Развитие методов оптимизации и расчета на устойчивость упругих стержневых систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГБ ОД

1 Ьйй

На правах рукописи

Генаерлинг Иван Георгиевич

Развит ввтодов оптимизации и расчета на истойчивость упрцгвд стерекових сйстйй.

Специальность 01.02.04 - йвханика двфорхираеного

твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание дченой степени кандидата фиэико-иятеиатических наци.

Москва - 199В

Работа выполнена на кафедре "Математическое моделирование" Московского государственного института электроники и математики (технического университета).

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Найборода В.П,

Официальные оппонент»: доктор технических наук, профессор Мяченков В.И.

кандидат физико-математических наук Фомичев Ю.И.

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт механики Московского государственного университета (НИИ механики МГУ)

Защита состоится 1996г. в ^ час. на за-

седании диссертационного совета Д 063.6В.01 Московского государственного института электроники и математики (технического университета) по адресу:

109028, Москва, В.Вузовский пер., 3/12 • С диссертацией мояно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ,

27,.сА

Автореферат разослан "тЛ-"1996г.

Учений секретарь диссертационного совета

Ф К)

!

к.ф.-м.н. В.М, Яганов

0Б1АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Чтобы уяснить место задач, которые рассматриваются в данной работе, необходимо рассмотрть последовательность расчета стержневой конструкции. Расчет конструкции начинается с выбора расчетной схемы и нагрузок на нее. В то« числе дол1Ны бить назначены начальные местности элементов конструкции. Hie этот начальный этап вызывает затруднения, т.к. неизвестно, откуда брать начальные значения «есткостей. более того, в дальнейшее будет показано, что выбор начальных «есткостей существенно влияет на результат расчета. Таким образом, возникает первая проблема, которая обсумдается в данной работе - задание начальных местностей. После выбора расчетная счеты и задания нагрузок на нее производится расчет. По уравнениям катода конечных элементов находятся перемещения уэлпв и усилия в них. Зная усилия, можно подобрать сечения стершей с учетом ограничений по прочности, устойчивости и т.д. (т.е. найти минимальные размеры сечений, при которых эти ограничении ддовлвтво-ряптся). В болыинстве современных прогреми расчета сечении подбираотся поэлементно, что вызывает сомнения в правильности такого подбора. Дело в том. что в статически неопределимых систеках (а таковыми является больяинствс рассчитываемых конструкций) усилия в стержнях зависят от местностей других элементов, входящих г систему, а зти местности будут меняться при поэлементном подборе сечений. Реализуется эта проблема в следующей форме: по подобранным размерам сечений нетрудно определить конечные жесткости стершей, которые будут отличаться от начальных р иногда.весьма значительно. Возникает следувцая ситуация: В', сь статический расчет производился в предположении, что стермии имевт местности, равные начальным, а в итоге получается конструкция, жесткости элементов которой суцественно отличаются от начальных. Некорректность этой ситуации исчезает ливь в случав, когда начальные и конечные яесткости элементов конструкции мало различаются. Так возникает вторая проблема дня изучения - уменьменив разницы мемду начальными и конечными местностями. Поело пблкяения значений начальных и конечных местностей мы получим одно из многих допустимых репшний, Зт реиенир, вообчэ говоря, мпжно оптимизировать. Существует два яоэко*ш1х варианта оптимизации конструкции: либо попытаться

уменьшить ее кассу (вариант проектировании новой конструкции}, либо вскрыть возможности по догружении системы (вариант реконструкции). Для правильной математической постановки задачи оптимизации необходимы корректные формулировки критериев предельных состояний системы, какой бы метод решения мы не рассматривали. Одним из таких критериев является критерий предельного состояния стержня по устойчивости, при использовании которого возникает понятие расчетной (приведенной) длины. Боль-винство современных программ расчета выдавт заведомо неверные расчетные длины для некоторых стержней. Так возникает третья проблема - нахождение корректных значений расчетных длин. Все три вышеприведенные проблемы подробно рассмотрены в данной работе и для каждой даны свои рекомендации,

Целя диссертации:

- разработка и обоснование методики корректного определения расчетных длин сжатых элементов плоских стержневых конструкций, работавших в упругой области;

- выработка рекомендаций по оптимизации расчета стержневых систем;

- выработка рекомендаций по оптимальному заданию начальных жесткостей;

- разработка конкретной программной системы определения расчетных длин;

- разработка программной системы оптимизации распределения параметров сечений элементов стержневых систем.

Методы исследования: анализ и обобщение опыта; теория расчетов на устойчивость и оптимизации; сравнение результатов численного и аналитического анализа.

Научнцв новизну и практическую значимость работы составляит:

- уточнение существупцвй методики определения расчетных длин стержней;

- обоснование возможности использования итерационного метода в качестве метода оптимизации при использовании ограничений на гибкости сжатых элементов стержневой системы;

- предложение по использовании итерационного метода при речении вопроса о задании начальных жесткостей.

На защити выносятся следушцие положения:

1, Предлагаемая автором методика определения расчетных длин:

- позволяет определять корректные значения расчетных длин элементов системы;

- позволяет выявлять резервы несуцей способности по устойчивости элементов стержневой конструкции;

2. Итерационный метод, предлагаемый автором в качестве простого метода оптимизации:

- позволяет при наложении ограничений на гибкости входящих в стержневуп систему элементов быстро (часто за 3-4 итерации) находить оптимальное реввние;

- позволяет автоматически выбирать начальные жесткости элементов конструкции.

Достоверность результатов подтверждается совпадением результатов аналитических исследования с результатами численных расчетов.

Апробация работа. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции "Кеч Сожр^ег ТвсЬпо1ов1вВ 1п СопШ (Пэресдавяь-Залесский, 1995г.),

на Международном симпозиуме "Строительноз образование и информация" (Иосква, 1996 г.) и на XXII конференции "Гагаринскяв чтения" (Иосква, 1998 г.)

Разработанные автором методики алгоритмированы и доведены до программного продукта.

Пдйяикаця*. Основные результаты работы опубликованы в б печатных работах.

Структдра в объем джссортацяи. Диссертация состоит нз введения. трех глав и заклвчення. Содержание диссертации изложено на 136 страницах, включая 11 таблиц и 23 рисунка. Список использованной литературы вкличавт 49 названий.

- 6 -С0ДЕР1ЙННЕ РАБОТ»

Во введении изложены обоснование предмета и цели исследования, основные результаты, выносимые на защиту, и характеристика их научной новизны, практической значимости.

Первая глава "Критерии предельных состояний стержневых систем по устойчивости" посвяжена исследованию вопроса нахождения корректных значений расчетных длин.

Обосновывается прикладное значение расчетной (приведенной) длины, являицейся одним из результатов расчета конструкции на устойчивость. Подчеркивается важность задачи определения корректных значений расчетных д)тин элементов конструкции.

Отмечается, что расчетные длины могут использоваться двумя способами. Первая возможность состоит в использовании расчетных длин в проверочных расчетах. Это могут быть проверка устойчивости в плоскости рамы центрально сжатого стержня, проверка устойчивости при внецентрвкком сжатии и т.д. Вторая возможность - подбор сечений элементов конструкции. В * любом случае, в рассмотрении участвует аналитические формулировки критериев предельных состояний, в которые входят как геометрически» характеристики стержней, так и характеристик» нвпряженно-дюцорм»-рованного состояния системы. Такими характеристиками' НДС системы обычно выбирает расчетные усилия, ' которые является макси'-мальными усилиями в стержнях, выбранными из всех возможных сочетаний загружений. Эти расчетные усилия являются границей' сверху всех возможных усилий в стержнях и участвуют, практик чески, во всех проверках.

Производится сравнительный анализ традиционно применяемой в практике реального проектирования методики расчета на устойчивость, а также некоторых других методик. Анализ производится с использованием понятия области устойчивости, введенного П.Ф.Папкоричем в первой половине нашего века, а также с использованием простейшего модельного примера составного двухпролет-ного стержня.

Модельный составной птержрнь с жестко заделанным нижним концом и свободным верхним сжат силами Р^, приложенной к свободному концу, и Г^, приложенной к прг.*ме*уточному сечения. Пусть, для общности, верхняя и нижняя части стержня имеют разные жесткости на изгиб .(см. рнг.1) ЕЗд и ЕЗ-. соответственно. В этих

условиях характеристическое уравнение для определения критической нагрузки связывает две неизвестные величины Р<и РЭта связь задает на фазовой плоскости усилий в стержнях кривув, которая в терминологии П.Ф.Папковича называется пограничной кривой, или границей области устойчивости.

Необходимость получения из характеристического уравнения некой характеристики, которую можно было бы назвать критической, приводит к идее однопараметрического нагружвния. Вводятся соот-ножения Р,: к Р°, к р£> гДв Р^ и некая начальная точка,

из которой производится догружение, и предполагается, что все нагрузки меняется пропорционально одному параметру к. Тогда становится возможным определение из характеристического уравнения критического значения параметра к (при >1 конструкция устойчива, при к < 1 - неустойчива).

В соответствии с определением области устойчивости, лвбая точка, лежачая внутри этой области, соответствует такому сочетание усилий в элементах системы, которое не приводит к потере устойчивости системы в цело«. Соответственно, любая точка граница области устойчивости соответствует критическому состояния системы. Производимый сравнительный анализ методик определения расчетных длин за счет малого количества варьируемых параметров (усилий в элементах составного стержня) допускает наглядное представление в виде графиков на фазовой плоскости усилий (см. рис,2). Пропорциональное догружение системы соответствует на этом графике лучу СА, а потеря устойчивости - точке А. Показано, что за счет выбора разных начальных точек, специфика выбора которых не оговаривается анализируемым« методиками, имеется возможность попадания практически в лвбув точку граничной кривой. Полученные таким образом усилия в стержнях объявляптез критическими, и по ним определяйся величины расчетных длин.

По определенно, расчетная длина - ято длина фиктивного стершие с варнирными концами, для которого продольное сяимавчве усилив в рассматриваемом элементе конструкции является критическим, при всех остальных совпадавших характеристиках. Классифицировано несколько типов стержней (случаи Эйлера), для которых критические нагрузки и расчотныо длины определятся аналитически. Зто становится возможным лижь для простейжих случаев краевых закреплений. Очевидно, что реальная рамная конструкция представляет собой совокупность -упруго сочлененных стержней,

- е -

граничные условия которых нелинейно меняются с возрастанием вневнвй нагрузки. В этой ситуации расчетная длина, или ее коэффициент, является величинами, характеризуемый краевые условия отдельных стержней. Заметим также, что зти краевые условия су-явственно зависят от действуюцих в конструкции усилий. Действительно, изменение усилия хотя бы в одном элементе системы приводит к изменению НДС системы в целом и, как следствие, к изменении свойств упругих сочленений стершей и, следовательно, краевых условий отдельных стершей.

Как уве отмечалось выве, при поэлементной проверке или поэлементном подборе сечений в некоторые предельные соотновения помимо расчетных усилий входит «и расчетная длина проверяемого элемента, которая характеризует его граничные условия. В силу сделанного выве замечания о зависимости условий краевых закреплений отдельного стерта от действующих в остальных элементах усилий, возникает предложение искать расчетную длину стервня в предположении, что в остальных стержнях действует расчетные усилия.

Технически эта процедура осуществляется следующим образом (см. рис,2): из состояния, соответствующего расчетным усилиям в системе (точка С на рис.2), производится догружение одного из стержней (второго на рис.1). В момент, когда конструкция достигает критического состояния (точка С^на рис.2), определяется расчетная длина догруваемого стержня. Затем догружение производится и для второго элемента системы (луч СС^ на рис.2).

В общем случае рассмотрения произвольной стержневой системы описанный ' выше процесс догружения производится по-очереди для всех стержней системы.

В заключение первой главы рассмотрены сравнительные примеры расчетов по предложенной и традиционной методикам расчета на устойчивость.

Вторая глава "Оптимизация распределения жесткостей сечейий элементов стериневых конструкций" посвящена изучении двух вопросов: задаче оптимизации параметров сечений элементов стержневых конструкций и задаче задания начальных жесткостей элементов ноне трукшш,

Рассматриваемый тип задач оптимизации - параметрическая оптимизация - предполагает оч^ртгиши конструкции известными. Пере-

пенными являются параметры элементов - местности, размеры сечений, тип сечений и т.д. Задачей является нахождение оптимальной по массе конструкции, способной нести заданные вневнив нагрузки.

Изучаются вопросы линейности/нелинейности ограничений и целевой функции, выпуклости/вогнутости допустимой области параметров оптимизаций, количества локальных и глобальных экстремумов, возможность наличия нескольких глобальных оптимумов и т.д. Для исследования этих вопросов рассматривается простейшая модельная задача, допускающая аналитическое ревение, на примере которой выявляются основняе сложности, возникающие в процессе оптимизации параметров сечений.

Рассматривается система, изображенная на рис.3.

Она состоит из горизонтального стержня, жестко заделанного левым концом, и вертикального стержня с гарниром в низнем конце, соединенных шарниром. В узле 2 на систему действует вертиг кально приложенная сила Р. Все параметры, кроме Б^ и 52 . площадей сечений стервней, заданы. Это длины стержней ]< и ¿^я модуль Инга Е материала, из которого изготовлены стержни. Предполагается, что стержни сделаны из одного изотропного материала, и они работает в упругой области. Для простоты считается, что форма сечения - прямоугольник со сторонами а и Ь, и а = 2Ь, с больжей жесткостью сечения в плоскости изгиба.

Варьируемые параметры: и . Функция цели здесь -объем. И, наконец, действуют ограничения, возникающие из условий неотрицательности размеров сечений и из предельных соотношений для первого и второго стермнвй по прочности. Для упрощения задачи считается, что за счет выбора конструктивных элементов в плоскости рассчитываемой рамы устойчивость 2-го стержня обеспечена, т.е. предельное соотноввние по устойчивости 2-го стержня исключается из рассмотрения, • .

Послр достаточно сложных преобразований получается. ' что область допустимых значений параметров оптимизации имввт вид, изображенный на рис,4.

Выводится соотножение, связывающее параметры конструкции , Р, ¿т, при выполнении которого имеется два глобальных оптимума в точках В и С (см. рис.4). Показано, что точка А не является даже локальным оптимумом в рассматриваемой постановке задачи.

- п -

На основании проведенного исследования вида области допустимых значений параметров оптимизации, делаятся выводы по использование универсальных методов оптимизация. В качестве подобного универсального метода предлагается итерационный метод.

Суть этого метода состоит в следующем. По заданным исходным данным производится расчет и определяется' напряженно-деформированное состояние конструкции. По подъемным характеристикам НДС подбираются размеры сечений, что, а е&ов очередь, позволяет определить жесткости стержней. Эти жесткости используются в качестве исходных для следующей итерацт», и итерационный цикл повторяется.

Для простоты анализа итерационного метода для описанного модельного примера Г-образной рам» несколько изменяется алгоритм расчета. В качестве исходных данют* задаются не начальные жесткости элементов, а начальное распределение нагрузки Р между горизонтальным и вертикаль»«» стержнями: = к Р . «гг. = « « - к > Р . где к - числовой коэффи^еот ( 0 < к < I ), задающий исходное распределение. Дале? гда заданному распределению реакций в стержнях производятся подбор сечений, затем вычисляются реакции в стержнях,. к„ наконец, отыскивается коэффициент к окончательного ра^прв-делен»» усилий между стержнями. На этом цикл расчета эа»ам»«|»а<е1!(!я.

Дальнейший- анализ позволяет эывести аналитическое выражение к ¿г к< ), описыващее изменение коэффициента к в последовательных итерациях. Использование этого выражения позволяет, в свою очередь, определить значения к, при которых итерационный процесс сходится, т.е. к Ц , найти точку неустойчивой сходимости итерационного процесса, а также подробно исследовать вопросы связанные со сходимостью итерационного процесса.

В подтверждение результатов, полученных аналитическим путем приводятся результаты расчетов, полученных численными методами.

В заключение второй главы рассматривается вопрос задания начальных местностей. Приводится алгоритм расчета, использую^вго итерационный метод, и позволявшего снять проблему задания начальных жесткостей.

Третья глава посвящена программной реализации разработанных в первых двух главах подходов к определению корректных значений

расчетных длин и к оптимизации расчета параметров сечений .стальных стержневых конструкций.

Описывается программа РЙДЛИН, выполненная на базе пакета прикладных программ РШ, В то ме время, программа РАДЯИН является самостоятельным программным продуктом.

Рассматривается программная реализация итерационного метода оптимизации параметров сечений, а также реализация автоматического оптимального задания начальных местностей.

Для каждой из рассматриваемых программ приведены примеры расчетов.

выводи па РАБОТЕ

Проведенные в первой главе на примере модельного примера исследований области устойчивости равновесных состояний позволяв сделать следуодив выводы:

1. Показано, что традиционно применяемый в практике реального проектирований вариант теории устойчивости позволяет ответить лижь на один вопрос, является ли данная конструкция устойчивой под действием заданных нагрузок, и не дает дополнительной информации о резервах несущей способности отдельных элементов по устойчивости.

2. Приведенный в работе алгоритм, уточняющий существувщув методику, позволяет:

- определять корректные значения расчетных длин, правильность которых может бнть проверена в рамках традиционной методики:

- вскрывать резервы несущей способности конструкции и оптимизировать ее;

3. Приведенный в работе алгоритм позволяет учитывать эффект 'зависимости расчетных длин от нагрузок, приложенных к системе, что выгодно отличает его от традиционной методики и от других алгоритмов расчета.

Проведенные во второй главе на примере модельного примера исследования задачи оптимизации параметров рамы по массе позволяют сделать следувгле выводы:

4. Область допустимых значений параметров оптимизация, о качестве которых выбраны площади стержней, ыоает быть как выпуклой, так и вогнутой.

5. Возможно существование нескольких локальных олтимумоэ.

6. При некоторых сочетаниях параметров возмояно существование двух конструктивно разных глобальных оптимуыов.

7. Равнскадеянля конструкция не всегда оптимальна и иногда не соответствует даае локальному оптимуму,

'8..При Фиксированной геометрии конструкции и характере нагру-жения положение глобального оптимума мояет зависеть от величины расчетной нагрузки.

Ка основании исследований итерационного процесса, проведенных во второй главе, можно сделать следующие выводы:

9. В качестве метода оптимизации рекомендуется использовать итерационный метод в том виде, в котором он был описан в данной работе,

10. Во избежание вырождения конструкции рекомендуется в качестве одного из предельных соотновений учитывать ограничения по гибкостям элементов конструкции.

11. Итерационный процесс при наличии нескольких локальных оп-тимумов да^т один из них, не обязательно глобальный.

12. Область допустимых значений параметров оптимизации линией раздела делится на подобласти, какдая иэ которых соответствует своему вполне определенному локальному или глобальному оптимуму, к которому сходится итерационный процесс в случае попадания начальной точки в указанную подобласть.

13. В соответствии с выводами 11 и 12, рекомендуется производить несколько 'оптимизационных расчетов с разными начальными точками.

14. Скорость сходимости итерационного процесса существенно зависит от начальной точки; в том случае, когда начальная точка не лежит в окрестности линии раздела, итерационный процесс сходится очень быстро (менее 10 итераций); в том же случае, когда точка лежит на линии раздела (или близко к ней), количество итераций, необходимых для нахождения оптимума, существенно возрастает.

15. Сходимость процесса также существенно зависит от выпук-

- и -

лости функции кА< 1ц); количество итераций, необходимых для нахождения решения, существенно возрастает, если указанная функция слабо выпукла,

16. В соответствии с выводами 14 и 15, в случае медленной сходимости итерационного процесса рекомендуется попробовать несколько других начальных точек; если скорость сходимости не улучшилась и для других начальных точек, рекомендуется отказаться от использования данного метода оптимизации,

17. В окрестности оптимума (локального или глобального) целевая функция для вирокого класса конструкций изменяется незначительно, поэтому выход из итерационного цикла по условию малости изменения целевой функции в последовательных итерациях может привести к току, что в качестве оптимума будет- выдана точка, которая не является для данной задачи даже локальным оптимумом.

13. В соответствии с выводом 1?, в качестве условия выхода из итерационного цикла не рекомендуется исполь:свать условие малости изменений целевой функции в последовательных итерациях. Одним из возможных решений является использование малости изменения подбираемых жесткостей стержней в последовательных итерациях.

На основании проведенных во второй главе исследований по вопросу задания начальных жесткостей можно сделать следующие выводы:

19. В качестве рабочего алгоритма определения начальных жест-костей рекомендуется использовать алгоритм, приведении!» в данной работе.

20. Для снижения затрат времени на подбор начальных жест-костей рекомендуется Бее расчеты производить на упрокншом сортаменте.

Рассмотренные в третьей главе описания программ ГЛИЙ-РК и РЙДЛИН позволяют сделать следующие выводи:

21. Приведенные описания программ Р!Ш-РК и РЯДЛИН и результаты расчетов с поаощъв этих программ показывают, что разработанная методика и программы лр.едставлявт собой надежный и удобный инструмент расчета стержневых конструкций.

22. Программа РЙДЛИН предлагает как возмоянос7ь расчета на обчуо устойчивость по традиционной методике, так и возможность определения физически корректных значений расчетной длины для лвбого стержня системы по новой методике, рассмотренной в первой главе.

23. Программа РЙМЙ-РК позволяет производить оптимизационный расчет с использованием итерационного метода, подробно рассмотренного во второй главе.

Основное содераанме диссертации опубликовано в следув^их работах:

1. Геммерлпиг И.Г. Оптимизация параметров стержневых" конструкций в системах автоматизации проектирования. -ЙВИИПРО. И. -дел. в ВИНИТИ: N2077-B93, 1993.

2. Геммерлинг И,Г.- Исследование области устойчивых равновесных состояний стержневых систем. -ЙВИНПРО. К. -деп, в ВИНИТИ: Hi26-В94, 1994.

3. Геммерлинг Г.Й., •Гвммврлинг И.Г. Определение расчетных длин сжатых элементов. // Нилицное строительство, -1995. - Н5. -с.13-16,

4. С.Й.НепшвгИлв, 1,С.НеввегИп0 The Quality Control of the Multielenent Structure Design // Proc. of Int. dorkshop "New Computer Technologies in Control Systens,.. -Pereslavl-Zalessky, flugust 13-19, 1995, Russia.. flbstracts" Pereslavl-Zalessky, Control. Processes Research Center of . Рговгаи Systens Institute of RflS, 1995. -

5. Геммерлинг И.Г. Лабораторный практикум в электронном учебнике ЛЕКУР-РК // Нат. межд, симп, "Строительное образование и информатизация", -М., 1996.

6. Геммерлинг И.Г. Итерационный процесс для реиения задач параметрической оптимизации стержневых систем '. // Мат. XXII конференции "Гагарински8 чтения", -П., ^1998.

Подпасано к печати 22.02.96 Зак21 Tapait 80 экэ. Объём I п.л.

ШШ,Москва, М.Пионерская ул.,12