Сх-алгебры, порожденные операторами локального типа и их автоморфизмами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ДАНГ СУАН ТХАНЬ

. УДК 517.98

СХ-АЛГЕБРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОПЕРАТОРАМИ ЛОКАЛЫЮК) ТИПА И ЮС АВТОМОРФИЗМАМИ

• • QI.CI.GI - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации, на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Минск- 1992

Работа выполнена на кафедре функционального анализа Белорусского государственного:университета

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор А.Б.АНТОНЕВИЧ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор С.Г.САМКО кандидат физико-математическю наук, доцент С.В.РОГОЗИН

Ведущая организация - Московский авиационный

институт

Защита состоится 12 мая 1992 г. в 10 часов на засе-•дании специализированного совета К 056.03.05 по физико-математическим наукам / математика / в Белорусском государственном университете по адресу.: 220080, Республика Белорусь, г.Минск, проспект Ф. Скорины, 4; главный корпус, ■ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан " № " апреля 1992 года.

Ученый секретарь специализированного совета доцент

п.Н. КНЯЗЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ' 1 х

-'■•' :: Актуальность теш. Теория С -алгебр, порожденных динамическими системами, у истоков которой стояли Ф. Мюрей и Дж. фон Нейман, интенсивно развивается в последние три девятилетия. Такие алгебры представляют интерес как с точки зрения общей теории операторных алгебр, так и в связи с многочисленными приложениями в разных областях математики и физики (например, в теории представлений, теории краевых задач с отклонениями аргументов, теории упругости, квантовой механике и т.д.) . Одним из важнейших вопросов теории таких алгебр является- вопрос об условиях обратимости и нетеровост" их элементов, В связи с этим вопросом конкретные классы таких алгебр рассматривались многими авторами. В частности, петеровость сингулярных интегральных операторов со сдвигами на контуре изучалась Ю.И. Карловичем, В.Г. Кравченко, Г.С. Литвинчуком [6] , Н.К. Карапетянцем, С.Г. Самко£4] , Ю.Д. Латушкишм , Г.С. Литвинчуком [10] , А.Г. Мясниковым, Л.И. Сазоновым, В.И. Семенгатой, А.П. Солдатовым; вопрос об условиях обратимости и нетеровости для функционально-дифференциальных операторов рассматривались в работах А.Б. Антоновича , A.B. Лебедева [^8,9] , B.C. Рабиновича £ I2J; для теплицевых операторов со сдвигами такой вопрос исследовали А. Беттхер, Б. Зильберманн, A.B. Лебедев и др. •

В середине 60-х годов И.Б. Симоненко предложен общий метод исследования широких классов операторов, получивший

название локального метода. С помощью различных модификаций и обобщений такого метода, предложенных разными авторами, в том числе Г.Р. Алланом £14] Р.Г. Дугласом [1б], Дж. Даунсом и К.Г. Хофманном £15 ] , И.Ц. Гохбергом, Н.Я. Крупником [3] , Ю.И. Карловичем [6 ] , Б.А. Пламеневским

, удалось найти условия нетеровости для других классов операторов. В частности, условия нетеровости сингулярных интегральных и теплицевых операторов с коэффици-• ■

ентами, имеющими разрывы полупочтипериоди,ческого типа, ■ операторов типа свертки с осциллирующими коэффициентами, псевдодифференциальных операторов с разрывными символами и др. «

Таким образом, естественно возникает необходимость построения, такой теории операторов локального типа, которая охватывала бы все выше упомянутые классы операторов, и нахождения единого метода исследования обратимости и нетеровости элементов из С*-алгебр, порожденных операторами локального типа и их автоморфизмами. Решение таких задач определяет актуальность темы данной работы.

Цель работы. В качестве основного объекта в настоящей диссертационной работе выступают Сх-алгебры, порожде> нне динамическими' системами вида

где *В - С*-алгебра операторов локального типа, Сг заданная группа, Т - унитарное представление группы 1 в ^ , такое, что Т^ & Т^ = , ^ € Ст

..Основной целью данной работы являются разработка С* варианта теории операторов локального типа и локального

метода, формулирование единого метода исследования обратимости и нетеровости элементов из Сх-алгебр, порожденных операторами локального типа и их автоморфизмами, и наконец, получение критериев нетеровости для.следующих операторов, ассоциированных со сдвигами и действующих в пространствах

: псевдодифференциальных операторов с разрывными символами, сингулярных интегральных, и теплицевых операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами.

Методы исследования. В работе применяются методы теории С*-алгебр, теории ¿тредставлрний, локальные методы.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты.

построен Сх-вариант теории операторов локального' типа и локального'метода ;

- найден локальнотраекторный метод исследования обратимости и нетеровости элементов из Ск-алгебр, порожденных операторами локального .типа и их автоморфизмами ;

- получены критерии нетеровости для псевдодифферекци-альных операторов с изолированными особенностями в символах и сдвигами на гладком компактном многообразии без края; для сингулярных интегральных операторов со сдвигами и коэффициентами, имеющими разрывы первого рода, на сложном кон-* туре ; и для теплицевых операторов со сдвигами и коэффициентами такого же типа на единичной окружности.

Практическая .ценность. Работа носит теоретический характер, однако, ее результаты могут быть использованы при исследовании нелокальных краевых задач, дифференциально-

функциональных уравнений с отклонениями аргументов и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в ХУ Всесоюзной школе по теории операторов в функциб-

. *

нальннх пространствах ( Ульяновск, 1990 ),, на Втором международном Коллоквиуме по дифференциальным уравнениям С Пловдив, Болгария, 1991 ) , и на семинаре кафедры функционального анализа Белгосуниверситета.

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [17 - 22] .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 114 наименований, и изложена на 107 страницах машинописного текста,

КРАТКОЕ С0ДЕРЖА1МЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор истории вопроса и излагаются основные результаты диссертации.

Первая глсяа посвящена разработке С^-варианта теории операторов локального типа и локального метода.

§ I содержит предварительные сведения. Здесь приводятся основные необходимые в дальнейшем понятия и факты из теории Ск-алгебр и их представлений, теории групп и теории динамических систем. '

§ 2 излагается Сх-вариант теории операторов локальногс типа. Пусть задана тройка . ( Н, 3 , Л , где Н гильбертово пространство, 3 - идеал и Л - коммутативная Ск-подалгебра с единицей алгебры ( Н) линейных ограниченных операторов в "Н" . В дальнейшем всегда предположи:

îto для тройки ( H", IT , Л"-) выполнено условие( :

i П Ь loi

Определение.- 2.4. Оператор назовем опера-

тором локкльного типа л„т. относительно коммутативной Сх-алгебры J} и идеала И , если для любого элемента ci G Л" выполнено равенство аЬ =• Ьа Счг\.ос1 CÎ ) .

' Множество всех операторов л.т. относительно

и Ц есть наполненная С^-подалгебра алгебры Пусть А = Л / 3 и В = fè / tf , М^ - компакт максимальных идеалов в Л .Из условия (я) следует - • Напомним, что Prim. Б и В соответственно про-

странство 4примитивных идеалов в В с.топологией Джекоб-сона и пространство всех классов эквивалентных неприводимых представлений алгебры В с топологией, индуцированной топологией Джекобсона при каноническом отображении 01 • Рк-т,В В . Если I - идеал в В , то Bj ( соотв. . D ) -множество таких "элементов ТС G В , что *КСП=0 (соотв.

хан о ). пусть I е в , I — = \ое А-. тгсю = о , Vic е \ ] .

Предложение 2.2. Композиция является непре-

А

рывннм сюръективным отображением В на M ^ Определение 2.5. Пусть

. Будем говорить, что и Ьг "3-эквивалентны в точке "t 6 М.^ и запишем так : Ь1 ~ ( mod ) , если для любого .такого элемента X G В , что , имеет место

Пусть BU)==B/^, где П UrTT при ^(Х)

= , {»'"> - образ элемента I» 6 В при отображении В-* —» , который назовем локальным представителем эле-

мента Ь в точке "Ь .

Определение 2.6. Оператор Ь е назовем ТТ -нете-ровым в точке 4 в Мд , если ЬсЪ обратим в

Основным результатом данного параграфа является , Теорема 2.2.( критерий ^-нетеровости) . Оператор Ь € П-четеров в том и только в том случае, если он нетеров в каяздой точке множества М^ . ,

§ 3 посвящен исследованию проекторов л.т. и локализации операторов л.т., действующих в подпространствах, определенных такими проекторами. Пусть Р - проектор л.т. в Н . Предположим, что для проектора Р , алгебры Л и идеала 'З выполнено условие (к к) : V а 6 Л" , а^ О =Ф схРв 3 . Обозначим -Н'= Ц = РЗР , ЛУ- РсЙР ,

. Тогда О есть идеал в алгебре Пусть ^'-Л'/!' и ф'/а' .

Лемма 3.2. Если Ь - оператор л.т. относительно и , то к Р1ьР есть оператор л.т. относительно Л и .

Таким образом, для локализации алгебры В достаточно повторить результаты - параграфа § 2. Однако имеет место следующий критерий и-нетеровости элементов из . Пусть алгебра

ВсЬ

реализована в виде С*-подалгебры для некоторого гильбертова пространства Н^. . Для локального представителя РС-Ь проектора Р в точке "Ь введем Н, = Т-т, РсЬ.

Теорема 3.1. Оператор Ь е © 3 -нетеров' в тогда и только тогда, когда

обратим в "Зл-Н-^) для

всех

§ 4 поовящен построению класса операторов л.т. с так называемыми эквивариантными локальными представителями.

Определение 4.2. Пусть задана группа <3г вместе с ее унитарным представлением

и

в гт . Оператор

Ь е

называется эквивариантным оператором относительно & и 11 или С Сг , IX ) -оператором, если Ь коммутирует все операторы ^ € Сг .

Пусть О - коммутативная сепарабельная локально

А

компактная группа и (зг - группа ее характеров.' Сущест-

л

вуют•ограйиченная положительная мера ^ на & , зависящая только от представления 11, , и такое изоморфное разложение "З" пространства И в прямой интеграл

7 : Н —> I НШс^Х

(.г4)

при котором представление и переходит в 111Ш с^СХ^Х Леша 4.3. Пусть оператор Ь эквивариантан относительно & и 11 . При изоморфизме У оператор Ь переходит в прямой интеграл п (Д") с1|л,(Д) , и обратимость оператора 1ь в ^ С 'Н) эквивалентна существованию операторов почти всюду на Сг и тому, что функция % —> II ЬсЯ^И существенно ограничена на Й- .

Конструкция операторов л.т. с эквивариантными локальными представителя?™ является аналогом конструкции псевдо-

дифференциальных операторов на многообразии. Пусть вьшол- . нено следующее условие

( Ж ) Для каждой точки 4; в Мд существуют открытая . окрестность "V , тройка С "Нч 3 , и оператор :

V

Н Н .ЧТО

а. . 7>% - Рх^

б. С Л

« Р

К

V

В. гп* а 3' <=■ з ,

где <Ау = \ а 6 Л •• а сЛ7 } , ^

- замкнутое подпространство "Н , порожденное векторами а, Я ,

ае , 16 Н .

Класс Л) оператороа л.т. с эквивариантными локальными представителями определяется условием

( ПЗ) Для каждой точки существует такой

ССг ,13, ) -оператор л.т. относительно Л и

V

' у что

•ЗбыГ А кЬ (I >

■ где ^ • - отображение окрестности

V

порожденное изоморфизмом на Л-у. . .

Следующая теорема оправдает введенное название класса

П) .

Теорема 4.2. Для оператора Ь 6 2) операторы ЬслО суть его локальные представитеи в точках ^ .

В класс 3) , в частности, попадают, фактически все известные до сих пор операторы л. т.

Вторая глава посвящена исследованию 3 -нетеровости элементов из.Сх-алгебры, порожденной операторами л.т. и гру]

- п -

ой их автоморфизмов. Более точно, такая алгебра опредёляет-я следующим образом.

Определение 5.iL Пусть iß - Сх-подалгебра' опреторов .т. относительно коммутативной С*-подалгебры JV и идеала о алгебры 'S С++} . Пусть заданы С -подалгебра лгебры , группа Gr и ее унитарное представле-

ие Т в Н , и выполнены условия : . -

1. Т.аТ* G А 3 ) , а е Л , <|SG;

2. TjbTY е ФДе Ф , € Gr /

3. Множество ^ конечных сумм S Т^ , лотно в о но норме ©ператоров из

Тогда будем говорить, что алгебра ^о порождена ал-еброй (ß операторов л.т. и представлением Т группы Qr, будем писать ^ ~ CC'ife>Gr)T"). Обозначим также С

^ / а , о/а = с прИ с в % .

Соответствие «I —>- T« Ci Т является автомор-л 13

измом алгебры А на себя, который порочадает гомеоморфизм

компакта -М-д на себя. Более того, соответствие

является изоморфизмом алгебры

Вс-Ь

а ß(\<j(A)) v Поэтому при фиксированной точке 4> можно

читать, что алгебры Bc/vc-b^ реализованы в виде алгебр

3

ператоров, действующих в одном и том же гильбертовом прист-анстве , гдэ СО - орбита точки А при действии

руппы 'Gr .

В § 5 на основе так называемой теоремы об изоморфизме ^-динамических систем 6J , получен критерий ti-HsTeP° ости операторов из алгебры прл менее жестких огранч-

чениях.

Теорема 5.2. Пусть соб а - множество а -орбит точек на . £ " . " представление алгебры С 1г( Сг , Н^") , определенное формулами

Элемент Св^ "3-нетеров тогда и только тогда, ко: да для каздой.орбиты ^ £

п

оператор ТГ^ С С") обратим :

Содержание § 6 связано с изучением П-нетеровости а ментов из алгебры ^ ' в случае нарушения условия теорем! об изоморфизме С*-динамических систем, называемого услови топологически свободного действия группы От на ^^ [ I 6^. Пусть М"^ - подмножество компакта , состоя-

щее из тех точек , для которых отображение ^ —»• Х^С является биекцией группы О* на орбиту со точки 4: ; - множество

-орбит на

м

^ , порожденное мс

Введем следующие идеалы алгебры В :

ЦеВ : Х)м;=0}_ 1'ы = { Ь е В * «о ,-Ьё со ^ •

и также следующие идеалы алгебры С :

= П кегт , те С , т|1те = о П1*гтг > ттеС ,тг|Гм - о = П кегтг , ттеС , ¥|Ги + о

• , Теорема 6.1. Канонические гомоморфизмы "ТТ^ : С —5 , образуют достаточный набор представлений алгеб

С .

Любая алгебра С3 ггуктуру С*( Bs,G , где В5 = ТГ3СеО , Т^

ТГ3СТ^ . в алгебре С°°= С С В , G,"!"0*) группа От зтствует топологически свободно на В . Поэтому к исс-

СОО

примени'да резуль-1тн § 5, чего нельзя сказать про алгебры С" - Пусть ггебра О реализована в виде алгебры операторов в тльбертовом пространстве НА , и пусть - сушест-

знное подпространство пространства "Н^ , порожденное хеалом

Теорема 6.2i Если ^ í О , то Cw ^ CjKu.

Алгебра С| Кш = С*(В | ,G ,Т| Структура iretípu B| KW определяется леммой

Лег.тга 6.2. Алгебра В)КШ есть сильное замыкание теала

В п.п„ 6.4 дается условие обратимости элементов из 31 К w в случае, когда = С*С S, Gr, Т") и tú

, где JJ - определенная в § 4 алгебра операторов ,т. с эквивариантгшми локальными представителями. Пусть

! = , , с = % i а ,'

3 4/ V V /

= 5) / 3 с Аналогично определены идеал I v эрожденное им существенное подпространство ■ К.

v v Г V

Лемма 6.4.. " С | К, — С | Ki .

V . "Ь v

Пусть JJ Ci} - алгебра

(Gr.lL)

-операторов л.т.

v v

гносительно Jt и о , порожденных операторами из 3) ютт'гогпенигс (I ) , и

Dcb = á)ch

/ О . Имеет место

4

DcV) | = DjK^ . Предположим, что структура npç ставления группы Gr удовлетворяет следующт

условиям :

( П4 )Существует унитарное представление S груш G в fi такое, что дня каждого cj 6 Gr оператс оа является CG.lt ) -оператором и выполнены тре( вания : v

' I. S û3J е А (wà) , à е

2. sH'dîâr e àcb , U-b e âcb

3. éjl^ lfâlK, . v

Введем С*-алгебры. % сЪ С (.ФсЬ 5S ) i

V . V v V ! V

Ceb = / П v . Пусть - идеал в SDtJrt

порожденный Ii , iKi - существееное подпространств

V "С X v , v v v

в H , порожденное идеалом X• . Имеет место С | К

V . , v Т

-СеЫК, .

v v v -v» v

Леша 6.5.' С сЬ | К^ - | "ЗС^. .

Теорема 6.3. ( условие обратимости элементов из С 11 Элемент с ] К^. обратим в CIK ^ -тогда и только то когда построенный по этому элементу оператор Cl'JCi о

v v

ТИМ 'в . Последнее эквивалентно тому, что (

обратим в ЗСЛЗ.') почти всюду на (G) относительно

' ' v -А

ры jM, и функция X —* Ц С С/О II существенно огранич В третьей главе рассматриваются применения результа двух предыдущих глав к исследованию нетеровости в простр ствах Lj некоторых классов операторов, ассоциировании со сдвигами. ~

§ 7 посвящен изучению нетеровости операторов из ал

л СЧЗ) , & , где 2) - Сч-алгебра псевдодиффе-энциальных операторов нулевого порядка с символами на ладком компактном многообразии без края М , имеющими азрывы первого рода [п] в точках из заданного конечного ножество М0СМ , Сг - группа С-диффеоморфизмов ^ ногообразия ' М. на себя таких, ,что точки из М0 и олько они являются их неподвижными точками и

а^ ф о , е м0,

Т - унитарное представление в и^СМ.") , заданное ормулой

ТКЪ .

Основным результатом данного параграфа является Теорема 7.3. Пусть € М0 и О/, N } - карта на М , соответствующая этой точке. Для каждого элемента ^ в (Зг , оператор , соответствующий Т^ йо

•алошпо (П4) , определяется формулой

'де а = V- ^ • V-1 - диффеоморфизм из на V (Л/У),

УС^О = О € К"* .

Условия нетеровости операторов из

не-

осредственш вытекают из теорем 5.2, 6.1, 6.3, 7.3.

В § 8 результаты § 7 распространены на одномерные ингулярнне интегральные операторы с кусочно-непрерывными оэ'Тфчцлентами д сдвигами на сложном контуре, и также на шлице вы операторы со сдвига?.«! и коэффициентами такого ко

- »

типа на единичной окружности.

В заключение автор выражает глубокую благодарность не чному руководитель«) профессору А.Б. Антоневичу и научному консультанту доценту A.B. Лебедеву за постоянное' внимание ценные замечания к данной работе

ЛИТЕРАТУРА

Г. Антонович АЛ5. О двух методах исследования обратимости-операторов из С*-алгебр, порожденных динамическими системами // Матем. сб. 1984. Т. 124 166 , № Г, С. 3-23.

2. Антонович А.Б. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход. Минск : Изд-во " Университетское", 1988. 231 с.

3. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев : Изд-во "Штиинца", 1973. 426 с.

4. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Сингулярные интегральные уравнения со сдвигом Карлемана в случае разрывных коэффициентов и исследование нетеровости одного класса линейных операторов с инволюцией // Докл. АН СССР. 1972. Т. 211,

№ 2. С. 281-284..

5. Карлович Ю.И., Кравченко В.Г. Алгебра сингулярных интегральных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами и кусочно-гладкими сдвигами на сложном контуре // Изв. АН СССР. Сер. матем. наук. 1983. Т. 47, № 5. С. 1030 -1077.

6. Карлович Ю.И., Кравченко В.Г., Литвинчук Г.С. Обрати-

юсть функциональных операторов в банаховых пространствах '/ Функционально-дифференциальные уравьения. Пермь. 1990. !. 18-58. I

Латушкин Ю.Д. К теории Нетера сингулярных интегральных шераторов с неоднолистным сдвигом // Докл. АН СССР. 1930. \ 254, № 4. С. 791-795.

Î. Лебедев A.B. Об обратимости элементов в С*-алгебрах; по-южденных динамическими системами // УМН. 1979. Т. 34, № 4.

I. 199-200.

). Лебедев A.B. О некоторых алгебрах, связанных с С^-дина-лическими системами. М.,-Г99Г. 27 с. Деп. в ВИНИТИ 22.03.91 * I28I-B9I.

[0. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интеграль-;ше уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. 448 с.

II. Пламеневский Б.А. Алгебры псевдодифференциальных операторов. ГЛ.: Наука, 1986. 255 с.

12. Рабинович B.C. Об алгебре, порожденной псевдодифферен-циальннми операторами на йС" , операторами умножения на почтиперподичоские функции и операторами сдвига // Докл. АН СССР. 1982. Т. 263, № 3. С. 1066-1069

13. Симоненко И.Б. Новый общий: метод исследования линейных эператорных интегральных уравнений. 1,2 // Изв. АН СССР, Dep. Чатем, наук. 1965. Т. 29, № 3. С. 567- 586; 1 h 4. С. 757-732.

[4. AIUG.R. О ne-sided. LYvversea Ъгь Вопаск algebras of kolomot-jAic vector - valued functions // T. London Ma+L Soc. H96T.Vel.A-a .P. 470.

15. Dauns 3"., HoimQrin К.H. Represe-ribtiorisi of Hincj Ц Section ъ Mam. Amer. Mcf№. Soc. . Vol. S3 . -tSO^.

16.- bouclas R.Gr. BartocJi algebra "techniques in Operator Thea

New УоЛ t Ac.ad. Pre-s«. "Ш2 . 4№<р.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО TELE '

ДИССЕРТАЦИИ

17. Данг Суан Тхань. О нетеровости элементов Сх-алгебры,пс рожденной теплицевыми операторами и оператором сдвига (( ч зисы ХУ Всесоюзной школы по теории операторов в Функционал ных пространствах. Ульяновск, 1990. С. 78.

18. Лебедев A.B., Данг Суан Тхань. Локальный метод - Ск-схема. M.,. 1991. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 29.04.91, № I796-B9I.

19. Лебедев A.B., Данг Суан Тхань. С*_алгебры, порождении . операторами локального типа и их автоморфизмами. M., 1991.

27 с. Деп. в ВИНИТИ И.06.91, № 2449-B9I. .

20. Лебедев A.B., Данг Суан Тхань. С*-алгебра, порожденная теплицевыми операторами и группой сдвигов // Докл. Ан Б60р 1991. Т. 35, №' II. С. 983-985.

21. Dang Suan Thanh. Ori С*- alcjekras ^enet-atad ojiercfVori oi ..local "type and dynamical system« II Abstracts of Tn vi -ted . Lectures and .Short Com"*nuntcahons Deliv£rec\ at +he Seeon Tnterna+ional Colloquium of Diiferen+ia) Equations . Plovdiv , Bulgaria . 4991 . P. 2S6 .

22. Данг Суан Тхань. Псевдодифференциальные операторы с рг рывными символами, и сдвигами // Докл. АН БССР. / в печати