Сильная факторизация и интерполяция для пространств аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

АНИСИМОВ Денис Сергеевич ^

с

СИЛЬНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа иатематико-механнческого факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, чл.-корр. РАН КИСЛЯКОВ Сергей Витальевич.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук, профессор СУДАКОВ Владимир Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент ВАСИН Андрей Васильевич.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Санкт-Петербургский Электротехнический Университет.

Защита диссертации состоится "¿Л" 200в года в

часов па заседании диссертационного совета Д.002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стек-лова РАН но адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стек-лова РАН.

Автореферат разослан 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного а)вета, доктор физико-математических

наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Найденное Ж. Вургейпом в 1981 г. доказательство аналога, теоремы Гротендика для диск-алгебры дало толчок целой серии исследований пространств аналитических функций и one-

ппшлплп n TT> »-vr ^ ^лтл ггт т г\оапл Кл/р^ *ттг? тг» тт тт<т ^i-pTfv тггл rr/"\Ti о f тт» ft r\tse\ л. lj i»iyv. niv.1 Li/i^iM j i u/iliiLuo -J i ил л^ч^л^^ъ./ислии i(j Isivi«

зались применимы и к другим задачам. В частности, с их помощью удалось хорошо понять интерполяционные свойства пространств типа Харди. Несмотря на 25-летнюю историю, в этой тематике имеются нерешенные актуальные задачи.

Цель работы.

1) Перенос на пространства типа Харди варианта теоремы Гротендика, гласящего, что всякий линейный непрерывный оператор из банаховой решетки X в банахову решетку Y естественным образом индуцирует оператор, действующий из Х(£2) в У(£2).

2) Доказательство варианта теоремы о сильной факторизации операторов для пространств типа. Харди.

3) Выяснение наличия котипа 2 у факторпространства Х/Ха, где X решетка измеримых функций на окружности (подчиненная минимальным условиям), а Xл соответствующее пространство типа Харди.

4) Исследование интерполяционных свойств функциональных пространств, связанных с некоторыми классическими операторами одномерного анализа Фурье, интерпретируемыми как двойные сингулярные интегралы (в частности, пространств, имеющих отношение к квадратичной функцшш Литлвуда-Пэли).

Методы исследования. В работе применялись методы комплексного и гармонического анализа и теории сингулярных интегральных опе-аторов. Важную роль сыграли также общие результаты функционального анализа.

Научная новизна. В диссертации впервые доказан вариант теоремы Гротендика о непрерывности оператора на пространстве вида Z(£2) в случае, когда Z - аналитическое подпространство в решетке измеримых функций на окружности. Впервые установлены аналоги теоремы о сильной факторизации для подпространств аналитических функций 2-выпуклой решетки измеримых функций. Доказано, что если X 2-вогнутая решетка измеримых функций на окружности, то при минимальных условиях (нужных лишь для того, чтобы гарантировать невырожденность пространства Хд) факторпространство Х/Хд имеет котип 2. В такой общности этот результат получен впервые. Впервые доказана

/{"-замкнутость в шкале пространств на окружности с интегральными метриками, состоящих из функций с большими лакунами в спектре, а также аналогичный результат в шкале пространств векторно-зпачных функций, связанной с квадратичным оператором Литлвуда-Пэли.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть применены в смежных задачах гармонического анализа, теории функциональных пространств и теории сингулярных интегралов.

Аппробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на совместном семинаре ПОМИ-СПбГУ по линейному и комплексному анализу, а также в Институте им. Шредингера (Австрия, Вена) в рамках программы по анализу иод руководством П. Джонса и П. Мюллера весной 2005 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех статьях [20, 21, 22]. '

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых в общей сложности на 13 парагафов и занимает 83 страницы. Библиография содержит 28 наименований.

Содержание диссертации.

Начнем с обзора результатов, из которых выросла тема диссертации.

Теоремы о сильной факторизации операторов восходят к статье Е. М. Никишина [4]; затем они были переосмыслены Б. Морэ [15]. Приведем одну из формулировок. Пусть ¡1 - конечная мера, Н гильбертово пространство, а Т : II —* Ь1(ц) линейный непрерывный оператор. Тогда после замены плотности его значения попадают в Ь2. Иными словами, найдется такая функция а 6 Ь] (/.¿), а > 0, что

(/(|Г/|/а)2а^1/2 < С||/||я, / е Н.

Полагая Ь = ^а, видим, что оператор Т факторпзуется следующим образом:

(1)

где Б/ — Ъ 1Т/, причем оператор 5 ограничен из II в Ь2(ц), а Мь оператор умножения на функцию Ь.

Имеются и другие формулировки, относящиеся к операторам со значениями в пространствах Ьр. Позднее был найден вариант теоремы о

сильной факторизации, относящийся к банаховым решеткам (см. теорему В ниже).

Неравенство Гротендика в одной из эквивалентных формулировок гласит, что всякий непрерывный оператор из С(К) в Ьа(и) при 1 < в < 2 является 2-абсолютно суммирующим. Оно тесно связано с теоремами о сильной факторизации (см. [15, 18]). Приведем начальные сведения о р-абсолютно суммирующих операторах, из которых (а именно, из теоремы Пича) нетрудно усмотреть, что факторизация (1) -- это, по существу, двойственная форма неравенства Гротендика (см. выше) при в == 2.

Пусть X и У -банаховы пространства, Т : X —> У линейный непрерывный оператор , \ < р < оо. Оператор Т называется р-абсолютно суммирующим, если

^ЦГцР < С вир (2)

для любого конечного набора векторов {а^} п X с константой С, не зависящей от этого набора.

Такие операторы характерезуются теоремой Пича. Пусть пространство X вложено в С(К) (в качестве К можно взять еденичный шар пространства X*, но такой выбор оптимален не всегда). Оператор Т : X —> У является р-абсолютио суммирующим тогда и только тогда, когда найдется такая вероятностная мера // на К, что

||Тх\\» <СР [ |х^йц, хеХ (3)

л к

(при этом в (3) константа С та же что и в (2)).

Неравенство (3) говорит о том, что фактически оператор Т оказывается заданным и непрерывным на замыкании пространства X в Т/^ц). При р — 2 отсюда вытекает, что Т факторизуется через гильбертово пространство. В силу неравенства Гротендика так обстоит дело с любым оператором, действующим из С (К) в Ь", 1 < в <2.

Подробнее о р-абсолютно суммирующих операторах см., например, [18]. Неравенство Гротендика допускает много эквивалентных переформулировок, одна из них воспроизведена ниже в виде теоремы А. Любопытно, что теорема А бывает полезна при проверке условий, наложенных на операторы в теореме В, то есть в решеточном варианте теоремы о сильной факторизации.

Операторы иа диск-алгебре. Под диск-алгеброй понимается подпространство С а пространства непрерывных функций на еденичной окружности, натянутое на мнимые экспоненты егН, к > 0. Следующий вопрос привлекал внимание исследователей на протяжении 2-ой половины 70-х годов 20 пека: всякий ли оператор Т : С.\ —» Ь", 1 < в < 2, является Я-яЛоллютпо суммирующим? Иными словами, можно ли и теореме Гротендика заменить пространство С (К) диск-алгеброй? Утвердительный ответ был получен в 1981 г. Бургейном, см. [6, 7]. Позже были найдены более простые доказательства, которые позволили перенести на диск-алгебру многочисленные утверждения, родственные теореме Гротендика; см. [17, 1]. Было осознано, что применяемые методы интерполяционны по своей природе. Это привело к ясному пониманию интерполяционных явлений в пространствах Харди аналитических функций см. обзор [12], а также работы [2], [16], [11], [13], [8] и др.

Несмотря на обширные исследования, в теме "аналоги теоремы Гротендика для диск-алгебры и в более общем контексте пространств аналитических функций" остались важные нерешенные вопросы. Неясно было, например, как должен выглядеть аналое сформулированной ниже теоремы А. Другой существенный вопрос это вопрос о котипе 2 в фак-торпространстве Х/Хл, упомянутый выше. В контексте интерполяции область применимости методов, выросших из работы над "теоремой Гротендика для диск-алгебры", тоже еще далеко не исчерпана.

Именно таким задачам и посвящена диссертация. В главе 1 получена новая информация на тему аналогов различных форм теоремы Гротендика для диск-алгебры, в том числе новые результаты о сильной факторизации для подпространств аналитических функций в решетках. Глава 2 посвящена не исследовавшейся рапсе интерполяционной задаче для функций с ограничениями на спектр.

Приступим к непосредственному изложению результатов диссертации. Исходным пунктом для построений главы 1 являются две известные теоремы теории банаховых решеток (см. [14, 1.£14], [14, 1.с1.11|).

Теорема А. Пусть X и У две банаховы решетки и пусть Т : X —> V ограниченный линейный оператор. Тогда

1/2

< Кг,

1/2

для любого набора аскторов из X. Иными словами, оператор Т

действует из пространства Х(€2) в пространство У(£2).

Здесь Kq универсальная постоянная (константа Гротендика). Эта теорема, как уже упоминалось, является переформулировкой классического неравенства Гротендика (см. [18, III.F. 14]).

Теорема В. Пусть X банахова решетка, W и V - банаховы пространства и 1 < р < оо. Пусть даны два линейных onejxirnopa Т : V —» X и S : X —> W, причем первый из них р-выпуклый, а второй р-вогнутый. Тогда композиция ST факторизуется через пространство LP{li) для некоторой меры ц: ST = SiTi, где 6 C(V,V(n)) и Si € C(LP{ß),W). При этом можно обеспечить оценки ||Т1|| < М^{Т) и ||5i|| < Mip)(S).

В теореме А ясен смысл выражения |Ы2) (и более общих выражений вида <р(у\,. - ■, уп), где tp непрерывная функция, однородная степени 1), если мы имеем дело с решетками функций. Этому выражению можно также придать смысл в случае абстрактных решеток (см. [14]). Определения р-выпуклых и р-вогнутых операторов приводятся ниже на стр. 7.

Если мы будем рассматривать оператор Т, заданный на замкнутом подпространстве решетки X, то величины, входящие в неравенство (4), также имеют смысл. Поэтому можно поставить вопрос о справедливости аналогичного утверждения (возможно, с другой константой в неравенстве) в такой ситуации. Простые примеры показывают, что, вообще говоря, оно неверно. Так будет, например, для пространства £1, вложенного в решетку L°°(T) = X таким образом, чтобы стандартные базисные векторы перешли в лаку парные экспоненты {г2"}. В качестве оператора Т можно взять тождественный оператор на пространстве качестве

Y тоже пространство tl, но со своей собственной решеточной структурой.

Мы будем рассматривать решетки измеримых функций и их аналитические подпространства. Будем пытаться обобщать упомянутые теоремы на эти обьекты. Приведем определения, необходимые для понимания результатов.'

Пусть (Б,!/) пространство с cr-конечной мерой. Банаховой решеткой измеримых функций на £ называется любое банахово пространство (классов mod 0) измеримых функций на £ с поточечными линейными операциями,, подчи.ненное услови ю

feX, |р]<|/| и g измерима g € X и ||<?|] < С||/Ц.

Обычно считают, что С = 1 (этого всегда можно добиться перенормировкой).

Основным пространством с мерой для нас будет произведение (Т, т) х (П, /г), где Т окружность {|г| = 1}, т нормированная мера Лебега на Т, а (П, ц) - еще одно пространство с а-конечной мерой В частности (если мера ц дискретна.), и круг нашего рассмотрения входят решетки последовательностей измеримых функций на окружности, важные во многих вопросах анализа. Если X решетка измеримых функций на Т х то ее аналитическое подпространство состоит из функции х & X, для которых функция х{-,ш) принадлежит (граничному) классу Смирнова при п.в. ш е П (подробнее см. в [10, 3]). В применении к решетке X = 7/(Т) это определение дает класс Харди Нр. Вообще же здесь возможны вырождения, и, чтобы их избежать, на решетку X накладывается следующее (в общем, необременительное) условие:

если х 6 X, х ф 0, то существует функция у

из X такая, что у > |х|, ||у|| < С||х||

1оё|г,(.,ы)|е£ЧТ)

для п.в. о> € П.

Это условие влечет, в частности, что носитель решетки X есть все пространство Т х Г2. Напомним определение свойства Фату в решетке X: 9п —* 9 и.в., ||<?»||л" < С => д & X и Ц^Цх < С. Основные результаты первой главы содержатся в теоремах 1-5. _____

Теорема 1. Пусть Xа подпростанство аналитических функций о решетке измеримых функций X со свойством Фату, У щюизволь-нал банахова решетка и пусть Т : Ха У - ограниченный линейный оператор. Тогда

£|г*

1=1

1/2

< сопвьЦГЦ

£

2ч

1/2

для любого набора векторов из Ха- Иными словами, оператор

Т действует из простгцмнства Ха{£?) в пространство У(^2).

Эта теорема, как видно, является непосредственным обобщением теоремы А на операторы, заданные па подпространстве Хд. Можно рассмотреть операторы, действующие не в решетку, а в факторпростран-ство У ¡Уа- В этом случае оказывается также верпа следующая теорема.

Теорема 2. Пусть Х,\, УА подпространства аналитических функций для двух решеток X и У измеримых функций. Предполоэ/сим, что обе решетки имеют свойство Фату и Т : Хл —> У/Ул ограниченный линейный оператор. Для любого конечного набора векторов Х{ е Xа,г = 1,... ,п, положим у = (у,■)?-!> где ?/,- = Тогда

где постоянная не зависит от {х*}"=1 и от п. Иными аговами, оператор Т действует из хл(е2) в у(е2)/ул(е2) = (у/ул)(Р).

Теорема 1 используется при доказательстве теоремы о котипе фак-:. торпространства Х/Хл-

Для вопросов, связанных с обобщениями теоремы В, нам понадобятся определения р-выпуклости и р-вогнутости.

Пусть 1 < р < оо. Линейный оператор Т : V —* X (V банахово пространство) называется р-выпуклым, если ||(Z» Г-Гг^Р)1^'!! < 1Ы1г')1/р ("Ри Р < оо) или || suPi |7Ч,,||| < MsuPj ||«i|| (при p = оо) для любого конечного набора {г1,} векторов в V. Наименьшая постоянная А/обозначается через Af^T).

Линейный оператор S, отображающий некоторое подпространство У решетки X в банахово пространство IV, называется р-вогнутым,

если (EillSx,-Г)1'" < A/||(Zi Мг')1/г>|| (при р < с») или suPi \\Sxi\\ <

А/1| supj |ж;||| (при р = оо) для любого набора {з;,} векторов из У. Наименьшая постоянная М обозначается через M(„)(S).

Решетка X называется р-выпуклой (р-вогнутой), сслн таков тождественный оператор idx- Мы пишем в этом случае М^(Х)Ai^(idx) .и А/(Р)(Х) = idx)- Если решетка X р-выпукла, на ней можно ввести эквивалентную монотонную норму ||| ■ ||| так, чтобы А/^(Х, ||| • 1 и Ill-Ill < 11-11 < AfM(X)|||-||| (см. [14]). Таким образом, без потери общности можно рассматривать лишь р-выпуклые решетки с единичной константой р-выпуклости, в этом случае пространство Хр — {j/ : \y\l^p € X} (для простоты мы считаем, что X решетка функций; см. [14] по поводу общего случая) с нормой ЦуЦх» = ИЫ^Нл: будет банаховой решеткой.

Появляющееся в теореме В пространство P'(/i.) состоит из функций, мало связанных с элементами решетки X. Эта связь становится более тесной, если предположить, что сама решетка X р-вьшукла, V = X, а

оператор Т - тождественный. В этом случае возможен вариант теоремы В, в котором оператор 5 задан не на всей решетке X.

Теорема 3. Пусть 1 < р < оо, X р-выпуклая банахова решетка, У замкнутое подпространство в X, а IV банахово пространство. Если 51 : У —» IV р-вогпутый оператор, то сугцествует такой линейный непрерывный неотрицательный функционал f на Хр, что ||/|| < 2рМ<-р\Х) и Ц52/Ц < М(р)(5,)(/(|г/р))1/" при всех у & У.

В отличие от теоремы В отсюда ие выводится (кроме тривиальных случаев У = X или р = 2), вообще говоря, что оператор 5 факторизуется через пространство I/'. Тем не менее, будет показано, что это так, если

1 < р < оо, X решетка измеримых функций, У = Ха, а на оператор 5 наложены небольшие дополнительные условия.

Из теоремы 3 выводится следствие о факторизации через гильбертово пространство в случае р = 2.

Следствие. Всякий 2-вогнут.ый оператор на подпространстве У 2-выпуклой решетки X продолжается на X; норма продолжения не превосходит величины 2М^(Б)г'А1^{Х). Та же константа оценивает сверху наилучшую факторизацию продолжения через гильбертово пространство.

Полезно сравнить это следствие с классической теоремой Квапеня.

Теорема Квапеня. Пусть Е и Р банаховы пространства, соответственно, типа 2 и котипа 2, Е\ замкнутое подпространство в Е, а I/ : Е\ —» Р линейный непрерывный оператор. Тогда I/ продолжается до оператора на Е, факторизующегося через гильбертово пространство.

Напомним, что банахово пространство Е имеет тин (котии) 2,

если / !1Х>"'(Ф<И < С(Е11^112)1/2 (соответственно, (£ М2)1/2-< о

1

/ II £ Для любого конечного набора векторов ж,- 6 Е. Здесь Гх

о

функции Радемахера. Предположим, что Е и Р здесь - банаховы решетки. Тогда условие котипа 2 для Р трансформируется в 2-вогиутость (см. [14, 1.£16]). С другой стороны, бывают 2-выпуклые решетки, не обладающие типом

2 (например можно еще упомянуть что-нибудь вроде Ь2(£'%:) или

Ьс°((2) и т.п.). В этом аспекте в случае решеток область применения следствия 1 несколько шире, чем у теоремы Квапеня. В другом аспекте она несколько уже, ибо в следствии 1 оператор £> заранее предполагается 2-вогнутым, а в теореме Квапеня никаких условий на оператор II пе накладывается.

Используя приведенное выше следствие, можно получить такую теорему.

Теорема 4. Если X 2-вогнут,ам решетка измеримых функций на пространстве (Т х П,т х ц), удовлетворяющая условию (*), то пространство Х/Ха имеет котип 2.

Когда это утверждение нетривиально и когда ново? Утверждение теоремы очевидно, если X* пространство типа 2 (в этом случае сопряженное пространство (Х/Ха)* является подпространством X*, следовательно также имеет тип 2, отсюда следует, что (Х/Ха)*" имеет котип 2), а также если пространство Ха дополняемо в X. Самый знаменитый из известных ранее нетривиальных случаев, - это пространство X = Ьг (Т) (меры /л нет, или, эквивалентным образом, она сводится к точечной нагрузке). Тогда Ха = Н1; то, что пространство Ь1/!!1 имеет котип 2, было доказано Бургейном в начале 80-х годов 20 века как следствие его общих результатов об аналоге теоремы Гротендика для диск-алгебры (см. [С, 7], а также монографию [18] и обзоры [1, 9]). .Информация, содержащаяся в указанных источниках, позволяла получить утверждение теоремы 4, например, для пространства X = Ь1 (Т, Ьр{р.)), 1 < р < 2 (мера ¡1 теперь произвольна). Однако, насколько можно судить, оно ново для пространств вроде Ь1(Т,Ц'(Ь1(о),1')), 1 < р < 2. Во всех указанных случаях тривиальные соображения, упомянутые в начале абзаца, неприменимы.

Нетривиальны также и экзотические примеры следующего сорта. Пусть, для определенности, мы работаем с окружностью Т с мерой Лебега. Разобьем Т в объединение двух непересекающихся множеств А и В, тпА 0, гпВ > 0, и положим

* = {/•■ У \f\dm + (!\1\*Лт)Ч* < оо}.

а в '

Эта решетка 2-вогнута при 1 < д < 2. Не вдаваясь в детали, заметим, что при д > 1 эта решетка не является ВМО-регуляриой. По поводу В МО-регулярности см. [10, 3, 9]. Это условие тесно связано с интерполяцией пространств типа Ха, а через нее с аналогом теоремы Гротендика

для диск-алгебры и родственными результатами. Мы видим, однако, что к наличию котипа 2 в пространстве Х/Ха оно отношения не имеет.

Наконец, последняя теорема и ее следствие дают утверждение о факторизации р-вогнутого оператора, заданного на аналитическом подпространстве р выпуклой решетки.

Теорема 5. Пусть 1 < р < оо и X р-выпуклая решетка измеримых функций, в которой выполенено свойство Фату. Пусть IV банахово пространство, а оператор Т : Ха —♦ V/ удовлетворяет следующему условию:

1Я <р ив

Следствие. В теореме 5 функцию <£ можно выбрать так, что оператор Т продолжается до оператора Т,

где <3 - некоторый проектор, г естественное вложение, а 5 - оператор, непрерывность которого выражается неравенством из заключения теоремы, 5. Оценка < 2Р может не сохраниться, но можно добиться неравенства < (1 +е)2р.

В частности, мы видим, что оператор Т факторизуется через Ьр.

Переходим к описанию результатов главы 2. Как уже отмечалось, все доказательства аналогов теоремы Гротендика для диск-алгебры интерполяционны по своей сути: они требуют уметь интерполировать в шкале пространств Харди в сложных ситуациях. Например, достаточно знать, как интерполируются весовые пространства Харди в случае более или менее произвольного веса. Остановимся чуть подробнее на этом. Весовые пространства удобно ввести формулой

||Гж|| < Нт||Га:„||, если х,х„еХл, |жп| < |гс| и ■ хп —ух п.в.

п

Т : Л' Ьр(<р йтп дц) -2-»

Ьрл(<рс1т<1р) IV,

1/£,(Т) = {/ •' /и> £ 0 < р < оо (от веса требуется лишь сум-

мируемость логарифма). Когда при переходе к пространствам Харди //£(Т) сохраняются интерполяционные формулы, стандартные для пространств Щ,(Т)? Выяснилось, что вместо конкретных интерполяционных формул естественно проверять некое фундаментальное свойство так называемую А'-замкпутость. Дадим общее определение.

Определение. Подпара (Р0, интерполяционной пары {Ео,Е{) называется К-замкпутой, если для всякого элемента / € Fo-l-.Fi и всякого его разложения / = ео + еь где ео € Ео, е\ € Е1, существует другое разложение / = /о + /ь где /о € ^о, /х е ^ и ||/<|| < г = 0,1 (коистанта С не зависит от участвующих векторов).

В приведенной выше ситуации оказывается, что пара (//£", Щ\) К-замкнута в паре тогда и только тогда, когда к^гио/гих) е

В МО; см. [11].' Этот результат получен методами комплексного анализа. Однако в случае, когда и>о = и>\ = 1, возможен чисто вещественный подход с далеко идущими обобщениями. Это обстоятельство было обнаружено Бургейном [8] и развито в статье [2] (см. также обзор [12)).

Пусть Р - ортогональный проектор пространства ¿2(Т) на Н2(Т): Р/ =Г Х)п>(проектор Рисса). Хорошо известно, что проектор Р ограничен в ЬЯ(Т) при 1 < в < оо и неограничен ни в ¿'(Т), шг в Ь°°(Т). Однако формула IV = {/ е Ь3 : Р/ е Ь*} верна при всяком 5, « € [1,оо]. Далее, из непрерывности проектора Р А'-замкпутость пары (НРо,11Р1) в (Ь''п, Ь,н) вытекает тривиальным образом, если 1 < Ро,Р1 < оо, так что она интересна, лишь если ро или рх принимает крайние значения 1, оо. Мы будем интересоваться более общей ситуацией того же рода. Именно, рассмотрим шкалу пространств Хр = {/ € А'1 (/.с) : Qf = /}. Здесь ¿х это некоторая мера, оператор О действует во всех пространствах ¿^(ц) при 1 < р < оо и является в каждом из них проектором. Если выражению С?/ можно придать смысл и при / е (ц) или / € (разумеется, в интересных случаях функ-

ция вообще говоря, покидает указанные "крайние" пространства ■ например, она может быть распределением), то пространство Хр определено и при р■= 1, со, и можно задаться вопросом о том, до какой степени шкала Хр, включая одну или обе концевые точки, наследует свойства шкалы V.

Нас будет интересовать, можно ли интерполировать между пространствами Хр по тем же формулам, каковые имеют место для пространств V'. Как мы уже отмечали, для этого мы будем изучать вопрос о ЛГ-замкнутости. Для того, чтобы интерполяционные формулы веще-

ственного метода наследовались шкалой Хр, нужно еще соотношение Хр = (Х\ + Х^) П 17, 1 <' р < оо, однако в конкретных примерах оно обычно выполнено.

Итак, мы хотим выяснить, при каких условиях пара (ХРо,ХР1) К-замкнута в (17"', 171), если рц < р\ и хотя бы один из показателей принимает крайнее значение 1 или оо. Упомянутый выше "чисто вещественный подход", найденный в [8] и развитый в [2, 12] показывает, что это так, если <5 - сингулярный интегральный оператор типа Кальдерона-Зигмунда {CZO). Приведем определение. Все будет происходить на пространстве К" с мерой Лебега либо на п-мерном торе.

Оператор Т называется оператором Кальдерона-Зигмунда (см. [5]), если

(а) Т действует из 17 в 17 при некотором р е (1,оо);

(б) у Т существует ядро К(-, ■) - измеримая функция такая, что

(т/)(3) = I 0/(0^(0 !2

при п.в. з вне носителя функции /, / ё Ьр;

(в) ядро К обладает некоторой гладкостью.

В литературе встречаются различные и не эквивалентные между собой формы последнего условия. Мы приведем здесь только одно из них:

существует такая постоянная С, что для всякого шара Ив П выполняется неравенство

.|К-(В,*0-К(д.*2)| < ^¡26Д

для некоторых а > 0 и С > 0, не зависящих от ¿1, ¿2 11 (Здесь ЪП шар с тем же центром, что и О, но в 5 раз большего радиуса; п ■■ размерность пространства Кп или Тп, входящего в определение основного пространства с мерой.)

Заметим, что встречавшийся ранее проектор Р есть СЕО.

Если проектор <3 в пространстве 17 является оператором Кальдерона-Зигмунда то, как известно, он автоматически действует из 17 в себя при 1 < г < р и из Ь1 в так что определение

Хг,о = хг = {/ 6 и : 0/ = /}

имеет смысл при I < г < р. Если С}' -- тоже оператор Кальдерона Зигмунда, то действует в 17 при р < г < оо, и для таких г пространство Хт д тоже можно определить приведенной выше формулой.

Естественно положить в этом случае

-Хоо = ^оо,<? =

Это не вполне соответствует предварительному обсуждению, приведенному выше. Однако включение / € XXtQ эквивалентно равенству Qf — /, если функция / лежит в L"° П // для некоторого s < ос.

В приведенных условиях справедлива теорема о А'-замкнутости (см. [12]).

Теорема. I. Если Q - оператор Кальдерона-Зигмунда, то пара {ХГ1,ХГг) К-замкнута в (LTl, IS*) при 1 < п < Г2 < р.

И. Если Q* ■ оператор Кальдерона Зигмунда, то пара (.Х"Г1)-VT2) К-замкнутости в (Lr\ IS2) при р < rj < г? < оо.

III. Если Q и Q* операторы Калъдерона Зигмунда, то пара (Xri,Xr2) K-замкнута в (Ln, IS'1) при 1 < ri < гг < оо.

Таким образом, вопрос о шкале пространств, определяемых с помощью операторов Кальдерона-Зигмунда, оказывается решенным. Мы же хотим рассмотреть примеры операторов, которые не являются CZO. Модельным примером такого оператора является проектор Q, определенный формулой

Qf= ]£•/(*.

kj> О

Здесь функция / задана на двумерном торс Т2 с мерой Лебега, f(k,l) ее коэфициенты Фурье. Норма у такого оператора в D\Т2) растет как р2 (при р —<■ оо), а следовательно, он не является оператором Кальдерона-Зигмунда. Пространства Хр, построенные по Q, это просто классы Харди Н1'(Т2). Следующая теорема была доказана в [2].

Теорема о двумерном торе. Каковы бы ни были, показатели 0 < Pi < Р2 < оо, пара (ЯР'(Т2),Я^(Т2)) К-замкнута в (1"'{Г2), LP>(T2)).

При ограничении р% < оо теорема была известна и до работы [2], причем для торов любой размерности; см. [19]. До сих пор неясно, можно ли допустить бесконечные показатели даже в случае размерности 3.

Оператор Q является двойным синугулярным интегральным оператором (тензорным произведение двух проекторов Рисса, действующих по разным переменным): Q — Р <g> Р, где Р^ = J2n>0 У(n)z" Лля Функций g на окружности. В доказательстве теоремы о двумерном торс это

соображение послужило руководством к действию. Однако рассужде-иие из [2], позволившее охватить случай р2 = оо для двумерного тора, использует довольно специфические соображения из комплексного анализа и поэтому не очень приспособлено для обобщений. Говоря очень приблизительно, это рассуждение можно надеяться перенести лишь на такие двойные сингулярные интегралы, в которых один из образующих операторов это нечто вроде проектора Рисса.

Наша цель ■ показать, что некоторые важные операторы из одномерного анализа Фурье (на прямой и окружности) можно интерпретировать как "двойпыё' сингулярные интегралы именно такого типа. В этой ситуации нет разделяющихся переменных (как было в случае тора), однако ограниченность интересующих нас операторов в I? при р € (1,оо) тоже сводится к ограниченности композиции пары СЕО и некоторый простых преобразований. Мы рассмотрим два примера. Первый это квадратичная функция Харди-Литлвуда. Для случая окружности (мы фиксируем его для определенности) она выглядит так:

1/2

2 Л \

£ Л™)*" +

1<п<21+!-1 /

Второй это проектор заданный формулой

£

Л>0 22*- 1<п,<22*+1-

£

/( П)2

(Легко выписать аналоги операторов а и 52 для прямой К. Все, сказанное ниже, переносится на случай прямой.)

Для формулировки результатов нам понадобятся некоторые обозначения. Для функции / на окружности положим

Мк/ ■■

Е /(п)*п,

2*-,-1<п<2*-1

Е к < 0.

2-'<п<2-'+1

Так как сг/

(Е1м*/12)1/2-

мы можем вместо квадратичной функ-

ции сг рассматривать линейное отображение / > значени-

ями которого являются ¿2-значные функции. Далее, в пространстве

Ьр{12) = {{/>}>ег : (Е1Л12)1/2 £ ЬР(Т)} выделим подпространства

= : Л/,/о = Л при 5 ^ 0} и = {{£}*» е : /о £ Я"}.

(Таким образом, = 0 при з < 0, если {/,} £ Ур,л-

Тсорсма 6. При любых п, Г2 е [1,оо], п < гг, па/лы (3-г,, Уг2) и \УтиА, Ут2,л) К-замкнуты, о \ЬГ'[12), 1/''(12)).

Отметим, что в совместной работе [20] из теоремы 6 были выведены теоремы об исправлении, подобные классической теореме Меньшова, но связанные с квадратичной функцией а (эти результаты не вошли в диссертацию).

Наконец, положим = {/ е //"(Т) : / = где 1 < р < оо.

Теорема 7. При любых 1 < рх < Р2 < оо пара (2^, Zp2) К-замкнута- ; в (Ц><(Т), №(Т)).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю чл.-корр. РАН С. В. Кислякову за постановку задач, всестороннюю поддержку и помощь в исследованиях и постоянное внимание к работе.

Литература

[1] Кисляков С. В., Абсолютно суммирующие операторы на диск алгебре. —■ Алгебра и анализ 3, No. 4 (1991), 1 77.

[2] Кисляков С. В., Шу Кванхуа, Вещественная интерполяция и сингулярные интегралы, Алгебра и анализ 8 (1996), No. 4, 75-109.

[3] Кисляков С. В., О В МО-регулярных решетках измеримых функций, Алгебра и анализ, 14, No. 2 (2002).

[4] Никишин Е. М., Теоремы о резонансе для суперлинейных операторов, Успехи математ. "наук 25 (1970), No. 6, 129-191.

[5] Стейн И., Сингулярные интег}млы и дифференциальные свойства функций, Мир, М., 1973. '

[6] Bourgain J., New Banach space properties of the disc algebra and II°°. - Acta Math. 152 (1984), 1-48.

[7] Bourgain J., Bilinear forms on H00 and bounded bianalytic functions. Trans. Amer. Math. Soc. 286 (1984), 313 337.

[8] Bourgain J., Some remarks on Pisier's approach to interpolation, Israel J. Math. 77 (1992), No. 1-2, 165-185.

[9] Gamclin T. W. and Kislyakov S. V., Uniform algebras as Banach spaces. In: Handbook of the geometry of Banach spaces, Vol. 1. Elsevier Science В. V., 2001. Math. Nachr. 94 (1980), 303 340.

[10] Kalton N. J., Complex interpolation of Hardy type subspaces. — Math. Nachr. 171 (1995), 227 -258.

[11] Kislyakov S. V., Xu Quan Hua, Interpolation of weighted and vector-valued Hardy spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 343 (1994), no. 1, 1 34.

[12] Kislyakov S. V., Interpolation of Hp-spaces: some recent developments, Function Spaces, Interpolation Spaces, and Related Topics (Haifa, 1995), Israel Math. Conf. Proc., vol. 13, Bar-Ilan Univ., Rainat Gan, 1999, pp. 102 140.

[13] Kislyakov S. V., On BMO-regular couples of lattices of measurable functions, Studia Math. 159 (2003), 277 290.

[14] Joram Lindenstrauss and Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces II. Function Spaces, Spinger-Verlag (1979).

[15] Maurcy В., Théorèmes de factorization pour les opérateurs linéaires à valeurs dans un espace IP, Astérisque, vol. 11, Soc. Math. Franco, Paris, 1974

[16] Pisier G., Interpolation between Hp spaces and noncommutative generalizations. I, Pacific J. Math. 155 (1992), 341 368.

[17] Piaier G., A simple proof of a theorem of J. Bourgain, Michigan Math. J, 39 (1992), No. 3, 475-484.

[18] Wojtaszczyk P., Banach Spaces For Analysts, Cambridge University Press (1991).

[19] Xu Quail Hua, Some properties of the quotient space L1(Tn)/IIl(Dn), Illinois J. Math. 37 (1993), no. 3, 437 454.

Публикации автора по теме диссертации

[20] Аннсимов Д. С., Кисляков С, В., Двойные сингулярные интегралы: интерполяция и исправление, Алгебра и анализ, Том 16 (2004), Вып. 5, 1 - 33.

[21] Аннсимов Д. С. Вариант теоремы Гротсндика для nodripo- ■ странств аналитических функций в реиьетках. ■ Зап. научи, семнн. ПОМИ 327 (2005).

[22] Аннсимов Д. С., Кисляков С. В., Сильная факторизация операторов на подпространствах аналитических функций в решетках. Зап. научи, ссмин. ПОМИ 333 (2006).

Подписано в печать 18. 08. 2006 г. Формат бумаги 21X29.7 1/4. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 5 усл. п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 128. Отпечатано в типографии «ПОЛЭКС» с оригинал-макета заказчика. 199226, г. Санкт-Петербург, В.О., ул. Кораблестроителей д. 18

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Вариант теоремы Гротендика и сильная факторизация операторов на подпространствах аналитических функций в решетках

§1.1 Определения и уточнение рассматриваемых вопросов

§1.2 Вариант неравенства Гротендика для оператора, действующего из подпространства аналитических функций в решетку

§1.3 Оператор, действующий из подпространства аналитических функций пространства L°°(dtdfi) в пространство, удовлетворяющее условию ограниченной аппроксимации

§ 1.4 Вариант неравенства Гротендика для оператора, действующего из подпространства аналитических функций в факторпрострапст

§ 1.5 Вариант теоремы В для оператора, заданного на подпространтве в решетке

§1.6 Следствия из теоремы 3 и теорема о котипе для факторпространства Х/Ха

§1.7 Сильная факторизация

Глава 2. Интерполяция в пространствах, связанных с двойными сингулярными интегралами

§2.1 Определения и известные результаты

§ 2.2 Формулировки теорем

§ 2.3 Доказательство теоремы 1 для левой части шкалы

§ 2.4 Доказательство теоремы 1 для правой части шкалы

§ 2.5 Доказательство теоремы

§ 2.6 Набор результатов о встречавшихся в доказательствах операторах

Актуальность темы

Найденное Ж. Бургейном в 1981 г. доказательство аналога теоремы Гротендика для диск-алгебры дало толчок целой серии исследований пространств аналитических функций и операторов в них. Методы, разработанные для этих исследований, оказались применимы и к другим задачам. В частности, с их помощью удалось хорошо понять интерполяционные свойства пространств типа Харди. * Несмотря на 25-летнюю историю, в этой тематике имеются нерешенные актуальные задачи.

Цель работы

1) Перенос на пространства типа Харди варианта теоремы Гротендика, гласящего, что всякий линейный непрерывный оператор из банаховой решетки X в банахову решетку Y естественным образом индуцирует оператор, действующий из Х(£2) в Y{£2).

2) Доказательство варианта теоремы о сильной факторизации щ операторов для пространств типа Харди.

3) Выяснение наличия котипа 2 у факторпространства Х/Хд, где X решетка измеримых функций на окружности (подчиненная минимальным условиям), а Хд - соответствующее пространство типа Харди.

4) Исследование интерполяционных свойств функциональных пространств, связанных с некоторыми классическими операторами ь одномерного анализа Фурье, интерпретируемыми как двойные сингулярные интегралы (в частности, пространств, имеющих отношение к квадратичной функциии Литлвуда-Пэли).

Методы исследования

В работе применялись методы комплексного и гармонического анализа и теории сингулярных интегральных опеаторов. Важную роль сыграли также общие результаты функционального анализа.

Научная новизна

В диссертации впервые доказан вариант теоремы Гротендика о непрерывности оператора на пространстве вида Z(£2) в случае, когда Z - аналитическое подпространство в решетке измеримых функций на окружности. Впервые установлены аналоги теоремы о сильной факторизации для подпространств аналитических функций 2-выпуклой решетки измеримых функций. Доказано, что если X - 2-вогнутая решетка измеримых функций на окружности, то при минимальных условиях (нужных лишь для того, чтобы гарантировать невырожденность пространства Хд) факторпространство Х/Ха имеет котип 2. В такой общности этот результат получен впервые. Впервые доказана if-замкнутость в шкале пространств на окружности с интегральными метриками, состоящих из функций с большими лакунами в спектре, а также аналогичный результат в шкале пространств векторно-значных функций, связанной с квадратичным оператором Литлвуда-Пэли.

Практическая и теоретическая ценность работы

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть применены в смежных задачах гармонического анализа, теории функциональных пространств и теории сингулярных интегралов.

Аппробация работы

Результаты диссертации неоднократно докладывались на совместном семинаре ПОМИ-СПбГУ по линейному и комплексному анализу, а также в Институте им. Шредингера (Австрия, Вена) в рамках программы по анализу под руководством П. Джонса и П. Мюллера весной 2005 г.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в трех статьях [26,27, 28].

Структура и обьем работы

Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых в общей сложности на 13 парагафов и занимает 83 страницы. Библиография содержит 28 наименований.

1. Акилов Г. П., Канторович J1. В., Функциональный анализ. Наука, М. (1977).

2. Дынькин Е. М., Методы теории сингулярных интегралов II. Теория Литлвуда-Пэли и ее приложения, Коммутативный гармонический анализ 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, т. 42, ВИНИТИ, М., 1989, с. 105-198.

3. Кисляков С. В., Абсолютно суммирующие операторы на диск алгебре. — Алгебра и анализ 3, No. 4 (1991), 1-77.

4. Кисляков С. В., Шу Кванхуа, Вещественная интерполяция и сингулярные интегралы, Алгебра и анализ 8 (1996), No. 4, 75109.

5. Кисляков С. В., Еще несколько пространств, для которых верен аналог теорема Гротендика, Алгебра и анализ 7 (1995), No.l, 62 91.

6. Кисляков С. В., О ВМО-регулярных решетках измеримых функций, Алгебра и анализ, 14, No. 2 (2002).

7. Никишин Е. М., Теоремы о резонансе для суперлинейных операторов, Успехи математ. наук 25 (1970), No. 6, 129-191.

8. Пич А., Операторные идеалы. Мир, М. (1982).

9. Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, Гостехиздат, M.-J1., 1950.

10. Стеин И., Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Мир, М., 1973.

11. Bourgain J., New Banach space properties of the disc algebra and H°°. Acta Math. 152 (1984), 1-48.

12. Bourgain J., Bilinear forms on H00 and bounded bianalytic functions. Trans. Amer. Math. Soc. 286 (1984), 313-337.

13. Bourgain J., Some remarks of Pisier's approach to interpolation, Israel J. Math. 77 (1992), No. 1-2, 165-185.

14. Coifman R. R., Weiss G., Extensions of Hardy spaces and their use in analysis, Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), no. 4, 569 645.

15. Gamelin T. W. and Kislyakov S. V., Uniform algebras as Banach spaces. In: Handbook of the geometry of Banach spaces, Vol. 1. Elsevier Science В. V., 2001. Math. Nachr. 94 (1980), 303-340.

16. Kalton N. J., Complex interpolation of Hardy-type sub spaces. -Math. Nachr. 171 (1995), 227-258.

17. Kislyakov S. V., Xu Quan Hua, Interpolation of weighted and vector-valued Hardy spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 343 (1994), no. 1, 1-34.

18. Kislyakov S. V., Interpolation of Hp-spaces: some recent developments, Function Spaces, Interpolation Spaces, and Related Topics (Haifa, 1995), Israel Math. Conf. Proc., vol. 13, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1999, pp. 102-140.

19. Kislyakov S. V., On BMO-regular couples of lattices of measurable functions, Studia Math. 159 (2003), 277-290.

20. Joram Lindenstrauss and Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces II. Function Spaces, Spinger-Verlag (1979).

21. Maurey В., Theoremes de factorization pour les operateurs lineaires a valeurs dans un espace If, Asterisque, vol. 11, Soc. Math. France, Paris, 1974

22. Pisier G., Interpolation between Hp-spaces and noncommutative generalizations. I, Pacific J. Math. 155 (1992), 341 368.

23. Pisier G., A simple proof of a theorem of J. Bourgain, Michigan Math. J., 39 (1992), No. 3, 475-484.

24. Wojtaszczyk P., Banach Spaces For Analysts, Cambridge University Press (1991).

25. Xu Quan Hua, Some properties of the quotient space L1(Tn)/H1(Dn), Illinois J. Math. 37 (1993), no. 3, 437-454.Публикации автора по теме диссертации

26. Анисимов Д. С., Кисляков С. В., Двойные сингулярные интегралы: интерполяция и исправление, Алгебра и анализ, Том 16 (2004), Вып. 5, 1 33.

27. Анисимов Д. С. Вариант теоремы Гротендика для подпространств аналитических функций в решетках. — Зан. научи. семин. ПОМИ 327 (2005).

28. Анисимов Д. С., Кисляков С. В., Сильная факторизация операторов на подпространствах аналитических функций в решетках. Зап. научн. семин. ПОМИ 333 (2006).