С-методы в теории функционально-дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ АКАДЕМИИ НАУК БЕЛАРУСИ

/! л "

УДК 517.9

ЛЕБЕДЕВ Андрей Владимирович

С'- МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНО -ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.01. - матека^-лчаский анализ G1.01.C2. - д:ффесе.-:ц5:алькые уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Минск - 1996

Работ выполнена в Белорусским государственном университете.

Официальные оппоненты; доктор физико-чзтематичесигс наук.

ЕГОРОВ .Александр Дзппрневгп

докгор фтнко-мйтештчееких наук, ПЛАМЕНЕВСЫШ Борис Алексеевич

доктор фттсо-штемапр'.есгак наук, СТЕГОШ Анатолии Михайлович

Оппонирующая оргашелщи: РОСТОВСК1Н1ГОСУДАРСТВП1НЬ1П У1ШВЕРС1ГГ

Защита состоится " 15 " ноября 1996 года в 15 часов на заседагаш совета по за диссертаций Д 01.02.02. в Институте математики .АН Беларуси по адресу: 220072, г. М ул. Сурганова. 11. Институт матеязтаки АН Беларуси.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беллг Автореферат разослан р ^ Ь ^Я 1996 года.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Нелокальные функционально-дифференциальные уравнения и, i частности, функциональные уравнения давно привлекают внимание исследователей. Гакне уравнения рассматривались еще а работах Ж.. Д'Аламбера (J. D'Alembert), Л. Эйлера (L. Euler), К. Гаусса (С. Gauss), О. Коши (A.L. Cauchy), Н. Абеля (N.H. Abel) и фугих выдающихся математиков прошлого. В последние десятилетия наблюдается озрастание интереса к изучению данного класса уравнений и порожденных ими тераторов. Этот интерес объясняется с одной стороны обнаруженными новыми [рнложениями таких операторов, а с другой стороны их. связями с задачами из >азличных областей математики. Различным аспектам теории нелокальных зункционально-дифференииальных уравнений посзяшены работы Н.В. Азбелева, А.Б. ^нтоневича, А.Б. Батхина, Р. Беллмана, К. Кука (R. Bellman, К. Coofcel, А. Беттчера, >. Сильберманна (А. Böttcher, В. Silbermann), B.B. Бреннера, Я.С. Бродского, А.К.

Глипенко, О.П. Германовича, Н.К. Карапетянца, С.Г. Самко, Ю.И. Карловича, В.Г. Сравченко, В.Б. Колмановского, Ю.И. Носова, В.Г. Курбатова, М.Кучмы (М.

luczma), Ю.Д. Латушкина, AM. Степина, Г.С. Литвинчука, Ю.Л. Майстренко, Е.Ю. 'оманенко, A.A. Миролюбова, М.А. Солдатова, B.C. Мокеичева, А.Л. Мышкиса, Г.П. 1елюха, А.Н. Шарковского, Д. Пршеворской-Ролевич (D. Przeworska-Rolewicz), B.C. 'абиновича, В. И. Семенюты, АЛ. Скубачевского, Д.С, Тханя, А.Б. Хевелева. Дж. Хейла I Hale), А.Л. Шилдса (A.L. Shields) и др.

Одним из качественно новых свойств функционально-дифференциальных ператороа с частными производными по сравнению с чисто дифференциальными или севдодифференциалъными операторами является сложность построения объектов, грающих роль символа для таких операторов. Так как в теории дифференциальных равнений с частными производными в формулировки основных теорем входят условия а характеристический многочлен, то есть символ соответствующих операторов, не ызывает сомнений важность построения аналога символа хтя развития теории эсобенно фредгольмовой теории) функционально-дифференциальных уравнений, ^следования последних лет показали, что основным математическим аппаратом,

необходимым хтя построения символического исчислен»:

функционально-дифференциальных операторов являются методы С-алгебр порожденных динамическими системами (группами автоморфизмов).

Взаимовсвязи между различными проблемами теории нелокальных функционально дифференциальных уравнений и исследованием операторно-алгебранческих структу] были отмечены многими учеными. Наиболее близкими к теме данной диссерташ являются работы Д. Пршеворской-Ролевич, Г.С. Литвинчука, А.Б. Антоневнча, В.Е Бреннера, Н.Ю. Карапетянца, С.Г. Самко. Ю.И. Карловича, В.Г. Кравченко, ЮХ Латушкина, A.M. Степина, Д.С. Тханя, А.Б. Батхина, А. Бетгчера, Б.Сильбермана.

Кроме того применение С*-алгебраических методов начинает играть все большу! роль и непосредственно в теории псевдодифференциальных операторов, особенно в те случаях, когда последние обладают различными особенностями в символах, частности, описанию С-алгебры псевдодифференииальных операторов с кусочж непрерывными коэффициентами посвящена монография Б.А. Пламеневского.'

Начало исследованиям С*-алгебр, порожденных динамическими системами был положено в работах Ф.Ж. Мюррея и Дж. Фон Неймана (F.J. Murray, J. Von Neumanr изучением таких алгебр и их приложений занимались многие математики, в чис которых У.Б. Арвесон, К.Б. Джозефсон (W.B. Arveson, К.В. Josephson), М. Де Брабант! (М. De Brabanter), Д.П. О'Донован (D.P. О'Donovan), A.M. Вершик, В.Я. Голоде Д. Олесен, Г.К. Педерсен (D. Olesen, G.K. Pederseiu) и другие. В этом направлен! получен ряд фундаментальных результатов. Однако при приложении теории С-алгес порожденных динамическими системами к функнионалъно-дифференинальнь уравнениям возникают вопросы теории таких алгебр, которые ранее не бы разработаны в должной мере. В частности это касается методов вычисления услов: обратимости конкретных элементов этих алгебр в случае, когда динамические систе? заданы бесконечными группами. Описание ряда таких методов для алге функционально-дифференциальных операторов, порожденн

псеадоднфференииальными операторами с непрерьшнымп коэффиш!ентами допустимыми группами замен переменных дано в монографии А.Б. Антоневичз. Кро того исследованиям в этом направлении посвяшены работы В.В. Бреннера, В Семеюоты, А. Б. Хевелеза, Ю.Д. Латушкина, АЛ Г. Сгепяна, В.Г. Курбато Ю.И. Карловича, А.Б. Батхина, В.Г. Кравченко, Г.С. Литвинчука и др, в котор

1 Пламтевский Б.А. Алгебры псгвдозиффгреншчтьных операторов. - М.: Наука. 19S6. -256 с.

ественно различными методам» вычислены условия обратимости в ряде тсретных

раторно-алгебраических ситуаций. Однако разработка обших С*-алгебраических струкций и методов вычисления условий обратимости элементов из С*-алгебр, юждекных динамическими системами еще далека от своего завершения.

Таким образом актуальными проблемами являются конструкция и описание алгебраических структур, лежащих в основе символического исчисления окальных функцонально-дифференциальных операторов и получение общих С*-■одов вычисления условий обратимости построенных символов.

Связь работы с крупными научными темами. Исследования проводились в рамках бюджетных научных тем ''Операторные уравнения в функциональных гстранствах"

31860060981-27.39 и "Линейные и нелинейные проблемы анализа и теории ¡раторных уравнений и их приложения в теории управления и математической томике"

01920010104, (9941353-27.39 Белгосуниверситета.

Цель и задачи исследования. Конструкция и описание С*-алгебраических структур и ¡работка С*-методов решения проблем фредгольмовости нелокальных нкционально-дифференциальных операторов. Построение с помощью развитых >уктур и методов символического исчисления для О-псеадодифференциальных граторов. Вычисление условий обратимости построенных символов и получение на )й основе условий фредгольмовости изучаемых операторов.

Научная новизна. В работе развит новый обший С*-алгебраичесхий метод следования проблем фредгольмовости функционально-дифференциальных ераторов. Впервые получено описание структуры С-алгебр, порожденных намическими системами общего вида, в частности, доказана Теорема об аморфизме, описывающая предельно возможные условия (на группу и действие томорфизмов), при которых рассматриваемые алгебры полностью определяются йствием заданных автоморфизмов. Описаны условия наличия (отсуствия) мпактных элементов в С'-алгебрах. На основе этих условий и полученного описания руктуры С-алгебр, порожденных динамическими системами вычислены критерии впадения условий фредгольмовости и обратимости исследуемых операторов.

С помощью развитого нового С*- аппарата построено символи1 исчисление для функционально-псевдодифференциальных операторов с непрерыв и кусочно-непрерывными коэффициентами. До исследований диссертанта ан, такого исчисления были получены при значительно более жестких условш особенности коэффициентов и группы замен переменных, порождающие нелокаль рассматриваемых операторов.

Опнсаны три общих С*-метода (гиперболический, аппроксимационн траекторный) вычисления условий обратимости символов (которые соответсп служат методами вычисления условий фредгольмовости исследуемых функциона дифференциальных операторов). Эти методы (качественно отличаясь друг от д могут применяться в зависимости от ситуации. Ранее их аналоги были получены тс для частных случаев С*- алгебр и действий групп и для доказательства изломе в диссертации С*-методов потребовалась разработка ряда качественно новы) алгебраических и . операторных идей, существенно использующих по строе: диссертантом С-аппарат.

Практическая значимость. Методы и результаты диссертации могут использованы при изучении нелокальных функционально-дифференциал) уравнений, сингулярных иктегро-функциональных уравнений, уравниний типа све с осциллирующими коэффициентами, нелокальных краевых задач и в других вопр< Построенный С*-аппарат может быть применен для исследования структуры С*-ал1 порожденных динамическими системами и спектральных свойств их элементов.

Некоторые идеи, методы и результаты диссертации уже нашли отражен монографиях '-3 и нспользованы в отдельных работах по теории функционал дифференциальных операторов и спектральной теории динамических систем.

1 Актонгвич А.Б. Линейные функциональные уравнения: Операторный проддод. - Мн.:Уннверснтет 19SS. - 232 с.

2 Atxatevich A.B.. LebedevAX. Functional differential equations: I. C'-theory. - London: Longman Scienti Tedmical. 1994. - 500 p.

3 Rtaichenko !'.G.. Lirvinchuk G.S. Introduction to the theory of singular integral operators with shift. - Dord Kbnrer Academic Publishers. 1994. - 233 p.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся тедугашпе основные результаты.

1. Описание структуры С-алгебр, порожденных дннамическмим системами.

2. Описание условий наличия (отсуствия) компактных элементов в рассматриваемых алгебрах, и критериев совпадения условии фредгольмовости и обратимости исследуемых операторов.

3. Конструкция символа для нелокальных функционально-псевдодифференциальных операторов с непрерывными и кусочно-непрерывными коэффициентами.

4. Описание С'-методов вычисления условий обратимости построенных символов.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на ряде научных онференций, школ и семинаров, в том числе на Всесоюзных школах по теории ператоров в функциональных пространствах (1982 - 1990), конференции Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (Черноголовка, 1985), ¡ританском Математическом Конгрессе (Великобритания, Экзетер, 1988), в Крымской 1атематической школе (1994), конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992), на 10 :онференшш "Проблемы и методы математической физики" (Германия, Хемниц,1993), ¡а конференции "Некоторые аспекты дифференцируемое™. П." (Польша, Варшава, 995), на 5 Международном семннаре "Нелинейные явления в сложных системах" Минск, 1996), Международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и [робное исчисление" (Минск, 1996), на семинарах: проф. Н.К. Никольского(ЛОМИ); 1роф. Е.А. Горина (МГУ); проф. Д.В. Аносова, проф. А.М. Степина (МГУ); проф. A.M. кршика (ЛГУ), проф. А.Б. Антоневича, проф. П.П. Забрейко, проф. Я.В. Радьгао БГУ), на семинаре Белорусского математического общества (руководитель - академшч ШБ И.В. Гайшун), на математических семинарах в университетах Великобритании Кембридж, Эдинбург, Ньюкастл-апон-Тайн. Лидс, Йорк) н Германии(Бохум, Потсдам, fc.fflim).

Опубликованность результатов и личный вклад. Основные результаты t-МИ ' №) •

опубликованы в работа5*ТГмонограф1шУ.Результаты рабооУ^ыполненных в соавторстве

: А.Б. Антоневичем, принадлежат авторам в равное! мере. Результаты, опубликованные s монографии и включенные а диссертацию принадлежат диссертанту (что отмечено в комментариях к соответствующим разделам монографии).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, общей характер»! работ, четырех глав, включающих 12 разделов, выводов и списка нспользова источников. Объем диссертации - 237 страниц. Список использованных источ! содержит 217 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе описывается состояние вопроса, проводится обзор литерату дается краткое описание идей и методов работы.

Вторая глава посвящена описанию С*-алгебраических стру ассоциированных с нелокальными функционально-дифференциальными операто (ФДО). В качестве модельного примера мы рассматриваем операторы в L"(X) ( область в R" или многообразие) вида

где at(.x,D) — псевдодифференциальные операторы (ПДО) нулевого порядка, i операторы, порожденные заменами переменной, т.е. диффеоморфизмами ак : X —> L"-ситуации естественно считать, что операторы Тк задаются формулой

где (.r)j — модуль якобиана отображения а;1).

1. Основной С-алгебраический объеет.С-алгебра, порожденная дннамиче системой.

Аксиоматика (порождаемая операторами (I)) сводится к следующему.

1. Выделяется исходная (базовая) С*-алгебра (локальных операто Теоретически это может быть любая С*-алгебра.

2. Рассматривается некоторая группа G и представление G э g обладающими свойством

Т. AT., = А , * ?

geG

(это свойство фактически аксиоматизирует взаимоотношения между алгеброй А и операторами сдвига Гк).

Свойство ( 3 ) означает, что операторы Гх задают автоморфизмы алгебры А

3- Ttia)=TfaTf., • (4)

4. Исследуемый объект - С*-алгебра С (А, Г.,), порожденная операторами а е А и

"g.geG, то есть равномерное замыкание множества операторов вида

Х«Д„ , (/.. е А (5)

е

Это и есть С*-алгебра, порожденная динамической системой (группой втоморфизмов).

В случае G = Z вместо обозначения С (А, Т:), мы будем попользовать обозначение ''(А, Г) (так как группа { Г. порождена одним элементом Г= Г,).

Замечания. (1) В ситуации когда мы имеем дело с конкретными классами ФДО роль згебры А играют классические операторные алгебры, такие как алгебра :ез до дифференциальных операторов, сингулярных интегральных операторов, зераторов Теплица, алгебра операторов типа свертки и др., но общий С-

1гебраический подход развит в настоящие работе до уровня произвольной С*-алгебры

(2) С*-алгебры близкой к С (.-!. Т..) периоды (так называемые скрещенные произведения

пределение дано в 2.1.3.)) играют важную роль в обшей теории О-алгебр. Их изучение сходит к классическим работам Ф.Ж. Мюррея и Дж. Фон Неймана (F.J. Murray, Von Neumann)' и им посвящена монография Г.К. Педерсена (G.K. Pedersen '). Однако обходимо сразу же отметить, что исследование упомянутых в 1.2.1. проблем едгольмовости для ФДО требует применения не классических аспектов С*-теории гебр С (А, Тг) (таких как класс! 1фикаш1я С'-алгебр, разложение алгебр, теория шстзешгоспг, алгебры Фон Неймана, факторы и т.д.; именно эти аспекты и ¡пложены ), а рассмотрения ряда нетрасииионныл С*-алгебраических проблем (но естественных 5 ФДО) и. прежде всего, описания структуры и свойств конкретных операторов вида , условий их фредгольмовости, компактности, обратимости. Представленные в

erferseit G.K. C'-at gebras atvd their automorphisms groups. - N.Y.: Academic Press. 1979.-416 p.

диссертации методы решения этих проблем по существу имеют синтетическу природу, использующую идеи и конструкции из различных областей математт (теории динамических систем, теории устойчивости, эргодической теории и т.д.) именно поднятие этих конструкций до уровня современой теории С*-алгебр позволи. получить единый общий аппарат. 2. Теорема об изоморфизме. Среди наиболее важных структурных блоков {методов) данной работы следу выделить

совокупность так называемых теорем об изоморфизме (которым, в основном, посвящена глава 2).

Эти теоремы дают легко проверяемые условия (на действия автоморфизмов), п которых две С*-алгебры рассмотренного типа изоморфны. Если мы оказываемся такой ситуации, то появляется возможность единым методом исследовать ряд зад; существенно рантичных по исходной постановке.

Точная постановка вопроса об изоморфизме следующая.

Пусть заданы две алгебры описанного в 1. вида С (Л, Т$) и С (А, Кс) с одной и т же группой (7 и задан изоморфизм <р:Л—> Д , для которого выполнено

«=(7^7.,) = Гяр1а)Гг., Требуется выяснить, продолжается ли соответствие

определенное на множестве конечных сумм до изоморфизма С*-алге6р С"(А, 7,,) С (А,, ¡д.

В общем случае ответ отрицательный. Как покахзывают примеры, требую дополнительные ограничения на структуру группы С и характер ее дейсп автоморфизмами Т (4).

В разделе 2.1. исследована наиболее общая ситуация (т.е. наиболее слас ограничения на группу О и автоморфизмами Т}), при которых вопрос об изоморфи:

решаеся положительно. Эти ограничения следующие:

1) О должна быть аменабельной (определение дано в 2.1.5.),

2) действие группы (J автоморфизмами Тя. ; e (i должно быть топологически

CIlOÓoOUbLM.

Последнее понятие состоит в следующем. Каждый автоморфизм fs порождает чеоморфизм пространства Prim /1 примитивных идеалов алгебры А (см. 2.1.25.) и i гомеоморфизмы задают действие группы G на Prim А.

Согласно определению 2.1.26' действие группы G называются топологически эбодным, если для любого конечного множества ..., gs.]c G и любого открвтого южества U с Prim А существует точка л е U такая, что все точки / (л) = различны.

Теорема об изоморфизме, (см. 2.1.30.)

Пусть С (А, Ге) « С (А, Г,) - две С -алгебры описанного в 1. типа и <р\ A¡ -оморфизм. удовлетворяющий условию (6). Если G - аменабелышя группа, действующая опологически свободно tía А автоморфизмами Tg. то отображение (7) продолжается до юморфизма алгебр С (A, J't.) и С (A, Fs).

Эта теорема является предельно вогможнъш результатом такого сорта, так как при гвыполнении хотя бы одного из налагаемых на G условий 1), 2) алгебры С'(A, Ts) и ' (A, l's) уже могут оказаться неизоморными (Замечание 2. t .31.)

Ключевым моментом, почему данная теорема верна, является выявленная в еореме 2.1.27. связь между топологически свободным действием группы вточорфизмов и важным свойством алгебры С'/А, Tg) (называемым в диссертации чойством (*) (см. 2.1.17.)), заключающемся в вьггголненгаг для любой конечной суммы У_а?Тг неравенства

VLajAMV . (8)

■де е - единица группы G.

Как показано в 2.1.21. и 2.1.22.,

если G является аменабельной группой и С (А, Т„) обладает свойством {*). то

C'(.A,Tc)sA*G.

г<)с справа стоит скрещенное проижОение алгебры Л ни гр автаморфизлюн /'= ¡7, ¡írfJ. (см. 2.1.3.)

Таким образом результаты 2.1.30., 2.1.21. и 2.1.22. связывают топологич свободно действующие группы автоморфизмов, алгебры, обладающие свойством ( скрещенные произведения. Совокупность этих результатов образует "идейны методологический центр" среди всех теорем типа Теоремы об изоморфи полученных в главе 2 (в. 2.1., 2.4.), так как они, будучи важными сами по себе (es частности, 1.2.3.1.), одновременно в той или иной мере служат техничес инструментом, использующимся при доказательстве, как результатов из 2.4., так дальнейших приложениях (особенно в главе 4).

Замечания.

(1) Для приложений к ФДО весьма существенным являс непространственный характер теорем об изоморфизме, так как при конструирова] символического исчисления и получении условий фредгольмовосги таких операторо! главах 3 и 4) мы должны "стереть" исходное пространство (переходя к факторалге! по модулю компактных операторов).

(2) Установление упомянутой взаимосвязи между топологически свобох действующими группами автоморфизмов, алгебрами со свойством (*) и скрещенным произведениями позволяет получить "двойную" пользу - с одной стороны о позволяют применять для работы с алгебрами С (Л, Ts) уже созданный (для скрешенн произведений) математический аппарат (и эта идея существенным образом используел в диссертации, например, при доказательстве ряда результатов в главр 4), а с друг стороны развитые автором и представленные в данной диссертации методы работы алгебрами типа С'(А, Ts) могут рассматриваться и как методы работы с алгебрами та скрещенных произведений и, в частности, ряд результатов главы 4 и разделов 2.2. и 2 с этой точки зрения являются новыми и для скрещенных произведений.

(3) Помимо С*--алгебраического значения теоремы об изоморфизме играют i существ у роль "некоммутативного преобразования Фурье" для ФДО, что и позволяет их помощью строить соответствующее символическое исчисление для ФДО и получа условия их фредгольмовосги.

3. Следствия из Теоремы об изоморфизме.

В разделах 2.2. и 2.3. приведен ряд следствий из Теоремы об изоморфизме, аюшлхся обратимости элементов из С'(А. симметрии их спектров, структуры галов в С'(А, Тя). В 2.3., в частности, описаны условия наличия (отсутсвия) «пактных элементов в рассматриваемых алгебрах и вытекающие отсюда критерии тадения условий фредгольмовости и обратимости для изучаемых операторов.

Перечислим некоторые из полученных результатов.

Следствие (2.2.6). Пусть С ( А. Т ) обладает свойством ( * ). Тогда для любого мплексного числа А, 1x1= I элемент ( а0+ а1Т) обратим тогаа и только тогда, когда ратим элемент ( ац +Х а, Т ) . В частности, спектр элемента аТ инвариантен 1носителыю вращений вокруг точки 0.

Это свойство существенно используется далее при применении "гиперболического >дхода" к вычислению условий обратимости элементов из С (А, 7) (см. 7.).

Приводимые ниже разультаты относятся к описанию идеалов в С'(А. 7,). шпактных элементов и критериев совпадения условий фредгольмовости с условиями >ратимости.

Теорема (2.3.1.). Пусть С (А, Т? ) С -алгебра, такая что С дейстчует апологически свободно. Если У ^ { 0 ! - замкнутый * - идеал в С (А, ТТ ) . то

П А ).

Как показано в примере 2.3.27. условие топологически свободного действия группы в этой теореме существенно.

Из приведенной теоремы вытекают важные (в практических применениях) тедствия, выписанные в следующих двух леммах.

Лемма (2.3.5.) Пусть С (А, Т3 ) такая, чтп С действует топологически свободна. ~сли А не содержит ненулевых компактных операторов, то С (А. Тг ) не содержит енулевых компактных операторов.

Лемма (2.З.6.). Пусть й действует топологически свободно на А и А не содержит енулевых компактных операторов тогда оператор из С (А. Т, ) фредгольмов тогда и полъко тогйа, когда он обратим.

Чтобы использовать Лемму 2.З.6., нужно иметь некоторые критерии, указывающие 1а отсуствие ненулевых компактных операторов в Л. В п.п. 2.3.7. - 2.З.И. получен ряд юстаточных условий, при которых в алгебре А нет нетривиальных компактных шераторов, например.

Теорема (2,3.7.). Если Оля любого непустого открытого множества в Prim, существует дпа непересекающихся непустых открытых подмножества, то алгебра А н сооержит нетривиальных компактных операторов.

Как показано в примерах 2.3.12.

1) приведенные в 2.3.7. - 2.3.11. достаточные условия неяячяются необходимыми,

2) в принципе структура пространства Prim А не всегоа дает ответ на eonpoi содержит ли алгебра А ненулевые компактные операторы.

Объекты "компактной природы", которые действительно совместимы сс структурой С-алгебр были введены К. Вала (К. Vala). Они носят названш

компактных элементов и определяются (в 2.3.13.) следующим образом:

элемент и нормированной алгебры А называется компактным, если отображение а ->ши является предкомпактным оператором в А.

Это определение в действительности обобщает понятие компактного оператора (см. Теорему 2.3Л4.), хотя вообще говоря (как видно из примеров 2.3.12.) компактные элементы и компактные операторы представляют собой разные объекты.

В п.п. 2.3.16. - 2.3.25. приведен ряд критериев наличия нетривиальных компактных элементов (операторов) в алгебре А. Используя эти критерии и Лемму 2.3.6. мы можем автоматически выписать ряд результатов, касающихся совпадения множества фредгольмо^вых и обратимых элементов в А.

Например.

Теорема (2.3.26.). Пусть А - сепараоельноя С-алгебра, такая что замыкание любой хаусдорфовой точки в Prim А не является открытым множеством. Если группа С действует топологически свободно на А, то элемент из С (А, Т, ) фредгольмои тогда и только тогда. когОа он обратим.

4Леоремы об изоморфизме без условия топологически свободного действия.

Топологически свободное действие и свойство (*) являются довольно естественными условиями, если ми, например, рассматриваем динамические системы, порожденные стохастическими процессами (в этом случае эти условия обобщают условие независимости случайных приращений). В то же время для исследования ФДО естественно не ограничиваться только топологически свободно действующими группами. Однако, при рассмотрении таких динамических систем, как отмечалось выше. Теорема об изоморфизме (в том виде, в котором она сформулирована в 2.1.30.) уже не имеет места. Поэтому раздел 2.4. посвящен описанию структуры алгебр типа С'(A, Ts) в ситуациях, когда группа автоморфизмов {7^} не действует топологически

эдно. Существенную роль при этом играет использование (введенных в 2.4.1.) лов, ассоциированных с неподвижными точками гомеоморфизмов и , .4 е О. Эти лы определяются следующим образом.

Для любого # е (J через Л'г мы обозначаем подмножество Prim Л. задаваемое вием

Xs = i.v е Prim A. t% (л) = .v}. Пусть Xg - внутренность и

= РптД\[г> Ду, = ¡ns.ia(.v) = 0,.vi.V?l,

Г = (а е А:а(.\) = 0,.\-е Л',}. Чфез У' (Jx) мы обозначаем идеалы в С '(A, Ts), порожденные Г (1ц). а через 5, кал в А, порожденный всеми идеалами Т ,, т е (7.

Результаты 2.4.3. - 2.4.9. описывают структуру С'(А, Гг) в терминах представлений, гуцированкых каноническими фактор-отображениями С (А, Г8), связанными с денными идеалами. Приведем один из таких результатов.

Напомним, что множество {г,}1е/ представлений (морфизмов)алгебры В называется тпаточным, если элемент b е В обратим тогда и только тогда, когда все г, (ft), / е / ратимы.

Рассматривая идеал Jg, как банахово пространство мы зададим представление >рмулой

v^{b)j = 6<= С'(А, Tg). j е /у<,

через обозначим каноническое фактор-отображение

Следствие (2.4.6.). { , vg j - достаточное множество представ.' для

C\A.Tg).

В более удобной для применения к ФДО форме С (А, Т?) выписана в п.п. 2.4. 2.4.21. (именно эти результаты и используются затем в главе 3).

Определение. Действие автоморфизмов {fj jeU называется топологически свобод на Л'„ если для любого е Г, и любого конечного множества g,, ...g„ g^e множа

я

IvJf ] не содержит никакой окрестности точки .т. 6

Теорема (2.4.14,). Пусть С'(А,Т„) и C'(Atyg) - две С*-cueet рассматриваемого в 2.1.1, muiw и <р : Л Л t -изоморфизм, такой что

<р (TgaTg_i) = rgio(a)rg^ , g eG.

Если [Tg)ge(; действует топологически свободно на Xх. то отображения tp: А A J. Tg -» ('"„ определяют изоморфизм С (A, Tg) = С (Л), ) тогда и только того< когда для любого g^^e и любого конечного множества F сг (7

Ь

II f

Замечания. (1) Как отмечено в 2.4.12. группа G = Z всегда (!) действ автоморфизмами {Г.}.^ топологически свободно на X*, таким образом приведен»

результат описывает структуру С'(Л, Ts) в случае произвольного действия Г.

(2) Теорема 2.4.14. служит одним из С-инструментов, используемым в 3.3. л построения символического исчисления G-псевдодифференциальных операторов кусочно-непрерывными коэффициентами.

Вп.п. 2.4.16. - 2.4.24. рассматривается одна (достаточно специальная с точки зреь С-алгебр, но весьма естественная для ФДО) ситуация, в которой структура С'(А, опять таки полностью может быть выписана в терминах действия гомеоморфизм на Prim А. Описание этой структуры приводится в Теореме 2.4.21. 3i

результат применяется далее в 3.1. при построешш символического исчисления х G-псевдодифференциальных операторов с непрерывным» коэффициентами.

е£„

Символическое исчиаечие ¿ля С-ПДО.

Теоремы об изоморфизме (см. 2., 4,), с о ом ой стороны, подсказывают шшьную конструкцию символа для того или иного класса "нелокальных", ФДО, а с угой стороны служат одним из инструментов, позволяющих обосновать зтветствующее символическое исключение. Этой теме посвящена глава 3.

Мы (прежде всего по соображениям ограничений объема диссертации) хматриваем в данной работе только символическое исчисление для нелокальных 10 (то есть операторов вида (I)) с непрерывными и кусочно-непрерывными эффициентами. Такие операторы в диссертации названы й-псевдодифференциальньши ератора-ии ((7 -ПДО) (буква (7 означает, что нелокальность порождена группой ераторов сдвига Т?е С].

Замечание. В действительности Теоремы об изоморфизме позволяют единым щ-лм методом строить символическое исчисление для многочисленных других классов ДО, например, таких как операторы типа свертки с осциллирующими эффициентами, нелокальные сингулярные интегральные операторы, нелокальные плицевы операторы, нелокальные краевые задачи к т.д.

5. Символическое исчисление зля <3-ПДО с непрерывными коэффициентами.

В разделах 3.1. я 3.2. построено символическое исчисление, для -псевдодифференциальных операторов, порожденных псевдо дифференциальными кратерами с непрерывными коэффициентами (действующими в пространствах эбояева на компактном гладком многообразии М) и операторами сдвига вида

[е ^ — набор диффеоморфизмов М. задающих представление дискретной

)уппы С.

Сначала в разделе 3.1. рассматривается случай С -ПДО порядка 0, действующих

(9)

пространстве Ь~{М), т.е. С*-атгеоры С*(А°,из) операторов в Ь'(М), порожденной тераторами вида

т

ь = 2

(10)

где «{1 б А0 ( Л° — С*- алгебра ПДО с непрерывными коэффициента*

порядка 0, действующих в ¿"(М)).

Замечание. Очевидно, что этот же класс ПДО порождается операторами вша

где

I

=;«/ Ы' /(«;' (л)), (12

I / ! г

здесь \а3 (л); —модуль Якобиана отображения а% в точке.V.

Отметим, что по ряду (С*-алгебраических) соображений с операторами ^ удобнее работать, чем с операторами 1/г (прежде всего потому, что набор

образует унитарное представление группы С»), и поэтому в доказательствах основны результатов данного раздела используются именно операторы вида (12).

Конструкция исчисления главных символов исследуемого класса С-ПД< описывается следующим образом.

На многообразии ввошггея группа диффеоморфизмов ^ вида

, ч ЗаЛп) ,

КШ

где ¿а: т'М т' М— ко дифференциал отображения а (Т* М— кокасательное пространство).

В пространстве ¿'(.У*Д/) вводятся унитарные операторы

х

(У.чхг»¿я'ш'чф'т- (м

Определение (3.1.8.). (Главным) символом С- ПДО порядка 0 вида (10) мы буде: называть оператор <т( Ь ) ( действующий в ¿г(5*ЛГ)). задаваемый формулой

сю

где а (ал) (ашво.1 оператора а ?1) рассматривается, как оператор умножения на функцию а (а ^ ) (х,с), и Е'^ определен в (14).

Теорема о символическом исчислении для С-ПДО с непрерывными коэффициентами доказана в диссертации так называемых нормально действующих групп диффеоморфизмов. Это понятие описано в 3.1.10. и 3.1.11. и состоит в следующем.

Для любого6 <7 через Мв мы обозначаем множество

Пусть М% — внутренность Л/?. Для каждой точки х е Л/ через Ох мы обозначим подгруппу О, заданную условием

Если Ох - нормальная подгруппа, то вместе с 0"г мы можем рассмотреть факторгруппу

Мы говорим, что С действует топологически свободно в точке.х, если для любого конечного множества такого,что [ й] -[е) (то есть еО,, /=1 ,п )

множество

ил/а .'=1

не содержит окрестности точки х.

Определение.(3.1.11.). Мы будем говорить, что группа {<**} ^ действует нормально на

М, если выполняются ыелуюшие два условия:

( I) (7Х - нормальная группа для всех х е \[,

М, = {.х е .V/: а„{х) = .г;

( 2 ) 0х действует топологически свободно в каждой точке хеМ. Замечания.

(О Очевидно класс топологически свободно действующих групп явл подклассом нормально действующих групп.

(и) Если О — коммутативная группа, то условие (I) автоматически выпол: С другой стороны (как показано в примере 2.4.11.) для произвольного топологичес пространства М условие (2) может не выполняться даже в случае, когда С? — коне коммутативная группа.

(ш) Как показано в 3. [.П.

если а — диффеоморфизм многообразия М, то группа |аг| ^ дейст нормально на М.

В приводимой ниже основной теореме раздела 3.1. мы используем следук обозначения

В=С{А0,из)=С*(А0.^)сЬ{1\М)) — С*-алгебра б-ПДО порядка непрерывными коэффициентами:

В=С*(Л, М)) — С*-алгебра, порожденная алгеброй А=Са

операторов умножения на непрерывные функшш и операторами Р\ (14). Теорема (символическое исчисление для (7-ПДО порядка 0)(3.1.12.) Пусть <7 - дискретная аменабельная группа, действующая норма диффеоморфизмами т М-

Тогда отображение

сг: Ь а ( Ь )

определенное в (15) может быть продолжено до ' - эпиморфизма С* -алгебр

а: В-* В.

ядром которого является идеал К компактных операторов в [}(М).

В частности, С-ПДО 6 е В фредгольмов тогда и только тогда, когда его символ <т(Ь ) обратим.

Отметим, что ввиду приведенного выше Замечания (ш) эта теорема, в частности, описывает символическое исчисление для (7-ПДО в случае произвольного

действия группы 2 диффеоморфизмами |сг | ^.

Построенное символическое исчисление для (7-ПДО нулевого порядка в пространстве /.'(АЛ) позволяет естественным образом построить символическое исчисление для 6-ПДО произвольно порядка в пространствах Соболева. Это построение производится с помошью набора стандартных операторов Л' , /еЛ (см. З.2.5.), осуществляющих биекшю между пространствами Соболева Н'(М) и И'''{М) и приводит к конструкции так называемых "однородных" символов, которые описаны в разделе 3.2.

6. Символическое исчисление для С-ПДО с кусочно-непрерывными коэффициентами.

Вторым классом нелокальных ФДО, для которых в данной диссертации построено символическое исчисление является класс (7-ПДО с кусочно-непрерывными коэффициентами, то есть С*-алгебра С*{А,Тг), порожденная алгеброй А ПДО (порядка 0) с кусочно-непрерывными коэффициентами, действующих в (алгебра таких

операторов описана в Б.А. Пламеневсхим (см. с.2); для удобства изложения необходимые сведения приведены также в п.п. 3.3.1. - 3.3.22.) и операторами сдвига Г? (12).

Символическое исчисление для рассматриваемых С-ПДО описывается следующим образом.

Введем пространство I ( М, V ( 1Х х 5"-' )), где 1Х гЯ — прямая "соответствующая" точке хеМ (см. 3.3.17.), через Нх мы будем обозначать пространство Ь' (1хх 5"-1).

С каждым оператором аеА мы свяжем оператор л<а) в М, ((гх )) вида

Ма) =®га(х). (16)

где а(лг) — локальный представитель а в точке (см. (3.43)).

Для каждого g еС введем унитарный оператор

л-,: Г ( М, -> М М, Нх), (17)

- ,20

порожденный дифференциалом а диффеоморфизма а'} (оператор отображает Нх в и и задается формулами (3.89), (3.90), а его подробный явн

вид выписан в формуле (3.93)).

Символическое исчисление операторов из C*{A,Tf), доказано в диссертаци ситуации, когда для каждого множество Мг неподвижных точек диффеоморфи: ау имеет пустую внутренность. Подчеркнем, что структура топологии на Prim А/К ( Теорему 3.3.18. и Следствие 3.3.19.) такова, что часть пространства Prim / расположенная "над" каждой точкой .v еМ имеет непустую внутренность (см. 3.3.17

поэтому из условия = 0 в обшем случае не вытекает выполнение условия X. = где

Л'л ={.* е Prim A/K:tg(x)=,x}

и г„ — гомеоморфизм Prim Al К индуцированный автоморфизмом (см. 2 А.'.

Таким образом даже если группа диффеоморфизмов многообразия

порождающих операторы сдвига Ts действует топологически свободно на M все ра индуцированное действие ] ^ Prim А/К не является топологически свободны?

отличие от случая ПДО с непрерывными коэффиш1ентами). Именно поэт применение идей и результатов из 2.4. для исследования G-ГТДО с кусо1 непрерывными коэффициентами становится уже совершенно необходимым.

Теорема (Символическое исчисление для (7-ПДО с кусочно-непрерывн! коэффициентами) (3.3.34.)

Пусть для каждого g^s Л/. = 0, тогда отображения А э а я(а) , Tg

задаваемые формулами ( 16) и (17) продолжаются до изоморфизма

C*[A,Tg)f К s

Условия обратимости элементов из C*(A,TS). Коль скоро символическое исчисление для G-ПЦО построено, то проб, вычисления условий фредгольмовости для G -ПДО сводится к проблеме вычисл

условий обратимости символов этих операторов, то есть (в силу конструкции символа) к вычислению условий обратимости элементов из некоторых С*-алгебр типа С*{А. Tg).

В главе 4 диссертации представлены три общих метода вычисления условий обратимости элементов из С*(А,Тг), которые (качественно отличаясь друг от друга) могут применяться в зависимости от ситуация.

Изложение этих методов расположено в порядке возрастания сложности группы G: гиперболический подход, который применяется в случае G=Z, представлен в разделах 4.1. и 4.2.; атроксихшционнъш подход. применяемый в ситуации, когда G — коммутативная группа, описан в 4.3. и 4.4. и, наконец, траекторный подход, который может быть использован хтя любой группы G— в разделе 4.5.

Для различных частных случаев С*-алгебр и действий групп эти методы и конкретные примеры вычислений с их помощью условий обратимости элементов из C*(A,Tg) применялись в работах многих авторов, однако приводимые в главе 4 результаты с одной стороны отличаются от уже известных более высоким уровнем общности конструкций, а с другой стороны при их доказательстве применен ряд качественно новых С*-алгебраических и операторных идей.

Отметим, что в обосновании каждого из методов в данной диссертации очень существенно используются теоремы об изоморфизме.

7. Гиперболический подход.

Рассматривается С*-алгебра С*(А, Т).

Так как множество конечных сумм

г>= I а.? еС*{А, Т) (18)

i = k '

плотно (в равномерной операторной топологии) в С*(Л.Т), то, очевидно, исследование условий обратимости для произвольного элемента из С* (Л. Т) может быть сведено к шчислекию условий обратимости зля элементов вида (18).

В разделе 4.1. доказано (Теорема 4.!.6.), что вычисление условий обратимости хля операторов (18) в свою очередь может быть сведено, в ситуации, когда штоморфизмы 1 действуют топологически свободно, к вычислению условий

обратимости ххя двучленных операторов Ь = d., +■ d,S, где dn,dt принадлежат I*-алгебре D с Mat„(C)@ А и S — некоторый унитарный оператор

(индуцированный оператором Т), который опять таки задает топологически свободно действующую группу автоморфизмов j алгебры D. Таким образом

нахождение условий обратимости для произвольного элемента из С*(А. 7) в принципе сводится к вычислению условий обратимости для двучленных операторов, именно для исследования последних и применяется далее (в разделе 4.2.) "гиперболическая идеология".

Чтобы не перегружать изложение опишем основные черты этой идеологии на примере операторов

6 = att+ol Г, (19)

у которых хотя бы один из коэффициентов, скажем аъ является обратимым. В этом случае обратимость оператора Ь эквивалентна обратимости оператора I + а~'а1Т, то есть эквивалентна условию: (-1) не принадлежат спектру оператора аТ, где

a = aa[a¡. (20)

Напомним, что оператор с/е£(7Л называется гиперболическим, если его спектр не пересекается с единичной окружностью (геометрическое описание спектральных подпространств, связанных с гиперболическими операторами приведено в 4.2.10. -4-2.12.). Согласно Следствию 2.2.6.

если С*(А,Т) обладает свойством (*) 2.!.17., то (-1) не принадлежит спектру al тогда и только тогда, когда аТ— гиперболический оператор.

В силу этого оператор h (19) обратим тогда и только тогда, когда оператор аГ(и задан формулой (20)) гиперболичен.

Оказывается гиперболичность оператора я Г естественным образом связывается с гиперболичностью линейного расширения, ассоциированного с преобразованием спектра А алгебры А, порожденного автоморфизмом Т.

Перейдем к точным формулировкам соответствующих понятий и результате! (4.2.15. - 4.2.19.)

Для С*- алгебры А через Я( i) обозначим универсальное пространство ©.#.

Линейным расширением отображения а: А-+А называется отображен» , такое что стой Нх линейно отображается в слой На<х).

Линейное расширение р называется гиперболическим (относительно алгебры Л), если существует проектор РеА, такой что подпространства Я* = в. tm,t(/j) и

хеЛ

Н" = ©^ Kcr-ff) инвариантны относительно р, ¡S отображает Н" на Я" и существуют констант С>0, 0<у< [. такие, что

|/ГЫ|{<С/"|4 у € Н\ /7= 1,2,... ¡¿■(лфСг-И У е Н\ « = 1,2,...

Подпространство Я' называется устойчивым (stable), а Я* HeycTofi4SiBbiM(unsta'oIe).

Пусть г— гомеоморфизм спектра Л, индуцированный автоморфизмом Г (см., 2.1.25.).

С оператором аТ мы свяжем линейное расширение отображения г, действующее по формуле

/?(/?)= г(ir)[a\(9xh), Aetf,, где О- :Н- Н„,г/ —оператор , задаваемый уравнением

Г-Ч*>](гг!л) = r(.T)[e]lA), А е Нг[л)

в тс

1С

(см. 4.2.17.).

Теорема 4.2.18. и Следствие 4.2.19. приводят к следующему утверждению: если действует топологически свободно, то оператор Ъ (19) обратим

тогоа и только тогда, когда линейное расширение 0 отображения г является гиперболическим.

Ключевым техническим результатом, позволяющим связать обратимость оператора Ь с гиперболичностью линейного расширения /? является Теорема 4.2.8. описывающая важное свойство спектрального проектора для а Т.

Теорема. (4.2.8.) ¡Тусть С*[А.Т) обладает свойством (*). Если спектр оператора не содержит I. то аТ— гиперболический оператор и спектральный проектор

~ \ {Я - аТУ'Л 2 тс,

Р

принадлежит А.

В общем случае, когда оба коэффициента а„ и а, оператора b-aa+aJT могут быть необратимы условия обратимости b выписываются уже не в терминах гиперболического разложения пространства Н(А), а в терминах несколько более сложного объекта — гиперболического отношения на Щ А ) (определение дано в 4.2.20., 4.2.21.). При этом аналогом (обобщением) Теоремы 4.2.18. служит Теорема 4.2.22., а Теоремы 4.2.8. - Теорема 4.2.6. (последняя описывает спектральные проекторы, порожденные линейным пучком операторов

Ь(Л) = + апТ, ЯеСи°о (21)

(см.4.2.!. -4.2.3.))

В п.п. 4.2.23. - 4.2.32. описываются свойства подпространств универсального пространства Я( Л), возникающих при гиперболическом разложении ассоциированном со спектральными характеристиками пучка операторов (21), приводятся примеры возможных патологических ситуаций (появляющихся в случаях, когда представления яе А бесконечномерны или след Tr Ma) а еЛ не является непрерывной функцией на А). 8. Аппраксимаинонный подход.

Рассматривается С*-алгебра C*(A,TS), где группа G является коммутативной. Исследуются условия обратимости операторов вида

Iа,Т, , где III «г!1<=о, (22)

множество которых образует (неталжяутую) подалгебру в С*(Л, Tg).

Метод нахождения условий обратимости заключается в выражении условий обратимости операторов вида (22) через условия обратимости вида

EaeFg , (23)

где коэффициенты а% те же, что и в (22), а операторы , geG задают унитарное представление группы G, такое что Vg А У*3 -А (т.е. Z as Vg еС*( A. Vs)).

Операторы Vs рассматриваются, как некоторые аппроксимации операторов 7*s

(соответственно автоморфизмы рассматриваются, как аплрокснмаинг

втоморфизмов Тх - Т ). На множестве представлений группы О

[втоморфизмами вводится стандартным образом ааьпги топология (см. 4.4.1., 4.4.2.) и ¡сследуется связь между условиями обратимости операторов (22) и (23) в ситуации,

:огда ¡^а сходится к ! "Г.,}

уеО 8 смысле этой топологии.

Для представления I! \ <7 -у Аш А группы (7 автомофизмами алгебры А через 1(Ц) мы обозначаем произвольную окрестность {7 в упомянутой выше топологии.

Если унитарное представление V: , geG порождает автоморфизмы А

го есть У3АУ\ =А ), то мы будем писать Уе 0{Ц), если V еО(Ц) (V = {У^} гьй ) .

Для оператора ЬеС*{А.Тг), вида (22) и любого унитарного представления V руппы (7, порождающего автоморфизмы А через Ьх- мы обозначим оператор зС*( А, У^ вида

. (24)

Связь между условиями обратимости оператора вида (22) и условиями братимости его аппроксимаций вида (24) описывается следующим утверждением.

Теорема. (4.4.8.) Пусть С*(А,Тг) — алгебра, обладающая свойством (*) (ми '■ дегктвует топологически свободно). \.Если оператор Ь. имеющий вид

Тратим , то

) существует окрестность 0(Т) {Т = {) ^) и константа К>0 , такая что для обого унитарного представления V —>¡*е(7 . принадлежащего 0(Т) оператор Ьу 4) обратим и |б,"'| < К;

) для любой последовательности V; : у У>я , унитарных представлений, таких >ю Кд. А УЛз =А и У, —> Т су ществует константа К>0 такая, что для всех за

ключеиием конечного числа, номеров X А; — обратимый оператор и

1КИ-

(25)

11. С другой стороны, если K¡ ——» ? и У-а<-u"f°> алгебры C*(A,V;f)

обладают свойством (*), тл да обратимости операторов t\-¿ и неравенства (26) вытекает обратимость Ь.

Замечание. Как показывают приводимые после этой теоремы примеры.

(а) если C*(A,Tg) не обладает свойством (*), то условия (I) и (2) в части I данной теоремы не являются достаточными для обратимости Ь,

(б) условие Ух —> f не обеспечивает сильной сходимости У;^ к Tg.

\

Известно, что спектр оператора полунепрерывен сверху в равномерной операторной топология , с другой стороны, в общей ситуации, спектр не является полунепрерывным сверху в сильной топологии. Тем не менее аппроксимационныи подход позволяет показать, что спектр с(6г) является полунепрерывной сверху функцией (относительно упомянутой выше сильной топологии). Точнее говоря справедлив следующий результат (см. 4.4.11.):

Пусть C*(A,TS) — алгебра,обладающая свойством {*) (или G действует топологически свободно). Если оператор b имеет вид

£ V. •£Ы<в

то для любого ¿>0 существует окрестность 0(Т), такая что для каждого унитарногс, представления —> Vt, geG, принадлежащего этой окрестности (см.4.4.2.) с, оператора b¡-, определенного формулой (24) выполняется

где <тс{Ь) — «-окрестность спектра о(6) в метрике Хаусдорфа (см. 4.4.9,).

По существу доказательства приведенных выше результатов проводятся в да

этапа.

На первом этапе соответствующие аппроксимашюнные свойств устанавливаются (в Теоремах 4.4.7. и 4.4.10.) для аппроксимаций элемент

geAxG с помощью элементов Ur (b) (определение r¡f. {b) дан

в 4.4.4.). Ключевым техническим результатом при этом является Лемма 4.4.6.

После получения этих утверждений аппроксимационные свойства для С*(А,7 уже легко получаются с помощью соответствующих теорем об шоморфнзме.

Замечание. Конечно использование аппроксимаиионного подхода будет эффективным, если у нас имеются процедуры для вычисления условий обратимости аппроксимирующих операторов 6,- Эти процедуры для случая, когда система автоморфизмов

(с 1

оо разует конечную группу описаны, например, в

I

монографии А.Б. Антоневича 1 (см. с. 4), поэтому в случаях, когда исходную систему автоморфизмов \г I можно сильно приблизить такими группами автоморфизмов

применение аппрогашационкого подхода становится весьма естественным.

9. Теоремы типа Винера.

При обосновании аппроксимационного подхода существенно используется ряд зезультатов (имеющих также самостоятельный интерес), которые естественно рассматривать, как аналоги теоремы Винера (МА^/Тепег), о заданном виде обратного шемента. Напомним, что эта теорема утверждает, что если функция представима 1бсолютно сходящимся рядом Фурье, то обратная к ней (если такая существует) также |редставляется абсолютно сходящимся рядом Фурье. Другими словами Теорема Винера оначает, что подалгебра в С(5:), (Э1={геС : ! ^ = 1 (, состоящая из функций, слагающихся в абсолютно сходящийся ряд Фурье является наполненной (см. 4.З.2.).

Так как алгебра С(5') (рассматриваемая, как алгебра типа С*(С,7**), где =:*) обладает свойством (*) (см. 1.2.3.1. (2)), то теорему Вннера можно ассматривать, как утверждение о яаполяелноспг в С(С. Тк) (кезамкнутой) подалгебры, зстоящей из элементов вида

- где

«

Теоремам такого сорта для алгебр С*(А,Т3) и посвящен раздел 4.З.. Они указываются сначала для скрещенных произведений (Теоремы 4.3.6. н 4.3.10.) а затем с >мощью теорем об изоморфизме перекосятся на алгебру вида С*{А,Тг) (Теоремы 3.8. и 4.3.12.). Например, получен следующий результат.

Теорема. (4.3.8.) Если С — коммутативная группа и С*(А,Тг ) обладает ойством (*) (в частности,гсли О действует топологически свободно), то подалгебра ментов вида

полнена.

Условие коммутативности налагается на группу й. так как в качестве одного из принципиальных инструментов в доказательстве выступает теорема Бохнера-Филлипса (5. ВосКпег, Я.8. РЬйЛ'ра. см. 4.3.4.), которая представляет собой аналог теоремы Винера для банаховых алгебр и доказана для коммутативных групп.

10. Траекторный подход.

В этом, последнем из представленных в диссертации методе, рассматривается произвольная С*-алгебра типа С{ЛТг) и условия обратимости элементов нз Г?) вычисляются с помощью дискретных опрераторов (типа свертки), построенных по траекториям точек спектра алгебры Л.

В случае, когда С*(А.Т?) обладает свойством (*) для каждой точки .те Л способ построения дискретного представителя элемента ЬеС*(А,Т1)

описан в 4.5.1. формулами (4.78) и (4.79). По сути эти формулы задают регулярное

представление для АхО, ассоциированное с представлением ,\-е А (см.2.1.12.).

Т

Теорема, (4.5.2.) Пусть С — счетная чмешие.лыш группа и Рпга А обладает счетной базой топологии. Если С*(А,Г&) обладает свойством (*), то элемент ЬеС*(Л,Т%) обратим, тогда и только тогда, когда все операторы л~х(Ь) , л'е А, описанные в 4.5.1., обратимы.

Для случая, когда С*(А,ТХ) не обладает свойством (*). а лить удовлетворяет условиям Теоремы 2.4.21. соответствующее обобщение Теоремы 4.5.2. дано в Теореме 4.5.4.

Траекторный подход дает нам также дополнительный инструмент для исследования гиперболических свойств операторов вида иТ (без использования линейных рашкреяий), а именно, с помощью этого метода устанавливается (в 4.5.6.6.), что

если С*(А,ТХ) обладает свойствами, упомянутыми в Теореме 4.5.2. и а — ооратимьш элемент, то аТ гиперболичен тогда и только тогда, когда он экспоненциально дихотомичеч в кажс>ои точке ле А (определение экспоненциальной дихотомичности дано в 4.5.6.3.).

ВЫВОДЫ

В диссертации развит общий С'-алгебраический метод исследования проблем фредгольмовости функционально-дифференциальных операторов. Получены следующие основные результаты.

1. Описана структура С-алгебр, порожденных динамическими системами, в частности, доказана Теорема об изоморфизме, описывающая предельно возможные условия (на группу и действие автоморфизмов), при которых исследуемые алгебры полностью определяются действием заданных автоморфизмов.

2. Описаны условия наличия (отсуствия) компактных элементов в С*-алгебрах коэффициентов. На основе этих условий и полученного описания структуры С- алгебр, порожденных дискретными динамическими системами вычислены критерии совпадения условий фредгольмовости и обратимости исследуемых операторов.

3. С помощью развитого С*-аппарата построено исчисление главных символов для С-г,севдо дифференциальных операторов с непрерывными и кусочно-непрерывными коэффициентами.

4. Разработаны три общих С'-алгебраических метода вычисления условий обратимости символов (которые, соответственно, служат методами вычисления условий фредгольмовости исследуемых классов функционально-дифференциальных операторов). Ранее их аналоги были получены только для частных случаев С-алгебр и действий групп. Эти методы (качественно отличаясь друг от друга) могут применяться в зависимости от конкретной ситуации.

(а) Характеризация операторов с помощью линейных расширений (применяется в случае, когда динамическая система порождена одной образующей).

В этом методе по исследуемому оператору строятся линейное расширение действия динамической системы на спектре атгеоры коэффициентов и доказывается, что

оператор ибритим тогди и только тогда, когоа построенное лннсйное расширение гиперболично.

Получены также описания свойств подпространств, возникающих при гиперболическом разложении, ассоциированном со спектральными характеристиками исследуемых операторов.

(ß) Аппроксимоционтш метой (применяется в случае, когда динамическая система порождена коммутативной группой автоморфизмов).

В этом методе исходная динамическая система заменяется (аппроксимируется) другой динамической системой и условия обратимости исследуемых опрераторов вычисляются в терминах аппроксимирующих операторов. В частности, для рассматриваемого класса операторов доказана спектральная устойчивость при сильных возмущениях(возмущениях, порождаемых заменой динамической системы).

Важными техническими результатами, применяемыми при обосновании аппоксимашюнного метода являются также доказанные в диссертации теоремы типа Винера о заданном виде обратного оператора.

(у) Траекторпьш метод (применяется для произвольной дискретной динамической системы).

В этом методе условия обратимости исследуемых операторов вычисляются в терминах '"простейших" дискретных операторов (типа свертки), построенных по траекториям точек спектра алгебры коэффициентов.

Траекторией метод позволяет также выписать критерии гиперболичности операторов без использования линейных расширений и проводить исследование гиперболических свойств операторов с помощью поточечного вычисления их экспоненциальной дихотомичности.

РАБОТЫ. ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I. Лебедев А. В. Обратимость элементов в алгебрах операторов со сдвигом. I. // Becui АН БССР. Сер фп.-м'ат. навук. - 1982. 6.-С. 36 - 43.

1 Лебеаев A.B. Условия обратимости операторов со сдвигом // УП Школа по теории операторов в функшюн. пространствах. Тез. докл. - Минск. 1982. - С. 222.

3. Лебедев А. В. Компактные элементы в алгебрах операторов со сдвигом // Вест' АН БССР. Сер. фп.-мат. навук. - 1983. - № I. - С. 28 - 34.

4. Лебедев A.B. Обратимость элементов в алгебрах со сдвигом. IT. // Becui АН БССР. Сер фп.-мат. навук. - 1983. Л<2 3. - С. 4! - 47.

5. Лебедев A.B. Об обратимости операторов со сдвигом /У Докл. АН БССР. -1983.- Т. 27, Дй9.-С. 773-775.

6. Лебедев A.B. О теоремах типа Винера в скрещенных произведениях и алгебрах, ассоциированных с автоморфизмами //Докл. АН БССР. -1986.-Т. 30, № 6. - С. 493 - 495.

7. Лебедев A.B. Об обратимости и компактности элементов в алгебрах, ассоциированных с автоморфизмами // Докл. АН БССР. - 1986. - Т. 30, ,Na 7. -С. 589 - 592.

& Лебедев А. В. О некоторых С*-методах, применяемых при исследовании алгебр, ассоциированных с автоморфизмами и эндоморфизмами !! Дел. в ВИНИТИ, 1987, Дё 5351-В S7. - 15 с.

9. Лебедя A.B. О некоторых С"- алгебрах, связанных с динамическими системами //Деп. в ВИНИТИ, 1991, № 128[-В91.-27с.

Ю.Лебедев A.B. О некоторых идеях, возникающих при нахождении условий обратимости элементов в алгебрах, ассоциированных с автоморфизмами // Деп. в ВИНИТИ. 1991, Д&3290-В 91. -41 с.

[¡.Лебедев A.B. О спектральной устойчивости в сильной операторной топологии и свойствах коциклов, связанных с эндоморфизмами С"-алгебр Я Конфер. матем. Беларуси. Тез. докл. ч. 2. - Гродно, 1992. - с. 99.

12. Лебедев A.B. О гиперболичности операторов в алгебрах, ассоциированных с автоморфизмами //Докл. АН Беларуси,- 1994.-Т. 38, Дй 6.-С. 21 -14.

/З.Лебедев A.B. О компактных операторах в операторных алгебрах ассоциированных с автоморфизмами !! Докл. АН Беларуси. - 1995. - Т. 39, Да 2.-С.22 - 25.

14.Лебедев A.B. Теоремы типа Квеселава-Векуа и вычисление индекса G-сингулярных интегратъных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами Н Междунар. конфер. "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление". Тез. докл. - Минск, 1996. - С. 61.

15. Аптоневич А.Б., Лемешев A.B. Структура. С*-теории функционалы дифференциаль-ных операторов // Вестник Белорус, ун-та. Сер. I. - 1996. -2. - С. 3 - 9.

16. Antonevich A.B., Lebedev A.K Nonlocal boundary value problems for ellif equations JI 10й Conference on Problems and Methods in Mathematical Physi Abstracts. - Chemnitz, 1993.-P. 1.

17. Antonevich A.B.. Lebedev A. V. Functional differential equations: I. C*-theory. London: Longman Scientific & Technical, 1994. -500 p.

РЕЗЮМЕ Лебедев Андрей Владимирович

С-МЕТОДЫВ ТЕОРИИ ФУНКЩЮНАЛЬНО-ЦИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ключевые слова. Фуккциокалько-дифференинальные уравнения (oneparopi G-псевдодифференциальиые операторы. <фрелго.-гъмовост:ь. символическое исчислен, С-алгебры. С'-динамические системы, топологкчеки свободное действие.

Ооьскты исследования. Алгебры нелокальных функционально-дифференциальных операторе С-алгебры. поровденныединамическими системами.

Цель работы. Конструкция и описание С'-алгебракческих структур и разработ С-методов решения проблем фредгольмовости нелокальных фуншкокалько-дифференциальн! операторов. Построение с помощью развитых структур и методов символического исчисления д {Зчхсевдодифференциальных операторов. Вычисление условий обратимости построенных символ н получение на этой основе условий фредгольмовости изучаемых операторов.

Методы исследования, 8 работе применяются методы теории С'-алгебр. порождена динамическими системами, теории представлений и теории псевдодифференциальных оператор! с непрерывными и кусочно-непрерывными коэффициентами.

Полученные результаты и их новизна. Развит новый общий С*-алгебраический мет< исследования проблем фредгольмовости функционально-дифференциальных операторов. Вперв> получено описание структуры С'-алгебр, порожденных динамическими системами обшето вида, частности, доказана Теорема об изоморфизме, описывающая предельно возможные условия (i группу и действие автоморфизмов), при которых рассматриваемые алгебры полность определяются действием заданных автоморфизмов.

С помощью развитого нового С"-аппарата построено символическое исчисление д; функпиовально-псевдодкфференциальных операторов с непрерывными и кусочно-непрерывны» коэффициентами.

Описаны три общих С-иетода (гиперболический, аппроксимациокный к траектории вычисления условий обратимости символов (которые соответственно служат методами вычислен! условий фредгольмовости исследуемых функционально-дифференциальных операторов).

Степень использования. Некоторые идеи, методы и результаты отражены в монографиях использованы в отдельных работал.

Область применения. Методы и результаты диссертации могут быть использованы nj изучении нелокальных функционально-дифференциальных уравнений, сингулярных интетр< функциональных уравнений, уравнииий типа свертки с осциллирующими коэффициентам нелокальных краевых задач и в других вопросах. Построенный С'-аппарат может быть примене хи исследования структуры С-алгебр, порожденных динамическими системами и спектральнь свойств их элементов.

РЭЗЮМЭ Лебедму Анлрзй Улаязипраяач

С-МЕТАДЫ 9 ТЭ0РЫ1ФУНКЦЫЯНАЛЬНА-ДЫФЕРЭНЦЫЯЛЬНЫХ РАУНАННЯУ

Кдючавия слови. Фуншьинальна-дыферзнцыяльныя раукант (аператары).

G-псеудадыферэнцфыялъныя аператары. фрэдгольмавасиь, омвал1чнае злгчэнне. С'-алгебры. С"-дынашчнця а'стэмы. тапалапчнасвабЬякаедзеянке.

Аб'ееты даслеловання. Алгебры нелакальных функиыанальна-дыферезнцыядькых аператарау. С*-алгебры. ягая пароджаны дыиашчкыщ cicrasiaMi.

Мтга работы. Канструкиыя i аш'санне С'-алгеоратных структура? i распрацоука С-иетадау рашзнкя праблеи фрздголылавасш неяахальных фунцыякальна-дыферзнцыяльных аператарау. Пабудаванне пры дапамозе разгтых структура;? i метадау С1мвал1чнага хичэння для G-псеудадыфаренцыяльных аператарау. Вьиичэнне yvoj абарачальнасш пабудаваных сшвалау i атрыманне на гэтай падставе умоу фрэдгольмавасш вывучаемых аператарау.

Метады даследавання. У рабоце прыияняюща метады гзорьи С'-алгебрау. ягая пароджаны дынам1чиым1 пстэмам!. тэорьп выяуленняу i тэоры| псеудадыферзнцыялъных аператарау з HenapwyHbiui i кускова-непарыунымг каэф[цыентам1.

Атрычаныя sbiHi'Ki i ix навина. Развиты новы агульны С'-алгебранны метад даследавання праблем фрэдгольмавасш фукцыянатька-дыферэниыяльных аператарау. Упершыкю атрымана атсанне структуры С'-алгебрау. яетя пароджаны дынаьичным! астэмам! агульнага выгляду. у прываткасш, даказана Тэарэма аб ¡замарф1зме. якая ап1свае найбольш агульныя умовы (на трупу i дзеянне аутамарфамау). пры ягах алгебры, ягая разгледжваюииа. иалкам азкачаюица дзеяннем заяадзеных аутамарфимау.

Пры дапамозе развпага ковага С'-апарата пабудавана амватачнаа зглчзкке для функиыянальна-псеудадыферэнцыяльных аператарау з непарыуным1 i кускова-непарыуяым! каэфщыентам1.

Агосаны тры агульныя С'-мегады (пперба.-ичны. апракамаиыйны i траектории) вытчэння умоу абарачальнасш (яки адпаведна з'яуляюица метадам! вылтэння ¡?моу фрэдгольмавасш дастедуемых функдьмналька-дыферэшшялькых аператарау).

Ступень карыстання. Некаторыя ¿ДЭ1. метады i вышьл адлюстраваны у манаграф1ях i выкарыстаны у асобных артикулах.

Галша прымянення. Метады i выии дысертацьк могуиь быиь выкарыстаны пры вывучэнш нелакальных функцыяналъна-дыферэниыяльнх раунанкяу. ангулярных ¡нтэгра-функцыянальных раунанкяу, раунанняу тыну згортак з асцылруючыш каэфщыектач!, нелакальных краявых задач i у жилых питаниях. Пабудаваны С*-апарат можа оьшь скарыстаны для даследавання структуры СГ-алгебрау. гюя пароджаны дына\ичныш астэмам; i спектральных уласгивасцяу ix элемента?.

SUMMARV Lebedev Anrci VUdiinirovich

C-JtETHOOS IS THE FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQL'ATiO.NS THEORY

Keywords. Functional differential equations (operators), G-pseudodifferenoal operators, fredhotaity, symbolic calculus, C'-algebras. C'-dynamical systems, topofogicaHy free action.

Objects of research. Algebras of nonlocal junctional differential operators. C'-algebras generated dynamical systems.

A purpose of work.The construction and description of C'-algebraic structures and the development C'-methods of the solution of fredholmity problems of nonlocai ftj fictional difierential oprators. The construct! on the base of the developed structures and methods of the symbolic calculus for G-pseudodifferential operato The calculation of the invertivility conditions for the symbols worfced out and the denvation on this base oft fredholmity conditions for the operators under investigation.

Methods of research. There are exploited the methods of the theory of C'-algebras generated by dynamii systems, the representation theory and the theory of pseudodifferential operators with continuous and piece-w continuous coefficients.

The results obtained aud novelity. A new general C'-algebraic method of the investigation of t fredholmity problems of functional differential operators is derived. Fir the first time the description of t! structure of C'-algebras generated by dynamical systems of the general form is obtained, in particular t Isomorphism Theorem describing the most general possible constraints (on the group and its action) under whii the algebras considered are totally determined by the action of the given automorphism is proved. With th help the C'-apparatus developed the symbbolic calculus for functional pseudodifferential operators with continuo and piece-wise continuous coefficients is built The three genera! C-metfrods (hyperbolic, approximation ai trajectorial) of the calculation of the invertibility conditions of the symbols are described. These methods serve the methods of the calculation of the fredholmity conditions of the functional differential operators und investigation.

The use. A number of ideas, methods and results are presented in certain monographs and papers.

Fields of application. The methods and results of the thesis could be applied in the study of nonloc functional differential equations, singular integral functional equations, the convolution type equations oscillating coefficients, nonlocal boundary value problems and other problems. The developed C'-apparatus cou be exploited in the investigation of the structure of C'-algebras generated by dynamical systems and specu properties of their elements.