Релятивистская функция Грина. Собственно-энергетическая часть сдвига Лэмба для тяжелых атомов с учетом конечного размера ядра тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР : ОТДЕЛЕНИЕ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ И АСТРОНОМИИ ИНСТИТУТ СПЕКТРОСКОПИИ

На правах рукописи УДК 539.182

ЗАРЦДЗЗЗ Роча Годордзиввич

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА. СОБСТВЕННО -ЭНЕРГЕТ1СЖС!САЯ ЧАСТЬ СДВИГА ЛЗМЕА ДЛЯ ТЯЖШХ АТОМОВ С УЧЕТОМ КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА ЯДРА

Специальность 01.04.02 ~ тесрэтичэсквя физикз

Автореферат диссертации на соискание учоной степени кгшдчдата физико-матвматачэских наук

Троицк 1991

Работа выполнена в Институте спектроскопии Академии Наук СССР доктор 4мзико--математических наук Иванов Леонид Николаевич

доктор (физико-математических наук Пальчиков Виталий Геннадиевич кандидат физико-математических наук Иденко Сергей Яковлевич

Санкт-Петербургский Государстьений Универститет

Зашита диссертации состоится _ января_ 1992г.

т?

в ___часов па заседании Специализированного Совета-

Д-002.28.01 ко специальности 01.04.02 - теоретическая физика в институте Спектроскопии Академии- Наук СССР по адресу: 142092, Московская область, Троицк, Институт Спектроскопии АН СССР, с диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИСАН СССР Автореферат разослан 23 декабря 1991 г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь Специализированного совета Профессор

Сафроновч У.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТи. Актуальность теш. Постановка задачи.

" Традиционными потребителями спектроскопической информации являются физика внеатмосферной и лабораторной плазмы, физика генераторов когерентного излучения, физика ядерных реакторов, а также физика термоядерного синтеза.

В последив время в связи с применением в атомной {шика ускорителей, а танке благодаря увеличению мощности и улучшением качества лазерного излучения в атомной спектроскопии и, в частности, в спектроскопии ьисокоэарядаш ионов появляется новое физическое содержание, которое связано: I) с изучением- все более анэргетичных процессов, 2) с повышением точности измерений,. 3) с возможность» селективного воздействия на процессы сильными внешними полями (с напряженностью порядка атомной). В атомной физик« становится обычной постановка задачи исследования тонких электродинамических эффектов, эффектов слабого взаимодействия электрона с ядром и аффектов ядерной динамики. Появления норих экспериментальных, и теоретически* идей следует ожидать, прежде всего, в физике тяжелых и сверхтяжел«* атомов и их ионов.

Эффэкты размера и форт атомного ядра, в онер»«тич^ской структуре состояний электронной о0(1лсчки тяжелого оюмч существенно используются в физических исследованиях с<п и ь технологических целях . Ужа стала классической мггояиич измерения изотопических сдвигов атошшх уровней, исипльэущея схемн селективной фптоионизации «томов. Например. дчя ияотоноп

гадолиния (А=146-160) этим методом измерены среднеквадратичные радиуса распределения заряда в ядре сз5 и величины квалруполышх моментов. Теку» информацию можно, в принципе, использовать для моделирования внутриядерных сил.

Электродинамические поправки (собственно-энергетическая часть и поляризация вакуума) к энергиям переходов с участием К и I- электронов , а также эффекты конечности ядра при больших йпие1 («80) составляют величины порядка энергии связи валентных электронов. Следовательно их учет принципиален при определении набора энергетически разрешенных каналов распада состояний с вакансиями во внутренних оболочках и предсказания полной кинетики распада. Только прецизионный расчет энергия К-и I- электронов может адекватно описать ситуацию в этом случае. Естественно, для планирования новнх экспериментов в для извлечения полноценной информации из экспериментальные наблюдений необходим соответствующий уровень теоретически разработок. Спецификой атомной теории является то, что здес1 базой для качественного анализа явлений, материалом дл* интуитивных построений являются результаты аккуратной: численного расчета некоторых ключевых характеристик атомов та процессов. Результата таких расчетов играют в атомной физик« роль, сравнимую с результатами фундаментального эксперимента, В то же время, традиционные методы расчета к настоящем: времени практически исчерпали себя. Решение качественно нови: задач или значительное уточнение расчетов связано с некоторым! чрияципиадытми недостатками традиционных методов, и просто!

улучшение вычислительной техники вряд ли приведет к заметному прогрессу в этой области. Последнее звмечаниэ относится не только к многоэлектронным системам, но и к водородоподобным ионам тяжелых атомов. Особо отметим физму сверхтяжелых ионов, образующихся на ускорительных установках.

• Метода учета электродинамических потравок и формы ядра детально развиты в физике внешних оболочек нейтральных и слабоионизованных атомов. Для внутренних электронов тяжелых атомов и ионов эти эффекты не являются поправочными, а часто определяют физику исследуемого явления процесса. Более того, приобретают актуальность задачи, связанные с учетом динамики ядра. По крайней мере, точность измерения анергий переходов внестоящее время близка' к тому, чтобы фиксировать эффект поляризации ядра тяжелого атома К- оболочкой. Естественно, традиционные теоретические методы некорректны для решения этих задач.

Такая ситуация стимулирует развитие новых вычислительных методов в рамках формальной кйантовоэлектродинамической теории

В'атомной задаче нет возможности механически использовать те приемы расчетов, которые детально развиты в КЭД свободных частиц или систем с короткодействующими потенциалами, главным образом из за отсутствия простых и компактных выражений для функции распространения, или электронной функции Гритш (фГ>. Даже в случае куооновского потенциала число точно решаемых задач сравнительно мало. Численный расчет вкладов электродинамических эффектов во многих случаях практически

невозможен. Технические трудности связаны со специфическими свойствами решений уравнений Дирака атомного электрона. В частности, плохой сходимостью интегралов к асимптотическому значению. В этом "повинна" Кулоновская асимптотика потенциала. Известные процедуры . вычисления радиационных сдвигов многомерны, содержат расчет плохо сходящихся численных рядов и разложений по сферическим гармоникам, или численное интегрирование дифференциальных уравнения (ДУ) для неустойчивых решений. Более того, уже в нерелятивистской теории атома в формальных выражениях для поправок высших порядков виртуально появляются "расходящиеся" матричные элементы. Специфические трудности вычислений в атомной физике связаны с дальнодействугаюм характером потенциала взаимодействия частиц.

Актуальным является совериенствование вычислительных процедур в теории атома: выбор адекватного нулевого приближения, развитие методов суммирование расходящихся вкладов, уменьшение размерности вычислительных процедур, перестройка рядов, т.е. актуальны вопросы регуляризации вычислительной процедуры. Решение этих задач имеет целы создание аппарата прецизионного электродина- мического расчет« спектроскопических характеристик как для водородоподобных, так в для многоэлектронных ионов. Водородоподобный ион являете; более доступным объектом для исследования и предсказание различных КЭД-эффектов. Для малых гпие1хорошо разработан! методика расчетов радиационных* поправок, использувда!

разложение по параметру ай сз]. В случае водородоподоОнш систем известны коэффициенты разложения по этому параметру вплоть до членов порядка *(а2)7. При больших Ъ (1 >50) разложение по а2 не имеет смысла. В качестве исходного приближения для расчетов нужно использовать решения соответствующих уравнений Дирака.

Актуальна разработка метода регулярного учета формы ядра и эффективного экранирования поля ядра электронной оболочкой. Другими словами, метод не должен опиратьсия на специальный вибор потенциала для электрона. Эффективная процедура не должна содержать сильных виртуальных расходимостей и сильных компенсаций вкладов при сумировании рядов или при интегрировнии уравнений. Усовершенствование традиционных методов по этим направлениям и является нашей основной задачей.

Целью работы является усовершенствование метода релятивистской ФГ с комплексным энергетическим параметром, для ценгральносимметричного потенциала. 2. Создание программы расчета релятивистской ФГ. 3. Создание программы расчета радиационных эффектов - собственно-энергетической части сдвига Лэмоа с учетам конечние размеры ядра.

Научная новизна

- Сформулирована процедура расчета релятивистской ФР о комплексным энергетическим параметром, имепцчя мепшую по сравнению с традиционным подходом размерность.

- Г'яэрчбптян метол регуляризации задачи ппигкя морого

(нерегулярного) фундаментального решения уравнения Дирака.

- Создана программа расчета собственно-энергетической части сдвига Лзмба тяжелых и сверхтяжелых- атомных ионов с произвольным центрально-симметричным полем ядра. Практическая и теоретическая ценность работы.

Функция Грина - одно из основных понятий теории атома релятивистской и нерелятивистской. Здесь рассмотрен метод расчете релятивистской ФГ в довольно общем случае: комплексны! энергетический параметр и произвольный центрально-имметр'.пкай пот^нил?,-".. (До сих пор массовые расчеты проводились либо с кулоновским потенциалом, для которой известно аналитическое решение, либо для потенциалов ядра < элементарной моделью распределения заряда, для которо! известны аналитические решения в каждой из областей: внутри ) вне ядра). Это позволяет проводить массовые расчет) спектроскопических характеристик тяжелых и сверхтяжелых атомо: и ионов. Мы надеемся, что уменьшение размерност вычислительной процедуры позволит решать качественно новы задачи.

Разработанный метод универсален в том смысле, что о применим к любым задачам теории атома, включая задачи теорм рассеяния и теории распада атомных систем. Такие задач возникают при изучении процессов даэлектронной рекомбинации автоионизационного распада. Теория этих процессов оперирует т.н. резонансными состояниями, которым формально приписыва* комплексные энергии. Другой пример процесса с участие

резонансных состояний представляет процесс рождении электрон-позитроншх пар, сопровождающий образование сверхтяжелых атомов.

На зашиту выносятся основные результаты диссертации, сформулированные в конце автореферата. Апробация работы.

Основные результаты диссертации были доложены на:

1. Всесоюзном семинаре "теория атомов и атомных спектров" (Тбилиси, 1988г.)

2. Всесоюзном семинаре "теория атомов и атомных спектров" (Томск, 1989г.)

3. Ivanova Е. Р. , Zarldza <3.3,. Semyenov V.V, /угг-iid МмЗ conference, Uppnela, Sweden - 1990.

4. Семинаре no атомной спектроскопии (Ростов Великий, 199<)г,) семинарах ИСАИ.

Публикации. Основные результаты диссертации опулликовани в раб.с?--131

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, приложения, списке литературы и изложена на но страдинях машинописного текста. Список литературы содержит 107 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ PAB0TU Во введегаш обоснована актуальность ismh нигсертикни, наложено ея содержание, сформулирована ц<т. ря^птц, мни^яно ее

у

построение, сформулированы положения, выносимые на защиту.

В главе I развит метод численного расчета релятивистской Функции Грина Уравнения Дирака (УД) электрона. Во, введении к этой главе изложен краткий оОзор применений метода ФГ при решении различных задач-В §1 рассматривается релятивистская ФГ электрона в центрально-симметричном поле ядра. Принята гауссова форма распределения заряда в ядре. Рассматривается случай комплексного энергетического параметра (энергия электрона в виртуальном состоянии). Такая ФГ тшычна в теории рассеяния, в частности, в тех задача*,где существенно наличие резонансных состояния. Наличие центральной симметрии у поля позволяет отделить угловые и радиальные части. Для угловкх тестей хорошо известны аналитические способа их вычисления. Проблемны связаны с радиальной частью. Радиальная ФГ строятся,как обычно, из . двух фундаментальных решений радиального уравнения Дирака. Последние в аналитическом виде известны .тешь для кулоновского поля, ¡¿и излагаем оригинальную процедуру численного решения этой задачи с определенной выше степень» общности. В качестве дополнительного результата, для выбранного потенциала ядра найдены рекуррентные соотношения для коэффициентов ряда Тэйлора радиальных функций - решений уравнения Дирака. Эти разложения эквалентны аналогичным разложениям для функций Уиттекера, представлянадм аналитическое решение уравнения Дирака с потенциалом точечного ялра. Дана схема дальнейшего изложения, введены основные тгредАления и общие понятия, использушиеся в следующих

¿о

частях.

Первое фундаментальное решение уравнения Дирека [ £ ] регулярно в начале координат и расходится при . - -¡» ; второе фундаментальное решение регулярно при г--«о и сингулярно в начала координат. Стартовое значение для первого решения (при некотором малом значении аргумента) определяется подстановкой в уравнение ряда Гэйлора для искомого решения. Второе решение [ Г ] определяется таким способом только с точность»!

до регулярного в нуле слагаемого «.- ( ' £ } • Существует единственное значение коэффициента "С", при котором комбинация (а)"с(а) Регулярна для г—®. Методом последовательных прогонов (итераций) определяется коэффициент "С". В принципе, достаточно одной итерации. В практическом расчете повторные прогоны нужны для компенсации погрешности выполнения арифметических операций компьютером. Числа необходимых итераций зависит от качества выполнения этих операций.

В §2 определены первые члены ряда Тэйлора для потенциала ядра и обоих фундаментальных решений. Найдена рекуррентная формула для коэффициентов ряда. Разумеется, для второго решения по этой формуле можно найти только первые члены ряда, имеющие низший порядок но сравнен1- > с примесью первого решения и ( о )• Использование максимально "длинно!о" ряда существенно для снижения требований к качеству выполнения арифметических операций.

В §2 наряду с вронскианом уравнения Дирака «,.р<з введена другая «валрятичиая комбинация ралиалыш комтлтш

а

двух фундаментальных решений к"» г в * ко - "антивронскиан". Это - конечная функция с простой асимптотикой при г-*«. Второе фундаментальное решение можно выразить через первое фундаментальное решение и антивронскиан. Для онтивранскиана также написано ДУ, которое, в принципе, заменяет ДУ для второго фундаментального решения. Это регуляризует процедуру вычисления второго фундаментального решения. В §1.2.3 рассмотрены принципы вывода всех интегрируемых функций на их асимптотики при больших значениях аргумента. Это - принципиальный момент при интегрировании ДУ для неустойчивых решений. Расчет Фундаментальных решений контролируется двумя условиями:

1. Вронскиан ДУ *Г- р а * г о в 1

2. "Антивронскиан" при г --» ® и", г о * р о Сформулирована ТЕОРЕМА о выстраивании цепочки неравенств

для производных интегрируемой функции. Эта теорема позволяет дать критерий ранней диагностики расходимости численных решений. Критерий используется для определения параметров вычислительной процедуры.

В задаче о вычислении высокоэнергетической части сдвига Лэмба Фигурирует ФГ с чисто мнимым энергетическим параметром ((; и с угловым квантовым числом ае, которое принимает значения ~ I» "3| •»< •

На рисунках а— 16 приведены графики функций ХаЫ = г заряд ядра г«юо; для различных С и ае; (зе = -д

• ?), м чнтивронскиан функций Дирака; С -

т

энергетический параметр, ж - квантовое число дирака (гл.1.51). Аналогично на рис. 19 - 36 приведены графики функций Хь<,.) = ^"ь*' гда "ь ~ ан™вронскиан функций Бесселя. На кривых ХЫ отмечены точки, где X*. X»«. X"4, Х'*1 меняют знак. Теорема о выстраивании цепочки неравенств для производных используется для контроля качества функции Хь(г>. Последняя точка, отмеченная на кахдой кривой (точка перегиба третьего порядка) соответствует выстраиванию четырехзвенной цепочки неравенств. Разрушение этой цепочки вследствии накапливания численных ошибок является сигналом для перехода к. асимптотическому режиму вычислений, при дальнейшем интегрирования! уравнений. Здесь для примера приводим (рпфитг для ж=-2 с=1,6 (рис.1), Ха(г).

ГНС.т. функция Кд(г) - квадрат антивронскичт: ':г

В главе II рассматривается пример частной физической задачи, для решения которой используется метод релятивистской ФГ, развитый в гл.1. Проведен расчет собственно-энергетической части сдвига Лэмба для водородоподоОного иона (г.юо> о гауссовым распределением электрического заряда внутри ядра. Метод развивался специально для случая тяжелых и сверхтяжелых ионов. Имеются также ввиду системн со сверхкритическим зарядом ядра (г>170) и возможность изучения процессов с рождением электрон-позитронных пар.

В данной работе мы использовали теоретический подход развитый в рас.[п. основанный на ковариантной процедуре перенормировки. Собственно- энергетической части соответствует диаграмма фейнмана на рис.2. В соответствующем матричном элементе проведена проце- ..—^ дура регуляризации Фейнмана. Интегрирование проводится по рис.2 энергетическому параметру 4 влектрошюй ФГ. Для проведения расчетов удобным оказалась деформировать контур интегрирования в комплексной плоскости , После деформации контура в интеграле но энергии виртуального фотона выделяется высокоанергетическая Кн и низкоанергетическая часть Вклады Е и соответствуют двум частям этого деформированного контура: бесконечному |1»1'|») для Е . и двум конечным интервалам т.е^.кл и ¡и^ 1о,о1, (Оез пересечения отрезка 10,1 ) для Е1. АН - . Е IЛ> - м'аиг'кз'гчшАа1 «з енф Л < а> • К г.-.держит виртуальна иогарифшчепте рнссходимости в двух

членах, которые, разумеется, комненсируютсия при Л «.Б принципе, логарифмическую расходимость можно выделить аналитически си. Мы считаем, что с точки зрения численного расчета эта процедура не является обязательной. В настоящем расчете сохранена слабая логарифмическая в отдельных членах. Это позволяет, как отмечалось упростить вычислительную процедуру. В нашем расчете Формула для сдвига Л* запрограммирована непосредственно. Численная компенсация логарифмических частей в промежуточных выражениях чревчтя мть потерей точности. Однако в данном случае мы имеем дело со слабой логарифмической расходимостью и ее компенсация но является главным источником ошибок в окончательном результате.

В 2.3. высокоэнергетическвя часть представлена через суммой рздаалышх интегралов с угловыми коэффициентами, выделены вклады кулоновской и магнитной части мекэлектрсшого

Радиальные интеграла выглядят формально как двукрптнне. Однако, известен общий прием, позволяющий свроти расчет многократного интеграла в пространстве переменных ^.г.,.^-.. гт к решению одной системы обртоговеяшгх дифференциальных уравнений первого порядка, если подынтегральное инрданп" факторизуетсия в каждом из конусов г11< г1я< • • • <г *>1п.

В 2.4. рассматривается дополнительная возможность, позволяющая во «ногах случаях смягчить реким интегрирования без потери точности. Это важно с точки зрения экономии компьютерного времени я с точки зрения требопшшй, предъявляемых к качеству выполнения ариЯметитч-ки* т^р-чи-я

компьютером.

в программе решается система обыкновенных ДУ для части сдвига, связанной с парциальным вкладом при фиксированных значениях С»ае. Этот вклад, в конце-концов представляется "главным" интегралом от функции. Дифференциальное уравнение для этого интеграла связано в системе ДУ со многими другими функциями. Функция, интегрируемая в главном уравнении, при больших значениях аргумента г имеет простой асимптотический ьид: "экспонента, умноженная на полином от обратных степеней ».и. В принципе, »та функция может выходить на свою нсиш'чпику нужной точностью ряншо других функций, фигурирующих в задаче. Использование асимптотический фор!«! для манного интеграла нозвыляет избежать расчета диракииской и фотонной функций Гршш и "опасной" области больших зыйчшшй аргумента. Ь '¿Л оооукаимея ьиьмип 1ч«ский ьид асимптотики главного интеграла.

В {¡¿. шишън метод дифференциальных ^ршлышн, (ммод Ди«гарно) для ¡шечата ниакоанергетичоской чьсти Е . К расчету ниэкоэноргвчи'^ский части полностью приманим ииложыишй выше метод. Эдчс.ь, одиея©, возникает ущещаиит обстоятельство, связанное о действительностью еиергетического параметра функции Грин*. это обстойтельстьо позволяет факторизовать "оператор взяимолейсшш" в определении радиальных интегралов, что имчйт дыижо иду ми у следствия. Ь%'гом олучне суммирование нп виртуальным состояниям дирнконского электрона и ин 1ы (»ир^йни!" пи одной «¡очрцинатч "г" ь рйдияпьппм интеграле

можно совместить. При этом искомый радиальный интеграл представляется как однократный интеграл от комбинации дираковской функции изучаемого электронного состояния и некоторой функции Ф, которая представляет решение неоднородного уравнения Дирака с иэвнстпой правой часть». Фуекция Ф тесно связана с радиальной ФГ уравнения Дирака. Ее применение так же, как и применение ФГ позволяет отсуммиронять ввиртуально расходящиеся вклада, теории возмущений, специфичные для системы с далыюдейсгвугашм потенциалом.

Кок и при расчете высокоэнергетической части, вся задача сводится к решению системы обыкновенных ДУ. Хотя метол Далгарно тесно связан с методом ФГ, он имеет самостоятельное значение. В теории многоэлоктротшх систем этот метол позволяет решать некоторые задачи, в которых непосредственное применение метода ФГ неэффективно. В частности, применение метода ДУ позволяет "расцепить" многократные интегралы в поправках высших порядков. Основным моментом метода ЛУ является формулировка принципов отбора правильного решения при различных значениях энергетического параметра С: Т1 С принадлежит области между двумя континуумами и совпадает с энергией одного из связанных состояний, 2) С принадлежит области между двумя континуумами, но не совпадает с энергией какого-либо связанного состояния, 3) С леяит в одном из континуумов, в верхнем или нижнем. Эти принципы изложены в г*!)

В данной работе приведены аналитические янраж«чтия и алгоритм расчете К по методу Далгарно.

В иридсяшши изложена Процедура расчета функций Бесселия Фотонная ФГ, фигурирующая в задаче о сдвиге ЛэмОа, выражается через функций бесселя первого и третьего типов так же, как электронная Функция Дирака через два фундаментальные решения уравнения Дирака, В задаче вычисления Ен фигурируют функций Весоеля с комплексным энергетическим параметром. Отличие состоит в том, что здесь для второго фундаментального решения задача построения стартового значения (при малом *) решена аналитически известно такое решение). Однако, применении стандартны* процедур вычислении функций Босселя в нашей задаче неизбежно привело Он к увеличении; размерности всей процедуры. Для ничиолыны функций Весселя применена оуквашю та же вычислительная методика, что и для вычисления функций Дирака, включая метод рв1уляриэацин нроцедури и принцип вывода функций на асимптотики '>т ием.'Н.тфирувт универсальность подхода.

Все ДУ: уравнении для алектроиной ^ , уравнения для фотонной ФГ и ураьнения для искомых рашшлышк интегралов составляет одну систему обыкновенных да. Вычисление стартовых значений для всех функций и принципы подавления расходящейся компоненты решения составляют главный момент метода. Б заключении сформулированы осноышн результаты раОотн.

(АЛЮБШК 1'ВЗУЛЬГАТи РА61Л"Ц I 1!фи[>му,лир"ныш процедура расчета риднтнмкп'окой ФГ а *!'М11й"Р.!'ннм дн^р!^ тчьским параметре« цпя ироцэио.лмнн о

1Й

центрально-симметричного потенциала. Процедура имеет низшую размерность по сравнению с традиционным подходом.

2. Разработана 'критерии регуляризации процедуры расчета второго, сингулярного, фундаментального решения уравнения Дирака.

3. Создана программа расчета Собственно-энергетической части сдвига Лэмба тяжелых и сверхтяжелых атомных ионов с произвольным цеитралъно-сишетричным полем.

ЛИТЕРАТУРА

1.Mohr Р. J.S*lf-*n»tv radiative correction« In hydroeen -l 1 ил • taten« // Ann.РЛув.У.88.26-88./1971

2.Mohr t. J. - »elf-etieriy of the n>2 atatea in a etrcma Coulomb field. /✓ Phv».Rev,-1982- V.A26. N5 -p.2336-235«

3.Алхазов Г.О. Бврзах Н.Б. Летохов B.C. Мишин В.И. Секацкий и др.- средаеквадратичний зарядовый радиус магического ядра ,4"<м //Письма ХЭТФ-Т.48.ВЫП.7. С.373-375 /1988

4.Borla К. - Mor* nualaai» alca correction to the Lamb pfifft //fhva. «av.Lett.-vol.«7 ».568-571 /1981

б,С.tí. Srlükaor» and D. Л.Vanne - Radiative level ehlrte 1. Formulation and loveat order Lamb ehlft //Ann.Phve. v. 4». p. 447./1965

6.Д.С.Викторов Л.Н.Иванов - метод дифференцийльннх уравнений в теории возмущений для атомных систем // Корреляционные и релятивистские эффекты в атомах и ионах,/ М.1982г.

Y. ivanov» S.p. , 2»»ldee Q.ii,. Semyenov V.V. K»l»tlvl«tlc fb['iuib»tion Theory with model zero approximation to «tudy spectroscopic chai scterlotlo* of mil tlch»r^«d ton* ' /22-r.4 EGAS Conference, Uppsala. Sweden - 1990.

tí, Иванов Л.Н, Иванова Е.П. Заридзе Г.Г. - Функция Грина уравнения Дирака о центральным несингулярным потенциалом и комплексной энергией. Алгоритм расчета. - // известия ВУЗов. Физика *3, с.31 / 1990г.

а. Заридзе Г.Г Иванов Л.Н. Иванова Е.П. - радиационнив

поправки в тяжелых и сверхтяжелых атомких ионах.// Препринт ИСАИ 1991г.

10. Заридзе Г.Г Иванов Л.Н. Иванова Е.П. - Релятивистская Функция Грина с центральным несингулярным потенциалом

// Препринт ИСАИ 1991г.

11. Заридзе Г.Г Иванов Л.Н. Иванова Е.П.

Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории at-смов и атомных спектров / Тонлиси 19Шг.

12. Заридзе Г.Г Иванов Л.Н. Иванова Е.П. —Твзиси докладов Всесоюзной конференции по теории атомов и атомных спектров / Томск 1969г.

13. Иванова В.П.Заридзе Г.Г — Тезисы докладов Всесоюзного семинара по атомной спектроскопии.

/ Ростов-Великий.' 1990г.