Решение задач оптимального проектирования многослойных полимерных конструкций при воздействии волн методами теории оптимального управления тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.19 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ. 4 '

I.ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ.ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1.Практические задачи,связанные с оптимальным проектированием слоистых конструкций,подверженных воздействию волн.

1.2.Обсуждение трудностей.Обзор литературы.

2.ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.ПОСТРОЕНИЕ НЕОБХОДИМЫХ

УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ. 2.1.Общая постановка задачи оптимизации для совокупности систем обыкновенных дифференциальных уравнений

2.2.Вычисление частных производных от функционала

2.6) по управляющим параметрам.

2.3.Построение необходимых условий оптимальности.

2.4.Построение вычислительных процедур оптимизации в случае,когда дифференциальные уравнения для всех подсистем и области управления одинаковы.

3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ .ПРАКТИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ УСЛОВИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ.

3.1.Алгоритмы построения оптимальных многослойных теплозащитных конструкций.

3.2.Свойства теплофизических параметров оптимальных теплозащитных конструкций в случае дискретной области управления.

3.3.Свойства теплофизических параметров оптимальных теплозащитных конструкций в случае непрерывной области управления.

3.4.Оптимальное проектирование звукоизолирующих систем. jj

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ.

Актуальность темы диссертации.Быстрое развитие за последние годы химии и технологии высокомолекулярных соединений послужило основой для создания наиболее эффективных материалов,сочетающих в себе высокие теплозащитные свойства -с хорошими прочностными и эксплуатационными характеристиками.Подобных .показателей практически нельзя достигнуть у теплоизоляционных материалов из числа неполимеров.Поэтому дальнейшее совершенствование индустриального строительства, связанного с применением особо легких ограждающих конструкций неразрывно связано с увеличением выпуска и расширением номенклатуры полимерных материалов.

Конструкции на их основе отличаются высокой экономичностью и создают широкие возможности для повышения производительности труда в строительстве и снижения стоимости сооружений.Применение ограждающих конструкций,обладающих небольшим весом,высокой транспортабельг ностыо и относительной простотой монтажа,наиболее целесообразно в случаях,когда необходимо достичь следующих целей:

-уменьшить вес конструкций по сравнению с конструкциями из других строительных материалов(например,при строительстве в районах залегания вечномерзлых грунтов),

-сократить обьем транспортных и строительно-монтажных работ (особенно при строительстве в отдаленных и труднодоступных районах) и сократить сроки строительства,

-облегчить монтаж и демонтаж сборно-разборных конструкций, уменьшить мощность используемого подьемно-транспортного оборудования,

-повысить надежность конструкций зданий и сооружений при их эксплуатации в районах высокой сейсмичности.

Высокая индустриальность изготовления,небольшой вес,высокая транспортабельность создают широкие перспективы для применения таких конструкций не только в строительстве,но и в других областях народного хозяйства.

Ограждающие конструкции,как правило,находятся под воздействием волновых процессов различной природы,таких как тепловые,акустические и должны удовлетворять определенным требованиям на тепловые и акустические характеристики.В частности,они должны обладать высокой теплоустойчивостью и низкой звукопроводностью для определенных спектральных областей.

Применение в строительстве полимерных теплоизоляционных материалов, таких как пенополиуретан,пенополистирол,пенопласты на основе поливинилхлорида (ПВ-1,ПВХ-1,ПВХ~2,ПХА) ,феноло-формальдегидных • полимеров (ФФ,юК-20,ФК-40,ФС-7,ФРП-1,ФРП-2),эпоксидных полимеров, полиолефинов и других,обладающих низкими коэффициентами теплопроводности,позволяет получать требуемую теплозащитную способность ограждения при значительно меньшей общей толщине конструкции.Однако уменьшение, общей толщины конструкции,как правило,приводит к тому,что она уже не будет удовлетворять требованиям на теплоустойчивость.Низкая теплоустойчивость тонкостенных панелей является существенным препятствием на пути их применения в качестве ограждающих конструкций в строительстве.

Из теории распространения волн известно,что на затухание волн в многослойных средах существенное влияние оказывают физические параметры Материалов слоев,а также их порядок расположения.

Значительное изменение энергетических характеристик волновых процессов обусловлено явлением многолучевой интерференции преломленных и отраженных волн при проховдении через многослойную среду. В работах Никитиной Л.М.,Тимошенко А.Т.,Попова Г.Г.,Толстякова Д.И.

62,85,86j показано,что сочетание двух утеплителей с существенно различающимися свойствами в конструкции,ограниченной параллельными плоскостями,при строго определенном соотношении их толщин и порядка расположения позволяет значительно повысить ее теплоустойчивость.Эффект повышения теплоустойчивости на основе определенного сочетания двух материалов с существенно различающимися теплофизи-ческими свойствами позволяет использовать при воздействии тепловых волн более тонкие ограждающие конструкции,а,следовательно,значительно уменьшить стоимость и вес конструкций при соблюдении тех же требований на их теплотехнические характеристики.В работах jj52,85,86j рассматривался случай гармонического температурного воздействия на многослойную плоскую стенку,построенную на основе чередования двух материалов с существенно различающимися теплофи-зическими свойствами.Исследования проводились на основе численных расчетов путем перебора допустимых выриантов при небольшом числе слоев и небольшом количестве материалов допустимого набора.Выводы относительно качественных свойств конструкций,обладающих высокой теплоустойчивостью,полученные в работах [62,85,86] ,носят эмпирический характер,поскольку получены на основе анализа ограничен.— ного числа вариантов,а не на основе теоретического исследования моделей теплопереноса через многослойные среды.

В случае акустических волн наблюдается аналогичный эффект резкого увеличения звукоизоляции многослойных ограждающих конструкций при определенном сочетании материалов слоев с различными физическими свойствами и строго определенном соотношении их толщин.Вопросами оптимального проектирования многослойных звукоизолирующих конструкций занимались Лурье К.А. ,Мачевариани М.М. Sc\lQXtl\lOZst- /f.R [53,57-59,9б] .В этих работах показано,что наилучший эффект дает сочетание материалов с существенно различающимися физическими свойствами.Задачи проектирования звукоизолирующих конструкций рассматривались для случая,когда каждый материал характеризуется только одним параметром,например,скоростью звука,либо различные физические характеристики материалов слоев независимы друг от друга, что упрощает задачу.

Имеющиеся литературные данные показывают,что значительного затухания волн (тепловых,акустических,упругих) в многослойных системах можно достичь на,основе строго определенного сочетания материалов с существенно различающимися свойствами.

При эксплуатации в реальных условиях ограждающие конструкции должны удовлетворять разнообразным требованиям.Как правило,они должны быть оптимальными по нескольким критериям,например,иметь высокую теплоустойчивость,низкую стоимость и удовлетворять различным ограничениям,например-на вес,теплозащитную способность.

Использование материалов из числа неполимеров не позволяет добиться значительного эффекта вследствие ограниченной возможности варьирования их физических свойств в широких пределах.Современные химия и технология дают возможность создавать полимерные материалы с широким разнообразием физических и физико-механических свойств. Значительные перспективы в этом направлении открываются в связи с возможностью создания полимерных гибридов,т.е. материалов с новыми свойствами на основе заданного сочетания известных полимеров.

Возможность создания полимерных материалов с существенно различающимися характеристиками позволяет,подбирая определенным образом физические свойства материалов слоев,толщины слоев,а также их число управлять энергетическими характеристиками волновых процессов в широких пределах при выполнении различных ограничений на параметры конструкции.В связи с этим весьма актуальной является следующая проблема:из достаточно представительного набора полимерных материалов,характеризующихся широким разнообразием физических свойств спроектировать многослойную конструкцию (т.е. подобрать физические параметры материалов слоев,соотношение толщин слоев и их число),которая обладала бы максимальным затуханием температурных волн,или спроектировать многослойное ограждение,обладающее максимальной звукоизоляцией.Весьма важен вопрос о характере сочленения слоев с различными теплофизическими или акустическими характеристиками в оптимальной конструкции,т.е. какой структурой должны обладать многослойные конструкции с максимальной теплоустойчивостью или звукоизоляцией. Знание структуры оптимальных конструкций позволяет существенно сократить множество допустимых вариантов конструкций,исследуемых на оптимальность.Неисследован вопрос о том,каким образом влияет на энергетические характеристики волнового процесса в многослойной среде увеличение числа ее слоев.При эксплуатации в реальных условиях важно знать как влияет на структуру многослойных полимерных конструкций с экстремальными характеристиками изменение спектрального состава волнового воздействиям также граничных условий на внешней и внутренней поверхностях.Перечисленные выше проблемы имеют важное значение не только для плоских,но и для криволинейных конструкций типа многослойной сферы или многослойного цилиндра. Данные о повышении теплоустойчивости многослойных криволинейных конструкций в литературе отсутствуют.

Очевидно,что поставленные выше проблемы не могут быть решены на основе численных расчетов путем перебора допустимых вариантов. Это обусловлено тем,что,во-первых,необходимо проанализировать огромное число возможных вариантов конструкций,что невозможно даже при использовании современной вычислительной техники,во-вторых, выводы и рекомендации,полученные на основе анализа и сравнения друг с другом допустимых вариантов конструкций могут носить толлко эмпирический характер.Исследование качественных свойств многослойных полимерных конструкций,обладающих экстремальными характеристиками в общем случае может быть осуществлено только на основе теоретического анализа моделей распространения волн в многослойных системах, с использованием методов теории оптимального управления.Применение аппарата теории оптимального управления позволяет не только построить методику расчета многослойных полимерных конструкций с экстремальными характеристиками,но и в ряде случаев получить качественные свойства параметров этих конструкций и оценить границы,в пределах которых они справедливы.

Цель работы.Задачи исследований.Процесс распространения волн любой природы в многослойной среде описывается краевой задачей с достаточно сложной структурой,состоящей из системы дифференциальных уравнений в каждом из слоев,с условиями сопряжения решения на границах раздела слоев и краевых условий,выражающих взаимосвязь падающей и прошедшей волн с внешней средой на наружных границах конструкции.Задачи оптимального проектирования многослойных полимерных конструкций при воздействии волновых процессов произвольной природы могут быть сформгулированы в единообразной форме как задачи оптимального управления многоступенчатыми или многоуровневыми системами, описываемыми взаимосвязанной совокупностью систем дифференциальных уравнений.

Рассмотрим управляемый разрывный процесс,описываемый следующей краевой задачей для системы обыкновенных дифференциальных уравнений: xs(i)=3s(xs(i).ys(t\u.s,t), ts.l<t<tsl (s = i,N),

B.I)

Точка означает дифференцирование по переменной "t ).

В этих обозначениях: s(i)=frtd).■.,a)j, fa)--{£<t\£(t)}t a. = {a.±,.,a.-n\ , & ={S±,.■ s

Роль управляющих параметров играют векторы U, (s-lfl) ,принимающие значения из замкнутых ограниченных областей Ug .Управляющими параметраш наряду с LLs(s=i~77) могут быть также точки переключения ., .Моделями со структурой типа (B.I) может быть описано распространение различных волн(тепловых, акустических,упругих) при достаточно общих предположениях о характере их взаимодействия с многослойными преградами,Сюда входят случаи, t когда' конструкция является не только плоской,но и представляет собой многослойную сферу или многослойный цилиндр.Параметры модели (B.I) имеют следующий физический смысл: £ -координата,направленная вглубь конструкции перпендикулярно к ее поверхности, //-число слоев конструкции, -координаты границ раздела слоев с различными физическими свойствами, -физические характеристики материалов слоев,составляющих конструкцию.Для случая тепловых волн-это коэффициенты'теплопроводности и температуропроводности слоев,для случая акустических волн-плотность и скорость распространения волны в £ ~ом слое ) ,в случае упругих волн-плотность и модули упругости £-го слоя (S=i,АО .Величины ^ ^ (^ <ts , ) связаны с амплитудами волн и их градиентами в слоях.Дифференциальные уравнения описывают распространение волн в каждом из слоев.Граничные условия отражают взаимосвязь падающей и отраженной волн на наружной и внутренней поверхностях конструкции.

Задача оптимального проектирования многослойной конструкции с экстремальными характеристиками заключается в таком выборе уп

II g равляющих параметров li (g=ltN ) (физических характеристик материалов слоев) и точек переключения t£($=l,f/'l) (координат границ раздела слоев)удовлетворяющих условию:

0= to ^ it $ < . £ tN.L * Т при которых критерий примет наименьшее значение,. ( jP -непрерывная функция своих аргументов).

Данную систему можно считать состоящей из А/ . подсистем,взаимосвязанных друг с другом,каждая из которых определена на своем отрезке ) Разных отрезках функционирование динамической системы описывается различными системами дифференциальных уравнений.В точках 't<<(s=IJ>N-l) ,в общем случае нефиксированных, происходит переход от одной системы дифференциальных уравнений к другой.В этих точках переменные,характеризующие состояние динамической системы могут претерпевать разрывы.Системы с подобной структурой в литературе получили название многоступенчатых или многоуровневых. Для построения эффективных вычислительных алгоритмов оптимизации многоступенчатых систем в последнее время стали применятся разнообразные декомпозиционные подходы

50,51,67,94,95]

Методы декомпозиции связаны с возможностью расчленения исходной задачи оптимизации на ряд вспомогательных задач меньшей размерности.Для эффективности вычислительных процедур,построенных на основе схем декомпозиции необходимо,чтобы вспомогательные задачи,на которые расчленяется исходная задача,обладали рядом дополнительных свойств, например, имели бы достаточно простую структуру и были хорошо изученными с вычислительной точки зрения.Одной из существенных особенностей системы (B.I) является вхождение управляющих параметров Ц** одновременно в уравнения для точек переключения и в дифференциальные уравнения на каждом интервале.Для произвольных вектор-t^uS функций (£=2,N) затруднительно подобрать такую схему декомпозиции,-чтобы соответствующие вспомогательные задачи имели достаточно простую структуру,например,расчленялись бы на ряд вспомогательных задач меньшей размерности.Вследствие этого,проблема оптимизации управляемых систем подобного типа достаточно сложна,особенно в случае их высокой размерности.Для задач оптимального проектирования слоистых систем,как задач оптимального управления типа^ (B.I} (В.2) построение оптимального решения ещё более усложняется требованием конечности числа элементов,составляющих множества Ug .

Основная цель настоящей работы заключается в обосновании нового подхода для решения задач оптимизации сложных динамических систем,имеющих структуру типа (В.1),(В.2) и исследование с помощью данного подхода задач оптимального проектирования слоистых композитов с экстремальными характеристиками.

Научная новизна,личный вклад. Исследован новый подход к построению оптимального решения в сложных многоступенчатых системах, функционирование которых описывается совокупностью систем дифференциальных уравнений специальной структуры.С помощью предлагаемого подхода исследованы задачи оптимизации,для решения которых до сих пор не существовало единой методики.В качестве таковых рассмотрены задачи управления энергетическими характеристиками волновых процессов (тепловых,акустических) путем выбора структуры многослойных полимерных конструкций.Для этих задач рассматриваемый подход позволил построить эффективные вычислительные процедуры и установить ряд качественных свойств оптимальных параметров многослойных систем,в частности,установлен характер чередования слоев на экстремальном решении.

Практическая ценность. Основные результаты работы являются новыми и представляют теоретический и прикладной интерес .'Полученные качественные свойства параметров оптимальных многослойных ограждений позволяют выявлять их структуру,а также проводить приближенный синтез оптимальных полимерных конструкций без использования вычислительной техники.Исследована зависимость оптимальных параметров многослойных полимерных конструкций от граничных условий на внутренней и наружной поверхностях,а также от основной частоты волнового воздействия,что является важным при эксплуатации многослойных ограждений в реальных условиях.На основе предлагаемой методики составлены, программы на языке Фортран для оптимизации многослойных полимерных конструкций по критериям теплоустойчивости и звукопроводности,а также многоцелевой оптимизации по критериям теплоустойчивости и приведенной стоимости, с различными ограничениями на параметры ограждения (например-на вес,теплозащитную способность) .Численные эксперименты показали высокую эффективность предлагаемой методики расчета.Многослойные полимерные конструкции, рассчитанные теоретически,отличаются хорошими теплотехническими и акустическими характеристиками.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены и обсуждены на научных семинарах института математики СО АН СССР в 1981-82 г.г. ,семинарах Отдела прикладной математики и вычислительной техники Якутского филиала СО АН СССР,на IV республиканской конференции молодых ученых и специалистов,посвященной XIX сьезду ВЛКСМ (Якутск,1982 г,),на/у и V Всесоюзных конференциях по механике композитных материалов (Рига, 1980,1983 гг.),на X Всесоюзной школе по методам оптимизации и теории управления (Иркутск,1983 г.). •

Практическая реализация работы. Разработанная в диссертации методика расчета оптимальных многослойных теплозащитных конструкций при воздействии тепловых волн внедрена в практику проектирования многослойных строительных панелей при проектировании

Якутским.лаучно-исследовательским филиалом института Забайкал-промстройниипроект панели с термовкладышами,изготавливаемых Вес-тяхским заводом ЖБИ.

Достоверность научных результатов и выводов обусловлена достоверностью исследуемых моделей распространения волн различной природы в многослойных системах,правильностью теоретических выкладок и сравнением результатов с литературными данными.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в девяти статьях.

Обьем работы.Диссертационная работа состоит из введения,четырех глав -и. заключения,изложена на 167 страницах машинописного текста,включает 13 таблиц и список литературы из 116 наименований .

Основные результаты работы заключаются в следующем:

I.Задачи оптимального проектирования многослойных полимерных конструкций при воздействии волновых процессов произвольной природы сфор^лированы в единообразной форме как задачи оптимального управления многоступенчатыми или многоуровневыми системами, описываемыми взаимосвязанной совокупностью систем дифференциальных уравнений.Предложен новый подход для построения оптимального решения в таких системах,основанный на введении ряда вспомогательных задач и построении оптимального решения исходной задачи оптимизации на основе знания решений каждой из вспомогательных задач .Разработаны вычислительные процедуры решения вспомогательных задач и построения оптимального решения исходной задачи на их основе.

2.С помощью предлагаемого подхода исследованы задачи оптимизации, для решения которых до сих пор не существовало единой методики.В качестве таковых рассмотрены задачи управления энергетическими характеристиками волновых процессов произвольной природы путем выбора структуры многослойных конструкций.Для этих • задач рассматриваемый подход позволил построить эффективные вычислительные процедуры оптимизации.

3.На основе анализа необходимых условий оптимальности,которым при определенных условиях удовлетворяют параметры слоистых композитов,получены качественные свойства параметров многослойных полимерных конструкций,обладающих экстремальными тепло- и звукоизоляцией.Эти свойства позволяют установить структуру,которую должны'иметь многослойные конструкции для того,чтобы обладать экстремальными характеристиками.В частности,установлен характер сочленения слоев с различными физическими свойствами на оптимальном решении.Знание этих свойств позволяет осуществлять приближенный синтез оптимальных многослойных полимерных конструкций без использования вычислительной техники,

4.Впервые проведено исследование задач проектирования криволинейных многослойных конструкций типа многослойной сферы или многослойного цилиндра с экстремальными характеристиками при воздействии тепловых волн и получены качественные свойства параметров таких конструкций.

5.Исследована зависимость оптимальных параметров многослойных полимерных ограждений от граничных условий на внутренней и наружной поверхностях,а также от основной частоты волнового воз- • действия,что является важным при эксплуатации многослойных полимерных ограждений в реальных условиях.

6.На основе предлагаемой методики составлены программы на языке Фортран для оптимизации многослойных полимерных конструкций по критериям теплоустойчивости и звукопроводности,а также многоцелевой оптимизации по критериям теплоустойчивости и приведенной стоимости с различными ограничениями на параметры ограж-дения( на вес,теплозащитную способность ).Численные расчеты показали высокую эффективность методики.Многослойные полимерные конструкции,рассчитанные теоретически,отличаются хорошими теплотехническими и акустическими характеристиками.

При эксплуатации в реальных условиях ограждающие конструкции должны удовлетворять разнообразным требованиям.Как правило, они должны быть оптимальными по нескольким критериям.Предлагаемая методика расчета может служить основой для разработки многоцелевых процедур оптимизации полимерных конструкций с различными ограничениями.

Проблема конструирования многослойных систем с экстремальными характеристиками является актуальной и для случая электромагнитных волн.Основные задачи,возникающие при проектировании многослойных покрытий при воздействии электромагнитных волн-следу-ющие:

-проектирование интерференционных покрытий с высоким отражением для достаточно широкой области спектра (например,создание широкополосных диэлектрических отражателей волновой энергии [41,43] ),

-проектирование интерференционных покрытий с наибольшим пропусканием в заданной области спектра (например,создание просветляющих покрытий для видимой или инфракрасной частей спектра [40,42] ),

-проектирование интерференционных покрытий с наибольшим пропусканием в одной области спектра и наибольшим отражением в другой (например,создание дихроических светоделителей [77] ).

Данные задачи,при достаточно общих предположениях о характере взаимодействия электромагнитных волн с многослойными преградами, могут быть сведены к задачам оптимального управления,имеющим структуру,подобную структуре задачи (B.I),(В.Z).Поэтому для, их исследования может быть использована методика,рассматриваемая в настоящей работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Появление большого числа новых полимерных материалов с существенно различающимися физическими свойствами открывает принципиально новые возможности в создании многослойных полимерных конструкций с экстремальными характеристиками.Многослойные конструкции, по строенные на основе строго определенного сочетания таких материалов,могут одновременно удовлетворять разнообразным требованиям на их параметры.

Вследствие того,что выводы относительно свойств оптимальных слоистых композитов,полученные на основе анализа ограниченного числа допустимых вариантов,могут носить только эмпирический характер,исследование задач оптимального проектирования многослойных полимерных конструкций проведено на основе теоретического анализа моделей распространения волн в многослойных системах с использованием методов теории оптимального управления.

1.Александров Л.Н.,Иванцев А.С.Многослойные пленочные структуры для источников света.-Новосибирск:Наука,1981.-137 с.

2. Алексеев Б.Н.,Дианов Д.Б.О расширении полосы пропускания пьезокерамических преобразователей.-Акустический журнал,1974,№5, с.663-667.

3. Бернинг П.Х.Теория и методы расчета оптических свойств тонких пленок.-Сб.:Физика тонких пленок.М.:Мир,1967,т.1,с.91-151.

4. Бреховских Л.М.Волны в слоистых средах.-М.:Наука,1973.-343 с.

5. Бабе Г.Д.,Попов Г.Г.Расчет периодических температурных волн в многослойных плоских средах.-Сб.:Методы прикладной математики и автоматизация научного эксперимента.Якутск:Я§ СО АН СССР,1080,с.52-57.

6. Беллман Р.,Калаба Р.Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи.-М.:МИР,1968.-183 с.

7. Вудак Б.М.О задачах оптимального управления для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. -ЖВММФ,1971, с.51-64.

8. Бутковский А.Г.,Полтавский Л.И.Оптимальное управление волновыми процессами.-Автоматика и телемеханика,1966,№9,с.48-53.

9. Э.Волынский Э.Н.,Хенкин М.3.0 нелинейных вспомогательных задачах в математическом программировании.-ЖВММФ,1976,№6,с.1590--1594.

10. Веретенников В.Г.,Синицин В.А.Разрывная вариационная задача оптимизации процессов управления.-Прикладная математика и механика,1972,№2,с.357-360.

11. П.Габасов Р.,Кириллова Ф.М.Обращение некоторых необходимых условий оптимальности.-ДАН БССР,1974,т.18,№8,с.689-691.

12. Габасов Р.,Кириллова Ф.М.Особые оптимальные управления .-М.:Наука,1973.-256 с.

13. Габасов Р.Об одной задаче теории оптимальных процессов.-Автоматика и телемеханика,1967,Ш,с.5-15.

14. Гребенщиков И.В.,Власов А.Г.,Непорент Б.С.,Суйковская Н.В. -Просветление оптики.М.-Л. :Гостехиздат, 1946.

15. Горбунов В.К. О сведении задач оптимального управления к конечномерным.-ЖВММФ, 1978,№5,с.1083-1095.

16. Гласко В.В.,Тихонов А.Н.,Тихонравов А.В.О синтезе многослойных покрытий.-ЖВММФ,1974,ЖЕ,с.135-144.

17. Губенко А.Б.Строительные конструкции с применением пластмасс. -М. :Изд- во лит.по строительству,1970.327 с.

18. Данилин Ю.М.Минимизация нелинейных функционалов в задачах с ограничениями.-Кибернетика,1970,№3,с.II0-II7.

19. Демьянов В.Ф.,Рубинов A.M.Минимизация гладкого выпуклого функционала на выпуклом множестве.-Вестник ЛГУ,1964,в,4, М9,с.5-17.

20. Демьянов В.Ф.,Рубинов A.M.Приближенные методы решения экстремальных задач.-Л.:ЛГУ,1958.-180 с.

21. Дианов Д.Б.0 влиянии переходных слоев на частотные характеристики стержневых пьезопреобразователей.-Известия ЛЭТИ, 1963,т.63.

22. Дианов Д.Б.О влиянии переходных слоев на коэффициент полезного действия пьезопреобразователей.-Акустический журнал, 1967,№4.

23. Дугин Н.С.Управление индукционным нагревом металлов.-Сб.;Математические методы оптимального управления системами с распределенными параметрами.-Фрунзе,Илим,1973.

24. Диденко Н.И.,Мачевариани М.М.Минимизация толщины неоднородного согласующего слоя при заданном модуле коэффициента отражения монохроматической волны.-Акустический журнал,1972,№2, с.228-232.

25. Евтушенко Ю.Г.Численные методы решения задач нелинейного программирования.-ЖВММФ,1976,№2,с.307-324.

26. Егоров А.И.Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами.-М.:Наука,1977.-480 с.

27. Ермольев Ю.М.,Ермольева Л.Г.Метод параметрической декомпозиции .-Кибернетика,1973,№2,с.66-69.

28. Жук И.П.,Мищенкова Л.П.Теплотехнический расчет наружных ограждений.-Минск:Наука и техника,1975.-107 с.

29. Исакович М.А.Применение елоев,устраняющих возникновение поперечных волн при отражении продольной волны от границы твердого тела.-Акустический журнал,1956,№2,с.150-153.

30. Иванцев А.С.Применение селективных покрытий в источниках света.-Светотехника,1979,№12,с.1-5.

31. Иванцев А.С.Об увеличении световой отдачи и изменении спектров излучения источников света.-Сб.:Светотехника и источники света.Саранск,1978,в.I,с.3-1I.

32. Кацнельсон М.Ю.,Бадаев Г.А.Пластические массы.-Л.:Хи-мия,1978.-383 с.

33. Колмановский Б.Б.Применение метода возмущений к некоторым задачам оптимального управления.-Прикладная математика и механика,I975,№5.

34. Колмановский В.Б.Оптимальное управление нелинейными системами с малым параметром.-Дифференциальные уравнения,1975, №9,с.I584-1594.

35. Крылов И.А.,Черноусько Ф.Л.Алгоритм метода последовательных приближений для задач оптимального управления.-ЖВММФ, 1972, М, с. 14-34.

36. Колтун М.М.Селективные оптические поверхности преобразователей солнечной энергии.-М.:Наука,1979.-215 с.

37. Кашимир Г.И.Дартаковский В.Д.Экспериментальное исследование ультразвуковых переходных елоев.-Акустический журнал,1956, Р2,с.154-160.

38. Кокс Д.Дасс Г.Просветляющие покрытия для видимиой и инфракрасной областей спектра.-Сб.:Физика тонких пленок.М.:Мир, 1967,т.2,с.186-253.

39. Королев Ф.А.,Клементьева А.Ю.,Мещерякова Т.Ф.,Рамази-на И.А.Широкополосные отражатели на основе многослойных диэлектрических покрытий.-Оптика и спектроскопия,1970,№4,с.775-780.

40. Королев Ф.А.Многослойные интерференционные диэлектрические светофильтры для видимой и близкой инфракрасной областей спектра.-Инженерно-физический журнал,I960,№3,с.55-61.

41. Колтун М.М.Просветляющие и отражающие покрытия для полупроводниковых излучателей и приемников излучения.-Сб.:Полуп-роводниковые приборы и их применение.М.:Сов.радио,1970,в.6,с. 15—22.

42. Крылова Т.Н.Интерференционные покрытия.-Л.:Машиностроение, 1973. -224 с.

43. Карц П.Г.Анали:з и синтез многослойных интерференционных пленок.-Таллин:Валгус,1971.-235 с.

44. Левитин E.G.,Поляк Б.Т.О сходимости минимизирующих последовательностей в задачах на условный экстремум.-ДАН СССР,1966, т. 168,№5, с. 997-1000.

45. Левитин Е.С.,Поляк Б.Т.Методы минимизации при наличиш ограничений.-ЖВММФ,1966,№5,с.787-823.

46. Левитин Е.С.0 необходимых и достаточных условиях при которых данная последовательность является минимизирующей,-ДАН СССР, 1968,т.183,№6,с.1242-1246.

47. Левин Г.М.О параметрической декомпозиции экстремальных задач.-Кибернетика,1977,№3,с.123-128.

48. Левин Г.М.,Танаев В.С.Декомпозиционные методы оптимизации проектных решений.-Минск:Наука и техника,1978.-240 с.

49. Любушин А.А.Модификации и исследование сходимости методов последовательных приближений для задач оптимального управления . -ЖВММФ , 1979 , №6 , с . I4I4-I42I .

50. Лурье К.А.,Мачевариани М.М.Минимизация толщины неоднородного согласующего слоя при заданном отражении монохроматической волны.-ПМТФ, 1969, М, с.44-50.

51. Медведев В.А.,Розова В.И.Оптимальное управление ступенчатыми системами,-%томатика и телемеханика,1972,№3,с.15-23.

52. Муромов С.И.Расчетные температуры наружного воздуха и теплоустойчивость ограждений.-М.:Гос.изд.строит.лит.,1939.-72 с.

53. Молодцов Н.Н.06 исследовании динамики многослойного неоднородного полого шара.-Вестник МГУ,сер.матем.,мех.,1981,И, с.82-85.

54. Мачевариани М.М.,Миронова В.Д.Минимизация толщины неоднородного поглощающего слоя при заданном модуле коэффициента отражения монохроматической волны.-ПМГФ, 1973,М,с.I46-I5I.

55. Мачевариани М.М.,Миронова В.Д.Оптимальное распределение показателя преломления в неоднородном слое,обеспечивающее заданную звукоизоляцию монохроматической волны.-Акустический журнал , 1975 , М , с . 583-590 .

56. Мачевариани М.М.К оптимальности кусочно-постоянных распределений параметров в жестких неоднородных вибропоглощающих слоях.-Акустический журнал,1975,№5,с.771-776.

57. Математическая теория оптимальных процессов.-М.:Наука, 1976.-392 с.

58. Нурминский Е.А.Условия сходимости алгоритмов нелинейного программирования.-Кибернетика,1972,№6,с.79-81.

59. Никитина J1.M.,Тимошенко А.Т.,Попов Г.Г.,Толстяков Д.И. Эффект повышения теплоустойчивости легких ограждающих конструкций при сочетании утеплителей.-Изв.Вузов.Строительство и архитектура , 1980 , №6 , с . 99-103 .

60. Поляк Б.Т.Один общий метод решения экстремальных за-дач.ДАН СССР,1967,т.174,Ж,с.33-36.

61. Поляк Б.Т.Методы минимизации при наличии ограничений.-Сб.'.Математический анализ .Итоги науки и техники.М. :Наука,1974, т. 12,с.147-197.

62. Первозванский А.А.,Гайцгори В.Г.Декомпозиция,агрегирование и приближенная оптимизация.-М.:Наука,1979.-342 с.

63. Пшеничный Б.Н.Об одном алгоритме для решения нелинейной задачи оптимального управления.-ЖВММФ,1965,№2,с.236-241.

64. Пшеничный Б.Н.Численный метод решения некоторых задач оптимального управления.-ЖВМ®,1964,№2,с.292-305.

65. Пшеничный Б.Н.О необходимых условиях экстремума для негладких функций.-Кибернетика,1977,№6,с.92-96.

66. Пирогов Ю.А. ,^Гихонравов А.В.Резонансное поглощение волновой энергии в несимметричных многослойных структурах.-Радиоэлектроника, 1978 ,№3 , с .15-20 .

67. Пирогов Ю.А.Дихонравов А.В.Многослойный интерференционный поглотитель волновой энергии с учетом потерь в нерабочих слоях.-Журнал технической физики,1080,т.50,в.4.с.673-679.

68. Перепечко И.И.Акустические методы исследования полимеров .-М.:Химия,1973.-295 с.

69. Розоноэр Л.И.Принцип максимума Л.С.Понтрягина в теории оптимальных систем.-Автоматика и телемеханика,ч.1,1959,№10,с.1320--1334, ч. 2,1959 ,№П, с. 1441-1458.

70. Розенберг Г.В.Многолучевая интерферометрия и интерференционные светофильтры.- Успехи физических наук,ч.1,т.47,в.1, с.3-50,ч.2,в.2,с.173-257.

71. Розенберг Г.В.Оптика тонкослойных покрытий.М.:Шизмат-гиз,1958.-570 с.

72. Соколова Р.С.Многослойные светоделители из слоев неравной оптическойитолщины.-Оптика и спектроскопия,1962,№6.

73. Срочко В.А.Техника вывода необходимых условий оптимальности в непрерывных задачах управления со свободным правым концом. -Сб. .'Дифференциальные и интегральные уравнения,1976,в.4,с.145-156.

74. Сиразетдинов Т.К.Оптимизация систем с распределеннымипараметрами.-М.:Наука,1977.

75. Танаев В.С.,Верина Л.Ф.Параметрическая декомпозиция не-котоых классов многоэкстремальных задач ■математического программирования.-Сб. Оптимизация систем сбора,передачи и обработки аналоговой и дискретной информации в локальных ИБС.Минск,1976, с.47-51.

76. Танаев В.С.,Левин Г.М.Некоторые свойства схем параметрической декомпозиции.-Сб.'.Оптимизация систем сбора,передачи и обработки аналоговой и дискрешой информации в локальных ИБС, Минск,1976,с.52-57.

77. Тартаковский Б.Д.Ультразвуковые интерференционные фильтры с изменяемыми частотами пропускания.-Акустический журнал,1957, №2,c.I83-I9I.

78. Тартаковский Б.Д.Звуковые переходные слои.-ДАН СССР, 1950,т.75,М,с.29-32.

79. Телен А.Конструирование многослойных интерференционных светофильтров.-Сб.:Физика тонких пленок.М.:Мир,1972,т.5,с.46-83.

80. Тимошенко А.Т.Теплозащита и теплоустойчивость ограждающих конструкций жилых зданий на Севере.-Якутск,1981.-172 с.

81. Тимошенко А.Т.Исследование полимерных ограждающих конструкций повышенной теплозащиты и теплоустойчивости.-Автореферат дисс.на соиск.ученой степени канд.тех.наук.Якутск,1982.-18 е.

82. Черноусько Ф JI.Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром.-Прикладная математика и механика,1968,№1,:; с.15-26.

83. Черноусько Ф.Л.,Баничук Н.В.Вариационные задачи механики и управл ения.-М.:Наука,1973.-273 с.

84. Ченцов И.П.О применении градиентных методов к решению разрывных задач оптимального управления.-Кибернетика,1976,№1, с.87-91.

85. Фурман Ш.А.,Слотина Н.М.Синтез покрытий с низким отражением в заданных областях спектра.-Оптика и спектроскопия,1981, М, с. 177-183.

86. Шкловер A.M.Теплопередача при периодических тепловых воздействиях.-М.-Л.:Госэнергоиздат,1961.-160 с.

87. Шкловер A.M.Метод расчета однослойных и многослойных ограждающих конструкций зданий на теплоустойчивость.-М.:Изд. Академии Архитектуры СССР,1945.-82 с.

88. Энеев Т.М.О применении градиентного метода в задачах теории оптимального управления.-Космические исследования,1966, №5,с.651-669.

89. Madan G.Singh,Andre Titli.Hierarchical feedback control for large dynamical systems.-Int.J.of Systems Science,1977, vol.8,N I,p.31-37.

90. Madan G.Singh,Hassan M.F.Hierarchical optimisation for non-linear dynamical systems with non-separable cost functions.-Aut omatica,1978,vol.4,p.99-101.

91. Scharnhorst K.P.Optimal distribution of density and dilatation modulus in inhomogeneoiis laijers.-J. Acoust .Soc.Amer., 1979,vol.66,p.1526-1535.

92. Glashoff K.Mehrstufige Optimierungsaufgaben.-Oper.Res. Verfahren,1973,Bd.16,s.128-137.

93. Siljak D.D.A multilevel optimisation of large-scale dynamic systems.-IEEE Trans.Automat.Contri,1976,vol.21,N I, p.79-84.

94. Warren M.E.A necessary condition for decoupling multi-variable systems.-Int.J.Contr.,1975,vol.21,П 2,p.177-192.

95. Watanabe N.Decomposition in large systems optimisation using the method of multipliers.-J.Optimis.Theory and Appl.,- 1978,vol.25,Iх! 2,p.I8I-I93.

96. Gohen G.Optimisation by decomposition and ,coordinati-on;a unifed approach.-IEEE Trans.Automat.Contr.,1978,vol.23,N 2, p.222-232.

97. Singh Sahjendra N.Decoupling and class of nonlinear systems Ъу output feedback.-Inform.and Contr.,1974,vol.26,N I,p p.61-81.

98. Ozgunger U'Optimal control of multilevel large-scale systems.-Int.J.Сontr.,1978>vol.28,N 6,p.967-980.

99. Reddy P.Control of a large linear system through system subdivision.-Proc.Inst.Elec.Eng.,1977,vol.124,N 8,p.725-728.

100. Bailey F.N. A comment on coordination by augmentation.-IEEE Trans.Automat .Contr., 1975, vol. 20, II 4, p. 579-581.

101. Madan G.Singh A comparasion of two hierarchical optimisation methods.-Int.J.Syst.Sci ,1976,vol.7,N 6,p.603-611.

102. Hassan M.F. A hierarchical structure for computingnear optimal decentralised control.-IEEE Trans.Syst.Ivlan.^nd Gybern.,1978,vol.8,N 7,p.575-579.

103. Бабе Т.Д.,Гусев E.Л.Необходимые условия оптимальности для некоторого класса разрывных систем.-Бюллетень НТИ.Методы и алгоритмы прикладной математики.Якутск:ЯФ СО АН СССР,1980,с.3-6.

104. Бабе Г.Д.,Гусев Е.Л.Численный расчет оптимальных теплоустойчивых конструкций.-Бюллетень НТИ.Методы и алгоритмы прикладной математики.Якутск:ЯФ СО АН СССР,1980,с.6-8.

105. ПО.- Бабе Г.Д.,Гусев Е.Л.Оптимальное проектирование многослойных теплозащитных полимерных конструкций.-Механика композитных материалов,1981,№3,с.480-485.

106. I. Бабе Г.Д.,Гусев Е.Л.,Тимошенко А.Т.Влияние граничных гсловий на параметры оптимальных слоистых конструкций.-Сб.:Тепло- и массообмен в инженерных сооружениях и строительных материалах в условиях Севера.Якутск:ЯГУ,1982,с.55-62.

107. Бабе Г.Д.,Гусев ЕЛ.О теплофизических свойствах материалов, входящих в состав оптимальной теплоустойчивой конструкции.-Сб.:Тепло- и массообмен в инженерных сооружениях и строительных материалах в условиях Севера.Якутск:ЯГУ,1982,с.63-78.

108. ИЗ. Гусев Е.Л.Оптимальное проектирование многослойных конструкций. -Тезисы докладов IV республиканской конференции молодых ученых и специалистов,посвященной XIУ съезду ВЛКСМ,Якутск, 1982,с.5-6.

109. Бабе Г.Д.,Гусев Е.Л.Необходимые условия оптимальности многослойных структур при воздействии электромагнитных волн и их применение для анализа интерференционных покрытий. Якутск:ЯФ СО АН СССР,1983.-28 с.