Регуляризирующие алгоритмы вычисления аппроксимаций производной Радона-Никодима тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение.2.

1. Аппроксимация производной Радона-Никодима полиномами Гильберта-Шмидта.12.

1.1. Вариационный метод вычисления производной Радона-Никодима и её аппроксимаций.12.

1.2. Изометричность пространства полиномов Гильберта-Шмидта и пространства линейных непрерывных функционалов. . . 18.

1.3. Корректность по Адамару задачи вычисления аппроксимаций производной Радона-Никодима. Примеры некорректно поставленных задач.27.

2. Регуляризующие алгоритмы вычисления аппроксимаций производной Радона-Никодима.31.

2.1. Регуляризующий алгоритм по А.Н.Тихонову с асимптотическим согласованием параметра регуляризации.31.

2.2. Метод минимакса.38.

2.3. Метод минимально-допустимой невязки. . 58.

3. Устойчивая конечномерная аппроксимация задачи вычисления производной Радона-Никодима и её численная апробация.71.

3.1. Конечномерная аппроксимация метода А.Н.Тихонова при асимптотическом со

- 155 гласовании параметра регуляризации 71.

3.2. Конечномерная аппроксимация метода минимакса.77.

3.3. Конечномерная аппроксимация метода минимально-допустимой невязки . 84.

3.4. Пример использования операторов сноса и интерполяции .93.

3.5. Численное исследование некоторых минимизирующих последовательностей . . 102.

4. Применения регуляризующих алгоритмов вычисления аппроксимаций производной Радона -Никодима к некоторым задачам математической статистики.109.

4.1. Некоторые практически важные реализации негативных и позитивных гильбертовых пространств.109.

4.2. Задача различения гипотез о вероятностных мерах в сепарабельном гильбертовом пространстве .114.

4.3. Задача повышения разрешающей способности радиотелескопа.126.

Задача вычисления цроизводной Радона-Никодима двух вероятностных мер в бесконечномерных пространствах играет важную роль при изучении абсолютной нецрерывности и сингулярности мер [ I ] • фундаментальные статистические концепции и факты, как достаточная статистика, факторизационная теорема Неймана-Фишера, фише-ровская информация о параметре, содержащаяся в наблюдении, неравенство Рао-Крамера, оценки максимального правдоподобия, которые образуют основу математического аппарата статистики, часто формулируются в терминах плотности одной меры относительно другой [2J.

Основополагающим фактором в теории приёма и передачи информации в системах радиосвязи, гидроакустики, сейсмологии, астрофизики является вычисление отношения правдоподобия или функции правдоподобия, т.е. производной Радона-Никодима двух вероятностных мер.

Используемый в настоящее время метод конечномерных расцреде-лений и мартингальной последовательности для вычисления цроизводной Радона-Никодима не всегда позволяет конструктивно получить решение [3J . Например, явное выражение плотности одной меры относительно другой в бесконечномерных пространствах в настоящее время известно лишь для гаусеовских, диффузионных и цроцессов с независимыми приращениями [2, с.51б] . Поэтому в последнее время часто используют различные аппроксимации производной Радо-на-Никодима, учитывающие лишь моментные функции мер до определённого порядка включительно [ 4 ] .

Следовательно, становится актуальной задача разработки методов вычисления производной Радона-Никодима двух мер и её аппроксимаций, позволяющих использовать вычислительную технику и учитывать лишь конечное число параметров, задающих меры.

Ещё большие осложнения возникают при вычислениях производной Радона-Никодима двух мер, параметры которых подлежат оценке. Такие задачи встречаются при оценке параметров мер в метематичес-кой статистике, фильтрации в статистике случайных процессов, оценки параметров сигналов в теории связи и радиолокации, и в других задачах. Сложность состоит в том, что в бесконечномерных гильбертовых пространствах среди 6" - конечных мер не существует меры, инвариантной относительно изометрических преобразований пространства. Более того, не существует 6 - конечной меры, для которой все меры, получаемые из данной путём всевозможных сдвигов пространства, были бы абсолютно непрерывны относительно некоторой исходной [1,5] .На этом цути становится актуальной задача построения множества допустимых сдвигов мер, на котором производная Радона-Никодима существует и единственна [б] .

Более того, известно [7 - 9] , что производная Радона-Нико-дима весьма чувствительна к сколь угодно малым изменениям мер или их параметров. Последнее приводит к неопределённости относительно решения задачи вычисления производной Радона-Никодима или её аппроксимаций. Т.&. не ясно, что считать решением при отсутствии устойчивости результата вычислений к сколь угодно малым изменениям исходных данных задачи. Последнее приводит к неопределённости решений задач математической статистики, технических задач радиосвязи, гидроакустики, сейсмологии и других, связанных с вычислением производной Радона-Никодима. Существующие методы стаби

- 4 лизации решений часто теоретически не обоснованы, узко специальны и не выявляют непрерывной зависимости решений от изменений исходных данных задачи [10-12]. В некоторых случаях вычислительные трудности существующих методов[13,14]привели к эвристическим способам стабилизации решения [15]. С другой стороны, в настоящее время получили развитие методы решения некорректно поставленных задач. Поэтому актуальной становится задача разработки методов выш&ения аппроксимаций производной Радона-Никодима, позволяющих получать единственное и устойчивое решение, как это делается в теории некорректно поставленных задач. Регуляризованная аппроксимация производной Радона-Никодима в конечномерном пространстве, по-видимому, впервые рассмотрена в [1б], где использовалась статистическая регуляризация [17Д8] .

В данной работе вычисления регулярных аппроксимаций этой производной связаны с решением операторных уравнений первого рода в негативно-позитивных гильбертовых пространствах. Действительно, если jw , ^ две вероятностные меры в измеримом сепарабельном гильбертовом пространстве (Н,3?>) с (5 -алгеброй цилиндрических множеств такие, что ^ абсолютно непрерывна относительно уи , то в силу теоремы Радона-Никодима [l,c.8l] ^(А) /м(с/х) для каждого А^Ъ . $ -измеримая функция ^(ос) = (с(")/с//и)(х), есть производная Радона-Никодима. Пусть Q(t) ,2бУ£ характеристический функционал меры ^ . Он однозначно определяет эту меру [l,2] . Тогда 9а) = \expjiИ,ос) I )(doc) > эсб Н , где (•,•)- ска

If J ' ft ' Г п лярное произведение в К . Отсюда Q(z) = \ €xpf i(2,x)% f ^>(x) ju(c/x)? Ъ & U при ограничениях ^ (X) ъ Qf \/х б 7f, \ (с/х) - i есть интегральное уравнение первого рода с вполне непрерывным оператором из всего //г в 4 Решение такого уравнения некорректно по Адамару [*19,20] и к нему следует применять разработанные в настоящее время спецрегулярные методы, основанные на замене исходной некорректной задачи последовательностью корректных в некотором смысле задач [l9,20j . К сожалению, рассмотренное некорректное уравнение невозможно конструктивно решать даже с использованием современных вычислительных средств (см. Приложение I).

В данной работе показано, что производную Радона-Никодима можно найти путём решения аргументной вариационной задачи а^/ {^ [Н*) - Ер fc*y] - ^ • ^ 4 (КД>}, где l2 (ftyju) - цространство всех функционалов на » интегрируемых с квадратом по мере JH , а В f(oo) = \ f(x) ju(ctx). к

Решая эту вариационную задачу на множестве полиномов Гильберта-Шмидта степени не выше УЬ и учитывая, что в силу обобщённой теоремы Вейрштрасса - Стоуна о приближении [21,с.82J это множество содержится всюду плотно в С к1), а последнее - в L3 (7С} 12*), можно получать различные конструктивные аппроксимации производной Радона - Никодима.

На примерах, имеющих практическое цриложение к связи и радиолокации [23] , показано, что рассматриваемая вариационная задача может быть некорректна по Адамару и к ней необходимо применять регулярные методы решения некорректных вариационных задач [22]. Однако, непосредственно методы [22 J не могут быть использованы в данной работе, т.к. погрешность задания исходных данных на практике часто фиксирована и не может быть сделана сколь угодно малой. Тогда условие асимптотического согласования параметра регуляризации с погрешностью исходных данных становится весьма жёстким ограничением в задаче и бессмысленно требовать его выполнения. Поэтому возникла необходимость новых исследований в этой области теории некорректных задач.

Кроме того, в связи с возрастающей ролью минимаксного решения в задачах математической статистики, цроведено исследование мини

- 6 макса как метода решения некорректных по Адамару задач.

Цель работы состоит в исследовании различных методов вычисления конструктивных аппроксимаций производной Радона-Никодима в классе полиномов Гильберта-Шмидта степени не выше tb путём решения некорректной по Адамару вариационной аргументной задачи. В основу всей работы положено фундаментальное в теории решения некорректных задач определение регуляризующего алгоритма А.Н.Тихонова [ 19,20,22J .

Необходимость данных исследований связана с расширяющимся числом обратных задач при неоцределённости в астрофизике, сейсмологии, связи и радиолокации, гидроакустике. Эти исследования могут быть полезны в теории меры в бесконечномерных пространствах, в статистике случайных процессов, при решении уравнений первого рода с симметричными операторами в бесконечномерных пространствах и т.д.

Результаты работы внедрены в исследования в Государственном астрономическом институте имени П.К.Штернберга, в работы п/я А-3158 и НПО "Квант" города Киева, что подтверждено соответствующими техническими актами внедрения.

Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

Первая глава посвящена вариационному методу вычисления производной Радона-Никодима. Рассматриваются аппроксимации этой производной в классе полиномов Гильберта-Шмидта степени не выше /Z- . Доказывается, что пространство этих полиномов изометрически изоморфно цространству линейных нецрерывных функционалов. Приводится определение корректности рассматриваемой задачи. Рассматриваются практически важные примеры некорректно поставленных задач. Вводятся два определения регуляризующего алгоритма решения рассматриваемой задачи.

Вторая глава посвящена регуляризующим алгоритмам решения рассматриваемой вариационной задачи. В первом параграфе этой главы рассматривается регуляризующий алгоритм на базе сглаживающего функционала А.Н.Тихонова с асимптотическим согласованием параметра регуляризации с погрешностью исходных данных. Необходимость данного исследования связана с возрастающей ролью адаптивных систем обработки информации [24] . Асимптотическое согласование параметра регуляризации широко црименяется цри решении некорректных вариационных задач [22,25,26] , Однако, в случае фиксированных погрешностей данных этот метод не цригоден. Во втором параграфе этой главы рассматривается семейство минимаксных решений для квадратичного функционала, где супремум берётся по всем возможным исходным данным из заданных окрестностей с фиксированным параметром погрешности, а инфимум - по всем элементам из негативного гильбертова цространства. Доказываются теоремы о регулярности минимаксного решения. Показывается связь минимаксного решения с экстремалью сглаживающего функционала А.Н.Тихонова при соответствующем согласовании параметра регуляризации. Приводятся условия, при которых уравнение выбора параметра регуляризации, соответствующего минимаксному решению, имеет единственный корень для кадцого фиксированного значения параметра погрешности. Даются оценки сверху и снизу для параметра регуляризации, а также оценки сверху для отклонения минимаксного решения от нормального решения минимальной нормы точной задачи по функционалу качества. Приводятся обобщения минимаксной задачи на рефлексивные банаховы цространства.

Метод минимакса на практике считается "слишком осторожным". В связи с этим возникает задача выбора семейства приближённых решений из условия минимума допустимой невязки по функционалу качества задачи с полной информацией и при неопределённости. В этом смысле такие решения оптимальны по отношению к другим регуляризованным семействам приближённых решений. Поэтому в третьем параграфе второй главы для вычисления устойчивых апцроксимаций производной Радона-Никодима применяется метод минимально-допустимых невязок. Как и в методе минимакса, здесь не используется в явном виде сглаживающий функционал А.Н.Тихонова. Регуляризованное решение является экстремалью допустимой невязки между значением целевой функции при неопределённости и точной нижней гранью функции при полной информации. Приводятся теоремы об условиях регулярности решений по методу минимально-допустимых невязок, а также связь этих решений с экстремалью сглаживающего функционала А.Н.Тихонова при соответствующем согласовании параметра регуляризации.

Третья глава посвящена устойчивости конечномерных аппроксимаций рассматриваемых методов решения задачи, а также некоторым вычислительным экспериментам. Введение конечномерных апцроксимаций вносит дополнительные возмущения в исходные данные задачи, которые могут нарушить устойчивость численного решения. Необходимость данного исследования связана с возрастающей ролью ЭВМ в численных методах решения, а также с расширением областей применения технических устройств обработки информации типа "аналого-цифровой преобразователь, спец.процессор, цифро-аналоговый цреобразователь".

В первом параграфе этой главы рассматривается конечномерная аппроксимация метода А.Н.Тихонова цри асимптотическом согласовании параметра регуляризации. Вводится расширяющаяся цепочка конечномерных пространств, замыкание объединения которых совпадает со всем выборочным пространством. Вводятся линейные ограниченные операторы дискретизации и восполнения. Доказываются теоремы об условиях конечномерной аппроксимации данных, при которых интерполированные сеточные решения образуют регуляризованное семейство приближённых решений. Во втором параграфе третьей главы эти же воцро-сы рассматриваются для конечномерной аппроксимации метода минимакса. В третьем параграфе этой главы исследуются конечномерные решения метода минимально-допустимых невязок. Поскольку из § 2.3 следует эквивалентность решений этого метода экстремалям сглаживающего функционала А.Н.Тихонова с выбором параметра по "обобщённому цринципу невязки", то здесь исследуются именно эти решения. Введённый "цринцип обобщённой невязки" отличается от исследуемого в [27,28] как сглаживающим функционалом, так и уравнением невязки. Доказываются теоремы об условиях конечномерной аппроксимации данных, при которых интерполированные решения по "цринципу обобщённой невязки" образуют регуляризованное семейство цриближённых решений. Доказываются леммы о свойствах функций, составляющих "обобщённую невязку". В четвёртом параграфе этой главы приводятся примеры использования операторов сноса и интерполяции, удовлетворяющих предположениям §§3.1-3.3 . Путём численных экспериментов на ЭВМ устанавливаются дополнительные свойства функций невязки такие, как скорость роста функций при различных значениях параметров погрешности, а также некоторые характеристики решения, подтверждающие свойства его регулярности. В пятом параграфе этой главы проводятся исследования минимизирующих последовательностей наискорейшего градиентного спуска и сопряжённых направлений Флетчера-Ривса с целью установления таких свойств как успех в достижении экстремали, число необходимых итераций, машинное время для реализации алгоритма, а также влияние параметров регуляризации и погрешности данных на эти свойства.

Четвёртая глава посвящена применению рассмотренных регуляризу-ющих алгоритмов к некоторым задачам математической статистики и астрофизики. В первом параграфе этой главы рассматриваются некоторые практически важные реализации позитивных и негативных гильбертовых пространств, а также конкретные реализации симметричных изометрических операторов вложения и их факторизации.

Во втором параграфе четвёртой главы рассматривается задача различения гипотез о вероятностных мерах в сепарабельном гильбертовом цространстве в условиях априорной неопределённости. Доказываются теоремы о регуляризуемости почти всюду и в среднеквадратичном полиномиальных статистик Гильберта-Шмидта относительно мер по обеим гипотезам. Рассматривается регуляризованная задача Неймана-Пирсона для гауссовских мер в сепарабельном гильбертовом пространстве. Устанавливается устойчивость вероятностей ошибок первого и второго рода в этой задаче, а также влияние параметра погрешности данных на вероятности "правильного обнаружения" и "ложной тревоги". Приводится реализация регуляризованного адаптивного фильтра.

В третьем параграфе четвёртой главы рассматривается задача повышения разрешающей способности радиотелескопа при исследовании стрип-распределения радиояркости в направлении на центр Галактики на лучевой скорости 42.7 щ/сек относительно местного стандарта покоя. Путём численных экспериментов установлен ряд дополнительных деталей в стрип-распределении радиояркости, а также показана возможность изменять разрешающую способность радиотелескопа не толь ко путём изменения апертуры телескопа и характеристик приёмника, но и путём увеличения точности наблюдений. Результаты третьего параграфа получены совместно с Астрономическим институтом имени П.К. Штернберга АН СССР на радиотелескопе в г. Нансэ (Франция).

Приложение I посвящено аналитическому вычислению производной Радона-Никодима двух гауссовских мер в сепарабельном гильбертовом цространстве путём решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода.

В приложении 2 приведены распечатки программ на Фортране-4 и их описания.

Основные положения, выносимые на защиту, следующие:

I. Апцроксимацию цроизводной Радона-Никодима в классе полиномов Гильберта - Шмидта степени не выше КЬ можно получить решением некорректной по Адамару аргументной вариационной задачи,

2. Если параметры погрешности исходных данных задачи пункта I не фиксированы, то регулярным решением задачи является экстремаль сглаживающего функционала А.Н.Тихонова с асимптотическим согласованием параметра регуляризации с погрешностью данных.

3. Регулярными решениями задачи пункта I при фиксированных значениях параметров погрешности являются разработанные и обоснованные в настоящей работе решения по методам минимакса и минимально - допустимых невязок, причём последнее цредпочтительней цри наличии оценки сверху точной нижней грани целевой функции задачи с полной информацией.

4. Для получения регулярного решения задачи пункта I методами пунктов 2, 3 с использованием вычислительных средств, требующих конечномерную аппроксимацию данных, следует выполнять требования, налагаемые на операторы дискретизации и восполнения, а также условия конечномерной аппроксимации и возмущения исходных данных и оператора вложения, приведённые в главе 3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

I. Рассмотрена задача вычисления производной Радона-Никодима двух мер, удовлетворяющих условиям С -аддитивности, полноты, согласованности на С -алгебре цилиндрических множеств сепара-белвного гильбертова цространства <ft . Показано, что если мера ^ абсолютно непрерывна относительно меры уи и производная d^/c/ju £ Ь 2 ( Н, /и ) принадлежит цространству функционалов на }t » интегрируемых с квадратом по мере уи , то dO/c/ju) =

- Е^Ш)} : fe

Надачу пункта I. дашгаг© заключения предавшего решать на

- 131 множестве полиномов Гильберта-Шмидта степени не выше tb , всюду плотном в L2(X,ju). Показано, что достаточная для решения задачи информация о мерах V , уи содержится лишь в моментных функциях соответственно до At -го и <2 П -го порядков включительно. Последнее позволило конструктивно решить вариационную задачу пункта I с помощью вычислительных устройств.

Введено определение корректности по Адамару задачи пункта I на множестве полиномов Гильберта-Шмидта. На практически важных примерах показана некорректность по Адамару рассматриваемой задачи.

3. Введено оцределение регуляризующего алгоритма по А.Н.Тихонову для задачи вычисления цроизводной Радона-Никодима в классе полиномов Гильберта-Шмидта степени не выше П . Установлена изометрическая изоморфность пространства полиномов Гильберта-Шмидта и цространства линейных непрерывных функционалов.

4. Для решения вариационной задачи пункта I на множестве полиномов Гильберта-Шмидта степени не выше tl предложено использовать экстремаль сглаживающего функционала А.Н.Тихонова с асимптотическим согласованием параметра регуляризации с погрешностью задания моментных функций. Доказаны свойства регулярности такого цриближённого решения.

5. Для задачи пункта I на множестве полиномов Гильберта-Шмидта степени не выше tb рассмотрено семейство минимаксных решений, где супремум берётся по всем возможным исходным данным из заданных окрестностей с фиксированными параметрами погрешности, а инфимум -по всем элементам из негативного гильбертова цространства.

Доказаны теоремы о свойствах регулярности минимаксного решения. Установлена связь минимаксного решения с экстремалью сглаживающего функционала А.Н.Тихонова при соответствующем согласовании параметра регуляризации. Приведено уравнение выбора параметра регу

- 132 ляризации и установлены условия существования и единственности решения этого уравнения. Приведены оценки сверху и снизу для параметра регуляризации, а также оценка сверху отклонения минимаксного решения от точного по целевому функционалу.

6. Рассмотрен метод минимально-допустимой невязки для решения задачи пункта I. Показано, что регуляризованное решение является экстремалью допустимой невязки между значением функции при неопределённости и точной нижней гранью её при полной информации. Доказано, что решение по методу минимально-допустимой невязки обладает свойствами регулярности и совпадает с экстремалью сглаживающего функционала А.Н.Тихонова цри соответствующем согласовании параметра регуляризации.

7. Рассмотрена конечномерная аппроксимация вариационной задачи пункта I на множестве полиномов Гильберта-Шмидта степени не выше ft . Для решения использован метод А.Н.Тихонова при асимптотическом согласовании параметра регуляризации, рассмотренный в пункте 4 данного заключения. Доказаны теоремы об условиях конечномерной аппроксимации данных, об ограничениях на операторы дискретизации и восполнения, цри которых интерполированные сеточные решения образуют регуляризованное семейство цриближённых решений.

8. Рассмотрена конечномерная аппроксимация задачи пункта I на множестве полиномов Гильберта-Шмидта степени не выше П цри решении её методом минимакса. Доказаны теоремы об условиях конечномерной аппроксимации данных, об ограничениях на операторы дискретизации и восполнения, при которых интерполированные сеточные решения образуют регуляризованное семейство приближённых решений.

9. Исследованы конечномерные решения метода минимально-допустимой невязки для задачи пункта I. Показано, что интерполированные сеточные решения этого метода совпадают с экстремалями функ

- 133 ционала А.Н.Тихонова с выбором параметра регуляризации по "обобщённому принципу невязки". Введённый "обобщённый принцип невязки" отличается от известного в теории решения некорректных задач как сглаживающим функционалом, так и уравнением связи. Доказаны теоремы об условиях регулярности интерполированного сеточного решения по методу минимально - допустимой невязки.

10. Путём численных экспериментов на ЭВМ установлены дополнительные свойства функций, составляющих невязку. Показано, что с увеличением значений параметров погрешности скорость роста функции невязки увеличивается. Показана устойчивость методов наискорейшего градиентного спуска и сопряжённых направлений при согласовании параметра регуляризации с погрешностью данных уравнением связи метода минимакса.

11. Методами пунктов 4,5,6 данного заключения решена задача различения гипотез о вероятностных мерах в сепарабельном гильбертовом пространстве в условиях априорной неопределённости. Доказаны теоремы о регуляризуемости почти всюду и в среднеквадратичном полиномиальных статистик Гильберта-Шмидта относительно мер по обеим гипотезам.

Рассмотрена регуляризованная задача Неймана-Пирсона для гауссовских мер в сепарабельном гильбертовом цространстве . Установлена устойчивость вероятностей ошибок первого и второго рода в этой задаче.

Приведены практически вадные примеры позитивно-негативных гильбертовых пространств и операторов вложения. Показано, что существует симметричный изометрический интегральный оператор из всего негативного пространства на всё позитивное, а также обратный ему дифференциальный по С.Л.Соболеву оператор. На основе этих цро-странств методом пункта 8 данного заключения решена задача адаптивной классификации случайных цроцессов. Решение состоит в пост

- 134 роении регуляризованного фильтра и процессора сжатия областей неопределённости исходных данных.

12. Методами пунктов 4,5,6 данного заключения решена задача повышения разрешающей способности радиотелескопа при исследовании стрип-распределения радиояркости в направлении на центр Галактики на лучевой скорости 42.7 км/сек относительно местного стандарта покоя. Решение показало, что полученное после коррекции за диаграмму стрип-расцределение радиояркости регулярно и Р ,(» .; -близко

Кг к истинному стрип-распределению. В результате коррекции за диаграмму удалось восцроизвести несколько дополнительных деталей в стрип-расцределении, затушёванных в исходных наблюдениях. Дальнейшее увеличение точности наблюдений в силу теоремы 2.5 позволит уточнить параметры поглощающих облаков. Использование позитивного гильбертова цространства для искомых функций позволило получить устойчивые результаты восстановления стрип-распределения цри разумной точности экспериментальных данных ( ~ 3 % ).

1. Скороход А.В., Интегрирование в гильбертовом пространстве, М.: Наука, 1975.

2. Справочник по теории вероятностей и математической статистике, под ред. акад. АН УССР В.С.Королюка, Киев,Наукова думка,1978,

3. Гихман И.И., Скороход А.В., О плотностях вероятностных мер в функциональных пространствах, УМН, 1966,том 21,Л 6,с.83-152.

4. Гаткин Н.Г., Далецкий Ю.Л., К воцросу об оптимальном выделении сигнала на фоне произвольного шума, Теор.вер. и её применения, 1971, том 16, № 4, с.749-753.

5. Судаков В.Н., Линейные множества с квазиинвариантной мерой, ДАН СССР, 1959, том 127, с.524-525.

6. Скороход А.В., О допустимых сдвигах мер в гильбертовом- 135 цространстве, Теор. вер. и её применения, 1970, том 15, с.577-598.

7. HuSei P.IfJJL loSusi vet%ion of ike ргоёа-iitity talio Ann. JHUR. Statist., 1SS5, Vol. 36, У 6 , p. if55 1t5Q.

8. Ни£ег P.J., RoSusi statistics ; a teview, A nn. /14 at к. Statist.,

9. Huflei P. RoSust estimation of location, patconeieb 9 Мпп, Jl4aih. vo£3$,p. fb-iol.

10. Ершов A.A., Стабильные методы оценки параметров (обзор), Автоматика и телемеханика, 1978, № 8, с.66-100.

11. Красненкер В.М., Стабильные методы обнаружения сигналов на фоне помех, Автоматика и телемеханика, 1980, № 5, с.65-88.

12. Халфина Н.М., Халфин Л.А., Об устойчивом варианте теста отношения правдоподобия, Теор. вер. и её црименения, 1975, том 20, № I, с.203-206.

13. Рo%tno^ L. ? Roi uzt estimation- in dependent Situation,*, Ann-. Stat19??, vol. 5, p. 22-43,

14. Магоппа R.J., RoSust fU~ zdimatotz of muttivwiaie £oc,&tion> socctiet, Ann,. JK&tk. Sta,19?6, vot, 1, p. 51

15. JUuxtin R.J)., ЛИа&ге&ег C.J., Rofiust estimation via. stoolvastic cc-ppboximationsjlEEEjitoe. JT-2i , p. 263 271.

16. Цыпкин Я.З., Стабилизация и регуляризация оценок оптимальных решений при наличии неоцределённости, ДАН СССР, 1977, том 236, № 2, с.304-307.

17. Турчин В.Ф., Козлов В.П., Малкевич М.С., Вероятностные ограничения и метод статистической регуляризации, УФН, том 102, вып. 3, с.345-385.- 136

18. Турчин В.Ф., Туровцева Л.С., Метод статистической регуляризации с апостериорной оценкой ошибки исходных данных, ДАН СССР, 1973, том 212, № 3, с.561-564.

19. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Методы решения некорректных задач, М.: Наука, 1979.

20. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П., Теория линейных некорректных задач и её применения, М.: Наука, 1978.

21. Лоран П.Ж., Апцроксимация и оптимизация, М-: Мир, 1975.

22. Васильев Ф.П., Методы решения экстремальных задач, М.: Наука, 1981.

23. Ван-Трис Г., Теория обнаружения, оценок и модуляции, М.: Сов. радио, 1972 (том I), 1977 (том 3).

24. Адаптивные системы, ТИИЭР, 1976, том 64, Л 8.

25. Васильев Ф.П., 0 регуляризации некорректных экстремальных задач, ДАН СССР, 1978, том 241, J& 5, с.1001-1004.

26. Васильев Ф.П., 0 регуляризации некорректных задач минимизации на множествах, заданных приближённо. ЖВМ и МФ, 1980, том 20, с.38-50.

27. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г., Обобщённый принцип невязки, ЖВМ и I®, 1973, том 13, $ 2, с.294-302.

28. Гончарский А.В., Леонов А.С., Ягола А.Г., Конечно-разностная аппроксимация линейных некорректных задач, ЖВМ и МФ, 1974, том 14, № I, с.15-24.

29. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1974.

30. Шилов Г.Е., Г^гревич Б.Л., Интеграл, мера, производная. Общая теория, М.: Наука, 1967.

31. Soviet w.Jl., JUuSbip^e ьй^ил-С exiau^toyb, % p.* n^o yyuua-0 J~u&fct-Z'C'bL/j ? JHctAlu. S^ir. Th Сохл^j1910, v. 1Ъ , U 3 , JO. £5} ~ 25-4.- 137

32. Балакришнан А.В., Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве, М.: Мир, 1974.

33. Вайнберг М.М., Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений, М.: Наука, 1972.

34. Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, М.: Ин. лит., 1962.

35. Гихман И.И., Скороход А.В., Теория случайных цроцессов, том I, М.: Наука, 1971.

36. Басистов Ю.А., Регуляризация задачи различения гипотез методом минимальных невязок, Автоматика и телемеханика, 1982, № I, с. 45-55.

37. Басистов Ю.А., Регуляризация по Тихонову задачи различения гипотез цри неоцределённости, Автоматика и телемеханика, 1981, Л 9, с.49-59.

38. Балакришнан А.В., Прикладной функциональный анализ, М.: Наука, 1980.

39. Ляшко И.Й., Диденко В.П., 0 регуляризации по Тихонову задачи с симметричным оператором в гильбертовых пространствах, ДАН СССР, 1976, том 226, В 3, с.510-512.

40. Басистов Ю.А., Минимаксное решение уравнения первого рода, ДАН СССР, 1983, том 268, № 5, е.1035-1038.

41. Карманов В.Г., Оценки сходимости итерационных методов минимизации, ЖВМ и МФ, 1974, том 14, Л I, с.3-14.

42. Карманов В.Г., Математическое программирование, М.: Наука, 1980.

43. Сборник научных программ на фортране. Вып.2. Матричная и линейная алгебра. Перевод с англ. С.Я.Виленкина, М.: Статистика, 1974.

44. Бахвалов Н.С., Численные методы, М.: Наука, 1973.- 138

45. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г., Численные методы решения обратных задач астрофизики, М.: Наука, 1978.

46. Басистов Ю.А., Гончарский А.В., Лехт Е.Е., Черепащук A.M., Ягола А.Г., Использование метода регуляризации для повышения разрешающей способности радиотелескопа, Астрономический журнал, 1979, том 56, Л 2, с.443-449.

47. Басистов Ю.А., Сравнение линейных обнаружителей по методу минимакса и регуляризации, 8-я Всесоюзная конференция по теории кодирования и передачи информации, Тезисы докладов, часть 4-я,с.16-21, Москва-Куйбышев, 1981.

48. Басистов Ю.А., Синтез устойчивых обнаружителей сигналов в нормальном шуме на основе метода регуляризации, Радиотехника и электроника, 1981, том 26, Л 5, с.970-981,

49. Басистов Ю.А., Устойчивые адаптивные фильтры, Всесоюзная конференция "Теория адаптивных систем и её применения", Тезисы докладов, с.303-305, Москва-Ленинград, 1983.

50. Ьгеьпап L.B,, 2eed Theo^ о$ Лola.ptLv£ , iBBE 7м *s. *>u М*го$р. W Seeciz. 1$13t /.^vi, p '252,

51. Q-aCtLeC W. F,, Я с/c<spi l\j e — Ли, УиЛю-tslucbion, } Вг>о С, IEEE f , \r. 6b, л/3 ^ p. 2 33 2*3.

52. UJtow В., Mc Coot T.M., UtiMote Л Ыпзоу! С. P., 7t HcdiOY\bie> вис! Мои dai Co и ate LeazHin^ Chbtc^lezL-bblcg of Ш Kc/apilu Fitter, Ptoc. lbFEf 6*f У ^ p /Ш-/Ш.

53. JUwohi 0., R&sofuiiotu ctc/<tp±Lx/e Je J equation, cfe Utenez-- Hopf, Лии. Inst Henii 1?ооисм.е,54. /3w£RM.j Ptoceeo/C^s Г. R. v , V. p. iOf.

54. Cohen, №. J. , Ft W №.W. ) JUo^iki^ Moiic&s *ftsiron-. $oc. , 19?6f i/. iH, p.