Решение плоских задач теории упругости для трехсвязных пластинок тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

II О О Й 9 %

дшнистпрстпо народного образования азербайджанской республики

азербайджанский технический университет

На правах рукописи

ИСМАИЛОВ МУЗАФФАР АББАС оглы

РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ТРЕХСВЯЗНЫХ ПЛАСТИНОК

(01. 02. 04 — Механика деформируемого твердого тела)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Г, Л К У - I 9 9 2

Работа выполнена в Азербайджанском инженерно-строительном университете.

Научный руководитель — доктор технических наук, профессор АЛИЕВ К. А.

Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук, профессор

БАХТИЯРОВ И. А.

— кандидат технических наук, доцент ШИРАЛИЕВ В. А.

Ведущая организация — Институт математики и механики АН Азербайджанской Республики

Защита диссертации состоится « &_» ^/фаЛ^Я^—

1992 г. в _'¿А._ часов на заседании Специализированного

совета К 054. 04. 02 при Азербайджанском техническом университете по адресу: 370602, Баку, пр. М. Азизбекова 25, ауд. 415 (1).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке АзТУ.

Автореферат разослан « ^ » ¿¿"/¿УЛ^_ ¡992 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета, доцент

Р. А. ЮЗБЕКОВ

о.-*. .

~ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ " "

Актуальность проблемы. Экономное использование матсриаль-ных ресурсов обязует науки, в том число механику деформируемого твердого тела, строго собладая прочность, надежность и долговечность деталей современных машин, аппаратов, конструкций, производить точные инженерные расчеты для минимального расхода материалов.

В связи с этим возникает необходимость создания эффектов- ' рак методов расчета конструкция и их элементов для обеспечения высокого уровня их прочности и надежности. В настоящее время всё натре используются плоские, шогосвяэные, однородные и кусочно-однородные детали с различными конфигурациями, полверженныо распределенным по контуру нагрузкам. Нередки случаи разруийния элементов конструкции при эксплуатации, которые в основном, .начинается в точках контура отверстий, так как вокруг точек контура отверстий возникает концентрация напряжений. Поэтому исследования напряженного состояния этих элементов приобретают •большое значение.

Целью работы является разработка рационального анолитичес-кого метода для решения новых задач по определению напряженного состояния однородных изотропных трехсвязных плоских тел различной формы, когда главные векторы неравномерно кусочно распреде- . ленных внешних сил, приложенных к каждому из внутренних контуров но равш нулю, а также от натяга в ряде составных плоских тел различной формы, состоящих из трех отличных друг от друга изо- . тропннх материалов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- развитие аналитического метода исследования поля напряжений для определенного масса плоских тел, находящихся под дей- • ствием нагрузки, неравномерно распределенной по контуру, когда главный вектор сил, действующих по отдельным контурам отличен

о? нуля, а также для определенного класса составных плоских тел,

соединенных между собой натягом;

- найдены решения множества сложных задач, которые рассмотрены в диссертации впервые; . «потоки

- разработка программы на алгоритмическом языке ФОРТРАН

' для определения напряжений'в рассматриваемых пластинках.

Методика исследования Пригонял теэргео функции комплексной nopenoHiiOii , наследуется напряженное состояние в рассмат-ршшенк плоских средах в ударном сочетании перехода к полярным координатам. Искоше дикции ищутся в виде степенных {ядов, коэффициенты которих определяются решением совокупности , некоторых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений - Е'2ЯАУ.

Практическая ценность работ заключается в том, что, во-первых^ разработала объективная методика решения достаточно сложного класса иош-ix задач, со-в_торых, полученные результаты представлены в ввде таблиц, графиков (епюр напряжений) и програм на ЭВМ.

' Всё это представляет возможность успешно использовать эти результаты в проектно-консгрукторских организациях и научно-исследовательских институтах при расчетах на прочность однородных изотропных-плоских тел различной формы.

Результаты диссертационной работы внедрены в ОКБ математи-• ческого моделирования с опытным производством при Институте математики и механики АН Азерб.республики.

Достоверность полученных результатов исследований подтверждается строгостью применяемого математического аппарата, высокой степенью точности удовлетворения граничных условий и совпадением результатов конкретных задач, полученных как частный случай из общего решения, с тоощишея результатами других авторов, полученных шшш методами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были заслушаны и обсуждены на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов АзИСИ с участием представителей производственных, научных и проектных организаций (Баку, 1987, 1990г.г.),на республиканских научных конференциях аспирантов вузов Азербайдшша (Паку, 1985, 1987г.г.), каредры "САПР в машиностроении" Азербайджанского технического университета,на научных семинарах кчфедри "Теоретическая механика" АоЙОИ.

Публикация» По материалам диссертации опубликованы 3 статьи.

Объем работы. Диссертационная работа содержит /66 страниц, включая 1в рисунков, /0 таблиц и список использованной литературы to наименовавши, а также i приложения.

На защиту выносится разработанная аналитическая методика решения задач определения концентрации напряжений в неко-■ торых трехсвяанчх пластинках различной конфигурации, возникающих от неравномерно кусочно-распределенных нагрузок, действующих на внутренние контуры пластинки, когда главнче векторы сил, приложениях к каждог.у. из контуров но равнм нулю, а также определения концентрации нащнжений з некоторых составных трехевлзннх пластинках различной конфигуратуш, возникает;!« от попажетшнх в них двух круглцх упругих колец из одинаковых и разных материалов, результата исследований, их анализ, достоверность, полз^энных решений и выводы.

Основное содержание работп. 0

Диссертационная работа посвящена разработке эффективного иетода решений рассмотренных задач с применением теории а>унк-ци^ комплексной переменной в удачной сочетанпи-с перзходом к полярным координатам.

решение задач теории утгругости о применением теории функции комплексной переменной нашло развитие в грудах многих отечественных и зарубежных учегагс, о которнх упоминается в диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, основных выводов, библиографии и приложения.

Во введении обосновывается актуальность тега, дается краткая аннотация диссертации, цель исследования, научная новизна, практическая ценность работа, достоверность полученных результатов, апробация результатов диссертации и вшосимыз на защиту результата разработанной методики.

Петзвая глава диссертации состоит из двух параграфов. В первом параграфе приводится краткий сбзор работ по плоским задача?.; теории упругости авторов,работающих в этой области.

Во втором параграфе изложзнн некоторые основные формулы плоской задачи теории упругости.

Вторая глава диссертации состоит из трех параграфов. В первом параграфе дается постановка задачи об определении напряженного состояния пластинки с упругой постоянной ге», представляющей собеЧ трехс!?я?ную область, оГрзниченну» снаружи посн:иобр?ачой крнзоЧ /,0 с полуосями О и (? , а изнутри

о -

симметрично расположешиш двугя круговыми отверстиями с одинаков: ОД радиусами

Наружный контур сьободйн от внешних нагрузок, на внутренние контуры пластинки и I*х, действует неравномерно кусочно-распределенная нагрузка, и главнчо взктори внесших сил, приложенных к каждсьу из контуров отличш от нуля.

Качало .координат поуенрно и центре кривой 1а , а центры кривой Ц и находятся на оси Ох. на расстоянии ¿1 и ¿^ от центра О , соответственно (рисЛ.).

• Уравнение внешнего контура ¿„ пластинки в полярных координатах наш бил.о установлен" в виде:

(I)

где

и

ОС

'¿I Ег- . _

Рис 1.

При { контур ¿0 превращается в окружность, радиуса RzQz "Р" в эллипс,а при остальных значе-

ниях Л контур 1„ сохраняет свою всськиобрлзну» форму.

с или, действуйте на контуры /у, \ изменяются

по законам • 6 '

Р ' / - ПР51 с/-

= | О при - (Х-<х.)< в2 .

Здесь: и полярное угли, Рву (У - 4 интенсивность внешних сил, /Э - максимальное значение '

/Для статического равновесия пластинки необходимо и достаточно, чтобы Х/+У-2 где <^/(0 - проек;?1и на ось ¿Заглавных вектороз внокт сил, действует;!« на ¿у (] - 2-

Для рассматриваемого случая проекция главного вектора при-Ч-ет вид:

У- = ("О^^Р *£пл) <з>

о

Как известно, определение напряженного состояния в датой области приводится и нахсгдснив двух аналитических функций ^ ) "-.'-"'зпснсг;: яере'кннсго, удовлетворяющих определенным условия:.:. Следует, ответить, что задачи, удовлетворяющие Э;П"еу::паата": условия.'-', достаточно изучены. Однако, в практике часто встречаются случаи, когда глазные вектора внепшос усилий, приложенные г- ггддо;:у контуру области, отличны от нуля. 3 нзетолцеэ нре»'я эти задачи гяло изучены. Б этом случае функции у и у(2У могут бить и шогозначными. Псэтопу отыскание функций ^[Тг) я ^-(Ъ-) Для однородных гногосвязних областей в виде стеггсншгк. рядов вызывает значительнее .математические трудности, связанные с разложением в ряд логарифмических функция.. '

Поэтому в диссертации для преодоления этой трудности использованы граничные условия первой основной задачи плоской

теории упругости & .

0>,:

¡гп) * ^*>/']- [¿гМтф

щ (о

где:

П(Л-± гЧ . ^ ) 1 гн' ?£)

-'уравнение внешнего и внутреннего контура пластинки,

а) о)

/7 » /7 ~ направляющие косинусы угла между нормалями к кон-$ ,■) ^УР^1 области и координатными осями соответственно.

проекции внешних сил действующих на данный элемент $ контура ^ | соответственно на координатные оси.

Силы, действующие на , направлены по нормали к этому контуру. Следовательно, для рассматриваемого случая инеем:

то>„«>. ^т

Г-гШ п \

I — заданные функции (I ~Щ)

Аналитические функции в рассматриваемой области взяты в следуицим виде: ■ -

?(2) = ~ ¿ ---[пГг-^^к а

к-1 ' . .

I

' +£ В £ Б ) (?)

/V - фиксированное число, выбор которого зависит от требуемой точности расчета.

Кое^уициентч О.к ' ^А- ' ¿^вещественные,

определяются из условия удовлетворения функций ' ^г^л у^г?7 краевым условиям ( '-).

Б третьем параграфа краевые условия после ряда специальных преобразований, с учетам внрлкений для ^С?) и тятся к :р?рмз, псззолявсрй сравнить коэффициент« при одинаковых степенях ссствзтетлуючих перементтх. Таким образом, определение иекок»« коэ^1я.?юнтоз &к ) вн> вК) Ак> Вц, сводится к реяеин» совокупности лести групп вэадп'освяэаннчх бесконечно систем линеГ:н'-гх алгебраических уравнений - 1Х1ЛЛУ пря заданных относительных размерах,совместным решением' кото-р;;х опредол.тэтея численные значения упомянутых коэффициентов.

Число удсрч1,ш,1х урапнрчий зависит от требуемой точности расчета..

Пчеле определения ксо^чгдоигссв '> > >

- ю -

определяются приближенные) значения искомых функций У/^/ и % затем по известной формуле Колос ова-!.!усхелишвили находятся компоненты напряжений <5^-, и •

Далее, с целью облегчения численной реализации полученных решении на основе БСЛАУ и по формуле Колосова-Мусхелппзили разработана программа на алгоритмическом языке ЗОРТР.АК, которая дает возможность определить необходимое количество равнений удерживае)21х из БСЛЛУ, чтобы получить расчет с требуемой точ-. ностью, что важно для инженерной практики.

При помощи этой программы можно решать численные примеры для ряда конкретных задач, вытекающих как частный случай из полученного общего решения.

Для иллюстрации полученного ращения рассмотрены численные примеры дня следующих конкретньх данных:

1. Восьмиобраэная пластинка, ослабленная двумя сш.кетрич-Ными круглыми отверстиями

2. Эллиптическая.пластинка, ослабленная двумя симметричным! круглыми отверстиями

осЭе-2;0?-

3. Круглая пластинка, ослабленная двумя симметричными круглыми отверстий®.

£=о,5-сс, эе-2,о-Р-

При этом и'з каждой группы БСЛАУ выделено соответственно (13; II; 8) первых уравнений (всего 78, 66», 48 уравнений) и, . совместным решением их найдены величины.искомых коэффициентов разложений, а затем вычислены компоненты напряжений <5~г , б^ в характерных точках сечения, пластинки.

Следует отметить, что при возрастании индекса найденных коэффициентов их величины, резко убывают, что свидетельствует о хорошея'сходимости полученных решений. _ .'

Найденные, компоненты напряжений в характерных точках пластинки сведены в таблицы и для наглядности построены эпюры • этих напряжений. •

Степень точности найденных аналитических функций определя-ет.ся из удовлетворения краевым условиям задачи. Установленоч

что наибольшее отклонение значений найденных аналитических функций не превышает 0,56$.

Третья глаза посвящена реиенгао задачи упругого равновесия воскообразной пластинки с двумя несимметрично расположенными на оси Ох круглыми отверстия».™. В эти отверстия посредством натяга посажены кольца из материалов, отличающихся от материал**, пластинки.

' рассмотренная однородная изотропная пластинка с упругими константам, ? представляет собой трехсвяэную об-

ласть. 30 , ограниченную снаружи восьмиобразной кривой , с полуосями о. и £ , а изнутри несимметрично расположенными па ' оси Ох. окружностям и й радиусами 2", и . 3 отверстия и ¡л^ пластинки запрессованы шайбы с упругими константами , эе^ О 'г>в виде круглого кольца с внешними, радиусами г, и и внутренними и соответственно (рис.2).

Составные части пластинки обозначим через S0 , S'f, ? Аффиксы центров кривой Lj соответственно обозначены чо-pea ^ (j=oTlf) (где ^ г,*г3 = £,, =

Скачки сектора смещения ка и ^ обозначены через tT Vl о Z2- Предполагается, что их направления совпадают соответственно с направлениями радиусов и .

Составная пластинка подвержена внутреннему равномерно распределенному давлению с интенсивностью ft (j - f,£j

Требуется определить поле напряжений указанной пластинки с учетом напряженной посадки и действующих внутренних даплз-

ниц PjU-M)-

Определение напряженного состояния в указанной составной плоской среде сводится к нахеткдешш трех пар функций J и

ifc- (?) (¿2 О, £) комплексной переменной ^--Jc-fL'J^ регулярных соответственно d областях S0 , S, , S2 и УДОплетворя-' тощих следующим краевым и контактньш условиям на L- г О, Ц _)

Ш + Hb) =0

I О)

Щ +Ш) г ** о

ф 10

J о '

_i<¿(7) -ш Li &-О (

где: t - аЬопкс точки Онеизве-

стные постоянные, одно из них можно пиксировать произвольно (Со-О ), а остальные определяются в ходе решения задачи.

Пскспю, регулярные п. области ^ С .¡- о^х) тункг;т и у/-(2) у определяющие поле 1!.гпргл;ен;п1 в рс.ссют-

ргатзкой ".оегавной ялпстгонге, прсдсговлеш в воде:

ЧД « = 1 «Г с IМ сш ю

чу.

<№)=£ а':'с 2. С (Л)'

а функции'^(.Ю с учетом замени

и б?^' соответственно коэффициентами; ¡Ь^' ( ЕР

та:;ке определяются в виде (12)^(14). _ ' к

1!еиэвее?ныс коэффициенты а'кЛ, ё*', А , з £ * ' ( / = 0,х. ) , С К^Л, 1,Ъо») определяются из услопн-т 'удовлетворения фикциями Ц^.(г) краевым и кон:-сл.:г.".м условиям (О)г(П). -Краевые и контактные условия после некоторых-математических преобразований с уютом выражений для ^(г) и Ч^Ш О^А^ сводятся к форме, позволяющей сравнить коаффициеиты при одинаковых степенях соответствующих переменных.

Аналогично главе П, для данной задачи получено 14 групп взаимосвязанных БСЛАУ относительно искомых коэффициентов..

Для иллюстрации полученного решения пластинка принята из стали, а шайба из меди или из стали. При задании относительны:', размерах, упругих характеристиках,, натяг'. рассмотрены численные примеры, когда составная пластинка имеет форму восьмисфа-.'.-

ную, . оллипса или окружности, соответственно при следующих данных:

= , = сГг, £0, ■ ^ - г. -0,3,0} ^ - ¿г Д¿/¡О*МО

- ¿¿-¡ом«, хв - £,оо?

1.x-0,5, £-0,50,2=6

у у^-У^-У^Г-

С целью контроля и сравнения полученных результатов, а также подтверждения достоверности ~?н\-Э1'о метода раса:

рена как частный случай одна характерная задача, вытекающая из общего решения, яри следующих данных: •

'г-, <?=з=д /г^-зл-'о

Эта задача другш.5 методом при тех же данных решена др; автором в работе Д/.

д/„Гусейнов Х.И. К вопросу определения поля напряжений в : котошх состагшх плоских кусочно-однородных де1 лях,с _диненных „ме/ВДУ собой напряженной посадкой.-В кн: Матер Y Респ. конф.молодых ученых по математике и механике вяленной 25-летию образования ЯЛ АН Аз.ССР (21-24 198 Т.П. (Механика)

Баку, "Элм", 1984, с. I07-III.

Сравнение результатов показало, что они практически совпадают (наибольшая погрешность в опасной точке составляет 1,05$).

ОСНОВНЫЕ ВИВОДЫ:

о

1. Разработана новая эффективная и удобная для инженерной • практики методика решения еле,дующих задач:

а) исследование напряженного состояния плоских трехсвяз-ных тел, когда главные векторы внешних неравномерно-кусочно распределенных контурных сил в отдельности отличны от нуля, с использованием преобразованного вида граншшого условия первой основной плоской задачи теории упругости.

б) исследование напряденного, состояния плоских тел различных конфигураций, ослаблешшх двумя круглыми отверстиями, в которые посажены кольца из других материалов.

2. Используя преобразованный вид граничных условий, можно решить определенный класс плоских задач (однородных многоспяз-ных областей) в полярных координатах, когда главные векторы внешних сил, приложенных к каждому контуру не равны нулю,.

3. Для решения всех задач, рассмотренных б диссертации, в конечном итоге разработана универсальная программа на ЭВМ "СМ-1700", позволяющая-бистро определить поле напряжений в плоских деталях.

Кроме того, разработанная программа дает возможность определить необходимое количество уравнений, чтобы получить расчет с требуемой точностью, что важно для инженерной практики.

4. Численные результаты диссертационной работы сведет,!

в таблица и графики (эпюры напряжений), что важно для внедрения.

5. Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается проверкой соблюдения краевых условий и сопоставлением с, одной конкретной задачей,вцтекагщей как частный случай из полученного решения, & результатами другого автору найденными иным методом. • '

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах автора:

1. Алиев К.А., Исмаилов М.А. Растяжение пластинки, ограниченной кривой частного вида. - Материалы У1 Республ.ковфер. молодых ученых по математике и механике, посвященной 40-летик Победы Ш АН Азер.ССР. Изд. "Элм", Баку 1985, Т.П. с. .18-51

2. Исмаилов М.А, Исследование напряженного состояния при запрессовке двух круглых шайб в пластинку, ограниченную кривой частного вида. - Материалы УП Респ.конфер.молодых ученых по математике и механике. Изд. "Элм", Баку, 1987, с.165-1

3. Исмаилов М.А. Растяжение трехсвязной пластинки ограниченной восьмиобразной кривой. Сборник научных трудов по ма> тематике. Баку, 1991, стр-. 12-15. -