Симметрии и точные решения уравнений с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Касаткин, Алексей Александрович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Уфа МЕСТО ЗАЩИТЫ
2013 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.02 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Симметрии и точные решения уравнений с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля»
 
Автореферат диссертации на тему "Симметрии и точные решения уравнений с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля"

На правах рукописи

Касаткин Алексей Александрович

СИММЕТРИИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА ТИПА РИМАНА-ЛИУБИЛЛЯ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

28 НОЯ 2013

Уфа — 2013

005541113

005541113

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Уфимский государственный авиационный технический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Газизов Рафаил Кавыевич Официальные оппоненты: Фёдоров Владимир Евгеньевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет»; Хабибуллин Исмагил Талгатович доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник ФГБУН «Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН» Ведущая организация: ФГБУН «Институт прикладной математики

им. М.В.Келдыша Российской академии наук»

Защита состоится «20» декабря 2013 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки «Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН» по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБУН «Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН».

Автореферат разослан «"В» ноября 2013 года. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01 кандидат физико-математических наук Попёнов С. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В последние годы аппарат дробного интегро-дифференцирования всё более интенсивно используется при построении математических моделей различных процессов в реальных средах. Например, существуют модели, описывающие процессы диффузии и распространения волн в средах с памятью или с фрактальной геометрией, модели деформации вязко-упругого материала и т. д. Уравнения с производными дробного порядка тесно связаны со стохастическими моделями. Дробное интегро-дифференцирование используется также для решения прикладных задач автоматического управления.

Тем не менее, методы аналитического решения дифференциальных уравнений с производными дробного порядка ещё недостаточно разработаны. Большинство существующих подходов позволяет получать аналитические решения лишь для определенного класса линейных уравнений и некоторых нелинейных уравнений с дробными производными. В простейших случаях решение удаётся построить методом последовательных приближений после сведения уравнения к интегральному. Для поиска решений линейных уравнений часто используются интегральные преобразования Лапласа и Мелли-на. Для нелинейных уравнений развиты методы построения приближений к решению, например, методы разложения Адомиана и гомотопического возмущения.

Одним из эффективных подходов к построению решений уравнений с производными целого порядка является использование методов группового анализа. Однако до сих пор эти методы не нашли применения в теории дробных дифференциальных уравнений. Известны лишь отдельные работы, использующие элементы группового анализа для исследования таких уравнений. Например, в работе 10. Лучко и Р. Горенфло1 построена группа преобразований растяжения, оставляющая инвариантным линейное уравнение с частными производными дробного порядка, а также показана возможность использования этих преобразований для построения автомодельных решений.

В данной работе развивается инфинитезнмальный подход к исследова-

1Yu. Luchko, R. Gorenflo. Scale-invariant solutions of a partial differential equation of fractional order// Fractional Calculus and Applied Analysis. - 1998. - Vol. 1. - Issue 1. - P. 63-78.

нию спмметрийных свойств уравнений с производньпш дробного порядка с одной независимой переменной. Решаются задачи классификации таких уравнений и иллюстрируется возможность применения симметрий для построения точных решений классов нелинейных уравнений с дробными производными. Для построения точных решений применяется также метод инвариантных подпространств, развитый в работах В. А. Галактионова и С. Р. Свирщевского.

Целью настоящей работы является распространение методов группового анализа дифференциальных уравнений на уравнения с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля по одной независимой переменной, классификация некоторых классов таких уравнений и систем, построение примеров новых точных решений нелинейных уравнений с производными дробного порядка.

Методы исследования. При решении поставленных задач использованы методы группового анализа дифференциальных уравнений, аппарат дробного интегро-днфференцирования, метод инвариантных подпространств для эволюционных уравнений.

Научная новизна.

1. Развит инфинитезимальный подход к исследованию спмметрийных свойств уравнений с производными дробного порядка: построена формула продолжения инфинитезимального оператора группы преобразований на дробные производные и интегралы типа Римана-Лиувилля, а также предложен конструктивный алгоритм построения допускаемых операторов линейно-автономного типа для уравнений с такими производными.

2. Проведена классификация по допускаемым группам точечных преобразований, порождаемых линейно-автономными операторами, трёх классов уравнений с одной независимой переменной и производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля. На основе полученных симметрий построены классы точных решений рассмотренных нелинейных уравнений.

3. Исследованы симметрийные свойства систем двух уравнений с двумя неизвестными функциями одной переменной, содержащих производные дробного порядка; построена оптимальная система одномерных подалгебр бесконечномерной алгебры Ли операторов, порождающих группу эквивалентности рассмотренной системы уравнений, и полная оптимальная система для её конечномерной части размерности 6; найдены классы систем, допускающих данные подалгебры.

4. Предложена схема применения метода инвариантных подпространств для построения частных решений уравнений эволюционного типа с дробной производной по времени.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть применены для исследования различных уравнений с производными дробного порядка и построения классов точных решений таких уравнений.

Работа выполнялась при поддержке гранта правительства РФ M1.G34.31.0042 по постановлению №220 (2011-2013 г.) и НИР №1.3225.2011 в рамках гос. заказа УГАТУ (2012-2013 г.).

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

• Уфимская международная математическая конференция «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика» памяти Л.Ф. Леонтьева, г. Уфа, 2007;

• International conference MOGRAN-11 «Lie Group Analysis in Education and Research», г. Карлскрона (Швеция), 2007;

• Всероссийская молодёжная научная конференция «Мавлютовские чтения», г. Уфа (Россия), 2007;

• 5-я Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», г. Самара (Россия), 2008;

• 2nd Conference of Nonlinear Science and Complexity, г. Порто (Португалия), 2008;

• International Workshop on New Trends in Science and Technology, г. Анкара (Турция), 2008;

• 3rd IPAC Workshop on Fractional Differentiation and its Applications (FDA 2008), г. Анкара (Турция), 2008;

• Международная конференция «Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений (MOGRAN-13)», г. Уфа (Россия), 2009;

• XI Всероссийский симпозиум но прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), г. Кисловодск (Россия), 2010;

• 5th IFAC Symposium on Fractional Differentiation and its Applications (FDA 2012), г. Нанкин (Китай), 2012;

• 5-я Российская конференция с международным участием «Многофазные системы: теория и приложения», посвященная 20-летию со дня основания Института механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН, г. Уфа (Россия), 2012;

• Международная конференция «Современный групповой анализ (MOGRAN-15)», г. Кемер (Турция), 2012;

• Международная конференция «Современный групповой анализ (MOGRAN-16)», г. Уфа (Россия), 2013;

• Семинар по интегрируемым системам, Институт математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, г. Уфа (Россия), 2013.

Достоверность полученных результатов и выводов обосновывается тем, что в работе использовались широко распространённые и общепризнанные методы группового анализа дифференциальных уравнений, а также известный и корректный математический аппарат теории дробного интегро-дифференцирования.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ [1]-[17]. Из них 9 в виде статей (в том числе 5 - в журналах из списка ВАК), 8 - в виде тезисов.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации составляет 118 страниц, в том числе 6 таблиц. Список литературы состоит из 60 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновала актуальность работы, проведен обзор литературы, приведено краткое содержание глав диссертации.

В первой главе приведены необходимые определения, построена формула продолжения и предложен алгоритм поиска допускаемых операторов для уравнения с производными дробного порядка.

В параграфе 1 приводятся необходимые определения и свойства производных Римана-Лиувилля.

Определение 1. Дробным интегралом и дробной производной Римана-Лиувилля порядка а > 0 называются интегральные операторы задаваемые выражениями

X

с

где п — 1 < а < п, п € N. Применяются также обозначения сБхау(х) =с 1?у(х), Оау(х) = о Щу{х).

При целом а = п интеграл Римана-Лиувилля с1"у совпадает с п-кратным повторным интегралом, при переходе к пределу а —> п дробная производная сОху{х) переходит в производную целого порядка у^п\х).

Для широких классов функций /, # справедливо обобщённое правило Лейбница дифференцирования произведения:

оо , ч

св% (Ях)д(х)) = £ а игпД*) Щд{х). (2)

71—0 У"1'

В работе предполагается, что для рассматриваемых функций всегда существуют производные дробного порядка и выполняются условия их представимости в виде рядов по производным целого порядка.

В параграфе 2 рассматривается преобразование дробных производных и интегралов Римана-Лиувилля при замене переменных и строится формула продолжения инфинитезимального оператора.

Рассмотрим локальную группу Ли точеных преобразований вида

х = ф,у,а), $\а=0 = х, у = ф(х, у, о), ф\а=0 = у.

В общем случае, замена переменных в операторе дробного интегро-дифференцирования (1) существенно изменяет вид оператора. Пример 1. Для проективного преобразования

х = :г(1 — ах) \ у = у{ 1 — ах) 1, а = const, 1 — ах > О, >дная D"y(х) в новых пер

Щт = (1 - ах)а*Щ

дробная производная Б"у(х) в новых переменных принимает вид

У{х)

Ч(1 - ах)ч+1~а,

Используя традиционный инфинитезимальный подход С. Ли (для интегро-дифференциальных уравнений других типов он применялся, например, в работах С. В. Мелешко и Ю. Н. Григорьева), для преобразований (3) можно записать инфинитезимальный оператор

и продолжить его на производные целого и дробного порядка:

* = + у)щ + С1(*. у, ^ + Ьщ^ + ■■■■

При этом

х = х + а£(х, у) + о(а), у = у + ат]{х, у) + о(а). у'(х) = г/(ж) + < 1{х, у, у') + о(о),... уМ(х) = у^{х) + аСп + о{а),

<сЩу{х) = сЩу(х) + оСа + о(а), ....

Теорема 1. Коэффициент Са определяется формулой продолжения са = сЩ(л-£1/) + £сЩ+1у(.х).

(4)

Вывод данной формулы в работе производится с использованием разложения производной дробного порядка в ряд по производным целого порядка (соотношение (2) с / = 1, д = у) и формул продолжения для производных целого порядка. Все функции считаются разложимыми в степенной ряд в окрестности каждой точки интервала (с, б).

В параграфе 3 вводится определение допускаемого уравнением оператора и предлагается конструктивный алгоритм поиска таких операторов.

Рассмотрим уравнение с одной независимой переменной х и производными порядков с*;, г = 1,..., т:

F(x, y,eD?y,cD?y, • •. ,0D^y) = 0. (5)

Определенно 2. Будем говорить, что уравнение (5) допускает оператор X, если выполнено соотношение

(XF)| =0,

I 0]

где X - продолженный на необходимые производные оператор X, а [F = 0] - уравнение вместе со вселш следствиями из него.

Для интегро-дифференциальных уравнений не известно общего способа выбора независимых переменных и получения всех их необходимых связей как следствий из уравнения. Поэтому is работе предлагается конструктивный алгоритм построения симметрии из класса линейно-автономных операторов.

Алгоритм построения допускаемых операторов.

1. Рассматриваются иифииитезимальиые операторы X с коэффициентами вида

£ = г]{х,У) = p{x)y + q(x), (6)

где £(с) = 0 (условие сохранения нижнего предела в интеграле (1JJ.

2. Формула продолжения (4) представляется в виде

ОО / \ г _

с„ = сЩчЮ + ]Г гиог-у Р{п)(х) +

п—0 ^ '

(7)

3. Коэффициенты допускаемых операторов ищутся из уравнения

рт| =о.

При этом переменные х, у, Ва'~пу, п € 2>о, считаются независимыми.

Построенные по данному алгоритму операторы будем называть допускаемыми операторами линейно-автономного типа для уравнения с дробными производными (5).

Формула (7) получается из (4) для коэффициентов вида (6) с помощью правила Лейбница (2), при этом для всех функций у(х) из рассматриваемого класса должно выполняться соотношение сЩ(£у)' = сЩ+1{£у)-

В работе также сформулированы аналогичные формулы и ограничения для операторов правосторонней дробной производной хЩу (с пределами интегрирования от ж до (Г).

Во второй главе содержатся результаты классификации некоторых классов уравнений с производными Римана-Лиувилля. Параграф 4 посвящён классификации уравнений вида

Daxy = f(x,y), 0<а<1, х>0. (8)

Построены преобразования эквивалентности линейно-автономного типа (сохраняющие вид уравнения с изменением /), которые могут быть записаны в виде

х = aix{l - а2х)~1, у = а3(1 - а2ху-а {у + и{х)), / = аГа3(1 - a2x)l+a(f + Щи(х)) ( J

(здесь ai > 0, Оз ф 0, v(x) - произвольная функция).

Показано, что допускаемые операторы линейно-автономного типа для уравнения (8) имеют вид X = С\Х\ + С2Х2 + С3Х3 + {q), где

Xi = хдх, Х2 = х2дх + (а - 1 )худу, Х3 = уду, {q} = q(х)ду, а коэффициенты С\, С2, С3, q(x) определяются функцией /(х, у).

Теорема 2. Для произвольной функции f{x,y) уравнение (8) не допускает операторов линейно-автономного типа. Уравнение допускает операторы указанного типа только при следующих функциях f(x, у) (с точностью до преобразований эквивалентности (9)):

1. / = г/Ф(ж) : Z-i = уду, Zq = q(x)dy, где D°q = дФ(аг).

1.1. Ф(ж) = kx~° : Z3 = хдх.

1.2. Ф(ж) = ±х~2а : Z3 = х2дх + (а - 1 )худу.

1.3. Ф(ж) = 0: Z3 = х2дх + (а-1)худу, Zi = xdx.

2. / = х~1~аЧ!(ух1~а): Zi = х2дх + (а - 1)худу.

2.1. Ф(г) = е2 : = хдх + (а - 1 )уду + аха~хду.

2.2. Ф(*) = Л ф 0,1 : Z2 = хдх - 0)уду.

3. / = X? "Щу/х*3): Z1 = хдх + Руду.

4. / = {ухх~ае±х1х): Zx = х2дх + (а - 1)худу ± уду. Здесь к, А, ¡3 - произвольные постоянные.

Результат классификации, представленный в теореме 2, может быть получен как классическими методами группового анализа, так и методом предварительной групповой классификации, предложенным в работах И. Ш. Ахатова, Р. К. Газизова, П. X. Ибрагимова. Последнее связано с тем,

что в данном случае все рассматриваемые симметрии уравнения могут быть получены из алгебры L операторов, порождающих преобразования эквивалентности. Для таких уравнений задача классификации может быть сведена к задаче построения оптимальной системы подалгебр алгебры L и поиска уравнений, допускающих операторы этих подалгебр.

В конце параграфа 4 рассмотрены примеры построения инвариантных решений уравнений вида (8).

Пример 2. Уравнение Day = х~}~ае~1^х^(ух1~ае1^х) допускает оператор Z\ = х2дх + (а — 1)худу 4- уду. Соответствующее инвариантное решение имеет вид

у = кха~хе-11х,

где к является корнем алгебраического уравнения к = Ф(к).

Пример 3. Для уравнения Day = х~1~аеух> * инвариантное решение относительно оператора Zi = хдх + (а — 1 )уду + аха'^ду имеет вид

у = хп~\а\пх + In Г (а + 1)).

С помощью проективного преобразования с оператором Z\ из данного решения можно получить семейство решений

у = xa~1(alnx — aln(l 4- ах) + 1пГ(а + 1)), а = const.

Параграф 5 посвящен исследованию уравнений вида

Da^y = ф,у,Пау), 0 < а < 1, ж > 0. (10)

При выполнении условия tpz(x, у, z) = 0, т. е. для частного случая уравнений вида Da+1y = fix,у), преобразования эквивалентности имеют вид (9), а результат классификации повторяет результат для уравнения (8) с заменой а на а + 1.

Показано, что для общего вида уравнений (10) преобразования эквивалентности имеют вид

х = а\х{\ - а,2ху1, у = оз(1 - о2х)1_а (у + и{х)), ф = аГ^аз [(1 - 02ж)3+о {ip + Da+1u(x)) - (11)

-а2(а + 1)(1 ~ а2х)2^" (Day + Dav{x))] , oi > 0, а3 ф 0.

Теорема 3. Если функция ip(x,y,z) в уравнении (10) не удовлетворяет соотношению ¡p(x,y,z) = ф\(х)г + ф2(х, у), то все допускаемые операторы линейно-автономного типа имеют вид

X = CiXl + C2X2 + C3X3+{q}, (12)

где Хг = хдх, Х2 = х2дх + (а - 1 )худу, Х3 = уду, (q) = q(x)dy, а коэффициенты С\, С3, Сз, q{x) определяются функцией ip(x, у, z).

Теорема 4. Уравнение вида (10) с <pz ф 0 допускает хотя бы один оператор вида (12) только в следующих случаях (с точностью до преоб-

'VWUIIUU l/iVULtULWI/V^mmbVVMVW у -Ж- у у* V = yF{x,z/y): Zi = A',

1.1. F(x, z) = ;

1.1.1. Ф(в) = -(а + l)s + As1+° : = x2.

1.1.2. Ф(з) = As + В : z, = <«)•

1.1.3. Ф(в) = —(а + l)s : z3 = x2, zq = <

1.2. F(x, z) = -(а + 1)х~Ч + х'2а-Ч(х2а z): z2 = x2.

1.2.1. Ф(б) = ±s + А, Ф(в) = ±1: zq = <?)■

1.3. F{x, z) = Ф(х)г + Ф(аф zq = <9).

, <р = _(а + 1)гх~г + x~a~3F(x1~ay, x^az): Zi = X2

8+2 / ¡9+1 \ 2.1. F(y, z) = yw— Ф (zy°-*LA , Рфа- 1: Z2 = Xx+$X3.

2.2. F(y, z) = е(а+1]^(5е'аУ): Z2 = = + -(<*- l)X3 + (3f-

2.3. F(y,z) = y + V(z-ij): Z2 = (xa-le-l/x)

2-4- F(y, z) = Ф(z) : Z2 = (.x«-1).

, ip = xP-^Fix'Py, xa~13z): Zi = Xt + px3.

3.1. F(y, z) = (A - а)цу + Ф(5 - цу): z2 =

4.<р = -(а + 1 )x~lz+

+х~а~3еТ* F(yxl~ae±i, zxl+ae±i): Zx = X2 ± X3. 4.1. F(y, z) = 7a+1y + Ф(z - 7«y): Z2 = (a^W*).

Da+1w / Daw \ . .

5. ip =-у + Fix, z--у : Zi = {w{x)).

w \ w J

Здесь P,A,B - произвольные постоянные, 7 > 0, Л > —1, ц = Г(А + 1)/Г(А — а + 1), функции q(x) - решения линейного уравнения.

Для уравнений вида Da+ly = ф\(x)Day + фг(х,у) могут существовать дополнительные симметрии линейно-автономного типа, не являющиеся комбинациями Xi,X2,X3, (q).

Примером является оператор

Z = хдх + Ху ду,

К — X

допускаемый уравнением

В параграфе 6 рассматривается классификация уравнений вида

0С%у{х) + 7 • хЩу{х) = f(x, у), 0 < а < 1, ж > 0, 7 / 0. (13)

Поиск преобразований эквивалентности и симметрии линейно-автономного типа проводится так же, как для уравнения Day = f(x,y), но дополнительное условие £(1) = 0 сужает группу эквивалентности и алгебру допускаемых операторов.

Теорема 5. Для произвольной функции f{x, у) уравнение (13) не допускает операторов линейно-автономного типа. Симметрии такого mima появляются только в следующих неэквивалентных случаях:

1. /(х, у) = уЧ>{х) : Zi = уду, Zq = q{x)dy,

1.1. Ф(ж) = kx~a( 1 - х)~а: Z2 = (х2 - х)дх + {а- 1 )худу

2. f{x,y) = х-0а(1 - xf-H'iyil - х)1~а~рх^) :

Zi = (х2 - х)дх + {а - 1)худу + /Зуду. Здесь к - произвольная постоянная, a q(x) - произвольное решение уравнения 0D"q(x) + 7 • xD"q(x) = q4>(x).

В третьей главе рассмотрены симметрии систем вида

Dau{t) = f(t, и, v), Dav(t) = g(t, и, v). (14)

В параграфе 7 построены преобразования эквивалентности и получено соотношение, определяющее форму допускаемых операторов. Преобразования эквивалентности системы (14) порождаются операторами

Ei = tdt - afdf - agdg,

E2 = t2dt + (a - 1 )tudu + (a - 1 )tvdv - (a + 1 )tfdf - (a + 1 )tgdg, E3 = udu + fdf, E\ = vdu + gdf, (15)

E6 = udv + fdg, E& = vdv + gdg, Еяи = qu(t)du + D?q"(t)df, Ь> = q°{t)dv + D?q»(t)dg, где qu(t),qv(t) - произвольные функции.

Теорема 6. Операторы линейно-автономного типа, допускаемые системой (14), имеют, вид

X = С\Х\ + . .. + С6Х6 + <g»(t))u + <g»(i)>„ ,

Xi = tdt, X2 = t2dt + (a- l)tudu + (а - 1 )tvdv,

X3 = иди, X4, = X5 = u9„, = vdv, (16)

(qu(t))u = (Qv(t))v = ql'(t)dv,

где коэффициенты G\,... Сб, qu(t), q"(t) определяются функциями fug.

Сравнение (15) и (16) показывает, что полная классификация систем может быть построена с помощью метода предварительной групповой классификации. В параграфе 8 вычислена оптимальная система одномерных подалгебр Qi{L) (20 случаев) и полная оптимальная система для конечномерной части L& (дополнительные 66 случаев). Для каждой из найденных подалгебр выписан вид допускающей её системы (14). Например, подалгебра с базисом {Xi, Х2, Х4} допускается системами вида

Dau = Гауа/{1-а)(С2и + C\v), Dav = rava/(1~a)C2v.

В четвертой главе рассматривается метод инвариантных подпространств. Базовые понятия метода и утверждения приведены в параграфе 9. В параграфе 10 иллюстрируется схема применения метода инвариантных подпространств для построения частных решений уравнений с дробной производной эволюционного типа

Dfu = F[u], F[u] = F(u, ux, uxx,..., d£u). (17)

Теорема 7. Пусть линейно независимые функции {/¿(а;)} задают инвариантное подпространство W„ = (fi(x),... fn{x)) для оператора то есть для при и € Wn справедливо равенство

F[Cxh{x) +... + Cnfn{x)} = F\{C\,..., Cn)h(x) + ... + Fn{Cu Cn)fn(x). Тогда функция

и{х, t) = Ui(t)fi(x) + . . . + Unit) fnix) является решением уравнения (17) только в том случае, когда коэффициенты Uiit) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений с производной дробного порядка:

D^ui{t) = F1{uu...,un),..., D?unit) = Fn{Ul,...,un). (18)

Получаемые нелинейные системы (18) можно исследовать методами, рассмотренными в предыдущей главе. Пример 4. Рассмотрим уравнение

D?u = иихх + (их)2, и = u(t, х), 0 < а < 1. (19)

Показано, что двумерные инвариантные подпространства для оператора F[lj(x)] = УУ" + О/)2 имеют вид (1,ж2) и (у^^2) • Если рассматривается первое из них, то решение строится в виде

и(х, t) = щ{Ь) + u2(t)x2,

при этом ui(t), U2(t) должны удовлетворять системе

= 2111112, D?u2 = 6u|. (20)

Данная система допускает два независимых оператора

= tdt - а«2<9и2, 7,2 = щдщ.

Использование симметрии позволяет построить семейство решений системы (20), и далее - исходного уравнения (19):

„M^ + trV, k-^ц. (2D

Здес1) с - произвольная постоянная.

При а = 1/3 система допускает дополнительный оператор

= t2dt + {а- 1 )t,uxdUi + (а - 1 )lu2dU2, который позволяет расширить семейство решений (21):

и = ci<3( 1 + at)'0~2/3 + fcr1/3( 1 + atrV3x2, о, с = const.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен конструктивный алгоритм построения допускаемых операторов линейно-автономного типа для уравнений с производными дробного порядка, основанный на полученных в работе формулах продолжения инфинитезималыюго оператора группы преобразований на производные и интегралы дробного порядка типа Римана-Лиувилля.

2. Проведена классификация трёх типов уравнений с производными дробного порядка по допускаемым группам точечных преобразований с операторами линейно-автономного типа. Показана схема использования найденных симметрии для построения новых классов точных решений нелинейных уравнений с производными дробного порядка.

3. Исследованы симметрийные свойства систем двух уравнений с дробными производными вида Dau = f(t,u,v), Dav = g(t,u,v). Для бесконечномерной алгебры операторов, порождающих преобразования эквивалентности, построена оптимальная система одномерных подалгебр, а для её конечномерной части размерности 6 - полная оптимальная система подалгебр; найдены классы систем, допускающих данные подалгебры.

4. Для уравнений эволюционного типа с дробной производной по времени Dfu = F(x, и, их, ихх,...) предложена схема применения метода инвариантных подпространств, позволяющего получать семейства частных решений. Для построения примеров таких решений использованы симметрийные методы.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д. ф.-м. н., профессору Газизову Р. К. за постановки задач, внимание и всестороннюю поддержку в процессе работы над диссертацией, а также к. ф.-м. н., доценту Лукащуку С. 10. за плодотворное сотрудничество при выполнении исследований.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК при Минобр-науки России

1. Газизов Р. К., Касаткин Л. А.. Лукашук С. Ю. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестник УГАТУ. - 2007. - Т.9. - .\»3 (21). - С. 125-135.

2. Gazizov R. К., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Yu. Symmetry properties of fractional diffusion equations // Physica Scripta. - 2009. - T136: Workshop on Fractional Differentiation, 014016. - 10 P.

3. Касаткин А. А. Симметрийные свойства систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка // Уфимский математический журнал. - 2012. - Т. 4. - Л"®1. - С. 71-81.

4. Газизов Р. К., Касаткин Л. Л., Лукащук С. Ю. Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии // Уфимский математический журнал. - 2012. - Т. 4. - №4. - С. 54-68.

5. Gazizov R. К., Kasatkin A. A. Construction of exact solutions for fractional order differential equations by the invariant sub-space method // Computers & Mathematics with Applications. - 2013. - Volume 66. - Issue 5. - P. 576-584.

Публикации в остальных изданиях, материалы конференций

6. Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Групповая классификация одного нелинейного диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Материалы Уфимской международной математической конференции памяти А.Ф. Леонтьева. - Уфа: ИМВЦ, 2007. - Т. 1. - С. 57-58.

7. Gazizov R. К., Kasatkin A. A., Lukashchuk S.Yu. Symmetry analysis of differential equations with fractional order derivatives // Abstracts of International confcrence MOGRAN-11 «Lie Group Analysis in Education and Research». - Sweden, Karlscrona: BTH, 2007. - 1 P.

8. Касаткин А. А. Классификация обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка по допускаемым группам точечных преобразований // Мавлютовские чтения - Всероссийская молодёжная научная конференция. Материалы конференции. - Уфа: УГАТУ, 2007. - Т. 5. - С. 56-57.

9. Газизов Р. К.. Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Симметрийный подход к дифференциальным уравнениям дробного порядка // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием. - Самара, 2008. - Ч. 3. - С. 59-61.

10. Gazizov R. К., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Yu. Symmetries And Group-Invariant Solutions Of Nonlinear Fractional Differential Equations // Proc. of the 3rd IFAC Workshop on Fractional Differentiation and Its Applications (FDA'08) & International Workshop on New Trends in Technology. - Ankara, 2008. - 6 P.

И. Газизов P. К., Касаткин А. А., Лукащук С. IO. Симметрии дифференциальных уравнений с дробными производными // Тезисы докладов Международной конференции MOGRAN-13. - Уфа: УГАТУ, 2009. - С. 12.

12. Gazizov R. К., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Yu. Group-Invariant Solutions of Fractional Differential Equations / Nonlinear Science and Complexity, Eds. J.A.T. Machado, A.C.J. Luo, R.S. Barbosa, M.F. Silva, L.B.

- Springer, 2011. - P. 51-59. (опубл. также в материалах конференции: Proceedings of the 2nd Conference of Nonlinear Science and Complexity. -Portugal, Porto, 2008)

13. Касаткин А. А. Применение метода инвариантных подпространств к уравнениям с дробными производными // Обозрение прикладной и промышленной математики. - XI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. - 2010. - Т. 17. - №5. - С. 729-730.

14. Gazizov R. К., Kasatkin A. A. Construction Of Exact Solutions For Fractional Order Differential Equations By Invariant Subspace Method // Proc. 5th Symposium on Fractional Differentiation and its Applications. - China, Nanjing: Hohai University, 2012. - Paper 094. - 4 P.

15. Газизов P. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Симметрийные свойства дифференциальных уравнений переноса дробного порядка /'/ Труды Института механики им. Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН.

- Вып. 9: Материалы V Российской конференции с международным участием «Многофазные системы: теория и приложения», Ч. 1. - Уфа: Нефтегазовое дело, 2012. - С. 59-64.

16. Gazizov R. К., Kasatkin A. A. Constructing solutions of evolutionary fractional differential equations using invariant subspaces and symmetries // Abstracts of International conference MOGRAN-15. - Kemer, Turkey, 2012. -P. 12.

17. Касаткин А. А. О групповой классификации одного класса уравнений с производными дробного порядка // Международная конференция MOGRAN-16 «Современный групповой анализ»: тезисы докладов. - Уфа: УГАТУ, 2013. - С. 13.

Касаткин Алексей Александрович

СИММЕТРИИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА ТИПА РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

01.01.02. - дифференциальные уравнения, Динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 18.11.2013 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,9 Тираж 110 экз. Заказ № 609. Отпечатано в редакционно-издательском комплексе ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет» 450000, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12.

 
Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Касаткин, Алексей Александрович, Уфа

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Уфимский государственный авиационный технический университет»

На правах рукописи

04201452857

Касаткин Алексей Александрович

Симметрии и точные решения уравнений с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Р. К. Газизов

Уфа - 2013

Оглавление

Введение 3

1 Операторы дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля. Группы преобразований 17

§1 Основные сведения о производных дробного порядка..............17

§2 Преобразования операторов дробного интегро-дифференцирования

при заменах переменных................................................22

§3 Операторы, допускаемые уравнениями с производными дробного

порядка..................................................................29

2 Симметрийные свойства дифференциальных уравнений с производными дробного порядка 34

§4 Уравнения вида D%y = f(x, у) ........................................34

§4.1 Преобразования эквивалентности..............................34

§4.2 Результаты классификации....................................36

§4.3 Алгебраический подход к классификации....................43

§4.4 Использование симметрий для построения решений .... 50

§5 Уравнения вида D%+ly = (р(х, у, Day)................................53

§5.1 Преобразования эквивалентности..............................53

§5.2 Результаты классификации....................................56

§5.2.1 Случай <£> = f(x,y)....................................57

§5.2.2 Случай функции <р, зависящей от Day ............59

§5.2.3 Случай ip = f{x)Day + д{х, у) ......................63

§6 Уравнения вида 0D%y(x) + 7 • xD?y(x) = f(x, у)....................67

(L

3 Симметрийные свойства систем уравнений с производными дробного порядка 71

§7 Преобразования эквивалентности и вид допускаемых операторов 71 §8 Классификация систем уравнений с использованием алгебраического подхода............................................................74

§8.1 Построение оптимальной системы подалгебр................74

§8.2 Результаты классификации....................................89

4 Схема построения решений уравнений с производными дробного порядка методом инвариантных подпространств 97

§9 Метод инвариантных подпространств................................97

§10 Применение метода к уравнениям с дробной производной.....102

Заключение 110

Литература 110

Введение

В последние годы аппарат дробного интегро-дифференцирования всё более интенсивно используется при построении математических моделей различных процессов. Уравнения с производными дробного порядка используются для описания различных физических эффектов в реальных средах.

Например, существуют модели, описывающие процессы диффузии и распространения волн в средах с памятью или с фрактальной геометрией, модели деформации вязко-упругого материала и т. д. (см., например, работы [58], [49], [18], [24], [17]). Также уравнения с производными дробного порядка тесно связаны со стохастическими моделями [25], [26] (в том числе, с некоторыми моделями случайного блуждания в непрерывном времени [51]). Дробное интегро-дифференцирование используется также для решения прикладных задач автоматического управления [57].

Тем не менее, методы аналитического решения дифференциальных уравнений с производными дробного порядка всё ещё недостаточно разработаны.

Большинство существующих подходов позволяет получать аналитические решения лишь для определённого класса линейных уравнений и некоторых нелинейных уравнений с дробными производными. В простейших случаях решение удаётся построить методом последовательных приближений после сведения уравнения к эквивалентному интегральному уравнению Вольтерра (см., например, [23], [47]). Для поиска решений линейных уравнений часто используются интегральные преобразования Лапласа и Меллина (их применение описано, например, в книгах [52], [47] и многочисленных статьях), а также другие интегральные преобразования [22].

Для нелинейных уравнений с производными дробного порядка развиты некоторые методы построения приближенных аналитических решений. В некоторых случаях решение может быть построено в виде ряда, но, как правило,

коэффициенты таких рядов определяются рекуррентными соотношениями [57]. Для уравнений и систем с производными дробного порядка применяются многие современные методы построения приближений к решению, например, метод разложений Адомиана [45], [59], метод гомотопических возмущений [46], [53] и другие.

Одним из эффективных подходов к построению точных решений уравнений с производными целого порядка является использование методов группового анализа (см., например, [19], [9], [42], [21]). Однако до сих пор эти методы не нашли применения в теории дробных дифференциальных уравнений. Известны лишь отдельные работы, использующие элементы группового анализа для исследования таких уравнений.

Например, в работе [48] построена группа преобразований растяжения, оставляющая инвариантным линейное уравнение с частными производными дробного порядка, а также показана возможность использования этих преобразований для построения автомодельных решений.

Различные подходы к исследованию симметрий интегральных и интегро-дифференциальных уравнений других типов рассматривались, например, в ра-

Целью данной работы является распространение методов группового анализа дифференциальных уравнений на уравнения с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля по одной независимой переменной, использование таких методов для исследования симметрийных свойств и для построения новых точных решений уравнений с производными дробного порядка.

В первой главе приведены необходимые определения, построена формула продолжения и предложен алгоритм поиска допускаемых операторов для уравнения с производными дробного порядка. В параграфе 1 приводятся необходимые определения и свойства производных Римана-Лиувилля.

Определение 1. Дробным интегралом и дробной производной Римана-Лиувилля порядка а > 0 называются операторы задаваемые выражениями

ботах [27], [31], [16], [44], [41], [50].

X

с

где п — 1 < а < п, п € N. Применяются также обозначения

cD~ay{x) =с 1«у{х), Day(x) = о Щу{х).

При целом а = п интеграл Римана-Лиувилля совпадает с п-кратным повторным интегралом, при переходе к пределу а —> п дробная производная cD^y{x) переходит в производную целого порядка у^п\х).

Для широких классов функций /, g справедливо обобщённое правило Лейбница дифференцирования произведения:

00 / \

cDax (f(x)g(x)) = £ r)cD°-nf(x) D™g(x). (0.2)

п—0 W

В работе предполагается, что для рассматриваемых функций всегда существуют производные дробного порядка и выполняются условия их представимости в виде рядов по производным целого порядка.

В параграфе 2 рассматривается преобразование дробных производных и интегралов Римана-Лиувилля при замене переменных и строится формула продолжения инфинитезимального оператора.

Рассмотрим локальную группу Ли точеных преобразований вида

х = <р{х, у, а), <р\а=0 = х, у = ф(х,у,а), ф\а=0 = у. (0.3)

В общем случае, вид оператора дробного интегро-дифференцирования (0.1) существенно изменяется после замены переменных. Пример 1. Для проективного преобразования

х = х{\ — ах)~г, у = г/(1 — arc)-7, а = const, 1 — ах > О, дробная производная D®y(x) в новых переменных принимает вид

mm = (1 - «г'дг ((1_gU.) •

Используя традиционный инфинитезимальный подход С. Ли (см., например, [19], [42], [21]), для преобразований (0.3) можно записать инфинитезималь-

ный оператор

и продолжить его на производные целого и дробного порядка:

При этом

х = х + а£(х,у) + о(а), у = у + аг)(х, у) + о(а), у'(х) = у'(х) + а(,\{х, у, у') + о(а),... у(п)(х) = у(пХх) + а(;п + о(а), сЩу(х) = сБхУ{х) + аСа + о(а),....

Теорема 0.1. Коэффициент (а определяется формулой продолжения

Вывод данной формулы в работе производится с использованием разложения производной дробного порядка в ряд по производным целого порядка (соотношение (0.2) с / = 1,д = у) и формул продолжения для производных целого порядка. Все функции считаются разложимыми в степенной ряд в окрестности каждой точки интервала (с, (£).

В параграфе 3 вводится определение допускаемого уравнением оператора и предлагается конструктивный алгоритм поиска таких операторов. Рассмотрим уравнение с одной независимой переменной х и производными порядков щ, г = 1,..., га:

Определение 2. Будем говорить, что уравнение (0.5) допускает оператор X, если выполнено соотношение

где X - продолженный на необходимые производные оператор X, а [Р = 0] - уравнение вместе со всеми следствиями из него.

(0.4)

Р(х,у1СЩ*у,еЕ>;»у,...,е1У?*у) = 0.

(0.5)

Для интегро-дифференциальных уравнений не известно общего способа выбора независимых переменных и получения всех их необходимых связей как следствий из уравнения. Поэтому в работе предлагается конструктивный алгоритм построения симметрий из класса линейно-автономных операторов. Алгоритм построения допускаемых операторов.

1. Рассматриваются инфинитезимальные операторы X с коэффициентами вида

£ = £ (ж), г]{х, у) = р{х)у + я(х), (0.6)

где £(с) = 0 (условие сохранения нижнего предела в интеграле (0.1)).

2. Формула продолжения (0.4) представляется в виде

(0.7)

3. Коэффициенты допускаемых операторов ищутся из уравнения

(ХР) = 0.

При этом переменные х, у, Ва~пу, п е считаются независимыми.

Построенные по данному алгоритму операторы будем называть допускаемыми операторами линейно-автономного типа для уравнения с дробными производными (0.5).

Формула (0.7) получается из (0.4) для коэффициентов вида (0.6) с помощью правила Лейбница (0.2), при этом для всех функций у(х) из рассматриваемого класса должно выполняться соотношение сП%(£у)' = (£?/).

В работе также сформулированы аналогичные формулы и ограничения для операторов правосторонней дробной производной хЩу (с пределами интегрирования от ж до бГ).

Во второй главе содержатся результаты классификации некоторых классов уравнений с производными Римана-Лиувилля.

Параграф 4 посвящён классификации уравнений вида

D<Zy = f{x,y), 0<а<1, х>0. (0.8)

Построены преобразования эквивалентности линейно-автономного типа (сохра-

71 1

няющие вид уравнения с изменением /), которые могут быть записаны в виде

х = а\х{1 -а2х)~1, у = а3(1 - а2х)1~а {у + и(х)), / = аГаа3(1 - а2х)1+а(/ + Щи{х))

(здесь ах > 0, аз ф 0, у(х) - произвольная функция).

Показано, что допускаемые операторы линейно-автономного типа для уравнения (0.8) имеют вид X = С\Х\ + С2Х2 -I- С3Х3 + (д), где

д д $ д д

а коэффициенты С2, С3, д{х) определяются функцией /(х,у).

Теорема 0.2. Для произвольной функции /(х,у) уравнение (0.8) не допускает операторов линейно-автономного типа. Уравнение допускает операторы указанного типа только при следующих функциях /(х,у) (с точностью до преобразований эквивалентности (0.9)):

1. / = уФ(ж) : гх = уду, г9 = я{х)ду, где = дЩх).

1.1. Ф(ж) = кх~а : ^з = хдх.

1.2. Ф(ж) = ±х~2а : Яз = х2дх + {а - 1)худу.

1.3. Ф(я) = 0 : ^з = х2дх + (а - 1 )худу, = хдх.

2. / = х-1~аЩух1-а): гх = х2дх + (а- 1 )худу.

2.1. Ф(г) = ег : = хдх + (а - 1 )уду + аха~1ду.

2.2. Ф(г) = 2Л, Л ф 0,1 : — хдх - 1~^1~Ы)уду.

I — Л

3. / = х^Ф(у/хР): = хдх + /Зуду.

4. / = х-1-ае^1/х^(ух1~ае±1/х): Zl = ж2^ + {а - 1)худу ± уду. Здесь к,Х,/3 - произвольные постоянные.

Результат классификации, представленный в теореме 0.2, может быть получен как классическими методами группового анализа, так и методом предварительной групповой классификации, предложенным в работах И. Ш. Ахатова, Р. К. Газизова, Н. X. Ибрагимова. Последнее связано с тем, что в данном случае все рассматриваемые симметрии уравнения могут быть получены из алгебры Ь операторов, порождающих преобразования эквивалентности. Для таких

уравнений задача классификации может быть сведена к задаче построения оптимальной системы подалгебр алгебры L и поиска уравнений, допускающих операторы этих подалгебр.

В конце параграфа 4 рассмотрены примеры построения инвариантных решений уравнений вида (0.8).

Пример 2. Уравнение Day = х~1~ае~1/хФ(ух1~ае1/х) допускает оператор Z\ = х2дх + (ск — 1 )худу 4- уду. Соответствующее инвариантное решение имеет вид

у = /сха-1е~1/х,

где к является корнем алгебраического уравнения к = Ф(к).

Пример 3. Для уравнения Day — x~1~aeyxl " инвариантное решение относительно оператора Z2 = хдх + (а — 1 )уду + аха~1ду имеет вид

у = х"'1 (a In ж + In Г(с* + 1)).

С помощью проективного преобразования с оператором Z\ из данного решения можно получить семейство решений

у = xa~l{a\nx — aln(l + ах) + 1пГ(а + 1)), а = const.

Параграф 5 посвящён исследованию уравнений вида

Da+1y = <p(x,y,Day), 0<а<1,х>0. (0.10)

При выполнении условия <pz(x,y,z) = 0, т. е. для частного случая уравнений вида Da+1y = f(x,y), преобразования эквивалентности имеют вид (0.9), а результат классификации повторяет результат для уравнения (0.8) с заменой а на а + 1.

Показано, что для общего вида уравнений (0.10) преобразования эквивалентности имеют вид

х = а\х{1 - а2х)~1, у = а3( 1 - а2х)1~а {у + v(x)),

ф = aia-la3 [(1 - a2xf+ot (<р + Ва+1ф)) - (0.11)

-а2(а + 1)(1 - а2х)2+а (Day + Dav{x))] , аг > 0, а3 ^ 0.

Теорема 0.3. Если функция ip(x,y,z) в уравнении (0.10) не удовлетворяет соотношению ip(x,y,z) = ф\(х)г + ф2(х,у), то все допускаемые операторы линейно-автономного типа имеют вид

X = C'lA'i + С2Х2 + С3Х3 + (д), (0.12)

гдеХ1=х^, Х2 = х*§-х + (а-\)ху^ Х3 = у^, (я) =

а коэффициенты С\, С2, Сз, q(x) определяются функцией <p(x,y,z).

Теорема 0.4. Уравнение вида (0.10) с ipz ф 0 допускает хотя бы один оператор вида (0.12) только в следующих случаях (с точностью до преобразований эквивалентности (0.11));

1. <р = yF{х, z/y); Zi=X3.

1.1. F{x, z) = x-a~l^{xaz) : Z2 = Xi.

1.1.1. Ф(в) = -(a + 1 )s + As1+« : Z3 = X2.

1.1.2. 4f(s) = As + B : Zq={q).

1.1.3. Ф($) = —(a + l)s ; Z3 = X2,Zq = (q).

1.2. F(x, z) = -(a + l)x~lz + x-2a~4(x2az): Z2 = X2. 1.2.1. Ф(5) = ±s + A, Ф(в) = ±1: Zq = (q).

1.3. F{x, z) = Ф(х)2 + Ф(ж); Zq = (q).

2. <p=-(a + 1 )zx~l + x-a-3F(x1~ay, x1+az); Zx=X2.

2.1. F(y, z) = y^^Ф (zy^^j , /3 ф a - 1; Z2 = Хг + PX3.

2.2. F(y, z) = (ze~ay): Z2 = Xl + (a- 1)X3 + (re""1).

2.3. F(y, z) = y + ^{z- y): Z2 = {■xa~le~llx).

2.4. F(y,z) = V(z) : Z2 = (x<*~1).

3.cp = xP-a~lF(x-Py, xa~Pz): Zx = Xx + (3X3. 3.1. F(y, z) = (Л - а)цу + Ф(z - цу): Z2 = {.xx>.

4. cp = -(a + l)x~1z+

+x-a-ze^*F{yxl-ae±*,zxl+ae±*): Zx = X2 ± X3. 4.1. F(y,z) = 7a+1y + Ф(z - 7ay): Z2 = {xa-xe~i/x).

Da+lw / Daw \

5.<p =-y + F[x,z--у : Zi = {w{x)).

w \ w J

Здесь /3,А,В - произвольные постоянные, 7 > 0, A > — 1,

¡1 = Г(А + 1)/Г(А — a + 1), функции q{x) - решения соответствующего

линейного уравнения.

Для уравнений вида Оа+1у = ф\(х)Оау + ф2(х,у) могут существовать дополнительные симметрии линейно-автономного типа, не являющиеся комбинациями Х\, Х2, Хз, (д).

Примером является оператор

д ху д А = х——Ь

дх к — хду' допускаемый уравнением

к — х

В параграфе 6 рассматривается классификация уравнений вида

0D«y(x)+'y-xD?y(x) = f(x,y), 0<а<1, я>0, 7^0. (0.13)

Поиск преобразований эквивалентности и симметрий линейно-автономного типа проводится так же, как для уравнения Day = f(x,y), но дополнительное условие £(1) = 0 сужает группу эквивалентности и алгебру допускаемых операторов.

Теорема 0.5. Для произвольной функции f(x,y) уравнение (0.13) не допускает операторов линейно-автономного типа. Симметрии такого типа появляются только в следующих неэквивалентных случаях:

1- /(я, у) = У^{х) • z\ = уду> zq = q(x)dy,

1.1. Щх) = kx~a( 1 - х)~а: Z2 = (х2 - х)дх + (а - 1 )худу 2. f{x, у) = - х)Р~Щу{ 1 - х)1~а~^хр) :

Здесь к - произвольная постоянная, a q(x) - произвольное решение уравнения 0DZq(x)+7-xD?q(x) = qV(x).

В третьей главе рассмотрены симметрии систем вида

Dau(t) = /(£, и, v), Dav(t) = g(t, и, v). (0.14)

В параграфе 7 построены преобразования эквивалентности и получено соотношение, определяющее форму допускаемых операторов. Преобразования

эквивалентности системы (0.14) порождаются операторами

Е2 = ^ + (а - 1)Ьи1 + (а - 1)^1 - (а + 1)*/| - (а + <9 г, 0 0

= + /V, = +

аг> од оу од

Е«и = +Е<? = +

где qu(t),qv(t) - произвольные функции.

Теорема 0.6. Операторы линейно-автономного типа, допускаемые системой (0.14), имеют вид

Х = С1Х1 + ... + С6Х6 + (</«(*))„ + {4>(Ь))У ,

Х2 = + {а~ х)ыТи + (а " 1)1уЪ~у>

Хз = Х4 = у^~, Х5 = и-^~, Х6 = (0.16)

ои ои ОУ ОУ

<?"№>„ = (?"(<)>„ = 9"(<)|;,

где коэффициенты С\,.. определяются функциями / ид.

Сравнение (0.15) и (0.16) показывает, что полная классификация систем может быть построена с помощью метода предварительной групповой классификации. В параграфе 8 вычислена оптимальная система одномерных подалгебр ©1 (Ь) (20 случаев) и полная оптимальная система для конечномерной части Ь§ (дополнительные 66 случаев). Для каждой из найденных подалгебр выписан вид допускающей её системы (0.14). Например, подалгебра с базисом {Х1, Х2, Х^} допускается системами вида

Ваи = Гауа/{1~а\С2и + Сху), Вау = Гауа/{1~а)С2у.

Четвёртая глава посвящена методу инвариантных подпространств. Ба-

зовые понятия метода и утверждения из литературы [32], [8], [60] приведены в параграфе 9. В параграфе 10 иллюстрируется схема применения метода инвариантных подпространств для построения частных решений уравнений с дробной производной эволюционного типа

Dfu = F[u1, F[u) = F(u, ux, uxx,..., dkxu). (0.17)

Теорема 0.7. Пусть линейно независимые функции {fi(x)} задают инвариантное подпространство Wn = (fi(x),...fn(x)) для оператора F[u], то есть для F[u] при и G Wn справедливо равенство

F[C\fi(x) + ... + Cnfn(x)} = Fi(Ci,..., Сп)Мх) + ... + Fn(Cu ..., Cn)fn(x). Тогда функция

и(х, t) = «i(i)/i(a:) + ... + un{t)fn{x)

является решением уравнения (0.17) только в том случае, когда коэффициенты Ui{t) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений с производной дробного порядка:

D?m(t) = F1(u1,...,un),..., D?un(t) = Fn{uu ...,un). (0.18)

Получаемые нелинейные системы (0.18) можно исследовать методами, рассмотренными в предыдущей главе. Пример 4. Рассмотрим уравнение

D^u = иихх + (их)2, u = u(t,x), 0 < а < 1. (0.19)

Нетрудно убедиться, что оператор F[y(x)] = уу" + (у')2 имеет дву�