Решение навигационных задач в условиях неопределенности из залучення непозицiйних систем залишкових класiв тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

АКАДНШ НАУК УКРА1НИ СРДША ТРУДОВОГО ЧЕРВОНОГО ПРАПОРА ШСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 531.383 + 681.142.01

На правах рухопису ОНЩЕНКО Серг1й Михайлович .

РОЯР.'ЯЗУВАННЯ НАВ1ГАЩЙНИХ ЗАДАЧ В УМОВАХ НЕВИЗНАЧЕН0СТ1 13 ЗАЛУЧЕННЯМ НЕП03ИЦ1ЙНИХ СИСТШ ЗАЖПКОВИХ КЛАСЕВ

01,02.01 - теоретична механ!ка

Автореферат * дисартадН.на здобуття наукового ступэня доктора ф1эико-ма тематичяга наук •

Ки!в - 1992

Робота виконана в Ордена Трудового Червового Прапора 1нститут! математики АН Укра1ни

0ф(ц1йн! опонента:

доктор ф!эико-математичнлх наук, професор ПАРУСНИКОВ М.О.,

доктор техн1чних наук, член-кореспондент АТН Укра!ни СИНЬКОВ М.В.,

доктор техп1чншс наук ТКАЧЕНКО 0.1.

Ведуча орган{зац{я: 1нститут проблем механ!ки АН Pocti.

Захист в1дбудетъся 22 грудня 1992 р. о 15 годия1 на зас1даня! спец!ал1зовано1 ради Д 0IS.50.02 при Хнотитут! математики АН Укра1ни за адресов: 252601 Ки1в~4, МОП, вул. Терещенк1вська, 3.

3 дасертац1ев момш ознаПомитися в г>1бл1отец! (нотитуту

Автореферат роз!слано " " 1992р.

Вчений сЬкретар слец1пл180вано1 ради

дата А.Ю.

pp.". -

ЗАГАЛЬИА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисерт8Ц|йна робота присвячена розвитку алгоритмt4Horo шляху п!двищ8ННЯ точност! i над!йност! безплатформнкх ¡нерц1аль-них нав1гац|йних систем (Б1НС).

АкзуалыПсть. 1дея автономного (iнереального) визначення координат «¡сцеположеяня рухоыого об'екта в безплатформному ва-р!ант! повн!стю базувться на загальних положениях теорП шер-д1ально! нав!гацн - визначення географ!чних координат об'екта шляхом ДЕократного !нтегрування величина його прискорення без застосування будь-яко! сторонньо! ¡нформац!i. Для вимрювання прискорення здавна використовуються акселерометри, котр! необидно або стабШзувати в осях вюйдного координатного базису з допомогою ripocKoniB (под1бна схема була запропонована в 1905 р. Р.Вуссовим), або якклеь чином визначати ор1ентац1ю ix вим(рю-вальних осей у вих!дному базисi. Остання задача вир1щуеться в безплатформн!й cxet.u гнерц!ально! нав!гацП шляхом !нтегрування к1нематичних р!внянъ Ейлера чи Пуассона !з застосуванням показа датчик!в кутово! швидкост! об'екта.

Прогрес, досяглутий в останн! роки в галуз! створення нових прец!з!йних датчик!в прискорення (акселерометр!в) f кутово! швидкост! (ДКИ1), а також бортових обчислювальних засоб1в (ЕЦОМ), дозволяв fстотно наблизитися до безпосередньо! розробки та вико-ристання безплатформикх 1нерц1елышх нав1гац1йних систем (Б1НС). Акселерометри в Б1НС кр!плятЬся на корпусi об'екта 1 ix просто-рова ор!ентац!я обчвслветься в Щ0',! зг!дно з к!нематичшши р!в-нянняш Б1НС !з застосуванням показань ДКШ. Показания акселеро-метр1в гпсля в1Дповщшцс перетворень в структур! динам 1чних (на-в!гац!йних) ргвнянь Б1НС дають мохлив1сть обчислювати поточн! значения лШйно! швидкост! та координат об'екта. Таким чином, р!вняння функц!ввашш Б1НС (дал! просто р!вняння БГНО) склада-ються 1э двох труп, Перпу утворюють йав!гац!йн1 р!вняння, як! е р!вняннями Ньютона руху центра мае чутливого елемента акселерометра ! подан! або в !нерц!альному триграянику й , або в географ 1чно!иу координатному базис! £ , або в рухоммх осях ц , коротко зв'язаняих з Об'ектом, або в будь-як!Й Imai2 опорн!й

систем! координат. Другу трупу утворюють к!нематичн! р(вняння Ейлера чи Пуассона обертання об'екта (або зв'язанного з ним трк-гранника ц ) в!дносно 1нерц!ального простору (тригранника £ ) чи Земл1 (тригранника 4 ). При цьому ЫНС реал1зуе в!дпов!д-но трьохкомпонентну чи двохкомпонентну схему !нерц!альних нав!-гац1йних систем^ШС).

До первваг ЫНС мокна в1днести простоту й над!йн!сть 1х схемяих реал!зац!й (власне ЫНС схладаеться з датчик!в 1 ДОМ, яка обробляе 1х показания), пор!Бняльну дешевизну виготовлення й експлуатац! I. До недол!к!в - п1двшцен1 вимоги до точн!сних пара-метр!в датчик!в (особливо ДКИ), причому й акселерометри ! ДКШ повиня! мати стаб!льн! л!н!йн! характеристики в досить широкому робочому диапазон!.

3 моменту появи перших 1НС до г!роплатформ ставились як до гамчасового вар!анта конструкцП, необх1дного й неминучого, доки не будуть створен! досить точнГ датчики л!н!йних прискорень 1 жутових пшидкостей.

Майбутне, безумовно, належатиме ЫНС. Зараз не викликае су-мн!в!в, що подальше реальне зменъшення маси, розм1р!в ! вартосх! 2НС, спрощення 1х конструкцП й Шдвшцення над!йност! можлив! лише при в!дмов! в!д карданового п!дв!су.

Тому будь-як! досл!дження з теорН ЫНС здаються досить ектуалъними.

В!домо, що 1нформед!йн! датчики Б1НС (акселеромвтри 1 ДКШ) шить 1Еструментальн! похибки, причину 1ндуцировая! ними похибки ЫНС 8 часом накопичуються. У цьому зв'язку виникае актуальна задача п1двищуваши точност! визначення м!сцеполоаення судна (його географ!чно! широта I довготи) тдяхом вир!шення проблеми корекц!! похибок ЫНС с допомогою додатково! |н$ормац!1 не!нер^ ц!ально1 прйроди. Ця проблема становить особливий 1нтерес для п!дводних об'ект!в, як! перебуваять в реким! тривалого похай. лого плавания в экватор!! Св!тового океану.

Можна вказати на два основних шляхи п!двищування точностI Б1ВС: !нсгрументальниа (рсзробка б!льщ точяюс датчик!в I пвре-творввач!в, б1льш над!йних ! шбидкод!ючих ЦОМ) 1 алгор!тм!чний (створеяня б!льш ефективних иетод!в перетворення та обробки 1н-фрмэцМ).

До алгор¡точного напряшсу розвитку теор! 1 БШС звичайно в!дносять виб!р алгоритма функц!ювання система, селекц!ю к!не-матичних параметр!в, розробку цових обчислювальних метод!в, систем зчислення й арх!тектури ЕЦОМ.

Цей иапрям не залежить в!д технолог Кних можливостей прила-добуд1В1ШХ п1дприемств I дозволяе на сучасШй !нструментальн1й баз! значно п!дв1:вдти точносн! мокливост! Б1НС шляхом вдалого вибору р!внянъ П функц1ювання, усгйшного вир1шешш задач! ко-рекц1I ¡1 похибок I, що також немаловакно, в!д засобу кодування числово! 1нфорт.ац11 в БЦОМ.

Мета робота - показвти доц1льн!сть I велик! можливост! за-сгосуванля нетрадиц!йного засобу кодування числово! !нформацП (непозищйно! систсми залишкових клас!в - СЗК) в теор!I (нереально! нав1гад!1 (закрема, для гг!двшцеяш точяост! й над!йност! розв'язання нав!гац{йних задач в Б1НС).

У цьому напрямку в робот! здхйснюеться:

-анал!з р!зних к!кематичних параметр!в ! обгрунтування найкращих з них для застосування в СЗК;

- виб!р форми подання р!внянь збуреного руху й р!внянь похибок БШС, зручних для застосування СЗК;

- розробка конструктивного методу синтезу асиштотично ст!йких спостережник!в вектора стану р!вяянь похибок БШС в л1-я1йяои»у I нел!н1й!юг."у яар!ангах з ураяуванням несферичност! Зе-мл! та нел!н!йних вим!р!в позиц!йно! !н$ормацН;

- обгрунтуваннй перехресно-паралельного засобу обробки систем р!внянь БШС зниженого розм!ру в паристих каналах спец!ал!-зовано! ЩОМ, побудовано! на баз! СЗК з комплексно-спряженими основами;

- розробка конструктивного методу синтезу нел!н!йних систем стаб!л!зац!1.

Методи до сложения. Застосовуиться кватернЮнне та слеши Гал!льгока, апарат параметр!в ?одрига-Гам!льтона, Кейл!-Клейна, явадриплекснюс чисел Лша, теор!я звичайних диференц!йних р!в-нянь I систем з (мпульсяою д!ею, апарат матрично! алгебри, тео-р!я ст!йкост! руху, ярямкй метод Ляпунова, теор!я пор!вкяль, те-

ор!я лишк{в, методи математичного моделювання на ЦШ.

Наукова новизна результат!в:

- доведена усп!шна реал!зовн!стъ алгоритм 1чного шляху п!д-вищуваност! точности, над!йност1 й швидкодИ вир1шення нав1га-ц!йко! задач! (визначення координат м!сцезнаходження морського судна, його швидкост! й кут!в хитавиц!) на основI Е1НС з вико-риотанням комплексно! форми подання 11 р!внянь 1з залученням нетрадши Иного засобу кодування числово! 1нформацП - СЗК, що обумовлюе своер1дну арх!тектуру спец1ал1аовано! ЩОМ;

- показана моыив!сть подання не Т1льки к!нематнчних р{внянь БИС, але й I! динам1чшк р!внянь в кватерн1онних в!добраяеннях вектор1в, в кваз1ун1тарних матрицах другого порядку, компонента яких мають структуру параметр!в Кейл!-Клейна, в г1перкомплексних числах Люша, теор!я яких стосовно р!внянь Б1НС ие чекае свого розвитку;

- показана непередбачуван1сть вплину прмдусового нормування напрямляючих косинус!в, параметр!в Родрига-Гам!льтона та Кейл!-Клейна на гочн!сть визначення кут!в ор!ентац11 як у б1к аб1ль-шення, так ! у б1к змекьиення !х похябок;

- побудовано у явному вигляд! вектор додатково] твидк!стно! й позиц1йяо1 1нформацП для Б1НС, причому твидк}стна 1нфорыац1я зн!малась з корабельного лага неперервно на протяз1 всього часу духу судна, а позиц!йяа - надаодала еп!зодично на к!нцевих 1в-тервалах часу, коли корабель проходив кр!аь пол1гоня з в!домов др1дномасттабнст картою грав!тад1йного геополя, 1нтерпольованою куб!чниш базовими сплайнами;

- запропоновано конструктивна метод синтезу р!вном!рно асимптотично ст!Екого спостереяяшса вектора стаду нел!н1йних р!внянь погибок Б1НС э урахуванням несферичност! Земл! та нел!-н!йних виы1р!в позиц!йяо1 1нформацП;

-як нетрадиц1йний спос!б кодування числово! 1в$ормацП за-пропояовака яепозиц1йна система залишкових клас!в в попарно спряженими комплексшми основами, що допускав гаусове 1воморфне воображения комплексна р!внань ЫНС у д|йсну область Я , за-безпечуе паралельнв виконання ыатематичних операц!й в паристих каналах ЩОМ при наявност! перехресних зв*язк!в усередин! пар 1з

8нижешям за рахунок ш>ого м|н1цум на третину розм!ру систем р1внянь, що 1нтегруютеся в кожному канал!, й дозволяв п1двивдтм но т1лыш ИЕИДКСЩ!» рлкоцашм математичних операц!й на 40* 75$ в яор1анянн1 з поаиЦйнов (дво!чною) сист^.тю л!чби { в серед-кьетэд на 21$ в пор1вндкн! з 1 ногами вар!актами д!йских СЗК, аде й одаочаоно аабаспечита високу над!йн!сть е)числквань;

- побудована ?амкнена система {зоморфних в:дображень у €2}

- аапроподовано конструктивний метод синтезу нел!н!йних «затем отабШаацЦ,

Наукова значущ1сть. Обгрунтовано новий напрям по викори-отанню непозиц!йних систем л!чби в теорП !нерц!ально! нав!гацП та запропоновано конструктивний метод короткого синтезу нел!н!й-шпс систем стаб!л!зацП й спостерекення.

Практична ц!нн!сть. В межах алгор!тм1чного п!дходу забес-лечувться значне п!двищенля точност!, над(йноат1 та швидкодП розв'язку нав!гац!йно! задач! - визначення координат м|сцедере-бування морського судна, його швидкоот1 й кут)в хитавид! шляхом використаши нетрадкц!йних метод) в кодувания чиодово! 1нформац|1 в БЦОМ, застосування г1пвркомш1еконих чиолових оиатем I запропо-нованого конструктивного-методу короткого синтезу аоимптотичяо ст1йкого спостережника вектора стану р1вняш> иохибок Б1Н0.

Здобут! в робот! результата могуть бути викориотан!; ?

- в облает! н22!гац1! рухомих об«ект|в р1зноман!тних тип!в, ио мають на борту Б1Ш (морсыМ надводн! судна ! п!дводн! човш, л}такл, ракети, космИн! оуцутнмет)!

- в динам!ц! тяккого твердого т!ла з нерухомою точкою;

- при роээ'яэанв! задач опоотвреяення Я керуэаняя духомиш

об * СКТВШ!;

- у робототехн!и1,

Рбал1зац|я результат^ досл1джень, Робота виконувалась дй-овртантом у в1даоо!дноот! а плавом яауково-досл!днтс роб!т в!д-Д1лу мв*ан1ки ! пронес!® керування 1нституту математики АН Укра-1ни, починают з 1975 р, II оонови! результата вв!йшля до яауко-ййх зв!т!в по ВДР! "Грэвптон" (1975,1977р.р.), Тастеете-УН"

(1980р.), "Десна" (1985р.), "Равнина-УН"(1985,1986р.р.), "Риг-веда-АН" (1987,1988р.р.), "Сигма" (1988р.), "Салгир" (1989р.)

Апробац(я результат!в. Основн! положения дисертац!йно1 робота допов(дались i обговорювались на 1У Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (м.Ки1в, 1976р.); Ш Всесоюзной Четаевской конференции по устойчивости двиаения, аналитической механике и управлению движением (мЛркутськ, 1977р.); П Всесоюзной школе-конференНии "Математическая теория навигации и управления движущимися объектами" (м.Цахкадзор, 1981р.); У Всесоюзной конференции по управлению в механических системах (м.Казань, 1985р.); на XI (1978р.), Ж (1982р.), Х1У (1984р.), X/ (1986р.), ХУП (1990р.) Научно-технических межведомственных конференциях, посвященных памяти Н.Н.Острякова (м.Лен(нград); У Всесоюзной конференции "Океанотехника-85" (м.Лен!нград, 1985р.); 1У Всесоюзной школе-конференции по ВШС (м.Осташков, 1987р.); У1 Всесоюзном совещании "Управление многосвязными системами" (м.Суздаль, 1990 р.); Республиканской конференции "Динамика твердого тела и устойчивость двияеяия" (м.Донецьк, 1990р,); Ш Всесоюзной школе-семинаре- "Динамика, управление полетом и исследование операций" (м.Клин, 1990р.); 1У Всесоюзной школе-семинаре "Математическая теория навигации и управления движением" (м.Феодоскя, 1990р.); Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики" (м.Саратов, 1991р.); на сем!нарах по "Теории управления и оптимизации" (1989р.) 1 по "Механике систем твердых тел и гироскопов" (1992р.) в ИМ РАН (м.Москва); сем!нар1 "Управление в механических системах" в МДУ (1989р.); сем!нар! по "Механике, навигации и управлению движением" в Саратовському фШал! Шаш АН Pocii (1991р.); на заседаниях Ки!всько1 секцП "Совета по навигации и управлению АН СССР" в Хнститут! к!бернетики АН УРСР (1982,1985,1986,1990,1991 p.p.); на сем1нар! по мехая!ц! та процессах керування в 1нститут! математики АН Укра1ни (1975-92р,р.).

Цубл1кац11. По тем! дисертацП опубл!ковано 30 роб!т автора, в тому числ! монограф!я "Применение гиперкомплекешх чисел в теория инерциальной навигации. Автономные системы". - Киев: Наук.

думка, 1983.-208с.

Структура й об»ем диоертацП. Дисертац!йна робота викла-дена на 237 стор!нках машинописного тексту, т1шув 6 геблиць, 6 малюяк!а ( складаэться 1э вступу, трьох глав, зак!нчення, списку л1тера!ури, що включав 217 наименувань, 1 додатка.

На захист виносяться таи! результати:

- подання динам Иних р!внянь Б1НС у кватерн!онних воображениях вектор!в I в комплексних матрицах другого порядку;

- ззстосування в кватерн1онн!й та комплексно-матрич!Нй формах к!нематичних р!внянь Б1НС зам!сть параметр}в Родрига-Гам!льто~ иа компонент вектора к!нцевого повороту, вектора ор!ентацП та параметр!в Ейлера;

- к!льце ' квадриплексних чисед в адитивн!й та ьульти-пл!кативн!й параметризацП комплексними числами - як нов! к!не-матичн! параметри 1 1х аналоги для динам! чних р!внянь Б1НС;

- результати анал!зу р!внянь Б1НС;

- непередбачуван!сть впливу пршусового нормування к!нема-тичних параметр!в Б1НС на похибки кут!в ор1ентац!!}

- явний еигляд вектора вим!р!в позиц!йно! 1нформацИ в по-л!гонному вар!ант! засгооування грав!тац!йного геополя;

- конструктивней метод синтезу асимптотично ст!йкого спос-тережника вектора похибок Б1НС при нэвизначешпс похибках в систем! ! у вим!рах;

- застоеуваннл в комплексних алгоритмах ЫНС модулярно! арифметики з попарно спряженими комплексними основами !з залу-ченяям гаусового переходу у д!йсн!й прост!р ;

- повна система (зоморфних в!добрахень в гаусов!й модулярн!Й арЩиепщ!;

- конструктивней метод короткого модального синтезу систем Мбнвтонно! стаб!л|ящ!1;

-розв'язакня нелШйво! задач! стабШзацМ математичного маятника у верхяьсму, кест!йкоглу полозенл! р1вно£агв з ураху-ванням !нерц!Йпост! кврувайня.

основний даст роюти

У в с ту II 1 формулюеться постановка задач!, в!дм!чають-ся переваги ! недсшки Б1НС в пор1внянн! з платформними IHG, об-груятовуеться актуальн!сть теми, вм!щувться стислий опис струк-тури I зм!сту дисертац!!.

Перша глава присвячена анал!зу р!внянь збуреного руху автономиях Б1НС, поданих у р!зних координатних базисах з ураху-ванням несферичност! Земл! при застосуванн! р!зних к!нематичяих параметр!в,

Традиц!йно р!вняння фунвд1ювання Б1НС подаються у векторн!й

форм!

Иы civ * -

3F=V' W"' (I)

Тут v - геоцентр!чний рад !ус-вектор центра мае (точки О ) чутливого елемента (ЧЕ) акселерометра, V - вектор л!н!йно1 швидкост! й a - вектор уявного прискорення центра п!дв!су ЧБ акселерометра, ^ - вектор прискорення сили земного тяж!ння в точц! О , 4к - орт к-I Bicf поступально перем!щуванного координатного триграняика 4 , Bicf , к=1,3, якого в будь-який момент часу t залишаються паралельними в!дпов!дним в¡сям ££ абсолютно нерухомого (!нерц!ального) триграника з початком в центр! Земл! (точка О* ), вiссю 4* , напрямлен!й вздовж вектора U* добового обертаняя Земл!, й двома в!сями I

4 * ,що лежать у площин! земного екватора i напрямлен! на не-рухом! з!рки; оз - вектор абсолютно! кутово! швидкост! об'екта; точкою позначена операц|я диференц!ювання у ЗЕ'язан1й з об'ектом систем! кчординат £ s початком в -точц! О .

В, дисертац!! викорнстовувться ще одна система координат -геоцентричний триграняик С , зв'язаниЯ !з Землею, що оберта-етъея, причому його в!сь напрямлена по геоцентрпчн!й вертикал! м!сця (уздовж рад!уса-вектора г ), а в!с! <1 , ^ в!дпов!дно по дотичних до паралел! на Сх!д I до мер1д1ецу'на Швн!ч.

Перш! два р!вняння системи (I) звичайно називають динам!ч-ншш, оск!льки вош е аналогом р!внянь другого закону Ньютона руху центра мае (точки 0 ) ЧЕ акселерометра, записаного у форм! Кош!. Оста ни I три р!вняння звуться к!немагичними.

Для повноти викладу в дисертацИ подаються к!нематичн! р1в-няння Б1НС а параметрах Ейлера е, ( е - орт в!с! Ейлера, ^ - кут плоиянного повороту), через вектор скаченного повороту

О , який сп!впадае за лапрямком з ортом е в!с1 Ейлера ! р!в-ний за величиною подвоеному тангенсу кута Ейлера , ! через вектор ор!ентац!1 £ , «гай такой сп1впадаз за напрямком з бртом е, але за величиною р!вний кузу ^ ейлерового повороту.

Вса б!льшо1 популярном! набувае, особливо в алгоритмах БХНО, такий к!нематичний параметр, як кватерн!он. При цьому ви-явилось, що на т!льки к!немагичн{, а й динам!чн! р!вняняя Б1Ш мокна'подавати в кватерн!онах.

Так, впкористовуши зам!сть геометричних вектор!в р ,, зо-бракених у р!зних координатних базисах у вигляд!

р=И р> - Е р7 ^ = £ р^ , (2)

!х кватерн!онн! аналоги.

(3)

складеа! а проекц!й них вектор!в у в!дпов!дних системах координат, але в1днесен! до кватерн!онного базису ¿к , е=1,3, моййа динаи!чн! р!вняния ЫНС записати в кватерн!оня1й форм!. Вудемо мата

|

% - |</?с° Кг ,

, ^ (4.в)

На в!да1цу в1д кватерн1онних виобракень /?р> Ц, , ^ , I у виглад! (3) в!дпов!дно вектор!в г', у , д , &

I О. на будь-який координатний базис 9 = {4, ^, в

р!вняняях (4) кватерн!они Л 1 К звуться власними кватернионами перетворення, в аналогами матриць ортогональних перет-ворень вектор1в I визначаються формулами з з

А~Я0 + ПлкСк, К~кв+Цкк1. , (5)

причому спряжен! з ними кватерн!они Л* , К* мають вигляд

А+-яе~Елкск, к+=кд-Г,ккг . (6)

* * и кч К *

1х компонента Л5 , , 5 =0,3, звуться параметрами Родрига-Гам!льтона й п!длягають умов! норцуваняя

е 4 - Е - / •

Певна р!ч, д!нам!чн! р!вняння ЫНС (4) треба замкнута к1не-матичяЕми р!вняннями в!дносно власних кватерн!он!в перетворення А ! К вигляду

¿(.К'&^-^Ю . (8)

Яйцо скористатися кватерн!онними воображениями В , ф , X орта ейлерово! в!с! 0, вектор1в ск!нченного повороту $ 1 ор!ентацП $ , то в!дпов!дн! ¡м кватерн!онн| к!нематичн! р1в-няння ЫНС матимуть вигляд

£* > (э.й)

В р!вняннях (4), (8), (9), кр!м ранш прийвятих позначень, "о" - символ кватерн!онного множення ! У(Х) = /. = Г2 норма кватерн!она д . 7

Треба зауважити, що динам!чн! р!вняння Б1НС у кватерн!онн!й форм! (4) Сули опубл!кован! у робот! автора [31 в 1980р., а к!яе-иатичн! р!вняння у вигляд! (9) - в!дпов!дно в робот! [ 28 ] .

Завдяки !снуючому !зоморф!змов1 м!ж алгеброй кватерн!он!в К I алгеброю &2х2 комплексно* матридь другого порядку динам!чн! р!вняння Б1НС припускають зображення у вигляд!

{ №1)М(г72)] + т^), (10>0)

| Ги^тау- ж^л + «г^;-* /и&г,; ; IV ^=^ и'с^Л + мчс), (ю.в)

т^)*>1[Щ№и>4)- + + ШШа^Чк)

а доповненням 1х в1дпов1дтми к!нематачшшн р!вняннями

(II.а)

|[Ыктю^-т^тш]; <п.в>

ш -1 [меш^!- л^л'ле; ] v

+1 с^ 41 { + С^йй^* 1Щ)Ме>] №},(П .в) 1У(&) - - у Г Ш ;+делу ме; ] 4

w(e) - ±fтете/у- ww2)w(e)] + way; ш.г)

[ЩрМюг) - тю^шр] + ^ c^ -

V*

1Ут iWiJ, ИШ6 SL(2,(D ) - ун!модулярн! ун!тарн! матриц! другого порядку над (£ , що в!дпов!дають власнш кватерн!онам (5) f мають таку структуру:

VHv)'

. t (12)

через W* позначена матриця, ерм!тово-спрякена з W , що в!дпов!дае спряжении кватерн!онам (6).

Як в!домо, умова pfl = 0 в кватерн!он! р вид!ляе в -К п!дпрост!р К0 уявяих кватерн!он!в (г!перкомшшксних в!до<5ра-жень вектор!в (3)).; В1дпов!дн! 1м матриц! W(p) магаь вигляд

тру*

*Рз -Pz+iPl

(133

Нарешт!, матриця V/ в!д скалярно! величина в (II.в) визначаеться виразом Wifif.) *» JT-.' Iг , де - одйнична матриця другого порядку.

Оск!льки для кошонеат матриць (12),(13) виявляються слуш-ними сп!вв!двошеняя

(14)

(рискою тут позначена операц!я спряжения по уявн1й одиниц! г = /~-Г ), то без пом|тних трудноц!в можна траасфорчувати р!в-няння ЫНС (10), (II) з С2,г в €гж1 I €3г1 , що й 5роб-лена в дисертацН,

Використовуючи процедуру Кейл!-Д1ксона, можна шляхом однократного подвоення комплексных чисел комплексними числами побу-дувати г!перкомплексну систему четвертого порядку над полем або систему другого порядку над <С . Знайден1 таким чином числа В.В.Люш запропонував назвати квадриплексшаш. 1х алгебра!чний ав'язок з комплексними числами € , к = 1,2, мояна зо-

бразити простим адитивним сп!вв!дношеншт|

э

Дв

V ¿о+Ц е Ч > (15)

2 £ у 2.2

1

5

Б!дношення р!вност! в звичайно задаетхся поелементно.

Додавання, в!дн1машш й множення квадриплексних чисел у в!дпов!д-ност! з (15) п1дкоряют'ься в € законам, справедливим для комплек-сних чисел.

В комутативно-асоц!атив1гацу к!льц1 И $ кожному квадрип-лексному числу € в!дпов!даоть три спряжен!: С - по ^ , с -по та б - по й ц одночасно, причому на в (да! ну в!д норми комплексного числа 2 ** О * « Ь , яка мае едино можливий виглц Шг)айг1-ё2 , норма квадркплексиого числа

« ¿2 ) з допомогою елемензарних перетворень

у к!льЦ1 Иц ыогна зобразити к!лькома екв!валентшаш виразами. Маем»

М) « Г, **„ - Я, + - $2Я V а?)

ДЙ

р1 - ^ - ¥г >'•

Норма МО нев!д*емна, мультипл!кативна I в!дпов!дно до (17) завжда виявляеться складовим числом. На в!дм!ну в!д N(1) вона обертаеться в нуль не т!льки при { = О, але й при

- д!льник нуля. В останньому випадку, як видно з (18),

^ = (19)

(у р1вностях (19) треба брати або верхн!, або нижн! знаки) ! для д1лышка нуля 1° маемо вираз

1ц-* * ±{1%2{д=(е0+{}С1К1± Щ) . (20)

Зг1дно э визначенням, елемент {" 4 0 к!льия зветься д! льняном тля, яйцо для нього моасна вказати якийсь провокупчий елемент с 4 0 £ Иц такий, що $ = 0.

1з (20) випливае, до вам!сть С завжди можна використата Г або V .

Цяя )/С<£ 0 , 1снуе обернений елемент С'1 =

- Ш/МС ) = ( Н ^ ЦК^ГЧ е

Мложливе д!лення в к!льц! ¿^ зг!дно з формулою ¿/гп £ттт/М(т) .

Квадриплексн! числа под!бно до комплексних мають показову I тригонометричну форму, зручн1 для виконання в к!льц1 I- ц опвра-ц!й множення, д!лення, п!днесення до степеяя, вибуток кореня, ло-гариф^ування.

Принципова можлив!сть поданяя нор-га квадриплексного числа у виглед! Н(С)- г^г^ разом з II &ультипл!кативн!стю дозволяю» не т!льки едитивну, а й мультипл!катлвну параметризац!» числа ( , так що вар!вн! з (15) видаеться молиивим подавати { £ ]■ також у вигляд! об'едяання двох мяоясин комплексних чисел, формально вили ниих своШи уявними одиницями <7 1 %г . у результат! будемо матп

I 4 Г-н^г/е - Сй,) и Си2)

(21)

причоц/ в (21) €(ъг) I

В|ДП0В|ДН0

{* = хдх2 + Х1х1хг + {гхах3г, 12х,: х3 , (22)

а пор!вняння (15) з (22) приводить до сп!^в1дношень ¿о°*хохг » 4е V*. {2~ХвХу , .

Таким чином, квздришгексп! числа с являють собою цульти-пл!кативцу абелеву груду без д!льник!в нуля, причоц

Р1вняння Б1НС можна подати в квадриплексних матрицах розм1ру 2x2. "Год! вони будуть мати структуру, аналог!чцу (10),(II). Але б1лъи зручною здаеться 1х векторно-матрична форма у матрицях

Р1вняння Б1НС у квадриплексних числах, але у трохи 1ншо вигляд!, н!а наведен} у дисертац!!, були опубл!кован! в 1982 роц! в робот! автора [ 5].

Анал!з р1зних форм р!внянь Б1Н0, виконаний в перш!й глав!, дозволив.перш за все зробити так! висновки загального характеру:

- застосування векторних р1внянь Б1НС можливе не т!лыш в анал!тичних досл|даелнях, айв машиниих алгоритмах. При цьому до пам'ят! Е10И необх!дно вводити правила скалярного ! векторного множення орт!в обрано! системи координат, в як!й повинн! подава--тися вс! геометр!чн! вектори розглядуваного алгоритму. Част! звер-тання до цих правил, на жаль, !стотно знижують швидк!сть виконан-ня.обчислввальних операц!й. До того ж иеобх!дно мати на уваз!, що геометричн! вектори утворюють некомутатнвне к1льце з внутр!шн!м (скалярним) 1 зовн!шн!м (векторним)нвасоц!ативним множенням 1 з д1лытками нуля, (для скалярного мяокення - цэ будь-як! ортогональ-н! вектори* для векторного мнояення - будь-як! кол!неарн! вектори). Ус1 ц! властивост! л!н!йного векторного евкл!дового простору Ш

еж я!як не спршшть широкому використанню гешетричних вектор!в в машвяяих алгоритмах;

- у б!льш виграшноцу становищ! виявляються кватерн!они. За-вдяки в!домо?/у дуал!зму кватврн!ошшх одинлць, як!, а одного бо^, в операторами обертаняя, а з {ншого -ортами реального тривим!рно-го векторного простоит, кватерн¡он ввльми зручний при досл!джеял! Мнематики й дипям!ки БШС, особливо при опис! дек!лькох сосл!-

довних поворотов. Правда, к!яцевий результат о<5числювань в нав!-гац!йних задачах краще мати в напрямних косинусах або в иутах Ейлера (Ейлера-Крилова), а тому той виграш в об'ем! обчислещ., котрий забеспечуеться застосувашшм кватерн!оц|в при посл|довних перетвореннях координат, у деяк!й м!р! зменьпуеться в результат! зворотнъого переходу в!д кватерн!он!в до вих!дних кут!в Ейлера-Крилова. Однак при певних умовах (коли, наприклад, цей зворотний перех1д не реал!зуеться на кожному кроц! обчислювань) переваги застосування кватерн!он!в незаперечн! й дозволяють скоротити чао обчислень на 2($-4($;

- дешо г!рше виглядае справа з р!вняннями Б1НС у квадрип-лексних числах. Вони мають во! переваги ! недол!ки комплексно! форми р!вняш. Б1Н0, однак при переход! до модулярно1 арифметики виникають, по-перше, проблеми з побудовою повно! системи лишк!в у к!льц( И ^ , обумовлен!, можливо, тим, що не можна застосу-вати як модуль квадриплексне число з простои нормою (не !снув квадриплексного числа, норма якого була б простим числом). Подруге, хоч в к!льц! справедлива фундаментальна теорема Гауса !, як насл!док, моеливий перех!д !з к!льця ¿Ц в к!льце ц!лих д!йсних залишк!в, однак 1зоморф!зм цього переходу порущу-еться д!льниками цуля (20). У цьо^ зв'язву - б!льш оатим|стич-нога.виглядае ситуад!я з мультипл!кативною групою квадрип-лексних чисел (21) без д!льник!в нуля, але при иному залишавть-ся в!дкритою проблема подання р!внянь В1НС а культипл!кативних квадриплексних числах €*£ .

Щодо к!нематичних р!виянь Б1НС, то найб1льш поширеними к|-нематичними параметрами в них до недавнього часу були кути Ейлера-Крилова. Вони не потребують додаткових р!внянь зв'яз^/, однак р!вняння Б1НС виявляються нел!н1йними в!дносно ус!х трьох кут!в ! Ейлера I Ейлера-Крилова, Еотребувть виконання тригономет-ричних операд!й 1 припускать виродження, через ио 1х використан-ня не заввди доц1льн«.

Застосування в к1нематиц! Б1Ю параметр! в Ейлера О , , вектора ск!нченого повороту в ! вектора.ор!внтац!1 $ таксис призводить до нел!н!йних р!вняяь з особливими точками.

К1нематичн| р1вняння Б1НС в напрямляючих косинусах - л!н!й-н! ! регулярн!. Правда, вони мають найб!льщу розм!рн!сть - дев'д-

тай порадок I 1х нвобх!дно доповнювати ш1саашр!вняннями зв'яз-

Тому сЛлъш перспективними сл!д вваяати параметр« Родрига-Гам!льтона Л^ , j = 0,3. Вони також не аироджуються при будь-

якому положена! об'екта, в насл!док чого г^нематичне р!вняння

(23)

не мае особливих точок I виявляеться л1н!йним. У ньому для зручност! поэначено

О

-со.

иг<

Ч

Ц) ]

игш=

О

-со,

ЮЪ

ь

О со

Ь

(24)

с0и О

( Т- означав операЩю транспонирования матршхь).

Зауважимо, що параметр!в Родрига-Гам1льтоца воього чотири, чощ воет п!длягавть одному р|вшшню зв'язку - углов! нормування

1 .

ятл

(25)

К!нематичн1 р1вняння Б1Н0 у параметрах Кейл!-Клейна, подав! у векторно-матричн1й форм! у простор1 (Сц , також мають л!н!йний вигляд ! е регулярними по сво!х зм!нних. До того я вони розпадаються на дв! системи другого порядку: на векторно-матрич-яе р!вняння

ИТ(ЛЬ | (У'ЦмШ, ЩШ]Т (26)

! на р!вняння, спряжене з ним. При цьому р!вняння (26) маз най-ызншпй розм!р ! повинно доповнюватиоя лише одним р!внянням зв'яз-лу - угловою нормування

&Г(А) И?(Л) 1 • (27)

ЗрозуШло, цо кошлексний характер р!вняння (26) практично позбавляе його ц!з! перевагн, бо переписавши його в!дносно д!йсно! ! уявно! частая вектора-стовпця ьО~(Я) , прийдемо в результат! до векторно-ыатричного р!вняняя (23) четвертого порядку У Д!йсншс параметрах Родрига-Гам!льтона. Однак мохливост! числового кодувавйя р!вияння (26) у вепозщ!йн!й систем! залиш-. ковях клас!в (СЗК або модулярн!й арифлетиц!) дозволявть в сие-?

тем! залишк!в переводити його з комплексно! у д{йсяу область, збер!гаючи другий порядок.

Щодо анал1зу дивам!чних р!внянь Б1НС, то його результата краще демонотрувати на векторно-матричних р!вняннях, що мавть вигляд

•¡¡^-К,, *1±ай+АТа . (28.а)

а а и * а% •

>*.*= и7^)^* 1(28.в)

в!дпов!дно в координатних тригранниках 4 , 1 \ .

1з трьох систем (28) перевагу треба в!ддати р!внянням (28.6), в яких в!дсутнв на вход! перетворення показань акселерометра ортогональною матрицею (це перетворення мохе вносити додатков! по-гибки в сигнали акселерометра, викликан! зокрема, порушенням ортогональное! 1 матриц1 А ).

Моашш! модиф1кад11 р!вняяь (28.а), (28.в) у вигляд1

(29)

Г*-и (а^ъ^ уг ^ -ит(шг)

хоча й позбавляють несбх!дност! ортогональких перетворень пока-вань акселерометра, алз спонукають до сп!льйого !нтегхування р!внянь (29) з в!дпов!дними к1нематачними р1внянняш, що певна р!ч, п|двинув сумарняй порядок системи. Р1вняння % (28,6) можна {нтегрувати незалежно в!д сво!х к!нематичних р1внянь, а !х роз-в'язки виявляються зав'язаними лише формулами визиачення вторин-них координат - географ! чно! довготаЛ ! широта <р* м!сцеполо-кення об'екта, до масть вигляд

Г Т

, ^*тагст^± ,ъ (30) де через а^ , к = 1,3, позначен! к-1 стовпц! матриц! А , по-

дан!й у в1дпов!дшос к!нематичних параметрах (явн! вирази матриць Л наведен1 у монографI! автора [8]).

Сл!д зазиачити, що формули (30) не можуть реал! зодуватися в СЗК, оск1лыш операц!я д!лення в!дноситься до немодулярних опе-рац!й I I1 Еиконакня в СЗК супроводжуеться деякими труднощами. Тому проблема визначення пшроти <р* 1 довготи Я* м!сцеполо-гення об'скта вир!щуеться сл!дут>чим чипом; оск!льки довгота Л* обчислшться далеко не на кожному кроц! 1нтегрування р!внянь ЫНС, то II зручщшэ знаходити, переходячи, !з СЗК в деякий зм1-шаний пол!адичний код. При цьому заодно зд!йонюеться корекц!я числових результат!в, що забеспечуе високу надЫн! сть обчислень. При визначенн! широта <р* д!лення у друг!й формул 1 (30) можна позбутися, якщо заздалег!дь заотосувати в р1вняннях (28.6) без-розм!рну зм!нну аг^ = гц/г ,

Урахування несферичност! Земл! обумовило такий вираз грав!-

тац!йного прискорення ^ У зв'язано^ базис!:

> (31)

Дв з

* __(32)

о „ПV1 л аТ2(Я)гч а+ь

ь.'а+к /Ч г

л аг-Ьг

причому —р— - квадрат другого ексцентрвситету рефе-

рвяц-ел!псо!да Ф.М.Красовського з великою а ! малой § п!во-сями; 0 - глибина зацурювання; Д , - в!дом! безроз-м!рн! параметра; де - прискорення сили земного тяж 1 шш на ек-ватор! при нульовому зацурэнн! об'вкта к** 0 ; Г^ - сдинич-на матриця третьего порядку.

Такил чином, зд!йснений аяал!з дозволив, виходячи з особли-востей I мошшвостей СЗК, використата в дисертацП як базовий (контрольний) алгоритм реального (збуреного) руху Б1НС з ураху-ванням несферичност! Земл! в д!Ясному простор1 $ замшуту си стегну десятого порядку у вигляд!

а як основний (робочий) алгоритм рекомендувати р{вняння ЫНО

V-*' г%)*(г%Ь ШшгЫ(У%)+ , (34)

зобракен! в комплексному простор! С , де система (34) мае восьмий порядок.

В н!й, кр!м ран!ш обумовлених позначеяь (13), (26),

0 ■ %(р)'

И" 0 , ¡Мр) " Щ,(р)

0 Щ}(р)

Л

их

(35)

причоцу через ) позначений друтий стовпчик матриц! Лц

напрямленях косицус!в м!ж осями координатных тригранник!в 4 ! ^ , виражен!й у параметрах Родрига-Гам1льтона Л^ , к » 0,3.

Систеыи р!внянь (33), (34) необх!дно доповнити умовами норму вання (25), (27) I однаковиыи для обох систем вторинними формулами (30).

Зауваяшмо, що р!вняння (34) можуть бути одержан! 8 (33) шляхом Т -перетвореняя матрицами

» 1 О

О О i

-» / о

0%10 1 О О -I

о 1 о 10 0 1

-1

2

4 Л 1

I 0 I 0-10

0 * с§

О а

, ? 0

г Р *

о 1 * -1 \

(36)

»

так що

т^т-1 ■

"24

Ы'

т3игтГ'

Додаткове обгрунтувэння робочого алгоритму (34) функц!юван-ня Б1НС дають так1 таблиц!.

У таблиц! I наведен! к!лькост! операц!й додавання (£Г) , множення (П) ! присвоения (Г) , необх!дн! для обчислення на кожноцу кроц! !нтегрування право! частини в!дпов!дних алгоритм!в:

Л - поданого у кватерн!онах (перше р!вняння (8) .! р!вняння (4.6), Я - !з застосуванням параметр!в Родрига-Гам!льтона (система (33)), и} -у комплексних матрицах (система (34))» -алгоритм ьУ у СЗК.

Таблица I

Операц 1я Алгоритм £ п Т

Л 21 35 16

л 43 40 18

62 100 35

22 28 35

1з таблиц! випливае пом!тна перевага викорястання кватерн!-он!в в алгоритмах БШС нав!ть у пор!внянн! з векторно-матричними р!вняннямп (33) у параметрах Родрига-Гш!льтонз. На жаль, эа-стосування в кватеря1онних р!вня ннях БШС модулярно! а рифле теки не гарантуе 1стоанкх виграш!в по шввдкодМ викояаняя оперщШ в ЩОМ, в той час як використання комплексних р!внянь (34) з непо-зиц1йним кодуванням числово! !нфориац!1 ! переходом заадяки СЗК у д!йсний прост!р (останн!й рядок таблиц!) цю перевагу !стотно зб!льнув. .;.

В таблиц! 2 наводиться чао виконання в м!л¡секундах опера-ц!1 множення на ЦШ Ш-4 в р!зних числових системах з плавальною комов (аналог операцП мнокення в СЗК): I - ц!лих д!йсних чисел, 2 С - ц1лих комплексних чисел, Ж К - ц!лих кватерн!ов!в, - ц!лих квадриплексних чисел, 2 В - ц!лих б!кватерн!он!в.

Таблиця 2

СЫ-4 г 1С гк гк. 1В

í @.мс 0,119 0,969 3,109 3,257 12,325

1з таблиц! 2, наприкяад, видно, що за рахунок переходу в алгоритмах Б1НС !а комплексного простору 2 € з допомогою СЗК у Ж п!двипуеться швидкод1я т1льки по операцН мнохення майже в 8 раз!в.

В перпйй глав! м!ститься такон анал!з впливу прлмусового норцування таких к!нематичних параыетр!в, як напрямн1 косинуси, влася! кватерн!они, параметри Родрига-Гам!льтона I Кейл!-Ю1ейна, як! лрицускають у тоцу чи 1ншо&у вигляд! параметризац!ю Ейлера чи Ейлера-Крилова. Умова нормуваняя при цьому виракаеться в!до-мою тригоюметричною тотохн!стю

созга + - / . (37).

Доведена теорема: Тотожн!сть (37) 1нвар!антна в!дносно. будь-яких вбурень кута о( :

тг«х+х)+ ¿1п*(<х+х)=1 Ухе в . (38)

В!рнийвасл!док. Виконання умови яорлування (37) к!нематич-них параметр1в у вбуреноцу рус! не гарантуе усунення похибок в кутех Ейлера чи Ейлера-Крилова,

Иокна придусТити, що порушення умови норлування породау-еться появою р!вюцс похибок Х1 I х£- кута <х в косинус! й сицус! вираэу (38)» Тод! в!н приймав вигляд

I його примусове нормування вир!внш апостер!орпу (п!сля норту-вання) похибну у гута « в обох тригонометричгага функц|ях, причому за'язок у з апр!орними похибками х1у Хг визначавть-ся у випадау малоот! величия у , Х}, Х2 , й' формулами

' 9тХг\Ч* ■ (40)

Анал1з наближених (з точн!отк до величин другого порядок малоот! щодо X, , Х2 , у .{ й ) вираз1в (40) св!дчить про не-однозначн!сть впливу норьування р!вностей типу (39), а, отже, ! норцуючих процедур (25),(27) на величини похибок в путах ор!ен-тацП. Д!йсно, в залежност! в!д знак!в цута й ! похибки Л примусове нормування виразу (39) мохе призвести як до зб!льшен-ня, так ! до зменьшення апр1орних похибок кута ор!внтацП с< . Тому, виходячи з вимог забеспечення точност! вязначення кут!в ор!ёнтац!1, неперервне нормування к!нематичних параметр!в навряд чи можна вваяати доц[льним. Однак воно необх!дне для усунен-ня помилок неортогональност! (нев'язок <7**= -^ ).

У А р у г I й глав! дисертацН розв'язуеться задача корек-ц!1 похибок Б1НС (як! 1ндущфуються И неточною виставкою та 1нс-трументалышми похибками датчик!в) як задача спостереження з наступили в!дн!манням !з показань ЫНС оц!нок похибок I! вектора стану. Як модельн! р1вняння Б1НС використовуеться система (33), а р!вняння похибок одержуються у виглдд! р!зниц! р!внянь збурено-го I незбуреного рух!в.

Позначаоти точн! (незбурен!) значения величину , а)„ , а^ через и (2ц, а? ! покладапчи у~[Ат, г*^^]т,

ййу , р!вняння похибок ЫЕС можна отри-мати у псевдол!н!йному вигляд!

а

{та.) а о ¡т-х^ща)

О и7Ш,) и(ггхг)Е,(()

о о о ра) : .

2

42.а)

U(r7-xr)

U(v2 0

■CCy)

24

0

0

h , rr

0 ,0

Or ! h\>

l

(42.6)

0 -p P U(p)\

a метою економН м!сця не на-

(явний вигляд вираз!в if3l , *зг водиться).

Дотрицувчись г!потези про хвильовий характер збурень , ù flj, в систем! (41) використаний îx апр!орний розклад по базовик фуншиям fie К3х1

л = Efltip-t fa, ла2" Ez(t)fit fz , (43)

як!, в свов черту, зобраяуються р!внянням !м!татора збурень

fi~P(t)jb, Vt*Vj, (44)

J

Р!вняння (44) a !мгульсним впливом описують реашьний процес, що зазнае Шгульсного збурения на вход! системи у ф!ксован! момента часу t^Kj , j- 0,са . Ц! вбурення обмеяено! !нтенсивност!, под!лен! !нтервалами часу, тривалост1 f , так що tj ■= t0-t-jv ,

t = С,- сталими матри-

j«=Ô,oo , вадаоться в кокний момент часу

цями Bj е

як! разом г матрицами £

Lf j

et), к =

1,2, !

довженою !нтервалу V добираються експериментально за допомо-гою ЦОМ на !м!тац!йному стенд! для кожного датчика окремо, при-чому, як показали експерименти, похибки датчик!в мало залеяать в!д евол!ц1й руху об'екта, а виавачаються, головним чином, конструктив ними або технолог!чниыи недосконалостями.

В р!вняннях (43), (44) £, Р. 6 { £<,№, ЕгШ, РЦ), Р:

% , к = 1,2, > видадков! процеси, як! при вдалому экспериментальному добор! матриць , В^ , Р та !ятервалу часу е-можна покладаги геусовими центрованный б!лими пумами, максимальна 1нтенсивн!оть яких не перевипуе, як правило, значень

+ 10'

,-Э

Структура абуреяь (43), (44) дозволяв описувати невизна-

чен! !нструментальн! похибки будь-яко! природи.

Б!домо, що нав!гац!йн! похибки в будь-яких автономиях 1НС накопичуються з часом, тому для корекцП 1х показань необх!дна додаткова не!нерц!альна !нформац1я. Як така в дисертацП вико-ристовувалась швидк!сна I позшЦйна |нформацН.

Вважалося, що швидк!сна 1кформац1я доставляемся корабель-ним лагом, який вим!рюе швидк!сть судна V в!дносно водяного середовица у зв'язаних в!сях (лаг розташований на корпус) судна). Тому вектор вим!р(в швидк!сно! 1нформацН зображувався у вигляд!

нс=» Нса,у,х)л * г3 , (45)

де

нс - Нс = [и*и<гг~лгМ*, "*иГ(а2а)), 13, Е3Ш], (46)

- власна швидк!сть судна, яка доставляемся Б1НС, -показания лага 1 Л2 в!домим чином виражаеться через параметри Родрига-Гам1льтона Л^ , $ = 0,3. Кр1м того, в (45) застосовува-лась хвильова концепц!я збурень у вим1рах, коли похибки лага моделювались з урахуванням (44) р!внянням дг^^-^Шуб~ Тз » в якому по аналог!! з (43) Е3'. Т -*- Я?3ж3 , а вектор ^ зав-давався центровании б!лим цумом з в1домов матрицею ковар!ац!й й максимальною !нтенсивн!стп компонент, шо не перевищуе 10"'.

Як джерело позиц!йно5 (нформац!I використовувалось грав!та-ц!йне поле Земл1. Воно достатньо стале для досить тривалих часо-вих |нтервал!в; побудова грав!тац{йних карт набагато прост!ша, н!а карт поля рельефу морського дна; грав!метри працюють без шк!дливих випром1ю:вань, не потребугть екранування в!д власних пол!в об'екта, мають високу автбномн1сть ! захищен!сть в!д перешкод. I хоча 1х чутлив1сть ! точн!сть робота (порядку 2+5'ГО-3) на сучасяог.у р!вн! не дозволяютв грав!тац!йному полю виступати як единому точному джерелу нав!гац!йно1 1нфоршц11, а по !нфор-иативност! воно поступаетвся магн!тному, проте ц! недол1ки не можяа ввахати вир!шальними.

Е1льш того, Так! переваги грав!тац!йного геополя, як добре розроблена база апаратурно! реал!ззц!! прсцесу вим!р!в його на-пруженост! (чи напруженост! сили тяж!нпя), р1зноман1тн1сть дат-чик!в вс!ляких. тип!в, гарн! перспективп покращеняя !х точя!сних характеристик, зручна матемамчна апроксшац!я карт геопол!гон!в

висуяають грав!тац!йне поло Земл1 в наш чао на одне з першшс м( сць по застосуванню як над!йного джерела нав!гац1йно1 1нйор-мацП для рухомих морських об'ект!в, особливо п!дводних з три-валим часом автономного функц!ювання.

У Друг1й глав! дисертац! 5 розглядався пол|гошшй вар!ант застосува1шя позиц!йно! !нформац!1, коли розрахункова траектор1я об'екта перетинае 5 пол1гон!в , »> = 1,5 , р!зно! протяк-ност! й 1нформативност!, розд1лених в!др!зками шляху р!зно! дов-жини, на яких в Б1ИС надходить лише швидк!сна !нформац!я. Шсля перетину кордону чергового >>--го пол!гона додатково до швндк!с-но! починае надходити ще й позицШш !нформац!я.

Карти пол!гон!в, призведен! до р1Вном!рно1 о!тки, у вузлах яко! в ¡дома напружен1сть геополя, повинд! збер!гатися у пам'ят! ЩОМ. Для моделювання напрукеност! цього поля у будь-як1й точц! пол¡гона необх!дно завдалег!дь розв'язати задачу !нтерполяц(I: по задан!й таблиц! чисел ( Л*, <р*, Цц ) в!дновити фунвд!ю д(Л * (р*) , яка б приймала у вувлах с! тки значения фц . Задача 1нтерполяцП досить усп1шно вир1щуеться методом сплайн-функц!й, особливо при звертанн! до базових куб!чних сплайнов, посл!довн!сть яких на р!вном!рн1й о!тц! вузл1в на в!дм1ну в!д многочлен¡в Лагранжа завжди зб!гаеться до цукано! неперервно! фуякцП. Кр!м того, куб!чн! сплайни мавть и!кав1 екстремальн! властивост!, а при {нтерполяц!! $ункц!8 багатьох зм!шшх бага-товим!рн! сплайни можна розглядати у вигляд! тензорного добутку одновяы!рних сплайн!в, цо дозволяе у пор!внянн! в класойчнш а пара том многочлен !в дшогтися значного окорочення обчиелвваль-них витрэт цри . одночасшжу п1двииенн! точност! розрахунк1в.

Виходячи з них волокень, вектор вям1р!в позиц!йно! 1в$орыа-цП £„ на кохноцу поЯгон! Я^, »> = 1,5 » вадававеявиравом

Тут.

причому, через <ЦГ в (48.а) позначений вектор показань триком-понентного грав[метра з адитивною ¡нструментзлънога похибкою й , щомоделюеться виразом при Еч :

Т~*~ Р3х}! ^ - центрований б!лий пум з в1домою матрицею ко-вар!ац!й та максимальною 1нтенсивн!стю порядку 1нш1 по-

значення через 5х гром|здк!сть у явному вигляд! не виписуються.

Треба зауважити, що м!ж пол!гонами вектор вим1р1в визнача-вться лише швидк1сною 1нформац1ею 1 зобраяуеться сп1вв!дношення-ми (45), (46), а на пол1гон1 , »>=1,5, кр!м швидк1сно! в!н м!стить також 1 позиц!йну 1нформац(ю, а тому задаеться виразом

2 = H(t, f ,

Дв

г =

Г-

Гз

п

u¥UT(OgWi

E/t)

(49) (50.а)

. (50.6)

Застосовуючи р!вняння похибок Б1НС (41) I вектори вим!р!в (45) и (49), завдамо р1вняння стостережника вектора похибок БИС

X = F(t,y,x)x + К [z-H(i,y,x)£ J (51)

i в!дпов1дне йому р!вняяня похибок спостереження

:*-[Г(ЬцЛ,х)-КШу**,х)]х+ЩА*>Г*~кГ (52)

- систе\цг.трянадаятого порядку з вектором вин!р{в ?*"Ze виг-ляду (45) третього порядку Mis пол<гонами I повним вектором ви-м!р!в (49) шостого порядку на кожному Пол1гон! iFp , i) = 1,5 .

fWa^) О

о .

о

иЩ) и, щ)Е,а) чз~¥рзг Щ> Щщьща. О О PU)

и<?7) 0 Щ) I, 0 0

53.а)

u*{U(rfxr)A2+U(xr№t} VL*U\UL)) I3 tyt)

(53.в)

(53.г)

Явний виглед 1нших поз начета через iz гром1здк1сть ве наводиться,

Матрица п1дсвлення К спостералшика (61) похибок вектора стаду ЕШС назначалась в дасертацП !з умови р!вном1рно] асаш-тотично! cTifeocri трив!аяьвого розв'язку однор!дного р!ввяння ссошбок спостереаення

Х = [Яих)~кт,*)}х , (54)

В1дпов1дяого (52), причоцу забеспечувалось обов'язкове обдулення вектора Д ва кожно»у в!др!зку часу # м!я двома сус!дн!ми !м-цульсади в системI (44). При цьому матрица К будувалась методой короткого модального синтезу система ст8б|л!вац11 (54).

Заэдалег!дь ыатриця Ж у вигляд! (50.6) при виконанн! умоьи Viz Т подавалась у так!й блочн!й форм!:

(55)

де

Ж- [ я2з

VfWrj-^P^)^}

h %<*> 1 а J

U*a\(A))

VKrft-Kh

7

lis в!дпов!дав блочетй вигляд матрац! «Г

■г.

(56.а) м'

(56.Й)

л

rt1

л

Внайдена на першому этап! s допомогов модального п!дходу

(57)

матрица

+

M

-1

(58)

при деяк!й anpiopi за'дан!й р!вном!рно асимптотично ст!йк!й матриц! Л у вигляд !

Ч Аг (59)

.41 42. АА .

à—

8 блоками Лц, i,j= 1,2, в!дпов!дно! розм!рност!, не могла дал! !деяти$|1уватйся в систем!

-Л,

'12

■âo

(60)

гг1 "Vf ""22

з допомогоа процедури (57), оск!лыш одержан! при цьому умови модально! стаб!л!зац!1

не можна задоволънити: зг!дно з (56.а) в Кг —

rang - 4 < g . Доввлося на другому этап1 вживатп метод короткого синтезу систем стабШзацИ !з залучеялям додатно вязначэних квадратичних форм

V— хТ$х >0, W~xTQx Z0txTx, 30«x<*conste Rf , (61)

причому на будь-яшх траектор!ях системи (60)

V--W< О (62)

( V повинна бути в!д*емно визначеною фортов ! V- IV = 0 лише при * = О )

В досл!джуван!й задач! матриц! S3 ! Q коеф!ц!ент!в. квадратичних форм (61) виявилось мозливий заотосуватл у вкгляд!

V« "А

-аг т « -6

гг

т 12

в

22

=солз£, (63)

якжй дозволяв гарантувати 5х додатну визначен1сть при додатн1й визначеност! матриць , (¡2г 1 ДОвЬтьнгй матриц! ^ .

Тим самим, при ¡дентиф!кад11 матриць , ми в1дмови-лись в!д нам!ру в1днайти 1х таким чипом, щоб забеспечити зг1дно з (57) симетричн!сть I в1д'емцу визначен^сть матриц! коеф!ц1ен-т!в системи (60) (з точн!стю до дов!льно! кососиметрично! матриц! 5 ) .-Зам!сть цього розглядалась задача побудови таких матриць , як! б забеспечили асимптотичну ст!йк!сть ц!й систем!. При цьому матриця П коеф!ц!ент!в повинна у в!дпов1д-ност! з (62) задовольняги р!вняння Ляпунова

а(?-к%) + , (64)

з якого п!сля простих перетворень визначаються умови стаб!л|-зац!!

-* л .г* * .»1 т

(Кг +

у» 7*

"12 12 ^-"¿г

5

22 '

(65.а) (65.6) (65.в)

Д0

чу

Умову (65.6) завжди можна задовольнати матрицею » ЕИВ~ начивш !! методом кососиметризац!! у вигляд!

яйцо ааздалег!дь.зобразита II таким чином:

г

12К

О

(66)

(67)

'12 ""гг ~"22 г 1 ""«'и '¿^гг'

! пот|м упевянтись, що сп!вв!дношення (67) 8адовольняеться будь-якою кососииетричйов матрицею в22*= 2.£@гг)♦

Еод1бяим чином умова (65.а) вводиться до рекурентно! задач!

11>>

(68)

розв'язаняя яко! дозволяе визначити матрицю в явному виг-

ляд!.

В!дносно умови стабШзацН (65.в) треба зауважити, що з урахуванням (66), (68) 1? можна переписати у вигляд! ^гт^^г^гг" = Л¡Ц I задовольнитнся в I ль ними компонентам!

матриць ^12 , 0.22 г $22 I •

Таким чином, матриця К з урахуванням форлул (58),(66) на-буде вигляду

I влявиться суканою для спостережника (51) при робот! Б1НС на пагЛгон! ^ , \) = . Бона за л ежить в!д тридцати семи в! дь-

них параметр1в ( <}1 в ! 36 компонент дов!льно! матриц!

ва+Ъг* >•

Матриця п!дсилення Кс спостерешика стану Б1НС м!я пол!-гонами, коли застосовуеться лише шввдк!сна !нформац!я, може бути' одержана з (69) як частковий випадок.

Мал. 1,2 в)добралуе граф!ки зм!нювання похибок спостереяен-ия довготи ) 1 шроти (Хрг) м!сця положения корабля при роз-В'язанн1 задач! спостереження вектора помилок Б1НС на пол1гон! обсервацП по повному вектору вш1р1в (49). 1з граф(к!в випливав во синтезований спостережник стану (51) з матрицею п!дсилення (69) забеспечуе обнуления похибок спостереження через 20+30 сек п!сля надходження збургочого 1мпульсу, тобто в межах часового !нтервалу. % = 40 сек м!ж сус!дн!ми {мпульсами в Ытатор! збу-рень (44).

Повед1нка {ниих компонент вектора стаду системи похибок спостеренення Б1Н0 змальовувться кривими, под!бнпми до зобраяе-шх на мал Л, 2.

Для залишкових похибок спостереження Б1НС, обумовлених в (52) неврахованими стохастичними похибкаш датчик!в Г 8 Г» » У ДруПй глав! дисертац!! наводиться в!доме р1вняння ковар!ац!й

(69)

(KU) 1 - V N ,,

0 I w SD (сек) í

•1- !

Мал.I.

<*Ч)

i--

Xp*

is Sí»

•Usai 2"

а у випэдку вевизначеного характеру похибох f i ff (обмеже-них по норм!) на основi oiUhok Релея для квадратичних форм (61) одержан! експоневд!альн! оц!нки р!зних клас!в точност! для похи-бок спостереження Х- з (52).

J

У т р е т ! й глав! розглядаються деяк! обчислювальн! аспекта розв'язання нав!гад!й1шх задач на основ! Б1НС.

В сучасних ЕЦ0М традщ(йно застосовуються позиции! система зчисленяя (найчаст!ше - дво!чна). Вс! вони мають вельми 1с-тотний недол!к - зв'язок м!я розрядами, обумовленяй "правилом переносу" при переповнюванн! молодшого розряду, що ускладнюе структуру обчислювалъних засоб!в i обмежуе швидкод!й обчиотт-вальних процедур.

Тому ц!лком доречним здавались спроби побудувати системи зчислення, в!льн! в!д м!крозрядних зв'язк!в. Як одна з таких систем трупов чеських ! американсышх вчених була запропонована непозиц!йна система залишкових клао!в (СЗК), в як!й кожне ц!ле число зображуетъся набором залишк!в Ыд д!леняя цього числа на систему модул!в.

Основана на теор!! пор!внянь, вона, завдячуючи !снушому !зоморф!змов! операЦ1й додавання ! множення в облает! ц!лих чисел Z I в систем! ц!лих невтд'емних залишк!в, мае ряд при-вабливих переваг:

- Шдвицення швидкод!! обчислювально! процедурп, по-перше, за рахунок паралельного виконання операц!й по кожному модулю в нззалегших каналах при в!дсутност! перенос!в м!ж ними (у цьому випадау вельми ефектившм виявляеться застосування м1кропроце-сорно! техн!ки) !, по-друге, завдяки тому, що в трациц!йних ЩОМ на виконання операц!й додавання ! в!дн!мання п -значу-щих чисел внтрачаеться час, пропорцЦйий п , а на виконання множення - п2 , тод! як в модулярн!й арис[метиц1 коана з цих операц!й викогузться. за час, пропорц!йяий п . Тому чем б!льше токеиь в алгоритм!, там б1льшй виграт у пвпдкодН в результа-т1 переходу в модулярну арифметику.

- Шдвицення над!йност! обчислювалъних опервц!й при руае незначних апарачурних витратах шляхом гплучешш т доггом!гагах (контрольних) основ, причовд для виявлення ^ помадок в иоду-

лярноцу зобракенн! числа необх!дно виконашш умови т, > у-1 , а для виявлення 1 виправлення цих помилох в!дпов!дно т> 2д,-1 .

- Ыодулярна арифметика дозволяе водночас збЬтыщгвати 1 швидкод!ю 1 над!Йн!сть обчислювальних процедур. Справа у тоцу, ыо на баз! п кпкропроцесор1в ! у вих!дн!й позщ1йн1й систем! (наприклад, дво'1Ч1пй) можна забеспечити дуже високу над!й-н!сть ( а - кратне дублювалня розв'язання задач!), але при цьо-ку не вдаеться збиышти швидкод!ю (в кокному процесор1 задача буде розв'язуватися в дво!чн!й систем! при наявност! переносов м!х разрядами) 1 кавпаки, можна домогтися вигращу у швидкодП, РОзчленуьавс;и задачу алгоритм!чно на л частин 1 намагеючись обробляти IX паралельно, але нав!ть якщо под!бна декомпозиц!я

1 виявнться можливою, однак збглыаення шввдкодп буде судровод-яуватися невисокою над!йн!стю (помилка в будь-якому з процесо-р!в призведе до помилкового розв'язку вс1е1 задача). Зрозум^ло, в кожноиу конкретному вшадку мохе виникцути потреба в дослужена I промытого вар!анта з декомпозшПею на К/к частин (якщо вона моялива) з к - м дублюванням кожно! частини. I т!лъки в модушрпШ арифметиц! забеспечуеться водночас п!двщеиня швидкодП I над!йност! обчислювальних операц!й, оск!льки в процес! обчислгшань можна широко вар!ювати к!лъкостями робочих I конт-рольних основ пияхом переводу 1х з одн!е! груша до 1шю1. При цьоцу поьна система основ залишазться без зм!н, але зб!льшення к!льхост! робочих основ при в!дпов!дному зменшеннI контрольних знижуе над1йн!сть 1 швидкод!ю (час виконання олерацШ, особливо немодуляряих, пропорц$шйк1лькост! робочих модул!в), проте зб!лыцуе точн!сть обчислень (вона вворотно пропорц!йна величин! добупу робочих модул!в). Зменыцуючи к!льк!сть робочих основ (переводячи !х у контрольн!), можна, поступавчись в як!йсь м!р! точн1сто обчислень, зи!лыцувати !х швидкод!» ! над!йн!сть.

- Застосування СЗК дозволяв переходам з облает! ц!лих комплексних чисел до облает! ц!лих д!йсних аалишк!в. Цей пере-х!д в теоретичному в!дношенн1 8абеспечуеться в!домою фундаментальною теоремой Гауса, а практично найб!льш зручяим в теорП Е1НС виявлязтьед 'Вар!ант в комплексными попарно спряжешш основами СЗК. У цьему випадку poaf.ilр систем р!вшшь, що !нтегр/*- ■ ються в кожному з канал!в модулярИоI ВДОМ, вменшуеться, принай-

мн1, на одцу третину при переход! до д!йсно! облает! по спряжении основам (у nopiBHHHHt з розм!ром вих1дно! задач! в пози-ц!йн!й систем! зчислення), що й при перехресних зв'язках, як! з'являються м!ж паристими каналами,викликае пом!тне зб!льшення пшидкодИ.

- В СЗК в!дбуваеться подр1бнення д!апазону на п!дд!апазони меншого розм!ру з внконанням математичних операц!ü у кожноцу з них незалежно, причому, якщо в к - ыу канал! обчислення викону-

-------,------- , г 4 к ,-------„.опазон СЗК.

Зв!дси випливад рззюча "живуч!сть" СЗК: в!дмова будь-якого з ка-нал!в знияуе лише точн!сть обчислень, але не впливае на Ix пра-вильн1сть.

- Оск!льки в СЗК застосовуеться ц!лочисленна арифметика, то математичн! операц!I в н!й виконуються точно, без похибок округления, як! мокуть, як в!домо, при розв'язанн! погано обу-мовлених задач викликати неприемн! ефекти.

На жаль, в систем! залишкових клас!в в деяк!й м!р! скрутно з визначенням знаку числа, виконанням операц!! пор!вняння, зд!й-сненням контролю за невиходом !з робочого д!апазону, д!ленням чисел (кр!м випадк1в, ko.ni д!лышк е константою, коли д!лене кратне д!льнику I коли д!льник е взаемно простим з кожним модулем си стаи). Одяак труднощ!, що з'являються при виконанн! вка-заних немодуляротх операц!й досить yenitmo переборюються шляхом перетворення операнд!в !з модулярного зображення в деяку кваз!-позиц!йНу форму-код !з зм!шаними основами.

У трет!й глав! робота як вельми перспективну систему счисления в теор!! Б1НС пропонуеться застосувати вар!акт СЗК з попарно спряженими комплексними основами.

При цьому як р!вняння збуреного (реального) руху Б1НС вико-ристовувалась система (34), а як р!вняння спостережника - система (51) !э синтазованими матрицами п!дсилення Кс \ К , переведена в комплекзду область Т- перетворенням з допомогою мат-риць (36).

В таблиц! 3 наводиться результата в!дносного пор!вняння швидкодП розв'язання р!внянь Б1БС на одному кроц! !нтегруваяня в п'яти р!зних вар!антах реал'зацИ.

задач! зали-

Таблиця 3

Системи счисления ! плгоритми ПСС Базова СЗК: 1р СЗК: 2, СЗК: Жрг

st 2*А

ивидкод1я з над!йн!стю (1005?) 93,2^ 68,6?? 60, щ,

Швидкод!я без над!йноот! 51,$ 49, Щ. 37,2$ 25,55?

Модзлкшааня вккоцувалось на шести 32-б!тових м!кроироцесо-рах: чотирьох робочих I двох контрольних для чотирьох р^зних систем зчислеяня - одн1е1 позицхйыо! (дво!чяо! ПСС) I трьох не-позицШшх (базово! СЗК: Жр з р!знши д!йсними модулями; СЗК: , !зоморфно! СЗК: з р1зними комплексними моду-'

лями ! двома р!зними алгоритмами зворотиого перехода - стандартном Ш) I лодвоеним Л -алгоритмом (2*й) ; нарешт!, СЗК: ЖрЦ , ¡зоморфно! комплексна СЗК: и попарно

спрякенкми основами).

При щ,ому в ПСС 1 в СЗК: ш!сть процесор!в об'едцу-

вались у три паралельн! пари (тим самим в ПСС зд1йснювалось трикратнс дублювання обчислювань).

При моделювашО процесу забеспечення над1йвоог1 через кожи! десять крок!в 1нтегрування з допомогою датчика ввпадковвх чисел 1м! ту вались помилки в будь-якис двох вроцееорах 1э вести. При цьсму вшвилось, що якщо пошшш заявлялись у ороцееорах, ио належали до р!звих пар, то ная1ть трикратна дублювання в ПСО Н9 забеспечувало належцу над1йн1сть обчислювань, в той чао як у вс!х вар!антах СЗК вдлвалосв не т!льки гарантовавд ввявяяти, ала й виправляти ц! поыилки.

Анал1з таблиц! дав можлив!сть ствердаувати, ша запропоиована в дисертацН паралельно-перехресиа обробка р!внянь Е1НС в д!йо-н!2 СЗК: , 1воморфя1й СЗК: . коли в кожвсаду »а опа-

рених канал!в !нтегруються лише перш! два !з трьох чи чотирьох р1вшшь, а' яезайквут! зм!нн! в !х правих частина* аабвспечуютьсЯ !з сус!днього каналу, дозволяв зменышти порядок система в южному канал! 6 вих!дйого двйдцяти одного р!вшшня до чотарнадця-

ти, що разом з повною вщсутшстп перенос!в м!ж числовими роз-рядами I з найпрост!шим алгоритмом зворотного переходу дозволило СЗК: Жр1 забеспечити п!двищення швидкодП обчислювальних операц!й в пор!внянн1 з ПСС майже на 40^ при одночасноцу вияв-ленн! и виправляки двократних помилок г майже на 75^, коли по-милки в процесорах спегпально не моделювались (осташпй рядок таблиц!), Виграш по швидкоди у пор^внянн! з шшими вар!антами д!йсних СЗК склав у середньо»^у 21$.

В додаток ш!щен1: анал!з перетворень в гаусов!й модулярнШ арифметиц! I результати розв'язання задач! короткого модального синтезу нел!н!й1шх систем стаб!л!зац!1. Вони являють самост!йний !нтерес ! не мають прямого в!днопення до теорП ЕЕНС, Як модельний приклад розглянута нел!н!йна задача стаб!л!-зац!1 математичного маятника у верхньому, нест!йкоцу положенн! р!вноваги з урахуванням зап!знення (!нерц!йност!) в керуванн!.

- Таким чином, в дисертацП розглянут! основа! аспекта алго-ритм!чного способу п!двищення точност! ! над!йяост! робота ЕЕНС: виб!р алгоритму функц1юваЕшя (гдава I), розв'язання задач! корекц!! (глава 2), розвиток нетрадиц!йнпх метод!в кодування числово! !нформацП в спец!ал!зованих ЩОМ (глава 3), що сприяз комплексному розв'язашш проблеми, В!дм{чен! при цьому ц!кав! властивост! систели залишкових клас!в Характеризуюсь СЗК як вельми привабливу систему кодування числово! !гг§ормац!1 з до-статяьо оптим1стичшм прогнозом щодо моюшвостей II практично! реал!зац!1 в спец!ал!зованих ШШ.

Основн! положения дисертац!I опубл!кован! у таких роботах автора:

1. Онлщенко С.М. О применении непозиционных систем счисления в инерциальной навигации // Тр. Ш Всесоюз.Чегаевской ковф. по устойчивостл движения, аналитической механике и управлении движением, Иркутск, июнь 1977г. - М.: АН СССР, 1978. -Т. 2, С.23&-242.

2. Оншценко С.М. О гиперкомплексных числах в теории ИНС // Сб. докл. XI Науч.-техн. коп$.посвященной памяти Н.Н.Остряхова,

Ленинград, июнь 1978 г. - Л.: ЦНИИ "Румб", 1979. - C.II7-124.

3. Онищенко С.М. Применение кватернионов в инерциальной навигации // Навигация и управление движением механических систем. - Киев: Кн-т математики АН УССР, 1980. - С.65-83.

4. Онищенко С.М. Гиперкошыекскые числа и ex применение в алгоритмах работы ВШС // Математическая теория навигации и управления движущимися объектами: Тез. докл. П Всесоюз.шк., Цахкад-?ор, сент. 1981 г. -М.: Московский гос.ун-т, 1982.

5. Онищенко С.М. Применение гиперкомплексных чисел в алгоритмах работа ШКС // Механика гироскоп, систем. - 1982. - Вып.1.-С.53-67.

6. Онищенко С.М. Применение гиперкомплексных чисел в теории Н1НС // Навигация н управление. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982. - С.44-62.

7. Оншенко С.М. Применение системы остаточных классов в алгоритмах ВШС // Тез.докл. ХШ Науч.-техн.конф., посвященной

памяти Н.Н.Острякова, Ленинград, ноябрь 1982 г. - Л.: ЦНИИ "Румб", 1983. - С.98.

8. Онищенко С.М. Применение гиперксмплексных чисел в теории инерциальной навигации. Автономные системы. - Киев: Наук, думка, 1983. - 208 с.

9. Онищенко С.М. О применении непозиционных систем счисления в теории иневдиальной навигации // Системы навигации и управления. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983. - С.26-35.

10.Онищенко С.М. Применение системы остаточных классов в алгоритмах ццеадьной работы ШНС в комплексном пространстве // Механика гироскоп, систем. - 1984. - Выл.З, - С.95-100.

II.Онищенко С.М. Применение модулярной арифметики в вадачах ВШС // Тез .докл. Х1У Hayч.-техн.конф., посвященной памяти Е.Н.Острякова, Ленинград, июнь 1984 г. - Л.:ЩШ "Румб", 1985. - C.HI.'

12.0ншценко С.М. К теории ЕИНС, корректируемой по геополям // Тез.дом. У Всесоюз.конф. по управлению в механических системах, Казань,, июнь 1985г. - Казань: Казанский авиац.ин-т, 1985. - С.91.

13. Онищенко С.М. О применении модулярной арифметики в задачах ВШС // Системы курсоуказания и инерциальной навигации. -Киев: Ин-т математики АН УССР, 1985. - С.73-96.

14. Онищенко С.М. Задача коррекции по относительной скорости корабля в теории инерциальной навигации // Некоторые вопросы управления механическими системами. - Киев, 1986. - С.З-44. - (Препр./ АН УССР. Ин-т математики; 86.12).

15. Онищенко С.М. Субоптимальное демпфирование ошибок B1IIC по информации об относительной скорости корабля // Корректируемые навигационные системы. - Киев; Ин-т математики АН УССР, 1986. - С.51-66.

16. Ониценко С.М. О применении гиперкомплексных преобразований и модулярной арифметики в рабочих алгоритмах ВШС (обзор) // Тр. ХУ Науч.-техн.конф., посвященной памяти Н.Н.Остряко-ва, Ленинград, окт. 1986 г. - Л.: ЦНИИ "Румб", 1987. -С.15-21.

17. Онищенко С.М. К вопросу о нормировке параметров Родрига-Гачильтона в кинематических уравнениях движения твердого тела // Вопросы устойчивости и управления навигационных систем. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1988. - С.75-84.

18. Онищенко С.М. Монотонная стабилизация нелинейных многосвязных систем вторым методом Ляпунова // Управление многосвязными системами: Тез.докл. У1 Всесоюз.совет. Суздаль, март 1990 г. - М.: Ин-т проблем управления, 1990. - С.106-107.

19. Онищенко С.М. Жесткая монотонная стабилизация нелинейных механических систем прямым методом Ляпунова // Динамика твердого тела и устойчивость движения: Тез.докл. Респ.конф., Донецк, сент.1990г. - Донецк: Ин-т прикладной математики и механики АН УССР, 1990. - С.44.

20. Ошщенко С.М. Жесткая монотонная стабилизация е фильтрация нелинейных систем вторил методом Ляпунова // Динамика, управление полетом и исследование операций! Тез.докл. Третьей' всесоюз. школы-семинара, Клин, сент.1990г. - М. : Моск.авиац. нн-т, 1990. - 130 с.

21. Онищенко С.М. Яесткая монотонная стабилизация решений нелинейных дифференциальных уравнений пряшм методом Ляпунова //

. Методы исследования дифференциальных и функционально-дпффе-ренциальных уравнений. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1990.

- С.55-62.

22. Онищенко С.М. Жесткая монотонная стабилизация ЫШС вторым методом Ляпунова // Математическая теория навигации и управления движением: Тез.докл. 1У Всесога.школы-семинара, Феодосия, сент^ЮЭО г.-М.: Московский гос.ун-т, 1991. -С.23.

23. Онищенко С.М. Жесткая стабилизация нелинейных систем вторым методом Ляпунова // Фильтрация и управление в механических системах. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1991. - С.65-76.

24. Онищенко С.М. К вопросу о нормировке кинематических параметр-ров // Тез.докл. ХУН Ндуч.-техн.ковф., посвященной памяти Н.Н.Острякова, Ленинград, окт.1990г. -Л.:ЦНИИ "Румб", 1991.

- С.121-122.

25. Онищенко С.М. Кесткая монотонная стабилизация нелинейных систем прямым методом Ляпунова // Изв. АН СССР. Техн.кибернетика. - 1991. -й 4. - С.35-38.

26. Онищенко СЛ. Синтез ре1уляторов прямым методом Ляпунова

, для нелинейных систем жесткой стабилизации. - Киев, 1991,64 с. - (Препр./ АН УССР. Ин-т математики; 91,17).

27. Онищенко С.М. Синтез вторым методом Ляпунова нелинейных систем Еесткой стабилизации и наблвдетш в условиях неопределенности. - Киев, 1991. - 68с. - (Препр./АН Украины, Ин-т математики; 91.43).

28. Онищеько С.М. Решение задачи навигации (БИНС) вторым методом Ляпунова в условиях неопределенности, - Киев, 1991, - 72с.

- (Препр./ АН Украины. Ин-т математики; 91,44),

29. Онищенко С.М. Кесткая стабилизация подвикннх объектов // Актуальные проблемы прикладной математики! Материалы Все-союз.конф., Саратов, сент.1991г, - Саратор: Саратовский гос.ун—т, 1991. - Т.З. - С,305"310,

30. Онищенко С.М. О методических погрдщнрртяг уравнений функционирования платформенных И® пр^у^аадагического типа // Устойчивость и управление в мщсшиа^яскх системах. - Киев: Ин-т математики АН Укравд, 5Ш?..'- 0.42-49.