Ручные и дикие задачи теории представлений алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КШВСЬКИЙ УН1ВЕРСИТЕТ 1МЕН1 ТАРАСА ШЕВЧЕНКА I ф Д Па правах рукопису

СЕН 1995

ПИРЯТИНСЬКА Олександра Юр1"шна

РУЧН1 ТА ДИК1 ЗАДАЧ1 ТЕОРП

ЗОБРАЖЕНЬ *-АЛГЕБР

01.01.06 — алгебра та теор1Я чисел

Автореферат дисертацп на здобуття наукового ступеня кандидата (¡пзико-математичних наук

Киш - 1995

Дисертащею е рукопис.

Науковий кср1вник:

доктор ф13ико-.мате.матичних наук професор САМОЙЛЕНКО Ю С. Офщшш опоненти:

доктор ф13ИКо математичиих наук СЕРГШЧУК В.В.. " '

кандидат ф1зико-математичних наук КРУГЛЯК С.А.

Пров1дна оргашзащя:

1нституг теоретично! ф1зики НАН Украши.

Захист в1дбудетьоя : 1$ р. о годинI на

заадашн спеша.шзовансп ради Д 1)1.01.01 при Ктвсько.му ушверси-тет1 ¿м. Тараса Шевченка за адресою: '252127. Кшв-127. проспект ак. Глушкова 6. Кшвський ушверситет. мехашкоматематичний факультет.

3 дисертащею можна ознайомитися у наукошй б!блютеш ушвер-ситету.

Автореферат розклано 1995.р.

Вчеыий секретар спеша.~изованс>1 ради

Загальна характеристика роботи.

итуальшсть теми В дпеертацшшп робо'л досл1джуються пи-[ теорп зображень *-алгебр, вивчаються зображення квадра-IX *-алгебр з трьома самоспряженими тв1рними. та наведет за-вання зображень *-алгебр до структурно1 теорц несамоспряже-ператор1в.

Алгеброю називаеться комплексна алгебра 21. на ямй визна-в1дображення *:21 — 21, що задовитьняе у.мовам: (а*)* = а, ЗЬ)* — аа" + ЗЬ*, (аЬ)* = 6*а". Надал1 ва *-алгебри вважа-штальними.

браженням *-алгебри називають узгоджений з шволющею го-)ф1зм 13 *-алгебрн 21 в *-алгебру ЦН) лппйних обмеженнх опер. дшчих у сепарабелъноиу комплексному пльбертовому про-Н. Зображення необмеженими операторами у робот1 не роз-тоться.

домим. добре вивченим прикладом *-алгебри е алгебра поль 21 = С[.г] з одшего самоспряженою тв1рною х = х". Класпчна ральна теорема для самоспряжених оператор!в дае розв'язок [i уштарноТ класиф1каци зображень тако1 алгебри. :ор1я зображень *-алгебр природно пов'язана з теорию уштар-ображень груп, яка розвиваласп понад 100 роюв (починаючи з Ф.Г. Фробешуса). Так, категор1'1 уштарннх зображень зл^чен-эупи С. та категор1я зображень групово! алгебри = 2[С} з ющего д' = д~1 екв1валентш.

эсл1дження уштарннх зображень компактних груп зводиться вчення зображень ушверсально'1 обгортуючо} *-алгебри Лл. юрш зображень нескшченновимфних груп (груп петель, шдук-IX границь скшченновшпрних груп, груп дифеоморф1зм1в ) по-на з изображениями в1дпов[дних нескшченновилирних алгебр аца-Мудт В1расоро та ¡и.).

;скшченн! набори самоспряжених оператор1в, пов'язаш ствви-1нями комутащУ. антикомутацп та близьких до них вивчали Л 1111:41 ц а п^си^пПОР,! 1

притих I М Гельфэнл ! М Граев (1973) Р Г 1гМлгНов (1076\ . Березанський( 1976): Ю.С.С'амойленко (1984) та ш. 1 ак1 набори ;ають при розгляд! ф1зичних систем з нескшченною кктьыстю

ступешв свободи.

В останш десятер1ччя поширився штерес до вивчення бьтьш широкого класу »-алгебр та ix зображень. Не пов'язани з розьм июм квантового методу обернено1 задач] розаювання i появою поняття квантових труп (В.Г.Дринфельд (1985). М. Jimbo (1985). S.L.Worono-wicz (1987)). Швидкий розвиток цього напрямку зу.мовлений засю-суваннями його в точно розв'язуваних моделях математично! ф1зики (Е.К. Склянш. Л.А.Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев та ш.). Teopi'i спещаль-них функщй (Н.Я.Вьленкш, А.У. Климйк . T.Koormvinder та ¡н.). Teopi'i вузл1в та струн (B.Johnson), моделях квантовоТ Teopi'i поля (А. Wightman та ш.), Teopi'i зображень над сшнченними полями (Н.Ю. PeuieTixiü. G.Lusztig).

A.M. Вершик (1984) зазначив. що особливо важливим е вивчення квадратичных *-алгебр. Для квадратичних ^-алгебр з двома само-спряженими тв1рни.\ш В.Л Островський та Ю.С-Самойленко (1988) побудували класифшашю. та у ручному випадку описали yci незви-Hi зображення.

Розд1л III дисертацн присвячений вивченню зображень класу квадратичних *-алгебр з трьома самоспряженими тв1рними.

При вивчеш зображень *-алгебри бажано визначити складшсть структури *-категорн i'i зображень.

Алгебри фон Неймана единим чином розкладаються в пряму суму фактор}в типу I. II. III. Класифжащю та приклади факторш див. J. von Neumann. F.Murray (1936-1943), R.Powers (1967). McDuff (1969). A.Connes (1973) та ш. Фактор-зображенням називають зображення, для яких IV'*- оболонка onepaTopiß зображення е фактор. G. Mackey (1952 ) запропонував застосувати класифжащю груп i С-алгебр за типами фактор-зображень. Якщо у алгебри (групи) Bei фактор-зображення типу /, то алгебра (трупа) називаетъся алгеброю (групою) типу I (GCR. ручною). Для цих алгебр будь-яке зображення единим чином розкладаеться в прямий штеграл незвиних (див. напр. Ж. Дикам'е (1974)). для цих алгебр можна описатп незвъдш зображення. тапобудувати структурну leopiio. Алгебру (трупу), яка .¡.не - ...O'-^a;:;.-.:;;;: _ :. - ¡i .ri -

типу / (MGCR). Для алгебр (труп) н*»яс*лпво »«булуватя те-opito зображень аналопчну класнчн^й. бо при розкла,п на незвйш зображення для фактор-зображень не типу / icnyf два р1зних роз-

ади 1 множина клаав екв1валентних незв1дних зображень у слабмй пологи не мае аксюми виокремлення (То).

Б теорп зображень икшченниви.шрних а.цебр були доведено (10.А. )озд (1979)), що або юнуе алгоритм приведения матриць зображень пису уах нерозкладних зображень з точшетю до екв1валентноста,

0 воин мктять у соб1 онис пари матриць без ствв1дношень. У пер->му випадку задач1 називають ручними 1 описуготь '¡х нерозкладш браження, у другому - задачу опису зображень називають дикою.

Для класифжаци *-алгебр у Л1тератур1 використовують обидва дходи. Тобто *-алгебри типу 1 називають ручними. Для них вив-ють незв1дщ зображення та будують структурну теорпо. Опису та тодам знаходення незв1Дних зображень для *-алгебр типу I при-ячено багато роб!т ( див. напр. б1блюгр. 0.0. Кирилов (1974)). крема роботи кшвськнх математиков. Алгебри не типу / шод1 на-вають 1-дикими (факторно-дикими).

Для визначення аналога дикост! *-алгебр С.А. Кругляк та Ю.С.

шойленко (1980) заиропоновали вважати стандартною дикою *-

дачею, задачу класифжацп з точшетю до уштарно1 екв!валент-

>сх! зображень *-алгебри з двома самоспряженими тв1рннми без

¡вв^ношень: задача уштарно1 класифжацп пао самоспряжених опе-

" . .. ,.наборов

1Т0р]В листать у соб1 задачу ун1тарно] класифжацнбудь-яко] довжи-

I. В дисертацп *-алгебру називають дикою (р-дикою (тобто парно-

1кою)). якщо уштарна класиф1кащя оператор1в зображення *-алгеб-

1 "мктить у собГ уштарну класифжашю пари самоспряжених опе-1ТОр1в.

В1дштимо, що для скшченновюлрних зображень ^-алгебри ф В.В. грпйчук (1984) запропонував алгоритм приведения оператор1в зо->аження (пари самоспряжених матриць без сшввиношень), каношч-ш вигляд для них та його параметризацпо. Але цей алгоритм. ) перше неможливо застос.увати до обмежених оператор1в у нескш-;нновим1рних просторах, а, по друге, складшсть наведенного ним шошчного вигляду також загшдчуе складшсть будовп категорл *-)бражень алгебри *)3.

та р-дикимп м^тоди доведения що алгебра в а-ггоброю не тпгп1 I 5о р-дикою.

Для вивчення несамоспряжених операторт .-\rveson. Н. ВеЬг.ске

(1970-1972). J. Bunce (1973). L. Coburn (1969). II. Gonshor (1956), D. О Donovan (1975). T. Okavasy (1969), C. Persy (19G4), D. Topping (1968), \Y. Wogen (1971), J. Ernest (1976) та in. використовували ме-тоди структурно!' теорп' та Teopii зображень С-алгебр та *-алгебр. Деяю результати теорп зображень С"-алгебр. *-алгебр були засто-coBaiii для вивчення окремих onepaTopis i клаав операторов (див. J. Ernest (1976)).

У роздьш II дмсертацп. зокре.ма за допомогою результате роздшу I. вивчаеться структура клаав несамоспряжепих onepaTopiß. що за-довшьняють деяким полшом1алышм сшввшюшенням. Тут операто-ри розглядаються, як оператори зображень в1дпов!дних *-алгебр.

Мета роботи.

• Вивчити зв'язок ляж *—алгебрами не типу I та р-дикими. Навести приклади *-алгебр не типу I, що не е р-дикими. Розробити методи доведения, що *-алгебра р-дика. Довести р-диысть де-яких *-алгебр.

• Застосувати дану класифшацпо та методи доведения дикост1 до вивчення клас1в. породжених несамоспряжешши onepaTopaiMii. звгязаних 31 cBoiM спряжении полшолпалъними ствводношення-ми. Отримати уштарну класиф1кащю классе несамоспряжених onepaTopiß з квадратичшши сшввщношеннями та конкретного класу з куб!чними сшвв^дношеннями. Вивчити з точки зо ру Teopii зображень в1до1Й класи оператор1в: слабоцентроваш, слабоцентроваш з умового, що вони е операторами частково! 13ометрп. та ix шдкласи.

• Вивчити структуру зображень конкретного класу квадратич-них *-алгебр з трьома самоспряженими тв1ряими. У ручному випадку описати Bei незв1дш зображення, побудувати струк-турну теорию. У шших випадках застосувати розроблеш методи доведения, що *-алгебри е дикими.

Методи досл1джень.В po6oii використовуються меюди Teopii операторш. зокре.ма сиектральна теорема для самосиряжених та нор-малыгах опера lopie. методи leopn ^-алгебр. теорп алгебр фон Нейлона, теорй' зображень зл1ченннх днекретних груп i *-алгебр. В роздал!

икорнстовуються методи reopi'i зображень *-категорш. Для зна-цження зображень у ручному випадку у роздкпах II та III вико-стовуетьсп методика пов'язапа з теоршю зображень +-граф1в та нам1чними системами. Наукова новизна:

• Доведено, що р-диш *—алгебри е алгебрами не типу /. Ооерне-не твердження не Bipne, наводяться контрприклади та достатш умови. щоб *-алгебра не типу / була не р-дпкого. Запропоиоваш методи доведения, що *-алгебра - р-дика. Наведеш приклади р-дикнх алгебр.

• Отримана уштарна класиф^ащя класлв несамоспряжених опе-paTopiß. що зв'язаш 3i евоТм спряженим квадратичними ствв1д-ношеннями. вивчена можливкть уштарно! клаеифжацй' клаав несамоспряжених оператор1в з куб'1чними ствв^дношеннями.

• Доведено, що уштарна класиф1кащя слабоцентрованих опера-xopiß, нав1ть за умови. що вони е операторами частково'1 ¿зоме-трп, MicTiiTb у co6i уштарну класифжацпо пари самоспряжених оператор1в (тобто е р-дикою задачею). Наведено приклади шд-K.iaciß слабоцентрованих оператор!в, яким в1ДПов1лае *-алгебра не типу I. але не р-дика.

• Вивчено структуру зображень класу квадратичних *-алгебр з трьома самоспряженими TBipniiMii .. В ручному випадку описаш Bei незв1дш зображення. побудовано структурну теорлю . За доиомогою метод1в. розроблених у дисертацй' доведено, що iumi f-d-ueopn з цього клас\ б р-дикими.

Практична цшшеть. Одержан! результат« мають георетич-й характер i можуть знайти застосування для подальшого розвит-теорп *-алгебр. та reopi'i зображень *-алгебр. а також до вивчен-уштарно1 класиф^ацп pi3HHX клаав несамоспряжених onepaTopiß. язаних сшввыношс-ннялш ia побудов квантово-мехашчних моде-й на основ! систем ouepaiopie. зв'язаних q-комутацшними сшвыд-шекняии.

АпроПащя роботи. Olhobhi резульгати дисертацй дигюв1да-

о

- на заседаниях семшару з xeopii зображень при кафед алгебри та математичноУ лопки Кшвського ушверсите: (KepiBHiiK проф. Ю.А. Дрозд) (1002 1995)

- на Всеукрашсьюй конференш'] молодих вчсних вуз1в'Укрг (Кшв. 1994)

• на Всеукра'шськш конференцй'лолодих вчеяих (Кшв. 199

- на IV м1жнароднш конференцй i\ieni ак. М. Кравчука (Ки 1995).

- на зааданнях ceMinapy з алгебра1чних проблем функщ нального анал1зу в1ддшу функцюналъного анал1зу 1нст туту математики HAH Украши (кер!вники академж НЛ Украшн Ю.М. Березанський i проф. Ю.С. Самойленк (1992-1995)

Пубткацп. По тем1 дисертаци опублжовано 4 роботи. Робо [2] написана у сшвавторств1 з науковим кер1вником. В дисерта] результати роботи [2] узагальнеш та викладеш детальнше. Робо [1],[3].[4] nanncani автором самостшно.

Список опублжованих poöiT наводиться нижче.

Структура та обсяг роботи. Робота обсягом /Мсторшок ск.т даеться 13 вступу, трьох роздк^в та списку л1тератури. що мкти 84 найменування.

Основний злпст роботи.

У BCTyni обгрунтовуеться актуальшсть i важливкть проблем, i розглядаютъся у дисертацп, наводиться стислий огляд близьких напрямком poöiT. формулгоеться мета дослижень та Тх новизна, е кладаеться зм1ст за роздшами.

Роздкл I присвячений ^-алгебрам, для яких задач1 Teopii зоб{ жень - дню. Наводиться означения алгебр не типу I та р-дик алгебр, приклади таких алгебр та методи доведения, що алгебрг алгеброю не типу I. або р-дикою. Вивча<=ться зв'язок м1ж алгебра не типу I та р-дикими.

^д]-] ~'[ "т<г- njTD *т 2uu " Гj; ^ '-. ■■ " " ~ - ""i; ~; "" '

браження * -категорий та *-сагайдак:в.

В 1.1 розглядаютья *-алгебрк не типу I.

Нехай ^-алгебра 21 задана TBipiuiMii at..........л*. та cttíb-

дношенпямн P¡(ci\.....a,,.u¡.....a^) = 0. j = 1.....т, де Pj(-) не-

«мутатпышй полш^м.

Означения 1.1.1 ^-Алгебра 21 называешься алгеброю не типу 1. :що у Hei' icnye фактор-зоора ження гт не типу I .

В п. 1-3 наводиться методи доведения, що +-алгебра 6 алгеброю ; типу I.

Нехай G з.Л1ченна дискретна трупа не типу I з'трними и i.....»i,

э задов1лытють деякн.ч ствв1дношенням. Нехай р - фактор-зоб-

1ження групп G не типу I. тобто V¡ — p(uj ). = р( и'), j = 1.....I

i-лгебра фон Неймана (í'j.UJ)" - фактор не типу I.

Якщо можливо побудувати зображення тг : тг(a¡-) = = .

та якого: (Лц.,Л*.)" = (Uj.U*)", то *-алгебра 51 - гакож алгебра не ray I.

Даль нехай

® = <&i.....ь,,Ь\.....ЬГ I Qr[bx.....ЪиЬ\.....ьр = о.г = 1.....р)

;яка алгебра не типу 1. Нехай р - фактор-зображення алгебри 25 г типу /. тобто p(bj) — Bj.p(b') = В'. та (Bj.Bj)" фактор не типу

В загально1 теорп алгебр фон Неймана випливае тверджения 1.1.1.

Твердження 1.1.1 Якщо icnye зображення тг *-алгебри 21. для <ого алгебра (Л,. Л~)' iзоморфна алгебрг (Bj.Bj)'. modi *-алгеора 21 г типу I.

Наведемо достатш умови. щоб ^-алгебра 21 була алгеброю не типу

Означения 1.1.2. Гомоморфам О 21 - Ъ Z Мп (fo М„ хмссра атриць po3.\iipHocmi п) будемо називати зображенням алгебри 21 ад алгеброю ÍB.

Теорема 1.1.2.

Нехай icnye зображення о : 21 — *В ;>. Д/,„ алгебри 21 над алгеброю

тобто о(a¡¡) — (де гц. - TBipni алгебри 21. b'¿ G 25). яке

1Дов1льняь' умовам.

i ц-иують г-л-глгнтп л».,, .. ut. а.исбрк 21. для яких латрши .?■:>-

/

бражень д!агоналып, тобто: о(а^) =

\ tie ,

к

(А;; G 'С, / = 1 ,.,.,pj = 1.....р ) та сшльний спек:

o(afc,).....0{акр) простий;

2. .для кожи01 TBipHo'i bk (к = 1.....in) алгебри © ¡снуе елеме!

<1{к алгебри 21 та шдекси r^./j.. таю. що Ь\к'к — З^Ь^. 3£

Зк Ф 0;

3. для зображення 7г = О&р : 21 —> L(H) (де р : 03 — L{H) факто зображення алгебри Ъ не типу I. тг(ak) — )™--i) i V/.j

i.j — 1.....m ¡снують послщовност1 ¡ндекав i = ii.....?'j =

ri.....г, там, що "в'г>к""+1 = anL (alk <E а1к ф 0) або

О

тод1 алгебра 21 не типу I.

В п. 3 розглядаеться хлас ^-алгебр

53 = {а.а*. и. и" | a = a*, ии" = и" и = I, аи = иР(а))

(де Р(-) - полшом). наводяться улови на динам1чну систему А Р(А), щоб *-алгебра £) була алгеброю не типу I.

Наведет конкретш приклади *-алгебр , для яких за допомогс цих метод1в доводиться, шо вони е алгебрами не типу I.

В 1.2 розглядаються зображення *-сагайдаюв. Вводиться озн чення *-сагайдак!в не типу I.

Нехай ( Г, R) шволютивний сагайдак з самосопряженими точка: Г ia множению cxpLioK R М1ж деякими точками, що зодовольняю' деяким сшввиношеннями . Нехай тг(-) - зображення *-сагайдака. д. якого точкам А Е Г в1ДПов1дак>ть пльбертов1 простори Яд, стрклк; (Afc.Aj), (Aj, Afc) - оператори Xki : Н\3 — НКк i X'kj : Нхк НХу

Означения 1.2.1. Будемо назиЬати *-сагайдак (Г. R) не типу якщо у нього гс.нуе зображення, для якого И"*-алгебра onepamopi6 Н — >тгН\.. лороджена бпма onmovvoevmnvaMu Ри > nnennmor ми РИ XiciPH%k ■ А'^-Рн^ . e фактор не munu I. Доводиться теорема:

Теорема 1.2.1. *-сагайдак (Т. Я) без г.тбЫднишсиь не типу

АКЩи din JlicillUlllb 00(111 HUL III ynHU£ II iULiUt/llUilhlO.

9 6

1) СЮ a = a',b=b-

х

V v /ч;

\ х = х'

В 1.3 даеться означения р-дикост1 *-категорпт Для нього ппо-цяться поняття : зображення *-категорп J? над *-категор1его £. ка-reropi'i часток, мажорування одшею категор1ек> mmol.

Означения 1.3.1. Зображенням *-категорИ' Я над катсгор>ею С будемо називати iнволютивний функтор о : Л — Л/(£) (М{£) категория матрицъ над категор/ею £).

Позначимо: <£[5-1] KaTeropiro часток категорй (Г по множиш 5: i's ■ Í — €[5-1] - каношчннй функтор (див. II. Габр1ель . М. Шсман 1971)).

Нехай 3) - ка.тегор1я сепарабелышх пльбертових npocTopiß. fj) - категор1я зображень Я в Sj. Об'екти категорй iH(Ä. fi) шволютивш ^унктори Ф : Я — S). морф1зми - природт перетворення функтор1в.

Нехай р - зображення категорй' Яз в S). S С Д/о7-(Я?). тод1 по р однозначно будуетъся функтор р : Яг^-1] — таким, що р —

Якщо о ■ ,f?i — Л/(Яо[5'-1]). зображення категорй Я| над год1 р 2-Ф - зображення категорй Я\ в i}.

Нехай F : р — р\ морф1зм функтор1в в £>) i о(а) = (ai.....а„),

о G ОЬ(Я\). а,- G ОЬ(Яг). тод1 .матриц!

р(щ) р(п2)

F (и) =

Pl(br

F(a

О

ГС „ . \

О

F(o„

У

^изначають чорф1змк ф\нктор1в Ф : р 2 о — р\ 2 с в категорй'

НО?!. Я).

П^^чцсцуцст Т О i, о Й. г. „ w ,,,r< ,'m-ii, . г. „ ,*-г V> и"

\-(1те?ор)Ю (Я-, V tJo) чкщо irnije inñpn чтения гпще?орИ' нод

Karintopifb) такс, що бидповгдн'аппь Ф : р — р 2 о. F — F

'р : Я2 — id. I : р — pi) бизш1ча<г строгий та побиий функтор з категорй :п(к?.л) п катсгор/ю .л).

Означення 1.3.3. КатегорЫ к называешься р-дикою якщо ка-тегор1я Я мажоруе категорт ф (дс ф категория з одним самоспряла ним оо'ектом та парою сам^спрмланих морфим!в о¿з стбвгдно-тень).

Поииятя р-дикост1 звужуеться 1 переноситься на випадок *-алгеб; Для цього вводяться поняття категорп 9г(21) зображепь алгебри 2 (об'екти яко']' е зображення *-алгебри 21. морф1зми - сштаюч! опе-раторн): алгебри часток, та мажорування алгебри алгеброю 21

(2(1 >- а2).

Щ поняття в дисертацн найчастше використовують у випадк\ *-алгебр (частинний випадок *-категорш).

Дал1 розглядаються деяи методи доведения, що *-алгебра 21 (. р-дикою.

Для доведения р-дикост1 *-алгебри будуеться зображення о ал гебри 21 над будь якою р-дикою алгеброю для якого 21 >- 03.

Теорема 1.3.1. Нехай 23 - р-дика алгебра та ¡снуе зображенн; Ф : 21 —»5В ® Мт алгебри 21 над алгеброю <В. тобто о(а^) — =

(де а к — тв{рт алгебри 21. Ь'^ £ яке задобиьняе умобам:

( ^ \

гснують елеменгпи сц-,,. . .. а к алгебри 21. для яких матрицг зо

бражень Ыагопальт. тобто: с(а^ ) =

\ Ат е )

(Х^ 6 С. / = 1 .....р.] = 1.....р ) та спгльний спект,

о{акг).....<?(акг) простий:

для кожной т61рно1 Ьк (к = I.....т) алгебри 2з инуе елеменн

а

I*

алгебри 21 та шдекси Гк.1к- такг, що ЬГгк'к — ЗкЬ^. Зк € -

Зк 1 0;

3. V/. : г, J = 1, ■. . ■ т ¡снують посгдовносгп1 Ыдексгб г = г\.....;'(

J, Г;..... Г; таю. що Ь'г^к+1 =а1к1. (ап. е 2.а,к ф 0)

ид: 'ки'сора ¿1 р-Оика. '•загачьнення цього метода по.ио <*н ь химу. щг>Г. \гпнлл I и * те бру. як категор'Ю з одим об'^ктом 1 будувзти зображення <~> категор] 21 над в!домою р-дикою категорию Л .

Наведеш конкретш приклади *-алгебр, для яких за допо.моюю дпх методов доводиться, шо воин е алгебрами не типу I.

В 1.1 зпвчаегьоя зв'нзок шж алгебрами не типу I га р-дикими.

Теорема 1.4.1. Якщо *-алебра 21 р-дика. то бона е алгеброю не типу I.

Але icnyiOTb *-алгсбри не типу I. яы не <? р-дикими.

Твердження 1.4.1. Нехай алгебра 21 не типу I. Якщо будъ-яке рактор-зображепня типу II алгебри 21 е г1перфиатний фактор аоо алгебра не мае фактор-зображень типу II. modi алгебра 21 не р-дика,

Дал1 в дисертацп наведеш приклади алгебр, ям е алгебрами не типу /, але не е р-дикими:

1. афшш алгебри не типу Т. для яких обгортую'п С* алгебри гдерш :

а) алгебри Купца On(ri > 2). Оп = {si.....s„, sj...... s* | =

Г. yy?=1s's,=e).:

б) rpvnoBi алгебри аменабельних зл1ченних груп не типу I. (на-приклад. групова алгебра групп Gi з твфними а.Ь. с та с.швиношен-иями [а. 6] = aba~lb~1 = с ,[6. с] = е. [а. с] = е ;

в) алгебра Hi з уштарними твдрнпми и, с i сшвв1дшенням uv — де о в [0,2л-) о £ IP: \ О1:

'2. *-алгебри £> (а.и, и' | а — а*,гш* — и" и = е.аи = иР(а)}, Di = (а,-, и. и" | [а,-, а,] = 0 ,а, = а". и и* — и* и = е. А= {а, , а, и = uPi(A)i,j Gil) , пов'язаш з дияалпчшши системами (терема 1.4.2.).

Темою роздшу II е застосування метод1в Teopii зображень, зо-крема результатов роздьчу I. до вивчення з точшстю до уштарно! 5КБ)валентост1 структури клаов несамоспряжених оператор1в. що задовктьняють полшолиальним сшвв1дношенням Pj(XX*) = 0,j = i.....I.

Оператори розглядаються як оператори зображень *-алгебри 21 = (jr. х" | Pj(x. х") = 0. j = 1.....гп).

Для р1зних класлв onepaTopiB (тобто в1дпов«них *-алгебр)

1. вивчаеться. чи й даний клас onepaTopiB. що задовгльняе сшв-виношення:«. класом типу I або не типу I:

2 Я К Щи ь. iac чипу I. TO vipiiAidlit.- оши CJX Нс.чЫЛШХ пПсрсПирш ( незвиних "адпражень *-a'ireGpn 21)'

и

3. якщо клас не типу I. то вивчаетьея питания, чи с- вщпов^дна йому *-алгебра р-дикою. чи ш?

У встуш до частини II даеться стислий огляд клаав оператор1в. для яких щ питания вивчалися рашше. та результати дослыжень безпосередно зв'язаних з результатами , що викладеш в даюй дис-ертаци.

В 11.1 вивчаетьея клас несамоспряжених оператор1в. що задо-вольняют квадратичному сшввиношенню Р2(А'. Л"*) = 0. для яко-го Ръ(Х,Х") = Рт(Х. X*), Невиродженими афшними перетворення-ми ствв1дношення зводиться до одного з 19 каношчних вигляд1в та 4-х серш. Доведено, що сгнвв1дношення 0 = 0 та (А' + Л'ж)2 = I

- дикь Ствв1дношення [А',Л"Ж] — I та [Л'. Л'"] = (А' + X")2 + I

- не маютъ зображень обмеженними операторами. 1нип стввшно-шення типу 1, для цих сшвв1дношень. за допомогою результате В.Л.Островсысого. Ю.С. Самойленко (1988), описан! незв1дн! зобра-ження (теорема II. 1.1.)

В II.2 для класу несамоспряжених операторов, що задовольняють куб1чному сшввиношенню, за допомогою результат!в Багро О.В.(199 сформудъовано критерш р-днкост1 епшвиношення в залежност1 В1Д коефшент1В (теорема 11.2.1. ).

В II.3 розглядаеться можливкть уштарно1 клаенфжацп слабоцентрованих оператор1в, oгIepaтopiв частково1 1зометрн та слабо-центрованих. як1 е операторами частково1 ¡зометрн. То бто вивчаетьея задача про можливкть уштарно!' класифжацп зображень *-алгебр: 21 = {х.х* \ [лг*. г*я] = 0): £ = (2.2* | (г*-)2 = г*г.);

Доводиться теореми-

Теореми II.4.1-11.4.3. *-алгебри 21,£. СВ. р-дик1. Такожвивчаються тдкласи слабоцентрованих оператор]в. У кла! слабоцентрованих оператор1в розглядаються шдкласи. уштарна кла! сифжащя яких не е р-дикою задачею, тобто в^дповина до цього тд-класу *-алгебра не р-дика, але або не типу I або ручна. Оператори зображення *-алгебрп

т» _/,...*! ,.».. _ рс

I — .с | ^ ^ — ± \ л. ^,

(де Е.1 Э А — Р(А) Е ■ нолшом) <? слабоцснтрованимн. В залеж-НСК.Т) ыд фу нкш*1 г(-) *-ал» ебра або ру чнч. або не ни» I.

грджения II.4.1. *-ал?ебра S ■ не р-дика. [i розглядаеться тдклас слабоцентровани.х onepaTopie - цен-i операторп. тчбхо о«сраторп А", для яких послиовшсть Л'*)". XX'. А"'А". (А'*)лА'-. . .. в послиовшсть взаемокомуту-самоспряжених оператор1в. Класу центровашгх onepaTopiß дае *-алгебра

(х. х* = [j:'(r*y.(x'yx].} = 0)

грдження II.4.2. *-алгеора- Qi? не типу I. але не р-дика. дкт III присвячешш вивченю структури зображень класу ква-:них *- алгебр з трьома самосопряженный тв^ршшн а = о", с — с* .

I.1 наведен! приклади pi3iinx ¿-алгебр з трьома самоспряже-BipnnMii з р1зною ыльистю сшвв1дношень.

[ *-алгебр. з одним ствв1дношенням наведен1 приклади ал.) ям не мають зображень обмеженими операторами: 2) руч-р-диких: 4) яш е алгебрами не типу 1. але не р-дикими. [ *-алгебр з двома сшввиношеннями наведено.приклади : 1) мають зображень або мають лише нульове зображення; 2) и що в залежност1 ви параметру або ручна. або не типу I. але 1ка: 3) р- дико!' алгебри. а саме алгебри .Ii su(2) без одного ношения.

■ найткав!1Ш приклади виникають при вивчен1 *-алгебр з трьо-осиряженими тв1рними та трьома квадратичшши сшввино-ш. Iii класи виникли як деформацн трившпрних д1йсннх ал-[.

II.2 - III. 1 вквчаеться клас *-алгебр. яш с- деформацию ко-вно! алгебри та алгебри Гейзенберга. а саме алгебри. що <ен! самоспряженими TßipmiMH a.b. с та сшв81ДНошеннямн:

-_>(«. Ь. с) = а а' -f ЗЬ'1 -4- -;сг + 6/i[a. Ь] + *{и.Ь} +

4-С/На. с] -t- t]{a с} + в/1[Ь с] -+- к{1> с} = 0

<■.<;. ц. 0. к £ j-,. \ р | = | q |= 1)

Зображення тг алгебри з стввтлношеннями (III.1.1) однозначно визначаеться операторами тг(а) = .4, -(b) = В, ~(с) = С .4. В, С € L(H), що задовкльняють сшвв1дношенню

{Р2(А,В,С) = Q А2 + ßB2 + ;С2 + 6/i[A,B] + i{A,B}+

+С/«И, С] + л{Л, С} 4- в/¡[В. С] 4- к{В, С} = О

[А. С], = AC-pCA = Q [B,C}i =' BC-qCB = О

В III.2 розглядаються найбкчьш npocii випадки таких сшвв1дно-шень; А саме випадок коли р = q = 1. та р ф ±1, q ф ±1.

Якщо p=q=l, го проблема класифтацп та знахождення незв!д-них зображень сшввщношень (III. 1.2) зводиться до проблеми кла сифшацп та опису незвщних зображень пари операторов А,В, що за довильняють квадратичним ствв1дношенням (див. В.Л.Островськш та Ю.С.Самойленко(1988)).

Якщо р ф ±1, q ф ±1. тод1 мае М1сце твердження III.2.1.

Твердження III.2.1. Яехай р ф ±1, q ф ±1, modi для one pamopiß А, В, С. що задобиьняють сп1661дношенням (III.1.2) ад. А = В - 0 або С - 0.

В III.3 вмвчаеться випадок коли р = q = —1. Для цього клас; алгебр наведена лшшна класифжашя ( лема III.3.1. теорема III.3.1) На основ! метод1в, розроблених в частит I доведена р-димсть * алгебр:

2li = (a.b.с | {а. с} = 0. {6, с) = 0): %2 = (а-Ь,с | с2 = 0. {а. с) = 0. {6: с} = 0}: 2(з = (а, Ь, с j er = с~, {и, с} = 0. {6, с) -- 0)

(теорема III.3.2).

У ручному випадку описан! незв!дш зображення. Показано, щ незв!дн1 зображення одновюпрш. двовим1рш, нескшченновимфщ (ti ореми II1.3.3-III.3.5.) або icHye лише нульове зображення (тверджеь ня III.3.1.)

В 111.4 ьивчавться випадок коли р — -i.q = i. „тля цього клас алгебр наведена лшшна класифжацш (лема Iii.4.1 теорема Iii 1.2 Доведено, що *- алгебри

03, = {a.b. с ' \о.с} - 0.!Ь. с] - U)

•В., = (a.b.c | с3 = 0. {я. с) = 0. [6.f] = 0) »з = {а. Ь. с | а2 - Г = 0. {а. г} = 0. [6. с] = 0) <ВЦ = (а. Ь. с | 1г - с2 ~ 0. {л. с} = 0. [Ь. г] = 0) <В5 = (а. Ь. с | {Ь. с} = 0. {а. с} = 0. [6. с] = 0)

теорема III.4.3.).

,'чному випадку описаш незвиш зображення. Показано, що i зображення одновтйрш. двовтпрш, чотирьохвтнрт (тео-.4.1. III.4.3-111.4.5), або ¡снуе лише нульове зображення (твер-III.4.1) .

эр висловлюе глибоку подяку пауковому кер^внику lOpiio Слечу Самойленко за допомогу та постшну увагу до робота, эвш результат« дисертацп опублковаш у наступних роботах:

ryalinskaya A.Yu. Representation of quadratic ^-algebras with ree self-adjoint generators// 36ipmiK нраць студенпв та acni-ihtib Кшвського Ушверситету. - К.: 1994 - С.45-53.

ирятинская Л.Ю. Дикие задачи теории представлений *-алгебр динамические системы//Труды Всеукраинской конференции >лодых ученных (математика). - К.: 1994 - ч.1 - С. 17-21.

ирятинская .4.Ю.. Самойленко Ю. С. Дикие задачи теории лред-авлений *-алгебр, порожденных образующими и соотношенн-т// Укр. мат. журнал. 1995 -N 1- С.70-78

'.ratmskaya A.Yu. On class of binormal operators // Тези IV жнародно! конференцп iji. академ1ка М.Кравчука. - К.: 1995 -.196.

ятинская Л 10. "Ручные и дикие задачи теории прсдставле-лгебр".

ссртациАнэ сеишнц€щенокгтецвнч

iecv«>: яч\т п'> ''п^пиа':}.-яог'ТИ 01 01 06 - ¿J/T6PP3LrT wff« чи-евский университет п.м. Тараса Шевченко. Киев.1995. ссртация я освящена изучению вопросов, связанных с пред-шями *-алгебр Рассматриваются ря'-тчны*» 'Определения

дикости *-алгебр и связь между ними. Методы и результаты теории представлений *-алгебр применяются к изучению структуры классов несамосопряженных операторов, выделенных полиномиальными соотношениями. Изучается класс квадратичных *-алгебр с тремя самосопряженными образующими. Для ручных *-алгебр описываются все представления ограниченными операторами, в противном случае доказывается дикость *-алгебры.

Pirytinskaya A.Yu. "Tame and wild problems of representation theory of the *-algebras".

A Doctor of Philosophy thesis, subject 01.01.06 - algebra and theory of numbers. Kiev Taras Shevchenko University. Kiev, 1995.

The thesis is divoted to a study of questions of the representation theory. Different definitions for *-algebras to be wild are considered. Relations between these definition are also cosidered. The results and methods of representation theory are use to the study of structure of class of the operators, which are not self-adjoint and satisfying polinomial relations. The class of ^-algebras with three self-adjoint generators is studied . For tame *-algebras, all irreducible representation are described. Other *-algebras are proved to be wild .

Ключей слова: *-алгебра. *-категор1я, *-сагайдак, квадратична *-алгебра, TBipHi i генератори. зображення. незв1дш та фактор-зображення, *-алгебри (*-категорп', *-сагайдаки) типу I (ручш) та не типу I, р-дии *-алгебри. самоспряжет оператори, нормально центрован!, слабоцентроваш оператори, оператори частково'1 гзометри, операторш сшввиношення.