Сфероидальный и эллиптический анализ некоторых квантовых систем со скрытой симметрией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. СФЕРОИДАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ АТОМА ВОДОРОДА.

§1* Сфероидальный базис ••••••»•••.

§2. Скрытая симметрия и ортогональность по орбитальному моменту « • •

§3. Разложение сфероидального базиса по сферическому и параболическому базисам • •••••«.

§4. Сфероидальный интеграл движения, матричная формулировка и теория возмущений

ГЛАВА 24 ЭШШГГИЧЕСКйЙ БАЗИС ДВУМЕРНОГО АТОМА ВОДОРОДА

§5. Эллиптические координаты • •.

§6. Разделение переменных.

§7. Эллиптический базис

§8. Ортогональность ••••••••••••

§9. Предел +0.

§10. Предел £ —

ГЛАВА 3. МЕЖБАЗИСНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В ДВУМЕРНОМ АТОМЕ ВОДОРОДА

§11. Разложение эллиптического базиса по полярному • •

§12. Разложение эллиптического базиса по параболическому • •

§13. Эллиптический интеграл движения и матричная формулировка

§14. Теория возмущений

ГЛАВА 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КРУГОВОГО" ОСЦИЛЛЯТОРА

§15. Эллиптический базис .••••••

§16. Межбазисные разложения в круговом осцилляторе •

§17. Эллиптический интеграл движения и матричная формулировка . .••••

§18. Теория возмущений

В течение последних нескольких десятилетий значительно возрос интерес теоретиков к симметрийнш схемам исследования физических объектов и взаимодействий. Сказанное относится как к квантовой теории поля [1-з] , единой теории электрослабых взаимодействий /4,5] , квантовой хромодинамике [б-8] , различным вариантам теории великого объединения [9-1I], так и к таким традиционным разделам квантовой механики, каковыми являются квантовая теория углового момента [12,13], и теория систем со случайно вырожденным энергетическим спектром [14-61].

В работе Фока [19] было установлено, что истинная природа случайного вырождения кроется в наличии симметрий, выходящих за рамки чисто геометрических, и названных скрытыми симметриями. Эти симметрии порождают дополнительные интегралы движения, существование которых может быть иногда угадано и из других соображений. Так, наличие наряду с моментом импульса дополнительного вектора, лежащего в плоскости орбиты, направленного по большой оси эллипса и равного по модулю эксцентриситету было предсказано еще на заре развития теоретической механики Лапласом [14]. Известно, что именно этот интеграл движения является причиной замкнутости траекторий в кеплеровской задаче. Бертраном [15] было доказано, что среди центрально-симметричных полей лишь в кулоновом и осцилляторном полях частицы движутся по замкнутым траекториям.

Теория скрытой симметрии после работ Фока развивалась в нескольких направлениях и нашла свое отражение во многих обзорах и статьях [21-61] . Наиболее близкой к теме диссертации является направление, которое отталкивается от связи существующей между скрытыми симметриями уравнений и возможностью разделения переменных в них. Указанное направление имеет много точек соприкосновения с теорией специальных функций и теории груш [62-65] и его результаты используются во многих физических приложениях [66-76] .

Основная проблема сводится к двум пунктам: а/ нахождение базисов, получающихся в рамках разделения переменных; б/ вычисление коэффициентов, определяющих разложения одного базиса по другому.

В нерелятивистской квантовой механике скрытой симметрией обладают атом водорода и изотропный осциллятор. Этот факт перекликается с упомянутой выше теоремой Бертрана и остается справидли-вым для пространства произвольной размерности. Помимо этих систем скрытая симметрия свойственна задачам о движении частицы в однородном магнитном поле [57,7б] и движении нейтрона в поле линейного проводника [77]. Известны и другие примеры потенциалов, наделенных скрытой симметрией [78], но физической нагрузки они на себе не несут.

Скрытая симметрия атома водорода и изотропного осциллятора к настоящему времени получила исчерпывающее развитие и прекрасно изложена во многих обзорах [13,22,23,28] . Вопросам построения и вычисления межбазисных разложений для некоторых уравнений математической физики посвящена значительная часть недавно вышедшей монографии [62]. Шесте с этим проблема межбазисных разложений, построенных на базе решений уравнения Щредингера для потенциалов, наделенных скрытой симметрией, все еще ждет своего исчерпывающего решения. Известно, что задача об атоме водорода решается методом разделения переменных в четырех /сферические, параболические, вытянутые сфероидальные и сфероконические/, а изотропного осциллятора - в восьми /сферические, декартовые, цилиндрические, вытянутые сфероидальные, сплюснутые сфероидальные, эллиптические цилиндрические, сфероконические и эллипсоидальные/ системах координат. Эти же потенциалы, рассматриваемые в двумерном пространстве, описываются уравнением Шредингера, переменные в котором разделяются в декартовой, полярной и эллиптической /круговой осциллятор/ и полярной, параболической и эллиптической /двумерный атом водорода/ системах координат. Приведенные данные говорят о том, что количество межбазисных разложений для двух- и трехмерных кулоновской и осцилляторной систем довольно велико. Добавим, что те же задачи, сформулированные в импульсном пространстве также несут на себе информацию о скрытой симметрии и тоже являются объектами исследования. К настоящему времени результаты полученные в этой области исчерпываются работами (42-61].

В данной диссертации рассматриваются три типа потенциалов, наделенных скрытой симметрией: а/ атом водорода; б/ двумерный атом водорода; в/ круговой осциллятор.

Основная цель диссертации сводится к: а/ установлении некоторых общих свойств, характерных для этих систем; б/ построению эллиптических базисов кругового осциллятора и двумерного атома водорода и сфероидального базиса атома водорода; в/ нахождению межбазисных разложений в перечисленных системах.

Диссертация написана на основе десяти работ [79-88], состоит из введения, четырех глав, заключения, математического дополнения и приложения. Вопросы рассмотренные в диссертации распределены по главам следующим образом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследуются спектр некоторых вопросов, касающихся базисов и межбазисных разложений в атоме водорода, двумерном атоме водорода и круговом осцилляторе. Основные результаты, полученные в диссертации сводятся к следующему:

1. Найдено решение уравнения Шредингера для атома водорода в сфероидальных координатах, переходящее в пределах £ О и /?-»<=*=> в сферический и параболический базисы соответственно.

2. Доказана ортогональность радиальных частей сферического базиса атома водорода и изотропного осциллятора по неэнергетическому квантовому числу.

3. Получены разложения сфероидального базиса атома водорода по сферическому и параболическому базисам. Вычислены главные сфероидальные поправки к сферическому и параболическому базисам атома водорода.

4. Решено уравнение Шредингера для двумерного атома водорода и кругового осциллятора в эллиптических координатах и прослежены пределы О и 12 —> .

5. Найдены разложения эллиптических базисов двумерного атома водорода и кругового осциллятора по более простым базисам этих систем.

6. В рамках метода разделении переменных установлены интегралы движения, фиксирующие эллиптические базисы двумерного атома водорода и кругового осциллятора. Вычислены эллиптические поправки к полярному и параболическому базисам двумерного а-тома водорода и полярному и декартовому базисам кругового осциллятора.

ЩТШАТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ

Для удобства в этом дополнении собраны формулы, использованные нами в основном тексте. Дополнение включает в себя три параграфа, В §А, приведены нужные формулы из теории специальных функций и квантовой теории углового момента, В §Б, дана необходимая информация о базисах атома водорода, двумерного атома водорода и кругового осциллятора, В §В, получены: I/ формулы, определяющие явный вид нормировочных постоянных для сфероидального базиса атома водорода и для эллиптических базисов двумерного атома водорода и кругового осциллятора? 2/ формулы установливающие поведение этих нормировочных постоянных в пределах /?—» О и £ —* <=*=> ,

А.1» Гамма - функция Шлера, В тексте часто используется соотношение [92] в котором /7 - натуральное число, А,2, Гипергеометрические функции. Для вычисления нормировочных постоянных в сфероидальном и эллиптических базисах нужны

§А. Некоторые формулы из теории специальных функций и квантовой теории углового момента

Г(г) / /л* т-и) гс-г+о дл/ формулы [92]

Во многих местах текста встречаются ссылки на следующие соотношения ¡92-94,96,98]

И^М Х>) /Д.7/

Н^м=иГ в^гЪ**/*■>к3)

- г У»-'1 д.9/ о

ГЫ-*)Г(с1-г») 3 7 ' ]

Я^рР&^ъ /дло/ о ¿г * I; /ДЛ2/

Л 13/

С С; I 1 г е-*, е-* е-*, 1 /ДЛ4/ е, ¡' }

А.З. Сферические функции и функции Вигнера. Используемые нами сферические функции имеют фазу, принятую в монографии [12] и определены следующим образом:

Справедливо соотношение [12] , /ДЯ5/

МЫ\ ^ -г 7

Вычисление многих матричных элементов производится с помощью трехчленного рекуррентного соотношения

-л (Ю =Ы^Л'Х7-МЧ)о111мЧ /д.16/

1 №-мхт+лч) а) и условия ортонормировки м> — О "Т"

Функция Вигнера Л определена согласно монографии [12].

§Б. Базисы атома водорода, двумерного атома водорода и кругового осциллятора

Б.1. Сферический базис атома водорода [32]

18/

2Л) /д.19/

Се ~ ^ [{["-€%] Ш (ЗеН)! /Д,20/

Напомним, что ^ ^ определена согласно [12]} здесь и ниже = • Энергия дается выражением £ =■ - //¿/7 , а квантовые числа £ и ж пробегают значения: Б, 2. Параболический базис атома водорода [32] х/г /л./

Д*22/

V р/ ¡ыИ

Квантовые числа и изменяются в пределах О^^^и-^Ч,

О^Ь^^ь и связаны между собой соотношением =

Б.З. Полярный базис двумерного атома водорода ¡40]

Нами также используются полярные подбазисы с данной четностью /относительно замены ¥ —* - Ч* /♦

Д425/ лг», /¿Я

Д. 26/ ' Л/№ '

Б.4. Параболический базис двумерного атома водорода [41] . В двумерном атоме водорода параболический базис распадается на два подбазиса, имеющих определенную четность относительно замены

- /то есть ~ ¥ , или - ^ /. Аналитически оба подбазиса выражаются одной и той же формулой и различие сводится к значениям, которые пробегают индексы. Именно:

4«, ю = <-*>К-г ли"

- хг/г где Иь М - полиномы Эрмита [92]. Для четного базиса р--/у, -Л**,• • /К-.?, /V , для нечетного - р--А/+ ^ -/У+3,• • V /. В основном тексте используются также параболические квантовые числа ^^М+р и /?г .

Б.5. Декартовый базис кругового осциллятора. Для кругового осциллятора декартовый базис берется в виде [95] где функции Нн (*) были определены выше. Вводятся также декартовые подбазисы с данными четностями Р^ и / Ч и

Л/ у-* ~ху - У соответственно/:

Лъ^ЯьМН^Ы /»за/ а^Г^М^) /Д;31/

Н3к.а„ М /лзз/

Полярный базис кругового осциллятора. Полярный базис кругового осциллятора выбран согласно £95]

Ф Ь-) /Д.34/

Лл-/м * ГУУС-^М^; /Д.35/ 'и//«./ V " V (4=11*!)! Ы1 а соответствующие /Д.30/ - /Д.33/ полярные подбазисы с данными четностями и / У У т& соответственно/ определяются формулами ь. 2 ги г / = у /д,зб/ в которых О < УЬ <■ /]/ в

§В. Нормировочные постоянные

Получим вид нормировочных постоянных для сфероидального базиса атома водорода и эллиптических нормировочных постоянных для двумерного атома водорода и кругового осциллятора, ВЛ. Сфероидальная нормировочная постоянная. Подставляя в условие нормировки сфероидальной волновой функции атома водорода /1,2/ разложения /1.6а/ и /1.66/, получим: где по всем индексам суммирование ведется в пределах /о>ь-1*у,1-Н,

Т 1г»1 ^ IV»/ а и Jiif выражаются через вырожденные гипергеометрические функции /Д.2/, /Д.З/:

Пользуясь асимптотиками этих функций /Д.4/, /Д. 5/' и формулами /1*18/ и /1.21/ получим г гп^с'* ятЧь+'М*»»? ? /л 41/

Ю * ^ Ы /- /Д.42/

В.2. Эллиптическая нормировочная постоянная двумерного атома водорода. Из условий нормщювки эллиптической волновой функций двумерного атома водорода гоо 2ТГ диз/ о о и явного вида функций ^„ъ&ЬЮ следует, что V

-лгр

Д.44/ //г /у - //? т "•'/■г ^Иг л , v и)™^ ^¿и с-*) >

9 ,„ 1 Л ■ /1,1 ( Т Т-"* 3 ) J /Д#45/ где

2*"* = у«'* = г^/тм'^-Щрп ^

4/2 /

J ^ = /7-S + * /; 2coR)

Теперь пользуясь формулами /Д.4/, /Д.5/, /9,7/, /10.21/ и /10.22/ получим:

1 \ 7Г У I -я. У У С4/-Г»)! (2*): с:; w a* е' ^ /д«4э/

В.З. Эллиптическая нормировочная постоянная кругового осциллятора. Подставляя теперь эллиптические подбазисы в условие нормировки /Д.43/ получим:

4 ^ /д. 50/

Л Л J J = / И И д. 51/

SjSjijt^o /Д. 52/ и г

- /с ^ (XV*

Д. 53/ где чИЬ ги±Нг)га+?*Ю) г/7 а>. / з, /■ а') <!]2 I

Г, = /Т-2 ^ч 2 + ¿+$'+£±1; К^ г(4±иг)га*м*)г/А,,'. /.

Пользуясь формулами /Д.4/, /Д.5/, /15.17/, /15.18/ и /15.19/ имеем: ь-2/9

С (к) —* У

Г > е R /Си+рЧ)!

W У Ch-р)!

Г à^L ' / (h+p+з)!

Г ¿*r**(9f>+i)\ У R2pH /ШЕШ w /Т V i*. t.

Д. 55/

Д. 56/

Д. 57/

-**>! /Д.58/

7Т к! (и-к)/

Ж /с/ (>-*;/ k! (h-к)!

L (R) —* ¿/о-*;/ /д-61/

Л!.

1. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков. Введение в теорию квантованных полей. Наука, Москва, 1976.

2. Дж.Д.Бьеркен, С.Д.Дрелл. Релятивистская квантовая теория. Том 1,2. Наука, Москва, 1978.

3. К.Ициксон, Ж.-Б.Зюбер. Квантовая теория поля. Том 1,2. Мир, Москва, 1984.

4. Л.Б.Окунь. Лептоны и кварки. Наука, Москва, 1981.

5. Дж.Тейлор. Калибровочные теории слабых взаимодействий. Мир, Москва, 1978.

6. Lecture Notes in Physics, v. 118, Quantum Chromodynamics. Proceedings, Jaca, Huesca (Spain), 1979«

7. S.J.Brodsky, T.Huand, A.P.Lepege. Quantum Chromodynamics and Hadronic Interaction at Short Distanses. Proc. of Summer Institute and Particle Physics, 1982, SLAC Rep. No. 245, p. 87-140.

8. E.Reya. Perturbative quantum Chromodynamics. Phys. Rep., 69 , 195-333, 1981.

9. P.Langackiez. Grand Unified Theories and Proton Decay. Phys.Rep., 72, 4, 1984.

10. М.Гелл-Манн, П.Рамон, Р.Сланский. Цветная симметрия, распределение электрического заряда и стабильность протона в единых калибровочных теориях. УФН, 130, 459-505, 1980.

11. С.Г.Матинян. На пути объединения слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий: su(5) . УШ, 130, 3-38, 1980.

12. Д.А.Варшалович, А.Н.Москалев, В.К.Херсонский. Квантовая теория углового момента. Наука, Ленинград, 1975.

13. Л.Биденхарн, Дж.Лаук. Угловой момент в квантовой физике. Мир, Москва, 1984.

14. M.Laplace, Traite de Meqanique Celeste, v. 1, ch. 3» Paris, Bachelier, 1829.

15. J.Bertrand. The' orime Relatif au Mouvement d'un Point Atlire Vers un Centre Fixe. Comptes Rendus, 77, 849-853, 1873.

16. C.Runge. Vertoranalysis. Leipzig, 1919.

17. W.Lenz. Uber den Bewegung Sverlauf and Quantenrastangeder Gestorten Keplerbewegung. Zs. Phys., 24, 197-207, 1924.

18. W.Pauli, Uber das WasserstoffSpektrum vom Standpunkt der neuen quantenmechanik. Zs. Phys., 36, 336-363, 1926.

19. V.A.Fock. Zur Theorie des Wasserstoffatoms. Zs. Phys., 98, 145-154, 1935.

20. В.А.Фок. Начала квантовой механики. Наука, Москва, 197$.

21. А.М.Переломов, В.С.Попов. Группа Лоренца как группа динамической симметрии атома водорода. ЖЭТФ, 50, 179-198, 1966.

22. В.С.Попов. 0 скрытой симметрии атома водорода. Статья в сборнике Физика высоких энергий и элементарных частиц. Наукова Думка, Киев, 1967.

23. M.Bander, C.Itzykson. Group Theory and Hydrogen Atom. Part. 1, 2. Rev. Mod.Phys., ¿8, 330-345, 346-358, 1966.

24. Г.Дьерди, Я.Реваи. К теории скрытой симметрии задачи Кеплера. ЖЭТФ, 48, 1445-1447, 1965.

25. Г.И.Кузнецов. Замечание о многомерной кулоновской задаче. ЖЭТФ, 51, 216-221, 1966.

26. С.П.Аллилуев. К вопросу о связи "случайного" вырождения со "скрытой" симметрией системы. ЖЭТФ, 33, 200-203, 1957.

27. И.Т.Тодоров. Некомпактные группы и динамические симметрии. Статья в сборнике Физика высоких энергий и элементарных частиц. Наукова Думка, Киев, 1967.

28. М. J.Engl ef i eld. Group Theory and the Coulomb Problem. Wiley-Interscience, New-York, London, Sydney, Toronto, 1972.

29. J.M.Jauch. Groups of Quantum-Mechanical Contract-Transformations and the Degeneracy of Energy-Levels. Phys.Rev., jjj? , 1132, 1939.

30. J.M.Jauch, E.L.Hill. On the Problem of Degeneracy in Quantum Mechanics. Phys.Re.v, ¿1, 641-645, 1940.

31. G.A.Baker. Degeneracy of the N-Dimensional Izotropic Harmonic Oscillator. Phys.Rev., 103, 1119-1120, 1956.

32. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифпшц. Квантовая механика. Наука, Москва, 1974.

33. Ю.Н. Демков. Группа симметрии изотропного осциллятора. ЖЭТ®, 26, 757, 1954.

34. Ю.Н.Демков. Группа симметрии изотропного осциллятора. ЖЗК&, 36, 88-92, 1959.

35. Y.A.Duloch, H.Y.Mcintosh. On the Degeneracy of the Two-Dimensional Harmonic Oscillator. Amer. J.Phys., 33, 109-118, 1969.

36. С.П.Аллилуев, А.В.Матвеенко. Динамические симметрии в квантовой механике. Статья в сборнике Физика высоких энергий и элементарных частиц. Наукова Думка, Киев, 1967.

37. L.P.Eisenchart. Enumeration of Potentials for which One-Particle Schrodinger Equations are Separable. Phys.Rev., И» 87-89, 1948.

38. C.A. Coulson. P.D.Robinson. Wave Junctions for the Hydrogen Atom in Spheroidal Coordinates.

39. The Derivation and Properties of the Functions. Proc. Phys.Soc., London, J± , 815-827, 1958.

40. Я.А.Смородинский, Л.А.Шелепин. Коэффициенты Клебша-Гордана с разных сторон. УШ, 106 , 3-45, 1972.

41. B.Zaslow, W.E.Zandler. Two-Dimensional Analog to the Hydrogen Atom. Amer. J.Phys., ¿5 , 1118-1119, 1967.

42. A.Cisneros, H.V.Mcintosh. Symmetry of the Two-Dimensional

43. Hydrogen Atom. J.Math.Phys., 10, 277-286, 1969.

44. V.Bargpiann. Zur Theorie des Wasserstoffatoms. Zs. Phys. ,99,576.582, 1936.

45. A.P.Stone. Some Properties of Wigner Coefficients and Hyperspherical Harmonies. Proc. Cambr. Hail. Soc. 52, 424-430, 1956.

46. D.Park. Relation Between the Parabolic and Spherical Eigenfunctions of Hydrogen. Zs.Phys., 159» 155- 157, 1960.

47. C.B.Tarter. Coefficients Connecting the Stark and Field-Free Wavefunctions to Hydrogen. J.Math.Phys., jH , 3192-9195,1970.

48. А»M.Переломов, В.С.Попов. К вопросу о "скрытой" симметрииатома водорода. ЖсЯШ, 54, 1799-1805, 1968.

49. S.D.Majundar, D.Basu. 0(3.1) Symmetry of the Hydrogen Atom. J.Phys., A7, 787-793, 1974.

50. C.A.Coulson, A.Joseph. Spheroidal Wave-Functions for the Hydrogen Atom. Proc.Phys.Soc. London, <Э0, 887-893, 1967.

51. Z.Pluhar, J.Tolar. Transformation Matrix for the Izotropic Harmonic Oscillator Eigenvector in and£/»^A»*J Representations. Czech.J.Phys., В14» 287-293» 1964.

52. E.Chacon, M. de Liano. Transformation Brakets Between Cartesian and Angular Momentum Harmonic Oscillator Basis Functions with and without Spin-Orbit Coupling. Tables for 2s-1d Huclear Shell. Rev.Mex. de Fisica, 12, 57-68, 1963.

53. Г.С.Погосян, В.М.Тер-Антонян, Г.Т.Торосян. Связь между декартовыми и полярными волновыми функциями кругового осциллятора. Препринт ЕГУ ПЛРФ-77-04, Ереван, 1977.

54. Г.М.Арутюнян, М.Г.Арутюнян, Г.С.Погосян, В.М.Тер-Антонян. Связь между волновыми функциями простейших квантовых систем со скрытой симметрией. Препринт ЕГУ ПЛРФ-77-10, Ереван, 1977.

55. Г.М.Арутюнян, Л.С.Давтян, Л.Г.Мардоян, Г.С.Погосян, В.М.Тер-Антонян. Связь между волновыми функциями двухмерных квантовых систем со скрытой симметрией. Препринт ЕГУ ПЛРФ-79-17, Ереван, 1979.

56. Г.С.Погосян, В. М. Тер-Антонян. Коэффициенты преобразования между декартовыми, цилиндрическими и сферическими волновыми функциями изотропного осциллятора. Сообщения ОИЯИ P2-II962, Дубна, 1978.

57. Г.С.Погосян, В.М,Тер-Антонян. Связь между декартовыми и полярными волновыми функциями кругового осциллятора и динамическая симметрия. Изв. АН Арм. ССР, Физика, 13, 235-237, 1978.

58. М.Г.Арутюнян, Г.С.Погосян, В.М.Тер-Антонян. К соотношению между параболическими и сферическими волновыми функциями атома водорода. Изв. АН Арм.ССР, Физика, 13, 152-154, 1978.

59. Г.С.Погосян, В.М.Тер-Антонян. Связь между декартовыми и полярными волновыми функциями нерелятивистской заряженной частицы в однородном магнитном поле. ТЮ, 40, 140-143, 1979.

60. G.S.Pogosyan, Ya.A.Smorodinsky, V.М.Тег-Ant onyan.

61. Oscillator Wigner Functions. J.Phys., A14, 769-776, 1981.

62. Г.С.Погосян, Я.А.Смородинский, В.М.Тер-Антонян. Многомерный изотропный осциллятор: переходы от декартового базиса к гиперсферическим. Сообщения ОИЯИ P2-82-II8, .Дубна, 1982.

63. Г.С.Погосян, В.М.Тер-Антонян. Связь между сферическими и параболическими кулоновскими волновыми функциями в непрерывном спектре. Препринт ОИЯИ P2-80-3I8, Дубна, 1980.

64. Г.С.Погосян. Кандидатская диссертация. ОИЯИ, Дубна, 1982.

65. У.Миллер мл. Симметрия и разделение переменных. Мир, Москва, 1981.

66. W.Miller Jr. Lie Theory and Spesial Functions. Hew York, Academic Press, 1968.

67. J.Talman. Special Functions: A Group Theoretic Approach, New York: W.A.Benjamin, 1968.

68. Н.Я.Виленкин. Специальные функции и теория представлений групп. Наука, Москва, 1965.

69. И.А.Малкин, В.И.Манько. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. Наука, Москва, 1979.

70. И.В.Комаров, Л.И.Пономарев, С.Ю.Славянов. Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции. Наука, Москва, 1976.

71. А.И.Базь, Я.Б.Зельдович, A.M.Переломов. Рассеяния, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике. Наука, Москва, 1971.

72. Ю.Ф.Смирнов, К.В.Шитикова. Модель К-гармоник и модель оболочек. ЭЧАЯ, 8, 847-910, 1977.

73. Н.Ф.Трускова. Представления некомпактных групп и задача двух центров квантовой механики. ЯФ, 28, 558-565, 1978.

74. С.И.Виницкий, Л.И.Пономарев. Адиабатические представления в задаче трех тел с кулоновским взаимодействием. ЗЧАЯ, 13, I336-I4I8, 1982.

75. М.P.Faifman, L.I.Ponomarev, S.I.Vinitsky. Asimptotic Form of Effective Potentials of the Coulomb Three-Body Problem in the Adiabatic Representation. J.Ehys., В9» 2255-2268, 1976.

76. M. C.Li. Spheroidal Analysis of Coulomb Scattering. J.Math.Ehys., 15, 570-575, 1974.

77. M.C.Iii. Scattering by a Uonspherical Potential. J.Math. Phys.,12, 936-944, 1971.

78. M.C.Li. Scattering by Two-Charged Centers. J.Math. Hiys., 12, 1381-1386, 1972.

79. И.А.Малкин, В.И.Манько. Динамическая симметрия заряженной частицы в постоянном магнитном поле. ЯФ, 8, I264-I27I, 1968.

80. Г.П.Пронько, Ю.Г.Строганов. Новый пример квантовомеханичес-кой задачи со скрытой симметрией. ЖЭТФ, 72, 2048-2054, 1977.

81. A.A.Makarov, Ya.A.Smorodinsky, J.Valiev, P. Vint emit z. A Systematic Search for Honrelativistic System with Dynamical Symmetries. Part 1; The Integral of the Motion. Nuovo Cim., 52A, 1061-1084, 1967.

82. L.G.Mardoyan, G.S.Pogosyan, A.N.Sissakian, V.M.Ter-Antonyan. Spheroidal Analysis of the Hydrogen Atom. J.Phys., A16, 711-728, 1983.

83. Л.Г.Мардоян, Г.С.Погосян, В.М.Тер-Антонян. К разложению сфероидального базиса атома водорода по сферическому. Изв. АН Арм. ССР, Шизика, 19, 3-9, 1984.

84. Ь.G.Mardoyan, G.S.Pogosyan, A.H.Sissakian, V.M.Ter-Antonyan. Spheroidal Corrections to the Spherical and Parabolic Basis of a Hydrogen Atom. Preprint JIHR E2-84-516, Dubna, 1984.

85. Л.Г.Мардоян, Г.С.Погосян, А.Н.Сисакян, В.М.Тер-Антонян. Двумерный атом водорода. Эллиптический базис. ТМФ, 61, 99-117, 1984.

86. Л.Г.Мардоян, Г.С.Погосян, А.Н.Сисакян, В.М.Тер-Антонян. Межбазисные разложения в двумерном атоме водорода. Препринт 0ИШ Р2-84-86, Дубна, 1984.

87. Л.Г.Мардоян, Г.С.Погосян, А.Н.Сисакян, В.М.Тер-Антонян. Скрытая симметрия, разделение переменных и межбазисные разложения в двумерном атоме водорода. Препринт 0ИЯИ Р2-83-899, Дубна, 1983.

88. Л.Г.Мардоян, Г.С.Погосян, А.Н.Сисакян, B.MiTep-Антонян. К эллиптическому базису двумерного атома водорода. Препринт 0ИЯИ P2-84-II0, Дубна, 1984.- но

89. Л.Г.Мардоян, Г.С.Погосян, А.Н.Сисакян, В.М.Тер-Антонян. Эллиптический базис кругового осциллятора. Препринт ОИЯИ P2-84-2II, Дубна, 1984.

90. Л.Г.Мардоян, Г.С.Погосян, А.Н.Сисакян, В.М.Тер-Антонян. Межбазисные разложения в круговом осцилляторе. Препринт ОИЯИ Р2-84-526, Дубна, 1984.

91. Ь. G.Mardoyan, G.S.Pogosyan, A.H.Sissakian, V.M.Ter-Antonyan. On the Elliptic Basis of a Circular Oscillator. Preprint JHR E2-84-516, Dubna, 1984.

92. Н.Я.Виленкин, Г.И.Кузнецов, Я. A.Смородинский. Собственные функции оператора Лапласа, реализующие представления групп su(2) 9 и(2) »S0(3) » и(3) » SU(3) и символический метод. ЯФ, 2, 906-917, 1965.

93. F.M.Arscott. The Whittaker-Hill Equation and the Wave Equation in Paraboloidal Co-ordinates. Proc.Roy.Soc. Edinburg, A67, 265-276, 1967.

94. Ф.М.Морс, Г.Ф.Фешбах. Методы математической физики. Том 1,2. ИЛ, Москва, 1958.

95. Г.Бейтман, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Наука, Москва, 1973.

96. W.N.Bailay. Generalized Hypergeometric Series. Cambridge Tracts No 32, 1935.

97. L.Slater. Generalized Hypergeometric Functions. London, Hew York, Cambridge Univ. Press. 1966.

98. З.Зшогге. Задачи по квантовой механике. Том I. Мир, Москва, 1977.

99. Я.А.Смородинский, Г.И.Кузнецов. Матричные элементы буста в 0(3,1) и продолжение к 0(4) . ЯФ, 13, 444-453, 1971.

100. Э.Л.Айне. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, 1939.

101. И.С.Градштнйн, И.М.Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Физматгиз, • Москва, 1963.