Регистрация и реконструкция изображений в магнитно-резонансной томографии по произвольным траекториям в Фурье-пространстве тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

На правах рукописи

Савелов Андрей Александрович

РЕГИСТРАЦИЯ И РЕКОНСТРУКЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ В МАГНИТНО-РЕЗОНАНСНОЙ ТОМОГРАФИИ ПО ПРОИЗВОЛЬНЫМ ТРАЕКТОРИЯМ В ФУРЬЕ-ПРОСТРАНСТВЕ

01.04.17 — химическая физика, в том числе физика горения и взрыва

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казан ь-2005

Работа выполнена в Международном томографическом центре Сибирского отделения Российской академии наук

Научные руководители: доктор химических наук,

старший научный сотрудник, Коптюг Игорь Валентинович

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Лукзен Никита Николаевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

Ильясов Ахат Вахитович

кандидат физико-математических наук, доцент,

Андреев Николай Кузьмич

Ведущая организация: Центр магнитной томографии и спектроскопии Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 30 сентября 2005 г. в 1430 часов на заседании диссертационного совета Д 002.191.01 при Казанском физико-техническом институте им. Е.К. Завойского КазНЦ РАН (Казань, 420029, ул. Сибирский тракт, 10/7).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеках Казанского физико-технического института им. Е.К. Завойского КазНЦ РАН и Международного томографического центра СО РАН.

Автореферат разослан 12 июля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н.

фУ/шу^С* М.М. Шакирзянов

¿Ы999<Й

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Магнитно-резонансная томография (МРТ) — современный физический метод визуализации объектов, основанный на явлении ядерного магнитного резонанса (ЯМР). Возможность получения изображений протонсодержащих объектов с помощью магнитного резонанса была продемонстрирована в пионерской работе П. Лаутербура в 1973 году путем применения пространственно неоднородных магнитных полей, позволяющих установить однозначную связь между частотой излучения и координатами его источника.

Очевидная ценность метода МРТ для нужд медицинской диагностики привела к бурному технологическому развитию, в процессе которого возникло понимание специфических ограничений, стоящих перед методом.

Одна из наиболее серьезных проблем в МРТ — большая длительность эксперимента. Разработка методов регистрации объектов, изменяющих свое состояние в процессе эксперимента, по-прежнему остается весьма актуальной задачей. Объекты, имеющие короткие времена спиновой релаксации или находящиеся в неоднородном магнитном поле, потоки жидкости, а также все, что связано с механическим перемещением, не может быть корректно зарегистрировано классическими способами.

Целью данной работы является разработка алгоритмов регистрации и реконструкции изображений объектов, недоступных классическим методам МРТ, а также адаптация известных методов для визуализации динамических процессов.

Научная новизна диссертационной работы. В работе впервые представлены комплексные решения ряда задач динамической МР-томографии, включающие создание новых аналитических моделей физических процессов, а также применение современных вычислительных методов, которые ранее не былр-деет^нны^связи-с отсутствием достаточно мощной вычислительной|тсхнйМ18ЛИ0ТЕКА |

! да!

Научно-практическая значимость работы.

• Предложен метод визуализации реальной траектории сигнала в Фурье-пространстве в присутствии переменных градиентов магнитного поля, что позволяет оценить погрешности градиентной системы.

• Разработан метод автоматической коррекции искажений формы градиентных импульсов вихревыми токами. Коррекция выполняется в процессе сканирования с учетом физических свойств объекта.

• Предложены два варианта реконструкции изображений радиально ^ расположенных отсчетов в Фурье-пространстве с помощью линейной интерполяции, обладающие высокой вычислительной эффективностью.

• Усовершенствован метод реконструкции изображений по произвольно расположенным отсчетам с помощью интегральной свертки. Используемое в алгоритме понятие плотности отсчетов в Фурье-пространстве может быть определено путем решения системы линейных уравнений без анализа формы траектории, что устраняет его неопределенность и неустойчивость.

• Для оценки погрешностей реконструкции предложена математическая модель простого объекта, обладающего легко управляемым спектром пространственных частот и имеющая тривиальный аналитический вид, что позволило использовать ее для тестирования различных алгоритмов реконструкции.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Метод автоматической коррекции искажений формы градиентных импульсов вихревыми токами с помощью нелинейной оптимиза-

ции Левенберга-Марквардта, позволяющий выполнить коррекцию в процессе сканирования с учетом физических свойств объекта.

2. Метод реконструкции изображений по данным, произвольно расположенным в Фурье-пространстве с помощью линейной интерполяции, обладающий высокой вычислительной эффективностью.

3. Усовершенствованный метод реконструкции изображений по произвольно расположенным отсчетам с помощью интегральной свертки. Используемое в алгоритме понятие плотности отсчетов в Фурье-пространстве определено путем решения системы линей» ных уравнений без анализа формы траектории, что устраняет его

неопределенность и неустойчивость.

4. Математическая модель реального объекта, обладающая легко управляемым спектром пространственных частот для тестирования алгоритмов реконструкции.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на российских и международных конференциях: "Магнитный резонанс в медицине" (Казань, 1997), Международная конференция по магнитному резонансу в медицине и биологии (Киев, 1999), "Проблемы экспериментальной, клинической и профилактической лимфоло-гии" (Новосибирск, 2000), V Международный семинар по магнитному резонансу (спектроскопия и томография) (Ростов-на-Дону, 2000), "Современная химическая физика", XII симпозиум (Туапсе, 2000), "Современное развитие магнитно-резонансной томографии и спектроскопии. Физические основы и применение в медицине и биологии" (Казань, 2001), I Евразийский конгресс "Медицинская физика" (Москва, 2001), "Фундаментальная и клиническая лимфология - практическому здравоохранению" (Пермь, 2001), VI Международный семинар по магнитному резонансу (спектроскопия, томография и экология) (Ростов-на-Дону, 2002),

"Перспективные методы томографической диагностики" (Томск, 2003), "Проблемы лимфологии и интерстициального массопсреноса" (Новосибирск, 2004), II Евразийский конгресс но медицинской физике и инженерии "Медицинская физика — 2005" (Москва, 2005).

Публикации. Основное содержание работы опубликовано в виде 1 монографии, 4 научных статей и 13 тезисов докладов на конференциях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, приложения, списка литературы и изложена на 104 страницах текста, включая 29 рисунков.

Личный вклад автора заключается в самостоятельной теоретической разработке методов точной регистрации и реконструкции сигналов в МР-томографии для ряда специальных случаев. Лично автором, или под его руководством, осуществлена практическая реализация указанных методов на действующем МР-томографе Топнкоп Я50 в Международном Томографическом Центре СО РАН в виде программного обеспечения. В соавторстве с сотрудниками диагностического отдела МТЦ СО РАН получены практические результаты, подтверждающие ценность разработок.

Основное содержание диссертации

Во введении аргументирована актуальность темы, сформулированы цели и задачи работы, дано описание содержания диссертации.

В первой главе очерчен круг задач, требующих специальных методов сканирования. Рассматриваются типичные движущиеся структуры человеческого организма, такие как дыхание и сердцебиение, с точки зрения оптимизации процесса сканирования, а также искажения, вызываемые их движением и способы борьбы с ними.

Далее, в первой главе описаны эффекты, создаваемые потоком вещества. Показано, что амплитудные и фазовые эффекты потока могут быть использованы для извлечения информации о скорости й структуре

потока.

Описанные методы используют алгоритм быстрого преобразования Фурье для извлечения пространственной информации из МР сигнала. Однако, среди требований, предъявляемых алгоритмом быстрого преобразования Фурье к исходным данным, есть одно, существенно влияющее на скорость регистрации сигнала, а именно, дискретные отсчеты тг-мерного сигнала должны располагаться в узлах п-мерной прямоугольной системы координат. Это требование безусловно выполняется всеми классическим методами сканирования. В то же время, конструкция томографа позволяет зарегистрировать двумерный сигнал существенно быстрее, если отказаться от расположения отсчетов в узлах декартовой координатной системы.

Вторая глава представляет собой литературный обзор принципиально нового подхода к проблеме динамической МР-томографии. Использование альтернативной схемы регистрации МР сигнала — нелинейных траекторий сканирования позволяет значительно сократить ограничения по времени.

Понятие траектории сканирования тесно связано с понятием Фурье-пространства (¿-пространства). Магнитно-резонансный сигнал от объекта в присутствии градиента поля С? и без учета релаксации имеет временную зависимость

где р(г) — спиновая плотность объекта и и(г, £) — гуС(1) - мгновенная относительная частота прецессии в системе координат, вращающейся с ларморовской частотой. Пусть

(1)

тогда можно показать, что р(г) и S(k) образуют Фурье-пару:

S{k) = J p(r>-"*>) df (3)

p(f) = J S(k)eir^dk (4)

С использованием понятия ¿-пространства сделано несколько практически важных утверждений:

Размер оцифрованной области ¿-пространства, т.е. максимальная величина Ifcnwxl, и пространственное разрешение изображения Дг обратно пропорциональны друг другу. Шаг оцифровки Ак и размер корректно реконструируемого объекта Irwd также обратно пропорциональны. Выражение (2) описывает эволюцию сигнала в виде траектории в к-иространстве. Дискретные отсчеты располагаются вдоль этой траектории. Величина градиента G имеет смысл скорости перемещения по траектории. Центральная часть ¿-пространства с малыми \к\ определяет отношение сигнал/шум и контраст изображения. Внешние области к-пространства отвечают за качество передачи деталей изображения.

С помощью понятия траектории в Фурье-пространстве проанализированы популярные ИГП градиентного эха, спинового эха, эхо-планарное сканирование, а также ряд неклассических методов, таких как радиальное сканирование, спиральное сканирование. Описано влияние плотности отсчетов в Фурье-пространстве на качество изображения и дана оценка виерезонансных эффектов.

Третья глава излагает экспериментальные результаты регистрации сигнала в присутствии переменного градиента магнитного поля. В ней также предлагается метод прямого измерения реальной траектории в Фурье-пространстве и расчета компенсаций для оптимизации се точности.

Основным источником искажений траектории сигнала в Фурье-иространстве являются вихревые токи, индуцированные в токопроводя-

щих средах вблизи градиентной катушки. Вихревой ток, а вместе с ним и создаваемое дополнительное магнитное поле, пропорциональны величине шага переключения градиента и затухают по экспоненциальному закону. Скорость затухания зависит от характеристик проводника, поэтому суммарное индуцированное поле может спадать как многоэкспоненциальная функция. Действие индуцированных токов на форму градиентного импульса аналогично воздействию высокочастотного фильтра. Так, на рис. 1 видны искажения, обусловленные конечной скоростью

Рис. 1. fc-траектория биполярного градиентного импульса с длительностью полупериода 2 мсек и амплитудой 17.8 мТ/м. Пунктирная линия идеальный случай, без учета конечной скорости нарастания градиента, сплошная линия — измеренная траектория.

нарастания градиента.

Предлагаемый нами метод автоматической компенсации полей, создаваемых вихревыми токами, реализован на томографе Tomikon S50 Avance производства фирмы Bruker (Германия).

Для практической реализации алгоритма коррекции мы применяли итеративный метод Левенберга-Марквардта. Для его успешной работы необходимо иметь возможность определения частных производных оптимизируемой функции по каждому из варьируемых параметров. Нам удалось найти путь вычисления производных сигнала спада свободной индукции по параметрам коррекции, выразив их через величину самого сигнала и его производную от времени.

Коррекция градиентного поля описывается как

з

G(a,ra,t) = (5)

n=l

а коррекция центральной частоты как

з

= (6)

П=1

где ап, Ьп, та п. ть,п — варьируемые параметры. Фаза сигнала от точечного объекта с пространственной координатой х

<р(а, b,r,t,x) = x ( G dt+ f Çtdt (7)

J 0 J 0

Пусть

,t 3

p(a,ra,t) = / Gdt = У^агат0|п(1

Л n=l

g-t/Vn) (8)

q(b,rb,t) = / = (9)

Л n=X

Сигнал спада свободной индукции реального объекта

S(a,b,r,t)= f p(x)e~iip da: = [ Р{х)е^хре~^ dx, (10)

7а. Ja;

его производная по времени

dS_ _ _.др Ôt ~

JГ xp(x)e~ape-1,! dx - J p(x)e~ixpe-ui dx, (11)

производная по компонентам a

ÔS dp

— -i-

don dan

f xp(x)e'ixpe~1'1 dx, (12)

Jx

по компонентам та

дБ дт(

по компонентам Ь по компонентам ть

ЯГ = [ (13)

"'а,п О'а,п Jх

дБ д1 Я (Л АЛ

95 = (15)

дп,п дтЬп Комбинируя (10) - (13), получаем

дБ _(дБ дч \ др /др + дь'

дта,„ \Э1 ' дГ) дта,п / дЬ 1 ;

При этом частные производные р и д имеют тривиальный аналитический вид. Для вычисления собственно частной производной сигнала по времени использовалась классическая формула 5-точечного численного дифференцирования.

~дГ =-12Д£-' (18)

где 5(^2) • • • <5(¿2) — пять последовательных отсчетов дискретизирован-ного сигнала, Д£ — интервал между отсчетами.

Таким образом, мы получили замкнутую формулу для всех частных производных сигнала спада свободной индукции по параметрам.

Метод автоматической коррекции вихревых токов имеет особую ценность для томографов с мощными градиентами, позволяя выполнить настройку менее, чем за 2 часа. Рис. 2 иллюстрирует результат работы алгоритма коррекции на реальном объекте.

V

3

Рис. 2. Коррекция вихревых токов. 1 амплитуда и 3 — форма сигнала в отсутствии градиента. 2 и 4 - сигнал, искаженный вихревыми токами. Вверху до коррекции, внизу - после коррекции.

Четвертая глава посвящена описанию методов реконструкции изображений по произвольным траекториям. Нами разработан простой способ реконструкции данных радиального скана. Учитывая высокую вычислительную эффективность двумерного преобразования Фурье, мы предлагаем выполнить двумерную интерполяцию с целью извлечения значений, находящихся в узлах прямоугольной сетки и далее провести двумерное Фурье-преобразование интерполированных данных.

Линейная интерполяция по ближайшим узлам может быть выполнена с использованием трех или четырех ближайших точек. В первом случае, для каждого узла прямоугольной сетки координат г находятся три ближайшие экспериментальные точки а, Ь, с (рис. 3) таким образом,

Рис. 3. Фрагмент к-нространства: трехточечная интерполяция радиальных данных на прямоугольную сетку

Рис. 4. Фрагмент к-пространства: четырехточечная интерполяция радиальных данных на прямоугольную сетку.

чтобы образованный ими треугольник содержал точку г и его периметр был бы наименьшим из всех возможных. Для этого на ближайшем луче выбрать две ближайшие точки а и Ь, |а| < |г| < |Ь|, составляющие основание треугольника. На втором соседнем луче также выбирать ближайшую к г точку, в которой расположить вершину треугольника. В трехмерном пространстве провести воображаемую плоскость

через выбранные точки 5(a), S(b), S(c). Искомое значение S(r) принимается равным значению на плоскости в точке г. Реализация этого алгоритма сводится к решению системы уравнений

р ■ а + qS(a) = 1 p-b + qS(b)^ 1 p-c + qS{c) = 1 р- r + qS{r) = 1

(19)

где р и д вспомогательные переменные.

Во втором случае, для каждого узла прямоугольной сетки координат г выбираются два ближайших луча траектории. На каждом из лучей вы-

бираются по две точки, а, Ь и с, (1, ближайшие к искомой (рис. 4). Найти на каждом луче точки ей/, такие, чтобы ¡е] = |/| = \г\. Далее последовательно вычислить значения 6"(е), 5(/) и 5(г) с помощью уравнений линейной интерполяции:

5(ё) - 5(5) _ - 5(а)

|е-а| \Ь-а\

5(/1-Д(с)== 5(^-5(5) |/-с| |<?-с|

Оба представленных алгоритма имеют асимптотическую вычислительную сложность 0(1У2) и сопоставимый размер внутреннего цикла -23 и 18 операций соответственно.

Далее в текущей главе проведен анализ широко распространенного алгоритма реконструкции данных по произвольно расположенным отсчетам с помощью интегральной свертки. Выявлены две принципиальные проблемы, присущие этому алгоритму и дано оригинальное решение одной из них.

Классический алгоритм реконструкции с помощью интегральной свертки требует определения локальной плотности экспериментальных отсчетов как непрерывной пространственной функции. Эта функция является плохо определенной с алгоритмической точки зрения и зависит неустойчивым образом от формы траектории. Нами найден прямой алгебраический путь вычисления значений функции плотности в точках расположения экспериментальных отсчетов, не требующий анализа формы траектории.

Рассматривая случай, когда дан массив экспериментальных точек кг,г= 1 .--И, расположенных произвольным образом в ^-пространстве, и требуется получить значения в узлах декартовой координатной сетки

(20)

кп г = 1... N с использованием ядра свертки С(к), показано, что матрица значений функции плотности отсчетов может быть получена путем решения системы IV2 линейных уравнений с N неизвестными ...

(с(\к'к\) ■■■ с{\1х-кй\) \ / а ... о \

\Ci\h-k\) ■■■ С(\кй-кх\)) V 0 ■■•

— и V

втс(|&1 — Ах!) ■■■ зтс(1к] —

\ Бтс(|^ — 1) / 1

{СОкя-кг!)

этсЦк^ - кц|)

• сць-ЫЛ

1

(21)

/

Глава завершается результатами численного моделирования и реконструкции реального объекта по предложенным алгоритмам с анализом вычислительной сложности и устойчивости. Самостоятельный интерес представляет используемый модельный объект, обладающий легко управляемым спектром пространственных частот и имеющий тривиальный аналитический вид.

Приложение содержит описание алгоритма Левенберга-Марквардта, использованного для вычисления коррекции градиентных импульсов. Этот алгоритм является одним из наиболее современных методов минимизации среднеквадратичных отклонений для нелинейных математических моделей. Являясь комбинацией метода скорейшего градиентного спуска и метода квадратичной интерполяции, он обладает способностью адаптироваться к особенностям исходных данных. Вдали от оптимума используется градиентный спуск, по мере приближения к оптимуму он постепенно замещается интерполяцией, что приводит к быстрой сходимости алгоритма.

Выводы

1. Предложен метод визуализации реальной траектории сигнала в к-пространстве в присутствии переменных градиентов магнитного поля, что позволяет оценить точность градиентной системы.

2. Разработан метод автоматической коррекции искажений формы градиентных импульсов вихревыми токами. Алгоритм подбора параметров экспонент использует нелинейную оптимизацию с помощью метода Левенберга-Марквардта. Коррекция выполняется в процессе сканирования с учетом физических свойств объекта.

3. Предложены два варианта реконструкции изображений рад и ал ь но расположенных отсчетов в Фурье-пространстве с помощью линейной интерполяции, обладающие высокой вычислительной эффективностью. Показано, что линейная интерполяция требует четырехкратной избыточной оцифровки Фурьс-иространстпа, по сравнению с требованиями критерия Найквиста.

4. Усовершенствован метод реконструкции изображений по произвольно расположенным отсчетам с помощью свертки. Используемое в алгоритме понятие нлотности отсчетов в Фурье-пространствс может быть определено путем решения системы линейных уравнений без анализа формы траектории, что устраняет его неопределенность и неустойчивость.

5. Для оценки погрешностей реконструкции предложена математическая модель простого объекта с легко управляемым спектром пространственных частот и имеющая тривиальный аналитический вид, что позволило использовать ее для тестирования различных алгоритмов реконструкции.

Публикации автора по теме диссертации

1. Введение в МР-томографию. / М.Г. Якобсон, A.B. Подоплелов, С.Б. Рудых и др. - Новосибирск: Изд-во СОАН, 1991.- 91 с.

2. Савелов A.A. Альтернативные методы сканирования и реконструкции в МР-томографии. / A.A. Савелов, И.В. Мастихин. // Лучевая диагностика, лучевая терапия. - 1999. - Вып.7. - С.234-236.

3. Савелов A.A. Быстрое сканирование в МР-томографии. / A.A. Савелов, Р.З. Сагдсев. // Медицинская физика. - 2001. - Т.Н. - С.108.

4. Возможности магнитно-резонансной томографии в визуализации кровотока. / A.A. Тулупов, А.Ю. Летягин, В.П. Курбатов и др. // Вестник НГУ. - 2004. - Т.2. - Вып.1. - С.57-69.

5. Магнитно-резонансная томография: возможности современной ви-зуализационной технологии в клинической диагностике. / А.Ю Летягин, A.A. Тулупов. АА. Савелов, А.М. Коростышевская. // Вестник НГУ. - 2004. - Т.2. - Вып.З. - С.63-86.

6. Курбатов В.П. Использование 30-МР-ангиографии и 3D-MP-миелографии в клинико-диагностической практике. / В.П. Курбатов, А.Ю. Летягин, A.A. Савелов. // Международная конференция "Магнитный резонанс в медицине", Казань, Россия, сентябрь 1997. / Тезисы докладов. - К; 1997. - С.49.

7. Savclov A.A. Reconstruction of radial scan data by interpolation and FFT algorithm. / A.A. Savclov, O.Yu. Tokarev. // ESMRMB 16th Scientific Meeting, Sevilla, Spain, September 1999. / Book of Abstracts. - S; 1999. - P.508.

8. Магнитно-резонансная томография: возможности новой визуализа-ционной технологии в клинической лимфологии. / А.Ю. Летягин,

Е.В. Дизендорф, A.A. Савелов и др. // Проблемы экспериментальной, клинической и профилактической лимфологии. Новосибирск, июнь 2000. / Тезисы конференции. - Н; 2000. - С. 168 170.

9. Savelov A. A. Alternatives of scanning and image reconstruction methods in MR tomography. / A.A. Savelov, I.V. Mastikhin. // V International Workshop On Magnetic Resonance (Spectroscopy And Tomography), Rostov-on-Don, Russia, September 2000. / Book of Abstracts. - R; 2000. - P.183-185.

10. Савелов А А. Альтернативные методы сканирования и реконструкции в MP-томографии. / А.А. Савелов, И.В. Мастихин. // Современная химическая физика, XII симпозиум, Туапсе, Россия, сентябрь 2000. / Тезисы докладов. - М; 2000. - С.191-192.

11. Functional cine-MYUR MRI of Abdomen. / A.A. Savelov, I.V Mastikhin, A.Yu. Letyaguin et al. // International Workshop "Modern Development of Magnetic Resonance Imaging and Spectroscopy. Basic Physics and Applications in Medicine and Biology". Kazan, Russia, June 2001. / Abstracts. - K; 2001. - P.20.

12. Сагдеев Р.З. Быстрое сканирование в MP-томографии. / Р.З. Саг-деев, А. А. Савелов. // International Workshop "Modern Development of Magnetic Resonance Imaging and Spectroscopy. Basic Physics and Applications in Medicine and Biology". Kazan, Russia, June 2001. / Abstracts. - K; 2001. - P.6.

13. Магнитно-резонансная томография в клинической лимфологии. / А.Ю. Летягин, Е.А. Левшакова, А.А. Савелов, И.В. Мастихин. // Фундаментальная и клиническая лимфология — практическому здравоохранению. Пермь, Россия, 2001. / Материалы научно-практической конференции. - П; 2001. - С.82-86.

14. Коростышевская A.M. Сравнительная характеристика эндоскопической ретроградной холангионанкреатографии и магнитно-

резонансной холангиографии в диагностике причин механической желтухи. / A.M. Коростышевская, A.A. Савелов, Г.В. Панасюк. // VI Международный семинар по магнитному резонансу (спектроскопия, томография и экология), Ростов-на-Дону, Россия, октябрь 2002. / Материалы семинара. - Р; 2002. - С.48-51.

15. Лстягин А.Ю. Магнитно-резонансная бесконтрастная лимфогра-фия. / А.Ю. Лстягин, A.A. Савелов. // Международная конференция "Перспективные методы томографической диагностики. Разработка и клиническое применение", Томск, Россия, июнь 2003. / Материалы конференции. - Т; 2003. - С. 12-13.

16. Коростышевская A.M. Сравнительная характеристика эндоскопической ретроградной холангиопанкреатографии и магнитно-резонансной холангиографии в диагностике причин механической желтухи. / A.M. Коростышевская, A.A. Савелов, А.Ю. Летягин. // Международная конференция "Перспективные методы томографической диагностики. Разработка и клиническое применение", Томск, Россия, июнь 2003. / Материалы конференции. - Т; 2003. -С.21-22.

17. Магнитно-резонансная томография — инструмент прижизненной диагностики дренажных возможностей лимфатической системы. / А.Ю. Летягин, A.A. Савелов, A.M. Коростышевская и др. // Конференция "Проблемы лимфологии и интерстициального массопере-носа", Новосибирск, Россия, июнь 2004. / Материалы конференции. - Н; 2004. - 4.1. - С.238-243.

18. Савелов A.A. Реконструкция изображений в магнитно-резонансной томографии по произвольным траекториям в Фурье-пространстве. / A.A. Савелов. //II Евразийский конгресс по медицинской физике и инженерии "Медицинская физика — 2005", Москва, Россия, июнь 2005. / Сборник материалов. - М; 2005. - С.250-251.

»14386

РНБ Русский фонд

2006-4 20213

Подписано к печати "7м июля 2005г. Тираж 100 экз. Заказ № 1465 Отпечатано "Документ-Сервис", 630090, Новосибирск, Институтская 4/1, тел. 335-66-00

Введение

1 Классические методы визуализации динамических объектов

1.1 Сердцебиение.

1.1.1 Проблемы магнитно-резонансной томографии сердца

1.1.2 Методика синхронизации импульсно-градиентной последовательности с электрокардиограммой

1.2 Дыхательные движения.

1.3 Поток жидкости.

1.3.1 Амплитудные эффекты потока.

1.3.2 Фазовые эффекты потока.

1.4 Магнитно-резонансная ангиография.

1.4.1 Время-пролётная ангиография.

1.4.2 Фазоконтрастная ангиография.

Магнитно-резонансная томография (МРТ) — современный физический метод визуализации объектов, основанный на явлении ядерного магнитного резонанса (ЯМР). Явление ЯМР известно с 1946 года, когда Блох [1] и Парселл [2] зарегистрировали резонансное поглощение радиоволн атомами водорода в магнитном поле. Метод ЯМР быстро нашёл признание в качестве основного инструмента для анализа химической структуры молекул. Широкому распространению ЯМР-спектроскопии способствовали успехи в области теории обработки сигналов, в частности, изобретение алгоритма быстрого преобразования Фурье.

Значительным достижением в истории ЯМР-спектроскопии является изобретение двумерных методов ЯМР, позволяющих разделить вклады различных физических процессов в модуляцию регистрируемого сигнала, например прецессии и спин-спинового взаимодействия. Основные идеи и технические решения двумерной ЯМР-спектроскопии позднее легли в основу МРТ.

Возможность визуализации протонсодержащих объектов с помощью магнитного резонанса была продемонстрирована в пионерской работе Лаутербура в 1973 году [3]. К тому моменту явление магнитного резонанса было известно уже почти тридцать лет. Такая задержка открытия МРТ, видимо связана с тем, что по аналогии с оптической микроскопией считалось невозможным получить разрешение на изображении лучше, чем типичная длина волны используемого излучения. Применяемые в ЯМР-спектрометрах магниты обеспечивали напряжённость поля порядка 1-5 Т, что соответствует резонансной частоте протонов до 200 МГц или радиоволнам метрового диапазона. Эта проблема была решена путём применения пространственно неоднородных магнитных полей, позволяющих установить однозначную связь между частотой излучения и координатами его источника.

Очевидная ценность метода МРТ для нужд медицинской диагностики привела к бурному технологическому развитию, и уже в конце 70-х годов на рынке появились первые MP-томографы для медицинских целей. Совершенствование технологии МРТ привело исследователей к пониманию специфических ограничений, стоящих перед методом.

Одна из наиболее серьёзных проблем в МРТ — относительно большая длительность эксперимента. Первые, ещё не оптимизированные, методы сканирования требовали до 10 минут для получения изображения приемлемого качества, в течение которых пациент должен сохранять полную неподвижность. В течение следующих лет было затрачено немало усилий, направленных на сокращение времени исследования без существенной потери качества изображений. Однако, разработка методов регистрации объектов, изменяющих своё состояние в процессе эксперимента, по-прежнему остаётся весьма актуальной задачей. Потоки крови, сердцебиение и всё, что связано с механическим перемещением, быстрые функциональные изменения органов, объекты, имеющие короткие времена спиновой релаксации или находящиеся в неоднородном магнитном поле, не могут быть корректно зарегистрированы классическими способами.

Целью данной работы является разработка алгоритмов регистрации и реконструкции изображений объектов, недоступных классическим методам МРТ, а также адаптация известных методов для визуализации динамических процессов.

В работе решены следующие задачи:

• Создан метод измерения и визуализации реальной траектории сигнала ядерного магнитного резонанса в ^-пространстве в присутствии переменных градиентов поля.

• Разработан и реализован алгоритм автоматической коррекции искажений формы градиентных импульсов, вызванных вихревыми токами.

• Разработан и реализован алгоритм реконструкции изображений с помощью линейной интерполяции на нерегулярной сетке отсчётов, отличающийся высокой скоростью.

• Усовершенствован алгоритм реконструкции изображений с помощью свёртки. Показано, что предлагаемый вариант алгоритма даёт точное решение задачи восстановления изображения по нерегулярным отсчётам в ^-пространстве при условии соблюдения некоторых ограничений.

В первой главе рассматриваются типичные движущиеся структуры человеческого организма, такие как дыхание и сердцебиение, с точки зрения оптимизации процесса сканирования, а также искажения, вызываемые их движением и способы борьбы с ними.

Вторая глава представляет собой литературный обзор принципиально нового подхода к проблеме, использующего альтернативную схему регистрации MP сигнала — нелинейные траектории сканирования, позволяющего значительно сократить ограничения по времени.

Третья глава излагает экспериментальные результаты регистрации сигнала в присутствии переменного градиента магнитного поля. В ней также предлагается метод прямого измерения реальной траектории в к-пространстве и расчёта компенсаций для оптимизации её точности.

Четвёртая глава посвящена описанию методов реконструкции изображений по произвольным траекториям. Рассмотрен ряд альтернативных алгоритмов, отличающихся точностью и вычислительной сложностью.

Диссертация завершается обсуждением результатов и списком литературы.

Выводы

1. Разработана методика синхронизации импульсно-градиентной последовательности с электрокардиограммой с учётом физиологических особенностей сердечной деятельности.

2. Предложен метод визуализации реальной траектории сигнала в к-пространстве в присутствии переменных градиентов магнитного поля, что позволяет оценить погрешность градиентной системы.

3. Разработан метод автоматической коррекции искажений формы градиентных импульсов вихревыми токами. Поправка представляет собой суперпозицию трёх экспоненциально спадающих компонент. Алгоритм подбора параметров экспонент использует нелинейную оптимизацию с помощью метода Левенберга-Марквардта. Коррекция выполняется в процессе сканирования с учётом физических свойств объекта.

4. Предложены два варианта реконструкции изображений с использованием произвольно расположенных отсчётов в ^-пространстве с помощью линейной интерполяции, обладающие высокой вычислительной эффективностью. Показано, что для получения удовлетворительных результатов линейная интерполяция требует четы—* рёхкратной избыточной оцифровки ^-пространства по сравнению с требованиями критерия Найквиста.

5. Усовершенствован метод реконструкции изображений по произвольно расположенным отсчётам с помощью свёртки. Используемое в алгоритме понятие плотности отсчётов в /с-пространстве может быть определено путём решения системы линейных уравнений без анализа формы траектории, что устраняет его неопределённость и неустойчивость.

6. Для оценки погрешностей реконструкции предложена математическая модель простого объекта с легко управляемым спектром пространственных частот и имеющая тривиальный аналитический вид, что позволило использовать её для тестирования различных алгоритмов реконструкции.

4.4 Заключение

В настоящей главе нами рассмотрены вопросы реконструкции изображений с использованием произвольно расположенных отсчётов в к-пространстве. Представлены два варианта простой линейной интерполяции, обладающие высокой вычислительной эффективностью, выработаны рекомендации для постановки эксперимента.

Показано, что плотность неравномерно расположенных отсчётов может быть определена алгебраическим методом, что устраняет неопределённость самого понятия плотности как функции формы траектории.

Для оценки погрешностей реконструкции предложен простой модельный объект, обладающий легко управляемым спектром пространственных частот и имеющий тривиальный аналитический вид, что позволяет без труда использовать его для тестирования различных алгоритмов реконструкции.

Проведён анализ вычислительной сложности и устойчивости вышеперечисленных алгоритмов.

1. Bloch F. Nuclear induction. / F.Bloch, W.W.Hansen, M.Packard. // Phys. Rev. - 1946. - V.69. - P.127.

2. Purcell E.M. Resonance absorption by nuclear magnetic moments in solids. / E.M.Purcell, H.C.Torrey, R.V.Pound. // Phys. Rev. 1946. -V.69. - P.37.

3. Lauterbur P.C. Image formation by induced local interactions: Examples employing NMR. / P.C.Lauterbur. // Nature. 1973. - V.242. - P. 190.

4. Lanzer P. Cardiac imaging using gated magnetic resonance. / P.Lancer, E.H.Botvinick, N.B.Shiller. // Radiology. 1984. - V.150. - P.121-127.

5. Blackwell C.G. Magnetic Resonance Imaging: Cardiovascular System. / C.G.Blackwell, G.B.Granney, G.M.Prohost. // New York: Gower Medical Publishing, 1992.

6. Беличенко О.И. Клиническое применение магнитно-резонансной томографии в диагностике и оценке эффективности лечения у больных артериальной гипертонией: Автореферат диссертации доктора медицинских наук. / О.И. Беличенко; ВКНЦ АМН СССР. Москва, 1990.

7. Введение в MP-томографию. / М.Г. Якобсон, А.В. Подоплелов, С.Б. Рудых, А.А. Савелов и др. Новосибирск: Изд-во СОАН, 1991.- 91 с.

8. Lenz G.W. Retrospective cardiac gating: A review of technical aspects and future directions. / G.W.Lenz, E.M.Haacke, R.D.White. // Magn. Res. Imaging. 1989. - V.7. - P.445-455.

9. Bottomley P.A. What is the optimum phased array coil design for cardiac and torso magnetic resonance? / P.A.Bottomley, O.C.Lugo, R.Giaquinto. // Magn. Reson. Med. 1997. - V.37. - P.591-599.

10. In vivo measurement of and field inhomogeneity maps in the human heart at 1.5 T. / S.B.Reeder, A.Z.Faranesh, J.L.Boxerman, E.R.McVeigh. // Magn. Reson. Med. 1998. - V.39. - P.988-998.

11. The intrinsic signal-to-noise ratio in human cardiac imaging at 1.5, 3, and 4 T. / H.Wen, T.J.Denison, R.W.Singerman, R.S.Balaban. // J. Magn. Reson. Imaging. 1997. - V.125. - P.65-71.

12. Reduction of Field of View in MRI Using a Surface-Spoiling Local Gradient Insert. / D.G.Wiesler, H.Wen, S.D.Wolff, R.S.Balaban. // J. Magn. Reson. Imaging. 1998. - V.8. - P.981-988.

13. Mansfield P. Multi-planar image formation using NMR spin echoes. / P.Mansfield. // J. Phys. C:Solid State Phys.- 1977. V.10. - P.L55.

14. Магнитно-резонансная томография: возможности современной ви-зуализационной технологии в клинической диагностике. / А.Ю. Jle-тягин, А.А. Тулупов, А.А. Савелов, A.M. Коростышевская. // Вестник НГУ. 2004. - Т.2. - Вып.З. - С.бЗ-86.

15. Rapid images and NMR movies. / A.Haase, J.Frahm, D.Matthaei, W.Hanicke, K.D.Merboldt. // 4th annual meeting of SMRM, London, 1985. / Abstract of Papers. L; 1985. - P.980-981.

16. Ehman N.R. Magnetic resonance imaging with respiratory gating: Techniques and advantages. / N.R.Ehman, M.T.McNamara, M.Pallac. // AJR. 1984. - V.143. - P.1175-1182.

17. Edelmann R.L. Adaptive technique for high resolution MR imaging of moving structures with navigator echoes. / R.L.Edelmann, J.P.Felmlee. // Radiology. 1989. - V.173. - P.255-263.

18. Vlaardingerbroek M.T. Magnetic Resonance Imaging. / M.T.Vlaardingerbroek, J.A. den Boer. Berlin: Springer, 1999. -481p.

19. Савелов A.A. Альтернативные методы сканирования и реконструкции в MP-томографии. / А.А. Савелов, И.В. Мастихин. // Лучевая диагностика, лучевая терапия. 1999. - Вып.7. - С.234-236.

20. Numerical recipes in С. / W.H.Press, B.P.Flannery, S.A.Teukolsky, W.T.Vetterling. Cambridge:Cambridge University Press, 1992. - 735p.

21. Johnson C.S.,Jr Diffusion ordered nuclear magnetic resonance spectroscopy. / C.S.Johnson,Jr. // Progress in MNR Spectroscopy. -1999. V.34. - P.203-256.

22. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. / Г.Корн, Т.Корн. М.:Наука, 1968. - 720с.

23. Hinshow W.S. Image formation by nuclear resonance: The sensitive point method. / W.S.Hinshow. // J. Appl. Phys. 1976. - V.47. - P.3709-3721.

24. Axel L. Blood flow effects in magnetic resonance imaging. / L.Axel. // AJR. 1984. - V.143. - P.1157-1166.

25. Bradley W.G. Blood flow: Magnetic resonance imaging. / W.G.Bradley, V.Waluch. // Radiology. 1985. - V.154. - P.443-450.

26. Fast and exact flow measurements with the fast Fourier flow technique. / J.Hennig, M.Mtiri, P.Brunner, H.Friedburg. // Magn. Reson. Med. -1988. V.6. - P.369-372.

27. Suryan G. Nuclear resonance in flowing liquid. / G.Suryan. // Proc. Ind. Acad. Sci. -1951. Sect. A33. - P.107-111.

28. Mackovski A. Selective projection imaging: Application to Radiography and NMR. / A.Mackovski. // IEEE Trans, on Med. Im.- 1982. MI-1. - P.42-47.

29. Volume rendering and connectivity algorithms for MR angiography. / H.E.Cline, C.L.Dumoulin, W.E.Lorensen et al // Magn. Reson. Med. -1991. V.18. - R384-394.

30. Roditi G.H. Evaluation of tilted, optimized, non-saturating excitation pulses in 3D magnetic resonance angiography of the abdominal aorta and major branches in volunteers. / G.H.Roditi, F.W.Smith, T.W.Redpath. // Br. J. Radiol. 1994. - V.67. - P.ll-13.

31. Magnetic resonance imaging / ed. D.D.Stark, W.G.Bradley. St. Louis: Mosby, 1988. - 1516p.

32. Use of magnetisation transfer contrast to improve cerebral 3D MR angiography. / V.Dousset, J.M.Franconi, P.Degreze et al. // Neuroradiology. 1994. - V.36. - P.188-192.

33. MR imaging of flow using the steady state selective saturation method. / J.Hennig, M.Muri, H.Friedburg, P.Brunner. // J. Comput. Assist. Tomogr. 1987. - V.ll. - P.872-877.

34. Возможности магнитно-резонансной томографии в визуализации кровотока. / А.А. Тулупов, А.Ю. Летягин, В.П. Курбатов и др. // Вестник НГУ. 2004. - Т.2. - Вып.1. - С.57-69.

35. Dynamic MR digital subtraction angiography using contrast enhancement, fast data acquisition, and complex subtraction. / Y.Wang, D.L.Johnston, J.F.Breen et al // Magn. Reson. Med. 1996. - V.36. - P.551-556.

36. Felmlee J.P. Spatial presaturation: a method for suppressing flow artifacts and improving depiction of vascular anatomy in MR imaging. / J.P.Felmlee, R.L.Ehman. // Radiology. 1987. - V.164. - P.559-564.

37. Cooley J.W. An algorithm for the machine computation of the complex fourier series. / J.W.Cooley, J.W.Tukey. // Mathematics of Computation. 1965. - V.19. - P.297-301.

38. Kumar A. NMR Fourier Zeugmatography. / A.Kumar, D.Welti, R.R.Ernst. // J. Magn. Res. 1975. - V.18. - P.69-83.

39. Tweig D. The k-trajectory formulation of the NMR imaging process with application in analysis and synthesis of imaging methods. / D.Tweig. // Med. Phys. 1983. - V.10. - P.610-621.

40. Савелов А.А. Быстрое сканирование в MP-томографии. / А.А. Савелов, Р.З. Сагдеев. // Медицинская физика. 2001. - Т.Н. - С.108.

41. Hennig J. RARE imaging — a fast imaging method for clinical MR. / J.Hennig, A.Nauerth, H.Friedburg. // Magn. Reson. Med. 1986. - V.3.- P.823-833.

42. Glover G.H. Projection reconstruction techniques for reduction of motion effects in MRI. / G.H.Glover, J.M.Pauly. // Magn. Reson. Med.- 1992. V.28. - P 275-289.

43. FID-based lung MRI at 0.5 T: theoretical considerations and practical implications. / M.A.Schmidt, G.Z.Yang, P.D.Gatehouse, D.N.Firmin. // Magn. Reson. Med. 1998. - V.39. - P.666-672.

44. High-resolution diffusion imaging with DIFRAD-FSE (diffusion-weighted radial acquisition of data with fast spin-echo) MRI. / T.P.Trouard, R.J.Theilmann, M.I.Altbach, A.F.Gmitro. // Magn. Reson. Med. 1999. - V.42. - P.ll-18.

45. Gmitro A.F. Use of a projection reconstruction method to decrease motion sensitivity in diffusion-weighted MRI. / A.F.Gmitro, A.L.Alexander. // Magn. Reson. Med. 1993. - V.29. - P.835-838.

46. Glover G.H. Consistent projection reconstruction (CPR) techniques for MRI. / G.H.Glover, D.C.Noll. // Magn. Reson. Med. 1993. - V.29. -P.345-351.

47. Schaffter T. Motion compensated projection reconstruction. / T.Schaffter, V.Rasche, I.C.Carlsen. // Magn. Reson. Med. 1999. - V.41.- P.954-963.

48. Glover G.H. Motion artifacts in fMRI: comparison of 2DFT with PR and spiral scan methods. / G.H.Glover, A.T.Lee. // Magn. Reson. Med.- 1995. V.33. - P.624-635.

49. Rasche V. Radial turbo spin echo imaging. / V.Rasche, D.Holz, W.Schepper. // Magn. Reson. Med. 1994. - V.32. - P.629-638.

50. СгёпиШеих Y. Projection-reconstruction methods: fast imaging sequences and data processing. / У.СгётПНеих, A.Briguet, A.Deguin. // Magn. Reson. Med. 1994. - V.32. - P.23-32.

51. Natterer F. The mathematics of computerized tomography. / F.Natterer.- Stuttgart: Wiley, 1985. 279p.

52. Nielsen H.T. Improved 2D time-of-flight angiography using a radial-line k-space acquisition. / H.T.Nielsen, E.W.Olcott, D.G.Nishimura. // Magn. Reson. Med. 1997. - V.37. - R285-291.

53. Song H.K. k-Space weighted image contrast (KWIC) for contrast manipulation in projection reconstruction MRI. / H.K.Song, L.Dougherty. // Magn. Reson. Med. 2000. - V.44. - P.825-832.

54. Three-dimensional projection imaging with half the number of projections. / F.E.Boada, J.D.Christensen, J.S.Gillen, K.R.Thulborn. // Magn. Reson. Med. 1997. - V.37. - R470-477.

55. Undersampled projection reconstruction applied to MR angiography. / D.C.Peters, F.R.Korosec, T.M.Grist et al. // Magn. Reson. Med. 2000.- V.43. P.91-101.

56. Peters D.C. Myocardial wall tagging with undersampled projection reconstruction. / D.C.Peters, F.H.Epstein, E.R.McVeigh. // Magn. Reson. Med. 2001. - V.45. - P.562-567.

57. Phase-contrast with interleaved undersampled projections. / A.V.Barger, D.C.Peters, W.F.Block et al. // Magn. Reson. Med.- 2000. V.43. - P.503-509.

58. Undersampled projection-reconstruction imaging for time-resolved contrast-enhanced imaging. / K.K.Vigen, D.C.Peters, T.M.Grist et al. // Magn. Reson. Med. 2000. - V.43. - P.170-176.

59. Continuous radial data acquisition for dynamic MRI. / V.Rasche, R.W. de Boer, D.Holz, R.Proksa. // Magn. Reson. Med. 1995. - V.34.- P.754-761.

60. Ahn С.В. High-speed spiral-scan echo planar NMR imaging. / C.B.Ahn, J.H.Kim, Z.H.Cho. // IEEE Trans. Med. Imaging. 1986. - MI-5. - P.2-7.

61. Real time blood flow imaging by spiral scan phase velocity mapping. / P.D.Gatehouse, D.N.Firmin, S.Collins, D.B.Longmore. // Magn. Reson. Med. 1994. - V.31. - P.504-512.

62. Magnetic resonance velocity imaging using a fast spiral phase contrast sequence. / G.B.Pike, C.H.Meyer, T.J.Brosnan, N.J.Pelc. // Magn. Reson. Med. 1994. - V.32. - P.476-483.

63. Fast spiral coronary artery imaging. / C.H.Meyer, B.S.Hu, D.G.Nishimura, A.Macovski. // Magn. Reson. Med. 1992. - V.28. -P.202-213.

64. Direct comparison of 3D spiral vs. cartesian gradient-echo magnetic resonance angiography. / P.Bornert, M.Stuber, R.M.Botnar et al. // Magn. Reson. Med. 2001. - V.46. - P.789-794.

65. Pipe J.G. Effects of interleaf order for spiral MRI of dynamic processes. / J.G.Pipe, E.Ahunbay, P.Menon. // Magn. Reson. Med. 1999. - V.41.- P.417-422.

66. King K.F. Optimized gradient waveforms for spiral scanning. / K.F.King, T.K.Foo, C.R.Crawford. // Magn. Reson. Med. 1995. - V.34.- P.156-160.

67. Spielman D.M. Magnetic resonance fluoroscopy using spirals with variable sampling densities. / D.M.Spielman, J.M.Pauly, C.H.Meyer. // Magn. Reson. Med. 1995. - V.34. - P.388-394.

68. Reduction of motion artifacts in cine MRI using variable-density spiral trajectories. / J.R.Liao, J.M.Pauly, T.J.Brosnan, N.J.Pelc. // Magn. Reson. Med. 1997. - V.37. - P.569-575.

69. Spielman D.M. Spiral imaging an a small-bore system at 4.7T. / D.M.Spielman, J.M.Pauly. // Magn. Reson. Med. 1995. - V.34. - P.580-585.

70. Pipe J.G. An optimized center-out k-space trajectory for multishot MRI: comparison with spiral and projection reconstruction. / J.G.Pipe. // Magn. Reson. Med. 2000. - V.42. - P.714-720.

71. Liao J.R. MRI using piecewise-linear spiral trajectory. / J.R.Liao, J.M.Pauly, N.J.Pelc. // Magn. Reson. Med. 1997. - V.38. - P.246-252.

72. Gatehouse P.D. Flow distortion and signal loss in spiral imaging. / P.D.Gatehouse, D.N.Firmin. // Magn. Reson. Med. 1999. - V.41. -P.1023-1031.

73. Partial-FOV reconstruction in dynamic spiral imaging. / H.Sedarat, A.B.Kerr, J.M.Pauly, D.G.Nishimura. // Magn. Reson. Med. 2000.- V.43. P.429-439.

74. Tsai C.M. Off-centered spiral trajectories. / C.M.Tsai, L.C.Man, D.G.Nishimura. // Magn. Reson. Med. 2000. - V.43. - P.446-451.

75. Bornert P. Reversed spiral MR imaging. / P.Bornert, B.Aldefeld, H.Eggers. // Magn. Reson. Med. 2000. - V.44. - P.479-484.

76. Real-time interactive MRI on a conventional scanner. / A.B.Kerr, J.M.Pauly, B.S.Hu et al // Magn. Reson. Med. 1997. - V.38. - P.355-367.

77. Nayak K.S. Automatic field map generation and off-resonance correction for projection reconstruction imaging. / K.S.Nayak, D.G.Nishimura. // Magn. Reson. Med. 2000. - V.43. - P.151-154.

78. Reduced phase encoding in spectroscopic imaging. / A.A.Maudsley, G.B.Matson, J.W.Hugg, M.W.Weiner. // Magn. Reson. Med. 1994.- V.31. P.645-651.

79. Irarrazabal P. Fast three dimensional magnetic resonance imaging. / P.Irarrazabal, D.G.Nishimura. // Magn. Reson. Med. 1995. - V.33. -P.656-662.

80. Noll D.C. Multi-shot rosette trajectories for spectrally selective MR imaging. / D.G.Noll. // IEEE Trans. Med. Imaging. 1997. - V.16.- P.372-377.

81. Noll D.C. Simultaneous multislice acquisition using rosette trajectories (SMART): a new imaging method for functional MRI. / D.C.Noll, S.J.Peltier, F.E.Boada. // Magn. Reson. Med. 1998. - V.39. - P.709-716.

82. Sarty G.E. Critical sampling in ROSE scanning. / G.E.Sarty. // Magn. Reson. Med. 2000. - V.44. - P.129-136.

83. Deblurring for non-2D Fourier transform magnetic resonance imaging. / D.C.Noll, J.M.Pauly, C.H.Meyer et al // Magn. Reson. Med. 1992.- V.25. P.319-333.

84. Man L.C. Multifrequency interpolation for fast off-resonance correction. / L.C.Man, J.M.Pauly, A.Macovski. // Magn. Reson. Med. 1997. -V.37. - P.785-792.

85. Man L.C. Improved automatic off-resonance correction without a field map in spiral imaging. / L.C.Man, J.M.Pauly, A.Macovski. // Magn. Reson. Med. 1997. - V.37. - P.906-913.

86. Concomitant gradient field effect in spiral scans. / K.F.King, A.Ganin, X.J.Zhou, A.M.Bernstein. // Magn. Reson. Med. 1999. - V.41. - P.103-112.

87. Ahunbay E. Rapid method for deblurring spiral MR images. / E.Ahunbay, J.G.Pipe. // Magn. Reson. Med. 2000. - V.44. - P.491-494.

88. Moriguchi H. Applying the uniform resampling (URS) algorithm to a Lissajous trajectory: fast image reconstruction with optimal gridding. / H.Moriguchi, M.Wendt, J.L.Duerk. // Magn. Reson. Med. 2000. -V.44. - P.766-781.

89. Synthesis of brightness distribution in radio sources. / D.E.Hogg, G.H.MacDonald, R.G.Conway, C.M.Wade. // Astronom. J. 1969. -V.74. - P.1206-1213.

90. Brouw W.N. Aperture synthesis. / W.N.Brouw. // Methods in Computational Physics. 1975. - V.14. - P.131-175.

91. O'Sullivan J.D. A fast sine function gridding algorithm for Fourier inversion in computer tomography. / O'Sullivan. // IEEE Trans. Med. Imaging. 1985. - MI-4. - P.200-207.

92. Jackson J.I. Selection of a convolution function for Fourier inversion using gridding. / J.I.Jackson, C.H.Meyer, D.G.Nishimura. // IEEE Trans. Med. Imaging. 1991. - V.10. - P. 473-478.

93. Scilab Group, INRIA-Rocquencourt Metalau Project, Cergrene ENPC, http: / / www-rocq.inria.fr/scilab /

94. Chen D.Q. Reconstruction from NMR data with imaging gradients having arbitrary time dependence. / D.Q.Chen, R.B.Marr, P.C.Lauterbur. // IEEE Trans. Med. Imaging. 1986. - MI-5. -P.162-164.

95. Savelov А.А. Reconstruction of radial scan data by interpolation and FFT algorithm. / A.A.Savelov, O.Yu.Tokarev. // ESMRMB 16th Scientific Meeting, Sevilla, Spain, September 1999. / Book of Abstracts. S; 1999. - P.508.