Развитие метода конечных элементов применительно к задачам динамики пространственных стержневых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

<5=>

¿^ч ч Ни правах рукописи

УДК 539.3

Кузнецов Владислав Борисович

РАЗВИТИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ ДИНАМИКИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

(01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учений степени кандидата фюико-матемшпических наук

Мосиш 1997

Работа выполнена на хафедре сопротивления материалов Московского государственного технологического университета "СГАНКИН"

Научный руководитель:

доктор технических наук профессор Петров В.Б. Официальные оппоненты:

доктор фкэнко-матекатяческях наук профессор Бондарь B.C. доктор технических паук профессор Шапошников H.H.

Ведущая организация:

Московский физико-технический институт

Защата состоятся " " 1957 г, в час- яа заседай«:!

дисссртсцяовпого Совгта Д 063.68.01 Московского государственного института электроники и математика по адресу:

109028, Москиа, Б.Трсхсвятительскнй пер., 3/12

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ

Автореферат разослан " "

1997 г.

Ученый секретарь дпсссртг.цпонного Совета к.ф.-u .и. доцент

В.М.Яганоз

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Метод конечных элементов (МКЭ) является одннн из самых распространенных истодов расчета инженерных конструкций. Поскольку вычислительные затраты при использовании МКЭ возрастают пропорционально квадрату степеней свободы расчетной схемы конструкции, проблема уменьшения числа степеней свободы является одной из самых актуальных.

Для динамических задач эта проблема стоит особо остро, так как, во-первых,'

I

решение динамической задачи требует больше вычислительных затрат, чем решение статической задачи той же размерности, Н, во-вторых, проблема уменьшения размерности в динамической задаче намного сложнее, чем в статике. Уменьшение (неувеличснис) размерности конечно-элементной модели неизбежно приводит к увеличению (неуменьшению) погрешности последующего решения динамической задачи. Следовательно, прежде чем предпринимать какие-либо действия по уменьшении) (или не предпринимать по увеличению) размерности системы, необходимо вычислять возникающую при этом погрешность, чтобы объективно (алгоритмически) делать вывод о допустимости (целесообразности) этих действий.

Цел* исс.тдочииш. Цепь исследования состоит в разработке эффективных ' численных методов н издании на их основе экономичных алгоритмов решения динамических задач методом конечных элементов.

Научная нотлм. Научная новизна результатов исследования состоит в следующем:

- выведена зависимость динамической погрешности дискретизации от длины стержневого конечною -»пимента и на основании полученных соотношений разработан алгоритм автоматизированной разбивки "длинных" стержией на конечные элементы;

- получены рекуррентные соотношения квазистатического постепенного исключения внутренних степеней свободы с оценкой методической погрешности и на основании этих соотношений реализован оптимизированный алгоритм квазистатического редуцирования.

Достоверность рстрльгпапим. Достоверность научных положений и выводов работы обеспечивается строгны использованием классических концепций и адекватного математического аппарата; проверкой разработанных алгоритмов и программ расчета пя модельных и тестовых задачах; численным экспериментом по обоснованию сходимости н устойчивости численных процессов, используемых в разработанпыт алгоритмах.

Црахпиуискал значимость, Практическая значимость работы захпючается в создании универсального и эффективного с точки зрения вычислительных затрат сулсрэлементног" программного комплекса, реализующего полученные в работе теоретические результаты.

Atg&fWQiH__р<Фет»х „Основные результаты работы докладывались и

обсуждались но:

- научном семнпаре кафедры сопротивления материалов Московского ставкоииструментяльного института в 1988,1990 и 1993 г.г.;

• третьем всесоюзном семинаре по актуальным проблемам механики оболочек, Казань, КИСИ, 1988 г.;

• всесоюзной конференции по механике деформируемых сред, Ташкент, Узб. гос. ун-т, 1989 г.

ПубтквШЬ Основные результаты диссертационной работы отражены в 7 публикациях.

Ошукту^аял^амря^епя^ Диссертация состоит из предисловия, пяти глав, заключения и списка литературы из 73 наименований. Общий объем работы 75 страниц, включая 24 рисунка и I таблицу.

Краткое ссдгршпок работы

I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

Поскольку вычислительные затраты при использовании метода конечных элементов (МКЭ) возрастают пропорционально квадрату степеней свободы расчетной схемы конструкция, проблема уменьшения числа степеней свободы является одной из самых актуальных.

Дчя динамических задач проблема уменьшения размерности намного сложнее, чем в статике. Уменьшение размерности конечно-элементной модели

неизбежно приводит к увеличению погрешности последующею решения динамической задачи. Следовательно, прежде чей предпринимать какие-либо действия по уменьшению размерности системы, необходимо вычислять возникающую при этом погрешность, чтобы объективно (алгоритмически) делать вывод о допусгимости (целесообразности) этих действий.

О.Зенкевич и К.Морган классифицируют причины, обуславливающие погрешность приближснно1 о численного решения, следующим образом:

- погрешность дискретизации (иди аппроксимации) - погрешность, возникающая вследствие использования аппроксимация базисными функциями, приводящая к тому, что днффереицнальные уравнения н соответствующие им граничные условия удовлетворяются неточно;

- вычислительная погрешность - погрешность машинного округления;

• погрешность математической модели - погрешность, обусловленная тем, что выбранная для численного решения математическая модель лишь приближенно описывает физическое явление.

В настоящей главе диет«! краткий обзор исследований по анализу перечисленных погрешностей; отмечается, что при выйоде матриц масс большинство исследователей, как правило, базируется на предположения квазнстацнонарности кинематических процессов внутри конечного элемента; пря этоа не исследуются погрешности, возникающие вследствие этого предположения.

Далее приводится краткий обзор методов решения динамических задач большой размерности.

Для меюдов решении динамических задач большой размерности а последнее время используются методы редуцирования (исключения). В системе выделяют внутренние и внешние степени свободы. В методе суперэлементов (МСЭ) к внешним степеням свободы относятся те неизвестные, посредством которых супсрэлемеит связан с другими суперэлсыентами. Исключение из расчета внутренних неизвестных позволяет существенно сократить размерность задачи. Отмечено, что во всех методах редуцирования, как правило, остается открытым вопрос об оценке погрешности решений, получаемых игиии методами.

В исключение главы формулируется цель и приводится кратхое содержание всей работы.

2. АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОЙ ДИСКРЕГИЗАЦИИ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ

Во второй главе описан отличпый от стандартного вывод матриц масс стержневого конечного элемента, причем такой вывод позволил количественно оценить условия, при которых дифференциальное уравнение движения стержня иожно заменить на уравнение движения его конечно-элементного аналога. Fla базе этих количественных опенок построен алгоритм дискретизации "длинных" стержней конструкции.

Для ответа на поставленный вопрос выведем уравнепие движения стержневого конечного элемента

(О

кз точного уравнения движения стержня

л4 '

£^ + *<£Ji=o, u(ö,0=«>i('). u'(o.')=?«(0. •• (2)

& ä1

где sp~ вектор узловых перемещений стержневого конечного элемента (СКЭ); R - вектор узловых реакций СКЭ: и = и(х,г) - функция упругой ливни СКЭ, 8 попытаемся оценить погрешность, вносимую заменой (2) на (I).

Рассмотрим для примера только одну компоненту вектора перемещений - р2 (вертикальное перемещение левого узла СКЭ) (рве. I).

Рис I

Мок; и о показать, что ряд

и(х, (3)

,-с сГ

где (х) - решение задачи при функциях .удовлетворяющих ,4

^ к1= 0-, (0) = <(0)= (¿)= '<(0) = 0; (5)

<1х

I - 0 - статика;

/ = 1 - учет сил инерции от;

и//

I = 2 - учет сил ннерцин от —¿-(и,,—,

есть точное решение уравнения (2). Причем физический сиыся этого ряда заключается а том, что каждый последующий член ряда - это поправка, учитывающая инерционные силы, вызываемые именно той составляющей суммарного ускорения (точек стержня), которая обусловлена предыдущей составляющей движения. Так, например, 0-а члеп рзда вообще на учитывает сил кнерцни; 1-й вносит поправку, учитывающую силы инерция, обусловленные нулевым рядом и т.д.

Теперь, опустив иатеыатичесхне выкладки решения задач (4) и (5), определим игртикильную реакцию левого узла стерлсня, продифференцнрогаа (3):

Л-~ > ¿р+З), (5)

¿3 ' 35

12 13.4,

где ,— г X - члени матриц жесткости н масс соответственно;

1} 35

и(.0= 1-[сИ(х)~ соф)]; = «л(;е)];

£/(г), У(х) - функции Крылова; ю} - у -я собственная частота стержня.

М|т*по заметить, что в выражении (6) первые ¡два коэффациентп, стоящие перед /повыки перемещением и ускоренней, являются соответствующими членами ишестных матриц жесткости и масс стержня.

О кичилось, что, если разложить »¡(г) в ряд по собственным формам колебн.мЯ рассматриваемого стержня, то можно получить общее выражение дин функц»« ••'■',(*) при любом /, и следовательно точно решить поставленную задачу (С) н (7). Как видно из (7), к точном решения присутствуют все четные производные возмущения <р . Для любого численного решения необходимо ограничит;, число учитываемых членов ряда (3). Попробуем ограничиться двумя членами этою ряда и оценить погрешность, вызванную пренебрежением величины 6 в (6). Если предположить, что 14,Фи

</2>

при Vj

(8)

dt

{А - амплитуда перемещения; - верхний предел частотного спектра), т.е., чго ограничен спектр возмущен <р , то величину S можно оцепить сверху:

(¿1^44—f-т. <9)

L? о>*у 1 -a\lm] где ю, - 1-я собственная частота стержня.

Отнесен теперь maxi к порядку величины второго слагаемого в (6), предполагая, что порядок величины фа Аса] :

~ и =0.1з4-1—т. (10)

35 0

кснй':<ши б е (!0) характеризуй!" относительную погрешность, которая возникает нз-ла отбрасывать S в (6). Кале видно из (10), а зависит от огиошенн," верхнего предала чдстотпоГо даспазоно ?> и 1-й собетьенной частоты стержня.

Аналогичные илсыдкя дш: осрсяслсг.ая других узловых рс.шшн от этого с других уаиозш: перемещений приведут к общеизвестно.': зависиностп вектора узловых реаз;ций от векторов узлоаих перемещений н ускорений через матрицы жесткости н масс. Причеа в каждом случае выражение для погрешности выглядит

аналогично (10), а численный коэффициент принимает значение от 0.13 до 0.33. То есть погрешность матричной зависимости

Л - \К\<р-[Щ-!р (И)

характеризуется выражением (0.13 4

1

(12)

и>1 1 - а>1 / га'

Для проверки эыражения (12) был проведен чисденяыЙ зхьееримент, в которой определялись собствгшше частоты конструкции (рис. 2).

Ь"

К

Ркс.2

Кривая 1 (рис. 3) показывает погреизнесп., найденную экспериментально, а хрквие 2 л 3 - графики выражения (12) с р&злячничн читаемыми коэффициентами. Как видно из графикоа, резул^агы численного эксперимента доьчаточно близки мчественно и холнчсстветю к теоретическим аыгодям. Полученную зтмемиость можно венользовать, шшрамер, дня прмерки разбиелгн: длинномерною стержня иа конечные элементы или для обоснования выбора дгсннн скр.кнезию конечного элемента.

Рнс.З

1. АЛГОРИТМ КВАЗИСГАТИЧЕСКОГО РЕДУЦИРОВАНИЯ В третьей главе описывается копдеисация одной степени свободы некоторой системы. Точные формулы, соответствующие этой операции, представлены в виде бесконечного функционального ряда. Первые члены ряда соответствуют кваэистатяческому редуцированию или преобразованиям Гайана. Путем оценки сумы отброшенных членов ряда получена зависимость погрешности от исследуемого диапазона частот и парциальной частоты редуцируемой степени свободы, вносимой таким редуцированием. На основе этой зависимости построен алгоритм постепенного редуцирования, прогнозирующий я контролирующий методическую погрешность редуцирования.

Предположим, что составлена расчетная схема Для динамического расчета некоторой конструкции. Допустим, что некоторые узлы этой расчетной схемы выделены не потону, что необходимо знать их перемещения, а конструктивно, т.е. из-за ограничения числа типов конечных элементов. Исключение плн редуцирование таких узлов или степеней свободы уменьшает размерность матриц, сохраняя при этом полноту результатов решения.

В задачах статики известная формула редуцирования математически точна. В задачах динамики такое же редуцирование, называемое преобразованием Гайана, вносит методическую погрешность, обусловленную тем, что при выводе формул преобразования Ганапа влиянием силы инерции на движение исключаемой степени свободы пренебрегаете«. Эта глава диссертация посвящена количественной оценке такой погрешности. Для этого задача редуцирования решается сначала точно, а после этого отбрасываемая часть точного решения оценивается количественно. В реферате для упрощения выкладок не учтена матрица демпфирования и сделаны другие упрощающие предположения ве принципиального характера (в тексте диссертации вое вмютадкя приведены в полном объеме).

Рассмотрим систему уравнений движения некоторой расчетной слейы, Ь которой йз общего чпела степеней свободы N уже отредуцироовно N-3 .степеней свободы. Допусти у, что движение этой расчетной схемы описывается уровне КРЙЙ11

'"■'л - +

прячем (13) - уравнение движения ненсюпочевных степеней свободы (НСС); (14) -формула приведения нагруження на исключенные степени свободы (ИСС) к (HCC); (15) - уравнение движения ИСС. Здесь

Xg$ =[JI X1 '" " векТ0Р перемещений НСС;

pis =[/i h -/jf /s] - векторреакций НСС;

Xa = -".«м - вектор перемещений ЙСС;

РА = (/s»i fs*7 —/wf - вектор реакций ИСС; PR - вектор нагруження, приведенного к НСС;

= fА/я] =[w»yj, i,J- 1,2,—,S - редуппрованпые матрицы жесткости и масс;

[Cbs.a ]• Iмes,A J " матрицы приведения иагружения иа ИСС я НСС;

[Af4,fs] = [AΫJ|]r - патрицы вычисления перемещеннЗ ИСС по перемещениям НСС;

V^aaHM/uî ' матрицы учета иагружения па ИСС па перемещения ИСС. Попытаемся теперь из уравнения (13) исключить S -ю степень свободы. Для этого перепишем матрпчное уравнение (13) виде системы матричных уравпений

Ря + *\Ми\ Ра= [С„]ЛГ, +[C„J*,+lA/„]** +

fa +csxs g + tnsxs;

а(15)-ввнде

Можно убедится, что

. = I vf

с,^ cs) jfV

где

*=/s+(c«lFA +\Msa\ h ~[Css}xt X£

(16) (17)

(IS) (19)

есть точное решение (17).

Предположим теперь, что частотный спектр колебаний о1раинчен сверху некоторым значением а . Тогда сумму всех слагаемых ряда (19), содержащих производные выше второго порядка, можно оценить сверху и, предположив

3u> е| 0,(2)о = J"" I

d1J»

SÚ^'W (20)

Л1'

переписать точное уравнение (19) приближенно в виде

-'.V■ МА-.^.Л'*,/,, РА ,xs)± ы4.—гтт (21)

О, 1- /«Э|

Ktuc видно, потрешность (21) зависит только от верхней траницы частотною

диапазона ш , в коториь будет производиться динамический расчет, н от

отношения соответствующих исключаемой степени свободы диагональных членов

матриц жесткости и масс, т.е. как бы от локальной собственной частоты

вошючагмой пенсии свободы.

Предположим далее, чго отношение ш0 к ai¡ дил i'-ii c iciichu свободы

техово, что (21) выполняется с достаточной наперед заданной точностью. Тогда,

ссля преобразовать матрицы некоторый образом, например,

,1 т

с'---, /л' = - —; с с2

КЪ ] =]. í AÍ.Ú ] = Aiа ] + т 1СМ J.

[ Ai íj ] - - с 1Мsu J ml.VJ: <2¿>

ÍCkMOul • HW« ¡1 'Ы;

и так далее, ю вместо (13), (14) и (1S) можно использовать дня расчетd уравнения

А-4, =[сЬллУ*А + + [0**]*/ (23)

П -- Г* ♦[«-'¿.íafca pi, I-;

которые анало1И'шы исходным, во уравнение движения НСС имеет ни одну степень свободы меньше исходного. Относительная погрешность при энш

2

Wf¡

m' l-mj /<uf

Полученные теоретические результаты положены в основу следугогпего алторитма редуцирования:

- после составления нередуцироваппых исходных матриц выбирается стелен» свободы, для которой отношение диагональных членов т.>г.тряц пасс я жесткостп минимально, т.е. степень свободы, имеющая максимальную локальную собствеяную чистоту;

- зятем по формуле (24) вычисляется погрешность, возникающая прп •"гспочении эгой степени свободы, сравнивается с допускаемой в, если первая меньше второй, то эта степень свободы редуцируется по формуле (22);

посте редуцирования выбора шаг степени свободы в повыг преобразованных «атрицах повторяется до тех пор, пока хотя бы одна степень свободы имеет достаточно высокую собственную частоту.

После редуцирования решение осуществляется обычными методами.

В качестве тестового примера вычислялись частоты ообстсепяых колебячнй пространственно« стержневоя конструкции, расчетная схема которой вгатточаля я себя 114 степеней свободы. После редуцирования по приведенное алгоритму осталось 17 степеней свободы. Результаты решения дапн в таблице я сравниваются с точным решением (под точный решением понимаются рстультяты, полученные с помощью исходных нередуцированныи иатряц).

№ топа Точи. реш. Прнб. peffl. tü/cj, Погр.фах.% Погр.теор.

1 32.44 32.45 0.11 0.04 0.012

2 36.49 36.50 0.12 0.02 0.0! 5

3 П.0S 77.23 024 0.20 0.070

4 102 .OS 102.28 0.34 020 0.120

5 168.3 i ¡69.15 0.56 0.50 0.310

б 176.16 177.15 0.Í0 0.60 0.340

7 219.70 212.70 0.73 l.to 0.530

8 243.20 245.10 0,81 0.80 0.650

9 276.19 279.90 0.92 1.30 0.Б40

Бы» нроасдсн еще ряд численных экспериментов, результаты которых в такой же степени совпадали о теоретическими прогиоэами.

Алгоритм 1нко1 о редуцирования особенно актуален при динамических расчетах с использованием истоди суперэдсыептов.

4. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС РАСЧЬ'ГОВ МЕТОДОМ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ

Про1раииний комплекс состоит ю следующих объектно-ориеитироваинил программ:

С И ООО - формирование суперэлеиситов нулевого уровня;

Ь'ОООО - формирование суперэлеиситов ненулевого уровня;

БС'УОО - вычисление частот и форы собственных колебаний;

БСБОО - вычисление напряженпо-дефорыировашюго состояния конструкций при статической нш руженки;

£>СС00 - вычисление напряженно-деформированного состояния конструкций при гармоническом ьагружеиии;

оСЧУОО - вычисление напряжеино-дефораированного состояния конструкций ври цровзйольиои иафужении.

В этой главе дастся исчерпывающее описание следующих процессов:

- формировании суперэлемснтов расчетной иодели коиструкцнн;

- построения графи конструкции к идентификации суперэлемснтов;

- подготовки исходных данных;

- обрабсики результатов решешы задачи.

5. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ

В этой ышае приводятся результаты анализа динамических характеристик, а тикле и а.пря;ксино-дсформиро винного состояния при динамическом нагружеыин двух конкре сиых конструкций.

1. Для конструкции, являющейся рамой хлопкоуборочной машины ХВ11 и . изображенной на рис. 4, определены:

- часюгы и формы первых двенадцати тонов собственных колебаний (частоты в герцах - 16.5, 23.0, 30.6, 36.7, 44.1, 63А, 69.0, 73.8, 88.2, 105.8, 119.0, 123.1);

I'm- >

зависимости изменения от времени (при различных зякопях изменения внешней на1р>зт) узловых перемещений » интенсивности напряжений в элементах конструкции.

Проведенный апалт позволял дать ряд рекомендаций гак по улучшению прочпостных характеристик конструкции, так и по енпжгпню иегялпоемкости.

2. В качестве второго примера рассматривалось конструкции новпротной платформы, изображенная на рис. 5. Крепящиеся к ней агрегаты моделируются узловыми массами. Для расчета примепяяась суперэлемептная гт-т, .одгр-.кчгцая 7 суперэлемеитов.

В заданном заказчиком диапазоне частот найдены первые, три собственные частоты: 10.7, 15.3 и 23.39 гц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации разработаны н реализованы па ЭВМ экономичные с точки зрения вычислительных и времепных затрат алгоритмы решения динамических задач для пространственных стержневых систем с помощью метод» конечных элементов.

В процессе разработки этих алгоритмов получены следующие новые научные результаты:

- выведена зависимость динамической погрешности дисхрети;яции от длины стержневого конечного элемента и на основании полученных соотношений разработай алгоритм автоматизированной разбивки "длинных" стержней на конечные элементы;

- получены рекуррентные соотношения квазистатического н<.<тепеиногс исключения внутренних степеней свободы с оценкой методической погрешности и ня основании этих соотношений разработан оптимизированный алгоритм квязистятического редуцирования.

Путем сравнительного анализа, проверки па большой числе модельных и тестовых задач, обширных численных экспериментов по анализу сходимости и устойчивости чнеленных процессов, используемых в разработанных алгоритмах, обоснована достоверность этих алгоритмов и даны рекомендации по использованию их в практике расчетов.

Итог работы заключается в программной реализации разработанных истодов н алгоритмов решения динамических задач для стержневых систем и созданию соответствующего программного комплекса. Этот комплекс является весьма эффективным средством при теоретической отработке прочности широкого класса машин, аппаратов и сооружений.

Оаю&юе содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Исследование динамических характеристик системы "стенд-осиастка-нэдепие". Труды ГОНТИ № 1, Сер. 2, вып. 9, 1984, (3 с.) ( совместно с

B.М.Саинкковын, Э.Г.Скомороховым).

2. Аппроксимация точного решения дифференциального уравнения движения как способ получения матриц жесткости и масс стержневого элемента. В сб.: Расчеты элементов конструкций на прочность и жесткость. Под ред. В.И. Миченкова. М.: Мэсстошсии, 1985. С. 3-11 (совместно с СЛ.Заякиным).

3. Влияние изменения динамической массы стержневого элемента с увеличение« частоты возбуждения на погрешности расчета вынужденных колебаний конструкций методом конечных элементов. Труды ГОНТИ № 1, Сер. 2, вып. 9,1986, (б с.) ( совместно с ПЛ.Рязановым).

4. Выбор оптимальных размеров стержневых конечных элементов при динамических расчетах конструкций. В сб.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 198$. С. 180-195 (совместно с С.П.Заякииым).

5. Редуцирование степеней свободы и оценка погрешностей редуцирования при динамических расчетах методом конечных элементов. В сб.: Расчеты на срочность и жесткость. М.:' Мосстапкин, 1988. С. 68-74 (совместно с

C.П.Заякнным).

6. Метод супсрэлеыентов в задачах механики тонкостенных пространствен-, них конструкций// Актуальные проблемы механики ободочек: Тез. докл. 3 вссс. ссм. - Казань, КИСИ, 1988. С. 76 (совместно с С.П.Заякнным, АА.Цвелнхои, А.В.Чсканииим).

7. Метод суперэдементов в задачах статика И динамики пространственных конструкций// Механика деформируемых сред: Тез.. докл. всес. конф. - Ташкент, ФАН, 1989. С. 68 (совместно с С.П.Заякнным, АА.Цвелихом, А.В.Чеканниым). .