Сингулярные эллиптические краевые задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

I

V

о,

6У

л \

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

V

На правах рукописи ^'

V

Уда 517.946

КАТРАХОВ Валерий Вячеславовну СИНГУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ

Специальность 01.01.02 -даферищАашные уравнени.

Т 0 Ф Е Р А Т

диссертацией сои^рние ученой степени доктора физ^й>-^с.тематически>\^нау1с

^ А уЛ ж \

^ Новосибирск ^ 1§09

Работа вцпоянеяа в лаборатории численных методов и доф-фереициаяьннх уравнений Института прикладной математики ДВО АН СССР.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.И.Буреикоз доктор фаэиво-математнчеоких наук, прсфесоор Т.И.Зелевяк доктор физнко-катеазатичеоких наук, профессор Е.И.Моисеев Ведущая организация: Математический институт АН СССР па. В.А.Стеклова

Защита ооотоится "__" 1920 г. в ___ чао,

на заседании Специализированного совета Д 002.23.02 при Институте ватедатики Сабарокого отделения Акадегйш паук СССР. (630090, Новосибирск, Университетский проспект, 4)

С диссертацией ;,юззо ознакомится в йпйтотекз Инатптутс математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "__ 1990 года.

УчэниЗ секретарь Специализированного совета, доктор фивико-мат елзатическнх наук

В.С.Белоносов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В последние десятилетия в связи с приложениями резко возрос интерес к сингулярным и вырождающимся уравнениям в частных производных. Основополагающей в этом направлении была известная работа И.В.Келдыша. В дальнейшем его постановки краевых задач Р и Е были перенесены в различных форлах на широкие классы уравнений С.Ы.Никольским, А.В.Вицацэе, Л.Д.Кудрявцевым, И.А. Киприяновш, П.И.Лизоркнным, М.И.Вишиком, В.В.Грушиным, Х.Тркбелем и многими другими. На в&'хность изучения в случае сильного вир ое- . дения весовых краевых задач указал А.В.Бицадзе. Весовые краевые задачи для эллиптичесгах и гиперболических уравнений изучались в работах Д.-Л.Лиоиса, А.Вайнштейна, П.И.Лизоркина, А.А.Вашарина, U.M. Смирнова, С.А.Терсенова, Г.Н.Яковлева, А.К.Януиаускаса, Р.Кэррола,, Р.Шоуолтера и других авторов.

Уравнения с сильны?.! вырождений! естественным образом возникают в теории особенностей решений эллиптических уравнений. Классические результаты получены здесь Н.Винером и М.В.Келдышем. Современное состояние предмета описано в книгах Н.С.Ландкофа, Е.М.Лан-диса, И.С.Шишмарева. Основные результаты этого направления заключаются в выяснении условий, при которых решение будет иметь устранимую особенность, что соответствует постановке задачи Е . Постановка весовых краевых условий без дополнительных ограничений на рост решения в этом случае не возможна.

.- - К настоящему времени сложилась такая ситуация, что краевые задачи типа £ глубоко и разносторонне изучены. Весовые же краевые задачи рассматривались лишь для довольно простых уравнений второго .порядка. Другие постановки краевых условий для уравнений с сильным выролсдекием, которые заменили бы весовые в случае невозможности постановки последних, с должной глубиной до. сих пор не изучались. Такое положение на наш взгляд можно, объяснить в основном отсутствием подходящего метода,"поскольку обычные методы тео- . рии эллиптических уравнений мало, приспособлены для решения указанных задач, а некоторые из .них,/например,"вариационный'метод {по крайней мере в-его. классической''форме)' для не сильно эллиптических уравнений, а также для уравнений, решения которых имеют особенности высоких порядков, в ''принципе не-применимы.' Кроме того, для . изучения ; виро-даи -цхся . или еингулярш.«-краевго: задач' обычно вводят весовые Сушощопипыке пространства ( отметим в этом плане рабо-

ты С.М,Никольского,.Л.Д.Кудрявцеве, И.А.Куприянова, П.И.Лизоркина и др.; , которые, однако,-'обладают тем характерный свойством, что порядок особенностей функций из этих пространств уменьшается с увеличением показателя гладкости. Последнее же обстоятельство, вообще говоря, не приемлимо, например, при весовой постановке краевых. условий. •

Целью диссертации является постановка новых весовых, и нелокальных эллиптических краевых задач и исследование их в новых функциональных пространствах, а также развитие для этих целей метода операторов преобразования, ,

Основный методом исследования в диссертации является метод операторов преобразования. Своим появлением в краевых задачах этот метод обязан работам Ж.Дельсарта, Я.-Л.Лионса, Б.М.Левитана, который дал название операторов Сонина и Пуассона известному классу операторов преобразования. Операторы Сонинаи Пуассона, а также более общие операторы Зрдейи-Кобера нашли широкое применение в теорию сингулярных уравнений типа Эйлера-Пуассона-Дарбу (см. монографии Ж.-Л.Лионса, Р.Кэррола, Р.Шоуолтера и недавно вышедшую монографию С.Г.Самко, А.А.Килбаса, О.И.Маричева). В другом плане операторы преобразования применялись в спектральной теории {см. монографии В.А.Марченко и К.Шадана, П.Сабатье). В диссертации метод операторов преобразования получил дальнейшееразвитие. В первую очередь это связано с построением на их основе функциональных пространств типа пространств С.Л.Соболева. Ранее подобные констру- , кции с оператора}.м преобразования не проводились, причем применение известны:: операторов преобразования для этих целей оказалось не всегда возможным. В связи с этим в диссертации введены некоторые новые операторы преобразования в одномерном и. многомерном случаях и изучены новые свойства операторов Эрдейи-Кобера и Радона, теория которого изложена в монографиях Й.М.Гельфанда, М.И.Граева, Н.Я.Ви-, ленкина и С.Хелгасока. При этом существенно использовалась теория специальных функций, а также лиулиллевские и другие близкие к ним операторы.

В диссертации получены следующие новые научные -результаты:

- введены некоторые новые операторы преобразования в одномерном и многомерном случаях,

- впервые поставлены весовые краевые задачи для уравнений высших порядков, при этом изучены общие краевые задачи для одного

класса сингулярных эллиптических уравнений высшего порядка с комп-лекснозначнши коэффициентами и для этих целей

- введены функциональные пространства, для которых справедливы теоремы о весовых следах,

- введено новое понятие в определенном смысле нелокального б -следа в особой точке, которое имеет смысл, в частности, для гармонических функций с произвольной особенностью в этой точке,

- поставлена и изучена краевая задача для уравнения Пуассона, Гельмгольца и более общих уравнений высших порядков, решению и правой части которых разрешается иметь особенность произвольного порядка в изолированных граничных точках, при этом в случае уравнений с нулевой правой частью на поведение решения в указанных точках никаких априорных ограничений не накладывается; для этих целей

- введены новые более широкие, чем пространства С.Л.Соболева, функциональные пространства типа Фреще, для которых имеют место соответствующие теоремы о -следах. '

Кроме того, результаты по весовым краевым задачей являются новыми и дяя уравнений второго порядка. В.терминах 5 -следов дана также классификация изолированных особых точек гармонических функций.

Теоретическая и практическая'значимость. Работа носит, теоретический характер. Полученные результаты представляют интерес для различных разделов физики.и механики сплошных сред. В частности, в класс расмотренных краевых задач входит стационарное волновое уравнение Гельмгольца на плоскости Пуанкаре с краевыми условиями, являющимися аналогами условий излучения Зоммерфельда. К тому же классу относится и стационарное осесиметрическое уравнение Шредингера с сингулярным потенциалом. Краевая задача с . 6 -следом описывает классические явления в электростатике, гидродинамике и теории упругости. В теоретическом плане результаты работы могут служить идейной основой дальнейшего развития- весовых и других постановок краевых задач для уравнений с сильным вьгронсдепием, а также основой дальнейшего изучения особенностей решений эллиптических уравнений.

Развитый метод операторов преобразования может быть применен в г',р.угих теории уравнений с частными производными. В связи

с этим упомянем о полученных тем же методом операторов преобразования результатах П.А.Киприяноца и автора по построению алгебры'сингулярных псевдоди!./;,еренциальних '' операторов и по. теории дробных степеней сингулярных ■ эллиптических . операторов.-

Структура диссертации. Диссертация изложена на 225 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы, содеркащего 90 названий.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах по уравнениям математической физики и теории функций Математического института иы.В.А.Стеклова АН СССР,. Института математики СО АН СССР, Института прикладной математики ДВО АН СССР, Московского, Воронежского и Дальневосточного государственных университетов, а также на ряде всесоюзных и международных конференций.

По теме диссертации опубликованы работы Cl-12] , причем из последней работы в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена изучению операторов преобразования в одномерной и многомерном случаях, она сосотит из двух параграфов. Первый параграф подразделяется на четыре пункта. В пункте I.I.рассматриваются различные операторы преобразования, связанные с оператором двухкратного дифференцирования D"= Dj -Ъ и оператором Бесселя = D f ~у~ D > где "i - комплексный параметр. Основные из них определяются по формулам .

(Т/ ч л n* V t %

где через UJ«; обозначена гамма-функция Эйлера, а через У (Z) ' функция Лежандра первого рода. Близкие к (1,2) операторы изучались ранее Р.Бушаном. Обозначим через множество бесконеч-

но дифференцируемых на функций, имеющих в * h

компактный носитель. Функции из этого множества могут иметь произвольную особенность при J - О . При $z V ^ О операторы Ц и

3} взаимно однозначно отображают множество функций на себя и являются взаимно обратными. Для справедли-

вы формулы - ' '

Таким образом, по определению Ж.-Л. Лионса операторы (1,2) действительно являются операторами преобразования. Обратим внимание на следующие их свойства, отличающие их с.точки зрения приложения к эллиптическим краевым задачам от известных ранее операторов преобразования. Во-первых, оператора ^ и О) не изменяют гладкости преобразуемой функции при положительных аргументах, во-вторых, сохраняют ее финитность на полупрямой, в-третьих, и $1) явля-

ются операторами преобразования на функциях с произвольной особенностью в нуле. Вше было наложено ограничение , хотя формулы (1,21 можно распространить и на случай . Однако в этом нет необходимости, поскольку случай &4 О легко сводится к случаю &> 0 с помощью непосредственно проверяемой формулы Дарбу-Вайкштейна ^'В-?^) . в пункте 1.1 , кроме того, изучается связь операторов ^Р? , 5о с другими операторами преобразования и с известным« лиувиллевскиш операторами , определяемыми по формуле оо

' ' . . (4.

при (и > О ц с помощью аналитического продолжения по параметру в противном случае.' Вводятся также некоторые другие операторы гУ" _ £ ' ' ■ Ч " 1 ' 1 (5) где £ - оператор умножения на функцию > , а £ - обратный к нему. Свойства операторов \5) рассмотрены в пункте 1.2, где установлена формула ' 9° ■

У

в которой (в,с; - вырожденная гипергеометрическая функция, и дана оценка нормы отображения Г'" (а [С в пространсвах

С.Л.Соболева , где мр о гладкая ограниченная функция.

С помощью формулы (6} на множестве Сщ (Еь) введены операторы преобразования вида

В пункте 1.3 установлена связь операторов (1,2,5,7) с преобразованием 1'!'Урье и Ганкеля. В частности, для оператора установлено '

представление " , -} .<*> '■

^Мм ' (8) ■ ■

где "Н} - функция Ганкеля первого рода, Г - преобра-

зованию Фурье, а Л - оператор гладкого продолжения функций с полупрямой на всю прямую £ . В пункте 1.4 изучается действие введенных операторов преобразования.в известных пространствах, основывающаяся на оценке

--mu4ff.it» XV ****

. < *- тал:' — 1 ^ —

с точными постоянными, где вещественное 0 , Ц(Е^) - лебегово пространство квадратично сушируешх_на полупрямой функций и функция гладкая, финитная на , причем допускающая гладкое продолжение на век прямую по закону четности.

Далее вводится в одномерном случае новое пространство Пусть О Обозначим через 0^(0,(1) , 0 ^ Я < ^ , множество функций из , для которых преобразование .при-

надлежит множеству , состоящему из бесконечно дифферен-

цируемых функций на множестве К с компактным в

носителем. Пространство'

определяется как пополнение множества СП1?'2) по норме /]р 4

Элементами пространства

нда)

являются обычные функции из

(ОД) ■ , которые определенным образом ведут себя вблизи левого конца. Пусть весовая вункция = при к -{Ь^-у) . Весовым сгр-следом функции I в точке назовем предел

Теорема I. Пусть О , ^ 1 > ^ 4 ,0<Я-£(К> .Тогда У любой функции |<? $5, после исправления ее при необходимости на множестве меры нуль, в точке О существует -след, при*

Чем справедливо неравенство

ГГ»)

11" uUo.fi) , если

А Й

111,

/Г Й^О . если^,

цос'гояшшй в котором являются точными.

Во втором параграфе первой главы операторы преобразования изучаются в многосерном случае. Пункт 2.1 носит вспомогательный характер. В нем известный результат о разложении, связанном с разложением функций в ряд по сферическим гармоникам, пространства Lj.fi: 1) в прямую сумму переносится на пространство С.Л.Соболева. В пункте 2.2 вводятся операторы преобразования. Пусть . Е обозначает евклидово пространство точек х = >•••»•*«-) и пусть г=1*1 _ сферические координаты. Пусть - коэффициенты разложения функции в ряд по ортонормированной в смысле пространства где 0-{хеЕ"1; 1X1 = 1^ , системе сферических гармоник У^Ш ,1=1,..., ^ , где ^(^¿ИКк.к-зИ/ГИн--1)1.) , 1 Пусть {/*, 0<£< с»» , обозначает открытый шар с центром в начале & радиуса Я и пусть У^-Уц . . Обозначим через '^(Цг.о) мно-кество бесконечно дифференцируемых в 1/*>,е> , имеющих компактный в носитель Функций | , для которых коэффициенты от~ личны от нуля лишь для конечного, своего дц_я каздой функции, набора индексов V,£ .3 точке О функции из могут иметь произвольную особенность. Определим операторы ^ и по Формулам: ^ ^ ^ гт

н -пг-ю

(9)

/г

где ЬТ^Ц, и поэтому суммы в (У)конечные. Операторы ¿¡> , ^ определяются по формулам (1,2) ..Операторы . допускают представление в «иде следующих многомерных интегро-дифференциальных операторов. При нечетном п >, 3 имеем

^ Г,л - Э ( И

а при четном п. ¿У ■

. , г '^ а ( ф/ъ ]*'({(£>*'№ ¿л'

с/г?'.

^ х ж

(Ю)

(и)

¡я> о

где > обозначает скалярное произведение в Д^" , а поскольку ¡ЯН ¿1=1 , то ¿тМ'> равно косинусу угла меяду векторами . Операторы ^ представления, аналогичного (10,11) не-имеют, что объясняется существом.дела, так как они дале гладкую в окрестности начала ко с гцнкат ф^-нэдию преобразуют, в функцию, имею-

щую, вообще говоря, существенную особенность.

Теорема 2. Операторы &,ь и отображают пространство

себя 11 являются взаимно обратными, причем справедлива формула И1 4 , ? о \

ГД2 Д - оператор Лапласа.

Таким образом, и ^ являются операторами преобразования многомерного оператора Лапласа в одномерный оператор второго порядка г^1>г г* . в пункте 2.3 изучается Ьд_-теория операторов преобразования. Основной, здесь является

Теорема 3. £ля функции |€ имеет место равенство

(V*)" . (12)

»V

где (1 четное. °« \ • ~ , »„, ,

Здесь множество (У«) состоит из функций т £ ' для которых дополнительно предполагается, что функции ("^^¿г) имеют гладкое продолжение по закону четности на всю прямую Е1" Отметим, что формула Ц2) при К,= оо совпадает с известным равенством иарсеваля, по другой терминологии - Плаишерзля, для преобразования Радона.

Перейдем к описанию результатов второй главы. Она состоит из двух частей. В первой из них, состоящей из §§3,4, вводятся функциональные пространства, а во второй, состоящей из "§§5,6, в этих.пространствах изучаются весовые краевые задачи. '

•п от и,гсп+11 г— ь+4-

В пункте 3.1 вводится пространство Н) I Ь * ) , где Е + =

= = з^о}. Операторы преобразования 17) всегда будут дейст-

воь,:,м по последней переменной, т.е. по у . Обозначим через СГ1Е7 ) множество функций вида ? = Це Ч , где функция £ принадлежит множеству ¿""(Е'ТМ бесконечно дифференцируемых в замкнутом полупространстве Е V1 ' и имеющих' там компактный носитель функций. Определим теперь пространство Н^ (Е V*) , й?^0 ,5*0 целое, как пополнение по норме

(ТЗ)

множества функций ) . Здесь и всюду ниже через Н (&)

обозначены пространства С.Л.Соболева для области а . Показало, что элементами Н>(Е1+1) являются обычные функции, которые в каждом слое принадлежат классу Н ( . Кроме того, приводится утверждение о непрерывности вложения И} ГЕ"^1) ^ И-} СЕ"^ ) при ь'> % , которое есть непосредственное следствие формулы ЯЗ), Здесь же изучаются некоторые вопросы, связанные с заменой о (13) оператора преобразования на оператор ■ ^ .В пункте 3.2 найдены достаточные условия на функцию «со , при которых она является мультипликатором пространства И?(С*/) и даны оценки нормы отображения .В пункте 3.3 изучаются весовые следы. Для функция ^С'Л^Г) носовой <^-след па гиперплоскости у= 0 определяется по формуле • п которой весовая функция была определена виао.

Теорема 4. Пусть или'^-О и щеть * >3.\<- ^

Тогда отображение ^ В» Пу.о расширяется со множества Су(Е" ) по непрерывности до ограниченного отображения пространства Н> (£7^ в Ц^'^'-НЕ") и отображение

[ -* ^ ^ И^о расширяется по непрерывности до ограниченного отображения в тех же пространствах.

Верка также и соответствующая обратная теорема о весовых следах. - • ' ' 5 \

В четвертом параграфе изучаются пространства И>(О.) в случае ограниченной области а сет с глад,кой границей ЪО. , Пусть набор областей 51 „, Qi ,..., образует покрытие замкнутой

области 2 , причем расположена строго внутри О , а

при А ^ ® - £' имеют непустое пересечение с границей ЗО, . Пусть - диффеоморфизмы класса С" , отображающие области

0.с в области . Пусть при этой часть областиО^Й^СЗ

отображается в о»' = Л £7' , а часть границы ЛС^ отображается п часть гиперплоскости П {>$=0^ , Поскольку мы имеем дело с сингулярными операторами, то дополнительно предполагаем, что отображение .¡е£. в случае, когда 0.с(\и.с* * & , ос-

тавляет инвариантными нормали к гиперплоскости у -О , . Далее будут использоваться разбиения единицы } подчиненные покрытию {0}с\ , удовлетворяющие кроме обычных условий:^¿Я,(ЕИ,')) ОЛ.тсЛ , при.. ДЛк.л^<х>=1 ПрИ

е:1® и тождеству Ц^СО-О . в.каздой локальной системе координат (л.е.к.) в некоторой окрестности границы. Показано,, что для любого

покрытия .такие разбиения единицы существуют.

Введем пространство , как множество

всех функций | , для которых функции ^ в л.с.к» принадлежат пространству Й} (Е V ) • Пространство И) (О) гильбертово по норме % . д;

причем справа нормы вычисляются в л.с.к. Показано, что норш (14) при различных разбиениях единицы, а также и при измельчении покрытия, эквивалентны друг другу. На" пространства И} (¿2) переносятся все теоремы вложения предыдущего параграфа, в том числе и теорема о весовых следах, аналогичная теореме 4< Дополнительно установлено, что вложение Н ^ с (22) при вполне непрерывно. Здесь

же показано, что пространство сужений функций из Й} (0>) на строго внутреннюю подобласть £3 совпадает с точностью до эквивалентности норм с пространством И * (О) .

В оставшейся части второй главы изучаются весовые краевые задачи, порожденные уравнением

/\ ц = |(:х), хбЙ

(15)

и весовыми краевыми условиями либо вида

либо вида

«е-,

где весовая функция совпадает в каждой л.с.к. с ранее введенной весовой функцией, обозначенной тем же символом. Предположим, что Л собственно эллиптический с■компльксозначными бесконечно дифференцируемыми в а коэффициентами оператор порядка А м- „ Пусть в каждой л.с.к. оператор Д допускает представление вида

где (Ло---< ¿л) , м'| = ¿1 , «{/ ? 0 - целио числа,

, ^ тч // э / э □ _ . ¿Н а. ^ (Г^та/'.ЛЖ/ ' ' V У Ч ' ' " комплексный па-

раметр. Коэффициенты предполагаются бесконечно .тщофзренци-

руемши вплоть до гиперплоскости О и удовлетворяющими условию: Оу ал(х) = О ^ при у=£ и при всех ]. Пусть граничите операторы определяются в ка-здой л.с.к., соответственно, то формулам ^ \1 I

•де Д,- < * коыплексозначше бесконечно дифференцируемые коаффидевиты, Основное предположение заключается в том, чтобы операторы

■ающиеся заменой в (17) , (18) или (180 оператора Ресселя Ву на ператор , удовлетворяли в каждой граничной точке условию

апиро-Лопатинского. Краевая задача (15,16) порождает оператор

/ %: и- Ш, и = {/1 и, «г, ^ и , <г} и) ЗЙ [

ерез

%

обозначим аналогичный оператор, порожденный задачей 15,16'). Введем пространство ' „ ,

■ . .5, . К1 ,

И ' №

снабдим его топологией прямого произведения. Параметры ,

з,е О - целое число, 1) - комплексное, \< ъ О - целое, будем счи-1ть допустимыми, если выполнены соотношения

Д + ^¿»«.-Л«-!*^?- % >0.

! предыдущего легко следует, что для допустимых параметров опера->р % при или 1 = 0 и оператор при ¡¿г 1>0

¡прерывно отображают пространство Ц^^ЧО) в пространство Ц Иг)

. Имеет место основная во второй главе Теорема 5. Пусть выполнены сформулированные выше предположе-я относительно операторов ¡\ , Ц , ' и параметры % , !<-, >

лоиус.'и'л'.е» Тогда ВЦ1 'О мк к распел за-'.ача Ш,Т6> ,

а ппи (и*|)» 0 краевая задача иетирош» Пои игом, если

иГЙуг>и(Й) Га'^ои ИЛИ г.г/л'а/ую':ат ппостранст-

В1 ц« некоторой , то иеЦ^ " И

справедлива а!ш;:о; нач. одепка

у 0 ,

£ которой постоянная с > 0 112 зависит от . Соответствующая

оценка справсдлира и для оператора ' .

Применение соотношения Дарбу-Вайшиойна позволяет получить аналогичный результат и в случае (¡^¿О^ , в котором весовая. Функция в краевом ус:.овин отсутствует, т.е. раина тождественно единице. Доказательство теоремы 5 основано па построении регулнризато-ров, по другой терминологии - па|>а;.:отр.5ксов, дяя операторов и . В соответствии с одним из вариантов классической шаудеро-вой схемы последовательно разбирается случаи постоянных и маломе-няющихся коэффициентов, а затем используется склейка с помощью разбиения единиц. На перлом этапе нг;;:.;онг,\тся операторы преобразования, которые сводят весовую краевую задачу для с.шгу.лриого уравнения к краевой задаче для эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами. При этом краевые условия оказывается несколько необычны:.:;!, так как в ни;: присутствует оператор лиувиллевского типа, В связи с этим в пятом параграфе проделыва^тся необходимые построения для такой задачи.

В третьей главе изучается краевая задача для уравнения Луассо- . на и более общих уравнений высших порядков с особенностями в изолированных граничных тросах, не ограничивая общность -рассмотрен случай одной такой точки, помещенной в начало координат. Пусть' О, с с Е - ограниченная область с гладкой границе.'} ЭЙ . Пусть начало координат (У принадлежит О, и пусть Я,*£2 \(У '. Рассмотрим сначала следующую краевую задачу : " .'

¿Щ ао)

"коЛ1^. хе ^£2. ; . ■ .

цге

где - оператор Лапласа, а $ обозначает единичную сферу

в Ек . Вираже ни о слева в (21) назовем б" -следом функции и в точке С' и определи его при л * ^ по формуле

Г~**° 9

где является ядром Пуассона для сферы 9 , т.е.

здесь С- Iх! , $-х/1х\ _ сферические координаты. При "-"З. в полярных координатах х^гапЧ , х^гЗт«? полагаем

-У

Суть соотношений (22) и (23) состоит в предварительном усреднении функции иIг,по угловым переменим.!, после чего осуществляется предельный переход по радиальной переменной. В этом смысле & -след носит нелокальный характер. Он определен для функций с ' особенность в точке (У , например, для -гармонических в окрестности точки & функций, имеющих в самой этой точке произвольную особенность. Для строгой формулировки этого утверждения введем пространство А (0) , состоящее из вещественно-аналитических на сфере 0 функций Н^) , для которых при любых ^ конечны следующие нормы (

°° ^ X к ^ ^

к к* м

где , как«раньте, обозначает коэффициент разложения фун-

кции у в ряд по ортонормированной системе сферических гармоник У^М • Пространство Д (0) с топологией, определяемой системой норм (24) , является пространством Фреше.

Для любой гармонической в 0,0 функции и бг -след существует и принадлежит пространству Д (9) . Обратно, если функция

А(0) , то существует единственная, с точностью до гармонической в функции, функция и , для которой (Ти1с> - ^ .В терминах

б" -следа можно дать классификацию изолированных особых точек гармонически:: функций. Пусть функция и гасмоническая в окрестности

точки С , исключая саму эту точку, и пусть ^«(„М' • Тогда, если Ч -С' ( то С - устранимая особая точка, если Ч'г^^О лись Г..1Н конечного набора индексов , 1 , то ^ - особая точка типа полке?., «ели 4,(4 0 для бесконечного набора индексов к , ,-то С~ - особая точка типа существенной особо,'; точки аналитической "?ункц;-'К.

краевая задача (1С- -21) будет рассматриваться в функционанышх пгоетрр-Потртх М ) , исследование которых составляет содержание "гг. Пусть монотонная функция Х(Г)С С (Ь[) > С<-Х1П<- ] г Х(г) = --(? при г? / ,Л1Г1'1 При . Пусть ХЯ1ФХ(£) ,Я>0 .

Через [/(; , как и ранее, Нулем обозначать открыть'.-! иар радиуса К. с центром в начале. Пусть ч/.сло таково, что (л^-.О .

С .'¡означим через множество 4угда(иД I ^ С' £2 \ г?) , име»-

г,кх разложение ,1К

Ьс (-1

в котором г* Хц е и натуральное число

X" Ш) свое

душ каждой функции ( . '.хпользованние здесь пространства СДГ» ^ определены ранее, /ля четного 5*^0 определим на

Т'~(ьХ) следупчие нормы ' . .

с помощь» раз.:окен/.'Л по сферически:.; гарпии:нам они определяются и для нечетны.. 5 . Система нор.! |'£3) , при О* К< ¡\с. задает топологию, пополнение по которой линеала и "обозначим чероз М'Т^-'Л .

Показано, что это пространство яздяется- пространством ;рои:е к что топологии, задаваема различили 'Гункцнгми Д', -] авносг.льны. Пусть пространство Н£с(О) состоит из ¿ункций, сужение котори-. на лк-бу» подобласть , , принадлежит пространс:!^

НУ£2\ 1/ц ) • поделки его естественно;'! топологке/..

Теорема С. Лги ** 0 тект место иепрс-т;:вн;;с ыс-огня

Пш $'>5 г 0 пространство М4/4?, ) непи.т'нзпо вложено в М) .

Имеет место следующая теорема'о -С -следах. Теорема 7. Пусть если , и , если .

Рогда отображение » определенное на мнолестве

формулам (22,23), понимаемым в классическом смысле, расширяется по гепрерывности до ограниченного отобраяения пространства Ц^СЭс) на /1 (©_) . Обратно, для любой функции, Ч'ё А(&) существует такая функция I , принадлежащая пространствам Мпри всех $>0 , утя которой <3"|!| - ^ . При этом отображение f-г^ { непрерывно

а А(9) в •

Специфический вид теоремы о -следах позволяет показать, что шоясенне , ¿>5 непрерывность которого утверада-

!Т теорема 6, не является вполне непрерывным. .

В восьмом параграфе доказывается следующий результат. Теорема 8. При четных оператор А г и ->/1 и « /¿3 ¿л и^ д (

епрерывно отображает пространство - М^СО-о) в пространство

набяенное топологией прямого произведения. Существует непрерывный б ратный оператор, ос.ущес твляющий обратное отображение .указанных ространств.

В параграфе девятом с использованием теоремы 8 доказан следу- . Чий основной результат третьей главы. Пусть Р(0- полином сте-зни с комплексными коэффициентами. Рассмотрим краевую задачу

еД^! /=£>..,,

° (28) ^ У,* обозначают граничные дифференциальные операторы порядков и < О с коэффициентами из Пусть выполнены два усло-

и: .

5гС четное, »у * 1,

краевая задача (26,27) имеет }

единственное решение , если V (30)

Теорем 9. Пусть выполнены условия (¿Р),(30)_и пусть

Тогда краевая задача (26-2С) имеет единственное решение и£ М

причем отображение

{и Ц'М^'И-*" непрерывно из

пространства /^Ц Ш)

с топологие-Л прямого, произведения в

МЫ»).

штат по теле десеивдщ

1. Катрахов В.В. О задаче на собственные значения для сингулярных эллиптических операторов // Докл. АН СССР.-1972.-Т.207,Р 2.~ С.2В4-2Б7.

2.- Катрахов В.В. К теории уравнений с частными производными с сингулярными коэффициентами // Докл. АН СССР.-1974.-T.2I8.PI.-C.17-20.

3. Катрахов В.В. Спектральная функция некоторых сингулярных дифференциальных операторов // Диф. уравн.-1976. -Т Л 2, . -С. 1256-1266.

4. Катрахов В.В. Операторы преобразования в теории одномерных псевдодифференциальных операторов П Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики (материалы советско-чехословацкого совещания) Новосибирск, 1979,-С.72-75.

5. Катрахов В.В. Операторы преобразования и псевдодиф^еренциаль-• ные операторы // Сиб. матем. яурн.-1960.-Т.21,1,-Т.-С.£6-97.

6. 1Сатрахов В.В. Изометричные операторы преобразования и спектральная функция дня одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов // Докл. АН СССР.-19£0.-Т.251,1?5.-С.104о-10о1.

7. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся уравнений // Докл. АН CCCP.-ICo0.-T.25I, Ш.-С.1226-1300.

6. Катрахов В.В.. Общие краевые задачи для одного 1сласса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Матем. сборн.-"' 1980. -Т. 112,1 33. -С. 354-378.

9. Катрахов В.В.' Сингулярные краевые задачи и операторы преобразования И Корректные краевые задачи для.неклассических уравнений математической физики.-Новосибирск,1961.-С.67-91. . ■ ' -

10. Катрахов В.В. ОЙ одной краевой задаче для уравнения Пуассона // Докл. ЛН СССР.-1681.-Т.259,115.-С. 1041 -1045.

11. Катрахов В.В. Метод операторов преобразования в теории общих весовых краевых задач доя сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений С параметром // Докл. АН СССР.-1982.-Т.266,

. К.-С.1037-1040.

12. Киприянов И.Л., Катрахов В.В. Краевая задача для эллиптических уравнений второго порядка при наличии особенностей в изолированных граничных точках //.Докл. АН CCCP.-I9c4.-T.276, К.-С. 274-276.