Резонансные колебания цилиндрической жидкой капли в вибрационном поле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

и

Алабужев Алексей Анатольевич

Резонансные колебания цилиндрической жидкой капли в вибрационном поле

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 2004

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Пермского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор

Любимов Дмитрий Викторович.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Черепанов Анатолий Александрович (Пермский государственный университет)

кандидат физ.-мат. наук, доцент Перминов Анатолий Викторович (Пермский государственный технический университет)

Ведущая организация: Челябинский государственный университет

Защита состоится "Ц " 2004 г. в 1515 часов на заседании

диссертационного совета Д 212.189.06 в Пермском государственном университете по адресу: 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан "АЗ" И0л6рА 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доцент

Г.И. Субботин

Коо

Обшая характеристика работы

Актуальность работы. Вибрации являются одним из наиболее распространенных способов воздействия на поведение неоднородных гидродинамических систем. Нетривиальное поведение системы в условиях вибрационного воздействия определяет актуальность теоретического и экспериментального изучения такого рода явлений. Необходимость исследований обусловлена так же тем, что вибрации являются как следствием внешних, посторонних причин, так и могут быть использованы в управлении технологическими процессами.

Важным моментом в понимании поведения гидродинамической системы при наличии вибраций является изучение собственных колебаний этой системы. Результаты этих исследований также используются при создании и дальнейшем развитии методов определения физических параметров жидкостей с помощью измерения частот свободных капиллярных колебаний.

Жидкая зона (жидкий мост) часто используется при выращивании полупроводниковых кристаллов. Подобные процессы обычно проводят в условиях невесомости, чтобы избежать возникновения термоконвективных течений, вызванных гравитацией. Однако, на практике, обычно невозможно избавиться от посторонних вибраций и микроускорений, что может привести к дефектам в кристалле. Также существенным может оказаться влияние окружающей среды и изменение краевого угла. Поведению контактной линии уделяется много внимания и исследования в этой области еще далеки до завершения. Цели работы.

• Изучение влияния многочастотных малоамплитудных поперечных вибраций на цилиндрическую каплю невязкой несжимаемой жидкости, окруженную другой жидкостью и помещенной между параллельными твердыми поверхностями Определение средней формы капли.

• Исследование устойчивости вынужденных колебаний цилиндрической капли идеальной жидкости, окруженной другой жидкостью, при вибрациях, перпендикулярных оси капли.

• Изучение влияния динамики контактной линии на собственные и вынужденные малоамплитудные колебания цилиндрической капли, помещенной в другую жидкость. Нахождение средней формы капли.

Рог

ильная

КА

»• с

• Рассмотрение собственных и вынужденных малоамплитудных колебаний сильносжатой цилиндрической капли с произвольным равновесным краевым углом, помещенной в другую жидкость, при учете динамики контактной линии

• Изучение вязкого пограничного слоя на поверхности раздела капля -окружающая жидкость и его влияния на вынужденные колебания цилиндрической капли

• Изучение устойчивости вынужденных колебаний маловязкой цилиндрической капли относительно малоамплитудных возмущений

Научная новизна результатов.

• Впервые получены выражения, описывающие течение в цилиндрической капле невязкой несжимаемой жидкости и в окружающей ее другой жидкости в малоамплитудном многочастотном вибрационном поле при поперечной вынуждающей силе. Обнаружено существование нелинейного резонанса.

• Исследована параметрическая неустойчивость вынужденных колебаний капли относительно малых возмущений. Найдено условие возникновения параметрического резонанса. Построены области неустойчивости.

• Впервые рассмотрены собственные колебания цилиндрической капли, окруженной другой жидкостью, при учете динамики контактного угла. Получены уравнения для нахождения значений частот и коэффициентов затухания собственных колебаний капли.

• Изучена зависимость частот и коэффициентов затухания собственных колебаний от капиллярного параметра и отношения геометрических размеров Показано, что существуют такие значения капиллярного параметра, при которых частоты собственных колебаний могут обращаться в ноль.

• Впервые найдены выражения, описывающие течение в цилиндрической капле и в окружающей ее жидкости при учете динамики контактного угла в вибрационном поле. Найдена средняя форма капли.

• Рассмотрены собственные и вынужденные колебания сильно сжатой цилиндрической капли Показано, что существуют три характерные значения собственных частот.

• Впервые исследована устойчивость вынужденных колебаний цилиндрической капли со свободной контактной линией и окруженной другой жидкостью с учетом вязкого пограничного слоя на поверхности раздела жидкостей. Исследована устойчивость вынужденных колебаний изолированной капли с закрепленной контактной линией при продольных и поперечных вибрациях.

Автором представляются к защите:

• Результаты исследования устойчивости вынужденных колебаний цилиндрической капли идеальной жидкости, окруженной другой жидкостью, при поперечных многочастотных вибрациях.

• Результаты исследования собственных колебаний цилиндрической капли, окруженной другой жидкостью, при прямом равновесном краевом угле и учете динамики контактной линии. Вынужденные колебания такой капли при поперечных вибрациях.

• Частоты и коэффициенты затухания собственных колебаний сильно сжатой цилиндрической капли, окруженной другой жидкостью, при произвольном равновесном краевом угле и учете динамики контактной линии. Вынужденные колебания капли при поперечных вибрациях.

• Результаты исследования устойчивости вынужденных колебаний свободно скользящей цилиндрической капли, окруженной другой жидкостью, при учете вязкого пограничного слоя на поверхности раздела и поперечных вибрациях.

• Результаты исследования устойчивости вынужденных колебаний цилиндрической капли со свободной поверхностью при продольных и поперечных вибрациях.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением с известными ранее работами и согласием результатов, полученных разными методами и с использованием разных подходов.

Например, результаты исследований собственных и колебаний цилиндрической капли (при учете динамики краевого угла) хорошо согласуются с ранее полученными результатами для осесимметричной моды.

Публикации. Материалы диссертации изложены в 10 работах. В работе [1] автор диссертации участвовал в исследовании поведения цилиндрической

капли, в работах [2-10] принимал участие в постановке задач и обсуждении результатов, проводил основные вычисления.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, XII 1999, XIII 2001); VIII Международной конференции «Устойчивость и турбулентность течений гетерогенных и гомогенных жидкостей» (Новосибирск, 2001); XXIX Summer School «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2001); Всероссийской конференции «Теория и приложения задач со свободными границами» (Бийск, 2002); XXXI Summer School «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2003); конференции НОЦ «Неравновесные переходы в сплошных средах» (Пермь, 2002, 2003); XXXII Summer School «Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2004), а также на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы для создания методов изучения физических параметров и свойств жидкости. Также они могут быть полезны для изучения поведения различных включений в слое жидкости между твердыми поверхностями при наличии вибраций, при разработке методов управления кристаллизацией при выращивании кристаллов методом жидкой зоны.

Содержание и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 132 страницы. В работу включено 28 рисунков. Список литературы содержит 114 наименований.

Общее содержание работы

Введение. Во введении представлен обзор литературы, содержание и основные цели данной работы.

Литературный обзор состоит из трех частей. Первая часть посвящена исследованиям собственных колебаний гидродинамических систем с поверхностью раздела. В большинстве рассматриваемых работ исследуются собственные малоамплитудные капиллярные колебания капель, пузырей и жидких мостов. Поведение подобных объектов под воздействием вибраций исследуется в работах, которые приведены во второй части обзора. В третьей

части рассмотрен ряд работ, в которых исследуется поведение контактного угла и движение контактной линии.

Несмотря на неослабевающий интерес к цилиндрическому жидкому мосту (цилиндрической капле), практически отсутствуют работы, посвяшенные поведению цилиндрической капли при поперечных вибрациях. При рассмотрении собственных колебаний основное внимание уделяется осесимметричной моде. Также до сих пор не рассмотрена устойчивость вынужденных колебаний и недостаточно изучено влияние окружающей жидкости.

Первая глава. Исследуются малоамплитудные вынужденные колебания цилиндрической свободно скользящей капли, окруженной другой жидкостью. Рассматривается как одночастотная гармоническая, так и многочастотная вынуждающая сила. Исследуется устойчивость вынужденных колебаний капли относительно малых возмущений.

В первой части главы рассматриваются вынужденные колебания идеальной жидкости, окруженной другой жидкостью. Вся система ограничена двумя параллельными твердыми плоскостями В отсутствие вибраций капля имеет форму цилиндра (рис. 1). Прямой равновесный краевой угол в процессе движения не изменяется. Внешняя жидкость совершает малоамплитудные одночастоткые гармонические вибрации, перпендикулярные оси симметрии цилиндра. Предполагается, что амплитуда

можно было пользоваться приближением несжимаемости.

Подобная постановка позволяет не рассматривать зависимость от вертикальной координаты. Задача решается методом разложения в ряд по степеням малого параметра (отношение амплитуды вибраций и равновесного радиуса капли).

В первом порядке разложения деформации формы капли не происходит и она скользит как целое, поэтому удобно перейти в систему отчета центра

А

Рис 1 Геометрия задачи

вибраций мала по сравнению с равновесным радиусом капли. Также предполагается, что, с одной стороны, частоты вибраций достаточно велики, чтобы можно было пренебречь вязкостью, а с другой стороны, частоты вибраций достаточно малы, чтобы

масс капли. В такой системе отсчета в главном порядке разложения по степеням малого параметра капля неподвижна и не меняет своей формы. Центр масс капли движется относительно лабораторной (неподвижной) системы отсчета. Эта скорость обращается в ноль для очень тяжелой капли, совпадает со скоростью движения окружающей жидкости при равенстве плотностей и больше скорости жидкости на бесконечности для легкой капли (пузыря).

Решение для функции отклонения поверхности во втором порядке разложения можно представить в виде двух частей. Зависящая от времени часть решения имеет резонансный характер- амплитуда квадрупольной моды вынужденных колебаний неограниченно нарастает при приближении частоты вибраций к своему резонансному значению Резонансная частота вибраций оказывается равной половине частоты квадрупольной моды собственных колебаний.

Независящая от времени часть функции отклонения поверхности описывает эффект изменения средней формы капли. Имеет место эффект сжатия капли вдоль оси вибраций при любом соотношении плотностей капли /?, и окружающей жидкости /?

При исследовании устойчивости вынужденных колебаний капли в работе был обнаружен параметрический резонанс, возникающий на частоте вибраций, равной сумме частот двух соседних мод собственных колебаний. Такое условие резонанса вызвано взаимодействием мод свободных колебаний через трансляционную моду вынужденных колебаний. Подобное условие резонанса было обнаружено при исследовании устойчивости вынужденных колебаний сферической капли1. На рис. 2 приведены первые две области параметрической неустойчивости.

04 -Е

Щ

if

I

f

Рис. 2 Области параметрической неустойчивое ги (р = pjp, =1.33).

1 Lyubimov D V, I.yubimova T P, Cherepanov A A , Meradji S , Roux B Equilibrium and stability of drop in vibrational field // Proc of Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on Physical Sciences m Microgravity St Petersburg, 1997 P 66-73

Во второй части первой главы обобщаются полученные в первой части результаты на случай многочастотного воздействия. Геометрия задачи аналогична, внешняя жидкость совершает малоамплитудные многочастотные гармонические вибрации.

При рассмотрении вынужденных колебаний в первом порядке решение качественно ничем не отличается от полученного в первой части решения в соответствующем порядке.

В функции отклонения поверхности, найденной во втором порядке, есть зависящая и не зависящая от времени части. Зависящая от времени часть имеет резонансный характер. В отличие от монохроматического случая, нелинейный резонанс возможен также при равенстве суммы или разности двух частот вибраций половине частоты квадрупольной моды собственных колебаний.

Исследована параметрическая неустойчивость вынужденных колебаний во втором порядке разложения. Области неустойчивости для любой частоты вибраций качественно совпадают с зонами, приведенными на рис. 2.

Как частный случай многочастотного вибрационного воздействия, специально рассмотрено двухчастотное воздействие.

Вторая глава. Снова рассматривается геометрия задачи, приведенная на рис. 1. Система совершает малоамплитудные высокочастотные колебания. Рассматриваются несжимаемые жидкости. При высокочастотном воздействии вязкость играет существенную роль только в узких пограничных слоях вблизи твердой поверхности. Это позволяет рассматривать невязкую жидкость в ядре и вязкую в погранслое. Однако учитывать движение контактной линии в таком погранслое очень сложно. Поэтому обычно используют эффективные граничные условия, которые накладываются на динамику контактного угла, что позволяет исключить из рассмотрения все сложные процессы вблизи контактной линии.

Для прямого равновесного краевого угла обычно используют эффективное граничное условие, предложенное в работе1 при рассмотрении стоячих капиллярно-гравитационных волн между двумя вертикальными стенками. Это условие предполагает линейную зависимость между

' Hocking L M The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary J Fluid Mech , 1987, v 179, pp.253-266

скоростью движения контактной линии и отклонением краевого угла от его равновесного значения:

дI дх

где £ - отклонение поверхности раздела от равновесного состояния, х -нормальная к твердой стенке координата, увеличивающаяся вглубь жидкости, Л - феноменологическая постоянная (так называемый параметр смачивания), имеющая размерность скорости. Частными случаями этого граничного условия являются условия фиксированной контактной линии (Л = 0) и постоянного краевого угла (Л - со). Как показано в работе1, за исключением этих двух случаев, такое граничное условие приводит к затуханию колебаний.

Сначала рассматриваются собственные колебания цилиндрической капли Получены комплексные алгебраические уравнения для нахождения частот собственных колебаний. Эти уравнения имеют комплексные решения, что приводит к затуханию колебаний. Это затухание вызвано лишь условием на линии контакта и не связано с вязкостью Исследовалась зависимость значений частот собственных колебаний от капиллярного параметра (рис. 3) и соотношения геометрических размеров капли - параметра Ь = (рис. 4).

Рис 3 Зависимость частоты (а) и коэффициента загухания (6) собственных колебаний от капиллярного параметра для четырех мод Ош (штрих-пунктирная линия), (сплошная), О20 (штриховая), (6=1, /7 = 1.33)

1 Носктя IМ см на пред стр

Моды классифицируются двумя волновыми числами (т, п), где т -азимутальное волновое число, п - осевое волновое число. Из приведенных результатов видно, что существуют некоторые характерные значения капиллярного параметра, при которых действительная часть частоты мод П,„,) обращается в ноль. Величина этого интервала зависит от отношения равновесного радиуса и высоты капли (рис. 4а), причем вещественная часть Ц0 трансляционной моды после некоторого значения зануляется (рис. За). Точке обращения в ноль действительной части соответствует точка возникновения двух ветвей для мнимой части частоты (рис. ЗЬ). Наибольшие собственные частоты для конкретной моды имеет капля с закрепленной контактной линией, а наименьшие капля со свободной контактной линией.

Были также рассмотрены собственные колебания в пределе сильносжатой (равновесный радиус много больше высоты капли) цилиндрической капли. В этом случае имеется три масштаба значений частот собственных колебаний.

Вынужденные колебания вызывались малоамплитудными одночастотными вибрациями, направленными перпендикулярно оси цилиндра. Такие колебания возбуждают трансляционную моду собственных колебаний. Полученное решение в первом порядке разложения при Л = 0 характеризуется линейным резонансом, амплитуда колебаний стремится к бесконечности. При конечных значениях капиллярного параметра амплитуда

8-

Пг-6

о-

а)

> \

ч

',1 44-

IV 1,.

0 01 0 1

1

10

100

100

Рис 4 Зависимость вещественной О, (а) и мнимой П, (Ь) частей частоты О20 от капиллярного параметра Л Ь = I (сплошная линия), Ь = 1.5 (штриховая), Ь = 1.9 (штрих- пун ктирная)

колебаний ограничена. Большие значения капиллярного параметра соответствуют капле со свободной контактной линией, а для такой капли трансляционной моды собственных колебаний нет. Поэтому при Л = оо резонансные явления отсутствуют. Во втором порядке разложения рассматривается средняя форма капли.

Во второй части главы исследуются собственные и вынужденные колебания сильносжатой капли при произвольном равновесном краевом угле.

8-А

-10 -6

6 У| ю

б У, ю

Рис. 6 Область неустойчивости для предельно малой (иыошмая линия) и нулевой вязкости (штриховая)

Рис 5 Область неустойчивости для малой (сплошная линия) и нулевой вязкости (штриховая)

Третья глава. Влияние тонкого вязкого пограничного слоя рассматривается в третьей части. Из-за диссипации при движении контактной линии рассматривать устойчивость вынужденных колебаний имеет смысл только при закрепленной или свободной контактной линии.

В работе' рассматривалась параметрическая неустойчивость сферической капли. Малая вязкость жидкости учитывалась феноменологически, искусственным добавлением в амплитудные уравнения диссипативных членов, что приводит к появлению конечного порога по амплитуде вибраций и сдвигу резонансной частоты.

В первом параграфе решается некоторая модельная задача, с помощью которой исследуются основные эффекты, связанные с наличием вязкого пограничного слоя на границе раздела. Рассматривается цилиндрическая

1 Lyubimov D V , Lyubimova T P , Cherepanov A A, Meradji S . Roux B Equilibrium and stability of drop m vibrational field // Proc of Joint Xth Furopean and Vlth Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity St Petersburg, 1997 P 66-73

капля со свободной контактной линией, окруженная другой жидкостью. На поверхности раздела жидкостей имеется тонкий вязкий пограничный слой Малая вязкость учитывается строго, аналогично работе1.

Были найдены частоты колебаний капли и поправки к частоте, связанные с эффектами затухания в пограничном слое.

Исследуется параметрическая неустойчивость вынужденных колебаний капли, которые вызывались поперечными одночастотными малоамплитудными вибрациями Параметрический резонанс возникает при равенстве суммы частот двух соседних (по азимутальному волновому числу) мод собственных колебаний частоте вибраций со:

где т - азимутальное волновое число, к, / - вертикальные волновые числа. Наличие вязкости приводит к сдвигу резонансной частоты и к появлению порога амплитуды вибраций (рис. 5). Если полученное в маловязком случае решение строить в пределе нулевой вязкости, то оно будет отличаться от случая нулевой вязкости (рис 6). Подобный эффект был получен и при исследовании устойчивости вынужденных колебаний сферической капли2.

Во второй части исследовалась параметрическая неустойчивость вынужденных колебаний цилиндрической капли со свободной поверхностью. На твердой поверхности учитывается вязкий пограничный слой, контактная линия неподвижна Рассматривались поперечные или продольные малоамплитудные одночастотные вибрации.

Как и в рассмотренных выше задачах, при поперечных вибрациях параметрическая неустойчивость возникает при равенстве частоты вибраций сумме частот двух соседних мод. В случае продольных вибраций параметрический резонанс наступает при выполнении условия:

Это связано с тем, что теперь взаимодействие мод происходит через осесимметричную моду. Полученные области неустойчивости в обоих случаях качественно не отличаются от приведенных на рис. 5.

1 Любимов Д В, Черепанов А А К нелинейной теории параметрически возбуждаемых волн на поверхности вязкой жидкости // Некоторые задачи устойчивости поверхности жидкости Препринт/УНЦ АН СССР Свердловск 1984 С 54-76

" Любимов Д В, Любимова Т П , Черепанов А А Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях М Физчатлит 2003.216 с

Основные результаты

1. Рассмотрено влияние поперечных малоамплитудных вибраций на цилиндрическую каплю со свободной контактной линией, окруженную жидкостью. Показано, что в главном порядке разложения по амплигуде вибраций форма цилиндрической капли со свободной контактной линией не изменяется, и она смещается, как целое (трансляционная мода). В среднем капля сжимается вдоль оси вибраций.

2. Обнаружено явление нелинейного резонанса Такой резонанс в многочастотном случае появляется при равенстве половине частоты квадрупольной моды собственных колебаний и частоты вибраций или суммы (или разности) частот вибраций. В монохроматическом случае резонанс возникает при совпадении частоты вибраций с половиной частоты квадрупольной моды. Данный резонанс является резонансом вынужденных колебаний, в отличие от параметрического резонанса, возникновение которого связано с их неустойчивостью.

3. Исследована устойчивость вынужденных колебаний цилиндрической капли со свободной контактной линией относительно малых возмущений Показано, что параметрический резонанс появляется при выполнении условия синхронизма: одна из частот вибраций равна сумме частот соседних мод собственных колебаний.

4. Рассмотрено движение контактной линии. Скорость движения контактной линии предполагается пропорциональной отклонению контактного угла от равновесного значения. Показано, что увеличение капиллярного параметра приводит к уменьшению частоты собственных колебаний. Наибольшую собственную частоту имеет капля с закрепленной контактной линией. Наименьшую собственную частоту имеет свободно скользящая по твердым поверхностям капля. Происходит затухание нулевой трансляционной моды и при некотором значении капиллярного параметра частота обращается в ноль Этому процессу соответствует возникновение двух ветвей для действительной части декремента затухания. Действительные части частот Ц»о ("1=2,3,4,...) могут обращаться в ноль в некотором интервале значений капиллярного параметра. Ширина этого интервала зависит от отношения равновесного радиуса и высоты капли.

5. Рассмотрены частоты собственных колебаний для сильносжатой капли. Выявлено, что существуют три разных масштаба частот. Высокие частоты не зависят от азимутального числа и соответствуют частотам капиллярных волн на поверхности жидкости. Низкие частоты не зависят от осевого волнового числа и при больших значениях капиллярного параметра совпадают с частотами собственных колебаний цилиндрической капли. Средние частоты являются частотами трансляционной моды.

6. При конечных значениях капиллярного параметра условия на линии контакта сред приводят к затуханию свободных колебаний. Диссипация на контактной линии приводит к ограничению максимальной амплитуда колебаний в резонансе, а также к сдвигу резонансной частоты.

7. Капля может в среднем растягиваться или сжиматься вдоль оси вибраций в зависимости от соотношения плотностей жидкости, частоты вибраций и капиллярного параметра. Так, тяжелая капля может растягиваться, а легкая сжиматься, что качественно согласуется с результатами экспериментов.

8. Впервые рассмотрены собственные колебания цилиндрической капли маловязкой жидкости со свободной контактной линией, окруженной другой жидкостью, в малоамплитудном вибрационном поле. В первом порядке разложения найдена поправка к собственной частоте, вызванная наличием диссипации в вязком пограничном слое на поверхности раздела жидкостей.

9. Рассмотрена неустойчивость вынужденных колебаний такой капли. Показано, что малая вязкость приводит к сдвигу резонансной частоты и появлению порога амплитуды вибраций. Из-за сдвига области неустойчивости при сравнении с невязким случаем, вязкость приводит к дестабилизации.

10.Исследована устойчивость вынужденных колебаний капли со свободной поверхностью и закрепленной контактной линией. В случае осесимметричных вибраций параметрический резонанс наступает при выполнении условия а> = Q„, + ClmJ, в случае продольных вибраций при условии ф = + .

Список публикаций

1 Ллабужев A.A., Коновалов В В., Любимов Д В. Деформация и нелинейный резонанс капли в вибрационном поле // Вибрационные эффекты в

2006-4

7100

гидродинамике. Выи. 1. Пермь: 1998. С. 7-16.

2 Alabuzhev A., Lyubimov D. Deformation of a cylindrical drop in a vibrational field Proc. of XXIX Summer School «Advanced Problems in Mechanics» on CD. St. Petersburg, 2001, V. 1. P. 3-10.

3 Любимов Д В Алабужев А А Резонансные воздействия при действии вибраций на цилиндрическую каплю Тезисы докладов XII Международной зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 1999. С. 217.

4. Алабужев А А., Любимов Д В. Двухчастотное параметрическое возбуждение колебаний капли Сборник докладов VII конференции «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей», ИТПМ, Новосибирск, 2001. С. 4-5.

5. Алабужев А. А.. Любимов Д. В Колебания стесненной капли под воздействием твердых границ Тезисы докладов Всероссийской конференции «Теория и приложения задач со свободными границами» Бийск. 2002. С. 4-5.

6 Алабужев А. А., Любимов Д. В. Колебания нецилиндрической жидкой зоны под действием касательных вибраций твердых торцов. Тез. конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь. 2002. С. 5-6.

7. Алабужев А. А., Любимов Д В. Колебания стесненной капли под воздействием касательных вибраций твердых торцов Тезисы докладов конференции «13-я Зимняя школа по механике сплошных сред « Пермь 2003. С 13

8. Alabuzhev A., Lyubimov D Oscillations of liquid zone. Book of abstracts, XXXI summer school-conference «Advanced Problems in Mechanics - 2003», St. Petersburg. P. 21.

9 Алабужев A.A. Резонансные явления при движении жидкой зоны под воздействием касательных вибраций твердых торцов. Сборник тезисов докладов конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь, 2003. С. 5-6.

10 Alabuzhev A., Lyubimov D. Parametrical resonance of fluid drop. Book of abstracts, XXXII summer school-conference «Advanced Problems in Mechanics - 2004», St. Petersburg. P. 19.

Подписано в печать 13 ноября 2004 г Формат 60x84/16 Печать офсетная. Уел печ л 0 9 Тираж ЮОэкз Заказ =£84 Отпечатано на ризографе ООО Учебный центр "Информатика" 614990 г Пермь, ул Букирева, 15

Вводная часть

Введение

Обзор литературы

Общая характеристика работы

I. Многочастотное воздействие

§ 1. Поведение цилиндрической капли при одночастотном воздействии

§ 2. Поведение капли при многочастотном воздействии 37 ^

§ 3. Двухчастотное воздействие, как частный случай многочастотного

И. Влияние динамики контактной линии

§ 1. Деформация капли в вибрационном поле

§ 2. Сильно сжатая капля

III. Пограничный слой

§1. Вертикальный пограничный слой

§ 2. Пограничный слой на твердой поверхности

Вибрации являются одним из наиболее распространенных способов воздействия на поведение неоднородных гидродинамических систем. Нетривиальное поведение системы в условиях вибрационного воздействия определяет актуальность теоретического и экспериментального изучения такого рода явлений. Необходимость исследований обусловлена так же тем, что вибрации являются как следствием внешних, посторонних причин, так и могут быть использованы в управлении технологическими процессами.

Собственные колебания. Данная диссертация посвящена изучению воздействия вибраций на неоднородные гидродинамические системы с поверхностью раздела. Исследованию поведения гидродинамической системы при наличии вибраций предшествует изучение собственных колебаний этой системы. В большинстве работ, посвященных изучению систем с поверхностью раздела, рассматриваются малые свободные колебания. Подобные исследования не только важны сами по себе, но и являются начальной ступенью к изучению их нелинейного поведения и под воздействием внешних сил.

В теоретических работах обычно рассматриваются системы с простой геометрией поверхности раздела. Начало этой тематике положили работы Юнга [1] и Лапласа [2]. Одними из первых работ, где исследовались малые свободные капиллярные колебания систем с поверхностями раздела сред относительно их равновесной сферической формы, были работы лорда Рэлея [3-4] и лорда Кельвина [5], изучавших каплю невязкой несжимаемой жидкости. Было показано, что решение можно представить в виде линейной суперпозиции мод с нормальной зависимостью от времени, в основе которых лежат сферические гармоники. Для собственной частоты колебаний была получена формула Рэлея, связывающая частоту с меридиональным числом сферической гармоники и параметрами системы.

Механическое равновесие жидкого столба (жидкой зоны) и струи относительно малых свободных капиллярных колебаний теоретически и экспериментально исследовались в работах Платэ [6,7] и лорда Рэлея [8,9]. Именно в этих работах было найдено предельное отношение между высотой жидкого столба Ь и его радиусом Я: Ь = 2 к Я. При больших высотах столб становится неустойчивым и разрушается. Это явление получило название неустойчивости Рэлея. Так же в работе Рэлея [8] рассматривается неустойчивость цилиндрической струи, окруженной другой жидкостью. Собственные частоты свободного жидкого столба можно найти в книге Дамба [10].

В последнее время интерес к подобным конфигурациям вызван их использованием в различных технологических процессах. Например, жидкая зона рассматривается при изучении процессов роста полупроводниковых кристаллов [11,12]. Основное внимание в таких работах уделяется течению внутри жидкой зоны при наличии нагрева, вертикальных вибраций, магнитного поля. Также рассматривалась фильтрация через пористую среду [13,14]. Отметим, что подавляющее большинство работ посвящено рассмотрению цилиндрического жидкого столба (жидкой зоны) окруженного газом, влияние которого не учитывается. Таким образом, боковая поверхность столба рассматривается как свободная.

Жидкость с малой вязкостью рассмотрена в [10], где найдено приближенное выражение для декремента затухания свободных колебаний сферической капли. В качестве первого приближения им использовалось решение для невязкого случая, на основе которого определялась вязкая диссипация в объеме жидкости. Случай произвольной вязкости жидкости был исследован в работе [15]; подробное описание может быть найдено в книге [16].

Задачу о колебаниях сферической невязкой несжимаемой жидкости, взвешенной в невязкой несжимаемой жидкости другой плотности, можно найти в [10]. В работе [17] получено дисперсионное соотношение для случая произвольной вязкости жидкостей и поверхности раздела жидкостей, обладающей вязко-эластическими свойствами типа Буссинеска - Скривена -Бупара, а также рассмотрен ряд важных предельных случаев.

Та часть работы [17], которая касается влияния вязко-эластических свойств поверхности раздела жидкостей, предварялась исследованиями, приведенными в [10], который рассмотрел колебания сферической капли маловязкой несжимаемой жидкости, покрытой нерастяжимой пленкой, и аналогичной работой [18] о пузыре, отделенном нерастяжимой пленкой от неограниченного объема несжимаемой жидкости малой вязкости. В обоих случаях было найдено, что нерастяжимая пленка на поверхности жидкости существенно увеличивает декремент затухания колебаний. В работе [17] показано, что результаты для нерастяжимой пленки могут быть получены, если считать, что дилатационная вязкость или дилатационная эластичность поверхности раздела жидкостей велики.

Однако авторы [17], не представили иллюстраций численных расчетов спектра собственных частот (а по одним лишь предельным случаям трудно судить об общем характере зависимости собственных частот от параметров системы) и упустили из рассмотрения случай непрерывного спектра собственных частот. Как показано в [19], непрерывный спектр, заполняет область положительных значений декремента затухания, а соответствующие ему апериодически затухающие собственные решения существуют при любых параметрах системы. Там же были приведены графики, иллюстрирующие характер зависимости собственных частот от параметров системы, тем самым его работа дополняет работу [17].

Частоты осесимметричной моды и коэффициенты затухания собственных малоамплитудных колебаний найдены в работе [20]. Рассматривались большие, но конечные числа Рейнольдса. Затухание было вызвано учетом вязкого пограничного слоя на твердых поверхностях. Частоты и коэффициенты затухания осесимметричной и трансляционной моды собственных колебаний вязкой жидкой зоны в поле тяжести были найдены в работе [21]. В этих работах было показано, что значения частот и коэффициентов затухания увеличиваются с увеличением радиуса капли и уменьшаются при увеличении числа Бонда.

Во всех вышеупомянутых работах рассматривались решения с отделенной временной переменной, так называемые нормальные моды, собственные частоты которых находились из проблемы собственных значений. Оставлялись без внимания переходные решения, которые формально можно получить как линейную суперпозицию нормальных мод, но которые, как целое, обнаруживают иное поведение во времени, чем каждая нормальная мода в отдельности, лишь асимптотически приближаясь к наименее затухающей нормальной моде. Кроме того, анализ нормальных мод не решает вопроса о начальной генерации завихренности поля скорости жидкости, например для системы, которая приводится в движение из состояния покоя. Задача Коши для малых свободных капиллярных колебаний сферической в равновесии капли несжимаемой жидкости, взвешенной в несжимаемой жидкости другой плотности и вязкости, была рассмотрена в [22]. В работе [23] были рассмотрены частные случаи капли жидкости в вакууме и пузыря в объеме жидкости, преимущество которых состоит в том, что они допускают аналитическое решение в виде дифференциального уравнения, содержащего обратное преобразование Лапласа [23], или интегро-дифференциального уравнения [24].

В настоящее время большое распространение получили и активно развиваются методы определения физических параметров жидкости (коэффициент поверхностного натяжения, плотность, коэффициент вязкости и т.п.) по характеристикам свободных колебаний их систем. Например, в [25,26] проводились измерения поверхностного натяжения и вязкости капли жидкости, которая левитировала в другой жидкости с помощью звуковых волн. Акустические волны служат не только для «подвешивания» капли в несмешивающейся жидкости, но и для возбуждения колебаний. Благодаря хорошему согласию с линейной теорией, такая методика используется довольно часто [21].

Так, одним из методов определения коэффициента поверхностного натяжения является измерение частот собственных капиллярных колебаний капли жидкости, см., например, [27,28]. Если капля имеет в равновесии сферическую форму, амплитуда колебаний много меньше размера капли, и жидкость невязкая и несжимаемая, то коэффициент поверхностного натяжения может быть вычислен по формуле Рэлея [3]. Различные факторы могут привести к отклонению частот, рассчитанных по формуле Релея при заданном коэффициенте поверхностного натяжения, от реально наблюдаемых собственных частот. В литературе рассмотрены следующие причины изменения спектра частот: вращение капли жидкости [29]; несферичность формы капли [30]; влияние поля, подвешивающего каплю в поле силы тяжести [31,32]; конечность амплитуды колебаний [33,34]; влияние вязкой диссипации [15]. Требование как можно более точного определения коэффициента поверхностного натяжения обуславливает необходимость уточнения формулы Релея. Часто подобное уточнение не может быть получено в замкнутой аналитической форме, что обусловливает применение методов теории возмущений и численных методов.

С помощью измерения частот свободных капиллярных колебаний может быть определено также поверхностное натяжение на поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей. Для этого можно рассмотреть двухслойную систему, которая в равновесии имеет вид жидкой сферической капли, окруженной концентрическим сферическим слоем другой жидкости, что проделано в работах [35,36]. Теоретический анализ нормальных мод малых свободных капиллярных колебаний в такой системе для случая невязких несжимаемых жидкостей, а также экспериментальные наблюдения были выполнены в работе [37]. Для каждого меридионального числа они нашли две моды свободных колебаний с двумя значениями собственных частот, которые являются двумя решениями некоторого биквадратного уравнения. Рассматривались предельные случаи: капли жидкости в вакууме; твердой внутренней капли; поверхности внешней жидкости, граничащей с твердой оболочкой; тонкого или толстого слоя внешней жидкости. Такая же система, но для случая несжимаемых жидкостей высокой вязкости была рассмотрена в работе [38], где было найдено приближенное выражение для декремента апериодического затухания колебаний.

Подобные методы сложно развить на основе исследований жидкой зоны, т.к. в этой конфигурации не возможно рассматривать каплю изолированной. С другой стороны, существующие методы определения физических параметров не работают при высоких температурах, а имеющиеся данные очень неточные. Например, при процессе роста полупроводникового кристалла методом плавающей зоны, температура расплава составляет 1000 -3000°С [39,40]. Поэтому в таких случаях, параметры жидкости (расплава) пытаются определить, изучая поведение капиллярных волн на свободной поверхности жидкой зоны [21]. Есть надежда, что, получив в эксперименте частоты и время затухания таких волн, можно определить вязкость и поверхностное натяжение. В работе [41] рассматривалась возможность применения жидкой зоны для определения микро-ускорений при проведении экспериментов по выращиванию кристаллов на борту спутников и космических станций.

Вынужденные колебания. При исследовании систем с поверхностями раздела сред при наличии вибрационного воздействия особое внимание уделяется резонансным явлениям.

Первые работы по этой тематике принадлежат Фарадею, который при рассмотрении влияния одночастотных вертикальных вибраций на горизонтальную границу раздела жидкость - газ экспериментально обнаружил и описал явления возбуждения параметрических колебаний границы раздела (так называемая «рябь Фарадея» или «волны Фарадея») [42]. Теоретическое объяснение этого явления для данной системы было дано в [43] (см. также [44]) с использованием линейного анализа устойчивости для невязкого потенциального течения. Было показано, что уравнения, определяющие поведение системы, эквивалентны системе уравнений Матье, которые исследовались с помощью теории Флоке [45]. Учет малой вязкости производился на основе невязкого течения, то есть путем добавления диссипативного слагаемого в уравнение Матье или вязкого слагаемого в уравнение Бернулли. Полученное дисперсионное соотношение приводило к результатам, согласующимся с экспериментами для маловязких жидкостей [46]. Однако, как показано в работе [47], где на основе полных уравнений выполнен анализ Флоке устойчивости плоской горизонтальной поверхности раздела двух вязких несжимаемых жидкостей, метод Ламба в данном случае не применим, так как существенной становится вязкая диссипация в пограничных слоях, окружающих поверхность раздела, которую этот метод не учитывает. В работе [48], в которой сравниваются и анализируются уравнения Матье для невязкой, слабовязкой и вязкой жидкости. Нелинейная теория возбуждения параметрической неустойчивости для случая малой вязкости жидкости рассмотрена в работе [49].

Горизонтальная граница раздела при вертикальных вибрациях многократно исследовалась в лабораторных экспериментах [50,51] в которых образовывались рельефы на поверхности жидкости как схожие с конвективными структурами (полосы, квадраты, гексагоны, спирали), так и необычные структуры типа треугольников и пр. [52]. В работе [53] было найдено, что при высоких частотах вибраций основным эффектом является сжатие капли вдоль направления оси вибраций, причем этот эффект имеет место как для тяжелой, так и для легкой капли. При двухчастотном (частоты были близки между собой) акустическом взвешивании сферической капли [54,55] наблюдались похожие явления: капля сжималась вдоль вертикальной оси и окончательно принимала форму яблока (dog-bone form). Если разность частот акустического поля была близка к частоте квадрупольной моды собственных колебаний, то происходило резонансное возбуждение квадрупольных колебаний капли. Как показано в [54], это резонанс вынужденных колебаний, а не параметрический резонанс. В работе [56], как и в предыдущей работе, экспериментально исследовалось поведение капель жидкости в одночастотном акустическом поле. Но в отличие от указанных выше работ, исследовался также процесс разрушения капли. Особое внимание уделялось изменению равновесной формы капли при изменении величины акустического давления и механизма разрушения кали в интенсивном акустическом поле. Когда отношение экваториального и равновесного радиуса составляло примерно 1.3, то капля представляла собой фактически плоский диск. На поверхности этого диска параметрическим образом возбуждалась рябь, вызванная взаимодействием двух основных волн, одна из которых движется в радиальном направлении, а другая в азимутальном. Однако эта неустойчивость имеет природу отличную от параметрической неустойчивости Фарадея.

При исследовании поведения цилиндрической капли несжимаемой невязкой жидкости между двумя твердыми поверхностями в одночастотном вибрационном поле [57] был получен для средней формы эффект аналогичный [53]: капля сжималась вдоль оси вибраций независимо от соотношения плотностей. Необычное поведение капель было обнаружено в экспериментах, описанных в работе [58]: тяжелая капля вытягивалась вдоль оси вибраций, а легкая сжималась.

Параметрический резонанс, обнаруженный в [42], наступал в случае равенства внешней частоты удвоенной частоте собственных колебаний б) = 2С1п, со - частота вибраций, Ол - частота п - моды собственных колебаний. Это результат линейного (по амплитуде вибраций) анализа неустойчивости [43,59,60]. При исследовании нелинейного поведения и анализа устойчивости во втором порядке вводят в рассмотрение еще одну моду собственных колебаний . Можно классифицировать соотношением частот 2-х мод форму поверхности, образуемую параметрическим возбуждением волн Фарадея (так называемые внутренние резонансы) [46]. Свойства системы подбирают так, чтобы отношение частот С1п и От этих двух мод составляло определенную величину. Например, в [61] рассматривался случай, когда соотношение частот 1:1, а в [62] 1:2 как наиболее опасные в случае полубесконечного слоя жидкости. В работе [63] в слое конечной глубины рассматривалась неустойчивость в третьем порядке при соотношении частот 1:3, которые для такого случая становиться более опасными, чем рассмотренные в предыдущих работах.

В [64], в отличие от большинства работ, рассматривалась амплитуда вибраций поверхности и объема сравнимая с размерами газового пузыря при одночастотном воздействии. Основная цель работы заключалась в исследовании нелинейного взаимодействия между осцилляциями объема и формы поверхности пузыря, которые возникали или из-за деформации формы или при неравновесном состоянии объема. Для пузырей сферической формы рассматривалось условие резонанса 2:1, для имеющих несферическую форму 1:1 и 2:1, т.е. или О.0-2С1т (результат малоамплитудного приближения), где О0 - частота радиальной моды собственных колебаний, - частота т - ой моды собственных колебаний формы.

В работе [65] исследована параметрическая неустойчивость вынужденных колебаний формы почти сферической капли; показано, что для главных резонансов неустойчивость появляется при выполнении условия синхронизма со = Ои + Оя+,, со - частота вибраций, , Ол+1 - частоты двух соседних мод собственных колебаний. Такое условие резонанса связано с тем, что моды собственных колебаний взаимодействуют через трансляционную моду.

В книгах [66-68] описано явление супергармонического (или нелинейного, в терминах [69]) резонанса в механических системах, который возникает при условии 2а> = €1т, т.е. при равенстве частоты вибраций половине частоты собственных колебаний. В работе [57] было обнаружено подобное явление: возникал нелинейный резонанс при равенстве внешней частоты половине частоты основной моды собственных колебаний цилиндрической капли. В [70] рассматривался линейный со = , супергармонический 2со = С1 и параметрический резонанс со = 2П при исследовании колебаний в нелинейной механической системе с одной степенью свободы. Рассматривалось влияние различных параметров на устойчивость системы и появление резонансных колебаний.

Задачам с многочастотным внешним вибрационным воздействием в последнее время уделяется пристальное внимание. При экспериментальном изучении волн Фарадея в [71] при использовании двух кратных частот ( тсо и псо) вибраций были получены новые необычные рельефы поверхности при наличии внутренних резонансов т:п=4:5 и 6:7. Теоретическое объяснение этих экспериментов дано в [72].

В [73] использовалось рассеивание акустической модулированной волны с несущей частотой со, и модуляционной частотой сор на поверхности газового пузырька для измерения его размеров и плотности. Если постепенно приближать частоту сор к частоте собственных колебаний, то амплитуда колебаний стенок пузырька нарастает и достигает максимума при частотах колебаний стенок щ±со (линейный резонанс). В [74] рассматривался параметрическии резонанс со, ±сор/ 2 в подобной системе.

В [75] на примере уравнения Дуффинга рассматривалась устойчивость системы с двумя положениями равновесия при двухчастотном вибрационном воздействии с большой и маленькой частотой. Проводились сравнения с поведением такой же системы под действием низкочастотных вибраций и наложением высокочастотного шума.

В [76] изучалось поведение системы с двумя степенями свободы и с квадратичной и кубической нелинейностью при двухчастотном внешнем воздействии. Рассматривались два случая: в отсутствии внутреннего резонанса и с различными возможностями внутреннего резонанса (1:1, 2:1, 3:1, 1:2, 1:3).

В [77] исследовался линейный резонанс нелинейного пружинного маятника при внешнем двухчастотном воздействии. Такая система, например, может моделировать поперечную качку судна. Приведена зависимость роста резонансной амплитуды от параметров системы.

Работа [78] посвящена поведению нелинейного осциллятора при многочастотном воздействии. Рассматривались три случая: (1) внешние частоты далеки друг от друга, но близки к собственной частоте осциллятора,

2) внешние частоты близки друг к другу, но далеки от собственной частоты,

3) внешние частоты близки друг к другу и собственной частоте. Исследовалась устойчивость вынужденных колебаний, рассматривалась влияние вязкости и параметра расстройки частоты.

Работа [79] посвящена основным формам нелинейных колебаний вибрационной системы с одной степенью свободы и нелинейностью второго, третьего и четвертого порядка при внешнем многочастотном гармоническом воздействии. Рассмотрены линейный, параметрический и супергармонический резонансы. Рассматривалось влияние нелинейностей на поведение системы. Изучалась возможность управления и подавления нелинейного резонанса.

Влияние малой вязкости жидкостей исследовалось в работе [65,80] феноменологически, искусственным добавлением в амплитудные уравнения членов, отвечающих за диссипацию энергии, что приводит к появлению конечного порога по амплитуде вибраций и сдвигу резонансной частоты. Малая вязкость оказывает дестабилизирующее влияние, сдвигая область неустойчивости в область устойчивости для невязкого случая. Было обнаружено, что в случаях нулевой вязкости и вязкости, стремящейся к нулю, области неустойчивости в пространстве параметров "амплитуда вибраций — расстройка частоты вибраций" не совпадают. Подобный эффект был обнаружен и при исследовании параметрической неустойчивости полусферической капли маловязкой жидкости на вибрирующей подложке

81]. В последней работе учесть малой вязкость проводился строго, аналогично [49].

Экспериментально стоячие волны на свободной поверхности вибрирующего жидкого моста впервые рассмотрел [82]. Он же впервые попробовал определить частоты собственных колебаний осесимметричной моды. Подобные эксперименты, выполненные позднее описаны в работах [83,84]. В работах [85,86] экспериментально определялись частоты собственных колебаний жидкого моста окруженного другой жидкостью близкой плотности.

В работе [87] рассматриваются нелинейные вынужденные колебания конечной амплитуды вязкого жидкого моста в поле тяжести, верхний торец которого совершает гармонические колебания. Особое внимание уделялось линейному резонансу на собственных частотах осесимметричной моды. Резонансная частота определялась по максимальному значению отношения коэффициента деформации и амплитуды вибраций. Коэффициент деформации определялся как интеграл по все высоте капли от абсолютного значения отклонения боковой поверхности от равновесной формы. Наблюдается сдвиг частот собственных колебаний в сторону уменьшения по сравнению с линейной теорией [21]. В то же время увеличиваются значения коэффициентов затухания. С ростом амплитуды вибраций уменьшается значение резонансной частоты. Слабо нелинейный анализ осесимметричных вынужденных колебаний моста маловязкой жидкости проведен в работе [88].

В большинстве приведенных выше работ рассматривались несжимаемые жидкости. Подробное описание различных эффектов связанных со сжимаемостью, например, газовых пузырьков, можно найти в обзоре [89].

Динамика контактной линии. Первой работой, посвященной поведению контактного угла, была работа [1], в которой удалось связать значение равновесного краевого угла со значениями свободной энергии поверхностей раздела фаз (фактически, с коэффициентами поверхностного натяжения), не зная ничего о структуре переходной зоны. В этой работе было получено так называемое уравнение Юнга (или уравнение Юнга - Лапласа), которое связывает разность давлений на поверхности раздела и кривизну поверхности. Подобное уравнение независимо получил Лаплас [90,91].

Работы, посвященные поведению контактного угла и движению линии контакта, можно разделить на два типа. В первом рассматривается установившееся движение контактной линии по подложке. Растекание жидкости в этом случае происходит или за счет межчастичного взаимодействия (например, ван-дер-ваальсовое притяжение молекул жидкости к подложке) или за счет статических внешних воздействий (например, сила тяжести). Подробный обзор основных методов и приближений, применяемых в теории смачивания, приведен в [90]. Ранние экспериментальные [92] и теоретические работы [93] посвящены растеканию жидкости при малых капиллярных числах Са. К настоящему времени имеется довольно много экспериментальных работ [94], в которых рассматриваются процессы при более интенсивном движении и при конечных значениях краевого угла.

Ко второму типу принадлежат работы, где рассматриваются высокочастотные колебательные движения контактной линии. В этом случае ситуация коренным образом отличается от рассмотренной выше. В этом случае влияние вязкости играет существенную роль только в тонких пограничных слоях вблизи твердой поверхности, а движение контактной линии определяется в основном быстро осциллирующим полем давления. Таким образом, можно рассматривать невязкое поведение жидкости в ядре, учитывая вязкость лишь внутри динамического пограничного слоя вблизи твердой подложки. Сложные процессы, происходящие в непосредственной близости линии контакта, из рассмотрения исключаются с помощью эффективных граничных условий, накладываемых на динамику видимого краевого угла.

При прямом равновесном краевом угле обычно используют эффективное граничное условие, предложенное в [95] при рассмотрении стоячих капиллярно-гравитационных волн между двумя вертикальными стенками. Это условие предполагается линейную зависимость между скоростью движения контактной линии и отклонением краевого угла от его равновесного значения: о) д( дх к ' где ^ - отклонение поверхности раздела от равновесного состояния, х — нормальная к твердой стенке координата, увеличивающаяся вглубь жидкости, Л - феноменологическая постоянная (так называемый параметр смачивания или капиллярный параметр), имеющая размерность скорости. В трехмерном случае правая часть (1) принимает вид ЛЯУ^, где п - внешняя нормаль к твердой поверхности. Частными случаями граничного условия (1) являются условия фиксированной контактной линии (Л = 0) и постоянного краевого угла (Л = оо). Как показано в [95], за исключение этих двух случаев, граничное условие (1) приводит к затуханию колебаний.

В указанной работе также проводится качественное сравнение с экспериментальными работами разных авторов. В частности, показано, что заметные расхождения между экспериментальными измеренными и теоретическими рассчитанными (учитывалось только вязкое трение в пограничном слое) декрементами затухания колебаний можно объяснить диссипацией энергии в окрестности контактной линии. При сравнении с результатами экспериментов [96] показано, что шлифовка поверхности увеличивает параметр смачивания от значений порядка единицы до нескольких десятков. Таким образом, параметр Л характеризует не только химические свойства пары материалов жидкость - подложка, но и степень обработки последней.

В работах [97-98] предполагается, что изменение контактной линии может происходить не в фазе с изменением краевого угла, т.е. капиллярный параметр может быть комплексным.

Частоты и коэффициенты затухания осесимметричной моды мало -амплитудных собственных колебаний жидкого моста рассматривались в работе [20]. Динамика контактной линии учитывалась с помощью эффективного граничного условия (1). В тоже время, принималось во внимание существование тонкого вязкого пограничного слоя на твердой поверхности. Контактная линия движется по поверхности погранслоя. Значения частот собственных колебаний уменьшались с ростом капиллярного параметра. Наибольшие частоты имеет жидкий мост с закрепленной контактной линией. С увеличением отношения равновесного радиуса и высоты капли значения частот возрастали. Не до конца остается выясненным вопрос правомерности учета вязкого пограничного слоя на твердой поверхности. Эффективные граничные условия как раз и предназначаются для того, чтобы не рассматривать процессы диссипации в самом пограничном слое.

В работах [99,100] использовано более сложное граничное условие, допускающее неоднозначную зависимость краевого угла от скорости движения контактной линии:

Здесь в = д£/дх - отклонение краевого угла от равновесного значения (в [100] также предполагается, что равновесный краевой угол является прямым). Ниже полагаем вх~вг=вс. Как видно из условия (2), в этом случае малые отклонения краевого угла не приводят к движению контактной линии. Отметим, что граничное условие (2) соответствует неподвижной контактной линии, как в случае А = 0, так и при достаточно большом вс,, и условию (1.1), при Ос —^ 0. Результаты экспериментальных работ [101,102] хорошо описываются формулой (2) при малых отклонениях краевого угла.

В [103] при теоретическом рассмотрении затухания стоячих волн в закрытом сосуде, было сделано предположение о том, что контактный угол а/

0,-02<<9<<9,; Л(<9 + <92),<9<-02.

2) может не изменяться в процессе движения, т.е. контактная линия скользит по стенке. При сравнении результатов с экспериментами [101] было выделено два режима движения: i) контактный угол пропорционален гидродинамической скорости контактной линии v при v < vc cos0e(v)-cos0c=-£— (3) ii) контактный угол не зависит от модуля скорости при v > vc: cos Qc (v) - cos (4) M

Т.о. изменение краевого угла не зависят от скорости движения контактной линии при больших амплитудах колебаний. Отметим, что при вс=я/2 и 0е(у) -вс<^\, условие (3) в точности совпадет с условием (1).

В работе [104] рассматривались аналогичные режимы поведения капиллярно-гравитационных волн. В малоамплитудном режиме результаты эксперимента хорошо описывались условием (1). Результаты при больших амплитудах объяснялись в рамках моделей [95,98,103] с введением некоторого эффективного капиллярного коэффициента Xeff.

В [105] обнаружено три режима движения контактной линии: при малой амплитуде колебаний контактная линия фиксирована. При увеличении амплитуды наблюдается согласованное по фазе (однако, не удовлетворяющее условию (2)) изменение скорости контактной линии и краевого угла. При большой амплитуде колебаний наблюдается свободное движение контактной линии, описываемое формулой (4). Расхождение экспериментальных данных и формулы (2) может быть, по-видимому, объяснено тем, что пороговое значение отклонения краевого угла вс лежит за пределами применимости линейной теории.

Начиная с работ [6-9], выполненных еще в XIX веке, интерес к жидкому мосту не ослабевает. Однако, как следует из приведенного обзора, основное внимание уделяется капле окруженной газом, влияние которого на движение капли не учитывается. В подавляющем большинстве работ при рассмотрении собственных колебаний исследуется только осесимметричная мода. При изучении вынужденных колебаний обычно используется осесимметричное вибрационное воздействие. Также автору диссертации не известны работы по изучению параметрической неустойчивости вынужденных колебаний жидкого столба.

Общая характеристика работы

Содержание и структура работы. Представленная диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. В ведении представлен обзор литературы, содержание и основные цели данной работы.

117 Выводы

В первой части этой главы рассматривалась модельная задача. Изучалось поведение цилиндрической капли окруженной другой жидкость между двумя параллельными плоскостями. На поверхности раздела учитывался тонкий вязкий пограничный слой. Контактная линия была свободной.

Рассмотрены собственные колебания капли. Полученные частоты собственных колебаний совпадают с частотами цилиндрического жидкого столба [10]. В первом порядке разложения найдена поправка к частоте, которая вызвана диссипацией энергии в вязком пограничном слое.

Исследована устойчивость вынужденных колебаний по отношению к малым возмущениям. Параметрический резонанс наступал при выполнении условия синхронизма: частота вибраций равняется сумме частот двух соседних мод собственных колебаний. Найдено выражение, описывающие резонансные области. Показана, что малая вязкость приводит к появлению порога амплитуды вибраций и сдвигу области неустойчивости при сравнении с нулевой вязкостью. В результате этого, малая вязкость, как видно из рис. 3.2, приводит к дестабилизации вынужденных колебаний.

Область неустойчивости в предельно малой вязкости не совпадает с областью для невязкого случая (см. рис. 3.3). Подобный результат был также обнаружен и для сферической [80] и полусферической капли [81].

Рассмотрено поведение капли вязкой жидкости со свободной поверхностью, зажатой между двумя твердыми параллельными поверхностями с закрепленной контактной линией под воздействием поперечных продольных вибраций. Учитывался вязкий пограничный слой на поверхности раздела твердая поверхность — капля.

Рассмотрены собственные колебания. Получены частоты собственных колебаний. В первом порядке разложения найдена поправка к частоте, вызванная наличием диссипации в вязком пограничном слое.

Исследована неустойчивость вынужденных колебаний капли по отношения к малым возмущениям. При поперечных вибрациях, как и в первой части, параметрическая неустойчивость возникала при выполнении условия синхронизма:

Напомним, что m - азимутальное волновое число, к, I - осевое волновое число. В случае продольных вибраций параметрический резонанс возникал при условии равенства частоты вибраций сумме частот одной моды: со = Q , +Q ,

Для обоих случаев вибрационного воздействия найдены области неустойчивости. Показано, что учет вязкости, как и следовало ожидать, приводит к появлению конечного порога амплитуды вибраций и сдвигу резонансной частоты.

119

Заключение

В представленной диссертации рассмотрено поведение цилиндрической капли жидкости, окруженной другой жидкостью под воздействием вибраций. Приведем основные результаты, полученные в ходе выполнения работы.

Движение цилиндрической капли идеальной жидкости со свободной контактной линией под воздействием многочастотных вибраций рассматривалось в первой главе.

1. Показано, что в главном порядке разложения по амплитуде вибраций форма капли не изменяется, и она смещается, как целое (трансляционная мода).

2. Обнаружено явление супергармонического резонанса. Супергармонический (нелинейный) резонанс в многочастотном случае появляется при внешних частотах, равных половине частоты квадрупольной моды собственных колебаний или при равенстве суммы (или разности) внешних частот собственной частоте. В монохроматическом случае резонанс возникает при совпадении внешней частоты с половиной собственной частоты. Данный резонанс является резонансом на вынужденных колебаниях, в отличие от параметрического резонанса, возникновение которого связано с их неустойчивостью.

3. Найдено, что отклонение средней формы капли от цилиндрической пропорционально квадрату амплитуды вибраций, причем имеет место сжатие капли в направлении оси вибраций при любом соотношении плотностей. При высоких внешних частотах средняя форма капли не зависит от выбора системы отсчета.

4. Исследована устойчивость вынужденных колебаний относительно малых возмущений. Показано, что параметрический резонанс появляется при выполнении условия синхронизма: одна из внешних частот равна сумме частот соседних мод собственных колебаний. Найден параметр расстройки и построены области неустойчивости.

Во второй главе изучалось влияние динамики контактной линии на поведение сжатой капли. Скорость движения контактной линии предполагалась пропорциональной отклонению контактного угла от равновесного значения. Коэффициент пропорциональности, так называемый капиллярный параметр (параметр смачивания), характеризует свойства жидкости и материала подложки.

1. В первой части главы рассмотрены колебания и осредненная деформация цилиндрической капли жидкости, окруженной другой жидкостью и находящейся между двумя твердыми поверхностями. Равновесный краевой угол равен ;г/2.

2. Показано, что увеличение капиллярного параметра приводит к уменьшению частоты собственных колебаний. При некотором значении капиллярного параметра основная частота трансляционной моды обращается в ноль. Точке обращения в ноль действительной части соответствует точка возникновения двух ветвей для мнимой части частоты. Наибольшие частоты для конкретной моды имеет капля с закрепленной контактной линией. Наименьшую частоту имеет капля со свободной контактной линией.

3. Обнаружено, что действительные части частот (т = 2,3,4,.) могут обращаться в ноль в некотором интервале значений капиллярного параметра. Ширина этого интервала зависит от пространственного параметра Ь.

4. Рассмотрены частоты собственных колебаний в пределе сильносжатой капли. Выявлено, что существуют три разных масштаба частот. Высокие частоты не зависят от азимутального числа и соответствуют частотам капиллярных волн на поверхности жидкости. Низкие частоты не зависят от волнового числа и при больших значениях капиллярного параметра совпадают с частотами собственных колебаний цилиндрической капли. Средние частоты являются частотами трансляционной моды.

5. Найдено, что при конечных значениях капиллярного параметра условия на линии контакта сред приводят к затуханию свободных колебаний. Диссипация на контактной линии приводит к ограничению максимальной амплитуды колебаний в резонансе, а также к сдвигу резонансной частоты.

6. Показано, что капля может в среднем растягиваться или сжиматься вдоль оси вибраций в зависимости от соотношения плотностей жидкости, внешней частоты и капиллярного параметра. Так, тяжелая капля может растягиваться, а легкая сжиматься, что качественно согласуется с результатами экспериментов в работе [57].

7. В случае произвольного равновесного краевого угла найдена форма сильно сжатой капли. Рассмотрены собственные и вынужденные колебания такой капли окруженной другой жидкостью.

8. Показано, что набольшими собственными частотами обладает капля с прямым равновесным краевым углом.

В третьей главе диссертации рассматривалось влияние вязких пограничных слоев на устойчивость вынужденных колебаний капли. В первой части рассматривалась модельная задача. Изучалось поведение цилиндрической капли окруженной другой жидкость между двумя параллельными плоскостями. На поверхности раздела учитывался тонкий вязкий пограничный слой. Контактная линия была свободной.

1. Исследована устойчивость вынужденных колебаний по отношению к малым возмущениям. Параметрический резонанс наступал при выполнении условия синхронизма: частота вибраций равняется сумме частот двух соседних мод собственных колебаний. Найдено выражение, описывающие резонансные области. Показана, что малая вязкость приводит к увеличению области неустойчивости при сравнении с нулевой вязкостью.

2. Область неустойчивости в предельно малой вязкости не совпадает с областью для невязкого случая. Подобный результат был также обнаружен для сферической [79] и полусферической капли [80].

3. Рассмотрено поведение капли вязкой жидкости со свободной поверхностью, зажатой между двумя твердыми параллельными поверхностями с закрепленной контактной линией под воздействием поперечных продольных вибраций. Учитывался вязкий пограничный слой на поверхности раздела твердая поверхность — капля.

4. Рассмотрены собственные колебания. Получены частоты собственных колебаний. В первом порядке разложения найдена поправка к собственной частоте, вызванная наличием диссипации в вязком пограничном слое.

5. Исследована неустойчивость вынужденных колебаний капли по отношения к малым возмущениям. При поперечных вибрациях, как и в первой части, параметрическая неустойчивость возникала при выполнении условия синхронизма: а = Птк+Пт+11

В случае продольных вибраций параметрический резонанс возникал при условии равенства частоты вибраций сумме частот одной моды:

Для обоих случаев вибрационного воздействия найдены области неустойчивости. Показано, что учет вязкости, как и следовало ожидать, приводит к появлению конечного порога амплитуды вибраций и сдвигу резонансной частоты.

123

1. Young Т. Essay on the cohesion of fluids // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1805. A 306, P. 347-370

2. Laplace P.S. Theory of capillary attractions // Tenth Book of Celestial. New York. 1966.

3. Rayleigh, Lord. On the capillary phenomena of jets // Proc. R. Soc. Lond. 1879. V. 29. P. 71-97.

4. Релей Д. Теория звука. Т. 2. М.; Л.: ГИТТЛ. 1954. 460 стр.

5. Kelvin, Lord. Oscillations of a Liquid Sphere // В сборнике Mathematical and Physical Papers, Clay and Sons, London, 1890. V. 3. P. 384-386.

6. Plateau J.A.F. Sur les figures d'equilibre d'une masse liquide sans pesanteur //Mem. Acad. R. Belgique. 1849. Nonv. Ser. 23.

7. Plateau J.A.F. Experimental and theoretical researchers on the figures of equilibrium of a liquid mass withdrawn from the action of gravity // Перевод в Ann. Rep. Smithsonian Inst. 1863. P. 207 285

8. Rayleigh, Lord. On the stability of jets // Proc. Lond. Math. Soc. 1879. V. 10. P. 4-13.

9. Rayleigh, Lord. On the stability of cylindrical fluid surface // Phil. Mag. 1892. V.34. P. 177- 180.

10. Ламб Г. Гидродинамика. M., Л.: ГИТТЛ. 1947. 928 стр.

11. Preiser F., Schwabe D., Sharman A. Steady and oscillatory thermocapillary convection in liquid columns with free cylindrical surface//J. Fluid Mech. 1983. V. 126. P. 545-567.

12. Brown R. Theory of transport processes in single crystal growth from the melt//AIChE J. 1988. V. 34. P. 881 -911.

13. Melrose J.C. Model calculation for capillary condensation // AIChE J. 1966. V. 12. P. 986-994.

14. Zasadinski J.N., Sweeney J.B., Davis H.T., Scriven L.E. Finite element calculation of fluid menisci and thin-films in model porous media //y J. Colloid Interface Sci. 1987. V. 119. P. 108 116.

15. Drazin P.G., Reid W.H. Hydrodynamic Stability. Cambridge University Press. 1981.

16. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Clarendon Press, Oxford. 1961. 430 p.

17. Miller C.A., Scriven L.E. The oscillations of a fluid droplet immersed in another fluid // J. Fluid Mech. 1968. V. 32. N 3. P. 417-435.

18. Benjamin T.B. Non-spherical motions of cavities // Proc. of 1962 Symposium, Amsterdam: Cavitation in Real Liquids. 1964. P. 164-180.

19. Prosperetti A. Normal-mode analysis for the oscillations of a viscous liquiddrop in an immiscible liquid // Journal de Mecanique. 1980. V. 19. N 1. P. 149-182.

20. Borkar A., Tsamopoulos J. Boundary-layer analysis of the dynamics of axisymmetric capillary bridges // Phys. Fluids A 3 (12), December 1991. P. 2866-2874.

21. Tsamopoulos J., Chen T., Borkar A. Viscous oscillations of capillary bridges // J. Fluid Mech. 1992. V. 235. P. 579-609.

22. Prosperetti A. Viscous effects on perturbed spherical flows // Q. Appl. Maths. 1977. V. 35. P. 339-352.

23. Prosperetti A. Free oscillations of drops and bubbles: the initial-value problem // J. Fluid Mech. 1980. V. 100, part 2. P. 333-347.

24. Becker E., Hiller W.J., Kowalewski T.A. Nonlinear dynamics of viscous droplets // J. Fluid Mech. 1994. V. 258. P. 191 216.

25. Trinh E.H., Zwern A., Wang T.G. An experimental study of small amplitude drop oscillations in immiscible liquid system // J. Fluid Mech. 1982. V. 115.m P. 453 -482.

26. Trinh E.H., Marston P.L., Robey J.L. Acoustic measurement of the surface tension of levitated drops // J. Colloid Interface Sci. 1988. V. 124. P. 95-103.27