Сингулярные интегро-функциональные операторы с необратимым сдвигом в обобщенных пространствах Гельдера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ имена В. И. РОМАНОВСКОГО

На правах руаспнсл

МАМАТОВ ШАМСИДИН КАРШНЕВНЧ

СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГР0-ФУНКЦИ0НАЯЫ1ЫЕ ОПЕРАТОР^ О НЕОБРАТИМЫМ- СДВИГОМ 3 ОБОБЩЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬДЕРД

01.01.01 — математячесянй яп*™-,

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на сопспанле ученой стелена кандидата фнзико-матеятатэтескнх вдув

, ХашЕми 1892

' Работа выполнена в Отдалении гидроакустика Морского гидрофизического Института аН Украины.

Научьый руководитель: доктор $изико-4Штеуах2ческих наук, пра$&ссор Г.С.ШГГВИНЧУК

Официальные оппоненты:

• доктор физикс-^атематнчеокиг наук, ■ • Н.Н.ГАН11Х0ДМЕВ, . кандидат фиаико-ицтеыатических' наук, доцент Т.Т.ТУШАТОВ

Ведущая организация - Белорусский государственный университет имени Б.Й.Ланина

Защита диссертации состоится "_6 ____ 1832 г.

1 h(H>

в J~ часов на заседании специализированного совета К 015,17.01 в Институте математика иьена В.И.Рошшовскпго АН Республика Узбекистан по адресу: 700143, г.Ташкент,143, уд. й.Ходяаева, 29.

С диссертацией ыожно ознакомиться в библиотека Института математики имени В.И.Романовского АН Республика Узбекистан.

Автореферат разослан

3 ____ 1992 Г.

Ученый секретарь . 'специализированного совета . • • ■ .

кандидат фаз.-ыаг.наук -k^L- А.Н.СТАРЦЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

^Дьк^т уальность темы. Теория сингулярных интегральных операторов я соответствующих им уравнений, у которых линии особенностей ядер задаются отображениями (сдвигами) кривой интегрирования на себя, является актуальным разделом теории интегральных операторов с развитыми методами исследования и широким кругом специфических проблем»

Исследование сингулярных интегральных операторов со сдвигом (СИОС) на основе получения качественной- характеристика - построения теории Нетера при различных предположениях относитачьно пространств функций, несущего контура, сдвига я коэффициентов в течение последних тридцати лет неизменно привлекает внимание многочисленных исследований. В их числе Г.С.Литвинчук, С.Г.Самко, В.Г.Кравченко, Ю.И.Карлович, Н.К.Карапетянц, Н.Я.Крупник,В.И. Няга, А.П.Солдатов, Р.В.Дудучава, А.Г.!.йс1ШКОв, JI.H.Сазонов,В.Н. Ссглекюта, А.Б.Хевелез.Ю.Д.Латупнин и др.

Подробное изложение и историю вопроса, а также библиографию доведенную до 1975 года, можно найти в монографии Г.С.Литзинчу-ка*). Там жз указаны разнообразные приложения к теории упругости, гидромеханике и т.д. Отметим также обзорную статью Ю.И.Карловича, В.Г.Кравченко, Г.С.Лятвинчука2^, как дополнение к монографии Г.С. Литвиячука, в которой собрана библиография вплоть до 1983 года.

Пусть - простая замкнутая гладкая ориентированная кривая комплексной плоскости, cl - диаметр Г • Через ЯР обозначим класс неотрицательных функций О заданных в проме-

жутке (.0 ,d] и удовлетворяющих условиям: а) СО (.&) является модулем непрерывности;

1) Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука. 1977. - 443 с.

2) Карлович Ю.И., Кравченко З.Г., Литвинчук Г.С. Теория Нетера сингулярных интегральных операторов со сдвигом. // Изв. ВУЗов. Математика. 1933. Л 4. С.3-27.

В качестве характеристик непрерывных на Г

г~

функций ЕЫбй-

раем модуль непрерывности

Скахыа £ ^cu^^ ' если она определена на Г и

II 5IIJ1« {sap(coCS,5) CcüCS))M): 8e CO.cl]] <+ .

Класс H (Г) с нормой Ii5Ц г - IUI! + Ш стано-

Н^сГ) . Cd) со

вагся банаховым пространством. Назовем ее обобщенным пространством Гальдера. В частности, если occS) = SJ (Ocj4.<-i) ,то

Н С Г) превращается в обычное пространство Гельдера И С Г) • со у axm г " S*-

Обозначим через п О) - совокупность матриц-функций

порядка Пхт. с элементами из Н сП) Н С Г) = :

СО СИ 1 1-1

иЬеНсГ), Ш »iAJ^H^^T^

L со L н 0 Б-»0 00(6)

существует для любогс положительного постоянного К, ] .

Б диссертации изучаются сингулярные интегральные операторы со сдвигом .

и=К,Р++К,Р (и

и

и^осд. а')

где

к =CLI - d.W,

l\ L t

(2)

^ CO

ЭС =1а.¥, т>и .1НД, (2-) I ¿=0 А "

Р+ = (.1 -Ь) , I - товдественкый оператор, Б - оператор сингулярного интегрирования вдоль гшданутоЗ кривой Г с ядром Кода, \А/ - оператор сдвига: с\А/ ЫЬ = К<^) Л £ I •

зедполагается, что об является N листное накрытие (сдвиг) , 1 W < со , N £ М , ol'c.t') -F 0' . "t € Г , не имеющим блуж-

ающих дуг, удовлетворяющим следующим условиям:

1. Сдвиг оС ссхрзачет ориентацию и не имеет периодических юков.

2. Сдвиг оС сохраняет ориентацию и имеет периодических юков без карлемэновских дуг.

3. Сдвиг cL сохраняет ориентацию и имеет периодических заказ с харлемановскими дугами.

4. Сдвиг оС изменяет ориентацию.

Напомним^, что периодическим блоком отображения напвается такая максимальная по включению открытая дуга на Г , узенле на которую некоторой итерации оС является ее диффео-ор^пззлсм; олуядаюлэй дугой называется дуга, орбита которой е иг.теот самопересечений и не пересекается ни с одним из перис-ических блоков; дуга называется кардемановсксЗ, если сужение екоторси итерации с^ на которую является ее тоздестзенныц

еоморф я змом.

Оператор U рассматривается в Н С.1) , СОЕ^ . Б этом слу-ае предполагается, что OL.^ , d-L ё Н сГ") ,1 = 1,3.. Рассматривая оператор U в Н сЬ требуем, чтобы &. ,1=1 А",

СО ,1 Л.Х П. j

= 0,т. ,УПг1 ,УГ1еЖ , принадлежали И С Г) СО еФ

со ' °

Нетеровость4^ СИОС (I)-(l') з случае, когда сс, - обратите отображение, исследована наиболее полно. А исследований ннгулярных интегральных оператороз с необратимым сдвигом СИОНС) только начинается. В этом направления первый шаг был делан Ю.Д.Латуажпшм3^ в пространствах Lp С. Г) , 1 < р< со . ¡опрос о получении критериев нетерозости операторов (I)-(l') : необратимым сдвигом в обычных и обобщенных пространствах Галь-;ера до сих пор оставался открытым.

i) Латушкин Ю.Д. Сингулярные интегральные операторы с левзаим-

нооднозначным сдвигом. Одесса. 1931. Канд. дисс. __

О Оператор U называется нетеровым, если Ivn-U^InvU и cUm-KetU < со , dxraCoKiiO — со

Этот вопрос ставится впервые в настоящей диссертации. В последнее время все более интенсивно исследуются фунта нальные операторы (СО) вида (2) - (2') с необратимым сдвигам. Такие операторы играют важную рель в теории динамических систем, в эргодической теории и т.д.

По существу в основе исследования но нетеровссть СИОНС ле жит изучение непрерывной обратимости ФО с необратимым сдвигом что, естественным образам приводится к изучению спектра опера тора взвешенного необратимого сдвига (ОВНС) вида

т, -

где ^ - оператор умножения на некоторую функцию. Таким образом, изучение ФО и ОВНС представляют собой актуальную задачу. Исследования в этом направлении только начинайте

Цель работы - построение теории Нетера СИОЕС

(I) и (I ) в обобщенных пространствах Н С Г) и И (.Г)

со оо

соответственно; получение критерия обратимости ФО (2) с необратимым сдвигом в пространстве Н^сГ) ; условия обратимости ФО (2') с необратимым сдвигом в пространствах Н С Г) ;

Со

получение формулы вычисления спектрального радиуса и описание спектра ОВНС в Н сГ) , СХ> 6 ЯР„ .

СО ' °

Методы исследования. В диссертации при. меняются метода теории нормально разреоимых, интегро-функцио-нальных операторов.

Научная новизна и практичео-кая значиыость работы. В диссертации основными научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:

1. Критерии обратимости ФО (2) с необратимым сдвигом без периодических блоков, в обобщенных пространствах Гельдера.

2. Критерии обратимости ФО (2) с необратимым сдеигом, имел ¡цяы периодические блоки в обобщенных пространствах Гельдера

Н с'П.соеЯР. .

3. Условия обратимости ФО (2*) с необратимым сделгом в обобщенных пространствах Гельдера Н СП

4. Критерий нетеровости СИОНС (I) без периодических блоков в обобщенных пространствах Гельдера , 00 €

5. Критерий нетеровости СИОНС, имеизам периодические блоки в обобщенных пространствах Гельдера ^^^ ")

6. Условия нетеровости СИОНС (1.') в обобщепных пространствах Гельдера И С Г} , 00 € .

со °

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсугдалясь на Одесском городском семинаре по краевым задачам и сингулярным интегральным уравнениям (руководитель - проф., д.ф.-м.н. Г.С.Литвинчук), на семинаре по Функциональному анализу и математической физике в Самаркандском госуниверслтете (руководитель - профессор, д.ф.-м.н. Ш.Я.Ярму-хамедов ); на городском семинаре по дифференциальным уравнениям с частными прсизводннми з Институте математики имени В.И.Романовского АН Узбекистана (руководители - академики АН Узбекистана Салахитдинов М.С. и Днураев Т.Д.).

Результаты диссертации частично докладывались на ежегодных конференциях профессорско-преподавательского состава Самаркандского госуниверситета (1987-19Э0 гг.), на Всесоюзном семинаре-совещании молодых ученых "Актуальные вопрос комплексного анализа" (Ташкент, сентябрь, 1985 г.), на И Уральской региональной конференпии "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Уфа, 1986 г.), на научной конференции молодых ученых "Современные аспекты математических и физических наук" (Самарканд, 1988-1990 .гг.).

Структура и обьем работы. Диссертационная работа излсяеаа на 151 странице машзнопзсного текста и состоит из введения, трех глав и библиографии. Библиография содержит 73 названия.

П у б л и к а ц и и. По теме диссертации опубликовано 3 работ,' схватываниях основное содержание диссертации»

СОДЕШШЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дан краткий исторический оозор работ по исследуешь проблемам, обосновывается тема исследования, излагается краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена исследованию операторов необратимого сдвига и взвешенного необратимого сдвига в Н сГ) и

н> •

Первый параграф носит вспомогательный характер. Он состоит на двух пунктов. В первом пункте приводится определение и некоторые свойства обобщенного пространства Гельдера Н^сГ) ,

определение подпространства И ^ С Г; Т) .

Пусть I - множество фиксированных точек Г . Скажем,

что функция £ Н^сГ) принадлежит в пространству

Н еГД) , если Для всех Т. £ Т $-СО=0 .Нормы

11-11 . и Н- Ii = • 1| эквивалентны в

НшсГ, • Н^сГЛ) ш

Н° сТ.7) ..

ш

Во втором пункте цриводится классификация и некоторые свойства необратимых называющих отображений Г на себя. Объединение всех периодических блоков обозначается через i2> а обь-1 единение всех йлукдашцих дуг отобра&еная оL - через

Сказам, что отображение оL удовлетворяет условию (*), если на Г нет ДУ^и, для которой сукение сL является кар-лачановским (периодическим) диффеоморфизмом.

Мнокество неособых необратимых конечнолистных сохраняющих ориентацию С* отобрааений Г на себя подразделяется на четыре класса. К классу I отнесены отображения, у которых , (Е>=Ф ; к классу и - такие, у которых Л -Ф , jB> Ф и которые удовлетворяют условию ( ); к классу XXX

_ отображения с $ = ф . & * Ф . но для которых условие ( * ) не выполнено. Отображения класса Х'<Г определяете условием ф . в диссертационной работе не рассматрива-

штся. /

_ э _

Во втором параграфе з Н^сГ) , С0&ЯРо , рассматриваются операторы необратимого сдвига \АУ и ОВКС Т^ = ^W ОсЬ,€.Н С Г) , cL - отображение класса I-ITT. . В п.

2.1° показано, что оператор \Л/ ограничен в Н^сГ} (лемма 2.1). В отличие от диффеоморфяого случая, оператор \Д/ обратим в Н (.Г) только слева и имеет бесконечномерное коядро. - _

Пусть Г. -множество неподвижных точек на 1 ,

к» со

oL^á) = Ы. CáKMcb) < ice Jtf . i £ Г, F = у F^ , Т - грана-

ia множества F Г\ . Для отображений класса X ,

'Де X - любая фиксированная неподвижная точка oL на Г .

¡ п.2.2° вычисляется спектральный радиус ОВНС в Н^сГ,^),

Н сГ.Т) и Н СЬ , C0€.°R , для отображений класса СО

Для acbeH сГ) обозначим: qd) =1асЪ1-^тп ,

3 СО 3 1о Ч^о сое?)

К-1 ^ ни

Q сЬ = п QCoUb) , G, cb = П Q (Л <А>) ДеГ,

* J к- «l

R. CCQ) = Ьм. vnXLxí Gt \

со * K-»co teC l K. j » Ry SC9) = Su,p m.ox \ Gi cc)\ tc

иигтеЬ;аРч 4 1

■С ь.

— пераодическай блок, L. — период

пока В. , Z - число периодическая блоков, \ ^ Z ^ 'оо .

L

зказаны следующие теоремы.

^Теорема 2.1. Спектральный psXzyc сператора Т"^ » i сГ/о л Н°сГ ТусоеЯ3 вычисляется соотватсг-

СО Со > в

В6НЕ0 DO формулам

R, - fW *»tax(Gi cb\ ,,

со % к+со ter 1 (2<

Если oL - отображение класса 1 , то

D _ \ V,

R. C~b = s^p SOLpI G ct)l <=Eu»i «iaxJ&cl>\

со ъ K.eJV tfe F fi-co terL

K.

Теорема 2.2. Пусть - отображение класса X ,

Спектральный радиус оператора Тп в г! С Г) , СО t 9Р0 вычисляется по формуле 3 00

R. cTQ> = supsap col •

со м к

Теорема 2.3. Пусть d - отобраяенлс класса 1Т-ХХГ . Спектральный радиус оператора

Т0 в И СЬ

00бЯРо, вычисляется по формуле

& До = raO.*^ R^CC^ ,

coCloi-t-COi-o) </Р

sap «tax ПС ct>l max (A. urn.---^—-)] ч

В § 3 в пространствах Н сГ.т) и R С Г,7) ра

со со

К Тп ое Н С Г> . СО £ ЯР

сматриваетса ОВНС , П^

Пусть оL - отображение класса X-ttX. . Для отобрзя класса ХГ-ГХГ лредполоким, что число периодических блок ■ отображение oL на Г конечное: А Z <■ со , CRKK>

совокупность непрерывных нз Г матриц-ЗУ"*1^' порядка У1>

СО - спектральный радиус ".гатрицы (_-) . Справедлива

зедующая

Теорема 3.1. Дл* спектрального радиуса йперато-1 Т^ в пространстпах ^ф^-^Т) и П^сГ^) верны.

ответственно оценки

V

о ** К»

№ с J •

^ а*.«.

со d Aiisct6a.aFl,r \ Ч^о cocs^ J .

_ K-1

Q = П gccuh) > Q cU -IIП Q(d.cb)l|

i-Q i К- j-Oa i Ctlxv\.

* * V S-^o COCS-;

U.XYV

Вторая глава (§ 4 - § 6) посвящена исследовании функцио-

льных операторов в пространствах Н С Г) и Н "" С Г) от-

Со , со

чающих соответственно операторам (2) и (2 ).

3 § 4 изучается обратимость ФО тяда (2)

к - а! - a w

зрострапстве Н , СО & °R ч сс сдвигом класса Г .

Со ^ г—

3 п.4.1° доказано при О ,г£ Г^ Н (Л) дос-

° . се

таточное условие обратимости слева в И сГ) оператора

А = X - Т^ 2 описано ядро левого обратного к оператору

А ь случае, когда он сбратам только слева. Б качестве

следствия описан спектр Т^ в Н Г) _ о) £ 9Р0 . в конце

пункта приводится обобщение этих результатов на случай конечномерного многообразия Г . с его необратимым растягивающим

конечнолкстным С - отображением на себя.

В § 4 основным утвергсдением является следующая Теорема 4.2. Следующие утверждения эквивалентны:

1) оператор К. обратим в Н (. Г} СО с ;

со °

2) дая асЪ.скЬб Н С») выполняется

си _

( I ) ас-Ь --р О , 1е Г ;

(II) с"Ь < 1 , а ш

где — .

В пятом параграфе подучены необходимые и достаточше условия обратимости ФО К = а1- сШ ,ас-Ь,скЬ е НсГ), со сдвигам класса 11-111 . В п.5.1° описано ядро (коядро) сужения оператора А = X - Тд на пространство обобщенно гельдеровских функций, заданных на периодическом блоке отображения оС

В п.5.2° и 5.3° приводятся основные утверждения пятого параграфа.

Теорема 5.3. Пусть <х - отображение класса IX . Следующие утверядевия эквивалентны:

1) оператор Г\ - обратим в Н сЪ .соеЯР-.

2) выполнены условия

. а) сиЬ ф о . -ье г,

б) А.со ФХ>.сс),хбТ. 1= ф , \*г*со, Ч Ч

- 13 -

а) R.° СТ^) = у>гах| К.^Ссф, RjS>CO^ с 1 ,

сх> * ^ Си

где Ае , Dl определяются по коэффициентам & и d i , ,, v * rl

зператсда К аналогично йункцией G , Q = ■

к- d а

В качестзе следствия описывается спектр Т_ в

Н сГ^ шеф. ^

со ' °

Следствие 5.2. Пусть cL - отображение масса

IX . Спектр оператора TQ в И С Г) таеет вид

з со

_ о t _

ьреЬ

g1- оо 4 J ^ LJ

Пусть 'd. - отображение класса XXX , В с _ периодический блок периода Т^ - множество концов_кардема-ювских и нскардемановсках дуг на В, Вг=ЫсЫ\В -кЗьедянение открытых дут на которых оL деЗствует, как карле-

[эновский диффеоморфизм. Для Qc-fc^ € Н ch обозначим:

о со

= U ¡G сос c4»j и В\ BF,

Е- К.-» ±оо I к _

де оL при К>0 - тот прообраз UB , которой

ринадлежит U С В) . Для функций &(А) , с). Сс) 6 _ j=o i

- Н CI) введем множества со

_ +

В> ={teBNlaUBaf): А'сЬ^В'сЦ В*1 =

-- А<

t I

десь знак " + " и " —" и 1ст ss в лево3 и ДРаБ0-*

псих указанных неравенств, A ТХ определяются гна-

СГЙЧНО чл

г- и G

к,

На коэффициентам СХ и ¿1 оператора К определим яа В функцию <0 , с равенством

о

( А сЬ -ХК-и &Р С»1аЦЫ\Р))

I . I

>

еж- ^

А^Ь , иВ'

Т\сЬ , * е

Теорема 5.4. Пусть об - отображение класса XIX. Следующие утверядения эквивалентны:

1) оператор К обратим в Н <-Г) , со е °Р0;

2) для функций йс^ , сА с-Ь^ 6 Н сГ) выполняется

со

а) Аь СТ-) ф Г> со , хе^ , 1=и 1 I *-

«

о) асЬ т0, = Г \ & ;

в) , :

г) б сЬфО , -Ье&. , 1=Т7г о.

I.

Спектр оператора Т в Н 5.Г) со сдвигом класса ^ со

XXX описывается в следующем

Следствие 5.3. Спектр ОВЕС Тп в Н сГ)

является объединением круга радиуса К. С С ; концентри-

Со

ческих колец, заключенных между окружностями радиусов

СЬ") I где (.Т , - компонента связности В»"4 Г") • & - периодический блок периода Р, - дуг

^^ : т £ X ^ , "5" ~ компоненты связности

ВР и точек ^^т") : X € , где -множест-

во концов карлемэнсвскях и некарлемановскцу дуг на В с .

В конце параграфа в качестве следствия теоремы 5.3 полнены критерии обратимости оператора К в пространствах с

весом Н с Г ; р) и Н С Г •, Р-) сОбф , где

СО О) > О

Н^С Г ] р) и И С Г; р) - банаховы пространства функций, которые досле умножения на вссовую функцию р (А) стано-

вятся функциями, принадлеяащими пространствам

00

и Н ^С Г) соответственно. При отом предполагается, что

гес pet) удовлетворяет условию: рсЬ/^ЫСЪ) сГ^

сL имеет конечное число периодических блоков и па каждом пз блоков является ;у4феомор£измом с конечным числом а ер;; одических тачек. Лг. г ^ U ^ г-

В § 6 в nDOCTDaHCTßax П Cl,i) и П С1) »

m СЛ 00 I

СО С т. получены условия обоатимости ФО елдэ (2 ) с

0 * м П.ХЯ * г-

коэффициентами из класса П ^ СП в случае, когда отображение оI из масса Х-Х1 .

Третья глава (§ 7 - § II) посвяцзна изучению нетеровости СИОНС (I) - (I*) в пространствах Н С Г) и Н С Г) ,

СО Си

П.-г-1 , соответственно. СИОНС с сохрончэдям ориентацию контура необратимым сдвигом исследованы в §§ 8-10. Теперь предполагается, что ot'cb е Н сЬ ДеГ.

со

В § 7 доказывается компактность в Н^сГ) коммутатора W 5 - S W И приводятся кекотсрие свойства нетерових сингулярных интегральных операторов со сдвигом. В § 8 доказаны

Теорема 8.1. Пусть сС - ссхрзячз;:е ориентацию оюбр'лгипо клпсса X . Сяедумдае утвердами ькзттпа-

н:.сгл)

дентвд:

1) СИОНС I) » К, Р+ + К^Р. нетерав в Н С Г} ,

соеФ0-,

2) ФО К. Обратив Н С Г) , ООьФ' С--1Я-,

I. со ° '

3) для функций а cb.ci.cb е н сГ) , I =1,15 выполняет-

I со

ся

а) а.сЬ ДеГ-, б) Я

00

где О сЪ -—г , Л. А.-

При выполнении условий I) - 3) индекс оператора и вычисляется по формуле

через \ • ^ обозначено приращение функции вдоль Г . 1 ^ 9-,

Следствие 8.1. Пусть ос - отображение класса I, а.сЬДсЬеН >и -ЬеГ.

и ' С СО С 'I

Оператор и является т^. - оператором в

Н сГ>

• если

и только если К-^сТ^") 1 , 1='\Д> и по тайней мере для одного 1= ^ И выполнено

Я сТ0 > \ , где О = ^ со ^

= ■ (напомним, что Яр+ - оператором называется

нормально разрешимый оператор с конечномерным ядром и бесконечномерным коядром ).

Следствие 8,2. Цусть о(, ~ отобрааения класса 1 и (ХдАл+О , а., -Ье Г. Оператор и является с| - нормальным тогда и только тогда, когда он нетерав

( с! - нормальность оператора и означает его нормальную разрешимость и конечномерность .¿го коядра).

В § 9 получены критерий нетеровости оператора и с необратимым сдвигом класса 11-1X1 . 3 п.9.1° доказывается

Теорема 9.1. Пусть со - сохраняющее ориентацию отобраяение класса II . Следующие утверждения эквивалентны:

1) и нетеров в Н С Г) , СО £ •,

со

2) К. обратим в н

ь- со 1

3) для функций О. с^-) сА.сЬ £ И сЬ выполняется

I ^ со

а) алЬ ^ О , -Ь£ Г , 1= л.а. ;

I

о

где =

ч а.ь

При нетеровости оператора и в Н сЬ

со

ЪгсШ

¿л 3 сцсЬ-3 г "

3 п.9.2° доказываются необходимые и достаточные условия нетеровости оператора О в Н сЬ , сое°Р0,

СО

со сдвигом масса XIX

Пусть 3" -множество концов карлемановсюпс и некарлемэ-новских дуг множества .

Теорема 9.2. Пусть оС - сохраняющие ориентации отображения класса 1X1 . Следующие утверждения эквивалентны:

1) оператор U нетеров в Н^сГ-) , СО £

2) операторы К, , Кг обратимы в Н^С Г,3)-,

3) для функций CL.cb ,с1.сАлв ^^^ < выполняются

t CO L UL Ц,-

в) <3\ to.. + О ^иб.^Вс^.а-^Л^.^Ч

D. 1 Л i

i

где функции определены выше.

.При выполнении условий а) - в) индекс оператора вычисляется по формуле

а. • г.

ЫО

L £ i j

В § 10 формулируются условия нетеровости и указывается

формула дня вычисления индекса оператора (I') в Н (_Г) с

I со

коэффициентами вида (2 ).

Одиннадцатый параграф посвяшен исследованию сингулярных интегральных операторов с необратимым сдвигом, и&ченяющим ориентацию, контура. При этом указывается нетеровый одновременно с ним и имеющий тот же индекс СИОНС, сохраняющий ориентацию контура.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

I. Латушкин Ю.Д., М а м а т о в Ш.К. 0 спектральном радиусе оператора взвешенного растягивающего сдвига в пространствах Г ¡лъдерр.// Функционально-дифференциальные уравнения. Пешский политехнический институт. IS85. С.50-53.

2. Л а 1' у ш к п н К).д. .Канатов Ш.К. О спектре оператора извещенного неоднолистного растягивающего сдвига"

в пространствах Гельдера. Тезисы дога. Всесоюзного семинара молодт ученых " Актуальные вопросы комллЗксного анализа". Ташкент: 1985. С.71.

3. Л а т у ш к и н ¡Л.Д., М а м а т о в Ш.К. Об операторах с необратима» растягивающим сдвигом в пространствах Гельдера. // Дифференц. уравнения. 1967. Т.23, Л 10.С.1807--1809.

4. Латушкин Ю.Д., М а м а т о в Ш.К. Сингулярные интегральные операторы с необратимым сдвигом без блуядаэ-цлх дуг в пространствах Гельдера.// Изв. ВУЗов. Математика. [987. Л 6. С.79-82.

5. М а м а т о в Ш.К. О спектре одного оператора, дороя-1енного эндоморфизмом гладких многообразий в обобщенных про-;трапстзах Гельдера. Тезисы докл. научной конференции молодых ученых "Современные аспекты математических и физических заук". Самарканд: 1988. С.12-13.

6. М а м а т о з Ш.К. Сингулярные интегральные операторы необратимым сдвигом в обобщенных пространствах Гельдера.

Тезисы докл. П городской научно-теоретической конференции галодых ученых и специалистов. Самарканд: 19Э0. С.31.