Резонансные эффекты в динамике и релаксации парамагнитных центров в кристаллах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Банбеков Эдуард Ильдарович

РЕЗОНАНСНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ДИНАМИКЕ И РЕЛАКСАЦИИ ПАРАМАГНИТНЫХ ЦЕНТРОВ В КРИСТАЛЛАХ

01.04.02 - Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 3 НОЯ 2011

Казань-2011

4858990

Работа выполнена на кафедре теоретической физики ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Малкин Борис Залманович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Фаткуллин Наиль Фидаиевич

доктор физико-математических наук, с.н.с. Шахмуратов Рустэм Назимович

Ведущая организация: Институт радиотехники и электроники

им. В.А. Котельникова РАН

Защита состоится ^ яоз^/л_ 2011 г. в на заседании

диссертационного совета Д.212.081.15 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 16а, ауд. '//О

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н., профессор

Еремин М. В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Явление электронного парамагнитного резонанса, открытого Е. К. Завойским в 1944 г., послужило основой широкого спектра методов исследования парамагнитных кристаллов, включая импульсные методы. Преимуществом импульсных методик является возможность избирательного воздействия на состояния магнитных центров длительностью порядка нескольких наносекунд и менее, что позволяет изучать процессы магнитной релаксации на временных масштабах 10~6 - 10'9 секунды. Особый интерес представляют исследования осцилляции Раби [1], генерация которых осуществляется длительным интенсивным импульсом переменного магнитного поля резонансной частоты. Время затухания осцилляций Раби характеризует скорость релаксационных процессов в системе спинов, находящихся в режиме вынужденного поглощения и испускания квантов электромагнитного излучения. Следует отличать его от времени фазовой релаксации, происходящей в отсутствие резонансного переменного поля.

Регистрация осцилляций Раби представляет собой ярчайший пример наблюдения длительной квантовой когерентности спиновых состояний. Явление квантовой когерентности привлекает интерес научной общественности практически с момента возникновения квантовой механики. В последние десятилетия оно получило важное практическое приложение в области квантовых вычислений. Функционирование квантового компьютера требует длительного сохранения когерентности состояний его элементарных ячеек -квантовых битов ("циЫГ). Одной из возможных реализаций кубита является электронный спин [2]. Время затухания осцилляций Раби, наряду со временем фазовой релаксации, является ключевой характеристикой, определяющей максимальное число операций на таком кубите до разрушения когерентного состояния.

Существовавшие до сих пор модели затухания осцилляций Раби были феноменологическими и основывались на уравнениях Блоха [3] и их модификациях [4, 5]. В 90-х годах прошлого века в серии работ [4, 6, 7] было впервые обнаружено и изучено т.н. аномально быстрое затухание осцилляций Раби парамагнитных центров в кварце. Развитие практических приложений квантовой теории информации дало толчок к дальнейшим исследованиям осцилляций Раби в системах с парамагнитными центрами. Аномально быстрое

затухание осцилляции было обнаружено в кристаллах Са\У04: Ег3+ [8], К3ЫЬОя: Сг5'" [9], а также в ванадиевом кластере У|5 [10].

В последние годы благодаря тесному сотрудничеству между отечественными и зарубежными научными группами удалось накопить большую базу экспериментальных данных по затуханию осцилляций Раби на разных частотных диапазонах ЭПР в кристалле вольфрамата кальция (Са\У04) с различными концентрациями примесей редкоземельных ионов и ионов переходных металлов. Был также обнаружен новый механизм аномального затухания осцилляций в ванадиевом кластере У]5, обусловленный резонансной передачей энергии от электронной подсистемы ядерному ансамблю. Таким образом, назрела необходимость создания микроскопической теории релаксации в резонансном поле, на основе которой можно было бы объяснить обнаруженные эффекты и количественно интерпретировать экспериментальные данные.

Цели работы:

• Разработать методику расчета затухания осцилляций Раби, обусловленного распределением амплитуды переменного поля в резонаторе спектрометра ЭПР.

• Исследовать влияние магнитных дипольных взаимодействий между парамагнитными центрами на затухание осцилляций Раби и получить расчетные формулы для скорости затухания как функции частоты Раби, ширины линии ЭПР и концентрации центров.

• Рассмотреть взаимодействие центрального электронного спина с ядерным ансамблем в резонансном поле, оценить вероятности процессов передачи возбуждения между электронной и ядерной подсистемами. Рассчитать скорость затухания осцилляций Раби в этом случае.

• Определить природу затухания осцилляций Раби и выполнить расчеты временной зависимости намагниченности следующих парамагнитных центров:

о ионов Сг5+, УЬ3+, Ег3+ в монокристаллических образцах Са\У0.4; о Е1 -центров в кварцевых стеклах и центров [АЮ4]0 в кварце; о кластера ионов Vй в молекулярном магните VI5.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту:

1. Разработана методика расчета затухания осцилляции Раби, обусловленного распределением амплитуды переменного поля внутри кристаллического образца. Обоснована линейная зависимость соответствующей скорости затухания от частоты осцилляции, выполнены оценки коэффициента пропорциональности в зависимости от размеров кристаллического образца и резонатора.

2. Построена микроскопическая теория релаксации в системе спинов, связанных магнитными дипольными взаимодействиями, в присутствии резонансного магнитного поля. Получены аналитические выражения для скорости релаксации как функции частоты Раби, полуширины линии и концентрации спинов. В рамках развитой автором теории дано объяснение аномального затухания осцилляции Раби парамагнитных центров в кварце. Разработано обобщение теории в случае магнитной анизотропии. Вычислены поправки к скорости релаксации, обусловленные случайными электрическими полями, индуцированными примесными ионами.

3. В рамках разработанных моделей выполнены расчеты релаксационных характеристик примесных ионов и затухания осцилляций Раби в кристаллах Са\ТО4, активированных ионами Сг5+, УЬ3+ и Ег3+. Результаты расчетов качественно и количественно согласуются с экспериментальными данными.

4. Построена модель электронно-ядерной кросс-релаксации в присутствии резонансного магнитного поля. На ее основе выполнен расчет затухания осцилляций Раби в ванадиевом кластере У]5. Получено качественное согласие между теоретической и экспериментальной зависимостями скорости затухания от частоты Раби; параметры, определяющие специфические особенности данной зависимости (положения и ширины пиков) представлены аналитическими функциями постоянных суперсверхтонкого взаимодействия.

Научная и практическая значимость работы. Разработанная методика учета распределения амплитуды переменного поля внутри кристаллического образца позволяет выделять собственно релаксационную часть полученной в эксперименте скорости затухания осцилляций Раби. Построенная микроскопическая теория дипольной релаксации раскрывает механизмы релаксационных процессов в парамагнитном кристалле при воздействии на

него переменного магнитного поля резонансной частоты и позволяет вычислять соответствующие скорости релаксации в широком спектре соединений. Выяснение доминирующих механизмов затухания когерентной квантовой динамики открывает возможность прогнозирования характеристик новых синтезируемых: материалов для квантовых вычислений.

Основные результаты работы были получены в ходе выполнения проекта РФФИ 09-02-00930. Работа автора была поддержана фондом Д. Б. Зимина «Династия».

Личный вклад автора. Автору принадлежат все теоретические модели и результаты расчетов, изложенные в главах 2-4 диссертации, за исключением аппроксимационной формулы для скорости спин-решеточной релаксации ионов Сг5+ в кристалле CaW04 (предложена И. Н. Куркиным).

Апробация работы. Результаты работы были представлены в докладах на XII, XIII и XIV международных молодежных школах «Актуальные проблемы магнитного резонанса», Казань, 2009-2011; XIV Международном Феофиловском симпозиуме по спектроскопии кристаллов, активированных редкоземельными ионами и ионами переходных металлов, Санкт-Петербург, 2010; итоговой конференции по научно-исследовательской деятельности Казанского Федерального Университета за 2010 г.; международной конференции "Resonances in condensed matter", Казань, 2011; семинарах кафедры теоретической физики Казанского федерального университета.

Публикации. Основное содержание работы опубликовано в трех статьях (в журналах Physical Review В, Journal of Magnetic Resonance, Письма в ЖЭТФ) и в 5 тезисах конференций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений А и Б, списка работ автора по теме диссертации и списка цитируемой литературы, включающего 74 наименования. Работа изложена на 121 странице, содержит 26 рисунков и 4 таблицы.

Основное содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы исследования, формулируются цели работы, ее научная и практическая значимость, новизна и положения, выносимые на защиту.

В первой (обзорной) главе излагаются основные принципы исследования динамики и релаксации системы взаимодействующих парамагнитных центров в твердых телах во внешнем магнитном поле. В рамках статистической теории Андерсона [11, 12] рассматривается дипольное уширение линий ЭПР в магниторазбавленных кристаллах и связанные с ним механизмы фазовой релаксации. Вводится понятие дипольной полуширины линии [12], являющейся мерой энергии магнитных дипольных взаимодействий между спинами парамагнетика:

Асо<1 =^\лгg гМ]сК Эл/Зй), (1)

где С - спиновая концентрация, g - ^-фактор, - магнетон Бора.

Обсуждаются методики измерения, известные экспериментальные факты и существующие феноменологические модели затухания осцилляций Раби в парамагнетиках.

Вторая глава посвящена анализу затухания осцилляций Раби, вызванного распределением амплитуды переменного поля в резонаторе ЭПР. В случае объемных резонаторов данное распределение вызвано тем, что переменное поле в них генерируется в виде стоячих волн. Частота осцилляций Раби линейная по амплитуде поля Я,, будет зависеть от координаты г выбранного парамагнитного иона в кристаллическом образце: (г) = £//,#, (г)/А. Предположим, что образец помещается в область, где магнитная компонента переменного поля максимальна (область «пучности» стоячих волн), а электрическая компонента близка к нулю. Амплитуду осцилляций Раби Л/г0 (г) как функцию времени можно найти интегрированием по объему образца. Полагая, что положения примесных ионов в кристалле случайны, а размеры образца малы по сравнению с длиной волны Л = 2яс/сОд переменного поля частоты соа, мы получаем следующую приближенную зависимость:

В уу ' ич

где п равно числу «пучностей» распределения Я, (г) вдоль осей координат (п = 1, 2 или 3); Мп - начальная амплитуда осцилляции; /У/у, - безразмерный параметр затухания, являющийся функцией размеров и формы образца и резонатора, а также типа колебаний в резонаторе. Скорость затухания осцилляции, обусловленная распределением (г), линейна по частоте Раби: Г„, = . В практически важном случае цилиндрического резонатора ЭПР с типом колебаний ТЕ011: п = 3, и

812 16 а2

где у01 «3,832; 1х,1у,1г - линейные размеры образца; Л и Ь - радиус и длина резонатора, продольная ось которого совпадает с декартовой осью ж. В случае сильного неоднородного уширения линии ЭПР, когда неоднородная полуширина линии превышает частоту Раби С1А,, возникает распределение по

частотам нутации ионов 0 = ^0, где е = со-аа - сдвиг частоты прецессии со данного иона относительно резонансной частоты (о,,.

Интегрирование по е даст дополнительный множитель в (2) вида

[-> "И'4

1+(я£2х/)" [3]. Учет обоих вкладов дает сравнительно медленное

затухание по полиномиальному закону с асимптотикой ~Г2, легко идентифицируемой в эксперименте.

Развитая методика применяется для расчета затухания намагниченности в кристаллах Са\У04: Сг5+ (0,00033 аг. %) и Са\У04: УЬ3+ (0,0025 ат. %). Показано, что в случае малых концентраций примесных ионов данные механизмы дают преобладающий вклад в затухание, при этом расчетные зависимости хорошо согласуются с экспериментальными данными в широкой области частот П/( и для разных частотных диапазонов ЭПР. Скорость затухания осцилляций Раби значительно превышает скорость фазовой релаксации в указанных кристаллах при тех же условиях. Величины 771 в исследованных образцах интерпретированы в рамках механизмов мгновенной и спектральной диффузии.

t, МКС

Рис. 1. Осцилляции Раби ионов Сг5+ (четные изотопы с нулевым спином ядра) в кристалле CaW04: Сг3+ (0,00033 ат. %) на частоте ЭПР 94 ГГц. Частота Раби С1й/2я = 13,2 МГц, Т = 6 К. Экспериментальные данные и аппроксимация

Г / ,2 Г1/4 Г / 2Т3/4

амплитуды осцилляции функцией 1 + (я£2/) N+(0,110^) М0

представлены соответственно жирной и пунктирной линиями. Тонкой линией обозначена расчетная зависимость, полученная численным интегрированием с учетом размеров и формы кристаллического образца.

В третьей главе строится микроскопическая теория дипольной релаксации системы спинов одного типа в резонансном переменном магнитном поле. Гамильтониан ансамбля N днпольно связанных спинов 5 = 1/2, находящихся во внешнем магнитном поле кН0 +2///, cos<»0/, запишем в системе отсчета, вращающейся с угловой частотой со0 вокруг оси z:

= £ (4)

У ^ j*k

a.P-i.y.z

Здесь введены спиновые операторы S'a иона j, связанные с исходньми операторами, записанными в декартовой системе координат, следующим образом:

где = -&>0 - сдвиг частоты спина у относительно резонансной частоты.

Q.j = + с1. . В приближении малой концентрации спинов выполняется условие Ао)и «С2Л. Для магниторазбавленных кристаллов неоднородное уширение линии ЭПР, как правило, значительно превышает Ааи. В этом случае в (4) можно оставить только слагаемые магнитного дипольного взаимодействия секулярные по отношению к оператору ЙС2Д'

эффективного взаимодействия спина ] с внешним полем во вращающейся системе отсчета. Они вызывают сдвиг частоты нутации О, спина /, величина

которого определяется ориентацией спина к и величиной А*, зависящей от относительного положения обоих спинов. При расчете временной зависимости амплитуды осцилляции Раби сделаны следующие приближения:

1) положения спинов в кристалле случайны и учитываются в рамках континуального приближения (справедливо для спиновых концентраций менее 1 ат. %);

2) взаимодействие спинов с магнитным полем описывается изотропным £-фактором;

3) корреляция между относительными положениями двух спинов и их резонансными частотами отсутствует.

В амплитуде затухания осцилляции Раби появляется экспоненциальный релаксационный множитель, обусловленный дипольными взаимодействиями между спинами близких резонансных частот:

1 г

Мг0~ехр(-ГД Гл*-АфлПя\-Ш==, (6)

2 '^О^+е1

где интегрирование производится по частотам спинов в линии ЭПР с неоднородной полушириной а и спектральной плотностью /(л'), нормированной на 1. В предельных случаях узкой (<т) и широкой (ег > ) линий получаются следующие зависимости: 2, <т«ад

сг + л/сТ + О^ л <7)

Дш,/(0)ал1п—-2- = а,+дл«. <т>ой.

Скорость затухания Тг1 осцилляций в случае а >С1В приближенно

линейна по частоте Раби в ограниченной области ПЛ. В общем случае скорость затухания Г^ линейна по концентрации спинов и не превышает Дга, /2.

На основе построенной микроскопической модели релаксации выполнен расчет скорости затухания Г = /Ю.в осцилляций Раби и [А104]°-центров в кварце. Концентрационные зависимости измеренных для обеих серий образцов параметров затухания ¡5 в рамках экспериментальных погрешностей близки к расчетным значениям Д,. В обоих случаях удается представить Д в виде следующей суммы: Д = Д0+Д, (табл. 1). Единственными подгоночными параметрами являются не зависящие от концентрации спинов постоянные До(я,') = 5-10'2 и До(АЮ4) = 2,1Ы0~2, при помощи которых учитываются не

связанные с межспиновыми взаимодействиями механизмы затухания осцилляций.

Таблица 1. Измеренные (Д, [6, 7]) и рассчитанные (/?,) параметры затухания

осцилляций Раби парамагнитных центров в кварце. Нумерация образцов Е[ и [А104]°-центров соответствует обозначениям работ [7] и [6], соответственно. Последняя колонка - аппроксимация Д = Д0 + Д,, где | =5 -КГ2 и

Д0 (АЮ4) = 2,1 МО'2._

Тип № <т/2я-, с, Р, А, А+А.

центра образца МГц 1016 см~3 Ю"2 10~2 ю-2

1 7,5 ±2 4,8 + 0,5 0,94 ±0,25 5,7

< 2 1 16+5 6,1 + 0,5 2,00 ±0,63 6,4

3 24 + 8 10,6 ±0,5 3,00 ±1,00 9,0

[АЮ4]° 1 2 0,25 4,0 ±0,4 0,9 ± 0,1 2,4 ± 0,1 2,1 + 0,1 0,17 ±0,02 0,039 ±0,004 2,30 2,15

Выражения (6) и (7) обобщаются на случай магнитной анизотропии заменой ^-фактора, входящего в Дыи,, на выражение ¿'({£,}> {/,}), являющееся функцией главных значений g. ^-тензора и углов у{ между его главными осями и вектором Нй. В случае кристалла CaW04:RE3+, активированного трехвалентными редкоземельными ионами, кристаллическое окружение ионов КЕ3+ имеет аксиальную симметрию: = ёг 3 > £з - > Уз = ® > и

gxgL шах(й,)Д'Й, где = ^ сое2 @ + gl й]'п2 0.

Рис. 2. Осцилляции Раби ионов Ег3+ (изотопы с нулевым спином ядра) в кристалле Са\У04 на частоте 9,4 ГГц. £„ =1,247, gl =8,38, #0 || с, Г = 3,5 К. Экспериментальные данные и результаты расчета амплитуды осцилляций представлены соответственно сплошными и пунктирными линиями, а -затухание осцилляций в образце с концентрацией ионов эрбия 0,001 ат. % вызвано преимущественно распределением амплитуды //, в резонаторе

(Гд1 =8,5-Ю6 с"1, =0,6-106 с1), б - образец с концентрацией 0,013 ат. %, затухание амплитуды осцилляций экспоненциальное, вызвано дипольными взаимодействиями (Га = 3,8-106 с"1).

Наличие зарядовых дефектов в кристалле приводит к возникновению локальных деформаций кристаллического поля, что изменяет ^-факторы близкорасположенных центров. В случае гетеровалентного замещения может возникнуть существенная корреляция пространственных и частотных положений примесных ионов, поскольку последние также являются зарядовыми дефектами. Расчеты показывают, что наличие таких корреляций приводит к некоторому начальному спаду расчетной скорости релаксации в резонансном поле. В предположении, что неоднородное уширение линии ЭПР возникает вследствие электростатических взаимодействий примесных ионов

концентрации С с зарядовыми дефектами концентрации CD, расчетная амплитуда осцилляции Рабп увеличивается в U раз, где InU -\,\ACjCn (вклад электрических полей дефектов) либо Int/ = 1,5С/С„ (градиенты электрических полей).

Вышеупомянутые модификации теории использованы при расчете затухания осцилляций Раби в серии образцов кристалла CaW04 с различными концентрациями ионов Ег3+. Форма и ширина линии ЭПР в магнитном поле, параллельном оси симметрии кристалла, интерпретированы в рамках модели неоднородного уширения, вызванного градиентами электрического поля точечных зарядовых дефектов. Вычислены концентрации дефектов и соответствующие поправки в затухание осцилляций. Как видно из рис. 2, дипольный механизм затухания в исследованных образцах является основным при концентрациях ионов Ег3+, превышающих 0,01%.

В четвертой главе строится пертурбационная модель электронно-ядерной кросс-релаксации в присутствии резонансного переменного магнитного поля. Гамильтониан системы, состоящей из электронного спина S = 1/2 резонансной частоты a>e = a>0+s, взаимодействующего с внешним

магнитным полем и ансамблем N.. ядерных спинов Г = 1/2 с резонансными частотами üj. , запишем в системе отсчета, определяемой преобразованием

волновой функции системы вида *F' = Rx¥, где R = ехр

зс' = ms, + v(t),

\

(8)

I > {\\AL-iAL\e 1 Ц+с.с.\ +¿ли: >.

2П

Здесь, как и в (4), введены электронные спиновые операторы связанные с исходными операторами, записанными в декартовой системе координат,

преобразованием вида (5), О. = + е1 . Параметры суперсверхтонкого взаимодействия считаются известными функциями относительных

положений электронного и ядерного спинов. В приближении оператор К (У) в (8) можно принять за возмущение. Если в спектре ядерных

частот прецессии е>. имеются гармоники, близкие к частоте нутации П

электронного спина, в системе осуществляются кросс-релаксационные переходы с передачей энергии от электронного спина к ядерному ансамблю. Вероятность таких переходов, рассчитанная в первом порядке теории возмущений, равна:

где ¿г ~ эффективное локальное поле,

индуцированное ядрами на позиции электронного спина, (...)г обозначает

усреднение по координатам ядра ], /Л, (со) - функция формы линии ЯМР ядерных спинов, в простейшем случае заданная гауссовым распределением /дг (со) = ^л/2) ехр<у)У)2/(2<т^^. Полуширина этого распределения сгы характеризует среднее локальное поле, индуцированное электронным спином на ядрах. Бели электронные спины образуют линию ЭПР спектральной плотности /(£■), то 2-проекция суммарной намагниченности электронного

ансамбля в переменном поле будет изменяться со временем следующим образом:

М1 (/)~, (10)

где процессы электронно-ядерной кросс-релаксации в системе учтены посредством экспоненциального множителя сгР!'П'''.

В случае ванадиевого кластера У15 со структурной формулой [У15А8б042(Н20)]6_ в качестве ядерного термостата выступают протоны катионов растворителя [Сз8Н8о1^]+, окружающих кластер. Основными состояниями кластера в рамках «модели трех спинов» [13] являются состояния эффективного спина-3/2: два дублета и квартет. Преимущественный вклад в осцилляции Раби ванадиевых кластеров дают три квартетных перехода [14]. Поскольку в отсутствие магнитного поля имеется некоторое начальное расщепление квартета, резонансное переменное поле возбуждает не более

2|П-£У| . +

бит -1 вш -г

(П-ю) (П + Й>)

(9)

одного квартетного перехода в заданного кластере, и можно воспользоваться приближением эффективного спина 5 = 1/2. На рис. 3 приведена зависимость

скорости затухания осцилляции Раби от частоты Раби ванадиевых

кластеров У15. В расчетах использовались следующие параметры модели: <уе = 2я • 8 МГц и <тЛ. - 2/Т ■ 2 МГц. Введением дополнительного

релаксационного множителя ехр^-(0,020л +4,5-106с-1)^ в (10) учитывались

другие механизмы затухания осцилляции Раби: разброс g-фaктopoв случайно ориентированных в растворе кластеров, межкластерные дипольные взаимодействия и -независимые процессы.

35 30 25 20

о

10 5 0

0 10 20 30 40 50 60

£2 /2/г, МГц

к

Рис. 3. Зависимость скорости затухания осцилляции в ванадиевом кластере Ун от частоты Раби. «у0/2/г=9,7 ГГц. Т = 4 К. Частоты прецессии протонов распределены в лиши ЯМР с центром в а>„/ 2я- = 15,1 МГц. Экспериментальные данные и результаты расчета представлены соответственно символами и сплошной линией. Пунктирной линией обозначена линейная функция 0,02ПЛ +4,5-106 с-1.

В рамках принятой модели затухания интерпретированы положение и ширина обоих релаксационных пиков на частотах ж еон - ае = 2тг ■ 7 МГц и С1Я=6)„ = 2л--15,1 МГц.

В заключении приводятся основные результаты работы:

1. В рамках механизмов мгновенной и спектральной диффузии рассчитаны температурная, частотная и угловая зависимости скорости фазовой релаксации ионов Сг5+ и Yb3+ в кристалле Ca\V04, согласующиеся с экспериментальными данными.

2. Разработана методика расчета затухания осцилляции Раби, учитывающая распределение амплитуды переменного поля внутри резонатора ЭПР. Получены аналитические выражения скорости затухания в зависимости от частоты осцилляции, размеров образца и резонатора, формы резонатора и типа колебаний. Между вычисленными и измеренными функциями затухания намагниченности в образцах кристаллов CaW04:Cr5+ и CaW04:Yb3+ имеется хорошее качественное и количественное согласие.

3. Построена микроскопическая теория релаксации в системе спинов, связанных дипольными взаимодействиями, в присутствии резонансного магнитного поля. В рамках континуального приближения получены аналитические выражения для скорости релаксации как функции частоты Раби, полуширины линии и концентрации спинов. Дано объяснение эффекта аномального затухания осцилляций Раби парамагнитных центров в кварце.

4. Разработано обобщение микроскопической теории в случае аксиальной симметрии магнитных свойств ионов. Вычислены поправки в скорость релаксации за счет корреляций пространственных и частотных положений примесных ионов, связанных электростатическими взаимодействиями. В рамках разработанных моделей рассчитаны концентрации зарядовых дефектов и воспроизведены кривые затухания осцилляций Раби в кристаллических образцах CaW04 с различными концентрациями ионов Ег3+.

5. Построена пертурбационная модель электронно-ядерной кросс-релаксации в присутствии резонансного магнитного поля. Получено выражение для скорости релаксации в случае, когда частоты нутации электронных спинов близки к частотам прецессии ядер.

6. Выполнен расчет затухания осцилляций Раби в ванадиевом кластере V15. Получено качественное согласие между расчетной и экспериментальной зависимостями скорости затухания от частоты Раби, интерпретированы положение и ширина пиков в данной зависимости. Выполнены оценки параметров модели и предсказано существование аналогичного резонансного эффекта в молекулярных магнитах Mni2 и Feg.

Список работ автора по теме диссертации

1. Baibekov, Е. I. Decay of Rabi oscillations induced by magnetic dipole interactions in dilute paramagnetic solids / E. I. Baibekov // Письма в ЖЭТФ. - 2011. - T. 93.-С. 323-327.

2. Baibekov, E. I. Coherence times and Rabi oscillations in CaW04:Cr5+ crystal / E.I. Baibekov, I.N. Kurkin, M.R. Gafurov, B. Endeward, R.M. Rakhmatullin, G.V. Mamin // J. Magn. Res. - 2011. - Vol. 209. - P. 61-68.

3. Rakhmatullin, R. M. Coherent spin manipulations in Yb3+:CaW04 at X- and W-band EPR frequencies / R. M. Rakhmatullin, I. N. Kurkin, G. V. Mamin, S. B. Orlinskii, M. R. Gafurov, E. I. Baibekov, B. Z. Malkin, S. Gambarelli, S. Bertaina, В. Barbara // Phys. Rev. B. - 2009. - Vol. 79. - P. 172408(1-4).

4. Baibekov, E. I. Inhomogeneous broadening of ESR lines of rare earth impurities in scheelite induced by internal electric field gradients / E. I. Baibekov, I. N. Kurkin // Proceedings of the International Conference "Resonances in condensed matter". - Kazan, 2011. - P. 123-,

5. Baibekov, E. I. Theory of electronuclear cross-relaxation in transient regime of EPR / E. I. Baibekov // Proceedings of the XIV International Youth Scientific School "Actual problems of magnetic resonance and its application". - Kazan, 2011.-P. 42-45.

6. Baibekov, E. I. Coherence times and Rabi oscillations of Cr5+ ions in CaW04 / E. I. Baibekov, I. N. Kurkin, M. R. Gafurov, R. M. Rakhmatullin, G. V. Mamin // Proceedings of the XIV International Feofilov Symposium on spectroscopy of crystals doped with rare earth and transition metal ions. - St. Petersburg, 2010. -P. 36.

7. Baibekov, E. I. Role of magnetic dipole interactions in the damping of Rabi oscillations of paramagnetic centers in solids / E. I. Baibekov // Proceedings of the XIII International Youth Scientific School "Actual problems of magnetic resonance and its application". -Kazan, 2010.-P. 53-56.

8. Baibekov, E. I. Calculations of phase memory times in CaW04:Yb3+ / E. 1. Baibekov // Proceedings of the XII International Youth Scientific School "Actual problems of magnetic resonance and its application". - Kazan, 2009. - P. 41-44.

Цитируемая литература

[1] Rabi, I. I. Space Quantization in a Gyrating Magnetic Field /1.1. Rabi // Phys Rev. - 1937. - Vol. 51. - P. 652-654.

[2] DiVincenzo, D. P. Quantum Computation / D. P. DiVincenzo // Science - 1995 -Vol. 270.-P. 255-261.

[3] Torrey, H. C. Transient nutations in nuclear magnetic resonance / H. C. Torrey // Phys. Rev. - 1949. - Vol. 76. - P. 1059-1068.

[4] Shakhmuratov, R. N. Non-Bloch Transients in Solids: Free Induction Decay and Transient Nutations / R. N. Shakhmuratov, F. M. Gelardi, M. Cannas // Phys Rev. Lett. - 1997. - Vol. 79. - P. 2963-2966.

[5] Asadullina, N. Ya. Modified-Bloch-equation description of EPR transient nutations and free induction decay in solids / Asadullina N. Ya., Asadullin T. Ya., Asadullin Ya. Ya. // J. Phys.: Cond. Matter. - 2001. - Vol. 13 - P 34753489.

[6] Boscaino, R. Non-Bloch decay of transient nutations in S=l/2 systems: An experimental investigation / R. Boscaino, F. M. Gelardi, J. P. Korb // Phys Rev В. - 1993. - Vol. 48. - P. 7077-7084.

[7] Agnello, S. Transient nutations decay: The effect of field-modified dipolar interaction / S. Agnello, R. Boscaino, M. Cannas, F. M. Gelardi, R. N. Shakhmuratov // Phys. Rev. A. - 1999. - Vol. 59. - P. 4087-4090.

[8] Bertaina, S. Rare-earth solid-state qubits / S. Bertaina, S. Gambarelli, A. Tkachuk, I. N. Kurkin, B. Malkin, A. Stepanov, B. Barbara // Nature Nanotechnol. - 2007. - Vol. 2. - P. 39-42.

[9] Nellutla, S. Coherent Manipulation of Electron Spins up to Ambient Temperatures in Cr5+(S=l/2) Doped K3Nb08 / S. Nellutla, K.-Y. Choi, M. Pati, J. van Tol, I. Chiorescu, N. S. Dalai // Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol 99 - P 137601(1-4).

[10] Shim, J. H. Driven spin-bath decoherence in the molecular magnet V)5 / J. H. Shim, S. Gambarelli, S. Bertaina, Т. Mitra, В. Tsukerblat, A. Müller, В. Barbara // arXiv:1006.4960v2. URL: http://arxiv.org/abs/1006.4960.

[11] Klauder, J. R. Spectral diffusion decay in spin resonance experiments / J. R. Klauder, P. W. Anderson // Phys. Rev. - 1962. - Vol. 125. - P. 912-932.

[12] Mims, W. B. Phase Memory in Electron Spin Echoes, Lattice Relaxation Effects in CaW04: Er, Се, Mn / W. B. Mims // Phys. Rev. - 1968. - Vol. 168. - P. 370389.

[13] Gatteschi, D. Layered magnetic structure of a metal cluster ion / D. Gatteschi, L. Pardi, A. L. Barra, A. Müller, J. Döring // Nature - 1991 - Vol 354 - P 463-465.

[14] Bertaina, S. Quantum oscillations in a molecular magnet / S. Bertaina, S. Gambarelli, T. Mitra, B. Tsukerblat, A. Müller, В. Barbara // Nature. - 2008 -Vol. 453. - P. 203-206.

Подписано в печать 13.10.11. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Формат 60x84 1/16. Гарнитура «Times New Roman». Усл. печ. л. 1,1 Уч.-изд. л. 1,2. Тираж 110 экз. Заказ 64/10

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательства Казанского университета

420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37 тел. (843) 233-73-59, 292-65-60

Введение.

Глава 1. Динамика и релаксация системы взаимодействующих парамагнитных центров в твердых телах (обзор литературы).

§1.1. Феноменологические уравнения Блоха.

§1.2. Дипольная ширина линии ЭПР.;.

§1.3. Импульсные методы в ЭПР. Спектральная и мгновенная диффузия.

§1.4. Осцилляции Раби: методика измерения и модели затухания.

Глава 2. Затухание резонансного сигнала парамагнитных центров, вызванное распределением амплитуды радиочастотного поля внутри резонатора.

§2.1. Влияние размеров образца и конструкционных особенностей резонатора на затухание осцилляций Раби>.

§2.2. Времена релаксации и осцилляции Раби в кристалле CaW04: Сг5+.

§2.3. Времена релаксации.и осцилляции Раби в кристалле GaW04: Yb3+.

Глава 3. Магнитная релаксация дипольно связанной системы спинов в резонансном микроволновом поле.

§3.1. Расчет затухания осцилляций Раби, обусловленного магнитными дипольными взаимодействиями в системе спинов.

§3.2. Обобщение теории на случай аксиальной симметрии кристаллического окружения.

§3.3: Роль электростатических взаимодействий в затухании осцилляций

Раби.

§3.4. Затухание осцилляций Раби парамагнитных центров в кварце.

§3.5. Осцилляции Раби и неоднородное уширение линий ЭПР в кристалле

GaW04: Er3+.

Глава 4. Затухание сигнала парамагнитного резонанса вследствие электронно-ядерной кросс-релаксации.

§4.1. Теория электронно-ядерной'кросс-релаксации в резонансном микроволновом поле.

§4.2. Затухание осцилляций Раби в ванадиевом кластере Vi5.

Актуальность темы исследования

Явление электронного парамагнитного резонанса, открытого Е. К. Завойским в 1944 г., послужило основой широкого спектра методов исследования парамагнитных кристаллов. Среди них важное место занимают импульсные методы, наиболее известным из которых является спиновое эхо Хана [1]. Преимуществом импульсных методик является возможность избирательного воздействия на состояния магнитных центров длительностью порядка нескольких наносекунд и менее, что позволяет изучать процессы магнитной релаксации в системе, идущие на данных временных масштабах. Особое место занимают осцилляции Раби [2], генерация которых осуществляется приложением длительного интенсивного импульса переменного магнитного поля резонансной частоты. Время затухания осцилляций Раби характеризует скорость релаксационных процессов в системе спинов, находящихся в режиме вынужденного поглощения и испускания квантов электромагнитного излучения. Следует отличать его от времени фазовой релаксации, происходящей в отсутствие резонансного переменного поля.

Регистрация осцилляций Раби представляет собой ярчайший пример наблюдения длительной квантовой когерентности спиновых состояний. Явление квантовой когерентности привлекает интерес научной общественности практически с момента возникновения квантовой механики. В последние десятилетия оно получило важное практическое приложение в области квантовых вычислений. Функционирование квантового компьютера требует длительного сохранения когерентности состояний его элементарных ячеек — квантовых битов ("диЬк"). Одной из возможных реализаций кубита является электронный спин [3]. Время затухания осцилляций Раби, наряду со временем фазовой релаксации, является ключевой характеристикой, определяющей максимальное число операций на таком кубите до разрушения когерентного состояния.

Существовавшие до сих пор модели затухания осцилляций Раби были феноменологическими и основывались на уравнениях Блоха [4] и их модификациях [5, 6]. В 90-х годах прошлого века в серии работ [5, 7, 8] было впервые обнаружено и изучено явление аномально быстрого затухания осцилляций Раби парамагнитных центров в кварце. Для интерпретации экспериментальных данных (скорость затухания осцилляций многократно превышает скорость фазовой релаксации, линейна по частоте, зависит от спиновой концентрации) авторы модифицировали уравнения Блоха, искусственно добавив в них линейный по, частоте Раби релаксационный член. Параметры модели были* подгоночными, а сам подход был несколько искусственным и не раскрывал физического механизма происходящих в кристалле релаксационных процессов. Развитие практических приложений квантовой теории информации дало толчок к дальнейшим исследованиям осцилляций.Раби в системах с парамагнитными центрами. Эффект аномально о » быстрого затухания осцилляций был обнаружен в кристаллах CaW04: Er [9]; K3Nb08: Cr5+ [10], а также в ванадиевом кластере V15 [11].

В- последние годы благодаря тесному сотрудничеству между отечественными и зарубежными научными группами удалось накопить большую базу экспериментальных данных по затуханию осцилляций Раби на разных частотных диапазонах ЭПР в кристалле вольфрамата кальция (CaW04) с различными концентрациями примесей редкоземельных ионов и ионов переходных металлов. Был также обнаружен новый тип аномального затухания осцилляций в ванадиевом кластере Vi5, обусловленный резонансной' передачей возбуждения между электронными спинами и ядерным ансамблем. Таким образом, назрела необходимость создания 1 микроскопической теории релаксации в резонансном поле, способной дать объяснение существующим эффектам затухания осцилляций и дать i ( количественную интерпретацию экспериментальных данных в указанных г системах. |

Цели работы:

• Разработать методику расчета затухания осцилляций Раби, вызванного распределением амплитуды переменного поля в резонаторе спектрометра ЭПР.

• Исследовать роль дипольных взаимодействий между парамагнитными центрами в затухании осцилляций Раби. Получить расчетные формулы для скорости затухания как функции частоты Раби, полуширины линии ЭПР и концентрации центров.

• Рассмотреть задачу взаимодействия центрального электронного спина с ядерным ансамблем в резонансном поле. Выяснить возможность передачи возбуждения между электронной и ядерной подсистемами и рассчитать скорость затухания осцилляций Раби в этом случае.

• Определить природу затухания осцилляций Раби и выполнить расчет временной зависимости намагниченности следующих парамагнитных центров: о ионов

Сгэт, № , Ег в образцах кристалла Са"\\Ю4; о Е[ -центров в кварцевых стеклах и центров [АЮ4]0 в кварце; о коллективного спина кластера ионов У4+ в молекулярном магните

Научная новизна и положения, выносимые на защиту:

1) Разработана методика расчета затухания осцилляций Раби, вызванного распределением амплитуды переменного поля внутри кристаллического образца. Обоснована линейная зависимость соответствующей скорости затухания от частоты осцилляций, выполнены оценки коэффициента пропорциональности в зависимости от размеров кристаллического образца и резонатора.

2) Построена микроскопическая теория релаксации в системе спинов, связанных дипольными взаимодействиями, в присутствии резонансного магнитного поля. Получены аналитические выражения для скорости 5

Г " 1 I релаксации как функции частоты Раби, полуширины линии и концентрации спинов. В рамках теории дано объяснение эффекта аномального затухания осцилляций Раби парамагнитных центров в кварце. Разработано обобщение теории на случай магнитной анизотропии. Вычислены поправки в скорость релаксации за счет возмущения кристаллического поля примесными ионами.

3) Выполнен анализ релаксационных характеристик ионов Cr5+, Yb3+ и Ег3+ в кристалле CaWÜ4. В рамках разработанных моделей осуществлен расчет затухания осцилляций Раби примесных ионов в указанных кристаллах. Результаты расчета во всех случаях качественно и количественно согласуются с экспериментальными данными.

4) Построена пертурбационная модель электронно-ядерной кросс-релаксации в присутствии резонансного магнитного поля. На ее основе выполнен расчет затухания осцилляций Раби в ванадиевом кластере Vi5. Получено качественное согласие между расчетной и экспериментальной зависимостями скорости затухания от частоты Раби, интерпретированы f положение и ширина пиков в данной зависимости.

Научная и практическая значимость работы

Разработанная в главе 2 методика учета распределения амплитуды переменного поля внутри кристаллического образца позволяет выделять собственно релаксационную часть полученной в эксперименте скорости затухания осцилляций Раби. Построенные в главах 3 и 4 микроскопические теории дипольной релаксации объясняют природу релаксационных процессов, происходящих в парамагнетике в условии вынужденного поглощения и испускания квантов электромагнитного излучения и позволяют вычислять соответствующие скорости релаксации в широком спектре соединений.

Основные результаты работы были получены в ходе выполнения проекта РФФИ 09-02-00930.

Личный вклад автора

Автору принадлежат все теоретические модели и результаты расчетов, изложенные в главах 2-4 диссертации, за исключением аппроксимационной формулы (44) для скорости спин-решеточной релаксации ионов Сг5+ в кристалле CaW04 (предложена И. Н. Куркиным).

Апробация работы

Результаты работы были представлены в следующих докладах автора:

• на семинарах кафедры теоретической физики Казанского федерального университета;

• на XII, XIII и XIV международных молодежных школах «Актуальные проблемы магнитного резонанса», Казань, 2009-2011;

• на XIV международном феофиловском симпозиуме по спектроскопии кристаллов, активированных редкоземельными ионами и ионами переходных металлов, Санкт-Петербург, 2010;

• на итоговой конференции по научно-исследовательской деятельности Казанского Федерального Университета за 2010 г.;

• на международной конференции "Resonances in condensed matter", Казань, 2011.

Публикации:

Основное содержание работы опубликовано в трех статьях (в журналах Physical Review В, Journal of Magnetic Resonance, Письма в ЖЭТФ) и в 5 тезисах конференций.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений А и Б, списка работ автора по теме диссертации и списка цитируемой литературы, включающего 74 наименования. Работа изложена на 121 странице, содержит 26 рисунков и 4 таблицы.

Заключение

В настоящей диссертации выполнено теоретическое исследование резонансных эффектов в динамике и релаксации парамагнитных центров в кристаллах. Разработанная в главе 2 методика учета распределения амплитуды переменного поля внутри кристаллического образца позволяет выделять собственно релаксационную часть полученной в эксперименте скорости затухания осцилляций Раби. Построенные в главах 3 и 4 микроскопические теории дипольной релаксации объясняют природу релаксационных процессов, происходящих в парамагнетике в условии вынужденного поглощения и испускания квантов электромагнитного излучения и позволяют вычислять соответствующие скорости релаксации в широком спектре соединений.

Перечислим основные результаты, полученные в работе:

1)>В рамках механизмов мгновенной и спектральной диффузии рассчитаны температурная, частотная и угловая зависимости скорости фазовой релаксации ионов Сг5+ и УЬ3+ в кристалле Са^У04, согласующиеся с экспериментальными данными.

2) Разработана методика расчета затухания осцилляций Раби, учитывающая распределение амплитуды переменного поля внутри резонатора ЭПР. Получены аналитические выражения скорости затухания в зависимости от частоты осцилляций, размеров образца и резонатора, формы резонатора и типа колебаний. Между вычисленными и измеренными функциями затухания намагниченности в образцах кристаллов Са\¥04:Сг5+ и Са\УС>4:УЪ имеется хорошее качественное и количественное согласие.

3) Построена микроскопическая теория релаксации в системе спинов, связанных дипольными взаимодействиями, в присутствии резонансного магнитного поля. В рамках континуального приближения получены аналитические выражения для скорости релаксации как функции частоты Раби, полуширины линии и концентрации спинов. Дано объяснение эффекта аномального затухания осцилляции; Раби парамагнитных центров в кварце.

4) Разработано обобщение микроскопической теории в случае аксиальной симметрии магнитных свойств ионов. Вычислены поправки в скорость релаксации за счет корреляций пространственных и частотных положений примесных ионов, связанных электростатическими взаимодействиями. В рамках разработанных моделей рассчитаны концентрации зарядовых дефектов и воспроизведены кривые затухания осцилляций Раби в образцах кристалла CaW04 с различными концентрациями ионов Ег3+.

5) Построена пертурбационная модель электронно-ядерной кросс-релаксации в присутствии резонансного магнитного поля. Получено выражение для скорости релаксации в случае, когда частоты нутации электронных спинов близки к частотам прецессии ядер.

6) Выполнен расчет затухания осцилляций Раби в молекулярном-магните V15. Получено качественное согласие между расчетной и экспериментальной зависимостями скорости затухания от частоты Раби, интерпретированы положение и ширина пиков в данной зависимости. Выполнены оценки параметров модели и предсказано существование аналогичного резонансного эффекта в молекулярных магнитах Mni2 и Feg.

Автор глубоко признателен Борису Залмановичу Малкину, осуществлявшему руководство работой и оказавшему неоценимое влияние на мировоззрение и становление автора как научного работника. Автор благодарит Игоря Николаевича Куркина за ряд ценных замечаний при обсуждении результатов глав 2 и 3, а также М. Р. Гафурова, Р. М. Рахматуллина, Г. В. Мамина, А. А. Родионова, В. Barbara, S. Bertaina за предоставление экспериментальных данных. Автор выносит благодарность фонду некоммерческих программ «Династия» Д. Б. Зимина за финансовую поддержку.

1. Hahn, Е. L. Spin echoes / E. L. Hahn 1.I Phys. Rev. - 1950. - Vol. 80. - P. 580-594.

2. Rabi, I. I. Space Quantization in a Gyrating Magnetic Field /1. I. Rabi // Phys. Rev. 1937.-Vol. 51.-P. 652-654.

3. DiVincenzo, D. P. Quantum Computation / D. P. DiVincenzo // Science. -1995. Vol. 270. - P. 255-261.

4. Torrey, H. C. Transient nutations in nuclear magnetic resonance / H. C. Torrey // Phys. Rev. 1949. - Vol. 76. - P. 1059-1068.

5. Shakhmuratov, R. N. Non-Bloch Transients in Solids: Free Induction Decay and Transient Nutations / R. N. Shakhmuratov, F. M. Gelardi, M. Cannas // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 79. - P. 2963-2966.

6. Asadullina, N. Ya. Modified-Bloch-equation description of EPR transient nutations and free induction decay in solids / Asadullina N. Ya., Asadullin T. Ya., Asadullin Ya. Ya. // J. Phys.: Cond. Matter. 2001. - Vol. 13. - P. 3475-3489.

7. Boscaino, R. Non-Bloch decay of transient nutations in S=l/2 systems: An experimental investigation / R. Boscaino, F. M. Gelardi, J. P. Korb // Phys. Rev. B. 1993. - Vol. 48. - P. 7077-7084.

8. Agnello, S. Transient nutations decay: The effect of field-modified dipolar interaction / S. Agnello, R. Boscaino, M. Cannas, F. M. Gelardi, R. N. Shakhmuratov // Phys. Rev. A. 1999. - Vol. 59. - P. 4087-4090.

9. Bertaina, S. Rare-earth solid-state qubits / S. Bertaina, S. Gambarelli, A. Tkachuk, I. N. Kurkin, B. Malkin, A. Stepanov, B. Barbara // Nature Nanotechnol. 2007. - Vol. 2. - P. 39-42.

10. Nellutla, S. Coherent Manipulation of Electron Spins up to Ambient Temperatures in Cr5+(S=l/2) Doped K3Nb08 / S. Nellutla, K.-Y. Choi, M. Pati, J. van Tol, I. Chiorescu, N. S. Dalai // Phys. Rev. Lett. 2007. - Vol. 99.-P. 137601(1-4).

11. Shim, J. H. Driven spin-bath decoherence in the molecular magnet V15 / J. H. Shim, S. Gambarelli, S. Bertaina, Т. Mitra, В. Tsukerblat, A. Müller, В. Barbara //arXiv:1006.4960v2. URL: http://arxiv.org/abs/1006.4960.

12. Bloch, F. Nuclear induction / F. Bloch // Phys. Rev. 1946. - Vol. 70. - P. 460-474.

13. Абрамович, M. Справочник по специальным функциям / M. Абрамович, И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.

14. Redfield, A. Nuclear magnetic resonance saturation and rotary saturation in solids/A. Redfield//Phys. Rev. 1955.-Vol. 98.-P. 1787-1809.

15. Альтшулер, С. А. Электронный парамагнитный резонанс соединений элементов промежуточных групп / С. А. Альтшулер, Е. М. Козырев. -М.: Наука, 1972.-672 с.

16. Mims, W.B. Phase Memory in Electron Spin Echoes, Lattice Relaxation Effects in CaW04: Er, Ce, Mn / W.B. Mims // Phys. Rev. 1968. - Vol. 168.-P. 370-389.

17. Абрагам, А. Ядерный магнетизм / А. Абрагам. М.: ИИЛ, 1963. - 553 с.

18. Grant, W. J. С. Line shapes of paramagnetic resonances of chromium in ruby / W. J, C. Grant, M. W, P. Strandberg // Phys. Rev. 1964. - Vol. 135.-P. A727-A739.

19. Stoneham, A. M. Shapes of inhomogeneously broadened resonance lines in solids / A. M. Stoneham // Rev. Mod. Phys. 1969. - Vol. 41. - P. 82-108.

20. Дзюба, С. А. Основы магнитного резонанса. Часть II: Спиновая динамика и релаксация. Часть III: Импульсные методы / С. А. Дзюба. -Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1997. 138 с.

21. Салихов, К. М. Электронное спиновое эхо и его применение / К. М. Салихов, А. Г. Семенов, Ю. Д. Цветков. Новосибирск: Наука, 1976. -343 с.

22. Salikhov, К. М, The Theory of Electron Spin-Echo Signal Decay

23. Resulting from Dipole-Dipole Interactions between Paramagnetic Centers in Solids / K. M. Salikhov, S. A. Dzuba, A. M. Raitsimring // J. Magn. Res. 1981. - Vol. 42. - P. 255-276.

24. Hocker, G. B. Observation of the optical transient nutation effect / G. B. Hocker, C. L. Tang // Phys. Rev. Lett. 1968. - Vol. 21. - P. 591-594.

25. Atkins, P. W. Transient nutations in electron spin resonance / P. W. Atkins, A. J. Dobbs, K. A. McLauchlan // Chem. Phys. Lett. 1974. - Vol. 25.-P. 105-107.

26. Boscaino, R. Double-quantum nutations in a two-level spin system / R. Boscaino, F. M. Gelardi, G. Messina // Phys. Rev. B. 1986. - Vol. 33. -P. 3076-3082.

27. Bertaina, S. Quantum oscillations in a molecular magnet / S. Bertaina, S. Gambarelli, T. Mitra, B. Tsukerblat, A. Muller, B. Barbara // Nature. -2008. Vol. 453. - P. 203-206.

28. Schlegel, C. Direct Observation of Quantum Coherence in Single-Molecule Magnets / C. Schlegel, J. van Slageren, M. Manoli, E. K. Brechin, M. Dressel // Phys. Rev. Lett. 2008. - Vol. 101. - P. 147203(1-4).

29. Bertaina, S. Multiphoton Coherent Manipulation in Large-Spin Qubits / S. Bertaina, L. Chen, N. Groll, J. Van Tol, N. S. Dalai, I. Chiorescu // Phys. Rev. Lett. -2009. Vol. 102. - P. 050501(1-4).

30. Bertaina, S. Spin-Orbit Qubits of Rare-Earth-Metal Ions in Axially Symmetric Crystal Fields / S. Bertaina, J. H. Shim, S. Gambarelli, B. Z. Malkin, B. Barbara // Phys. Rev. Lett. 2009. - Vol. 103. - P. 226402(1-4).

31. Nielsen, M. A. Quantum computation and quantum information / M. A. Nielsen, I, L. Chuang. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. -P. 280.

32. Mehring, M. Object-oriented magnetic resonance: classes and objects, calculations and computations / M. Mehring, V. A. Weberruss. New York: Academic Press, 2001. - P. 459.

33. Morton, J. J. L. Measuring errors in single-qubit rotations by pulsed electron paramagnetic resonance / J. J. L. Morton, A. M. Tyryshkin, A. Ardavan, K. Porfyrakis, S. A. Lyon, G. A. D. Briggs // Phys. Rev. A. -2005. Vol. 71. -P. 012332(1-5).

34. Morton, J. J. L. High Fidelity Single Qubit Operations Using Pulsed Electron Paramagnetic Resonance / J. J. L. Morton, A. M. Tyryshkin, A. Ardavan, K. Porfyrakis, S. A. Lyon, G. A. D. Briggs // Phys. Rev. Lett. -2005. Vol. 95. - P. 200501(1-4).

35. Poole, Ch. P. Electron spin resonance: a comprehensive treatise on experimental techniques / Ch. P. Poole. New York: Wiley, 1996. - P. 136.

36. Hazen, R. M. High-pressure crystal chemistry of scheelite-type tungstates and molybdates / R. M. Hazen, L. W. Finger, J. W. E. Mariathasan // J. Phys. Chem. Solids. 1985. - Vol. 46. - P. 253-263.

37. Kedzie, R. W. EPR Observation of Anomalous Saturation Behavior due to Ti Limited Spin Packet Linewidths in CaW04:Cr5+ / R. W. Kedzie, J. R. Shane, M. Kestigian // Phys. Lett. 1964. - Vol, 11. - P. 286-289.

38. Lingam, К. V. Electron spin resonance of Cr5+ in CaW04 / К. V. Lingam, P. G. Nair, B. Venkataraman // Proc. Ind. Acad. Sc. 1969. - Vol. 70. - P. 29-41.

39. Malkin, B. Z. Crystal field and electron-phonon interaction in rare-earth ionic paramagnets / B. Z. Malkin // Spectroscopy of Solids Containing Rare-Earth Ions / Eds. A. A. Kaplyanskii, R. M. Macfarlane. -Amsterdam: North-Holland, 1987.-P. 13-50.

40. Абрагам, А. Электронный парамагнитный резонанс переходных ионов. Т.1 / А. Абрагам, Б. Блини. М.: Мир, 1972. - 652 с.

41. Куркин, И. Н. Исследование релаксационных характеристик ионов Сг5+ в монокристаллах СаМо04 / И. Н. Куркин, Ю. К. Чиркин, В. И. Шленкин // Физика твердого тела. 1975. - Т. 17. - С. 3060-3062.

42. Orbach, R. Spin-lattice relaxation in rare-earth salts / R. Orbach // Proc. R. Soc. bond. A. 1961. - Vol. 264. - P. 458-484.

43. Аминов, JI. К. К теории спин-решеточной релаксации в парамагнитных ионных кристаллах / Л. К. Аминов // ЖЭТФ.'- 1962. -Т. 42.-С. 783-786.

44. Senyshyn, A. Lattice dynamics and thermal properties of CaW04 / A. Senyshyn, H. Kraus, V. B. Mikhailik, V. Yakovyna // Phys. Rev. B. -2004. Vol. 70. - P. 214306(1-9).

45. Weber, A. A CW and Pulsed S-band Spectrometer / A. Weber, M. Rohrer, J. T. Torring, T. F. Prisner // Proceedings of the 29th Congress AMPERE/13th ISMAR / Eds. D. Ziessow, W. Lubitz, F. Lendzian. -Berlin, 1998.-Vol. 2.-P. 1138.

46. Pfenninger, S. Bridged loop-gap resonator: a resonant structure for pulsed ESR transparent to high-frequency radiation / S. Pfenninger, J. Forrer, A. Schweiger // Rev. Sci. Instrum. 1988. - Vol. 59. - P. 752-760.

47. Rinard, G. A. Loop-Gap Resonators / G. A. Rinard, G. R. Eaton // Biomedical EPR, Part B: Methodology, Instrumentation, and Dynamics / Eds. S. R. Eaton, G. R. Eaton, L. J. Berliner. New York: Kluwer

48. Academic Publishers, 2005. P. 19-52.

49. Petryakov, S. A. Bridged Loop-Gap S-Band Surface Resonator for Topical EPR Spectroscopy / S. Petryakov, M. Chzhan, A. Samouilov, G. He, P. Kuppusamy, J. L. Zweier // J. Magn. Res. 2001. - Vol. 151. - P. 124-128.

50. Ono, M. Experimental investigation of RF magnetic field homogeneity in a bridged loop-gap resonator / M. Ono, A. Suenaga, H. Hirata // Magn. Res. in Med.-2002.-Vol. 47.-P. 415-419.

51. Kirton, J. Paramagnetic resonance of trivalent ytterbium ions in calcium tungstate / J. Kirton, R. C. Newman // Phys. Lett. 1964. - Vol: 10. - P. 277-278.

52. Jones, G. R. Optical absorption spectrum and optical Zeeman; effect in CaW04:Yb3+ / G. R. Jones // J. Chem. Phys. 1967. - Vol. 47. - P. 4347-4355.

53. Mims, W. B. Broadening of paramagnetic resonance lines by internal electric fields / W. B. Mims, R. Gillen // Phys. Rev. 1966. - Vol. 148. -P. 438-443.

54. Ayant, Y. В. Influence des défauts ponctuels sur l'elargissement des raiesо ide resonance électronique de l'ion Er dans MgO / Y. Ayant, E. Belorizky // J. Phys. France 1966. - Vol. 27. - P. 24-36.n I

55. Куркин, И. H. Спин-решеточная релаксация ионов Er в кристаллах гомологического ряда шеелитов / И. Н. Куркин, Е. А. Цветков // Физика твердого тела. 1969. - Т. 11. - С. 3610-3613.

56. Bernai, Е. G. Optical spectrum and magnetic properties of Er3+ in CaW04 / E. G. Bernai // J. Chem. Phys. 1971. - Vol. 55. - P. 2538-2549.

57. Багавантам, С. Теория групп и ее применение к физическимпроблемам / С. Багавантам, Т. Венкатарайуду. М.: НИЛ, 1959. - 305 с.

58. Mims, W. В. Electric shift in paramagnetic resonance for four ions in a calcium tungstate lattice / W. B. Mims // Phys. Rev. 1965. - Vol. 140. -P. A531-A535.

59. Малкин, Б. 3. Квантовая теория парамагнетизма (конспект лекций) / Б. 3. Малкин. Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та, 2006. - 88 с.

60. Gualtieri, J. G. Crystal field splitting of the energy levels of Nd3+ and Er3+ in CaW04 / J. G. Gualtieri, G. P. Lhery // J. Chem. Phys. 1971. - Vol. 55.-P. 1541-1546.

61. Herzog, В. Nuclear induction / B. Herzog, E. L. Hahn // Phys. Rev. 1956. -Vol. 103.-P. 148-166.

62. Prokof ev, N. V. Decoherence in the quantum dynamics of a "central spin" coupled to a spin environment / N. V. Prokof ev, P. С. E. Stamp // arXiv:9511011v2. URL: http://arxiv.org/abs/9511011.

63. Dobrovitski, V. V. Decay of Rabi oscillations by dipolar-coupled dynamical spin environments / V. V. Dobrovitski, A. E. Feiguin, R. Hanson, D. D. Awschalom // Phys. Rev. Lett. 2009. - Vol. 102. - P. 237601(1-4).

64. Hartmann, С. R. Nuclear double resonance in the rotating frame / C. R. Hartmann, E. L. Hahn // Phys. Rev. 1962. - Vol. 128. - P. 2042-2053.

65. Henstra, A. Nuclear spin orientation via electron spin locking (NOVEL) / A. Henstra, P. Dirksen, J. Schmidt, W. Th. Wenckebach// J. Magn. Res. -1988.-Vol. 77.-P. 389-393.

66. Henstra, A. The theory of nuclear orientation via electron spin locking (NOVEL) / A. Henstra, W. Th. Wenckebach // Molecular Phys. 2008. -Vol. 106.-P. 859-871.

67. Gatteschi, D. Layered magnetic structure of a metal cluster ion / D. Gatteschi, L. Pardi, A. L, Barra, A. Müller, J. Döring // Nature 1991. -Vol. 354.-P. 463-465.71.