Резонансы слабо нелинейных волн в задачах с сильной дисперсией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Российская академия наук Уфимский научный центр Институт математики с вычислительным центром

На правах рукописи

А ■' ' :■ Л

--•'V' ил "

Глебов Сергей Геннадьевич у 1

РЕЗОНАНСЫ СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В ЗАДАЧАХ С СИЛЬНОЙ ДИСПЕРСИЕЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н. Калякин Л. А.

Уфа—1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ................................................................3

Глава 1. Глобальные резонансы. Асимптотический переход к системе трех

волн ...................................................................20

§1. Постановка задачи .................................................20

§2. Формальные построения ...........................................23

§3. Обоснование построенного ФАР....................................29

Глава 2. Локальные резонансы. Резонансы на линии..................37

§4. Постановка задачи. Формулировка результата.....................37

§5. ФАР в пререзонансной области ....................................42

§6. ФАР в резонансном слое ...........................................52

§7. ФАР в пострезонансной области ...................................62

§8. Разрешимость задачи Коши для нелинейного уравнения типа Шрё-дингера в классе функций, быстро осциллирующих на бесконечности 65

Глава 3. Локальные резонансы. Резонансы в точке ...................77

§9. Постановка задачи .................................................77

§10. Внешнее ФАР .....................................................81

§11. Внутреннее ФАР ..................................................88

§12. Теорема существования для ЛГ-мерного нелинейного уравнения типа

Шрёдингера ...........................................................91

Литература............................................................96

Введение

При описании многих волновых процессов используются выражения вида

U = Аехр{г'(< к,х> -art)}, к £ Еп, х бГ. (0.1)

Это, так называемая, монохроматическая или плоская волна, здесь А = const - амплитуда волны, к - волновой вектор, ш - частота. Частота ш и волновой вектор к, вообще говоря, не произвольны, а связаны некоторым соотношением

Цш,к) = 0, (0.2)

которое обычно называют дисперсионным. Вид дисперсионного соотношения определяется выбором модели процесса. Функции типа (0.1) являются точными решениями линейных уравнений, которые в случае, когда L - полином, оказываются дифференциальными1

L(idu -iVx)U = 0. (0.3)

Однако, большая часть решений не допускает выражения через столь простые элементарные функции. Средства асимптотического анализа позволяют выделить и эффективно проанализировать широкие классы решений, которые близки (похожи) на указанные элементарные решения. Мерой близости является малый параметр, в качестве которого может выступать та или иная безразмерная величина, например, отношение характерной величины амплитуды волны к характерному пространственному масштабу. В математической постановке задачи малый параметр может входить в начальные данные прямо в качестве величины, которая характеризует их отклонение от "элементарных" невозмущенных начальных данных.

*В общей ситуации это ПДО с символом L

Примером может служить начальное данное со слабой модуляцией амплитуды

А(ех) ехр{г < к, х >}, (0.4)

либо фазы

А ехр{г5о(еж) /е); (0.5)

где 0 < е « 1 - малый параметр.

Иногда такие задачи записываются в медленных переменных £ = ех, $ = так, что соответствующее дифференциальное уравнение содержит малые множители при производных

Цидв, -геЧ^и = 0, (0.6)

Ще=0 = А(0 ехр{«50(ОМ- (0-7)

Асимптотические решения таких задач хорошо известны и описываются формулами ВКБ-приближений или коротковолновой асимптотики

и ~ ехр9)/е] А К,В). (0.8)

га>0

п

Фазовая функция 5 и коэффициенты разложения амплитуды А определяются из уравнений в частных производных первого порядка. Фаза - из нелинейного уравнения эйконала

Ц-де^У^) = 0, (0.9)

а амплитуды из уравнений переноса - линейных уравнений в частных производных первого порядка. Они описывают медленную деформацию квазиплоской волны в пространстве-времени вне каустики.

Другой круг проблем обнаруживается, если вместо однородного линейного уравнения (0.3) рассматривать уравнение с малым возмущением

при этом само уравнение также может быть слабо деформировано (коэффициенты уравнения зависят от медленных переменных f, 0)

L(iede, -feVe, в; e)U = ef{U, в; e). (0.10)

В случае линейных возмущений немного меняются уравнения для ампли-

п

туд А•

Нелинейность возмущения может приводить к совершенно новым эффектам. В главном члене асимптотического решения появляются слагаемые с новыми комбинационными фазами, вообще говоря, отсутствующими в начальный момент, например, [31], [32]. Это, так называемые, резо-нансы. Суть этого явления состоит в том, что могут появляться комбинационные частоты ui(k\) -4-... + шт{кт), которые удовлетворяют дисперсионному соотношению с волновым числом 4-... -f кт. В случае медленно деформирующихся фаз 5i(£, 9),5m(£, 0), удовлетворяющих уравнению эйконала, комбинационная фаза 5i(£, в) + ... + 5т(£, 0) также удовлетворяет уравнению эйконала.

Структура главного члена асимптотики быстроосциллирующего решения такой задачи существенно зависит от дисперсионного соотношения. Если частота ш(к) линейна по к (w'(fe) = const) - случай, так называемой, слабой дисперсии, то в главном члене появляется бесконечное число гармоник с различными комбинационными частотами ( цуг волн ). Если же дисперсия сильная ( ш'(к) ф const), то в главном, как и во всех последующих поправках формального решения, обычно присутствует только конечное число гармоник [29], [46], [47].

Следует отметить, что, если возмущение f(U) аналитично по переменной U, то даже в задачах с сильной дисперсией в главном может возникать бесконечное число новых комбинационных фаз [25]. Однако, мы такие задачи не рассматриваем.

Здесь мы пытаемся объединить оба круга рассмотренных задач - ме-

дленную деформацию плоской волны и типично нелинейные эффекты -появление резонансов в системе и прохождение через них.

При изучении быстрых осцилляций в слабо нелинейных средах обычно исследуются системы следующего вида

Цегдв, -егУ€;£,0)и = еЕ(.Ц), (0.11)

где и = (С/ь..., ип)т - п-мерный вектор, —ггУ^; в) - матрица раз-

мерности п х п, элементы которой являются дифференциальными операторами. Символы операторов Ьу (о;, обычно - полиномы по переменным ш, к .

Поиск быстроосциллирующих решений для систем типа (0.11) в виде квазиплоских волн осуществляется методом ВКБ [38], [33]. При этом фазы быстрых осцилляций, также как и в линейных задачах, определяются из уравнений Гамильтона-Якоби (эйконала)

(0.12)

= 5?. (0.13)

Специфика применения этого метода к задачам со слабой нелинейностью состоит в том, что на определение амплитуд существенное влияние оказывает нелинейность рассматриваемой задачи. Вид уравнений для амплитуд в значительной степени определяется наличием резонансов в системе и их характером.

Особый интерес, как правило, представляют резонансные процессы. Характер резонансного взаимодействия в слабонелинейных средах, в основном, определяется соотношением между корнями (модами) дисперсионного уравнения, которое в данном случае выглядит следующим образом:

<1еЬ [£(о;, к, 0)] = 0.

В случае квазиплоских волн, обычно, используется следующий подход - исследуются не соотношения между корнями дисперсионного уравнения, а нули оператора эйконала на комбинационных фазах.

Пусть в начальный момент в — 0 волны описываются функцией с несколькими быстроосциллирующими фазами

п

»=о

Для определения резонансов следует рассмотреть линейные комбинации исходных фаз

здесь Sip - фазы из исходного набора Si, i = 1,..., п. Вид линейной комбинации (0.14) определяется нелинейностью исходной системы. Затем следует исследовать множество Л нулей функции

Щ,в) := l(-deSh...ip,VtSh...ip;t,0). (0.15)

При этом по характеру нулей функции (0.15) принято различать несколько случаев [12]:

случай AI) Для все наборов i\...ip множество Л нулей функции А(£, в) пусто. В этом случае в системе нет резонансов и уравнения для амплитуд такие же как в линейном случае.

случай АН) Существует такой набор ц..лр, что множество Л не пусто и совпадает со всем пространством независимых переменных (£,#). Это случай, так называемых, глобальных или сильных резонансов [29], [31], [32], [47], [21], [5], [30], [11]. Они могут иметь место как для плоских волн S =< > +ив, так и для квазиплоских волн с общей фазой 5(£, 9).

Простейший пример возникает, когда в системе есть глобальные квадратичные резонансы, а в начальный момент волны описываются функцией с двумя быстро осциллирующими фазами. При этом, в главном про-

исходит появление новой гармоники с фазой 5»1е2 = 5г1 + 5»2, отсутствующей в начальный момент. Это явление носит название генерации гармоники на комбинационной частоте [1], [3], [35].

Амплитуды резонирующих волн определяются из хорошо известной системы трех волн, интегрируемой МОЗР [15]

здесь d/d$j - полная производная вдоль соответствующей характеристики уравнения (0.12).

случай AIII) Существует такой набор ¿i, , что множество Л нулей функции А(£, в) не пусто, однако и не совпадает со всем пространством независимых переменных. Это случай, так называемых, локальных или слабых резонансов [48], [12]. Очевидно, они могут иметь место лишь для квазиплоских волн, когда Se ф const [44], [45], [49], [40], [48].

Все пространство независимых переменных разбивается на несколько областей со своим представлением решения в каждой из них. Вид уравнений для амплитуд различен в разных областях.

Данная работа посвящена исследованию резонансных взаимодействий в задачах с сильной дисперсией. Фактически речь пойдет о случаях АН, AIII в терминах приведенной выше классификации резонансов.

В первой главе исследуются глобальные квадратичные резонансы. Мы изучаем модельную систему типа (0.11), которая достаточно проста, однако позволяет проследить все существенные особенности этого случая.

d/dOiAi + гр\А*2Аъ = 0, d/de2A2 + ip2A\Az - 0, d/de3Az + ipbAxA2 - 0,

(0.16)

Аг&0) = АШ

А3(£,0)=0,

(0.17)

Здесь фактически обосновывается известный раннее как формальный [10],[37],[3],[18] асимптотический переход от системы типа (0.11), появляющейся во многих физических приложениях к системе трех волн. Возможность обоснования такого перехода достигается за счет простоты рассматриваемой системы (0.18) и выбора начальных данных (0.19) в виде плоской волны. Это и является основным математическим результатом первой главы диссертации.

Рассматривается задача Коши для системы уравнений

£2деви - е2с2дии + ¿2и = е (аги2 + А^Ф + 71Ф2) , (0.18) егд9Ч! + = £ (а2и2 + /32иУ + 72Ф2)

с начальными условиями

ЩЬ'О) = СТ0(ОехрШ/е}, ЪЩЬО) = (0.19)

Ф«,0) = ФоЮехр Ш/е},

где в > 0, е - малый положительный параметр; £ = £х, В = ск^, Д, 7», с, (I - постоянные коэффициенты. Причем с, (I не равны нулю. Кроме того, мы предполагаем, что к\ьк2 €: Ъ.

Выбор именно такого модельного примера не столь важен, существенным здесь является лишь наличие трех различных частот ш1{к),ш2{к) и (к) при условиях, что выполнены следующие резонансные соотношения:

щ(к1)+ш2{к2) = ш3 (к3),

кх + к2 = к3 (0.20)

Основным результатом первой главы является следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть начальные данные для системы (0.18) имеют вид (0.19), амплитуды Uq и Фо класса С4 по переменной ( и убывают на ±оо какО(£~2), постоянные коэффициенты c,d ф 0. Тогда существует такое г > 0, что в полосе 0 < t < re-1, х G (—оо, +00) для решения задачи (0.18), (0.19) справедлива асимптотика при е —► 0 вида:

U = £ Uu,k К, в) exp{i(kx - шг)} + 0(е), (0.21)

ш,к

Ф = £ еЧ>{»(*® " "*)} + 0(е). (0.22)

и>,к

Доказательство этой теоремы проводится в два этапа. Сначала строится формальное асимптотическое решение исследуемой задачи в виде ряда по степеням малого параметра

п

Ф = Х>Я¥»ОМ,£,0), (0.23)

п

а затем проводится его обоснование до времен t ~ 0(е-1). Здесь под словами "формальное асимптотическое решение задачи" мы понимаем отрезок ряда (0.23), который при подстановке в задачу дает оговоренную заранее невязку, а под обоснованием - оценку остатка этой асимптотики.

Построение формального асимптотического решения проводится при помощи метода двух масштабов [4]. Используются как быстрые х — = в/е, так и медленные В переменные. Задание исходных данных (0.19) в виде плоской (монохроматической) волны приводит к тому, что дифференциальные уравнения Гамильтона-Якоби (0.12) превращаются в алгебраические соотношения, связывающие частоты и волновые числа взаимодействующих гармоник

CÜ - к2 = 0,

(0.24)

ш2 - с2 к2 - d2 = 0. (0.25)

В лемме 1.1 показывается возможность наличия глобальных квадратичных резонансов при такой постановке.

ООО

Амплитуды главного члена иШ2м,иШз,к3 резонирующих гармо-

ник находятся из задачи Коши для системы трех волн. Амплитуды старших поправок определяются либо из линейных однородных уравнений , либо из уравнений, полученных линеаризацией системы трех волн на амплитудах главного члена.

На втором этапе доказательства теоремы 1.1 проводится обоснование формально построенного асимптотического решения. Точное решение задачи (0.18), (0.19) ищется в виде суммы отрезка ряда (0.23) и остатка R. На остаток выписывается задача Коши и доказывается ее разрешимость в классе ограниченных функций.

Доказательство разрешимости задачи для остатка проводится методом Фурье. После преобразования Фурье и обращения линейной части полученного обыкновенного дифференциального уравнения для образа R получаем интегральное уравнение типа Вольтерра. При этом из-за нелинейности исходной системы в правой части присутствуют всевозможные свертки по двойственным переменным.

Для доказательства разрешимости полученного интегрального уравнения вводится пространство непрерывных по t функций с нормой интегральной по £ и равномерной по к

l|R(i.i)ll=Ell£(f,t)ll, (0.26)

¿=0

где

\тш\=»up / da 1+i£D2sup(i+(о.27)

t J—oo к

Полученное пространство является банаховой алгеброй относительно операции сверток по переменным £ и к и, кроме того, оператор свертки по

этим переменным оказывается ограниченным и обладает свойством Липшица [5], [50]. Пользуясь этими свойствами и известными результатами функционального анализа методом последовательных приближений, доказывается разрешимость задачи для остатка.

Во второй главе диссертации рассматривается ситуация, когда в системе имеют место, так называемые, локальные резонансы. В отличии от главы 1, где резонансные соотношения выполняются при всех (£, в) тождественно , здесь выполнение резонансных соотношений локализовано как во времени, так и в пространстве.

Проблемы, возникающие при построении быстроосциллирующих решений для задач такого рода, известны давно. В простейших ситуациях локальные резонансы возникают в системах обыкновенных дифференциальных уравнений [40], [44], [45], [49] и называются там "semi-" или "weak" резонансами. Появление локальных резонансов в системах дифференциальных уравнений в частных производных также не ново и рассматривалось разными авторами [48], [12], [20], [19].

В работе [48] исследовалась задача о слабом резонансном взаимодействии двух волновых мод в канале малой глубины, при этом обнаружилось, что в окрестности резонанса амплитуды и сдвиги фаз резонирующих мод определяются из системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работе [12] показана возможность появления слабых резонансных взаимодействий в задаче об эволюции двухслойной среды вода - воздух под действием ветра в приближении слабой нелинейности.

В работах [20], [19] рассматривалась модельная постановка задачи, приводящая к локальному резонансному взаимодействию. В пространстве двух независимых переменных (£, 9) исследовалась задача Коши для слабо нелинейного уравнения Шрёдингера с начальными данными в виде двух быстро осциллирующих гармоник. Следует отметить, что такая по-

становка была предложена С.Ю. Доброхотовым и является, видимо, простейшей хотя бы потому, что здесь имеется всего одна собственная мода. В данных работах было показано, что в окрестности резонанса амплитуда главного члена асимптотического решения определяется из задачи Коши для нелинейного уравнения Шрёдингера.

При взаимодействии более чем двух гармоник может возникать новый эффект. Если третья волна пересекает слой локального резонанса, то в результате резонансного взаимодействия в слое амплитуда главного члена асимптотики этой волны после выхода из слоя получает поправку порядка корня из величины возмущения. Возможность обнаружения такого эффекта была предсказана в работе [20]. В работе [6] автором была явно посчитана эта поправка поперечной волны в пострезонансной области.

Общая ситуация такова. При слабом резонансном взаимодействии в пространстве независимых переменных образуются многообразия меньшей размерности, так называемые, многообразия локального резонанса, в окрестности которых меняется структура главного члена быстроосцил-лирующего формального решения. Одним из факторов, обуславливающих необходимость такого изменения, является непригодность исходного "внешнего" формального асимптотического решения (ФАР) вблизи резонансного многообразия. Амплитуды первой поправки начинают неограниченно возрастать и исходное ФАР теряет свой асимптотический характер. Для того, чтобы правильно описать поведение решения в окрестности резонансных многообразий, приходится вводить новые растянутые