Динамическая обратная задача для системы Максвелла: восстановление скорости в регулярной зоне тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Краткое содержание по

главам

Список обозначений.

I Геометрия

§1. Оптическая метрика. Эйконал.

§2. Регулярная зона. Полугеодезические координаты.

§ 3. Восстановление скорости по тензору И.

§4. Представление полей.

§5. Параллельный перенос.

II Изображения

§ 1. Отображение тг

§ 2. Оператор Пт.

§ 3. Проектирование в пространстве соленоидальных полей.

§ 4. Оператор Кальдерона.

§5. Оператор Л. Уравнение Риккати.

§6. Оператор Мт

§ 7. Унитарность Мт

§ 8. Изображения.

§ 9. Оператор 1Т (1Т)*.

III Динамика

§1. Система Максвелла с граничным управлением. Электрическая подсистема

§2. Оператор управления.

§ 3. Двойственная система

§ 4. Оператор реакции.

§ 5. Управляемость.

§ 6. Распространение разрывов.

§ 7. Разрывы в двойственной системе.

IV Обратная задача

§ 1. Постановка и главный результат

§ 2. Связывающая форма.

§ 3. Модель.

§4. Визуализация волн.

§ 5. Восстановление скорости.

Обратные задачи для систем Максвелла. Изучение обратных задач для системы Максвелла начато в классических работах А.Н.Тихонова [25, 26]. Обратные задачи геоэлектрики рассматриваются в [24]. В этой работе принята геофизическая модель, в которой поверхность Земли является плоской; в этой модели пространство И3 переменных х = (х\,х2, разбивается плоскостью жз = 0 на два полупространства

И3. := {х Е И3 | х3 < 0}, := {х Е И3 | ж3 > 0}.

Изучается система уравнений Максвелла

9Е <ЭН гоШ = е— +сгЕ+], пЛЕ = (0.1) в которой равенства (0.1) для векторов электрической и магнитной напряженности Е = (Е1, Е2, Е3), Н = (Н1, Н2, Я3) выполнены отдельно для точек х Е И3, и х Е Г1+, а при = 0 тангенциальные компоненты векторов Е, Н удовлетворяют условиям непрерывности

Я'|*з=-о = &\Хз=+0, Я^3=о - Н%з=+0; з = 1,2. (0.2)

Электрическая и магнитные проницаемости е, /I, а также проводимость а предполагаются постоянными в И,3 и гладкими функциями точки х Е Ы3 вплоть до границы полупространства. Электромагнитные колебания до момента £ = 0 отсутствуют

Е = Н = 0, } = 0 при £ < 0, (0.3) а затем индуцируются внешним током носитель которого содержится в области | жз < 0, £ > 0}.

Тангенциальные компоненты электромагнитного поля {-Е^а^о, Я^а^о 1.7=1,2: отвечающие решению системы (0.1)-(0.3), являются данными обратной задачи, которая состоит в восстановлении по ним параметров среды £, ^ и а.

В [24] приводятся результаты о единственности решения и его устойчивости. В случае, когда параметры среды е, ц, а зависят только от одной переменной жз, обратная задача сводится к одномерной; для ее решения строится и исследуется система нелинейных интегральных уравнений; доказывается теорема о существовании решения для достаточно малых Т, а также глобальная теорема единственности и устойчивости решения. Рассматриваются также многомерные обратные задачи, то есть задачи, в которых неизвестные функции зависят от двух или трех переменных. Такие задачи исследуются с помощью метода линеаризации исходной нелинейной задачи, которая редуцируется при этом к серии одномерных обратных задач. Для многомерных обратных задач также приводятся результаты о единственности и устойчивости решения, но при ограничениях на число неизвестных параметров (определить одну неизвестную функцию, считая остальные заданными) или размерность обратной задачи.

Также представляет интерес обратная задача для стационарной системы Максвелла. Такая система возникает в том случае, если источник внешнего тока представляет собой периодическую по времени функцию тогда при £ —> сх) происходит установление колебаний с частотой и. В работе [45] решается обратная задача для стационарной системы Максвелла где и - фиксированная положительная частота, а - ограниченная область в И3 с С1'1-границей Г и связным дополнением И3 \ Данными обратной задачи является отображение где V - внешняя нормаль к границе. Впервые такая постановка обратной задачи встречается в статье [48], в которой проводится линеаризация задачи и предъявляются формула обращения и оценки для ошибок; позднее в [49] доказывается локальная теорема единственности решения обратной задачи. В работе [45] при следующих предположениях

• е, ¡л, а принадлежат С3 (К3); j (x,t) = }{х)е

Л : v х Е|г —> v х Н|г,

• существуют такие константы £q, /¿о, что е(х) = £о> — I1 о» а(х) = 0, х G R3 \ £1 показано, что отображение Л определяет е, ¡1 и о единственным образом.

ВС-метод. Одним из подходов к решению обратных задач является ВС-метод (Boundary Control method), автором которого является М.И.Белишев. Этот подход использует результаты из многих областей математики: геометрии, асимптотических методов (распространения сингулярностей), теории управления и функционального анализа. Все эти результаты объединяются в рамках теории систем, играющей роль организующего остова ВС-метода. Управляемость системы имеет большое значение для оправдания подхода, что является одной из причин для его названия.

Сравнивая ВС-метод с другими известными подходами к многомерным обратным задачам, необходимо отметить следующие особенности:

• метод имеет инвариантный характер: он восстанавливает не только коэффициенты уравнений, но и Римановы многообразия произвольной топологии;

• ВС-метод предлагает процедуры восстановления, пригодные для численной реализации;

• метод работает и в случае данных с части границы; его динамический вариант приводит к оптимальным по времени результатам.

Первый вариант ВС-метода опубликован в сообщении [4]. В основе лежала следующая идея: с помощью граничного управления создать в области волны стандартной формы (¿-функции Дирака). Схема [4] сводится к нахождению параметров системы (плотности, потенциала и др.) вблизи границы и последующему "послойному"их восстановлению по всей области. Полезно отметить, что схема может восстанавливать параметры по динамическим и спектральным данным, заданным на любом открытом подмножестве границы.

В работе [5] найдены многомерные аналоги уравнений Гельфанда - Левитана - М.Крейна - Марченко. Вывод и интерпретация этих уравнений основаны на их прямой связи с задачей граничного управления. Там же, в [5], введен центральный объект ВС-метода — связывающий оператор и предложен вариант решения обратной задачи "в большом", обходящийся без послойного восстановления.

Этапной для подхода явилась работа [6]. В ней введена амплитудная формула и выяснена ее связь с геометрией (выкройкой, полу геодезическими координатами). Намеченная в [6] программа решения обратных задач состоит

1) в восстановлении изображений волн на выкройке и 2) в последующем извлечении характеристик системы (плотности, потенциала, метрики и др.) из картины изображений. Программа оказалась продуктивной для обобщений: в работах [13, 34] она использована для реконструкции римановых многообразий по спектральным и динамическим данным. Подробное описание этой схемы приведено в [29]. Такая же схема используется и в настоящей диссертации для решения обратной задачи для системы Максвелла.

ВС-метод для одномерных векторных динамических систем описан в работе [1]. Случай двухскоростных динамических систем рассмотрен в работах [12, 30]. Интересный эффект в двухскоростной системе обнаружен в работе [11].

В работе [28] дается обобщение схемы ВС-метода на случай несамосопряженного оператора Штурма - Лиувилля.

Численный эксперимент в двумерной спектральной обратной задаче впервые был реализован в [15]. В работе [36] по спектральным данным эллипса восстановлены семейство эквидистант границы и выкройка. Для динамической обратной задачи численный эксперимент представлен в [35].

Система Максвелла. Пусть О С R3 есть ограниченная область с гладкой границей Г; ь> - внутренняя нормаль к Г; е, ц суть гладкие положительные функции (электрическая и магнитная проницаемости) в Í2; функция с (e/i)-1/2 - скорость. Рассмотрим систему et = roth, //hi = —rote в fi х (0, Т); (0.5) e|í=o — 0, h|í=o = 0 вП] (0.6) е^|гх[о,т] — f, (0-7) где (•),? - касательная составляющая вектора на границе. Отметим равенства diveef(-,í) = div/ihf(-,¿) = 0 в Í7, следующие из (0.5), (0.6). С системой ассоциирован оператор реакции RT : еб>|гх[о,т] v х h|rx[o,T], описывающий соответствие "вход н-> выход". Оператор реакции играет роль данных обратной задачи.

Регулярная зона. Скорость с определяет в Í2 оптическую метрику dx\2 ds = с2 пусть distc есть соответствующее расстояние; подобласть

Пт := {х G П | distc{x,T) < Т} есть приграничный слой оптической толщины Т.

Определим Тш как наибольшее из тех Т > 0, для которых отвечающие с—метрике полугеодезические координаты с базой Г (п.г.к.) регулярны в Q,T. Мы называем QTüJ регулярной зоной.

Главный результат. Волны в системе (0.5)-(0.7) распространяются со скоростью с; к финальному моменту они заполняют подобласть В системе с удвоенным финальным моментом оператор R2T определяется значениями проницаемостей £, ц в Г2Т; он не зависит от их поведения в Г2 \ . Это свойство мотивирует следующую постановку обратной задачи: по заданному R2T восстановить скорость с в ilT. Дополнительно мы считаем известными значения скорости и ее производной по нормали на границе. Приведем главный результат работы.

Теорема 0.1 При любом положительном Т < Тш данные R2T, с|г, определяют скорость с в ПТ единственным образом.

Особенности ВС-метода для системы Максвелла. В главных чертах наш подход повторяет традиционную схему ВС-метода [29]: основной прием - визуализация изображений волн; инструмент визуализации - амплитудная формула, основанная на соотношениях Геометрической Оптики. Из изображений извлекается метрический тензор оптической метрики (в п.г.к.); по нему восстанавливается скорость в QT. Остановимся на особенностях, отличающих ВС-схему для системы Максвелла от случая системы, описываемой волновым уравнением [29]. г) Более содержательным становится понятие "изображение". Переход "волна н-> изображение "не сводится к пересадке волны из области QT на цилиндр Г х [0,Т] (переходу к п.г.к.): пересадке предшествует преобразование "волна и-> поперечное поле", которое строится по разрывам, образующимся при проектировании волны на расширяющиеся подпространства солено-идальных векторных полей. Доказательство изометричности этого преобразования опирается на уравнение Риккати для отображения, связанного с эллиптической задачей и переводящего данные Неймана в данные Дирихле. Упомянутое уравнение - центральный объект одного из методов Импеданс-ной Томографии (т.н. Layer Stripping Method); его появление и важная роль в вопросах проектирования - новый, и на наш взгляд, довольно неожиданный факт. п) Соответствие "вход состояние "для системы Максвелла оказывается неограниченным в Хг-нормах, естественных для ВС-метода. Это приводит к 8 многочисленным осложнениям технического характера. ш) Более сложной оказывается ситуация с принципиальным для подхода свойством управляемости. Обнаружен интересный эффект: если топология заполненной полями подобласти От в подходящем смысле нетривиальна, система (0.5)-(0.7) может оказаться неуправляемой. Впрочем, такое возможно лишь при временах Т > Тш (см. [33]).

Краткое содержание по главам

1. Белишев М.И., Зуров A.B. Эффекты, связанные с совпадением скоростей в двухскоростной динамической системе. Зап. научн. семин. ПОМИ. 2000. 264. с.44-65.

2. Белишев М.И., Иванов С.А. Граничное управление и канонические реализации двухскоростных динамических систем. Зап. научн. семин. ПОМИ. 1995. 222(23). с. 18-44.

3. Белишев М.И., Качалов А.П. Граничное управление и квазифотоны в задаче реконструкции риманова многообразия по динамическим данным. Зап. научн. семин. ПОМИ. 1992. 203(22). с.21-51.

4. Белишев М.И., Качалов А.П. Операторный интеграл в многомерной спектральной обратной задаче. Зап. научн. семин. ПОМИ. 1994. 215. с.21-51.

5. Белишев М.И., Рыжов В.А. и Филиппов В.Б. Спектральный вариант ВС-метода: теория и численный эксперимент. ДАН. 1994. 332(4). с.414-417.

6. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа. Труды Матем. Ин-та им. В.А.Стеклова. 1960. LIX. с. 6 36.

7. Вайнберг В.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. Наука, М. 1982. 294 с.

8. Гласман А.К. О регулярности решения динамической системы Максвелла с граничным управлением. Препринт 7, ПОМИ. 2001. http://www.pdmi.ras.ru/preprint/2001/index.html.

9. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. Наука, М. 1980. 383 с.

10. Ладыженская O.A., Солонников В.А. О принципе линеаризации и инвариантных многообразиях для задач магнитной гидродинамики. Зап. научн. семин. ПОМИ. 1973. 38. с.46-93.

11. Belishev M.I., Kurylev Ya.V. On a reconstruction of a riemannian manifold via its spectral data. Communications on Partial Differential Equations. 1992. 17(5-6). c.767-804.

12. Belishev M., Gotlib V.Yu. Dynamical variant of the BC-method: theory and numerical testing. Journ. of Inverse and Ill-Posed Problems. 1999. 7(3). c. 15-33.

13. Belishev M., Gotlib V. and Ivanov S. The BC-method in multidimensional spectral inverse problem: theory and numerical illustrations. ESAIM: COCV. 1997. 2. c.307-327.

14. Belishev M., Isakov V., Pestov L., and Sharafutdinov V. On reconstruction of gravity field via external electromagnetic measurements. Preprint 10, POMI. May 1999.

15. Kazdan J., Warner F. Scalar curvature and conformal deformation of Riemannian structure. J. Differ. Geom. 1975. 10. c.113-134.

16. Lagnese J. Exact boundary controllability of Maxwell's equations in a general region. SI AM J. Contr. Optimization. 1989. 27(2). c.374-388.

17. Lasiecka I., Triggiani R. Regularity theory of hyperbolic equations with non-homogeneous boundary conditions. II. General boundary data. J. Diff. Equations. 1991. 94. c.112-164.

18. Lasiecka I., Lions J.-L., and Triggiani R. Non-homogeneous boundary value problems for second order hyperbolic operators. J.Math. Pures Appl. 1986. 65. c.149-192.

19. Lee J., Uhlmann G. Determining anisotropic real-analytic conductivities by boundary measurements. Comm. Pure Appl. Math. 1989. 42. c. 1097-1112.

20. Leis R. Initial boundary value problems in mathematical physics. Teubner, Stuttgart. 1986.

21. Ola P., Paivarinta L., and Somersalo E. An inverse boundary value problem in electrodynamics. Duke Math. J. 1993. 70. c.617-653.83

22. Russell D. Boundary value control theory of the higher-dimensional wave equation. SIAM J. Control. 1971. 9. c.29-42.

23. Schwarz G. Hodge decomposition. A method for solving boundary value problems. Number 1607 in Lecture Notes in Mathematics. Springer Verlag, Berlin. 1995. 371 c.

24. Somersalo E., Isaacson D., and Cheney M. A linearized inverse boundary value problem for maxwell's equations. J. Comput. Appl. Math. 1992. 42. c.123-136.

25. Sun Z., Uhlmann G. An inverse boundary value problem for maxwell's equation. Arch. Rational Meek. Anal. 1992. 119. c.71-93.

26. Sylvester J. A convergent layer stripping algorithm for the radially symmetric impedence tomography problem. Commun. Partial Differ. Equations. 1992. 17(11-12). c.1955-1994.

27. Sylvester J., Uhlmann G. Inverse boundary value problems at the boundary continuous dependence. Comm. Pure Appl. Math. 1988. 41. c. 197-221.

28. Sylvester J., Uhlmann G. The Dirichlet to Neumann map and applications. In Inverse problems in partial differential equations (Arcata/CA (USA) 1989). Philadelphia, PA. 1990. c.101-139.

29. Tataru D. Unique continuation for solutions to pde's; between hoermander's theorem and holmgren's theorem. Commun. Partial Differ. Equations. 1995. 20(5-6). c.855-884.

30. Week N. Exact boundary controllability of a Maxwell problem. SIAM J. Contr. Optimization. 2000. 38(3). c.736-750.