Симметрии и точные решения уравнений с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Касаткин Алексей Александрович

СИММЕТРИИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА ТИПА РИМАНА-ЛИУБИЛЛЯ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

28 НОЯ 2013

Уфа — 2013

005541113

005541113

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Уфимский государственный авиационный технический университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Газизов Рафаил Кавыевич Официальные оппоненты: Фёдоров Владимир Евгеньевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет»; Хабибуллин Исмагил Талгатович доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник ФГБУН «Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН» Ведущая организация: ФГБУН «Институт прикладной математики

им. М.В.Келдыша Российской академии наук»

Защита состоится «20» декабря 2013 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 002.057.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки «Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН» по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБУН «Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН».

Автореферат разослан «"В» ноября 2013 года. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.057.01 кандидат физико-математических наук Попёнов С. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В последние годы аппарат дробного интегро-дифференцирования всё более интенсивно используется при построении математических моделей различных процессов в реальных средах. Например, существуют модели, описывающие процессы диффузии и распространения волн в средах с памятью или с фрактальной геометрией, модели деформации вязко-упругого материала и т. д. Уравнения с производными дробного порядка тесно связаны со стохастическими моделями. Дробное интегро-дифференцирование используется также для решения прикладных задач автоматического управления.

Тем не менее, методы аналитического решения дифференциальных уравнений с производными дробного порядка ещё недостаточно разработаны. Большинство существующих подходов позволяет получать аналитические решения лишь для определенного класса линейных уравнений и некоторых нелинейных уравнений с дробными производными. В простейших случаях решение удаётся построить методом последовательных приближений после сведения уравнения к интегральному. Для поиска решений линейных уравнений часто используются интегральные преобразования Лапласа и Мелли-на. Для нелинейных уравнений развиты методы построения приближений к решению, например, методы разложения Адомиана и гомотопического возмущения.

Одним из эффективных подходов к построению решений уравнений с производными целого порядка является использование методов группового анализа. Однако до сих пор эти методы не нашли применения в теории дробных дифференциальных уравнений. Известны лишь отдельные работы, использующие элементы группового анализа для исследования таких уравнений. Например, в работе 10. Лучко и Р. Горенфло1 построена группа преобразований растяжения, оставляющая инвариантным линейное уравнение с частными производными дробного порядка, а также показана возможность использования этих преобразований для построения автомодельных решений.

В данной работе развивается инфинитезнмальный подход к исследова-

1Yu. Luchko, R. Gorenflo. Scale-invariant solutions of a partial differential equation of fractional order// Fractional Calculus and Applied Analysis. - 1998. - Vol. 1. - Issue 1. - P. 63-78.

нию спмметрийных свойств уравнений с производньпш дробного порядка с одной независимой переменной. Решаются задачи классификации таких уравнений и иллюстрируется возможность применения симметрий для построения точных решений классов нелинейных уравнений с дробными производными. Для построения точных решений применяется также метод инвариантных подпространств, развитый в работах В. А. Галактионова и С. Р. Свирщевского.

Целью настоящей работы является распространение методов группового анализа дифференциальных уравнений на уравнения с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля по одной независимой переменной, классификация некоторых классов таких уравнений и систем, построение примеров новых точных решений нелинейных уравнений с производными дробного порядка.

Методы исследования. При решении поставленных задач использованы методы группового анализа дифференциальных уравнений, аппарат дробного интегро-днфференцирования, метод инвариантных подпространств для эволюционных уравнений.

Научная новизна.

1. Развит инфинитезимальный подход к исследованию спмметрийных свойств уравнений с производными дробного порядка: построена формула продолжения инфинитезимального оператора группы преобразований на дробные производные и интегралы типа Римана-Лиувилля, а также предложен конструктивный алгоритм построения допускаемых операторов линейно-автономного типа для уравнений с такими производными.

2. Проведена классификация по допускаемым группам точечных преобразований, порождаемых линейно-автономными операторами, трёх классов уравнений с одной независимой переменной и производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля. На основе полученных симметрий построены классы точных решений рассмотренных нелинейных уравнений.

3. Исследованы симметрийные свойства систем двух уравнений с двумя неизвестными функциями одной переменной, содержащих производные дробного порядка; построена оптимальная система одномерных подалгебр бесконечномерной алгебры Ли операторов, порождающих группу эквивалентности рассмотренной системы уравнений, и полная оптимальная система для её конечномерной части размерности 6; найдены классы систем, допускающих данные подалгебры.

4. Предложена схема применения метода инвариантных подпространств для построения частных решений уравнений эволюционного типа с дробной производной по времени.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы носят теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть применены для исследования различных уравнений с производными дробного порядка и построения классов точных решений таких уравнений.

Работа выполнялась при поддержке гранта правительства РФ M1.G34.31.0042 по постановлению №220 (2011-2013 г.) и НИР №1.3225.2011 в рамках гос. заказа УГАТУ (2012-2013 г.).

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

• Уфимская международная математическая конференция «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика» памяти Л.Ф. Леонтьева, г. Уфа, 2007;

• International conference MOGRAN-11 «Lie Group Analysis in Education and Research», г. Карлскрона (Швеция), 2007;

• Всероссийская молодёжная научная конференция «Мавлютовские чтения», г. Уфа (Россия), 2007;

• 5-я Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», г. Самара (Россия), 2008;

• 2nd Conference of Nonlinear Science and Complexity, г. Порто (Португалия), 2008;

• International Workshop on New Trends in Science and Technology, г. Анкара (Турция), 2008;

• 3rd IPAC Workshop on Fractional Differentiation and its Applications (FDA 2008), г. Анкара (Турция), 2008;

• Международная конференция «Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений (MOGRAN-13)», г. Уфа (Россия), 2009;

• XI Всероссийский симпозиум но прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), г. Кисловодск (Россия), 2010;

• 5th IFAC Symposium on Fractional Differentiation and its Applications (FDA 2012), г. Нанкин (Китай), 2012;

• 5-я Российская конференция с международным участием «Многофазные системы: теория и приложения», посвященная 20-летию со дня основания Института механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН, г. Уфа (Россия), 2012;

• Международная конференция «Современный групповой анализ (MOGRAN-15)», г. Кемер (Турция), 2012;

• Международная конференция «Современный групповой анализ (MOGRAN-16)», г. Уфа (Россия), 2013;

• Семинар по интегрируемым системам, Институт математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, г. Уфа (Россия), 2013.

Достоверность полученных результатов и выводов обосновывается тем, что в работе использовались широко распространённые и общепризнанные методы группового анализа дифференциальных уравнений, а также известный и корректный математический аппарат теории дробного интегро-дифференцирования.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ [1]-[17]. Из них 9 в виде статей (в том числе 5 - в журналах из списка ВАК), 8 - в виде тезисов.

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации составляет 118 страниц, в том числе 6 таблиц. Список литературы состоит из 60 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновала актуальность работы, проведен обзор литературы, приведено краткое содержание глав диссертации.

В первой главе приведены необходимые определения, построена формула продолжения и предложен алгоритм поиска допускаемых операторов для уравнения с производными дробного порядка.

В параграфе 1 приводятся необходимые определения и свойства производных Римана-Лиувилля.

Определение 1. Дробным интегралом и дробной производной Римана-Лиувилля порядка а > 0 называются интегральные операторы задаваемые выражениями

X

с

где п — 1 < а < п, п € N. Применяются также обозначения сБхау(х) =с 1?у(х), Оау(х) = о Щу{х).

При целом а = п интеграл Римана-Лиувилля с1"у совпадает с п-кратным повторным интегралом, при переходе к пределу а —> п дробная производная сОху{х) переходит в производную целого порядка у^п\х).

Для широких классов функций /, # справедливо обобщённое правило Лейбница дифференцирования произведения:

оо , ч

св% (Ях)д(х)) = £ а игпД*) Щд{х). (2)

71—0 У"1'

В работе предполагается, что для рассматриваемых функций всегда существуют производные дробного порядка и выполняются условия их представимости в виде рядов по производным целого порядка.

В параграфе 2 рассматривается преобразование дробных производных и интегралов Римана-Лиувилля при замене переменных и строится формула продолжения инфинитезимального оператора.

Рассмотрим локальную группу Ли точеных преобразований вида

х = ф,у,а), $\а=0 = х, у = ф(х, у, о), ф\а=0 = у.

В общем случае, замена переменных в операторе дробного интегро-дифференцирования (1) существенно изменяет вид оператора. Пример 1. Для проективного преобразования

х = :г(1 — ах) \ у = у{ 1 — ах) 1, а = const, 1 — ах > О, >дная D"y(х) в новых пер

Щт = (1 - ах)а*Щ

дробная производная Б"у(х) в новых переменных принимает вид

У{х)

Ч(1 - ах)ч+1~а,

Используя традиционный инфинитезимальный подход С. Ли (для интегро-дифференциальных уравнений других типов он применялся, например, в работах С. В. Мелешко и Ю. Н. Григорьева), для преобразований (3) можно записать инфинитезимальный оператор

и продолжить его на производные целого и дробного порядка:

* = + у)щ + С1(*. у, ^ + Ьщ^ + ■■■■

При этом

х = х + а£(х, у) + о(а), у = у + ат]{х, у) + о(а). у'(х) = г/(ж) + < 1{х, у, у') + о(о),... уМ(х) = у^{х) + аСп + о{а),

<сЩу{х) = сЩу(х) + оСа + о(а), ....

Теорема 1. Коэффициент Са определяется формулой продолжения са = сЩ(л-£1/) + £сЩ+1у(.х).

(4)

Вывод данной формулы в работе производится с использованием разложения производной дробного порядка в ряд по производным целого порядка (соотношение (2) с / = 1, д = у) и формул продолжения для производных целого порядка. Все функции считаются разложимыми в степенной ряд в окрестности каждой точки интервала (с, б).

В параграфе 3 вводится определение допускаемого уравнением оператора и предлагается конструктивный алгоритм поиска таких операторов.

Рассмотрим уравнение с одной независимой переменной х и производными порядков с*;, г = 1,..., т:

F(x, y,eD?y,cD?y, • •. ,0D^y) = 0. (5)

Определенно 2. Будем говорить, что уравнение (5) допускает оператор X, если выполнено соотношение

(XF)| =0,

I 0]

где X - продолженный на необходимые производные оператор X, а [F = 0] - уравнение вместе со вселш следствиями из него.

Для интегро-дифференциальных уравнений не известно общего способа выбора независимых переменных и получения всех их необходимых связей как следствий из уравнения. Поэтому is работе предлагается конструктивный алгоритм построения симметрии из класса линейно-автономных операторов.

Алгоритм построения допускаемых операторов.

1. Рассматриваются иифииитезимальиые операторы X с коэффициентами вида

£ = г]{х,У) = p{x)y + q(x), (6)

где £(с) = 0 (условие сохранения нижнего предела в интеграле (1JJ.

2. Формула продолжения (4) представляется в виде

ОО / \ г _

с„ = сЩчЮ + ]Г гиог-у Р{п)(х) +

п—0 ^ '

(7)

3. Коэффициенты допускаемых операторов ищутся из уравнения

рт| =о.

При этом переменные х, у, Ва'~пу, п € 2>о, считаются независимыми.

Построенные по данному алгоритму операторы будем называть допускаемыми операторами линейно-автономного типа для уравнения с дробными производными (5).

Формула (7) получается из (4) для коэффициентов вида (6) с помощью правила Лейбница (2), при этом для всех функций у(х) из рассматриваемого класса должно выполняться соотношение сЩ(£у)' = сЩ+1{£у)-

В работе также сформулированы аналогичные формулы и ограничения для операторов правосторонней дробной производной хЩу (с пределами интегрирования от ж до (Г).

Во второй главе содержатся результаты классификации некоторых классов уравнений с производными Римана-Лиувилля. Параграф 4 посвящён классификации уравнений вида

Daxy = f(x,y), 0<а<1, х>0. (8)

Построены преобразования эквивалентности линейно-автономного типа (сохраняющие вид уравнения с изменением /), которые могут быть записаны в виде

х = aix{l - а2х)~1, у = а3(1 - а2ху-а {у + и{х)), / = аГа3(1 - a2x)l+a(f + Щи(х)) ( J

(здесь ai > 0, Оз ф 0, v(x) - произвольная функция).

Показано, что допускаемые операторы линейно-автономного типа для уравнения (8) имеют вид X = С\Х\ + С2Х2 + С3Х3 + {q), где

Xi = хдх, Х2 = х2дх + (а - 1 )худу, Х3 = уду, {q} = q(х)ду, а коэффициенты С\, С2, С3, q(x) определяются функцией /(х, у).

Теорема 2. Для произвольной функции f{x,y) уравнение (8) не допускает операторов линейно-автономного типа. Уравнение допускает операторы указанного типа только при следующих функциях f(x, у) (с точностью до преобразований эквивалентности (9)):

1. / = г/Ф(ж) : Z-i = уду, Zq = q(x)dy, где D°q = дФ(аг).

1.1. Ф(ж) = kx~° : Z3 = хдх.

1.2. Ф(ж) = ±х~2а : Z3 = х2дх + (а - 1 )худу.

1.3. Ф(ж) = 0: Z3 = х2дх + (а-1)худу, Zi = xdx.

2. / = х~1~аЧ!(ух1~а): Zi = х2дх + (а - 1)худу.

2.1. Ф(г) = е2 : = хдх + (а - 1 )уду + аха~хду.

2.2. Ф(*) = Л ф 0,1 : Z2 = хдх - 0)уду.

3. / = X? "Щу/х*3): Z1 = хдх + Руду.

4. / = {ухх~ае±х1х): Zx = х2дх + (а - 1)худу ± уду. Здесь к, А, ¡3 - произвольные постоянные.

Результат классификации, представленный в теореме 2, может быть получен как классическими методами группового анализа, так и методом предварительной групповой классификации, предложенным в работах И. Ш. Ахатова, Р. К. Газизова, П. X. Ибрагимова. Последнее связано с тем,

что в данном случае все рассматриваемые симметрии уравнения могут быть получены из алгебры L операторов, порождающих преобразования эквивалентности. Для таких уравнений задача классификации может быть сведена к задаче построения оптимальной системы подалгебр алгебры L и поиска уравнений, допускающих операторы этих подалгебр.

В конце параграфа 4 рассмотрены примеры построения инвариантных решений уравнений вида (8).

Пример 2. Уравнение Day = х~}~ае~1^х^(ух1~ае1^х) допускает оператор Z\ = х2дх + (а — 1)худу 4- уду. Соответствующее инвариантное решение имеет вид

у = кха~хе-11х,

где к является корнем алгебраического уравнения к = Ф(к).

Пример 3. Для уравнения Day = х~1~аеух> * инвариантное решение относительно оператора Zi = хдх + (а — 1 )уду + аха'^ду имеет вид

у = хп~\а\пх + In Г (а + 1)).

С помощью проективного преобразования с оператором Z\ из данного решения можно получить семейство решений

у = xa~1(alnx — aln(l 4- ах) + 1пГ(а + 1)), а = const.

Параграф 5 посвящен исследованию уравнений вида

Da^y = ф,у,Пау), 0 < а < 1, ж > 0. (10)

При выполнении условия tpz(x, у, z) = 0, т. е. для частного случая уравнений вида Da+1y = fix,у), преобразования эквивалентности имеют вид (9), а результат классификации повторяет результат для уравнения (8) с заменой а на а + 1.

Показано, что для общего вида уравнений (10) преобразования эквивалентности имеют вид

х = а\х{\ - а,2ху1, у = оз(1 - о2х)1_а (у + и{х)), ф = аГ^аз [(1 - 02ж)3+о {ip + Da+1u(x)) - (11)

-а2(а + 1)(1 ~ а2х)2^" (Day + Dav{x))] , oi > 0, а3 ф 0.

Теорема 3. Если функция ip(x,y,z) в уравнении (10) не удовлетворяет соотношению ¡p(x,y,z) = ф\(х)г + ф2(х, у), то все допускаемые операторы линейно-автономного типа имеют вид

X = CiXl + C2X2 + C3X3+{q}, (12)

где Хг = хдх, Х2 = х2дх + (а - 1 )худу, Х3 = уду, (q) = q(x)dy, а коэффициенты С\, С3, Сз, q{x) определяются функцией ip(x, у, z).

Теорема 4. Уравнение вида (10) с <pz ф 0 допускает хотя бы один оператор вида (12) только в следующих случаях (с точностью до преоб-

'VWUIIUU l/iVULtULWI/V^mmbVVMVW у -Ж- у у* V = yF{x,z/y): Zi = A',

1.1. F(x, z) = ;

1.1.1. Ф(в) = -(а + l)s + As1+° : = x2.

1.1.2. Ф(з) = As + В : z, = <«)•

1.1.3. Ф(в) = —(а + l)s : z3 = x2, zq = <

1.2. F(x, z) = -(а + 1)х~Ч + х'2а-Ч(х2а z): z2 = x2.

1.2.1. Ф(б) = ±s + А, Ф(в) = ±1: zq = <?)■

1.3. F{x, z) = Ф(х)г + Ф(аф zq = <9).

, <р = _(а + 1)гх~г + x~a~3F(x1~ay, x^az): Zi = X2

8+2 / ¡9+1 \ 2.1. F(y, z) = yw— Ф (zy°-*LA , Рфа- 1: Z2 = Xx+$X3.

2.2. F(y, z) = е(а+1]^(5е'аУ): Z2 = = + -(<*- l)X3 + (3f-

2.3. F(y,z) = y + V(z-ij): Z2 = (xa-le-l/x)

2-4- F(y, z) = Ф(z) : Z2 = (.x«-1).

, ip = xP-^Fix'Py, xa~13z): Zi = Xt + px3.

3.1. F(y, z) = (A - а)цу + Ф(5 - цу): z2 =

4.<р = -(а + 1 )x~lz+

+х~а~3еТ* F(yxl~ae±i, zxl+ae±i): Zx = X2 ± X3. 4.1. F(y, z) = 7a+1y + Ф(z - 7«y): Z2 = (a^W*).

Da+1w / Daw \ . .

5. ip =-у + Fix, z--у : Zi = {w{x)).

w \ w J

Здесь P,A,B - произвольные постоянные, 7 > 0, Л > —1, ц = Г(А + 1)/Г(А — а + 1), функции q(x) - решения линейного уравнения.

Для уравнений вида Da+ly = ф\(x)Day + фг(х,у) могут существовать дополнительные симметрии линейно-автономного типа, не являющиеся комбинациями Xi,X2,X3, (q).

Примером является оператор

Z = хдх + Ху ду,

К — X

допускаемый уравнением

В параграфе 6 рассматривается классификация уравнений вида

0С%у{х) + 7 • хЩу{х) = f(x, у), 0 < а < 1, ж > 0, 7 / 0. (13)

Поиск преобразований эквивалентности и симметрии линейно-автономного типа проводится так же, как для уравнения Day = f(x,y), но дополнительное условие £(1) = 0 сужает группу эквивалентности и алгебру допускаемых операторов.

Теорема 5. Для произвольной функции f{x, у) уравнение (13) не допускает операторов линейно-автономного типа. Симметрии такого mima появляются только в следующих неэквивалентных случаях:

1. /(х, у) = уЧ>{х) : Zi = уду, Zq = q{x)dy,

1.1. Ф(ж) = kx~a( 1 - х)~а: Z2 = (х2 - х)дх + {а- 1 )худу

2. f{x,y) = х-0а(1 - xf-H'iyil - х)1~а~рх^) :

Zi = (х2 - х)дх + {а - 1)худу + /Зуду. Здесь к - произвольная постоянная, a q(x) - произвольное решение уравнения 0D"q(x) + 7 • xD"q(x) = q4>(x).

В третьей главе рассмотрены симметрии систем вида

Dau{t) = f(t, и, v), Dav(t) = g(t, и, v). (14)

В параграфе 7 построены преобразования эквивалентности и получено соотношение, определяющее форму допускаемых операторов. Преобразования эквивалентности системы (14) порождаются операторами

Ei = tdt - afdf - agdg,

E2 = t2dt + (a - 1 )tudu + (a - 1 )tvdv - (a + 1 )tfdf - (a + 1 )tgdg, E3 = udu + fdf, E\ = vdu + gdf, (15)

E6 = udv + fdg, E& = vdv + gdg, Еяи = qu(t)du + D?q"(t)df, Ь> = q°{t)dv + D?q»(t)dg, где qu(t),qv(t) - произвольные функции.

Теорема 6. Операторы линейно-автономного типа, допускаемые системой (14), имеют, вид

X = С\Х\ + . .. + С6Х6 + <g»(t))u + <g»(i)>„ ,

Xi = tdt, X2 = t2dt + (a- l)tudu + (а - 1 )tvdv,

X3 = иди, X4, = X5 = u9„, = vdv, (16)

(qu(t))u = (Qv(t))v = ql'(t)dv,

где коэффициенты G\,... Сб, qu(t), q"(t) определяются функциями fug.

Сравнение (15) и (16) показывает, что полная классификация систем может быть построена с помощью метода предварительной групповой классификации. В параграфе 8 вычислена оптимальная система одномерных подалгебр Qi{L) (20 случаев) и полная оптимальная система для конечномерной части L& (дополнительные 66 случаев). Для каждой из найденных подалгебр выписан вид допускающей её системы (14). Например, подалгебра с базисом {Xi, Х2, Х4} допускается системами вида

Dau = Гауа/{1-а)(С2и + C\v), Dav = rava/(1~a)C2v.

В четвертой главе рассматривается метод инвариантных подпространств. Базовые понятия метода и утверждения приведены в параграфе 9. В параграфе 10 иллюстрируется схема применения метода инвариантных подпространств для построения частных решений уравнений с дробной производной эволюционного типа

Dfu = F[u], F[u] = F(u, ux, uxx,..., d£u). (17)

Теорема 7. Пусть линейно независимые функции {/¿(а;)} задают инвариантное подпространство W„ = (fi(x),... fn{x)) для оператора то есть для при и € Wn справедливо равенство

F[Cxh{x) +... + Cnfn{x)} = F\{C\,..., Cn)h(x) + ... + Fn{Cu Cn)fn(x). Тогда функция

и{х, t) = Ui(t)fi(x) + . . . + Unit) fnix) является решением уравнения (17) только в том случае, когда коэффициенты Uiit) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений с производной дробного порядка:

D^ui{t) = F1{uu...,un),..., D?unit) = Fn{Ul,...,un). (18)

Получаемые нелинейные системы (18) можно исследовать методами, рассмотренными в предыдущей главе. Пример 4. Рассмотрим уравнение

D?u = иихх + (их)2, и = u(t, х), 0 < а < 1. (19)

Показано, что двумерные инвариантные подпространства для оператора F[lj(x)] = УУ" + О/)2 имеют вид (1,ж2) и (у^^2) • Если рассматривается первое из них, то решение строится в виде

и(х, t) = щ{Ь) + u2(t)x2,

при этом ui(t), U2(t) должны удовлетворять системе

= 2111112, D?u2 = 6u|. (20)

Данная система допускает два независимых оператора

= tdt - а«2<9и2, 7,2 = щдщ.

Использование симметрии позволяет построить семейство решений системы (20), и далее - исходного уравнения (19):

„M^ + trV, k-^ц. (2D

Здес1) с - произвольная постоянная.

При а = 1/3 система допускает дополнительный оператор

= t2dt + {а- 1 )t,uxdUi + (а - 1 )lu2dU2, который позволяет расширить семейство решений (21):

и = ci<3( 1 + at)'0~2/3 + fcr1/3( 1 + atrV3x2, о, с = const.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен конструктивный алгоритм построения допускаемых операторов линейно-автономного типа для уравнений с производными дробного порядка, основанный на полученных в работе формулах продолжения инфинитезималыюго оператора группы преобразований на производные и интегралы дробного порядка типа Римана-Лиувилля.

2. Проведена классификация трёх типов уравнений с производными дробного порядка по допускаемым группам точечных преобразований с операторами линейно-автономного типа. Показана схема использования найденных симметрии для построения новых классов точных решений нелинейных уравнений с производными дробного порядка.

3. Исследованы симметрийные свойства систем двух уравнений с дробными производными вида Dau = f(t,u,v), Dav = g(t,u,v). Для бесконечномерной алгебры операторов, порождающих преобразования эквивалентности, построена оптимальная система одномерных подалгебр, а для её конечномерной части размерности 6 - полная оптимальная система подалгебр; найдены классы систем, допускающих данные подалгебры.

4. Для уравнений эволюционного типа с дробной производной по времени Dfu = F(x, и, их, ихх,...) предложена схема применения метода инвариантных подпространств, позволяющего получать семейства частных решений. Для построения примеров таких решений использованы симметрийные методы.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д. ф.-м. н., профессору Газизову Р. К. за постановки задач, внимание и всестороннюю поддержку в процессе работы над диссертацией, а также к. ф.-м. н., доценту Лукащуку С. 10. за плодотворное сотрудничество при выполнении исследований.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК при Минобр-науки России

1. Газизов Р. К., Касаткин Л. А.. Лукашук С. Ю. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестник УГАТУ. - 2007. - Т.9. - .\»3 (21). - С. 125-135.

2. Gazizov R. К., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Yu. Symmetry properties of fractional diffusion equations // Physica Scripta. - 2009. - T136: Workshop on Fractional Differentiation, 014016. - 10 P.

3. Касаткин А. А. Симметрийные свойства систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка // Уфимский математический журнал. - 2012. - Т. 4. - Л"®1. - С. 71-81.

4. Газизов Р. К., Касаткин Л. Л., Лукащук С. Ю. Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии // Уфимский математический журнал. - 2012. - Т. 4. - №4. - С. 54-68.

5. Gazizov R. К., Kasatkin A. A. Construction of exact solutions for fractional order differential equations by the invariant sub-space method // Computers & Mathematics with Applications. - 2013. - Volume 66. - Issue 5. - P. 576-584.

Публикации в остальных изданиях, материалы конференций

6. Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Групповая классификация одного нелинейного диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Материалы Уфимской международной математической конференции памяти А.Ф. Леонтьева. - Уфа: ИМВЦ, 2007. - Т. 1. - С. 57-58.

7. Gazizov R. К., Kasatkin A. A., Lukashchuk S.Yu. Symmetry analysis of differential equations with fractional order derivatives // Abstracts of International confcrence MOGRAN-11 «Lie Group Analysis in Education and Research». - Sweden, Karlscrona: BTH, 2007. - 1 P.

8. Касаткин А. А. Классификация обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка по допускаемым группам точечных преобразований // Мавлютовские чтения - Всероссийская молодёжная научная конференция. Материалы конференции. - Уфа: УГАТУ, 2007. - Т. 5. - С. 56-57.

9. Газизов Р. К.. Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Симметрийный подход к дифференциальным уравнениям дробного порядка // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием. - Самара, 2008. - Ч. 3. - С. 59-61.

10. Gazizov R. К., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Yu. Symmetries And Group-Invariant Solutions Of Nonlinear Fractional Differential Equations // Proc. of the 3rd IFAC Workshop on Fractional Differentiation and Its Applications (FDA'08) & International Workshop on New Trends in Technology. - Ankara, 2008. - 6 P.

И. Газизов P. К., Касаткин А. А., Лукащук С. IO. Симметрии дифференциальных уравнений с дробными производными // Тезисы докладов Международной конференции MOGRAN-13. - Уфа: УГАТУ, 2009. - С. 12.

12. Gazizov R. К., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Yu. Group-Invariant Solutions of Fractional Differential Equations / Nonlinear Science and Complexity, Eds. J.A.T. Machado, A.C.J. Luo, R.S. Barbosa, M.F. Silva, L.B.

- Springer, 2011. - P. 51-59. (опубл. также в материалах конференции: Proceedings of the 2nd Conference of Nonlinear Science and Complexity. -Portugal, Porto, 2008)

13. Касаткин А. А. Применение метода инвариантных подпространств к уравнениям с дробными производными // Обозрение прикладной и промышленной математики. - XI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. - 2010. - Т. 17. - №5. - С. 729-730.

14. Gazizov R. К., Kasatkin A. A. Construction Of Exact Solutions For Fractional Order Differential Equations By Invariant Subspace Method // Proc. 5th Symposium on Fractional Differentiation and its Applications. - China, Nanjing: Hohai University, 2012. - Paper 094. - 4 P.

15. Газизов P. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Симметрийные свойства дифференциальных уравнений переноса дробного порядка /'/ Труды Института механики им. Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН.

- Вып. 9: Материалы V Российской конференции с международным участием «Многофазные системы: теория и приложения», Ч. 1. - Уфа: Нефтегазовое дело, 2012. - С. 59-64.

16. Gazizov R. К., Kasatkin A. A. Constructing solutions of evolutionary fractional differential equations using invariant subspaces and symmetries // Abstracts of International conference MOGRAN-15. - Kemer, Turkey, 2012. -P. 12.

17. Касаткин А. А. О групповой классификации одного класса уравнений с производными дробного порядка // Международная конференция MOGRAN-16 «Современный групповой анализ»: тезисы докладов. - Уфа: УГАТУ, 2013. - С. 13.

Касаткин Алексей Александрович

СИММЕТРИИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНЫМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА ТИПА РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

01.01.02. - дифференциальные уравнения, Динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 18.11.2013 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,9 Тираж 110 экз. Заказ № 609. Отпечатано в редакционно-издательском комплексе ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет» 450000, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Уфимский государственный авиационный технический университет»

На правах рукописи

04201452857

Касаткин Алексей Александрович

Симметрии и точные решения уравнений с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Р. К. Газизов

Уфа - 2013

Оглавление

Введение 3

1 Операторы дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля. Группы преобразований 17

§1 Основные сведения о производных дробного порядка..............17

§2 Преобразования операторов дробного интегро-дифференцирования

при заменах переменных................................................22

§3 Операторы, допускаемые уравнениями с производными дробного

порядка..................................................................29

2 Симметрийные свойства дифференциальных уравнений с производными дробного порядка 34

§4 Уравнения вида D%y = f(x, у) ........................................34

§4.1 Преобразования эквивалентности..............................34

§4.2 Результаты классификации....................................36

§4.3 Алгебраический подход к классификации....................43

§4.4 Использование симметрий для построения решений .... 50

§5 Уравнения вида D%+ly = (р(х, у, Day)................................53

§5.1 Преобразования эквивалентности..............................53

§5.2 Результаты классификации....................................56

§5.2.1 Случай <£> = f(x,y)....................................57

§5.2.2 Случай функции <р, зависящей от Day ............59

§5.2.3 Случай ip = f{x)Day + д{х, у) ......................63

§6 Уравнения вида 0D%y(x) + 7 • xD?y(x) = f(x, у)....................67

(L

3 Симметрийные свойства систем уравнений с производными дробного порядка 71

§7 Преобразования эквивалентности и вид допускаемых операторов 71 §8 Классификация систем уравнений с использованием алгебраического подхода............................................................74

§8.1 Построение оптимальной системы подалгебр................74

§8.2 Результаты классификации....................................89

4 Схема построения решений уравнений с производными дробного порядка методом инвариантных подпространств 97

§9 Метод инвариантных подпространств................................97

§10 Применение метода к уравнениям с дробной производной.....102

Заключение 110

Литература 110

Введение

В последние годы аппарат дробного интегро-дифференцирования всё более интенсивно используется при построении математических моделей различных процессов. Уравнения с производными дробного порядка используются для описания различных физических эффектов в реальных средах.

Например, существуют модели, описывающие процессы диффузии и распространения волн в средах с памятью или с фрактальной геометрией, модели деформации вязко-упругого материала и т. д. (см., например, работы [58], [49], [18], [24], [17]). Также уравнения с производными дробного порядка тесно связаны со стохастическими моделями [25], [26] (в том числе, с некоторыми моделями случайного блуждания в непрерывном времени [51]). Дробное интегро-дифференцирование используется также для решения прикладных задач автоматического управления [57].

Тем не менее, методы аналитического решения дифференциальных уравнений с производными дробного порядка всё ещё недостаточно разработаны.

Большинство существующих подходов позволяет получать аналитические решения лишь для определённого класса линейных уравнений и некоторых нелинейных уравнений с дробными производными. В простейших случаях решение удаётся построить методом последовательных приближений после сведения уравнения к эквивалентному интегральному уравнению Вольтерра (см., например, [23], [47]). Для поиска решений линейных уравнений часто используются интегральные преобразования Лапласа и Меллина (их применение описано, например, в книгах [52], [47] и многочисленных статьях), а также другие интегральные преобразования [22].

Для нелинейных уравнений с производными дробного порядка развиты некоторые методы построения приближенных аналитических решений. В некоторых случаях решение может быть построено в виде ряда, но, как правило,

коэффициенты таких рядов определяются рекуррентными соотношениями [57]. Для уравнений и систем с производными дробного порядка применяются многие современные методы построения приближений к решению, например, метод разложений Адомиана [45], [59], метод гомотопических возмущений [46], [53] и другие.

Одним из эффективных подходов к построению точных решений уравнений с производными целого порядка является использование методов группового анализа (см., например, [19], [9], [42], [21]). Однако до сих пор эти методы не нашли применения в теории дробных дифференциальных уравнений. Известны лишь отдельные работы, использующие элементы группового анализа для исследования таких уравнений.

Например, в работе [48] построена группа преобразований растяжения, оставляющая инвариантным линейное уравнение с частными производными дробного порядка, а также показана возможность использования этих преобразований для построения автомодельных решений.

Различные подходы к исследованию симметрий интегральных и интегро-дифференциальных уравнений других типов рассматривались, например, в ра-

Целью данной работы является распространение методов группового анализа дифференциальных уравнений на уравнения с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля по одной независимой переменной, использование таких методов для исследования симметрийных свойств и для построения новых точных решений уравнений с производными дробного порядка.

В первой главе приведены необходимые определения, построена формула продолжения и предложен алгоритм поиска допускаемых операторов для уравнения с производными дробного порядка. В параграфе 1 приводятся необходимые определения и свойства производных Римана-Лиувилля.

Определение 1. Дробным интегралом и дробной производной Римана-Лиувилля порядка а > 0 называются операторы задаваемые выражениями

ботах [27], [31], [16], [44], [41], [50].

X

с

где п — 1 < а < п, п € N. Применяются также обозначения

cD~ay{x) =с 1«у{х), Day(x) = о Щу{х).

При целом а = п интеграл Римана-Лиувилля совпадает с п-кратным повторным интегралом, при переходе к пределу а —> п дробная производная cD^y{x) переходит в производную целого порядка у^п\х).

Для широких классов функций /, g справедливо обобщённое правило Лейбница дифференцирования произведения:

00 / \

cDax (f(x)g(x)) = £ r)cD°-nf(x) D™g(x). (0.2)

п—0 W

В работе предполагается, что для рассматриваемых функций всегда существуют производные дробного порядка и выполняются условия их представимости в виде рядов по производным целого порядка.

В параграфе 2 рассматривается преобразование дробных производных и интегралов Римана-Лиувилля при замене переменных и строится формула продолжения инфинитезимального оператора.

Рассмотрим локальную группу Ли точеных преобразований вида

х = <р{х, у, а), <р\а=0 = х, у = ф(х,у,а), ф\а=0 = у. (0.3)

В общем случае, вид оператора дробного интегро-дифференцирования (0.1) существенно изменяется после замены переменных. Пример 1. Для проективного преобразования

х = х{\ — ах)~г, у = г/(1 — arc)-7, а = const, 1 — ах > О, дробная производная D®y(x) в новых переменных принимает вид

mm = (1 - «г'дг ((1_gU.) •

Используя традиционный инфинитезимальный подход С. Ли (см., например, [19], [42], [21]), для преобразований (0.3) можно записать инфинитезималь-

ный оператор

и продолжить его на производные целого и дробного порядка:

При этом

х = х + а£(х,у) + о(а), у = у + аг)(х, у) + о(а), у'(х) = у'(х) + а(,\{х, у, у') + о(а),... у(п)(х) = у(пХх) + а(;п + о(а), сЩу(х) = сБхУ{х) + аСа + о(а),....

Теорема 0.1. Коэффициент (а определяется формулой продолжения

Вывод данной формулы в работе производится с использованием разложения производной дробного порядка в ряд по производным целого порядка (соотношение (0.2) с / = 1,д = у) и формул продолжения для производных целого порядка. Все функции считаются разложимыми в степенной ряд в окрестности каждой точки интервала (с, (£).

В параграфе 3 вводится определение допускаемого уравнением оператора и предлагается конструктивный алгоритм поиска таких операторов. Рассмотрим уравнение с одной независимой переменной х и производными порядков щ, г = 1,..., га:

Определение 2. Будем говорить, что уравнение (0.5) допускает оператор X, если выполнено соотношение

где X - продолженный на необходимые производные оператор X, а [Р = 0] - уравнение вместе со всеми следствиями из него.

(0.4)

Р(х,у1СЩ*у,еЕ>;»у,...,е1У?*у) = 0.

(0.5)

Для интегро-дифференциальных уравнений не известно общего способа выбора независимых переменных и получения всех их необходимых связей как следствий из уравнения. Поэтому в работе предлагается конструктивный алгоритм построения симметрий из класса линейно-автономных операторов. Алгоритм построения допускаемых операторов.

1. Рассматриваются инфинитезимальные операторы X с коэффициентами вида

£ = £ (ж), г]{х, у) = р{х)у + я(х), (0.6)

где £(с) = 0 (условие сохранения нижнего предела в интеграле (0.1)).

2. Формула продолжения (0.4) представляется в виде

(0.7)

3. Коэффициенты допускаемых операторов ищутся из уравнения

(ХР) = 0.

При этом переменные х, у, Ва~пу, п е считаются независимыми.

Построенные по данному алгоритму операторы будем называть допускаемыми операторами линейно-автономного типа для уравнения с дробными производными (0.5).

Формула (0.7) получается из (0.4) для коэффициентов вида (0.6) с помощью правила Лейбница (0.2), при этом для всех функций у(х) из рассматриваемого класса должно выполняться соотношение сП%(£у)' = (£?/).

В работе также сформулированы аналогичные формулы и ограничения для операторов правосторонней дробной производной хЩу (с пределами интегрирования от ж до бГ).

Во второй главе содержатся результаты классификации некоторых классов уравнений с производными Римана-Лиувилля.

Параграф 4 посвящён классификации уравнений вида

D<Zy = f{x,y), 0<а<1, х>0. (0.8)

Построены преобразования эквивалентности линейно-автономного типа (сохра-

71 1

няющие вид уравнения с изменением /), которые могут быть записаны в виде

х = а\х{1 -а2х)~1, у = а3(1 - а2х)1~а {у + и(х)), / = аГаа3(1 - а2х)1+а(/ + Щи{х))

(здесь ах > 0, аз ф 0, у(х) - произвольная функция).

Показано, что допускаемые операторы линейно-автономного типа для уравнения (0.8) имеют вид X = С\Х\ + С2Х2 -I- С3Х3 + (д), где

д д $ д д

а коэффициенты С2, С3, д{х) определяются функцией /(х,у).

Теорема 0.2. Для произвольной функции /(х,у) уравнение (0.8) не допускает операторов линейно-автономного типа. Уравнение допускает операторы указанного типа только при следующих функциях /(х,у) (с точностью до преобразований эквивалентности (0.9)):

1. / = уФ(ж) : гх = уду, г9 = я{х)ду, где = дЩх).

1.1. Ф(ж) = кх~а : ^з = хдх.

1.2. Ф(ж) = ±х~2а : Яз = х2дх + {а - 1)худу.

1.3. Ф(я) = 0 : ^з = х2дх + (а - 1 )худу, = хдх.

2. / = х-1~аЩух1-а): гх = х2дх + (а- 1 )худу.

2.1. Ф(г) = ег : = хдх + (а - 1 )уду + аха~1ду.

2.2. Ф(г) = 2Л, Л ф 0,1 : — хдх - 1~^1~Ы)уду.

I — Л

3. / = х^Ф(у/хР): = хдх + /Зуду.

4. / = х-1-ае^1/х^(ух1~ае±1/х): Zl = ж2^ + {а - 1)худу ± уду. Здесь к,Х,/3 - произвольные постоянные.

Результат классификации, представленный в теореме 0.2, может быть получен как классическими методами группового анализа, так и методом предварительной групповой классификации, предложенным в работах И. Ш. Ахатова, Р. К. Газизова, Н. X. Ибрагимова. Последнее связано с тем, что в данном случае все рассматриваемые симметрии уравнения могут быть получены из алгебры Ь операторов, порождающих преобразования эквивалентности. Для таких

уравнений задача классификации может быть сведена к задаче построения оптимальной системы подалгебр алгебры L и поиска уравнений, допускающих операторы этих подалгебр.

В конце параграфа 4 рассмотрены примеры построения инвариантных решений уравнений вида (0.8).

Пример 2. Уравнение Day = х~1~ае~1/хФ(ух1~ае1/х) допускает оператор Z\ = х2дх + (ск — 1 )худу 4- уду. Соответствующее инвариантное решение имеет вид

у = /сха-1е~1/х,

где к является корнем алгебраического уравнения к = Ф(к).

Пример 3. Для уравнения Day — x~1~aeyxl " инвариантное решение относительно оператора Z2 = хдх + (а — 1 )уду + аха~1ду имеет вид

у = х"'1 (a In ж + In Г(с* + 1)).

С помощью проективного преобразования с оператором Z\ из данного решения можно получить семейство решений

у = xa~l{a\nx — aln(l + ах) + 1пГ(а + 1)), а = const.

Параграф 5 посвящён исследованию уравнений вида

Da+1y = <p(x,y,Day), 0<а<1,х>0. (0.10)

При выполнении условия <pz(x,y,z) = 0, т. е. для частного случая уравнений вида Da+1y = f(x,y), преобразования эквивалентности имеют вид (0.9), а результат классификации повторяет результат для уравнения (0.8) с заменой а на а + 1.

Показано, что для общего вида уравнений (0.10) преобразования эквивалентности имеют вид

х = а\х{1 - а2х)~1, у = а3( 1 - а2х)1~а {у + v(x)),

ф = aia-la3 [(1 - a2xf+ot (<р + Ва+1ф)) - (0.11)

-а2(а + 1)(1 - а2х)2+а (Day + Dav{x))] , аг > 0, а3 ^ 0.

Теорема 0.3. Если функция ip(x,y,z) в уравнении (0.10) не удовлетворяет соотношению ip(x,y,z) = ф\(х)г + ф2(х,у), то все допускаемые операторы линейно-автономного типа имеют вид

X = C'lA'i + С2Х2 + С3Х3 + (д), (0.12)

гдеХ1=х^, Х2 = х*§-х + (а-\)ху^ Х3 = у^, (я) =

а коэффициенты С\, С2, Сз, q(x) определяются функцией <p(x,y,z).

Теорема 0.4. Уравнение вида (0.10) с ipz ф 0 допускает хотя бы один оператор вида (0.12) только в следующих случаях (с точностью до преобразований эквивалентности (0.11));

1. <р = yF{х, z/y); Zi=X3.

1.1. F{x, z) = x-a~l^{xaz) : Z2 = Xi.

1.1.1. Ф(в) = -(a + 1 )s + As1+« : Z3 = X2.

1.1.2. 4f(s) = As + B : Zq={q).

1.1.3. Ф($) = —(a + l)s ; Z3 = X2,Zq = (q).

1.2. F(x, z) = -(a + l)x~lz + x-2a~4(x2az): Z2 = X2. 1.2.1. Ф(5) = ±s + A, Ф(в) = ±1: Zq = (q).

1.3. F{x, z) = Ф(х)2 + Ф(ж); Zq = (q).

2. <p=-(a + 1 )zx~l + x-a-3F(x1~ay, x1+az); Zx=X2.

2.1. F(y, z) = y^^Ф (zy^^j , /3 ф a - 1; Z2 = Хг + PX3.

2.2. F(y, z) = (ze~ay): Z2 = Xl + (a- 1)X3 + (re""1).

2.3. F(y, z) = y + ^{z- y): Z2 = {■xa~le~llx).

2.4. F(y,z) = V(z) : Z2 = (x<*~1).

3.cp = xP-a~lF(x-Py, xa~Pz): Zx = Xx + (3X3. 3.1. F(y, z) = (Л - а)цу + Ф(z - цу): Z2 = {.xx>.

4. cp = -(a + l)x~1z+

+x-a-ze^*F{yxl-ae±*,zxl+ae±*): Zx = X2 ± X3. 4.1. F(y,z) = 7a+1y + Ф(z - 7ay): Z2 = {xa-xe~i/x).

Da+lw / Daw \

5.<p =-y + F[x,z--у : Zi = {w{x)).

w \ w J

Здесь /3,А,В - произвольные постоянные, 7 > 0, A > — 1,

¡1 = Г(А + 1)/Г(А — a + 1), функции q{x) - решения соответствующего

линейного уравнения.

Для уравнений вида Оа+1у = ф\(х)Оау + ф2(х,у) могут существовать дополнительные симметрии линейно-автономного типа, не являющиеся комбинациями Х\, Х2, Хз, (д).

Примером является оператор

д ху д А = х——Ь

дх к — хду' допускаемый уравнением

к — х

В параграфе 6 рассматривается классификация уравнений вида

0D«y(x)+'y-xD?y(x) = f(x,y), 0<а<1, я>0, 7^0. (0.13)

Поиск преобразований эквивалентности и симметрий линейно-автономного типа проводится так же, как для уравнения Day = f(x,y), но дополнительное условие £(1) = 0 сужает группу эквивалентности и алгебру допускаемых операторов.

Теорема 0.5. Для произвольной функции f(x,y) уравнение (0.13) не допускает операторов линейно-автономного типа. Симметрии такого типа появляются только в следующих неэквивалентных случаях:

1- /(я, у) = У^{х) • z\ = уду> zq = q(x)dy,

1.1. Щх) = kx~a( 1 - х)~а: Z2 = (х2 - х)дх + (а - 1 )худу 2. f{x, у) = - х)Р~Щу{ 1 - х)1~а~^хр) :

Здесь к - произвольная постоянная, a q(x) - произвольное решение уравнения 0DZq(x)+7-xD?q(x) = qV(x).

В третьей главе рассмотрены симметрии систем вида

Dau(t) = /(£, и, v), Dav(t) = g(t, и, v). (0.14)

В параграфе 7 построены преобразования эквивалентности и получено соотношение, определяющее форму допускаемых операторов. Преобразования

эквивалентности системы (0.14) порождаются операторами

Е2 = ^ + (а - 1)Ьи1 + (а - 1)^1 - (а + 1)*/| - (а + <9 г, 0 0

= + /V, = +

аг> од оу од

Е«и = +Е<? = +

где qu(t),qv(t) - произвольные функции.

Теорема 0.6. Операторы линейно-автономного типа, допускаемые системой (0.14), имеют вид

Х = С1Х1 + ... + С6Х6 + (</«(*))„ + {4>(Ь))У ,

Х2 = + {а~ х)ыТи + (а " 1)1уЪ~у>

Хз = Х4 = у^~, Х5 = и-^~, Х6 = (0.16)

ои ои ОУ ОУ

<?"№>„ = (?"(<)>„ = 9"(<)|;,

где коэффициенты С\,.. определяются функциями / ид.

Сравнение (0.15) и (0.16) показывает, что полная классификация систем может быть построена с помощью метода предварительной групповой классификации. В параграфе 8 вычислена оптимальная система одномерных подалгебр ©1 (Ь) (20 случаев) и полная оптимальная система для конечномерной части Ь§ (дополнительные 66 случаев). Для каждой из найденных подалгебр выписан вид допускающей её системы (0.14). Например, подалгебра с базисом {Х1, Х2, Х^} допускается системами вида

Ваи = Гауа/{1~а\С2и + Сху), Вау = Гауа/{1~а)С2у.

Четвёртая глава посвящена методу инвариантных подпространств. Ба-

зовые понятия метода и утверждения из литературы [32], [8], [60] приведены в параграфе 9. В параграфе 10 иллюстрируется схема применения метода инвариантных подпространств для построения частных решений уравнений с дробной производной эволюционного типа

Dfu = F[u1, F[u) = F(u, ux, uxx,..., dkxu). (0.17)

Теорема 0.7. Пусть линейно независимые функции {fi(x)} задают инвариантное подпространство Wn = (fi(x),...fn(x)) для оператора F[u], то есть для F[u] при и G Wn справедливо равенство

F[C\fi(x) + ... + Cnfn(x)} = Fi(Ci,..., Сп)Мх) + ... + Fn(Cu ..., Cn)fn(x). Тогда функция

и(х, t) = «i(i)/i(a:) + ... + un{t)fn{x)

является решением уравнения (0.17) только в том случае, когда коэффициенты Ui{t) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений с производной дробного порядка:

D?m(t) = F1(u1,...,un),..., D?un(t) = Fn{uu ...,un). (0.18)

Получаемые нелинейные системы (0.18) можно исследовать методами, рассмотренными в предыдущей главе. Пример 4. Рассмотрим уравнение

D^u = иихх + (их)2, u = u(t,x), 0 < а < 1. (0.19)

Нетрудно убедиться, что оператор F[y(x)] = уу" + (у')2 имеет дву�