Развитие метода граничных интегральных уравнений при расчете пластинок на статическую и динамическую нагрузки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНА АКАДЕМ1Я НАУК УКРА1НИ ¡нститут мехатки ¡м С.П. Тимошенка

РГб од

, ;. На правах рукопису

ЛУК1Н Олександр Миколайович

РОЗВИТОК МЕТОДУ ГРАНИЧНИХ 1НТЕГРАЛЬНИХ Р1ВНЯНЬ ПРИ РОЗРАХУНКАХ ПЛАСТИНОК НА СТАТИЧНЕ ТА ДИНАМ1ЧНЕ НАВАНТАЖЕННЯ

01.02.04 - мехаыка деформованого твердого тша

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацн на здобуття наукового ступеня кандидата фЬико-математичних наук

КиТв 199 7

Дисертац! ею е рукошс.

Робота виконана в

Харк!вському державному автомоб!льно-дорожньому техя!чному ун1верситет!

Науковий кер!вник

доктор ф!зико-математичних наук, професор Зозуля Володимир Васильевич

0ф1Щйн1 опоненти: доктор ф13ико-ыатематичних наук,

Коханенко Ерхй Васильевич

кандидат фхзико-математичних наук, доцент Кал айда 0лекс1й Феоф1лович

Пров1дна уетанова- Харк1воький шШ техн! чний ушверситет

Захист в!дбудеться " 24-" 1997 р. о -/¿^го-

див! на зас!данн1 спец!ал! зовано! вчено! ради Д 01.03.03 при ^статут! ыехашки 1м. С.П.Тимошенка Нацюнально! акадеш 1 наук Украиж за адресою: 252057, Ки1в, вул. Нестерова, 33 дисертац!ею можна ознайомитись в б!блютец1 1нституту меха-шки 1м. С.П.Тимошенка НАН Укра*ни (Ки1в, вул. Нестерова, 3).

Автореферат розI слано "

Вчений секретар спец!ал!зовано! вчено! ради доктор техн1чних наук, професор

1 .С Лернишенкс

Загальна характеристика робота.

Дисертащйна робота лрисвячена розвитку методу граничите îhis-гральних pîвнянь при розрахунках пластинок pîзноман!tkoï форми на стаглчне та динам*чне навантаження.

Актуальн1сть та ступ!нь досл!дженост1 тематики дисертащ ï. Су-часкпй розвиток науки î техшки висувае шдввдет зимоги до дослужена робота конструкщй та ïx елемект!з на мщнють. Цэ важливо î для токкост!нних елемекмв - пластинок та обсленок.

При рсзв'язанш задач мехашки, математачяо! ф!зики та !нших широко застосовуиться чисельш метода. Одним з найефективш еих та сучасшших s них е метод граничких !нтегралышх р!внянъ. Цей чисель-ний метод щнзаблюз до себе увагу досл!днкк1з тему, що зменшуе на сдинпдю порядок задач!, що розв'зуетъея. Иэ стае межливим тому, шо апроксимувати потр!бно липе граница мла, а не все т!ло, як в зк-падку, наприклад, застоеування методу еклнченних едэмент!в. М^тод граничных 1нтегральних р:внянь добре себе зарекомендував i при роз-рахунках tohkoctîhhkx елемент!в конструкций. —

На цей час, в!домо б!лыпе десяти мод!ф1кац1й цього методу. Найб1льш поширен! пряме та непряые формулювання методу,та гч бри дна схема, яка поеднуе граничноелементну та ск!нченноелементну методолог! ï.

Бьтьшють доел! дник! в, як1 займаються розвитком методу грпнкч-них !нтегральних р1внянь прийали до висновку, що найбчлып тгагваб-ливою е пряме формулювання методу, де нез1додами язляються парамет-рк, як! мають конкретне ф!зичне значения. ~

Застосузаням до розрахунку пластинок методу граничних 1нте-гралъких piвнянь займались багато вчених. Найб!льш фундаментальнкми е робота Ю.П.Аршгана, П.Бенердм , К.Бребб!я, К.Вае!дзу, е.С.Венце-ля, Ю.В.Верхжського, Григоренкс Я.М., Гузя О.М., Зозул! В.В., Ху-торянського Н.М., D.E.Beskcs, 0.У.Camp, J.A.Costa, P.Hartmann, P.Fi-lippi, J.ï.Katsikadeiis, M.Kitahara, G.D.Manolis, C.P.Providakis, Y.Sladek, J.Sladek, M.Stem, M.ïanaka, M.Veble, J.Vivoli, Q.Zhang та

!НШХ.

Розрахунок пластинок при статичному та динамичному навактажен-Н1 е складною задачею. При розв'язанш П методом граничних 1нте-гралышх piвнянь, як правило, застосовують квадратуры! формула для ^ обчислення ядер. Але, такий шдод не е ефективним, як по точност!, '

так 1 по штратах машинного часу. Такоа: при цьому виникають еклад-ност! s £нтегруванням вздовк головнкх елеменив, тому, що ядра граничных t нтегралъних р!Енянь мають сингулярност! (особливост!) pisKiix тип! в. Б1лъш рацюнальним е застосузакня методу гранпчних iнтегральких piеняыь з використанням аналогичного !нтегрування ядер еедобж граничних элемент!в.

Досл!дники, як! займаються застосуванням методу граничних !нте-гральнкх р!внянь, зустр!чаються з piзномашткиш проблемами, одн!ею з яких s сбчислення 1нтеграл1в на головних граничних елементах в!д фундаментальных функщй. Де зв'язано з присутн!стю особливостей в ядрах граничних хзтегральних р!внянъ.

При досл!даез1 двои!рше£ т1л виникають особливост! - 0(1/г2), 0(1/'г) або 0(1пг). !нтеграли, як! мають так: особливост!. треба рсгумии як невласш, як головне значения по Кепи або як к!кцева частика по Адамару. Регуляр!зац! я штеграл'в, що мають особливост! е нетрив!адыюзо задачею, якок займаються багато доел! дник! в. Найбгльш впливсвкй вклад до р!шення Ц1е! проблеми внесли Ж.Адамар, К.Вребб!я, О.М.Гузь, В.В.Зозуля, Е.ЗЛзанов, В.Д. Купрадзе, С.Г.Шхлш, НЛ . Мусхел1шв1л1, З.Т.Назарчук, А.Н.Ихоноз, М.Boanet, M.Guiggiani, K.I. loakimidls, G.Krishnasany, Y.Liu, F.Riszo, K.G.Toh та 1нш1.

Треба шдкреслити, що для регуляр!зац}I 1Етеграл1в з особлп-востямк найпсшириш зыми s чисельн! метода, але, як було показано в роботах О.М.Гузя та В.В.Зозул! найкращ! результата дае застосування акгштичнсго 1ытегрування фундаментальних ривень, що мають особливост! . Майже yci доел!дники, п;о застосовужть метод граничних 1нте-гральних piенянь котаютуються лише традищйнеаш чиселышш методам:, то дае нерашокальн! алгоритма розрахукку пластинок.

Разом з статичною задачею згинання пластинок багато роби прксвячено розв'язанню динашчно! задач!, яка е б!льш складною. При розгляданн! динам!чно! задач! необх!Дко користуватися методами теорп функц!й комплексно! перем!шо!, операщйниы обчисленням та !ше.

Ще одшею проблемою при динам!чному рсзрахуяку пластинок s задача визначення lz власних коливань. На тепер!шньому розвитку методу е основн! три шляхи piшення ще! проблеми:

- метод перебору частот при застосуванн! стандартно! цроцедури

рипекня задач динам!ки;

- застосування лише граничим елеменив з використанням фундаментальная рииень динам!чяо! задач!;

- пбрздна схема, яка об'еднуе граничноелементну та скютенно-елементну методологи з застосуванням млькя фундаментальных р:шень статики.

В!льш!сть вчених ввак!е останшй шлях найращональшшим з точки зору Еикористання машинного часу та точност: результат!в розра-хункхв. В1н 1 викоркетсвуетьея в робот!.

Таким чином, наведений вшце огляд св!дчить, ио застосуванням методу граничных !нтегралкшх р!внянь до розрахунку пластинок на статпчн! та динашчн! навантакення займалисъ бэгато вчених, зле зс! вони заетоссвували чисельн! метода !нтегрування ядер интегральнпх ргвнянь, що е не ращональною схемою. Грунтуючись на цьому факт: 1 була сформульована мета дано! дксертац!1.

Метою робота е розвиток методу граничних !нтегралъних р:нняиъ при застосуванн! його до розрахунку пластинок, що включав:

- розробку методов рсзв'язання задач! згянання пластинок при Д11 статичних та динам!чних навантаженнь, з максамальким застосуванням анал!тичного штегрування вздовя граничних еле-мент:в;

- анзл! з особливостей ядер та розробку метод!в регуляр!защ: !нтеграл!Е з особливостямк, со вишпсэ&ть при чисельн!й реал!-зацп методу граничних !нтегралъних р!внянь;

- рсзробка алгоритм!в та текст!в програм для знаходження зу-силь та параметр!в напружено-деформованого стану пластинки;

- розробку програм для знаходження власнгх коливань пластинок методом, де разом з граничними втссристовуються ! ск!нченн! елементи ;

- доашдаення напружено-деформовансго стану пластинки р!знома-штно! форми методом граничит !нтегральних р!внянь.

Наукова новизна та значущЛсть результатов робота.

Полягае в розвитку методу граничних штегральних р!внянь яри застосуванн! його до розрахунку пластинок р!зномак!тног форми при статичному та динам!чному навантаженн!. Ноеим е ефективний метод регуляр! заци 1нтеграл!Б, що мають особливост!. Цей метод базуеться на

формулах Гр!на та Гаусса-Остроградського i моке бути застссованкй до bcix задач, як! розв'язуються методом граничних штегральнкх ptB-нянь. Еикористовуючд анал!тичн! метода 1нтегрування ядер, ¡до мають особлизост!. pt зного порядку одержан! анал!тичн! вирази для интегра-л1в в1д фундаментальна рхшень згинавня пластинок на головнкх та другорядних граничит елементах. В!даов!дш алгоритма реал!зовано у нигляд! програм для персонального кош'ютера. Отриман* чисельш результата, що доводить високу точнють методу рилення та ефектившсть з точки зору Еикористання машинного часу.

Bei результата по розвитку методу граничних !нтегральних р!внякь при застосуванш його до пластинок складно! форми яри дп стастчнкх та динам! чшх навантакень отриман! вперше.

Достов1рн1сть одерианих в робот! результат!в та bkchoekie за-беспечуеться застооуванням обгрунтованих метод!в розв'язання, роз-робкою над!йних алгоритм! в чисельно! реал!зацп, проведениям машн-них експериментхв, пор!внянням чкеельних результат! в з результатами, що сдержан! !ншми методами розв'язання тестових зразк!в при статичному та данам!чному навантаженн!. Результата вс!х розрахунмв якюно узгоджуються з вже в!домими результатами.

Таоратичне значения та практична ц!нн1сть одерканих в робот! результат!в полягають:

- у розробц! методики та алгоритму задач! про згинання пластинок екладно! форми при статичному та динаш чному наванта-аенн!;

- у азал!з! оснсвких крайових задач, ¡цо з'являються при розра-хунках пластинок методом граничних !нтегральних р!внянь;

- у одержана! анал! тично проштегровзних фундаментальных роз-в1язк!в, як на головних, так ! на другорядних граничних элементах;

- розробд! ефективного методу регуляр!зац!i !нтеграл!в, як! мають особливост!, що базуеться на формулах Гр!на та Гаусса-Остроградського, який може бути застосований до вс!х задач, де використовуеться метод граничних !ятегральних pt енянь;

- у розробщ ефективних алгоритм!в та програм розрахунку пластинок складно! фораш при статичному та дкнам! чному наванта-женн!;

- у доел! дагенн! яапруаено-дефорлованого стану пластинки pisuo-

Ы9Н1тно! формя методом граиичних iнтегральних р!внянь. Реал1зац1л та зщювадження результата, одержаних п дисертац!i. Нэукош досл1дкення виконувалягсь в рамках роб!т, ггередбачених щю-гремами та планами НИР Харк1веького державного автомоб!льно-зляхово-го техючного ушвэреитету, а також проект1в, що фтаяеуютьоя Шни-стеретвсм Судишицтва Укра1ни. Результата, отриман! в даеертац? йк! й робстг, ув!йшлк до зтту держбюджетко; Д0СЛ!ДЯ01 Т9Ш N0195U016074 "Розробка та заетооуяання методу гряничних хнтвгралышх р!внянь до ршення пластин складно! форми". За допомогою розроблено! методики бу.яо розрахово дешлька яроготв шш-них моем в при тгооектуванк! ix у ХаркJвському Проетрянопроектг. Результата робота таком мокуть заатооовуватиоь ¡три розряхунках ттерекрить будинк!В та ibiskx споруд, элемент! в конструкт Й явтомоб!л!в t трактор!в та в багатьоz хяшх галузях.

Апробац1я робота.

Ооновн! результата даоортащйно! рсботн донов!дались та обго-зорюйались на наукових конференциях шхкладпч!з шляхо~буд1зкого факультету Харк!вського державного автсмобхлъно-шляхового техшчного университету (1995, 1996 p.p.), на розяириному 3aot;saEHi кафедри будлвко! тхавлш ХДАШТУ (1996 р.). В заворшеному виглядц диеор-тащйна робота обговорювалаеь на еешнар! в!дд!лу динам!ки та стi йксст! сущ льнах середовищ 1яетитуту м&ханиси HAH Украине (кергвник акадстк HAH Укра*ни Гузь О.М.) та OGMiaapi кафедри мпшост! машин Харк! вського Пол! тихккчного унгвероитету (кер!вник професор Львов ГЛ.)

Публ1кац11. По результатам дисертащt опубл!ковано 4 науков! рогата. Основкий ям!от роботи в!добракеяо в публ!кащях [ 1-4-1 •

Структура роботи. Дисерташйна робота склэдастьоя з вступу, •готирьох розд!Л!з, висновкгв та списку л!торатуси. Робота викяадена на 153 стор!нках, включавчи 34 рисунка та 12 табянць. Б1блюгра-ф!чний список hsj» чуя 140 назв.

Короткий 3id.cT роботи.

У зотуп: подано огляд публпсашй но тем! дисертащ", сформульо-вака мета роботи та вкзначено п шсце в ряд1 виконаних paHiine доел!дкень, в!дзначено актуальнють та новизну, теоретичне значения та практичну шннють робой:, а тзкок коротко викладавться ochobhî результата ! обгрунтовуеться îz дсстоыршсть. Сформульозаш поло-кенкя, що виносяться на захиет. Коротко подаеться smîct роботи за розд:лаш.

У петому розд!л! наведен! ochobei положения кяасично! теорп пластинок. За допомогсю теореми взашност' рсбст одержан: формули т2шу to-tos3îocsî сом!л!эно

w(ï) = Г[V (y)W(y,x) + ю (уЖу.х) - 6 (у)М(у.х) - w(y)V(y,x) îdS 4-

J П Ti n

Où , 1 v

к '

- |p(y)W(y,x)dfi + £ (q_Wciy,z) - Mc(y,x)vO, V x s Ra \aû 0 k = i "

a (X) = f[v (y)W (y,x) + m (y)ô (y,x)-6 (y)M (yfx)-w(y)V (y,x)îdS+

¡njnn T>J1 n n Tî

dû

roi

4 *— /

- fp(y)W iy.xjds + £ (q Wc(y,x) - ма(у,х)э w ), V Xe Й2\ЭЙ

J n С- n n ne

~ k= I

У.

За нев!доы! прийнят! прогиб w, кут повороту серединно! пло-¡цикк по нормзл! ô , нормальной згинаючий момент та узагальнена дерер! зукча сила v , шо д! ють в ц! й площиш.

Ядрами щи !ктегрзльних ггредставлень е фундаментальна розз'язки В раз! розрахуншв зусиль в пластики! на яку д:е статична нагрузка фундаментальна« риаенням, Е!дносно прогиб! в е функщя

W(y,x) = г2 InР / (80D), где г = |у - х| (3;

Для дянашчно! задач!

w(r) = ( н'15(Xr) - Н<15№5} (4)

8DX 0 0

де Н*п- функщя Ханкеля першого роду нульового порядку.

Приводиться вив!д фундаментального розв'язку для прогибу rrpii

динам?чному назаятакенш.

!ш! фундаментчьш розв'язки знаходятьоя як поэнлдов напрямку

нормал! та дотичшя.

У другому роздш еастосовуаться метод граничшх штегральних р{внян.ь до пластинок при статичному навантаженн!. Використовуючи оператори дифврэяцювання по нормалях до ( 3) знайдеш фунда-

ментальна розв'язки, проведено !х аналгз з точки зору особливоетей, коли х—> у:

а р-Хю» —9 о . 9(у,х) * г> 1т—> О,

М(у,х) ы 1гя» —> , 7(у,х) и г"' — ♦

^(У.х) К Г'1ш> 0 , &п(У,Х) * 1П2> —1 со, (?)

Мп(у,х) а .I1""1 —* да , Уп(У,Х) * -*

3 (5) мокна бачитя, що щи х—> у ?/{у,х), Э(у,х) и (у,х) не-перерви» , !1(у,х) и ма-оть 1нтегроват оосоливоет!. Ядра

У(у,х) 1 ^(у,х) маать с;гагулнрн!, а тпероипгулярш

осоСливост; . !нтеграли з сингулярпнма сеоблавостямя розглядзюгьоя як головш значгння по Кош, !нтргрзля з гтпэреингудярннми оеобли-ностями - як аднцевх застиг® по Ддамару.

Заетоеовуючи властивсет! "готвндаэл! я на грачищ записан! основн! р!вняння метода

1/Я - ,?/(\^п,х,аО! + е(тпЛ,Ы!) - МО ,х.д<Э) - +

+ , у х с зо

1/2 6а(х) = Ъп(чп,х,эй) * вп(тй,х,вО) - Мп(9п,х,^) - Уп(«,х,зй) +

+■ V? (р,Х,0) , V X С- ЭЙ

Анал1з основних крайових задач показав, що система (6) може 'грансформуватись в тнтегрэльш р! вняння Фрадгольмз першого роду, снягулярш або нов1?ь гшереиигулярш гнтегральш р!вняння.

Такоя з цьому роздтл! розглянуто рэгуляр! зап!ю !нтеграл!в а особливоотями. При розробш методики эастооовувались формула Гр1на та Гаусеа-Остроградського. При цьому ттеграли розглядаються з точки зору узагальнених функщ й.

Розглядаетьоя загальний випадок, що зуотр!чаеться не т!льки при застосувант методу граничних штегральних р!внянь до пластинок, але

й яри застосуваннх йэго до 1кш:х задач механхки дефсрмоьансгс твердого тхла, теорп пруяясст! та хншкх. В загальнсыу вкладку ядра граяпчних 1 нтегральнкх р!внянь з особдивоетями маить виг ляд

и . -А, ) •-£..)

—1-—г-1—}■ ■ ■■ <л -! = 1 2 Т)

г*

де 1,тпг0, ка2 та прийкакть значения незаяекко одне ыд одного. Одним 2 головнях результата цих доолхдкень е формула

31

А Г * 1 л \

—----.-!- I I >л (-хт) я —;—- — _1—я «л (V м г> Ч

ГТьТИк-з-гх-г^) j ЯуТ гТуУ"п''чу.^—

е

п

/„ _ ЧП1-2

—' .1 ---1(1-1)(у.-2,Г+п(т-1)(у,-2, ;2 й£,

+ г

I

9й

п

яка дозволяе регуляр: зувати 1нтэграли з особлквостями не 'лльки прл застосуванш метода граничнкх елементХЕ до пластин, a i для !шпк tí л та задач, so розв'язуиться цим методом. Тестов! приклада показують сшвпадения з вхдомими результатами.

У третьему розд!Л1 розглянуто застосування чиеельно! реал!заци дгетоду граничнкх хнтегральних рхвнянь - .метод граничнкх елементХЕ до розрахуккхв задач згингння пластинок в!д статичного кгвантзження.

Контур пластинки вй сод!лен2й на 1J криволхкейних граничних елемектхв SQ , Гранкця апроксимуеться прямол1Н!йними граничкими елеыектамк довапною 2Д зашеть ктшвсиишйних. Функцп w(x), 6 (z),

п п

к (х) к v (х) ххоепйш на кокноыу элемент!. Тодх интегральн!

п п ~

представления (б) аппроксимгрукться вхдноаеннямл

1/2 w(x ) = £ [v (у )W(x ,у. } + m (у, )в(х ,У ) - в (у. )М(х ,у, ) -

m n к га к n k m k n k е k

k = 1

К

- W(y, )Y(x ,y, )]dS -s- J- p(y)Wíy,x )d0 + E íes w ], v x e ñ

Я П) К ^ Jft " с с л

н

1/2 0 (х) = Е [v (у, )W (х ,у ) + m (у. )в (х ,у. ) -в (у. )lí (х ,у )-

п . ^ л к n го к п к п га к пкптк

к = 1

к

- Я(У, )7 (х ,у, )3dS + J" s(y)W (у,х )dQ + Г [q з w j, v x e O

ii n ni и л " -i ra "ene

íí

3o в матричшй форм; (8) маютъ еигляд

1/2 { ХА) = [ AJ { Х3} + [Вя] [ Р ] (9)

Set до с л i дейки , що розв'язують проблему згке-шня пластшск ме-здем граничних елеменпз застссовують чиоельнв 1нтегрування вздевж раничЕих элемент!в. Але це нэ е крапий розв'язок прсблеми. 3 рсбо-зх О.М.Гузя та В.В.Зозул! доведено, що при заотосуванн! дрямолш'й-IZ граничила елеменпв фундаментальна розв'язки мезкуть бутя прс:к-»гроваш аналиично. Застосовуючи систему координат, so поеднанз з )Ловекм граничним елементом, знайден* ш ан&лхтячвх вирази. líe дез яинвють б!льз ефективно розв*язуваяж систему (9). Ekohomíh «агак->го часу на складання система л!Шйних алгебра!чних р!внлнь при :зрахунках з застссузанням виразхв з анал!тично npotнтегрсваки:^! Ирами (фунд&уентзльнаш розв'язкзки) яорхэняно з традащйким кего-;?jí (за допомогою квадратурних формул !нтегрування) в 2 - 7 раз!з.

Такс:« знайдеш анад!ткчш розв'язки для зусиль у середин! плзс-зки.

Приводиться багато приклад! в, но стверджують ефектигшеть э.и тзчного 1Етегрування ropí зняво з традишонпм чиеельнпм (Дке. блицю 1,2 та рис.1з,2а,15,26). Розрахунок 1-обраэно! пластинки при bhohí рно-резпод!леним навантаяенн! теж показав точн! результата.

Нзщяшкш рогд!лу приводиться приклад розрахунку прогон;в итнего мосту (Рис. За,36), де зр!енюються результат!:, як! отри-ti! за дспомогов методу граничних елемент!з, эксперимента та енер-тичкего методу.

У четвертому розд!л! розглянуто розрахунок пластинок методом аничних елемекпз Б1д динамгчкого навантзкення. Постановлена зашчна задача з застссуванням перетворюзань Лапласа та Фур'е. При гсанш процее!в що установились застосозузоть перетворення Фур'е, з при пер.одичних коливаннях - ряди Фур'е. Ягсцо продеси перех!дя!, Zí застосовують перетворення Лапласа. Шлях розв'язку задач lüMíKH з викориотанням перетворювань Лапласа та Фур'е е найб!лыз ионалъним для багатьх проблем данашки.

Застосовуючи процедуру, цо сх!дна з розв'язком статично! задач!

Таблиця I

СХЕМА ТА ГРАНИН-HI УМОВИ число rs ТОЧКИ НЕВ1Д0М1 НА ГРАНИЦ1 At üw max

л w 1 ле ! дм j AV П

20 1 - ! П.9471 - 0.S13!3.29Î0.345

36 1 - 0.9S7 - 0.977 4.22 0.938

44 1 - 0.994 - 0.991 4-65 0.955

Рис. I б

Таблиц* 2

ЗХЕМА ТА ГРАНИЧ-Н1 УМОВИ ЧИСЛО гэ ТОЧКИ НЕВ1Д0М1 НА ГРАНИЦ1 Al. Avw

Aw А0 n ДМ n AV n

20 1 ü.9¿7 0.995 - - 4.17 0.936

2 - 0.937 —_ 0.817

36 1 0.980 0.998 - - 4.20 0.976

2 - 0.984 - 0.973

mrn^ 44 1 0.993 0.999 - - 4.46 0.983

? - 0.99? - 0.995

ш

1SSo iZZo L <85О i 1ZZO i 185°

........ ..I р р ✓ р р P

■■ J • ' I

Zoo

Ш

шшшшшшш

■I 2 3 4- ъ G ? 8 9

Рис. 3 а

ftcc. 3 б 14

звэйден! !нш! фундаментальна рилення, як! е лох!днями в!д (4). Ц! розв'язки розд1лен! на д1йст та уявн! чвстини цих фундаментальна розв *ЯЗК!3.

Проведений анал!з засв!дчив, що осоОливост! маемо лише в д1йсних чаетинах фундаментальних рипень:

»Яв(у,хД) = g^o га1пг + -¿Z + 0(г41пг),

MRe(y,хД) = + 21пг) + ?V) - -jf-d+v) + 0(r4lnr),

в^в(у,хД) = - -gjg-o + 2Im>) - -щГ - 0(г41пг), (10)

7"в(у,хД) = 0(г21пг),

4Пг2

8Яв(у,хД) - VHe(y,x,X) - w£e(y,x,X) = М^в(у,хД) - О,

де Z = In-5- + С - 1; 0 = 0.57721566 - пост!йна Ейлера.

Перш! члени у (10) це фундаментзльн! функци для задачт з ста-•гачнда навантаженнш. Bel особливое?!, що розглядалиея при ргшенш статично? задач! мае i данам!чна.

Для задач коливань пластинок записана система р!внянь методу граничних елемент!в, яка мае вигляд (9), аде вона шетить в 2 рази больше piвнянь, н!ж аналогична система для статично! задачи. На го-ловних елементах знайден! аналогично про!нтегрован! фундаментальн! р!шеяня та ix д!йсн! та уявн! частики. Такон знзйден! лрогнтегрован! фундаментальн! piшення та ix дШсн! та уявн! чаетини для елемьнттв, що знаходяться на одн!й прям! It з головним. Записан! 1нтегральн1 варззи для знаходаення зусиль в середин! пластини. Наведен! ядра цих 1ятегральних вираз!в.

Розглянуто приклада застоеування методу до розрахунктв пластинок при динам! чнем.у навантаженн!. Показано що навтть при невелик!й к!лькост! член!в ряд1В Бесселя 1-го роду, Макдональда та Неймана маемо точн! результата.

Прикладом роботи програми на компьютер! е побудовзн! просторов! граф!ки максимальних прогиб!в квадратно! пластини ио коротко за-KpimniHa по контуру (рис.4-7) при навантаменн! пергодичною силою 10 кН в серединi, що д!е з частотой и = 200 Гц (рис.4), и = 250 Гц (рис.5), И = 500 Гц (рис.6) та И = 600 Гц (рис.7)

Рис. 7 17

В цьому ж розд: Jit рогглянуто задачу власних коливань пластинок. При цьому заетосовуетьен пбркдна схема, що по'еднуе метода граничних та ск!нчеянкх елемент!в. Викориетовуються фундаментальн! функцП статично! задач! згинання пластин. В зв'язку з тим, що .для випадку статичного навантаженш маемо анал!тично ироютегроваш ц! функцгг, вибраяий метод розрахунку власних частот коливань пластинок е- ще ефектившшим.

Приклада розрахунк!в власних коливань доводить виеоку точшсть методу навггь при невелик!й китькоот! граничних елемент!в, що апроксимують контур пластинки -„■

В заключитй частин! дксертаци подаютьея в загальному виглядх ссновш результат« роОоти та виеновки, зроблеш на основ! отрмшних результат! в.

I. В дисерташйшй робот! розглянуто метод граничних !нтеграль-них р!внянь при розрахунках пластинок ptзномашthoj формя при Д1i статичних та динам!чних навантажгнь. При цьому:

1. Поставлена та розв'язана статична задача згинання пластин з заотосуванням ашштично про!нтегрованих вдовж граничних еле-мент!в фундаментальних розв'язк!в:

2. Розв'язана динамтчна задача з максимальном заотосуванням результатов ршення статично! задач? та аналогичном !нтегру-взнням фундаментальних фуякщй вздовк головних граничних еле-ментзв;

3. Розв'язана задача визначеня власних коливань пластинок;

4. Розроблена методика регуляр!зац!I !нтеграл!в, що мають особ-ливост! ptзноман! тних тип!в, що зустргчаються яри використаянт методу граничних iнтегральних р!внянь;

5- Рсзроблен! ефективн! алгоритма та программ для визначення нев!домих параметр!в нзпружено-деформованого стану всередин1 пластинки.

II. Основы результата роботи полягають в:

1. Одержан! основних р!внянь методу граничних iнтегральних piB-нянь та методу граничних елемент!в для пластинок при статичному та динам!чному навантаженн!;

2. Анал!з! основних крайових задач, що викикають при розра-

хунках пластин;

3. Знайден! аналгтично про1нтегроваш фундаментальш розв'язки для статично! та динамхчно! задач на головних елементах;

4. Розроблено ефективний метод регуляризац!! ! нтегралив, що мають особливост!, як! виникають при розрахунках методом граничних елемент!в, на основ! застосування формул Гр!нз та Гзусса-Остроградського;

5. Застосовуючи ефективн1 алгоритми та црограми одержан! чи-сельн! р!шення для статичних, динам!чних задач та задач визна-чення власних частот;

6. Досл!дженно напрузкено-деформований стан пластинки р!знома-штно! форми методом граничних !нтегральних р|внянь.

III. На основ! отриманкх результат!в зроблен! висновки та рекомендаци прикладного характеру:

1. Показано, що застосування анал!тично про!нтегрованих фундаментальна розв'язк1в для задач згинання пластинок б!лыа рационально ник традищйним методом з використанням чисельного 1нтегрувакня вздовж граничного елементу;

2. Показано, що застосування формул Грхна та Гаусса-Остроград-ського до обчислення !нтеграл!в3 ¡до мають особливост!, веде до 1х регуляризавд!. Застосування тако! методики регулярт защ} мо-же бути впроваджено до ишпс задач, що розв'язуються методом граничних елемент!в;

3- Показано, що максимально застосування при розв'язку динамхчно! задачи згинання пластин результат!в статично! задач! веде до б1льш легкого шляху рхгпення динам!чно! задачи з точки зору регулярг зац!I особливостей;

'4- Доведено, що вс! особливост! фундаментальних розв'язк1в зна-ходяться т!льки в !х д!йсн!й частин!;

5. Встановлено, що для пластинок просто! форми (випуклих мно-гокутник!в) достатньо 40 граничних елемент!в, .як! апроксимують границю.

Основний змют дисертащйно! роботи викладено в наступних працях :

1. 0 расчете пластин методом граничных интегральных уравнение/Доклады НАН Украины, N4, 1996, с.39-44. (Сшвавтор В.В.Зозуля);

2. О расчете пластин методом граничных елементов//Доклады НАН Украины, N12, 1996, с.60-67.(СШвавтор В.В.Зозуля);

3. Расчет пластин методом граничных едементов//Прикладная меха-ка, 1997.-33, N3.- с.79-83 (Сшвавтор В.В.Зозуля).

4. Трубы под насыпями автомобильных дорог. М., 1988.-52 с. (ОИ/ ЦБНТИ Минавтодора РСФСР; вып.6. Автомобильные дороги). (СШвавтори Лукин Н.П., Щуко С.А.)

bukin A.N. The development of a boundary integral equation method by for analysis of plates under static and dinamio loads. Dissertation for the Candidate of Physical and Mathematical Soiences Degree in Speciality 01.02.04 - meohanios of a deformable solid, S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev,1997.

Pour papers containing the investigation on the development of the boundary integral equation method to plates. The application of the boundary integral equation method for arbitrary shape plates under the statio and dynamical loading are considered.

Лукин A.H.• Развитие метода граничных интегральных уравнений при расчете пластинок на статическую и динамическую нагрузки. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Институт механики им. С.П.Тимошенко Национальной академии наук Украины, Киев, 1997-

Защищаются 4 научные работы, которые содержат исследования по развитию метода граничных интегральных элементов при расчете пластинок. Рассмотрено применение метода граничных интегральных уравнений. к пластинам произвольной формы при действии статической и динамической нагрузки.

Ключов! слова граничний елемент, граничне 1нтегральне р!вняння, фундаментальне р1шення5 1нтеграл з особлив!стю, власне знач!ння пластинки, д!йсна та уявна частини фундаментального рхшення.