Развитие метода дополнительного аргумента для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ИАУК КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ 1 Г б V) А ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

.■:Гз Ш'. Г-

Специализированный Совет Д 01.94.27

На правах рукописи

АШИРБАЕВА АЙЖАРКЫН ЖОРОБЕКОВНА

РАЗВИТИЕ МЕТОДА ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТА

ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БИШКЕК — 1995

Работа выполнена в Институте математики HAK Кыргызской Республики. . . 4 : .

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор» член корр.' РАН, академик HAH KP йланалиев М,И.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Умбетканов Д.У. (ЙТШ HAH Республики Казахстан); .

доктор физико-математических наук, доцент Рафатов Р.<КР(0)У)

Ведутцай оргашзацйЯ! Казахский государственный национальный университет им. .Аль-Фараби. . - - '

Защита диссертации состоится " 7 - " ' -_ 1995 г.

в . /.у, часов на заседании специализированного совета Д 01.94.27 по присуждению ученых степеней доктора , и кандидата физико-мате- ' матических наук в Институте мат^матики НАН Кыргызской Республики.

О диссертацией можно ознакомиться в ВДВ HAH Кыргызской Республики. ■ - '■ • •

■ • . ,' ' ' Автореферат разослан "// " NШМi ' ■ - 199 ^'г.

Отзывы на автореферат просим присылать по адресу: 720071, г.Бшпсек - 71, Проспект Чуй 26Б-а, Институт математики HAH Кыргазской Республики, Специализированный Совет Д 01.94.27.

Ученый секретарь Специализированного совета,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ,

Ü.Искандеров

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Мэт^д дополштального аргумента представляет собой модификацию и конкретизацию метода характеристик для определенных штссов уравнений в частных производных. С его га. ющью удается свести некоторые нелинейные уравнения и системы уравнений первого порядка к системам интегральных и алгебраических уравнений, которые затем исследуются известными методам. Вследствие преимуществ метода дополнительного аргумента расширение его на новые классы уравнений является актуальным. ■

Основы метода дополнительного аргумента систематически из.таке.ш в работе Иманалиева М.И.1>. Его дальнейшее развитие и выявление новых возможностей произошло в ходе решения конкретных задач2'. Цель работы. Распространение метода дополнительного гтумента па новые классы уравнений, в том числе на уравнения со степенными особенностями. '

Научная новизна. Все оснобныэ результаты диссе] гации являются новыми, подтверждены строгими доказательствами." Методом дополнительного аргумента:

- строится решение нелинейных интегро-дифференциальга... уравнений с частными производными под знаком интеграла в правой полуплоскости при линейном начальном условии на оси;

" Иманалиев М.И Нелинейные инТегро-дафферекциальныэ уравнения с частными производными.-Бишкек: Илим, 1992, -112 с. 21 Иманалиев М.И., Алаксеенко О.Н. К теории нелинейных интегро-дифференциалышх уравнений в частных производных типа Уизема // ДАН . 1992.-Г 323, № 3, - С. 410-414.

- доказана теорема существования и единственность решения для нелинейного интагро-да4фэренциального ■ равнения Уизема;

- доказано существование решения нелинейных штегро-дифференциаль-ннх уравнений в частных производных'первого порядка со степенными особенностями и со многими пространственными переменными.

хтцчоская и теоретическая ценность работа состоит в тон, что в ней получены новые результаты, которые вносят с ределенный вклад в теорий нелинейных штегро-диф$вренциальных уравнений. Результаты диссертации могут быть использованы при дальнейших исследованиях нелинейных ' иатегро-диффервнциальных уравнений и уравнений со степенными особенностями. .

Апробация работы. . основные результаты диссертации докладывались: "

- на республиканской научной конференции "Дифференциальные уравнения и их положения "с сентябрь, 1993 Г.,Г.Оп»,

- на международной научной конференции. "Выроащающився уравнения и уравнения смешанного типа'" сиоябрь, 19ЭЗ."г., г.Ташкент},

- на, международной научао-пракздиеской конференции "Аналитические и экслеридйзнгальнш штоды. матомадг' .-дсой: физики я проОлемв их преподавания" с декабрь,' 1Э94 г.', г.Ода,

- на семинаре по штегро-дафферэшдашшшм.' уравнениям в' Институте . ■ математики НАЛ КР.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в тех работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на параграфы, списка литературы из 42 наименований и содержит 82 страниц машинописного текста.

содержанке работы

Во введении даэтся .»Сзор литературы по затронутом в диссертации. проблемам задач и основные полученные результаты. В глав* I рассматриваются уравнения вида

I) it.sc> + ВГЪ.х-.Ши С"Ъ.:0 = I х

где о - некоторк.. дифференциальный оператор-

Будем использовать следувдиэ обозначения:

<а ,а .... .а > -ссп> и с " сй> - пространства функций определенных,

непрерывных и ограниченных (соответственно вместе со своими

производными да порядка а, по а-ому аргументу а =1.г,з) на

некотором подмножестве £1 евклидова пространства

_са .а .... .а ■>

с <а.ю - пространства непрерывных вмесп со своими

производными до порядка сухо первой переменной, аа- пб второй переменной,..., а по п-ой переменой функция, г.П - подмно-таство евклидова пространства

иР<гм|и. .. л - класс функций, удовлетворяющих условию Липшица по пер<. .енной и с коэффициентом N. по переменной V с коэффициентом М.... для функции одной переменной индекс будем опуикать.

.»»¿-и*^ _ класс тех функций игь.хэ е с'''1 >ск*, для

которых производите их<х.эо ограничены относительно * в полуплоскости » к

В § 1.1 рассматривается нелинейное интогро-дифференциальное уравнение в частных производных вида:

а» да п О-а) и!

я исГТ, реЗ£сП *■ £"1 1> е И* ., <1>

с начальным условием

исо.х^ = а + р*. к е к, сгу

.где /со. н.со « сс1?+,1?.>. к.са, £> е

I

г

а. Р е к. р * о, гСО = Р ^Сз-Ма * -1 , Ъ <е

о

Проводится построение единственного решения задачи со-<а.> в массе 1 •1 если сходятся интегралы

со со .

Опи-вда общая схема сведения нелинейного уравнения <л> к . алгебраическим уравнениям

Ас * ь, сс-о

где А = Саи]. с = {с,}, ь = | г' ^ а.,р - <гГТ?Г>

а. . = | |к,<-Т. ^ [г<Г1> + [гСз^ +1] Н ,С;Ос1зс1£с11; - СО

с10 » 1.п_>. 6 . =1, 6 «■ о, с1 * ,р

Ь1 = ~ [ [к^Х, Р[г<г> + + + |[гСа5 +1]2 *

о—ао о

Доказана следующая

ТЕОРЕМА I. Пусть сходятся интегралы в соотношениях <Г4>. <rsj>.

Тогда задача cd-czj в классе s'1*1 'сй'.ю имеет столько же

решений, сколько га имеэт алгебраическая система сзэ. в частности, если det а к о задача <а-<г> имеет единственное решение, прелставимоь в виде <rej>, где.

г» I

VC\.,x> » [rCt> + 1T4 ja + рх * ^ C^J[rCs> + 1] H^CsJds +

i»i о

. » ; ■

+• JjrCsi + 13 /Cs>ds J- . Ct.JO a R-*.

О использованием этой схемы проводится построейие едшктвен-ного решения уравнения

* ш ш п

U^ft.xJ ♦ XX-OUCt.sOU^Ct.xJ » J J £ H^ÙK.CI, ^ ГСи^СЧ р +

•-са-ю I»*

+ UCf. ÇiUçft> {■> ■ U^CT.^JdÇdT . a,x) «R| о начальны?« условием <г> в классе.

î» .

Также рассмотрена начальная задача:

U(> и иж» yct>, 1ХО,х>"* х*.

В 5 1.2 отроится единственное решение уравнения с. невырожденный ядром :

t œ

U^Ct.x? + t#l,x> ЦлП.к> » J J Kft.s. pUçfa.pdgds. <7>

. o-ca

Ct.xJ с R*

о начальным условием <ra> в классе s<ri'1JcR*.it>.

Решение задачи <7> - имеет вид

и Т V со

ись.х^ - о + р - ^ | ] } ^

(I о о-оо

Ь V х>

+111К<Г1Л5,?:> с1?с1зс1г'' ^^ е

о о-со

Рассматривается уравнение вида

1 со

и IV! ич С » и V Ь • А/ — }• I 1чЧ V I а » 0.-У и

• » * I .1 5

о-со

с начальным условием <£>■ Решение этой задачи представимо в ви/..

Ъ V 00

ис1,>о = а+р*+р /11 Kfг'•s,

о о-со

Рассмотрен более обедай случай данного уравнения <7>-

I <о

и^Ъ.хЛ иЛ.зО | | КП.э.и^Сз, + /СО.

о-й>

СЬ.хЗ е К2 '

1

с началышм условием са> в классе 1 ■ '-'ск*, ю.

исиго ♦ С1,х> » } ксъ.э.ри.сз, +

В § 1.3 рассмотрено следующее модельное уравнение Уизома:

(О

+

я

-СО

О < t < Т , хей

и^ь.х^ + и<ь.*.> и^съ.х^ «■ ксс,к, ри^сс. се:>

с начальным услоьаем

иСО.х) х <= й. СЭЭ

При ксс.х,р = -к^сх - р из св^ получается нелинейное уравнение Умзема. описывающее распространение нелинейных, волн в сильно диспергирующих средах. Уравнение Уизома при определенных предположениях и конкротных видах ядра к ¿х - описывает реальные физи-

е

ческие процессы и может быть выведено из общих физических законов.

Задача - сведена к решению системы интегральных уравнений от трех независимы: переменных. Доказана еледумцая

ТЕОРЕМА 2. Пусть D.ípfso е cVr.>. функции ф'1 Сх.> е t-i pfLo> . Ci =0.1^, причем | <р" ' 'CsO | < Мо» const Ci=0.1->,

£3 Kít.x.sJ <5 Cía' ' ' 0р><Г (O, T ] к ЕЪ, К*1 '<Tt, X, s-> e Li p<Ta it. s.> I > <l>

ci=o,i;>. причем J ai<rt,s^ds < a «= const o-o.íj, -00

a

J p |d£ ¿ f = const, íTi » О,IX

-00 '

Тогда существует такое т < тж явно'определяемое на основе

исходных даншх, что задача сеЬ - coj имеет единственное, непрерывное и ограниченное решение в области 0 ^ [о,т] «к. Рассмотрены некоторые примеры.

Во второй главе рассмотрено .нелинейное интегро-дифференциальное уравнение вида:

t

t^UCt.xJ * хЛ U (t,)tí = I KCt.s.Uís.xJJdsj ' <"10J

i J

о

Выявлены условия на числа m.n, при которых существует решониэ начальной задачи еа>. При тех значениях ».п, когда ревекле начальной задачи не удалось получить примененными методами, предлоги но трактовка начальной задачи как предельной, » для этой предельной задачи доказана теорема существования, где выявлены подходящие классы функций.

В § 2.1 исследуется решений уравнения <хо> при начальном уело

с

ВИИ «•>.

Доказана следующая . . . '

ТЕОРЕМ 3. Пусть фСх> е elCR>. KO..S.I» в £c"4-°',:'c[O.T]xIW n П 1Др^и|ц^,гда u - положительная постоянная. Тогда существует непрерывное и ограниченное решение задачи сю> - <ге>в области

г { о < t s т, хек), п »• 1

■ V Л

L .«StiT, «.«s . «■!

R

в случае, когда » < 1.. Когда » & ). уравнение cioj является уравнением с существенной особенностью. •

Доказательство осуществляется о Помощью сведения задачи fioj-. <tô> к интегральному уравнению и!применением к этому уравнению . метода последовательных приближений.

В § . .2 рассматривается более-общий' случай уравнения ¿ю.> в <п+о - мерной пространстве., ••. ' '

taoU<rt„x .... .X Р + YjA и- Ct.x .. ..х ;> » /<t.x.....x',U,qJ>,

I » л • у . К X. * I ' I п

Oit < тв, Сх^. .. ¿xJ е R* , ао V t, С^ « R с1«Г7п>, СЮ

где . ; ;:• : ■ - ■.', '/:: •

t х^ ' 'х - ,. . -■ ' ■ ч. ■';.'.' . "•.''.

q » I J ... I KCt.s Vs ,'5C.,,,.,je .îUfp.e .....с >ds ...ds dp,

j J J 1 . - л -* " л . n _ . i О 1 Л f -

о о о

с начальным уеловг.3 м

• Ufû.x ,., } « (jlfi . J, (я ,...,х J € r" . <riâ>

Доказана следующая,. • v тт&к 4. Пусть * .....

.. .xn,U.4J в 1 ••• • •1 • * • °<Т£С.Г| * Rn X R*> о

П LipCL^ ^. La где ,La - некоторые .положительные постоянные.

КЛ.»,,'...,» .....х ;> в с"''0'0............ ^«•ГО.Т! » й*"1 •>.

1 пл.» % «#. ■

причем

со св

!• • • I .. . . .8 ,х .. .. .я . .. с!а £ 7 « ееп* Ь, П »ГГл?.

, ^ ^ Х. 1 ' П | . ■ П ■ | П '

о о .. •

Тогда существует такое т < т, » ['-? Г где а < ь

I- ♦ ' Л •

что задача сю - <п&> шэет непрерывное и ограниченное решение в • * . ' _ " , , , области с£ £ I £ Т, Сх(,.,.'',хг}> е й" '

Доказано существование и единственность ^певзя уратоекия: о £ ъ < т , сх ,х э в"кп, "

Л 1 , П' ■

': где

1 со да .

О-СЭ -СО • • ч ;

. с начальным условном при т < тЛ ;;

- * л »

' В'8 2*3 исследуется ропениэ нелинейного 1ШТ91фо-д;!№р^даяль-ного* уравнения фп и а 1» п < 1 с продельпам начальным уело-

вм8м ' ■ '' • ■: , '"•-'. '.- - '

Пм О. >£ > О. О < К < 7

" Доказано существование решения задача при « > г

п < 1. где гыявлаш гкдаодтдае клгосн функций. , '";!.'.' При » > г для функции КСь.х.Ш е ю п

П ирсь(ц^, дзно додалнителшое условие: Пусть ксс»х.и> црвдетевллетея в ыздз,'

С1з:>

КСЧ.з.Ш = Л^П.з.Ш, где k'oC4 . з. Ю e С*" 1 'o'i;><C0,TJ2« RJ n nLipCL|u^

Методика доказательств подученных результатов следующая: интегро-дифЁеренциальные уравнении с предельным начальным условием сводится к эквивалентному интегральному уравнению, к которому применяют ттод после довательных приближений.

В § 2,' рассматривается уравнение вида:

t

tU^t.xJ + xU^Ct. ■ aUCt.xJ + J KCl, ji, UCs. x»ds <14.>

о

0<t<T,0<x<co, 0<а<1

с предельным начальным условием

lim |lKt,*:> |t-toj ' х°, 0<x<c0,0<t<T.0<a<l flSJ

С помощью сведения к интегральному уравнению доказывается существование решения задачи сю - cis:>.

Рассматривается более общий случай уравнения в сп+о-мерном пространстве:.

tu <rt,x ,. . . J> t Л а,х.....х > all +

t I Л X 1 г»

J- /ft,xi , . . . . <16>

О t < Т , ö < х <а>. С1=Г7п>. О < ч < 1 » t

с предельным начальным условием

lim |uct ,xjt. , . . x^J |t-»oj- » У* >

x , О < x < e> Ci =1, IV> ; C17J

k )

k«l

Доказано существование решения задачи <ie;> - cirj. при т < J,

i а

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководители академику НАН КР М.И.Иманалиеву за постановку задач и постоянное внимание к работе, а такжэ к.ф.-м.наук Ю.А.Ведь за совместную работу и ценные советы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНО В РАБОТАХ

1. Аширбаева, А.Ж. О решении^ нелинейного интегро-даффэр«-чциального уравнения с частными производными первого порядка типа Вольтер-ра^"ДифференЦ. уравнения и их приложения",Оя,сентябрь 1993г: Тез.докл.республ. научн.конф.-Ош: ОшГУ, сентябрь 1993. - С.29.

2. Аширбаева А.Ж. Об.одном вырождающемся нвлинейнрм интегро-диффе-ренциальном уравнешш тша Вольтерра^пВырокдащиеся уравнения и уравнения смешанного типа". Тез.докл.мездународн.нзучн.конф., Ташкент: ноябрь 1993 г. - Ташкент: ФАН АНРУ, 1994.- С.29.

3. Аширбаева А.Ж. Построение решений одного класса нелинейных ип-тегро-дифференциалышх уравнений в частных производных первого порядка^"Аналитические и зксперименталыше методы математической физики и проблемы их преподавания", Ош, декабрь 1994 г: Тез.докл.Мездународ.научно-практической конф. - Ош: ОшГУ, Ошск.

' технич.лицей, 1994. - С 36-37.

4. Аширбаева А.Ж. О существовании и единственности решений нелинейных штегро-дифференцнальных уравнений первого ^орядка с

(п * 1) независимыми переменными^-Там же. - 0. 34-35.

5. Аширбаева А.Ж., Водь Ю.А. Построение решений нелинейных инто1 -ро- дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с вырожденным ядром-М1сслед.по интегро-дифферонц. урзв-. нениям. - Бишкек: Илкм, 1994. - Вып.25. - С. 128-131.

АЩСТАЕВА АГШРКЫН ЕОЮВЕКОВНД

Сызнктуу емсзс жегече туундулуу интегро-даИврвнцйБЛДшс тендэивлвр г<с»н кошумча aprj шт кийяргу ыетодун едуктуруу.

АННОТАЦИЯ

• . <■ -

; Ксвумча аргумент кийар** ыэтодду -"вна тендвмелвр киассына, ошовдай еле даражалуу ©эгвчедуктору dap танд&меле та жайылтуу карала ■

ASHIRBAEVA tZHAKKYIN ZhofiOBEKOVNA

Th® <1® v-nl е-рдлг-.t of tha raethod or additional argument for rtoЛЦпоаг inteyro - partial d.tfforontiel equations.

SUMHARTf

■ ТЬ^гв is extensiof.> of '!Um»'' .awtfaod'"of additional a.-pi№ent f«-new type« of equations including the liquations vith tha powor Siiri{jijiaritl...