Решение задач теории упругости с собственными деформациями методом декомпозиции тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Лохов Валерий Александрович

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С СОБСТВЕННЫМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ МЕТОДОМ ДЕКОМПОЗИЦИИ

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Пермского государственного технического университета

Научный руководитель: заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор Ю.И. Няшин

Официальные оппоненты: заслуженный деятель науки РФ,

доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Соколкин

Защита состоится 17 июня 2004 года в 11 часов на заседании диссертационного совета Д.004.012.01 в Институте механики сплошных сред УрО РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. академика Королева, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан « » мая 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совет

доктор физико-математических наук, профессор Р.А. Васин

Ведущая организация:

Пермский государственный университет

доктор технических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Разработка новых конструкций паровых и газовых турбин, реактивных и ракетных двигателей высокоскоростных самолетов, ядерных реакторов, конструкций, работающих в- космосе (телескопы, платформы и т.д.), интеллектуальных, и. других систем невозможна без знания напряжений в системе, вызываемых как внешними силами, так и собственными деформациями (СД). Под СД понимаются неупругие деформации любой природы (температурные, пьезоэлектрические, пластические, ростовые, фазовые и др.). Решение краевых задач с собственными деформациями является важным направлением в механике деформируемого твердого тела, необходимым для научно-технического прогресса.

Особые трудности возникают при решении задач - управления,- когда необходимо создать в теле заданное напряжение и заданную - полную деформацию, посредством- создания в теле СД. Нерешёнными остаются вопросы управления напряжениями, не влияя на полную деформацию системы (такая СД называется нильпотентной), и, наоборот, создание в теле заданной деформации, не меняя напряжений в системе- (такая СД называется импотентной).

Существующие методы решения задач управления требуют предварительного знания решения краевой задачи для выбранного типа СД. Поэтому актуальным является построение единого теоретического подхода, позволяющего решать задачи управления, основываясь не на решении краевой задачи, а. на свойствах решения. Эта идея реализована для задач термоупругости (Кирюхин, 2001), где были сформулированы необходимые и достаточные условия для нагрева, не вызывающего напряжений в произвольном теле с опорами. Однако остается нерешённым вопрос об общих свойствах СД и о необходимых и достаточных условиях для СД, не меняющей полной деформации тела.

Особый интерес представляют задачи об управлении ненулевыми перемещениями. Такие задачи возникают в технике в задачах управления формой и в биомеханике, где стоит вопрос об управлении ростовыми деформациями. Последнее особенно актуально для молодых пациентов, где процессы роста проходят с большей интенсивностью. Целенаправленное управление ростовыми процессами у детей позволит исправлять патологии развития, такие как сколиоз, расщелина твердого неба, сращивание переломов и т.д. В этих задачах особенно важно, чтобы ростовые деформации не вызывали напряжений.

Целью работы является построение единой теории моделирования и управления системами с СД, исследование общих свойств СД, определение необходимых и достаточных условий для СД не создающей полной деформации тела, разработка а л г , "фу^^^^^'^^^^ческих[ а ч

БИБЛИОТЕКА С.П«пр(; О» »о

управления напряжениями, деформациями и ненулевыми перемещениями.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан единый подход моделирования СД.

2. Впервые доказана теорема о декомпозиции СД на импотентную и нильпотентную части. Импотентная СД создает полную деформацию системы, но не вызывает напряжения, а нильпотентная СД создает в теле напряжения, не вызывая полной деформации тела. Выполнение декомпозиции СД позволяет определить напряженно-деформированное состояние (НДС) тела с СД.

3. Рассмотрены постановки, краевых задач для импотентной и нильпотентной СД, анализ которых позволяет доказать теорему о декомпозиции СД.

4. Сформулированы необходимые и достаточные условия для СД, создающей в теле напряжение, но не создающей полной деформации.

5. Разработаны алгоритмы независимого решения квазистатических задач управления напряжениями и деформациями.

6. Разработан метод решения задачи управления ненулевыми перемещениями тела, не меняя напряжений в системе.

7. Разработана методика построения базиса в функциональных подпространствах импотентных и нильпотентных СД.

8. Предложен альтернативный- метод раскрытия' статической неопределимости системы, основанный на ортогональности импотентных и нильпотентных СД.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается строгостью постановок задач, использованием аппарата функционального анализа. Содержащиеся в работе положения и выводы подтверждены путем-непосредственного поиска решения краевой задачи теории-упругости с СД классическими методами механики деформируемого твердого тела.

Практическая ценность. Результаты диссертационной работы, отраженные в теоремах, математических моделях, алгоритмах и методах, могут использоваться в практике научно-исследовательских и проектно-конструкторских организаций, при анализе напряженно-деформированного состояния разрабатываемых систем, подверженных воздействию поля СД.

Теоретические разработки диссертации используются в спецкурсе «Теория упругости, пластичности и ползучести», читаемом в Пермском государственном техническом университете студентам специальности 071100 — «Динамика и прочность машин».

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации/ докладывались и обсуждались:

- на 6-й Международной конференции «Математические проблемы механики i неоднородных структур», 26-29 мая 2003 г., Львов;

- на областной научно-практической конференции молодых ученых и студентов «Молодежная наука Прикамья-2004», 20-24 апреля 2004 г., Пермь (диплом за лучший доклад);

- на конкурсе научных-докладов Пермского государственного технического университета, "2003 г.; Пермь (диплом за 1-е место);

- на научных семинарах кафедры теоретической механики ПГТУ под руководством доктора технических наук, профессора Ю.И. Няшина, 20032004 гг.;

- на научном семинаре в институте механики МГУ, под руководством доктора технических наук, профессора Р.А. Васина, 2003;

- на научных семинарах кафедры прикладной механики Венского технического университета под руководством профессора Ф. Циглера, 20032004 гг.;

- на научных семинарах кафедры механики композиционных материалов и конструкций ПГТУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ю.В. Соколкина, 2003 - 2004 гг.;

- на научном семинаре кафедры математического моделирования систем и процессов ПГТУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора П.В. Трусова, 2004 г.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в шести опубликованных работах. Результаты диссертации включены в монографию, подготовленную к изданию в издательстве Венского технического университета.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, занимающих в целом 97 страниц. Работа содержит 17 рисунков, расположенных в тексте по месту ссылок. Список литературы включает 107 наименований.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность иностранному члену РАН, профессору Францу Циглеру (Венский технический университет) за полезные обсуждения работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий литературный обзор, отражающий современное состояние вопросов исследования. Даны история возникновения и понятие СД. Сделано заключение об актуальности темы диссертационной работы. Термин собственные деформации (е1§ет(гат) впервые ввел Рейснер (Кегъъпег) в 1931 году. Под этим термином он понимал неупругие деформации, соответствующие самоуравновешенным остаточным напряжениям. В 1987 году Мура (Мига) предложил более общее определение СД, принятое в современной научной литературе. В рамках геометрически линейной теории под этим понимаются неупругие деформации любой природы (температурные, пьезоэлектрические, пластические, ростовые, фазовые и др.). В этой же работе Мура предложил понятие импотентной СД (например, температурной деформации) как деформации, не вызывающей напряжений в системе. Позже в 2001 году Иршик (1гъсЫк) и Циглер @щ1вг) ввели понятие нильпотентной СД как не создающей полной деформации в любой точке системы.

После этого сформулированы цели и задачи работы, её новизна и практическая ценность. Представлена краткая аннотация содержания глав диссертации.

Первая глава посвящена постановкам краевых задач теории упругости

сСД.

Исследуемое тело занимает ограниченную область £2 трехмерного евклидова пространства Ё. Замыкание области обозначено через О, граница (которая считается достаточно гладкой) - через Г (П = £} и Г). Деформации считаются малыми и аддитивными. Тогда тензор малой деформации с является

е' и собственной ё'е(С'(П)) деформаций

суммой упругой

ё = ё' + ё', хеЙ,

остальные уравнения краевой задачи имеют следующий вид 1)п>ст+б = 0, жеЙ,

а-С--е', хе£2, ё = -(Уй + йУ),хеП,

0)

(2)

где С - обозначает симметричный тензор напряжений, () - вектор объемных сил, ¿е(С(0))3, С - тензор упругих мод е С^(О), й - вектор

перемещения, й € .. В е л и ч и н ыр Шсй матриваются как функции

пространственных декартовых ортогональных координат, обозначаемых радиус-вектором хеП.

Граница области Г делится на две взаимно непересекающиеся части: Г = Гв и Г0. На части границы Г, заданы нулевые кинематические граничные

условия, на части Г„ задан вектор напряжений Ре(С(Га))3:

Здесь кинематические граничные условия предполагается такими, что движение тела как жесткого целого невозможно.

В данной работе СД в выражении (1) считается известной, и задача состоит в определении НДС тела с заданной СД.

Однако классическая постановка существенно сужает круг решаемых задач, так как требует существования производных и не позволяет применять численные методы решения. Поэтому вводится обобщенная постановка задачи, где напряжения и деформации являются элементами функционального пространства £7.

Обобщенным решением задачи называется симметричный тензор который определяется обобщенным законом Гука

и G (fi)) . к = 0, х е Г„, и для которого имеет место соотношение:

i(w)dV- ¡P-wdS-¡Q-wdV = 0, (5)

we

j _

w = 0, Зс e Г

Здесь - пространство Соболева функций, имеющих первую обобщенную производную и интегрируемых в квадрате вместе с производной. Деформации г(и) и е(й) определяются геометрическими соотношениями Коши, где производные понимаются в обобщенном смысле. Значения перемещений и и ■нг на границе вычисляются посредством оператора следа. В обобщенной

постановке задачи считается, что > ё*

компоненты С4И(/, = 2,3) являются кусочно-непрерывными функциями координат.

Классическое решение является обобщенным, а также в случае достаточной гладкости напряжений - обобщенное решение является классическим. Обобщенное решение существует и единственно (Дюво и Лионе, 1980).

Для анализа свойств импотентной и нильпотентной СД рассмотрены постановки задач для импотентной Ё* и нильпотентной ео СД, приведенные для классического решения:

(6)

Отметим, что задачи (6) имеют неединственные решения и позволяют определить множества импотентных и нильпотентных СД. Сложение указанных задач дает исходную задачу теории упругости с произвольной СД.

Далее рассмотрены постановки задач управления с использованием СД. Цель управления заключается в создании заданного НДС тела путем наложения поля СД. В работе задача создания произвольного НДС тела разделена на независимые задачи управления напряжениями, не меняя деформации, и управления деформацией, не влияя на напряжения. Рассмотрена постановка задачи создания ненулевых перемещений в подобласти D

й(х) = й10\х), Vie Den.

Во второй главе введено гильбертово пространство Н тензоров деформации, компоненты которых принадлежат функциональному пространству 7Л. Скалярное произведение в Н введено следующим образом

норма порождена скалярным произведением (7)

(8)

Показано, что выражение (7) удовлетворяет аксиомам скалярного произведения.

Далее выделено подпространство совместных деформаций. Некоторый симметричный тензор / е Н принадлежит подпространству

На , если существует такая вектор-функция (перемещение): 3 м £ > 4X0

и = 0 при х е Г„ и

(9)

Производные в соотношении (9) понимаются в обобщенном смысле, а значение функции и на границе Гы определяется посредством оператора следа.

Физический смысл подпространства На заключается в том, что это пространство есть множество совместных деформаций, где соответствующие им перемещения И обращаются в нуль- на неподвижных опорах. Подпространство Ны является линейным, так как операции суммирования и умножения на число в результате дают элемент подпространства Ны. В дальнейшем тензоры, принадлежащие указанному подпространству, будут называться совместными.

Из постановки задачи (6) видно, что импотентная СД принадлежит подпространству Ны . И наоборот, если СД принадлежит подпространству Нк, то она является импотентной.

Подпространство нильпотентных СД введено посредством условия, что полные деформации системы (1) равны нулю, тогда СД вычисляется следующим образом

где напряжения о являются статически допустимыми при отсутствии внешних сил (уравновешенные напряжения)

= Ун>е(и?(£1))3, * = 0, ЗсеГ,. (И)

Эти напряжения не ограничиваются классом самоуравновешенных напряжений ввиду наличия реакций опор на границе Г,.

Множество СД §* в выражении (10) образует линейное подпространство

Отметим, что упругие деформации в этом случае равны ё' = —ё*. В работе приведено доказательство того, что СД не вызывает полной деформации тогда и только тогда, когда имеет место соотношение (10) при уравновешенных напряжениях ст.

После введения функциональных подпространств доказывается следующая теорема:

Любая существующая в теле СД Б* е Н может быть единственным образомразложена на импотентную и нилъпотентную составляющие

(12)

где ё„ еНы и ёв (Нм - подпространство совместных (импотентных) СД, На — подпространство нильпотентных СД). Доказательство существования.

Рассмотрим СД ё", вызывающую в теле упругую ё' и полную деформацию Б:

ё = ё* + Б*. (13)

Очевидно, что собственная деформация, равная полной деформации, Б*=ё, принадлежит подпространству Н¥. Она является импотентной и при наложении не создает в теле напряжений, поэтому при добавлении к системе СД, равной (-ё^)„ упругая деформация останется прежней

С учетом следующего обозначения выражение (14) принимает вид:

Из выражения (16) можно сделать вывод, что СД ё^ дает состояние с нулевой полной деформацией и поэтому является нильпотентной. Перегруппированное выражение (15) показывает, что выполнена декомпозиция СД.

Доказательство единственности проводится от противного. Пусть кроме разложения (12) существует иное разложение

8 =У„+У„.

Используя равенство приложенной СД, получим _*

е.. - V = V - Е_.

(17)

(18)

Левая часть выражения (18) является элементом Ня, а правая - На. Анализ краевых задач (6) показывает, что единственный элемент, принадлежащий обоим подпространствам, является нулевым элементом. Таким образом,

разложения (12) и (17) совпадают.

Подпространства Ны и Ня взаимно ортогональны в смысле скалярного произведения (7). Действительно,

(КХ)н = 1К'С<с1У = ~1т.^У = 0, (19)

п о

в силу того, что ё* И £* удовлетворяют краевым задачам (6).

Из доказанной теоремы вытекают два следствия.

Первое следствие дает условия реализации в теле заданных напряжений О(0>(5), удовлетворяющих условию (5) при отсутствии внешних сил. Для этого необходимо и достаточно, чтобы тензор

/ = Ё, + <?-,-д(0) (20)

принадлежал подпространству

Второе следствие аналогично первому, за исключением ненулевых внешних сил. Следствие 1 справедливо для случая, когда вместо ст(0* и £(0> рассматриваются напряжения (о<0>-аг) и деформации (ё<0>— ег), где аг и напряжения и деформация, вызванные внешними силами.

Следствия 1 и 2 дают необходимые и достаточные условия для получения заданных напряжений и деформаций посредством наложения собственных деформаций.

После этого в разделе приведены иллюстрационный пример разложения СД и альтернативный вывод формулы Майзеля, имеющей следующий вид:

1«1(а>(*)= (21)

где ко(»>(*) — перемещение точкив направлении единичного вектору, вызванное СД СУу(а)(|. Зс) - напряжение в т о ч к^ о т действия единичной

силы, приложенной в точке х в направлении единичного вектора ёа. По сути, это есть следствие теоремы о взаимности работ, а в данной работе вывод основан на использовании принципа возможных перемещений и теоремы о разложении СД.

В третьей главе построены оценки отклонения напряжений и деформаций от требуемых значений. Особенностью оценок является то, что не требуется знание решения задачи теории упругости с собственными деформациями. Рассмотрим свободное от внешних сил тело (учет внешних сил можно сделать, используя следствие 2).

Требуемые напряжения д<0> должны удовлетворять условию (11), иначе они в принципе не могут быть созданы в теле. Для того, чтобы достичь цели управления, не меняя полной деформации, необходимо создать в теле следующие нильпотентные СД [см. формулу (10)]

(22)

Однако технологические ограничения не всегда позволяют создать в теле требуемые СД (22). Для этого случая, используя следствие 1, построен функционал следующего вида:

Ф = (/./)„ "ТА. где а, = (е,пи%. (23)

Здесь / определяется формулой (20), Яу(У = 1, оо) - коэффициенты разложения

СД по ортонормированным базисным элементам в подпространстве

Минимизация функционала (23) позволяет найти СД, дающую максимальное приближение к решению, причем напряжения вычисляются по формуле (10)

Ф-^Ы => ||ст-д(0)|НшГ. (24)

Для создания в теле заданной д е ф о р м а б(0) е збходимо доставить инфимум следующему функционалу

(25)

при этом напряжения в системе не изменятся.

Задачи (24) и (25) не влияют друг на друга и могут решаться независимо друг от друга. Кроме этого, они не требуют знания решения краевой задачи с СД.

Для решения задач управления (24) и (25) необходимо построить базис в подпространстве или . Для сплошного тела система базисных элементов является бесконечной, а для дискретизированной (например, методом конечных элементов) системы количество базисных элементов конечно, и существует возможность построить полный базис.

В данной работе базис строится на основе решения задачи теории упругости без СД. Для построения нильпотентного базиса выполняется поиск решений уравнения (11), а затем по формуле (10) находятся базисные элементы. Показано, что для дискретизированной системы количество базисных элементов равно степени статической неопределимости системы.

Для поиска импотентного базиса используется теорема, доказанная ранее (Кирюхин, 2002). Суть теоремы заключается в следующем: СД £ принадлежит подпространству Ны тогда и только тогда, когда существуют объемные и поверхностные силы, вызывающие в упругом теле такие же деформации Доказательство теоремы основано на применении теорем

Хана-Банаха и Рисса. Таким образом, количество независимых вариантов приложения сил определяет размерность подпространства . Построение базиса может быть выполнено посредством обратной матрицы жесткости или путем раскрытия статической неопределимости системы.

^0>=-с-'-д(0)

В результате решение краевой задачи теории упругости с СД строится на базе решений простых задач для упругого тела без СД.

Для решения задачи управления перемещениями в работе предложено два метода, первый метод позволяет находить решение для сплошного тела, но применим только для решения задач об управлении формой; второй метод применим только для дискретизированного тела, однако открывает более широкие возможности управления.

Первый алгоритм позволяет создать на границе заданные

ненулевые перемещения. Он состоит из двух этапов. На первом этапе нужно решить краевую задачу (2) или (4) - (5) при отсутствии СД и внешних сил со следующими краевыми условиями:

Решение задачи позволяет определить деформацию системы ё,.

На втором шаге необходимо создать в теле СД, равную деформации ё,, что не создаст напряжений и вызовет на границе Го заданное ненулевое перемещение.

Второй метод основан на формуле Майзеля. Идея метода заключается в том, что СД в формуле (21) изначально берется из , и потому может быть разложена по базису

фЪ^а.фСЬ, «.»«Л. (26)

где - коэффициенты разложения (они являются искомыми величинами),

Я^ЧИ) базисные элементы в Н (вообще говоря, не ортонормированные).

Деформации, вызванные действием единичной силы, в формуле (21) вычисляются через напряжения посредством закона Гука:

= (27)

Деформации являются совместными и обозначают деформацию в

точке от единичной силы, приложенной в точке в направлении Отметим, что в дискретизированной системе существует конечное число таких вариантов приложения силы. Таким образом, деформация (27) также является базисным элементом в подпространстве совместных деформаций:

Ю-=<"'(!) • (28)

Подставив выражения (26), (27) и (28) в формулу (21), получим следующее соотношение между узловыми перемещениями и

управляющими параметрами ая, п-1,йтНк:

д.,== *>"=. (зо)

Согласно свойствам скалярного произведения матрица коэффициентов (30) является симметричной, Лт ~ Ат.

Так как перемещения заданы в некоторой области, то это означает, что некоторые узловые перемещения известны. Количество заданных перемещений обозначено как N. Для заданных узловых перемещений и0р, р = 1,М0, соотношение (29) дает систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров ап, и = 1,

"о (31)

Если Ы0 —ИтНяЬ то есть перемещения заданы во всём теле, то система уравнений (31) имеет единственное решение, так как матрица

положительно определённая. Если Нл<йияНш,то коэффициенты>0,, И = 1, дающие заданные перемещения, могут быть найдены через оставшиеся параметры ая, п = М{) +1,(1т1Я,. Выбор последних параметров дает возможность инженеру выбрать оптимальное или наиболее удобное поле собственных деформаций.

Отметим, что добавление нильпотентной СД усиливает неединственность решения, так как это не оказывает влияния на создаваемые перемещения.

Соотношение (29) само по себе имеет важное значение, так как позволяет достаточно просто найти поле перемещений по известному полю деформаций, где коэффициенты ап являются коэффициентами разложения деформации по базисным элементам. Таким образом, полученное соотношение можно рассматривать как альтернативу интегралу Чезаро.

В главе также представлен иллюстрационный пример решения задачи управления перемещениями.

В четвертой главе разработанные алгоритмы и методы решения продемонстрированы при решении задач моделирования и управления для нетривиальных дискретизированных систем.

Решены задачи управления напряжениями системы посредством нильпотентной собственной деформации. Целью решения является предотвращение разрушения системы, несущей силовую нагрузку и сохранение

исходной конфигурации.

Решение задачи управления деформациями проведено посредством импотентных СД, равных силовым с обратным знаком:

Таким образом, построение базиса в подпространстве совместных деформаций не требуется. Однако для решения задачи о перераспределении усилий необходимо построить базис в подпространстве Н„. Построение базиса ведется путем решения системы уравнений равновесия.

Знание базиса в подпространстве нильпотентных СД позволяет заранее определить напряжений, которые могут быть созданы в системе посредством наложения поля СД [см. формулу (10)]. Это дает исследователю ряд преимуществ: дает уверенность, что управление напряжениями не отразится на полных деформациях системы; позволяет аналитически анализировать напряжения, что позволяет оценить максимальную несущую способность системы с СД; при численном решении позволяет существенно понизить количество параметров управления, так как оно равно степени статической неопределимости системы.

Проведено сравнение численного и аналитического решений задачи управления напряжениями.

Следующий пример демонстрирует возможности алгоритма управления перемещениями. Исследуемая опорная интеллектуальная конструкция показана на рис. 1. Целью управления является создание вертикальных перемещений крепежных узлов:

3 5 7

Рис. 1. Опорная интеллектуальная конструкция

Применение разработанного алгоритма позволяет найти решения поставленной задачи. Два варианта решения показаны на рис. 2.

Все полученные решения задач управления были подтверждены непосредственным решением задачи с найденной СД классическими методами механики деформируемого твердого тела.

В заключении сформулированы основные научные результаты выполненных исследований:

1. В работе рассмотрены постановки квазистатических задач управления в

рамках краевой задачи теории упругости с СД. Описано представление общих задач управления в виде совокупности независимых подзадач управления напряжениями, деформациями и перемещениями.

а) б)

Рис. 2. Возможные варианты решения задачи управления перемещениями

2. Основным результатом работы является доказательство теоремы о декомпозиции СД на импотентную и нильпотентную составляющие. Доказано, что такая декомпозиция всегда существует и единственно. Представленная теорема отражает фундаментальные свойства СД.

3. Сформулированы необходимые и достаточные условия для нильпотентной СД. Ценность условий также заключается в том, что они основаны на обобщенной постановке краевой задачи, что существенно расширяет класс решаемых задач и дает возможность применения численных методов решения.

4. Декомпозиция СД на составляющие позволяет сразу найти решение краевой задачи теории упругости с СД. Кроме того, это позволяет проводить независимое управление напряжениями и деформациями системы.

5. С использованием теоремы получены оценки для отклонения истинных напряжений и деформаций от заданных значений, не требующие прямого решения задачи теории упругости с СД.

6. Рассмотрены вопросы построения базисных элементов в функциональных подпространствах импотентных и нильпотентных СД. Разработана методика определения размерности подпространств для дискретизированных систем. Знание поля нильпотентных собственных деформаций, то есть знание соответственного базиса, позволяет определить поле напряжений, которое может быть создано в системе, при наложении собственной деформации. Это позволяет ответить на вопрос о принципиальной возможности создания в теле требуемых напряжений.

7. На единой теоретической базе построены и описаны алгоритмы решения поставленных задач управления. Рассмотрено независимое решение каждой задачи управления по отдельности. Достоинством результата является то, что решения задач разделены и независимы друг от друга.

8. Разработан принципиально новый алгоритм создания в теле заданных ненулевых перемещений посредством импотентной СД.

9. Разработанные алгоритмы использованы для решения ряда тестовых задач управления посредством СД. Показано, что знание поля напряжений, которое может быть создано собственной деформацией, позволяет исследователю сделать аналитическую оценку максимальной несущей

способности системы, а также аналитически построить процедуру квазистатического управления без использования численных методов решения задач оптимизации. Также показано соответствие аналитического и численного методов решения. Рассмотрена задача управления ненулевыми перемещениями. Описанные задачи решены для нетривиальных систем, имеющих внешнюю и внутреннюю статическую неопределимость.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ

1. Лохов В.А., Кирюхин В.Ю., Няшин Ю.И. Об управлении напряжениями и деформациями с помощью пьезодеформаций в живых и неживых структурах // Математические проблемы механики неоднородных структур. Тезисы докладов конференции. — Львов. 2003 г. — С. 437-438.

2. Няшин Ю.И, Кирюхин В.Ю., Лохов В.А. О моделировании и управлении напряжениями и деформациями с помощью собственных деформаций // Математические проблемы механики неоднородных структур. Тезисы докладов конференции. — Львов. 2003 г. — С. 439-440.

3. Кирюхин В.Ю., Няшин Ю.И, Лохов В.А. Оптимальное проектирование двухслойной цилиндрической оболочки // Математические проблемы механики неоднородных структур. Тезисы докладов конференции. — Львов. 2003 г. — С. 441-442.

4. Кирюхин В.Ю., Няшин Ю.И, Лохов В.А. О постановке и решении задач управления температурными напряжениями // Математические методы и физико-механические поля. — Том 46 № 2,2003. — С. 128-134.

5. Лохов В.А., Кирюхин В.Ю. Няшин Ю.И. Управление напряжениями и деформациями в инженерных системах с использованием собственных деформаций // Вестник 111 ТУ. Прикладная математика и механика. — 2003. — С. 28-35.

6. В.А. Лохов. Решение задачи термоупругости методом декомпозиции // Вестник ГИТУ. Аэрокосмическая техника. —№ 16,2004 г. — С. 79-84.

7. Irschik Я, Nyashin К, Kirukhin V.t Lokhov V. and Ziegler F. Stress and Deformation Control by Eigenstrain (в печати).

Лицензия ПД-11-0002 от 15.12.99

Подписано в печать 05.05.2004. Набор компьютерный • Формат 60X100/16 Усл. печ. л. 1,0 Заказ № 340/2004 Тираж 100 экз,

Отпечатано на ризографе в отделе Электронных издательских систем ОЦНИТ Пермского государственного технического университета 614000, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к.113, т.(3422) 198-033

q • 9613

Введение.

Глава 1. Постановки задач.

1.1 Классическая постановка краевой задачи с собственными деформациями.

1.2 Обобщенная постановка краевой задачи с собственными деформациями.

1.3 Постановки краевых задач для импотентных и нильпотентных собственных деформаций.

1.4 Постановки задач управления.

1.4.1 Управление напряжениями.

1.4.2 Управление деформациями.

1.4.3 Управление перемещениями.

1.5 Методы решения задач тории упругости с собственными деформациями.

1.5.1 Аналогия Дюамеля.

1.5.2 Формула Майзеля.

1.5 Выводы по главе 1.

Глава 2. Разложение собственной деформации на импотентную и нильпотентную части.

2.1 Функциональные пространства собственных деформаций.

2.1.1 Подпространство импотентных собственных деформаций.

2.1.2 Подпространство нильпотентных собственных деформаций.

2.2 Теорема об импотентных и нильпотентных собственных деформациях.

2.3 Теорема о разложении собственной деформации.

2.4 Следствия из теоремы.

2.4.1 Следствие 1.

2.4.2 Следствие 2.

2.5 Демонстрационные примеры.

2.5.1 Пример разложения собственной деформации.

2.5.2 Альтернативный вывод обобщенной формулы Майзеля.

2.6 Выводы по главе 2.

Глава 3. Разработка алгоритмов решения задач управления.

3.1 Оценки отклонения напряжений и деформаций от требуемых значений.

3.2 Методика построения базисных элементов.

3.3 Алгоритм решения задачи управления напряжениями.

3.4 Алгоритм решения задачи управления деформациями.

3.5 Алгоритм решения задачи управления перемещениями.

3.5.1 Управление перемещениями в сплошном теле.

3.5.2 Управление перемещениями в дискретизированных системах.

3.5.3 Иллюстрация задачи управления перемещениями.

3.6 Выводы по главе 3.

Глава 4. Решения задач управления напряжениями и перемещениями.

4.1 Управление напряжениями и деформациями в ферменной конструкции задача 1.

4.1.1 Постановка задачи.

4.1.2 Решение задачи о силовом деформировании системы и построение базиса нильпотентных собственных деформаций.

4.1.3 Постановка и аналитическое решение задачи управления.

4.1.4 Численное решение задачи управления.

4.2. Создание ненулевых перемещений опорной конструкции.

4.2.1 Постановка задачи.

4.2.2 Построение подпространства совместных деформаций.

4.2.3 Решение задачи управления перемещениями.

4.3. Управление напряжениями и деформациями в ферменной конструкции задача 2.

4.4. Выводы по главе 4.

Прогресс, достигнутый во многих областях техники, повлек за собой развитие теории термоупругости. Разработка новых конструкций паровых и газовых турбин, реактивных и ракетных двигателей, высокоскоростных самолетов, ядерных реакторов, конструкций, работающих в космосе (телескопы платформы и т.д.) и многого другого стимулирует развитие термоупругости и по сегодняшний день. Неравномерное тепловое расширение в общем случае не может происходить свободно в сплошном теле; оно вызывает тепловые (термические, температурные) напряжения. И знание величины и характера действия тепловых напряжений всегда было необходимо для всестороннего анализа конструкции [1].

Основная цель построения моделей на основе теории термоупругости с собственными деформациями заключается в определении напряжений и деформаций, возникающих в теле при заданных силовых нагрузках и температурных деформациях тела с некоторыми опорами. Однако не меньший теоретический и практический интерес представляет решение так называемых задач управления термоупругости.

Современная инженерия позволяет осуществлять управление системами не только за счет температурной деформации, но и деформации других видов: пьезоэлектрической, ростовой в случае живых систем, пластической и др. Использование пьезоэлектрического управления дает возможность создавать интеллектуальные конструкции, которые способны практически мгновенно откликаться на действующие факторы. Проектирование интеллектуальных структур находится на самом острие инженерных исследований и разработок и стоит острая необходимость в развитии теоретического фундамента для создания таких систем. В настоящее время имеет место огромный интерес к возможности разработки телескопов и антенн большого диаметра при жестких ограничениях на точность поверхности. Одними из самых важных проблем в этой области являются разработка и изготовление основного зеркала телескопа диаметром один и более метров, удерживающего геометрию в установленных пределах. Аналогично, отражающая поверхность микроволновых антенн должна поддерживаться в процессе эксплуатации в пределах миллиметра, чтобы удовлетворительно выполнять заданные функции. Главными факторами, нарушающими форму, являются постоянно меняющиеся градиент температуры и силовая нагрузка. Например, величина градиента температуры может достигать в условиях космоса 200-250°С на характерный размер конструкции. Похожая проблема возникает при эксплуатации элементов платформы и других как космических, так и наземных устройств. Проблема оказывается крайне сложной в силу большого количества управляющих параметров (до 100 и более) и целей управления. Решением таких комплексных проблем может служить проектирование интеллектуальных систем [2], где в качестве инструмента управления выступают температурные и (или) пьезоэлектрические деформации.

Управление ростовыми деформациями актуально при лечении различных патологий у детей и взрослых. К примеру, в работе [3] оптимизирована процедура лечения расщелины твердого нёба у детей. Дано биомеханическое обоснование новой методики лечения, которая позволяет избежать травматичной операции по установке носовой корректировочной пластинки. Процессы роста и рассасывания костной ткани также можно понимать под ростовыми деформациями. Показано, что костная ткань обладает пьезоэлектрическими свойствами [4, 5, 6] и что есть возможность оказывать влияние на процессы перестройки костной ткани [7] и сращивания переломов.

Управление пластическими деформациями необходимо при снижении уровня остаточных напряжений в системе. В работе [8] была разработана теория управления остаточными напряжениями, которая позволила решить ряд вопросов управления самоуравновешенными остаточными напряжениями в задачах термоупругопластичности.

С развитием науки в этих областях, было замечено, что все перечисленные виды деформаций имеют ряд общих особенностей, которые не зависят от природы их возникновения и в современной науке носят название собственных деформаций (eigens train).

Термин собственные деформации впервые ввел Рейснер (Reissner) в 1931 году [9]. Под этим термином он понимал неупругие деформации, соответствующие самоуравновешенным остаточным напряжениям. В 1991 году Мура {Мига) [10] предложил более общее определение собственной деформации, принятое в современной научной литературе. В рамках геометрически линейной теории это есть неупругие деформации любой природы (температурные, пьезоэлектрические, пластические, ростовые, фазовые и др.). В этой же работе Мура предложил понятие импотентной собственной деформации (например, нагрева) как деформации, не вызывающей напряжений в системе. Позже в 2001 году Иршик (Irschik) и Циглер (Ziegler) [11] ввели понятие нильпотентной собственной деформации, то есть не создающей полной деформации в любой точке системы.

Вопросы моделирования и решения задач управления в упругости с сосбственными деформациями (в основном термоупругости) рассматриваются в литературе давно. Спектр работ по тематике работы можно описать в двух категориях: моделирование в теории упругости с собственными деформациями (в том числе и с целью решения задач управления) и собственно решение задач управления.

Исследования по термоупругости сначала стимулировались задачами о термоупругих напряжениях в элементах конструкций. Они проводились на основе теории, разработанной Дюамелем (1838) и Нейманом (1841), которые исходили из следующего предположения: полная деформация является суммой упругой деформации, связанной с напряжениями обычными соотношениями закона Гука, и чисто теплового расширения, соответствующего известному из классической теории теплопроводности температурному полю.

Классическими работами в этой области являются монографии [1, 12, 13, 14, 15, 16, 17]. В этих работах рассматриваются гипотезы и постановки задач термоупругости, в работах [15,18] исследуются математические аспекты постановок и решения задач термоупругости, в частности, формулируется ряд теорем и следствий, позволяющих доказать существование и единственность решения задачи термоупругости в обобщенной постановке. Монографию [14] отличает множество сформулированных и разобранных задач расчета напряжений и деформаций под действием температуры. Автор рассматривает также проблемы моделирования, выходящие за рамки термоупругости.

Иные публикации больше сфокусированы на решении более частных и более сложных задач. Наиболее фундаментальными из статей по своим результатам решения прямых задач несвязанной термоупругости можно назвать работы Нура (Noor) [19], Локе {Locke) [20], Дави (Davi) [21]. В этих работах формулируются и реализуются на задачах с простой геометрией основные принципы решения задач термоупругости: в многослойный балках [21], в многослойных композиционных панелях [19]. Нелинейный отклик в многослойных оболочках из композиционных материалов был описан в работе [20].

Подавляющее число работ по решению задач термоупругости обращено к вычислению напряженно-деформированного состояния при различных граничных условиях в заданной области. Так, в работе [22] вычисляются температурные напряжения в трехслойной балке, в работе [23] с помощью преобразования Лапласа приводится аналитическое решение в напряжениях для однородного цилиндра. Отличает последнюю работу то, что источник тепла совершает вращательное движение. Заметный вклад в моделирование и управление температурными напряжениями и деформациями внес Таучерт (Tauchert). В первых работах [24, 25] на эту тему он предложил численный алгоритм вычисления температурных напряжений в термоупругом цилиндре. Алгоритм был основан на применении метода Ритца (и его модификации) для минимизации функционала дополнительной энергии деформации. Несколько позже [26] им была решена задача о температурном выпучивании в композиционной оболочке прямоугольной формы. Развитие технологий привело к расширению применения композиционных материалов, анализ напряжений и деформаций в конструкциях, изготовленных с помощью новых материалов, нашел отражение в работах Хайера (Нуег) [27,28, 29, 30]. В этих работах вычисляются на основе классических гипотез термоупругости напряженно-деформированные состояния в оболочках цилиндрической [27, 28] и плоской формы [29, 30]. Оболочки считаются многослойными, каждый слой - композиционный материал. Расчеты представлены в виде последовательности аналитического и численного этапов решения. В других работах рассчитывались искривленные балки, пластины, цилиндры (например, [31, 32,33]) и другие тела правильной или симметричной формы (например, [34, 35, 36]). Рассматривалось и температурное выпучивание [37]. Тенденции сохранились и до сих пор. Но значительно расширился круг решаемых задач, например, рассматриваются новые материалы, свойства которых можно считать неклассическими, что изменяет привычные процедуры вычислений [38, 39, 40 ]. Также решаются задачи термоупругости в динамической постановке [41].

Иные работы посвящались исследованию не столько напряженно-деформированного состояния, сколько связанных с ним характеристик: распространение волн в теле [42], напряжения в области неоднородности [43], локализации колебаний [44,45]. Заканчивая описание литературы по решению прямых задач термоупругости, отметим классическую работу о методах решения задач термоупругости и других задач методом конечных элементов [46].

Вопросы управления напряжениями относятся к классическим задачам термоупругости. Первые фундаментальные постановки задач как задач управления в термоупругости при известном решении в напряжениях можно найти в монографиях [12, 13]. Наибольший интерес в них обращен к вопросу о нагреве, не создающем напряжений в теле. Мелан (Melan) и Паркус (Parkus) пытались определить необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять искомое температурное поле. Однако удалось им это сделать лишь для незакрепленных односвязных тел простой геометрии, поскольку авторы пытались найти решение прямой задачи в напряжениях аналитически и по нему установить свойства температурного поля. В более поздней работе [12] была сделана попытка установить свойства искомой температуры из свойств уравнений задачи термоупругости и было получено необходимое условие отсутствия температурных напряжений, но вновь в свободных телах. Рассматривалась классическая постановка задачи несвязанной термоупругости. В других работах по термоупругости имеются лишь замечания по отсутствию напряжений в результате нагрева. В последнее время теоретические изыскания в этой области продолжили Циглер и Иршик, получившие в своей работе [47] необходимое условие для температурного поля, не создающего напряжений в более общем случае. Итоги этих исследований приведены в работах [48, 49]

Похожие задачи рассматривались в литературе для более частных задач, к примеру [50,51]. Школа о проблемах отсутствия напряжений, но в задачах пластичности, сложилась в Перми, где активно решались задачи управления остаточными напряжениями, к примеру, работы Поздеева, Няшина, Трусова [8, 52] содержат результаты для свободных тел и само-уравновешенных напряжений. Идеи, высказанные в работах [8,52] позволили сформулировать необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять температурное поле, чтобы создать в теле известные напряжения. В работах Няшина, Кирюхина и Циглера эти идеи получили должное развитие и были сформулированы необходимые и достаточные условия для импотентного нагрева в несвободном теле [3,53, 54, 55].

Задачи достижения ненулевых напряжений в теле рассматривались в работах [56, 57]. Для решения таких проблем многие авторы вводят в решение интегральный функционал как целевую функцию (так называемый представительный индекс проблемы оптимального управления) и далее используются дифференциальные методы нелинейной оптимизации [12, 56, 58, 59, 60, 61, 62]. Многие исследования посвящены термо-пьезо-электрическому управлению, в частности, для балок, пластин и оболочек [63, 64,65,66].

Вопросы управления деформациями вызвали больший интерес со стороны исследователей, поскольку данная тема вплотную примыкает к задачам проектирования. Действительно, поиск параметров модели по известным деформациям может вестись в направлении подбора свойств, материала, геометрии, топологии или в направлении определения температурных, силовых нагрузок. В первом случае - это задачи оптимального проектирования. Во втором случае мы говорим об оптимальном управлении (температурном, пьезоэлектрическом или силовом).

Задачи температурного и пьезоэлектрического управления решаются преимущественно численно. Выделяется некоторая целевая функция, выражающая отклонение полученного значения деформации от заданного, далее ее минимум исследуется с помощью какого-либо метода минимизации, учитывающего ограничения. Отметим работы в этой области [67, 68].

Решения проблемы управления, особенно в сложных практических задачах, сводят, как правило, к задаче оптимизации некоторого функционала. Функционал зависит от величин, определяемых из прямого решения модели. После этого используются теоретические и численные методы оптимизации. Помимо температурного управления решаются задачи управления деформациями с помощью активных сил или пьезоактиваторов - элементов конструкции, обладающих пьезоэлектрическим эффектом. Вопросы силового управления отражены в работе Бушнеля (Bushnell) [69]. Вопросам пьезуправления посвящены работы Pao (Rao) и Сунара {Sunar) [63,65], а также работы Ноды (Noda) [70, 71].

Рассматривается в последнее время частная проблема управления деформациями - управления формой в процессе эксплуатации изделия. Факторы управления формой те же: температура, сила и пьезо-деформация [72, 73, 74, 75]. Работа [76] отражает вопросы решения задач управления деформациями, разработанные за последние 15 лет.

Задачи проектирования напряжений, деформаций и перемещений рассматриваются в широком круге работ. Однако среди совокупности работ в данной области мы выделим ряд работ, рассматривающих проектирование именно с позиций задач управления температурными деформациями.

Проектирование (иначе - системная оптимизация [77]) может быть определена как рациональное осуществление системного проектирования, т.е. лучшего кз всех возможных проектов в свете определенных целей и удовлетворяющих заданным геометрическим установкам и/или ограничениям на поведение [78].

Наиболее полно первые формулировки и некоторые способы решения задач проектирования приведены в обзорных статьях [79, 80].

Одними из первых фундаментальных работ по решению задач проектирования стали работы Прагера (Prager). Работы его можно отнести и к классу управления и к классу проектирования, т.к. он одним из первых сумел применить энергетические критерии оптимизации для минимизации веса балки [81], подверженной нагреву и др. Способы решения задачи в своем развитии стали основой современных методов решения задач проектирования [82].

Обращаясь к современному состоянию проблемы, отметим, что много литературы посвящено вопросу структурной оптимизации изотермических конструкций [78, 83, 84]. Однако оптимизация термоупругих систем не получила должного внимания со стороны исследователей. Большинство работ в литературе посвящено проблемам оптимизации формы пластин [85, 86, 87, 88], оболочек [89], определению оптимального распределения толщины однородных пластин [90]. В середине 80-х годов особое внимание стало уделяться проектированию конструкций из волокнистых композитов [91]. В работе [78] в качестве параметров проектирования выбраны направления волокон, причем дополнительная энергия деформации выступает в роли целевой функции, устремляемой к минимуму без каких-либо дополнительных ограничений. Аналогичные проблемы решаются в работах [92, 93]. В [77] при общих условиях изучается оптимизация материала и нагрузки в термоупругом теле. В качестве целевой функции и ограничений выступают интегральный функционал температуры, теплового потока, перемещений, напряжений и деформаций. Переменные проектирования включают функции свойств материала и обобщенные объемные и поверхностные нагрузки, способ решения -метод анализа коэффициентов чувствительности.

Среди задач оптимизации стационарных или установившихся процессов в структурных и температурных системах могут быть важными оптимальная конфигурация свойств (т.е. модуля упругости Юнга, плотности массы, теплопроводности) [94, 83], оптимальная форма [95] и функции нагружения (т.е., поверхностные силы и тепловой поток на границе) [60, 96, 97]. С увеличением влияния экономии материала и энергии возникает проблема оптимизации энергетических систем. Можно отметить, что, если обычно функции нагружения не нарушают линейный характер уравнений состояния системы, то характеристики материала, полученные в результате решения проблемы оптимизации, приводят к нелинейности уравнений, включающих переменные как состояния, так и проектирования. Интересные результаты представлены в работе [98], в которой авторы Мруз (Mroz) и Миронов (Mironov) привели математический анализ и описали способы нахождения минимума в задачах проектирования при различных ограничениях. Данная работа фундаментальна по своим результатам, но, к сожалению, не нашла применения на практике.

Развиваемые в самые последние годы направления в решении задач управления характерны выбором новых типов материалов, градиентных материалов [99, 100], или доработкой модели упругости путем добавления в нее новых неклассических граничных условий. Решение задач управления становится возможным при решении и таких задач как распространение трещин [101].

Подытоживая вкратце выводы по обзору, заметим, что:

1. В литературе приведены постановки задач управления и проектирования в рамках теории упругости с собственными деформациями.

2. Задачи управления можно разбить на несколько характерных групп: задачи управления напряжениями; задачи управления деформациями (и перемещениями).

3. Хорошо развиты и реализованы на практических проблемах методы решения задач управления несвязанной термоупругости. В общем, они представляют собой построение некоторого функционала, отвечающего за благоприятный исход процедуры поиска нужного параметра. Далее ищется минимум этого функционала.

4. Сформулированы необходимые и достаточные условия для импотентного нагрева. Положительные аспекты опубликованных работ: накоплен опыт решения задач управления, решено множество практических задач, разработаны теоретические основы решения частных задач управления и проектирования.

Однако существует ряд вопросов, не нашедших должного развития. Управление напряжениями, как правило, приводит к изменению деформации системы. Этого не происходит только в том случае, когда прикладываемая собственная деформация является нильпотентной, но необходимых и достаточных условий нильпотентности не было сформулировано. Следующий вопрос возникает об одновременном и независимом управлении напряжениями и деформациями. Нет чёткого общего и обоснованного подхода к решению таких комбинированных задач. По мнению авторов, это возможно осуществить используя импотентные и нильпотентные собственные деформации. Кроме этого, не сформулированы достаточные условия для принципиальной возможности создания в теле заданных напряжений с использованием собственной деформации, то есть существования решения задачи управления. При управлении собственными деформациями необходимо знать базис в функциональном пространстве и существует необходимость в разработке алгоритмов построения базисных элементов как для импотентных, так и нильпотентных собственных деформаций. Задачи управления формой в основном сводятся к созданию нулевых перемещений системы. В случае, когда требуемые перемещения не равны нулю, общего алгоритма не разработано. Исходя из сказанного, в данной работе ставятся следующие задачи:

1. Исследование общих свойств моделирования собственных деформаций. Определение необходимых и достаточных условий нильпотентной собственной деформации.

2. Разложение собственной деформации на импотентную и нильпотентную части и исследование свойств этого разложения.

3. Разработка алгоритмов независимого решения задач управления напряжениями и деформациями, не используя процедуру прямого решения. Формулировка достаточных условий создания в теле заданных напряжений.

4. Разработка алгоритмов построения базиса в функциональных подпространствах.

5. Разработка алгоритма создания в теле заданного произвольного поля перемещений, не влияя при этом на напряжения. 6. Применение теории и алгоритмов к решению демонстрационных и практических задач управления.

В первой главе представлены классическая и обобщенная постановки задач для систем с собственными деформациями. Проведен анализ свойств импотентной и нильпотентной собственной деформации. Представлены постановки задач управления, основная идея которых заключается в следующем:

- считается, что тело подвержено внешним нагрузкам и что в этом теле может быть создана собственная деформация, заданы геометрия, топология и закрепление тела;

- теоретический анализ собственной деформации позволяет найти её влияние на тело;

- требуется определить собственную деформацию, которая приводит систему к заданному состоянию.

Простейшим примером таких задач может служить задача об импотентном нагреве как о нагреве, не вызывающем напряжений.

Во второй главе представлены фундаментальные свойства собственной деформации. Доказаны необходимые и достаточные условия для импотентной и нильпотентной собственной деформации. Доказано, что собственная деформация может быть единственным образом разложена на импотентную и нильпотентную части. Этот результат имеет большое значение для решения задач управления, так как он открывает возможность одновременно управлять напряжениями и деформациями в системе. Также становится возможным осуществлять управление напряжениями, не меняя деформаций системы, и, наоборот, управлять деформациями системы, не меняя при этом напряжения. Иными словами, задачи управления напряжениями и деформациями становятся независимыми друг от друга, и существует возможность их отдельного решения. В основе решения задачи управления деформациями лежит использование импотентной собственной деформации, которая вызывает деформации в системе, но не вызывает напряжений. В основе управления напряжениями лежит использование нильпотентной собственной деформации, которая вызывает напряжения, но не производит полную деформацию системы. Отметим, что решение задач управления проводится на основе анализа свойств решения, и при этом нет необходимости осуществлять непосредственное (иногда достаточно трудоемкое) решение задачи с собственными деформациями.

В третьей главе рассмотрены алгоритмы управления напряжениями, деформациями и перемещениями. Задачи управления перемещениями также называются задачами управления формой {shape control). Также рассмотрены вопросы построения базиса в функциональных подпространствах импотентных и нильпотентных собственных деформаций. Сформулированы оценки отклонения реальных напряжений в системе от заданных значений. Задача управления перемещениями сведена к задаче управления деформациями. При этом алгоритм позволяет создавать в теле ненулевые перемещения, что открывает широкие возможности в решении задач управления формой.

В четвертой главе решен ряд задач управления напряжениями. Показана простота и эффективность использования разработанных алгоритмов. В этой главе также представлен метод раскрытия статической неопределимости систем, используя свойства импотентной и нильпотентной собственной деформации.

4.4 Выводы по главе 4

1. В четвертой главе решен ряд нетривиальных задач управления, которые показали эффективность и простоту использования разработанных алгоритмов решения.

2. Продемонстрировано управление усилиями в статически неопределимых системах, имеющих лишние опоры. Использование концепции нильпотентных собственных деформаций позволяет провести аналитический анализ несущей способности системы с собственными деформациями, а в некоторых случаях построить само решение задачи управления.

3. Продемонстрирован алгоритм создания в теле заданных ненулевых перемещений. Продемонстрирована неединственность решения таких задач, даже если поле собственных деформаций ищется в классе совместных деформаций.

4. Все задачи решены на основе единых теоретических основ. Показано, что решение задач управления напряжениями и деформациями (перемещениями) может проводиться независимо и без влияния друг на друга.

5. Как показали задачи, использование концепции нильпотентных собственных деформаций позволяет существенно сократить количество управляющих параметров.

Заключение

1. В работе рассмотрены постановки задач управления в рамках краевой задачи теории упругости с собственными деформациями. Описано представление общих задач управления в виде совокупности подзадач управления напряжениями, деформациями и перемещениями.

2. Сформулированы необходимые и достаточные условия для нильпотентной собственной деформации. Ценность условий также заключается в том, что они основаны на обобщенной постановке краевой задачи, что существенно расширяет класс решаемых задач и дает возможность применения численных методов решения.

3. Основным результатов работы является доказательство теоремы о разложении собственной деформации на импотентную и нильпотентную составляющие. Доказано, что такое разложение всегда существует и единственно. Представленная теорема отражает фундаментальные свойства собственной деформации.

4. Разложение собственной деформации на составляющие позволяет сразу найти решение задачи теории упругости с собственными деформациями. Кроме того, это позволяет проводить независимое управление напряжениями и деформациями системы.

5. С использованием теоремы получены оценки для отклонения истинных напряжений и деформаций от заданных значений. Важность результата заключается в том, что оценка не требует прямого решения задачи теории упругости с собственными деформациями и что она построена в виде равенства.

6. Рассмотрены вопросы построения базисных элементов в функциональных подпространствах импотентных и нильпотентных собственных деформаций. Разработана методика определения размерности подпространств для дискретизированных систем. Знание поля нильпотентных собственных деформаций, то есть знание соответственного, базиса позволяет определить поле напряжений, которое может быть создано в системе, при наложении собственной деформации. Это позволяет отметить на вопрос о принципиальной возможности создания в теле требуемых напряжений.

7. На единой теоретической базе построены и описаны алгоритмы решения поставленных задач управления. Рассмотрено независимое решение каждой задачи управления по отдельности. Определена последовательность вычислений в каждой из них. Достоинство результата - это то, что решения задач разделены и независимы друг от друга, кроме того, не требуют знания решения задачи теории упругости с собственными деформациями.

8. Разработан принципиально новый алгоритм создания в теле заданных ненулевых перемещений посредством собственной деформации.

9. Разработанные алгоритмы использованы для решения ряда тестовых задач управления посредством собственной деформации. Показано, что знание поля напряжений, которое может быть создано собственной деформацией, позволяет исследователю сделать аналитическую оценку максимальной несущей способности системы, а также аналитически построить процедуру квазистатического управления без использования численных методов решения задач оптимизации. Также показано соответствие аналитического и численного методов решения. Рассмотрена задача управления ненулевыми перемещениями. Описанные задачи решены для нетривиальных систем, имеющих внешнюю и внутреннюю статическую неопределимость.

1. Коваленко А.Д. Термоупругость. —Киев, Вища школа, 1975.

2. Srinivasan A.V., Mcfarland D.M. Smart Structures: Analysis and Design. Cambridge University Press, 2001.

3. Fukada E., Yasuda I. On the piezoelectric effect of bone // Journal of the Physical Society of Japan.—Vol. 12, No. 10, 1957.—P. 1158—1162.

4. Fukada E., Yasuda I. Piezoelectric effects in collagen // Japanese Journal of Applied Physics. —Vol. 3, No. 2, 1964. —P. 117—121.

5. Shamos M. H., Lavine L. S. Piezoelectricity as a fundamental property of biological tissues // Nature. —1967. — P. 267—269.

6. Gjelsvik A. Bone remodeling and piezoelectricity I // Journal of Biomechanics. — Vol. 6, 1973 —P. 69—77.

7. Поздеев A.A., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения: теория и приложения. — М.: Наука, 1982.

8. Reissner Н. Eigenspannungen und Eigenspannungsquellen // ZAMM. —Vol. 11, 1931.—P.l-8.

9. Мига T. Micromechanics of Defects in Solids. Martinus Nijhoff, Dordrecht, 1987.

10. IrschikH., Ziegler F. Eigenstrain without stress and static shape control of structures // AIAA Journal. —Vol. 39, No. 10, 2001. —P. 1985-1990.

11. Parkus H. Thermoelasticity. 2nd ed., Vienna, New York, Springer-Verlag, 1976.

12. Мелан Э., Парку с Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями. — М.: ФМГИЗ, 1958.

13. Ziegler F. Mechanics of Solids and Fluids, 2nd ed., New York, Springer, 1995 (Русский перевод: Циглер Ф. Механика твердых тел и жидкостей. — Москва-Ижевск: РХД, 2002).

14. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. — М.: Мир, 1964.

15. Майзель В.М. Температурные проблемы в теории упругости. Академия наук

16. Украинской ССР, Киев, 1951.

17. Новацкий В. Термоупругость. — М.: Мир, 1975.

18. Дюво Г., Лионе Х-Л. Неравенства в механике и физике. — М.: Наука, 1980.

19. Noor А.К., KimY.H., Peters J.M. Transverse shear stresses and their sensitivity coefficients in multilayered composite panels // AIAA Journal. — Vol. 32, No. 6, 1994.—P. 1259-1269.

20. Locke J. Nonlinear random response of angle-ply laminates with static and thermal preloads// AIAA Journal. — Vol. 29, No. 9, 1991. — P. 1480-1487.

21. DaviD. General theory for cross-ply laminate beams // AIAA Journal. — Vol. 35, No. 8, 1997.—P. 1334-1340.

22. Durelli A.J., Tsao Т.Н. Determination of thermal stresses in three-ply laminates // Journal of Applied Mechanics. — Vol 35, No. 6, 1955. — P. 190-192.

23. Hetnarski R.B. Stresses in long cylinder due to rotating line source of heat // AIAA Journal. — Vol. 7, No. 3, 1969. — P. 419-423.

24. Tauchert T.R. Ritz solution for thermoelastic cylinders // J. Eng. Mech. Division. — No. 10, 1976.—P. 825-837.

25. Tauchert T.R. Ritz solutions for axisymmetric temperature and stress fields in finite elastic cylinders // Journal of Thermal Stresses. —Vol. 8, 1978. —P. 567-572.

26. Tauchert T.R. Thermal buckling of thick antisymmetric angle-ply laminates // Journal of Thermal Stresses. — Vol. 10, 1987. —P. 113-124.

27. Hyer M.W., Rousseau C.Q. Thermally induced stresses and deformations in angle-ply composite tubes I I Journal of Composite Materials. —Vol. 21, No. 5, 1987. —P. 454-480.

28. Hyer M.W., Cooper D.E., Cohen D. Stresses and deformations in cross-ply composite tubes subjected to a uniform temperature change // Journal of Thermal Stresses. — Vol. 12, No. 9, 1986. —P. 97-117.

29. Hyer M.W., Loup D.C., Starnes J.H. Stiffener/skin interactions in pressure-loaded composite panels // AIAA Journal. — Vol. 28, No. 3, 1990. — P. 532-537.

30. Meyers C.A., Hyer M. W. Thermally induced, geometrically nonlinear response of symmetrically laminated composite plates // Composite Eng.— Vol. 2, No. 1, 1992. — P. 3-20.

31. YangT.Y., Kapania R.K., SaigalS. Acurate rigid-body modes representation for anonlinear curved thin-shell element // AIAA Journal. — Vol. 27, No. 4, 1989. — P. 211-218.

32. Libove C., Chu-Ho Lu. Beam like bending of variable-thickness sandwich plates // AIAA Journal. —Vol. 27, No. 4, 1989. —P. 500-507.

33. Chaudhuri R.A., Abu-Arja K.R. Closed-form solution for arbitrary laminated anisotropic cylindrical shells (tubes) including shear deformation // AIAA Journal. —Vol. 27, No. 11, 1989.—P. 1597-1605.

34. Sun L.X., Hsu T.R. Thermal stress analysis of laminated composite solids of axisymmetric geometry // AIAA Journal. —Vol. 28, No. 8, 1990. —P. 1527-1529.

35. Xi Z.C., Yam L.H., Leung T.B. Thermal stresses in eccentrically stiffened composite plates //AIAA Journal. —Vol. 33, No. 7, 1995. — P. 1357-1358.

36. Thangaratnam R.K., Ralaniathan R., Ramachandran J. Thermal buckling of laminated composite shells // AIAA Journal. —Vol. 28, No. 5, 1990. — P. 859-860.

37. Tamma K.K., NaburuR.R. Computational approach with applications to non-classical and classical thermomechanical properties // Appl. Mech. Rev. —Vol. 50, No. 9, 1997. —P. 173-179.

38. WieckowskiZ. Longitudinal shearing of elastic-plastic fibrous composite with frictional fibre matrix interface // Journal of Theoretical and Applied Mechanics. — Vol. 4, No. 36, 1998. —P.855-877.

39. Obata Y., Noda N. Two-dimensional unsteady thermal stresses in a partially heated plate made of functionally graded material // Proceedings of the Second International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. Rochester. — 1997.

40. IrschikH, Ziegler F. Dynamic of composite structures based on lower order eigenstrains analysis // Fracture. A Topical Encyclopedia of Current Knowledge, Ed. by P. Cherepanov, Malabor, Florida. — 1998.

41. Birlik G. Transient wave propagation in multilayered thermoelastic cylindrical shells // Proceedings of the First International Symposium on Thermal Stresses and

42. Related Topics. 5-7 June, Shizuoka. — 1995.

43. Daniels J.A., Palazotto A.N. Failure characteristics in thermoelolastic composite laminates due to an eccentric circular discontinuity // AIAA Journal. —Vol. 29, No. 5, 1991.—P. 830-837.

44. Cornwell P.J., Bendiksen O.O. Localization of vibrations in large space reflectors // AIAA Journal. —Vol. 27, No. 2, 1989. —P. 219-226.

45. Eslami H., MaerzS. Thermally induced vibration of a symmetric cross-ply plate with hydrothermal effects // AIAA Journal. —Vol. 33, No. 10, 1995. —P. 19861988.

46. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в механике твердого тела и механике структур. — М.: Недра, 1974.

47. Irschik Н., Heuer R., Ziegler Z. Static shape control of redundant beams and trusses by thermal strains without stress // Proceedings of the Second International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. Rochester. — 1997.

48. Irschik H. A review on static and dynamic shape control of structures by piezoelectric actuation // Engineering Structures. — Vol. 24, 2002. — P. 5-11.

49. Ziegler F. Eigenstrain controlled deformation- and stress state // European Journal of Mechanics. A/Solids. — Vol. 23, 2004. — P. 1- 13.

50. Blosser M.L. Thermal-stresses-free fasteners for jointing orthotopic materials // AIAA Journal. —Vol. 27, No. 4, 1989. — P. 472-478.

51. Yamada K. Thermal stress-free conditions for bonded dissimilar materials // Proceedings of the First International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. 5-7 June, Shizuoka. — 1995.

52. Nyashin Y.I., Ilialov O.R. Optimization problem for obtaining a prescribed residual stress distribution: formulation and solution // Int. Journal of Mechanical Sciences.

53. Vol. 37, No. 5, 1995. — P. 485-493.

54. Nyashin, Y.I., Kiryukhin, V.Y., Ziegler, F. Control of thermal stress and strain // Journal of Thermal Stresses. — Vol. 23, 2000. — P. 309-326.

55. Nyashin, Y.I., Kiryukhin, V.Y. Biological stresses in living tissues. The modeling and control problems // Russian Journal of Biomechanics. — Vol. 6, No. 3, 2002.1. P. 13-31.

56. Nyashin Y.I., Kiryukhin V.Y., Ziegler F. Thermal stress and strain: modeling andcontrol // Proc. 3rd Int. Symposium on Thermal Stresses, (J.J. Skrzypek and R.B. Hetnarski, eds.) Bratni Zew, Krakow, 1999. — P. 39-42.

57. NodaN. Optimal heating problem for transient thermal stress in a thick plate // Journal of Thermal Stresses.—Vol. 11, 1988.—P. 141-150.

58. MericR.A. Finite element analysis of optimal heating of a slab with temperature dependent thermal conductivity // Int. Journal of Heat Mass Transfer. —Vol. 22, 1979.—P. 1347-1353.

59. Ziegler F., IrschikH. Thermal stress analysis based on Maysel's formula // Proceedings of the Second International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. Rochester. —1997. — P. 120-188.

60. Cialkowski M.J., Grysa K. W. On a Certain Inverse Problem of Temperature and Thermal Stress Fields // Acta Mechanica. — Vol. 36, 1980.—P. 169-185.

61. Meric R.A. Coupled Optimization in Steady-State Thermoelasticity // Journal of Thermal Stresses. — Vol. 8, 1985. — P. 333-347.

62. Григолюк Е.И., Подстригач Я. С. , Бурак Я. И. . Оптимизация нагрева оболочек и пластин. — Киев: Наукова Думка, 1979.

63. Шаблий О.Н., Зарецкий В.И. . Оптимальное управление напряженно-деформированного состояния в дисках // Прикладная механика. — Том 17, № 8, 1981.—с. 755-759.

64. Sunar М., Rao S.S. . Thermopiezoelectric control design and actuator placement // AIAA Journal. — Vol. 35, no. 3, 1997.

65. Lee H.J., Saranos D.A. Coupled layerwise analysis of thermopiezoelectric composite beams // AIAA Journal. — Vol. 34, no. 6, 1996. —P. 1231-1237.

66. Rao S.S., Sunar M. Piezoelectricity and its use in disturbance sensing and control of flexible structures: a survey // Applied Mechanics Reviews. — Vol. 47, no. 4, 1994.1. P. 113-123.

67. Irschik H., Ziegler F. Maysel's formula generalized for piezoelectric vibrations: application to thin shells of revolution // AIAA Journal. — Vol. 34, no. 11, 1996.1. P. 2402-2405.

68. Haftka P.T. An analytical investigation of shape control of large space structures by applied temperatures // AIAA Journal. —Vol. 23, No. 3, 1985. —P. 450-457.

69. Bushell D. Control of surface configuration by application of concentrated loads //

70. AIAA Journal. —Vol. 17, No. 1, 1979. —P. 71-77.

71. Bushell D. Control of surface configuration of nonuniformily heated shells // AIAA Journal. —Vol. 17, No.l, 1979. —P. 78-84.

72. AshidaF., ChopiJ.-S., NodaN. An inverse thermoelastic problem in an isotropic plate associated with a piezoelectric ceramic plate // Journal of Thermal Stresses. — Vol. 19, 1996.—P. 153-167.

73. AshidaF., NodaN. Control of transient thermoelastic displacement of an isotropic plate associated with a piezoelectric ceramic plate // Journal of Thermal Stresses. — Vol. 20,1997.—P. 407-427.

74. Austin F., Rossi M.J., Nostrand W., Knowles K., Jameson A. Static shape control for adaptive wings // AIAA Journal. —Vol. 32, No. 9, 1994. —P. 1895-1901.

75. Irschik H., Adam C., Heyer R., Ziegler F. An exact solution for static shape control using piezoelectric actuation // Proc. of IUTAM Symposium on Transformation Problems in Composite and Active Materials, March 9-13, Cairo, Egypt. —1997.

76. KodiyalamS., Vanderplaats G.N. Shape optimization of three-dimensional continuum structures via force approximation technique // AIAA Journal. —Vol. 27, No. 9, 1989. —P. 1256-1263.

77. Crawley E.F. Intelligent structures for aerospace: a technology overview and assessment // AIAA Journal. —Vol. 32, No. 8, 1994.

78. Meric R.A. Material and load optimization of thermoelastic solids, part I: sensitivity analysis // Journal of Thermal Stresses. —Vol. 9, 1986. —P. 359-372.

79. OlhoffN., Taylor J.E. On structural optimization // J. Appl. Mech. —Vol. 50, No. 12, 1983.—P. 1139-1151.

80. Przeminieniecki J.S. Design of transparencies // Journal of the Royal Aeronautical Society. —Vol. 63, 1959. —P. 620-636.

81. Wasiutynsky Z, Brandt A. The present state of knowledge in the field of optimum design of structures // Applied Mechanics Reviews. —Vol. 16, No. 5, 1963. —P.341.350.

82. Prager W. Optimal thermoelastic design for given deflection // Int. J. Mech. Sciences.—Vol. 12, 1970.—P. 705-709.

83. Prager W., Taylor J.E. Problems of optimal structural design // Transactions of ASME.—1998. —P. 102-106.

84. ImaiK. Structural optimization to include material selection // Int. Journal for Numerical Methods in Engineering. —Vol. 19, 1983. —P. 217-235.

85. Bendsone M.P., Guedes J.M., PlaxtonS., Taylor J.F. Optimization of structure and mechanical properties for solids composed of softening material // IUTAM Symposium on Optimization of Mechanical Systems.—Kluwer, 1996. —P. 17-24.

86. Lee Y.-S., LeeY.-W., YangM.-S., ParkB.-S. Optimal design of thick laminated composite plates for maximum thermal buckling load // Proceedings of the First International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. 5-7 June, Shizuoka. —1995.

87. Walker M., Reiss Т., Adali S., Vrijenko V.E. Optimal design of symmetrically laminated plates for maximum buckling temperature // Journal of Thermal Stresses. —Vol. 20,1997. —P. 21-33.

88. Tauchert T.R. Influence of temperature change on optimum laminate design // AIAA Journal. —Vol. 15, No. 9, 1977. —P. 1238-1241.

89. Krys'ko V.A., Bochkarev V.V. Design of plates and shells near optimal on weight with allowance for the temperature effect // Saratov Politechn. Inst, Translated from Prikladnaya Mekhanika. — Vol. 17, No. 11, 1981. —P. 54-59.

90. Muc. A. Optimization of composite topology for doubly curved laminated shells under buckling Constraints // Optimal Design with Adv. Materials, P. Pedersen (ed.), Elsevier Science Publisher B.V. — 1993. — P. 407-423.

91. Erbatur F., Mengi Y. Thermoelastic optimal design of plates // J. Eng. Mech. Division. — No. 8, 1977. —P. 649-658.

92. Tauchert T.R., Adibhatla S. Optimum thermoelastic design of laminated plates // Journal of Thermal Stresses. —Vol. 8, 1985. —P. 11-24.

93. Adali S., Duffy K.J. Optimal design of antisymmetric hybrid laminates against thermal buckling // Journal of Thermal Stresses. —Vol. 13, 1990. —P. 57-71.

94. Grenestedt J.L., Gudmundson J.L. Lay-up optimization of composite materialstructures // Optimal Design with Advanced Materials, P. Pedersen (ed.), Elsevier Science Publishers B.V. —1993.— P. 311-350.

95. Meric R.A. Optimization of thermal conductivities of isotropic and orthotropic solids // Transactions of the ASME. Journal of Heat Transfer. —Vol. 107, 1985. — P. 508-512.

96. Meric R.A. Shape optimization of thermoelastic solids // Journal of Thermal Stresses.—Vol. 11, 1988.—P. 187-206.

97. Meric R.A. Optimal boundary tractions for solids with initial strains // Trans. ASME, J. Appl. Mech.—Vol. 52, 1985. — P. 363-367.

98. Meric R.A. Optimal loading of solids by the boundary element method // Int. J. Eng. Sci.—Vol. 23, 1985.—P. 1101-1111.

99. MrozZ., MironovA. Optimal design for global mechanical constraints // Arch. Mech.—Vol. 32, No. 4, 1980. —P. 505-516.

100. Makino M., Tsuji Т., Noda N. A simulation of mechanical and thermal properties of funciional gradient materials by molecular dynamics // Proceedings of the Second International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. Rochester. — 1997.

101. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. — М.: Мир, 1987.

102. ХОЪ.Менсон С. Температурные напряжения и малоцикловая усталость. — М.: Машиностроение, 1974.

103. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных- М.: Высшая школа, 1977.

104. Lebedev L., Vorovich I. Functional Analysis in Mechanics. Springer-Verlag, New1. York, 2003.

105. Колмогоров A.H., Фомин, С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1968.

106. Yosida К. Functional Analysis. Springer Verlag, New York, 1965.