Реконструкция динамики геофизических систем из геометрии и топологии матричных данных тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.03 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Макаренко Николай Григорьевич

РЕКОНСТРУКЦИЯ ДИНАМИКИ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ ИЗ ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ МАТРИЧНЫХ ДАННЫХ

01.03.03 - Физика Солнца 25.00.10 -Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена в институте математики Министерства Образования и Науки Республики Казахстан

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

ТРОЯН Владимир Николаевич;

доктор физико-математических наук ВАНДАКУРОВ Юрий Васильевич;

доктор физико-математических наук ФЕЙГИН Александр Маркович.

Ведущая организация: Главная Астрономическая обсерватория РАН,

Пулково, Санкт-Петербург, Россия.

Защита состоится 8 июня 2005г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д212.232.35 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, 7/9.

Автореферат разослан " J^jS" апреля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

А.Л. Котиков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Современная техника моделирования нелинейных систем основана на решении следующей обратной задачи (Packard et al., 1980, Takens, 1981). Наблюдаемые скалярные временные ряды рассматриваются как нелинейные типичные проекции фазовой траектории неизвестной диссипативной динамической системы на произвольную координату. Тогда, при некоторых условиях, наложенных на систему, регулярная проекция позволяет восстановить копию аттрактора в евклидовом пространстве Rm подходящей размерности.

Процедура реконструкции представляет собой дифференцируемое вложение временного ряда в Rm и, следовательно, поток, который генерирует такая модель в своем касательном расслоении, диффеоморфен решению уравнений исходной системы. Полученная копия наследует все динамические характеристики реального аттрактора, которые, следовательно, можно вычислить по реконструкции. Более того, во многих случаях можно реконструировать даже исходные дифференциальные уравнения (Gouesbet et al., 2003). Математической моделью аттрактора в общем случае являются дифференцируемые или фрактальные многообразия.

Описанный подход к построению модели из наблюдаемого сигнала лежит в основе новой области топологической динамики - «эмбедологии» (от английского embedding - вложение). Техническая сторона эмбедологии обеспечена большим набором алгоритмов для численных оценок динамических инвариантов аттрактора (Parker, Chua, 1989), включающих нелинейные методы анализа временных рядов (Bradley, 2003) и многомерную технику их прогноза (Farmer, Sidorovich, 1987). Нелинейный предиктор является непрерывной функцией вектора «запаздывающих координат» - набора из т отсчетов временного ряда. Такой предиктор успешно аппроксимируется локальными методами, или глобально - с помощью искусственных нейронных сетей (ИНС). Таким образом, экспериментатор получил уникальную возможность реконструировать универсальную модель системы прямо из наблюдений. Основным ограничением эмбедологии является ее адаптация к точечному источнику сигнала, динамика которого не зависит от пространственной сложности системы.

Моделирование распределенной динамической системы является более сложной проблемой. Хаотические сценарии ее нелинейной динамики принято называть пространственно-временным хаосом (Mayer-Kress, Kaneko, 1989). При экспериментальном анализе такого хаоса приходится иметь дело с двумя видами сложности: временной, которая отслеживается каким-либо интегральным параметром, и пространственной, которая кодируется нетривиальной геометрией и топологией пространственной структуры системы. Проекциями динамики пространственно-временного хаоса в «Мир Экспериментатора» являются «мгновенные снимки» («snapshots»), которые, в общем случае, описываются матрицами, содержащими скалярные или векторные значения измеряемого поля. Массивы экспериментальных данных

могут иметь произвольную форму: фотографических и цифровых изображений или карт. Собирательным синонимом такого разнообразия является понятие «паттерн».

Актуальность темы. В рамках обратной задачи существуют две возможности для реконструкции модели из матричных данных. Первая основана на прямом обобщении эмбедологии (Рабинович и др., 1992; Parlitz, 1998). Однако, этот путь связан с большим объемом вычислений и трудностью получения персистентных оценок динамических инвариантов с приемлемой точностью.

Вторая возможность заключается в преобразовании пространственной сложности паттерна в скалярные значения некоторых функционалов, определенных на нем. Упорядоченные во времени функционалы — это привычные скалярные временные ряды, к которым применимы хорошо развитые методы эмбедологии. Для получения подходящих дескрипторов разумно обратиться прежде всего к современным методам обработки изображений (Serra, 1988; Michielsen & De Raedt, 2002), которые возникли на базе интегральной геометрии случайных множеств (Stoyan et al., 1995).

Так, например, для любого бинарного изображения образованного черными или белыми кластерами на

решетке Z2, можно определить три функционала Минковского Wjti = 0,\,2, пропорциональные суммарной площади, периметру и связности объекта, соответственно. Функционалы Wi обладают морфологическими свойствами: они С-аддитивны, инвариантны относительно вращений и трансляций на плоскости и непрерывны (Michielsen, De Raedt, 2001, 2002). В случае «серого» изображения, 1{х,у) = [а,Ь\, определим множество уровней высоты h:

Bh ={(x,y)\l = h}, a<h<b или множество выбросов за уровень h:

графика и затем

используем бинарный вариант. Эта техника является основной в морфологическом анализе изображений.

Пусть — множество выбросов случайного вещественнозначного

процесса, например, векторного поля X(t), t еТ cz R2;X е R3. Невозможно получить аналитическое выражение для вероятности максимальных «пиков» поля. Оказывается, однако, что эту величину можно оценить с помощью среднего значения характеристики Эйлера определенного на при некоторых условиях, наложенных на регулярность поля (Adler, 1981). Этот результат лежит в основе методов диагностики случайных полей методами контурных статистик (Worsley 1995, 1996; Лонге-Хиггинс 1962; Макаренко и др., 1999, 2000). Таким образом, функционалы Минковского, определенные на множествах выбросов, позволяют идентифицировать геометрию паттерна в рамках «морфологических» координат - периметров, площадей и связности. Однако, одной и той же

геометрии могут соответствовать совершенно различные топологии. Так, два изображения могут отличаться «пористостью», т.е. числом «дыр» в пикселах выбранного цвета. Описать «дыры» можно используя дескрипторы алгебраической топологии - числа Бетти ßk, т.е. ранги групп гомологии (Хилтон и Уайли, 1966), образованных гомологически не эквивалентными границами «дыр». Такие группы можно получить, например, если построить на множестве точек, образованных центрами пикселов, симплициальные комплексы (Carlsson, 2003; Kaczynski, etal., 2001). С другой стороны, связность изображения зависит от выбранного разрешения. Пусть - число связных

компонент, разделенных расстоянием не больше, чем некоторое £>0. Тогда скорость изменения С{е) vs. е, которая называется индексом несвязности у, является важной характеристикой паттерна (Robins et al., 1998; Robins, 2000) и совпадает с бокс-размерностью множества для самоподобных фракталов. Методы для оценки ßk и у развиваются в новой области математики — вычислительной топологии (Dey, Edelsbrunner et al, 1999; Robins, 2000; Zomorodian, 2001; Rosenfeld & Klette, 2002).

Следовательно, современные методы математической морфологии и вычислительной топологии позволяют сопоставить каждому «мгновенному снимку» набор морфологических (функционалы Минковского) и топологических (у, числа Бетти) «координат», характеризующих пространственную сложность паттерна. Кроме того, многие природные паттерны имеют мультифрактальные свойства (Мандельброт, 2002; Turiel & Parga, 2000), которые можно описать своими дескрипторами - фрактальными размерностями и мультифрактальными спектрами.

Используя все упомянутые подходы, можно преобразовать геометрию и топологию пространственно-временных паттернов в скалярные величины, так что динамические последовательности паттернов превращаются во временные ряды, к которым применимы методы эмбедологии. Корректная реализация таких процедур является актуальной проблемой, потому что: (а) большинство природных и техногенных систем являются пространственно распределенными и (б) их аналитические модели, даже в тех немногочисленных случаях, когда они имеются, сложны и мало полезны для практики.

Цели и задачи исследования. Целью диссертации являлась разработка комплексного подхода к моделированию пространственно распределенных систем. Этот подход основан на синтезе

• современных методов извлечения геометрических и топологических характеристик из временной последовательности паттернов;

• методов оценки масштабных свойств данных, основанных на мультифрактальном формализме и фрактальной геометрии;

• методов топологической реконструкции универсальной модели динамической системы из скалярных временных рядов;

• методов нелинейного прогноза с помощью искусственных нейронных сетей.

В качестве основного приложения комплексного подхода в диссертационной работе рассматривается распределенная динамика глобального магнитного поля Солнца. Это поле, в первом приближении, состоит из двух компонент: слабого глобального (фонового) поля и сильного поля пятен с локализацией в экваториальной зоне. Наблюдаемая рекуррентная динамика числа пятен (циклы Вольфа) рассматривается обычно как «ритмоводитель» всего комплекса явлений, который называют Солнечной Активностью. С фазами этих циклов связаны солнечные вспышки, создающие локальные возмущения плазмы солнечного ветра. Глобальная структура последнего определяется фазами другого 22-х летнего магнитного цикла Хеша. Он контролирует динамические режимы широкого диапазона геофизических процессов на Земле и в Космосе. До сих пор существуют две конкурирующие точки зрения на взаимную связь 2-х магнитных компонент: первая сводится к тому, что фоновое поле - результат распада и диффузии пятен; вторая предполагает разные механизмы происхождения фоновой и пятенной составляющей.

Информация о фоновых полях доступна в топографической форме распределения «знака» глобального поля, известной как синоптические карты, а также в виде магнитограмм радиальной компоненты поля. Эти данные являются уникальным инструментальным матричным рядом, отслеживающим распределенную динамику Солнца на почти вековом интервале времени. Качественный анализ синоптических карт позволил получить ряд важных особенностей крупномасштабной магнитной динамики, таких как эффект переполюсовок или инверсий глобального поля (Макаров, Тавастшерна, 1992; Макаров, Тлатов, 2001).

Первой задачей диссертации является анализ магнитной динамики Солнца, основанный на применении комплексного подхода к выборке синоптических карт.

Вторая задача диссертации заключается в приложении методов математической морфологии, вычислительной топологии и мультифрактального анализа к некоторым геофизическим полям. Точнее, в диссертации рассматривается:

• волновая динамика атмосферы в проблеме обнаружения грозовых фронтов на основе анализа измеренного потока мезонов.

• Потоки сейсмических событий в проблеме выделения и сравнения сейсмических режимов в различных регионах.

• Стохастические поля радионуклидных загрязнений на бывшем Семипалатинском Испытательном Ядерном Полигоне (СИЯП) и прилегающих территориях в задачах радиоэкологии.

Одна из конечных целей моделирования - предсказание поведения динамической системы. В диссертации исследуются возможности комбинированной схемы глобального нелинейного прогноза, основанного на комбинации эмбедологии и методов нейрокомпьютинга. Практическая реализация векторного нелинейного предиктора демонстрируется на предсказании временного ряда чисел Вольфа.

Методы исследования. Для достижения поставленных задач в диссертации использовались методы математической морфологии, вычислительной топологии, мультифрактального и вейвлет анализа, численные методы теории гладких эргодических динамических систем, теория искусственных нейронных систем и статистическая теория обучения.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Впервые получены функционалы Минковского для синоптических магнитных Н-а карт в форме трех скалярных временных рядов — площадей, периметров и связности униполярных областей. Эти ряды являются новыми индексами солнечной активности, описывающими геометрию фонового поля Солнца.

2. Впервые получена корреляционная связь периметра линии раздела полярностей и размерности Буллигана-Минковского со вспышечным индексом.

3. Впервые получены мультифрактальные спектры временных рядов морфологических функционалов, которые указывают на существование таких свойств в фоновом магнитном поле Солнца.

4. Впервые обнаружен степенной скейлинг в индексе несвязности фонового магнитного поля, который позволяет интерпретировать глобальные инверсии поля как эффект саморганизующейся критичности.

5. Проведена реконструкция аттракторов магнитного поля Солнца на основе морфологических функционалов и чисел Бетти и даны их оценки корреляционных размерностей. Они подтверждают существование низкоразмерного детерминированного хаоса в динамике солнечной активности.

6. Подтверждено существование синхронизации между механизмом образования пятен и динамикой глобального магнитного поля с доминирующей ролью фонового поля.

7. Получена схема нелинейного векторного прогноза временных рядов для долгосрочного предсказания, основанная на синтезе методов эмбедологии и нейрокомпьютинга.

8. Впервые обнаружены мультифрактальные свойства радионуклидных полей загрязнения Семипалатинского Испытательного Ядерного полигона.

Научная новизна исследований, изложенных в диссертации, заключается в

• разработке концептуальных и методологических основ комплексного подхода к моделированию динамики распределенных систем в рамках обратной задачи;

• использовании современных математических методов для получения топологических, морфологических и фрактальных дескрипторов, необходимых при анализе и диагностике данных;

• разработке и реализации новой схемы долгосрочного нелинейного векторного предсказания временных рядов на основе нейрокомпьютинга;

• результатах практического применения комплексного подхода к анализу распределенной динамики глобального магнитного поля Солнца и геофизическим данным.

Практическая значимость работы. Предлагаемый подход значительно расширяет теоретические и прикладные методы теории нелинейных динамических систем. Разработанные методы применимы для широкого класса природных процессов в геофизике, сейсмологии, экологии и астрофизике. Они могут быть с успехом использованы в задачах поиска полезных ископаемых, задачах космического мониторинга и ГИС-технологиях.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы, разработанные модели, методы, алгоритмы и результаты численных экспериментов были представлены в докладах и лекциях на международных и всероссийских конференциях и школах. Среди них

• Пулковские международные конференции по проблемам Солнечной активности (Санкт-Петербург, ГАО РАН, 1998-2003 гг.);

• Международная конференция по Солнечно-земным связям (Иркутск, ИСЗФ, 2001 г.),

• Всероссийские научно-технические конференции «Нейроинформатика» (Москва, МИФИ, 2002-2004 гг.);

• Всероссийские семинары «Нейроинформатика и ее приложения» (Красноярск, ИПМ, 1999-2002 гг.);

• «Problems of Geocosmos» (Санкт-Петербург, 1998, 2004), JENAM-2000 (Москва, 2000); «IAU-223» (Санкт-Петербург, 2004); «EGS» (Ницца, 2003); «АСАТ» (Москва, 2002, Токио, 2003); «Econophysica» (Токио, 2002), «Cosmogenetic Climate Forcing factors during the last millennium» (Kaunas, 2003); «Fractal» (Мальта, 1998, Сингапур, 2000, Гранада, 2002, Ванкувер, 2004)

• Всероссийская школа «Нелинейные Волны» (Нижний Новгород, ИПФ, 2002,2004); VII международная школа «Хаос'04» (Саратов, СГУ, 2004),

а также на научных семинарах в МИФИ, ФИАН, ИЗМИР АН (Москва), ФТИ, НИИФ, ГАО (Санкт-Петербург), ИПФ (Нижний Новгород), ИСЗФ (Иркутск).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 62 работы, список которых приведен в конце автореферата. Большая часть работ выполнена в соавторстве, неизбежном в прикладных областях. Соавторами были специалисты из разных областей, которые предоставили оригинальные экспериментальные данные и/или способствовали корректной интерпретации полученных результатов. В большинстве компьютерных экспериментов участвовали сотрудники Лаборатории Компьютерного Моделирования Института Математики. Основные идеи методов и подходов во всех упомянутых случаях принадлежали соискателю.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы, включающего 372 наименования. Работа содержит 229 страниц, 136 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обоснование актуальности темы, формулируются цели и задачи диссертации, их новизна и методы, которые используются в работе. Кратко излагается план диссертации и приводятся положения, выносимые на защиту.

Первая глава «Математическая морфология и геометрия случайных

полей» содержит краткое изложение элементов математической морфологии. Необходимость этого раздела мотивирована не только необходимостью понимания полученных в работе результатов, но и отсутствием русскоязычных обзоров по этим разделам математики.

Пусть В - кольцо, состоящее из класса всех подмножеств {A}eRd, которые можно представить как конечное объединение компактных выпуклых подмножеств с Определим функционал над В соотношениями

(Michielsen, De Raedt, 2001j Serra, 1998):

Функционалы Минковского Wa над В определяются как интегралы:

\x{AnEa)dn[Ea], а = 0......d-l, Wd(A) = a>d(l)^(^), (2)

где û>rf(l) - объем d - мерного единичного шара, Еа — а-мерная плоскость в Rd, rf//[£a] - кинематическая плотность (Сантало, 1983), нормированная так,

что для шара ü)d(ry с радиусом г, Wa (a>d (г)) = 0)d (l)rrf_a. Согласно (2), для d - 2 последний функционал равен = Заметим, что для W0(A)

плоскость Е0 =х = {х,у) вырождается в точку, так что ^(^лх) = 1, Vx е А. Поскольку кинематическая плотность случайных точек в R2 определяется бивектором = dx /\dy, получаем

где F(А)-площадь А. Функционал Wl (А) имеет вид: Щ (-<4)= «///(£,), где Ех - случайная прямая в Я2. Определим

такую прямую координатами (р,<р), где р— длина нормали к прямой, опущенной в начало координат, и <р угол между нормалью и положительным направлением оси х. Тогда плотность d f*{ß\) = dp л d(p инвариантна относительно действия группы сдвигов и поворотов на плоскости и является кинематической плотностью множества случайных прямых (Сантало, 1983). Поэтому,

где Р(А)- периметр А. Таким образом, функционалы Минковского в R2 имеют геометрический смысл периметра, площади и связности, причем, выражаются через характеристику Эйлера fV2(A)~

На практике обычно имеют дело с контурными картами, т.е. визуализацией множества уровней Аи = |t|F(t) = и| непрерывного

случайного поля F(t),t &ZczRn ,F е RM или множества выбросов

i4Ii(F,Z) = |t|F(t)>w| этого поля за уровень и. Пусть компакт Z и его

граница dZ является С2 -многообразиями. Поле F(t) достаточно

регулярно относительно Z на уровне и, если (Adler, 1981): (i) Fe С2 в открытой окрестности Z; (ii)F не имеет критических точек для {t}|F(t) = M в Z и dZ; (iii)F имеет невырожденный гессиан относительно первых N-1 координат. Поле F(t)eC2 на открытой окрестности Z называют допустимым, если его сужения F|Z, F|3Z имеют конечное число невырожденных критических точек. Определим функцию Морса как координатную функцию высоты относительно последней

координаты. Пусть т[ - число критических точек индекса к на f\dA, гд& / допустима для А = AU(F,S), если AndS = 0. Пусть F(t) = w,

dFjdtj = 0,7 = \,2,..,N -1 и dFjdtN > 0. Тогда дифференциально-топологическая характеристика Эйлера Zdt(^) выражается через число критических точек f\dA (Adler, 1981):

(5)

Выражение (5) позволяет вычислить связность множества выбросов по геометрии границ трансверсального сечения поля. Другой способ оценки х основан на алгоритме, предложенным в работе (Serra, 1988). Покроем множество выбросов Л, квадратной решеткой. Тогда, для достаточно регулярного поля справедлива формула Эйлера E + F, где V,E,F —

число узлов, ребер и граней решетки соответственно, целиком содержащихся в В диссертации использовались оба алгоритма, реализованные в Image Processing Toolbox пакета MatLab 6.2.

Вторая глава «Элементы вычислительной топологии)» посвящена методам вычислительной топологии (Dey, Edelsbrunner et al, 1999, Robins, 2000), которая, грубо говоря, изучает несвязность объекта. Подмножество X метрического пространства называется если оно состоит из двух

множеств, которые разделены расстоянием по меньшей мере, равным е. Подмножество S есть s-компонента X, если SczX является s -связным и При заданном разрешении множество X имеет разбиение в виде несвязного объединения его £-компонент. Основной интерес заключается в оценке связности X при изменении несвязности разбиения, в пределе £ —► О. Пусть С(г) - число £-несвязных компонент множества. Тогда величина, определенная как (Robins, 2000)

logC(e)

у = liminf- -,

«->о logy 1/s)

(6)

называется индексом несвязности и дает важную информацию о связности объекта Более детальные, алгебраические, характеристики топологии паттерна содержатся в его группах гомологии. Чаще всего используются так называемые симплициальные гомологии (Матвеев, 2003; Дольд, 1976). Пусть 5 = {у0(...,У4}еЛ</ - множество афинно независимых точек. Тогда, к-симплексом а = [у0,..,уа] называется выпуклая оболочка S, где упорядоченное перечисление вершин задает ориентацию симплекса. Симплициальным комплексом К называется конечное множество симплексов таких, что (¡) сг € К,т й<т => т 6 К и (и) сг,ст'е К=>аГ\(т' £ а,а' или

<тГ\&' = 0. Пусть К комплекс и = #|ст е А^ипсг = /]. Характеристика

Эйлера комплекса К определяется выражением (/ошогойап й а1., 2002; Шапиро, Ольшанецкий, 2001):

Формальные суммы ск = ]> пч е Z> <тц е К образуют абелеву группу

С* {К) и называются к - цепями. Граничный гомоморфизм -i ('О определяется оператором

где означает, что вершина v(- удалена из последовательности. Оператор дк позволяет определить подгруппу к-циклов Ък = 1сегЭ4 = |с е Ск \дкс =0| и подгруппу границ В* = imdk+i = \се.Ск|ЭреCt+I :с = . Поскольку

BjcZ^cCj, можно определить фактор-группу I\к=Ък/Лк> которую называют к-ой группой гомологии Н ¿.Два цикла z,,z2e Z^, отличающиеся на границу Zj = z2 + Bt, называются гомологичными друг другу. Числом Бетти Рк называют ранг группы Ht: fik = rank Н^. Грубо говоря, 0О измеряет число связных компонент, Д - число туннелей или неограничивающих 1-циклов и Р2 - число полостей в комплексе. Теорема Эйлера-Пуанкаре утверждает (Guillemin, Pollak, 1974), что

*(*)=!,И'А- (9)

Вычисление чисел Бетти вызывает трудности, связанные с тем, что любой паттерн в эксперименте, физическом или компьютерном, доступен лишь в конечно-точечном приближении. Нелегко выбрать способ построения аппроксимирующего конечного комплекса так, чтобы он наследовал исходную «форму» предельного объекта с точностью до гомологии. Один из способов заключается в определении симплициальных групп гомологии на системе окрестностей конечно-точечного приближения, так чтобы гомологии системы окрестностей сходились к аналогичным гомологиям пространства X в смысле обратного предела (Дольд, 1976). Эти соображения лежат в основе вычисления так называемых персистентных чисел Бетти (Carlsson et al., 2003; Robins, 2002).

Третья глава «Математическая морфология и топология глобального магнитного поля Солнца» содержит результаты применения методов математической морфологии и вычислительной топологии к анализу динамики крупномасштабного магнитного поля Солнца. В начале главы приводятся краткие сведения о различных проявлениях магнитной динамики Солнца (Витинский и др., 1986; Куклин, 1991).

Крупномасштабные структуры (с пространственным разрешением > 5°) принято называть глобальным (или фоновым) магнитным полем Солнца. Детерминированная динамика становится видимой для этих масштабов в распределении униполярных областей, которые эволюционируют в течение приблизительно 11 лет (Mouradian, Sora-Escaut, 1991). Нейтральные магнитные линии, разделяющие эти области, образуют, так называемые, магнитные На синоптические карты. Они изображают в цилиндрической проекции топографию распределения знака фонового магнитного поля, усредненного на масштабе одного Кэррингтоновского оборота (CR) Солнца (1CR»27 дней). Последовательность таких карт покрывает интервал времени с 1915 по 2002 гг. Магнитограммы радиальной компоненты магнитного поля Солнца доступны в базе данных Wilcox Solar Observatory Synoptic Charts с 1976 г.

Синоптические карты отображают реальные структуры по меньшей мере гомеоморфно, так что топологические свойства поля сохраняются. Именно поэтому они наиболее интересны для извлечения физической информации о динамике фонового поля методами, описанными в главах 1, 2. Инверсия знака глобального магнитного поля является наиболее драматическим эффектом в проявлениях Солнечной активности (Макаров и др., 1992; 2001). Часто инверсия происходит асинхронно в обоих полушариях; известны циклы, в которых наблюдались до 3 переполюсовок в одном полушарии.

Для оценок морфологических характеристик использовались два типа карт: синоптические На карты для солнечных циклов №15-22 (1914-1995 гг.; Макаров, Сивараман, 1984) и Стенфордские магнитограммы для циклов № 21—23 (1978-2003 гг). Для последних все три функционала Минковского вычислялись на уровне сечения, соответствующего линии раздела полярности. На рис. 1 в качестве примера представлен сглаженный функционал W2 -характеристика Эйлера %. На том же графике для сравнения приведены ежемесячные числа Вольфа.

X

200

О W

-200

-100

100

1940

1980

1980

2000

ГОДЫ

Рис. 1. Сравнение поведения сглаженных значений Эйлеровой характеристикой х с числами Вольфа № для карт CR 815 - 1972.

Периодограмма временного ряда х демонстрирует квази-двухлетнюю, 11-летнюю и 22-летнюю моды. Полученные функционалы анализируются в главах 4 и 5 диссертации.

На рис. 2 приведены графики V« ) оценки индекса

несвязности магнитного поля северной и южной полярностей, вычисленные по кортежам из 10 карт при изменении их разрешения. Левая панель рисунка соответствует кортежам, содержащим переполюсовки. Результаты, полученные по всей выборке показали, что инверсиям поля, как правило, соответствует хорошо выраженный степенной скейлинг. Его существование (прямолинейный участок графика) свидетельствует о масштабной инвариантности процесса, т.е. отсутствию выделенных масштабов для магнитных структур обеих полярностей. Скейлинговый диапазон для поля разных знаков фактически совпадает.

Рис. 2. Поведение индекса несвязности для карт, содержащих инверсию поля (слева), и карт, для которых она отсутствует (справа).

После переполюсовки степенной закон в распределении числа е-несвязных компонент разрушается: исчезает общий скейлинговый участок (правая панель рис. 2). Кривые IgC(f) расходятся для разных полярностей, что указывает на разное количество униполярных £ -несвязных компонент.

Степенные законы, связанные с масштабной инвариантностью, возникают в физических системах при фазовых переходах 2-го рода, а также в точках бифуркаций динамической системы, когда меняется тип его аттрактора (Малинецкий, 2002). В малой окрестности этих точек малые возмущения оказывают существенное воздействие на всю систему. Обнаруженный скейлинг магнитных структур, сопутствующий переполюсовкам, можно интерпретировать (1) как проявление фрактальности крупномасштабного поля или (2) как эффект «самоорганизации критичности» (Back, et al., 1988) в динамике поля.

Для вычисления чисел Бетти Д в диссертации использовался модифицированный вариант алгоритма (Konkle et al., 2004) и выборка 809 На карт для оборотов CR815 -CR1624.

Полученные в этой главе результаты позволяют утверждать, что методы вычислительной топологии позволяют извлечь физически интересную информацию из последовательности синоптических карт. Предложенная на их основе интерпретация переполюсовок, как проявления самоорганизации критичности, позволяет рассматривать инверсию, как своеобразный «фазовый переход», который стирает все характерные масштабы и разрушает все корреляции.

Четвертая глава «Фрактальная геометрия и мультифрактальный

анализ» содержит принципы мультифрактального формализма и результаты его применения к анализу Солнечной активности. Для графика временного ряда сумму отсчетов сигнала, накопленную в боксе размером можно

рассматривать как нормированную меру /л (Halsey et al., 1968). В пределе

малых 5, в боксе с номером / справедливааппроксимация: //,- ос 8"', где числа at= log/log«У называют показателями сингулярности или поточечной

размерностью меры (Falconer, 1990). Выделим на носителе точки, для которых а«а(±£. Число боксов, необходимое для их покрытия, определяется соотношением (Halsey et al., 1968; Федер, 1991):

где /(а,) — бокс-размерность или емкость множества выбранных боксов. Рассмотрим функцию разбиения как сумму мер, взятых по всем непустым в степени

В пределе основной вклад в интеграл дают члены с

доставляющие максимум показателю экспоненты: так что

Меру называютмулътифракталъной (Falconer, 1990), если

(13)

где вид функции r(q) = D4(l-q) выбран с учетом нормировки: r(l) = 0. Величины Dq :Da < DbVа> b называют обобщеннымиразмерностямиРеньи.

Очевидные соотношения:

позволяют перейти от переменных (q,D4) к сопряженным по Лежандру переменным (а,/(а)), где множество пар |а,/(сг)| называют мулыпифрактальным лежандровским fL(a)-cnектром. Этот спектр легко вычисляется, но не позволяет отследить тонкие детали в распределении сингулярностей меры. Такие детали можно обнаружить, используя так называемый спектр больших отклонений (Ridi, 2002).

Разделим носитель на равные боксы Cg размером S и пусть С = {С,у} — множество всех таких боксов. Определим крупнозернистый гельдеровский показатель меры в боксе выражением:

Пусть Ns (a,e) = #{Cg :a(Crf)e(a! — £,а + е)} - число непустых боксов,

содержащих меру с показателем а±е. Тогда крупнозернистый мультифрактальный спектр больших отклонений определяется выражением: /с (а ) = lim Hm sup log Ns (a,e)/\og(l/S) (16)

Трудности вычисления спектра /0 связаны с двойным пределом в (16) и независимостью разбиения носителя от распределения меры. Использование сглаживающего ядра позволяет связать скейлинг с размером и избавиться от одного из пределов (Leve-Vehel, 1999).

Основой мультифрактального формализма является понятие гельдеровской экспоненты (16). Современные методы ее численных оценок основаны на вейвлет-анализе (Mallat, 1999; Добеши, 2001). Говорят, что вейвлет имеет N исчезающих моментов, если

Известно, что локальная регулярность функции /(■*) в точке х0 описывается гельдеровской экспонентой так что если

но (n + 1)-я производная не существует или не является ограниченной, локальное поведение можно записать в виде:

Для получения оценки ä(jc0) б (и,и +1) необходимо умножить обе части (18) на вейвлет с п^ > п исчезающими моментами. Тогда после интегрирования при а —> 0 получится необходимое для практики выражение (Mallat, Hwang, 1992):

где - коэффициенты вейвлет-преобразования /(дс)|х_.Са . Это

соотношение является основным в численных оценках регулярности и используется в диссертации для улучшения регулярности полученных морфологических функционалов и обнаружения бифуркаций в динамике.

Мультифрактальное улучшение регулярности сигнала основано на следующем приеме (Кайтоуа и др., 2004). Вычислим локальные показатели

для каждой точки графика временного ряда

используя (19). Увеличим все полученные значения на некоторую выбранную постоянную А1(х/) = й (х,) + Т]. Построим новую функцию {/1 (•*/)} с предписанной регулярностью А](х,-) и близкую к {/(■**)} в Ьр метрике.

Полученная функция обладает улучшенной регулярностью. Эта процедура применялась к временным рядам всех функционалов.

1.0 0.8 0.6 ■ 0.4 0.2 0.0'

Рис. 3. Спектры /с(я) для х (слева)и fL(a) для Wx (справа).

Мультифрактальный анализ магнитных структур Солнца мотивирован следующими соображениями. Известно, что структура глобального Солнечного магнитного поля продуцируется диффузными компонентами и магнитными паттернами различных размеров с различным временем жизни. Магнитные структуры имеют перемежаемую структуру в широком диапазоне масштабов (Lawrence et ah, 1996; Могилевский, 2001). Для магнитограмм локальных областей, полученных с высоким разрешением ранее были получены оценки мультифрактальных спектров, однако скейлинг магнитного поля на масштабах, сравнимых с радиусом Солнца, ранее не исследовался.

В диссертации показано, что все морфологические функционалы демонстрируют мультифрактальный скейлинг. В качестве примера на рис. 3 приведены спектр больших отклонений для функционала (слева)

и Лежандровский мультифрактальный спектр /¿(а) для Wl- периметра нейтральной линии (справа). Бимодальность fc можно интерпретировать как указание на существование двух сингулярных мер: одной, связанной с магнитными полями пятен, и другой, обусловленной глобальным полем.

Одной из фрактальных характеристик изображения является размерность Буллигана-Минковского dM (Falconer, 1999). Пусть F - компакт, образованный униполярной областью на На -карте и Fe - £ -параллельное тело с площадью S{FC). Тогда

Размерность dM была вычислена для униполярных областей обоих знаков по последовательности //'„-карт. В диссертации показано, что dM тесно связана со статистикой солнечных вспышек. Энергия, выделяемая вспышками, измеряется, так называемым, вспышечным индексом Q, который представляет собой взвешенное по энергиям число вспышек, происходящих за один оборот Солнца (Klechek, 1952). На рис. 4 приведены значения вспышечного индекса Q для каждого оборота вместе с размерностью dM.

70 ВО 50 40

30 Q 20 10 0

и размерности

Оба графика почти совпадают при смещении максимумов dM на 12 CR, т.е. приблизительно на 1 год; более детальные оценки приведены в тексте диссертации. Важно, что увеличению Q предшествуют вариации размерности dM. Обнаруженная связь может быть полезна для прогноза вспышечной активности. Аналогичная связь существует между Q и периметром нейтральной линии

Таким образом, полученные результаты указывают на возможность существования мультифракталыных свойств крупномасштабного магнитного поля. Периодограммы и вейвлет-анализ всех функционалов и чисел Бетти Д демонстрируют присутствие 3-х мод: квази-двухлетней, 11-летней и 22-летней. Временные ряды, полученные из топологии поля, физически содержательны и могут претендовать на роль новых индексов магнитной активности. Подтверждением этого является обнаруженная прогностическая связь между вариациями периметра, размерности Минковского и вспышечным индексом.

1650 1700 1750 1ВОО 1850 1900 1950

Кэррингтоновские обороты

Рис. 4. Поведение ежемесячных значений индекса Q

Глава пятая «Реконструкция динамических систем по хаотическим временным рядам» посвящена эмбедологии и результатам ее применения к анализу Солнечной Активности. Начало эмбедологии было положено Такенсом (1981), который обобщил теорему Уитни о вложении дифференцируемых многообразий в на динамические потоки и каскады. Точнее, пусть диффеоморфизм f: М —> М определен на некотором компактном многообразии и задан системой обыкновенных

дифференциальных уравнений х = dx/dt = v(x). Ее решение определяет поток ф' (х) :ТМ —> ТМ, хеЛ/ на касательном расслоении ТМ. Рассмотрим некоторую нелинейную С2 - гладкую функцию (р(х) фазовой точки

которую, следуя Такенсу, назовем детеминированно-порожденной наблюдаемой. Предположим далее, что <р: М —У R является морсовской, т.е. она либо не имеет критических точек, либо все они изолированные и невырожденные. При этих предттоттожениях основная теорема (Takens, 1981) утверждает, что отображение Ф: М -> R2n+l, определенное как

будет вложением в Л2л+1 с точностью до предположения о типичности. Последнее означает, что такие отображения плотны в пространстве дифференцируемых функций. Таким образом, копию аттрактора можно реализовать в R2n+l,, если взять первые 2и +1 отсчетов измеренного скалярного ряда в качестве первого вектора реконструкции.

Траектория модели получается последовательными сдвигами такого кортежа на один отсчет вправо. Вложение означает, что полученный образ будет диффеоморфной копией реального аттрактора и, следовательно, наследует все его динамические инварианты.

Одним из важнейших параметров реконструкции является a priori неизвестная размерность п исходного аттрактора. Наиболее популярный практический метод оценки ее верхней границы опирается на метод корреляционного интеграла (Grassberger, Procaccia, 1983). Формально, пусть множество точек в полученных процедурой вложения

временного ряда. Определим

где card (А)- ЧИСЛО элементов А, р - расстояние между точками. Величину

C(i) = lim4^eC4(£) (24)

называют корреляционным интегралом, в предположении, что предел в (24) существует. На практике, для каждой фазовой реконструкции в Rd, d = 2,3,... оценивают сумму

где N - длина ряда, а ©(х) - функция Хевисайда. Корреляционная размерность v получается как асимптотическая оценка при е —> 0, d —► ао

Численные оценки v{e) = AlogCrf/log£ получают по наклонам графиков (26), построенных в двойной логарифмической шкале для пробных значений <i = 2,3,— Теоретически, хорошей оценке соответствует «плато», к которому сходятся все v(s) в некотором диапазоне масштабов. Однако, на практике такая сходимость зависит от многих причин, одной из которой является наличие шума в данных. Обобщенный вариант (25) содержит гауссовское ядро, вместо ©(х) (Dies, 1996), что позволяет получить, кроме V, энтропию Колмогорова-Синая К (Шустер, 1968). Последняя равна сумме положительных Ляпуновских показателей и, следовательно, позволяет оценить горизонт предсказуемости системы.

Корреляционная размерность v - один из главных инструментов эмбедологии. В диссертации доказана и используется оценка v > (1/а), где ОС — гельдеровский показатель регулярности наблюдаемой. Поскольку бифуркации динамики приводят к изменениям v, они должны продуцировать и изменения регулярности наблюдаемой ОС. Известно (Struzik, 2003), что часто изменения ОС предшествуют перестройке динамики. Это предположение тестируется в диссертации на примере волновой динамики атмосферы в главе 6.

Рис. 5. Вложения в Л3 временного ряда % (слева) и среднемесячных чисел Вольфа (справа).

В этой главе рассматриваются также топологические реконструкции, полученные по временным рядам морфологических и топологических «координат». В качестве примера на рис. 5 (слева) показано вложение временного ряда характеристики Эйлера и справа - аналогичная

реконструкция для среднемесячных чисел Вольфа. Корреляционный интеграл с гауссовским ядром дал v = 2.309 ± 0.023, К = 0.06 bit /rotation для вложения Х-Оценка размерности близка к полученным ранее для числел

Вольфа (Макаренко, Айманова, 1988; Ostryakov, Usoskin, 1990); значение К - энтропии соответствует горизонту предсказуемости Т » 2,6 года.

В главе 5 методами символической динамики анализируется проблема обратимости временного ряда чисел Вольфа. Задача мотивирована выбором двух альтернатив для моделирования ряда Вольфа: низкоразмерный динамический хаос (Serre et al., 2000), продуцирующий необратимую наблюдаемую, или стохастический осциллятор с обратимой проекцией. Полученные в диссертации результаты не позволяют дать однозначного ответа о существовании явной стрелы времени в циклах Вольфа на масштабах времени превышающих длину цикла (Макаренко, Данилкина, 2004).

Обобщение корреляционного интеграла (25) на два временных ряда позволяет оценить нелинейную связь между двумя реконструкциями (Cenis et al., 1991; Макаренко и др., 2001). В диссертации приведены оценки для взаимной связи глобального магнитного поля (реконструкция по и динамики магнитных полей пятен (реконструкция по числам Вольфа), полученные двумя методами. Они показали доминирующую роль глобального магнитного поля Солнца, управляющего образованием пятен.

Таким образом, применение методов эмбедологии к морфологическим функционалам позволило:

• Получить независимые фазовые реконструкции динамики магнитного поля по временным рядам морфологических функционалов и числам Бетти и оценить корреляционную размерность фазового пространства модели

подтверждающую гипотезу о низкоразмерной динамике Солнечной активности.

• Оценить взаимную связь двух реконструкций, по топологии глобального поля и числу Солнечных пятен. Двумя методами показано, что магнитное поле управляет процессом пятнообразования.

Глава шестая «Приложения к геофизике» содержит некоторые результаты приложения математической морфологии и мультифрактального формализма к геофизическим данным.

Раздел 6.1 посвящен Гельдеровской диагностике волновой динамики атмосферы по вариациям интенсивности космического излучения с целью раннего обнаружения грозовых фронтов. В качестве трассеров используются потоки мезонов, вторичных частиц, порожденных протонами с

энергией больше 10 ГэВ (Борог, 1995; 2000). В основе лежали два физических предположения: (i) гипотеза о фрактальной «металлизации» внутриоблачной

среды, приводящей к появлению проводящих внутриоблачных кластеров и (И) гипотеза о влиянии фрактального кластера на развитие локальной неустойчивости в волновой динамике атмосферы. Считается, что локальные возмущения, вызванные фрактальным кластером, приводят к изменению волновой динамики атмосферы и, следовательно, могут вызывать вариации числа мезонов, пронизывающих нижний слой атмосферы (Борог и др., 1999). Для обнаружения этих изменений использовалась поточечная гельдеровская регулярность Л(/) временного ряда N(1) - числа регистрируемых наземным

детектором мезонов (Белоносова и др., 2000).

Экспериментальные данные были получены на уникальной установке «Мюонный годоскоп» (МИФИ, Москва, РАН) и любезно предоставлены В.В. Ворогом. Все данные демонстрируют значительные флуктуации регулярности с Л(*)<1. Для упрощения анализа был использован простейший фильтр - кумулятивная функция регулярности, определяемая для каждого

отсчета / = 1,2.....п} временного ряда N(1) как накопленная сумма

отклонений от среднего значения

Где в качестве Ъщ^ выбиралось среднее по всей генеральной совокупности локальных показателей Гельдера. Предполагалось, что ограниченные колебания кумулятивной функции вблизи определенного уровня свидетельствуют о существовании некоторой детерминированной динамики. Напротив, ее значительные систематические отклонения интерпретировались как стохастическая, возмущенная динамика.

На рис. 6 показаны типичные графики Аеут для фона (слева) и рядов, предшествующих приблизительно 2-х часовому интервалу до грозы, в радиусе около 200 км от детектора (справа). Для фоновых рядов основная доля значений лежит ниже нулевого уровня; для данных с грозами

наблюдаются почти симметричные колебания й^ относительно этого уровня.

5 5 Л 1 №

0 Ь» -5 1 0 Ь« -5 уЧ 1Яи /1

гУ VI/

-10 V -10

( ) 500 ъ 1000 1500 3 500 1- 1000 1500

Рис. 6. Функции ксит для фона (слева) и для суточного периода с грозой (справа) 22

Обнаруженные изменения регулярности подтверждаются мультифрактальными спектрами больших отклонений, Таким образом, анализ регулярности временных рядов позволяет выявить изменение динамических режимов в нестационарных и нелинейных данных.

В разделе 6.2 рассматривается применение морфологических мер в сейсмологии. Одной из проблем региональной сейсмичности является оценка пространственной сложности эпицентров землетрясений внутри ограниченной области в выбранном диапазоне энергий, необходимая для выделения типичных "сейсмических режимов" по накопленному потоку сейсмических событий (Мажкенов, Макаренко и др. 1994). Известные энтропийные меры и мультифрактальные характеристики (Арефьев, Шебалин, 1988; Садовский, Писаренко, 1991) удается надежно оценить лишь по большим выборкам событий, накопленных в максимально доступном временном окне. Однако, часто возникает необходимость сравнивать сложность выборок малого объема. Как показано в диссертации, в этих случаях оптимальным вариантом является использование функционалов Минковского (Макаренко и др., 2000). На примерах выборок землетрясений из каталогов Восточного Тянь-Шаня и Калифорнии демонстируется, что морфологические меры позволяют сравнивать и оценивать пространственную сложность сейсмичности по выборкам небольшого объема.

В разделе 6.3 рассмотрен мультифрактальный и морфологический анализ радионуклидных полей. Антропогенное радиоактивное загрязнение огромных территорий суши и моря представляет собой глобальную экологическую проблему. В бывшем СССР было проведено 715, в США 1032 ядерных взрыва и 24 совместно с Великобританией (Израэль, 1998). Кроме того, испытания проводились Китаем, Францией, Индией и Пакистаном. Другим источником загрязнений являются аварии на атомных электростанциях (Уиндскейле, Великобритания, 1957; Три-Майл-Айленде, США, 1983; Чернобыль, СССР, 1986) и атомных предприятиях (Южный Урал, 1957 и 1967).

Основные трудности, с которыми встречается диагностика загрязнений, связана с «пятнистостью» и предельной сложностью структуры на разных уровнях разрешения. Пятнистость накладывает серьезные ограничения на выбор методов измерения и обработки. Для того, чтобы отследить все флуктуации такого поля, измерительная сеть должна обеспечить покрытие территории системой перекрывающихся окрестностей, что невозможно из-за финансовых ограничений.

Одно из самых интересных свойств таких полей - их масштабная инвариантность. Фрактальность была впервые обнаружена при изучении границ отдельных пятен загрязнений вблизи Чернобыля (Барьяхтар и др. 1993). Результаты, полученные для Чернобыльских выпадений в Европе (8а1уаёоп й а1. 1996), не противоречили существованию мультифрактального скейлинга в загрязнениях, однако, достоверность этих оценок крайне мала. С другой стороны, проверка гипотезы о мультифрактальности для радионуклидных

полей имеет важное практическое значение: свойства масштабной инвариантности позволят, в принципе, диагностировать большие территории на основе детального анализа небольшого числа тестовых площадок. Для проверки этой гипотезы в диссертации были использованы уникальные данные аэро-гаммаспектрометрической съемки в Казахстане, в частности на Семипалатинском Испытательном Ядерном Полигоне (СИЯЛ) и прилегающих территориях, где за 40 лет было произведено 470 ядерных взрывов: 90 воздушных, 25 наземных и 355 подземных. Данные были представление концентрациями природных (К,Тк,и) и техногенных О изотопов. В диссертации доказывается существование мультифрактальных свойств полей загрязнения (Макаренко, Каримова, 2000; Makarenko et al. 2003).

0.в 1,0 1,1 1,2 1.1 1,4 1,5 1.« 1.7 1,(

Рис. 7. Мультифрактальные /¡^ спектры для изотопов площадки «Иртыш»

V

Рис. 8. Зависимость индекса несвязности у от уровня сечения поля V для разных изотопов. Нижняя кривая соответствует техногенному изотопу цезия.

В качестве примера на рис. 7 приведены полученные для

аэро-гаммаспектрометрической съемки масштаба 1:5000 на площадке

«Иртыш», который входит в состав СИЯЛ. Все изотопы хорошо разделяются по скейлингу, причем техногенный изотоп Cs имеет самый широкий диапазон Гельдеровских экспонент. На рис. 8 приведены графики поведения индекса несвязности у для тех же данных и различных уровней v сечений поля. Этот индекс совпадает с емкостью для самоподобных фракталов, так что приведенные кривые можно рассматривать как «предмультифрактальный спектр», качественно совпадающий с обычным fL- спектром. Морфологический анализ данных показал (Makarenko et al., 2001), что поведение в зависимости от уровня резко отличается от модели

Гауссовского случайного поля. На основе полученных спектров и принципа трансверсальности в диссертации приведены оценки оптимальной размерности измерительной сети для обнаружения опасных аномалий.

Результаты анализа стохастических полей загрязнения на СИЯЛ показали, что мультифрактальные свойства являются, по-видимому, типичным свойством радионуклидных полей загрязнения, образующихся в результате атмосферных выпадений. Этот вывод справедлив не только для единичных событий (типа Чернобыльского выброса), но и для структурированных полей, сформированных в течение длительного времени от источников разной природы и при различных состояниях окружающей среды;

Глава седьмая «Нелинейный прогноз временных рядов с помощью искусственных нейронных сетей» посвящена проблемам предсказания временных рядов. Эмбедология приводит к нелинейному многомерному предиктору, который может быть аппроксимирован различными средствами (McSharry, 1999). В этой главе диссертации подробно рассмотрена аппроксимация глобального нелинейного предиктора с помощью искусственных нейронных сетей (ИНС). Согласно теореме Такенса (Takens, 1981), в пространстве вложения существует универсальная динамическая модель: Это векторное уравнение имеет лишь одну

нетривиальную скалярную компоненту (Stark, 2001) и является формализацией нелинейного предиктора следующей задачи.

Для данного временного ряда и полученной для него реконструкции в JRm известны значений векторов с единичным

сдвигом (лагом). Для каждого 1 = 1,2,...,7V— т + \ известны численные значения функции которые служат «обучающей выборкой». Для получения

прогноза необходимо построить подходящую аппроксимацию Ф на основе конечной выборки <D(z,<). Здесь Ф - непрерывная и, возможно, дифференцируемая функция т переменных, определенная на гиперповерхности некоторой неизвестной размерности, меньше чем т. При этих условиях задача аппроксимации Ф решается только на уровне технической строгости (Малинецкий, Потапов, 2002). В глобальных методах с локальными свойствами Ф аппроксимируется сразу во всем пространстве. В

случае ИНС аппроксиматор ищется в форме (Макаренко, 2003; Girosi, Poggio, 1989;):

которая соответствует многослойной ИНС с элементами, которые суммируют входы с весами w,v,u,..., а затем выполняют преобразование (30) с

помощью сигмоидапьной функции (Г. Аппроксимационные свойства ИНС определяются свойством нелинейности функции а. Это утверждение доказывается в теореме (Горбань, 1998), обобщающей известную теорему Стоуна на ИНС.

Особенностью применения ИНС в диссертации является использование векторного прогноза, который позволяет получить фрагмент будущей истории ряда на величину лага г всего за одну итерацию. Таким образом, удается избежать эффекта накопления ошибки в случае долгосрочных прогнозов.

Важно заметить, что построение любого аппроксиматора по конечной обучающей выборке всегда представляет собой некорректную задачу (Макаренко, 2003): квадратичный функционал ошибок допускает множество равно возможных вариантов прогноза. Критерий выбора наиболее вероятного среди них может быть получен только вне схемы предиктора. Именно поэтому столь важны методы оценки качества модели, которые основаны на статистике ошибок предсказания (McSharry, Smith, 1999). Обычно она состоит из двух компонент: ошибки модели - ошибки, связанной с

неопределенностью наблюдений. Существует несколько подходов, учитывающих ошибку модели Наиболее естественный из них

заключается в предположении, что детерминированная динамика управляется уравнением: вектор некоторых скрытых

параметров. Их изменения приводят к перестройке режимов системы (бифуркациям), которые отслеживаются как нестационарность наблюдаемого временного ряда. Вектор параметров удается извлечь из наблюдений только в наиболее простых случаях, однако идея скрытых параметров оказалась конструктивной для построения, так называемого, долгосрочного прогноза (Judd, Small, 2000). Транслируем существование таких параметров в динамике на модель следующим образом.

Пусть имеется дискретный временной ряд x(l),x(2),...,;c(n) и некоторый

предиктор X =Ф(Х), где Х = (х(и + 1),х(я + 2),...,х(л + />)) - предсказанные р значений исходного ряда. Если X = (х(п + 1),ж(и + 2),...,*(/! + /?))

истинные будущие значения, то справедливо соотношение Х = Х + Errors. Ошибки предсказания (Errors) могут быть вызваны разными причинами, например, шумами в исходных данных. Если они являются систематическими, то их можно объяснить тем, что выбранный класс моделей Ф(я) на самом деле

зависит от набора параметров а = |аиа2,-~С1р}, так что Ф = Ф(я,а). Тогда информацию, содержащуюся в ошибках, можно использовать для получения лучшего чем X, прогноза с помощью некоторого корректора Ч*:

В диссертации в качестве корректора (29) предлагается использовать отдельную ИНС, обученную редуцировать ошибки первоначального предсказания X, полученные на истории временного ряда.

SSN

160

120

80

40

тест предсказание ......................................................,т.'.....

1

flu' •• ' ш ......... ••/.—• .

U г 'iPÏ V I X.................. у....._

1 > 11 * IL •

1 п iji

ПК» VT V/.

................вЧ*......................................

23

24

cycles

Рис. 9. Нейропрогноз Солнечного цикла №23.

Комбинация векторного ИНС-предиктора с ИНС-корректором (31) позволяет во многих случаях получить устойчивый долгосрочный прогноз. В качестве примера на рис. 9 приведены результаты прогноза текущего Солнечного цикла №23 по числам Вольфа. Среднемесячные значения чисел Вольфа показаны тонкой серой линией, толстой серой линией обозначены сглаженные скользящим средним по 13 точкам месячные значения. Пунктиром обозначена прогнозная кривая, полученная с помощью многослойной ИНС; кружками - скорректированный прогноз. Вертикальная линия отделяет тестовый участок от прогноза, который начался в марте 2002 года.

Предложенная выше комбинация методов топологической динамики для составления обучающего множества и нейрокомпьютинга позволяет построить нейросетевой векторный предиктор. Он свободен от накопления ошибок, типичных в итеративных одношаговых схемах. Кроме того, вариант нейросетевого корректора, описанный выше, во многих случаях позволяет улучшить прогноз нестационарных хаотических данных.

В заключении суммируются актуальность и мотивировка цели исследований, даются основные полученные результаты, приводятся данные о публикациях и апробациях и указываются направления дальнейших исследований в данной области.

Выводы.

Целью диссертационной работы являлось: развить формализм для моделирования распределенных нелинейных динамических систем и применить его для исследования глобального магнитного поля Солнца и некоторых геофизических полей.

Подход основан на синтезе:

• методов эмбедологии, позволяющих получать универсальную топологическую модель аттрактора системы, как типичное вложение наблюдаемого временного ряда в евклидово пространство подходящей размерности;

• методов математической морфологии, позволяющих извлекать и описывать геометрические характеристики матричных данных;

• методов вычислительной топологии, позволяющих описывать связность паттерна в рамках алгебраических инвариантов;

• методов фрактальной геометрии и мультифрактального формализма, позволяющих анализировать масштабно-инвариантные свойства данных.

В диссертации, комплексный подход применялся для моделирования экспериментальных данных по динамике фонового магнитного поля Солнца, волновой динамике атмосферы, потокам региональных сейсмических событий и радионуклидным загрязнениям на территории Семипалатинского Испытательного Ядерного Полигона (СИЯЛ). В результате проведенных исследований были получены следующие результаты:

• Новые индексы Солнечной активности, в форме трех функционалов Минковского, описывающие геометрию крупномасштабного магнитного поля Солнца.

• Корреляционная связь периметра нейтральной линии и размерности Буллигана-Минковского со вспышечным индексом.

• Реконструкции магнитных «аттракторов» Солнца, оценки корреляционных размерностей которых подтверждают существование низкоразмерного хаоса в Солнечной магнитной динамике.

• Синхронизация динамики образования пятен и фонового магнитного поля, с доминирующей ролью последнего.

• Мультифрактальные спектры, полученные по временным рядам морфологических функционалов, указывающие на существование мультифрактальных свойств магнитных структур на масштабах диаметра Солнца.

• Степенной закон, масштабирующий магнитные структуры в моменты переполюсовок фонового поля.

• Нелинейный векторный предиктор с коррекцией долгосрочного прогноза временных рядов, основанный на методах эмбедологии и нейрокомпьютинга.

• Доказательства мультифрактальных свойств радионуклидных полей загрязнения больших территорий.

Все полученные результаты убедительно доказывают эффективность предложенного комплексного подхода для моделирования распределенных систем.

Основные публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации содержатся в следующих работах:

1. Макаренко Н.Г. Временные ряды из геометрии и топологии пространственно-временного хаоса // Прикладная Нелинейная динамика, 2004. №6. 16 с.

2. Макаренко Н.Г. Реконструкция динамических систем по хаотическим временным рядам-1 // Нелинейные волны' 2004. Нижний Новгород, 2004. С. 398-410.

3. Макаренко Н.Г. Как получить временные ряды из геометрии и топологии пространственных паттернов // Лекции по нейроинформатике. 4.2. Нейроинформатика-2004. VI Всерос. науч.-тех. кон. М., 2004. С. 140-199.

4. Makarenko N.G., Karimova L.M., Kyandykov Y.B., Novak M.M. Nonlinear Dynamics and Prediction of the Caspian Sea Level // Thinking in Patterns, M. M. Novak (ed). World Scientific, 2004. P. 91-102.

5. Макаренко Н.Г., Данилкина Е.Б. Можно ли предсказать временной ряд в прошлое? // Сб. тр. «Нейроинформатика-2004», VI Всероссийская научно-техническая, конф. Москва, 2004. Ч. 2. С. 11-17.

6. Makarenko N., Karimova L., Kuandykov Y. Enhancement of the prediction of geophysical time series by modifying the regularity structure of a signal // Proceedings of the International Astronomical Union. Volume 2004, Issue IAUS223, November 2004. Multi-Wavelength Investigations of Solar Activity. P. 707-708.

7. Makarenko N., Danilkina Y., Karimova L., Kuandykov Y., Eronen M., Helama S. The estimation of the interrelation between paleoclimatic time series // Proceedings of the International Astronomical Union. Volume 2004, Issue IAUS223, November 2004. Multi-Wavelength Investigations of Solar Activity. P. 123-124.

8. Karimova L.M., Kuadykov Y.B., Makarenko N.G. The genetic algorithm for a signal enhancement // Nuclear Instrument Methods in Physics Research Sec. A. 2004. Vol. 534. P. 170-174.

9. Макаренко Н.Г. Эмбедология и нейропрогноз // Лекции по нейроинформатике. 4.1. Нейроинформатика-2003. V Всерос.научн.-тех. конф. Москва, 2003. С. 86-148.

Ю.Макаренко Н.Г., Каримова Л. Анализ глобального магнитного поля Солнца методами математической морфологии и вычислительной топологии // Физика Солнца и звезд. Тр. междун. научн. Сем. «Физика Солнца и звезд». Элиста: Калмыцкий госунивер., 2003. С. 51-59.

11. Makarenko N., Karimova L. Diagnosis of stochastic fields by the mathematical morphology and computational topology methods // Nuclear Instr. & Methods in Physics Res. Sec. A, 2003. Vol. A 502. P. 802-804.

12. Макаренко Н.Г. Фракталы, мультифрактальные меры и аттракторы // «Нелинейные волны'2002». Ред. А.В. Гапонов-Грехов, В.И.Некоркин. Нижний Новгород, ИПФ РАН, 2003. С. 381-394.

13. Makarenko N.G., Karimova L., Novak M. Application of fractal and morphological methods in radioecology // Health Physics, 2003. Vol. 85. № 3. P. 330-338.

Н.Макаренко Н.Г. Фракталы, аттракторы, нейронные сети и все такое // Лекции по нейроинформатике. 4.2. Нейроинформатика-2002. IV Всеросийская научно-техническая конференция. Москва, 2002. С. 121-69.

15. Mordvinov A.V., Salakhutdinova 1.1., Plyusnina L.A., Makarenko N.G., Karimova L.M. The topology of background magnetic fields and solar flare activity // Solar Physics, 2002. Vol. 211. P. 241-253.

16. Ахматуллина Н.Б., Искандорова К.А., Чередниченко О.Г., Макаренко Н.Г., Ким С.А. Математический анализ генетических эффектов малых доз ионизирующих излучений // Радиационная биология. Радиоэкология. 2002. № 6. С. 614-617.

17-Tribelsky M., Harada Y., Kuandykov Y., Makarenko N. Predictability of Market Prices // «Empirical Science of Financial Fluctuations: The Advent of Econophysics», Springer-Verlag, Tokyo, 2002. P. 241-249.

18. Makarenko N.G., Gorban A., Rossiev A., Kuandykov Y., Dergachev V. Recovering data gaps through neural network methods // Int. J. of Geomagnetism and Aeronomy, 2002. Vol. 3. X» 2. P. 191-197.

19. Makarenko N.G., Karimova L.M., Novak M. Dynamics of Solar magnetic fields from Synoptic charts // Emergent Nature.Patterns, Growth and Scaling in the Sciences. World Scientific, 2001. P. 197-207.

20. Макаренко Н.Г. Геометрия и топология случайных полей в физике Солнца // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 2001. Вып. ИЗ. С. 202-213.

21. Макаренко Н.Г., Куандыков Е.Б., Россиев А.А., Дергачев В.А. Как обнаружить синхронизацию двух динамических систем по наблюдаемым временным рядам с пропусками // Известия РАН, сер. физ. 2001. Т. 65, №3. С. 391-393.

22. Makarenko N.G., Karimova L., Steier P., Kuandykov Y., Dergachev V., Gorban A, Rossiev A. The filling of gaps in geophysical time series by artificial neural networks // Radiocarbon. 2001. Vol. 43. № 3. P. 343-350.

23. Makarenko N.G., Karimova L., Novak M., Terekhov A. Topological classification of radioactive contamination // Physica A. 2001. Vol. 289. P.278-289.

24. Макаренко Н.Г., Югай И.С., Долматова И.А., Мустафина Ж.Г. Определение информативности клинических признаков и интегральных показателей крови опухолей орбиты с помощью искусственных нейронных сетей // Вестник новых медицинских технологий. 2001. Т.8. №2. С. 10-12.

25. Makarenko N.G., Karimova L., Novak M. Discriminating between the nature of radioactive contamination // Chaos, Solitons and Fractals, 2000. Vol. 11. P.2091-2098.

26. Makarenko N.G., Karimova L.M., Terekhov A.G., Novak M. Fractal and Topological Complexity of Radioactive Contamination // «Paradigms of Complexity, Fractals and Structures in the Sciences», World Scientific Publ. Co. Singapour, 2000. P. 269-278.

27. Belyashov D.N., Emelyanova I.V., Tichshenko A.V., Makarenko N.G., Karimova L.M., Novak M.M. Fractal approach to the regional seismic event discrimination problem // Paradigms of Complexity. Fractals and Structures in the Science», Ed. M.M.Novak, World Scientific. 2000. P. 259-268.

28. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М., Терехов А.Г., Кардашев А.В. Функционалы Минковского и сравнение дискретных выборок в сейсмологии // Известия РАН, Физика Земли. 2000. № 4. С. 48-52.

29. Белоносова О. В., Борог В.В., Симаков П.О., Куандыков Е.Б., Каримова Л.М., Ким С.А., Макаренко Н.Г. Диагностика мультифрактальных характеристик волновой динамики атмосферы в среде MATLAB по вариациям интенсивности космического излучения // Тр. Всеросс. научн. конф. «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». Москва, 2000. Ч. 1. С. 17-28.

30. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М. Мульти фрактальный скейлинг радионуклидных загрязнений в Казахстане // Тр. Меж. Конф. «Радиоактивность при ядерных взрывах и авариях». - Москва, С.Петербург: Гидрометеоиздат, 2000. Т. 1. С. 494-499.

31. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М., Беляшов Д.Н., Комаров И.И., Аристова И.Л., Кардашов А.В., Юшков А.В. Топологический метод анализа площадных загрязнений территорий бывших ядерных полигонов // Радиационная биология. Радиоэкология. 1999. Т. 39. № 5. С. 521-527.

32. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М., Беляшов Д.Н., Емельянова И.В, Тищенко А.В. Опыт применения нейросетового имитатора Multineuron в гео- и гелиофизике // Сб. тр. Всеросс. научно-технич. конф. «Нейроинформатика-99». Москва, 1999. Ч. 3. С. 31-38.

33. Makarenko N.G., Karimova L.M., Novak M. M. Fractal and Morphological Analysis of Radioactive Contamination // in Proceed. Of the confer. "Fractals in Ingineering". 14-16 ofJune. Delft, 1999. P. 167-174.

34. Makarenko N.G., Karimova L., Demchenko B.I., Novak M. Analysis of terrestrial radioactivive contamination // Fractals. 1998. Vol. 6. № 4. P. 359-369.

35. Makarenko N.G. Analysis of Geophysical Data: the nonlinear tools // «Problems of Geospace 2», Proc. of Intern. Conf. St. Peterburg, 1998; Wien, 1999. P. 11-19.

36. Каримова Л.М., Макаренко Н.Г. Диагностика хаотической компоненты в вариациях общего содержания озона // Известия РАН, Физика атмосферы и океана. 1997. Т. 33, № 2. С. 283-286.

37. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М., Макаров В.И., Тавастшерна К.С. Контурная статистика крупномасштабных солнечных полей // Сб. «Современные проблемы солнечной цикличности». С.-Петербург, 1997. С. 139-143.

38. Макаренко Н.Г.. Каримова Л.М., Нагай Т.В. Эмбедология, солнечные циклы и прогноз динамики Каспийского моря // Сб. «Современные проблемы солнечной цикличности». С-Петербург, 1997. С. 134-148.

39. Бектасова Н.Г., Диденко А.В., Каримова Л.М., Макаренко Н.Г. Детерминированный хаос из кривой блеска геостационарного спутника // Письма в АЖ. 1994. Т. 12, № 12. С. 928-933.

40. Makarenko N., Mazhkenov S., Karimova L., Kurskeeva G. About earthquake prediction by geomagnetic data // Inland Earthquakes. 1994. Vol. 8. № 4. P. 44-48.

41. Makarenko N.G., Pushkarev O.A. Fractal dimension of spatial distribution of quasars //Sov. Astron. Lett. 1992. Vol. 18 (3). P. 161-163.

42. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М. Синтаксический анализ чисел Вольфа // Сб. «Пространственно-временные аспекты Солнечной активности». С.-Петербург, 1992. С. 141-151.

43. Макаренко Н.Г. Многообразия, вложения, погружения и трансверсальность // Сб. «Проблемы солнечной активности». Ленинград: ФТИ им. Иоффе, 1991. С. 13-28.

44. Бектасова Н.К., Макаренко Н.Г., Макаров В.И., Сагинтаев Б.С. Сложность, символическая динамика и временные ряды // Сб. «Проблемы Солнечной Активности». Ленинград: ФТИ им. А.Ф. Иоффе, 1991. С. 79-87.

45. Мосин А.П., Макаренко Н.Г. Топологическая размерность солнечного аттрактора по рядам Вольфа // Сб. «Проблемы Солнечной Активности». Ленинград: ФТИ им. А.Ф. Иоффе, 1991. С. 89-94.

46. Айманова Г.К., Макаренко Н.Г., Макаров В.И., Тавастшерна К.С. Оценка параметров порядка фоновых магнитных полей Солнца по Н-альфа картам. Период: 1914-1984г. // Солнечные данные. 1982. №2. С. 97-102.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 25.04.05 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 2. Тираж 100 экз., Заказ № 223/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская,д. 3, тел. 428-43-00.

oi 0<f- 0/.P3

t r» ^

i * '

19 МАЙ 2005

Введение

Глава 1 Математическая морфология и геометрия случайных полей

1.1 Задача о выбросах случайной функции в Л

1.2 Случайные поля \ д

1.3 Функционалы Минковского

Глава 2 Элементы вычислительной топологии

2.1 Связность

2.2 Множество Кантора

2.3 Ковер Серпинского

2.4 Группы гомологий

Глава 3 Математическая морфология и топология глобального магнитного поля Солнца

3.1 Основные структуры в атмосфере Солнца

3.2 Магнитный цикл активности Солнца

3.3 Морфологические функционалы и топология синоптических карт

3.4 Вычислительная топология На - карт

Глава 4 Фрактальная геометрия и мультифрактальный анализ

4.1 Размерности и меры

4.2 Мультифрактальный формализм

4.3 Поточечный анализ регулярности

4.4 Фрактальные и мультифрактальные свойства Солнечных индексов ЮЗ

Глава 5 Реконструкция динамических систем по хаотическим временным рядам

5.1 Исторические замечания

5.2 Элементы дифференциальной топологии

5.3 Эмбедология и Теорема Такенса

5.4 Корреляционная размерность

5.5 Динамические инварианты Солнечных индексов

Глава 6 Приложения к геофизике

6.1 Гельдеровская диагностика волновой динамики атмосферы по 155 вариациям интенсивности космического излучения

6.2 Морфологические меры в сейсмологии

6.3 Мультифрактальный и морфологический анализ радионуклидных 166 полей

Глава 7 Нелинейный прогноз временных рядов с помощью искусственных нейронных сетей

7.1 AR прогноз

7.2 Локальная параметрическая AR модель

7.3 Нелинейный многомерный AR прогноз

7.4 Общие принципы аппроксимации

7.5 Элементы теории искусственных нейронных сетей

7.6 Нейропрогноз 194 Заключение 204 Список использованных источников

Стандартные подходы к моделированию динамических систем основаны главным образом на принципах классической аналитики, так что «непостижимая эффективность математики в естественных науках»[1], обязана прежде всего моделям, заданным дифференциальными уравнениями. На практике использование и верификация аналитических моделей связаны с определенным трудностям. Они возникают прежде всего потому, что "фазовые" переменные, входящие в уравнения обычно недоступны прямым наблюдениям. С другой стороны, стремление удовлетворить требованиям теоремы существования и единственности решений часто требуют "линеаризации" уравнений: при этом приходиться пренебрегать малыми членами, либо исключать "несущественные" связи. Известным примером таких процедур является "приближение линейных мод", основанное на предположении о справедливости принципа линейной суперпозиции. Нелинейные случаи, связанные с системами, имеющими много степеней свободы обычно описывались уравнениями гиперболического типа, либо редуцировались к линейным уравнениям с малыми возмущениями. Редукция уравнений нередко приводила к чрезмерно упрощенным моделям, которые описывали ситуации, далекие от реальности. Поэтому, во многих случаях стали популярными численные решения исходных уравнений. Они привели к двум новым теоретическим конструкциям нелинейной физики: солитону и странному аттрактору[4- 9].

В численных решениях существуют свои трудности. Они связаны с обоснованием корректности дискретизации уравнений, выбором устойчивого метода интегрирования, подходящей модели для динамического и наблюдаемого шума и принципов оценки "ошибки модели"[25-28,286].

В прикладных областях стандартное численное моделирование сводилось главным образом к полуэмпирическим линейным схемам1, основанным на фильтрованных суммах случайных стационарных процессов -AR,ARMA,ARIMA и т.д. или методам спектрального оценивания временных рядов[2,3]. Такие модели в принципе не могли ответить на вопрос о природе источника сигнала, поскольку последняя, периодическая или стохастическая, уже содержалась ipso facto в самом методе. Моделирование сводилось, таким образом, к нахождению набора свободных параметров, при неявном предположении о выполнении условий эргодичности, стационарности и конечномерности данных [284]. Таким образом, вера в то, что аналитическая схема "изоморфна" реальности, которую можно представить как суперпозицию простых линейных фактов, в теории и эксперименте стала почти апокрифической догмой.

Однако, за последние двадцать пять лет наши представления о природе нелинейности изменились радикальным образом. Оказалось, что даже в системах детерминированных уравнений с небольшим числом степеней

1 Исключением являются пороговые AR модели для описания предельных циклов[214]. 3 свободы может возникать стохастическое поведение[4-7,9,12]. При этом тип нелинейности оказался более значимым, нежели размерность или форма самих уравнений. Если решения сильно зависят от начальных условий, малые погрешности начальных данных экспоненциально растут в фазовом потоке и, начиная с некоторого момента времени, будущее состояние системы становится непредсказуемым. Траектории такой системы заполняют низкоразмерное инвариантное притягивающее подмножество {аттрактор) в фазовом пространстве[13,221]. Траектории на аттракторе разбегаются в одних (неустойчивых) направлениях и сжимаются в других[4-5,9-10].

Вследствие диссипации сжатие преобладает и в устойчивых направлениях аттрактор копирует сам себя: сечение фазового потока приобретает самоподобную (странную) структуру канторова множества с дробной размерностью[4,11]. С точки зрения внешнего наблюдателя аттрактор ведет себя как гибкий информационный процессор, обрабатывающий информацию о начальных данных. Новая информация порождается не только каскадом бифуркаций, приводящих к нарушению симметрии, но и последовательными итерациями, приводящими к все более тонкому разрешению геометрической структуры[9,12]. Такая "аппаратурная реализация" может исполнять очень сложный функциональный репертуар, меняя поведение от относительно простого, квазипериодического (ламинарного) до турбулентного стохастического) [4-7, 9,12]. Стохастичность может возникнуть и в консервативных системах[7-8], если их фазовый объем сжимается в < 2 некоторых направлениях. Так возникла новая парадигма Динамического

Хаоса [6,12,217,219,233].

Первой структурой описанного типа был аттрактор Лоренца [7], предложенный в 1968г. в качестве наглядной модели турбулентности для системы, полученной из уравнений Навъе-Стокса с помощью галеркинской процедуры. Строгое понятие (гиперболического) аттрактора, было предложено Смейлом, для выделенного класса диффеоморфизмов, однако универсального определения не существует до сих пор[ 10,13,221]. Математической моделью аттрактора, в общем случае, являются дифференцируемые или фрактальные многообразия^, 13], для описания которых необходимы современные методы геометрии и топологии [10,11,14,222].

С физической точки зрения, все что наблюдаемо, т.е. проявляется с ненулевой вероятностью, тем или иным образом ассоциируется с чем-то типичным или притягивающим, т.е. находиться на аттракторе. Поскольку сценарий перехода к хаосу зависит лишь от типа нелинейности, простые «игрушечные» модели {toy models), наследующие этот тип, часто более полезны для практики, нежели сложные системы уравнений. Поэтому новые идеи были безболезненно восприняты экспериментаторами, огромный интерес которых к новой парадигме был вызван по меньшей мере двумя обстоятельствами. Во-первых, большинство типичных природных систем

2 Синоиимы: диссипативный или детерминированный Хаос 4 являются диссипативными и описываются нелинейными уравнениями. Во-вторых, появился практический метод восстановления образа аттрактора по проекции фазовой траектории на произвольное направление, т.е. по наблюдаемому временному ряду[4,6,215-220,223-228,231-237]. Формально такая реконструкция представляет собой дифференцируемое вложение ряда в обычное евклидово пространство подходящей размерности. Таким образом, экспериментатор получил уникальную возможность получить универсальную модель системы или даже уравнения [24], прямо из наблюдений, почти в точности следуя стратегии узников, следящих за тенями на стенах пещеры, в аллегории Платона[29]. Следует заметить, что в истории науки уже были удачные попытки получить модель непосредственно из данных. Наиболее известная из них - гелиоцентрическая модель эллиптического движения планет. Три знаменитых закона были получены Иоганном Кеплером из Вюртенберга (1571-1630гг.) посредством чудовищных по объему ручных вычислений по наблюдениям пражского астронома Тихо Браге (1546-1601гг.). Модель Кеплера не только замечательный пример получения явных знаний из таблиц данных. Она имела замечательные предсказательные возможности, реализованные Кеплером в, так называемых, Рудольфовых таблицах - наперед рассчитанных эфемеридах нескольких планет.

Метод реконструкции аттрактора из скалярных временных рядов был предложен в 1980г., как эвристический, в статье Геометрия из временных рядов [15]. Год спустя он стал строгим, благодаря работе Такенса[\6], который обобщил теорему Уитни о вложении дифференцируемых многообразий в R" на динамические потоки и каскады. Эта теорема утверждает[17], что любое гладкое многообразие X с размерностью dimХ = п может быть вложено в Rm,m>2n, так что для подходящего диффеоморфизма / \Х -» Г; Г с: Rm, его образ: f(X)aY будет дифференцируемым подмногообразием Y.

Пусть диссипативная динамическая система, определена на некотором компактном многообразии M,d\mM = n системой п обыкновенных дифференциальных уравнений:

Решение (0.1) - ^'(х) определяет поток ф' (х) :ТМ -» ТМ, на касательном расслоении ТМ. Рассмотрим некоторую непрерывную, возможно нелинейную функцию фазовой точки: х s dxjdt = v(x); х е М,

0.1)

0.2) которую назовем наблюдаемой , в том смысле, что она может в принципе наблюдаться в эксперименте как функция времени. Предположим, что h\M -»R является гладкой функцией Морса, т.е. она либо не имеет критических точек, либо все они изолированные и невырожденные. В противном случае, поток ^'(х) может зависеть от некоторого числа параметров р eRp, так что функция h(x) будет принадлежать семейству р- параметрических функций, которые, в общем случае, могут иметь катастрофы[ 18]. Следовательно, при некоторых значениях параметров pi функция /2(х(^)) может и не наблюдаться. При этих предположениях теорема Такенса [16] утверждает, что отображение запаздывающих координат Ф : М —> R2n+], определенное как:

Ф(х) = (и{х),И(фг(х)),.,КФ2т (х)) (0.3) будет вложением в R2n+1, с точностью до предположения о типичности. Последнее означает, что такие функции плотны в пространстве дифференцируемых функций[217,220].

Таким образом, для получения копии аттрактора в R2n+l, следует взять первые 2п + \ отсчетов измеренного временного ряда st = h{iht),i = 0,1,.2и, в качестве первого вектора реконструкции. Траектория модели получается последовательными сдвигами такого кортежа на один отсчет вправо. Вложение гарантирует, что полученный образ будет диффеоморфной копией реального аттрактора и, следовательно, наследует все его динамические свойства;, размерность, энтропию и Ляпуновские показатели можно вычислить по реконструкции[11,223]. В действительности, копия содержит даже топологию аттрактора, поскольку существует связь между структурой множества критических точек функции h\ С(/г) = |уе и топологией многообразия М. В самом деле, каждая критическая точка у в h(у) имеет индекс Морса т(у), который равен числу линейно независимых направлений, вдоль которых d2h(у) отрицательно определена[19,20]. Для компактного М, число Nm (h) невырожденных критических точек4 функции h(x) конечно. Теорема Морса об индексе[ 19] утверждает, что Эйлерова характеристика z{M) многообразия М выражается через Nm (h)\

X(M) = S;.0(-1 TNm{h). (0.4)

3 Термин используется, как существительное: то, что наблюдается.

4 т.е. максимумов, минимумов и седел.

Приемы извлечения топологии из временных рядов основаны на вычислении гомологий аттрактора, т.е. его чисел Бетти[21,22].

Новый способ построения модели из наблюдаемого сигнала сформировал совершенно новую область численных методов топологической динамики - «эмбедологию». Название было предложено Зауером [217,218] как производное от английского слова embedding -вложение5. Техническая сторона эмбедологии основана на богатом арсенале разработанных ad hoc алгоритмов [23,219,225,232,234,237] для численных оценок динамических инвариантов аттрактора. На базе алгоритма Такенса возникли новые нелинейные методы анализа временных рядов[25,26,221] и, что особенно важно, нелинейная многомерная техника прогноза временных рядов[27,28,154]. Для дальнейшего важно, что эмбедология адаптирована, вообще'говоря, к точечному источнику сигнала, для которого динамика не зависит пространственной сложности.

Актуальность темы. Намного менее изученной остаются пока распределенные динамические системы. Хаотические сценарии ее динамики принято называть пространственно-временным хаосом[5,Ъ0-ЪЪ~\. Они реализуются нелинейными процессами в неоднородных и неизотропных средах, и описывается дифференциальными уравнениями в частных производных[5, 30-33]. Взаимодействие распределенного процесса и среды, в которой он протекает, порождает нелинейные поля. Последние демонстрируют не только сложное поведение во времени, но имеют нетривиальную пространственную структуру. Проекциями их динамики в «Мир Экспериментатора» являются не столько скалярные временные ряды, сколько «мгновенные снимки - snapshots», изображения или «сцены» -собирательным синонимом является понятие «паттерна» [34]. Таким образом, приходится иметь дело уже с двумя видами сложности: временной, которая отслеживается вариациями каких-либо интегральных параметров, и пространственной, которая определяется геометрией и топологией паттернов. Для многих природных систем они могут иметь самоподобную мультифрактальную структуру[38] и предельно сложные, многомерные статистические характеристики; примером могут служить высококонтрастные изображения природных ландшафтов [39-40]. Экспериментальные массивы данных имеют различную форму: прямые фотографические или цифровые изображения, карты или просто числовые матрицы, строки и столбцы которых содержат скалярные или векторные значения измеряемого поля в пространственно различных точках процесса или системы. Изображения в значительной степени загрязнены шумами различной природы, для редукции которых в последнее время эффективно применяется техника мультифрактального формализма[35,36] и вейвлет анализа[37].

5 Синонимом является термин алгоритмическое моделирование, предложенный в [218]. 7

Существуют немногочисленные попытки прямого обобщения алгоритма Такенса на матричные наблюдаемые[78-80]. Так, для последовательности мгновенных снимков пространственного поля динамической системы градиентного типа определялась фрактальная размерность. Оказалось, что "эволюционно зрелым" снимкам соответствует целочисленная размерность Хаусдорфа, а снимки, предшествующие бифуркациям, давали дробную размерность[78]. К сожалению, реализация вложений для матричных наблюдаемых, так же как оценки корреляционной размерности и других инвариантов, требуют трудоемких вычислений.

В качестве альтернативы, в диссертации предлагается подход, основанный на преобразовании пространственной информации в скалярные временные ряды.

Идеи извлечения значимой информации из изображений пришли из интегральной геометрии[41,54,83,85]. Бинарное изображение можно рассматривать как набор кластеров, состоящих из некоторых базисных элементов - basic sets. Формально, пусть кольцо, состоящее из всех подмножеств Ае Rd, которые можно представить как конечное объединение замкнутых выпуклых множеств. Эйлерова характеристика х наД ^ вводится как аддитивный функционал так, что для V'А, В е 91 х(АиВ) = х(А) + х(В)-х(Ап В) (0.5)

Кроме того, х(Л) = 1, если А выпуклое множество и ^(0) = 0.

Функционалы Минковского [41,83,85] над определяются как

Wt (А) =\х(Ап E,)d/j(Et)t Ae%i = 1,2,.J -1 Wd(A) = codx(A), cod = 7zd/2/Г (l + d/2) где Ej - г-мерная гиперплоскость в Rd; dju^E^ - кинематическая плотность[41], нормированная так, что для d -мерного шара Вг с радиусом г, Wi(Br) = codrd~'; cod -объем единичного шараи Г(*)-гамма функция.

В геометрических терминах, для d = 2, фукционалы W0, Wx, W2 являются площадью, периметром и Эйлеровой характеристикой А, соответственно. Все Щ. обладают морфологическими свойствами-. С - непрерывностью, аддитивностью и инвариантностью относительно группы твердотельных движений на плоскости[85].

Они легко вычисляются для бинарных изображений, т.е. функций I (х, у) = 0,1, где образовано кластерами с фиксированным значением I. Для «серых» изображений, т.е. i(x.y) = [a,b], для каждого h'.a<h<b можно определить множество уровней Bh = |(д:.>')|/ = или мноэ/сество выбросов за уровень Ah = {(л\у)|/ > /г}, и перейти к бинарному варианту. Поскольку цифровые изображения заданы на решетках, для компьютерных вычислений функционалов используются методы цифровой топологии, адаптирующей понятия непрерывности, кривой, кривизны, площади и т.д. на дискретный случай[45-48].

Описанные идеи лежат в основе морфологического анализа изображений[42-44,83,85], который нашел широкое применение в разных областях физики (см. например [49-53]). Оказалось, например, что основной функционал Минковского Wd = % в (0.9) тесно связан со статистикой выбросов6 случайных полей[54,55,84,145]. Невозможно получить аналитическое выражение для вероятности P{sup,er X(t) > /г| "пиков" произвольного случайного вещественнозначного процесса X{t), Т с Rd. Однако, эту величину можно оценить[84], как среднее значение (х), определенной на множестве выбросов Ah = е T\x{t) > /г|. Этот факт лег в 7 основу методов названных контурной статистикой [54-58].

Заметим, что функционал х связывает, согласно теоремы Гаусса-Боннер 7], локальные (кривизна) и глобальные (род поверхности) свойства компактных кусочно-дифференцируемых многообразий и, следовательно, эту технику можно с успехом использовать для анализа глобальных векторных полей. С другой стороны, триангулируемые многообразия можно аппроксимировать симплициальными структурами [102-104]. Следовательно, особенности векторных полей и ландшафтов можно изучать методами комбинаторной теории Морса[59,60]. На этом пути был предложен эффективный способ кодирования медицинских изображений, основанный на типах морсовских неподвижных точек[61,62]. Для исследования, паттернов по их сечениям стали активно развиваться методы основанные на графах Риба [63-65].

Однако, упомянутых методов не всегда достаточно для описания сложного паттерна. Например, фрактальный объект в эксперименте, физическом или компьютерном, доступен лишь в конечно-точечном приближении. В общем случае, фрактал не гомеоморфен конечному политопу, однако гомотопически эквивалентен ему. Это обстоятельство можно использовать, определив симплициальные группы гомологий на системе £ -окрестностей конечно точечного приближения[101]. Пусть, например, X - компактное подмножество метрического пространства (M,d). Рассмотрим конечное число точек, образующих множество, которое аппроксимирует X в метрическом смысле, так что системы окрестностей Se = {xeM\d{x,S)<e} и Х£ ={х & M\d(x,X)< е} близки при некотором £>р, где р-расстояние Хаусдорфа. Гомологии Нот(Хе) сходятся к

6 В иностранной литературе используют термин - exursion

7 топографию компонент Ah, при некоторых условиях регулярности X(t), можно представить контурной картой.

Нот(Х) при £->0 в смысле обратного предела[103]. Следовательно, если р достаточно мало, можно экстраполировать этот предел из структуры Se, £ > р. Эта идея позволила Ванессе Робине ввести персистентные числа Бетти[66] в рамках гомологии Чеха[22]. С другой стороны, понятие конечной е -окрестности естественным образом определяет канторово £ -связное множество и позволяет исследовать изменение связности 2D паттерна при разных разрешениях. Скорость такого изменения измеряется индексом несвязности[67,68], который совпадает с бокс-размерностью для самоподобных фракталов. С этой работы и началось собственно развитие вычислительной топологии[68,69,72,106-108].

Последние работы в этой области связаны со следующими идеями. На множестве р-симплексов a = [z0,z1,.zpJ или «облаке» точек Z, для некоторого г>0, можно определить различные комплексы[22]. Наиболее известным является упомянутый выше комплекс Чеха или нерв покрытия

Cech(Z,r), который образован замкнутыми шарами Z?(zy,r/2),y = 0,1,./?, радиуса г/2, имеющими непустые пересечения. Другой комплекс

Rips(Z,г), получается из ребер условию \zj — zk zpzk р -симплекса сг, удовлетворяющих г. Наконец а -комплекс[69,72] строится на основе диаграммы Вороного[70]. Каждая клетка такой диаграммы определяет область близости (локус) точки z} так, что v(z J ) = {xei?21 d(x,z. ) <d(x,zk)}, \/k Ф j. (0.7)

Тогда а-комплекс A(Z,a) состоит из таких точек р - симплекса <т, для которых . Комплекс A(Z,a) позволяет провести фильтрацию комплексов, соответствующих различным значениям а. В частности, удается построить иерархию комплексов Морса с увеличивающейся «грубостью», на которые можно разложить кусочно-линейное 2В-многообразие. Такой подход позволяет упростить комплекс Морса за счет сокращения пар критических точек и тем самым увеличить персистентность гомологий[71,72]. Большие надежды связаны с предложенным недавно комплексом, названным авторами «подходящим -witness»[73,75]. Его определение основано на «слабой» триангуляции Делоне и некоторых идеях, инициированных способностью нейронных сетей обучаться топологии[74].

Таким образом, современные методы математической морфологии и вычислительной топологии позволяют извлекать физически интересную информацию из геометрии и топологии паттернов. Скейлинговые свойства паттернов с успехом описываются мультифрактальным формализмом. Иначе говоря, каждому мгновенному снимку можно сопоставить набор морфологических (функционалы Минковского), топологических (числа Бетти) и скейлинговых «координат», позволяющих идентифицировать пространственную сложность паттерна. Полученные в результате временные ряды этих дескрипторов можно использовать для реконструкции динамики распределенных систем методами эмбедологии.

Цель и задачи исследования. Главной целью диссертации является разработка комплексного подхода к моделированию пространственно распределенных систем. Он основан на комбинации современных методов извлечения геометрических, топологических и масштабных характеристик из временной последовательности паттернов и численных методов топологической динамики. Дескрипторами для описания геометрии и топологии паттерна могут служить в 2D три функционала Минковского, индекс несвязности, ранги группы гомологий и фрактальные размерности. Временная последовательность дескрипторов образует векторную наблюдаемую, компоненты которой используется затем для моделирования и прогноза динамики распределенной системы[82,151].

Любой новый подход должен быть апробирован на практике. В качестве первого и основного примера распределенной системы в диссертационной работе рассматривается динамика глобального магнитного поля Солнца. Оно складывается из двух компонент: слабого глобального (фонового) поля и поля пятен с напряженностью на 2-3 порядка выше и локализацией в экваториальной (королевской) зоне[26] и является "ритмоводителем" всего комплекса явлений, который называют Солнечной Активностью. Одной из интригующих загадок является, например, причина возникновения так называемых Grand-минимумов — глобальных депрессий Солнечной активности, проявляющихся в подавлении 11-летней моды циклов Вольфа - наиболее известных проявлений Солнечной активности в количестве наблюдаемых пятен[134]. С фазами этих циклов связаны солнечные вспышки, создающие локальные возмущения плазмы солнечного ветра. Глобальная структура последнего определяется фазами другого, 22-х летнего магнитного цикла Хеша. Состояние солнечного ветра контролирует динамические режимы широкого диапазона геофизических и биофизических процессов на Земле. До сих пор существуют две конкурирующие точки зрения на взаимную связь 2-х магнитных компонент: первая сводится к тому, что фоновое поле - результат распада и диффузии пятен; вторая предполагает разные механизмы происхождения фоновой и пятенной составляющей[255]. Известны многочисленные попытки реконструкции Солнечной динамики по инструментальному временному ряду чисел Вольфа, охватывающему около 250 лет[127,251-254,256], хотя этот ряд не является "наблюдаемой" в смысле теоремы Такенса.

Информация о фоновых полях доступна в форме сечений глобального поля на нулевом уровне (так называемые синоптические На -карты), а также в виде магнитограмм радиальной компоненты поля. Анализ таких карт проводился главным образом лишь на качественном уровне[ 121-123]. Но даже в таком варианте эти данные привели к ряду важных результатов, например, открытию эффекта переполюсовок или инверсий глобального поля. Синоптические карты являются уникальным инструментальным матричным рядом, отслеживающим распределенную динамику Солнца на почти вековом интервале времени.

Следовательно, первой задачей диссертации является исследование магнитной динамики Солнца, используя комплексный метод на множестве доступных синоптических карт[135,136,140-142,147,151].

Вторая задача диссертации заключается в приложении методов математической морфологии, вычислительной топологии и мультифрактального анализа к некоторым геофизическим полям. В качестве последних рассматриваются:

• волновая динамика атмосферы в проблеме обнаружения грозовых фронтов на основе анализа измеренного потока мезонов

• потоки сейсмических событий в проблеме выделения и сравнения сейсмических режимов в различных регионах

• стохастические поля радионуклидных загрязнений на бывшем Семипалатинском Испытательном Ядерном Полигоне и прилегающих территориях

Протоны первичного космического излучения с энергией больше 10 ГэВ, попадая в верхнюю атмосферу Земли, рождают короткоживущие частицы я--мезоны, которые, распадаются практически в точке их образования, на высотах 10-20 км, и превращаются в ц- мезоны, достигающие наземного детектора. Количество регистрируемых мюонов у поверхности Земли зависит от температуры и плотности атмосферы над пунктом регистрации частиц [275,276]. Наблюдения за вариацией интенсивности мюонов N(t), позволяет дистанционно проследить динамику термодинамических процессов в атмосфере во времени при различных погодных условиях.

При отсутствии резких возмущений в атмосфере интенсивность мюонов высоких энергий на уровне Земли плавно изменяется на суточных масштабах времени. Такие данные можно рассматривать как фон. При нарушении стационарности, вызванное, перемещением грозовых облаков в атмосфере возникает волновой процесс. При этом происходит генерация и продольное распространение внутренних гравитационных волн (ВГВ). Колебания плотности воздуха на стратосферных высотах вызывают модуляцию потока мюонов, достигающего наземного годоскопа-томографа (МИФИ, РАН Москва) [277,278]. Волны в стратосфере намного опережают движение «грозовых ячеек», вызывающих в наземных барографах отклик в виде кратковременных всплесков давления - «грозовых носов». Волновой процесс оказывается устойчивым и существует в течение нескольких часов для каждой грозовой ячейки. Возникающие ВГВ имеют характерные периоды - от нескольких до десятков минут и сильно поглощаются в направлении поверхности Земли[277, 278]. Поэтому приземные барографы мало чувствительны к таким явлениям. В диссертации, в качестве предиктора грозовых фронтов, рассматривается Гельдеровская регулярность графиков N(t).

Одной из проблем региональной сейсмичности является оценка пространственной сложности эпицентров землетрясений внутри ограниченной области в выбранном диапазоне энергий [153,352]. Она необходима для выделения типичных "сейсмических режимов" по накопленному потоку сейсмических событий [353,354]. Для описания пространственной сложности эпицентров землетрясений обычно используются мультифрактальные меры, адекватные иерархической «блоковой» структуре литосферы[153]. Однако, надежные оценки мультифрактальных спектров удается получить лишь по большим выборкам событий, накопленных в максимально доступном временном окне. С другой стороны, часто возникает необходимость сравнивать сложность выборок малого объема, для которых не всегда применимы даже стандартные статистические тесты. Для этих случаев, в диссертации предлагается использовать морфологические функционалы [93].

Диагностика радионуклидных полей на территориях бывших ядерных полигонов относится к тем злополучным задачам, которыми приходится заниматься по необходимости. Множество неконтролируемых природных факторов, влияющих на распределение загрязнений приводят к результирующему случайному полю загрязнений, которое является продуктом нелинейного взаимодействия геофизических полей, активность которых охватывает масштабы от 10000 км до 1мм [360,361]. Одно из самых интересных свойств полей загрязнения — их масштабная инвариантность. Фрактальность была впервые обнаружена при изучении границ отдельных радионуклидных пятен вблизи Чернобыля[364]. Известны попытки обнаружить мультифрактальный скейлинг для Чернобыльских выпадений в Европе[365,366], однако, достоверность оценок крайне мала из за малой плотности измеренных точек.

Природа радионуклидных загрязнений территорий Казахстана совершенно уникальна. Поля загрязнений сформированы множеством ядерных взрывов на территории СИЯП в период 1949-1989гг. Общее число взрывов равно 470; из них 90-воздушных, 25-наземных и 355 подземных. Дополнительные выпадения были вызваны ядерными взрывами на китайском полигоне Лоп Нор, следами Южно-Уральской аварии и Чернобыля, а также промышленными ядерными взрывами на полигонах Азгир, Лира и других[367]. Проверка гипотезы о мультифрактальности для таких полей, аккумулирующих следы многих нелинейных геофизических процессов на длительном интервале времени при сопутствующих "сглаживающих" природных фильтрах имеет важное практическое значение. В диссертации, для анализа радионуклидных полей СИЯП используются мультифрактальные и морфологические дескрипторы [89-91, 95, 195, 196, 368-371].

Одна из основных целей моделирования - предсказание поведение динамической системы. В диссертации исследуются возможности комбинированной схемы глобального нелинейного прогноза. Предлагаемый подход основан на комбинации алгоритма Такенса и методов нейрокомпьютинга. Практическая реализация векторного нелинейного предиктора демонстрируется на предсказании временного ряда чисел Вольфа.

Методы исследования. Для достижения поставленных задач в диссертации использовались методы математической морфологии, вычислительной топологии, мультифрактального анализа, численные методы теории гладких эргодических динамических систем, теории искусственных нейронных систем, статистической теории обучения и нейрокомпьютинга.

Научная новизна. К настоящему времени, попытки использования морфологических и топологических дескрипторов для моделирования распределенных систем можно найти лишь в нескольких публикаций. Так, в работе[66] с помощью фукционалов Минковского описывался фазовый портрет квантовых биллиардов; в статье [50] эти функционалы использовались как дескрипторы устойчивых состояний в динамике клеточных автоматов на примере игры «Жизнь». Наконец, в работе [76] были получены оценки Ляпуновских показателей по временному ряду чисел Бетти. Последние вычислялись с помощью кубических гомологий[77] по последовательности мгновенных снимков турбулентного течения жидкости.

Научная новизна исследований, изложенных в диссертации, заключается в:

1. разработке концептуальных и методологических основ комплексного подхода к моделированию динамики распределенных систем в рамках обратной задачи;

2. использовании современных математических методов для получения топологических, морфологических и фрактальных дескрипторов для матричных данных;

3. разработке новых схем долгосрочного нелинейного векторного предсказания временных рядов, реализованных с помощью нейрокомпьютинга;

4. результатах практического применения комплексного подхода к распределенной динамики глобального магнитного поля Солнца и геофизическим данным. В частности:

• на основе морфологического анализа синоптических карт были получены новые индексы магнитной активности Солнца;

• на основе временных рядов морфологических функционалов были получены независимые реконструкции фазовых портретов динамики магнитной активности Солнца;

• с помощью оценок мультифрактальных спектров получено доказательство существования сингулярных мер для крупномасштабных магнитных структур на Солнце;

• методами вычислительной топологии был обнаружен степенной скейлинг, сопровождающий инверсии глобального магнитного поля Солнца;

• обнаружены мультифрактальные свойства в структуре радионуклидных полей СИЯП и прилегающих территорий.

Практическая ценность результатов полученных в работе состоит в возможности применения предложенных методов для анализа, диагностики и моделирования распределенных систем в геофизике, сейсмологии, экологии, гидрологии и других областях знаний. Рассмотренные в диссертации подходы могут быть с успехом применены в задачах космического мониторинга и ГИС-технологиях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, семи глав, Заключения и библиографии. Объем диссертации составляет 229 страниц; объем библиографии - 372 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью диссертационной работы является

• Развить формализм и алгоритмы для моделирования распределенных нелинейных динамических систем основанный на синтезе современных методов математической морфологии, вычислительной топологии и эмбедологии.

• Применить разработанный подход для исследования динамики глобального магнитного поля Солнца

• Использовать предложенные методы для анализа и диагностики геофизических полей

Актуальность задачи обусловлена тем, что большинство природных и техногенных систем не являются локальными источниками сигнала: они демонстрируют не только временную активность, но и пространственную сложность. В наблюдениях, такие системы продуцируют матричные временные ряды - изображения, сцены или карты.

Наиболее простой путь моделирования распределенных динамических систем заключается в использовании интегральных параметров, которые позволяют «свернуть» пространственную картину к одной скалярной переменной. Однако при этом полностью теряется информация о пространственной сложности системы.

Следовательно, необходимы новые подходы, сохраняющие нелокальные наблюдаемые аспекты пространственной информации при моделировании в рамках обратной задачи - получения модели из данных.

Выбор такого подхода в диссертационной работе был мотивирован следующими обстоятельствами:

1. Существует хорошо развитый формализм эмбедологии для реконструкции модели из скалярных временных рядов. Он позволяет получить универсальную модель наблюдаемой системы, как типичное вложение временного ряда в евклидово пространство подходящей размерности так, что полученный образ диффеоморфен оригиналу. Следовательно, его можно использовать для оценок динамических характеристик системы. Недостатком эмбедологии является то, что ее методы и алгоритмы адаптированы к модели точечного источника сигнала. Соответствующие обобщения на матричные данные очень трудоемки по объему вычислений и не дают приемлемой точности.

2. Известны хорошо разработанные методы извлечения геометрической информации из цифровых изображений. Они основаны на аппарате интегральной и стохастической геометрии и составляют предмет математической морфологии. Определенные на изображениях морфологические функционалы имеют простой геометрический смысл

- площади, периметра и связности компактов, образованных множествами выбросов поля за заданный уровень или сечениями поля (изображения). Функционалы непрерывны, аддитивны, инвариантны относительно группы твердотельных движений на плоскости и, следовательно, могут быть использованы в качестве робастных статистик. Они легко оцениваются для карт и изображений. Дополнительную информацию об алгебраических свойствах структур на изображениях позволяют получить методы вычислительной топологии.

3. Существуют развитые методы оценки масштабных (скейлинговых) свойств данных. Они основаны на мультифрактальном формализме и фрактальной геометрии. Эти методы позволяют обнаружить и оценить свойства масштабной инвариантности экспериментальных данных.

В диссертации предлагается комбинация упомянутых методов, состоящая в использовании геометрических и топологических дескрипторов, определенных на последовательности изображений, для получения скалярных временных рядов. Эти ряды можно использовать для реконструкции универсальных моделей и их прогноза методами эмбедологии.

В качестве основного объекта применения комплексного подхода была выбрана предельно сложная природная распределенная динамическая система - глобальное магнитное поле Солнца, представленное в наблюдениях временной последовательностью синоптических карт. В бинарном варианте такая карта изображает распределение линии раздела полярностей в цилиндрической проекции Солнечной поверхности для каждого оборота Солнца. В топографическом варианте, синоптическая карта визуализирует числовые значения радиальной компоненты магнитного поля Солнца.

Вторым объектом применения различных компонент комплексного подхода являются геофизические поля. В диссертации анализировались экспериментальные данные волновой динамики атмосферы, потоки сейсмических событий в регионе и стохастические радионуклидные поля загрязнений территории бывшего Семипалатинского Испытательного Ядерного Полигона (СИЯП). В результате проведенных исследований были получены следующие результаты:

• Оценки функционалов Минковского в форме трех скалярных временных рядов, описывающих геометрию крупномасштабного поля Солнца, усредненную на интервалах одного Кэррингтоновского оборота. Эти ряды являются новыми индексами солнечной активности, которые codepotcam информацию о динамике крупномасштабного поля.

• Обнаружена корреляционная связь функционала периметра линии раздела полярностей и размерности Буллигана-Минковского с вспышечным индексом. Запаздывание максимумов такой связи позволяет, в принципе, прогнозировать увеличение вспышечный активности приблизительно за 6-8 месяцев

• Реконструкции магнитных «аттракторов» Солнца. Оценки их корреляционных размерностей подтверждают существование низкоразмерной динамической модели Солнечной магнитной активности.

• Существование синхронизации между динамикой образования пятен и динамикой глобального поля; последнее играет роль драйвера в этой связи. Таким образом, гипотеза о происхождении глобального поля в результате распада магнитных полей пятен оказывается несостоятельной.

• Мультифрактальные спектры полученные по временным рядам морфологических функционалов. Существование таких спектров указывает на статистически самоподобную структуру крупномасштабного магнитного поля Солнца. Ранее такая структура была обнаружена лишь для малых локальных областей.

• Существование эффекта Самоорганизующейся Критичности, сопутствующей глобальным инверсиям полярного магнитного поля Солнца. Переполюсовки приводят к исчезновению выделенных масштабов в магнитных структурах Солнца.

• Схема нелинейного векторного долгосрочного прогноза временных рядов, основанная на методах эмбедологии и реализованная с помощью искусственной нейронной сети. Схема позволяет избежать экспоненциального роста ошибки долговременного предсказания, неизбежного в традиционных одношаговых предикторах.

• Мультифрактальные свойства радионуклидных полей загрязнения. Этот факт требует развития новых методик радиационного обследования, учитывающих статистическое самоподобие полей.

Все перечисленные результаты убедительно доказывают эффективность предложенного комплексного подхода для моделирования распределенных систем. Математические компоненты подхода могут быть с успехом использованы для анализа и диагностики матричных данных в различных областях геофизики.

Публикации по теме диссертации. Всего по теме диссертации было опубликовано 62 работы. Основные результаты содержатся в статьях [28,82, 89-93,95,96,100,141,142,147,148,151,165,195,196,211,227,332-334,349-351,368371]

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы, разработанные модели, методы, алгоритмы и результаты численных экспериментов были представлены в докладах и лекциях на международных, всероссийских конференциях и школах. Главные из них:

• Пулковские международные конференции по проблемам Солнечной активности (С-Петербург, ГАО РАН, 1998-2003гг.); международная конференция по Солнечно-земным связям (Иркутск, ИСЗФ,2001г.), Всероссийская научно-техническая конференция «Нейроинформатика» (Москва, МИФИ, 2002-2004гг.); «Нейроинформатика и ее приложения» (Красноярск, ИПМ, 1999-2002гг.);

• «Problems of Geocosmos» (С-Петербург, 1998, 2004гг.), JENAM-2000(Москва, 2000г.); «IAU-223» (С-Петербург, 2004г.); «EGS» (Ницца, 2003г.); «АСАТ» (Москва, 2002г.,Токио, 2003г.); «Econophysica» (Токио, 2002г.), «Cosmogenetic Climate Forcing factors during the last millennium» (Kaunas, 2003r.); «Fractal» (Мальта, 1998г.,Сингапур, 2000г., Гранада, 2002г., Ванкувер, 2004г.)

• Всероссийская школа «Нелинейные Волны» (Нижний Новгород, ИПФ, 2002,2004гг.); VII международная школа «Хаос'04» (Саратов, СГУ, 2004г.), а также на научных семинарах в МИФИ, ФИАН, ИЗМИР АН (Москва,), ФТИ им. Иоффе, НИИФ, ГАО (С-Петербург), ИПФ (Нижний Новгород), ИСЗФ (Иркутск).

Направление дальнейших исследований.

Теоретические исследования и практические разработки, выполненные в рамках этой диссертационной работы предполагается продолжить по следующим направлениям:

1. развить алгебраические и нейросетевые методы оценки персистентных топологических дескрипторов для конечного множества точек на плоскости;

2. изучить поведение геометрии и топологии глобального поля на всех доступных уровнях сечения синоптических карт. Полученные результаты можно будет сравнить с теоретическими кривыми для различных случайных полей;

3. найти независимые методы оценки персистентных чисел Бетти (32 для синоптических карт;

4. получить оценки морфологических и топологических характеристик корональных синоптических карт по данным спутника SOHO. Полученная информация позволит связать структуры магнитных полей на всей толще Солнечной атмосферы;

1. Вигнер Е. Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971. - 320 с.

2. Кендэл М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика, 1981. - 198 с.

3. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980.-536 с.

4. Берже П., Помо И., Видал К. Порядок и хаос. М: Мир, 1991. - 386 с.

5. Akhromeyeva T.S., Kurdyumov S.P., Malinetskii G.G. Nonstationary dissipative structures and diffusion-induced chaos in nonlinear media //Phys. Rep. 1989.-Vol. 176, № 5-6.-P. 189-370.

6. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастичекие и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987.-422 с.

7. Странные аттракторы /сб. под ред. Я. Г. Синая, Л. П. Шильникова. -М.: Мир, 1981.-253 с.

8. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. -Едиториал УРСС, 2001. 320 с.

9. Николис Дж. Динамика иерархических систем. Эволюционное представление. М.: Мир, 1989. - 486 с.

10. ЮПалис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. Введение. М.: Мир, 1968. - 296 с.

11. Yung Lai Sang. Entropy, Lyapunov exponents, and Hausdorff dimension in differentiable dynamical systems //IEEE Transactions on circuits and systems. 1983. - Vol. Cas-30, № 8. - P. 599-607.

12. Schaw R. Strange attractors, chaotic behavior, and information flow //Z.Naturforsch. 1981. - Vol. 36a. - P. 80-112.

13. Hirsch M.W. The dynamical systems approach to differential equations //Bull. (New series) Amer. Mathem. Soc. 1984. - Vol. 11. - P. 1-64.

14. Gilmore R., Lefranc M. The Topology of Chaos: Alice in Stretch and Squeezeland //Wiley, New York. 2002. - 495 p.

15. Packard N.H., Crutchfield J.P., Farmer J.D., Shaw R.S. Geometry from a time series //Phys. Rev. Lett. 1980. - Vol. 45. - P. 712-716.

16. Takens F. Detecting strange attractors in turbulence //Lecture Notes in Math. 1981.-Vol. 898.-P. 366-381.17Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.-302 с.

17. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф, т.2. М.: Мир, 1984. - 285 с.

18. Эльсгольц А.Э. Качественные методы в математическом анализе. М.: ГИТТЛ, 1955.-300 с.

19. Зейферт Г., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом. М.: ИЛ, 1947.- 146 с.

20. Muldoon М., MacKay R.S, Broomhead D.C., Huke J.P. Topology from Time Series//PhysicaD.- 1993.-Vol. 65.-P. 1-16.

21. Хилтон П., Уайли С. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. М.: Мир, 1966. - 452 с.

22. Parker, Т. S., Chua, L. O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Springer, 1989. - 348 p.

23. Gouesbet G., Meunier-Guttin-Cluzel S., Menard O. Global Reconstructions of Equations of Motion from Data Series, and Validation Techniques, A Review //Chaos and its reconstruction, Nova Science, Inc. N.Y. 2003. - P. 1-160.

24. Lay Ying-Cheng, Ye N. Recent developments in chaotic time series analysis //Int.J.Bifurcation and Chaos. 2003. - Vol. 13, № 6. - P. 1383-1422.

25. Bradley E, Time-series analysis //in Intelligent Data Analysis. An Introduction. M. Berthold and D. Hand, editors, Springer Verlag. 2003. -P. 199-227.

26. Farmer J.D., Sidorovich J.J. Predicting chaotic time series //Phys. Rev. Lett.- 1987. Vol. 59. - P. 845-848.

27. Макаренко Н.Г. Эмбедология и нейропрогноз //Лекции по нейроинформатике, ч.1, Нейроинформатика-2003, V Всерос.научн.-тех. конф. Москва, 2003. - С. 86-148.

28. Платон. Государство //собр. соч. М, 1971. - Т. 3, Ч. 1.

29. Mayer-Kress G., Kaneko К. Spatiotemporal Chaos and Noise //J. Stat. Phys.- 1989. Vol. 54, №5-6. - P. 1489-1508.

30. Kaneko K. Towards Thermodynamics of Spatiotemporal Chaos //Prog. Theor. Phys. Suppl. 1989. - Vol. 99. - P. 263-287.

31. Kaneko K. Pattern Dynamics in Spatiotemporal Chaos //Physica D. 1989 -Vol.34.-P. 1-41.

32. Crutchfield J. P., Kaneko K. Phenomenology of Spatiotemporal Chaos //Directions in Chaos, World Scientific. 1987. - P. 272-353.

33. Уолтер Г. Живой мозг. М.: Мир, 1966. - 229 с.

34. Berroir J.-P., Ldvy Vdhel J. Multifractal tools for image processing //8th SCIA, Tromso. 1993. - P. 209-216.

35. Levy Vehel J., Mignot P. Multifractal Segmentation of Images //Fractals. -1994. Vol. 2, № 3. - P. 371-378.

36. Starck J.L., Pantin E., Murtagh F., Deconvolution in astronomy // Pub. Astron. Soc. Рас.-2002.-Vol. 114.-P. 1051-1069.

37. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М., ИКИ, 2002. -654 с.

38. Lee А. В., Kim S., Mumford P. The Nonlinear Statistics of High-Contrast Patches in Natural Images //APPTS Report № 01-3. 2001. //www.dam.brown.edu/ptg/publications.shtml

39. Mumford D., Gidas B. Stochastic Models for Generic Images //Quarterly Appl. Math. 2001. - Vol. 59. - P. 85-111.

40. Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. -М.: Наука, 1983.-358 с.

41. Michielsen К., De Raedt Н. Morphological Image Analysis //Сотр. Phys. Commun. 2000. - Vol. 132. - P. 94-103.

42. Michielsen К., De Raedt H., Fraaije J.G.E.M. Morphological Characterization of Spatial Patterns //Prog. Theor. Phys. Suppl. 2000. -Vol. 138.-P. 543-548.

43. Michielsen K., De Raedt H. Integral-Geometry Morphological Image Analysis //Phys. Rep. 2001. - Vol. 347. - P. 461 -538.

44. Rosenfeld A., Klette R. Digital geometry. //Information Sciences. 2002. -Vol. 148.-P. 123-127. http://www.tcs.auckland.ac.nz/~rklette/

45. Klette R. Digital geometry The birth of a new discipline //Foundations of Image Understanding (L. S. Davis, ed), Kluwer, Amsterdam. - 2001. - P. 33-71.

46. Kovalevsky V. A. Algorithms and Data Structures for Computer Topology //Bertrand, G., Imiya, A., Klette, R. (Eds): Digital and Image Geometry. LNCS 2243. Springer. 2001. - P. 37-58.

47. Kovalevsky V. A. Digital Geometry Based on the Topology of Abstract Cell Complexes. //Proceedings of the Third International Colloquium "Discrete Geometry for Computer imagery". University of Strasbourg. 1993. - P. 259-284.

48. Beisbart C., Buchert Т., Wagner H. Morphometry of spatial patterns' //Physica A. 2001. - Vol. 293. - P. 592-604.

49. Kole J.S., Michielsen K., De Raedt H. Morphological Image Analysis of Quantum Motion in Billiards //Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 63.-016201-1-7.

50. Mo H.J, Buchert T. A statistical discriminator among galaxy samples of different large-scale topology and geometry //Astron.&Astrophys. 1990. -Vol. 234.-P. 5-19.

51. Mecke K.R., Buchert Т., Wagner H. Robust morphological measures for large-scale structure in the Universe' //Astron.&Astrophys. 1994. - Vol. 288. - P. 697-704.

52. Kerscher M., Pons-Borderia M.J., Schmalzing J., Trasarti-Battistoni R., Buchert Т., Martinez V.J., Valdarnini R. A global descriptor of spatial pattern interaction in the galaxy distribution' //The Astrophys. J. 1999. -Vol. 513.-P. 543-548.

53. Worsley K.J. The geometry of random images //CHANCE. 1996. - Vol. 9, №1.-P. 27-40.

54. Worsley K.J. Testing for signals with unknown location and scale in a chiA2 random field, with an application to fMRI //Advances in Applied Probability. 2001. - Vol. 33. - P. 773-793.

55. Cao J., Worsley K.J. Applications of random fields in human brain mapping //In M. Moore (Ed.) Spatial Statistics: Methodological Aspects and Applications, Springer Lecture Notes in Statistics. 2001. - Vol. 159. - P. 169-182.

56. Worsley K.J. Estimating the number of peaks in a random field using the Hadwiger characteristic of excursion sets, with applications to medical images //Annals of Statistics. 1995. - Vol. 23. - P. 640-669.

57. Worsley K.J. Local maxima and the expected Euler characteristic of excursion sets of chiA2, F and t fields //Advances in Applied Probability. -1994.-Vol. 26.-P. 13-42.

58. Lewiner Т., Lopes H., Towards G. T. Optimality in Discrete Morse theory //Experimental Mathematics. 2003. - Vol. 12, № 3. - P. 271-285.

59. Lewiner Т., Lopes H., Tavares G. Visualizing Forman's Discrete Vector Field //Visualization and Mathematics III (Hege & Polthier ed): Springer-Verlag, Heidelberg. 2002. - P. 95-112.

60. Shinagawa Y., Tosiyasu L. Kunii, Belyaev A. G., Tsukioka T. Shape modeling and shape analysis based on singularities //The International Journal of Shape Modeling. 1996. -Vol. 2, № i.p. 85-102.

61. Shinagawa Y., Kunii T.L., Belyaev A.G., Tsukioka T. Shape modeling and shape analysis based on singularities //Int. J. of Shape Modeling. 1996. -Vol.2,№ 1,-P. 85-102.

62. Pascucci V., Cole-McLaughlin K. Parallel Computation of the Topology of Level Sets //Algorithmica. 2003. - Vol. 38, № 2. - P. 249-268.

63. Cole-McLaughlin K., Edelsbrunner H., Harer J., Natarajan V., Pascucci V. Loops in Reeb Graphs of 2-Manifolds //Proceeding of the 19-th ACM Symposium on Computational Geometry (SoCG). 2003. - P. 344-350.

64. Bajaj C., Pascucci V., Schikore D. R. The Contour Spectrum //Proceedings of IEEE Conference on Visualization. 1997. - P. 167-175.

65. Robins V., Meiss J.D., Bradley E. Computing connectedness: Disconnectedness and discreteness //Physica D. 2000. - Vol. 139. - P. 276-300.

66. Robins V., Meiss J.D., Bradley E. Computing connectedness: An exercise in computational topology //Nonlinearity. 1998. - Vol. 11. - P. 913-922.

67. Препарата Ф., Шеймос M. Вычислительная геометрия. Введение. М.: Мир, 1989.-478 с.

68. Carlsson E., Carlsson G., de Silva V. An algebraic topological method for feature identification //preprint. August 12, 2003. http ://math. Stanford.EDU/comptop/preprints/

69. Martinetz Т., Schulten K. Topology representing networks //Neural networks. 1994. - Vol.7. - P. 507-522.

70. Zomorodian A. Persistence Barcodes for Shapes //with Gunnar Carlsson, Anne Collins, and Leonidas Guibas. Symposium on Geometry Processing, Nice, France, 2004. http://www.graphics.stanford.edu/~afra/papers.html

71. Gameiro M., Kalies W. D., Mischaikow K. Topological Characterization of Spatial Temporal Chaos, http://www.math.gatech.edu/ -mischaik/papers/

72. Kaczynski Т., Т. Mischaikow Т., Mrozek M., Computing Homology //Homology, Homotopy and Applications. 2001. - Vol. 5. - P. 233-256.

73. Рабинович М.И., Фабрикант А.П., Цимринг Л.Ш. Конечномерный пространственный беспорядок. УФН, 1992. - Т. 42. - С. 1-42.

74. Parlitz U., Merkwirth Ch. Time series Analysis of spatially extended systems //Intern.Symp. on Ninlinear Theory and its Applacations NOLTA'98, Crans-Montana, Switzerland, Sept.14-17, 1998. P. 775-778. http://WWW.DPI.Phvsik.Uni-Goettingen.DE/~ulli/

75. Brocker J., Parlitz U., Merkwirth Ch. Modelling and nonlinear noise reduction for spatio-temporal systems. http://WWW.DPI.Physik.Uni-Goettingen.DE/~ulli/

76. Mane R. On the dimension of the compact invariant sets of certain nonlinear maps //Lect.Notes in Math. 1981. - Vol. 898. - P. 230-242.

77. Макаренко Н.Г. Временные ряды из геометрии и топологии пространственно-временного хаоса //Прикладная Нелинейная динамика.-2004.- №6. -16с.

78. Serra J. Image analysis and mathematical morphology. Academ.Press, 1988.-610 p.

79. Adler R.J. The geometry of random fields. J.Wiley&Sons, N.Y., 1981. -280 p.

80. Stoyan D., Kendall W.S., Mecke K. Stochastic Geometry and its applications. J.Wiley&Sons, 1995. - 436 p.

81. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. -М.: Наука, 1968.-464 с.

82. Rice S.O. Mathematical Analysis of random Noise //Bell. Syst.Thech. J. -1944. Vol. 23; 1945. - Vol. 24.

83. Лонге-Хиггинс. Статистический анализ случайной движущейся поверхности //Ветровые волны. М: ИЛ, 1962. С. 125-218.

84. Makarenko N.G., Karimova L.M., Novak M. M. Fractal and Morphological Analysis of Radioactive Contamination //in Proceed. Of the confer. "Fractals in Ingineering". 14-16 of June. Delft. 1999. - P. 167-174.

85. Makarenko N.G., Karimova L.M., Terekhov A.G., Novak M. Fractal and Topological Complexity of Radioactive Contamination //Paradigms of Complexity, Fractals and Structures in the Sciences, World Scientific Publ.Co, Singapour. 2000. - P. 269-278.

86. Makarenko N.G., Karimova L.M., Novak M. Dynamics of Solar magnetic fields from Synoptic charts //Emergent Nature.Patterns, Growth and Scaling in the Sciences. World Scientific. 2001. - P. 197-207.

87. Макаренко Н.Г., Каримова JI.M., Терехов А.Г., Кардашев А.В. Функционалы Минковского и сравнение дискретных выборок в сейсмологии //Известия РАН, Физика Земли. 2000. - № 4. - С. 48-52.

88. Каримова Л.М., Мажкенов С.А., Макаренко Н.Г., Терехов А.Г. Контурная статистика геомагнитных полей //ДАН РК. 1996. - № 1. -С. 51-56.

89. Makarenko N., Karimova L. Diagnosis of stochastic fields by the mathematical morphology and computational topology methods //Nuclear Instr.& Methods in Physics Res. 2003. - A502. - P. 802-804.

90. Макаренко Н.Г. Геометрия и топология случайных полей в физике Солнца //Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике

91. Солнца. -2001. вып. 113. - С. 202-213.

92. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука, 1968. - 432 с.

93. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. -М.: Наука, 1977.-368 с.

94. Шапиро И.С., Олынанецкий М.А. Лекции по топологии для физиков. -РХВ, Москва-Ижевск, 2001.- 128 с.

95. Макаренко Н.Г. Фракталы, аттракторы, нейронные сети и все такое //Лекции по нейроинформатике. 4.2. Нейроинформатика-2002, IV Всеросийская научно-техническая конференция. Москва, 2002. - С. 121-169.

96. Robins V. Computational Topology at Multiple Resolutions //PhD thesis. -2000. http://wwwrsphysse.anu.edu.au/~vbrl 10/thesis/thesis.html.

97. Матвеев C.B. Лекции по алгебраической топологии. ИКИ, Москва-Ижевск, 2003.-96 с.

98. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М.: Мир, 1976. - 463 с.

99. Hather A. Algebraic topology //http://www.math.cornell.edu/ ~hatcher/AT/ATpage.html

100. Bott R., Mather J. Topics in Topology and Differencial Geometry //Battelle Rencontres, ed. By C.M. DeWitt and J.A.Wheeler, Benjamin Press, N.Y. -1967.-P. 460-515.

101. Carlsson G., de Silva V. Topological approximation by small simplicial complexes //preprint September 21, 2003./ http://math.stanford.edu/ comptop/prepri nts/

102. Гибсон Э. Спокойное Солнце. M.: Мир, 1977. - 408 с.

103. Зирин Г. Солнечная атмосфера. М.: 1969. - 504 с.

104. Брей Р., Лоухер Р. Солнечные пятна. М.: 1967. - 383 с.

105. Курс астрофизики и звездной астрономии, часть 2, под ред. Б.П.Герасимович /ОНТИ Ленинград, Москва, 1936. - 579 с.

106. Аббатъ Морэ Т. Солнце. С-Петербург, тип. А.С. Суворина, 1904. -254 с.

107. Витинский Ю.И., Копецкий М., Куклин Г.В. Статистика пятнообразовательной деятельности Солнца. Москва, 1986. - 296 с.

108. Куклин Г.В. Пространственно-временные закономерности пятнообразования и магнитных полей на Солнце: Дис. . в виде науч. Докл. д-ра физ.-мат. наук. Иркутск, 1991. - 99 с.

109. Витинский Ю.И. Цикличность и прогнозы солнечной активности. Л., 1973.-258 с.

110. Currie R.G. Fine structure in the sunspot spectrum-2 to 70 years //Astrophys. and Space Science. 1973. - Vol. 20. - P. 509-518.

111. Watary Sh. Fractal dimensions of Solar activity // Solar Phys. 1995. - Vol. 158.-P. 265-377.

112. Макаров В.И., Тавастшерна К.И. Глобальные особенности процесса солнечной активности //Сб. Вариации глобальных характеристик Солнца. Киев, 1992.-С. 270-301.

113. Гневышев М.Н., Оль А.И. О 22-летнем цикле солнечной активности //Астрон. Журнал. 1948.-Т. 25.-С. 18-20.

114. Макаров В.И., Макарова В.В., Тлатов А.Г., Середжинов Р.Т. Собственное движение магнитных структур, связанное с полярными факелами //Сб. Солнце в эпоху смены знака магнитного поля, ГАО РАН Пулково, С-Петербург, 2001. С. 245-250.

115. Макаров В.И., Тлатов А.Г. О смене знака низких /-мод магнитного поля Солнца //Сб. Солнце в эпоху смены знака магнитного поля, ГАО РАН Пулково, С-Петербург, 2001. С. 251-258.

116. Makarov V.I., Makarova V.V., Callebaut D.K. Polar activity of the Sun during from 1960 to 1996 //Сб. Современные проблемы солнечной цикличности, ГАО РАН Пулково, С-Петербург, 1998. С. 149-154.

117. Беневоленская Е.Е. Структура и динамика магнитного Солнечного цикла: Автореф. дис. д-ра физ.-мат. наук. С-Петербург, 1999. - 34 с.

118. Yule G.U. On a method of investigation periodicities in disturbed series, with special reference to Wolfer's sunspot numbers //Philos. Trans. R. Soc. London, 1927. - ser. A. - Vol. 226. - P. 267-298.

119. Weiss N.O. Chaotic modulation of the solar cycle //Phil. Trans. R. London, 1994. - Vol. 348. - P. 445-447.

120. Mundt M.D. Maguire II W.B., Chase R.P.R. Chaos in the sunspot Cycles: analysis and prediction //J.Geophys.Res. Vol.96, № A2. - 1705-1716 p.

121. Гудзенко JI.И., Чертопруд В.Е. Модель циклической активности Солнца //Тр. Ордена Ленина физического ин-та им.П.Н.Лебедева, АН.СССР, Кинетика простых моделей теории колебаний. М., 1976. -Т. 90.-С. 154-197.

122. Соловьев А.А., Киричек Е.А. Диффузная теория солнечного магнитного цикла. С-Петербург, 2004. - 181 с.

123. Parker E.N. Cosmical magnetic fields: their origin and their activity. -Oxford University Press. 1979. - 858 p.

124. Parker E.N. The Origin of Solar Magnetic Fields //Ann. Rev. Astron. &Astrophys. 1970. - Vol. 8. - P. 1-30.

125. Рузмайкин A.A. Солнечный цикл как странный аттрактор. Препринт -90. ИПМ им.М.В.Келдыша. Москва, 1980.

126. Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin А.А., Sokoloff D.D. Magnetic Fields in Astrophysics //Gordon and Breach. N.Y., 1983. - 381 p.

127. Эдди Дж. История об исчезнувших солнечных пятнах //УФН. 1978. -Т.125,вып.2.-С. 315-329.

128. Mouradian Z., Soru-Escaut I. On the dynamics of the large-scale magnetic fields of the Sun and the sunspot cycle //Astron. & Astroph. 1991. - Vol. 251.-P. 649-654.

129. Айманова Г.К., Макаренко Н.Г., Макаров В.И., Тавастшерна К.С. Оценка параметров порядка фоновых магнитных полей Солнца по Н-альфа картам. Период: 1914-1984г. //Солнечные данные. 1982. - № 2. -С. 97-102.

130. Макаренко Н.Г. Методы математической морфологии, топологической динамики и нейроматематики в физике Солнца: Автореф. . дис. канд. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1999. - 8 с.

131. Mcintosh P.S. Annotated Atlas of Ha Synoptic Charts (1964-1974). -Boulder, 1979.

132. Макаров В.И., Сивараман К.П. Ha-синоптические карты Солнца. Данные за цикл №19 (1955-1964гг.), Кэррингтоновские обороты №№1355-1664. //Материалы мирового центра данных. Москва, 1984.

133. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М., Макаров В.И., Тавастшерна К.С. Контурная статистика крупномасштабных солнечных полей //сб. Современные проблемы солнечной цикличности. Санкт-Петербург, 1997.-С. 139-143.

134. Mordvinov A.V., Salakhutdinova I.I., Plyusnina L.A., Makarenko N.G., Karimova L.M. The topology of background magnetic fields and solar flare activity //Solar Physics. 2002. - Vol. 211. - P. 241-253.

135. Makarenko N.G., Novak M., Karimova L. Dynamics of Solar Magnetic Field from Synoptic Charts //Emergent Nature, ed. World Scientific. 2001. -P. 1-11.

136. Уиттекер Э., Робинсон Г. Математическая обработка результатов наблюдений //ОНТИ. Москва, Ленинград, 1935. - 363 с.

137. Coles P., Barrow J.D. Non-Gaussian statistics and the microwave background radiation //Mon.Not, Roy.Astron.Soc. 1987. - Vol. 228, № 2. -P. 407-426.

138. Adler R. A spectral moment estimation problem in two dimension //Biometrika. 1977. - Vol. 64, № 2. - P. 367-373.

139. Макаренко Н.Г., Терехов А.Г., Макаров В.И. Вычислительная топология Н-а карт //сб. Крупномасштабная структура Солнечной активности: достижения и перспективы. С-Петербург, 1999. - С. 145149.

140. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М. Алгебраическая топология H-alpha карт //Тр.7-й международной. Конференции "Климатические и экологические аспекты Солнечной активности". С-Петербург, Пулково, 2004. - С. 287-292.

141. Altschuler M.D., Trotter D.E., Newkirk G. The large-scale solar magnetic field //Solar Physics. 1974. - Vol. 39. - P. 3-17.

142. Паркинсон У. Введение в геомагнетизм. М.: Мир, 1986. - 525 с.

143. Макаренко Н.Г. Как получить временные ряды из геометрии итопологиипространственныхпаттернов//Лекциипонейроинформатике, ч.2, Нейроинформатика-2004, VI Всерос.науч.-тех. кон. -М. 2004.-С. 140-199.

144. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели. М.: Фазис, 1998. - 489 с.

145. Садовский М.А., Писаренко В.Ф. Сейсмический процесс в блоковой среде. М.: Наука, 1991. - 95 с.

146. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2002. - 358 с.

147. Lu Е.Т., Hamilton R.J. Avalanches and the distribution of solar flares //Astrophys.J. 1991.- Vol. 380.-P. L89-L93.

148. Back P., Tang C., Wiesenfield K. Self-organized criticality//Phys. Rev.A. -1988. Vol. 38, № 1. - P. 364-374.

149. Konkle Sh., Moran P., Hamann В., Joy K. Fast methods for computing isosurface topology with Betti numbers //in Data Visualization: the State of the Art. -2004ю-Р. 1-15.

150. Jose A.C., Edelsbrunner H. An incremental algorithm for Betti numbers of simplicial complexes on the 3-shere //Computer Aided Geometric Design. -1995. Vol. 12, № 7. - P. 771-784.

151. Пуанкаре А. О Науке. M.: Наука, 1983. - 559 с.

152. Горелик Г. Е. Размерность пространства. -М.: МГУ, 1983. 216 с.

153. Лебег А. Об измерении величин. М.: ГУПИМП, 1960ю - 204 с.

154. Falconer К. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications //John Wiley & Sons. 1990. - 288 p.

155. Федер E. Фракталы.-M.: Мир, 1991.-260 с.

156. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. Москва-Ижевск: ИКИ, 2002.- 159 с.

157. Макаренко Н.Г. Фракталы, мультифрактальные меры и аттаракторы //Нелинейные волны'2002. Нижний Новгород, 2003. - С. 381-394.

158. Barnsly М. Fractals Everywhere. Orlando: Academic Press, 1988.

159. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. - 255 с.

160. Tricot С. Curves and Fractal Dimension. N.Y.: Springer-Verlag, 1994. -323 p.

161. Билленгслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969. -238 с.

162. Зельдович Я. Б., Соколов Д. Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика //УФН. -1985. Т. 146, № 3. - С. 493-506.

163. Berry M.V., Lewis Z.V. On the Weierstrass-Mandelbrot fractal function. //Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1980. - Vol. 370, № 1743. - P. 459484.

164. Tasaki S., Gilbert Т., Dorfman J. R. An Analytical Construction of the SRB Measures for Baker-type Maps. available http://babbage.sissa.it/chao-dyn/9801031.

165. Колмогоров A.H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва, 1989. - 496 с.

166. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет, 2000. - 350 с.

167. Hatchinson J. Fractals and self-similarity //Indiana UniVol. J. Math. 1981. ' -Vol. 30.-P. 713-747.

168. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. Москва-Ижевск: РХД, 2001.- 128 с.

169. Riedi R., Scheuring I. Conditional and relative multifractal spectra //Fractals. 1997.-Vol. 5,№ 1. -P.153-168.

170. Riedi R. H. Multifractal Processes //Long range dependence: theory and applications, eds. Doukhan, Oppenheim and Taqqu, Birkhauser. 2002. - P. 625-715.

171. Песин Я.Б. Теория размерности и динамические системы: современный взгляд и приложения. Москва-Ижевск: ИКИ, 2002. - 404 с.

172. Halsey Т.С., Jensen М.Н., Kadanoff L.P., Procaccia I., Schraiman B.I. Fractal measures and their singularities: the characterization of strange sets //Phys.Rev.A. 1968. - Vol. 33, № 2. - P. 1141-1151.

173. Canus Ch., Vehel J., Tricot C. Continuous large deviation multifractal spectrum: definition and estimation //URL:http://www-rocq.inria. fr/fractales

174. Levy Vehel J. Numerical computation of the large deviation multifractal spectrum //URL: http://www-rocq.inria.fr/fractales

175. Devroye L. The double kernel method in density estimation //Ann.Inst.Henri Poincare. 1980. - Vol. 25, № 4. - P. 533-580.

176. Hutschinson J.E., Ruschendorf L. Random fractals and probability metrics //Advan. in Appl. Probab. 2000. - Vol. 32, № 4. - P. 925-947.

177. Hutschinson J.E. Deterministic and random fractals //Complex systems, Cambridge UniVol. Press, Cambridge. 2000. - P. 127-166 // http: //wwwmaths.anu.edu.au/~john/

178. Struzik Z.R. Determining local singularity strengths and their spectra with wavelet transform //Fractals. 2000. - Vol. 8, № 2. - P. 163-179.

179. Struzik Z.R. From Coastline Length to Inverse Fractal problem: The concept of fractal metrology, PhD, Amsterdam, 1996.

180. Bacry E., Muzy J. F., Arneodo A. Singularity spectrum of fractal signals: exact results //J.of Statist. Phys. 1993. - Vol. 70, № (3/4). - P. 635-674.

181. Mallat S., Hwang W. L. Singularity detection and processing with wavelets. //IEEE Trans. Inf. Th. 1992. - Vol. 38. - P. 617-643.

182. Jaffard S. Multifractal formalism for functions parts I and II //SIAM J. of Mathematical Analysis. 1997. - Vol. 28, №4. - P. 944-998.

183. Mallat St. A wavelet tour of signal processing. Academ. Press., 1999. -637 p.

184. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Москва, Ижевск: R&C, 2001. - 464 с.

185. Seuret St, Levy Vehel J. A Time Domain Characterization of 2-microlocal Spaces //In J. Fourier An. Appl. 2003. - Vol. 9, №. 5. - P. 472-495.

186. Макаренко Н.Г., Пушкарев О.А. Фрактальная размерность пространственного распределения квазаров //Письма в Астроном, журнал. 1992. - Том 18. - С. 404-407.

187. Makarenko N.G., Karimova L., Demchenko В.I.,Novak M. Analysis of terrestrial radioactivive contamination //Fractals. 1998. - Vol. 6, № 4. - P. 359-369.

188. Makarenko N.G., Karimova L., Novak M. Discriminating between the nature of radioactive contamination //Chaos, Solitons and Fractals. 2000. -Vol. 11.-P. 2091-2098.

189. Могилевский Э.И. Фракталы на Солнце. -М.: Физматлит, 2001. 152 с.

190. Lawrence J.K., Cadavid А.С., Ruzmaikin A.A. On the multifractal distribution of Solar magnetic fields //Astrophys.J. 1996. - Vol. 465. - P. 425-435.

191. Lawrence J.K., Cadavid A.C., Ruzmaikin A.A., Berger Т.Е. Spatio-Temporal Scaling of Solar surface flows, 2001 // http:xyz.lanl.gov/astro-ph/0101224

192. Pentland A.P. Fractal-based description of natural scenes //IEEE, Trans, on pattern analysis and machine intelligence. 1984. - Vol. Paml-6, № 6. - P. 661-674.

193. Turiel A., Parga N. The multi-fractal structure of contrast changes in natural images: from sharp edges to textures //Neural Computation. 2000. - Vol. 12.-P. 763-793.

194. Turiel A., Mato G., Parga N., Nadal J-P. The Self-Similarity properties of natural images resemble those of turbulent flows //Physical Rev. Lett. -1998. Vol. 80, №5. - P. 1098-1101.

195. Huang Q., Lorch J.R., Dubes R.C. Can the Fractal Dimension of Images be measured? //Pattern Recog. 1994. - Vol. 27, № 3. - P. 339-349.

196. Michielsen K., De Raedt H., De Hosson J.Th.M. Aspects of mathematical morphology //Advances in imaging and electron physics. 2002. - Vol. 125.-P. 119-194.

197. Goelho R.G., Costa L.F. On the Application of the Bouligand-Minkowski Fractal Dimension for Shape Characterisation //Applied Sig Process. -1996.-Vol.3.-P. 163-176.

198. Costa L. da F., Kaye B.H. and Montagnoli C. Accurate Fractal Estimation using Exact Dilations //Electronic Letters. 1999. - Vol. 35. - P. 18291836.

199. Kleczek J. Publ. Inst. Centr. Astron. Prague, 1952. № 22.

200. Kaplan D.I. Exceptional events as evidence for determinism //Physica D. -1994.-Vol. 73.-P. 38-48.

201. Dataplore http://www.datan.de/dataplore/edpdownl.html

202. Kuandykov Y.B., Karimova L.M., Makarenko N.G. Noise reduction in paleodata time series by the method of Holder regularity enchancement //Cosmogenic climate forcing factors during the last millennium. Kaunas,2003.-P. 50-55.

203. Karimova L.M., Kuadykov Y.B., Makarenko N.G. The genetic algorithm for a signal enhancement // Nuclear Instrument a Methods in Physics Research Sec.A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment.2004. -Vol, 534.-P. 170-174

204. Каримова JI.M., Куандыков Е.Б., Макаренко Н.Г. Мультифрактальные методы редукции шума в палеоданных //Тр. 7-й межд. конф. "Климат иэкологические аспекты Солнечной активности", 7-11 июля 2003г. -Пулково, С-Петербург, 2004. С. 261-266.

205. Seuret St., Levy Vehel J. The local Holder function of a continuous function //Appl. Comput. Harmon. Anal. 2002. - Vol. 13, № 3. p. 263-276.

206. Tong H., Lim K.S., Threshold Autoregression, Limit Cycles and Cyclical Data //J.R.Statist.Soc. B. 1980. - Vol. 42, № 3. - P. 245-292.

207. Takens F. Distinguising deterministic and random systems //Nonlinear dynamics and turbulence, ed. by Barenblatt G.J., Jooss G., Joseph D.D. -N.Y.: Pitman, 1983. P. 314-333.

208. Афраймович B.C., Рейман A.M. Размерности и энтропии в многомерных системах //Нелинейные волны. Динамика и эволюция. -М.: Наука, 1989. С. 238-262.

209. Sauer Т., Yorke J.A., Casdagli М. Embedology //J. Statist. Phys. 1991. -Vol. 65. - P. 579-616. URL: http: //math. gmu. edu/~tsauer /

210. Rapp P.E., Schah T.I., Mees A.I. Models of knowing and the investigation of dynamical systems //Physica D. 1999. - Vol. 132. - P. 133-149.

211. Ott E., Sauer Т., Yorke J.A. Coping with chaos: Analysis of chaotic data and the exploitation of chaotic systems //John Wiley and Sons. 1994. - 432 p.

212. Noakes L. The Takens embedding Theorem //Inter. J. Bifurcation and Chaos. 1991. - Vol. 1. - P. 867-872.

213. Ruelle D. Chaotic evolution and strange attractors //The statistical analysis of time series for deterministic nonlinear systems, Cambridge University Press. 1989.

214. Gilmore R. Topological analysis of chaotic dynamical systems //Rev. Mod. Phys. 1998.-Vol. 70.-P. 1456-1529.

215. Eckmann J.P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors //Rev. Mod. Phys. 1985. - Vol. 57. - P. 617-656.

216. Engel M. Time series Analysis. A part III Essay // URL: http://www.m-engel.de/

217. Schreiber T. Interdisciplinary application of nonlinear time series methods //Phys.Rep. 1999. - Vol. 308, №2. // URL:http://xvz.lanl.gov/chao-dyn/980700.

218. Huke J The dynamical systems approach to nonlinear signal processing // URL: http://personalpages.umist.ac.Uk/staff/i.p. huke

219. Макаренко Н.Г. Реконструкция динамических систем по хаотическим временным рядам I //Нелинейные волны'2004. Нижний Новгород, 2004. - 15 с. (в печати)

220. Makarenko N.G. Analysis of Geophysical Data: the nonlinear tools //Problems of Geospace 2, Proc. of Intern.Conf. St.Peterburg, June 29-July 3, 1998, Wien, 1999.-P. 11-19.

221. Хирш M. Дифференциальная топология. M.: Мир, 1979. - 280 с.

222. Guillemin V., Pollak A. Differential topology //Prentice-Hall, Inc, Englewood Cliffs. New Jersey, 1974. - 219 p.

223. Stark J. Delay reconstruction: dynamics versus statistics //Nonlinear dynamics and statistics, A.I. Mees editor, Birkhauser, 2001. P. 81-104.

224. Grassberger, P. and Procaccia, I. Estimation of the kolmogorov entropy from a chaotic signal // Phys. Rev. A. 1983. - Vol. 28, № 4. - P. 25912593.

225. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1968. - 233 с.

226. Hegger R., Kantz Н., Schreiber Т. Practical implementation of nonlinear time series methods: The TISEAN package // CHAOS, 1999. Vol. 9. - P. 413-435.

227. Grassberger P., Procaccia I. On the characterization of strange attractors //Phys.Rev. Lett. 1983. - Vol. 50. - P. 346-349.

228. Pesin Ya. B. On rigorous mathematical definitions of correlation dimension and generalized spectrum for dimensions //Statistical Physics. 1993. -Vol. 71, № 3/4.-P. 529-547.

229. Ding M., Gregori C., Ott E., Sauer Т., Yorke J.A. Estimating correlation dimension from chaotic time series: when does plateau onset occur? // Physica D. 1993. - Vol. 69. - P. 404-424.

230. Уэрмер Дж. Теория потенциала. М.: Мир, 1980. - 133 с.

231. Cutler C.D. A theory of correlation dimension for stationary time series //Phil. Trans.R.Soc.Lond. A. -1994. P. 343-355.

232. Dies C. Estimating invariants of noisy attractors //Phys.Rev. E. 1996. -Vol. 53, № 5. - P. R4263-R4266.

233. Yu D.J., Small M., Harrison R.G.,. Diks C. Efficient implementation of the Gaussian kernel algorithm in estimating invariants and noise level from noisy time series data //Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 61. - P. 3750-3756.

234. Borovkova S. Estimation and prediction for nonlinear time series //PhD, Amsterdam, 1998. http//docserver.ub.rug.nl/eldoc/dis/science/s.a.borovkova

235. Guerrero A., Smith L.A. Towards coherent estimation of correlation dimension //Phys. Let. A. 2003. - Vol. 318. - P. 373-379.

236. Бектасова Н.Г., Диденко A.B., Каримова Л.М., Макаренко Н.Г. Детерминированный хаос из кривой блеска геостационарного спутника //Письма в АЖ. -1994. Т. 12, № 12. - С. 928-933.

237. Каримова Л.М., Макаренко Н.Г. Диагностика хаотической компоненты в вариациях общего содержания озона //Известия РАН, Физика атмосферы и океана. 1997.-Т. 33, №2.-С. 283-286.

238. Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003. - 493 с.

239. Quiroga Q. R., Arnhold J., Grassberger P. Learning driver-response relationships from synchronization patterns // Phys Rev. E. 2000. - Vol. 61.-P. 5142-5148.

240. Grassberger P., Schneider P. Studying Attractor Symmetries by Means of Cross Correlation Sums //Nonlinearity. 1997. - Vol. 10. - P. 749-762.

241. Cenis A., Lasiene G., Pyragas K. Estimation of interrelation between chaotic observable //Physica D. 1991. - Vol. 52. - P. 332-337.

242. Макаренко Н.Г., Куандыков Е.Б., Россиев A.A., Дергачев В.А. Как обнаружить синхронизацию двух динамических систем по наблюдаемым временным рядам с пропусками //Известия РАН, сер. Физ. 2001. - Т. 65, № 3. - С. 391-393.

243. Макаренко Н.Г., Айманова Г.К. К-энтропия и размерность Реньи Солнечного аттрактора //Астрон. Циркуляр. 1988. - № 1533. - С. 19Ж

244. Макаренко Н.Г., Айманова Г.К. О типе солнечного аттрактора //Астрон. Циркуляр, 1988.-№ 1535.-С. 19-20.

245. Айманова Г.К., Демченко Б.И., Макаренко Н.Г. О типе скейлинга для Солнечного аттрактора //Астрон. Циркуляр. 1989. - № 1541. - С. 1920.

246. Ostryakov V.M., Usoskin I.G. On the dimension of solar attractor //Solar Phys. 1990. - Vol. 127. - P.405-409.

247. Бектасова H.K., Макаренко Н.Г., Макаров В.И., Сагинтаев Б.С. Сложность, символическая динамика и временные ряды //Проблемы

248. Солнечной Активности, ФТИ им. А.Ф. Иоффе, Ленинград, 1991. С. 79-87.

249. Мосин А.П., Макаренко Н.Г. Топологическая размерность солнечного аттрактора по рядам Вольфа //Проблемы Солнечной Активности, ФТИ им. А.Ф. Иоффе, Ленинград, 1991. С. 89-94.

250. Serre Т., Nesme-Ribes Е. Nonlinear analysis of solar cycles //Astron. Astrophys. 2000. - Vol. 360. - P. 319-330.

251. Шильников Л.П, Шильников А.Л., Тураев Д.И., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва-Ижевск: ИКИ, 2004.-Ч. 1.-415 с.

252. Макаренко Н.Г., Данилкина Е. Существует ли стрела времени в солнечных циклах? //Физика Солнца и звезд. Тр. междун. научн. Сем. «Физика Солнца и звезд». Элиста: Калмыцкий госунивер., 2003. - С. 43-50.

253. Макаренко Н.Г., Данилкина Е.Б. Можно ли предсказать временной ряд в прошлое? //"Нейроинформатика-2004". Москва, 2004. - Ч. 1. - С. 11-17.

254. Макаренко Н.Г., Куандыков Е.Б., Данилкина Е.Б. О обратимости временного ряда чисел Вольфа //Тр. 7-й межд. конф. "Климатические и Экологические аспекты Солнечной активности". — С-Петербург, Пулково, 2004. С. 293-298.

255. Marwan, N. and Kurths, J. Cross recurrence plots and their applications //Benton, С. V., Ed. , Mathematical Physics Research at the Cutting Edge, Hauppauge. Nova Science Publishers. 2004. - P. 101-139.

256. Marwan N., Thiel M., Nowaczyk N.R. Cross Recurrence Plot Based Synchronization of Time Series //Nonlinear Processes in Geophysics. -2002.-Vol. 9.-P. 325-331.

257. Eckmann J.P., Kasmphorst S.O., Ruelle D. Recurrence Plots of dynamical systems //Europhys.Lett. 1987. - Vol. 4. - P. 973-977.

258. Thiel M., Romano M.C., Kurths J. and Read P. Estimation of Dynamical Invariants without Embedding by Recurrence Plots //Chaos. 2004. - Vol. 14.-P. 234-243.

259. Иудин Д.И., Григорьев А.Н., Трахтенгерц В.Ю. Фрактальная динамика грозового облака на предварительной стадии молниевого разряда //Тр. научн. конф.по радиофизике. ИНГУ, 2002. - С. 212-214.

260. Макаренко Н.Г., Мажкенов С.А., Белослюдцев О.М., Каримова Л.М., Курскеева Г.А. О корреляционной размерности геомагнитного аттрактора //ДАН РК. 1992. № 3. - С. 48-53.

261. Макаренко Н.Г:, Мажкенов С.А., Каримова Л.М., Терехов А.Г. Скейлинговые свойства аттрактора, реконструированного по геомагнитным данным //ДАН РК, 1991. №2. - С. 48-53.

262. Makarenko N., Mazhkenov S., Karimova L„ Kurskeeva G.About earthquake prediction by geomagnetic data //Inland Earthquakes. 1994. -Vol. 8, № 4. -P. 44-48.

263. Struzik Z. R. Econonatology: The Physics of the Economy in Labour //Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2003. - Vol. 324(1-2).-P. 344-351.

264. Struzik Z. R., van Wijngaarden W. J. , Castelo R. Reasoning from non-stationarity //Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2002. -Vol. 314(1-4).-P. 246-255.

265. Struzik Z. R., Siebes.A. P. J. M. Wavelet Transform Based Multifractal Formalism in Outlier Detection and Localisation for Financial Time Series //Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2002. - Vol. 309(3-4).-P. 388-402.

266. Struzik Z. R. Revealing Local Variablity Properties of Human Heartbeat Intervals with the Local Effective Holder Exponent //Fractals. 2001. -Vol. 9(1).-P. 77-93.

267. Дорман Л.И. Метеорологические эффекты космических лучей. М.: Наука, 1972.-210 с.

268. Борог В.В. Мюонная томография и мониторинг окружающей среды //Труды Первой Баксанской Молодежной Школы ЭТФ, Нальчик: КБГУ. 2000. - С. 82-95.

269. Борог В.В., Буринский А.Ю., Дронов В.В., Мюонный годоскоп для исследования солнечно-земных связей в области энергий больше 10 ГэВ //Изв. РАН. Сер. Физ. 1995. - Т. 59, № 4. - С. 191-194.

270. Борог В.В., Дронов В.В., Изучение короткопериодических колебаний интенсивности мюонов, связанных с конвективно-грозовыми явлениями в атмосфере Земли //Изв. РАН. Сер. Физ. 1999. - Т. 63, № 8.-С. 1675-1677.

271. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. -Москва, 1990.-584 с.

272. Serio С. Discrimination Low-Dimensional Chaos from randomness a parametric time series modeling approach. //II Nuovo Cimento. 1992. -Vol. 107B.-P. 681-701.

273. Rissanen J. Stochastic complexity //J. Royal Statistical Society, Series B. -1987. Vol. 49, № 3. - P. 223-239.

274. Rissanen J. Hypothesis selection and testing by the MDL principle. The Computer Journal. 1999. - Vol. 42, № 4. - P. 260-269.

275. Виллемс Я.К. От временного ряда к линейной системе //Теория систем. Математические методы и моделирование. М.: Мир, 1989. - С. 8-191.

276. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов. М.: МГУ, 1992.-395 с.

277. McSharry Р.Е. Innovations in Consistent Nonlinear Deterministic Prediction. D.Phil. Thesis, University of Oxford. 1999. http://www. maths.ox.ac.uk/~mcsharry/papers.shtml

278. Такенс Ф. Хаос //сб. Структуры в динамике. Конечномерные детерминированные системы. Под ред. Х.В. Брун, Ф. Дюмортье, С. Ван Стрин, Ф. Такенс. Москва, Ижевск, 2003. - С. 119-132.

279. McNames J. A nearest trajectory strategy for time series prediction //Proc. of the Intern. Workshop on Advanced Black-Box Techniques for Nonlinear Modeling, Katholieke Universiteit Leuven, Belgium. 1998. - P. 112-128.

280. Abarbanel H., Carroll T.A., Pecora L.M., Sidorowich J.J., Tsimring L.S. Predicting physical variables in time-delay embedding //Phys. Rev. E.2000.-Vol. 62.-P. 1840-1853.

281. Abarbanel H. Prediction in chaotic nonlinear systems: Methods for time series with broad band Fourier spectra //Phys. Rev. A. 1990. - Vol. 41. -P. 1782-1807.

282. Poggio Т., Girosi F. A Theory of networks for approximation and learning //MIT AI Lab. Technical Report. 1989. - Memo No. 1140, Paper No. 31. / URL: http://citeseer.nj.nec.com/poggio89theory.html

283. Girosi F., Poggio T. Networks and the best approximation property //MIT AI Lab. Technical Report. 1989. - Memo No. 1164, Paper No. 45. / http://www.ai.mit.edu/people/poggio

284. Арнольд В.И. О представлении функций нескольких переменных суперпозицией функций меньшего числа переменных //Математическое просвещение. 1958. - Вып. 3. - С. 41-61.

285. Kainen Р. С. Recent results and mathematical methods for functional approximation by neural networks //Dealing with Complexity, M. Karny, K. Warwick and V. Kurkov'a, Eds., Springer. London, 1998. - P. 220-237.

286. Bishop Ch.M. Neural Networks for Pattern Recognition. //Clarendon Press. Oxford, 1996.

287. Терехов C.A. Лекции по теории и применению искусственных нейронных сетей // http://alife.narod.ru/lectures/neural/Neuindex. htm

288. Jordan M.I. Why the logistic function? A tutorial discussion on probabilities and neural networks // URL: ftp://psyche.mit.edu/pub/iordan/ uai.ps

289. Мак-Каллок У.С., Питтс У.В. Логическое исчисление идей, относящихся к нервной активности //сб. Нейронные сети: история развития теории. Книга 5. Под. ред. Галушкина А.И. Москва:

290. Радиотехника», 2001. С. 5-23; Нейрокомьютер, 1992. - № 3,4. - С. 40-52.

291. Ежов А.А., Шумский С.А. Нейрокомпьютинг и его приложения в экономике и бизнесе. М.: МИФИ, 1998. - 222 с.

292. Горбань А.Н. Обобщенная аппроксимационная теорема и вычислительные возможности нейронной сети //Сибирский журнал вычис. математики. 1998. - Т. 1. - С. 11-24.

293. Gorban A.N. Approximation of continuous functions of several variables by an arbitrary nonlinear continuous function of one variable, linear functions, and their superpositions //Appl. Math. Lett. 1998. - Vol. 11. - P. 45-49.

294. Розенблатт Ф. Персептрон: вероятностная модель хранения информации и организации мозга //сб. Нейронные сети: история развития теории. Книга 5. Под. ред. Галушкина А.И. Москва: «Радиотехника», 2001. - С. 29-58.

295. Дискуссия о нейрокомьютерах //Нейроинформатика-99. М., 2000.

296. Розенблатт Ф. Принципы нейродинамики. Перцептроны и теория механизмов мозга. М.: Мир, 1965. - 480 с.

297. Минский М., ПейпертС. Персептроны. -М.: Мир, 1971.-261 с.

298. Горбань А.Н. Быстрое дифференцирование, двойственность и обратное распространение ошибки //Сб. Нейроинформатика. Новосибирск: Наука, 1998.-С. 73-100.

299. Vapnik V.N. The Nature of Statistical Learning Theory //Springer. 1995. -185 p.

300. McSharry P.E., Smith L.A. Better Nonlinear Models from Noisy Data: Attractors with Maximum Likelihood //Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 83(21).-P. 4285-4288.

301. Kugiumtzis D. State Space Reconstruction Parameters in the Analysis of Chaotic Time Series the Role of the Time Window Length //Physica D. -1996.-Vol. 95.-P. 13-28.

302. Bagarinao E., Nomura Т., Pakdaman K., Sato Sh. Generalized one-parameter bifurcation diagram reconstruction using time series //Physica D. 1998. - Vol. 124. - P. 258-270.

303. Judd K., Small M. Towards long-term prediction //Physica D. 2000. - Vol. 136.-P. 31-44.

304. Judd K., Small M. and Mees A.I. Achieving Good Nonlinear Models: Keep it Simple, Vary the Embedding, and Get the Dynamics Right //Nonlinear Dynamics and Statistics, Birkhauser. Boston, 2001. - P. 65-80.

305. Данилкина Е.Б., Куандыков Е.Б., Пак И.Т. О методах коррекции долгосрочного нейропрогноза временных рядов //Сб. науч. тр. Нейроинформатика-2003. М., 2003. - Ч. 1. - С. 200-206.

306. Small М., Yu D.J., and Harrison R.G. Non-stationarity as an embedding problem. //Space Time Chaos: Characterization, Control and Synchronization, ed. S. Boccaletti et al. World Scientific, 2001. - P. 3-18.

307. Small M., Tse C.K. Minimum description length neural networks for time series prediction //Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 66, 066701.

308. Small M., Tse C.K. Optimal embedding: A modelling paradigm //Physica D. Vol. 194. - 2004. - P. 283-296.

309. Smith L.A. Local optimal prediction: exploiting strangeness and the variation of sensitivity to initial condition //Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. -1994. Vol.348, № 1688. - P. 371-381.

310. Nakamura Т., Kilminster D., Judd K., Mees A. A Comparative study of model selection methods for nonlinear time series //Int. J. of Bifur. And Chaos. 2004. - Vol. 14, № 3. - P. 1129-1146.

311. Parlitz U., Hornstein A. Dynamical prediction of chaotic time series, 2004 /http://WWW.DPI.Phvsik.Uni-Goettingen.DE/~ulli/ preprints.html

312. Judd K., Smith L.A. Indistinguishable states I: The Perfect Model Scenario //Physica D. 2001. - Vol. 151. - P. 125-141.

313. Judd K., Smith L.A. Indistinguishable states II: Imperfect model scenarios //Physica D.-2001.-Vol. 151.-P. 125-141.

314. Бэстенс Д.Э., Ван ден Берг В.М., Вуд Д. Нейронные сети и финансовые рынки. Принятие решений в торговых операциях. М.: ТВП, 1997. -229 с.

315. Wiggins S. Introduction to Applied nonlinear dynamical systems and chaos //Springer. 1996.-683 p.

316. Boffetta G., Cencini M., Falcioni M., Vulpiani A. Predictability: a way to characterize Complexity // 2001, arXiv:nlin.CD/0101029

317. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano Determining Lyapunov exponents from a time series //Physica D. 1985. - Vol. 16. - P. 285-317.

318. Sano M., Sawada Y. Measurements of the Lyapunov spectrum from a chaotic time series //Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol. 72, № 13. p. Ю82-1085.

319. Eckmann J.-P., Kamphorst S.O., Ruelle D. and Ciliberto S., Lyapunov exponents from time series //Phys. Rev. A. 1986. - Vol. 34. - P. 49714979.

320. Ziehmann C., Smith L.A., and Kurths J. The bootstrap and Lyapunov exponents in deterministic chaos //Physica D. 1999. - Vol. 126. - P. 4959.

321. Макаренко Н.Г. Каримова JIM., Беляшов Д.Н., Емельянова И.В, Тищенко А.В. Опыт применения нейросетового имитатора Multineuron в гео- и гелиофизике //Нейроинформатика-99, Сборник научных трудов. Москва, 1999. -Ч. З.-С. 31-38.

322. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М., Нагай Т.В. Эмбедология, солнечные циклы и прогноз динамики Каспийского моря //в сб. Современные проблемы солнечной цикличности. Санкт-Петербург, 1997. - С. 144148.

323. Makarenko N.G., Karimova L.M., Kvandvkov Y.B., Novak M.M. Nonlinear Dynamics and Prediction of the Caspian Sea Level //in Thinking in Patterns, M. M. Novak (ed). World Scientific, 2004. - P. 91-102.

324. Данилкина Е.Б., Куандыков Е.Б., Каримова Л.М., Макаренко Н.Г. Методы топологического вложения в нейропрогнозе финансовыхвременных рядов //Сб. науч. тр. Нейроинформатика-2001. М., 2001. -Ч. 2.-С. 13-20.

325. Tribelskv М., Harada Y„ Kuandykov Y., Makarenko N. Predictability of Market Prices //In Empirical Science of Financial Fluctuations: The Advent of Econophysics. Tokyo: Springer-Verlag, 2002. - P. 241-249.

326. Sornette D. Why Stock Markets Crash, Critical Events in Complex Financial Systems //Princeton UniVol.Press. 2003. - 418 p.

327. Cao L. Nonlinear deterministic forecasting of daily dollar exchange rates //Intern.J.of Forecasting. 1999. - Vol. 15. - P. 421-430.

328. Struzik Z.R. Econophysics vs. Cardiophysics: The dual face of multifractality //The Application of Econophysics. Proc. Of the Second Nikkei Econophysics Symposium, H.Takayasu ed. Springer. 2002. - P. 210-222.

329. Muzy J.F., Delour J., Bacry E. Modeling fluctuations of financial time series: from cascade process to stochastic volatility model //Euro. Phys. Jour. B. 2000. - Vol. 17. - P. 537-548.

330. Макаренко Н.Г., Нагай T.B., Тищенко A.B. Прогноз Солнечных циклов и Нейронные сети //Новый цикл активности Солнца: наблюдательный и теоретический аспекты. Конф. посвященная 50-летию Горной Астрон. Станции ГАО РАН. С-Петербург, 1998. - С.107-110.

331. Macpherson К. Neural network computation techniques applied to solar activity prediction //Advan. Space Res. 1993. - Vol. 13, № 9. - P. 447450.

332. Fessant F., Bengio S., and Collobert D. On the prediction of solar activity using different neural network models //Ann. Geophys. 1995. - Vol. 14. -P. 20-26.

333. Barkhatov N. A., Korolev A. VOL., Ponomarev S. M., Sakharov S. Yu. Long-Term Forecasting of Solar Activity Indices Using Neural Networks //Radiophysics and Quantum Electronics. 2001. - Vol. 44, № 9. - P. 742749.

334. Orfila A., Ballester J. L., Oliver R., Alvarez A., and Tintore J. Forecasting the solar cycle with genetic algorithms //Astron. & Astroph. 2001. - Vol. 386, № 1.-P. 313-318.

335. Bishop Ch. Training with noise is equivalent to Tikhonov regularization //Neural Computation. 1995. - Vol. 7, № 1. - P. 108-116.

336. Макаренко Н.Г., Ахматуллина Н.Б., Искандорова К.А., Чередниченко О.Г., Ким С.А. Математический анализ генетических эффектов малых доз ионизирующих излучений //Радиационная биология. Радиоэкология. 2002. - №6. - С. 614-617.

337. Макаренко Н.Г., Югай И.С., Долматова И.А. Применение нейронных сетей для выбора оптимальных признаков при дифференциальной диагностике опухолей орбиты //Нейрооинформатика 2001, сб. трудов. -Москва, 2001.-Ч. 2.-С. 163-168.

338. Макаренко Н.Г., Югай И.С., Долматова И.А., Мустафина Ж.Г. Определение информативности клинических признаков и интегральных показателей крови опухолей орбиты с помощью нейронных сетей //Вестник новых медицинских технологий. 2001. -Т. 8, №2.-С. 10-12.

339. Makarenko N.G., Gorban A., Rossiev A. Kuandykov Y., Dergachev V. Recovering data gaps through neural network methods //Int. J. of Geomagnetism and Aeronomy. 2002. - Vol. 3, № 2. - P. 191-197.

340. Makarenko N.G., Dergachev V.A., Karimova L. M., Danilkina Y.B. Nonlinear Methods of Analysis of Data with Gaps //Geochronometria. -2001.-Vol. 20.-P. 45-50.

341. Makarenko N.G., Karimova L., Steier P. Kuandykov Y., Dergachev V., Gorban A, Rossiev A. The filling of gaps in geophysical time series by artificial neural networks //Radiocarbon. 2001. - Vol. 43, № 3. - P. 343350.

342. Арефьев С.С., Шебалин Н.В. Оценка уровня скученности (кластеризации) землетрясений Кавказа // ДАН СССР. 1988. - Т. 298. -С. 1349-1352.

343. Zoller G., Engbert R., Hainzl S., Kurths J. Characteristic Spatial Scales in Earthquake Data // http://xxx.lanl.gov/chao-dvn/9701025.

344. Мажкенов C.A., Макаренко Н.Г., Терехов А.Г. Графодинамика и особенности региональной сейсмичности в Восточном Тянь-Шане // ДАН РК 1994. - №3. - С. 67-73.

345. Southern Californian Hypocenter's Data File. 1932-1993. USGS/CIT. USA. 1993.

346. Крестников B.H., Темерецкий А.Л., Штанге Д.В. О современных тектонических процессах Тянь-Шаня и Памира (по механизмам очагов землетрясений) // Известия АН СССР. Сер. Физика Земли. 1992. - № 1.-С. 35-47.

347. Израэль Ю. А. Радиоактивное загрязнение земной поверхности // Вестник РАН. 1998. - Т. 68, № 10. - С. 898-915.

348. Юнге X. Химический состав и радиоактивность атмосферы. М.: Мир, 1965.-423 с.

349. Salvadori G., Ratti S.P., Belli G. An analysis of time-dependence for Chernobyl falloyt in Italy // Health Physics. 1997. - Vol. 72, № 1. - P. 6076.

350. Lovejoy S., Schertzer D. Scaling, Fractals, and nonlinear Variability in Geophysics // EOS. Meetings reports. 1988. - № 8. - P. 143-145.

351. Lovejoy S., Mandelbrot B.B. Fractal properties of rain, and a fractal model // Tellus. 1985. - Vol. 37A. - P. 209-232.

352. Андерсон Т.В. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматгиз, 1963. - 500 с.

353. Сердобольский В.И. Теория существенно многомерного анализа // УМН, 1999. Т. 54, вып. 2(326). - С. 85-112.

354. Барьяхтар В.Г., Гончар В.Ю., Яновский В.В. Природа сложной структуры пятна загрязнений радионуклидами в результате аварии на ЧАЭС // Укр.ф1з.журн. 1993. - Т. 38, № 7. - С. 967-975.

355. Salvadori G., Ratti S.P., Belli G. Modelling the Chernobyl radioactive fallout (I): A fractal approach in Northern Italy // Chemosphere. 1996. -Vol. 33, № 12. - P. 2347-2357.

356. Myasnikov K.V., Kazatkin V.V., Akhunov V.D. Scientific-Technical and Environmental Aspects of Peaceful Underground Nuclear Explosions Conducted in Russia // Environmental Geocsience. 1999. - Vol. 2, № 1. -P. 69-72.

357. Makarenko N.G., Karimova L., Novak M., Terekhov A. Topological classification of radioactive contamination //Physica A. 2001. - Vol. 289. -P. 278-289.

358. Makarenko N.G., Karimova L., Novak M. Application of fractal and morphological methods in radioecology // Health Physics 2003. - Vol. 85, №3. - P. 330-338.

359. Макаренко Н.Г., Каримова JI.M., Бурмистров В.Р. R К ревизии измерений и выводов по оценке радиационных загрязнений, выпавших из атмосферы // «Радиоактивность при ядерных взрывах и авариях».