Ренормгрупповое вычисление поправочных индексов и универсальных амплитуд в двух задачах стохастической динамики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Квантовополевая ренормгруппа в задачах стохастической динамики.

1.1 Стандартная форма стохастических уравнений.

1.2 КП формулировка стохастической динамики. Диаграммная техника.

1.3 УФ-расходимости, ренормировка.

1.4 РГ-уравнения.

1.5 Решение РГ-уравнений.

2 Ренормгруппа в Н-модели критической динамики, константа Кавасаки.

2.1 Введение.

2.2 Упрощенная Но - модель.

2.3 Ренормировка и РГ-анализ Но -модели.

2.4 Двухпетлевой расчет в схеме МЯ.

2.5 Расчет константы Я.

2.6 Поправки к скейлингу.

3 Ренормгруппа в теории турбулентности.

3.1 Введение.

3.2 Стохастическое уравнение Навье-Стокса и выбор коррелятора случайной силы.

3.3 КП формулировка и ренормировка модели.

3.4 Двухпетлевой расчет константы ренормировки.

3.5 РГ-функции, неподвижная точка и поправочный индекс

4 Универсальные амплитуды в теории турбулентности, константа Колмогорова.

4.1 Универсальные амплитуды.

4.2 Парная корреляционная функция.

4.3 Расчет константы Колмогорова.

4.4 ¿¿-мерный случай.

Эксперимент в теории критического поведения показывает, что различные физические системы могут иметь схожее критическое поведение. Это привело к появлению понятия универсальности: различные физические системы объединяются в классы универсальности с одинаковым критическим поведением. Универсальными величинами являются критические индексы - показатели в степенных законах поведения. Другим примером универсальных величин являются универсальные амплитуды. Простейшей из них является отношение амплитуд А+/А в законах, описывающих сингулярное поведение теплоемкости при приближении к критической точке (при т —> 0):

С(т) =т->±о А±\т\~а/\ (1) где т - безразмерное отклонение от критической температуры Тс.

Предложенный Вильсоном в теории критического поведения метод ренормгруппы и е-разложения позволил рассчитать критические показатели и универсальные отношения амплитуд для многих статических физических моделей вплоть до высоких порядков теории возмущения. Аналогичные расчеты в динамических задачах намного сложнее и редко когда выходили за рамки однопетлевого приближения.

Основной задачей этой работы является ренормгрупповой расчет универсальных амплитуд и критических индексов (с двухпетлевой точностью) в двух задачах стохастической динамики путем использования наиболее эффективного квантовополевого варианта ренорм-групповой техники. Этими задачами являются .^-модель критической динамики, описывающая эффект критического замедления в окрестности критической точки перехода жидкость-газ, и стохастическая теория развитой турбулентности.

Для модели Н ранее (1976-78гг) в двух различных работах [1, 2] были произведены двухпетлевые расчеты критических индексов и универсальной амплитуды Кавасаки. В первой работе [1] были рассчитана константа Кавасаки, а также индексы х\ = А — г — т] я х^ = г — с1, выражающиеся через г - критическую размерность частоты, г] - статический индекс Фишера и (1 - размерность пространства.

Во второй работе [2] были рассчитаны отсутствующие в первой работе поправочные индексы си. Однако приведенные в этой работе выражения для РГ-функций содержат явные опечатки и не согласуются с результатами первой работы.

Несмотря на столь явные противоречия, эти работы постоянно используются при обработке экспериментальных данных, а также в других теоретических работах, имеющих отношение к ^-модели. Поэтому была поставлена задача произвести расчет этих величин при помощи современной техники (размерная регуляризация, схема МБ и т.п.).

Вторая часть данной работы посвящена исследованию стохастического уравнения Навье-Стокса со случайной силой (модель Уайл-да). Одной из главных задач последовательной статистической теории является обоснование знаменитого закона 5/3 для распределения энергии по размеру пульсаций

Е(к) = С'К£2/3к-5/3, (2) где £- скорость диссипации энергии на единицу массы. Этот закон был открыт Колмогоровым еще в 1941 году и неоднократно подтвержден экспериментально.

Метод РГ позволил успешно объяснить показатель 5/3. Однако вычисления безразмерной амплитуды С'К, предпринятые в нескольких работах методом РГ, неожиданно дали сильно различающиеся между собой результаты (все эти расчеты были произведены в одно-петлевом приближении).

Рассмотрев упомянутые выше работы, мы выяснили, что подобные различия обусловлены тем, что авторы пытались вычислять е-разложение константы Колмогорова, тогда как эта величина не является универсальной и ¿-разложение для нее не может быть определено однозначно. Поэтому константа Колмогорова не может быть вычислена при помощи теории возмущения непосредственно, а должна быть выражена через какую-нибудь универсальную величину.

Ниже кратко поясняется структура работы.

Обзор состояния исследований по теме диссертации приводится в основном тексте.

Заключение.

В заключение приведем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Выполнен РГ-анализ модели Н критической динамики в двух-петлевом приближении.

2. В этом приближении (вклады, пропорциональные е и £2, в е-разложении) вычислены динамический индекс х, константа Кавасаки Я и главные поправочные индексы ~ 0(е).

3. Проанализирован общий вид поправок к скейлингу с критическими индексами со = 2 + 0{е). Показано, что для описания таких поправок недостаточно только одного индекса такого типа который ранее обсуждался в литературе.

4. Для со и, получено точное выражение через динамический индекс г, что дает для двухпетлевого вклада сои1 значение, заметно отличающееся от использовавшегося ранее в литературе.

5. В рамках РГ-подхода в теории турбулентности впервые вычислен с двухпетлевой. точностью поправочный индекс со и скьюнес-фактор в инерционном интервале.

6. Показано, что все предложенные ранее способы вычисления константы Колмогорова в рамках РГ-теории турбулентности содержат существенный недостаток - зависимость ^-разложения константы Колмогорова от выбора неуневерсального параметра Ио - амплитудного множителя в корреляторе случайной силы.

7. Предложен новый, лишенный данного недостатка способ вычисления константы Колмогорова. Последняя вычислена во втором порядке теории возмущений, полученные значения достаточно хорошо (для теории без подгоночных параметров) согласуются с экспериментом.

Автор благодарит своих научных руководителей профессоров А.Н. Васильева и Л.Ц. Аджемяна, а так же Н.В.Антонова, М.Гна-тича, Ю. Хонконена и всех сотрудников кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц за всестороннюю помощь и поддержку при работе над диссертацией.

1. Е. D. Siggia, В. I. Halperin, and Р. С. Hohenberg, Phys. Rev. В 13, 2110 (1976).

2. С. De Dominicis and L. Peliti, Phys. Rev. В 18, 353 (1978).

3. Васильев A.H. // Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике (СПб., Издательство ПИЯФ, 1998).

4. Р. С. Hohenberg and В. I. Halperin, Rev. Mod. Phys. 49, 435 (1977).

5. D. Beysens, G. Paladin, A.Bourgou, J. Phys. Lett. (Paris) 44, L649 (1983).

6. D. Beysens, A.Bourgou, G. Paladin, Phys. Rev. A 30, 2686 (1984).

7. R. Dengler, F. Sehwabl, Europhys. Lett. 4, 1233 (1987); R. Dengler, F. Sehwabl, Z. Phys. B69, 327 (1987);

8. R. Folk, G. Moser, Phys. Rev. Lett. 75, 2706 (1995).

9. Аджемян Л.Ц., Васильев A.H., Кабриц Ю.С., Компаниец М.В. // Н-модель критической динамики: двухпетлевой расчет РГ функций и критических индексов. ТМФ, 119, с. 73-92 (1999).

10. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Письмак Ю.М., ТМФ, 57 268 (1983).

11. Васильев А.Н., ТМФ, 122, №3, 385 (2000).

12. H. Kleinert, J. Neu, V. Shulte-Frohlinde, K.G. Chetyrkin, S.A. Larin, Phys. Lett. B272, 39 (1991); Erratum: B319, 545 (1993).

13. J. Zinn-Justin, // Quantum Field Theory and Critical Phenomena (Clarendon, Oxford, 1989).

14. R. H. Kraichnan, Phys. Fluids 11, 945 (1968).

15. R. H. Kraichnan, Phys. Rev. Lett. 72, 1016 (1994); 78, 4922 (1997).

16. K. Gaw§dzki and A. Kupiainen, Phys. Rev. Lett. 75, 3834 (1995); D. Bernard, K. Gaw§dzki, and A. Kupiainen, Phys. Rev. E 54, 2564 (1996).

17. M. Chertkov, G. Falkovich, I. Kolokolov, and V. Lebedev, Phys. Rev. E 52, 4924 (1995); M. Chertkov and G. Falkovich, Phys. Rev. Lett. 76, 2706 (1996).

18. U. Frisch, A. Mazzino, and M. Vergassola, Phys. Rev. Lett. 80, 5532 (1998); Phys. Chem. Earth B 24, 945 (1999); U. Frisch, A. Mazzino, A. Noullez, and M. Vergassola, Phys. Fluids 11, 2178 (1999).

19. G. Falkovich, K. Gaw^dzki, and M. Vergassola, Rev. Mod. Phys. 73, 913 (2001).

20. L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov, and A. N. Vasil'ev, Phys. Rev. E 58, 1823 (1998);

21. L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov, V. A. Barinov, Yu. S. Kabrits, and A. N. Vasil'ev, Phys. Rev. E 63, 025303(R) (2001); 64, 019901(E) (2001); 64, 056306 (2001).

22. Sulem P.L., Fournier J.D., Pouquet A., Lecture Notes in Physics. V.104, P.321, (1979).

23. McComb W.D. // The Physics of Fluid Turbulence— Oxford, Clarendon (1990).

24. D. Forster, D. R. Nelson, and M. J. Stephen, Phys. Rev. Lett. 36, 867 (1976); Phys. Rev. A 16, 732 (1977).

25. C. De Dominicis and P. C. Martin, Phys. Rev. A 19, 419 (1979); Progr. Theor. Phys. Suppl. No 64, 108 (1978).

26. J. D. Fournier and U. Frisch, Phys. Rev. A 28, 1000 (1983).

27. Аджемян Л.Ц., Васильев A.H., Письмак Ю.М., ТМФ, 57, 286 (1983).

28. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н., ЖЭТФ, 95, 1272 (1989); Антонов Н.В., Зап. научн. семинаров ЛОМИ, 169, 18 (1988).

29. R. Н. Kraichnan, Phys. Fluids А 30, 2400 (1987).

30. S. Chen and R. H. Kraichnan, Phys. Fluids A 1, 2019 (1989).

31. Теодорович Э.В., Изв. АН СССР, Сер.МЖГ, 29, №4, 29 (1987); ДАН СССР, 299, 836 (1988); Изв. РАН., Сер. ФАО., 29, 149 (1993).

32. S. L. Woodruff, Phys. Fluids А 4(5), 1077 (1992); Phys. Fluids A 6(9), 3051 (1994).

33. Аджемян Л.Ц., Васильев A.H., Кабриц Ю.С., Компанией; M.B. // Двухпетлевой расчет в стохастической теории турбулентности при переменной размерности пространства d — 2 + 2Д.// Вестник СПбГУ, сер. 4, Вып. 3,(№20), 136-138 (2000).

34. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Кабриц Ю.С., Компаниец М.В. // Метод ренормгруппы в теории турбулентности: двухпетлевой расчет РГ-функций и константы Колмогорова. Вестник СПбГУ, сер. 4, Вып. 1,(№4) с. 3-12 (2000).

35. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н., Успехи физ. наук., 166, С.1257-1284 (1996).

36. L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov, and A. N. Vasiliev // The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence (Gordon & Breach, London, 1999).

37. V. Yakhot and S. A. Orszag, Phys. Rev. Lett. 57, 1722 (1986); Journ. Sei. Comp. 1, 3 (1986).

38. W. P. Dannevik, V. Yakhot, and S. A. Orszag, Phys. Fluids 30, 2021 (1987).

39. Y. Zhou, G. Vahala, and M. Hossain, Phys. Rev. A 40, 5865 (1989).

40. D. Carati, Phys. Rev. A 41, 3129 (1990); Phys. Fluids A 2, 1854 (1990).

41. S. H. Lam, Phys. Fluids A 4(5), 1007 (1992).

42. M. J. Giles, Phys. Fluids 6(2), 595 (1994).

43. Y. Nagano and Y. Itazu, Fluid Dynamics Research, 20, 157 (1997).

44. L. Ts. Adzhemyan, N. V. Antonov, M. V. Kompaniets, A. N. Vasil'ev, // Renormalization group in the statistical theory of turbulence: two-loop approximation, Acta Physica Slovaca, 52, 565 (2002).

45. Монин A.C., Яглом A.M. // Статистическая гидромеханика, (СПб,Гидрометеоиздат, 1996).

46. U. Frisch // Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov (Cambridge University Press, Cambridge, 1995).

47. Аджемян Л.Ц., Васильев А.Н., Компанией, М.В. // Расчет константы Колмогорова в стохастической теории турбулентности. Вестник СПбГУ, сер.4, Вып. 4,(№28) с.57-59 (2002).

48. U. Frisch, J. D. Fournier, and H. A. Rose, J. Phys. A: Math. Gen. 11, 187 (1978).

49. U. Frisch, M. Lesieur, and P. L. Sulem, Phys. Rev. Lett. 37, 895 (1976); J. D. Fournier and U. Frisch, Phys. Rev. A 17, 747 (1978); V. Yakhot, Phys. Rev. E 63, 026307 (2001).

50. РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРС^ "Г'ТТТ1ДГ( БИБЛДОТ.'КЛ/у