Развитие методов расчета напряженно-деформированного состояния породного массива с выработками тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.07 ВАК РФ
|
Шутов, Валерий Алексеевич
АВТОР
|
||||
|
доктора технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Новосибирск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1993
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
?ГБ ОД
1 о ЛПР V
ПР 'г4'
РОССИЙСКАЯ АКАДЕИКЯ НАУК
Сибирское отделение ИНСТИТУТ ГОРНОГО ДЕЛА
На правах рукописи
ШУТОВ Валерий Алексеевич
УДК 622.831
РАЗВИТИЕ методов РАСЧЕТА НиШРЯХЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОРОДНОГО МАССИВА С ВЫРАБОТКАМИ
Специальность: 01.02.07 - "Механика сыпучих тел, грунтов и горных пород"
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук
Новосиб-,!рск - 15'
Работа выполнена в Институте горного дела СО РАН и Новосибирском архитектурном институте.
^Научный консультант: академик РАН М.В. Курленя.
Официальные оппоненты: академик РАН, доктор физико-математических наук Ю.И. Шокин; доктор технических наук Г.И. Кулаков; доктор технических наук В.В. Власенко.
Ведущая организация - Кузбасский государственный технический университет.
Защита диссертации состоится "21 " ^ 1995 г.
в часов на заседании специализированного совета Л 003.17.01 при Институте горного дела СО РАН (630091, Новосибирск, Красный проспект, 54).
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИГД СО РАН Автореферат разослан " 16" (А-лрта. 1995 р.
Ученый секретарь специализированного совета, доктор технических наук,
профессор
у /д Чайковский
- 3 -
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность проблемы. Горнодобывающие отрасли промышленности пимают в народном хозяйстве страны одно из важнейших мест по ей роли в общественном производстве, экономической значимости ¡оциадьным факторам. Их дальнейшее развитие связано со все настающими запросами практики освоения и эксплуатации ыесто-дений полезных ископаемых на больших глубинах со сложными гор-геологическими условиями, сопровождаемой активизацией горного ления и снижением эффективности ведения подземных работ, и дъявляет требования по разработке новых методов расчета направо- деформированного состояния (НДС) породного массива в ок-тности полостей как основы практических рекомендаций в опреде-ии параметров технологии, отвечающей геомеханическим условиям ения очистных работ. Сюда же следует отнести и проблемы строи-ьства подземных сооружений с целью создания промышленных объ-ов или мест захоронения отходов производства. Применение любой технологии добычи полезных ископаемых пред-агает нарушение естественных горно-геологических условий мес-садения. Происходящее при этом перераспределение горного дав-ия является причиной потери устойчивости вменяющего выработку сива пород. Для предсказания поведения массива пород с вкра-ками и выбора соответствующей технологии ведения горных работ бходим анализ его НДС, определение которого является одной из овных задач геомеханики.
Вопросы управления горным давлением следует рассматривать на ом научном, техническом и технологическом уровнях. Создание одов расчета НДС около полостей в массиве пород управляющего начения для систематизированных классов задач геомеханического зпечения технологий разработки предполагает оперативное прог-ирование и управление геомеханическими процессами в забоях, авление согласованным развитием очистных забоев в группе плас-с применением зффе::та разгрузки от горного давления и дости-яе высокой концентрации горных работ, расширение применения тодогий ведения очт. -¡х работ.
Все это предопределяет дальнейшее р;-сиг.Т7^ лроСдемы сандалия и аналитических методов рег<еш<я задач м^ - глки гот ныч пород тел с произвольной формой гра'ншу. учитывающих, арл необходи-ги. перепад давления по высот? ^¡работю-. и отвечав чих условию
единообразия при формулировке, составлении разрешающих уравнений и их численной реализации.
Актуальность разработки новых методов, обусловленную необходимость» решения прикладных задач с учетом реальной геометрии контура выработки и без жестких кинемати еских ограничений на характер деформирования массива пород, имеет вполне реальную базу для реализации, основу которой составл ю? с одной стороны опыт организации классических методов, а с друг ой - достаточно высокий уровень развития аппарата теории интеграл>ыгх уравнений и современные достижения в области численных методов математики.. Такие методы, в сочетании с апробированными ревультатами исследований, позволяют значительно увеличить число поддающихся решению прикладных задач механики горных пород, оценить степень точности имеющихся приближенных решений, создать методологию построения новых моделей кусочно-однородных массивов пород содержащих выработю при различных условиях взаимодействия по гракяцам раздела.
Диссертационная работа, посвященная созданию новых методот решения задач геомеханики, выполнена в соответствии с плановым! научными исследованиями ИГД СО РАН и НАрхИ:
-"Разработка теоретических основ прогнозирования горного давления в угольных шахтах" ( № гос. регистрации 81081328 , 1981- 198? гг.);
-"Программа Сибирского отделения РАН "Сибирь"(1986 -1994 гг.).
-"Изучение процессов деформирования и разрушения горных пород 1 сыпучих материалов при статическом и динамическом нагруженная" 0 гос. регистрации -01860072595, 1991-1995 гг.);
-"Создание новых методов расчета деформирования пород околс подземных сооружений как основы прогноза их устойчивости" пс программе Госкомитета Российской Федерации по высшзму образовали "Архитектура и строительство" (1993 -1995 гг.).
Цель диссертационной работы в развитии теоретических осно] исследования процессов деформирования и создании новых методе) математического моделирования напряженно-деформированного состояния массива пород с выработками на- базе классической теории упругости, разработке численных процедур их реализации, призвании; обеспечить надежность прогноза проявлений горного давления.
Идея работы заключается в применении соотношений связи гра ничных значений НДС к решению прикладных задач горного дела и необходимости учета в аналитических исследованиях данных натурны:
«зпериментов; в возмснсс п. рзПиения исходной области массива эрод на подобласти, обесп .-ччщего стандартность подходов при хтановке, составлении уравнений и численной реали-
зции основных задач прое~;,\ ¡ствевной механики горных пород.
Задачи исследований:
- получить зависимости, опреу яющие связь граничных значений 30 для изолированных и взаимовг. чих выработок;
- учет линейности исходного гт. напряжений в задачах механи-л горных пород;
- разработка теоретически V. \ аналитико-экспериментального етода восстановления НДС около г>ьр. оток;
- в построении модели деформире ния массива пород в окрест-эсти выработки;
- разработка метода решения трехмерных задач геомеханики при эделировании различвых элементов техж логии ведения очистных ра-от.
Методы исследований предполагали . .. плексный подход к решению оставленных задач и включали: анализ ь юпериментальных и теоре-ических результатов исследований физических процессов в породном ассиве, применение аппарата математический теории упругости, терли интегральных уравнений и теории аяь, итических функций, вы-ислительной математики и ЭВМ при реаяиз? дай численных методов ешения.
Научные положения, представленные к вашчте:
- связь между напряжениями и смещениям1.' точек границы произ-ольных двумерных областей в форме зачюг/. . системы интегральных равнений:
- модель деформирования массива пород . выработкой с учетом инейности исходного поля напряжений;
- новая модель деформирования областей с трещиной и угловыми очками контура выработки, позволяющая получи > определенное всю-у решение;
- интегральные уравнения переопределениях ла участке контура раничных задач как основа нового направлен . аналитико-экспе-иментальных методах геомеханики;
- метод решения пространственных зад.т; т.. ики горных пород ля кусочно-однородных массивов с выработкам.
Достоверность научных положений диссертации г.- дтверждается:
- непротиворечивостью теоретических выкладок . эи выводе новых
уравнений;
- строгостью применения существующих разработок математик кой теории упругости, теории аналитических функций и интеграль уравнений, современных численных методов;
- корректной постановкой модельных задач, проведением тес вых расчетов и соответствием полученных результатов аналитичес и приближенным численным решениям других авторов;
- качественным соответствием результатов расчетов основ закономерностям физических процессов (деформирования) в масс пород с выработками, проявляющимися в трещинообразовании, выва пород, оседаниях дневной поверхности, отжиме угольного пласт др.;
- теоретическим анализом результатов исследований проявлю горного давления и сопоставлением их с данными других автор* подтверждающими точность и эффективность предложенных методов;
- включением результатов исследований в практические реком( дации плановых работ ИГД СО РАН.
Научная новиана работы заключается:
- в- выводе системы интегральных уравнений, позволяющих ощ делять напряженно-деформированное состояние точек контура вырас ток без предварительного поиска комплексных потенциалов в облас (массиве);
- в разработке метода решения двумерных задач в линейном пс напряжений нетронутого массива, отличающегося от известных уче! такой- физической особенности породного массива, как перепад да ления по высоте выработки;
г в соэдашм метода решения плоских задач для произвольн областей, отличительной чертой которого является единообраз подхода к формулировке и поиску граничных значений НДС как д внутренних, так и внешних задач без дополнительной процедуры п иска контрольных решений с последующим переходом в массив;
- в получении разрешающих уравнений и разработке на их ба метода реиения двумерных задач, отличительной чертой которого я: ляется переопределенность граничных условий на части контура в] работки;
- в создании модели деформирования массива пород в окрестное ти угловых точек й трещин, позволяющей, в рамках линейной теор! упругости, получать физически реальное, всюду определенное реш< ние;
- в разработке метода решения пространственных задач геомеханики, базирующегося на полученном в работе решении второй основной задачи теории упругости для полупространства в квадратурах и допускающего единообразные постановку и решение всех трех основных задач для кусочно-однородного массива, содержащего выработки;
_ в создании численных процедур и получении решений ряда модельных задач трехмерной механики горных пород (заглубленная выработка, отработка уступай целика, взаимовлияющие выработки, НДС кровли незаглубленной выработки и др.).
Практическая полезность диссертации состоит в разработке пригодных для решения практических задач методов математического моделирования и анализа напряженно-деформированного состояния породного массива в окрестности выработок, применение которых позволяет, существенно расширить как сэм круг, так и возможности решения плоских и пространственных задач механики горных пород за счет обусловленных методами различных вариантов их формулировки и наработанных алгоритмов и пакетов программ их численной реализации для современных ЭВМ.
Полученные данные расчетов модельных задач указывают на возможность их приложения в качестве исходной информации в геомеханических службах контроля состояния массива пород и обосновании новых технологий ведения очистных работ, для прогнозирования устойчивости подземных выработок и бортов карьеров, оптимального планирования последовательности отработки полезного ископаемого с учетом реального характера горного давления.
Личный вклад автора состоит в построении физических моделей задач геомеханики, выводе разрешающих систем уравнений, разработке алгоритмов и создании пакетов программ их численной реализации, теоретическом обобщении и обосновании всех защищаемых положений.
Постановка рассматриваемых в работе проблем, вывод общей системы граничных интегральных уравнений плоской задачи механики горных пород и получение решения в квадратурах второй основной задачи теории упругости для полупространства осуществлены совместно с академиком РАН, д.т.н. М.В.Курленей и д.т.н. В.Е.Мирен-ковым.
Реализация работы. Основные результаты исследований в виде разработанных принципов и методов решения задач механики горного дела, алгоритмов и пакетов программ их численной реализации внед-
рены в Институте горного дела СО РАН при создании геомеханическиэ основ управления горным давлением, наши применение при проведении геомеханического анализа состояния выработок на шахтах "Красный углекоп" АООТ "Прокопьевскуголь", "Тайбинская" АООТ "Кисе-левскуголь", рудниках "Берикульский" и "Веселый" АООТ "Запсибзо-лото".
Полученные теоретические результаты и конкретные расчеты нашли применение в учебном процессе Новосибирской государственной академии строительства им. В.В.Куйбышева при подготовке студентоЕ специальностей "Промышленное и гражданское строительство", "Гидротехнические сооружения", вошли в методические указания "Плоская задача теории упругости в полярных координатах.- Новосибирск : НИСИ,- 1989".
Апробация работы. Отдельные положения и разделы, по мере выполнения, доложены: на 4 Всесоюзном семинаре "Взаимодействие механизированных крепей с боковыми породами" (Новосибирск, 1984); на семинаре "Управление развитием горных работ при подземной разработке рудных месторождений" (Новосибирск, 1987); на 1 Всесоюзном семинаре "Проблемы разработки полезных ископаемых в условиях высокогорья" (Фрунзе, 1987); на научно-технических конференциях профессорского-преподавательского состава Новосибирского инженерно-строительного института (Новосибирск, 1982 - 1993); на Всесоюзном семинаре "Технология разработки мощных угольных пластов" (Новосибирск, 1988); на 6 Всесоюзном семинаре "Взаимодействие механизированных крепей с боковыми породами" (Новосибирск, 1988); на 6 Всесоюзном семинаре "Аналитические методы и применение ЭВМ в мехаяике горных пород" (Новосибирск, 1991); на 10 Международной конференции по механике горных пород (Москва, 1993); на 8 Международной конференции по механике разрушения материалов (Киев, 1993); на межкафедральном семинаре " Проблемы теоретической и прикладной механики" НГАС (Новосибирск, 1994); на расширенном семинаре отдела механики деформируемого твердого тела ИГ СО РАН (Новосибирск, 1994); на семинаре ИТПМ СО РАН (Новосибирск, 1995).
Публикации. По теме диссертации опубликовано более 25 печатных трудов, включая монографию.
Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, списка литературы из 197 наименований и содержит 357 страниц, включая 125 рисунков и приложение.
Автор выражает искреннюю признательность и благодарность ака-
(емику РАН М.В.Курлене и д. т.н. В. Е.Миренкову за внимание й систематическую псмощь в процессе выполнения работы, к.ф.-м.н. Хан 'ил Наму и другим коллегам за содействие в процессе проведения меленной реализации ряда задач.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В геомеханике одним из основных предметов исследования являйся напряженно-деформированное состояние породного массива с высотками, моделируемого пространством или полупространством с юлаблениями самой различной' геометрии.
Значительный вклад в развитие геомеханики и различных ее раз-1елов, связанных с соверкенствсванием расчетных схем и методами к реализации, разработкой новых геомеханических моделей сред, (боснованием параметров технологии подземной разработки, имеют яботы Ш.М.Айталиева, И.Т.Айтматова, Б.З.Амусина, И.В.Баклашова, '.Н.Варенблатта, С.А.Батугина, А.Ф.Булата, Н.С.Булычева, Б.В.Вла-¡енко, Н.П.Влоха, В.А.Гоголина, Г.И.Грицко, А.Н.Гузя, А.Н.Динни-а, Н.Г.Дубинина, П.В.Егорова, Ж.С.Ержанова, Л.В.Ершова, А.С.Кос-юдамианского, С.В.Кузнецова, Г.И.Кулакова, М.В.Курлени, Ю.В.Ле-ина, Ю.М.Либермана, A.M. Линькова, В.Е.Миренкова, С.Г.Михлина, |.В.Немировского, В.С.Никифоровского,.В.Н.Опарина, Ю.Н.Подильчу-а, В.Н.Потураева, Н.М.Проскурякова, А.Г.Протосени, А.Ф.Ревужен-о, Ю.А.Рыжкова, А.Н.Ставрогина, Б.А.Теодоровича, К.И.Трубецкого, Ф.Трумбачева, С.А.Христиановича, В.К.Цветкова, О.И.Чернова, .Я.Шермана, Е.И.Шемякина, Ю.И.Шокина и др.
Как и у многих из перечисленных авторов, работа базируется на пругой модели массива пород, чему существует достаточно основа-ий и, в частности, такое, что даже разрушенная его часть практи-ески всегда окружена упругой.
До сих пор не реализованы значительные возможности приложен/? механике горных пород результатов исследований плоских задач еории упругости, приведенных, например, в монографиях Ф.Л.Гахо-а, Л.В.Ершова, А.С.Космодашанского, М.В.Курлени и В.Е.Миренко-а, С.Г.Михлина, Н.Ф.Морозова, Н.И.Мусхелишвили, В.З.Партона и .М.Морозова, Н.М.Петухова и A.M.Линькова, А.И.Лурье, В.С.НикиФо-овского, Г.Н.Савина, Я.С.Уфдянда, Г.П.Черепанова и др. Значи-ельным этапом развития механики горных пород в двумерной- поста-овке является приложение метода Колосова - Мусхелшввили, отме-енного появляением большого количества хотя и частных, но имею-их прикладное значение, решений.
Ряд интересных, с точки зрения практических приложений, задач механики горных пород было решено параллельно методом конечных разностей и методом конечных элементов, благодаря относительной простоте и доступности для прикладников и существенного их теоретического обоснования.
Значительный вклад в развитие представлений о распределении напряжений и смещений массива около выработок внесли исследования, проведенные с помощью методов граничных интегральных уравнений, основы которых заложены з трудах Ф.Д.Гахова , В.Д.Купрадзе, С.Г.Михлина, Н.И.Мусхелишвили, Д.И.Шермана и др. В отечественной науке начало интенсивного применения метода граничных интегральных уравнений для численного решения задач механики твердого деформируемого тела связано с именами А.Я.Александрова, Ю.В.Верюжс-кого, В.М.Зиновьева, Ю.Д.Копейкина, П.И.Перлина, Ю.И.Соловьева, Е.М.Шафаренко и др.
Для областей с достаточно сложной (неклассической) геометрией решение задач с помощью указанных методов встречается с основной проблемой, заключающейся в формальной реализации с приемлемой в практических расчетах точностью, которая значительно усложняется при необходимости рассмотрения их в трехмерной постановке. Различные аспекты этой проблемы рассмотрены, в частности, в монографиях А.Я.Александрова, Б.М.Зиновьева; И.И.Воровича, В.М.Александрова, В.А.Бабешко, А.Е.Андрейкив ; В.Т.Гринченко, А.Ф.Улитко; А.С.Космодамианского, В.А.Шалдырвзна; В.А.Купрадзе, Т.Г.Чечелия, М. 0. Вааедей'^ьили, Т.В.Бурчуладзе; А.И.Лурье ; В.З.Партона, П.И.Перлина , Г.Я.Попова ; Г.Н.Положьего ; Г.П.Черепанова и др.
Но, даже при наличии законченных разработок аналитических подходов к решению тех или иных задач, встает проблема их применения, обусловленная относительной сложностью математического аппарата и величиной усилий инженера-прикладника при его освоении. И в этой связи можно отметить общее требование к создаваемым методам - наличие определенного единообразия при постановке и решении всех трех основных задач механики горных пород.
Многообразие специфических свойств массива пород с выработками практически исключает возможность постановки и решения задач геомеханики адекватными действительным условиям. Существующие подходы к решению проблем, ввиду ограниченности ресурсов исследования (количество и качество экспериментальных данных, математический аппарат, уровень развития вычислительной техники и т.п.),
базируясь при построении моделей сред и расчетных схем на достаточно жесткие предпслолення, значительно идеализируя реальные условия, не всегда приводят к результатам, приемлемым в практических приложениях. В; зтой связи особенно отчетлива задача создания новых методов, позволяющих выйти на более высокий уровень решения основной задачи механики горных пород - прогноз НДС массива, его изменение и управление этим состоянием в процессе отработкг. месторождений полезного ископаемого.
Сложность проблемы предъявляет к новым методам определенные требования. Они должны заключать в себе возможности уже суз^ству-ющих фундаментальных решений механики твердого деформируемого тела (задачи для полуплоскости и плоскости с эллиптическим отверстием и разрегом, пространстве и полупространстве и т.д.) при создании новых подходов к исследованию задач для тел с реальной (неклассической) геометрией. Вывод новых уравнений призван расширить аналитические возможности изучения физико-механических процессов, происходящих в массиве пород, дать толчок построению отличных от существующих методов и теоретических обобщений, создать новые классы задач, более полно учитывать имеющиеся данные натурных га-меров и лабораторных экспериментов, а в ряде случаев обосновать особые требования к их сбору и достоверности.
Наряду с теоретической-значимостью новые методы призваны ти в себе возможности эффективного практического применения, предполагающие, в частности, доступность их освоения, направленность для решения определенных классов задач, характеризуемою стандартностью постановок, способов построения новых уравнений и численных процедур реализации.
Бее перечисленные выше требования в той ми иной мере учтены при написании диссертации, посвященной созданию новых методе! расчета напряженно-деформированного состояния массива порол в окрестности горных выработок. Являющиеся при этом базовыми новые интегральные уравнения позволили как сохранить общеизвестны? достоинства существующих МГИУ и отличающихся рациональностью и значительными возможностями применения при моделировании физических гроцессов в массиве пород, так и расширить класс решаемых задач ]; возможность их теоретического анализа.
работе изложен вариант метода грашчннх интегральных уравнении. в основу которого положена полу ¡енная в комплексной форме замкнутая система интегральных уравнени;1, опгеделэдая в двуыер-
ном случае связь нейду граничными значениями усилий и перемещений точек контура произвольного односвазного и многосвязного массива пород. Для случая односвязной области Б, ограниченной контуром Г, эти уравнения имеют вид
1 г
± КО©) + 2ц-га0)3 +--
I
га) + 2ц-га)
г - 1С
<м »о,
± [х-Г(Ио) - 2ц-£(Ьо)1 +
-•I
Ш £
гг^а) - 2ц-да)
<31
(1)
где
1 р £ ~
= — (Г ^ 2ц-е) (1-,
Я1 £ I - ^
t
га> = + »¡.| (хп + 1-Уп) сзз,
УГ..УП- компоненты внешнего напряжения в точке Ь контура Г; га) = = и + 1-v; - компоненты смещения; а » 3-4у - в случае плоской деформации; ц = Е[2(1+у)]-1; - модуль Юнга и коэффициент Пуассона. В сочетаниях "±" знак "+" отвечает случаю конечного тела, знак "-'* - области, содержащей бесконечно удаленную точку. При этсм нет необходимости в определении комплексных потенциалов ¡р(2), (г), описывающих решение всюду в массиве с последующим переходом на границу. В основе вывода замкнутой системы приведенных уравнений лежит уравнение Н.И.Мусхелишвили, позволяющее получать решения некоторых частных задач при определенных комбинациях граничных условий. При этом вахну» роль имело предполояение о существовании одних и тех ке голоморфных в Э функций 5>(г), <Кг), определяющих решение первой и второй основных задач теории упругости с учетом связи бх + бу = 4Ке<р' (г). Переход в область осу-цествляется стандартно - посредством интеграла Коши.
К сссбенкссгл;,; об сужаемой системы уравнений следует отнести, в частности: непосредстьенную возможность определения напряженно-деформированного состояния на контуре Еыработки без необходимости нахождения <? (г), 4> (г), чего зачастую достаточно при решении ттиклапных яяпяи- елинообпазие подхода к формулировке и решению
в
всех трех основных задач механики горных пород, открывавшее перспективу математического моделирования широкого круга прикладных задач- возможность рассмотрения уравнений в качестве условий совместности гранича значений напряженно-деформированного состоя-гл я в л еле; приведенные примеры точных решений ряда классических й^дач подтверждают обшдость и простоту реализации дачных уравнений. Так. например, рассмотрены случаи деформирования плоскости с .■¿¿-.тематическга разрезом и полуплоскости. При этом, практически г- громоздких ькладок удается получить напряженно- дефсрмиро-т? • стояние на берегах разреза, а в случае полуплоскости -„-•••'исать •раничш- лаченкя компонент напл-иолпй через смещения и ..• Ч5орот Последние совяея£я>? с резервен, приведенным Н.И.Мусхе-для разреза, а с изггстккм реаепаем первой и второй ос~ ных адач теории упругости для полуплоскости после перехода па .; ;шицу
Приь>,- ены результаты численной реализации рассматриваемых уравнении в задаче определения смешений точек контура пслост:* ¡задратного сечения методом последовательных прибджений. Срамгс-■!ие приближенного г -аченяа численного реяеюя с результатами решений до их авторов. пояучеших жшм! мгтодгш, показало ;;х лрактиче'. кое совпадение
Однол из основных особенностей математического моделпровага? -.1 • ига горнах пород с зир'^откели является предположение сб од-неро; • ости целя напряжений, вносимого на бесконечность. Однако. кг экспериментальных дан:шх хорово изззетно, что исходи.-'» иа:;ря-гсенное состояние .-- массиве пород ведеззетса с удаление:< с? • -ной поверхности на значительинх участках макет быть йзв .г- ..'ы-ровано линейной сввисимостью от глубины. В диссертации р'-л'^'^г-'---на модель, позволяющая учитывать линейность поля яапрягс -- ; роыутого массива перед при анализе устойчивости подзем;«', ток.
Идея метода учета, например, линейности поля иапряяадгл: "ел -роиутого массива базируется на ограниченности деформационных вое-усшостей массива парод с удалением о? выработки, харзгсклягу??-
щейся наличием линии, перемещения точек которой равны кглк Лаг-, ленке этой линии определяется в процессе рвения задачи ¡V. лательними приближениями.
Разработай алгоритм последовательных ерн&гак&кий си;.«'.- г.ч..-ли П2ярг.т1но-Д(.;'~"д!провзиного состояния, составлена программа его
численной реализации» приведены результаты расчетов для заглубленных и незаглубленных выработок, показано существенное влияние линейности исходного поля напряжений и бокового распора на характер проявления горного давления. Предложена интерпретация линий максимальных и минимальных значений всех кошонент напряжений и смещений, позволяющая анализировать начальные стадии процесса разрушения.
В ходе математического моделирования физичесгаи процессов, происходящих в массиве пород, ослабленном выработками, необходимо иметь определенное всюду реаение для оценки и прогноза его напряженно- деформированного состояния. Особый интерес представляют области, примыкающие к угловым точкам контуров выработок или трещин.
В работе значительное внимание уделено анализу классических решений задач для тел, содержащих бесконечно удаленную точку. Это, в частности, задача Фламана о действии сосредоточенной силы на границу упругой полуплоскости, решения для прямолинейных разрезов и клиньев. Проведен анализ имеющихся аналитических решений и их асимптотических представлений в окрестности верзины трещины. Отмечены известные факты противоречий имеющихся решений исходным положениям теории упругости (бесконечность напряжений -л деформаций в угловой точке и. как следствие, эффект проникновения материала в материал, отсутствие предельных значений решения при стремлении к угловой точке л т.п.). Показана некорректность формулировок рассматриваемых r.-адач в рамках линейной теории упругости, следствием которой и япяется проявление указанных противоречий. На оснозе анализа математической стороны получения сингулярных решений в ¡ела- пиеской интерпретации предложен метод решения задач для клйнобкдг-ч областей, позволяющей строить приближенное, ограниченное ре^ние в рамках теории малых деформаций.
Идею метода построения ограниченного всюду решения,для выработки с контуром, содержащим угловые точки, можно проиллюстрировать на примере плоскости, ослабленной квадратным отверстием, для которого граничные условия сформулированы в виде постоянных нормальных- напряжений on = 6,j const и равных нулю касательных. В сил*' симметрии деформирования поставленная задача эквивалентна ел¿дующей: в абсолютно жесткую матрицу втягивается без трения усилиями бо область G, представляющая собой четверть плоскости с квадратным отверстием (рис.1). Однако здесь угловая точка А уже
свободна, то есть отсутствует жесткое кинематическое ограничение на ее перемещение, являющееся следствием классической постановки задачи и порождающее сингулярность напряжений и деформаций (проникновение материала в материал) . Фактически имеем некий аналог контактной задачи типа Герца, но с более сложной постановкой, не встречаемой в практике теории упругости. Стоит задача - описать эти реальные смещения, по возможност; не выходя за рамки аппарата малых деформаций.
Окрестность устья трещины -математического разреза можно рассматривать как частный случай клиновидной области, но здесь простота конфигурации позволяет, как известно, получить аналитическое сингулярное решение. Определяемая при этом форма деформирования берегов разреза дает возможность выписать в явном виде горизонтальную составляющую граничных усилий, которая при формулировке задачи не предполагалась, но препятствует смещению вершины. Условие нейтрализации указанной составляющей внешних сил позволяет приближенно оценить как величину смещения устья трещины, так и распределение конечных напряжений в ее окрестности.
Для частного случая симметричного деформирования клиновидной области с углом « = 270° в рамках рассматриваемой модели получена система уравнений в виде
со со
2(х-а) л 2 |<
р(х)--Di(t,x)p(t)dt--D2(t,x)q(t)dt = fi(x),
я J Я J
Рис.1.
Схема деформирования четверти плоскости с квадратным отверстием
(2)
2 (х-а)2
q(x)--jD3(t,x)pCt)dt -
2 (х-а) я
jD4(t,x)gCt)dL = f г.(х),
где Di(t.x) и fi(x), f2(x) - известные ядра и функции граничных
1.93
условий; р(х), д(х) - нормальное и касательное напряжения на продолжении граней клина. В предположении, что рассматриваемая клиновидная область является частью симметрично деформируемой плоскости с квадратным отверстием (2ах2а), получены, распределения
опорного давления (р) и касательного напряжения (ч) для различных сочетаний граничных условий на контуре моделируемой выработки. На рис.2 приведены результаты расчета для граничных условий бп = б0= 1, Тп = 0.
Сложные горно-геологическая и горно-техническая обстановки существенно усложняют решение основной задачи механики горных пород - прогнозирование проявлений горного давления. Выбор модели разрабатываемого массива пород и следующий за ним этап математического описания происходящих в нем механических процессов во многом зависят от качества экспериментальных данных по замерам напряжений или смещений и их интерпретации. В работе не ставилось задачи конкретной реализации того или иного варианта экспериментально-аналитического подхода к решению указанной проблемы, а рассмотрены лишь вопросы, решение которых, как представляется, открывает новые возмолшости математического моделирования напряженно-деформированного состояния массива пород с полостями. Исходными в рассматриваемом методе являются соотношения (1), которые для случая полуплоскости эквивалентны следующим двум парам действительных уравнений
а-Ь-1-10
Рис.2. Распределение р, а
1 г Тг + 2Ц.У
I
+ Зци---| —-— сЛ. = О,
Ь - х
1 л + 2ци
+ + — -сЛ. = О,
% 1-х
1 г з£г - 2цл/
- 2ци + - -<И = О,
ж 0 1-х
1 л - 2ди
а£г - 2цу---<Л = О ,
тс и 1-х
из которых получены
1 р с!Ь Р Р(т) Р(х) + -=- - -- с1т = ^(х).
я2 ^ 1-х •> Х-1
|Ц>а |-с|>а
1 г <И Р О(т)
0(х) + -х- - —— Л « Р2(х),
кг <> Ь-х •> х-Ь
|Ъ|>а \х\>а
(5)
где Р(х) = бу(х), Ц(х) = тХу(х) на |хра; Р1(х), Рг(х)- известные функции, зависящие от бу, тху, и, V на части границы полуплоскости |х|<а.
Таким образом, появилась возможность сформулировать, в частности, такую задачу: на прямолинейном участке контура неподкреп-яенной выработки у=0, |х|<а известны все четыре компоненты нор-'лальных и касательных напряжений и смещений (60 ,т0 ,и0 ).
требуется определить распределение Р(х) - опорного давления и тХу(х) ьа у=0, |х|>а (рис.3). В диссертации приведен вариант алгоритма численной реализации уравнений (.&; на примерах конкретных задач, рассмотрены результаты расчетов, получены аналитические решения (5) ряде за;) а1 , позволяющие оценить степень /очн- с ?и Рис.з. расчетная схема соответствующих приближенн:'< рп' э-
ний.
Рассмотрен метод решения пространственных задач механики гор-;ых пород для кусочно-однородных массивов с выработками, базирую-[ийся на известном решении второй основной задачи теории упругое-и для полупространства в виде комбинаций гармонических функций.
предложенном Буссинеском, форма Папковича-Нейбера которого имеет вид
со
3
Ш ГкСк^асШсМп , (1 = 1,2,3), (6)
-га
где 1к - граничные значения смещений ик соответственно в направлении осей координат хк (к=1,2,3), В><1- известные ядра.
Получены соотношения, определяющие деформированное и напряженное состояние упругого, однородного полупространства (г>0):
00
3
Мх.у.г) Дгпи.л)Кп1С1ьс1ц , (7)
-00 СО
3
2) яп£г Л^п^тои, ий&ъ . (В)
-<х>
где 1,3=1,2,3; КП1 = КП1(х,у,2;*,т>), Ьп. и = Ьп< 1з(х,у,2;£.,г0 -известные ядра, в частности:
Кц = Ь - ш0212, Li.ii = пь(14 + 2Цз + гЦг) - п0(Ц + т021в)
ii = 2312А"3, 12 = 2яСА2-3(х-е.)2г5, иг = 6я(х-£,)(А2-522)А~7,
А = [(х-02+(у-т02+22]1/г, т0 = (Х+ц)/(Х+Зц), По = (Х+2д)А-1,
А, К - постоянные Ламе. Переход к границе 2=0 приводит к
и хIX.у,о) = ^(х.у), 1 = 1,2,3, (9)
17 2 °° 6>э(х,у) ^Ьки ,-- + Л ГкЬк, и^Л (10
-со
о
где Ьк, _- ксни'хат-и; Ьк. и- известные ядра; п « 1,2.
Уравнения (7)-(10) полностью описывают напряженно-деформированное состояние полупространства через заданные на его границе 2=0 три компоненты смещения ;>.. Решение основных задач механики Горных пород сводится либо к вычислению интеграле!.. входящих в
(7),(8),(10), если граничные условия сформулированы в виде (9), шбо к поиску решения системы интегро-дифференциальных уравнений относительно Гк, которые не определены при постановке.
Приведенные зависимости позволяют развить метод решения широ-<ого класса задач, возникающих в практике ведения горных работ. К таковым, в частности, можно отнести задачи для клиновидных массивов и их комбинаций из различных по свойствам однородных сред; выработок, ограниченных плоскими гранями; заглубленных, в общем случае взаимовлияюшда, выработок; междупластья или слоя, выделяемого из массива пород и призванного моделировать кровлю незаглуб-яенных выработок и т.д. Так, например, продолжая все стороны заглубленной полости, ограниченной п плоскими гранями, до бесконечности, выделяются п полупространств. Переходя последовательно от к-го полупространства к (к+1) (к=1,2,...,п), можно получить ряд соотношений, связывающих функции и!.к для точек, являющихся дополнением областей с заданными граничными условиями до (п) плоскостей. Требование выполнения граничных условий и условий сопряжения приводит к системе уравнений для определения £Чк-
В работе подробно изложен вывод новых интегральных уравнений задачи для плоских трещин, моделирующих очистные выработки. Важное значение имеет факт непосредственного оперирования компонентами смещений (7) выделяемых полупространств, а не скачками смещений на разрезе и, как следствие, прямое определение физических величин 1" а не некоторых плотностей, через которые уже потом можно определить граничные значения смещений. На количество выработок, лежащих в одном пласте, и форму их контуров ограничений не накладывается.
Единообразие подхода при рассмотрении всех трех основных задач позволяет не только изучать наиболее интересные, приведенные в работе задачи механики горных пород, но и легко обобщать наработанные подходы для решения новых и контролировать создание оригинальных моделей. Так, например, поверхности скольжения можно моделировать разрезами, задавая на них те или иные граничные условия, соответствующие наблюдаемому деформированию, и т.п.
Если система заглубленных выработок находится в одном пласте, то, моделируя породы почвы и кровли двумя полупространствами, получим расчетную схему , приведенную на рис.4., где й = Йх + Й2 + +...+ Иг, - область, занимаемая разрезами (выработками) в плоскости 2 = 0. Полагая в общем случае упругие свойства поппл ..
почвы различными, на берегах Я можно сформулировать граничные условия
2 [ -\
Е1.У1 © \
^ Й1 «2 Йп х(у)
Чк. 1(х,у), Гк. 1(х,у), Рк. 1(Х,У).
(И)
отвечающие основным задачам Рис.4. Расчетная схема массива механики горных пород И, в
пород с выработками
частности:
б2.к^к1 *кэ;Ек, Vk) = Рк.1(х,У)
"Схг.
"Суг, к(£к1 ,?к2, ?кЗ;Ек, v¡0 = Гкл(х,У)
Х,У е ЙА , к = 1,2 , (12) 1=1,2,...,11,
где значения к=1,2 означают принадлежность к породам кровли или почвы. Вне Я (в области контакта полупространств) формируются условия сцепления (сопряжения), например, в виде
бг. 1(£П,£32>{13;Е1>Ч1) = бг.2^21»Г22,Г23;Е2^2)
•Схг.1(*иД12Д13;Е1.У1) = Ткг.2^21»Г22,^23• Ей• Х.уё й (13) tyz.lCfn.fl2.fl3iEl.Vi) = Ху2,1(Г21.Г22^23;Ег.^2)
}
Очевидно, что, если граничные условия на контуре выработок сформулированы в смещениях, то система (13) решает задачу определения (1 = 1,2,3; к» 1,2).
Так, в одном из частных случаев, который однако содержит в себе все наиболее характерные особенности рассматриваемого метода, полагая Е1 = Ег = Е, VI = ^2 = V,
т-хг (х.у.О) = Я(х,у), Хуг (Х,у,0) = г(х,у), б2 (х,у,0) = р(х,у), для х,у£бО (1=1,2), вызывающие симметричное относительно 2=0 деформирование, то есть хх2(х,у,0)=0, Ту2(х,у,0)=0, >»(х,у,0)=0 для х,у вне й, система уравнений (12) имеет вид
[Х-1М
(Х+2ц)1 (х,у) + — Г2(Х,У)1 + (21Г2)"1 (Ио-1)(Х+
<- бХ ЙУ -1
а
"эу
+ 2ц) JJ f3fe.11)l6(x,y;£,,T))dsdn = p(x,y),
-co
is 00 ц j(l-mo) -fs(x.y)--9-ff fiC&.n)Cl6(x,y;e.n)H
I ex 4irJJ
о "fe f p о
+ mol2(x.y;^.D)3d£.dn - —^^—JJ f2fe.11) 1з(х»УЛлОс^Ы
-co /
I q(x,y), (x,y e f2)
(14)
[ 0 , (x.yefl),
] Э mo pp О
U i (1-mo)-f3(x,y)--H fife.n)l3(x,y;£..ii)d^ -
Зу 4Л JJ
V. —CO
аз
-00
f Г(х,у), (x.yefl)
[ 0 , (x,y i 8).
о
це In - In(x.y,o;e,.Ti) - известные функции.
Уравнения (14) решают задачу определения смещений fj. Восста-звление напряжений и смещений в пространстве осуществляется по эрмулам (8), (7).
Следует подчеркнуть при этом: напряженно-деформированное сос->яние макет быть определено в точках поверхности выработки, в •личие от стандартного метода граничных интегральных уравнений, >гда более или менее достоверные результаты можно получить лишь i некотором удалении от граница.
Существенно, что рассматриваемый метод имеет место и при рении обратных задач, когда по наперед заданным смещениям требу-ся определить вызывающие их напряжения.. Такие задачи могут еть самостоятельное значение, в частности, при решении вопросов здания оптимального подкрепления выработок.
Как уже было отмечено выше, в практике горного дела возможна ситуация, когда массив пород с очистными выработками лежит на скальном основании и допускает формулировку граничных условий на плоскости контакта г=0, например, в виде
и(х,у,0) = О, У(х,у.О) = 0, *т(х,у,0) = О, (15)
т.е. при моделировании основание можно считать абсолютно жестким. Принципиальное же значение такой расчетной схемы связано с необходимостью учета собственного веса, реализуемой, в частности, принятием гипотезы о линейности поля напряжений нетронутого выработками массива пород.
Разрешающие уравнения такой задачи могут быть получены, исходя из расчетной схемы, приведенной на рис.5, где кусочно-однородный массив, вмещающш выработки, составлен из порог кровли, моделируемых упругим, изотропным и однородным полупространством с характеристиками Е1, VI И ПОРОД ПОЧВЫ - СЛ05
толщиной с характеристикам] Е,у . Значение координаты 2=( связано с жестким основанием. I плоскости г * Ь расположены I изолированных математических разрезов, моделирующих заглубленны! выработки и занимающих область Й = Пг + ••+ Яп-
Предполагая необходимость рассмотрения всех основных зада1 механики горных пород, граничные условия можно сформулировать : общем виде:
на берегах раврезов (2 = Ь)
дь. 1(Х,У), Гк. 1(Х.У), Рк. 1(х,у), (16
на г «= О
Ч(х,у) . г(х,у) , р(х,у), (17
пород с выработками, лежащего на жестком основании
где к = 1,2 - означает принадлежность к верхнему или нижнему бе регам разрезов, 1 - 1,2,..:,п.
Зласть слоя 0 < 2 < Ь - общая часть двух полупространств с геристиками Е,у, при этом г = 0 - граница первого, а г = й -'о из них, для которых следует поставить в соответствие неге значения компонент смещения
У,0)=Гц(Х,у), У1(Х,У,0)=Г12(Х,У), *1(Х,У,0М13(Х.У).
(181
У.0)=Г21(Х,у), У2(Х,У,0М22(Х.У), *2(Х,У,0)=Гзз(х,У).
!тственн0 точки границы третьего полупространства (кровли, меют смещения
,11)=Г31(х,у), у3(х,у.ЬХз2(х,у), 1»з(х.у,Ь)=Гзз(х,у). (19)
множества произвольных функций следует выбрать ' лишь оторне позеоляют удовлетворить требованиям (16), (17) и ус-сопряжения сред почвы и кровли. В результате приходим к щей системе уравнений относительно
Я 2=1"); х,у ш й
. + Р2.1 $2) ;Х,у,0;Е, v) = ч2, у),
.2(Г1ЯХ,У;Ь;Е,у) + Р2.2(*2ЯХ,У,0;Е,у) = Г2, 1(х,у), ,Э(ЙЛХ,У;Ь;Е,У) + р2,з02;|;Х.У,0;Е^) = р2. 4(х,у),
(20)
Рз.1(Гз1;Х,у.0;Е1.У1) = 41.1(х,у), Рз.2(^Зо;Х,у,0;Е1^1) = Г1.1(х,у), ■рз.за":и;Я,у,0;Е1,У1) = Р1, 1(х,у),
I х,у ё 9 (условия сопряжения)
<■ ГсзГх.у)
+- Г£2(х,у) = Гзг(х,у),
VII (11 --.Х.У.Ь-.Е.ч) Ггз(Х,7) ^ Гзз(Х.у),
(21)
Ч^Х.У^п-.Е.У.Нт^г, 2(Г2з;Х,у,0;Е,'^»Схг.зСГз^к.у.О^!.'^), ' 11; х, у, п;. ЕV) +ТУЯ, 2 (^2 з; х, У, 0; Е, V) =--Ту2, з (Гзд; :■:.:, 0; Е-,, ~п ) • + 6-,;х,у,0;Е,у)-= 6?„ ;;(Гз>:л.у.О.Еь V!),
ДЛЯ 2=0
р1л(*"и;х,у,0;Е^) + Рг. 1(^;Х,У,11;Е,У) = Ч(Х,у),
р1.2(Ги;Х,У,0;Е,у) + Р2.2(Г2л;Х,У,Ь;Е,у) = г(Х,у). (22
Рх. з(?1з;х,у,0;Е,у) ■»■ ?2.3(^2^ ;х,у,п;Е,у) = э(х.у).
В (20), (22) Рк. 1 -компоненты напряленно-деформирсванкого состоя нил, эквивалентные по смыслу величинам правых ч.астей, фигурируй цшд в (16), (.17) в качестве граничных условий. Индекс к «= 1,2,3 Рк. г означает принадлежность к одному из трех рассматриваемых комбинации полупространств, а 1=1,2,3 - соотносимы с осями ¡<;ос£ динат к, у,2. Численные индексы у смещений и напряжений указыват на номер соответствующего полупространства. Если граничные услс вия на разрезах к на 2=0 сформулированы, например, в напряжениях то (20), (22) следует считать
Рк. 1 = "Cxs.ii, Рк,2 = Рг. 3 - £>г.к-
Таким образом, сформулированная задача сведена фактически определению из системы уравнений (20)-(22) девяти функций Гщ.
Модель массива горных пород с системой Еыработок (заглубле* ных и незаглуСлекных, взадоовлэттацос к мзодироъаншх) в первс приближении может быть собрана из областей ь виле полос, полупс лос, клиньев и т.п. с различны),га упругими характеристиками. По; тому в рам:^ах общего подхода при решении задач о перераспредели зкв НДС в кусочно однородном массиве пород с выработками; неоЗхс дкмо ;:.мсгъ набор программ для расчета составляющих исапедуем> область элементов.
Одним из таких элементов является елей, вэдеяяашй из ыасск: город к призванный моделировать кровля незаггубленной выработк: ______кеедупластьс- и т.п. Рассгатр»
/ " ~~ ^
©
х; у)
.-о! схе»;а слэ.-- '...-.¿я:
ейсмый б работе метод расчет нгшрл*знас-д'4суш1ро2а8вого состояния сл:;г сводится и севка ссттчии; интеграгьш уравнений к по'.азаяет единое* разно исследовать ьсе три сс ноыюе 'задачи кэхазигзд гори: по;, од.
В дгссгртацйР/ рс^сио-ре! ¡ц;о б виде с^сл поел
йннок '¿о.гд,:н_; ь со. об:;;
- 25 -
етение с произвольными граничными условиями
Ч1(Х,У,0). Г1(х,у,0), Р1(х,у,0) на 2=0,
(23)
42(3!,у,Ь), Г2Сх.у.Ъ), рг(х.У.Ь) на 2=Ь
остроено суперпозицией имеющихся решений для двух однородных, зотропных, упругих полупространств (7),(8),(10).
С низшей и верхней поверхностями сдоя, совмещенными с грани-ами соответственно первого и второго полуйространстз, связаны омпоненты смещения их точек
ц(х,у)»и1 (х.у.О), И\2(х,У>Ч1(х,у,0), ^з(х,у)='И1 (х,у,0),
(24)
21(Х,У)=и2(Х,У,0), -?22(Х.У)=Ч2(Х.У,0), Г23(Х,У) =К*2(Х.у.О).
довлетворение заданным граничным условиям (23) приводит к замк-;утсй системе уравнений относительно шести неизвестных функций к!(х,у), через которые с помощью (7),(8) восстанавливается нап-яженно-деформированное состояние всюду в рассматриваемом слое.
Полученное решение позволяет исследовать и кезаглубленные »чистные выработки, когда породы кровли отрабатываемого горизонтального пласта представляют собой сдой толщины Н (рис.7). Появляется возможность формулировки и решения целого ряда задач, рассматриваемых в механике горных пород в двумерном случае. Такие модельные представления не только дают возможность оценить напряженно-деформированное состояние в породах кровли для того или «того предположения о характере контактного взаимодействия с ниже лежащими породами, закладкой выработанного пространства, целикл-,'м, оставляемыми для управления кровлей и т.п., не и сравнить результаты этих, в ряде случаев предельных представлений, для которых ' реальное деформирование занимает промежуточное положение. Так, полагая для всех нижеприведенных вариантов на г=Н
н Х(У) 0
шт сз У////М. со и
1
5ис.7. Расчетная схема иаааглуб-
МвПНОЯ ОЧИСТНОЙ гыработки
62 - 0, Ххг " О, ТУ2 - О,
можно осуществить выполнение, например, следующих условий:
1) идеальное проскальзывание на контакте пласт-кровля в I
положении абсолютной жесткости пласта, то есть на 2-0; к,у е
Ххг = 0, Гуг » 0, £3 - 0, где « - область вырабатываемого пространства;
2) полное сцепление на г=0 для абсолютно жесткого пласта
£'1 = *'з = О, х,у ё ы;
3) предположение о пласте, как об основании Винклера
б2 = 1^3. = Туг = О, Х,у 1 4»,'
где к- коэффициент пропорциональности, зависящий от мощности рабатываемого пласта и его упругих свойств;
4) вариант основания Винклера при ограничении смещен плоскости контакта
б2 = к£з. Г1 = ^ = 0; 2=0; Х,У 6 П.
Подобные приведенным формулировки задач математического делирования отработки пласта полезного ископаемого могут име самостоятельный интерес в практике ведения очистных работ: си ци?.. когда пласт является боле-э жестким, нежели породы кро: л у/..- на контакте пород кровли и отрабатываемого пласта зале: •гонкие пластичные прослойки, ооеспечивающе достаточно точно ловие проскальзывания.
Если для относительно гонкого пласта существует вероят» налегания пород кровли в выработанном пространстве на породы I вы, обесточивая в области контакта постоянные смещения, ' 13=сопз1, то для пластов средней мощности и мощных при управл« кровлей применяется тот или иной вид закладки, или же оставляа целики. Моделирование такой ситуации в вырабатываемом прострг ?ве услозиями типа (25)-(28) для описания работы закладки (с лем, неупрочненной) можно воспользоваться данными о его усад связывающими нагрузки и деформации, натурные замеры смет« 'напряжений) по контакту породы кровли - закладка.
Легко видеть, что любое из перечисленных выше условий на 2=0 не вносит существенных неудобств и принципиальных трудностей в процесс реализации решения для слоя. Конечно, предпочтительнее выглядят единообразные формулировки для контакта пород кровли с пластом и оставляемым целиком, что не так уж и существенно. Более ценной представляется возможность учета работы целика при достаточной протяженности пространства, когда деформация его значительна. Последнее можно описать, в первом приближении, одним из рассматриваемых выше способов. Практически любые предположения на возможность раздавливания краевой части пласта (последний является более слабым, чем породы кровли), скажем, переход в пластическое состояние, с тем или иным законом распределения напряжений, иегко описывается в рамках рассмотренной задачи для слоя.
Все приведенные формулировки имеют отношение к дополнительной задаче, когда на участках, принадлежащих о», вне контакта с зак-падкой, целиками предполагаются дополнительные напряжения. Последние равны своим значениям на глубине Н для нетронутого масси-за.
Численная реализация полученных уравнений при решении пространственных задач осуществлена путем замены бесконечной области штегрирования конечной - Б с последующим ее разбиением квадрат-юй (прямоугольной) сеткой с '-атом И или , т.е. в аппрок-
;имируется сеточной областью С(Ь) или 0(Ьх,Ьу). Погрешность, вно-;имая такого рода операцией, что показано рядом авторов, и подт-¡ерждено опытным путем на примере решения тестовой задачи, не февышает заданного порядка точности решения системы.
После замены в исходных уравнениях дифференциальных слагаемых митральными разностями, а интегралов конечными суммами приходим с системе линейных алгебраических уравнений относительно Г п. 1нтегральные слагаемые при этом имеют вид
п п
Л Г(е,,п)Кхк,уг,г.,-п)с1г.с1-п = ^ ^ а£ь 6
•де
«¿1 = [ { Кхк,У1;£,,п)с1г,с1п)
^ 1
^ - значение неизвестной функции í в ячейке ди, принимаемое >авным значению Г в середине к=1,2,...,пх; 1=1,2.....пу-.
пх, пу - число разбиений области 6(Ьх,Ъу) соответственно по осям х,у. Реализация метода существенно упрощается, так как указанные двойные интегралы выражаются через элементарные функции.
Ядра, входящие в разрешающие системы интегральных уравнений, обладают свойством, позволяющим рационально испод?: зовзть ресурсы оперативной памяти ЭВМ. Достаточно знать и хранить лишь коэффициенты первой строки матрицы соответствующей системы алгебраических уравнений. Так, в частности, для системы (14) и 'к-а '+1. ' 1-1 • +1
= 4 л и
В результате появляется возможность существенно увеличить или число разбиений области интегрирования, или увеличить эту область. Еще одно важное, с точки зрения численной реализации, свойство ядер, входящих в исходные интегральные уравг;п;> л,- это хорошая обусловленность матриц коэффициентов соответствующих алгебраических уравнений, что гарантирует успешное применение итерационных методов их решения.
Решение всех нижеперечисленных задач осуществлено блочзюите-рационным методом последовательной верхней релаксации. Параметры верхней релаксации для каждого из блоков уравнений определены опытным путем.
На примере тестовой задачи для квадратного разреза показана правомочность перехода к конечной области интегрирования, что, по-видимому, можно объяснить как наличием вышеуказанных свойств ядер, так и быстрым затуханием компонент смещений по мере удаления от границы раэрева. Отличие численных значений приближенного решения от соответствующих результатов, приведенных в раЗотгх Р.В. Гольдштейна с соавторами, оказалось в пределах от двух я" пяти процентов. Следует при этом отметить, что поскольку расемаг-ривжсся результаты приближенных реаений, то отдать предпочтение какому либо из них не представляется возксшшм. Однако, автор но испытывал неудобств с выбором тестовых примеров для оценки точности полученных решений. Дело в тем, что всегда могло сформулировать задачу для произвольного контура выработки, вырезая его мысленно вокруг действующей в плоскости или пространстве системы еачоуравновешенных сил, точные решения для которая известны, и пересчитать их влияние на рассматриваемый контур в виде граничных условий. Этот прием неоднократно был применен в работе на этапах реализации полученных уравнений.
В диссертации приведены (в виде полей напряжений и смещений) результаты расчетов НДС массива пород в окрестности квадратной, прямоугольной и п-сбразной в плане очистных выработок, моделируемых плоскими математическими разрезами. Для квадратной выработки показано поведение сидений точек массива в плоскости ортогональной берегам разреза.
Рассмотрены поля изолиний всех компонент напряжения и смещения около квадратной 5ез четверти в плане выработки и квадратного кольцевого разреза. Имитируя практические ситуации при ведении очистных работ, получены результаты расчетов при пошаговой отработке уступа к целика.
Исследовано напряженно-деформированное состояние в окрестности квадратной в плане выработки с квадратной закладкой, при условии линейности закона распределения отпора от середины ее сторон к центру.
Приведены результаты решения задачи определения НДС массива пород в окрестности взаимовлияющих четырех квадратных в плане выработок, расположенных симметрично и тане, что расстояние между соседними разрезами равно половине длины их сторон.
Расчеты показали, в частности, что увеличение площади выработанного пространства, а'это можно проследить по полям напряжений 1 смещений при последовательной отработке уступа или целика до годного квадрата, приводит к росту области повышенных напряжений I смещений. Зоны концентрации напряжений наблюдаются в окрестнос-•и середин сторон симметричной выработки. Для выработок, имеющих ступы, - это области у углов уступов. Наиболее напряженными в рямоугольной выработке являются окрестности середин длинных сто-он. Последнее, в известном смысле, определяет большую устойчи-ость несимметричной выработки к несовершенствам, характеризующим еальный массив с выработкой. То есть при равномерном распределе-ии неоднородностей массива пород потеря устойчивости выработки имметричной в плане формы вероятна в большем числе мест, недели ля несимметричной. Разумеется, что сказанное может иметь место ри соответствующем уровне опасных напряжений, приводящих к поте-э устойчивости в той или иной форме.
Во всех случаях наибольшие значения горизонтальных смешений }блюдаются в окрестности контура. Убывание их более быстрое в ассив, чем в выработанное пространство. Максимальные значения зрмальной компоненты смещения У растут с увеличением площади вы-
работки. Картина распределения Ы зависит от геометрии полости.
Так на рис.8 приведено пол« вертикальных смещений кровль п-образной выработки, дорабогкг которой до квадратной в план« приводит к локализации местг наибольшей осадки в центре пр! увеличении максимального значения V до 133.
Рассмотрено решение задач! определения напряженно-деформированного состояния слоя, моделирующего вариант кровли незаг-лубленной квадратной в план< выработки. Приведены поля все) компонент напряжения и смещеню для четырех равноотстоящих горизонтальных сечений слоя-кровли, позволяющие оценить закономерности изменения его НДС по высоте.
Таким образом, рассмотренный метод решения пространственны} задач геомеханики позволяет ответить на широкий круг вопросов, возникающих при отработке месторождений полезного ископаемого что следует, в частности, из отсутствия ограничений на форму контура выработки и на граничные условия, из возможности проследит] изменение НДС в процессе пошагового увеличения выработанноп пространства (квазистатическая постановка) и влияние закладк (либо через ограничения на смещения, либо на напряжения) и т.д.
Практическое приложение отдельных результатов расчетов приве дено коллективом авторов в: Напряженно-деформированное состояни массива в окрестности очистных выработок произвольной формы.- Но восибирск: ИГД СО АН СССР, Препринт №13.- 1986; Расчет деформиро вания пород ыеждупластья, моделируемых полосой в трехмерном слу чае.- Новосибирск: ИГД СО АН СССР, Препринт №19.- 1987; Метод математического моделирования подземных сооружений.- Новосибирск Наука, 1994.
- 31 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На базе полученных в диссертации уравнений разработаны теоретические основы создания новых методов математического моделирования задач механики горных пород. Значительное внимание при этом уделено, с одной стороны, общности рассматриваемых задач, обеспечивающей стандартность техники постановки и решения прикладных проблем, а с другой - строгому следованию принятой модели упругого, кусочно-однородного, изотропного тела в рамках классической теории упругости малых деформаций. Совокупность рассмотренных в диссертации методов - новое и перспективное научное направление в горной геомеханике.
Основные научные, методические и практические результаты работы заключаются в следующем: '
1. Получена замкнутая система двух интегральных уравнений, обобщающая известное уравнение Н.И.Мусхелишвили и позволяющая полностью определить напряженно-деформированное состояние на границе как односвязных, так и ыногосвязных тел без поиска комплексных потенциалов в области. Переход в область, после разрешения указанной системы, реализуется стандартно - с помощью интеграла Коти. Структура системы допускает единообразие в постановке и численной реализации всех трех основных задач двумерной теории упругости и, в частности меньшего, чем в оригиналах, приложения усилий для получения аналитических решений известных классических задач (задачи о плоскости, ослабленной эллиптическим отверстием, полуплоскости, решения об изолированной очистной выработке Михди-на, Баренбдата, Христиановича и др.);
2. Указаны варианты приложения системы граничных интегральных уравнений, полученных в первой главе, которые позволили, например, сформулировать и получить решения новых, неклассических в аналитической постановке задач. К таковым можно отнести задачу с переопределенными на части контура выработки граничными условиями. При этом возникает новое научное направление в формулировке, например, задач аналитико-экспериментального метода восстановления напряженно-деформированного состояния в окрестности выработок;
3. Предложена модель учета линейности исходного поля напряжений при решении дополнительной задачи по определению напряжен-
но-деформированного состояния в массиве пород в окрестности выработки. Сравнительный анализ результатов расчета для заглубленной и незаглубленной выработок, с учетом указанного фактора и без него убедительно указывает на весомость поправок, вносимых учетом перепада давления по высоте выработки, к имеющимся решениям для однородного внешнего поля напряжений и на существенное уточнение вероятного характера потери устойчивости массива пород;
4. Установлена и проанализирована аналогия между, так называемыми, решениями для "сосредоточенной силы" и особенностями решения в окрестности угловых точек. Показана их общая природа - отличный от нуля главный вектор внешних сил, который для сингуляр-ностей с особенностью равной единице "узаконен" и назван "сосредоточенной силой", в то время как для корневых особенностей этого сделано не было. Предложена новая модель деформирования тел, описывающая наряженное состояние около контуров выработок, содержащих угловые точки, и позволяющая получить всюду определенные решения в рамках линейной теории упругости. Последнее открывает, в частности, перспективу построения новых моделей разрушения тела с трещиной свободной от известных искусственных ограничений классических теорий хрупкого разрушения и возможность приложения классических теорий прочности;
5. Разработан метод решения пространственных задач механики горных пород, . допускающий математическое моделирование широкого круга прикладных задач, возникающих в практике ведения очистных работ. Существенным при этом является единообразие подхода к постановке и решению всех трех основных задач;
6. Сформулированы задачи и получены соответствующие системы стандартных по форме, в общем случае, интегро-дифференциальных уравнений для пространства и полупространства, ослабленных изолированными или взаимовлияющими выработками;
7. Развит метод решения всех трех основных задач геомеханики для массива пород с очистными выработками, моделируемыми плоскими разрезами произвольного очертания в плане, лежащими в одной плоскости, с учетом различия упругих характеристик пород почвы и кровли. Единообразие подхода позволило рассмотреть различные варианты модельных задач как для одиночных, так и взаимовлиявдих выработок и получить при этом распределения всех компонент тензора напряжений и вектора смещений;
8. Получены разрешающие уравнения, описывающие НДС одного из
юновнъи структурных элементов породного массива - слоя, позволяющие моделировать междупластье, кровлю незаглубленной выработки и яоистый массив;
9. В процессе численной реализации полученных уравнений еще аз подтверждена их корректность и простота приложения в практике ¡еханики горных по55од при моделировании кусочно-однородного мас-ива пород с выработками.
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих ра-отах:
. К вопросу о расчете квадратной пластины, защемленной по контуру // Изв. вузов. Строительство и архитектура.-1982,- № 1.- С. 48-52 (соавтор В.Е. Миренков) . Трехмерная задача теории упругости для пластины // Изв. вузов. Строительство и архитектура.- 1983.- №8.- С. 23-26 (соавтор В.Е. Миренков)
. Напряженно-деформированное состояние массива в окрестности очистных выработок произвольной формы.- Новосибирск: ИГД СО АН СССР, Препринт № 13.- 1986,- 35 с. (соавторы М.В. Курленя, В.Е. Миренков, Г.Н. Хан). . Расчет деформирования пород междупластья, моделируемых полосой в трехмерном случае.- Новосибирск: ИГД СО АН СССР, Препринт № 19.-1987.- 24 с. (соавторы М.В. Курленя, В.Е. Миренков). . Решение трехмерной задачи теории упругости для слоя // Изв.
вузов. Строительство и архитектура.- 1988.- № 2.- С. 24-28. , Смешанная задача теории упругости для слоя // Изв. вузов. Строительство и архитектура.--1988.- № 6,- с. 25-29 (соавтор В.Е. Миренков).
, Плоская задача теории упругости в полярных координатах.- Новосибирск: НИСИ.- 1989.- 32 с. (соавтор В.Е. Миренков). , Модель деформирования тел с угловыми точками // Изв. вузов. Строительство и архитектура.- 1991.- № 3.- С. 31-37 (соавтор В.Е. Миренков).
, Распределение напряжений около подземных сооружений в линейном поле // Изв. Еузов. Строительство.- 1992.- №4.- С. 37-41 (соавтор В.Е. Миренков) ). Деформирование пород, вмещающих подземные сооружения в ноле
сил тяжести // Изв. вузов. Строительство.- 1992.- № 6.- С.
57-60,
11. Метод расчета напряженно-деформированного состояния около очистных выработок // Физ.-техн. пробл. разраб. полезн. ископ. Новосибирск: Наука, 1992.- № 6.- С.3-9 (соавторы М.В. Курле-ня, В.Е. Миренков, Г.Н. Хан).
12. Damage mechanics In terms of finite stress // Fracture mechanics: succsses and problems, IGF-8, Kiev, 1993 (coautor Mi-renkov . V.E.)
13. О распределении напряжений около угловых точек контура выработки // Механика горных пород. Горное и строительное машиноведение. Технология горных работ: Сб. науч. тр./ИГЛ СО РАН.- Новосибирск. 1993.- С. 66-70 (соавтор В.Е. Миренков).
14. Переопределенные задачи механики горных пород в двумерном случае // Физ.-техн. пробл. разраб. полевн. ископ. Новоси-
. бирск: Наука, 1993.- № 5.- С. 21-27 (соавторы М.В. Курленя,
B.Е. Миренков).
15. Проблемы переопределенных задач механики горных пород.- В кн.: Тезисы докладов. 10 Международная конференция по механике горных пород. М.: РАН, 1993.- С.31 (соавтор В.Е. Миренков).
16. Задачи теории упругости для областей с угловыми точками // Изв. вузов. Строительство.- 1994.- № 2.- С. 24-27 (соавтор с-.Е. Миренков).
17. Напряженно-деформированное состояние массива в окрестности выработки // Изв. вузов. Строительство.- 1994.- № 7-8.- С. 31-35.
18. Анапитико-экспериментальный метод решения плоской задачи теории упругости // Изв. вузов. Строительство.- 1994. № 9-10.-
C.35-38.
19. Аналитические вопросы механики разрушения.-Новосибирск:НАрхИ, 1995.- 116 с.(соавтор В.Е. Миренков).
