Счетные прямые пределы не локально компактных абсолютных экстензоров и сильная универсальность тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РТо Ой

2*7 і/гДи 'ЯЗ? ■

Міністерство освіти України Львівський державний університет імені Івана Франка

На травах рукопису

Пеіщак Євген Ярославович

Зліченні прямі границі не локально компактних абсолютних екстензорів . та сильна універсальність

01.dl.01. - математичний аналіз

Автореферат на здобуття наукового ступеня • кандидата фізико-математичних наук

Лььіп - 1097

Роботу виконано на кафедрі алгебри і топології Львівського державного університету імені Івана Франка.

Науковий керівник - доктор фізико-матрмагичних наук, професор Зарічний М.М.

Офіційні опоненти: - доктор фізико-математичних наук, професор Протасов І.В.,

- кандидат фізико-математичних наук, доцент Микитюк І.В.

Провідна установа - Інститут математики НАН України, ьу Київ.

Захист дисертації відбудеться "2-2- " ^997 р

о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 04.04.01 при Львівському державному університеті імені Івана Франка за адресою:

290001. м. Львів, вул. Університетська 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського державного університету імені Івана Франка (вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розіслано ” 'і** 1997 р.

Вчений1 сгкретар

спеціалізованої ради

Я.В.Микитюк

Загальна характеристика роботи.

Актуальність теми. Одним з основних об’єктів дослідження в глобальному аналізі та нескінченновимірній топології в нескінченно-вимірні многовиди, Кіодельовнні на нескінченновимірних просторах. В ролі останніх виступають, як правило, лінійні топологічні (зокрема, нормовані) простори. Добре дослідженою в топологія гільбер-тових многовидів ( Тогигісгук Н. Concerning locally homotopy negligible sets and characterization of ^-manifolds // Fund. Math., 1978, Vol.101, P.93-110.), а також многовидів, модельованих ”a передгільберговнх просторах фінітних послідовностей

а = і* г= {(.r,)J2j Є І21 лише скінченне ЧИСЛО Хі відмінне від нуля },

та лінійній ополонці еліптичного гільбертового куба

■ s = {(j-.)S, є('>/)*<«}

' ' '=1 ■

( Bestvina М., Mogilski J. Characterizing.certain incomplete infinite-dimensional absolute retracts //Michigan Math. J., 1980, Vol.33, P.291-313.).

У багатьох випадках ііоряд з метричною топологією на модельних просторах доводиться розглядати і сильнішу топологію, породжену операцією взяття індуктивної (прпмої) границі послідовностей просторів. Прикладами можуть служити модельні простори

( через Q позначається гільбертів куб ), перший з яких б перетопо-логізацією простору гт =■■ І2, а другий - просторів Е та І2 (при цьому гомеиморфний просторові Iі в рбмежено-слабкій топології, що широко застосовується в теорії операторів ).

Теорія R00- і (5<5°-многовидів досліджувалася в працях Р. Гейзі, Г. Торуньчикя, К. Сакаї, В.Т. Ліма, Т.О. Ванпха, М:М. Зарічного. Для таких многовидів доведено теореми про відкрите і замкнене вкладення, прокласИфікацію з точністю до гомотопійного типу, ха-рактерпзаційну теорему ( Sakai К. On R^'-muulfolds alid Q°°-maulfolds // Topol. Appl., 1984, Vol.18, P.G9-79.), параметричну Bepcijo характе-ризяційної теореми ( Ванах Т.О. Параметрические результаты для некоторых классов бесконечномерных многообразий //' Укр. Мат. журн., 199J. Т.47, NC, С.853-859. ), побудовано і охарактеризовано універсальне відображення з ]R°° на Q00 ( Zarichtiyi М.M. Universal шар of а onto S and absorbing sets for finite-dimensional absolute Borelian and projective classes // Tbpol. Appl., 1995, Vol.07, N3, P.221-230.).

Hi результати знайшли широке застосування до різних областей аналізу і топології : теорії ліпшиЦепих функцій, теорії ймовірносних мір, теорії топологічних груп та топологічних лінійних просторів.

У борелівській класифікації простір І2 ( відповідно, або Е ) належить до першого .лультиплікативяого (відповідно, адитивного ) класу. Виникає актуальна задача поширення одержаних результатів на ПеретопологізоВаНІ модельні простори вищих борелівських

класів. В роботі це здійснено в рамках загального підходу, основаного на понятті сильної С-універсальності.

■ Метою дисертаційної роботи є дослідження многовидів, модельованих на ін’бктивних границях абсолютних екстензорів, а також вивчення деяких тополого-алгебраїчних структур на таких много-видах.

Методика досліджень. У дисертаційній роботі застосовується техніка сильної універсальності, започаткована М. Вествіною та Є. Могільським, методи топології нескінченновимірних многовидів та топологічно» алгебри.

Наукова новизна роботи полягав п :

• доведенні характеризаційної трореми для сильно СС-універсаль-них просторів, що в прямими границями просторів з класу С, для ' ряду класів С метричних нроЬторів;

доведенні характеризаційної теореми для розшарувань Лг(С)-мно-говидів;

- побудові поглинаючих просторів, що в аналогами в категорії просторів просторів Добровольського та Могільського для класу компактів обмеженого індуктивного виміру та допускають структуру вільного лінійного топологічного простору.

Наукова і прцкти .на цінність роботи. Робота мав теоретичний

характер, її результати, що сформульовані у вигляді теорем, можуть бути використані До дослідження об’єктів функціонального аналізу та топологічної алгебри, наділених структурою Ін’єктивної границі; до топології нескінченновимірних многовидів і розшарувань; до теорії вимірності. .

Апробація роботи. Результати роботи доповідались на таких конференціях і семінарах ; Міжнародна математична конференція нам’яті Г.Гана ( м. Чернівці, 1904 р.); Чеі перта Міжнародна наукова конференція ім. академіка Кравчука. Г Ї ТГ. ( м. Київ, 1995 !>.); П’ята Міжнародна наукова конференція їм. академіка Кравчука М.ГІ.

( м. Київ, 1090 р.); семінар кафедри алгебри і топології Львівського державного університету ім. Івана Франка (керівник: М.М. Зарічний, 1905,1996 р. ); семінар кафедри математичного та функціонального аналізу Львівського державного університету ім. Івана Франка (керівник: В.Е. ЛлИце, 1997 р.)

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в статтях [1-3], а також Працях [4-Ь], список яких подано в кінці автореферату. Зі спільних з М.М.Зарічним праць [2,0] в дисертацію ввійшли лише результати, які НалеЖат^. автору.

ОсобиїтіЙ внесок дисертанта. Всі наведені В дисер «іції основні результати отримані пйтором самостійно.

Оснопні положення, що виносяться па захисті

1. Дано хнрактернзпцік» сильно СС-універсальних просторів, що є прямими границями просторів з класу С. для ряду класів С метричних просторів.

2. Доведено теореми про відкрито і знмкнене вкладення, класифікаційні. тріангуляційні теореми та теореми стабільності для Л‘(£)-много-пидіп, де Х(С) - сильна С(С)-універсальний простір, що в прямою границею поглідооності метричних просторів.

3. Одержано топологічну харнктеризацію розшарувань А'(С)-много-пидів.

4. Аналоги п категорії А^-просторів для поглинаючих просторів До-6pimo.Tbvi.Koro і Могільського для'класу компактів обмеженого трансфінітного виміру реалізовані як вільні топологічні лінійні простори.

5. Описано топологію модифікованої конструкції Гартмана - Мнцє-льського сильно'зліченновимірннх метризппних компактів в категорії /.'^-просторів.

Структура і об’єм роботи. Дисертація складається зі пступу, 9 параграфів, об’єднаних у три розділи, та списку цитованої літератури, що нараховує Ор найменувань. Загальний обсяг роботи - 89 сторінок.

Зміст роботи.

У пстуні обгрунтовується актуальність теми, зроблено короткий огляд результатів по темі дисертації, сформульовані основні результати роботи, а також введено термінологію та Позначення,- що надалі використовуються ■ роботі.

У першому розділі розглядаються простори, що є прямими границями сильно СС-універсальних метричних просторів, а також мно-говиди модельовані на них.

При цьому простір X називається СС-універсальнпм для заданого класу С метричних просторів, якщо кожне відображення в X простору С Є С апроксимується замкненими вкладеннями. Відносна версія цієї Ьластивості називається сильною СС-універсальністю.

У ijl доведено деякі елементарні властивості сильно СС-універсальних. просторів, а основним результатом §2 б така характери-заційна теорема :

ТЕОРЕМА 1.2.3. Якщо X = limA'„,F = 1іт1'„, Л'„,УП Є С для всіх п Є N і X,Y Є АЕ(С) є сильно СС-універсальними просторами, то X = Y. '

Наслідком цієї теореми є, зокрема, характеризація простору я°°. Простір в (псевдовнутрішність гільбертового куба) гомеоморфний сепарабельному, гільбертовому простору /2; відомо,' що s є сильно універсальним для класу ,Мі*повних сепарабельних метричних просторів (див. Bcssaga С., Pelczynski A. Selected topics in infinite-

dimensional topology. Warszawa: PVVN, 1975.).

Простір X — ІіщА",і, де A'i С Л'* С ... - послідовність повних ce-тірабельних метричних просторів, гомеоморфпиіі я°°, якщо t тільки якщо X є сильно ^\Л\С-універсальний.

Якщо для класу С існує сильно (?С-універсальний простір АГ(С), то пін топологічно єдиний. У §3 розглядаються А'(С)-многовиди, тобто гауедорфові простори, для яких існує зліченне покриття множинами гомеоморфними Х(С). Розглядаються функціональні простори С(М,Х(С)), де М - Лг(С)-многстид з топологією, породженою перед-б аз о ю

{д Є С(М,Х(С)) : відображення д є W-близькс до / },

де U - відкрите покриття простору Л/, а / Є С(М,Х(С)).

Доведено, що кожне відображення / : Д/ —* Х{С) апроксимується замкненими вкладеннями (теорема 1.З.З.). Крім того, для Х(С)- мно-гопидів доведено теорему про відкрите вкладення (теорема 1.3.5.). Відзначимо, що для таких многовидів мають місце характернааційня (теорема 1.3.9.), класифікаційна (теорема 1.3.10.) та тріангуляційна (теорема 1.3.12.) теореми.

Зауважимо, що взагалі кажучи, Х(С) х Х(С) 3= A'(C) ( наприклад, я’0 х s00 % a°°, оскільки й°° є прямою границею своїх замкнених під-просторів, на відміну від s'™ х я* ). Це не дає змоги формулювати для А"(С)-многопидів теорему стабільності у традиційному сенсі. Нехай -Y(C) = liiii Xj, де Хі Є С і А',- -» АГ,-+1 - ^-вкладення для кожного

і Є N. Псреюпологізу.вмо добуток А'(С) х А" ({.’), прийнявшії

{Х(С) х Лг(£?), г) = ШпЛ'і х А',. ;

Теорема про відкрите вкладення дає змогу перетопологізувати таким способом також і кожен простір вигляду М х А'(С), де М -Л'(С’)-м(юГовид, а також сформулювати 1 довести теорему стабільності: .

Теорема 1.3.13. Кожен Х(С)-многоаид є Х(£)-стабмьнн,м.

У другому розділі розглядаються пошарові аспекти теорії Ііе-скінченж>пимірних многовйдів, модельованих на сильно СС-універ-сальних просторах Х(С) та розв’язується задача характоризації модельних універсальних відображень. Відображення /: X —* В ми називатимемо сильно (^-універсальним для заданого класу С метричних просторів, якщо для довільного замкненого нідпростору А простору С, що належить до класу С*. довільного Z-вклaдoння к : А —* X та .відображення д : С —» В такого, що / о к = д|.-4, існує таке Z-вкладення к : С —* А', що / о к = д. А відображення р^ : А —* В та р3 : С —* О називатимемо гомеоморфними, якщо' існують такі гомеоморфізми к : А —* С та д : В —> О, для якіїх р2 ° А = У°Рі-

У §1 доведено деякі допоміжні леми, що дозволяють нам локально пошарово продовжувати відображення з деяким контролем. У §2 встановлено сильну С-уиіверсал£ність відображення проектування рі {) : (В х Х(С),г) —> В, Де на В хХ(С) взято топологію г, породжену

прямою границею Цш(Л х А',), а також наведено характери:тдію відображення проектування:

ТКОРКИА 2.2.5. Нехай У — Нші'і, де 1'{ Є С в 2-множиною а Г для всіх і Є Ті, р : V —» Л'((?) - сильно С-універсальне відображення. Тоді 1> = ргі : У х А'(С) —> І”.

У р застосовано результати \\2 до адитивних та мультипліка-тионИх борелівських класів С Є [.\іа<АаіМі}, де 2 < а < та, відповідно, просторів Щ»ГС, ШиЛЦ Та я°°, а також охарактеризовано сильно А\)-.універсальне відображення Ф = Іпио, :

о-00 —> Е00', де відображення Ф-, е аналогами сильно С^4г(я.г;.»І.), ^4, )-універсального відображення ф : а —* Е, побудованого М.М. Зарічним. Тут через А\ (відповідно А\(в.с.гі.)) позначають клас сигма-компактних (відповідно сильно зліченііопммірних сигма-ромпактних) просторів.

У третьому розділі досліджується можливість введення деяких топилого-алгебраїчних структур на сильно СС-уНІЬерсальлих просторах.

У §1 побудовано сильно І1(а)-унівррсальний простір /„, де Сіп) клас метризонних компактів, в яких мала Індуктивна трансфінітна вимірність не перевищує^* ( п - деякий граничніїіі зліченний ординал ) ( теорема 3.1.3.) та доведено, що Простір /„ допускав струк-тгру вільного лінійного топологічного простору ( теоргма 1.3.7.) і володіє багатьма типовими для для нескіимегінооцмірних модельних

'просторів властивостями. .

ТЕОРЕМА 3.1.4. Простір Y Є ^(а)0^ гомеоморфний Іа тоді і лише тоді, коли V - сильно С(а)-упіеерсильннц.

Т еорема 3.1.5. Простори Іа х Іа та Іа гомеоморфпі.

Через Е(Х) позначимо вільний топологічний лінійний простір над X (див., нанр., Cauty R. Un espace metrique lineaire qui n’est pas un retracte absolu // Fund. Math., Vol.46, N1, P.Bo-09.).

ТЕОРЕМА 3.1.7. Простори E(Ia) та Ja - аомеомирфні.

Теорема 3.1.4. дає змогу розвинути теорію /0-мнрговидт. Далі в 1(1 доводяться теореми про відкрите (теорема 3.1.12.) та замкнене вкладення для /„ многовидів (теорема 3.1.14.), проводиться класифікація з допомогою тонкої гомотопійної еквівалентності (теореми ■ 3.1.15. - 3.1.18.)

У Q2 розглядається модифікована конструкція Гартмана - Мицель-ського ( Hartman S., Mycifclski J. On the embedding of topological groups into connected topological groups // Collo'q.b Math., 1958, Vol.5, РЛС6-109.) X) для А’и-простору X. Зокрема, доведено, що простір

ЯЛ/0С,(І„) є гомеоморфний Іа (теорема 3.2.4.).

У !ІЗ доведено, що ни просторах вигляду (в00)", де 1 < » < ^ц, це можна ввести структури шіпіЬгрупи зі скороченням, узгодженою з їх топологією. , ■

Виснопки.

У роботі з допомогою техніки сильної універсальності доведено хяра.ктеризнційні теореми для сильно СС-універсальних просторі? що є прямими границами послідовностей просторій з класу С, для ряду класів С метричних просторів, іі також для многовидіп, модельованих на них; розв'язано задачу топологічної харпктеризації розшарувань А'(С)-многовидіа, на такі многовиди узагальнено багато результатів теорії Кж- та'С^'50-. МНоговидів.

Результати дисертації можуть бути застосовними до вивчення деяких об'єктів функціонального аналізу, топологічної алгебри та теорії вимірності. Розвинену в дисертації техніку дослідження СИЛЬНА СС-уніворсальних просторів можна застосувати до побудови нових універсальних об'єктів в категорії А'^-просторів.

Основні результати роботи опубліковані в роботах ї

1. Pi’iitsak Е. Mahifolds modeled 011 direct limits of C-unlversal ANR's// Математичні студії, 199G, Вип.5, С.107-110.

2. PentsakE.. Znrichnyi M. Oil strongly universal A^-spnces related to tnmsfinite. inductive and coltomological dimension // Methods Ftmc. Anal. Top., 1990. Vbl.3.

3. Пенцак Є.Я. Конструкція Гартмана - Мицєльського в категорії А-^-просторів // Вісн. Львів, ун-ту. Сер. мех.-мат., 1997, Вип. 47, С.84-80.

4. ГІенцак Є.Я. Про пошарову сильну С-ушвереальність відображень просторів, гомеоморфних деяким ін’ектнвиим границям // Львів, держ. унів., 1095, Деп. в ДНТБ України, X 1В62, 17 ст.

5. Пенцпк Є.Я. Про пошарову сильну СС-універсальність АГ(С)-мно-говидіп // Тези доп’. Четвертої Міжнародної конф. ім. академіка Кравчука М.П., Київ, 1995, C.1D0.

6. Pentsak Е., Zaiichnyi ЛІ. On sonjn model крпсг.ч for infinite-dimensional manifolds // Тези доп. П’ятої Міжнародної конф. їм. академіка

. Кравчука М.П., Київ, 1990, C.32G.

7. Peiitsnk Е. Manifolds modeled on direct limits of <£?-unlversal ANR’s// Тези доп. Міжнародна матем. конф. пам’яті Г.Глна. Чернівці, 1994. С.118.

8. ГІснцак €.Л. Стабільність многовидів, модельованих на деяких зліченних прямих границях абсолютних екстензорів // Алгебра

і топологія: Тематичний збірник наукових праць. - Л.: ІСЛО, 1930,0.110-111.

Автор висловлює щиру вдячність науковому керівнику професору М.М. Зарічному за’керівництво та постійну увагу до роботи, а

гакож Т.О. БаНаху за Корисні консультації. .

Пенцак Е.Я. Счётные прямые пределы не локально компактных абсолютных экстензоров и сильная универсальность: Лис. ... канд. фнз.-мат. наун: 01.01.01. Львов, 1907.-69 с.- Библиогр.: с. 83-89.

Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01. -\ттемати-Ч('ский анализ. Львовский государственный университет им. 'Ивана Франко. Львов, 1997. ~

Защищается 8 научных работ, которые содержат исследования по теории бесконечномерных многообразий и расслоений, моделированных на прямых пределах не локально компактных абсолютных экстензоров. Построены сильно универсальные пространства для некоторых классов пространств с ограниченной трансфинитной размерностью, доказана Возможность введения на них некоторых алгебраических структур.

Pentsak Е. Coutable direct limits of nonlocally-compact absolute extensors and the strong universality: Thesis ... cand. phys.-math. sci.: 01.01.01. Lviv, 1997.- 89 p. Bibliogr.: p. 83-89.

Manuscript. Thesis oil search of the scientific degree of candidate of physical and mathematical sciences*speciality 01.01.01 - mathematical anali-sys. Ivan Franko Lviv State University. Lviv. 1997.

8 scientific papers containing theoretical studies on the theory of infiulte-clinirnslonnl manifolds and their Ablations are defended. Strongly universal spaces for some classes of spaces with bounded'trausfinite dimension are constructed. The problem of existence of topological and algebraic structure on such spaces is considered. ,

Ключові слова: абсолютний (околовий) екстензор, сильно С-уні-рерсальниіі простір, многопид. ролшарупання.

• ПІдішсако до друку 04.№.97. ftopuas 60x64/16. ІІепІр друк. йі. £рук о&соїи, Уиови*друк.ьрк. 1,0. 0бл.-шд.?фк, 1,0.

Уковн. фарб. відб. 1,1. Тіґрьж 100. Seu;68. . .

1«і&ь/.иі:с-о$сеїиа лабораторія Львівського держуніверситету їй. І.Франка. 290602 Львів, ьул. Уіііверсиїегоьки, І, - '