Семимартингали со значениями в группах и алгебрах ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

..„..о , . .

7*3 1 .1 •■-) Акадетя наук Укра 1ни

1нститут математики

На правах рукопису

КОВАЛЬЧУК Людмила Ваошвна СЕМ1МАРТЙНГАЛИ 31 ЗНАЧЕНИЯМИ В ТРУПАХ ТА АЛГЕБРАХ Л1

01.01.05 - теорI я ймов1рностей I натематична статистика

Автореферат дисертацП на эдобуття вченоГо ступеня кандидата ф1эико-математичних наук

КиГв - 1992

Ройота виконана у В1дд1л1 терн випадкових процесс 1нституту математики АН Укра1ни.

Науковий кер1вник: 0ф1ц1йн1 опоненти:

академ1к АН Укра1ни СКОРОХОД A.B.

доктор ф1зико-математичних наук, всдучий науковий сп1вроб1тник САМОИЛЕНКО Ю. С. .

доктор ф1зико-математичних наук, професор ЛЕОНЕНКО М. М.

Ведуча орган 1зац1я:

Кигвський лол1техн1чний 1нститут

Захист дисертацП в1дбулеться "Л " ¡.¿¿t -ü-tfa 1992 р

о ;___ годин! на зас1данн1 спец1ал1зованог ради Л 0^6.50. 01

при 1нстнтут1 математики АН Укра1ни за адресов: 252601, Ки1р-4, НСП, вул. РеШна, 3.

3 дисертац1ев можна ознайомитись у сЯблютет 1нституту. Автореферат роз Юланий "ИЗ* " 1992 .р.

Вчений секретар спец1ал1зовано! ради

ГУСАК Д. В.

Р0СГКЙС-1ДЯ V.

QCV'' 1 '^

- ; , • • ч v Загальна характеристика роЗоти. • • - - _

&ктуальн!сть теми. В останш роки ■ ттенсивно розьиваегься теор;я Йыов1рностеЯ на алгебра1чних структурах. Це пов'язано не Плькн з теоретичним, а й з практичним 1нтересом до цих проблем, оск!льки 1снують задач! ф1зики, теорП зв'язку, статистики, що приьодять до вивчення ймов1рн!сних роэпод!л!в на алгебра р-ших структурах.

Перш1 результати в цьому напрямку виносягься до 1938 - 1940 рок1в I належать Леь1, Марцинкевнчу, 1то, Кавадк Св1й подальший розвиток теор1я ймоь1рностей на алгебрагчних структурах отримала у роботах Гренандера, Хе-ннана К Хейера. Роботи перших двох авторш присвячен! вивченнс зв'яьку м1ж теор:ею ймов!рн1сних м1р на трупах й теор!ею предстаьлень груп. Хейер одержав аналоги формули Лев1-Х1нчина для процес1в, цо приймають значения в трупах Л!, тобго описав явний вигляд в1дпов1дного породжусчого функц1оналу. Под¡бнI питания виьчали також Feinsilver Р. , Schott R. В теори випадкових npoueclß особлива увага прид1ляеться процесам з незалежними приростами. Так1 процеси ьиникавть при розгляд! конкретних ьажлиьих ф!зичних задач I дос1 повнютю не вивчеш. Аналог таких npoueclB побудовано i для процес1в, що приймають значения в трупах. Це мультипл!кативн1 процеси Су випадку абелевих груп - адитиЕнО. Так1 процеси в матричному випадку були введен! Скороходом A.B. I дал1 вивчались тим же автором, а також Буцаном Г. П. , Feinsilver Р. та'1ншими.

Ц1кавиыи е також процеси, що звуться сем!мартингалами. Вони виникли як природне розширення класу npoueclB, до яких мокна аастосувати Teoplc 1то (так! процеси звуться процесами 1то). Сучасна теор!я семIмартингал!в I стохастичного числення розвинут! французькими вченими Мейером, Жлкод'ом та пшими.

Сем1мартингали й процеси з незалежними приростами , що приймають значения в л1н!йних векторних просторах, вивчен! досить ' добре. Але при вивченн1 таких процес!в з! значениями в трупах виникавть труднощ!, пов'язан! з нел1нШною структурою групи. Та якщо трупа е грулою Л!, то з нею пов'яэаний л!н1йний npocTip - II алгебра Л1. Експоненц1альне воображения, що д!е з алгебри в групу, в деякому окол! одиниц! мае йворотне - логарифм. Викорисговуючи ше й шш! властивост! груп ЛI. автор ц ie г

дисертацП будуе взаемно-однозначну в1дпоб1дн1сть м!а ссм1мартингалами з неэалежними приростами у груп1 Л1 та II алгеброю Я1. Така в1дпов1дн1сть збер!гае основн! властивост! проиес1в, так1 як неперервн!сть з ймов1рн1стп 1, однор1дн1сть та 1нш1. Зокрема, броун!вському руков! в груп! в1дпов1дае броун!вський рух в II алгебр!.

Мета роботи. 1. Вивчення ймов!рностей переходу однор!диих 1нвар!антних марк!вських процест 31 значениями в трупах.

2. Побудова взаемно-однозначно! в1дпов1дност1 мультипл1катив-ними сем1мартингалами, що приймапть значения £ трупах ЛI, й аддитивними, що приймають значения в II алгебр! Л1; вивчення влаотивостей ц 1е I в1дпов1дност1.

3. Побудова матрично1 стохастично! експоненти й вивчення П властивостей.

Загальна методика досл!-дження.

В робот! використовуються результата э теори груп Л1, теори представлень груп, функц1онального анал!зу та теори випадкових процес!в, а також результати й методи теори стохастичних ди$оренц!йних р!внянь. Наукова новизна.

В дисертацП вивчена структура мультипл1кативних мартингал!в, шо приймавть значения в трупах Л1. Показано, то кожному такому процесу однозначно в!дпов1дае адитивний семи-гартингал 31 значениями у ь!лпов'1дн1й алгебр! Л!, який эбер!гае основн! властивост! процесу Снеперервн!сть э Ймов1рн1сто 1, однор!дн1сть 1 т.д.). Вивчен! властивост! матрично! стохастично! експоненти, узагальнена формула йора. Знайден! ймов!рност1 переходу однор!дних марк!вських процес!в, !нвар!антни:< в!дносно зсув!в, ио приймапть значения в трупах " -1 £'.1С2). Практичне й теоретично значения.

Результати дисертацП дозволяоть звести вивчення мультипл1к.ативних сем!мартингал1в з! значениями в трупах Л! до вивчення адитивних сем!мартингал!е 3 1 значениями в ix алгебрах Л!, тобто в Л1Н1ЙНИХ векторних просторах Ц| результати мсжуть бу-и з^стосован! в теср!! випадкових процес!в I стохастичних' пи^-рениНШих р!внянь.

Апробац[я podoTH. Результата дисертацП допов|дэлисы

- на М/жнарадШй канфереции пя йипдаоких 0!юящ1.чх СКащвол!, 1992 р. );

•-на конферонц 1Г, ириовячешй пам'ят! академ1ка М.Ф.Кравчука (КШв, 1992 р. 5;

- на ДругIЯ Укра1нсько-Угорськ1й конференцП по новик напряшсах в теорп ймошрнаатей I математичшй статиотит (Мукачт, 1992 р.];

- на ceuiHapl Тпотнтуту математики ЛИ УкраШи С1Ю0 - 1992 p.p. ), ПХЙЛДЦ.'Ш,' Основ» I результата onydn торчи | г, роботах автора

(1 - Hl.

Структура I od'cM роботи. Дисертац1я складаитьоя |д вчтупу I ччтирьох ■ глав, роэбитих на 12 параграфу. эаймас

78 оторпюк машинописного тексту. Б1<5люграф1я м|отит& 76 Наав,

Автор виражае вдлчнють своему науково^у кер|вн!1ку A.D. Скороходу за постШну увагу до цleI ройоти, 3 такая ПРОфосору A.A. Дороговцеву за обговорювання I fcpifT'iMH} пауваження.

КОРОТКИ 3MICT РОБОТИ

Слава f 1нвар1антн1 ОПМ в локально-компактннх трупах. .У перилй глав1 розглядаються одцор|дн1 ?да|>к 1вськI процеси, IHpap 13ЧТНI Ыдцочно ясув !(ï (|цвар|ацтц1 ОПМ), НО приймавть значения в локально-компакткин групзх.

Поэначимо Р (х, Г) - ймов1рнЮть перекоду 1нэар1антного ОМП, но приймае значения в rpynl Q, х е в, Г с Q; PtCx, Г) = = PtCo, П =: PtC х" Г ).

Нэяай ВСО) - daiiaxiB npocTip дШснич, обмекених В -внмфних функц 13 fia G СЭ -борел1вська ст-алгебра ¡га ß), Для таких функцШ вязначено оператор Tt, то в1дпов1дас Mlpi Pi

С T. f ) С у ) Г Г(х) Р. Су, dx) = f fCyx) Р, Cdy), (1.1)

О ■ Q

а також в1дпов)дя1 тф1й1тез|кальний оператор А та породжуючии функц юная N. Теорема 1.1.

Нехай ОПМ Р^я, Г) у Груд! 1 мвар1гштний в1дносно

в1дофаження G -» G Тод1 його наШвгруповий оператор Т Ca також оператори А I 10 перестановочн I з в|до<Зраженнчм v-

TtC wf К х ) = С itTt )fC х ). Нехай Р - деяка Mlpa на G;

Т ГС у ) = J ГС ух ) PCdxJ.

g

Поэначиыо МiL G - трупа автомор$>1эм1в G,

Р^СП := P(rh). Г с G. he Aul G, Г*' = < yh|y € Г>.

Теорема 1.2.

Нехай Н - п1дгрупа в Aul G, F*1 = Р л ля bcIx h € Н, Е - деякий прост)р функиШ з G в R. Тод1 прост!р

Е"= { f б Е: у h е Н fh= Г > |неар1антний в'дносно Т.

Теорема 1.3. в

Нехай Ея - прост 1р. породжений матричними еле'"?нтаии представлень

(D групи G. Тол1 jjj 1нвар1антно в1дносно Т.

Насл1док.

У вппэдку, коли Fh= Р для bcix h i Inri G, де. Inn G ; трупа внутр1шн1х абтомэр'}1зм1в G, характер!! е гласними функтями оператора Т. Теорема 1.4.

Нс-чэЯ Т - нг.п1вгрупови(1 оператор , ио р!дпов!дае 1нвар1антному СИМ

\л —

Р, в ск1кченн1Р труп I G; eJ , j--0.k. - його влазч! числа, по р|дпов1да«)ТЬ характерам ^ , J =0. К, групи G. Тоя1 1 k X

^ у g р G PtC g ) = -J^y J e J >,(-) С1.

де |G| - к1льк!сть елеменПв групи G/> Приклад_1.

Ят групп постановок S одержима-.

, >. t X i

Р, С я + о 1 > Cql/ß +' е '7 я (а)'З. а е S , X < \ ✓ 2 <0.

t L; ^г -* - э г !

Xi X t pi(° • с 1 4 е' + 4 е г 5;

' - s -

, X t

Ptc (12) )= Pt( (13) ) = PtC (23) )=-£- ( 1 - e 1 );

PtC (123) )= PtC (213) )=-i- ( 1 + eX,t- 2 e^S; Доол1димо поведШку ij при l+ai в залежност! в1д X , X :

1) X = X =0: Р, ( а ) s 1, Р. С g ) = 0. g * e;

12 I ' t 3 3 '

2) X = 0; X < 0: P, ( 0 ) 1/3, t*œ;

1 X V

Ptc (12) )= Pt( (23) )= pt( (13) ) = 0; pt( (123) )= Pt( (213) ) 1/3, t-w>;

3) Xs < X/2 <0: PtC g ) -» 1/6, t-»ra, y g g Sa.

Дал I розглядавться 1нвар1антн1 ОМП з! значениями 0к1нченновим1рних компактних трупах Л1.

Для групи SU(2) одержимо

Pt(u) = J I ехр[ ¡¡¿^ |[(га+1)г- Спи-П'] +

{ip,»,t;g(i(>,»,t)eu) m&2

+ }П(Л1пОз+Цв_ . (m+nj d^f/T"cos « + /t cos2P-l ]""-

- (/Teas P - /С cos'g-1 f ,

0 <v> <2n, 0 <q <2n, 0 < C<1, ucSU(2), drç - limaplaHTHa Mlpa Лев! на SU(2).

Глава II. Властивост! матричнозначних семIмартингалIв. У ц!й глав! одержано ряд властивостеЛ матричнозначни* сем!мартингал!в, як! s' аналогами властивостей дШсних сом!мартингал1в.

НохаП ' ( П, Г, Р ) - ймов!рн1сний npoctlp. Дал! ввакаемо ф!ксованич пот!к а -алгейр { ^ , t > О J на 'а, що мае "эричайн!" властивостI.

Для процесу X Ш : П х Г?х Ф HN , X (t) а ( X,} (t) ) ¡¡о -npocTip квадратних матриць p03MipH0ctl H х H , визиачено

- CJ -

математичне спод1вання М X CU = ( М X(J Ct)

Лап! розглядаемо стохастично неперервн! процееи. Означения 2.2.

Нехай X Ct) 6 • floro характеристика < X > - це процес, який е матрицею з елементами

Cl3= I < Х„. XSJ >1 •

11 Sri J

Означення 2.3.

Квадратична вар!ац1я процесу XCt) е S це процес

1 X. X ]t = Cb^Ct))^, . де btJ- Ct) t Xik. XkJ )t .

Лналопчно визначасться суШсна квадратична ковар1ащя процесib XCt), Y Ct) е S :

( X, Y )t = CduCU)"J=i . де dM Ct) =Д ( Xlk.TkJ \ ..

Лемма ZA.

Нехай X Ct) € S . Тод1

I X. X ]t « <x=>t + l ( л XU у .

' U<1

де и - марк1вський момент, Д Хц = X Си)- ХСи -) , X 0 Ct) -неперервна складова мартингально! частики процесу X СО.

Нехай X Ct) 6 S , f : MN х R Ф М^ - неперервна функЩя. Теорема 2.1.

1онуе границя

n -1

р- Ига ¿ fCXCt"); t£) AXCt £) г = М*э к=°

= J" Г (X Cs),s)d t X, X С2.1)

о

де п = {О г t£ < t" < ... t" = t < 1 } - под1л в1др!зка (0,U

, я

пп - к1льк1сть точок под1лу, | гг | - його д1аметр .

Зауваження. Твердження теореми 2.1 справедливе й для Й1льш

загалмгаго випадку, а .саме:

нехай X Ct), Y Ct) 6 S . t e [0; 13;

f" : Mj. x Mj, x R, Ф Mj, - неперервна функЩя. Тод! 1снуе

n_ -I

P - lira I f(X(t£) , YCt") , t" ) Д X Ct^D Д YCt^ = M*.

= J f (X Cs), Y Cs), s) d [X, XJB.

о

Теорема 2.2.

Нехай ХШ й S ; f: R х G^ R - акал1тична функЩя по першШ эм1нн1й I трич! диференцШовна по обом. Тод!

fCX(t).t) - f(XC0),Q)=J f^ (X Cs), s) ds + J f't (X Cs3, s) dX(s3+

о 0 '

.til I

+ -g J f (X Cs), s) d <X> , де f. - похина no i -it 0

зм1нн1я, i = 1, 2; постановка X (t) в f виконуеться зПдно з правилам операторного числення.

Глава III. Логарифм j експонента в!д ыатрцчнозначного процесу. У цШ глав! встановдрсться езаемно-однозначна в1дпов!дн1сть Mist стохастично-неперервними мультипл1кативними сем1мартингалами al эначеннями в матричнШ rpynt Л1 G I стохастично-неперервними адитивними сем1мартингалами з! значениями у II алгебр! Л1, Йудувться логарифм I експонента в 1Д процесу. Такок вивчаються мультипшкативний 1нтеграл, то використовуеться при побудов! експонента, I пов'язан! з ним стохастичнI диференц1йн1 р1вняння. 0кр1м цього, одержано деяк! влаотивост! експоненти Долеан для матричного семШартингалу, приведено узагальнення формули Иора.

Поэначимо G - Шдгрупа Л! групи GL СЮ, g - И алгебра Л1. Процеси, но зустр1чавться-у ц1й глав!, в1дображають (0,11x0 в MN, G a do д.

Шсля серп лем, що мютять допом1жя! результата, формулветься наступна теорема. Теорема 3.1,■

Нехай h (z3, h(l) >0 • дШсна функц!я, анал!тична в деякому окол1 С1 - а, 1 + а), a s (0; 13. Припустимо, що 1снуе така кпнота'»тч L > 0 mo Н<ы (13 < Lra! , in > 3. Якщо ус I

мультипл!кативн1 стрибки процесу XCt) е S tjki, до

Ii X СтГ' ХСт) - I И < а з ймов1рн!ств 1, то

П„-1 СО , , „< m) ,

Р - lim 1 h (X С l")"1 X Ct£ )) = P - lim $ %-Ь""'0-*

|rt|-»o кго ' | n | -*o m!

X (X UjV' 4* ( tj ))» = h'Cl) YCt) + < Yc >t +

+ Г (h CX Ct -) ХСт) - h'Cl) (X Ст-5 X Cr) - I )), C3. 3) xit

де YCt) = J- XCs)"1 dXCs).

о

Побудовану таким чином функцю позначимо h(X)(t).

Ця теорема мае насл1дки, що використовувтьоя дал! при побудов! логарифму в!д процесу. Кр1м цього, використовуочи т1 ж методи, що 1 в доведенн! теореми, одеркуемэ формулу 1то, сПлыи загальну, н1к у друПй глав1. Теорема 3.2.

Мае Micue наступна формула 1то:

ГСхШ) - fCxCt )) = Г f'cxCs))dxCs) + 4 J f"cx(s))d<x2> +

i * t О О

+ £ СГСхСт)) - f'cx(t-)) Д^- fCxCr-)),

с '

де f - анаШтична в деякому окол1 нуля функц!я,.xCOeS - такий, що його адитивн! стрибки належать облает! зб!жност1 ряду Тейлора функц 11 f, xCto )=0.

Дал1 «ас буде цПсавити випадок, коли у теорем! 3.1. h(z)=Ln z. Теорема 3.3:

Нехай XCt), tetO;l]. XC0)=I - .стохастично неперервний F -семIмартингал, , що .приймае значения у матричн!й груп! Л1 G. -Припустимо, що його мультипл!кативн! стрибки так!, що | |ХСт-)-' ХСт)-111<1 з ймов1рн!ств 1.

Тод! 1снуе процес xCt), tetO;!), хС0)=0, до визначаеться так;

П -1

XCt) = Р - lim I ln(X Ct^)" X Ct^4()) = YCt) - <Yc>t +

hho k = °

у

(3.4. )

+ 7 ( 1п (X Ст-Г1 X (т))-Х (т-)"' X (т) + П, теГо;и

де УСО = / ХСзГЧХСэ).

о

Ус(1) - неперервна мартингальна складэва. При цьому:

1) хСО " ^ - сем1мартингал э1 значениями в алгебр! Л1 д групп в;

2) якцо Х(1) - мультипл1кативний, то х(1) - адитивний;

3) якщо Х(1) неперервний з Ямов1рн1ств 1, то

х(0=У(1) - | <УС>1- також непервний функц!онал з ймов!рн!ств 1;

4) якао Х(1)- оян6р1лний за часом, то х(1) - також;

5) якао Х(и- мае обмежену вар1ац!в, то х(1) - також;

6) для будь-якого марк!вського моменту т € [0;11:

Лхг= 1п (X Ст-Г' X Ст)Э. Прочее хШ наэиваеться логарифмом процесу ХШ I поэначаеться -1К(ХК I).

Якщо ке прагнути того, иоб процес хСЬ) приймав значения в алгебр] д групи Л1 С, то досить взяти

х(1) = / ХСэГЧХ^),

о

як це зроблено в рсх5от1 А. В. Скорохода.

Припустимо, до процес ХС1) з умов теорем» належить З'" й мае

обмежену вар1ац1п. Тод1, ..як в укаэан1й вице робот!, ь

хСО = / Х(б) ЧХСэ). 0ск1льки Х(0)=1, одержимо, но ХСе

о

стохастичнов експонентоо в1д свого логарифму. У загальному випадку Х(1) також о стохастичнов експснентою, але не в!д ХС 1.3, а в!д деякого Шшого процесу. Теорема 3.4.

Нехай X (I) - такий, як у теорем! 3.3, х (1) =■ ЬИ (X) СП. Тод! X (I) е роэв'яэком р!вняння ^

dX (I) = X (I) ¿г (О; (3.7)

X СО) =1,

де гСО = 2Х(1) = хСО + ^ <хс>1 + £ С ехр Дхт - Лхт - I ).

т<1

Даж нам будуть несх?х!дш наступи! результата для стохастичник диференцШних р1внянь. Теорема 3. 5.

Нехай гС1) е Б, I € СО, 1), I виконуоться умови : а) у 1, j = ГГИ 3 Мг Ш; Нг^Ш;

Й) гену в така ыонотонко-зростаюча функц1я ХС1) > 0, що V ь <1: > - <т >. < Х(1) - ХСб);

' 1 I К 1 } I

|а . |, - |а , | < Х.С1) - Мб);

1 ^ Ч 1 » .) "5

да гСО =

* (б) - ыартингальна частина г^Сэ); а4 Сб) - частина э обыеженою ьар)ац!ев; - взр1ац1я а, С5) до момента I.

, Тод1 р1вняння (3.7) мае сдирий розв'язок

1 V

X (О = I + г(1) + X / dzCtг) Ьг(11)+...+

0 0 ' С3.8.)

+ Г ... Г аг(1, ) ... ¿2(1 ) + ..., •» 1 +1 1 о<1, «... и <1 II

де ряд у прав!й частин! р!вност1 зб!гаеться в середньому

кватратичному.

Теорема 3.6.

Нехай маемо стохастичн! янференшйн! р!вняння. с)Х (1) ■= X (I) ск (О;

п п п

ХП(0) = I. п > 1; . dX (О =.Х(0 ¿гШ; X СО) = I.

Припустимо, що виконувться наступи! умови:'

а) гСО б К, мае' незалвжнI СадитивнО прирости I обмежеш стрибки, гп(1) е 1, э незалегними приростами, мапть вс! момент)«,

р1вном1рно обчекек! по Ь I по 1-, д) г Си * г(1), п+сог

п '

в) V П > 1 V 5 <4 <П1 . . >. - <Ш , > < ¡.'(1?"||С5),

* , ) I пд.) г '

- И -

к..л - К,.л s,jCU - mCs};

для деяко! додатно! зросташо! функШГ fj(D- Тод! Xn(t) -»ХСО, n+от, у середньому квадратичному.

У матричнШ труп! JIl G виберемо ок!л единиц! I так: U = { 2 е G ||z-I|| < 1 -т. > для деякого с>0;

у II алгебр! Л1 визначимэ ок1л нуля V=ln U. Введемо так! позначення:

S™(G) - клас стохастично неперервних мультипл!кативних сем I мартингал! в з! значениями в G, мультипл!кативн1 стрибки яких належать U;

S®Cg)- клас стохастично неперервних адитивких сем!мар-тингал1в э! значеенями в д, адитивн! стрибки яких налйжать V. 1нколи також будемо використовувати позначення

За допомогою теореми 3.3 кожному пронесу X(t)eS™(G) ставимо у в!дпов!дн!сть його логарифм - пронес x(t)=LN(X)(t) « S® (g), шо збер!гае основн! властивост! вих!дного процесу. Наступна теорема е в деякочу сенс! оберненою до теореми 3.3, так як у н1й по процесу кСL3 € S °(д) будусться його експочента - пронес X(t)=EXP(x)Ct)€S™CG), до також збер!газ властивост!. Зауважимо, но' в теорем! 3.3 ми не вимагали неэалежност! прирост!в, але теорему 3.7 вдалось довести лише з таким припуиенням. Теорема 3.7.

Нехай xCt) е S^'Cg). Тод! 1снуе процес X СО э! значениями в G , що визначаеться р!вн!сто

X Ct) = llm п ехр (Л х(? )), СЗ.Ш

|я|-*о к = о ?б!жн!сть у середньому квадратичному, рри цьому :

J) X Ct) - розв'язок р1вняння (3.7),t е сем!мартингалом в!дносно того г. потоку, до fl xCt) ;

2) X (t) - мультипл!кативнйй процес;

3) якао x(t) - неперервний з ймов1рч!стю 1, то X (t) - такох неперервний э ймов1рн1стю 1;

4) якко x(t) мае обмежену вар1ац1ю, то X Ct) - такок; як'«о x(t) однор!дний за часом, то X Ct) - також;

63 для будь-якого ыарк1Еського моменту т е [0, 11: X Ст-3 X СтЭ = ехр Л хг

Теорема 3. 8.

Нехай виконувться уыови теорем 3.3 I 3.7. Тод! воображения а ехр Sw (д) I Sm (G)

v 3 и

LH

б1ективн1 I вэаемно-однозначн!.

Теореми 3.3, 3.7 I 3.8 встановлюють взаемно-однозначну в1дпов1днЮть м'.е кпасами nponeoiB S^ Cg) I S" CG3. При цьому як природно чекати, броун1вськоку рухов! в алгебр1 g в1дпов!дае Сроун1вський рух в G.

Одержан! результата дасть змогу не пльки _ встановлсвати в1дпов!дн!сть mis такими класами процес!в, а. й одержати ц1кав! властивост! ыатрично! стохастично! екслоненти.

Нехай Z CtJ е S ° (М н3, де V = | А £ Н н : II A il < 1 j .

Аналог 1чно з одновимфним випадком назвемо розв'язок р(вняння (3.73 стохастичною експоненты) в1д процесу z(t3 ! позначимо його ГСгЗ С13.

Нехай X Ш = ЕС z3 (13. Тод1 X (13 = ехр (хЗ (13, де xU3 е S « СМ^.

х(13 = x2(L3 = z(t3 - к < 2° V + V п + д zt~> - А

d 1 t6lo,i ) т т

I навпаки: якщо X <t) = ехр (хЗ (13, то X (13 = ЕСz3 (13, де z (13 £ S J С^З,

z £13 = z*(U = x(t3 + | <x°> + 5 (exp 4 нт • i x - 13.

тего,| j

Зауважимо, що у детермшованому випадку, а такок у випадку процес!в, неперервних о 1мов1рн1стю 1 1 обмежено! вар1ац!1, експонента I статнотична екопонента сп!впадасть.

Отжа. нехай z (t3, х(13 € S ° CW^D I EXz3 (13 * EXP (x3 Ct3. Теорема 3.9.

Нэхай X Ct5 = ECz) (13. Тод! X'" ■ tl3 - розв'язок р!вняння

dft (13 = d z(L3 t (13, ?i (03 = 1,

де zCt) = z "CU = -z Ct) ♦ <z c>t ♦ J (СЛ z т + I) - I)

твоя i

Ще одн1ею властив1стс стохастично! експоненти е формула,яку можна назвати аналогом формули Пора:

Г Cz + z .Иг , z !) П.) = ЕХР ( + х* + 12 12 v

+ ^ I In С ехр Д (х *')т ехр СД х *г)т)-Д Сх )т - Д (к j )

Зокрема, якио значения npoueclB z Ct), z Ct) С ado г г

x 'Ct). x Ct). mo одне й те ж ) комутувть, то сдертлмо "зричайну" формулу Пора:

Е Cz + z + (z , z ]) Ct) = CCz ) Ct) fCz ) Ct). 12 12 1 ?

Глава IV. МультиплIкативнI процеси з! значениями у дов1льних

сктченноеимюних трупах JIl Ло цьото часу ми розглядали лише процеси э1 значениями у матричних трупах Л1. Але, використовупча теорему Ало про ягуяльпу структуру дои!льноГ групи ЛI, отриман! результат« мотна перенести на дор. I льну трупу Л1.

Теорема Адо стзерджуе. то кожна ск1нченновим!рна алгебра Л! ма<з тоЧне сктченноЕим1рне представления, тобто 1зоморфна ,г.?лк1й матричШй. 0ск1льки груни ЛI. члгебри яких 1псморфн1, е локально 1зонорфними, то дов1льна трупа Л1 s локально 1зо'.'.орфнос Сяк група I як тополог 1чний прост1р) деяк1й мзтричнШ труп! Hi. В ИДЯ глаа^ буде показано, ао мультипл¡кятиен! процеси з обмэ.женими стрибками на таких трупах знаходяться у ргэачмчо-однозначнШ в1дпов.1дност1. Нехай групп Л1 G i Н локально !зсморфн1. Еиберемо околи И i W одишщ! ^ в груп! G I одиницI ^ в rpynl Н в1дпов1дчо тзк1, що 1х заиикчння 1зоморфн1. той го

»СЮ = W, • ® ' CW) = U,

до Ю - |т0М0рф13М.

Означения 4.1. .

Будимо казати, що проиес, дкий приймае значения в грулt Л1

G , мае обыехен! стрибки. якщо його мультипл1кативн1 стрибки належать околу U з 1мов1рШстБ 1. Пзиачення 4.2.

Нехай X CD - процес з1 значениями в групI Л| G . Будемо казати, що bih е £ -семшартингалом, якщо для будь-яко! д1йсно! функцп f 6 I® (G) виконано: f СХ CD) - £ -семШартингал. . Теорема 4.1.

Для дов1льно1 ск1нченновиы1рно1 групи Л| G 1снуе така матрична трупа Л1 Н ,що виконано :

1) Н i G - локально 1зоморфн1;

2) кожному стохастично неперервному мультипл1кативному процесу X CD, t е [0, 1], X СО) = eQ, з обмеженими стрибками з!

значениями в G однозначно в1дпов1дае такий же процес Y CD 31 значениями в Н , Y (0) = е„ • При цьому :

а) якщо X (t) - Ft - сем!мартикгал, то l Y (I) - також Ft -сем¡мартингал;

с) якщо X CD - однор!дний за часом, то У CD - також ;

в) якцо X CD неперервний а 1мов1рн1стп 1, то Y - також ;

г) якщо и, ■ и2 " так| 1.'арк1вськ1 момент, що

и, < inf { t > u( : X С uf) X CD * U }, то

Y Си ) Y Си -) = v (X С и Г' X Си -)) б w(u)

1 £ I 2

л) якщо v , 1 ä 1, -моменти стрибюв процесу X (D, то вони

будуть. I моче-нтами стрибк!в процесу Y CD, I

Y Cv,-) Y Cv ) » « CX С v. -) XCv )). t i i . •

Ochobhi положения кисортацП опубл1кован1 у наступних роботах:

1. Ковальчук J1.D. Мультипликативные процессы в группе SUC2) // Бесконечномерный стохастический анализ,- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1990.- С. 62-67.

2. Ковальчук Л. В. Свойства матричнозначных семимартингалов // Стохастические уравнения и граничные теоремы. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1991,- С. 91-102.

3. Kovalchuk L. V. The properties of the stochastic exponent of matrix-valued serai-martingale// М1жнародна конференц1я, присвячена .пам'ят! акаяем1ка М.П.Кравчука, КиТв-Луцьк, 22-28 верес., 1992р.: Тез. доп. - Ки!в-Луцьк, 1992,- С. 88.

4. Ковальчук Л. В. Построение логарифма от процесса»на матричной группе Ли //Укр. мат. журн. - 1992. - 44, N 11. - С. 1084-1092.

5. Kovalchuk L. V. Lie groups and Lie algebras-'.'alued semi-martingales // III Междунар. науч. шк. "Эволюционные стохастические системы: теория и применения в физике и биологии, Кацивели, Республика Крым, Украина, 3-14 мая 1992 г.: Сб. докл. -Кацивели, 1992.- С.37-40.

6. Kovalchuk L. V. The structure of Lie groups-valued semi-martingales // Second Ukrainian-Hungarian conference on new trends in probability theory and mathematical ststistiGS, Mukachevo, Ukraine, September, 27-oktober, 3, 1992: Coll. volume of reports.- Mukachevo, 1992. - P. 15-23.