Решение стационарных задач теории упругости и теории оболочек методом полных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

НАЩОНДЛЬНА Авдапя НАУК УКРАПМ ШЗТЙГУТ ЫЕЫШКИ 1м. С.П. ТШОШЕННА

ВЕСПАЛОВА Олена 1вгн1вна

РОЗВ'ЯЗАННЯ СТАЩОНАРИШС ЗАДАЧ ТЕОРИ ПРУЖНОСТ1 ТА ТЕОР11 ОБОЛОНОК МЕТОДОМ ШВНИХ СИСТЕМ'

01.02.04 - иэхааЬса дафэрм1ваого твердого т!ла

Дв-торвферат

дасертацИ на здоОуття вченого ступени доктора ф1згко-«атемат5ГШИх наук

РГ8 оя

- ноя

На правах рукопису

КИХВ - 1995

ДасэртаЩею е рухшис

Робота виконяна в 1нстнтут1 каханЬга Ы.О.П.Тшовеяха Укра1ни

НДН

Науковий консультант - ахадомЬс НДН Укрз1ни ,

доктор твхв1чявх наук, щафвсар Григоренко Ярослав Михайлович

0ф1ц1йв1 огоненти : — доктор техн1чша наук, щюфвсар Гуляев Валера Хванонич

- доктор ф1зико-*атематичншь наук, профвсор Каш Ях1в ФедороЕич

- доктор ф1зико-мат8матичниг наук, профвсор Приказчиков ВЬстор ГворгШжич

ЦровТдяа орган1зац1л - 1нститут проблем мшивобудування НАН Укра1ни

Захист дисертацН в1дбудеться В5 р.

о 10 годин! на зас!данв1 спвц1ал!зовано1 рада Д 01.0Э.(*3/при Хнститут! мехнайса Ш.С.П.Тимоюенка НАН Украгни за адресов: 252057,м.Ки!в-57,вул.Нвстерова,3; факс: (044) 446-63-19.

3 дасертад1ею можна ознайомитася в бЮяЮтец! Хнституту механйси НДН Укра&и.

Автореферат роз!слано и ( " ^\19Э5 р.

ВчвннЯ секретар спац1ал1зовавзI вчаво! ради, доктор Тбхн1чншс. наук,

професор /7у -г, 1.0.Чврнишвяко

аагдльнА характеристика роеоты

Актуальн1сть 1 ступ!нь досл1диэност1 тематики дисента-ц!1. Стац1онарн1 задач! теорИ пругност* 1 теирй обалсвок для неодшзрЗдагг 2н1зогропних т1д ск1нчвн2х розм4р!в в!дно-сягься до класичнях задач мэхан!ки дэформ1вного твердого т±-да та катематично! ф!зяки. Хоча «в тодолог1я постановок цах задач Суда закладена аз» наприк1нц1 мину лого стор!ччя, одаак д0ся1д29ння захоном1рностей статичного та данам1чного дефор-мування цруанях т1л в загальному влпадау е актуальной проблемою, щр зумовлэео внутр±шньою логиков рознитку власнэ мэ-ханйш, з одного боку, та все зроставчими потребами практика, з другого. Так, нрахузгняя ск!нчених розн!р1в реадышх т±л, анхзотроп!" та неоднородно ст! катер1алу, доз1яъниг умов ея оСывгушах поЕвргаяг 1 прашзшово змгнве сгдходг до

розв'язання названих задач. До того г сучасна тенденция на-укового Обгрунтувавня конструктороъких р1П9ЕЬ 3 П021ЩХ! М1Ц-ност! та кадхЗност!, прагненэя бхль™ поеного врзхування ре-алъних умов вксплуатацН пругних конструкц±5, ацровадгвЕНЯ в практику як!сно нових кокпозптнкг матар1ал1в неккнучз по-в'язая! з розв'язуванням стац!онарних задач теорИ пружност! .та теорИ оболонок в досить складннх постановках.

Усп1х теоретичного досл1даэння ц!е! проблем;! в значнШ

заложить з!д няяеност! адекватного апарату розв'язання в1даов1дазх математачннх задач. Анал1тичн1 метода мехая!ки деформ!вного т!ла дозволяхзть провести двтальнгй анализ напруженого стану 1 коливальних процес!в пере важно одно-р1дних 1зотропнах т!л канон1чно! форма. Досл1джэння стац!-онарних процесс^ в пругних элементах з широких махах зм!ни 1х ф1знчн2х властивостей, граничних умов, характеру неодно-р!дност! та навантагень стае доступним при никористанн! чи-сельних ыэтод1в загальаого призначання - р!зницеетх, ск!нче-ноелемэнтних, проекцШних та 1н.. Ц1 метода, мавчи неабияк! позитивн! якост!,а сама: широка застосування, наявн!сть теоретичного обгрунтування, високий р!ввнь алгоритм1зац11, характеризуются са!льноп властив1ст» алгоритма: порядок розв'язувчо! алгебраТчно! система при 1нших р!вних умоваг зростае по ствпаневому закону з ростом числа незалежних

змШшх. така заковом!ра!сть в уковах решизацП на обчис-дшальняих засобах з' "cxtsnsHos аривмэтяков" приводить до суттевого зннжання обумовлзвост! задач!, р!зхо«у зб1лъвзннп pecypcia шшят! ЕСЫ та штр!бяэго для розрахунху часу. В зв'язку а цим, хфоцос удошзкадвння , розвнтху i узагалънев-вя tcuymiu. метод Ib, поиук та стзоревая bosbz, щр в б%хш±& nip! в!дшв!дапгь ваутрЬиаШ структур t досл!дауванах задач 1 е eKOBOKirana ррдо ресурс 1в ЕОЫ, в!дбуваеться шстШю t с гюрпахтивним напрякссж сучасноих прикладаих наук.

Мета робота попягае в розробц! загальвого п!даоду до розв'язання задач Teopil прухност! та теорИ оболовок для тз~ ОДНрр1ДВВХ 8BÍ30TP0QBZZ т!л CXÍB48SBZ p03MÍpÍB, ЕЕКОрКСТЯЕН!

його дяя розв'язаввя вових стац!оаарних задач дивного класу, досл!д«в8в! та узагальнэнн! залажностег ш втптеу ф1зичних t гводатричних фактор!в ва дефоркування í кпливалън! процэск цросторових i тонкост1ннах элемента зазвачэвого класу.

Наукова новизна та значуа!сть результатíb робота поля-rae в тему, що

- розроблано рдиниЯ загальниЯ п!дх!д да розв'язаввя широкого класу задач просторово! теорИ пружвост! та таорН оболовок для наодазр!днвх ан!зотропних т!л сх!нченгг розм!р!в з дов1львва гравкчшши умовами, ва основ! якого розв'язан! задач! статики, задач! про в!льв! та виыушен! гарион!чн! усталан! коливання ряду просторовых т!л ,а танах задач! середнього згину гыуч&ах. пластин та оболонох в докритична стад11 деформування при ваявност! ptssoro роду локал!зованш: вгшэчань;розв' язано ряд задач, ар маять теоретична та прик-лядяа значения.

В!рог!дн1сТъ отриыаних в робот! результат^ обуыовлева викоряставаям обгрунтованих катематячвиг моделей теорН цружнист! та теорИ ободонок, корехтн!стю постановок стац!-оваринх задач для ваодаор!дних ан!зотропних т!л, ретельнш тестуваввям розроблевого п!дюду ва багатьох задачах данного класу, контролем точаост! обчиелввь ва основ! йдухтшвих oqíbok.

Теоретична значения та практична ц!нн!стъ голягае у побудов1 загального подходу до розв'язаввя задач теорИ прухаост! та таорИ оболонох для веодвор1дних ан!зотропних т!л скЬачвних розм!р!в,який вшютае метод розв'язання л!в!Я-

hex багатоЕ2м1рн2х задач та нов! методики розв'язання нел!-HigHsx задач 1 задач на власн! значеввя, 1 з ростом розм!р-ноот! задач! характеризуемся л!нй£еем зростанняы нитрат ЕОЫ при збереженн! точн!ст! резулътат!в, цо дае змогу ефак-тианого floro нихориствння ара досл1дюнн! деформувнння конструктивна елемвнт 1в р1зного прияначення при статичних та динвм1чзях навантаженнях в рехимах, близьких до ехсплуатв-цШшх.

Розробланий метод та побудован! на Coro основ! методики реал!зовав! у вигляд! обчислгвальних програм стосовно до сучасних ЕОЫ.

Адробац!я робота. Основа! отложения робота та окрем! II результата дотов !д алися на XV Науков!й нарад! ю тепловим напругенням в ела мент ах конструкц!й С Ки1в,1980),1Х Всесого-нШ конференц!! по конструкц1йн1й м!цност! двигунхв (КуйСи-шев,1983), Н-!й Всесоюзна науково-техи!чн!й конференщг "Проблема нел!н!йно1 електротехн!ки" (Шацк, 1984 ),на IV на-укаво-техв!чн!Я конференц!! "Вдосхоналення експлуатацИ та ремонту корпус1в суден" (Кал1н1нгрзд, 1986), нз сем!нар! ка-фэдри теоретично! мвханЬси Кигвського нац!онального университету !м. Т. Шевченха ( Ки1в, I9S8), на науково-тегн!чн1й конференц!! "Метода розрахунку вироб!в а високоеластичних матер!ал!в" (Рига, 1989),на III-iü Всесоюзна! коаференцН по меган!ц! неоднор!дних структур 1Льв!в, 1991), на Укрзшськхй конференцII "Ыоделювання та досл!дження стхйкост! систем" (Ки1в, 1995),на IV М!аснародн!й конференц!! по механЩ! неод-нор 1даих• структур (Терноп!ль, 1995) та !н..

В повному об'ем! дасертац!йна робота обговаривалась на сем!нар! в!дд!лу обчислшальних метод!в 1нституту механ!ки tx. О.П.Тимошвнка HAH УкрзТни (Ки1в,1994,1995), на семшарх "Буд1вельна мвхан!ка оболонкових систем" Гнституту механ!ки iM. С.П.Тимошенха HAH Ухра1ни (Ни!в, 1994), на загально-шститутському сем1нар1 1нституту механ!ки iM. О.П.Тимошвнка HAH Укра1ни (Ки!в,1Э94), на сем!нар! в!дд!лу прикладно! математики та обчислювальних метод!в 1нституту проблем маши-нобудування HAH Укра!ни (Харк!в,1994).

Публ!кац!1. Основний зм!ст дасертацН спубл!ковано в 22 наукових працях. Науховий вне сок дисертанта у прац! ,цо написан! у сп!вавторств1, такий: у монограф! I [121 дисертанту

нала »ять постановка задач! провласн! колввання двяхих хла-с!в тошсост!нних елвмвнМв на основ! класячво! тэорИ оболо-нок, просторово! твори пружност! та з врахуваншм поперечного зсуву по подал! типу Тимоивнка, розв'язок канкретних задач для просторових т!л ск£ачаних розм!р!в та цил!ндрнч-них обадовдк дов!льного в!дкритого профит, авал!з результат 1в, сп±вавторам- загальва постановка проблема, побудова пакету прикладних програм, проведения розрахунк!в для складни. оболонок обертання; в монографН (13 } дасвртанту надажать роад1ля, дв вдаться про постановку та розв'язок за-зач статики для оболонок з зм!нноп в обах коорданатних напрямках жорстх1стю методом Канторовича-Власова, сп!вавто-рам- £во1 розд!ли; в монографН 114 ] дасвртанту належить ' аягоритм!зац!я методу дискретно! ортогонал1зац!I .побудова частини мэдул!в,розв*язування конхретних задач, сп!вявтораы-постанавка задач статики для оболовох обертання , побудова ректк програмиих мэдул!в, анал!з результат 1в; в статтях (1521] дасвртанту належить тобудова методу роза'язання задач, проведения розрахушс!в, авал!з обчислювальних асшкт!в методу, сШвавторвм- постановка задач теплопереноса , сум!све обговорення основ методу, ф!зична трактовка рвзультат!в; в статтях (11,22) дасвртанту налегать розв'язок просторових задач статики та в!льних коливанъ для прямокутного паралеле-. пйюду методам повниг систем, сп!вавтораа- постановка задач, побудова модифЬсовано! модел! плоско! задач! та проведения розрахунк!в по н!й методом сх!нчених елемевт!в; в [9] дасвртанту належить постановка задач!, розробка методу, анал!з результата, сп!вавторам- проведения розрахунк!в, в публйса-ц!1 (Ю] дасвртанту налепить розв'язок задач! про власн! ко-ливання ан!зотропно! шпгги в просторов« даставонц!, сп!вав-тору- ф!зична трактовка результат^.

Структура та об'ем дисертац!!. Дисертац!я складаеться з вступу, вести розд!л!в, загвльних висновх!в та списку л!те-ратурн.що м1стеть 303 найменувань. Загальний об'ем робота ЭП стор!шк, в тому числ! 32 малшки та 36 таблиць.

Особистий внасок автора полягае у розробц! методу роз-в'язання л!н!йеих граничит: задач з будь-яхш* числом адза-лежних зм!нних, лобудов! на його основ! методик роза'язання багатовиШрних вел!н1йних задач та задач на власн! значения.

шкористанн! них розробои для визначевня та анад!зу напруже-но-деформ!вного ставу та стацХоварних колвваиь нводнор1дних анХзотропних просторових т!л скйиених розм!р!в 1 гнучких оболонковях елементХв в докритичнХй стад!! дефоркуванвя в залагност! в!д Хх гесметричних та ф!зичних характеристик.

Робота виконана у в!дд!л1 обчислзовальних мвтод!в 1нста-туту мэханХкп 1ы. С.П.Тимошенха НАН УкраХяи. Автор висловлюе глибоку вдячн!сть своему науновому консультанту ахадемХку НАН УкраХни д.т.н. Я.Ы.Григоренку за постШну увагу до робота.

• основа® змюг роботи

У вступХ на основ! огляду досл1даань, г» мають в!дно-швння до теми дисвртацН, формулюеться мета роботи, II нау-кова новизна , в1рог1дн1сть та практично значения, а такоа коротко викладено зм!ст дасертацН по роздЬлах.

В!дзначено, то постановка задач теорХХ прухност! для однор!дних I Н9одаор!даих Хзотропних та анхзотропних ты, обгрунтування Хх коректностХ 1 розробка мэтод!в розв'язання пов'язан! з працями в!домих вчених:0.Я.Александрова, Я.И.Бурака, 1.1.Воровича, В.Т.ГрХнченка, О.М.Гузя, Г.Б.Колчина, Ь.Д.Купрадзе, Л.С.Лейбензона, С.Г.Лехницького, В.А.Ломак!на, А.I.Лурье, А.Лява, В.В.НЬвожалова, П.Ф.Папковича, Я.С. Шд-стригача, В.е.Победр!, С.М.ПодХльчука, В.К.Прокоповз, 1).М. Работнова, В.Л.Рвачева, В.С.Сарк1сяна, С.П. Тимошэнка, А.Ф. Ул1тка, Н.Ы.Филоненко-БородЬча та 1н.

В розробц! загальних штань теор!Х оболонок , методХв розв'язання окремиг класХв задач та проведенн! анал!зу ста-цХонарних процесХв в тонкостХнних елементах вагомий внесок зробили С.О.Амбарцумян, В.З.Власов, К.З.Гал!мов, О.Л.Гольденвейзер, Е.1., Григолш, Я.М. Григоренко, А.Д. Коваленко, М.О. КХльчевсышй, А.Х.Лурье, А.Ляв, Х.М.Ыуштар!, В.В.Новожилов, С.П.Тимошенко, В.Х.Феодосьев, К.Ф.Черних, я.?1иее та 1н.

Природно, що ступХнь швноти та достов!рност1 теоретичного досл1дк8Ния дефорыування просторових т!л та оболонковях елементХв багато в чому зумовлен! р!внем розвитку та доско-налост! в!дпов!дних математичвих засоб!в.

Так, наявн!сть таких аналХтичних мвтод!в, як метода су-

?

перпозицИ, однор!дних розв'язкХв, власних векторних функц!й 7а iB. , забезпечила проведения грунтовного янал!зу вапрухе-но-дэформованого ставу та каливальних процес!в для здаб!ль-шого однор!дних !зотропвих просторових т!л канон!чно! форма. Qt досл!даення гов'язан! з роботами Л.А.Дгаловяна, О.О.Баб-лояна, Е.Ы.Байди, Г.М.Балова, I.I. Воровича, В.Т. Гр!нченка, О.Ы. Тузя, П.А. XsuitHa, Г.Л. Ком!сарово1, В.В. Ыелшка, D.H. Под1яьчука, В.К. Црокогова, А.Ф. Уд!тка, S.R.Hutohinaon.D.J. Oormori, Н.Еавапо, та багатьох !нших. .

Для веодаор1даих по ода!й зм!нв!й прухних т!л з певним законом вэоднор!дност! анал!тичн! метода використовувались Б.М. Коганом, Г.Б.Колчиним, D.M. НамЬпем, B.C. Сарк!сяном, С.Shun, о. Terry 1 !в.

Для оболонок обертання класичних форм ( цил!вдр, сфера, конус ) та колових пластин л!н12но зм!нно1 товдини при осесгметричвому та автисиметричному навантахенн! анал!тичн! розв'язки отримано Я.М.Гриторенком, А.Д.Коваленком.А.х.Дур'е, Е.С.Умансыяш, L.Boll, P.Dubois, О. ОХввоа, H.Reisener та Ъшва. в1домвми вчоними*

Дрв!льний ф!зично роаумвий характер неоднор!дност! в одному з координатнат напрямх!в для деяких клас!в прухних т!л при спац!ялъних граничних умовах мохе бути нрахований практично точно ва основ! чисельво-анал!тичного п!дходу, цр грунту еться ва метод! в!докремлення зм!нних та -чисельному розв'язувавв! одновиы!рних крайових задач. Так! робота проводиться, напр., в авторсышх колективах, очолюваних Я.Х. Григоренко, И.О. Шульгов. Такий жв п!дх!д в двовим!рних задачах для складних оболонкових систем використовуеться Е.1. Григолюком, Я.М.Григоренком, Х.В.Григор'евим, О.В.Карыйшним, ВЛ.Ыячанковим, О.Ы.Фроловим та 1в..

Розрахунок прухних елемент!в складних геометричних форм при будь яких граничних умовах, низькому порядку симетр!! прухних властивостей матер!алу, веоднор!дност! по вс!м про-сторовим зм!нним проводиться ва основ! чисельних метод!в широкого використання: проекц!йних, вар!ац!йяих, р!зницевих, скЬаченоелвмвнтних, зведення до звичайних диференц!йних р!в-нянь 1 т.д.. Загальним питаниям теоретичного досл!дхення цих п!дход!в, умов практичного застосування в задачах механЬш деформ!ввого твердого т!ла присвячен! числена! робота в!до-

MHz MBxaatKlB та математик!в: В.М.Абрашинз, В.М.АпаноЕИча, 1.Г.Бубнова, Д.В.Вайнбврга, А.1.Вайнд!вера, Р.О.Варги, 1.1. Воронина, Б.Г.Галъорк!на, е.Г.Дьяконова, Л.В.Канторовича,Я.Ф. Каюка, А.М.Коновалова, В.Г.Корнеева, М.Ф.Кранчука, Л.С.Лей-бензона, ГЛ.Ыарчука, 0;.Г.М1хл!на, В.Л.Рвачьова, Л.О.Роз!на,

A.О. Самароького, Д.К.Фадеева, В.М.ФадЕево!, Р.П. Федоренна, К.Флетчера, Ы.Ы.Яненка, F.Brezzi, J.Dan&art, J.Douglas, D.W. Peaoman та tH.

Застосувавня mix матод1в до розв'язування плоских та просторових задач теорН пружност! представлен! роботами: П.М. Варваха, Б.Ф. Власова, Г.П.Громового.Ы.И.Длугача, C.D. ерьомэнка, С.О.Каланти, В.В.Киричевсъкого, Ю.В.Коханенка, Б.Ы. Л!о!цива, В.Г. Л!тв!вова, Л.Е. Мальцева, М.П. Матвеева,

B.П.Нетребка, Б.б.ПЬбедр!, Р.Б.РЬсардса, О.С. Сахарова, 0.0. Синявського, Ы.С.Сивекопа, В.Я.Терещенка, В.М. Фролова, М.М. О1лояенко- Бород!ча, Е.Ы.Шэвченка, С.В.Шешен!на, J.Alten-baoh, i.Q.Ye, N.Yoshiliiro, D.Zhang та iH.

Статичкжй та динам!чний розрахунок тонкост!нних елемен-т!в проводався досл!дшиками : А.Т.Василенком, П.П.Ворошко, Г.Д.Гавриленком, А.В.Горшковим, Е.О.Гоцуляком, ЕЛ.Григолю-ком, Я.Ы.Григоренком, В.1.Гуляевим, Б.е.Жуковим, Я.Ф.Кашом, B.I.Козловым, В.А.Крисько, М.Ы.Кргасовим, Л.В.Курпоп, М.М.Ле-онтьевим, В.М. ПаЯмушиним, В.В.Патроним, В.Г. Приквзчиковим,

A.П.Прусаковйм, Р.Б.РЬсардсом, М.О.Рябовим, Я.Г.Савулов,

B.М.Фроловим, В.1.Шалашил!ним, Н.Alexander, С.Johnson, I.W. Chang, A.Ken*, P.Laura, A.W.Leiesa, ff.H.Liu, M.S.Qatu t tH.

Анал!з розглявутих рбб!т показав, що к!льк!сть досл1д-жвнь, нов' язвних з розв'язуванням тривим!рних задач для просторових т!л в широких Merax зм!ни ф!зичних властивостей матер!алу, дов!льному характер! неоднор!даост! та нзвзнта-ханъ по просторовим координатам , будь-яких умовах на обмв-яуггчих шэверхнях , незначна у пор!внянн! з в1доов!дними дво-вим!рними задачами. Частково це пояснюеться там, що згадан! чисельн! метода, як ужа в1да1чалось, характврйзугться степе-вввов залвжн!стю порядку розв'язушо! система алгебраХчних р!вшгаь в!д числа незалежних зм!нних облает!. Як васл!док, при розв'язанн! багатовим!рних задач пог!ршуеться обумовле-н!сть система, ефактивн!сть метод!в щодо часу та пам'ят! ЕОМ падае, похибки ростуть 1 в ряд! випадк!в, коли для одержання

необх!дно! точност! потрЮва значна к!лък!стъ даскретних елемент!в або коордаиатких функцШ, мохна отриматк взагал! нвв£рний результат.

Зашб!гти в певн!Я м!р! ц!й ситуацП мохна вдяхом розробгш мвтод!в, цо спац!альш ор!ентован! на розв'язання задач а деи!льхома зм!ныйэш, забезпэчувта достатш точн!сть розв'язку 1 е економ!чшаш щодо ресурс!в ЕСЫ. Створення таких ыетод!в сприятиме грунтовному та достов!рному досл!д-хашю мехаягчнях процес!в в нэоднор1даих ан!зотрсшних т!лах ск!нчвних розм!р!в , що 1 е предметом давно! дасертацШо! робота.

В первому розд!п! форыулиитъся стац!онарн! задач! де-Форыування широкого класу прухних просторових т!л ск!нчених розм!р!в та тонкост!нних оболонкових елемвнт!в. Широта класу зумоалена практичною в!дсутн!стю обмехень на матер!али, цо використовуються, на тип закрйыюння гранично! шверхн! та характер д!ютх вавантахень. Так, матер!ал т!яа за сво!ми ф!аични*и властивостями моха мати одну 1 б!льае площин прух-но! симетрИ, на обмехуших поверхнях приймагться к!нематич-н!, статичн! та змшан! гранича! умови; т!ла мохуть бути не-одаор!дно! структура як неперврвно!, так 1 дискретно! (ах до локал!зованих вклшевь), зовнйпн! навантаження приймаоться разлодШаними по просторовим координатам за будь-яким ф!зич-но розумшш законом.

Для таких т!я розглядаються задач! статики, стацЮнар-но! динамХки при гарыон!чних в час! навантахевнях та задача по назначению частот та форм в!льних холивань. Кр!м того , у випадку тонких оболонок додатково розглядаються задача середнього прогину в квадратичному наближенн! та задача про власн! коливання при наявност! попереднього напрухеного стану, цо зумовлений статичшм навантахенням.

Вказан! задач!, як багатовим!рн! вектора! задач! мате-матично! ф!зики, мохуть бути подан! в такому загвльному виг-ляд!:

ч-задача статики (Х«0); (I)

(Ь-ХВ)й» ч-задача про вимутен! коливання (Х=О**0,0-задан0);

О-задача про в!льн! коливання (Х-вуканий параметр);

при граничних умовах:

рр -задач! статика та вимушених коливанъ; (2)

^Чо -задача про в!лън! колавання.

Тут 0 - пухана вехтор-функц!я двох або трьох иезалегних змгннкх; ь, к - матриц!, адамантами яках е диференцйй! (або алгебра1чн! для И) вирази, одержан! з основних сц1вв1даояэнъ просторово* теорН прухност! яеоднор!днога ан!зотропного т!ла або в!дпов!дних сп!вв!даопень класично! модел! тонких оболонок; в - матриця. що описуе !нерц!йа! властивост! т!да. В задач! про середнШ пропш оболонок вектора зовнйшхх на-вантааень ч та <р мають додатки, як! визначаються нал!н1йни-ми членами прийнято! теор!!,а в задач! про коливання попе-редаьо напружених оболонок елементи матриц! ь маять парамет-ричн! члени, що е розв'язхом в!доов!дно1 задач! статики.

Коректн!сть постановок л!н1йних задач зумовлэна 1з. ф!зичнш зм!стом, а геоматрично нэлхн!йно! постановки задач! для гнучкнх оболонок - суто докритичною области деформуваи-ня.

В цьому розд!л! розглядаеться тахоя вар!ад1йна постановка просторово! задач! статики ! в!льних коливань на основ! принцип 1в Лагранза та Релея в!дпов!дно.

Центральна м!сцэ в робот! займае другий розд!л, де ви-кладено основи побудови единого п!дходу до розв'язання сфор-мульованих стацЮнарних задач. Тут даеться загальна характеристика розробленого методу - методу повних систем (МПС) -для розв'язання л!н1йних граничних задач з н змйшими, щр ошсують лш!йне деформування просторових т!л (м=3) та обо-лонкових елемент!в (Я=2), формулпоться його вих!дн! полоиен-ня, розглядаються р!зн! вар!анти побудови, обговорвитъся можливЮть та особлзвост! розв'язування задач у вар!ац!йн!й постэноец!.

Метод давних систем мохна розглядати як розвиток проекциях методов типу Бубнова-Гальорх!на в план! в!дмови в!д дов!льного вибору координатних фушаЦй (базису) в багатови-м!рних задачах. Перший крок в цьому напрямку, на нашу думку, був зроблений в методах типу Канторовича-Власова зведення до звичайних диференЩЯних р!внянь. Так, коли в методах Бубнова- Гальорк1на розв'язок н-вимтрно! задач! приймався у виг-

ляд!:

и(х1,ж2,...,хн)^о1ф1(х1,хг.....Ж^ (3)

1 вукашши буяв числов1 хоефШенти с^-оепв* (1-171, I-к1яьк1сть утринувангх в апроксимацН члэн!в) при дов1львих базисних Сункц!ях ф^х,,*^,...,*^), то в методах зведенвя -

I

*2.....^^^(Хц^!^ •хг» • • • »V • <4>

вав!домими е уха кэ числа, а функц!! яко!сь одв!с! ( хай ас^) а змЬших облает! - (1-Т7Т).

Подалъший розвнтох цьото напрямку пов'язаний а введениям в апрокс1шяц!ю (4), як шуканих, функц!й вс!х !нших аи!н-иих - Хц1(х1 ),Х21(12),...,Хк1(хн) (1»Т7?), тобто:

х

«(X, .Х^... >Х21(х25 • • •1!И!<ХН »»г» •••*!() (б)

Метода з таков апрохсимац!ев розд!ляються ва да! грули: в одна (наприхлад.роботи 0.1.Вайид!яера, Ы.м.лаонтьева.л.е. Мальцева, Л.У.Н. веЬЬег) збер!гавгься дов!льн! координата! функц!I, в друг!й (наприклад, робота В.Ы. Фролова, В.В. Петрова, В.А.Крисьха, А. Кегт ) враховуеться мохлив!сть понно! в!дмови в!д них. Сама до останньо! груш налехить мэтод павшее систем.

Вих!дн1 положения НПО пов'язан!, ш-перое, а особливос-тями апроксимацН шухаво! функц!I N ам!нних та, по-друге, а побудовов розв'язучо! система в!дносно вибраша нев!домих.

В ШС розв'язак и^.х^,....^) лШйна! гранично! задач!

1и - ч , хет,

ли - Ф , х е з (6)

( тез«{ Хцб!!^,^], х^-оопМ, (р-ои),п-пк> - заданий и-ввм1рний: паралелепШед, х-С^ .^....з^} - сукупв1сть везалехних зы!нних) апроксимуеться виразом:

да во! функц!I ^(Хд) вважавться нев!домимя.

Якщо умовву вектор-функц!в ^-(^(г^),!-^) назвата арту-

кентнов 1506 п!дкреслити залежн!сть в!д одного пенного аргументу, то шуканими в МПС е и аргумвнтних вектор- функц!й х^ (п«Т7Н).

Правом 1рн1сть апроксиизц!! (7) безпосередньо вит!кае з теорвми Ввйерштраоа про апроксимац!ю полЫомами неттерервно! функцИ багатьох змйсгих.

Побудова розв'язучо! система в!дносно и аргументних вектор-функцШ базуетъся на техя!ц! проекц!йних метод!в зведення до звичайних диференцШних р!внянь, де використову-еться операц!я проектування Рп, цо зводить багатовим!рну задачу до одновим!рно! по зм!нн!а Хд. Застосовувчи до вих!д-но! задач! (6) процедуру зведення р={Ра,п=Т7м}, шр е сукупн!ств таких операции по кожя!й з зм!нних облает!, одержимо розв'язувчу систему МПС у вигляд!:

(р=0'1>' (9)

т/п),

п=Т7П

( знаком " ~ " в п-!й задач! в!дм!чен! аргумента! функц!! зм!нних Хд (т=Т7я,п*п), по перетворен! процедурою Рц 1 м!с-тяться в вирззах я^ у вигляд! констант-функц!онал!в).

Система (8), (9) е велйШною в!дносно аргументних функ-ц±й р!зних зм!нних. Бона ы!стпть N окремих задач, як! в силу сут! процедура зведення можна вважата одновим!рними. Кожна з них формулюеться як диференцШна задача в!дносно одн!е! аргументно! вектор-функцН, а вс! !нш! ф!гурупгь в н!й як константа-функц!онали у коеф!ц!ентах ! вхльних членах р!в-нянь та граничних умов. Так, напр., к-а задача формулветься в!дносно аргументно! вектор-функц!я , а вектор - функцх!

.....х^ м!стяться в н!й у вигляд! констант.В своп черту, кожна аргумента вектор-функц!я в ода!й задач! е шуквною, а в ус!х !нших в перетвореному вигляд! входить в 1х коефШенти. Таким чином, одновим!рн! задач! в (8),(9), е пов'язаними ! утворввть едину систему, з яко! вс! я аргументних вектор-функцН! можуть бута знайден! без будь-яких додаткових припущень.

Характерною ознакою методу е те, да в ньому к!льк!сть нев!домих арументних вектор-функцМ 1 к1лыс!сть задач в систем! (8), (Э) дор!ннвпть к!лькост! незалегних змйших облает! ,Н). Сама ця особлив!сть пояенве назад методу -метод повних систем.

Для розв'язання системи (8),(9) використовуеться !тера-ц!йний метод типу Гауса-Зейдаля. В!н базуеться на пословному розв'язанн! кохно! окремо! задач! з (8),(9) незалехао в!д решти в припущенн!, цо аргумента! функц!! 1нших зм!нвих в!дсы!. Цря цьому ввахаеться, ар розв'язування окремо! одно-вим!рно! л!н!йно1 крайово! задач! е елемантарною опврац!ею.

функц!! початкового ваблихення ^¿(з^) (1=171) по кох-н!й з ЗМ1ННИХ облает! понинн! бути л!н!йно незалехними. Умо-' вов закЬпення !терац!йного процесу е сп!впадання у вибран!й норм! шуканих аргументних функц!й, цо одерхан! на двох його посл!довних циклах.

Знаходхення остаточного розв'язку задач!- и(х1 пов'язано з зб!хн!стю пукано! функц!! (7) в залехност! в!д к!льхост! член!в апроксимац!! X.

Таким чином, загальва схема побудови МПС стосовно до задач в ди®еренц!йн!й постанови! вклвчае сл!дуюч! етапк:

Х.Прийняття апроксимац!!, цо м!стить,як вукан!,аргуман-тн! функц!! вс!х н зм!нних.

2.Побудова розв'язушо! системи, що е системою N взае-мозв'язаних одаоним!рних задач в!дносно Ы шуканих аргументних вектор-функц!й.

З.Знаходхаяня аргументних функц!й !терац!йним способом з розв'язувчоI системи 1Ш0.

4.Побудова остаточного розв'язку задач! в!дшв1дно до прийнято! апроксимац!! (7).

На основ! т^дттт юлохень методу понята систем роз-роблев! так! вар!анти:

-прям !,в яких аргумента! функц!! з ус!х член!в апро-ксимац!! (7) знаходяться одночасно;

-рекурентя!, в яких аргумента! функц! I знаходяться посл1довно для кохного члена апроксимац! I окремо з врахуванням вс!х вха ззайдевих; в цих вар!антах розв'язок задач! и знаходяться в результат! !терац!Яного процесу, на ¿-ому цикл! якого приймзеться:

+ т^ , ¿=1,2,...

да т^-х,^(х, ____- тукана одночленна добавка,

а функц!я

в!дома з погарвдн1х (¿-1)-го цикл!в (у0=о).

-лональво-визначен!, в яких пуканий роз-в'язок апроксимуетъся р!зними виразами для ряду п!добластей, що вкривають задану область (иУ^у.к^ТЛЕ):

, Г .....*»>• 1 е V

1 ^ I о, х е

Для кожного з цих вар!ант!в в залежност! в!д вибрано! процедури ЗВ8ДЭНИЯ Р={Рп,п-1 ,Н> побудован! щз два вар!анти: -!нтегральний, коли процедурою ЗВ9Д9ННЯ е операц!я Зятегрування -

Рп°{?пк(->~ * "I (.) П Х^ах^, 1с=ТТТ>; (10)

-колокац!йнвй , коли процедурою зведення е операц!я сп!впадаьня на сукупвост! н с!мейств л!н!й:

. (ii)

Прям! вар!анти МПС в гор!внянн! з рекуревтнши дапть краща наближання до шуканого розв'язку. Рекурентн! вар!анти в!дзначавться простотой ! м!н!мальними витратама часу при практичних розрахунках. Локально- назначен! МПО доц!льно ви-користовувати в задачах, що мають нерегулярний розв'язок.Ко-локац!йн! вар!антн кожно! груш простйа! при рвал!зац!1, н!ж 1нтвгралън1.

Розв'язання багатовим!рних граничних задач в неканон1ч-вих областях опукло! форта в 1нтегральних вар!антах МПС ба-зуеться на модифйсацИ процедура зведення (10). В н±Я, по-перше, границ! 1втегрування приймаються змЬшими в±дпов!дно

до задано! облает! 1, го-друге, проводиться зам!на еафаз!в, цо утворилися в результат! 1нтегрування по частинш, заданный граничннка сп!вв 1дношеншми.

У випадку областей дов!льного виду доц!льно застосову-вати локальво-визначав! вар!анти ШС, розбивши попервдньо область на опукл! п!добласт!. Ыохва тахох вихористати в!до-м! добре в!дпрацьован! прийоми врахування ковф!гурац!1 облает!, зокрема, метод ф!ктиввих областей, шпередньо! пара-метризацН, структурний метод н-функц!й В.Л.Рвлчова.

Розв'язання вар!ац!йних задач в областях з дех!дькома зыЬшинх основано ва тих самих вит!днит полохеннях, цо 1 ди-ференцйних задач: включения в апрохсимаЩю як нев!домих аргумевтних функций вс!х н зм!нних 1 побудова розв'язусто! ' система в!даосно адх функц!й. Однак, побудова останвьо! не потребуе в цьому випадку прийняття т!е! чи !нш! процедури зведення ! провалиться автоматично ва основ! стандартно! техв!кв вар!ац!йиого обчиелвння. 1ф!м того, для 1! розв'я-зання мохуть бути тахох вихористан! прям! метода вар!ац!йно-го обчиелвння.

Метод штата систем в гор!вшшв! з спор 1днаними йоку методами розв'язання багатовим!рних задач характеризуемся сл!душимх в!дм!нностями:

- в!в ве зв'язавий з дов!льиим вибефом координатних функции ва в!дм!ну в!д проекцШвих метод!в;

- р!внозначш враховуе !вформад!п по вс!м змТнним облает! ва в!дм!ву в!д метод!в зведення до звичайних даферевц!альвих р!ввянь;

- ве передбачае побудови влясних функцМ , цо само го соб! моха внявитися складною задачею;

МПС можна розглядатв ях узагальнення таких п!дход!в:

- проекцИних метод!в зведення до звичайних да$ервнц1й-них р!внянь, коли таке зведення провалиться ве го ях!йсь од-я!й, в го вс 1м зм!нним облает!;

- метода подв!йно1 апроксимацИ типу Вайнд!нвра-Лвонтьева, коли в апроксимац!йний вираз входять лиде шухан! функцИ р!зних зм!нш1Х 1 ве використовуеться дов!льно вибраний базис;

- методу вар!ац!йних !терец!й для будь-яхого числа веза-лвхялх зм!вних (»>2).

На основ! розробланого методу в третьому розд!л! буду-вться методики розв'язання нел±н!йних граничних задач ! задач на вдасн! значения з дек!лькома незалехнлми зШшпат. Для розв'язання багзтовим!рнит вел!н!йяих задач виду

ЭивЬи-Г(х1,12,..,и,и,т ,...)«0, х с Т, (12)

и-ф(х1,х2..><>и,...>>о , хез (13)

в облает! опуклост! оператора задач! використовуеться л!н!-ар!зац!я по Ньютону-Канторовичу в поеднанн! з прямима вар1-аатами МПС.

Застосування методу Ньютона-Канторовича до задач! (12), (13) зводить II до посл!довност! д!н!йнит граничних задач т!е! х розм!рност!, ар й них!дна:

5ив=Ьив-Г(х1,...,и8_'!,и?-| ,...) - Г,и(...)(и8-ц8"1) -

- 2 -х, (-..Ни® -и?^ ) - , (14)

"к к ь

Л1вЛав-я»(хгав-1....) -ф,ц(...)(и8 -и0-'1) -...=0,хе3 (15)

( знакш пом1чен! в!дпов!да! л!неар!зован! виразх, кома о знача е частинну пох!дну по вказанному аргументу: ф,и=Лр/<9и).

Використовуючи дал! прям! варианта ШЮ для розв'язання кохно! з задач (14), (15) з апраксим8ц!ею

ив(хп .х^... .^^"Д*?!**! )Х21<зс2)- ••ХЯ1(зсЯ)' (16)

(Х^«(Х^1(ХП),1»Т7Т> (п»1 ,Н)- нев!дом! аргумента! вехтор-фун-кц!1 в-о1 лЬа±йно! задач!) 1 процедурою зведення Р8«= «{Р°,п=1 приходшо до системи виду:

П-1ТН.

Особлив!ст» одвовим!рних даференцШих вираз!в в (17), (18) по зм!нв!й Хц е те, що вони залехать в!д ус!х N аргументних вектор-функц!й на (в-1 )-ому кроц! л!н1аризац11

1 в!д (H-I)-I аргументво! вехтор-функц!! ва er-ому (Й, J-TT5;

Враховугчи те, що система (17),(18) при кожному ф±ксова-вому в розв'язуеться !терац!йно, знаходхення остаточного розв'язку пов'язане з двома !тврац!йними процвсами: jitBeapt-заЩев за Ньютоном-Канторовичем та розв'язувашмм система однаним!рних задач за методом типу Гауса-Эейдедя. В данаому випадку мохва тоОудувати загалъний 1терац!йниа процес для рЬвення нал!н1йно1 задач! (12),(13) в ц!лому, цо одаочасно реал!зуе згадану л!веар!зац!в та розв'язувавня л!н!йно1 задач! ШС. В!н здйснветься за схемой (параметр в):

ш-1 а т-1 в-1 ш т-1

Ивд V ^пр V^np (Р*°'15

11« 1 ,Н; 0*1,2,....

Методика розв'язувавня багатоним!рних задач на власн! значения опираеться ва метод тосд!довних наближенъ в вар!ан-tí обернвно! 1терац!1 з гобудовою в!дношевня Вэлея та метод поввих систем, цо використовуеться для розв'язавня багатови-Mlpmnr неоднор!дних граничних задач. дналог!чно тому, як це зроблэно в поп8редя!й методиц!, препонуетъся загалъний 1те-рац±йний процес, цо одаочасно реал!зуе посл!довн! наОлиження ш гобудов! неоднор!дних граничних задач без параметра та !х розв'язок по ЫШ.

Побудова загального !терац!йвого процесу в обох методиках дае можлив!сть в дак!лька раз!в знизити витрати в час! при розв'язавв! вказаних багатовим!рних задач.

Розроблений метод повних систем розв'язавня л!н1йних граничних задач з дек!лькома незале сними зм!нними та побудо-ван! ва його основ! методики для вел!н!йних задач та задач на власн! значения становлять математичний апарат единого п!дходу, що вики рис тону еться на дал! для досл!дхення напружа-но-здеформованого стану та стац1онарних коливань неоднор!д-них ан!зотропних просторових т!л та оболонкових ела мент !в.

В четвертому розд!л! наводиться технЬса застосування розробленого п!дходу на прикладах деяких характерних задач

(19)

(20)

теорП пружност! та теорП оболонок, що в загальному вигляд! сформульован! в розд!л! I. Вибран! для ц!е! мэтя задач! ви-св!тлшть аайб!льи !стотв! сторони п!дходу, лиаавчись разом з тем достатиьо простими, «об не обтявувати виклад другоряд-вими ускладнаннями. Алгоритм!зац1я розроблевного п!дходу !листруеться на задач! статики, задач! про в!льнн! та виму-шени1 стац!онарня! коливання прямокутно! пластини, задач! середнього прогину пологих оболонок в докритячн!й стад!! деформування та вар!ац!йн!й задач! про р!вновагу прямокутно-го паралелепШепаду з ан!зотропвого матар!алу,

В п'ятому розд!л! робота обговорпеться обгрунтування методу повних систем та гобудовавих на його.основ! методик в клас! ковсерватаввих стац!онараих задач теорИ пружност! та теорН оболонок.

Ваходячи з загально! характеристики ыпо, централъними в обговоренн! е два питания:з6!ен!сть !терац!2ного процесу pi-шення розв'язутзчо! система одновим1рних задач по знаходяеншо аргументних функц!й та зб!ан!сть шуканого розв'язку задач! при зб1льшенн! числа член!в прийнято! апроксимацИ.

Практична досл!дження методу ! побудованих методик проводиться на основ! !ндуктивних прийом!в.. Щзи цьому тестов! приклада охошшать задач! статики в л!н!Ян!й та нвл:ш!йн!Я постановках, задач! про коливання, тривим!рн! задач! для просторових т!л та двовим!рн! задач! для оболонкових систем, задач! з р!зними граничнгаш умовами, задач! для елемент!в з неперервною та дискретною неоднор!да!стю, задач! з складам розпод!лом нававтажвввя веере дин! облает! та на I! границ!.

Правом!рн!сть застосуваввя МПС в тривим!рвих задачах !люструеться двома прикладами.

В першему розглядаетъея (¿одельна просторова задача статики для прямокутного паралелеп!педу при спец!альних умовах на обмежутчих гранях ! такому закон! розпод!лу об'еаших сил, що допускають одержання точного анал!тичного розв'язку в тригонометричних функц!ях. Ампл!тудн! значения перемлдень та Ix розпод!л, що отриман! по прямому !втегральному вар!анту МПС, сп!впадахяь з точним розв'язком у п'ятьох значущих цифрах.

У другому приклад! для такого х самого !зотропного па-ралелеп!педу розглядаетъея задача статики ( K.M. ФЬлоненко-

Бородач), коли аа двох протилвхних гранях (а-оопак) д!югъ р!вн! нормальн! сили колоколовидао! форыи ,а рвота - в!льна в!д навантажэнь. За критер!й точност! розрахунку у в!дпов!д-ност! з принципом Сен-Веняяа обране в!дхилення розпод-^лу на-пружень в центральному перер!з! е«0 в!д р!вном1рного о4»1. Деяк! результата розрахуак!в наведан! в таблиц!, да метаться такох для сп!вставлення результата ш 1ншзм методикам: 1- апроксимац!я розв'язху ооо- б!номами (Ы.М. Ф!лоненко-Бо-родич); 2- метод подвШю! апроксимацИ тицу Вайнд!нера- Леонтьева (Л.Е.Мальцев, М.П.Матвеев, Ы.П.Натребко): 3- варха-цШю-р!зницевий метод з !терац!Яним розв'язанням система алгебра!чних р!внянь ( Б.€. Победря, О-В. Шешен!н); 4- пря-мий вар!ац!йний вар!ант МПС.

х/а;у/а 0;0 0;0,& 0;1 0,5;0,5 0,5;1 1;1

I 1,47 1,10 0,97 1,07 1.12 0 30

2 1,10 1.036 0,89 1,03 0,94 0,90 7

3 1,10 1,047 1,01 1,00 0.96 0,92 4,7

4 1,04 1,02 0,999 0,996 0,98 0,973 2

Як б&чимо, наЯменьие сере дне в!дхнлення рознод!лу нор-д^ттт напрухень в!д р!шоы!рного( 2% ) мае м1сцз при розрахунку по ШС.

Ыохливост! МПС срдо врахуваяня р!зних тип!в граничних умов оц!нгазться на задач! згину прямокутно! пластини при р1зних вар!антах закр!плення I! контуру, плоек!2 задач! для прямокутно! призма при к!вематиичних обмехеннях на двах протилвхних сторонах 1 в!льних двох !нпптх, задач! статики для порожнистого цил!ндра при обмехенн! на осьов! змйцення та в!льних бохових поверхнях та !н..Тут МПС застосовуеться в прямому та рекурентаому !нтегральних вар!антах. Проводиться шр!нняная з результатами, що одержан! в роботах Д.В. Вайн-берга, С.П.Тимошенка, 1.К.Свнчевкова, А. Ье1ява . В ус!х розглянутих прикладах розб!жн!сть результат!в не перевшцуе 5£.

Правок !рн!сть МПС в розрахунках наодаор!дних пружних елемент!в подана в робот! задачею про вапружено-деформований стан шарувагого порожнистого цил!ндру з р!зними прухними

властивостями ыатер!алу иар!в (дискретна иеоднор1дн1сть'> та задач! згину прямокутно! пластина з зм!нноп у обох коорда-натних напрямках хорстк!стю (неперервна неоднор1дн1сть). Результата по ШС сп!вставляються з розв'язками, цо одерхвн! при застосуванн! метод!в в!докреылэння зм!нних та Канторови-ча-Власовэ в поеднянн! з чксельким розв'язуванняы одновимгр-них задач. В!да!чено, що для досягнення однаково! точиост! в НПО потрМно знатно менше член!в апроксамац!! ( наприклад» . ЫПО-один,методом Канторовича-Власова - чотири).

Парев!рка можливост! вгасористання розроблено! методики розв'язавня багатовим!рних нал!н!йних граничних задач на основ! МПС та л!неар!зац!1 по Нызтову -Канторовичу проводилась на двовим!рних геометрично нел!н!йних задачах середньо-го згину гнучких прямокутних в план! пологих панелей та пластин в докритичн!й стадП дэформування. Основнэ увага при цьому прид!лялася правом!рност! застосування загального 1то-рац!йного процесу ,що поеднуе л!неар!зац!в та розв'язсж л!нШшх задач ш МПС. Конкретн! приклада 1 1х розв'язки за-позичен! з роб!т Д.В.Вайнберга та Ы.С.Корн!шина.

Досл!дження методика проводилося для рхзних тяп1з граничних умов ( короткого закр!плення, шара трио го огафання, норухомого шарн!ру), р!зних величин !нтенсишюст! наванта-хення (ах до значень, Сдхиькнх до критичних), при ргзному розпод!л! навантаження та р!знах кривинах пологих панелей. Проведан! розрахункк показали спромокнхстъ запропоновеного загального !терац!йяого процесу розв'язання задач! в ц!лсму та ефвктивн!сть поеднаняя л!неар!зац!1 1 розв'язання л!н!й-но! задач!.про що св!дчать наведен! дан! про витрати часу.

Тестування запропоновано1 методики розв'язання бзгато-вим!рш1Х задач на власн! значения проводиться на прикладах визначвння динам!чних характеристик в1яыпя колшаггь просто-рових т!л та оболонкових елемвнт!в. Проведен! розрзхунки об'еднан! в три групи: для пружннх елемент!в в просторов:Я постановц!, для згинних та планарних коливань пластин по ко-дал! К!рхгофа-Лява, для елемеит!в з ан!зотропнкми властивостями матер!алу.

Перша група розрахунк!в представлена задачами про м1н!-мальн! частота таких т!л: !зотропного куба з граничшаш умэ-вами типу "ковзання", щр мае точний анал!тичний розв'язок;

пластики в просторов постанови! при умовах "ковзання" в II плсвдан! 1 вЬльних лицевих поверхаях, ааближавий внал!тичвий розв'язок яхо! знайдэний П.А.Хил1взгм та Т.П.1лл!чьовоп; пластин та цил!вдричних оОолонок в просторов Ш постанову! при учдче граничних уловах, що маюгь наближений розв'яз ок в рамках класично! модел! оболонок.

3 розрахунк!в друго! груш наведан! задач! про згинн! коливавня квадратно! пластинки при р!зних комб!нац!ях в!ль-них стор!н та стор!н з хррстким закрыланням ! иарн!рним опираввям, симетричн! та несиматрича! коливавня зсуву квадратно! пластини з в!дьвоп поверхнаю (моди Лат), симетричн! плоек! коливавня прямокутно! пластинки. Результата пор!внв-оться з розрахункама Д.В.Вайнберга, ввал!тичним розв'язком та розв'язхами, зд одержав! методом ск!нчвних елемевт!в.

Розрахунки третьо! груш подав! задачами про м!в!мальн1 частота ортотропно! пластинки з двома сум!хними жорстко за-кр!плвними краями ! рештою в!льними, коли ос! прухност! ут-воршлъ з геометричними осями хут т/4 ( 3*/4), та шарувато! цил!адрично1 оболонки з ортотропвими парами при умовах "ковзання" торц!в. Проводиться сп!вставлення а результатами, щэ одержан! для пластинки методом ск!нчених еламент!в та для цил!ндрично1 оболонки методом в1докремлеввя зм!нних.

Наведен! приклада по досл!дженн» властивостей ЫПС доз-воляхзть сфорыултаати так! виснонки.

В клас! скалярних та векторних стацхонарних задач маха-в!ки здеформованого т!ла ЫПС за бе зле чу е знаходжеввя ааближе-вого розв'язку з контрольованов похабков.

При ф!хсованону числ! члев!в апроксимац!! !терац!йний процае р!шення розв'язугчо! системи одаовим!рвих задач по знаходаеннв аргумевтвих функц!й зб!гаеться !, причому швид-к!сть зб!аяост! практично не заложить в!д вибору початкового ваближення.

Зб!жн!сть наближевого розв'язку задач!, побудованого по аргументном функц!ям, до точного мае м!сцв при невелики к!лькост! чл9н1в апроксимац!!. Цэ справедливо як для л!н!й-них, так ! для нел!н1йних граничних задач та задач на власв! значения. Так, в ряд! випадк!в можна обмежитися одним членом апроксимац!!, як правило, двома, 1 досить р!дко в практичних розрахунках треба утримувати три ! б!лыае члеа!в. Цв сприяе

значим економt! часу i нам'ят! ECB (наприклад.потреОи в ма-иинному час! при розв'язку просторово! задач! про власн! ко-ливання прямокутного паралелепйюду при складних граничних умовах нэ перевищували 3 хвилин на ПОЫ РС/АТ-386 ).

Достатньо висока точн1сть результатЬа при малому числ! член!в апроксимац!! е характерною в!дзнакоп НПО в пор!внянн! !з спор!дненими йоыу методами.

Звичайно, що точн!сть остаточного розв'язку по МПС залегать в!д точност! чисельного розв'язку одновим!рно1 задач! - процедура, що в данному метод! вважаеться елементарнов.

В шостому розд!л! обговоршться результата розв'язку ряду ноних задач теорН пружност! та теорН обояонок по дос-л1дж8вню статичного та динам!чного даформуввння просторових т!л та тонкост1нних елвмент!в в залежност! в!д !х геоматрич-них та механ!чних характеристик.

Днал!з розв'язк!в б!льиост! задач з перших трьох пара-граф!в проведено на едина основ!, а саме з позиц!! зв'язку досл!дауваних залежностей з характером симетр!! задач! в ц!лому, яка визначаеться сукупн!стю acix фнктор!в постановки - геоматр!ев облает!, умовами на границ!, ф!зичними вла-стивостями матер!алу, розмЬцанням додаткових мае, жорсткос-тей та !н. В наступному четвертому параграф! проводиться до-сл!дгення просторово го напруяено-здеформованого стану !зо-гроиного прямокутного паралелеп!педу з коеф!ц!ентом Пуасо-на, блазьхим до його граничного значения г=0,5; так т по-будова розв'язку пов'язана тут з склздн!стю граничного переходу при чисельна реал!зац!1. Задач! п'ятого параграфу в!д-хюв!дашь традиц!йн1й ц!л! - оц!нц! границь застосування р!зних спрощених моделей теор!! пружност!.

В першому параграф! розд!лу розглядаються в!льн! коли-вання ан!зотропно! штата з одаiев площиною пруаньо! снмат-р!1, яка виникае з-за несп!впадзЕня гоповних напрямк!в пружност! ортотропного матер!алу з няпрямками осей геоматрично! системи координат. Така конструктивна ан!зотроп!я к!льк!сно характеризуеться величиною кута ф м!ж вказаними напрямками, так що динам!чн! характеристики плита розглядаються як функц!! неперервного аргументу ф, при зм!н1 якого в маках .[0,2x1 три площини пружньо! симетр!! переходят* в одну 1 навпаки.

Приймаеться, що шита мае стаду товщину (Ь/Ь"0,1) X е тривим1рним т!лом з однор1даого одаонаправланого вуглепластикового композиту з такими техн!чними характеристиками:

^«г.и'ю11!!/*2; ^-е^-о.оэз^о^н/м2! v »0,25; 012-а13-0,026»10ПН/м2; 023-0,013*1011н/м2; р -1524кг/м3.

Метою досл!дження було встановлэння залежност! нижчоГ частота перевахно ггинвих та перевахво планарних коливавь плати в!д параметра ан!зотроп!1 ф при р!зних умовах знкрШ-лення II б!чних граней та оц!нка впливу на цю залежа!сть взашозв'язку деформац!й розтягу-стиску та зсуву ( так зва-вих *шб1чних" хорсткостей).

Були одержан! залехност! власних частот та в!доов!дних 1м форм коливань плита в!д величина кута ф для трьох вар!ан-т!в I! закрйиення. В!дпов!да! крив! подан! на мал.1, да по ос! ординат в1дкладеа! значения Штрихов!

л!н!1 стосуються випадку умовно! ортотропН, коли значениями "поб1чних" хорсткостей знехтувано. Форма коливань зображен! на кал.2 1 мал.З.

Одаочасно обчисливалися в1дносн! величина склздових по— тевЩйно! енерг!I, щр в!дпов!даюгь об'емним деформац1ям по коорданатним аапрямкам х,у,а ( Эх.Ру,Ра) та деформац1ям фор-иозм&шння в площинах х=оопя^ г»оопо! ((3^,

Р^) з нормуванням

В первому вар!аат1 розглядвлася умова хорсткого закры-лення вс!х чотарьох б!чних граней плита, цо в!дпов!дае симетр!1 облает! ! граничнах умов в!даосно цвнтральних осей, паралельаих коорданатним, та обох д!агоналей шшти в план!. В цьому вар!ант! задача мае симетр!ю при двох значениях кута ф*-г/4 та ф=Зт/4, а частотна крива мае ехстремуми, цо .

супроводхуеться р!вн!стх) складоних потенц!йно1 енерг!! по симетричним для цього вар!анту аапрямхам: Рх (т/4+1сх/2 (Х/4+ЮС/2), (Т/4+ЮС/2 >-Руг. (*/4+к*/2) (к=0 ,1)

(мал.1а (згина!коливгння) та мал.16 (планарн! коливааня)).

У другему вар!ант! розглядагтъея наливания консольно! плита (закр!плення на гран! х^оопаг). При планарних коливан-аях штенц1гна енерг 1я розпод1колася м!х енерг!ею зм!ни об'ему Рг(ф) ! енерПев формозм!нення ^(ф). В1дм!тимо, во

X /.О

О,в 0,6

и/» п/гзф? а

1W nJ23n/4t¡> б

л

юр

вР

SP *р

гр

•i \

I

Л/

*

II

/I

I I / \

\

гф- TCf2 3Xfi-<p

S

ио

Л Л Л А il \

-i_i

т^ п/гзфф

s Мал.

rtfims тф е

для умовно ортотропно! плита в точц! ф=тс/8 мае м!сце 'р!в-н!сть р1=рзу, яку мохна вваяати проявом "внутр!шньо!" си-метр! I задач!. Цьому значений ф в!дпов!дае максимум на частотна крив!й (мал. 1г, ттрихова лга!я>, чого не спостер!га-еться при врахуванн! "поб!чнихи жорсткостей.

В третьему вар!ант! задач! плита ввахаеться закр!шюною по двом сумьшим 61чним граням при в!льних ВС1Х !шшх, 1цо в!дпов!дае симетр!! в!дносно д!агонал! (у«х). Для умоено ортотропно! плити х!д частотно! криво! згинних коливань (мал. 1д, втрихова л!н!я) як1сно сп!впадае з в!дпов!днов кривою первого вар!аяту граничних умов. Ца я сама мае м1сце ! для конструктивно ан!зотропно! плити при нм!н! ф еЮ,х/2]. Але при переход! ф у другий квадрант картина суттево змхнп-еться: на крив» (мал.2д,суц!льна л!н!я) колка в!дм!-

тити наявн!сть трьох екстремум!в, то супроводауюгься сл!дув-чши оторгбтичния! сп!вв!дношеннями:

Рх(?и/12>*Р (7*/12>, Ру(11х/12)=Р2у(111С/12)- в максимумах,

Рх(31С/4)=Ру.(3,1Е/4) - в мШмум!.

Екстремумам частотно! криво! планарних коливань (мал. 2е) для умевно ортотропно! плити в!дпов!давть так! ж енерге-тичн! сп!вв!дношення, як для згинних коливань анхзотропко! плити при фе[чс/2>тс]. Врахування "поб!чних" жорсткостей приводить до суттевого знижэння аначень частот.

В ус!х розглянутих вар!антох закрймення б!чякх граней форки згинних коливань ан1зотропно1 шита (ф/иг^/г,к=о, 1 ,г) як1сно в!др!знявться в!д фзрм коливань ортотропно! плити при <Иск/г (к-о,1,2). Так, при ф=И£/2 (к=о,1,г) ортогональн! прям! х=оопа(;, у=оопяк на недеформован!й плодан! 2=оопа1: перетворшгься в плоек! ортогональнх крив! на здеформован1й поверхн!, а при ф^ьпе/г (к=о,1,2) ц! прям1 траасформуються в неортогональн! просторов! крив! (дав.,напр., мал.2, де зо-Орахений характер нормованих знйяень и3(х,у) плоазши з=ю консольно закр!плено1 плити при Ф=0 1 ф=*/4).

Аналог!чн! як!сн! зм!ни в формах масть м!сце ! дня переважио планарних коливань при вс!х типах граничних умов (дав мал.З ).

На основ! проведеного анал!зу показано:

1.НаяЕн!сть вкстремум!в на крив!й Х=Х(ф), !х к!льк!сть

та м!сцэзнаходаеввня шв'язан! з симетрЮТ штата в Щлому ! супруводжуютъся piBHioTD окремих складовах тотенцШво! енар-rtl Р^Р^; pteHocTt типу та в!даов1даюгь

гесметричним симэтр!ям ойпаот! з врахуванням граничите, умов, piBHocTi типу p^Pj^Bl^poBtflauTb наявн±й "внутрйанШ" симат-ptl структура.

2.Нехтування "шб!чниш" юрсткостями приводить, як' правило, до п!двищання частот, причому дасить звачвому (б!ля порядку) для шшаарних коливань при умовах ааэрсткого ззкрйг-лання.

3.Значения окремих складових потенц!йно! , енарг!! дозволяють с:*дати про моаливЮть проведения розрахунк!в на основ! прикладах вар!ент!в теор!в пластин.

Другие параграф розд!лу м!стить досл!дхення динам!чнах характеристик тонкостйших елемеиПв при наявност! р!зного роду дискретних вклгмень.

Так, ва приклад! квадратно! 1зотропно! шшетинки з р!з-ними умовами закрйиення контуру анал!зугггься I! шли! частота в залехвост! в!д величина, м!сцяпняходжянвя та м!ри лакал!зац!1 додатково! !варц1Яно! маси, по розташовзна ва частив! говерхв! пластини. Показано, щр положениям сиаетр!! система "шшстина-маса" в ц!дому в!дпов!дають ехстремалън! значения власних частот. При ггавних граничних умовах, напр., консольному закрйианн!, .при захр!плевн1 двох сумЬших стор-р!н ! решт! в!лып1х, для величина додатково! маси порядку 20? маси шшетиии параметр м!в!иальво! частота мохе знизити-ся в два-три раза в залехност! в!д розташуваввя !нерц1Йио1 маси.

На приклад! консольво! квадратно! в слан! цил!вдрично1 панвл! з закр!пленим дуговим краем 1 в!дпов!дао! пластинки досл!дхуетъся вплив наявност! цружних опор, 1х хорсткост!, к!лькост! та розташуваввя ва ваасч! частота та форми коливань. Показано, що при пввних значениях хорсткост! опор на н!в!мадья1в частот! еле мента мохе споствр1гатися змгаа форми коливань. Для пластина ! оОолонки така зм!на мае м!сце при р!зя!2 к!лькост! 1 розташуванн! опор.

В третьему параграф! розглядаеться середн!а прогин обо-лонковах елвмевт!в в докритичн!Я стад!! деформування. Анал!з ззлвжност! "вавантахавня- против" провадитъея на приклад!

пологих квадратних в план! паналей р!зно! гаусоЕо! крЙЕини при комб!нац!1 умов хорсткого занрШлвння та шара!рного опи-рання на контур!. Показано, цо для оболонок нульаво! крайняя характер ц!е! залежност! ( "опукл1сть догори" або "опук-л!сть донизу") кожа зм!нвватися з змйгов граничних умов, чо-го не спостер!гаеться для оболонок ненульовоТ кршшц.

- На приклад! р!вном!рно навантажено! сферично! жорстко закрйшено! по всьому контуру панел! дослвдкуеться вплив i! в!дносних розм!р!в при стал!й площ! в план! на величину критичного навантаження. Одержана крива с немонотонною з míhI-мумом для квадратно! в план! панел!. Для панел! э двома жорстко з акр taro ними протилежними краями 1 двома Звшзми шар-н!рно опертими в!дпов!дна крива в ц!й точц! екстремуму не мае в силу в!дсутност! при таких граничних умовах симетрП системи в ц1лому.

Четвертий параграф розд!лу м!стить досл!дження напружэ-но-деформованого стану прямокутного парзлелепйюду з гумо-под!бного матер!алу при_к!нематичних обмеженнях на двох про-тилекних гранях (z=oonat)i в!льних вс!х !нших.

Труднощ! обчислввального характеру при розв'язанн! задач! пов'язан! з II високою розм!рн!стю, нетрив!альн!стю граничних умов, близк!стю коеф!ц!ента Пуасонз в слабостис-скуванпх !зотрошшх матер!алах до його граничного значения v=0,5, а також можливою значною нер!вном!рн!стю напружень в пловданах z=oonst при малих розм!рах паралелепйюду в напрям-ку стискання.

В прикладному в!дношенн! terepec до задач! зумовлений широким застосуванням гумопод!бних матер!ал!в як вмортизато-р!в в пристроях р!звого призначення ! необх!да!стю визнэчен-ня в зв'язку з цим !х взжливо! експлуатаЩйно! характеристики - коеф!ц!ента статично! жорсткост! р.

На основ! одержаного розв'язку задач! обчислвнззся кое-ф!ц!ент жорсткост! в широкому д!апззон! в!дносних розм!р!в паралелеп!шда i оцЬпзналися границ! застосування два ним ip-вих моделей плоско! деформац!! та плоского напруженого стану при розрахунку цього коеф!ц!енту.

Показано, ею метод повних систем дозволяв проводати ст!йки розрахунки для матер!зл!в з коеф!ц1ентом Пуасона v •0,499, що досить близько до граничного його значения в

!зотропному випадку; для "високих" параде лап !лед!в (h/a Я ) надруганий став в алощинах, ортогональних напрямку стаскання практично однор!дний (Р»1), для "низышх" (й/а < 0,2) з змэншвнням в!дносно! товщини. характеристика неоднор!даост! зростае експоненцйЬю; використання модэл! плоско! задач! ( плоско! деформац!! та плоского напрухеного стану) дае верха» та нихню оц!нку значению коеф!ц!ента статично! жорсткос-т!: ш одерханим даним мохна визначити область використання цах моделей в залехност! в!д в!даосно! висоти амортизатора та допустимо! гохибки розрахунку.

В останньому параграф! розд!лу розрахунок напрухеш-деформованого стану да динам!чних характеристик цього в пз-ралелепШеду в просторов!й постанови! праймаеться за основу для оц!нки обдгс/ri використання двох наблиханих моделей: мо-дел! К!рхгофа-Лява в задачах статики та вЬльних коливань плит середньо! товцини при р!звих умовах на б!чн!й поверхн! та ш дкф t ковано! моде л! плоско! задач!, цо запропоновава I.K. Сенченковим в [22} для розрахунку власних частот плас-тинчатих т!л.

В перш ta задач! для граничких умов херсткого 2акр1плвн-ня, консольного закр!плення та шара!рного отдавая !зотроп-вд! плати в залехност! в!д II в!даосно! товщини 0=h/a одер-хано к1льк!сн! оц!нки граничь застосування класично! модал!. Показано, що II мохливост! значно аирш! при умовах консольного закр!пл8ння, н1х херсткого закр!плення по вс!м б!чнам граням (при допустим!й похабц! обчислення максимального про-гину в IOS консольн! плати мохна розраховувата до товщин О» =0,5,а з хорстким закр!пленням контуру - до 0*0,2).

У друг!й задач! розглянуто результата розрахунк!в власних частот планарних коливань шшстинчатих т!л по стандартна та модаф!кован1й [22] моделям плоско! задач!. Показано, що для похибок, що допускаться умовами експлуатац!! пластин при зварц! ультразвуком, модиф!кована модель дозволяв проводите розрахунки для вдвое б!льших товщин пластин, н!ж стандартна.

В заключи !й частин! дасертацИ сформульовано п!дсумков!

еисновки.

В дисертац!! розроблено еданий п!дх!д до розв'язання задач теор!! прухност! та теор!1 оболонок для неодаор!даих

ан!зотропних т!л ск!нченгх розм!р!в, що вклэтае метод 'роз-в'язування багатовим!рша лМйнкх граничних задач та хюбудован! на його основ! матадики розв'язання нелшхйних задач та задач на власн! значения; п!дх!д вихористгно для розв'язання задач статики, в!льних та нимушених .усталених гармон!чних коливань просторових т!л у фарш прямокутного паралелеп!педу та горожнистого паруватого цилхндру, а тахож гнучких пластин та оболонох у докритичн!й стад!! деформуван-ня; досл!даено вшив на напружено- дефэрмований стан та ди-наы!чн! характеристики конкретних пружних елемент!в змгаи !х геометричних та ф!зичних параметр!в, умов на обме«уючих по-верхнях, наявност! р!зного роду локал!зованих включень; роз-в'язан! задач!, що магггь теоретична та прикладне значения.

Одержан! при цьому основа! наухов! результата полягають у тому,цо:

1. Розроблено метод (метод повнях систем) розв'яззню? багатовим!рних л!н!йних граничите задач теор!1 прухностх та теор!! оболонок для неоднорхдних ан!зотротших тхл та тонко-ст!нних елемент!в, що базуеться на розвитку проекц1йних ме-тод!в зведення до звичайних даференцШшх р!внянь; метод грунтуеться на редухц!! виххдно! м-вкм!рно! задач! до система н взаемопов'язаних одновгм!рних задач, для розв'язання яко! вихористовуеться !терац1йний спосхб типу Гаусэ-Зейделя в припущепн!, що чисельве розв'язання одновим!рно! л1н1йно! гранично! задач! проблеми не складае; метод не зв'язаний з дов!льним Еибором хоординатних функц!й на в!дм1ну в!д проек-ц!йних та вар!ац1йних п1даод!в, р!внозначно враховуе вс! не-залежн! зм!нн1 облает! на в!дм!ну в!д методов зведення типу Канторовича-Власова ! не передбачае пойереднього знаходкення власнах функцИк, що може виявитися в загальному випадку складной самост!йнов задачей; побудованй рхзнХ вар1антн методу ( прям!, рекурентн!, локально-визначен!, !нтегральн!, колокацйн!), що в!др!знявться зручн!ств реал!зац1! в конкретних класах задач; метод характеризуемся лШйнов за-лэжн!ств затрат ВОЫ з ростом числа яезалааяах зм!нних облас-т! при збереженн! достатньо! точн!ст! результат!в.

2.Побудовано нову методику розв'язання нел!н!йкнх граничних задач з дек!лькома назалеишми зч!нннмк, ¡50 грунту-еться ва поеднанн! методу швних систем з л!н!вр!зац!еп по

Ньютону-Канторовичу; запропоновано загальннй !терац!йний процес, що одночаоно реал!зуе л!наар!зац!в та розв'язування багатовим!рних л1н!йних гравичних задач.

3.Запропоновано нову методику розв'язування багатови-н!рних задач на власы! значения, що грунтуеться на шеднанн! метод!в повних систем та тосл!довних наближень ; з побудрвою загального 1терац!йного процесу розв'язування задач! в ц!ло-му. Вказане поеднання !терац!йних процес!в в обох методиках 1стотньо (у декШька раз!в) зменшуе нитрата часу на розв'я-зання в!дпов!дних задач.

4.Розроблений п!дх!д викориеташ для розв'язання таких хлас!в стац!онарних задач теор!! пружаост! та оболонок:три-вим!рних задач статики, задач про в!льн! та вимушен! устале-н! гармон!йн! коливання для ан!зотропних неоднор!дних т!л ск!нчених розм!р!в при дов!ль&их умовах ва обмежуючих по-верхнях; двовим!рних задач сераднього прогину гнучких оболо-нок та коливань в!льних та статично вавантажених тонкост!н-них еламент1в.

5.Проведено практична обгрунтування розроблзного методу тв побудованих на його основ! методик в клас! сфэрмульо-ваних задач теорН прухност! та теор!! оболонок. При цьоыу показано: зб!жн!сть 1терац!йного процесу рЬпення розв'язув-чоI система метода, швидк!сть якого практично не заложить в!д вибору початкового на ближення; зб!хн!сть загального процесу розв'язання нел!н!йних задач в облает! опуклост! ви-хЩюго оператора та задач на власн! значения при початково-му наолиженн! загального виду; достатн!сть »шло! к!лькост1 членн!в апроксимац!! (одного-трьох) для о держания результата з досить високою точв!стю.

6.На основ! розробленого п!дходу розв'язано задач! статики та коливань (в!льних та вимушених гармонШшх) для прямокутного паралелел!пвду з ан!зотропного матер!алу з одн!ею площиною пружно! симетр!!, порожнистого шаруватого цил!ндру з ортотропними шарами, щр працпоть сум!сно, пологих прямокутних в план! оболонок та пластин з неоднор!дностями типу локал1зованих вклвчень.

7. Прове да но анал!з статичного тв динам!чного деформу-ваяня просторових т!л та оболонкових елемент!в в залежност! в!д зм!ни !х геометричних та ф!зичвих парвметр!в.Дэсл!джено:

- данам!чн! характеристики товсто! ен!зотрапно! плита при р!зних уаовах на 0!чн!й товархн! в залэяюст! в!д кута м!г головками осями прузност! ортотропного матер !алу та геоиетрачнимя осями шшти; показано, цо отриман! залехност! е немонотонниии , суттево р!знама для р!зних граничвах умев, а 1х екстрвмальн! точки в!дпов!давть полозенням сгагетрИ платя а ц!лому,тобто симетр!! геомэтр! 1 з врахуванням гра-начних умов та симетр!! ф!зичних властивостеИ матер!алу; в!дм!чево, цо знехтування "поб!чними" хорстхостяма, цо утво-ралися в нвсл!док зв'язку нормальних 1 зсувних фахтор!в в узаг&яьненоцу закон! Гуха, приводить до п!двицання значащ, ншгеих частот , особливо суттевому ( приблизно на порядок) дйя шшнарних ходавань при умовах гярсткого закрйивния;

- вшив розташуваяня та величина локал!зоваво! 1н9рц!гно1 маси на частота ! форма коливань квадратно! пластинки; показано, я» для р!звих умов захрЬиення контуру екстремальн! значения нгзгеах частот пластинки в залегност! в!д м!сця зяа-ходаевня праедняно! маси в!дпов!дагть вяпадкам симетр!I система "пластина + маса" в ц!лому; при ц!ому розтаиування !варц!йво! маси та II валхчана иозэ в дех!лъка раз!в знизити значения частотного параметра, на зм!нппча модовий характер коливань;

- залэан1сть м!н!мальво1 частота консаяьно! цкл!ндрачно1 павел! в!д наявност! пруаних опор, 1х к!лькост1, «орсПсост! та розтаиування; показано, цо при певнШ жорсткост! опор та !х м!сцезнаходаенн! в!дбуваеться зм!на форм коливань падал! на м!н!мальн1г частот!;

- зал9*н1сть "назантааення-прогин" при дохритичнШ де-формацИ полотях панелей р!зно! гаусово! кривини з р!знтая удавами закр!длення контуру; показано, ср для оболонох ну-льово! кринини характер ц!е! залехност! ( "вшзухл!сть догхн ри" чи "випукл!сть донизу") моет зм!ншзтися з зм1ноп грз-ничких умов, чого не спостер!гаеться для оболонок ненульово! хривини;

_ вшшв на значения критичного навзнтажакня в!дносних розм!р!в жррстко захр!плено1 го контуру сферично! пане л! при стал!й площ! в план!; показано, яр данна залега!сть е немонотонно!) 1 м!в!мальнв критична ваваятааяння в!дпов!дае вя-т^дку квадратно! панел!, того ве спостер!гаеться, холи да!

вротилехн! сторона хорстхо захр!плен!, а да! üffli варн!рно оперт!;

- напружено- деформований став прямокутдаго паралелеп!-педу з гуыопод!бного матер!алу при нормальних кХнематичЕих обмеханнях ш двох протилехнахгранях 1 в1льних вс!х 1ншх; показана ыожлиг!сть одерхання по методу повних систем ст!й-кого р!шевня при значениях коеф!ц1ента Пуасона, близьких до граничних для 1зотропшго матер!аду; в1да!чено, «р налрухення в площадях, цо ортогональа! напрямку д!1 обме-хень, е практично одаорЗдаима, коли розм!р паралеледйиду в цьоыу напрямку пвренищуе !нт!;

- х^анац! використанвя двох наблахенах моделей: модел! К1рхгофа-Лява в задачах статики та коливань плит середньо! товщини при р!зтах граничних умовахта модафЬювано! [ 22 ] модел! плоско! задач! при розрахунку власних частот планар-нах коливань пластанчатих т!л; даються к!яьк!си1 оц!нки по-хибок обох моделей в аалехяост! в!д товщдва шастана. Г

а.Розроблений п!дх!д мохе бутя використвний для статичного та данам!чного розрахунку просторових та тонкост!нних елемент1в конструкцМ сучасно! технЬш. Застосуванкя методу повних систем 1 побудованих на його основ! методик ' до ; розв'азаяая задач ст&гики та динам Ьш прухних т!л дозволяе при конкретних розрахунках врахувати реальн! характерастики иатер!алу, його неоднор!дн1сть, наявя!сть локал!зованих вхлючень, умови на обмехуючих поверхнях та !на! фактора для вибора рац!оаальних геоматричних !ф!зичних параметр!в кон-струкцИ з метою п!даищення II аад!йвост!.

Основний зм!ст дасертацН в!добрахено в таких публЬса-ц!ях: ;'"

1. Беспалова Е.И. Решение задач теории упругости методами пп.пннх систем // Ж. вычисл. матем. а матем. фаз., 1989.29, К 9.- C.I346-I353.

2. Беспалова Е.И. Об одном подходе к исследованию свободных колебаний упругих зле ментов конструкций // Прикл. меха-ниха,- 1968.- 24, Н I.- О. 43-48.

3. Беспалова Е.И. Решение нелинейных задач теории оболочек с использованием методов полных систем // Прихл. меха- : нлка.- 1992.- 28. Н S--С. 43-48,

4. Беспалова Е.И. О свободных колебаниях пологах оболочек

цра различных условиях закрепления контура // СопрЬтив-

, .. ловив материалов н теория сооружения.- 1987.- Вып.51.-0.24-27.

5. Беспалова Е.И. О решении задач теории оболочек методами

Л- полных систем.- Киев,1988.- 16с. // Дав. в ВИНИТИ • 12.12.88.-» а7Э5-В88.

Б. Беспалова Е.И. Наосесимметричные колебания полых слоистых цилиндров при жестком защешшнии торцевых плоскостей,- Киев,1988,- 8с. // Деп. в ВИНИТИ 18.11.88.- Н 817&-В88.

7. Беспалова Е.И. К расчету свободных колебаний оболочек с упругими связями.- Киев, 1988.- 9С. // Деп. в ВИНИТИ 18.И.88.-Я 8177-В88.

8. Беспалова Е.И. Метода полных систем в задачах теории оболочек // Тез. докл. III Всесоюз.конференции "Механика неоднородных структур" / Львов, 17-19 сентября 1991/.-Львов,1991.-4.1.-0.29.

9. Беспалова Е.И.,Калина Т.Н..Михайлов С.Н. Колебания пластан с присоединенными массами, распределенными по участку поверхности // Црихл. механика.- 1987.- 23, н 6.-С. 78-83.

10. Беспалова 0.1., Китайгородський А.Б. Про экстремальн! властивост! власних частот ан1зотрсшно1 плита // Тез. дзвл. Украин. конф." Моделирование и исследование устойчивости систем/ Киев, 15-19 мая 1995/.- Киев,1995.- 0.20.

11. Беспалова Е.И., Сенченков И.К. К расчету пространственных элементов конструкций из эластомерных материалов методами полных систем // Прикл. механика.- 1990.- 26, и 12.- С. 3-7.

12. Григоренко Я.М.,Беспалова Е.И.,Китайгородский А.Б.,Шинкарь А.И.Свободные колебания элементов оболочечных конструкций.- Киев: Наук, думка, 1986.- 170с.

13. Григоренко Я.М..Беспалова Е.И.,Василенко А.Т.,Голуб Г.П. и др.Численное решение краевых задач статика ортотроп-ннх слоистых оболочек вращения ва ЭВМ типа Ы-220.- Ки1в: Наук, думка,1971.- 152с.

14. Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Беспалова Е.И., Панкратова Н.Д. и др. Численное решение задач статики ортотроп-вых оболочек с переменными параметрами .- Киев: Наук.

думка, 1975.- 183с.

15. Прокопов В.Г. .Беспалова Е.И., Шэренховский D.B. Об одном новом методе математического исследования процессов переноса // Пром. теплотехника.- I979.-t, я 2.- 0. 30-35.

16. Прокопов В.Г. «Беспалова Е.И., Веренковский D.B. об одном методе решения вариационных задач теплопереноса // Пром. теплотехника,- 1381.- 3, It I.- 0. 30-35.

17. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шеренковсхий D.B. Метод разделения переменных «урье и метод полных систем для решения многомерных задач теплофизики // Пром. теплотехника.- I98I-- 3, N 2. - 0. 25-32.

18. Прокопов В.Г. .Беспалова Е.И., Шеренковский S.B. К развитии вариационных методов решения многомерных задач теплопроводности // Изв. вузов. Энергетика.- 1981.- и 8.-

С. 56-62.

19. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шеренковсхий D.B., Блинов Д.Т. К исследованию процессов теплопереноса в областях сложной формы при произвольных граничных условиях //Пром. теплотехника.- 1382.- 4, н 3.- 0. 44-49.

20. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шереаховский C.B. Метод сведения х обыкновенным дифференциальным уравнениям Л.В. Канторовича и общий метод решения многомерных задач теплопереноса // Инженерно-фкзический журнал.- 1982.- 42,

н 6.- 0. I007-I0I3.

21. Прокопов В.Г. .Шаренковский р.В., Беспалова Е.И. К созданию методов координатных решеток для решения многомерных задач механики сплошных сред // Пробл. прочности. -1980.- Н 7.- С. 93-97.

22. Сенченков И.К.,Беспалова Е.И. .Козлов В.И., Якименко О.Н. О возможностях уточненного метода расчета пленарных колебаний пластинчатых тел // Црихл. механика.- 1991.-ZT.HII.- С. 69-77.

Ключов! слова: просторов! т!ла сх!нчених розм!р!в, оболов-

ков! елементи,нводаор1да!сть, ан!зотроп!я, статика, стац!о-

нарна динамЬса, багатовим!рн! граничн! задач!,нел!н!йн1 задач!,задач! на власа! значения.

Bespalova S.I. She solution of stationary problems of the theory of elasticity and theoty of shells of the full systems methods.

Ihss ia 'or a Doctor's degree of physical and mathematical soienoes in speaiality 01.02.04 - Ueohaaics of the Solid Body Deformation, Institute of mechanics af the Ukrainian national Aoadeay of Sciences, Kiev, 1995.

The single approach has been developed, for the solution of stationary problems of the theory of elasticity and theory of shells for non-hoaogensous anisotropic bodies of finite sizes and differentpurpose thin- walled elements. The approaoh. includes the method of solution of linear boundary problems with any number of independent -variables, two pro-oedurres of solution of multidimensional non-linear problems and proper value problems, as wellas hardware for their realizing in statios, free and forced harmonio osoillations of a wide class of three-dimensional bodies, and a mean bending of flexible shells at the suboritical stage of deformation. At the sufficiently high aocuraay of results the mentioned approach is characterised by a linear increase of the required machine-tine of the computer with a grouth of the problem dimension that permits to use it effectively in study of the statio and dynamic deforming of structure elements in the conditions olose to the service ones. The new problems have been solved.

The main content of thesis is desoribed in 22 publications of the author, among which there are 3 manuscripts.

Беспалова Е.И. Реяэние стационарных задет теории упругости и теории оболочек методом полных систем.

Диссертация на соискания ученой степени доктора бязико-математическах наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Институт механики им.С.П. Тимо-ианко Национальной Академии наук Украины, Киев,1995.

Разработан единый подход к решении стационарных задач-теории упругости а теории оболочек для неоднородных анизотропных тел конечных размеров и тонкостенных еле ментов различного назначения. Подход включает в себя метод решения линейных граничных задач с любым числом независимых переменных, две методики решения многомерных не линейных задач и задач на собственные значения и реализующие их программные средства для задач статика, свободных и вынужденных гармонических колебаний широкого класса пространственных тел, а такте среднего изгиба гибких оболочек в дофатической стадии деформирования. При достаточно высокой точности результатов данный подход характеризуется линейным возрастанием требуемых затрат ЭЕЫ с ростом размерности задачи, что дает возможность аффективного его использования при исследовании статического и динамического деформирования ела кантов конструкций в режимах, близких к эксплуатационным. Решены новые задачи.

Основное содержание диссертации изложено г 22 публикациях автора, в числе которых 3 монографии.

• ПЬшясано до друку 26.03. УЛФормат 60x84/16 Danlp офсетний. Умовн.-друк.аркуш. 2,0. Об.-вид.аркуш 2,0. Тираж 1С О . Замовл. 2S3 .

Пол1грвф. дХлья. 1нституту електродинам1ки ЛНУкра1ни, 252680, Ки1в-57, проспект Перемоги,56