Решение контактной задачи о взаимодействии двух упругих тел с учетом трения и истории приложения внешнего нагружения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Р Г Б ОД

- 9 ОПТ 1995

Дн1пропетровськия державния ун1версит9т

На правах рукопису

БОК1И 1гор Борисович

розв1 язання контактно! задач1 про взлемодио двох

прушних ил 3 урахуванням тертя та 1стор11 пршшдення зовншнього навантажування

01.02.04 - Мехав1ка деформ1вного твердого т1ла

Автореферат дисертацП на здобутгя наукового ступени кандидата ф!зико-математичних наук

Дн1пропвтровськ - 1995

Дисертац1я с рукопис.

Робота виконана на кафедр1 алгебри та геометрП Запор1)кського державного ун1верситету 1 у в1дд1л1 ф1зико-механ1чих основ г1рничого транспорту 1нституту Г0отехн1чно* механ!ки HAH Укра1ни.

Науков1 кер1вники - доктор ф1зико-математичних наук, професор ПРИВАРН1К0В А.К. кандидат техн1чнюс наук, доцент АЛЕКСАНДРОВ 0.1.

0ф1ц1йн1 опоненти - доктор ф1зико-математичних наук, професор Смирнов С.О.,

кандидат ф1зико-матемэтичних наук, доцент Ламзюк В.Д.

Пров1дна орган1зац1я - державна металург1йна академ1я

Укра1ни (м.Дн1пропетровськ)

Захист дисертацП в!дбудеться " ¿^Ф^М 1995р. 0 /Г годин1 на зас1данн1 спец1ал1зовано! вчено! ради Д 03.01.14 Дн1пропетровського державного ун1в8рситету (320625, МСП, м.Дн1пропетровськ-10, пр.Гагар!на, 72, корпус 3, аудитор1я 57)

3 дисертац1ею можна ознайомитися в наукоз1й б1бл1отец! Дн1лропетровського державного ун1верситету.

Автореферат роз!слано " ^ " Ффс****^ 1995р.

Вчений секретар спец!ал1зовано1 вчено! ради,

КОСТИРКО В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть теми. Для розв'язання контактних задач все

част!ше- стали - застосурати. чисельн! метода,__як! можна

розпод1лита на дв1 груш - вар!ац1йн1 I невар1ац1дн1.

Основи вар1ац1йного п1дходу до контактних задач з граничними умовами, як! враховують тертя, були закладен! в роботах G.Duvaut, J.L.Lions. Вагомий вклад у розвигок даного напрямку внесли J.J.Kalker, P.D.Panagiotopoulos, J.Т.Oden, L-T.Campos, Р.Тремольер, J.Ñecas, J.Jaruselc, J.Haslinger, О.С.Кравчук, О.В.Вовкушевський, О.А.Спектор, В.I.Кузьменко, Р.В.Гольдптейн, О.Ф.Зазовськия, Р.П.Федоренко.

У невар1ац1йному п1дход1 розв'язання контактно! задач! зводиться до розв'язання систем р1внянь в1дносно нев!домих контактних тиск1в, або е посл1довн1стю розв'язань задач! Teopiï пружност! при уточнюючих граничних умовах. Дания п!дх1д розглянуто в роботах X.Chan, J.Tuba, A.Francavilla, O.Zienkiewics, R.Caertner, Л.В.Н1г1на, R.N.Bentall, X.I.Johnson, N.Ahamadi, L.M.Keer, T.Mura, A.Aaarkin.

He дивлячись на розвиток Teopiï вар1ац1яних нер1вностей, розв'язання контактно! задач1 з тертям пов'язано з ' великими труднощами математичного 1 обчислювального характеру. Недолгом невар1ац1яного п1дходу с те, що для отримання р1шення контактно! задач! необх1дно дек!лька раз1в розв'язувата задачу Teopiï пружност! або систему р!внянь.

1з невар1ад!йних метод!в розв'язання контактних задач з Teopiï пружност1 заслуговуе уваги метод, основания на зведенн! Ix до системи нел1н1Лних операторних р!внянь в!дносно нев!домих, нормальних i дотичних, контактних

напруяень на позерхк! сп!вдотику - робота Б.О.Галанова, О.I.Александрова.

В б!льшост! poóíT, присвячених розв'язанню контактквд задач п&'теорИ пружкост! з кулоновим тертт, 1стор1я зм1ни 30EHÍSHÍX наванташнь не врзховувалась 1, по сут1, розв' язувалаеь контактна задача в статичн12 постанови!. Хоч деякими азторамк (K.Chan, J.Tuba, R.Gaertner, Л.В.Н1г1на, 0.С.Кравчук) були запропонован! чисельн1 алгоритми, як i врзховувзли icTopisi навантажування, в ц!лому, питания про егшз ЮторП назантажування пружних т!л, при !х контактн1й ззземс-л!!, захпаасться недостатньо визченим.

"зтгз робота е досл!дазння задач контактно í взаемод!! двох прухних тхЛ з тэртям на поверхн! сШвдотику, а сама:

- розробка чисельного алгоритму розв'язання контактно! задач! теорН пружност! з урахуванням тертя та icTopil приклэдання зовн1анього навантажування для просторового, плоского i осесиметричного випадк1з.

- розв'язання просторових, плоских, осесиметричних задач контактно! взаемод!! при р!зяих !стор!ях приклэдання зовн1инього навантажування.

- оц!нка -впливу !стор!1 приклэдання зовн1шнього навактанування на розпод1л пол1в контактних напружень при даних icTopifix навантажування.

Кэуковз новизна. В дэн!я робот! розроблений чисельний алгоритм розв'язання задач! контактно! взаемод!! двох л!н!ано-пружннх т!л з урахуванням тертя та icTopil приклэдання зовн!шнього навантажування з використанням нел!я!2них операторных р!внянь в!дносно нев1домих складових контактного тиску на поверхн! сп!вдотаку, Чисэльний алгоритм розглянуто для просторових, плоских, осесиметричних задач

таорП пружностЗ.. Розв'язан! нов1 задач1 контактноI взаемодИ пружних т1л з кулоновим тертям 1 зроблона оц1нка вшиву 1сторП навантажування пружних т1л на розпод!л пол!в

контактнкс—напружень- для.—р!зних __випада1в___прикладання

зовн!шнього навантажування.

В1рог1дн1сть отриманих результат!в п!дгвврдауеться апробован1стю чисельного алгоритму у р!зних задачах' пор!внянням отриманих чисэльних результат1з з в1домим розв'язуванням. Також доказано, що для дискретного аналога контактно! задзч! на кожн!м крод! приросту навантажування розглянута система нел1н1яних р1внянь задовольняе теорему Брауера про нерухому точку. На чисельних прикладах встановлено, що контактна задача зб1гаеться при зб1льшуванн1 к1лькост! пром1жк1в розбигтя в1др1зку процесу навантажування.

Практична ц1нн1сть. Побудования чисельний алгоритм тэ отриман! результата можуть сдужити основою для б1льш повного вдосконалення питань контактно! м!цност1, зношення, дисипацП енерг11 при взаемодИ пружних т1л, як! ноделюються прунними п!впросторами (нап1вплощинами).

Апробзц1я робота. Основн! результата дасертац1йно1 робота доповЛдалися I обговорювалися:

- на сем1нар1 кафедри теоретично! та прикладно! механ1ки ДнЗлропетровського державного ун!верситвту;

- на сем1нар! кафедри вщо! математики державно! металург1йко! академИ Укра!ни;

- на свм1аар1 "Компютерн! проблеми механ1ки" в рамках науково! ради 1яституту кибернетики;

- на сем1нар1 кафедри алгебри та геометр!! Запор1жського державного ун!верситету.

Пуйл1каи11. OchobhI результата дисертацП опубл1кован! в роботах [1-6].

Структура 1 об'ем робота. Дисертац!я складаеться з вступу, чотирьох частая, висновк!в, списку використано! л!тератури, в яксму 90 назв. 1екст викладений на 127 стор!нкзх 1 м!стить в соб! 36 малюнк1в та три таблиц!.

3MICT РОБОТИ

У вступ! обгрунтовзна актуальн!сть теми, сформульована мета робота, коротко викладено зм1ст робота по частинах.

Пэраа частика присвячена огляду роб!т по контактн!й задач! з урахуванням кулоного тертя. Показано м!сце робота серед !нших досл1да8НЬ з дано! тематики.

Друга частина присвячена постанови! задач! контактно! взаемод!! двох пружнкх т!л з урахуванням тертя, коли сп1здотачн1 т1ла апроксимуються п1впросторами (кап1вплошдаами). Розглядагаться просторова, плоска !■ осесиметрична задач!.

В первому параграф! ц1с1 частики наводиться кластна постановка контактно! задач! у вигляд! обмежень'на поверхн! сп!вдотжу у форм! р!вност! ! нер1вност!, разглядакггься осковн! припущення.

В недеформованому становищ! т!ла дотикакггься в точц! 0. Приямаються так1 припущення, при яких можна вважати, що поверхня контакту с плоскою в будь-який момент t процесу навантанувакня ! лежить в загальн!я для т1л дотичн1й плотин!

яка проходить точку 0. Взэемод!ю вважаемо такою, що хзильов! ! !нэрц!йн! ефекти не враховуються. В npoueci кавзнтзхузаккя кз повзрхк! сп!вдотику т!л виникають сш

тертя, як i п!длягають закону Кулона.

Для просторово! контактно! задач! в Д9картов1я систем!

координат, яка зз'язана з нижн!м т1лом (1=1) - початок '"координат-в-точц! О, ool в1сь z спрямована усередану

нижнього т1ла; умови контактно! взаемод!! макггь такия вигдяд:

w(s,t)K>,

Ps(S,t)írO,

w(s,t)Pv(a,t)=0, (1)

( P^(s,t)+p?(s,t) )1/2 $ рР_(з,1

U=[(ú(s,t))2+(v(s,t))2]1/2 и 0

Px(s,t)=-

Py(S.t)=-

и и

S^fl, telO.T].

Тут функцП u(s,t), v(s,t), w(s,t), задають перем1щення поверхневих точок першого т1ла в1дносно проталежних точок другого в напрямку осей х, у, z в!дпов1дно; функцП Px(s,t), Py(s,t), P„(s,t) - складово! контактного тиску, як! д1ють на перше т1ло; ц - коеф1ц1ент тертя; крапка над символом означзс диференц1ювання по зм1нн1й t; Q - обмежена область на площин1 %, яка м!стить точку 0 ! ус! можлив! зони сп1вдотику т1л, як! в1дпов1дають р!зним значениям t.

В другому параграф! друго! частини одержана система нел1н1яних операторних р1внянь в!дносно нев!домих складових контактного тиску на поверхн! сп!вдотику для просторового, плоского 1 осесиметричного випадк!в. Доводиться екв1валентн1сть отримано! системи нел!н!йних р1внянь систем1 р1вностей 1 нер!вностея в класичнЗл постанови! контактно! задач!. Для просторово! контактно! задач! одержана система

кел!н!йних р1внянь мае вигляд:

= lUPz-ED1(Px,Py,Ps)), Рг = q(Px-EfD2(Px,PrPa), Py-E1D3(Px,Py,Pz), Р„), (2)

?y = ^Py"WPx'Py'PZ>' VWVyV' Ps>-Тут

D, (Pj.Py.Pa) = A^Pg+A^P^gPy+eOJ^it), D2(Px,Py,Pz) = M^z+k22?x^z3VrLx[X)), D3(?2(?y,Ps) = L(A31?z+k32?x+k33PY-LY(t));

функцИ h{a), q(a,p,7) задашься сп!вв!дношеннями a, якщо a^O;

h(a) .

О, ящо a<0;

О ? 1 /о

fa, якщо (a'+& ) $ lit;

q(a.p,T) = j a

EisJ.E^s)- дов!льн! позитивн! функцИ; А^ - л!н!йн! 1нтегральн! оператори з области !нтегрування Q, ядра яких визнзчаються у в!дпов1даост! з формулами Буссинеска-Черрут!; Ъ - дкференц1альн^а оператор по t; 6(s) - в!дстань м1ж т!лами в ненавантаженому стан1; Aa(t). Л^(t)» Ay(t) -компонента вектор-функц11 5(t), яка визнэчае поступальне жорстке зближення п!д д1ею прикладеного навантаження; Pz(s,t)=Px(s,t)=Py(s,t)=0.

В третьому параграф! друго! частини наведен! формули для 1нтегральних оператор!в, як1 використовуються при розв'занн!, коли т1ла апроксимуються п!впросторами ! нап1вплотинами.

В трет!й частик! наведено чисельяий алгоритм розв'язэння контактних задач теорП пружност! з кулоновим тертям.

В первому параграф! ц!е! чэстини розгляну?а дискретизац!я нэл1н1гних операторних р!внянь. В!др!зок [ОД]

разбиззеться на 1 пром!жк!в г1 ), Ид,^3,..., ,.

________Передбзчена область контакту О накриваеться пошрхневою

с1ткою, яка склздэетъся з N однакових ~1шэдрэткизс~~ елемеят1в-----------------

з! сторонами пзралельними осям х,у. На кожному влвмвнт! П., в момент процэсу навантажування ^(ш=Т7Т) нормальна Рз^_2 1 дотичнэ .Рз^ склэдово! контактного тиску, а також Вхдносн! г.ерем1шеккя постЛйн! 1 дор!внюипгь значенняи в точц! з^-центр! олемента. Год! визначення контактних таск!в для випадку просторово! контактно! задач! зводигься до розв'язаяня 1 систем Евл1н!йних р!внянь

Г Р31-2(1;т>

Рз!(1:т) = !=ТТН; т=ТТТ;

в як!я

и зн

аГРз!-1 (Д ^31-1,3 <Р3 <(V)> ^V VI >] '

ЕрЕ^ - позигивн! константа; - коеф1д!енти матриц!

податливост!, як! визначаються в!длов1дно з формулами для

ядэр 1нтегральних операторов А^.

Доводиться, що кожна з вдх систем нвл1н1йних р1внянь задовольняе принцип Брауерз про нерухому точку.

В другому параграф! наводиться формули для обчислення

коеф!ц!ент!в матриц1 податливост!, коли т!ла апроксимуються п1впосторами 1 нап!вплощинами.

В третьому параграф! запропонован! 1терац1йн1 процедури для розв'язання дискретних аналог1в контактних задач в просторовому, плоскому, осесиметричному випадках. Для визначення контактних тиск!в на ш- кроц! навантажування застосовано !терац!йния метод розв'язання систем нел1н±аних р1внянь - нел1н1яний аналог методу Зейделя для систем л!н!йних р!внянь.

В четвертому параграф1 третьо! частини зроблена апробаЩя чисельного алгоритму на в!домих прикладах: нормальна взаемод!я плоского штампу 1 нап1вплощини (Гал1н; Моссаковьский, Бискуп); нормальна взаемод!я кругового штампу 1 нап1вплощини (Spence); взаемод!я неск1нченного цил1ндра i п1впростору п!д д!ею осцилюючого навантаження (Nowell, Hills, Sacklielä); нормальна взземод!я кул! 1 п!впростору (Spense); розвантаження кругового плоского штампу 1 пружного п!впростору (Turner).

На чисельниу прикладах встановлюеться зб1жн!сть розв'язання контактно! задач! при зб!льшенн1 пром!жк1в розбиття в1др!зка процесу навантажування нагружения [ОД].

В четверг !2 частин! за допомогою розробленого чисельного алгоритму досл!дауеться розпод!л пол1в контактних напружень при р!зних !стор!ях навантажування. Навантажування задаеться зм1ною векгор-функц11 S(t).

В першому параграф! ц!е! частини розглядаеться монотонне нормальне навантажування. На чисельних прикладах встановлено, що розв'язання контактно! задач! при монотонному нормальному навантажуванн! не залежить в1д вигляду криво! навантажування ! в!дпов!дае розв'язанню при

л!н!йному навантануванн!; контактн1 тиски, область контакту, зони проковзувэння 1 зчеплення под!бн! при р!зних значениях прикладэного назантаження; якщо одна з т1л, як1 взаемод!ють, с ¡коротким штампом з плоскою основою, то в цьому випадку для

одержэння розв'язку задач! з1дрТзок~Г0;ТГмо:кна-не-розбизати----------

на пром!жки.

3 другому параграф! четверто! частини розглядаеться кемонотонне нормальнв навантажування. Надал! при пор!внякн! р1зя1Ех: 1стор1й нэвантажувзння розглядались т!льк! дотичн! складов1 контактного тиску. При немонотонному нормальному навантаж.уванн! на кожному монотонному 1нтервал! мае м!сцэ висновок для випадку нормального монотонного навэнтажування про незалежн!сть розв'язку в!д вигляду криво! навэнтажування АН). У э1дпов!дност1 з цим на кожному монотонному. !нтервал! криву навэнтажування можна вважати л1н1йною.

В робот! наведен! граф!ки розпод1лу дотичних зусиль при взаемод!! кул! 1 п!впростору, круглого плоского штампу ! п!впростору. Розглядались чотири !стор!1 навэнтажування, в!дкое9Няя |1/|3 прияняло значения 0,37; 0,66; 1,07; що в!дпов1дае таким значениям величини с/а при монотонному нормальному навантажуванн! - 0,31; 0,7; 0,94. Тут с, а -рад!уси зони зчеплвння 1 контакту в!дпов1дно; р параметр, якия зв'язуе пружн! характеристики матер!ал!в.

Для випадку р./р=0,37 наведено пор!вняння зон проковзувэння ! зчеплвння для даних 1стор1я навэнтажування. Було встановлено, що с в!да1нн!сть в розд!л! дотичних контактких зусиль, що характеризуемся в!дм!нн!стю в розпод!л! зон проковзувэння ! зчеплення. Чим менша величина ц/р, тим залежн!сть б!льша.

В третьему параграф! четверто! частини розглядалось

розвантаження при нормальн1я контактн1а взаемодП. В робот1 Еаведено розподЗл зон проковзування 1 зчеплення для випада1в взаемодП кругового плоского штампу 1 п!впростору (третя частина), кул1 1 п1впростору. Спостер1гаеться як1сно в1дм1нне розм1щення зон проковзування 1 зчеплення в пор1внянн! з монотонним навантажуванням, що характеризуется наявн1стю дек!лькох зон проковзування 1 зчеплення.

При взаемодП кул1 1 п1впростору з початком розвантаження поблизу меж1 област1 контакту з'являеться ще одна зона зчеплення, яка пот1м дещо зм1туеться у сере дину. По да! зони проковзування 1 зчеплення зберегаюггься до к1нця розвантаження.

В четвертому параграф! четверто! частини розглянутий контакт пружних т!л п!д д!сю комб!нованого (нормального и дотичного) навантажування.

Пропорц1йним навантажуванням будемо називати таке монотонне навантажування, при якому |Апи) I/(("Ь>|=сог^ ! напрям вектора 2^.(1;) не зм!нюеться на всьому в!др1зку [0,1]. Посл!довним навантажуванням назвемо навантажування, коли спочатку функц!я АПШ зм1нюеться в1д нуля до свого максимального значения А®32 при Аа=0, а пот1м при ф1ксованому Д®3^ змЛнюеться значения функцП Аг(Ъ).

ФункцП Дп(1), Д^.(I) на кожному монотонному 1нтервал1 вважалися л1н1йнши. Розрахунки показукггь, що при пропорц1яному навантажуванн! розв'язання контактно! задач1 не зэлешть в1д вигляду криво! навантажування.

В робот1 наведен1 граф1ки розпод1лу дотичних контактних зусиль при взаемодП нескЛнченного цил1ндра 1 п1впростору, плоского штампу 1 нап1вплощин, кул1 1 п!впростору, круглого плоского итампу 1 п!впростору при пропорц!йному 1

посл!довному навантажуванн1, коли в!дношення величин зовн!шн!х навантажень Р-^/рРу (?х/цР2) зм!нюеться в!д О до 1.

ПорхЕКюючи результата, можна зробити висяовск про _як!сн! !_к!лък!стн! в!,цм1нност1 пол!в дотачних контактних з.усиль при даних !стор!ях навантажування. £ точки, в яких значения зусшгь значно в1др1знямться. 1х р!зниця с! досягае величин порядку р'^. Наприклад, пор1вню:очи результата при пропорц!яному 1 посл1доеному навантажуванн! для випадку взаемодИ нэск1нченного цш1!ндра 1 п!впростору величини А/р^32 нзбузають сл!дуючих значены 0,6 (Р„/р.Р.,=0,25); 0,93 (Рх/цРу=0,5); 0,75 (Р^рР^О.'/б).

В п'ятому параграф! четверто! частини ,на прикладах розрахунку контактно! взаемодИ неск1нченного цилХндра 1 п1впростору, плоского штампу ! нап!вплощини показано залежн!сть енергИ дисипацИ при взаемодИ т1л в!д !стор!1 навантажування.

Розглядались пропорц!йн! 1 посл!довн! замкнен! цикли навантажування. Наведено пор!вняння значень енергИ дисипацИ при контакта!й взаемодИ, у вигляд! граф!к1в 1 в1дношення плош, петель гХстерезису.

В шостому параграф! четверо! частики розглянуто розв'язання задач! про вдавлювання кул1 в пружнии п!впрост!р п!д д!ею нормального 1 дотачного навантажування. Т!ла взаемод1гать з кулоновим тертям, навантажекня прикладаеться посл!довно - Аа(1 етап), Дх(2 етап), Ду (3 етап) 1 вважаеться л!н!йним. Розв'язання ц!е! задач! в Л!терэтур! по контактных задачах автор не зустр!чав.

Нормальна взаемод!я розглядэлась в четвертому параграф! третьо! частини. Для другого етапу навантажування наведено розпод!л дотичких зусиль Ру на поЕврхн! контакту на л!н!ях

у=сопзи; для третьего етапу - розпод!л дотичних складових контактного тиску Р^, Ру вдовж ос! х. Побудован! област1 контакту, зони зчеплення и проковзування.

В сьомому параграф! четверто! частини розглядасться узагальнення чисельного алгоритму на випадок пружно-пластично! взаемодИ т!л.

ОСНОВН1 РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ

1. Розроблений чисельний алгоритм розв'язання контактно! задач! теорП пружност! з урахуванням тертя та !стор1! . прикладення зовн!шнього навантажування для просторового, плоского ! осесиметричного випадк!в, коли взасмод1юч! т!ла апроксимукггься п!впростороми (нап!вплощинами).

2. Цей чисельний алгоритм застосований для розв'язання просторових, плоских, осесиметричних задач контактно! взаемодИ при р!зних !стор1ях прикладання зовн!шнього навантажування: нормально монотонне, нормально немонотонно навантажування, розвантаження при нормальн!я взаемодИ т!л, д1я нормального 1 дотичного , нормального 1 дотичного цикл!чного навантажування.

3. Досл!джена залежн!сть разпод1лу пол!в контактних тиск!в, зон проковзування та зчеплення в!д вигляду криво! навантажування при р!зких !стор!ях прикладання зовн!шнього навантажування: нормальне монотонне, нормальне немонотонне навантажування; розвантаження при нормальная взаемодИ т1л, д!я нормального ! дотичного навантаження.

4. Розглянута залежн!сть дисипзцП енерг!! в!д посл!довност! прикладання навантаження за повний замкнений

цикл навантажузэння.

OGHOBHI РЕЗУЛЬТАТА ДИСЕРТАЦИ 0!ГУБЛИ{СВ/ш1 В РОБОТАХ

1. Петршин Ь.И., Бокий И.Б. Алгоритм приближенного решения о давлении квадратного в плане гладкого ¡втампз с плоским основанием на упругое полупространство // Устойчивость и прочность элементов конструкция.- Днепропетровск: ДГУ, 1986.- С. 38-41.

2. Александров А.И., Бокия И.Б. Числошюэ решение плоской контактной задачи теории упругости о взаимодействии тел с проскальзыванием и сцеплением // Металловедение и прочность материалов.- Волгоград: ВолгПИ, 1989.- С. 18-22.

3. Вокий И.Б. Применение метода граничных элементов для решения плоской уяругопластическоя контактной задачи с кулоновым трением / Ин-т геотехн. мех. АН УССР.- Днепропетровск, 1991 .- 9 е.- Деп. в ВИНИТИ 19.11 .91 , N 4325.

4. Александров А.И., Бокия И.Б. Решение задачи контактного взаимодействия упругих тел с учетом трения и истории нэгрукения / Ин-т геотехн. мех. АН УССР.- Днепропетровск, 1992.- 7 е.- Деп. в ВИНИТИ 28.02.92, N 668.

5. Бокий И.Б. Решение осесиммэтричной контактной задачи взаимодействия упругих тел с трением / Ин-т геотехн. мех. АН УССР.- Днепропетровск, 1993.- 7 е.- Деп, в ГНТБ Украины 22.10.93, N 204б-Ук93.

6. Бокий И.В., Александров А.И. Постановка контактной задачи взаимодействия колеса и рельса с учетом трения и пластических деформация // Математическое моделирование' в прикладных задачах.- Днепропетровск: ДЖГ.1993.- С.33-39.

Бокий И.Б. " Решение контактной задачи о взаимодейст! двух упругих тел с учетом трения и истории пригоже! внешнего нагружения ". Диссертация на соискание степе кандидата физико-математических наук по специальное 01.02.04. - механика деформируемого твердого тела, Днепр петровский государственный университет, Днепропетровск, 1S

Разработан численный алгоритм решения контактной зада с кулоновым трением, основанный на сведении ее к систе нелинейных операторных уравнений относительно неизвести контактных усилий на поверхности соприкосновения, когда те аппроксимируются полупространствами или полуплоскостям. Исследована зависимость распределения полей контакта давлений при различных историях нагружения на пример, решения пространственных, плоских, осесимметричных задач.

Bokiy I.В."Solution о! the contact problem between ti elastic bodies with the friction and tne history extern; loading": The thesis lor candidate's degree of the phisici and mathematical sciences in profession 01.02.04 - mechanic of deformed so^ii^s, Dnepropetrovsk State University, Dneprc petrovsk, 1995.

Numerical algorithm has been worked out ior the contac problem with Coulon iriction. The problem yeilds a system с nonlineal operator equation in the unknown normal and shea tractions on the contact surfaces when the bodie approximate as hall-spaces or half-planes.. The distributic dependence of the contact pressure fields at the divers hystory loading has been investigated on exemples of tli solution of the space, plane, axl-symmetrie problems.

Ключов1 слова: контактна задача, тертя, проковзування зчеплення.

Усл. леч. листов 1,12. Тираж 90. Зак. 114. ДГШ, Миронова, 15