* -Ь).

(Ь- (¿1 - ¿о) ' * (-Вл)

ТЕОРЕМА 4.1 Обобщенное решение /в сильном смысле/ краевой задачи для уравнения - функция Ю из пространства С.Л.Со-

болева .гладко зависящая от параметра к , возмущающего в

интервале к е > 1 краевые условия вида:

- * -ШТ^кГ)-

(*1-*о) ЖЖр1 (Ь-ко) , .

£ ш- (*<-#)Виз + (к- Ь>)$и .(к-ко)Ъ*)(г

1 (Ь-*о) "^Нб"?'1 ~~.

при любой правой части £((/) из пространства существует

и задается в виде суммы в = вх + Ба двух следующих функций:

з (и)=ш:1-1] ~ г

(ш-Ъс) и0 ¡Ы.~Ьо) ¿и и

(А-боХЪ-ЬХЪ-Ь) ^

+ )500- + (*-.I- -ко)во! .[¿(и)Л

, Ш-ёо1+£ой Ш~т] (-к-М ЩиНоНа&с&Щ

В Главе П изложены краевая и вариационная задачи динамики одного из основных показателей экономической эффективности МНТП - величины удельных совокупных затрат ft) .Используя результаты главы 1-ой , т.е. краевые задачи для показателей S(ti;fr) и Wü;в виде

и известное уравнение связи : Z - S + £• Л , где £ = ccm^t, получим

JKb + sW^fa + Ut Az = 4

Дифференциальное уравнение трактуется как уравнение Эйлера

для вариационной задачи на минимум функционала SKZ) энергетического типа:

f(Z) = (JrZ,Z)H -2 (<£,ъ)ц> V Äf^c и. Разрешимость равносильной, пары задач -Аъ-ф nv-n в fy-пространстве

/ обобщенное решение в слабом смысле / следует из результатов К.О.Фридрихса. Формулы обобщенных решений в сильном смысле уже построены в главе I. Дается экономическая трактовка введенной вариационной задаче: min. 3rlZ)= min J^*/=>((/; ZiZ1) eil/ —» ? . Плотность p(u;z;z') трактуется как удельные затраты,отвечающие приращению уровня автоматизации и на 1% ,а интеграл от плотности - как суммарная оценка величины удельных совокупных затрат на интервале Wo > Ui] изменения уровня Ц • Задача минимизации таких расходов в процессе инноваций экономически целесообразна и необходима. Минимум функционала,согласно теории,равен квадрату нормы затрат в Нд ¡-(Z^ , В рамках нашей схемы, норма iZ0lß есть интегральная оценка величины удельных совокупных затрат на наиболее экономном варианте мероприятий НТП. Важно знать априори эту величину,т.к. в условиях рыночной экономики совокупные затраты определяют НИЖНЮЮ границу цены. Такова СУТЬ ОЦЕНКИ экономической эффективности на нижнем -уровне управления. В Главе III изложена единая общая схема описания динамики показателей экономической эффективности S , *ЗС , Z средствами вариационного исчисления с применением функционального анализа. С этой целью, экономическое подразделение с поточной технологией,в процессе инноваций трактуется, как динамическая система,состояния которой характеризует трехкомпонентный вектор .v(S(Uifc)?3C(L/;&)y 2(U;fc)), с компонентами - упомянутыми выше показателями экономической эффективности S ,¥С , Z , зависящими от переменных U и к . При U=Ua ,и при любом фиксированном значении аргумента ft. .условимся

считать, что система находится в начальном состоянии ус(50',7С0'>2,0), и, непрерывно меняя свое состояние с изменением и , переходит в конечное состояние ;I ) при .Налицо задача управ-

ления: перевести систему из начального состояния г/"0 в конечное гг*-вдоль такой траектории .которая наиболее целесообразна с экономической точки зрения на интервале Г^о при любом #¿1. Система из трех функций.: &) . , к) при любом фиксированном является параметрической формой записи искомой траектории -б на интервале .С учетом имеющегося уравнения связи: .достаточно найти проекцию траектории-^ на плоскость переменных Л тл'ЦС .т.е. траекторию €>р , определяемую всего парой-уравнений: , для УеСЦэ;147/см. рисунок ниже/.

С целью отыскания траектории

предлагается вариационныи

принцип, относящийся к минимуму интегрального вида оценки для величины совокупных затрат 2, . Ниже математически формулируются главные положения процесса инноваций , принятые в качестве основания математической модели экономической эффективности НТП , и вполне аналогичной модели автора из его работы С 12 ] .

1. Влияние извне на экономическую систему, в процессе инноваций трактуемую, как динамическая - отождествим с внешней причиной, воздействие которой описывается определенным вектором .

2. Самой системе придадим некие свойства жесткости, в том смысле, что под влиянием внешней причины система не разрушается как целое, а способна деформироваться - переходя в новое, возможное для нее состояние О ■

3. Величину смещения системы под воздействием внешней причины характеризуем вектором (2 , где (2 = к)) -Количественно, такой процесс деформации описывает операторное уравнение: (I)

4. Дифференциальный оператор -положительно определен

на плотном множестве ^^^ в ИСХ0ДН0М гильбертовом пространстве • Следовательно, с задачей (I) тесно связана вариационная задача на минимум функционала Ф((В) энергетического типа:

Фее)=^{(^е)^е^ ш)

Вид оператора 2-1 зависит от конкретной реализации этой схемы.

Эта схема является математически обобщенным описанием очень многих физических процессов, например, процесса закручивания воздействием внешней силой затлтого стержня. Функционал ф(6) связан с величиной потенциальной энергии деформации системы,отсюда его название - энергетический. Положительность оператора 21 означает, что на любую деформацию тратится энергия. Согласно теории Фридрих-са К.О., оператор допускает разрешимое расширение с линеала

^до энергетического пространства , в котором краевая и вариационная задачи (I) и (II) равносильны, имеют единственное, причем одно и то ке обобщенное решение из "Жт^ ~ вектор @.С .Этому вектору отвечает минимум потенциальной энергии деформации, и он равен • Целесообразность построения математической мо-

дели, оценивающей экономическую эффективность инновационного процесса в терминах вариационного исчисления, оправдана прежде всего, возможностью применить теорию разрешимости задачи минимизации функционала в соответствующем гильбертовом пространстве. Тем более,что полученные результаты переносятся на случай п>£ ,и оператор - в частных производных,и это обобщение дано в Главе IV. В соответствии с ней, имеем две равносильные задачи для оптимальной траектории £р :

= ^ <=*> тпйт. ф(£) -у ? где,следуя результатам работ [8 - 11 ] автора , нужно определить операторы и ^ , векторы й й ^ Н и Н^ следующими формулами: -/и £Ц

¿-и)

пространства и

202«

Ей, "2

1&

е=е(Щ

¿> <12.) у

'К

Величину гШп =

У.

XI

1(2°!^ распишем подробно: =

л.

=ф>

1гВ1й_;_ 1&оЬ_ ,12,01я

Нд, -энергетическое пространство, соответствующее оператору Л* . Поясним экономический смысл равенства (*) и входящих в него величин. Величина скалярного произведения [ ? £ в Нд.~ прост-

ранстве характеризует влияние темпов роста капитальных вложений Ж на темпы изменения себестоимости й . По крайней мере для монотонных функций величина [30 , В 0,если Этас{50-1№ и 6та^0>1Ц. Иначе, если с ростом капитальных вложений Ж себестоимость 5 снижается, то величина 0. Но такая ситуация означает доходность, прибыль, экономическую эффективность от внедрения варианта мероприятий научно-технического прогресса, его целесообразность, и, в этом случае, из (*) следует неравенство: /Е,0 16°!^ • Если же,напротив,с ростом капитальных вложений Ж, величина себестоимости 5 растет:Вгас150> 0 и величина >0 ■ Но такая ситуация означает убыточность, нецелесообразность, экономическую неэффективность от внедрения данного варианта мероприятий НТО,и,в этом случае, из (*) следует неравенство: 1Е01Л > В работе С 4 ] и в главе II показано,что величина 1Н/01д дает оценку величине удельных совокупных затрат, при наилучшем варианте новой техники. Тогда из предыдущих неравенств видно,что величина (в0!^ дает оценку сверху этим затратам, в случае экономически эффективного варианта новой техники.Другими словами,величина ((Заслужит верхней границей эффективности МНТП.В случае же экономически нецелесообразного варианта новой техники,оценка величины удельных совокупных затрат превосходит эту верхнюю границу эффективности I • Следовательно , в рамках этой модели указано то критическое значение параметра, численно оценивающего состояния экономической системы, которое нецелесообразно переходить в процессе инноваций с точки зрения их экономической эффективности. При этом , индикатором 2-х рассмотренных случаев траектории системы в рамках модели - служат знак и величина скалярного произведения С5о>£^о 1Л себестоимости Б на капитальные вложения в ЯЛ -пространстве. В диссертации удалось обобщить конструкцию из книги акад.Л.В.Канторовича и проф. В.А.Горстко : "Оптимальные решения в экономике", пример на стр.220.

Ноте слева - пример одномерной конструкции, рассмотренной авторами упомянутой книги.

1. ЧИСЛО переменных п~ 1 .

2. ИСКОМАЯ ФУНКЦИЯ X-ft) -ОДНОГО аргумента в интервале

Т - ПРИБЫЛЬ в момент t .

3. dVdt - ее ПРОИЗВОДНАЯ, характеризует скорость изменения прибыли, обусловленную изменением величины выпуска продукции.

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ динамики величины прибыли -

- ОБЫКНОВЕННОЕ,л линейное, 2-го порядка: Jtai - ¿.а Jt - ОДНОМЕРНЫЙ оператор

Лапласа:^.)= а-%4-) ;

5. Правая часть - ФУНКЦИЯ §/Ь) - характеризует воздействие извне на производство, ведущее к изменению прибыли.

6. ПЛОТНОСТЬ pixja:1; t) =

- подинтегральная функция; трактуется, как чистая ПРИБЫЛЬ НА ЕДИНИЦУ ПРИРАЩЕНИЯ ¿t АРГУМЕНТА ,для любого t из интервала T=Lt0\ti ] ■

7. ИНТЕГРАЛ от плотности р , т.е. целевая функция трактуется, как СУММАРНАЯ ПРИБЫЛЬ за весь интервал изменения Т = [to; ti J :

?(x)=J[-qx'h) +2g-JUti]dt

8. ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ Ffr) -интегрального вида ФУНКЦИОНАЛ, задаваемый формулой:

5Г(х)=(Лх}х)~ 2-( Vxc^.

9. ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА естественно трактуется, как задача на МАКСИМУМ интегральной ОЦЕНКИ величины ПРИБЫЛИ на интервале Т :

max. ¿Г(х) -» 7

Нике справа - обобщение на случай произвольного числа переменных.

1. ЧИСЛО переменных tt^s. ■

2. ИСКОМАЯ ФУНКЦИЯ Z(U;tk) -ДВУХ аргументов Ш; ß) в области

_а - СОВОКУПНЫЕ ЗАТРАТЫ.

3. C-Ü-; Ш) - ее ГРАДИЕНТ, характеризует скорости изменения затрат, обусловленные изменением производства на основе новой техники.

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ динамики величины затрат - линейное, В ЧАСТНЫХ.ПРОИЗВОДНЫХ,

2-го порядка: JrZ = <23.

Jt - ДВУМЕРНЫЙ оператор типа

5. Правая часть - ФУНКЦИЯ

3-(U\ &) - характеризует воздействие извне на производство, ведущее к изменению затрат.

6.ПЛОТНОСТЬ pCq,-GU£;£y">Z.a) =

- подинтегральная функция; трактуется,как чистые ЗАТРАТЫ НА ЕДИНИЦЫ ПРИРАЩЕНИЙ AU и АРГУМЕНТОВ, для любых fi/;^) из области SL .

7. ИНТЕГРАЛ от плотности р , т.е.целевая функция,трактуется, как СУММАРНЫЕ ЗАТРАТЫ по всей области изменения переменных -О. =[UQi UÜ * CQo; Qj:

8. ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ Я"Н,) -интегрального вида ФУНКЦИОНАЛ, задаваемый формулой:

9. ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА естественно трактуется,

как задача на МИНИМУМ интегральной ОЦЕНКИ совокупных ЗАТРАТ в областиИ : ■min. T(Z) -г ?

ЩсН

В современных исследованиях с применением вариационных методов принято иллюстрировать таблицей формальную аналогию математического описания двух различных областей знания. В нашем случае, это :

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Раздел "Деформация жестких систем, обусловленная действием внешних сил типа кручения"

ЭКОНОМИКА Раздел "Эволюция экономической системы,обусловленная внедрением новой техники"

I. ОПЕРАТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ : = ^

описывает количественно зависимость компонент состояния ($ физической системы - смещений 5 и от величины .характеризующей воздействие внешней причины на эту систему.

описывает зависимость показателей экономической эффективности 5 и Л - характеристик состояния б экономической системы от вектора ^ , характеризующего внешнее воздействие на систему.

II. ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ОПЕРАТОРА 2t :

означает, что невозможно перевести экономическую систему в новое состояние 0, без затрат на новую технику, т.к. величина

- оценка сверху этим затратам: |2о(д -

"3t

означает ,что невозможно перевести физическую систему в новое состояние S. ,не расходуя энергии на деформацию.т.к.величина (2)6,6^,- оценка сверху этой энергии: |2,0|я <=■ IQolqi

III. ОТРИЦАТЕЛЬНОСТЬ ВЕЛИЧИНЫ гп1пф($) - - ¡(0^ означает, что расходуется по- означает финансовые расходы при генциальная энергия физичес- переводе экономической системы

кой системы при переводе ее в состояние Qo ,с новым тех-

в любое новое состояние Q0. ническим уровнем оснащения.

IV. ФАКТ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ =Г fy КРАЕВОЙ И ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧ • min ?

означает,что среди множества возможных состояний под воздействием внешней причины ре-лизуется одно,такое состояние , которому отвечает минимум величины потенциальной энергии деформации 12.01 .

означает,что среди множества возможных вариантов новой техники, приводящих в состояние (Э0, существует единственный,с минимальными затратами на его внедрение - экономически наиболее эффективный.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1.Выделен отдельный класс прикладных задач из области оптимального управления.Они исследуются в рамках концептуальной математической модели оптимизационного плана. Модель использует вариационные принципы, относящиеся к функционалам энергетического типа в соответствующих-гильбертовых пространствах.В основе схемы лежит согласованная система из двух математических моделей оптимизационного характера. Такая структура предназначена для реализации эволюционного процесса при двух уровнях управления. Верхнему уровню,и подчиненному ему нижнему уровню управления, отвечают два вариационных принципа,выполняющие роль целенаправленных воздействий с оптимальными свойствами. Они согласованы непротиворечивым образом, а именно:

а/ имеющееся уравнение связи подразделяет компоненты вектора »Г состояния динамической системы на независимые 3 , ^ , и зависимую £ . б/ функционал верхнего уровня управления ф и задача его минимизации относятся только к независимым компонентам; функционал нижнего уровня и задача его минимизации относятся к зависимой компоненте, в/ уравнение Эйлера для функционала нижнего уровня есть простое следствие из системы уравнений Эйлера верхнего уровня управления, г/ вектор состояния динамической системы V , компонентами которого полагают решения обеих вариационных задач , оптимально реализует уже всю двухцелевую программу. Совместное рассмотрение этих компонент определяет, в параметрической форме, эволюцию перехода из начального состояния в конечное, оптимальную в выше указанном смысле.

2. Описание динамики реальной системы основано вначале на численных результатах эксперимента /в физике, в химии/,или на результатах существующих специальных методик расчета /в экономике, в статистике/. Их математическая обработка предварительного характера привела к системе краевых задач для дифференциальных уравнений 2-го порядка. Эти черты феноменологии нуждаются в дальнейшем обосновании в терминах обобщающей теории.Для обоснования ввода уравнений решается обратная задача вариационного исчисления - строится функционал энергетического типа, и задаче на его минимум дается целенаправленная содержательная трактовка.В случае успеха получается соответствующая пара из краевой и вариационной задач в рамках схемы Фрщрихса.И вся феноменология оказывается простым следствием ОДНОГО целенаправленного принципа объемлющего содержания.

3. Доказаны теоремы равносильности, единственности, существования обобщенных решений в слабом смысле для построенных пар соответствующих друг другу краевой и вариационной задач в "Н^ -пространстве, ссылкой на теорему Риса.

4. Учитывая цели прикладного характера, доказаны теоремы , в которых, для частных случаев,построены явные формулы обобщенных решений краевой задачи /в сильном смысле/.Возможность построения более гладких решений зависит,в первую очередь,от разрешимости системы уравнений, определяющей, по нескольким значениям функции, константы в формулах аппроксимируемых граничных функций, которые заранее неизвестны.

В работе построены конкретного вида краевые условия,с гарантией однозначной разрешимости такой системы.

5. Доказана теорема о корректности построенной краевой задачи в соответствующей паре и гильбертовых пространств . Дана оценка погреиносги Д0 обобщенного решения в норме Ж<ц -пространства через погрешность д^. исходных данных в норме исходного -пространства /оба - пространства вектор-функций/.

6. Понятие эффективности применительно к траектории динамической системы изначально не является математическим.Но в схеме дан аналитический инструмент,позволяющий вводить понятие эффективности динамики системы, и давать численную оценку этой эффективности.Он заложен в равенстве между зависимой компонентой 2 и парой свободных компонент Б и ХК вектора состоянния системы г/" на оптимальной траектории : = - • Знак и величина скалярного произведения Гмежду независимыми компонентами 5 и X как раз служат соответственно индикатором и численной мерой эффективности оптимальной траектории. Если неположительность скалярного произведения означает эффективность траектории/что в реальных моделях осмысленно/,то из этого равенства следует:

Обратное неравенство: > означает неэффективность динамики.

7.В рамках схемы указано предельное значение - верхняя граница 1<2°/г, превышение которой в процессе эволюции нецелесообразно.

8. Предложенная схема реализована в двух прикладных задачах: в экономике и физхимии. Описана динамика основных показателей экономической эффективности новой техники на предприятии с поточной технологией. Получена оценка экономической эффективности инновационного

процесса - т.е. решена важнейшая практическая задача перспективного планирования. Аналогично решена задача динамики растворения для компонент состояния сложной физхимической системы с оценкой эффективности протекания процесса.

Автор глубоко благодарен своим научным руководителям - профессорам Краюхину Г.А. и Смирнову М.М. за помощь в работе. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Краюхин Г.А. .Митасов Е.В." Динамика величины удельной себестоимости в терминах 1-ой краевой задачи".ЖЭИ,труды,вып. 129,Л-д. ,1977.

2. Краюхин Г. А. .Митасов Е.В."Краевая и вариационная задачи динамики показателя экономической эффективности НТО".Доклад и статья, материалы научной конференции : Пути повышения эффективности работы вычислительных центров и АСУ на транспорте. ЛДНТП, Л-д, 1983.

3. Митасов Е.В. "Сжатие объема экономической информации применением вариационного метода". ЛИЭИ, труды, вып.1SS,1977.

4. Митасов Е.В. "Динамика величины приведенных затрат , обусловленная внедрением новой техники в вариационных терминах".Депони-ров. ВИНИТИ. Библиограф, указ. 12 /110/. М., 1980.

5. Митасов Е.В. " Оценка экономической эффективности новой техники в вариационных терминах". Депонир.ВИНИТИ, УДК 016: /5+6001.5/. Библиограф, указ. 12 /110/.М.,1980.

6. Митасов Е.В. " Вариационный принцип оценки экономической эффективности". Тезисы докладов. Всесоюзная конференция по экономическим проблемам НТБ в промышленном производстве. Л-д, 1980.

7. Митасов Е.В. Об одном методе построения оценки эффективности динамики системы и его реализации. ЛИЭИ, труды. Л-д, 1984.

8. Митасов Е.В. О дискретной аппроксимации по Гауссу численных результатов экономической методики расчета. Деп.ВИНИТИ, N 2028 -В94, Москва,1994.

9. Митасов Е.В, Оценка экономической эффективности варианта МНТП в рамках схемы Фридрихса К.0.Деп.ВИНИТИ,H 2029-В94, Москва,1994.

10. Митасов Е.В. Исследование свойств одной зкономико-математи-ческой модели НТП. Деп.ВИНИТИ, N 1819-В94, Москва, 1994 г.

11. Митасов Е.В. Континуальный аналог формулы оценки экономического эффекта варианта НТП. Деп.ВИНИТИ, N 2323 -В95, Москва, 1995.

12. Сердюк В.В., Митасов Е.В., Закомолдина Т.И. " Вывод уравнений растворимости и вязкости на основе вариационного принципа". Доклады академии наук СССР, том 235, N5, М., 1977.