Семейство периодических решений несимметричных систем дифференциальных уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Стр,

ВВЕДЕНИЕ .2

ГЛАВА 1.9

§ I.9

§ 2.II

§ 3.16

§4.34

§ 5.41

§ 6.65

ГЛАВА П. . . . 76

§ I.76

§ 2.76

§ 3.83

§4.83

ГЛАВА Ш.88

§ I.88

§ 2.89

§ 3.90

§ 4.91

В диссертации рассматривается проблема существования семейств периодических решений несимметричных автономных систем дифференциальных уравнений второго порядка.

Вопросы существования семейств периодических решений и их свойства исследовались многими авторами. Наиболее полно с этой точки зрения изучены плоские системы. Впервые проблема центра и фокуса была поставлена А.Пуанкаре[ДУ. В работах А.М.Ляпунова U3LHWL И.Бендиксона М.Фромм ера[3 б] указаны достаточные условия существования семейства периодических решений. В дальнейшем, М.А.Альмухамедов[н],Ц]» И.С.Куклес £ f £J, Н.А.Сахарников [£i], А.Ф.Андреев К.С.Сибирский [IS] [Д]и другие получили результаты, связанные с проблемой центра и фокуса.

Основополагающие результаты о существовании семейств периодических решений для многомерных автономных систем принадлежат А.М.Ляпунову. Он рассмотрел систему уравненийdx- А* + (i)cliгде ос X ^ -мерные векторы, Д - квадратная постоянная матрица порядка Yi ; компоненты вектора представляют собой ряды по степеням компонент вектора Ос без свободных и линейных членов, сходящиеся в достаточно малой окрестности начала координат, матрица А имеет пару чисто мнимых собственных чисел t/)C, а величины w\ 'Х L ни при каких целых т. не являются собственными числами матрицы. При этих предположениях А.М.Ляпунов сформулировал условия, при которых система (I) имеет однопара-метрическое семейство периодических решений, располагающихся вокрестности начала координат.

В работе Лазера[32,] рассматривается система (2) в предположении, что функции дважды непрерывно дифференцируемыв окрестности нуля пространства IR IПредполагается, что среди чисел JL имеется нечетное числоIs*одинаковых, т.е.= > сз)Если /JL не Целое число при \с г^=iv. к,., «. v, * <*>то существует семейство периодических решений системы (2). При тех же предположениях, за исключением условия(4), а также при дополнительном предположении, что -ф О » Vt =i:>. Vt *в указанной работе Лазером доказано существование семейства периодических решений.

Семейства периодических решений изучались не только локально - в окрестности начала координат, но и во всем пространстве.

В дальнейшем, в работе [6] М.А.Красносельский ослабил ограничение (б), заменив его на следующее: при всех выполняется неравенство(»«,-v* J *о при ^ <jг а 'и существует номер ^ такой, чтопри ск>о. vk90. K-V,w. ■Г.Л.Юзбашев ["Ьо] усилил последний результат М.А.Красносельского. Он рассмотрел систему (5) в предположении, что выполнено условие (4),существуют положительные oL и Jjb такие, чтоЛ Л.^ при ,и доказал, что в фазовом пространстве системы существует связное множество, соединяющее начало координат с бесконечностью, на котором располагаются начальные данные периодических решений.

Г.Л.Юзбашев в работе [ 30] рассмотрел систему (2) в предположении, что функции по совокупности аргументов ЭС нечетны.

При предположениях (4), (7), а также при условии, что функции С^иу/ ^п.') удовлетворяют условию Липшица с достаточно малой постоянной, этим автором показано [зо], что существует кривая, соединяющая начало координат с бесконечностью, на которой лежат начальные данные периодических решений системы (2).

В диссертации рассматривается система дифференциальных уравненийi+cjC^o (а)-VI-мерный вектор, Q" : \ - К-мерная* Ывектор-функция. Работа посвящена доказательству существования семейств периодических решений системы (8) при различных условиях, накладываемых на функции ^С^"). В работе не предполагается нечетность функций (Ъ?) по XДиссертация состоит из трех глав.

В третьей главе предполагается, что в системе (8) функции ^ (ог) представимы в виде<31Ы) = if ос. + JU Оа 1*1П.,где JU - малый параметр, а функции С'х^) удовлетворяют условию Липшица иЯ: гП,,при всех J^. Предполагается также, что JL>0 п >А - не целое число при П. Доказывается, чтопри достаточно малых JU существует кривая, соединяющая начало координат с бесконечностью, на которой лежат начальные данные периодических решений системы (8).

Основные результаты изложены в статьях[10j - [4iJ.

ШВА I.§ I.

Целью настоящей главы является доказательство следующей теоремы.

Теорема I.I. При сформулированных условиях существует связное множество Н С-Х соединяющее начало координат с бесконечностью такое, что любое решение системы (1р с начальными данными -fc- О ^ 9С = О где ^ £ f-j является периодическим.

Докажем сначала несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1.2. Если существуют момент времении номер l такие, что^.(0= c-tМ-о,(1.9) (Z.IO) (I.и)^(t^o, jП, прито при всех (-L*;a) выполнено неравенствоOjCxCOVO.

Учитывая выбор t! получим, что требуемое неравенство выполнено при всехЛемма 1.2. доказана.

Замечание. В ходе доказательства леммы 1.2 было показано, что функциине убывают при тех при которых выполнены неравенстваВ дальнейшем будем рассматривать решения системы (1.7) с начальными даннымиb- О, ^ =ъ:0 =о?.\/£> vL/(X.I6)\где 0Гое )С > £<0. По-прежнему, будем обозначать их Со (-L) Лемма 1.3. При любых С X и £"<-0 существует такой момент времени f £ , что решение системы (1.7)с начальными данными (I.I6) определено при "t € Со, ^rj t ПрИ этом выполнены следующие условия:ПРИ ^(ОД), I2. существует номер hi такой, что (t) - £.

Доказательство. Возьмем произвольные 0со£ У и £,<0 и рассмотрим решение системы (1.7) с этими начальными данными.

По выбору точки g L (ocQ) >0, 1=: гь.

По непрерывности вектор-функций ОС C-L) и g foe) в достаточно малой окрестности точки "t = 0 выполнены неравенстваgL(oc(-bV) >0 а U<U;irt.

Возьмем некоторый номер и "tc такое, что "L *.

Лемма 1.3 доказана.

Гиперплоскость ^ с с £ не имеет контакта с полем направлений системы (1.7) при , тогда из теоремыоб интегральной непрерывности следует, что функция ^ С^о) непрерывна в точке 0Со.

В множестве ^оЛ нет нулей поля ХГ.

Действительно, если ^<9- тоVvг* = Г \Г. + с%)=- с%?Я) < О.

1. Альмухамедов М.И. К проблеме центра.-Казань, Изв.физ.-мат. об-ва, (1936-37), с. 29-36.

2. Альмухамедов М.И. Об условиях существования устойчивых и неустойчивых центров.-ДАН СССР, 1949, т.67, К 6, с.961-965.

3. Андреев А.ё. Решение проблемы центра и фокуса в одном случае.-ПММ, 1953, вып.17, № 3, с.333-338.

4. Зубов В.й. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л., 1962, 631 с.

5. Красносельский М.А. О применении методов нелинейного функционального анализа в некоторых задачах о периодических решениях уравнений нелинейной механики.-ДАН СССР, 1956, т.III, й 2, с.283-287.

6. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М., 1962, 394 с.

7. Куклес И.С. О необходимых и достаточных условиях существования центра. ДАН СССР, 1944 (42), с.164-167.

8. Куклес И.С, 0 некоторых случаях отличия фокуса от центра. -ДАН СССР, 1944 (42), с.212-215.

9. Куратовский К. Топология. М., т.1 (1966), т.2 (1969).

10. Лёзина Т.А. Семейство периодических решений несимметричных систем дифференциальных уравнений второго порядка. Вестник Ленинградского университета, К 13, 1983, с.97-100.

11. Лёзина Т.А. Периодические решения систем дифференциальных уравнений второго порядка. Вестник Ленинградского университета, 15 7, 1984, с.98-101.

12. Лёзина Т.А. Периодические решения несимметричных системдифференциальных уравнений. Вестник Ленинградского университета, К 13, 1984, c.IIO-III.

13. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., 1950, 472 с.

14. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. В кн.:Общая задача об устойчивости движения, 1950, с.280-343.

15. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М., 1956, 491 с.

16. Малкин И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.-Л., 1949, 244 с.

17. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М., 1949, 550 с.

18. Пасынкова И.А. О существовании семейств периодических решений системы дифференциальных уравнений второго порядка в резонансном случае. Дифференц. уравнения, 1969, т.У, .,? II, с.1984-1989.

19. Плисс В.А. О существовании семейства периодических решений систем дифференциальных уравнений. Дифференц. уравнения, 1965 , т.1, К 2.

20. Плисс В.А. Семейства периодических решений систем дифференциальных уравнений второго порядка без диссипации. Дифференц. уравнения, 1965, т.1, с.1428-1448.

21. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории нелинейных колебаний. М., 1964, 367 с.

22. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л., ГЙТТЛ-, 1947, 392 с.

23. Рябов Ю.А. Обобщение одной теоремы А.М.Ляпунова. Уч.запискиМГУ, 1954 , вып.165 , т. УП, с.131-150.

24. Сахарников Н.А. Об условиях Фроммера существования центра. -ПММД948, вып. 5, т.ХП, с.669-678.

25. Сибирский К.С. Об условиях наличия центра и фокуса. -Кишинев, Уч. зап. университета, № II, 1954, с.115-118.

26. Сибирский К.С. Метод инвариантов в качественной теории дифференциальных уравнений. Кишинев, 1968, 184 с.

27. Сибирский К.С. Принцип симметрии и проблема центра. -Кишинев, Уч.зап. университета, 13 17, 1955, с.27-33.

28. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М., 1966, 230 с.

29. Юзбашев ГЛ. Изучение множества периодических решений одной системы дифференциальных уравнений второго порядка без диссипации. Дишференц. уравнения, 1973, т.IX, К 9, с.1734-1737.

30. Юзбашев Г.Л. Семейство периодических решений одной системы дифференциальных уравнений второго порядка без диссипации. Автореферат кандидатской диссертации, Л., 1973, 8 с.

31. Bendixon J. Sur les courbes definies par des equations differentielles. Acta Math., ДЭ01, 24, N I, pp. 1-30.

32. Laser A. Topological degree and symmetric families of periodic solutions on nondissipative second-order systems.-J.Diff.Eq., 3H9, 375, pp. 62-69.

33. Roels J. An extention to resonant cases of Liapunov's theorem concerning the periodic solutions near a hamiltonian equilibrium. J.Diff.Eq., 9, 1971, pp.300-324.

34. Roels J. Families of periodic solutions near a Hamiltonian equilibrium when the ratio of 2 eigenvalues is 3. J.Diff. Eq., 1971, IT 10, pp.431-447.

35. Schmidt S. A unifying theory in determing periodic families for Hamiltonian systems at resonance. Teehn.Rept. TR 73-3, University of Maryland, 1973.

36. Prommer M. ttber das Auftreten von Wirbeln and Strudeln (geschlossener und spiraliger Integralkurven) in der Umgebung rationaler Unbestimmtheitsstellen, IiIath.Ann., 1934, 109, pp.395-424.