Сингулярные краевые задачи для уравнений математической физики с операторами Бесселя тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АО

акадешр нш лзбейстана

институт математики

Имени В.И.Романовского

На правах рукопиои

ХЕ Кан Чер

сингулярные краевые задачи для уравнения шшшическор «юики с операторами бесселя

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ташкент - 199Т

Работа выполнена в Хабаровском политехническом институте

Официальные оппоненты: член-корр. АН Казахстана, доктор I зико-математических наук, лрофесс Т.Ш.Кальменов,

доктор физико-математических наук В.В.Катрахов,

доктор физико-математических наук профессор И.М.Петрушко.

Ведущая организация - Институт математики СО АН СССР

Защита состгмтся " ¿е. чао с О мин на заседании Специализированного Совета Д015.17.02 по защите диасертаций на соискание ученой степени доктора физико-математич.¿ких наук в _Инетитуте математики •_ им. В.И.Романовского АН Узбекистана по адресу: 700143", Ташкент, 143, Академгородок, ул. Файзуллы Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. В.И.Романовского А" Узбекистана.

Автореферат разослан " ¿>к(г^199Л г.

Ученый секретарь Специализированного Совета, доктор физико-ыатемг тических наук

Б.В.Логано

rrSW.fSUÎ:^'.

v ; •

! «a. ï.; .5US3 I Отдал диссертаций

ОЕЦАЯ XAFAKTEPKJTilKA ГЛБОШ

Актуальность теш. Уравнения математической физики о опе-тораки Бесселп относятся к классу гпро'.хдаюгцихся дд1|йер<.':;.ц'л-ьних уравнений, для которих теория краешх задач в настоящее емя является о,цн!гы из заршейшх разделов теории днфференца-ьилх уравнений о часттл.гл произподньъгн. Это объясняется кок утреннкш потребностями теоретического обобщения класспчес-х правках задач для уравнений математической фисики, так и |;п£лад!2г.1 значением, поскольку гырк/сдаюпреся д1гзфереш1И--1мп>!е laBHviimn с частными производными связаны с задачник газовоЛ ;нал.!И!Ш, теория упругости и многими другим вопросами ь.охглики.

Первые исследования по Епрсху-дкс^нся уравнениям пршюдлежат ЗЛлеру, С.Цуассону и Г.Дарбу.

В двз,щатаа годи налего столетня З.Тр;:коми для ураш'вгая ю'ланного типа

шал систематическое исследование краевой задач:!, называемой ;йчас его именем.

Урашекие (Т) заменой переменных преобразуете« а ураш;£~ :е с оператором Бзсселя: t (31 h s'ont- г(хх О.

злее теория урашзшй .смазанного типе, распивалась Е.Хольмгрз-;м, С.Геллерсгедто.ч, 5.И.-2рьнклем, П.йзрмеиои и Р.Бздэрои, .Н.Векуа, К.И.Бабенко, М. А. Лаврентьева и А.З.Енцадзе, Л.З.Ов-яягакошм, В.Л.Аахайлокд а инокам уатенатлкс.'.:::.

Бокал этапом в развития теории краеeux задач для еллипта-зских уравнений, шрофавдихзв на границе области, пишась абота М. В. Келдыша (1951 г.). где замечено, что кргагыэ задачи, орроктно поставленное для строго эллиптических уравнен», зо-осэ гог.орп, становятся некоррекигл/и для г^фоцдж'гихс;! на гра-:п;е сблас:;; эллиптических урпгазлиП, н на постановку задач уг.есть-шно качш&з? влиять гладкие коэ'Мчвдеига. Там ез пока-яно, что линия п:ро;.\аен:ш в некоторых случаях до^ гла быть зободной от краевых условий, соли реознкя задачи лдр'хся з

классе ограниченных функций. Для вырождающихся гиперболических уравнений второго порядка И.С.Березин (1949 г.) привел пример некорректной постановки классической задачи Кош. Затем теория краевых задач для различных вырождахвдкся как эллиптических, так и гиперболических уравнений развивалась и обобщалась в работах целого ряда известных математиков,. в том числе М.И.Вишика, Л.Д.Кудрявцева, С.А.Терсенова, И.А.Киприянова, С.М.Никольского, П.И.Лизоркина, О.А.Олейник, А.Б.Нерсесяна, А.Вайнлтейна, М.Прот-тера, Чи Мкнь-ю, Р.Конти, Г.йикера, Г.Д.Каратопраклиева, Î.Î.M. Смирнова, М.С.Салахитдинова, Т.Д.Ддааева, А.М.Нахушева, Н.Р. Раджабова, fi.Т.Барановского, В.Н.Врагова, Н.И.Попиванова и многих других.

Большинство публикаций по вырождающимся дифференциальным уравнениям с операторами Бесселя посвящена в основном, первой краевой задаче или смешанной задаче, аналогичной задаче Холь-ыгрена для уравнений эллиптического типа или задаче Кош для гиперболических уравнений с одним оператором Бессзля (например, в работах А.Вайнлтейна, Л.Д.Кудрявцева, И.А.Киприяноза, С.А.Тер-< сенова, Н.Р.Раджабова, S.T.Барановского, В.В.Катргцсова.и др.).

Не рассматривались вопросы корректной постановки задач Коши,Кошн-Гурса^ Гурса и смепанной задачи для гиперболических уравнений с оператора!® Бзсселя по двум и более переменным без ограничения на параметры в операторах Бесселя и краевых задач для эллиптических уравнений с операторами Бесселя, обобщаицие условия Дирихле и Неймана, а на гиперликиях, гипертечках и т.д. вырождения - краеше условия, позволяющие расаирить класс до-лустишх решений. (В дальнейшем краевые задачи, отличные от классических постановок, будем называть сингулярными).

Одной из причин такого положения, по-гадимому, было отсутствие подходящего метода, специально предназначенного для изучения сингулярных кргэвых задач для уравнений математической физики с операторами Бесселя-. '

В 1951 г. М.Проттерсм рассматривалась одна краевая задача (назовем задачей Дарбу) для волнового уравнения в пространстве, а в 1957 г. Тонг Кванг-чангом били приведены пржеры нетривиальных решений этой однородной задачи. Поэтому краеше задачи для

полногого уравнения, корректно постааленшз на плоскости, восС;^ говоря, пер-5итакг быть таковыми и пространстве. В сияпп и г<тнм позннкаег проблема рияснения природн некорректнеети за-,ипчи Дарбу для гиперболических уравнений в пространство и проблема выявления достаточных: условий одикстезкности уставы задачи Дарбу-Проттера.

Полью работы яачпется постановка и наследование ;.\нгул!>?-ис задач Коим, Ксши-Гурса, Гурса и смешанной за/ют? для гиперболических уравнении с операторами Бесселя, различных крао-вих эодач (обобп;а»2??в классические) длч эллиптических уравнения с операторами Бесселя, аыяснепнз природ1! нехореохтноЯ постановки задачи Дарбу для гиперболических н ультрапшерболнчес-ких (с операторами Бессела или без них) уравнений к пространстве, иахо«дегп:е нетривиальных ресзкиЯ однородных краевых садач для таких уравнешй и корректная постановка к исследование задачи Дарбу-Протгера для полкового уравнение в ггростржо?55.

Сбдая методика исолддоэаккй всех (рг-ссуитригаемы/: в япз-сертгции) эздач есногана на классичзскнх метод"?; ?«нтогралои энерпш и предетавлений теорий потенциала, сфзричсс-

ких функций, тригонометрических рядоз йурье и тцмкцяа окстрэ-мума для гиперболических уравнений.

. Научная но таена. 3 'работе достигнут следуйте основные результаты и все они яачтатся нопл-'н:

1. Установлена негиторие свойства реазнаЛ лишайных уравнений с диффзренциалы1ими операторам:' Есгоела, поззол^згцие иссло-•довать сингулярные краевые задачи для таких уравшк-;*»

2. Коррзктно поставлены к ксследогзш следусндо сумгуяр-,

ные:

а) зачача Копи для уравнений 3&~ерэ.-Пуаасока-Дар(5у и о хратнш дкффз ренциалышм оператором ЭЯл эра,-Пупс с сиа-Дарбу з полупространства; при этом з начальных условиях, з гаггкпгмсс.л от параметра з опзратсре Бзсселя, ногуг входить к нермалъчуэ производное порядка на нихо порчдкя л' Й с т.-с: 1Г1: ел г, п о г о урагнэ-ния; получены оценки реяенхй,

б) задачи Коли, Ксшн-Гурса и Гурса для .г нн=^ных гиперболических урапнениЗ второго порядка с дгтая операторами Бессели я характеристическом треугольнике; при этом для корректности

задач;! Коши-Гурса и Гурса существенны дополнительные уел огня ла граничной точке вырождения порядка урашенип,

в) смешанные краевые задачи для линейного гиперболического уравнения второго порядка с операторами Бесселя по каждой порсмошюЯ на части пространства с полоамтзльньш координатами:

г) задача Коей в полупространстве дьд линейного гиперболического уравнения второго порядка с операторами Беаселя по каждой переменной,

д) первая краевая задача на части шара, граница которой представлена в виде объединения различных многообразий без кра для линейного эллиптического уравнения второго порядка с опера тора;.';: Бесселя в классе функций, допускажцих особенности на гр шще области; при этом порядок особенности зависит от параметр в операторах Бесселя и размерности многообразия, содержащего Гра!шчную точку; дается обобщенная интегральная формула Пуассо получена оценка решений,

е) смепанная краевая задача на части кара для линейного э лшгякесвого уравнения второго порядка с операторам:* Бесселя, когда на граничных гиперповерхностях без края задаются услоси? типа условий Дирихле или Неймана, а на граничных многообразия* меньших размерностей - дополнительные условия, зависящие от параметров в операторах Бесселя;

ж) первая краевая задача в иарэ для линейного эллиптического уравнения второго порядка с операторами Бесселя в классе кусочно-непрерывных.и неограниченных Функций.

3. Указан мзтод нахонденип люгЧно-независюих иетриЕиал: шх решений однородной задачи Дарбу для гиперболических и уль1 рапкперболических уравнений с операторами Бесоеяя; найдена с в таких решений со специальные: функциями.

4. Корректно поставлены и исследованы задачи Дарбу-Прот,г; ра для волнового уравнения в пространстве и получены оцени: реиений.

ТеРЕо^ччаская и практическая ценность. Полученные разуль таты носят теоретический характер. Они могут быть использован для дальнейшего развития теории краевых задач для дифференциальных уравнений, содержащих операторы Бесселя по разным перс менным, а также при решении прикладных задач, приводящих к реикнию таких уравнений.

Агробачия работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах член-корр. АН СССР А.В.Еицадзе, академиков С.1Л.Никольского и С.Л.Соболева и член-корр. АН СССР Л.Д.Кудрявцева (КИ АН СССР), профессоров С.А.Терсенсва, Т.Л.Зеленяка, В.Н.Врагова СО АН СССР, НГ7), академиков АН Узбекистана М.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураева (ИМ АН Узбекистана), члонов-корресподентов АН Казахстана Н.К.Блиева, М.О.Отелбаева, Т.Ш.Кальменова (ШК АН Казахстана, КазГ./), член-корр. АН Таджикистана Н.Р.Рпджабова (Тадж.Г./), член-корр. АН СССР В.П.Ко-робейкикова и профессора С.М.Белоносова (Ш ДВО АН СССР.ДВГЛ, профессоров 1.1.К.Смирнова (ЛШ, Е.И.Моисеева (МГУ), Л.И.Чиб-риковой и В.И Легалова (КГУ), В.Д.Степанова (ИШ ДБО АН СССР, ХПЮ и др.

Некоторые результаты диссертации докладывались в школе молодых ученых Сибири и Дальнего Востока по современным проблемам математики (Новосибирск, 1580 и 1983), Дальневосточной математической школе (1980, Т982, 1984,- 1986, 1988), школе семинаре по уравнениям шклассического типа (Новосибирск, 1980, 1981, 1989), Волжском зональном совещании-семинаре по дифференциальным уравнениям (Куйбшев, 1984), Всесоюзном семинаре по аналитическим методам исследования эллиптических уравнений (Уфа, 1984), школе-сешноре по применению методов функционального анализа в уравнениях математической физики (Улан-Удэ, 1935), Уральской региональной коррекции "Оункционально-диф-ференциальные уравнения" (Уфа, 1986), 3-й шйоле-семинаре "Математически о проблемы экологии" (Чита, 1990), Всесоюзной.конференции "Интегральные уравнения и краевые задачи математической фивики" (Владивосток, 1990), 10-м Чехословацко-советсксм совещании "Применение функциональных методов .и методов теории функций к задачам математической физики" (Старая ЗУра, ЧСЗР, 1968).

Публикации. Основные результаты диссертации ¿публикованы . в работах автора [1-27].

' Структура диссертации. Диссертация объемом. 254 стр. маш. пис. текста состоит из введения, и пяти глав, разбитых на параграфы. Некоторые параграфы, в свою очередь, разбиты на пункты. Нумерация теорем, лета, свойств, формул и т.д. внутренняя для каждой главы. Библиография содержит 161 наименование. .

СОДЕРНАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит литературный обзор работ по теме диссертации. В нем же отмечается актуальность избранной темы исследования и списывается краткое содержание диссертации.

Глава I "Сингулярные зад-.чи для уравнения Э11лера-Дуас-сона-Дарбу" состоит из че- !рех параграфов.

В первом параграфе перечислены основные свойства решени для семейства уравнений

рассматриваемых в односвязной области с вырождением урабнеми на часта граг'.зи^л. Здесь и далее, оператор Бесселя ~

= ' Г'\- = >cJ/9 ь (II линейный one

pa гор Jtl порестановочон с операторами, зависящими от t ,

Во втором параграфе ставится и исследуется сингулярная задача Коки для уравнения Эйлера-Цуассона-Дарбу с нецелым па раметром в с; зц/ьцей постановке.

rt-ctl p'=rm*1 nji^o] , s^p ;

/\Уи^АивС(Р), k=O~I; t^ueClP)]

=о в Р]. (2)

Требуется найти функцию

и £ К (3)

такую, что

где ^ и % достаточно гладкие заданные функции.

ТЕОРЕМА 1.1. Решение задачи (3)-(4) единственно и дается явной формулой

(5)

(5')

Г(Я

при этом имеет место оценка

и«.II . — Л (< _ +

+ ,|3"с to»1'

где М , I ^ - вполне определенные интегро-диффе-

ре!щиальные операторы. , , „ М. + 1

Q(i,x) = f(t,]) б R

Ъ>0, < \ , .

вполне определенная положительная функция,

^ = -{u-m/z 17 et'->Kax\o, m/l]) .

Если f > 1, то для уравнения (2) сингуляр-

ная задача Коши ставится следующим образом: найти функцию

« £ С (Р)

такую, что

Заметил, что если оС = , то задача (3)-(4)

при замене переменной 1" - Я /Г* , I ? О совпадае'

о классической постановкой задачи Коши. Отметим также, что при такой замене уравнение (2) прообразуется в уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу

Во многих работах Вайклтейна А., Карролла Р.В., Шоувалтера Р.Е, и др. исследовалась задача Коти для уравнения (6) с начальными условиям

= 0 .

(7)

Неединственность решения задачи (6)-(7) при < 4/iL

указаны б работах Блаыд Е.К. и Вайнатейна А.,Терсеновым С.Л. для уравнения (6) рассматривалась корректная задача Кош в другой'постш эвко. Например, при s¿ < i вместо второго условия в (7) задается условие вида

с

где Ь (V - вполне определенная функция.

В § 3 рассматривается уравнение (2) с целим параметром

¡I - [ "3 . Введем обозначения: Г ,-7-1

гдз С - произвольная заданная постоянная. Рассмотрим класс функций .

U =ju = -tt(t,jO •• vfu 6 cf (P) : » ,м7 ДЭ и Au. t С (F)

t.oL

А/ а , ДД/ « = An e С (P)

К (при ^ « 0 ) * , 1-

Сингулярная задача Ксши при = Г ^ 1 ^ 1 • Найти решение уравнения (2) такое, что

где (о и ^ достаток ¡о гладкие заданше функции.

ТЕОРЕМА 1.2. Решение задач:! (2), (8) единственно и дается явной формулой через задание функции, при этом ишет место оценка, аналогичная (5').

В § 4 рассматривается в Р сингулярная задача Хеши для гипербодического уравнения с кратнш дифференциальна оператором Эйлера-Пуассона-Дарбу:

мб

'оС

rfe/?, ыеи*. о)

Постановка исследуемой задачи в обп;ем случае я&1яется обобщением классической задачи Нош как для строго гиперболических уравнений шоших порядкоз, так и для не строго гиперболических уравнений. Задаче Коаи для уравнений вида (9) посвящены работа Алдашева С.Л., Гашева С.С., Егорова И.Е., Иванова JI.Я., Куприянова И.А., Смирнова М.М.. Отметим, что во всех вышеназванных работах случай аС-~ i О

ке рассматривало:*.-Цуеть

при и = - П ■+ ио ф [¿1, гРв Г*

Введем при сС ^ 1 классы функций:

К - > К -1 " ' '•

к-а о к-я. д/

V2- V"6 -'

Сингулярная задача Коши при Л 4 \ . Найти решеш ц(<,Ос) уравнения (9) в Р такое, что

е и ^ , (ю

и

к = о, е-1 , <п

0

где ^ ^ К* 0, £•i , ¿=0, У, - достаточно глад!

заданные функции на ^.

Задача (9)-(П) совпадает с классической постановке! в&л^чи Коши, если ~ и при замене перемен-

но?. >£-!№•

ТЕОРЕМА 1;3. Решение задачи (9)-(П) .единственно и выписывается явной формулой через заданные функции, при этом имеет место оценка ^

1|М|/ ¿1^11

Л? = + И1ЛЯ 5 о, С-1- ;

/I ' / ' ~ " * 7 ^

J

и = г«п Ф ф-е, з-е,...,-и 0,1 ъ

^ о< г= г(с) <.

СЖДСТВИЕ. Если с/ >1 ? то существует единственное

ренете И уравнения (9) в Р такое, что .¿И

с К И ^ - с4 11 Удовлетворяет начальн'сл условиям

Глава 2 "Сингулярные задачи для гиперболических уравнений о операторами Взаселя по нескольким переметам" состоит из четырех параграфов.

В 5 I приведени свойства решений для с'емэйства уравнений

Кг** -

1 п

где вектор-параметр ( А ) 6 К , X. >0, у > 0 , 2 6 Г\ ,

линейный оператор сМ перестановочен с операторами, завис яцимк от X и у. Одними из простых, но в то ке время и важнейшими из них являются

СВОЙСТВА 2.1-2.2. Если Ч,1) = 0 и * -

достаточно гладкая функция, то

[язСЭж+^^ + ^л+и-Оз]^ = 0. В 5 2 для уравнения

в завозим ости от и ^ ставятся и исследуются кор-

ректные сингулярный задачи Коии, Кгаш-Гурса и Гурса в характеристическом треугольнике с одной стороной параболического Ецрождекип (12) к одной из вершин которого является начало системы координат, в котором вырондается порядок уравнения (12). Этот параграф состоит из четырех пунктов. Введем сле-дугадее обозначения: область Д - ^ ( эс , «| ) : л> О,

у>0, /л< Л? \ , а> о ^(щ)*

область сл)3° = ЭЛ0\К(/Ц);

классы функций (л) « ? „ ") € СЗД:

/уVе^^>' ^ft3* ^И*ЦК),

3 n.I приводится обзор некоторых работ, относящихся к теории уравнения (12). В частности, если di- ^, то заменой переменных в областях X ф у уравнение (12) сводитеч к уравнению с одной линией вырождения, краеше задач:? для которого изучались з работах Бицадзэ Л.В., Смирнова М.М.. Терсекова С.А. и др. Явная формула решения задач:! Кооя для (12) при ai - J, > i/% в переменных , £ -Я.-^

в £10 с начальными условиями (

дана Левитаном Б.М., Гордеевым А.И. и Макаровым И.А. рассматривались задачи Кони, Гурса и Коди-Гурса для уравнения (12) -в Slg 7 когда , с J < 5/я

и о < , J5 < -i/z, соответственно.

В п.2 исследуется для уравнения (12) в Л^ сингулярная задача Koei. Пусть t¿ =■ - С^ t UQ <ó f

- miLX ¡0, \\7 = - "UK 5 (7, [j^l ^;

(ig : г'-^Ги e с3(л„);

o-3L a, 8 аУц В , ,

У»/ ' X/f,; л Yf ^'1'^ x 7

V*и > : ^ * ^

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть ¿ей, ß* <■ Тогда суг;.2стьуйт единственное ресенло сиигулярнсЛ задачи Калш

где - достаточно гладкие Функции.

В пункте 3 ставятся и исследуются задача КощМ'урга для уравнения (12). Цусть в (12)

■ f > 0<Jb<1. £ = d-lU^R-, (I3) "(b+WvCx.rteC'MnCtf,).

^ i*.}) ■e Vf (SL0) ; А^ (о, O) +

"0 'fo

* • (M)

при £ и , к e {0' и—Л'1]у

ТЕОРЕМА 2.2. -Цусгь в (13) е(0 > , 0<ßo<i, £»i

Тогда единственно ребенке задачи

u 6 » u =|o (15)

До/э.оЛ

1И (вместо (16))

по £ о и ~ заданные функции.

ТЕОРЕМА 2.3. Цусть в (13) оЬО

, С - 0,1, - достаточно гладкие заданные

ункции. Тогда существуют единственные решения задач (15)-16) и (15) и (17) (при этсы (¿О >•

ЗАМЕЧАНИЕ. Условия (14) существенны для единственности юшения в задачах (15)-(16) и (15) и (17). Например, а

= (х - у) удовлетворяет уравнении (12) к

)днородныа краевым условиям (15)-(16) при Ы + р -с 1 щи (15) и (17) при I ъ- 1 , но "К •

Цусть теперь

1Е0ША 2.4, Цусть вып'олиеш (10) и (19) и и

- достаточно глздкгга заданные <$уикцин. Тогда существуя? единственные решения -ц £ ^^ - задач (15)-(16) и

(15) и (17). (В задача (15)-(16) предполагается, что

^«М* Г{\. }г То

х -гО

Далее, ставится и исследуется задача Коши-Гурса дли уравнения (12) в Пс, причем на ъУ^ в (16) косая производная (д + заменена на , Цусть

Л о С

л-г^л, еЯ, (20)

где [1-ПЬ е^—м^о, Ср],

¿я ■= и. + 1Л >0 , ^ л

Обозначим V К® 1>1 = к 5 ,

класс функций (многкоство реаений (12) в )

»¿¿а/■*'/£ С (Л.)'.:

если >„ , то Э^' д^ ы е ^ (Л0) ;

/ & Гг" / \

если О < ¿0 < <Л , то Ж V е V . с (Я0);

если + или

Гк £ К

л

1 ö([£

иФ

. -ИЯ5+ЮЛч и „ AI U , А/

= o(Ä ) Vse/Vp^

при ^ > f7

W-'*** 1 i f.>j=

a> J

г

«<?(* ) Vse^ VK«/^., np,^!?.

ТЕОРЕМА 2.5. Цусть выполнены (20) и заданные функции

10 и f ^ достаточно гладкие при 0 * я ^ я /4" и удовлетворяв? условиям согласования при сп. - о • Тогда сутаствует единственное решение задачи

ИМв' (21)

Далее, ставится и исследуется задача Кош- Гурса для урагненип (12) з со вторам правкам условием еидр

(21) и » .

Для „злой задачи введены ссо\т,етстЕ.увп?с.1 образом классы Функций, в которых решение задачи единственно и дается явной формулой через заданные функции.

В следующем пункте сформулирована корректная постановка задачи Гурса, в которой ицотсп рэсскл" (12) в Sla с краевыми условиями и I ~ = и иЛ — = £

i с0ч 7 0 хиоз, ~ tz'

ЗАМЕЧАНИЕ..Выделение классов фун!существенно для единственности решения задач. Qynjscтвуэт нетривиальные решения (12) з Sl0 , чотсрыс удовлетворяя? однородным краевым условиям, но не принадлежат требуе!й?< классам функций.

D § 3 ставятся и наследуются смеианные краевые задач-/, для уравнения

= (22)

с "о* С

в области G+ - Joe = (л»0,аг') = (л0, я,,..., Л'к *) :

х. >о У te /VK= ¡0, <»•••'

Смешанная краевая задача для строго гиперболических уравнений в й+ исследовалась Годуновы.'-' С.К., Гордиенко B.Ü.. Сака мого Р. и другими авторами.

Постановка смешанно;"; краевой задачи. Пусть Уй /V,.,

•i.'-f. + ji. , = 0<Ji<1'

t J t с с чУ . (23)

Требуется найти решение U. уравнения (2.2) в <5 такс что

fo ^

Ä/J'9i\+=0 > С*

J J

где f0 и fi заданные функции, (ö+} - вполне

определенный масс функций;

í 1 t Ь с

В § 3 доказана единственность решения задачи (22)-(25) и выписана его яшая формула. В этом гле параграфе кссладовсш корректно поставленные смешащие задачи, когда otp = и

¿ ¿c < i или oL¿ >О УС € //ft4°L

В § 4 "Сингулярная задача Ксая длп гиперболического ураигекия, вырождающегося внутри области и на начальной плоскости" рассматривается уравнение

(&x¿! я - /ц^) «и =f(,), (2б)

ОС0>0, Х..+-0, . ь = 1

где Я & ¡Z , cL удовлетворяет (23). Коррзтенко постановки некоторых крзакгх задач для гиперболических ypa.:;e¡Krí с вирогядскнем внутри области даны в работа:! М.Арсеноюта, Б.А.Бубнова, В.Н.ВрагоЕа, о.а.Олейкик , М. С. С ал ахи тди: ¡: ¡.а, М.Мирсабурова и др. В отл.та;:: от названии:: работ в otcls параграфе в постановке сингулярной задач;: Komi для уравнения (25) задается началы^е условия п:да (24) на сп. = 0 и условия непрерывной склейки f . у. ^ \f к ¿ N^.

К-1 ¿.-t-M^K д ,

и («сиге.) dv -te ■ при К^ h + i

'J 1 í

на гиперплоскостях - О У ¿ С /Vn\ ] ^ j. Доказана Единственность решения задачи и дчогся его язная формула в определенно:! классе функций.

• Глава 3 "Крг.едае задач:: оллпп'К1Чзск.;л уравнений с операторами Бесселя" состоит «а нести параграфов.

В 5 I гсслелог.ана сингулярная- гад.тча Дирихле и выписана обобщенная интегралт.мая ío-,:.:;,'T:a Пусссег.а в области

« « 4 __

.....ЯиУ-1^ ,

1 ¿=1

для уравнения эллиптического типа с операторами Бссселн

1и(х) = (27>

Заменой переменных в 5 уравнение (27) преобразуется в выро!Едакп;еесп эллиптическое уравнение

Теории краевых задач для вырождающихся оллилтических уравне ний цосвящвш многочисленные работы других авторов. Отметим что освобождение от краен« условий на- Сч- = 0 границы £ в случае оС- > А в (27) или (28), влечет с-гапие искомых решений. Заметил, такке, что ^ явяяоюя область с негладкой границей, и в силу свойств решений на границз области постановка краевых задач для строго аллипгичазких уравнений в ^, ■ вообще говоря, зависит едэ ог требуемо поведения рвыешя в углевых точках.

Дзлео, пусть £ I/ , М =

ъгеЦ

^ Н } , ' Гг/с.| - мощооть ~ ^ '■

В § I исследуется первая краевая задача для урагнепия (27) в классе функций, дгигдщ 1:<гпрсры2;:о-дла^ерснцируемых в 5 к кусочно-нэпрерыьшх и неограниченных в >5

(даже и э тем случая, когда (27) совпадает о уравнением Лапласа). Краевые условия рассматриваемой задачи з общем случае нелокальны и задаются на всей границе 9 J. В зависимости от расположения у е S-m в краевое условие входят вполне определенные грагичкые операторы / , и весовые Функции , которые существенно зависят от

o¿, размерюсти многообразия и расстояний

точки оа е iS Д° граничных многообразий, в замыканий которых содержится ц , Доказывается единственность резения поставленной задачи и дается явная фзрмула, явлгакдаяся обобщением интегральной формулы Цуассона

«. = ^ * (29)

где 'f^ - заданная функция на S^ г - вполне

определенней интзгро-дифферекциалышй оператор у "Л G М \

= 'р. (Для решения и уравнения (27) в

гра1£ИЧ1ше условия задал теп в гаде о р ц1 . =v Ил^Л)•

Jm inti 10}л w Получены оценки нормы (равнсмэрная с некоторым весом)

искомого решения через нормы заданных функций.

В § 2 рассматривается смешанная краевая задача для уравнения Цуассона

Atl(x)s¿2j[il(x')* ф> в $. (30)

В работах Кржизанского М., Лип й., Пиконе М., Михайлова Л.Г., Тбгжзсяна Н.Е. кеследовядисъ задачи Дирихле или Неймана для эллиптических урагнений в классах функций, имеющих особенности на множествах конечного т/зла точек гладкой гршвгцы области. В настояли параграфе иссле,пуется краевая задача, в которой ищется в S решение урашеная (30) в классе Функций, непрерывных в ^ ^ ^ ъ>с ' и которые могут бить разривны и неограничен^ на S у^. при | тл. ^ > \ .

На гранкчннх гиперповерхностях 7 )Vt |= -f, У репения

задачи гадайтея либо условие Дирихле, либо условие Неймана, а на всех остальных граничите многообразиях S^. »

краевые условия и некоторыми вост.ш, зависящими от расстояния точки до экас многообразий. Эти весовые функции существенно завксяг и вг' размерности многообразия, содержащего граничную точку. Доказана единственность решения поставленной задачи к выписана его явная формула представления через заданные функции. Получена оценка нормы (равномерная с некоторым весом) искомого реиения через заданные функции.

£ = 1, М , устанавливается аналитичность вплоть до гиперповерхностей шрсжрешш решений эллкптичьских уравнений с операторами Бассоля

Д, - строг^ эллиптический оператор второго порядка, коэффициенты которого аналогичны в а зависят только от

Проблеме аполитичности решений эллиптических и выройухащихся дифферзнциалышх уравнений посвящены работы Врагова В.Н., Егорова И.Е., Терсеноза С.А. и др. В настоящем параграфе доказывается аналитичность решений (31) в К^ вплоть до гиперплоскостей вырождения

0

■ъ —

аналитическая функция в

' ТЕОРЕМА. 3.3. Если, решение 1С (я7 уравнения

(31). имеет в К ~ непрерывные производные 11, ■

уравнения

УС р; <■ С. , причем при рн - А:

О с/ ,

то ^ (я, у) аналитична в (/ Г. (Здесь

ОТ" Л. Л». "а» I

а ь

г = (г,. г« р.-[рл^хг, ¿мТм,

В § 4 "Смешанные краегао задачи для эллиптического уравнения с операторами Еесселя" рассмотрены различные обобщения задачи из § 2 для уравнения (27) или (28) в ^ , в которых краевые условия на одной части границы с? £ являются локальными (в виде условия Дирихле или Неймана с "весам»"), а на другой части - нелокальными (задаются с помоцью интегро-дифферзнциальных операторов). Граюташе операторы в зависимости от 7 вообще говоря, могут содержать дифференциальные операторы выше первого порядка (входят косые производные с некоторыми весами, заьисязгю от лараузтров .в операторах Весселя).

Отметим, что из теоремы 3.3 следует, что корректная постановка задач для уравнения (27) или (28) в ^ зависит от выбора класса функций, где ищется решение. В противном случае, вообще говоря, может иметь место как неединственность решения, так и его несуществование. В § 4 указывается такие классы функций, где решения поставленных задач единственно и оно представляется явной формулой через заданные функции. В § 5 "Сингулярная задача Дирихле в шаре для эллиптического уравнения с операторами Бесселя" рассматривается уравнение (27) в

X =5 К : I < -I,

когда параметры "1/я

<1

П л. Фо } __

г * 1, ул .

Изучается корректно поставленная задача, в которой ищется решение уравнения (27) в , непрерывное вплоть до

точек границы | \ ^ 1 = ^ Л 0\> 11 прикимаюцее там

веданное граничное значение, а на сингулярных многообразиях

хС (на гиперплоскостях, гиперлиниях и т.д.) удовлетворяет заданным условиям "скачка". При этом (в условиях "скачка") нормальные производные ресешш при подходе к гиперплоскостям ели сами решения при подходе к многообразиям меньших раа-юрноотей (к ребрам, угловым точкам н т.д.) входят с некоторыми вполне определенными весами, существенно зависящиыи от Ы. - ¿агмерности многообразия. содержащего граничную точку г. расстояния до нес. Доказала (теорема 3.6) единственно'ть ранения задачи и дается его явная формула через заданные гршипоше функциу! и функции скачков.

В § 6 "Первая краевая задача для эллиптического уравнения шровдакцзгзся внутри облети" для уравнения

' и 5

корректно поставлена задача в $ = | ^ е Я '• 4 21 ' Д' ' + „ и. / 2 . п

¿1 • 3 7 в которой ищется решение -урав-

нений (32) в $ [\ $ Ф 0 ^ . принимающее заданные гранична етачения на - 0 \ при с^ 1,

с - 1з , или на ее части (например, $ б? Л

~ при ^а^И) и удовлет-

воряем егданким условиям "окачка" на | ^ = о } Л $ ф 0},

Доказывается ершетванноеть решения поставленной задачи и дается 'его явная формула через ваданные грашчные функции и функции "скачков".

Отметим, что если Н = 2 , то задача Дирихле для уравнения (32) в;¡угри круга в переменных х. ¿Ядн^ лЛ^1,

И ~ '/я ' * ' рассматривались Мари-гэвьм О.И. и Радкабопым Н.Р., когда > , ^ 1 ё Я •

Глава 4 "Неединственность решений некоторых краевых задач для уравнений с дифференцнальнши операторами Бесселп" состоит

лз четырех параграфов.

В § I "Неединственность решения задачи Дарбу для уравнения ЭЯлера-Пуассона-Дарбу" найдена беоконечноо число линэЛчо независимых и ограличэнных решений уравнения

о _ п< %

( цу»рц. )V', у) = 0, К, (33)

в области $ , ограниченной поверхностями

. $0 I*» = , ;

3 := \*\<3>,

которые удовлетворяю? одному из слэдуещих крэошх условий: при

где ¿»-Ник^О, , + Ч^)-^'

пр. 0<Ь<1 И ?0ф=Цг, ' •

Отметим, что интерес к нетривиальней решениям однородных краевых задач возник в связи о некорректной постановкой краевой

задачи Ы.Прэттероы (1954 г.) для волнового уравнения. Такие решение для волнового уравне:шя приводились Тонг Кванг-чангом (1957 г.). С.Алдашзьыы и др.

Во втором параграфа "Наединст венноеть решений некоторых краевых задач для уравнений с дифференциальными операторами Бесоеля" аналогично § I строятся линейно независимые нетривиальные решен;ш (как непрерывные в замкнутой области, так и неограниченно и разрывные на пересечениях координатых гиперплоскостей) для некоторых однородшх краевых задач уравнений вида

(Г G. , -Z + £ V -

I = ; 06МГ< >«г < иг5 ^ М- ,

д « « 2. ( + м. ъ - Ь1о ) - 1.

К уравнещао (34) относится как строго, так и вырождающиеся гиперболические и ультрагиперболическио уравнения. В этом параграфа попутно выписано уравнение 21 • т В • и. — О

— ------- 1=1

в сфер;-.> ляпу координатах .

Б 5 3 "Связь решений однородных краевых задач со специальны функциями" рассматрившотся уравнения

[(*;» + А* + У) + *>(*•¥>=* (з5)

в облаей! <л<°°'> К, и-

ч ; > «-WTw .

Дпя уравнения (35) исследованы однородные краевые задачи, аналогичные задачам из § I, и указаны методы нахождения нетривиальных реиений через гипергеометрические функции Гаусса и обыкновенные и кодифицированные (функции Бесселя.

Для уравнения (36) найдены все полшиальные решения, яачяюциеся аналогами гармонических многочленов для уравнения Лапласа.

Глава 5 состоит из четырех параграфов. В § I сформулированы и доказаны теоремы единственности решений краевых задач Дарбу-Прсгтера для волнового уравнения

u Г Г ~ «я, я., + , (37)

в области (X 0<т<у<1-Т , j>= (зг^+зе*

Задача , Найти решение U уравнения (37) в облает« Q такое, что **С(&) ñ C*(Q) и

ttlíT ' <38)

где - заданные функции, (¿q 0< С ~ J> < f/¿,

H'.t-o, о< р< 1. 1 J

Задача . Найти решение 1L уравнения (37) в области « такое, что и в С (Q ) П ) А С*(й)

"Ik0 "f" Шк'^-

Задача (37)-(38) сформирована М.Проттером в 1954 г., неединственность решений которой указач Тонг Кванг-чанг в 1957- г.

Луеть

-Ti

твотаи Едамсшаиосте.

1). Е-ли -и. - решение задачи , причем

я, е с(а)пс1(вик0)п с2(й),

? , (39> 5 V С ОМ^^Г1-**),

7 я,к

{< = С, 1 V Н- Я, f, ... ,

то сно единственно.

2). Если V. - решение задачи , причем

11еШ)пеЧ0(/КоиК<)П Щ^^О^Що^^]), (40)

К = с, 1 П 3,

то оно единственно.

Е § 2 ставятся а исследуются вспомогательные краевые аедачк на пюскссти для гиперболического уравнения с оператором Езсселн.

В § 3 выводятся явные формулы представления решений кра-еадач и 2)., б классе единственности реиений.

Ь V 4 даются оценки обобщенных решений краевых задач Дарбу- !! "тгерз. при отом условия (33) или (40) существенны /и;", е/а'-: шпыт решений.

РАБОТА АВТОРА ПО ТЕМЕ ДЖСЕРЩЖ

1. Хе Кан Чср. Задача Копд:-Гурса для одного шрогушицегося гиперболического урашения//Коррактные краевые задачи'для не-класспчг'ских уравнений ; тематической физики.-Новосибирск: • Ин-т.математики СО АН СССР, 1560.-0.168-172.

2. Хо Паи Чер. Об аналпигзкости рзсаний одного класса Еырождажздсск •дифференциальных уравлешЛУ/Примелемпе методов '

функционального анализа к задачам математической физики и вычислительной математики.-Новосибирск: ;"м-т мате;тати.ai СО АН СССР, 1979.-С.142-145.

3. Хе Кап Чер. О единствегаостп ре-зепий некоторых краевых задач для вироздаицихся уравненг:й//Доял. AI! СССР. -ÏS83.-Т.272, 5.-C.IC56-I068.

4. Хе Кап Чгр. О еннгуляр'гых задачах дл;г одного мебельного вырождающегося гиперболического урашеиия//Нвкласса"ескио уравнения и уравнения смененного ткла.-Новсскбчрзк: 1 -Lu-? математики СО АН СССР, 1933,-?..23-35.

5. Хе Кан Чор. О сингулярной задаче Ксшт длп ¿-равнения Эйлера-Цуассона-Дарбу//Пря.1е1'.^кие методов функционального анализа к некласоическим уравнениям математичзокей физики.-Кзес™ сибирск: Ии-т математики СО АН СССР, 1933.-С.120-125.

6. Хе Как Чор. О некоторых иразЕЫх задачах длп пдног*. класса шрокдааакся гиперболических урагйе:иГ//,•.«•-•л.*урия. -

1984.-Т.25, ?? I.-C.I80-ICB.

7. Хо Нлн Чер. О псрсоЛ краевой ьадачз дя»: угагкения ЗЛЛИПТИЧеСКОГО ТНПа С СИНТулярШМ! КОэффпЦНЭНТЭ.'.Г.'. j.ir/три. о5~ даст^/Дкфференцяальнкч урасксшя (математическая фу.зика}/ Тез.докл.Нуй6*л:сr-ского областного меявусовгг.оро иаукн.еоге^а-кия-семшара 20-25 мая ISS-'I г.-пуйбшев, I9S1.--C.IÏ5-IIÔ,

8. Хо Кан Чеч. О г-срвоГ» краевой задаче длп урагн-згок оллклтичеоиого типа, варс-'дся-.;егсся zi^mj.i сб.часги//Коррск-тше ж^л&гаэ зада'К д.-;s нехлосоичосхих уравнений математической физики.-Новосибирск: il-;-гг матс/этпьгя СО АН СССР, 1984.--С. 143 -154.

9. Хе Км Чор.О кекс-эрях ъоас.жх ял." одного класса ЕырождшЕдася jrp:iSMei!ii.fi//iif:C'rai,,KC!:a'niîT;'i проблемы ¡лехаккка еплоишчх сред (Дина\з!>;а пплегкой среди, ï» й5) .-ГГочс^.б-'рс::; 1934. -J. 155-157.

10. Хе, Кан Чзр. 0 ьлряпе'ъто'лм радшгая задачи Дербу для одного класса rjpogpaaeçixoя пзпрб•.иг-^с-кях урчшений// С::б.:.!ат,;зур!!л.--I9S5.-Т.25, 2.-C.I5?-l:3I.

.II. Хе Кен Чор. О нелокальной крг-.-з.-хй зэд-чз для эллиптического уравнения с операторами Бе.:сел;.г//Докл. .Ш

1985.-Ï.234, » G.-C.I3I7-I32Î.

12. Хе Кал Чер. Сингулярная задача Коии для уравнений гиперболического типа, вырождаю:?'::-.. внутри области и на начальной поверхности//Качествзнный анализ решений дифференциальных уравнений с частными производными.-Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, I985.-C.II0-I25.

13. Хе ¡Сан Чер. О представлений реа&лий для одного класса вырокдамщихся уравнений//Наклассическке уравнения математической физики.-Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1985. -С. 205-208.

14. Хе Кан Чер. Смешанная задача для обобщенного уравнз-ния оЯлора-Пуассона-Дарбу в исключительном случае//Мат. заметки -I936.-T.40, № I.-С.87-92.

15. Хе Кан Чер. О сингулярной задача Коаи для уравнения с кратным дифференциальным операторе:.! Эйлера-Пуассона-Дарбу// Математическое моделирование механики сплохных сред (Динамика сплошной среды, 15 79).-Новосибирск, IS87.-C.II8-I28.

16. Хе Кан Чер. Смешенная краевая задача для уравнения Пу&осона е негладкой части пара.-Владивосток, 1937.-18 с.-(Препринт/АН СССР. Дальневост.огд-ние. Вычислит.центр).

17. Хе Кан .Чер. Обобщенная интегральная формула Пуассона для части иара/Ред. "Сиб.мат.курн."-Новосибирск, 1987.-24 с.-Деп. в ВИНИТИ 31.07.87, № 5486.-Б37.-(Анногация: Сиб.мат. ЖУРН.-1989.-Т.30, )Г> I.-C.225).

18. Хе Кан Чзр. Смеша:шая задача для эллиптического уравнения с оператором Еосселя в негладкой част:' :иара//Прк;.;зиет;е функциональных методов is методов тесаки функций к задачам математической физикк/10-се ЧохсслоЕоцко-советскоо совещание, Старая íypa, 25.09.-0I.10.1988.-С.54.

19. Хе Кан Чзр. О некоторых решениях однородной задачи Дарбу для одного шрэкдаюцегося гиперболического ура'неюш// Дкфференц.уравнения.-1938.-Т.24, № 9.-C.I64I-I643,

20. Хе Кан Чер. О некоторых оценках для решений сингулярных краелос задач для эллиптических и гиперболических уравнений с оператора:™ Бесселя.-Владивосток, 1988.-32 с. (Препринт/АН СССР. Дальневое т. о?д-ние. Зычисл. цзнтр).

21. Хе Кен Чер. Семейство сингулярных задач Г.хп для ураг-

нения Эйлера-Пуассона-Дарбу в иаклю'глтелъких случяях/Ред. л.изв.вузов.Маг.-Казань, 193Э.-14 с.-Деп.в В1ИШК 04.04.8?, № 2200-В 89 (Аннотация: Изв. вуэоа. Мат.-1СБ';\ ¡'- 6 (327) -С.97).

22. Хе Кан TLjp. О единственности решений задач Дарбу для волнового уравнения в пространстве/Рад. Сиб. мат. к. СО Л1 СССР.-Новосибирск, 1990.-18 с. - Деп. э ВШКГЛ, 18.К.SO,

2С9-В 90 (Аннотация: Сиб. кат. СО АН СССР, 1990,-T.3I, 5.-С.207).

23. Хе Кан Ч=р. Задача Дарбу для урашзкия колебания подвезенной тяжелой ниги//!.!атематическиэ проблеьгл окслсгли/ Тезисы докладов Iii шкотт, Чита, 2-7 июля 1990 г.-С. 130-131).

24. Хе Кан Чер. Задачи Дарбу-Проттера для двумерного волнового уравнения.-Владивосток, 1990.- 25 с. (Препринт/ АН СССР Дальневоет. отд-ние. Ин-т прикладной математики).

25. Хе Кан Чер. О задачах Проттера для многомерного волнового уразнзкия//Интегральшо ур&ш&кяз и кревьиа е-адачл математической физики/Тезисы доглалов Всесоюзной копфуреш-кя, Владивосток, 22-26 октября 1990 г.-Владивосток, T.S3Ci-C.I3S.

26. Хэ Кан Чер. Краевое задачи для урашен'/я колебаний подвепенной тякелой нити/Пятся школа молодых математиков Сибири и Дальнего Зосаона/Тецисы дохлапов.-Новссибнрох: 1590,-С. 124-125.

27. Хэ Кон Чер. Задачи Дарбу а Гурза для гкпербол1жского уравнения с оператором Бессс.: "//Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа-Новосибирск: Ия-т математики СО АН СССР, I990.-C.250-253.

ХЕ Кан Чер

Сингулярные краевые задачи для уравнений математической физики с операторами Бесселя.

Автореферат диссертации на соискание у.-еной степени доктора физико-математических наук.

Подписано к печати 4 декабря 1991 г. Обгем 2.0 печ.к. Формат бумаги 60x84 1/16. Тирак ^кз. Бесплатно.

Отпечатано в фотоофсетной лаборатории Хабаровского политехнического института. 5Ъ0035, Хабаровск, ул.Тихоокеанская, 13