Регуляризованные следы степени оператора Лапласа с потенциалом на треугольниках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ОД_УНИВЕРСИТЕТ_

- 1 ЯНВ 1996

па правах рукописи

ТОМИНЛ Ирина Валентиновна

РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ СЛЕДЫ СТЕПЕНИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА С ПОТЕНЦИАЛОМ НА ТРЕУГОЛЬНИКАХ

Специальность: 01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических нзу;:

Владимир 1095

Работа выполнена на кафедре высшей математики Ивановского государственного энергетического университета.

Научный руководитель —•

доктор физико-математических паук, профессор В. В. ДУБРОВСКИЙ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Е. И. МОИСЕЕВ,

кандидат физико-математических наук, доцент К. В. ВАЛИКОВ.

В едущая органнзац и я —

Московский физико-техиичсскнн институт

Защита диссертации состоится 5 199^ г. в

К, часов па заседании диссертационного совета К.113.31.01 при Владимирском государственном педагогическом университете по адресу: 600024, Владимир, ул. Строителен, д. 11, ауд. 23(>.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан « " »

199 Ьг.

Ученый секретарь диссертационного совета К.113.31.01 при Владимирском государственном педагогическом университете, доцент С. Е. СТЕПАНОВ.

С^иеоо-ьшб

Общая характеристика роботы. Актуальность, темы. Известно, чтс спектральный след линейного оператора в конечномерном пространстве равен его матричному следу (суша собственных чисел оператора с учетом их кратности равна сумме диагональных элементов его матрицы). Этот результат остается верным и для ядерного оператора А в сепарабельном гильбертовом пространстве н, если его спектральным следом назвать сумму ]> Хп, а матричным следом - сумму J (Aen,en), где Л. - собственные

П П=1

числа оператора А, {еп}"=1 - какая-либо ортонормированная полная система (ОНПС) вн.

Для неограниченных операторов рассматривают аналог понятия следа -,регуляризованный след. Впервые регуляризованный след дифференциального оператора был введен и вычислен в 1953 году И.М.Гельфандом и Б.М.Левитаном [1] в случае регулярной задачи Штурма-Лиувилля. Для расположещшх в порядке возрастания собственных чисел цп (гй1) задачи J" -u"+p(x)u=|iu при OSxSTC, (1)

. u(0)=0, u(ic)=o', (2)

в случае достаточно гладкого потенциала р(х) известна асимптоти-

%

ческая формула р.п=пг +Рср+оП-гJ, где рср= lj"p(x)dx. Отсюда следует,

о

что ряд £ расходится , но ряд

П"1 то

п1К-пг-Рср) и)

сходится. В [1] для вещественного дифференцируемого на [о,тс] потенциала р(х) вычислена сумма этого ряда (регуляризованный след задачи Штурма-Лиувилля (1)-(2)):

+ (4)

п." 'ср' 4 ' . И *"ср

п=1

После 1953 г. появилось много работ, посвяшенннх вычислению ре-

гуляризованшх следов неограниченных операторов, связанных с граничными задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Эта тематика активно развивается и в настоящее время. Теория регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов достигла значительных успехов. Регуляризованные следы всех порядков произвольных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.на конечном промежутке при сложном вхождении спектрального параметра были получены в [2], [3].

Регуляризованные следа операторов в частных производных изучены сравнительно мало, что.объясняется сложным строением резольвенты и отсутствием достаточно точных асимптотических формул для собственных чисел таких операторов (как по каждому целочисленному параметру в отдельности, так и по их группам). Известно немного конкретных формул регуляризованных следов для операторов в частных производных, в частности, для степени оператора Лапласа на прямоугольнике при специальном соотношении сторон и граничных условиях Дирихле или периодических граничных условиях [41, [5], для оператора Лапласа-Бельтрами на сфере Бг [б];, во всех этих случаях рассматривались достаточно гладкие' потенциалы. Диссертация призвана заполнить некоторые пробелы в этой недостаточно разработанной тематика и посвящена вычислению регуляризованных следов степени•оператора Лапласа на определенных плоских многоугольных областях..

Цель р а <5 о ты : 1. Вычисление регуляризованных следов степени оператора Лапласа с потенциалом на равнобедренном прямоугольном треугольнике Р, прямоугольном треугольнике Б с углом 30°, равностороннем треугольнике Б и прямоугольнике П в случае произвольной смешанной граничной задачи следующего вида: на некоторых сторонах задано условие Дирихле, а на остальных - условие Неймана, причем на сторонах угла 60° задаются одинаковые граничные условия; как частные случаи сюда включаются задачи Дирихле и Неймана.

• 2. Конкретизация полученных формул регуляризованных следов для различных классов ограниченных измеримых потенциалов.

Общая методика исследования. В основе результатов диссертации лежит развитие и применение абстрактной формулы следов Гельфанда-Левитвна, получащейся методом контурного интегрирования с помощью поправок аналитической теории возмущений [7]. В работе используются также методы математической физики, теории тригонометрических рядов Фурье,' теории линейных операторов в гильбертовых пространствах. Применяемый в диссертации метод исследования смешанных граничных задач для оператора Лапласа на треугольниках разработан автором под влиянием идей [8],[9].

Научная новизна. Получены формулы регуляризованных следов для оператора (-А)а+р(х,у) на треугольниках Р, Б, В при'а>3/2 и смешанных граничных условиях. Указаны необходимые и достаточные условия (налагаемые на ограниченный измеримый комплексно-значный потенциал р), при которых применимы эти формулы. Формулы регуляризованных следов конкретизированы для широких- классов ограниченных измеримых потенциалов. Аналогичные результаты приводятся и для прямоугольника П, для которого рассмотрен также случай периодических граничных условий, (некоторые результаты для прямоугольников, как уже отмечалось выше, рассматривались ранее в [4], [5]). В диссертации впервые вычислены нормы в Ьг (V) и Ъг (В) собственных функций (составляющих полные ортогональные системы) спектральных задач для оператора Лапласа соответственно на 'треугольниках вив при смешанных граничных условиях.

Теоретическая и практическая значимость . Результаты, полученные в диссертации, и развитые^ ней методы носят теоретический характер. Они могут бить полезны для нахождения регуляризованных следов операторов в частных производных при других рлпмерностях пространства, других областях

и граничных условиях, а также могут найти применение в математической физике, в теории колебаний, б теории упругости, в спектральной теории операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научном семинаре под руководством профессора Е.И.Моисеева в МГУ (Москва, 1995), на научном семинаре "Математические проблем« теоретической физики и механики" под руководством профессоров С.П.Аллилуева, В.В.Лидского, Э.Е.Сона в М4ТИ (Долгопрудный, 1995), на научном семщшре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.В.Жикова во Владимирском государственном педагогическом университете. (Владимир, 1995), на Ивановском городском научном семинаре по дифференциальным уравнениям и теории операторов под руководством доцента А.К.Ратыни (Иваново, 1993, 1994, 1995), на 7-ой Саратовской зимней школе ро теории функций и приближений (Саратов, 1994)1 на 7-ых Бенардосовских чтениях (Иваново, 1994).

Публикации . - Содержание диссертации отражено в 5 работах автора [143-118].

Структуре н объем работы. .Диссертация состоит из введения, шести параграфов и списка литературы из 32 ■наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 97 страниц-машинописного текста.

Содержание работы.

Во введении дан краткий обзор работ, посвящешшх регуляризовашшм следам операторов, а также излагаются основные результаты диссертации.

, В параграфе 1 привода гея теоремы об абстрактных формулах следов Гельфанда-Левитана, лежащие в основе получения формул регуляризованных следов,•имеющихся в диссертации.

В [10] показано, что для гладких потенциалов р формула (4)

равносильна следующей формуле

CD

V {LL -Л. -(Pu ,u )} = О. (5)

/ . M-l n n n

n=1

Здесь *-п=пг и цп (гй1 ) - расположенные в порядке возрастания собственные числа соответственно невозмущенного оператора Штурма-Лиувилля Т (порожденного задачей (1)-(2), если в ней р(х) заменить нулевой функцией) и возмущенного оператора т+Р, где Р - оператор умножения в L2 (0,1С) на функцию р(х); (•,•) - скалярное произведение е l?(0,ic), ' un=/TBinnx (п>1 ) -, собственна. функции оператора т, составляющие ОНПС В Ьг(0,лС).

Соотношение (5) носит общий характер и может быть названо абстрактной формулой следов Гельфанда-Левитана. Имеется немало работ, в которых формулы типа (5) выведены для различных классов дискретных самосопряженных операторов Т и ограниченных (или подчиненных оператору Т) возмущений р в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Пусть т - самосопряженный полуограничашшй снизу оператор с вполне непрерывной резольвентой, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве' н, - его собственные числа, занумерованные по возрастанию с учетом кратности, - ОШС в Н, состоящая из собственных векторов un оператора т, соответствуют^ собственным числам Кп. Пусть справедлива асимптотическая формула

А.п = о,па + о(п^),где 1/2<(3/2<а-1 <г(3<а, (^>0. (6)

Тогда, если F - ограниченный линейный оператор в н, и {Цп}™=1 - собственные числа оператора т+Р, занумерованные с учетом алгебраической кратности в порядке возрастания их вещественных частей, то согласно [7] найдется возрастающая неограниченная последовательность положительных чисел такая, что

lin Y (цг-А.п-(Рип,и )} = 0, (7 )

л <01

• n к

где (•,•) -скаляржю произведение в'Н. В некоторых случаях соотчо-

шекие (7) можно уточнить. Сформулируем теорему, докапанную в §1 на основе результатов 17], и используемую в диссертации для получения почти всех имеющихся в ней формул регуляризованных следов.

Теорема 1.1. Если выполнено условие (6) и, кроле того, при некоторых постоянных А>о и ВеК

{Хп|п21}с{АЗа+В|0<д€2}, (8)

то для оператора т+Р справедлива формула следов

Нт ) {ц

-X -(Ри ,и )} = О. (9)

" п. п

Для оператора Лапласа в случае любой смешанной граничной задачи на П, Р, I), В, рассмотренной в §3-§6, известна следующая асимптотическая оценка функции распре деления 1 его собственных чисел.

X <Х

п

Хп (занумерованных в порядке возрастания с учетом кратности): ЩА)=, =с0А+о(у1), где Сф>о. В конечном счете она следует из известной асимп тотической формулы для количества точек с целочисленными координатами. внутри эллипса х2/а2+у2/ъ2<Х при а>о, ъ>о и ([11], о.203-205). ,Из указанной для Ы(А.) оценки вытекает следующие соотношение для собственных чисел оператора (-Л)а: А° = (1/с0 )апа+о(па 1/,>). Следовательно, при а>3/2 для собственных чисел Л.^ оператора (-А)а справедлива оценка (6) при любом р таком, что а-1/2<р<т1п{сх,2а-?}.

Условие (8) выполняется для всех рассматриваемых п диссертации случаев, за исключением случая прямоугольника П-[о,а]х[о,ь] при иррациональном аг/ьг (§3). .

В §1 рассматриваются также некоторые вспомогательные вопросы, в частности, условия сохранения гладкости функций двух переменных, при симметричном или антисимметричном продолжении через прямолиней-. ную часть границы плоской области. .

В параграфе 2 в качество модельного примера рассмат-

ривается задача Штурма-Лиупклля. Для задачи (1)-(2) в случае коми-лекснозначного ограниченного, измеримого на [о,%] потенциала р(х) из теоремы 1.1 вытекает следующий' результат (частгшй случай теоремы 2.2): ряд (3) сходится тогда и только-тогда, когда ряд Фурье функции = ^ 1р(х)+р(те-х)] - рср по системе {оовшх|ш>0} на Г о,тс] сходится в точке х-0 ( к числу ЕеС.); при этом

I

П=1

Правая часть'формулы следов (10) представлена в теореме 2.3 в различных формах для разных классов потенциалов.

Аналогичные результаты приводятся в §2. также при следующих граничных условиях для уравнения (1): а) и' (0)=и* (1С) =6; ь) и(о)--=и' (1С)=0; о) и'(о)=и(тс)=о. Формула следов рассматривается и для периодических граничных условий и(б)=и(1с), ц-' (о)-и' (тс).

Впараграфе 3 вычисляются регуляризованные следы степени оператора Лапласа на прямоугольнике-П=[ о, а МО, Ы при произвольных а>0, ь>о для любых смешанных граничных задач, характеризующихся тем, что на нескольких сторонах прямоугольника П задается условие Дирихле,.а на оставшихся - условие Неймана. Изложим в автореферате основные результаты 53 на примере наиболее важных для практики случаев задач.Дирихле и Неймана. Рассмотрите задачу

. 'гЛи+Ъл=о на П, (11)

Уи<-(1-Л Щ = о на «П, (12)

где Д=эг/в*2 , у - внутренняя нормаль к границе <?П прямоуголь-

ника П,-Л-О (случай задачи Неймана) или ,1=1 (случай задачи Дирихле). При.39(0,1). система и(3гйдН'есть ОНПС в ьг(П),

состояяая из собственных Функций и (Л) задачи (11)-(1г), соотяетст-

1 2

вуюяпх собственн!;м'чиг.];?,м к (,|) = тг + Ъ. „г. Здесь и (,П-

тп ^ ■ тпп

- ^ь.»»- * /Ш^г ««Ф- - ; Ч>-> v1 при

пиО, f. =1/2. Далее'u -u (C)=2 УТТ"/ТаЬ7 cos^- cos^, U=U(0).

* лаг i ran V 'in'n a D

Пусть T(j) -неотрицательный самосопряжешшй оператор в L2 (П), порожденный задачей (11)-(12); при а>0 U(j) есть 01ШС собственных функций оператора Ta(j), причем собственной функции u (j) оператора TaU) соответствует собственное число ^U). Пусть р - оператор умножения в I,2 (П) на функцию р(х,у)еЬш(П). При a>1 через p^tpij), где nüj, r¿-j, обозначаем собственные числа оператора Ta(j)+P, занумерованные с учетом алгебраической кратности таким образом, что

IH^ÍPíi) - "Р" ьсох

Пусть o[g] обозначает ряд Фурье функции ¿.л,'(II) по системе U: gU.y) "У Tía (¿) ' (13)

'm'n mn , а b '

m.niO .

-^(x.y^^coB^iy. ' (14)

П

Через s^ífjx.y) и Бприм(Г;х,у) обозначаем соответственно "зл-лиитическуш" (при a-b - "круговую") -и "прямоу голицы" суммы двойного ряда Фурье o[g], т.е. пределы соответственно "эллиптических" и "прямоуголыШх" частичных сумм этого ряда; •

- г. г глг.

т /(*.. -fn /Ъ 'Л

т.п^О

1ю f (16)

М-»си *—> ,, _ П1.Г1-0

N ил

Пусть Взлл(g), pnP?"(g).- области определения функций (15) и (к.) соответственно.' При а-Ь вместо "W пкыим "«mi'".'

При Х.Кг пишем №Q")j1Ji|X] (g>rOnp""[X]) ,если продольное соотношении (15) (соответственно (1(3)) выполняется равномерна на X.

Исходя из заданною ограниченного измеримого потенциала р(х,у)

введем на П вспомогательную функцию:

Р3(х.У) » [р(х,у)+р(а-х,у)+р(х,Ь-у)+р(а-х,Ь-у)] -

а Ь

- ^/[р(х.У)+р(х,Ь-у)1 4х - |Б/[р(х,у)+р(а-х,у)]- <1у + (17)

о о

+ -^-ЯР(Х,у)<1Х с1у. П

Основываясь на .применении к оператору. Та(,))+Р теоремы 1.1 при а2/Ьг рациональном и соотношения (7) при аг/ьг иррациональном, можно доказать следующую теорему.

Теорема 3.2. Пусть а>3/2,. 3<={0,1}, р(х,у) - коягиекско-знйчная ограниченная излерилая на П функция. Тогда:

1) если, аг/ьг - рацибнальное число и (о,0)в0э"л(р^), то

У ' {ОРЯ> - О*» - ^ Яр^У)-'

. . (18)

.[пс-и^оов^ + .008^)] А йу) = 1- бэл,л(р^;0,0),

гОе оулжирование по означает суммирование по всея

, для которых т>;ь и обратно, если аг/Ь2 -

рациональное число и (0,0)гБэлл(р3), та предел в левой части (13) не существует или бесконечен.

2) если аг/ьг - иррациональное число и (0,0)€Вэлл(рр, то найдется неограниченная возрастающая последовательность положительных чисел («у-., такая, что

- 4- Зэлл(р.;0,0), (19)

.....~ 4 "

где через В^'(р;Я обозначено выражение в фигурных скобках 0 левой части (18).

В теореме 3-3 содержатся многочисленные конкретизации формул следов (18) и (19):. правая часть этих формул представляется в различном виде для разных классов ограниченных измеримых пгтенцка-

лов. Приведем некоторые из утверждений этой теоремы, ограничиваясь лишь непрерывными на П потенциалами. Если о[р] сходится'абсолютно, т.е. ^ |а|пп(р)|<а> (или, по крайней мере, рей^Ш]), то в (18)

И В (19) МОЖНО ПОЛОЖИТЬ 8элл(рл;0,0)=р;) (0,0). Для абсолютной сходимости о[р] достаточно выполнения любого из условий: 1) ар/вх, ар/ау, дгр/а^ау и агр/ауах непрерывны на п; 2) р принадлежит классу Гельде-ра с7(П) с показателем 7>1 и ар/<п>--0 на аП.. В любом из этих случаев 'в зависимости от значения аг/ь2 справедлива формула следов (18) или (19)) при йэлл(р^;0,0)=р^(0,0). Заметим, что условии 1) и-2) можно, ослабить, если использовать -признаки равномерной сходимости двойных тригонометрических рядов Фурье (это же замечание относится и к исследуемым в следущих параграфах случаям треугольников р, Б, в).

В 14],[5] рассматривался следующий случай: а>3, задача Дирихле ? ?

(¿=1), а /ь - алгебраическое число степени 22, р(х,у) - достаточно гладкая функция, удовлетворяющая некоторым условиям. В этом случае формула следов (19) с правой частью, равной р (о,о)/4, вытекает, из формул следов [4],[5].

В §3 рассматривается также формула регулиризовашшх следов для степени- оператора Лапласа на прямоугольнике П при периодических граничных условиях, а>3/2, реЬ<и(П). При а-Ь, а 2 и гладких потенциалах р, удовлётворяющих 'некоторым дополнительным условиям, аналогичные ' формулы были получены ранее в [4].

Перейдем к параграфу 4, относящемуся к случаю равнобедренного прямоугольного треугольника {(х,.у) | о<у<х<%). В этом па раграфе- получены формулы регуляризованных следов степени оператора Лапласа на треугольнике Г.для всевозможных, смешанных граничных задач следующего виДа: на некоторых сторонах треуголышка Р задано условие Дирихле, на других - условие Неймана.' Рассмотрим в автореферате для определенности задачи Дирихле и Неймана:

Ди+\и=0 на F, (20)

ju+(l-j) — = О на if, (21)

где j=o (случай задачи Неймана) или ¿=1 (случг.Й задачи Дирихле).

Пусть v =т ТТ. q=it:J/2, X (j)=m2+nz, и (¡)=т/Г> -§-•

4 . ни 'm-n'm'n , . пял ° тп" mn %

• |ooB(mx-q)cOEj(ny--q)+ (-1 ) •'cos (my-q)оов(nz-q) J , U( j ) = {U(nfl( j) | jSnSm-j}.

следующая лемма представляет, возможно, самостоятельный интерос.

Лемма 4.1. Если Е0 = {еп(х) | nin0} - ОНПС в Ьг(0,1С), то при je{0,l) = tem('x)en(y)+(-1 )Jem(y)en(x)]| nQ<n<m-j) есть

ОНПС в L2 (F).

С помощью леммы 4.1 получаем следующий необходимый нам результат, так же, как аналогичные результаты для-всех других смешанных задач,содержащиеся в теорема 4.1: для je{0,l) U(j) есть ОНПС в L2(F), состоящая из собственных функций задачи (20)-i,21), соответствующих собственным числам Отметим, что все рассматриваемые нами в теореме 4.1 системы собственных функций смешанных граничных задач для оператора Лапласа на треугольнике F, по существу, хорошо известны. С точностью до нормировочных множителей от содержатся в [9], [12]. Ортогональность и полнота этих систем в случаях задач Дирихле и Ней-.мана (то есть систем и(0) и U(1)) доказаны в (91, а для Есех смешанных задач другим методом - в [12J. Нормировка в L2(F) собственных функций в (9] не производилась, а в [12] при m=n проведена неточно.

Пусть Т(j) - самосопряженный неотрицательный оператор в Ьг(Р), порожденный задачей (го)-(21), Р - оператор умножения в L2 (F) на Функцию peLa>(i'), при а>1 n^'tpij) -собственные числа оператора Ta(j)H\' занумерованные с учетом алгебраической кратности так, что Ц^'(ри) - Oj)l£C при jin'ra-j.

Пусть К-=|о,и]? - квадрат. Для get,1.(К) рассматриваем двойной тригонометрический ряд. Фурье o[g] по системе {cJsmxcosny|m,n20}. Исполь-пуим обозначения величин, связанных с a[g], из §'3 при а-ь-тс. Пусть

а={веЬю(К)|ё(х,у)-в(у,х) П.в. на К} = {geL00(K)|amn(g)=a^(g)}, Q0(j)=fgeQ|3lim У "v а 2n(g)=G(g;d)€<n}; S (g;x,yNsKwr(g;x,y). im +n

Пусть р(х,у)€1/°(р), р(л„ /=pvx+y,y-x) на треугольнике F1={(x,y)|0<x<ys,!c-x}, p(x,y) - продолжение p(x,y) с F на К, симметричное относительно гипотенузы треугольника F, т.е. р(х,у)=р(х,у) на F и р(х,у)=р(у,х) на KYF; р*(х,у) - продолжение р (х,у) с Ff на К, симметричное относительно диагоналей квадрата к.

В основной теореме 4.2 и вытекающих из нее теоремах 4.3 и 4.4 приводятся 2 типа формул регуляризованных следов степени оператора Лапласа для всех видов смешанных задач на треугольнике F: при 1=0 и 1=1. При 1=1 на потенциал р налагаются более жесткие условия. Сформулируем эти теоремы в частном случае задач Дирихле и Неймана. Пусть при j€{0,1} И 1€{0,1) q=1tj/2, рх. f (р+21р* )/4. ТЕОРЕМА 4.2'. Пусть ci>3/2, p(x,y)eL°"(F), ¿е{0,1 >, 1€{0,1Ь Тогда, если р1.3eQ0(j), то справедлива следующая формула следов:

lim У {^'(Р.Л) - (тг+п2)а - 1 v J/p(x,y)[2f(-1)J(oos2mx+ . (m2+r.ZsX ' F (22)

+оов2пу+оов2ту+оов2пх+8(1 -1) оов (mx-q )оов (ny-q )оов (my-q) оов (nx-q))] • •dxdy + V^JjpU+y.y-x) (соБ2тх.оов2пх+оов2шуооБ2пу)бх<1у|= '

= 0(Pl!i;J). '

Если при некотором 1€{0,1) Pj^^QjCj). шо при этом значении 1 предел в левой части (22) либо не существует, либо'Оесконечен.

Теорема 4.3. Пусть a>3/2, p(x,y)€L®{P), 3€{0,1). 1€{о,1). Пусть р непрерывна на f и выполнено любое из условий: 3a) peQ^^tF]; 3b' I (р)|<а>;'зо) pecT(F) при некотором-¡>1 и {op/ev) |^=0;

jn.n^C

3d) fp/<Jx, <?р/«»у, д2р/вхв-j, вгр/дуОх

непрерывны на ¥ и <>р/ау=о на гипотенузе треугольника ?. Тогда верна формула следов (22) с правой часты)

О(р1;д;д)=11 +41 ?р^^рМШШЙД . 1„ }[(1+21)р(1.0)+

о

+ (1-И1)р(МЖ1+21')р(1М)*р( (и+0/2, (1С-1)/2 )]<и 4 (23)

+ лР(х>у)ауЛ,

41Г. Р

Полагаем (к> , I) |о<итг/21.

Теорема 4.4. Пусть а>3/2, р(х,уК;1Л(Р), ¿¿10,1}, 1е{0,1) и пусть круговые частичные сулли двойного ряЗа «Турье о[р) сходятся 6о всех вершинах' треугольника Р, а в случае задачи Дирихле, кроле того, круговые (¿=одг) или щымоуголыше ■ частичные сумш этого

ряда равномерно сходятся на множестве Ъ. Тогда справедлива формула следов (22)-(23), если правую часть (23) изменить следующим образом: 1) бо внеинтегршъном члене р (• , • ) заменяется на 3(р ;•,•); 2) если Р кеш фуцкцш двух переменит: не является непрерывной на Ъ, то под знаком ощеделенного интегрша р(- ,• ) заменяется на З^ир;* ).

Заметим, что в случаи задачи Дирихле, ог-2 и гладкого потенциала р некоторая формула, аналогичная ^¡рмуле сло2кш(22)-(23) при 1-0 и , рассматривалась ран'-лз в Пз1. Параграф 5 поеьлщен вычислению рогуляризовшпюго следа степени оператора Лапласа с комплекснозначным ограниченным измеримым потенциалом на прямоугольном треугольнике с углом 30°. Получены формулы следов для следующих смешанных граничных задач: а) задача Дирихле, ъ) задача Неймана, о) на сторонах угла бо° задано условие Дирихле,а на оставшейся сторона - условие Неймана, (1) на сторонах угла 60° задано

а

условие Неймана, а на оставшейся стороне - условие Дирихле.

Полнив ортогональные системы собственных функций и соответствующий собственные числа приведены для всех задач а)-й) в 181, [121, однако нормы СОбСТЕИНШХ функций в I/ (I!) нелзиостны. Используя связь

между задачами а)-сП и соответствующими смешанными задачами на прямоугольнике, установленную в лемме 5.1, мы естественным путем приходим к некоторым системам собственных функций Есех задач а)-с1), близким к рассмотренным в [8],[12]. Наш подход позволил одновременно с доказательством ортогональности и полноты систем вычислить нормы входящие в них собственных функций.

Проиллюстрируем основные результаты, полученные в §5, на примере задач Дирихле и Неймана. Рассмотрим задачу

, Ди+Хи=0 на Р, (24)

^ ^ =0 на ад, (25)

где Е={ (х,у)| 05у/3^х5(2,л;-у1/3)/з}.- треугольник, ¿=0 (случай задачи Неймана) или 3=1 (случай задачи Дирихле).

Для м(х,у)<Жс при к^0,5 вводим точки мк(хк>У1Г)> где х0=х, у,=у. х1~(х+уУЗ)/г, у1=<х/3-у)/2, хг=(х-у/з;/2, у,=(хУЗ+у)/2, при к=з75 хк=и;-хк_3, . Получаем разбиение прямоуголь-

ника 1Ь[о,тсЫб,тс/Уз] на 6 равных треугольников 1)к={мк| МеБ}, где к=о75; одним из них является и. Любые две точки мк, лежащие-в смея шх треугольниках, симметричны относительно их общей сторрны.

Задача (24)-(25) тесно связана с задачей (11)-(12) при а-тс,' ъ=%/уэ . Согласно лете 5.1 и(х,у) есть собственная функция задачи (24)-(25) в том и только том случае, когда и(х,у) есть сужение на Б какой-либо собственной функции у(х,у) задачи (11)-.(12) (о &=%, Ь-тс/УЗ), при условии, что ?(х,у) обладает следующим свойством симметрии:

т(7.к,ук)=(-1 )"к v(x,y) (к=0Т5, (х,у)*Л), (26)

где £50=Р2=а3^в5=О, Пусть Н(о)=С?(^)IГ^Ь2 (Р)}, где =

- продолжение Г с О на П, удовлетворяющее условию (26). Пусть етп(д)-»пп(х,у;.1)-оов(шх - - Ц-); Е(5)=г

- 0НГ1С в 1? (П), состоящая из собственных футаций задачи (м)--(12) при а-л;, ъ=1С/УЗ). Вслду далее

г(Ы)=г(М;0), т.е. г(м )=г(М) при всех к-575 и п.в.

Через (■,■)<, и ||• Ц0 обозначаем скалярное произведение и норму в Ьг(Б); (•,■), и ||-| -скалярное произведение и норма в т/(П).

Пусть для ееь1(П) а Ей] - ряд Фурье то системе (е |ш,п^О}, где ешп(х,у)нетп(х,у;0)=сЬ8шхсовпуУ7. Используем .обозначения из §3, относящиеся к двойным рядам Фурье, полагая а-и и ь-х//3.

Преобразуя (г(4).втп(о), получаем основную лемму §5 (сформулированную здесь в частном случао задач Дирихле и Неймана). Л о м м а 5.2. Если ТеЬг(В), {0,1 > и (т,п)е;?г, тс

и(3).етп(3))1 = [1 + (-1 )ш+п) (Г ,ип1п( о) )0, где

г

итп(Л).ипп(х,у;.1)^(-1)3к егт(хк,ук;о). (2/)

В работа получено следующее представление функции при

(-1)т+п=1, на котором 'основано дальнейшее исследование:

■'к

-О ' mknk"

"„„(х.у; j)-|(-1 ) * „(1,у;Л, (29)

„„„ „ ln-m ^ rum lr, jimn „, n in где n(--iiij-—-g-.-, ^ ¿" '

Рассмотрим систему U(j)-{u (j)|(m,n)eJ(J)}, где J(j)= --{(m,nK^ I j£miri-j и (-i)m,rM). Используя соотношение u (j)en(j) ■ при (-1)т|п=1 Hii осноьо леммы 5.2, равенства (2¿3) и того, что E(j) есть ОШЮ в i/(U), можно получить следующий ниже результат. В полной формулировки теорвма 5.1 содержит полученные этим же методом пнало-гичние результаты для произвольной смешанной задачи.

Т о о р и м а 5.1. Для каждого je{o,i} U(j) есть полная орто-г.онп.шюя (3 г,? (I)) система сойствсмшх функций задачи. (24)-(25), со-атветствуацчг собственным числам X. (j)=m2On2. При шоя , 0 , хЕ 9

II / \ II < к / • \ к с mn

!l»lr,r,(j)ll0- тг I^U)!,- r^—•

'm'n

' о ?

где В - количество нулей cftudu чисел 0, m-n, пг иг .

njvrb T(j) - неотрицательный самосопряженный оператор в l/(D),

порождаемый задачей (24)-(25), Р - оператор умножения в LZ(D) на функцию p€L°°(D); при'а>1 и (m,n)eJ(d) через p^'íp;^) обозначаем собственные числа оператора Ta(j)+P, занумерованные с учетом алгебраической кратности так, что IH^'ípjJ)-^ (ЯИС.

Через и (х,у) или и обозначаем функцию и (х,у;0). Пусть

г mn mn mn

G(p;á)=Xim У (29)

f(m,n)GJ(j) l mZ+3n2<A.

Теоремы 5-2-5-4 содержат формулы следов для всех задач a)-d). Сформулируем теоремы 5-2 и 5.3 для случая задачи (24)-(25). Теорема 5.2. Пусть а>3/2, jeCo.1} и p€L®(D). Если 30(p;J)eC, то справедлива формула следов

У - (-г+зпг)а - Щ jjpu.y,.

ЧГ mn ■ ^

f(m,n)€J(j) "

I m2+3n2S\

+ иЗп*т.0(х'У) + и0.гп(х>у) + и0.п+т(х'У) + + Vn-m(liy)] + "гт.гп^'У^ =

Если предел (29) не существует или бесконечен, то предел в левой части (30) также не существует или бесконечен.

Теорема 5.3. Пусть а>з/г, де{о,1} и p€L®(D). Если р непрерывна на в и выполнено любое из условий a) реаэлл[0], t>) J (р)tc)pecT(D) при 7>1 и ap/av-o на ¿D, то справедлива

-т.п^О

форлула следов (30), 6 которой правую часть можно записать в виде

= gP(o,o) - ^/ф(м)р(м)<1в -» JJpíx.yjdxdy, (31) 0D D

гее ф(М)=1 на сторонах угла 60° и ф(М)=Уз на оставшейся стороне.

Теорема 5.4 аналогична теорем? 4.4. В параграфе 6 получена формула регуляризовашюго

следа оператора (-Л)а+р(х,у) при а>3/2 и ограниченном измеримом потенциале р(х,у) в случаях задач Дирихле и Неймана на равностороннем треугольнике B=DuDt ={(x,y)äR21Oiy/v'Jixs(21с-у/з)/3) (теорема 6.2).

Полные ортогональные системы собственных функций и соответствующие им собственные.числа для оператора Лапласа в случаях задач Дирихле и Неймана на равностороннем треугольнике приводятся в [81 и [12], но нормы этих собственных функций неизвестны. На основе связи между задачами Дирихле и Неймана на В и смешанными задачами для D в теореме 6.1 одновременно с доказательством ортогональности и полноты рассматриваемых систем собственных функций для задач Дирихле' и Неймана на В вычислены нормы этих собственных функций; при этом существенно использовалась теорема 5.1.

Вывод формулы регуляризовашшх следов в теореме ь.2 основан на теоремах 1.1, 6.1 и на результатах §5.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук профессору В.В. Дубровскому за постановку задачи и внимание к работе.,

ЛИТЕРАТУРА

1. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об'одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. // Докл.АН СССР, 1953, т.88, N4, с.БЭЗ-596.

2. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризовашше суммы корней одного класса целых функций // Функц.енализ и его приложения, 1967, т.1, N2, с.52-59.

3. Садовничий В.А. Дзета-функции и собственные функции дифференциальных операторов./'/ Диф^еренц. уравнения, 1974, т.10, N7.

с. 1276-1285.

4. Садовничий В.А., .Дубровский В.В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дискретных операторов. Формулы следов для дифференциальных операторов в .частных производных.'// Ди4фзренц. уравне-

КИЛ, 1977, T.13. N11, С.2033-2042.

5. Дубровский В.В. Асимптотика собственных чисел дискретных операторов.// Труды семинара им. И.Г. Петровского, вып. 4,

с,227-231. Изд.-во МГУ, 1978.

6. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регу-ляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере S2.// Докл.АН CCCF.1991, т.319, N1, с.61-62.

7. Дубровский В.В. К абстрактной формуле Гельфанда -Левитана. //УМН, 1991, Т.46, N3, С.187-188.

8. Makai Е. Complété orthogonal pystenm of eigenfunctione of three triangular membranes.// Etudia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 1970, N5, p.51-62.

Makai E. Complété systems of eigenfunotions of the wave, équation in eome spécial cases.// Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 1976, N11, p.139-144.

10. Дикий Л.A. Формулы следов Для дифференциальных операторов ¡Итурма-Лиувилля. //УМН, 1958, т.13, ИЗ, с.111-143.

11. Гитчмарш ЭЛ. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т.2. - М: ИЛ, 1961.

12. Шестопал А.Ф. Геометрия оператора Лапласа. К.:Выща шк., 1991 -

13. .Дубровский В.В., Кунакова Е.Ю. Формула первого регуляризо-вашгого следа степени оператора Лапласа на треугольнике.//.ДифференЦ. уравнения, 1992, т.28, N7, с.1274-1276.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ:

f4. Дубровский В.В., Томила И-.В. О регуляризовянном'следе для степени оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике. // Дифференц. уравнения, 1994, т.30, N12, с.2177-2179.

15. Томина 'И.В. Рег.уляризованннй след степени оператора Лапласа ка прямоугольном равнобедренном треугольнике в случае задачи Неймана.// УТЛ!, 1.92-1, т.49, вып.4, с. 177-178.

16. Томина И.В. Новая конкретная формула следа степени оператора Лапласа на. треугольнике.// Тезисы докладов мевдународной научно-технической конференции "Состояние и перспективы развития электротехно-лопш" (7-ые Бенардссовские чтения, Иваново, 25-27 мая 1994 г.), т.1, с.48, Иваново, 199417. Томина И.В. Конкреише формулы регуляризованных следов степени оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике в случав смешанных граничных условий. - Деп. в ВИНИТИ 01.12.94, Н2751-В94, 59 с.

18. Томина И.В. Первый регуляризовашшй след степени оператора Лапласа на прямоугольном треугольнике с углом к/6 в случае задачи Дирихле.//фундаментальная и прикладная математика, 1995, т.1, N2, с. 59-61.

Ротапринт. Формат издания 60x84 1/16. Печ. л. 1,25. Усл. п. л. 1,16. Заказ 3215/р. Тираж 100.

Типография ГУ КПК, г.. Иваново, ул. Ермака, 41