Рефракция пространственно-неоднородных волновых пакетов в линейных диспергирующих средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ



'» г

- О к

г п

л 1 •'-"•'

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения

радиоволн

на правах рукописи

Копейкин Владимир Васильевич

РЕФРАКЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-НЕОДНОРОДНЫХ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ В ЛИНЕЙНЫХ ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ

01.04.03.- Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук'

Москва 1993

Работа выполнена в Институте земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволя Российской академии наук

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Гусев В.Д., г. Москва

доктор техн. наук, профессор Чернов Ю. А., г. Москва

доктор Физ.-мат. наук, профессор Благовещенский Д.В. г. Санкт-Петербург

Ведущая организация: Казанский государственный

университет, г. Казань

Защита диссертации состоится " О^О " 19Э5 г.

в 10 час. ОО мин, на заседании Специализированного совета Д.002.83.01 при ИЗМИРАН - 142092, г. Троицк Московской области (проезд автобусом №531 от станции метро "Теплый стан" до остановки "ИЗМИРАН").

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЗМИРАН.

Автореферат разослан "„¿.О " 1995 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физ,- мат. наук

К0Л0МИЙЦЕВ О.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В линейной среде с частотной дисперсией существует не исследованный ранее тип рефракции, связанный с зависимостью показателя преломления п от частоты. Здесь под явлением рефракции, как обычно, понимается изменение направления распространения волны в результате ее взаимодействия со средой, описываемое в рамках геометрической оптики.

Подобно тому, как зависимость показателя преломления от амплитуды поля в нелинейных средах приводит к особому классу волновых явлений - нелинейной рефракции, зависимость п от частоты в линейных средах приводит к другому классу волновых явлений, который мы в дальнейшем будем называть дисперсионной рефракцией

(ДР).

Между нелинейном и дисперсионной рефракцией существует взаимосвязь, обусловленная тем, что в обоих случаях показатель преломления является функцией волнового поля. В частности, оба типа рефракции могут наблюдаться в однородной среде, что невозможно в случае обычной линейной рефракции.

Однако, если для возникновения нелинейной рефракции необходима пространственная неоднородность амплитуды Поля, то для возникновения дисперсионной рефракции необходима пространственная неоднородность частоты.

Приведем некоторые качественные соображения, поясняющие природу дисперсионной рефракции и не претендующие на физическую строгость.

Пусть имеется однородная диспергирующая среда, в которой показатель преломления п является функцией частоты. Пусть в этой среде распространяется квазимонохроматический волновой пакет, в котором частота колебаний плавно меняется вдоль его фронта. Поскольку фазовая скорость различных участков фронта из-за дисперсии будет иметь различную величину, то, очевидно, на основе принципа Гюйгенса фронт волны должен развернуться в пространстве так же как и в бездисперсной, но неоднородной среде с изменяющимся по пространству показателем преломления, т.е. волновой пакет должен испытывать явление рефракции.

С геометрооптической точки зрения среда оказывает влияние на волну через показатель преломления, и для волнового процесса несущественно, что является причиной изменения п в пространстве: неоднородность свойств самой среды, как в случае линейной рефракции, неоднородность амплитуды, как при нелинейной рефракции, или неоднородность частоты, как в нашем случае. При нелинейной и дисперсионной рефракции среда может бить однородной по своим физическим параметрам, а неоднородность показателя преломления обуславливаться пространственной неоднородностью взаимодействия волны со средой.

Кратко рассмотрим причины, по которым эффект дисперсионной рефракции не бил исследован до сих пор.

Классическая теория дисперсии волн в линейных средах была завершена в работах Зомморфельда и Бриллюэна в начале нашего века [П. Они исследовали все известные на тот момент волновые эффекты, связанные с дисперсией волн, разработали математический аппарат для их описания, а также указали общий путь решения всех линейных нестационарных задач, основанный на разложении сигнала в спектр Фурье и принципе суперпозиции. После этого интерес к нестационарным задачам упал, поскольку стало очевидным, что любую из них можно решить, зная стационарное поле в некотором диапазоне частот. Основное внимание исследователей было обращено на поиск способов интегрирования стационарных волновнх уравнений, как более простых по сравнению с нестационарными. Все работы того периода рассматривали, как и раньше, одномерные или квазиодномерные задачи, в которых эффект дисперсионной рефракции принципиально не мог быть обнаружен.

Важный шаг в развитии математических методов теории распространения волн в диспергирующих средах был сделан в диссертации С.М.Рытова, опубликованной в 1940 г., где были заложены основы пространственно-временной геометрической оптики (ПВГО) [21. Однако интенсивное развитие ПВГО началось лишь в 60-х годах.

В отличие от классического подхода в ПВГО минуется этап отыскания решения стационарной задачи, а ищется непосредственно приближенное решение нестационарного волнового уравнения.

Использование ПВГО привело к значительному расширению круга задач, поддающихся решению, поскольку позволило перейти к исследованию волновых процессов в сложных двумерных и трехмерных

средах, близких к реальным. При классическом подходе это сопряжено с большими трудностями, поскольку до настоящего времени нет способов точного решения волновых уравнений в неоднородных многомерных средах даже для стационарного случая, не говоря ухе о нестационарном, требующем наличия стационарного решения в некотором частотном диапазоне.

Стандартный метод ПВГО, основанный на представлении поля е виде локально плоской, локально однородной и локально монохроматической волны, не учитывает дифракционные эффекты, соизмеримые с ее длиной. Однако он не учитывает и эффект дисперсионной рефракции, поскольку не учитывает возможность плавного изменения частоты вдоль фронта волны, которое в диспергирующей среде приводит к эффекту ДР. Естественно, саму пространственную функции частоты можно сколь угодно точно приблизить системой ПВ-лучей, но это не позволит учесть эффект дисперсионной рефракции, потому что кусочно-постоянная аппроксимация не описывает пространственную производную частоты, а именно она определяет этот тип рефракции.

Тем но менее приближение ПВГО до недавнего времени удовлетворяло всем практическим потребностям в . списании распространения волн в диспергирующих средах (в основном это распространение коротких радиоволн в ионосфере Земли), поскольку эффект дисперсионной рефракции для обычных узкополосных сигналов в реальной средэ достаточно мал. Отсутствие практической потребности в учете поперечной диффузии энергии поля за счет дисперсии, вероятно, и является причиной неисследоваиности эффекта ДР.

Ситуация изменилась в последнее время, когда наряду с обычными узкополосными квазимонохроматическими радиосигналами стали использоваться сверхиирокополосные, для которых эффект ДР может быть существенным, а в некоторых случаях и определяющим механизм распространения. .

Переход в последнее время к другим типам сигналов обусловлен развитием вычислительной техники, когда стало возможным в качестве селективного звена использовать не колебательный контур, а цифровой коррелятор. При цифровой обработке . преимущества квазимонохроматических сигналов, связанные с простотой селективного звена, теряются и на повестку дня выходят сверхширокополосные секвентные (или несинусоидальные) сигналы,

относительная полоса которых может приближаться к 100. [3,41.

Обычно под секиснтными сигналами понимается

последовательность импульсов одинаковой формы, но различного знака. Форма каждого импульса может быть близка к прямоугольной, но может и отличаться от нее. Чередование знаков задает код последовательности, или секвентную несущую. Структура секвентных сигналов как нельзя лучше приспособлена для цифровых систем связи. Передатчик такой системы работает в нелинейном режиме, что значительно снижает его вес, габариты и увеличивает КПД. Фактически он представляет собой источник питания, который непосредственно связан с излучателем через ключевой элемент.

На приемной стороне интеграл свертки для секвентных сигналов вычисляется проще, чем для других типов, поскольку операция умножения заменяется на операцию сложения. Это также приводит к уменьшению стоимости, габаритов и веса приемного устройства.

Выбором кодовой последовательности секвентного сигнала можно достаточно произвольно распределять энергию по спектру. При спектральной плотности сигнала ниже уровня естественных шумов секвентная линия связи становится не пеленгуемой обычными радиотехническими средствами. Более того, ее невозможно запеленговать даже имея специальный приемник, предназнг1ченный для работы именно в этой системе связи, если не известен код секвентной несущей. Найти его таким же методом, как в обычных радиосистемах, то ость панорамным обзором частот, невозможно, поскольку невозможно перебрать все кодовые комбинации.

Это имеет два аспекта практического применения секвентных линий связи.

Во-первых, они позволяют уплотнять сильно перегруженный диапазон радиоволн, практически не метая обычным радиосистемам и не испытывая помех от них. Эта ситуация будет сохраняться до тех пор, пока суммарная спектральная плотность от секвентных систем не превысит плотность естественных иумов.

Во-вторых, секвентные линии связи могут обеспечить абсолютную скрытность передачи информации. Здесь есть существенное отличие от обычных связных систем аналогичного назначения. Сигнал таких систем пеленгуется, и задача радиоперехвата заключается в дешифровке сообщения. В секвентной же линии вопрос о дешифровке вообще не стоит, поскольку отсутствует объект дешифровки.

Технические проблемы создания секвентных систем, начиная от длинных волн и кончая ультракороткими, принципиально разрешимы и в настоящее время в этом направлении ведутся интенсивные работы [3,4]. Но при создании таких линий связи приходится сталкиваться с проблемой, которая в квазигармонических системах либо вообще-не стоит, либо стоит не так остро - это проблема учета влияния диспергирующей среды на сигнал. Особенно остро эта проблема возникает в диапазоне коротких радиоволн. При полосе сигнала более 100 кГц при ионосферном распространении происходит не только искажение его продольной формы, но и изменение механизма распространения, связанное с поперечной диффузией энергии за счет дисперсии, т.е. с эффектом дисперсионной рефракции. Отсутствие теории приводит к тому, что в этом диапазоне обычно используемая полоса сигнала не превышает 10 кГц [5].

Все сказанное выше о перспективах использования секвентных радиосигналов служит обоснованием актуальности темы диссертации, как один из возможных вариантов применения ее результатов. Однако значение этой темы вире, чем просто описание распространения широкополосных и сверхширокополосных радиосигналов, поскольку эффект ДР может наблюдаться для любых типов волновых процессов в любой диспергирующей среде, в том числе и однородной, в том числе и для узкополосных сигналов.

Для возникновения эффекта необходима поперечная неоднородность волны по частоте. Как показано в диссертации, небходимый тип неоднородности волны в однородной среде может быть создан физически реализуемыми излучателями. Это должена быть либо распределенная излучающая система, либо система не менее двух точечных излучателей. В однородной среде использование таких излучателей является единственным способом создания необходимой структуры поля.

В неоднородной диспергирующей среде эффект ДР существует всегда для немонохроматических волн (волновых пакетов). Величина эффекта зависит как от структуры волнового пакета, так и от структуры неоднородности пространства. Например для ионосферы, если не использовать специальные типы излучателей, эффект начинает существенно проявляться, как уже отмечалось, при полосе сигнала более 100 кГц.

Целью работы служит исследование эффекта дисперсионной рефракции.

Основные защищаемые сложения - методы описани* эффекта ДР:

1. Пространственно-врг.менная геометрическат оптика с учетом дисперсионной рефракции.

2. Квазистационарное лучевое приближение.

3. Квазистационарное параболическое приближение.

Научная новизна.

В диссертации впервые обращено внимаш е на возможность сущесвования волнового эффекта, названного дисперсионной рефракцией, исследованы его свойства и получены способы его математического описания.

Научная и практическая ценность работы.

Возможные области применения результатов диссертации:

во-первых, они имеют чисто теоретическое значение, поскольку развивают представления о физике волновых процессов в многомерных диспергирующих средах.

- во-вторых, расширяют круг практических згдач, которые можно решить, поскольку с ряда приближенных методов снимаются ограничения на поперечную однородность волны по частоте. Необходимость в этом возникает, в частности, при описании распространения широкополосных и сверхширокополосных импульсов в неоднородной диспергирующей среде. Интерес к этим типам сигналов сейчас значительно возрос.

- в-третьих, эффект ДР может использоватьгя, ¿:ак и эффект нелинейной рефракции, для модификации показателе преломления ионосферы, например для запитки межслоевого канала. В этом случае эффект ДР имеет преимущество, поскольку его использование не требует больших мощностей.

Кроме того, в диссертации рассмотрены два волновых эффекта, непосредственно не связанные с рефракцией: распространение пакета неоднородных волн в диспергирующей среде без дисперсионных искажений, а также круговое движение стационарной неоднородной волны. Эти эффекты могут представлять интерес с точки зрения создания на их основе технических устройств: бездисперсных волноводов и датчиков электронной концентрации плазмы.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научных семинарах в ИЗМИРАН, Московском государственном университете, Ленинградском государственном университете, в Научно-исследовательском радиофизическом институте , г. Горький , в Ленинградском отделении математического института им.

Стеклова, в Институте физик» атмосферы, а так же на XIV Всесоюзной конференции по распространению радиоволн (Ленинград, 1984 г.)» на IX Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Тялави, 1985 г.), на III Всесоюзной конференции по взаимодействию электромагнитных излучений с плазмой (Алма-Ата, 1982 г.).

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Диссертация состоит из Введения и пяти глав, каждая из которых содержит ряд параграфов. Все разделы диссертации на уровне параграфов являются независимыми в том смысле, что результат каждого из них не используется для получения результатов всех последующих. Но все они связаны одной целью -рассмотреть эффект дисперсионной рефракции с различных позиций и точек зрения.

Первая глава посвящена приближенным методам описания волновых полей с учетом ДР.

В §1 приводится исходное волновое уравнение Клейна-Гордона, гиперболического типа, определяющее закон дисперсии

2 2

.2. °

И " Т2"

с с

Здесь к - аолновое число, о - частота монохроматической волны, о^ - собственная частота осцилляторов поля (параметр среды), с - скорость волны в свободном пространстве (при

Такое дисперсионное соотношение характерно для большого класса волновых процессов, в том числе для коротких радиоволн при их распространении в ионосфере Земли.

Приводится уравнение баланса энергии и формулы для скоростей: фазовой, групповой и передачи энергии. Раздел носит вводный характер.

Далее (§2) рассматриваются условия применимости пространственно-временной геом.оптики, требующие плавности и медленности изменения параметров волнового поля и среды на длине волны и периоде быстрых осцилляции. При этом границы применимости подхода определяются минимальным масштабом неоднородности поля или среды.

Стандартный метод вывода уравнений ПВГО основывается на представлении волнового поля в виде локально монохроматической волны. В настоящей работе уравнения ПВГО получены для более обцего случая существования слабой поперечной частотной модуляции. Для упрощения задачи рассмотрена однородная стационарная среда. В соответствии с полученными формулами наличие в среде дисперсии и поперечной частотной модуляции волны приводит к эффекту дисперсионной рефракции. При равенстве пространственных масштабов изменения и о величины эффектов линейной и дисперсионной рефракции равны друг другу.

В §3 приводится вывод системы уравнений 'квазистационарного лучевого приближения для модели волнового 'Па^ет-а с линейной модуляцией частоты вдоль фронта. Рассмотрены два способа получения уравнений. В первом способе на начальном этапе использован стандартный метод разложения волновой функции то большому безразмерному параметру, далее конкретизирован вид фазовой функции, отброшен ряд членов, для них записаны оценки расстояния, на которых их величина нала, и выведены уравнения для участка волнового пакета, перемещающегося в пространстве с групповой скоростью.

Во втором способе то же уравнения получены прямой подстановкой функции, в виде которой ищется решение, в волновое уравнение, затем отброшен ряд членов, на величину которых наложено условие их малости. Разработан численный способ интегрирования системы уравнений лучевого приближения и приведен пример расчетов лучей в модели ионосферы с одним параболическим слоем. Численный счет показывает, что для ионосферы эффект ДР может иметь значительную величину.

В §4 квазистационарный подход использован для получения параболического уравнения в декартовых координатах, аналогичного параболическому уравнению теории дифракции. Но здесь, в отличие от обычного подхода, решение ищется не в виде однородной плоской волны, а в виде квазиплоской волны с поперечной частотной модуляцией. Уравнение справедливо для умастка 'воянавого пакета, движущегося вдоль продольной оси с групповой скоростью. Там же получена модификация этого уравнения, позволяющая приближенно учитывать члены, отбрасываемые в предыдущем уравнении, что расвиряет пространственную зону его применимости. Кроме того, второе уравнение может служить для оценки погреиности первого.

Для обоих уравнений разработана численная схема решения и проведен счет. Результаты показали, что при отсутствии дисперсии начальный волновой пучок гауссоидального типа испытывает в процессе распространения в однородной среде лишь дифракционное расширение; максимум пучка, по крайней мере с точностью численного счета, остается на месте. При наличии дисперсии волновой пучок в однородной среде рефрагирует, что проявляется в поперечном смещении его максимума со все возрастающей скоростью вдоль поперечной координаты. Различие в функции огибающей для двух видов параболического уравнения в данлом примере начинает проявляться лишь на расстоянии, в 1,5 раза превышающем выбранную зону расчета.

Во второй главе рассмотрено влияние частотной дисперсии на направление распространения неоднородных волновых пакетов. Здесь использованы только известные методы описания волновых полей.

В §1 рассматривается простейший пример проявления ДР а однородной среде для цилиндрических волн о.т двух монохроматических точечных источников с близкими частотами. Показывается, что система двух волн в однородной диспергирующей среде ведет себя так же, как и в бездисперсной, но неоднородной среде с изменяющимся по всем координатам показателем преломления. Наличие производной показателя преломления по угловой координате ц> вызывает периодическое изменение направления вектора .групповой скорости, причем этот период значительно больше длины :волны по пространству и значительно медленнее быстрых осцилляций поля по времени. Численно были найдены траектории движения средней за период энергии в пространстве, которые представляют собой о циллирующие кривые. Величина этих осцилляций уменьшается с расстоянием.

Затем (§2) приведены результаты численного моделирования процесса распространения пространственно-неоднородного волнового возмущения в однородной диспергирующей среде. Исходное возмущение представляло собой одиночный импульс без несущей частоты, ширина которого линейно менялась вдоль поперечной координаты. Для описания движения энергии использовался метод моментов. Показано, что в однородной диспергирующей среде при наличии границы энергетический центр волнового пакета (его первый момент) движется криволинейно, что указывает на существование эффекта дисперсионной рефракции. Радиус кривизны траектории зависит от

величины дисперсии, но при всех значениях о^ увеличивается с расстоянием. В бездисперсной среде с точностью до численных расчетов радиус кривизны траектории бесконечен.

В §3 для описания эффекта ДР использовалось нестационарное параболическое уравнение. Его численная реализация в ряде случаев предпочтительнее прямого численного р< 'гения полного волнового уравнения, поскольку позволяет значительно увеличить шаг интегрирования, а, следовательно, и продвинуться на несколько порядков в пространственных и временных границах описания полей.

Исследовалось поведение волнового пакета с гауссоидальной огибающей и поперечной линейной частотной модуляцией в однородной бездисперсной и диспергирующей средах. В диспергирующей среде обнаружено1 изменение направления распространения волнового пакета, т.е. эффект дисперсионной рефракции.

посвящена проблеме создания необходимых условий для возникновения эффекта дисперсионной рефракции.

Вопрос о виде граничных условий в задаче Дирихле для однородного полупространства рассмотрен в §1. В качестве меры направления движения волны использован интегральный поток зноргии через плоскость х=сопэ1 за все время существования волнового пакета. Задача решалась с использованием двумерного преобразования Фурье, т.е. методом разложения по плоским лолнам. Аналитически показано, что вектор интегрального потока анергии меняется с расстоянием в случае, если начальный спектр нечетен относительно к^ и о. Из расчетов также следует, что аналогичный эффект может наблюдаться и в бездисперсной среде, причиной которого является дифракция. Но дисперсионный эффект, в отличие от дифракционного, имеет другие количественные и качественные характеристики, что позволяет однозначно разграничить эти явления*

Для Практического использования эффекта ДР, в частности, при распространении коротких радиоволн в ионосфере, необходимо решить проблему синтеза излучателей, обеспечивающих нужную неоднородную структуру волнового пакета, либо синтеза сигналов, согласованных со структурой среды, либо того и другого вместе.

В 52 этой глав^. рассматриваются некоторые вопросы синтеза излучателей электромагнитных волн декаметрового диапазона. Синтезирован излучатель еолнового пакета с линейной частотной модуляцией по углу места. Для упрощения задачи использована

малость длины волны и геометрического размера антенной системы по сравнению с расстоянием до входа в ионосферу. Найдена зависимость тока излучателя, которая представляет собой функцию зт(х)/х „ перемещающуюся вдоль апертуры.

В четвертой главе рассматриваются два стационарных решения уравнения Клейна-Гордона, не имеющие непосредственного отношения к эффекту дисперсионной рефракции, однако важные для понимания физики волновых процессов в диспергирующих средах. Например, здесь показано, что для плоских амплитудно-неоднородных волн дифракционные и дисперсионные эффекты могут компенсировать друг друга. В частности, для волновых пакетов, преяставимых в виде суперпозиции таких волн, согласованных по параметру затухания со средой, полностью отсутствуют дисперсионные искажения формы пакета в процессе его распространения в диспергирующуй среде. Это явление может быть использовано для разработки бездисперсных импедансных волнозодов (§1).

В однородной среде возможно также круговое движение энергии амплитудно-неоднородной воеты, частота которой совпадает с собственной частотой среды. Однако такое поле имеет особенность либо в центре вращения, либо на бесконечности. Реально подобный волновой процесс может существовать, например, во внешней (или внутренней) среде над (или под) цилиндрической границей с импедансом, согласованным с выбранным типом волны. Такой тип волнового движения может применяться в открытых резонаторах для определения электронной концентрации плазмы. Далее показано, что вращающиеся волны без особенностей могут наблюдаться в неоднородных средах с цилиндрической симметрией. Получено уравнение, связывающее форму неоднородности с волновой функцией (§2).

В пятой главе эффект дисперсионной рефракции рассмотрен с точки зрения принципа суперпозиции. Показано, что усиление поля волнового пакета происходит за счет синфазного сложения его спектральных компонент. С этой точки зрения хорошо известный эффект продольного сжатия пакета с линейной частотной модуляцией в диспергирующей среде выглядит как вырожденный одномерный случай эффекта дисперсионной рефракции. В многомерной диспергирующей среде возможна но только, продольная, но т^к же и поперечная диффузия энергии. Здесь можно провести параллель между дисперсионной и нелинейной рефракцией, поскольку и в нелинейных

средах также известен эффект сжатия волнового пакета. Первый параграф этой главы носит описательный характер.

В §2 на основе принципа суперпозиции реиена задача синтеза сигнала, излученного источником на Земле, который обеспечивает эффективную запитку ионосферного волнового канала в плоскослоистой модели ионосферы. Эта задача свелась к подбору фаз компонент излученного сигнала, приводящих к синфазному сложению компонент поля в ионосферном канале. Поле каждой спектральной компоненты находилось численно, для чего был использован стандартный метод параболического уравнения теории дифракции. Основные результаты диссертации изложены в работах:

1, Копейкин В.В. Численное моделирование процесса распространения неоднородного волнового пакета в среде с частотной дисперсией.

•М., 1985, - 10 с. - (Препринт/ИЗМИРАН; 5-583).

2. Копейкин В.В. Приближение пространственно-временной квазиоптики для неоднородного волнового пакета в среде с частотной дисперсией. - М., 1985. - 10 с. (Препринт/ИЗМИРАН; 67-600).

3» Копейкин В.В. Дисперсионная рефракция пространственно-неоднородных волновых пакетов.// Радиотехника. - 1986. - №9 - С. 87-90.

4. Копейкин В.В. Некоторые особенности распространения неоднородных волн в среде с частотной дисперсией. - М., 1985. - 7 с. (Препринт/ИЗМИРАН; 61-594).

5. Копейкин В.В. Дисперсионная рефракция: квазистационарное лучевое приближение. // Радиотехника. - 1988. - №2. - С. 73-76.

6. Копейкин В.В. Особенности распространения неоднородных волн в диспергирующей среде. // Радиотехника. - 1987. - №10 - С. 62-,65

7. Копейкин В.В. Самовоздействие волн в линейных диспергирующих средах, // Радиотехника. - 1988. - 1/5. - С. 69-74.

8. Копейкин В.В. Дисперсионная рефракция с точки зрения принципа суперпозиции монохроматических волн. - М., 1989. 12 с. (Препринт/ИЗМИРАН; 3-829).

9. Копейкин В.В. Запитка ионосферного вол ^ого канала сложным сигналом. - М., 1989. - 16 с. - (Препринт/ИЗМИРАН; 3-839).

10. Копейкин В.В., Соколовский В.И., Черкашин Ю.Н. Расчет волновых полей методом параболического уравнения в моделях случайно-неоднородных сред. // Дифракционные эффекты коротких рпд-.юволн. - М.: ИЗМИРАН, 198!. - С.6.-11..

И. Копейкин В.В., Соколовский В.И., Черкашин Ю..Н, Использование многочастотного усреднения для расчета волновых полей численными методами. // Экспериментальные методы зондирования ионосферы. М.: ИЗМИРАН, 1980. - С. 75-78.

12. Копейкин В.В. Использование цифровой фильтрации при расчетах волновых полей численными методами на осноео параболического уравнения. // Практические аспекты изучения ионосферы и ионосферного распространения радиоволн. - М.: ИЗМИРАН, 1981. - С. 170-177.

13. Еременко В.А., Копейкин В.В., Соколовский В.И., Черкашин Ю.Н. Влияние случайных неоднородностей на напряженность поля в области каустики. II Геомагнетизм и аэрономия. - 1982. - 22, }?.6 - С. 1025-1026.

14 Черкашин Ю.Н., Копейкин В.В. О возможном механизме канализации энергии волн в окрестности максимума электронной концентрации слоя Р2. - М., 1982. - 9 с. - (Препринт/И?МИРАН; 26-391).

15. Копейкин В.В., Соколовский В.И., Черкааин Ю.Н. О частотной корреляции огибающей радиосигнала для модели случайно-неоднородной среды с частотной дисперсией и регулярными градиентами. // Распространение декаметровых радиоволн. - М.: ИЗМИРАН, 1982. - С. 64-68.

16. Копейкин В.В., Соколовский В.И., Черкашин Ю.Н. О применении метода Монте-Карло для решения статистических задач распространения радиоволн в случайно-неоднородной ионосфере. // Радиотехника. - 1983, №5 - С. 64-66.

17. Копейкин В.В., Рапопорт М.З. Алгоритм расчета ионограмм наклонного зондирования на основе метода пучков. // Дифракционные эффекты коротких радиоволн. - М.: ИЗМИРАН, 1984. - С. 138-144.

18. Черкаиин Ю.Н., Бочкарев Г,С., Еременко В.А., Копейкин В.В., Чернова В.А., Соколовский В.И. Применение численных алгоритмов метода параболического уравнения в задачах распространения декаметровых радиоволн. II Тезисы докладов XIV Всесоюзной конференции по распространению радиоволн. - Л., 1984. - С. 338-340.

19. Еременко В.А., Копейкин В.В., Рапопорт Н.З., Черкашин Ю.Н. Интегральное представление волнового поля на основе метода гауссовых пучков. // Распространение радиоволн в ионосфере. - М.: ИЗМИРАН, 1985. - С. 8-17.

20. Черкашин Ю.Н., Еременко В.А..Копейкин В.В. Расчет асимптотики волновых полей метолом гауссовых пучков. // Тезисы докладов IX Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн. Телави, 1985. - С. 461-464.

21. Klmov S.I., Kopeikin V.V. а.о. On the use of a mobile surfase radar to study the atmosphere and ionosphere of Mars. // "Adv. Space Res. - 1990. - Vol. 10, N'3-4, - P. (3)35 - 3(38).

• 22. Копейкин B.B. Дисперсионная рефракция пространственно-неоднородных волновых пакетов. - М., 1985. - 12 с. (Препринт/ИЗМИРАН; 3-344).

23. Копейкин В.В. Дисперсионная рефракция: квазистационарное лучевое приближение. - М., 1988. - 12 с. (Препринт/ИЗМИРАН; 25-639).

24. Алебастров В.А., Копейкин В.В. и др. Многочастотное .усреднение как метод повышения точности оценок параметров

сигналов ВНЗ. // Распространение декаметровых радиоволн. - М.: ИЗМИРАН, 1980. - С. 75-78.

25. Копейкин В.В. К вопросу .о законе распределения флуктуаций амплитуды поля радиоволны, рассеянной случайно-неоднородным слоем. // Распространение декаметровых радиоволн. -М.: ИЗМИРАН, 1982. - С. 58-63.

26. Еременко В.А., Копейкин и др. Новый метод расчета волновых полей для ионосферы регулярного и» случайного типа. // Взаимодействие электромагнитных излучений с плазмой. (Тез. докл. III Всесоюзной конф.). - Алма-Ата2 1982. - С. 162-164.

27. Копейки:: В.В., Черкаиин Ю.Н. Применение метода Монте-Карло для решения статистических задач распространения радиоволн в случайно-неоднородных средах. // Техника средств связи. - М.: ЦООНТИ "Экое", 1983-. - С. 60-66.

28. Копейкин В.В., Черкашин Ю.Н., Шемякин В.В. Использование модели высокоширотной ионосферы для расчета ионограмм наклонного зондирования. - Апатиты: ПГИ, 1984. - С. 90-92.

29. Всехсвятская И.С., Копейкин В.В., Соболева Т.Н., Соколовский В.И., Черкашин Ю.Н. Современные возможности для построения глобальной эмпирической неоднородной модели ионосфера. // Распространение декаметровых радиоволн. - М.: ИЗМИРАН, 1982. - С. 78-81.

30. Копейкин В.В., Рапопорт М.З. Численное моделирование ионограмм наклонного зондирования магнитоакт. аной ионосферы

методом пучков. // Распространение радиоволн в ионосфере. - М.: ИЗМИРАН, 1985. - С. 18-21.

31. Черкашин Ю.Н., Копейкин В.В., Смолянов Ю.М. Параболическое уравнение для среднего поля в "квазилучевых" координатах. // Распространение радиоволн в ионосфере. - М.: ИЗМИРАН, 1989. - С. 14-18.

32. Kopeikin V.V. Dispersive refrfaction. - М., 1990. - 19 p. (Prepr in,/IZMIRAN; 52a-937).

33. Копейкин В.В. Дисперсионная рефракция с точки зрения принципа суперпозиции. // Радиотехника. - 1991. - № 5. - С. 38-91.

1. Erillouin L. Wave propagation and group velocity. - New York, London: AP, 1960. - 154 p.

2. Рытов C.M. Модулированные колебания и волны. // Труды физ. ин-та им. П.Н. Лебедева. - 1940. - 2, №1. - С. 1-40.

3. Хармут Х.Ф. Передача информации ортогональными функциями. М.: Связь, 1975. - 266 с.

4. Варакин J1.E. Системы связи с ыумоподобными сигналами. - М: Радио и связь, ¡985. - 384 с,

5 Макаров С.Б., Цикин И.А. Передача дискретных сообщений по радиоканалам с ограниченной полосой пропускания. - Радио и связь, 1988. - 306 с.

Цитированная литература.