Синхронное поведение, сложная динамика и переходные процессы в автоколебательных системах и эталонных моделях нелинейной теории колебаний тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи, КОРОНОВСКИЙ Алексей Александрович

СИНХРОННОЕ ПОВЕДЕНИЕ, СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА

И ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ

СИСТЕМАХ И ЭТАЛОННЫХ МОДЕЛЯХ

НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ

01 04 03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

□ □306487-1

Саратов - 2007

003064871

Работа выполнена на кафедре электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов и в отделении физики нелинейных систем научно-исследовательского института естественных наук Саратовского государственного университета

Научный консультант чл -корр РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Трубецков Дмитрий Иванович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Анищенко Вадим Семенович, доктор физико-математических наук, профессор Сухоруков Анатолий Петрович, доктор физико-математических наук, профессор Шалфеев Владимир Дмитриевич

Ведущая организация Институт прикладной физики

Российской Академии Наук, г Нижний Новгород

Защита состоится "8" октября 2007 г в 15 часов 30 минут в 34 ауд III корпуса СГУ на заседании диссертационного совета Д212 243 01 по специальности 01 04 03 в Саратовском государственном университете (410012, г Саратов, ул Астраханская, 83)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета (Саратов, ул Университетская, 42)

Автореферат разослан "23" августа 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

В М Аникин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследуемой проблемы. Изучение поведения нелинейных динамических систем (как с сосредоточенными, так и распределенными параметрами), способных демонстрировать сложное поведение, уже давно находится в центре внимания исследователей Одним из центральных моментов является изучение неавтономной динамики нелинейных систем, прежде всего проблем, связанных с исследованиями явления синхронизации, берущих свое начало с работ Гюйгенса

Синхронизация имеет важное фундаментальное и практическое значение (например, в биологических и физиологических задачах1, химических2, экологических3, астрономических4, при скрытой передаче информации с помощью хаотических сигналов5, при управлении системами сверхвысокочастотной электроники6 и т п ) Первоначально рассматривалась синхронизация периодических колебаний, однако интенсивное развитие теории динамического хаоса вызвало новый интерес к проблеме синхронизации автоколебательных систем, демонстрирующих хаотическую динамику С развитием теории динамического хаоса и хаотической синхронизации исследователями было выявлено и исследовано достаточно большое число различных типов хаотического синхронного поведения связанных динамических систем с потоковым временем полная синхронизация (В С Анищенко, В В Астахов, В С Афраймович, M И Рабинович, С П Кузнецов, А С Пиковский, Т L Carroll, H Fujisaka, L M Pécora, T Yamada и др ), синхронизация с запаздыванием (лаг-синхронизация) (М Закс, А С Пиковский, M Г Розенблюм, J Kurths, Y С Lai и др ), обобщенная синхронизация (Н Ф Рульков, M M Сущик, JI С Цимринг, H D Abarbanel, L Kocarev, U Parhtz и др ), частотная синхронизация (В С Анищенко, Т Е Вадивасова, Д Э Постнов), фазовая синхронизация (В С Анищенко, Т Е Вадивасова, Г В Осипов, А С Пиковский, Д Э Пост-

'L Glass Synchronization and rhythmic processes m physiology (London) 2001 Vol 410 Pp 277-284 VS Amshchenko, A G Balanov, N В Janson et al Int J Bifurcation and Chaos 10 (2000) 2339

2P Parmananda Phys Rev E 56 (1997) 1595

3B Blasiuse, L Stone Int J Bifurcation and Chaos 10 (2000) 2361

4M Palus, J Kurths, U Schwarz et al Int J Bifurcation and Chaos 10 (2000) 2519

5 А С Дмитриев, А И Панас Динамический хаос новые носители информации для систем связи M Физматлит, 2002

6Д И Трубецков, А А Короновский, А Е Храмов Изв вузов Радиофизика XLVII(5-6) (2004) 343

нов, М Г Розенблюм, S Boccaletti, J Kurths, Y С Lai, С T Zhou и др) и частичная синхронизация (П С Ланда) Активно исследуется также неавтономное поведение динамических систем, находящихся под негармоническим (импульсным, квазипериодическим) воздействием (А П Кузнецов, С П Кузнецов, Е П Селезнев), проводились исследования хаотической синхронизации в нелинейных системах с дискретным временем (отображениях) Значительный интерес в последнее время вызывает изучение ансамблей связанных хаотических осцилляторов, в частности, изучается синхронизация в цепочках, решетках и сетях нелинейных элементов (В Н Белых, Б П Безручко, А С Дмитриев, С П Кузнецов, Г В Осипов, В Д Шалфеев, S Boccaletti, М Hasler, Е Mosekilde и др ) В таких ансамблях связанных нелинейных элементов возможны режимы кластерной синхронизации, при которой существуют кластеры, демонстрирующие режим полной синхронизации, в то время как между этими кластерами полная синхронизация отсутствует В том случае, если число элементов в ансамбле невелико, вместо термина "кластерная синхронизация" обычно используют термин "частичная синхронизация"

Во многом эти исследования обусловлены, прежде всего, физическими, физиологическими задачами и задачами нейродинамики На исследования процессов, происходящих в головном мозге, опирающихся на идеи, методы и подходы, используемые в нелинейной динамике для описания поведения связанных систем, также возлагаются большие надежды Большое число исследователей успешно проводят активные исследования в вышеперечисленных направлениях (В С Ани-щенко, В В Астахов, Б П Безручко, А Р Волковский, А С Дмитриев, В Б Казанцев, П С Ланда, В В Матросов, В И Некоркин, Г В Осипов, А И Панас, А С Пиковский, М Д Прохоров, В И Пономарен-ко, В П Пономаренко, С О Старков, А П Сухоруков, Д И Трубецков, В Д Шалфеев, S Boccaletti, L О Chua, Р Grassberger, L Kocarev, J Kurths, U Parlitz, R Q Quiroga, M G Velarde, С T Zhou и многие другие)

В то же самое время, несмотря на значительный интерес к вышеназванным проблемам и большое число публикаций по данному направлению (как в отечественных, так и зарубежных научных журналах), утверждать, что в рассматриваемой области все задачи уже решены, было бы явно преждевременно Существует большое число вопросов, ответы на которые еще не найдены и решение которых могло бы способствовать значительному продвижению вперед в понимании основных закономерностей и особенностей неавтономного поведения нелинейных систем, способных демонстрировать сложное поведение Ряд вопросов,

требовавших разрешения, и рассматривается в настоящей диссертационной работе

Одним из важнейших вопросов представляется вопрос о взаимосвязи различных типов хаотического поведения систем с непрерывным временем (фазовая синхронизация, частотная синхронизация, обобщенная синхронизация, синхронизация с запаздыванием, полная синхронизация) друг с другом Существуют работы7, в которых данная проблема рассматривается, в частности, достаточно давно было известно, что связанные хаотические осцилляторы с непрерывным временем могут с увеличением параметра связи между ними переходить от режима фазовой синхронизации к режиму синхронизации с запаздыванием8 (через режим перемежающейся синхронизации с запаздыванием9) и, затем, стремиться к режиму полной синхронизации, что сопровождается последовательной синхронизацией спектральных компонент Фурье-спектров взаимодействующих систем 10 В то же самое время полной ясности о взаимосвязи этих режимов синхронного поведения не было В настоящей диссертационной работе впервые выявлена взаимосвязь между различными типами хаотической синхронизации и предложено описание их с единых позиций на основе предложенной концепции синхронизации временных масштабов

Важно отметить, что при описании каждого из типов хаотической синхронизации, рассматриваемых по отдельности, также остается много невыясненных вопросов В частности, такие вопросы существуют для хаотической фазовой синхронизации, которая в настоящее время является одним из центральных понятий в теории хаотической синхронизации11 Одним из вопросов в этой области, требующих рассмотрения,

7R Brown, L Kocarev Chaos 10 (2000) 344, S Boccaietti, L M Pécora, A Pelaez Phys Rev E 63 (2001) 066219, A Shabumn, V Demidov, V Astakhov, V S Amshchenko Phys Rev E 65 (2002) 056215

8M G Rosenblum, A S Pikovsky, J Kurths Phys Rev Lett 78 (1997) 4193

9S Boccaietti, D L Valladares Phys Rev E 62 (2000) 7497

10B С Анищенко, В В Астахов, С M Николаев, А В Шабунин Радиотехника и электроника 45(2) (2000) 179

"Следует сразу оговориться, что в русскоязычной литературе под термином "фазовая синхронизация", возникшем достаточно давно, изначально понималось другое явление [В В Шахгильдян, Л H Белюстина Фазовая синхронизация M Связь, 1975, В П Пономаренко, В В Матросов Радиотехника и электроника 29(6) (1984) 1125, ВП Пономаренко, В В Матросов Радиотехника и электроника 28(4) (1993) 721], суть которого состоит в следующем синхронизация генераторов колебаний достигается за счет воздействия на них полученного некоторым способом преобразования фаз этих генераторов, причем генераторы и преобразователи фаз могут быть са-

является, в частности, вопрос о разрушении (установлении) режима хаотической фазовой синхронизации Как правило, различий между теми или иными особенностями установления режима фазовой синхронизации не делают В качестве исключений следует упомянуть попытку обосновать существование трех различных способов перехода к фазовой синхронизации в зависимости от свойств системы12, а также рассмотрение универсального поведения, возникающего на границе фазовой синхронизации в системе с удвоениями периода (система Ресслера под периодическим внешним воздействием)13 Как следует из проведенного в настоящей диссертационной работе исследования эта проблема тесно связана с вопросом о перемежающемся поведении, возникающем на границе установления режима фазовой синхронизации14

Еще одним важным и интересным вопросом является вопрос о режиме обобщенной синхронизации15, возникающем в однонаправленно связанных хаотических осцилляторах Данный тип синхронного поведения явным образом выделяется среди других типов хаотической синхронизации и по типу синхронного поведения, и по способам диагностики Важно отметить, что режим обобщенной синхронизации может возникать между двумя совершенно различными хаотическим осцилляторами, например, между осцилляторами с разной размерностью фазового пространства, в том числе и между хаотическими осцилляторами с сосредоточенными и распределенными параметрами В литературе обсуждаются вопросы о взаимосвязи этого типа хаотического поведения с другими режимами хаотической синхронизации, но если тот факт, что синхронизация с запаздыванием является частным случаем режи-

мой различной природы В настоящее время в русскоязычной научной литературе [В С Анищенко, В В Астахов, T Е Вадивасова, и др Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах М -Ижевск Институт компьютерных исследований, 2003, А С Пиковский, М Г Розенблюм, Ю Курте Синхронизация Фундаментальное нелинейное явление М Техносфера, 2003] термин "фазовая синхронизация" широко используется и в смысле хаотической фазовой синхронизации, когда имеет место захват мгновенных фаз хаотических сигналов, при этом мгновенная фаза может быть введена различными способами, хотя, конечно, это вносит некоторую путаницу Поэтому сразу отметим, что в настоящей диссертационной работе термин "фазовая синхронизация" используется в указанном выше смысле "хаотической фазовой синхронизации"

¡2G V Osipov, В Ни, С Т Zhou eí al Phys Rev Lett 91 (2003) 024101

13S P Kuznetsov, I R Sataev Phys Rev E 64 (2001) 046214

I4AS Pikovsky, GV Osipov, MG Rosenblum et al Phys Rev Lett 79 (1997) 47, S Boccaletti, E Aliaría, R Meucci, F T Arecchi Phys Rev Lett 89 (2002) 194101

1SN F Rulkov, M M Sushchik, L S Tsimrmg, H D Abarbanel Phys Rev E 51 (1995) 980

ма обобщенной синхронизации достаточно очевиден, то взаимосвязь обобщенной синхронизации с фазовой синхронизацией менее очевидна В частности, изначально полагалось, что режим обобщенной синхронизации является более "сильным"16, нежели режим фазовой синхронизации, то есть считалось, что если в системе наблюдается режим обобщенной синхронизации, то в этом случае будет наблюдаться и режим фазовой синхронизации, в то время как обратное неверно Иными словами, считалось, что возможны случаи, когда фазовая синхронизация наблюдается, а обобщенная — нет Впоследствии был найден контрпример17, когда режим обобщенной синхронизации наблюдался в системе при отсутствии режима фазовой синхронизации В этой же работе было показано, что в связанных хаотических системах Ресслера при малых расстройках значений управляющих параметров величина параметра связи, при которой возникает режим обобщенной синхронизации, примерно в два раза больше, чем при больших расстройках Для всех других известных типов хаотической синхронизации зависимость порога возникновения синхронного режима от параметра расстройки ведет себя другим образом по мере уменьшения величины расстройки управляющих параметров систем, значение параметра связи, при котором устанавливается соответствующий синхронный режим, уменьшается Природа подобного "аномального" поведения порога обобщенной синхронизации так и не была объяснена

Следует также отметить, что и механизмы, приводящие к установлению режима обобщенной синхронизации, описаны в литературе слабо Как правило, возникновение режима обобщенной синхронизации объясняется тем, что старший условный ляпуновский показатель ведомой системы становится отрицательным18, однако это "объяснение" является скорее критерием диагностики существования режима обобщенной синхронизации, не поясняющим механизмов, которые приводят к установлению этого режима Таким образом, и в описании обобщенной синхронизации хаотических систем существуют пробелы, требующие дальнейшего изучения

Наконец, еще одним актульным вопросом, рассматриваемым в данной диссертации, является вопрос о перемежающемся поведении, в том числе и вблизи границ синхронизации19 и переходных процессах, на-

16 U Parlitz, L Junge, W Lauterborn Phys Rev E 54 (1996) 2115

17 Z Zheng, G Hu Phys Rev E 62 (2000) 7882

WL M Pécora, T L Carroll Phys Rev A 44 (1991) 2374, К Pyragas Phys Rev E 54 (1991) R4508

19AS Pikovsky, M Zaks, M G Rosenblum et al Chaos 7 (1997) 680, N Tsukamoto,

блюдаемых в динамике нелинейных систем Важным аспектом при этом является разработка новых методов и подходов, направленных на выделение различных типов поведения системы в рамках одной временной реализации В настоящей диссертационной работе впервые предложен метод выделения ламинарных и турбулентных фаз во временных рядах, основанный на непрерывном вейвлетном преобразовании и концепции временных масштабов Предложенные методы и подходы с успехом применены к различным системам, в том числе и нефизической природы Среди подобных систем особое место занимают социальные системы, представляющие значительный интерес для исследователей, поскольку понимание происходящих в них процессов и механизмов, обуславливающих эти процессы, представляется чрезвычайно важным как с теоретической, так и практической точек зрения В то же самое время, следует отметить, что описание подобных систем и процессов с использованием аналитического аппарата нелинейной динамики и радиофизических методов представляет в настоящее время обширное поле деятельности для исследователей Заключительная глава диссертационной работы, в которой впервые приведен ряд результатов по исследованию нелинейных процессов и сложной динамики в таких социальных системах, как экономическая, демографическая системы, а также система высшей школы Российской Федерации, может рассматриваться как скромная попытка проведения исследований в этом направлении

Таким образом, можно утверждать, что круг явлений и задач в области неавтономной динамики и сложного поведения нелинейных хаотических систем, требующих дальнейшего исследования, достаточно широк Детальному изложению результатов изучения всех перечисленных выше вопросов и посвящена настоящая диссертационная работа Перечень нерешенных проблем позволяет сделать вывод, что тема диссертационной работы является актуальной и важной для радиофизики и современной теории нелинейных динамических систем

Цель диссертационной работы Целью настоящей диссертационной работы является детальное изучение синхронного поведения нелинейных автоколебательных систем, демонстрирующих хаотическую динамику, выявление основных особенностей различных типов синхронного поведения нелинейных систем, а также исследование сложной динамики и переходных процессов в радиофизических системах, а также эталонных моделях нелинейной теории колебаний

Сделана попытка создания единой теории неавтономной динамики

S Miyazaki, Н Fujisaka Phys Rev Е 67 (2003) 016212, АЕ Hramov, A A Koronovskn Europhysics Lett 70 (2005) 169

нелинейных систем и построения ее целостной физической картины Первым этапом на пути построения единой картины является рассмотрение различных типов синхронного поведения динамических систем Для реализации этого на примерах динамических систем малой размерности выявлены основные особенности различных типов синхронного поведения нелинейных систем, демонстрирующих хаотическую динамику, закономерности, и механизмы, ответственные за возникновение синхронных режимов, определены их качественные и количественные характеристики Основными вопросами при подобном рассмотрении были

• выявление различных типов разрушения режима фазовой синхронизации и механизмов, приводящих к возникновению различных сценариев перехода от режима фазовой синхронизации к асинхронному поведению,

• описание принципиально нового типа перемежающегося поведения, возникающего на границе возникновения режима фазовой синхронизации при больших значениях расстройки собственных частот взаимодействующих осцилляторов и выявление механизмов, ответственных за данный тип перемежаемости,

• взаимосвязь показателей Ляпунова с границей возникновения синхронного режима,

• механизмы, обуславливающие возникновение режима обобщенной синхронизации,

• взаимосвязь режимов обобщенной хаотической синхронизации и синхронизации, индуцированной шумом,

• возможность использования режима обобщенной хаотической синхронизации для скрытой передачи информации

После выяснения вышеописанных вопросов представлялось целесообразным попытаться ответить на два важнейших вопроса теории хаотической синхронизации "Действительно ли различные типы хаотической синхронизации представляют собой разные типы синхронного поведения хаотических систем, или это различные проявления одного феномена'" и "Возможно ли описание синхронного поведения связанных хаотических систем с единых позиций'" Другой стороной данной проблемы является вопрос о том, как связаны между собой типы синхронного поведения в потоковых системах и отображениях

Ответы на эти вопросы, изложенные в настоящей диссертационной работе, позволяют понять общие закономерности неавтономного поведения и синхронной динамики сложных нелинейных систем и создать достаточно целостную картину входящих в нее явлений, что, как уже отмечалось выше, и является основной целью настоящей диссертационной работы

В заключительной части диссертационной работы рассмотрены эффекты, возникающие "на пороге" возникновения синхронного режима переходные процессы и, соответственно, время необходимое для установления синхронного режима, перемежающееся поведение вблизи границы хаотической синхронизации различных типов и методика выделения различных фаз поведения систем с помощью непрерывного вей-влетного преобразования, применение полученных методик для изучения различных систем, в том числе и нефизической (биологической, социальной) природы

В качестве объектов исследований в данной диссертационной работе выбраны динамические системы, являющиеся эталонными в нелинейной динамике (в частности, логистическое отображение, система Рес-слера), а также системы, соответствующие радиофизическим объектам, таким как радиотехнические генераторы (генератор "TORUS", генератор на туннельном диоде, генератор Чуа), а также сложные системы нефизической, в том числе и социальной, природы

Научная новизна. Научная новизна результатов, представленных в диссертационной работе, заключается в установлении основных закономерностей, присущих неавтономной динамике и синхронному поведению связанных хаотических систем, выявлению механизмов, ответственных за возникновение типов режимов хаотической синхронизации, выработке универсального подхода для описания различных типов синхронной динамики хаотических систем с единых позиций, разработке методик по определению длительности переходных процессов систем, находящихся в непериодических (квазипериодических и хаотических) режимах колебаний, методик по выделению различных характерных типов поведения при перемежаемости, основанных на непрерывном вейвлетном преобразовании Впервые получены следующие основные результаты

• предложен новый подход к описанию синхронного поведения, названный синхронизацией временных масштабов, позволяющий описывать все традиционные типы хаотической синхронизации с единых позиций,

• введена в рассмотрение количественная мера синхронизации вза-

имодействующих хаотических осцилляторов, представляющая собой относительную долю энергии вейвлетного спектра, приходящуюся на синхронные временные масштабы,

изучены закономерности синхронизации спектральных компонент Фурье спектров связанных хаотических систем,

проведено сопоставление поведения седловых периодических орбит, встроенных в хаотические аттракторы взаимодействующих хаотических осцилляторов, и синхронизации спектральных компонент,

выявлены два различных типа разрушения режима фазовой синхронизации и изучены основные механизмы, приводящие к возникновению различных сценариев перехода от синхронных режимов колебаний к асинхронной динамике,

обнаружен принципиально новый тип перемежающегося поведения, возникающий вблизи границы режима фазовой синхронизации при больших значениях расстройки собственных частот взаимодействующих осцилляторов, изучены механизмы, приводящие к данному типу перемежаемости, аналитически получены количественные характеристики этого типа перемежающегося поведения,

определены механизмы, приводящие к возникновению режима обобщенной синхронизации в однонаправленно связанных хаотических системах при различных значениях расстройки параметров взаимодействующих осцилляторов,

выявлен и классифицирован тип перемежающегося поведения, возникающего на границе возникновения режима обобщенной хаотической синхронизации двух однонаправленно связанных хаотических осцилляторов Показано, что данный тип перемежающегося поведения представляет собой оп-о!Г перемежаемость,

выявлены причины, обуславливающие характер границы обобщенной синхронизации на плоскости управляющих параметров "расстройка взаимодействующих осцилляторов — сила связи",

проведено сопоставление режимов обобщенной хаотической синхронизации и синхронизации, индуцированной шумом, показано, что режимы обобщенной хаотической синхронизации и синхронизации, индуцируемой шумом, хотя традиционно и считаются разными явлениями, обусловлены, по сути дела, одной причиной —

подавлением собственных хаотических колебаний с помощью дополнительного введения диссипации Различие между режимами обобщенной синхронизации и синхронизацией, индуцированной шумом, определяется, по сути дела, лишь характером внешнего сигнала, воздействующего на исследуемую систему,

выявлена взаимосвязь между различными типами синхронной динамики хаотических систем с непрерывным (потоки) и дискретным (отображения) временем Показано, что при слабой расстройке управляющих параметров тип поведения связанных отображений, возникающий с уменьшением параметра связи при разрушении полной синхронизации, который считался раньше асинхронным, соответствует фазовой синхронизации потоковых систем и должен рассматриваться как синхронный режим,

разработана методика определения длительности переходных процессов в динамических системах, находящихся в режиме непериодических колебаний (то есть демонстрирующих хаотическую или квазипериодическую динамику) и выявлены основные закономерности, присущие переходным процессам подобных режимов,

исследовано явление переходного хаоса (являющееся, по своей сути, переходным процессом) в динамических системах как со сосредоточенными, так и распределенными параметрами,

проведено изучение переходных процессов при установлении синхронных режимов колебаний связанных автоколебательных систем,

разработана основанная на непрерывном вейвлетном преобразовании методика анализа временных рядов, в частности, предложен метод выделения различных характерных участков во временных реализациях нелинейных систем, находящихся в режиме перемежаемости, предложенный метод с успехом апробирован на эталонных нелинейных динамических системах,

исследован характер перемежающегося поведения в спонтанной неконвульсивной судорожной активности у крыс линии ШАО/Ш] Впервые показано, что в этом случае перемежающееся поведение является перемежаемостью оп-о!1 типа, при этом распределение длительностей ламинарных фаз (участков нормального функционирования головного мозга) подчиняется степенному закону с показателем степени, характерным для оп-о!! перемежаемости,

• проведено исследование сложного поведения систем нефизической природы с помощью методов и подходов, развитых в настоящей диссертационной работе В качестве исследованных систем рассмотрены экономическая, демографическая системы, а также система высшей школы Российской Федерации

Научная и практическая значимость работы. Диссертация решает крупную научную проблему, состоящую в выявлении основных закономерностей неавтономного поведения (в том числе синхронного) и сложной динамики нелинейных хаотических систем Исследование проводилось прежде всего на основе моделей, являющихся базовыми для нелинейной теории колебаний и волн и радиофизики Поэтому полученные в диссертационной работе результаты имеют общий характер и могут быть перенесены на другие радиофизические (и не только радиофизические, но и иные) системы Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, позволяют продвинуться в понимании общих закономерностей синхронного поведения нелинейных систем и механизмов, ответственных за возникновение и смену синхронных режимов, выявить общие характерные черты синхронизации в динамических системах с потоковым и непрерывным временем, в том числе и в системах с распределенными параметрами Применение предложенного подхода к описанию синхронного поведения взаимодействующих нелинейных систем на основе концепции синхронизации временных масштабов позволяет эффективно диагностировать различные режимы хаотической синхронизации и характеризовать их количественно с единых позиций, что имеет весьма широкую область потенциального применения в различных областях науки и техники

Понимание механизмов, обуславливающих возникновение того или иного синхронного режима и эффективное их использование позволило на основе режима обобщенной синхронизации предложить способ скрытой передачи информации, который позволяет избавиться от наиболее существенных ограничений (требование идентичности приемного и передающего устройства, низкие шумы в канале связи) свойственных для способов секретной передачи информации, основанных на явлении полной синхронизации хаотических осцилляторов По результатам проведенных исследований получены патенты РФ20

20 А А Короновский, О И Москаленко, П В Попов, А Е Храмов Устройство для секретной передачи информации Патент № 57538 Изобретения Полезные модели Официальный бюллетень Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам Москва ФИПС 2008 № 28, 2006, А А Короновский, О И Москаленко, П В Попов, А Е Храмов Способ секретной передачи информа-

Предложенные методики исследования нелинейных динамических систем методами вейвлетного анализа позволяют эффективно изучать процессы, характеристики которых меняются с течением времени (перемежаемость), что оказывается чрезвычайно важным на практике, например, при анализе активности головного мозга

Результаты, изложенные в диссертационной работе, внедрены в учебный процесс по подготовке специалистов по специальностям "Радиофизика и электроника", "Физика", "Физика открытых нелинейных систем", а также по направлению подготовки бакалавров и магистров "Радиофизика" в ГОУ ВПО "Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского" (имеются соответствующие документы о внедрении) Результаты, полученные в рамках выполнения настоящей диссертационной работы, частично вошли в монографии [1-5]

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием строго обоснованных математических процедур, твердо установленных физических уравнений, методов и подходов, описанных в научной литературе, апробированных и хорошо себя зарекомендовавших при проведении научных исследований, обоснованным выбором параметров численных методов Достоверность полученных результатов подтверждается их воспроизводимостью, сопоставлением результатов, полученных аналитическими и численными методами, совпадением результатов при использовании различных методов идентификации колебательных режимов, соответствием известным из литературы результатам для аналогичных моделей, а также отсутствием противоречий с известными в научной литературе достоверными общепризнанными результатами

Личный вклад. Большинство представленных в диссертации результатов получено автором лично, либо под его руководством при его непосредственном участии Из работ, выполненных в соавторстве и посвященных решению вышеперечисленных задач, в диссертацию включены положения и результаты, принадлежащие лично соискателю, либо полученные при его непосредственном участии Соискателем были выбраны направления исследований, осуществлена формулировка и постановка задач, проведены теоретические исследования и расчеты, обработка и интерпретация полученных результатов Часть работ в соавторстве с Д И Трубецковым и А Е Храмовым выполнены на паритетных началах, работы в соавторстве с А Е Храмовой, А В Стародубовым, О И Москаленко, М К Куровской, И М Минюхиным, А Е Тыщенко выполнены под научным руководством автора

ции Патент на изобретение № 2295835 Изобретения Полезные модели Официальный бюллетень Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам Москва ФИПС

Апробация работы. Материалы диссертационной работы использовались при выполнении госбюджетных и хоздоговорных НИР, проводимых в Научно-Исследовательском Институте Механики и Физики СГУ, Научно-образовательном институте "Открытые системы" СГУ, отделении физики нелинейных систем научно-исследовательского института Естественных наук СГУ, проектов Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 96-02-16753, 96-15-95536 9902-16016, 01-02-17392, 02-02-16351, 00-15-96673, 05-02-16273, 05-02-16286, 05-02-30062-э_д, 06-02-81013-Бел_а, 06-02-72007-МНТИ_а, 07-02-00044), были поддержаны программой "Университеты России - Фундаментальные исследования" (проекты УР 99 01 124 и УР 01 01 065, УР 01 01 371, УР 01 01 052), Федеральной целевой научно-технической программой "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники" на 2002-2006 годы (темы РИ-112/001/240, РИ-19 0/002/224, 2006-РИ-19 0/001/053, 2006-РИ-19 0/001/054, 2006-РИ-112 0/001/228), Президентской Программой поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (1996-1999, 2000-2002, 2003-2005 и 2006-2007 гг, руководитель ведущей научной школы — чл -корр РАН, профессор Д И Трубец-ков), Программой Минобразования Российской Федерации "Развитие научного потенциала высшей школы" (2005 г, проекты 332, 333), Саратовским учебно-научным центром "Волновая электроника, микроэлектроника и нелинейная динамика" на базе Саратовского государственного университета, Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН и Государственного учебно-научного центра "Колледж" (поддерживаемым Федеральной целевой программой "Интеграция" (проекты А0057 и Б0057)), научно-образовательным центром "Нелинейная динамика и биофизика" при Саратовском госуниверситете (грант REC-006 of U S Civilian Research & Development Foundation for the Independent States of the Former Soviet Union (CRDF)), Фондом некоммерческих программ "Династия" и Московским Международным Центром Фундаментальной Физики

Представленные результаты неоднократно докладывались на различных семинарах и конференциях и отражены в тезисах докладов XI Международной зимней школе по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2-6 марта 1999), VII Всероссийской школе-семинаре "Физика и применение микроволн" (Красновидово, май 1999), Second International University Conference "Electronics and Radiophysics of Ultra-High Frequencies" (St Petersburg, May 1999), VII Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Красновидово, май 2000), II Международной конференции "Фундаментальные

проблемы физики" (Саратов, октябрь 2000), Международной конференции "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ" (Саратов, март 2001), 5th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS'2001) (Saratov, October 2001), VIII Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Красновидово, май 2002), 4th International Vacuum Electron Sources Conference (IVESC'2002) (Saratov, July 2002), VI научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, сентябрь 2002), XII Зимней школе-семинаре по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, январь-февраль 2003), IX Всероссийской школе-семинаре "Физика и применение микроволн" (Звенигород, май 2003), International Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (Нижний Новгород — Москва — Нижний Новгород, сентябрь 2003), IX Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Красновидово, 24-29 мая 2004), 14-ой Международной Крымской конференции "СВЧ-техника" (Украина, Севастополь, 13-17 сентября 2004), VII Международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур (ХАОС-2004)" (Саратов, 1-6 октября 2004 года), Научной конференции молодых ученых Фонда "Династия" (Москва, 16-17 апреля 2005), III Международной конференции "Фундментальные проблемы физики" (Казань, 13-18 июня 2005 года), X Всероссийской школе-семинаре "Физика и применение микроволн" (Звенигород, Московская область, 23-28 мая 2005 года), Второй летней научной школе Фонда Дмитрия Зимина "Династия" (Москва, 17-21 июля 2005), International Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics (NWP-2005)", Nonlinear Dynamics Theory and Applications (St -Petersburg — Nizhny Novgorod, 2-9 August 2005), 15-ой Международной Крымской конференции "СВЧ-техника" (Украина, Севастополь, 12-16 сентября 2005), VII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 19-22 сентября 2005 года), XIII школе "Нелинейные волны-2006" (1-7 марта 2006 года, Нижний Новгород), X Всероссийской научной школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (Московская область, пансионат "Университетский", 22-27 мая 2006 года), XI Всероссийской научной школе-семинаре "Физика и применение микроволн" (Звенигород, Московская область, 21-26 мая 2007 года) Результаты, изложенные в диссертационной работе докладывались в Институте высшей нервной деятельности и нейрофизиологии РАН (ИВНД и НФ РАН), г Москва (19 апреля 2006 года и 17 апреля 2007 года), Белорусском государственном университете информатики и радиоэлектроники (БГУИР), Белоруссия, г Минск (17 октября

2006 г ) Результаты также неоднократно обсуждались на научном семинаре кафедры электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов и НТС Государственного учебно-научного центра "Колледж" С ГУ

Публикации. Результаты работы опубликованы в реферируемых научных журналах, таких как "Письма в Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики", "Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики", "Известия вузов Радиофизика", "Радиотехника и электроника", "Известия вузов Прикладная нелинейная динамика", "Физика плазмы", "Доклады Академии Наук", "Журнал Технической Физики", "Письма в Журнал Технической Физики", "Известия РАН Серия физическая", "Радиотехника", "Высшее образование в России", "Науковедение", "Physical Review Letters", "Physical Review E", "Chaos An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science", "Europhysics Letters", "Physics Letters A", "Physica D Nonlinear Phenomena", "Nonlinear Phenomena in Complex Systems" (всего 109 статей в реферируемых отечественных и зарубежных научных журналах, в том числе 98 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук) Результаты, полученные в рамках выполнения настоящей диссертационной работы, частично вошли также в материал пяти монографий

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав и заключения Идеология построения каждой главы подчиняется следующей логике в начале каждой главы (как правило, в первом разделе) кратко описывается современное состояние проблемы, которой посвящена та или иная глава, указываются основные известные результаты, необходимые для понимания дальнейшего материала, даются ссылки на соответствующие работы (как свои, так и других авторов) и, на основании этого материала, формулируются вопросы и проблемы, решению которых посвящаются остальные разделы главы, в которых содержатся оригинальные результаты, полученные автором диссертационной работы

Общий объем диссертации составляет 462 страниц текста, включая 140 рисунков и список использованных источников, содержащий 649 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ И ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Во Введении обоснована актуальность выбранной темы диссертации, сформулирована цель работы, описаны научная новизна и практическая значимость полученных результатов Введение содержит поло-

жения и результаты, выносимые на защиту, а также сведения об апробации результатов

Первая глава диссертационной работы посвящена изложению концепции синхронизации временных масштабов, которая описывает различные типы хаотической синхронизации с единых позиций Предложенный подход позволяет объединить различные типы синхронного поведения В этой главе излагаются основные идеи, положенные в основу концепций синхронизации временных масштабов, и затем, на примере нескольких нелинейных динамических систем последовательно рассматриваются разные типы синхронного поведения (фазовая синхронизация, синхронизация с запаздыванием, обобщенная синхронизация, полная синхронизация) с точки зрения синхронизма временных масштабов

Концепция синхронизации временнйх масштабов заключается в том, что поведение рассматриваемых связанных систем анализируется на различных временных масштабах в, вводимых в рассмотрение с помощью непрерывного вейвлетного преобразования хаотической временной реализации ж(£)

где — вейвлетная функция, получающаяся из материнского вей-

влета фо (€)

Временной масштаб в определяет ширину вейвлета ¿о — вре-

менной сдвиг вейвлетной функции вдоль оси времени, символ "*" в соотношении (1) означает комплексное сопряжение В качестве материнского вейвлета был использован Морлет-вейвлет

Выбор значения параметра вейвлета ш0 = 2-7Г обеспечивает соотношение в = f между временным масштабом в вейвлетного преобразования и частотой / преобразования Фурье, однако в ряде случаев, с целью повышения разрешающей способности вейвлетного преобразования, могут использоваться другие значения параметра вейвлета си0 Вейвлетная поверхность

(1)

(2)

(3)

характеризует поведение системы на каждом временном масштабе s в любой момент времени t0 Величина \W(s, ¿о)! характеризует наличие и интенсивность соответствующего временного масштаба s в момент времени to В рассмотрение также вводятся мгновенное

E(s,to) = \W(s,to)\2 (5)

и интегральное

(E(s)) = J\W(s,to)\2 ¿to (6)

распределения энергии по временным масштабам

При использовании вейвлетного преобразования (1) для каждого временного масштаба s оказывается естественным образом определена непрерывная фаза tps(t) = argWK(s,t), что позволяет характеризовать поведение каждого временного масштаба s с помощью ассоциированной с ним фазы (ps(t), являющейся непрерывной функцией временного масштаба s и времени t Введенное в рассмотрение таким образом семейство фаз наиболее полным образом характеризует поведение связанных систем возможно описать поведение каждого временного масштаба с помощью ассоциированной с ним фазы ys(i)

Если для временных реализаций xij2(i), порождаемых двумя взаимодействующими системами можно найти интервал временных масштабов si < s < Sh, для которого выполняется условие захвата фаз

I <ßsi (t) ~ 4>s2 (t) I < const, (7)

и условие ненулевой энергии (доля энергии вейвлетного спектра, приходящаяся на данный интервал временных масштабов, оказывается отличной от нуля)

«Л

Esnhr = J(E(s)) ds > 0, (8)

SI

то такой режим называется синхронизацией временных масштабов

В случае классической синхронизации периодических осцилляторов синхронное поведение будет наблюдаться на всех временных масштабах в силу определений вейвлетного преобразования (1), временного масштаба s, ассоциированной с ним непрерывной фазы <ps(i) и самого определения режима синхронизации временных масштабов В случае хаотических колебаний ситуация оказывается сложнее, но тем не менее, если два связанных хаотических осциллятора находятся в одном

19

из вышеперечисленных режимов хаотической синхронизации (фазовая синхронизация, обобщенная синхронизация, синхронизация с запаздыванием, полная синхронизация), то в этом случае, для временных реализаций xi¿(t), порождаемых этими осцилляторами, обязательно существует диапазон синхронных временных масштабов, для которых выполняются условия захвата фаз (7) и ненулевой энергии (8), и, соответственно, реализуется режим синхронизации временных масштабов Иными словами, режимы фазовой синхронизации, обобщенной синхронизации, синхронизации с запаздыванием и полной синхронизации являются частными случаями синхронизации временнйх масштабов Для того, чтобы диагностировать режим синхронизации временных масштабов, необходимо проверить выполнение условий (7) и (8) для некоторого диапазона временнйх масштабов

Следует также отметить, что условие захвата фаз (7) может быть обобщено на случай т п синхронизации При этом вместо условия (7) должно быть проверено более общее соотношение на различных диапазонах временных масштабов зц < s„i < si^ и s2i < sm2 < s2k

¡mipsnl(t) - n(psm2(t) | < const (9)

В этом случае временной масштаб smi первой системы и, соответственно, временной масштаб sn2 второй системы должны удовлетворять соотношению sm2/sni = т/п Условие ненулевой энергии вейвлетного спектра, приходящейся на диапазон еинхронных масштабов (8), остается неизменным, но диапазоны временных масштабов su < sni < Sih и «21 < -Sm2 < s2h используются разные

В главе диссертационной работы на примере различных нелинейных динамических систем (системы Ресслера, Лоренца, генераторы Чуа) последовательно рассмотрены разные типы хаотического синхронного поведения (фазовая синхронизация, синхронизация с запаздыванием, обобщенная синхронизация, полная синхронизация) и показано, что в том случае, когда связанные хаотические системы демонстрируют любой из известных типов синхронного поведения, обязательно существуют синхронные временные масштабы, и, соответственно, диагностируется режим синхронизации временных масштабов Соответственно, все вышеперечисленные типы хаотической синхронизации являются частными случаями синхронизации временных масштабов

В первой главе также вводится в рассмотрение количественная характеристика, — мера синхронизации, — как относительная доля энергии вейвлетного спектра, приходящаяся на синхронные временные мас-

штабы

где ,?/,] — диапазон временных масштабов для которых выполняется условие захвата фаз (7), В1>2 — полная энергия вейвлетного спектра

+ 0О

первой и второй систем, соответственно Мера р хаотической синхронизации равняется нулю в случае полностью асинхронной динамики и принимает значение, равное единице, в случае синхронизации с запаздыванием и полной синхронизации Если же в системе реализуется режим хаотической фазовой или обобщенной синхронизации, то величина р принимает значения в диапазоне от нуля до единицы, в зависимости от доли энергии вейвлетного спектра, приходящейся на синхронные временнйе масштабы Таким образом, введенная в рассмотрение мера хаотической синхронизации р позволяет не только различать синхронную и асинхронную динамику, но и количественно характеризовать степень синхронизма при синхронизации временных масштабов

Так как мера синхронизации оказывается равной единице как в случае полной синхронизации, так и в случае синхронизации с запаздыванием, то в обоих случаях все временные масштабы оказываются синхронизованными Таким образом, режим полной синхронизации и синхронизации с запаздыванием являются одним и тем же видом синхронного поведения21 и разграничение их на два вида обусловлено исторически сложившимися особенностями

Еще одним вопросом, излагаемым в первой главе, является рассмотрение синхронизации временных масштабов с точки зрения Фурье спектров взаимодействующих систем Показано, что явление синхронизации временных масштабов находит свое отражение в синхронизации спектральных компонент связанных осцилляторов22 Приведены аналитические соотношения, находящиеся в хорошем соответствии с результатами численного моделирования синхронного поведения хаотических

21Беседа с П С Ланда на VII международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур (Хаос-2004)" Саратов, 1-6 октября 2004 года

22Полученные результаты хорошо подтверждаются также данными работ A Shabunm, V Astakhov, J Kurths Phys Rev E 72 (2005) 016218, П С Ланда Известия вузов Прикладная нелинейная динамика 12(4) (2004) 48

(И)

о

систем, впервые описан степенной закон, связывающий фазовый сдвиг Д{р между синхронизованными спектральными компонентами с частотой и и параметром связи е

Д (р

(12)

е

Важно подчеркнуть, что временное запаздывание между спектральными компонентами

не зависит от частоты, а следовательно, оказывается одинаковым для всех спектральных компонент Именно благодаря этому факту становится возможным установление режима синхронизации, с запаздыванием хаотических осцилляторов, когда динамика связанных систем на всех частотах отличается на один и тот же сдвиг по времени Очевидно, что если тип связи между хаотическими осцилляторами выбран таким образом, что фазовый сдвиг A(pf между синхронизованными спектральными компонентами удовлетворяет соотношению (12), то в этом случае при достаточно большйх значениях параметра связи е возможно возникновение режима синхронизации с запаздыванием И наоборот, если установившийся фазовый сдвиг не удовлетворяет (12), то для данного типа связи установление режима синхронизации с запаздыванием невозможно Таким образом, соотношение (12) можно рассматривать как критерий возможности (или, наоборот, невозможности) возникновения в рассматриваемой системе связанных хаотических осцилляторов режима синхронизации с запаздыванием

В заключительной части первой главы диссертационной работы приведены результаты анализа синхронизации неустойчивых седловых периодических орбит, встроенных в хаотические аттракторы взаимодействующих осцилляторов, и рассмотрен вопрос о том, как изменяется временной сдвиг между синхронизованными неустойчивыми седловыми периодическими орбитами в фазовых пространствах взаимодействующих хаотических осцилляторов, соответствующими в общем фазовом пространстве резонансным синфазным седловым циклам ш тп при изменении параметра связи между взаимодействующими подсистемами На примере двух взаимодействующих систем Ресслера показано, что зависимость временного сдвига между синхронизованными неустойчивыми седловыми периодическими орбитами от параметра связи е оказывается одинаковой для всех циклов, независимо от их топологического периода, и выражается степенным законом Д£ ~ еп с показателем степени тг — — 1 во всем диапазоне изменения параметра связи е, в котором

(13)

существует соответствующий седловой синфазный резонансный цикл, то есть данная зависимость справедлива и для режима синхронизации с запаздыванием, и для режима фазовой синхронизации Особо следует отметить, что время запаздывания At{e) оказывается одинаковым для всех седловых синфазных циклов, независимо от их топологического периода т Полученные результаты очень хорошо согласуются с выводами, сделанными при рассмотрении синхронизации спектральных компонент

Во второй главе диссертационной работы изложены результаты рассмотрения особенности установления (разрушения) режима хаотической фазовой синхронизации, являющейся, как было показано в первой главе, частным случаем синхронизации временных масштабов В главе показано, что существует два сценария разрушения (установления) режима хаотической фазовой синхронизации первый тип разрушения режима хаотической фазовой синхронизации связан с нарушением общего ритма хаотических колебаний, второй сценарий обусловливается потерей фазовой когерентности хаотических аттракторов

Объяснение механизмов, обуславливающих возникновение двух различных типов разрушения (установления) режима хаотической фазовой синхронизации, проведено на примере эталонной системы нелинейной теории колебаний — генератора Ван дер Поля Хотя данная система и не является хаотической, рассмотрение поведения периодических осцилляторов, направленное на выявление различных аспектов синхронизации (в том числе и хаотической), в ряде случаев дает очень хорошие результаты23 Несмотря на то, что в рассматриваемом случае колебания в системе, конечно, не являются хаотическими, понятия фазы сигнала, хаотической фазовой синхронизации и фазовой когерентности аттрактора можно легко применить и в этом случае, аналогично тому, как это осуществляется при рассмотрении поведения хаотических осцилляторов Затем полученные выводы используются при рассмотрении однона-правленно связанных осцилляторов Ресслера и двух взаимно связанных генераторов на туннельном диоде

В результате проведенных исследований установлено, что существует два типа разрушения режима хаотической фазовой синхронизации, зависящие от величины расстройки управляющих параметров взаимодействующих хаотических осцилляторов, точно также, как это происходит и в случае синхронизации периодических колебаний при малых значениях расстройки собственных частот взаимодействующих осцил-

23Например, AG Balanov, NB Janson, VV Astakhov, PV McClmtock Phys Rev E 72 (2005) 026214, A G Balanov, N В Janson, D E Postnov, P V McClmtock Phys Rev E 65 (2002) 041105

ляторов разрушение режима фазовой синхронизации происходит без потери фазовой когерентности хаотического аттрактора, в то время как в случае больших расстроек режим фазовой синхронизации разрушается, когда один из хаотических аттракторов взаимодействующих осцилляторов становится фазово-некогерентным Конечно, этими двумя типами все множество возможных сценариев разрушения (возникновения) режима фазовой синхронизации не исчерпывается24, но, тем не менее, по всей видимости, вышеописанные два типа разрушения режима фазовой синхронизации являются типичными для очень широкого класса нелинейных систем

Рассмотрена также взаимосвязь между границей возникновения (разрушения) режима хаотической фазовой синхронизации и критической линией на плоскости управляющих параметров, соответствующей переходу одного из нулевых ляпуновских показателей в область отрицательных значений Из рассмотрения, приведенного в -этой главе, следует, что переход одного нулевого показателя Ляпунова в область отрицательных значений предшествует возникновению фазовой синхронизации, но не является фактором, определяющим момент наступления данного режима синхронной динамики

Другим важным выводом, полученным во второй главе, является заключение о том, что обращение в нуль одного из положительных ляпуновских показателей также никак не соотносится с границей режима фазовой синхронизации Положение соответствующей кривой на плоскости "расстройка управляющих параметров — интенсивность связи" вообще никак не связано с фазовой синхронизацией и всецело определяется другими механизмами, описанными в третьей главе настоящей диссертационной работы

Впервые описан принципиально новый тип перемежающегося поведения, реализующийся вблизи границы режима фазовой синхронизации двух однонаправленно связанных хаотических осцилляторов с достаточно большой расстройкой собственных частот Хорошо известно, что перемежающееся поведение наблюдается вблизи границы возникновения синхронных режимов В данной главе впервые показано, что перемежающееся поведение вблизи возникновения режима фазовой синхронизации, называемое перемежаемостью "игольного ушка"25,

24В частности, возможен переход к фазовой синхронизации, связанный с гомоклиниче-ской бифуркацией D Е Posttiov, A G Balanov, N В Janson, Е Mosekilde Phys Rev Lett 83 (1999) 1942

25A S Pikovsky, G V Osipov, M G Rosenblum et al Phys Rev Lett 79 (1997) 47, К J Lee, Y Kwak, T К Lim Phys Rev Lett 81 (1998) 321, S Boccaletti, E Allaria, R Meucci, F T Arecchi Phys Rev Lett 89 (2002) 194101

наблюдается только при малых расстройках значений управляющих параметров взаимодействующих хаотических осцилляторов, в то время как при больших значениях расстроек наблюдается принципиально новый тип перемежающегося поведения, названный (в силу механизмов, приводящих к нему) перемежаемостью кольца Данный тип перемежаемости полностью отличается от всех других известных в настоящее время типов перемежающегося поведения, он наблюдается в определенном диапазоне значений параметра связи между взаимодействующими осцилляторами, при этом распределение длительностей ламинарных фаз (когда взаимодействующие осцилляторы демонстрируют синхронное поведение) подчиняется экспоненциальному закону Построена теория для данного типа перемежаемости, выявлен механизм, приводящий к возникновению перемежающегося поведения нового типа, получена теоретическая зависимость средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности, хорошо согласующаяся с результатами численного моделирования

Аналитически показано, что распределение ламинарных фаз с характерной длительностью т имеет вид

Ы{г) = Аехр(Ь-), т>Т, (14)

где к — (1/Т)1п(1 — р), А — нормировочный коэффициент, р — пТ/Ь, Ь — длина анализируемой временной реализации, п — количество турбулентных фаз (проскоков фазы), Т — характерный временной масштаб колебаний в системе Распределение ламинарных фаз выражается экспоненциальным законом, при этом параметр к принимает отрицательные значения в силу того, что 0 < р < 1 Выражение для средней длительности ламинарных фаз в виде имеет вид

05)

где и ес — границы диапазона значений параметра связи е, в котором наблюдается данный режим перемежаемости Важно отметить, что предельные переходы

Ига <т(е)) -Т и 1хт (т(е)) - +оо (16)

хорошо соответствуют поведению системы вблизи обеих границ перемежающегося поведения (е^е«)

В заключительной части этой главы диссертационной работы изучается взаимосвязь между различными типами синхронного поведения в динамических системах с непрерывным и дискретным временем Для

этого сопоставляется друг с другом поведение связанных отображений, потоковых систем и отображений, полученных из потоковых систем с помощью процедуры сечения Пуанкаре На основании полученных результатов впервые показано, что тип поведения связанных отображений, который до сих пор считался асинхронным, следует рассматривать как синхронное поведение, соответствующее режиму фазовой синхронизации потоковых систем

Третья глава диссертационной работы посвящена еще одному типу синхронного поведения хаотических систем — режиму обобщенной синхронизации В этой главе рассматриваются механизмы, обуславливающие возникновение режима обобщенной синхронизации Предложен метод (названный методом модифицированной системы), позволяющий не только объяснить причины установления обобщенной синхронизации с физически понятных позиций, но и охарактеризовать количественно возникновение этого синхронного режима Суть метода модифицированной системы заключается в следующем Пусть поведение двух однонаправленно связанных хаотических осцилляторов описывается следующими уравнениями

Ху — 0(хг, Ч-бР(х^, Х?-),

где х<2)Г — векторы состояний ведущей и ведомой систем, соответственно, Н и в определяют векторное поле рассматриваемых систем, g(J и gr являются векторами параметров, слагаемое Р отвечает за однонаправленную связь между системами, а параметр е определяет силу связи между системами

Как правило, режим обобщенной синхронизации рассматривается для двух идентичных хаотических осцилляторов со слегка различающимися параметрами, связанных однонаправленной диссипативной связью В случае одинаковых связанных систем с диссипативной однонаправленной связью размерности фазовых пространств ведущей и ведомой систем равны друг другу {N4 = = Ю, а уравнения (17) могут быть переписаны в виде

¿й = Н(хй, gci)

хг = Н(хг, + еА(хй - хг),

где А = {5г}} — матрица связи, е — скалярный параметр, характеризующий силу связи, 6гг — 0 или 1, 6го =0 {г ф ])

В рамках развитого подхода ведомая система хг(£) рассматривается как некоторая неавтономная модифицированная система

хт — Н (хт, , б)

(19)

под внешним воздействием еАх(£)

где

Н'(х,ё) =Н(х,е)-еАх

(21)

Слагаемое (—еАх) фактически вносит дополнительную диссипацию в модифицированную систему (19) Действительно, сжатие фазового объема в фазовом пространстве характеризуется дивергенцией векторного поля Очевидно, что дивергенция векторного поля модифицированной системы и дивергенция векторного поля ведомой системы связаны друг с другом соотношением

(где N — размерность фазового пространства модифицированной системы) Таким образом, диссипация в модифицированной системе оказывается больше, чем в ведомой При этом величина диссипации нарастает с увеличением параметра связи е

Режим обобщенной синхронизации, возникающий в системе (18) при увеличении параметра связи е, может быть рассмотрен как следствие двух взаимосвязанных процессов, протекающих одновременно Первый из этих процессов — увеличение диссипации в модифицированной системе (19), а второй — возрастание амплитуды внешнего сигнала Понятно, что оба процесса связаны друг с другом посредством параметра е и не могут быть реализованы в ведомой системе (18) независимо друг от друга Тем не менее, подобное искусственное разделение влияния внешнего воздействия и дополнительной диссипации позволяет эффективно объяснить механизмы возникновения режима обобщенной синхронизации

С увеличением параметра диссипации динамика модифицированной системы (19) упрощается Вследствие этого, модифицированная система хт(£) совершает переход от хаотических колебаний к регулярным (периодическим), и, может быть (в случае большого значения параметра диссипации), — даже к стационарному состоянию Внешний же сигнал в соотношении (20), наоборот, стремится навязать хаотическую динамику ведущей системы х<*(4) модифицированной системе хт(£), и, соответственно, усложнить динамику последней Режим обобщенной синхронизации может может существовать только в том случае, если собственная хаотическая динамика модифицированной системы хт(£)

N

(22)

будет подавлена за счет увеличения диссипации Очевидно, что только при выполнении этого условия текущее состояние модифицированной системы хт(/;) будет определяться внешним сигналом, то есть будет выполняться соотношение хт(£) = Е[х<г(£)] В соответствии с соотношением (20) функциональное соотношение хг(£) = Е[х<г^)] также будет справедливым, что соответствует режиму обобщенной синхронизации

Эффективность предложенного метода модифицированной системы проиллюстрирована на примере возникновения режима обобщенной хаотической синхронизации в однонаправленно связанных осцилляторах Ресслера и логистических отображениях С помощью предложенного метода детально исследован вопрос о границе возникновения режима обобщенной синхронизации в однонаправленно связанных хаотических осцилляторах, в том числе при различных значениях расстройки управляющих параметров

В главе рассмотрен также вопрос возникновения режима обобщенной синхронизации в случае однонаправленно связанных различных динамических систем и в случае недиссипативной связи Показано, что если тип связи диссипативный, то различие ведущей и ведомой систем не играют значительной роли, а соответственно, метод модифицированной системы остается применемым и в этом случае В то же самое время, если однонаправленная связь не является диссипативной, то использовать подход модифицированной системы не представляется возможным Как показано, возникновение режима обобщенной синхронизации в этом случае обуславливается смещением изображающей точки системы в области фазового пространства с сильной диссипацией

Описан также обнаруженный новый тип поведения однонаправленно связанных хаотических осцилляторов с непрерывным временем вблизи границы возникновения режима обобщенной синхронизации, названный перемежающейся обобщенной синхронизацией Показано, что данный тип перемежающегося поведения представляет собой on-off перемежаемость, при этом распределение длительностей ламинарных фаз (участков синхронного поведения (в смысле режима обобщенной хаотической синхронизации) однонаправленно связанных хаотических осцилляторов) подчиняется степенному закону N(1) ~ 1а с показателем степени а = —3/2, характерному для оп-о!1 перемежаемости Зависимость средней длительности ламинарных фаз (т) от параметра надкритич-ности е также подчиняется степенному закону (т) ~ еп с показателем степени п = —1, как это свойственно режиму оп-оН перемежаемости

Рассмотрен также вопрос о взаимосвязи между режимами хаотической обобщенной синхронизации и синхронизации, индуцированной

шумом В ряде работ26 была высказана идея о том, что эти режимы являются, по сути дела, одним и тем же типом поведения, однако детального изучения этого вопроса и четких аргументов в пользу данного утверждения сделано не было Детальное изучение механизмов, обуславливающих возникновение режима обобщенной синхронизации, проведенное в этой главе, позволило сделать вывод о том, что эти вышеупомянутые явления (обобщенная синхронизация хаотических систем и индуцированная шумом синхронизация) обусловлены сходными механизмами, и, действительно, могут рассматриваться как единый тип синхронного поведения

Наконец, в заключительной части главы диссертационной работы изложен новый способ секретной передачи информации, в основу которого положено явление обобщенной синхронизации В схемах передачи информации, основанных на использовании полной хаотической синхронизации или синхронного отклика генераторов хаоса в передатчике и приемнике, возникает целый ряд существенных трудностей при практической реализации во-первых, принципиальным требованием известных способов передачи данных является необходимость обеспечения высокой степени идентичности генераторов хаоса, используемых в передающем и принимающем устройствах, во-вторых, на качество передачи информации с помощью вышеуказанных схем сильное влияние оказывают искажения и шумы различных типов в канале связи, в-третьих, в ряде случаев передающее устройство, генерирующее несущий хаотический сигнал может быть реконструировано по временной реализации27 передаваемого сигнала Поскольку передающее и принимающее устройства должны быть идентичными, в этом случае третья сторона может (реконструировав исходную систему) дешифровать скрытое сообщение Предложенный способ обладает рядом преимуществ по сравнению со способами, основанными на явлении полной синхронизации хаотических осцилляторов, поскольку позволяет избавиться от вышеперечисленных существенных ограничений Суть метода заключается в следующем один или несколько управляющих параметров передающего генератора модулируются полезным двоичным сигналом Сформированный таким образом сигнал поступает в канал связи и с определенной мощностью передается по каналу связи принимающей стороне На принимающей стороне сигнал, снятый с канала связи, подают на два идентичных генератора хаотических автоколебаний, способных находиться с передающим генератором в режиме обобщенной хаотической синхронизации

26Например, D S Goldobin, A S Pikovsky Phys Rev Е 71 (2005) 045201

27VI Ponomarenko, M D Prokhorov Phys Rev E 66 (2002) 026215

Факт нахождения принимающих генераторов в одном месте позволяет легко осуществлять их юстировку Параметры модуляции управляющих параметров передающего генератора необходимо выбирать таким образом, чтобы в зависимости от передаваемого двоичного бита "0"/"1" между передающим и принимающими генераторами существовал или отсутствовал режим обобщенной хаотической синхронизации Сигналы, снимаемые с выходов генераторов принимающей стороны, подаются на вычитающее устройство, на котором регистрируются либо хаотические колебания, либо отсутствие сигнала, в зависимости от передаваемого бита Данная схема позволяет преодолеть трудности, возникающие при практической реализации систем, основанных на использовании явления полной хаотической синхронизации, в частности, избавиться от требования идентичности хаотических генераторов передающего и принимающего устройств Следует также отметить, что предложенная схема (в отличие от схем, использующих явление полной хаотической синхронизации) обладает большой устойчивостью к помехам, которые могут возникать в канале связи

В четвертой главе изложены результаты применения непрерывного вейвлетного анализа для изучения перемежающегося поведения нелинейных динамических систем, изложен новый универсальный метод выделения ламинарных и турбулентных фаз, основанный на непрерывном вейвлетном преобразовании, позволяющий проводить эффективный анализ временных реализаций систем, демонстрирующих явление перемежаемости

Предложенный в диссертационной работе метод выделения различных фаз в эволюции системы, демонстрирующей перемежающееся поведение, основан на непрерывном вейвлетном преобразовании анализируемого временного сигнала Поскольку поведение системы во время турбулентных и ламинарных фаз различается, то и структура вейвлет-ной поверхности W(t,s) в области ламинарных и турбулентных фаз движения также будет существенно различна Иными словами, энергия вейвлетного спектра E(s,t) будет распределена по характерным временным масштабам s, которые будут для разных фаз временной реализации x(t) разными, причем доля энергии, приходящейся на эти характерные временные масштабы также будет различаться Таким образом, можно перейти от анализа структуры вейвлетной поверхности W(s,t) к анализу распределения энергии вейвлетного спектра по характерным временным масштабам Для выделения ламинарных и турбулентных фаз в каждый момент времени t определяется суммарное значение энергии вейвлетного спектра w(t), приходящейся на выбранный диапазон

характерных временных масштабов s € S = (si,S2)

w(t) = J E(t, s) ds (23)

s

Диапазон характерных временных масштабов s, по которым будет определяться величина w(t), зависит от рассматриваемой системы, и в каждом конкретном случае должен выбираться на основании мгновенных распределений энергии вейвлетного спектра для различных фаз перемежающегося поведения В ряде случаев может сложиться ситуация, что необходимо рассматривать нескольких диапазонов временных масштабов 5г, которые однозначно позволяли бы охарактеризовать поведение системы В этом случае интегрирование (23) должно проводиться по объединению S = US', соответствующих диапазонов временных мас-

г

штабов

Эффективность предложенного метода проиллюстрирована на примере перемежаемости I-типа в динамической системе с непрерывным временем (система Лоренца) и в системе с дискретным временем (логистическое отображение), а также на примере явления on-off перемежаемости, наблюдаемом вблизи границы возникновения режима синхронизации с запаздыванием в связанных осцилляторах Ресслера Показана устойчивость предложенного метода по отношению к шумам и флук-туациям, существующим в анализируемых сигналах Высокая эффективность метода анализа временных реализаций систем, находящихся в режиме перемежаемости, обусловлена различающимися характерными временными масштабами, на которые приходится наибольшая доля энергии вейвлетного спектра, во время ламинарных и турбулентных фаз

Предложенный метод был с успехом применен к исследованию характера перемежающегося поведения в спонтанной неконвульсивной судорожной активности у крыс линии WAG/Rij28 В четвертой главе впервые было показано, что в этом случае перемежающееся поведение является перемежаемостью on-off типа, при этом распределение длительностей ламинарных фаз (участков нормального функционирования

28Эксперименты проводились на базе Института высшей нервной деятельности и нейрофизиологии РАН, г Москва (ИВНД и НФ РАН) и Института биологической физиологии, Нидерланды (NICI—Biological Psychology, Radboud University Nijmegen, PO 9104, 6500 HE Nijmegen, The Netherlands) проф С M van Rijn, к б н , н с Ситниковой ЕЮ и м н с Мидзяновской И С Обработка полученных данных осуществлялась совместно с д ф -м н Храмовым А Е Все эксперименты были проведены на уровне стандартов, предъявляемых международным соглашением о медицинских и этических принципах постановки экспериментов на животных

головного мозга) подчиняется степенному закону с показателем степени а = —3/2, характерному для on-ofi перемежаемости Учитывая, что пароксизмальная активность у крыс сильно зависит от суточной периодичности (то есть изменяется в течение суток и максимальна в ночное время), временные реализации, полученные для светлого и темного времени суток анализировались раздельно

В пятой главе рассмотрены переходные процессы и сложная динамика в системах различной природы (в том числе при неавтономном поведении и синхронизации) В главе описаны предложенные и апробированные методы определения длительности переходных процессов для отображений, находящихся как в периодических, так и непериодических режимах колебаний, получено соотношение, связывающее длительность переходного процесса с точностью его определения

Предложенная методика адаптирована для потоковых систем с хаотической динамикой С ее помощью проведено исследование переходных процессов в потоковой системе генераторе — "TORUS", детально выяснена карта длительностей переходных процессов на плоскости сечения Пуанкаре в области значений управляющих параметров, при которых система демонстрирует мультистабильность, а также приведено распределение количества точек начальных условий по длительностям переходных процессов

В этой главе рассмотрен также процесс установления синхронного режима двух связанных осцилляторов (как для случая периодических, так и хаотических колебаний) и показано, что в двух одинаковых подсистемах время установления режима полной синхронизации зависит от разности фаз колебаний в этих подсистемах в момент включения связи

Наконец, в этой же главе кратко рассматривается такое явление как переходной хаос В частности, показано, что во временной реализации системы, находящейся в режиме переходного хаоса существуют участки нетипичного поведения, частота возникновения которых возрастает с увеличением значения параметра надкритичности Выявлен механизм, ответственный за появление подобных участков Для динамических систем с дискретным временем этот механизм допускает понятное и наглядное геометрическое объяснение, основанное на анализе расположения устойчивых и неустойчивых многообразий неустойчивых циклов

Шестая глава диссертационной работы посвящена изложению результатов исследования переходных процессов и сложной динамики в социальных системах, в качестве которых рассматриваются экономическая, демографическая системы, а также система высшей школы Рос-

сийской Федерации В частности, в этой главе рассмотрены процессы формирования цены на одинаковые товары в рыночных условиях, при этом рассмотрены ситуации как превышения спроса над предложением, так и наоборот, превышения предложения над спросом и показано, что коллективное действие каждого из участников рыночных отношений приводит к тому, что на одинаковые товары устанавливается одинаковая цена, хотя каждый из участников действует исходя из своих собственных интересов Изучено также взаимодействие продавцов, предлагающих один и тот же вид товара, и покупателей, желающих приобрести этот товар В качестве основных механизмов такой динамики рассмотрены поиск и приобретение покупателями наиболее дешевых товаров (при прочих равных условиях) и ограниченность платежеспособности населения, когда покупатели просто не могут себе позволить приобрести товар по высокой цене Получены уравнения, описывающие изменение численности как продавцов, так и покупателей, для асимптотических случаев получено приближенное аналитическое решение этих уравнений

При описании результатов исследования демографических процессов в этой главе введена в рассмотрение модель, хорошо описывающая как качественно, так и количественно динамику численности народонаселения, что демонстрируется на примере Соединенных Штатов Америки и всего мира в целом В основу модели положены нелинейное уравнение диффузии и классическое уравнение Ферхюльста, при этом принципиальную роль играет рассинхронизация во времени динамики изменения плотности населения в различных точках ареала проживания Полученные результаты хорошо согласуются с реальными статистическими данными по динамике численности народонаселения Приведены также результаты моделирования динамики численности народонаселения с помощью модели класса решеточных газов, которые являются весьма эффективным инструментом для исследования широкого круга задач, в том числе и задач популяционной динамики

Также в этой главе диссертационной работы приведена предложенная модель класса клеточных автоматов, описывающая динамику численности и распределения по возрастам профессорско-преподавательского состава высшей школы как в целом по всем вузам Российской Федерации, так и по вузам отдельных регионов России Параметры модели и исходные данные для моделирования и прогноза кадровой ситуации в высшей школе выбирались из анализа реальных статистических данных Сравнение результатов, предсказываемых моделью для уже имеющихся данных, показало высокую достоверность предсказываемых ей результатов С помощью предложенной модели

проведен анализ состояния профессорско-преподавательского состава высшей школы Российской Федерации, и на основе проведенных исследований сделаны некоторые прогнозы дальнейшего состояния кадрового состава высшей школы Рассмотрены проблемы "старения" профессорско-преподавательского состава и притока в высшую школу молодых кадров (после окончания вузов и аспирантуры)

В Заключении подведены итоги диссертационной работы, сформулированы основные результаты и намечены направления дальнейших исследований в данном направлении

Основные выводы, результаты и положения, выносимые на защиту.

1 Использование нового подхода к описанию синхронного поведения взаимодействующих осцилляторов, названного синхронизацией временных масштабов, позволяет описывать различные режимы хаотической синхронизации, такие как фазовая синхронизация, частотная синхронизация, обобщенная синхронизация, перемежающаяся обобщенная синхронизация, синхронизация с запаздыванием, перемежающаяся синхронизация с запаздыванием и полная синхронизация, с единых позиций, при этом различные типы хаотической синхронизации отличаются друг от друга только диапазоном синхронных временных масштабов

2 Мера хаотической синхронизации, представляющая собой удельную долю энергии вейвлетного спектра, приходящейся на синхронные временные масштабы, является количественной характеристикой, позволяющей описывать синхронное поведение связанных хаотических систем

3 Зависимость временного сдвига между синхронизованными синфазными неустойчивыми седловыми орбитами, встроенными в хаотические аттракторы связанных систем Ресслера, от параметра связи оказывается одинаковой для всех циклов, независимо от их топологического периода, и выражается степенным законом с показателем степени "минус единица", что полностью согласуются с выводами, сделанными при рассмотрении синхронизации спектральных компонент, для которых имеет место та же самая закономерность

4 Обнаружены два сценария разрушения режима фазовой хаотической синхронизации в зависимости от величины расстройки

управляющих параметров связанных хаотических осцилляторов При малых расстройках разрушение режима фазовой хаотической синхронизации происходит без потери фазовой когерентности хаотического аттрактора, в то время как при больших значениях расстроек управляющих параметров разрушение фазовой синхронизации происходит через потерю фазовой когерентности хаотического аттрактора

5 Вблизи границы хаотической фазовой синхронизации при малых значениях расстройки собственных частот взаимодействующих осцилляторов, в зависимости от степени близости к границе, наблюдается либо перемежаемость "игольного ушка", либо перемежаемость типа I, описанные в научной литературе, при больших значениях расстроек вблизи границы синхронизации наблюдается перемежаемость кольца, впервые обнаруженная и описанная в рамках проведенных исследований.

6 Связанные системы с дискретным временем с уменьшением параметра связи между ними после разрушения режима полной синхронизации демонстрируют синхронное поведение, которое соответствует режиму фазовой синхронизации в слабо неидентичных потоковых системах Предложенная геометрическая мера степени синхронности позволяет четко отделить несинхронное поведение отображений от режима синхронизации, соответствующей режиму фазовой синхронизации связанных потоковых систем, такой подход может быть использован для диагностирования режима фазовой синхронизации в связанных системах с потоковым временем

7 Предложенный метод модифицированной системы позволяет качественно и количественно объяснить возникновение режима обобщенной синхронизации в однонаправленно связанных хаотических осцилляторах В рамках метода поведение ведомой системы эквивалентно поведению модифицированной системы (с внесенной дополнительной диссипацией) под внешним хаотическим воздействием Увеличение параметра связи, в свою очередь, эквивалентно увеличению диссипации модифицированной системы и амплитуды внешнего воздействия Порог возникновения обобщенной хаотической синхронизации определяется в этом случае балансом между подавлением собственной хаотической динамики в ведомой системе и возбуждением хаотических колебаний в ней под действием внешнего сигнала ведущей системы

8 Режимы обобщенной хаотической синхронизации и синхронизации, индуцируемой шумом, традиционно считающиеся разными явлениями, обусловлены одной причиной — подавлением собственных хаотических колебаний с помощью дополнительного введения диссипации (либо с помощью ненулевого среднего значения шума в случае индуцированной шумом синхронизации, либо с помощью дополнительного диссипативного механизма в случае режима обобщенной синхронизации, либо смещением изображающей точки системы в области фазового пространства с сильной диссипацией) и могут быть рассмотрены как один и тот же тип синхронного поведения

9 Спонтанная неконвульсивная судорожная активность у крыс линии представляет собой перемежающееся поведение Впервые показано, что в этом случае перемежающееся поведение является перемежаемостью оп-о!1 типа, при этом распределение длительностей ламинарных фаз (участков нормального функционирования головного мозга) подчиняется степенному закону с показателем степени, характерному для оп-о!! перемежаемости

10 Предложена простая модель, хорошо описывающая как качественно, так и количественно динамику численности народонаселения, что демонстрируется на примере Соединенных Штатов Америки Принципиальную роль играет рассинхронизация во времени динамики изменения плотности населения в различных точках ареала проживания Полученные результаты хорошо согласуются с реальными статистическими данными по динамике численности народонаселения

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[1] А А Короновский, М Н Стриханов, Д И Трубецков, Ю П Шара-евский, А Е Храмов, Высшая школа россии с позиций нелинейной динамики, М Физматлит, 2007

[2] Б П Безручко, А А Короновский, Д И Трубецков, А Е Храмов, Путь в синергетику экскурс в десяти лекциях, М Комкнига, 2005

[3] А А Короновский, А Е Храмов, Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения, М Физматлит, 2003

[4] А А Короновский, А Е Храмов, Непрерывный вейвлетный анализ в приложениях к задачам нелинейной динамики, Саратов изд-во Го-сУНЦ "Колледж", 2002

[5] А А Короновский, Д И Трубецков, Нелинейная динамика в действии Как идеи нелинейной динамики проникают в экологию, экономику и социальные науки, Саратов Изд -во ГосУНЦ "Колледж", 2002

[6] А Е Hramov, A A Koronovsku, V I Ponomarenko, М D Prokhorov, Detection of synchronization from univariate data using wavelet transform, Phys Rev E 75 (2007), No 5, 056207

[7] A E Hramov, A A Koronovsku, M К Kurovskaya, Two types of phase synchronization destruction, Phys Rev E 75 (2007), No 3, 036205

[8] А А Короновский, В И Пономаренко, М Д Прохоров, А Е Храмов, Диагностика синхронизации автоколебательных систем при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейвлетного анализа, Радиотехника и электроника 52 (2007), No 5

[9] А А Короновский, М К Куровская, О И Москаленко, А Е Храмов, Два сценария разрушения режима хаотической фазовой синхронизации, ЖТФ 77 (2007), No 1, 21-29

[10] А А Короновский, Р А Филатов, А Е Храмов, Хаотическая синхронизация в пучково-плазменных системах со сверхкритическим током, Радиотехника и электроника 52 (2007), No 3

[11] А Е Hramov, A A Koronovsku, М К Kurovskaya, S Boccaletti, Ring mtermittency in coupled chaotic oscillators at the boundary of phase synchronization, Phys Rev Lett 97 (2006), 114101

[12] А А Короновский, П В Попов, A E Храмов, Обобщенная хаотическая синхронизация в связанных уравнениях Гинзбурга-Ландау, ЖЭТФ 130 (2006), No 4(10), 748-764

[13] А Е Hramov, A A Koronovsku, V I Ponomarenko, М D Prokhorov, Detecting synchronization of self-sustained oscillators by external driving with varying frequency, Phys Rev E 73 (2006), No 2, 026208

[14] A E Hramov, A A Koronovsku, I S Rempen, Controlling chaos in spatially extended beam-plasma system by the continuous delayed feedback, Chaos 16 (2006), No 1, 013123

[15] A E Hramov, A A Koronovsku, I S Midzyanovskaya, E Sitmkova, С M Rtjn, On-off mtermittency in time series of spontaneous paroxysmal activity in rats with genetic absence epilepsy, Chaos 16 (2006), 043111

[16] Стефано Боккалетти, А А Короновский, Д И Трубецков, A E Храмов, A E Храмова, Устойчивость синхронного состояния произвольной сети связанных элементов, Изв вузов Радиофизика XLIX (2006), No 10, 917-924

[17] А А Короновский, О И Москаленко, Д И Трубецков, А Е Храмов, Обобщенная синхронизация и синхронизация, индуцированная шумом, - единый тип поведения связанных хаотических систем, Доклады Академии Наук 407 (2006), No 6, 761-765

[18] А Е Hramov, A A Koronovskn, О I Moskalenko, Are generalized synchronization and noise-induced synchronization identical types of synchronous behavior of chaotic oscillatorsPhys Lett A 354 (2006), No 5-6, 423-427

[19] R A Filatov, A E Hramov, A A Koronovskn, Chaotic synchronization in coupled spatially extended beam-plasma systems, Phys Lett A 358 (2006), 301-308

[20] А А Короновский, Г Д Кузнецова, И С Мидзяновская, Е Ю Ситнико-ва, Д И Трубецков, А Е Храмов, Закономерности перемежающегося поведения в спонтанной неконвульсивной судорожной активности у крыс, ДАН (2006)

[21] А А Короновский, О И Москаленко, А Е Храмов, О механизмах, приводящих к установлению режима обобщенной синхронизации, ЖТФ 76 (2006), No 2, 1-9

[22] А А Короновский, О И Москаленко, А Е Храмов, Об установлении режима обобщенной синхронизации в хаотических осцилляторах, Письма в ЖТФ 32 (2006), No 3, 40-48

[23] А А Короновский, В И Пономаренко, М Д Прохоров, А Е Храмов, Изучение синхронизации автоколебаний по унивариантным данным при изменении частоты внешнего воздействий с использованием вей-влетного анализа, Письма в ЖТФ 32 (2006), No 11, 81-88

[24] П В Попов, А А Короновский, А Е Храмов, Обобщенная синхронизация в уравнениях Гинзбурга-Ландау с локальной по пространству связью, Письма в ЖТФ 32 (2006), No 14, 81-88

[25] А А Короновский, А Е Храмова, А В Стародубов, Взаимосвязь спектров, полученных по временным реализациям системы с потоковым временем и ее отображениям возврата, Письма в ЖТФ 32 (2006), No 19, 86-94

[26] А ,Е Hramov, A A Koronovskn, М К Kurovskaya, О I Moskalenko, Synchronization of spectral components and its regularities in chaotic dynamical systems, Phys Rev E 71 (2005), No 5, 056204

[27] A E Hramov A A Koronovskn, Generalized synchronization a modified system approach, Phys Rev E 71 (2005), No 6, 067201

[28] A E Hramov, A A Koronovskn, P V Popov, Generalized synchronization in coupled Ginzburg-Landau equations and mechanisms of its arising, Phys Rev E 72 (2005), No 3, 037201

[29] А А Короновский, A E Храмов, A E Храмова, К вопросу о синхронном поведении связанных систем с дискретным временем, Письма в ЖЭТФ 82 (2005), No 3, 176-179

[30] А Е Храмов, А А Короновский, Ю И Левин, Синхронизация временных масштабов хаотических осцилляторов, ЖЭТФ 127 (2005), No 4, 886-897

[31] А Е Hramov, A A Koronovsku, Р V Popov, I S Rempen, Chaotic synchronization of coupled electron-wave systems with backward waves, Chaos 15 (2005), No 1, 013705

[32] А А Короновский A E Храмов, Анализ хаотической синхронизации динамических систем с плохо определенной фазой,' Радиотехника и электроника 50 (2005), No 8, 969-977

[33] А Е Hramov, A A Koronovsku, Intermitted generalized synchronization in umdirectionally coupled chaotic oscillators, Europhysics Lett 70 (2005), No 2, 169-175

[34] A E Hramov, A A Koronovsku, О I Moskalenko, Generalized synchronization onset, Europhysics Letters 72 (2005), No 6, 901-907

[35] А А Короновский, П В Попов, A E Храмов, Хаотическая синхронизация однонаправленно связанных электронных сред со встречной волной, ЖТФ 75 (2005), No 4, 1-9

[36] А А Короновский, М К Куровская, А Е Храмов, Временное запаздывание между неустойчивыми периодическими орбитами связанных хаотических осцилляторов, Письма в ЖТФ 31 (2005), No 3, 60-66

[37] А Е Hramov, A A Koronovsku, Time scale synchronization of chaotic oscillators, Physica D 206 (2005), No 3-4, 252-264

[38] П В Попов, P А Филатов, А А Короновский, A E Храмов, Синхронизация пространственно-временного хаоса в пучково-плазменных системах со сверхкритическим током, Письма в ЖТФ 31 (2005), No 6, 9-16

[39] А А Короновский, М К Куровская, А Е Храмов, О соотношении фазовой синхронизации хаотических осцилляторов и синхронизации временных масштабов, Письма в ЖТФ 31 (2005), No 19, 76-82

[40] А А Короновский, А А Тыщенко, А Е Храмов, Исследование распределения турбулентных фаз при разрушении синхронизации с запаздыванием, Письма в ЖТФ 31 (2005), No 21, 1-8

[41] А А Короновский, П В Попов, А Е Храмов, Обобщенная синхронизация и механизм ее возникновения в связанных автоколебательных средах, Письма в ЖТФ 31 (2005), No 22, 9-16

[42] В В Бунина, А А Короновский, П В Попов, А Е Храмов, Хаотическая синхронизация в связанных лампах обратной волны с распределенным вводом сигнала, Изв РАН, сер физич 69 (2005), No 12, 1727-1731

[43] А А Короновский, А Е Храмова, Относительная геометрическая мера синхронизации систем с дискретным временем, Изв РАН, сер физич 69 (2005), No 12, 1732-1735

[44] А А Короновский, О И Москаленко, Р А Филатов, А Е Храмов, Исследование обобщенной синхронизации хаотических систем, Изв РАН, сер физич 69 (2005), No 12, 1741-1745

[45] Д И Трубецков, А А Короновский, А Е Храмов, Синхронизация автоколебаний в распределенной активной среде с высокочастотными потерями, Радиотехника 69 (2005), No 3, 56-62

[46] А А Короновский, А Е Храмов, Анализ хаотической синхронизации динамических систем с помощью вейвлетного преобразования, Письма в ЖЭТФ 79 (2004), No 7, 391-395

[47] А А Короновский, О И Москаленко, А Е Храмов, Новый тип универсальности при хаотической синхронизации динамических систем, Письма в ЖЭТФ 80 (2004), No 1, 25-28

[48] А Е Hramov, A A Koronovsku, An approach to chaotic synchronization, Chaos 14 (2004), No 3, 603-610

[49] Д И Трубецков, А А Короновский, A E Храмов, Синхронизация распределенных автоколебательных систем электронно-волновой природы с обратной волной, Изв вузов Радиофизика XLVII (2004), No 5-6, 343-372

[50] А А Короновский, Д И Трубецков, А Е Храмов, Переходные процессы в распределенной нелинейной активной среде винтовой электронный пучок — встречная электромагнитная волна, Изв вузов Радиофизика XLVII (2004), No 5-6, 373-382

[51] E H Егоров, А А Короновский, А Е Храмов, Структура бассейнов притяжения аттракторов генератора "TORUS", Радиотехника и электроника 49 (2004), No 6, 720-725

[52] А А Короновский, Д И Трубецков, А Е Храмов, Совместные колебания, включая режимы синхронизации, в гирогенераторах со встречной волной и связанными линиями передачи, Радиотехника и электроника 49 (2004), No 9, 1118-1127

[53] А Е Hramov, А Е Khramova, I A Khromova, A A Koronovsku, Investigation о/ transient processes in one-dimensional maps, Nonlinear Phenomena in Complex Systems 7 (2004), No 1, 1-16

[54] А А Короновский, И С Ремпен, А Е Храмов, Численное исследование управления хаотической динамикой в распределенной активной среде, Известия вузов Прикладная нелинейная динамика 12 (2004), No 1-2, 51-79

[55] А А Короновский, О И Москаленко, П В Попов, А Е Храмов, Некоторые общие подходы к анализу хаотической синхронизации в связанных динамических системах, Известия вузов Прикладная нелинейная динамика 12 (2004), No 6, 159-190

[56] А А Короновский, Д И Трубецков, А Е Храмов, О механизме разрушения полной хаотической синхронизации, Доклады Академии Наук 395 (2004), No 1, 143-145

[57] А А Короновский, А Е Храмова, Зависимость длительности переходных процессов от начальных условий в отображении заславского, ЖТФ 74 (2004), No 5, 136-140

[58] Е Н Егоров, А А Короновский, К вопросу об управлении динамическими режимами е системе, демонстрирующей мулыпистабильность, Письма в ЖТФ 30 (2004), No 5, 30-39

[59] А А Короновский, А Е Храмов, И А Хромова, О времени установления синхронного режима колебаний в двух связанных идентичных подсистемах, Письма в ЖТФ 30 (2004), No 6, 79-86

[60] А А Короновский, А Е Храмов, И А Хромова, Длительность установления режима полной синхронизации двух идентичных хаотических систем, Письма в ЖТФ 30 (2004), No 7, 69-76

[61] А А Короновский, А Е Храмов, Анализ фазовой хаотической синхронизации с помощью непрерывного вейвлетного анализа, Письма в ЖТФ 30 (2004), No 14, 29-36

[62] Е Н Егоров, А А Короновский, А Е Храмов, Анализ переходных процессов в потоковой радиофизической системе, Письма в ЖТФ 30 (2004), No 15, 70-76

[63] А А Короновский, О И Москаленко, А Е Храмов, Синхронизация спектральных компонент связанных хаотических осцилляторов, Письма в ЖТФ 30 (2004), No 18, 56-64

[64] А А Короновский, А Е Храмов, Обобщенная синхронизация хаотических осцилляторов как частный случай синхронизации временных масштабов, Письма в ЖТФ 30 (2004), No 23, 54-61

[65] А А Короновский, П В Попов, А Е Храмов, Хаотическая синхронизация однонаправленно связанных ламп обратной волны с поперечным полем, Изв РАН, сер физич 68 (2004), No 12, 1794-1798

[66] М Н Стриханов, Д И Трубецков, А А Короновский, А Е Храмов, М В Храмова, В В Бунина, Т Чварун, Проблема качества научных публикаций аспирантов, Высшее образование в России (2004), No 9, 96-103

[67] А Е Hramov, A A Koronovskti, I S Rempen, Investigation of complex dynamics and regime control in Pierce diode with delay feedback, Nonlinear Phenomena in Complex Systems 6 (2003), No 2, 687-695

[68] Г Б Астафьев, А А Короновский, A E Храмов, A E Храмова, О переходных процессах в отображении Эно, Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 11 (2003), No 4-5, 124-147

[69] А А Короновский, А Е Храмов, И А Хромова, Средняя длительность переходных процессов в динамических системах с дискретным временем, Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 11 (2003), No 1, 36-46

[70] А А Короновский, Д И Трубецков, А Е Храмов, О сверхбыстрой синхронизации автоколебаний в распределенной активной среде "винтовой электронный пучок — встречная электромагнитная волна", Доклады Академии Наук 389 (2003), N0 6, 749-752

[71] А А Короновский, Д И Трубецков, А Е Храмов, Исследование колебаний в гирогенераторе со встречной волной и связанными электродинамическими системами, ЖТФ 73 (2003), N0 6, 110-117

[72] А А Короновский, А В Стародубов, А Е Храмов, Методика определения длительности переходного процесса для динамических систем, находящихся в режиме хаотических колебаний, Письма в ЖТФ 29 (2003), N0 8, 32-40

[73] А А Короновский, А Е Храмов, О возможности увеличения порога автомодуляции в гирогенераторе со встречной волной и связанными электродинамическими системами, Письма в ЖТФ 29 (2003), N0 4, 63-70

[74] А А Короновский, А Е Храмов, Синхронизация колебаний распределенным внешним воздействием в гиролампе со встречной волной, Письма в ЖТФ 29 (2003), N0 12, 54-61

[75] А А Короновский, А Е Храмова, Механизм усложнения зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в двумерном отображении. Письма в ЖТФ 29 (2003), N0 13, 10-18

[76] А А Короновский, К вопросу о зависимости длительности переходного процесса от точности ее определения в динамических системах, демонстрирующих квазипериодическое поведение, Письма в ЖТФ 29 (2003), N0 19, 31-39

[77] В А Гусев, А А Короновский, А Е Храмов, Применение адаптивных вейвлетных базисов к анализу нелинейных систем с хаотической динамикой, Письма в ЖТФ 29 (2003), N0 18, 61-69

[78] Г Б Астафьев, А А Короновский, А Е Храмов, К вопросу о поведении динамических систем в режиме переходного хаоса, Письма в ЖТФ 29 (2003), N0 22, 1-9

[79] А А Короновский, А В Стародубов, А Е Храмов, Время покрытия аттрактора, временная размерность и ее связь с емкостной размерностью, Письма в ЖТФ 29 (2003), N0 24, 54-60

[80] И С Ремпен, А А Короновский, А Е Храмов, Управление хаосом в электронном пучке со сверхкритическим током в гидродинамической модели диода Пирса, Письма в ЖТФ 29 (2003), N0 23, 67-74

[81] Г Б Астафьев, А А Короновский, А Е Храмов, Исследование переходного хаоса в сосредоточенных и распределенных системах с помощью вейвлетного анализа, Изв РАН, сер физич 67 (2003), N0 12, 16741677

[82] А А Короновский, И С Ремпен, А Е Храмов, Исследование неустойчивых периодических пространственно-временных состояний в распределенной автоколебательной системе со сверхкритическим током, Изв РАН, сер физич 67 (2003), No 12, 1705-1708

[83] Е H Егоров, А А Короновский, А Е Храмов, Исследование мульти-стабильности в распределенной активной среде с обратной связью, Изв РАН, сер физич 67 (2003), No 12, 1709-1713

[84] M H Стриханов, Д И Трубецков, А А Короновский, А Е Храмов, Анализ и прогноз изменений научно-педагогического потенциала высшей школы России, Высшее образование в России (2003), No 3, 3-17

[85] А А Короновский, M H Стриханов, Д И Трубецков, А Е Храмов, Современное состояние высшей школы на примере одного вуза методы диагностики и способы коррекции, Науковедение (2003), No 4, 97

[86] А А Короновский, Д И Трубецков, А Е Храмов, Влияние внешнего сигнала на автоколебания распределенной системы винтовой электронный пучок — встречная электромагнитная волна, Изв вузов Радиофизика XLV (2002), No 9, 773-792

[87] А А Короновский, Д И Трубецков, А Е Храмов, А Е Храмова, Универсальные закономерности переходных процессов, Изв вузов Радиофизика XLV (2002), No 10, 880-886

[88] А А Короновский, А Е Храмов, Введение в непрерывный вейвлетный анализ для специалистов в области нелинейной динамики Часть 2 Пути в хаос с точки зрения вейвлетного анализа , Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 10 (2002), No 1,2, 3-19

[89] А А Короновский, Д И Лопатников, А Е Храмов, Некоторые аспекты изменения численности народонаселения США с точки зрения нелинейной динамики , Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 10 (2002), No 1,2, 146-156

[90] Е H Егоров, А А Короновский, Сравнение динамики радиофизической системы "Torus" в случае гладкой и кусочно-линейной вольтам-перной характеристик, Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 10 (2002), No 1,2, 104-112

[91] А А Короновский, Д И Трубецков, А Е Храмов, Влияние сигнала сложной формы на колебания в активной среде "винтовой электронный поток — встречная электромагнитная волна", Известия вузов Прикладная нелинейная динамика 10 (2002), No 5, 3-18

[92] А Е Hramov, A A Koronovsku, I S Rempen, D I Trubetskov, Investigation of transient chaos m gyro-backward-wave-osciliator synchronized by the external signal, Izvestija vuzov Prikladnaja Nehnejnaja Dinamika 10 (2002), No 3, 97-108

[93] А А Короновский, А В Стародубов, А Е Храмов, Методика определения длительности переходного процесса для динамической системы с дискретным временем, находящейся в режиме хаотических колебаний, Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 10 (2002), Ыо 5, 25-31

[94] А А Короновский, А Е Храмов, Исследование когерентных структур в электронном пучке со сверхкритическим током с помощью вейвлет-ной бикогерентности, Физика плазмы 28 (2002), N0 8, 722-738

[95] А А Короновский, Д И Трубецков, А Е Храмов, А Е Храмова, Универсальные скейлинговые закономерности переходных процессов, Доклады Академии Наук 383 (2002), N0 3, 322-325

[96] А А Короновский, А Е Храмов, Изменение зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в системах с дискретным временем, Письма в ЖТФ 28 (2002), N0 15, 61-68

[97] А Е Храмов, А А Короновский, Ю И Левин, Исследование процессов структурообразования в электронном пучке с виртуальным катодом с помощью вейвлетной бикогерентности, Письма в ЖТФ 28 (2002), N0 13, 57-66

[98] А А Короновский, И С Ремпен, Д И Трубецков, А Е Храмов, Переходной хаос в распределенной активной среде "винтовой электронный пучок — встречная электромагнитная волна", Изв РАН, сер физич 66 (2002), N0 12, 1754-1760

[99] А А Короновский, М Н Стриханов, Д И Трубецков, А Е Храмов, Анализ и прогноз тенденций изменения научно-педагогического потенциала профессорско-преподавательского состава высшей школы России, Науковедение (2002), N0 2, 82

[100] А А Короновский, М Н Стриханов, Д И Трубецков, А Е Храмов, К вопросу об эффективности функционирования высшей школы (качественный подход), Науковедение (2002), N0 4, 82

[101] А А Короновский, А Е Храмов, Введение в непрерывный вейвлетный анализ для специалистов в области нелинейной динамики Часть 1 Основные положения, численная реализация и модельные сигналы, Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 9 (2001), N0 4,5, 3-43

[102] А А Короновский, М Н Стриханов, Д И Трубецков, А Е Храмов, И В Цуканова, Применение клеточных автоматов для моделирования динамики профессорско-преподавательского состава высшей школы Российской Федерации, Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 9 (2001), N0 6, 154-165

[103] А А Короновский, А Е Храмов, Об эффективном анализе перехода к хаосу через перемежаемость с помощью вейвлетного преобразования, Письма в ЖТФ 27 (2001), N0 1, 3-11

[104] В Г Анфиногентов, А А Короновский, А Е Храмов, Некоторые модели класса решеточных газов, связанные с описанием численности популяций, Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 8 (2000), No 4, 74-84

[105] А А Короновский, Д И Трубецков, А Е Храмов, Динамика численности населения как процесс, подчиняющийся уравнению диффузии, Доклады Академии Наук 372 (2000), No 3, 397-400

[106] В Г Анфиногентов, А А Короновский, А Е Храмов, Вейвлетный анализ и его использование для анализа динамики нелинейных динамических систем различной природы, Изв РАН, сер физич 64 (2000), No 12, 2383-2390

[107] А А Короновский, Динамика решетки отображений с пороговой связью, Письма в ЖТФ 25 (1999), No 4, 28-34

[108] А А Короновский, А Е Храмов, В Г Анфиногентов, Феноменологическая модель электронного потока с виртуальным катодом, Изв РАН, сер физич 63 (1999), No 12, 2308-2315

[109] А А Короновский, И С Ремпен, Неустойчивость периодических стационарных волн в активной нелинейной среде с высокочастотными потерями, Письма в ЖТФ 24 (1998), No 2, 80

[110] А А Короновский, Мультипликаторы периодических решений для генератора с кусочно-линейным элементом, Известия вузов Прикладная нелинейная динамика 5 (1997), No 2, 24-34

[111] А А Кипчатов, А А Короновский, Тонкие эффекты самоподобного поведения кусочно-линейной системы вблизи линии бифуркации рождения тора, Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 5 (1997), No 2, 17-23

[112] И С Ремпен, А А Короновский, Нелинейная модель взаимодействия продавцов и потребителей, Изв вузов Прикладная нелинейная динамика 5 (1997), No 5, 80-88

[113] А А Короновский, О механизмах установления рыночной цены, Известия вузов Прикладная нелинейная динамика 4 (1996), No 4, 5, 92-98

[114] А В Андрушкевич, А А Кипчатов, JI В Красичков, А А Короновский, Экспериментальное двупараметрическое исследование неоднозначных режимов колебаний, Изв вузов Радиофизика XXXVIII (1995), No 11, 1195-1203

КОРОНОВСКИЙ Алексей Александрович

СИНХРОННОЕ ПОВЕДЕНИЕ, СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА И ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ

СИСТЕМАХ И ЭТАЛОННЫХ МОДЕЛЯХ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ

Автореферат

Ответственный за выпуск — профессор Ю И Левин

Подписано к печати 04 06 07 Формат 60 х 84 1/16 Бумага "Снегурочка" Гарнитура "Times" Уел печ л 2,79 (3,0) Тираж 120 экз Заказ 393

РИО журнала "Известия вузов Прикладная нелинейная динамика" 410012, Саратов, Астраханская, 83

Содержание

Введение

Актуальность исследуемой проблемы.

Цель диссертационной работы.

Научная новизна

Практическая значимость

Основные научные положения и результаты, выносимые на защиту.

Структура и объем работы.

Достоверность полученных результатов.

Апробация результатов и публикации.

1 Синхронизация временных масштабов хаотических осцилляторов

1.1 Разные типы хаотической синхронизации нелинейных осцилляторов с потоковым временем: фазовая, обобщенная, лаг, полная синхронизации

1.2 Новый подход к анализу синхронного поведения нелинейных динамических систем — синхронизация временных масштабов. Разные типы синхронного поведения как частные случаи синхронизации временных масштабов.

1.2.1 Фазовая синхронизация слабонеидентичных систем Ресслера с фазово-когерентным аттрактором.

1.2.2 Синхронизация систем Ресслера с фазово-некогерентным аттрактором

1.2.3 От режима асинхронных колебаний к полной синхронизации

1.2.4 Синхронизация на различных диапазонах временных масштабов в связанных радиофизических генераторах Чуа.

1.2.5 Обобщенная синхронизация и синхронизация временных масштабов

1.3 Мера хаотической синхронизации.

1.4 От вейвлетного преобразования — к спектральному представлению. Хаотическая синхронизация на языке спектральных компонент. Закономерности при синхронизации спектральных компонент.

1.4.1 Синхронизация спектральных компонент.

1.4.2 Синхронизация двух связанных систем Ресслера.

1.4.3 Критерий синхронизации спектральных компонент.

1.4.4 Поведение спектральных компонент в случае синхронного режима

1.5 Неустойчивые периодические орбиты и синхронизация спектральных компонент.

1.6 Выводы по первой главе.

Разрушение режима хаотической фазовой синхронизации

2.1 Общепринятые методы и подходы в теории фазовой синхронизации

2.2 Синхронизация периодических колебаний с позиций концепции хаотической фазовой синхронизации.

2.3 Разрушение хаотической фазовой синхронизации в системе двух одно-направленно связанных осцилляторов Ресслера.

2.4 Старшие ляпуновские показатели и граница возникновения режима фазовой синхронизации

2.5 Динамика двух взаимно связанных генераторов на туннельном диоде

2.6 Перемежающееся поведение на границе возникновения режима фазовой синхронизации при больших расстройках частот взаимодействующих осцилляторов

2.7 Взаимодействие двунаправлено связанных хаотических осцилляторов Ресслера.

2.8 Взаимосвязь между синхронными типами поведения в системах с непрерывным и дискретным временем.

2.9 Выводы по второй главе.

Обобщенная синхронизация хаотических осцилляторов

3.1 Обобщенная синхронизация — один из возможных типов синхронного поведения хаотических осцилляторов.

3.2 Перемежающаяся обобщенная синхронизация.

3.3 Метод модифицированной системы — новый подход к изучению обобщенной синхронизации

3.4 Обобщенная синхронизация в хаотических системах с диссипативной связью.

3.5 Механизмы возникновения режима обобщенной синхронизации и порог ее возникновения

3.5.1 Механизм возникновения обобщенной синхронизации при больших расстройках взаимодействующих осцилляторов.

3.5.2 Механизм возникновения обобщенной синхронизации при малых расстройках взаимодействующих осцилляторов.

3.6 Обобщенная синхронизация в хаотических системах с недиссипативной связью.

3.7 Обобщенная синхронизация и синхронизация, индуцированная шумом

3.8 Использование обобщенной синхронизации для скрытой передачи информации

3.9 Выводы по третьей главе.

Применение непрерывного вейвлетного преобразования для анализа перемежающегося поведения в системах связанных хаотических осцилляторов

4.1 Метод выделения ламинарных и турбулентных фаз.

4.2 Выделение ламинарных и турбулентных фаз в поведении нелинейных систем.

4.2.1 Перемежаемость I-типа в системе Лоренца.

4.2.2 Перемежаемость I-типа в логистическом отображении.

4.2.3 Перемежающаяся синхронизация с запаздыванием в системе связанных осцилляторов Рёсслера.

4.3 Влияние флуктуации и шумов.

4.4 Применение метода выделения ламинарных и турбулентных фаз для анализа поведения физиологической системы.

4.5 Выводы по четвертой главе.

Переходные процессы и сложная динамика в системах различной природы (в том числе при неавтономном поведении и синхронизации)

5.1 Методика определения длительности переходного процесса.

5.1.1 Переходные процессы в динамических системах, находящихся в периодических режимах колебаний.

5.1.2 Переходные процессы в динамических системах, находящихся в непериодических режимах колебаний.

5.1.3 Использование опорного массива ячеек для определения длительности переходного процесса

5.2 Переходные процессы в генераторе "TORUS".

5.3 Переходные процессы при синхронизации двух автогенераторов.

5.3.1 Переходные процессы при синхронизации двух автогенераторов Ван-дер-Поля.

5.3.2 Переходные процессы при синхронизации двух автогенераторов Ван-дер-Поля — Дуффинга.

5.4 Переходной хаос. Механизмы возникновения атипичных участков

5.4.1 Краткое описание модели.

5.4.2 Атипичные участки в искусственной длинной временной реализации

5.4.3 Атипичные участки в поведении системы с дискретным временем

5.4.4 Причина возникновения нетипичных участков временной реализации

5.5 Выводы по пятой главе.

Применение методов нелинейной динамики к анализу некоторых социальных систем (модели клеточных автоматов, переходные процессы)

6.1 Переходные процессы в экономических системах.

6.1.1 Превышение предложения над спросом.

6.1.2 Превышение спроса над предложением.

6.1.3 Взаимодействие продавцов и покупателей

6.2 Переходные процессы в динамике численности народонаселения

6.2.1 Простейшие модели изменения численности народонаселения

6.2.2 Использование модели класса решеточных газов для описания численности популяций.

6.2.3 Анализ демографических данных роста народонаселения.

6.3 Модель изменения численности профессорско-преподавательского состава высшей школы РФ.

6.3.1 Анализ численности и стратификации по возрастам профессорско-преподавательского состава

6.3.2 Моделирование динамики численности и возрастного состава докторов наук.

6.3.3 Прогноз некоторых возможных ситуаций развития Высшей школы РФ в рамках современной демографической ситуации

6.4 Выводы по шестой главе

Актуальность исследуемой проблемы

Изучение поведения нелинейных динамических систем (как с сосредоточенными, так и распределенными параметрами), способных демонстрировать сложное поведение, уже давно находится в центре пристального внимания исследователей [1-16]. Одним из центральных моментов при этом является изучение неавтономной динамики нелинейных систем, прежде всего проблем, связанных с исследованиями явления синхронизации, берущих свое начало с работ Гюйгенса.

Синхронизация [3,17-21] имеет важное фундаментальное и практическое значение (например, в биологических и физиологических задачах [22-25], химических [26], экологических [27], астрономических [28], при скрытой передаче информации с помощью хаотических сигналов [29-35], при управлении системами сверхвысокочастотной электроники [36] и т.п.). Первоначально рассматривалась синхронизация периодических колебаний, однако интенсивное развитие теории динамического хаоса [37-42] вызвало новый интерес к проблеме синхронизации автоколебательных систем, демонстрирующих хаотическую динамику [2,3,43-46]. С развитием теории динамического хаоса и хаотической синхронизации было выявлено достаточно большое число различных типов хаотического синхронного поведения связанных динамических систем с потоковым временем: полная синхронизация [47-53], синхронизация с запаздыванием (лаг-синхронизация) [54,55], обобщенная синхронизация [56,57], частотная синхронизация [58,59], фазовая синхронизация [60,61] и частичная синхронизация [62]. Активно исследуется также неавтономное поведение динамических систем, находящихся под негармоническим (импульсным, квазипериодическим) воздействием [63-66]. Одновременно, проводились исследования хаотической синхронизации в нелинейных системах с дискретным временем (отображениях) [67]. Значительный интерес в последнее время вызывает изучение ансамблей связанных хаотических осцилляторов, в частности, изучается синхронизация в цепочках [68-70], решетках [71-73] и сетях [74-78] нелинейных элементов. В таких ансамблях связанных нелинейных элементов возможны режимы кластерной синхронизации [79-82], при которой существуют кластеры, демонстрирующие режим полной синхронизации, в то время как между этими кластерами полная синхронизация отсутствует. В том случае, если число элементов в ансамбле невелико, вместо термина "кластерная синхронизация" обычно используют термин "частичная синхронизация" [83-87].

Во многом эти исследования обусловлены, прежде всего, физическими [88-91], физиологическими задачами [92-95] и задачами нейродинамики [96-98]. На исследования процессов, происходящих в головном мозге, опирающихся на идеи, методы и подходы, используемые в нелинейной динамике для описания поведения связанных систем, также возлагаются большие надежды [99-101].

В то же самое время, несмотря на значительный интерес к вышеназванным проблемам и большое число публикаций по данному направлению (как в отечественных, так и зарубежных научных журналах), утверждать, что в рассматриваемой области все проблемы уже решены, было бы явно преждевременно. Существует большое число вопросов, ответы на которые еще не найдены и решение которых могло бы способствовать значительному продвижению вперед в понимании основных закономерностей и особенностей неавтономного поведения нелинейных систем, способных демонстрировать сложное поведение. Ряд вопросов, требующих разрешения, и рассматривается в настоящей диссертационной работе.

Одним из важнейших вопросов представляется вопрос о взаимосвязи различных типов хаотического поведения систем с непрерывным временем (фазовая синхронизация, частотная синхронизация, обобщенная синхронизация, синхронизация с запаздыванием, полная синхронизация) друг с другом. Существуют работы, в которых данная проблема рассматривается (см., например, [102,103]), однако полной ясности в этом вопросе не было. В частности, достаточно давно было известно, что связанные хаотические осцилляторы с непрерывным временем могут с увеличением параметра связи между ними переходить от режима фазовой синхронизации к режиму синхронизации с запаздыванием [54] (через режим перемежающейся синхронизации с запаздыванием [54,104,105]) и, затем, стремиться к режиму полной синхронизации, при этом, поскольку при асинхронной динамике все компоненты Фурье спектров взаимодействующих систем несинхронизованы, а в режиме синхронизации с запаздыванием (полной синхронизации в случае идентичных взаимодействующих систем) должны быть синхронизованы абсолютно все компоненты спектра [59], при переходе от режима фазовой синхронизации к режиму синхронизации с запаздыванием (полной синхронизации) должна происходить последовательная синхронизация компонент Фурье спектров взаимодействующих систем [106]. В настоящей диссертационной работе выявлена взаимосвязь между различными типами хаотической синхронизации и предложено описание их с единой точки зрения. Данный вопрос подробно рассмотрен в главе 1.

С проблемой о взаимосвязи различных типов синхронного поведения потоковых систем тесным образом связан вопрос о взаимосвязи синхронных режимов в системах с непрерывным (потоках) и дискретным (отображениях) временем. Несмотря на то, что оба этих класса динамических систем тесно связаны друг с другом (хорошо известно, что системы с непрерывным временем с помощью процедуры сечения Пуанкаре могут быть редуцированы до отображений [107-109] с размерностью на единицу меньше, нежели исходная динамическая система), существующее различие между ними привело к тому, что явление синхронизации в них описывается с помощью разных терминов и понятий. Известны работы, в которых устанавливается соответствие между синхронным поведением отображений и потоков (например, [110]), однако и эту проблему нельзя считать до конца решенной.

Важно также отметить, что при описании каждого из типов хаотической синхронизации, рассматриваемых по отдельности, также остается много невыясненных вопросов. В частности, такие вопросы существуют для хаотической фазовой синхронизации, которая в настоящее время является одним из центральных понятий в теории хаотической синхронизации. Хаотическая фазовая синхронизация наблюдается в системах различной природы [101,111], включая химические, биологические и физиологические, активно изучается в последнее время и вызывает большой интерес исследователей [60,61,67]. Следует сразу оговориться, что в русскоязычной литературе под термином "фазовая синхронизация", возникшем достаточно давно, изначально понималось другое явление [62,112-117], суть которого состоит в следующем: синхронизация генераторов колебаний достигается за счет воздействия на них полученного некоторым способом преобразования фаз этих генераторов, причем генераторы и преобразователи фаз могут быть самой различной природы. Принцип фазовой синхронизации, положен в основу электронных систем фазовой автоподстройки, синхронных машин, систем фазового электропривода и т.д.

В настоящее время в русскоязычной научной литературе [3,43,118-120] термин "фазовая синхронизация" широко используется и в смысле работ [121-123], в которых рассматривается хаотическая фазовая синхронизация, хотя, конечно, это вносит некоторую путаницу. Поэтому сразу следует отметить, что в настоящей диссертационной работе термин "фазовая синхронизация" используется в том смысле, в котором его трактуют работы [60,121-124], а именно, когда имеет место захват мгновенных фаз хаотических сигналов, при этом мгновенная фаза может быть введена различными способами.

Колоссальное число систем, как модельных, являющихся эталонными, так и представляющих практический интерес с той или иной точки зрения, были изучены и описаны с позиций фазовой синхронизации. Казалось бы, концепция хаотической фазовой синхронизации (в смысле работ [60,121-124] и др.) давно уже является общепризнанной в научном сообществе, понятной и апробированной. В то же самое время, следует признать, что существует значительная неопределенность в понятии "фазовая синхронизация", связанная с произволом введения мгновенной фазы хаотического сигнала и фазовой когерентностью/некогерентностью хаотического аттрактора. В частности, считается, что в ряде случаев использование понятия "фазовой синхронизации" имеет ограничения [62,125,126]. Неопределенность с введением мгновенной фазы хаотического сигнала приводит к тому, что граница возникновения режима фазовой синхронизации в ряде случаев не может быть определена четко и зависит от способа введения фазы, а вопрос о том, почему хаотический аттрактор является фазово-когерентным (или, наоборот, фазово-некогерентным), как правило, не рассматривается, а все объяснение сводится к констатации факта, что все объясняется "топологией хаотического аттрактора". В тех же работах, где этот аспект тем или иным образом затрагивается, данному вопросу уделяется явно очень мало внимания. В частности, в одной из ранних работ, посвященных фазовой синхронизации, фазовая некогерентность хаотического аттрактора связывалась с большой интенсивностью эффективного шума, моделирующего хаотическую динамику системы [123], однако это объяснение никоим образом не раскрывает причины фазовой некогерентности хаотического аттрактора. В более поздней работе [127], в зависимости от степени когерентности/некогерентности хаотического аттрактора выделялись различные типы перехода к режиму фазовой синхронизации, однако и здесь вопрос о причинах фазовой некогерентности хаотического аттрактора вновь остался нерассмотренным. Таким образом, можно говорить о том, что механизмы, приводящие к фазовой некогерентности хаотического аттрактора, практически не изучены. В то же самое время, фазовая синхронизация полностью основывается на понятии фазовой когерентности хаотического аттрактора, и понимание механизмов, обуславливающих когерентность или некогерентность хаотического аттрактора является необходимым условием для более четкого понимания места понятия "фазовая синхронизация" в теории синхронного поведения хаотических систем. Глава 2 настоящей диссертационной работы содержит новые результаты теории хаотической фазовой

6.4 Выводы по шестой главе

В настоящей главе диссертационной работы изложены результаты рассмотрения переходных процессов и сложной динамики в экономических, демографических системах, а также в системе высшей школы Российской Федерации.

Рассмотрены процессы формирования цены на одинаковые товары в рыночных условиях, при этом рассмотрены ситуации как превышения спроса над предложением, так и наоборот, превышения предложения над спросом. Показано, что коллективное действие каждого из участников рыночных отношений приводит к тому, что на одинаковые товары устанавливается одинаковая цена, хотя каждый из участников действует исходя из своих собственных интересов.

Изучено также взаимодействие продавцов, предлагающих один и тот же вид товара, и покупателей, желающих приобрести этот товар. В качестве основных механизмов такой динамики рассмотрены поиск и приобретение покупателями наиболее дешевых товаров (при прочих равных условиях) и ограниченность платежеспособности населения, когда покупатели просто не могут себе позволить приобрести товар по высокой цене. Получены уравнения, описывающие изменение численности как продавцов, так и покупателей, для асимптотических случаев получено приближенное аналитическое решение этих уравнений. Одним из следствий проведенного рассмотрения является тот факт, что, зная динамику функции предложения, можно определить функцию спроса на данный товар.

Предложена модель, хорошо описывающая как качественно, так и количественно динамику численности народонаселения, что демонстрируется на примере Соединенных Штатов Америки и всего мира в целом. В основу модели положены нелинейное уравнение диффузии и классическое уравнение Ферхюльста. Принципиальную роль играет рассинхронизация во времени динамики изменения плотности населения в различных точках ареала проживания. Полученные результаты хорошо согласуются с реальными статистическими данными по динамике численности народонаселения.

Показано, что "клеточная" популяция, моделируемая решеточным газом, является весьма эффективным инструментом для исследования задач популяционной динамики. С одной стороны, подобная модель весьма проста в реализации, а с другой стороны, ее поведение находится в хорошем соответствии с эталонными моделями популяционной экологии, и имеет качественные аналогии в реальных системах. По сути дела, модели типа решеточного газа являются непривычными, но вполне равноправными динамическими системами, точно такими же, как системы с дискретным (отображения) или непрерывным (потоки) временем. Вместе с тем, широкие возможности эмпирического конструирования таких моделей делает решеточные газы особенно привлекательными для моделирования биологических и социологических задач.

В данной главе диссертационной работы предложена также модель класса клеточных автоматов, описывающая динамику численности и распределения по возрастам профессорско-преподавательского состава высшей школы как в целом по всем вузам Российской Федерации, так и по вузам отдельных регионов России. Параметры модели и исходные данные для моделирования и прогноза кадровой ситуации в высшей школе выбирались из анализа реальных статистических данных, предоставленных СевероЗападным Научным Методическим Центром МО РФ. Сравнение результатов, предсказываемых моделью для уже имеющихся данных, показало высокую достоверность предсказываемых ей результатов. Так, например, для 1999 года погрешность прогноза составила всего 3.2%. Полученные с помощью модели прогнозы динамики кадрового состава и его стратификации по возрастам при различных возможных сценариях развития позволяют сделать следующие наиболее важные выводы и заключения.

Тенденция изменения возрастной стратификации профессорско-преподавательского состава вузов РФ в ближайшие несколько лет выглядит следующим образом: увеличение доли старших возрастных категорий, соответствующих пенсионным возрастам; уменьшение доли наиболее активной возрастной категории с возрастами 40-^50 лет; и некоторое увеличение доли молодых преподавателей и исследователей с возрастами до 35 лет. Необходимо подчеркнуть, что полученные результаты соответствуют случаю, когда общая ситуация в стране и высшей школе не претерпевает существенных изменений.

Процесс "старения" среднестатистического доктора наук, работающего в системе высшего образования также будет продолжаться. Так, к концу 2003 года число докторов наук в возрасте старше 70 лет возросло почти в два раза по сравнению с концом 1999 года. Также значительно увеличится и число докторов наук в возрасте от 60-ь 70 лет. После 2004 года средний возраст докторов наук продолжит увеличиваться, хотя и не столь быстро.

Рассмотрение различных сценариев сокращения численности профессорско-преподавательского состава вузов показал, что при любых сценариях развития будет наблюдаться более быстрый рост числа сотрудников пенсионного возраста и уменьшение притока молодых кадров, чем в случае отсутствия сокращений. При сокращении преподавателей для омоложения высшей школы необходимо обязательно оставлять вакантные места для молодых преподавателей, для чего сокращения должны охватывать

Заключение

В диссертации на основе единого подхода, основанного на сочетании использования методов нелинейной теории колебаний и волн, применения математического аппарата для анализа временных рядов (прежде всего, непрерывного вейвлетного преобразования) и численного моделирования решена крупная научная проблема по изучению синхронного поведения, сложной динамики и переходных процессов в радиофизических системах и эталонных моделях нелинейной теории колебаний, а также в социальных системах. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Впервые предложена концепция синхронизации временных масштабов связанных осцилляторов, позволяющая описывать с единых позиций различные типы хаотической синхронизации (фазовая синхронизация, синхронизация с запаздыванием, обобщенная синхронизация, полная синхронизация). Таким образом, все вышеперечисленные типы хаотической синхронизации могут быть рассмотрены как частные случаи синхронизации временных масштабов. Впервые предложена также мера хаотической синхронизации, определенная как доля энергии вейвлетного спектра, приходящаяся на синхронные временные масштабы. Введенная в рассмотрение мера хаотической синхронизации позволяет не только различать синхронную и асинхронную динамику, но и количественно характеризовать степень синхронизма при синхронизации временных масштабов. Использование меры хаотической синхронизации позволяет сделать вывод о том, что режим полной синхронизации и синхронизации с запаздыванием по сути дела, являются одним и тем же видом синхронного поведения и разграничение их на два вида обусловлено лишь исторически сложившимися особенностями.

2. Изучен вопрос о синхронизации спектральных компонент Фурье-спектров взаимодействующих хаотических осцилляторов и показано, каким образом проявляется режим хаотической синхронизации в Фурье-спектрах. Обнаружено, что важную роль при хаотической синхронизации играют фазовые соотношения между соответствующими спектральными компонентами. Получено аналитическое выраже

397 ние для разности фаз между синхронными спектральными компонентами. Впервые показано, что если в системе связанных осцилляторов возможно установление синхронизации с запаздыванием, то временной сдвиг между спектральными компонентами не зависит от частоты, а следовательно, оказывается одинаковым для всех спектральных компонент. Следует отметить, что обнаруженная закономерность имеет место для целого ряда динамических систем, и по всей видимости, носит универсальный характер. Наличие (отсутствие) этой закономерности в фурье-спектрах взаимодействующих систем может быть рассмотрено как критерий возможности (или, наоборот, невозможности) существования в рассматриваемой системе связанных хаотических осцилляторов режима синхронизации с запаздыванием.

3. На примере связанных систем Ресслера рассмотрен вопрос об изменении временного сдвига между синхронизованными неустойчивыми седловыми периодическими орбитами в фазовых пространствах взаимодействующих хаотических осцилляторов, соответствующими в общем фазовом пространстве резонансным синфазным седловым циклам при изменении параметра связи между взаимодействующими подсистемами. Впервые показано, что зависимость временного сдвига между этими орбитами от параметра связи оказывается одинаковой для всех циклов, независимо от их топологического периода и выражается степенным законом с показателем степени "минус единица", при этом полученные результаты очень хорошо согласуются с выводами, сделанными при рассмотрении синхронизации спектральных компонент.

4. Впервые показано, что существуют два типа разрушения режима хаотической фазовой синхронизации, зависящие от величины расстройки управляющих параметров взаимодействующих хаотических осцилляторов, точно так же, как это происходит и в случае синхронизации периодических колебаний. Первый тип разрушения режима хаотической фазовой синхронизации связан с нарушением общего ритма хаотических колебаний, второй сценарий обусловливается потерей фазовой когерентности хаотических аттракторов.

5. Впервые описан принципиально новый тип перемежающегося поведения, реализующийся вблизи границы режима фазовой синхронизации двух однонаправленно связанных хаотических осцилляторов с достаточно большой расстройкой собственных частот. Данный тип перемежаемости полностью отличается от всех других известных в настоящее время типов перемежающегося поведения. Он наблю

398 дается в определенном диапазоне значений параметра связи между взаимодействующими осцилляторами, при этом распределение длительностей ламинарных фаз (когда взаимодействующие осцилляторы демонстрируют синхронное поведение) подчиняется экспоненциальному закону. Построена теория для данного типа перемежаемости, выявлен механизм, приводящий к возникновению перемежающегося поведения нового типа, получена теоретическая зависимость средней длительности ламинарных фаз от параметра надкритичности, хорошо согласующаяся с результатами численного моделирования.

6. На основе сопоставления поведения связанных систем с дискретным временем с динамикой отображений, полученных с помощью процедуры сечения Пуанкаре из связанных систем с непрерывным временем, находящихся в режиме фазовой синхронизации, впервые показано, что тип поведения связанных отображений (со слабо неидентичными параметрами), возникающий с уменьшением параметра связи при разрушении полной синхронизации, который считался раньше асинхронным, соответствует фазовой синхронизации потоковых систем и должен рассматриваться как синхронный режим.

7. Для объяснения механизмов возникновения режима обобщенной хаотической синхронизации впервые был предложен метод модифицированной системы. Применение данного метода позволило объяснить характер расположения границы возникновения синхронного режима на плоскости управляющих параметров "величина расстройки — интенсивность связи", а также показать, что механизмы установления режима обобщенной синхронизации различны при больших и малых расстройках взаимодействующих систем. При рассмотрении механизмов, приводящих к установлению режима обобщенной синхронизации выявлена взаимосвязь этого режима с синхронизацией, индуцированной шумом. Показано, что режимы обобщенной хаотической синхронизации и синхронизации, индуцируемой шумом, хотя традиционно и считаются разными явлениями, обусловлены, по сути дела, одной причиной — подавлением собственных хаотических колебаний с помощью дополнительного введения диссипации. Различие между режимами обобщенной синхронизации и синхронизацией, индуцированной шумом, определяется, по сути дела, лишь характером внешнего сигнала, воздействующего на исследуемую систему.

8. Впервые предложена схема для скрытой передачи информации, основанная на использовании явления обобщенной синхронизации. Использование данной схе

399 мы позволяет преодолеть два существенных недостатка, свойственных системам скрытой передачи информации, в основе которых заложено явление полной хаотической синхронизации: (1) требование идентичности передающего и принимающего устройства и (2) влияние помех в канале связи. На данную схему получены (совместно с д.ф.-м.н. А.Е. Храмовым, О.И. Москаленко, П.В. Поповым) патенты Российской Федерации.

9. Впервые предложен основанный на непрерывном вейвлетном преобразовании эффективный метод выделения ламинарных и турбулентных фаз во временных реализациях нелинейных систем, демонстрирующих перемежающееся поведение. Данный метод с успехом применен для изучения различных типов перемежаемости в системах различной природы, включая живые системы. Предложенный метод является устойчивым к влиянию шумов и флуктуации, искажающих исходную временную реализацию. Высокая эффективность предложенного метода обусловлена различающимися характерными временными масштабами, на которые приходится наибольшая доля энергии вейвлетного спектра, во время ламинарных и турбулентных фаз.

10. Впервые показано, что перемежающееся поведение в спонтанной неконвульсивной судорожной активности у крыс линии WAG/Rij является перемежаемостью on-off типа, при этом распределение длительностей ламинарных фаз (участков нормального функционирования головного мозга) подчиняется степенному закону с показателем степени а = —3/2, характерному для on-off перемежаемости. Найденные закономерности отчетливо наблюдались у всех экспериментальных животных как в темное, так и светлое время суток.

11. Предложена и апробирована методика определения длительности переходных процессов для отображений, находящихся как в периодических, так и непериодических (хаотических, квазипериодических) режимах. Методика определения длительности переходных процессов может использоваться также и для систем с потоковым временем.

12. Рассмотрены переходные процессы и сложная динамика в социальных системах (экономических, демографических системах, а также в системе высшей школы Российской Федерации). В частности,

• Рассмотрены процессы формирования цены на одинаковые товары в рыночных условиях, показано, что коллективное действие каждого из участников

400 рыночных отношений приводит к тому, что на одинаковые товары устанавливается одинаковая цена, хотя каждый из участников действует исходя из своих собственных интересов. Изучено взаимодействие продавцов, предлагающих один и тот же вид товара, и покупателей, желающих приобрести этот товар, получены уравнения, описывающие изменение численности как продавцов, так и покупателей, для асимптотических случаев получено приближенное аналитическое решение этих уравнений. Одним из следствий проведенного рассмотрения является тот факт, что, зная динамику функции предложения, можно определить функцию спроса на данный товар.

• Предложена модель, хорошо описывающая как качественно, так и количественно динамику численностьи народонаселения, что демонстрируется на примере Соединенных Штатов Америки и всего мира в целом. Принципиальную роль играет рассинхронизация во времени динамики изменения плотности населения в различных точках ареала проживания. Полученные результаты хорошо согласуются с реальными статистическими данными по динамике численности народонаселения.

• Предложена модель класса клеточных автоматов, описывающая динамику численности и распределения по возрастам профессорско-преподавательского состава высшей школы как в целом по всем вузам Российской Федерации, так и по вузам отдельных регионов России. Параметры модели и исходные данные для моделирования и прогноза кадровой ситуации в высшей школе выбирались из анализа реальных статистических данных, предоставленных Северо-Западным Научным Методическим Центром МО РФ. Сравнение результатов, предсказываемых моделью для уже имеющихся данных, показало высокую достоверность предсказываемых ей результатов. Получены прогнозы динамики кадрового состава и его стратификации по возрастам при различных возможных сценариях развития ситуации в высшей школе.

Благодарности

В завершение настоящей диссертационной работы считаю своей приятной обязанностью поблагодарить всех, кто тем или иным образом помогал мне при выполнении диссертационной работы и оказывал поддержку. Я хочу выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю чл.-корр. РАН, профессору Д.И. Трубецкову. Особо хочу поблагодарить профессора А.Е. Храмова, с которым меня связывают не только совместные научные исследования и публикации, но и искренняя дружба. Не могу не поблагодарить декана факультета нелинейных процессов профессора Ю.И. Левина и зав. отделением физики нелинейных систем научно-исследовательского института естественных наук СГУ профессора Ю.А. Калинина за помощь и поддержку, а также зав. редакцией ГосУНЦ "Колледж" Н.Н. Левину за долгие беседы, в результате которых статьи в журнале "Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика" приобрели тот вид, в которым они опубликованы. С особой признательностью и теплотой благодарю доцента С.В. Еремину за постоянную помощь и поддержку во всех вопросах, связанных с английским языком, и, прежде всего, за помощь в бесконечных улучшениях "нашего" английского языка в статьях, которые опубликованы в зарубежных научных журналах.

Особо хочу поблагодарить моих коллег по кафедре электроники, колебаний и волн, по факультету нелинейных процессов и Саратовскому государственному университету: проф. Ю.П. Шараевского, Б.С. Дмитриева, Б.П. Безручко, А.П. Кузнецова, С.П. Кузнецова, старшего преподавателя С.В. Гришина и других, с которыми я работал "бок о бок" в течение тех лет, пока шла работа над диссертацией. Наконец, хочу выразить искреннюю признательность и благодарность моим коллегам и друзьям по научной лаборатории No 5 "Физика нелинейных явлений" ОФНС НИИ ЕН СГУ старшим преподавателям И.С. Ремпен, Е.Н. Егорову, младшим научным сотрудникам А.Е. Храмовой, А.В. Стародубову, О.И. Москаленко, П.В. Попову, лаборантам М.К. Куровской, Р.А. Филатову.

1. С. П. Кузнецов, Динамический хаос, серия "Современная теория колебаний и волн", М.: Физматлит, 2001.

2. В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, В. В. Астахов, Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем, Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.

3. В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова и др., Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах, М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

4. Г. Шустер, Детерминированный хаос, М.: Мир, 1988.

5. П. Берже, И. Помо, К. Видаль, Порядок в хаосе, М.: Мир, 1991.

6. Ю. JI. Климонтович, Введение в физику открытых систем, М.: "Янус-К", 2002.

7. Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс, Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей, М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

8. Л. П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа, Методы качественной теории в нелинейной динамике, М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

9. X. В. Брур, Ф. Дюмортье, С. Стрин, Ф. Такенс, Структуры в динамике, М.Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

10. В. С. Афраймович, В. И. Некоркин, Г. В. Осипов, В. Д. Шалфеев, Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации, Горький: ИПФ АН СССР, 1989.

11. P. S. Landa, Nonlinear oscillations and waves in dynamical systems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1996.

12. В. С. Анищенко, Т. E. Вадивасова, Синхронизация автоколебаний и колебаний, индуцированных шумом, Радиотехника и электроника 47 (2002), No. 2, 133-162.

13. Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков, т. 1., М.: Физматлит, 2003.

14. Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков т. 2., М.: Физматлит, 2004.

15. М. Б. Виноградова, О. В. Руденко, А. П. Сухорукое, Теория волн, М.: Наука, 1990.

16. А. П. Сухоруков, Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике, М.: Наука, 1988.

17. И. И. Блехман, Синхронизация динамических систем, М.: Наука, 1971.

18. И. И. Блехман, Синхронизация в природе и технике, М.: Наука, 1981.

19. П. С. Ланда, Ю. С. Рендель, В. Ф. Шер, Синхронизация колебаний в системе Лоренца, Изв. вузов. Радиофизика 32 (1989), No. 9, 1172.

20. П. С. Ланда, М. Г. Розенблюм, О синхронизации распределенных автоколебательных систем, Доклады Академии Наук 324 (1992), No. 1, 63-38.

21. P. S. Landa, М. G. Rosenblurn, Synchronization and chaotization of oscillations in coupled self-oscillating systems, Appl. Mech. Rev. 46 (1993), No. 7, 414-426.

22. L. Glass, Synchronization and rhythmic processes in physiology, Nature (London) 410 (2001), 277-284.

23. Д. Э. Постнов, С. К. Хан, Механизм противофазной синхронизации в моделях нейронов, Письма в ЖТФ 25 (1999), No. 4, 11-18.

24. V. S. Anishchenko, A. G. Balanov, N. В. Janson, N. В. Igosheva, G. V. Bordyugov, Entrainment between heart rate and weak nonlinear forcing, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (2000), No. 10, 2339-2348.

25. P. S. Landa, M. I. Rabinovich, Exhibition of intrinsic properties of certain systemsin response to external disturbances, Phys. Rev. E 61 (2000), No. 2, 1829-1838.404

26. P. Parmananda, Generalized synchronization of spatiotemporal chemical chaos, Phys. Rev. E 56 (1997), 1595-1598.

27. B. Blasiusc, L. Stone, Chaos and phase synchronisation in ecological systems, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (2000), No. 10, 2361-2380.

28. M. Palus, J. Kurths, U. Schwarz, D. Novotna, I. Charvatova, Is the solar activity cycle synchronized with the solar inertial motion?, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (2000), No. 11, 2519-2526.

29. K. Murali, M. Lakshmanan, Transmission of signals by synchronization in a chaotic van der Pol-Duffing oscillator, Phys. Rev. E 48 (1994), No. 3, R1624-R1626.

30. T. Yang, C. W. Wu, L. O. Chua, Cryptography based on chaotic systems, IEEE Trans. Circuits and Syst. 44 (1997), No. 5, 469-472.

31. А. С. Дмитриев, А. И. Панас, Динамический хаос: новые носители информации для систем связи, М.: Физматлит, 2002.

32. V. S. Anishchenko, А. N. Pavlov, Global reconstruction in application to multichannel communication, Phys. Rev. E 57 (1998), 2455-2457.

33. K. Pyragas, Synchronisation of coupled time-delay systems: analytical estimations, Phys. Rev. E 58 (1998), No. 3, 3067-3071.

34. K. Murali, M. Lakshmanan, Drive-response scenario of chaos syncronization in identical nonlinear systems, Phys. Rev. E 49 (1994), No. 6, 4882-4885.

35. K. Cuomo, A. V. Oppenheim, Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications, Phys. Rev. Lett. 71 (1993), No. 1, 65-68.

36. Д. И. Трубецков, А. А. Короновский, A. E. Храмов, Синхронизация распределенных автоколебательных систем электронно-волновой природы с обратной волной, Изв. вузов. Радиофизика XLVII (2004), No. 5-6, 343-372.

37. Ю. И. Неймарк, П. С. Ланда, Стохастические и хаотические колебания, М.: Наука, 1987.

38. А. С. Дмитриев, В. Я. Кислов, Стохастические колебания в радиофизике и электронике, М.: Наука, 1989.

39. В. С. Анищенко, Сложные колебания в простых системах, М.: Наука, 1990.

40. В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Летчфорд, Многочастотные и стохастические автоколебания в автогенераторе с инерционной нелинейностью, Радиотехника и электроника 27 (1980), No. 10, 1972.

41. В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, В. В. Астахов, Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем, фундаментальные основы и избранные проблемы, Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1999.

42. А. С. Дмитриев, В. Я. Кислов, С. О. Старков, Экспериментальное исследование образования и взаимодействия странных аттракторов в кольцевом автогенераторе, ЖТФ 5 (1985), No. 12, 2417-2419.

43. А. С. Пиковский, М. Г. Розенблюм, Ю. Курте, Синхронизация, фундаментальное нелинейное явление, М.: Техносфера, 2003.

44. В. С. Анищенко, Д. Э. Постнов, Эффект захвата фазовой частоты хаотических колебаний. Синхронизация странных аттракторов., Письма в ЖТФ 14 (1988), No. 6, 569.

45. В. Д. Шалфеев, В. В. Матросов, Об эффектах захвата и удержания при синхронизации хаотически модулированных колебаний, Изв. вузов. Радиофизика 41 (1998), No. 12, 1033-1036.

46. В. В. Матросов, В. Д. Шалфеев, Д. В. Касаткин, Анализ областей генерации хаотических колебаний взаимосвязанных фазовых систем, Изв. вузов. Радиофизика 49 (2006), No. 5, 448-457.

47. Н. Fujisaka, Т. Yamada, Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator system, Progress of Theoretical Physics 69 (1983), 32.

48. А. С. Пиковский, О взаимодействии странных аттракторов, Препринт ИПФ АН СССР. Горький, 1983.

49. С. П. Кузнецов, Универсальность и подобие в поведении связанных систем Фейгенбаума, Изв. вузов. Радиофизика 29 (1986), 1050.

50. В. С. Афраймович, Н. Н. Веричев, М. И. Рабинович, Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах, Изв. вузов. Радиофизика 29 (1986), 1050.

51. L. M. Pecora, Т. L. Carroll, Synchronization in chaotic systems, Phys. Rev. Lett. 64 (1990), No. 8, 821-824.

52. L. M. Pecora, T. L. Carroll, Driving systems with chaotic signals, Phys. Rev. A 44 (1991), No. 4, 2374-2383.

53. А. В. Шабунин, С. M. Николаев, В. В. Астахов, Двухпараметрический бифуркационный анализ режимов полной синхронизации хаоса в ансамбле из трех осцилляторов с дискретным временем, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 13 (2005), No. 5-6, 24-39.

54. М. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, From phase to lag synchronization in coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 78 (1997), No. 22, 4193-4196.

55. S. Taherion, Y.-C. Lai, Observability of lag synchronization of coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. E 59 (1999), No. 6, R6247-R6250.

56. N. F. Rulkov, M. M. Sushchik, L. S. Tsimring, H. D.I. Abarbanel, Generalized synchronization of chaos in directionally coupled chaotic systems, Phys. Rev. E 511995), No. 2, 980-994.

57. Lj. Kocarev, U. Parlitz, Generalized synchronization, predictability, and equivalence of unidirectionally coupled dynamical systems, Phys. Rev. Lett. 761996), No. 11, 1816-1819.

58. В. С. Анищенко, Т. E. Вадивасова, Д. Э. Постнов, М. А. Сафонова, Вынужденная и взаимная синхронизация хаоса, Радиотехника и электроника 36 (1991), 338.

59. V. S. Anishchenko, Т. Е. Vadivasova, D. Е. Postnov, М. A. Safonova, Synchronization of chaos, Int. J. Bifurcation and Chaos 2 (1992), No. 3, 633-644.

60. A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, J. Kurths, Synchronization: a universal concept in nonlinear sciences, Cambridge University Press, 2001.

61. V. S. Anishchenko, V. Astakhov, A. Neiman, Т. E. Vadivasova, L. Schimansky-Geier, Nonlinear dynamics of chaotic and stochastic systems, tutorial and modern developments, Springer-Verlag, Heidelberg, 2001.

62. П. С. Ланда, К вопросу о частичной синхронизации, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 12 (2004), No. 4, 48-59.407

63. А. П. Кузнецов, Н. В. Станкевич, Л. В. Тюрюкина, Особенности картины синхронизации импульсами в автоколебательной системе с трехмерным фазовым пространством, Письма ЖТФ 32 (2006), No. 8, 41-47.

64. A. Jalnine, S. P. Kuznetsov, А. Н. Osbaldestin, Dynamics of small perturbations of orbits on a torus in a quasiperiodically forced 2d dissipative map, Regular and Chaotic Dynamics 11 (2006), No. 1, 19-30.

65. А. П. Кузнецов, H. В. Станкевич, Л. В. Тюрюкина, Особенности синхронизации импульсами в системе с трехмерным фазовым пространством на примере системы ресслера, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 14 (2006), No. 6, 43-53.

66. N. Yu. Ivankov, S. P. Kuznetsov, Complex periodic orbits, renormalization and scaling for quasiperiodic golden-mean transition to chaos, Phys. Rev. E 63 (2001), No. 4, 046210.

67. S. Boccaletti, J. Kurths, G. V. Osipov, D. L. Valladares, С. T. Zhou, The synchronization of chaotic systems, Physics Reports 366 (2002), 1.

68. V. N. Belykh, E. Mosekilde, One-dimensional map lattices: synchronization, bifurcations and chaotic structures, Phys. Rev. E 54 (1996), 3196.

69. W. Ebeling, P. S. Landa, V. G. Ushakov, Self-oscillations in ring Toda chains with negative friction, Phys. Rev. E 63 (2001), No. 4, 046601.

70. G. V. Osipov, M. V. Ivanchenko, J. Kurths, B. Hu, Synchronized chaotic intermittent and spiking behavior in coupled map chains, Phys. Rev. E 71 (2005), 056209.

71. Y. V. Andreev, A. S. Dmitriev, Conditions for global synchronization in lattices of chaotic elements with local connections, Int. J. Bifurcation and Chaos 9 (1999), 2165.

72. I. V. Belykh, V. N. Belykh, K. Nevidin, M. Hasler, Persistent clusters in lattices of coupled nonidentical chaotic systems, Chaos 13 (2003), 165-178.

73. V. N. Belykh, I. V. Belykh, M. Hasler, K. Nevidin, Cluster synchronization in three-dimensional lattices of diffusively coupled oscillators, Int. J. Bifurcation and Chaos 13 (2003), 755-779.

74. M. Chavez", D.-U. Hwang, А. Ашапп, H. G.E. Hentschel, S. Boccaletti, Synchronization is enhanced in weighted complex networks, Phys. Rev. Lett. 94 (2005), 218701.

75. D.-U. Hwang, M. Chavez, A. Amann, S. Boccaletti, Synchronization in complex networks with age ordering, Phys. Rev. Lett. 94 (2005), 138701.

76. I. V. Belykh, V. N. Belykh, M. Hasler, Blinking model and synchronization in small-world networks with a time-varying coupling, Physica D 195 (2004), No. 12, 188-206.

77. I. V. Belykh, V. N. Belykh, M. Hasler, Synchronization in asymmetrically coupled networks with node balance, Chaos 16 (2006), No. 1, 015102.

78. A. S. Ivanova, S. P. Kuznetsov, A. H. Osbaldestin, Universality and scaling in networks of period-doubling maps with a pacemaker, Discrete Dynamics in Nature and Society 2006 (2006), 74723.

79. Y. C. Kouomou, P. Woafo, Transitions from spatiotemporal chaos to cluster and complete synchronization states in a shift-invariant set of coupled nonlinear oscillators, Phys. Rev. E 67 (2003), 046205.

80. P. N. McGraw and M. Menzinger, Clustering and the synchronization of oscillator networks, Phys. Rev. E 72 (2005), 015101.

81. A. S. Kuznetsov, V. D. Shalfeev, L. S. Tsimring, Regularization of dynamics in an ensemble of nondiffusively coupled chaotic elements, Phys. Rev. E 72 (2005), 046209.

82. M. Yoshioka, Cluster synchronization in an ensemble of neurons interacting through chemical synapses, Phys. Rev. E 71 (2005), 061914.

83. M. Hasler, Yu. Maistrenko, 0. Popovich, Simple example of partial synchronization of chaotic systems, Phys. Rev. E 58 (1998), 6843.

84. A. V. Taborov, Yu. Maistrenko, E. Mosekilde, Partial synchronization in a system of coupled logistic maps, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (2000), 1051.

85. V. N. Belykh, I. V. Belykh, M. Hasler, Hierarchy and stability of partial synchronous oscillations of diffusively coupled dynamical systems, Phys. Rev. E 62 (2000), 6332.

86. A. Pogromsky, G. Santoboni, H. Nijmeijer, Partial synchronization: from symmetry towards stability, Physica D 172 (2002), 65.

87. U. Parlitz, L. О. Chua, Lj. Kocarev, К. S. Halle, A. Shang, Transmission of digital signal by chaotic synchronization, Int. J. Bifurcation and Chaos 2 (1992), No. 4, 973-977.

88. В. Д. Шалфеев, Г. В. Осипов, А. К. Козлов, А. Р. Волковский, Хаотические колебания — генерация, синхронизация, управление, Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники (1997), No. 10, 27-49.

89. А. С. Дмитриев, JI. В. Кузьмин, А. И. Панас, С. О. Старков, Эксперименты по передаче информации с использованием хаоса через радиоканал, Радиотехника и электроника 43 (1998), 1115-1128.

90. С. Т. Zhou, J. Kurths, Е. Allaria, S. Boccaletti, R. Meucci, F. T. Arecchi, Noise-enhanced synchronization of homoclinic chaos in a C02 laser, Phys. Rev. E 67 (2003), 015205.

91. M. D. Prokhorov, V. I. Ponomarenko, V. I. Gridnev, M. B. Bodrov, A. B. Bespyatov, Synchronization between main rhytmic processes in the human cardiovascular system, Phys. Rev. E 68 (2003), 041913.

92. N. B. Janson, A. G. Balanov, V. S. Anishchenko, P. V.E. McClintock, Phase relationships between two or more interacting processes from one-dimensional time series. I. Basic theory, Phys. Rev. E 65 (2002), 036211.

93. N. B. Janson, A. G. Balanov, V. S. Anishchenko, P. V.E. McClintock, Phase relationships between two or more interacting processes from one-dimensional time series. II. Application to heart-rate-variability data, Phys. Rev. E 65 (2002), 036212.

94. N. B. Janson, A. G. Balanov, V. S. Anishchenko, P. V.E. McClintock, Phase synchronization between several interacting processes from univariate data, Phys.

95. Rev. Lett. 86 (2001), No. 9, 1749-1752.410

96. V. I. Nekorkin, V. В. Kazantsev, M. G. Velarde, Spike-burst and other oscillations in a system composed of two coupled, drastically different elements, Eur. Phys. J. В 16 (2000), 147.

97. V. В. Kazantsev, V. I. Nekorkin, S. Binczak, J. M. Bilbaut, Spiking patterns emerging from wave instabilities in a one-dimensional neural lattice, Phys. Rev. E 68 (2003), 017201.

98. I. V. Belykh, E. Lange, M. Hasler, Synchronization of bursting neurons: what matters in the network topology, Phys. Rev. Lett. 94 (2005), 188101.

99. G. Balazsi, L. B. Kish, From stochastic resonance to brain waves, Phys. Lett. A 265 (2000), 304-316.

100. M. Chavez, C. Adam, V. Navarro, S. Boccaletti, J. Martinerie, On the intrinsic time scales involved in synchronization: a data-driven approach, Chaos 15 (2005), No. 02, 023904.

101. R. Q. Quiroga, A. Kraskov, T. Kreuz, P. Grassberger, Perfomance of different synchronization measures in real data: a case study on electroencephalographic signals, Phys. Rev. E 65 (2002), 041903.

102. S. Boccaletti, L. M. Pecora, A. Pelaez, Unifying framework for synchronization of coupled dynamical systems, Phys. Rev. E 63 (2001), 066219.

103. R. Brown, Lj. Kocarev, A unifying definition of synchronization for dynamical systems, Chaos 10 (2000), No. 2, 344-349.

104. S. Boccaletti, D. L. Valladares, Characterization of intermittent lag synchronization, Phys. Rev. E 62 (2000), No. 5, 7497-7500.

105. M. Zhan, G. W. Wei, C.-H. Lai, Transition from intermittency to periodicity in lag synchronizarion in coupled Rossler oscillators, Phys. Rev. E 65 (2002), 036202.

106. В. С. Анищенко, В. В. Астахов, С. М. Николаев, А. В. Шабунин, Исследование хаотической синхронизации в системе симметрично связанных генераторов, Радиотехника и электроника 45 (2000), No. 2, 179-185.

107. М. Henon, On the numerical computation of Poincare maps, Physica D5 (1982), 412-414.

108. Z. Kaufmann, H. Lustfeld, Comparsion of averages of flows and maps, Phys. Rev. E 64 (2001), 055206.

109. Г. П. Быстрай, С. И. Студенток, Двумерные отображения для нелинейного ротора с кусочно-постоянным коэффициентом затухания, возбуждаемого периодическими ударами, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 10 (2002), No. 6, 24-41.

110. О. V. Sosnovtseva, A. G. Balanov, Т. Е. Vadivasova, V. Astakhov, Е. Mosekilde, Loss of lag synchronization in coupled chaotic systems, Phys. Rev. E 60 (1999), No. 6, 6560-6565.

111. M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, C. Schafer, P. A. Tass, Phase synchronization: from theory to data analysis, Handbook of Biological Physics, Elsiver Science, 2001, 279-321.

112. В. В. Шахгильдян, JI. H. Белюстина (eds.), Фазовая синхронизация, М.: Связь, 1975.

113. Г. А. Леонов, В. Б. Смирнова, Математические проблемы теории фазовой синхронизации, СПб.: Наука, 2000.

114. В. П. Пономаренко, В. В. Матросов, Динамические свойства двухконтурной взаимосвязанной системы фазовой синхронизации, Радиотехника и электроника 29 (2006), No. 6, 1125-1133.

115. В. П. Пономаренко, В. В. Матросов, Нелинейные явления в системе взаимосвязанных устройств фазовой синхронизации, Радиотехника и электроника 38 (1993), No. 4, 711-720.

116. В. П. Пономаренко, В. В. Матросов, О динамике инерционной взаимосвязанной системы фазовой синхронизации, Радиотехника и электроника 28 (1993), No. 4, 721-730.

117. В. Линдсей, Системы синхронизации в связи и управлении, М.: Сов. радио, 1978.

118. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Анализ фазовой хаотической синхронизации с помощью непрерывного вейвлетного анализа, Письма в ЖТФ 30 (2004), No. 14, 29-36.

119. В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасова, Г. А. Окрокверцхов, Г. И. Стрелкова, Статистические свойства динамического хаоса, Успехи физических наук 175 (2005), No. 2, 163.

120. А. А. Короновский, М. К. Куровская, А. Е. Храмов, О соотношении фазовой синхронизации хаотических осцилляторов и синхронизации временных масштабов, Письма в ЖТФ 31 (2005), No. 19, 76-82.

121. М. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 76 (1996), No. 11, 1804-1807.

122. G. V. Osipov, A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, J. Kurths, Phase synchronization effect in a lattice of nonidentical Rossler oscillators, Phys. Rev. E 55 (1997), No. 3, 2353-2361.

123. A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, G. V. Osipov, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators by external driving, Physica D 104 (1997), No. 4, 219-238.

124. A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblum, J. Kurths, Phase synchronisation in regular and chaotic systems, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (2000), No. 10, 2291-2305.

125. L. Zhao, Y.-C. Lai, R. Wang, J.-Y. Gao, Limits to chaotic phase synchronization, Europhysics Letters 66 (2004), No. 3, 324-330.

126. В. С. Анищенко, Т. E. Вадивасова, Взаимосвязь частотных и фазовых характеристик хаоса. Два критерия синхронизации, Радиотехника и электроника 49 (2004), No. 1, 123.

127. G. V. Osipov, В. Ни, С. Т. Zhou, М. V. Ivanchenko, J. Kurths, Three types of transitons to phase synchronization in coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 91 (2003), No. 2, 024101.

128. U. Parlitz, L. Junge, W. Lauterborn, Experimental observation of phase synchronization, Phys. Rev. E 54 (1996), No. 2, 2115-2117.

129. Z. Zheng, G. Ни, Generalized synchronization versus phase synchronization, Phys. Rev. E 62 (2000), No. 6, 7882-7885.

130. K. Pyragas, Weak and strong synchronization of chaos, Phys. Rev. E 54 (1996), No. 5, R4508-R4511.

131. F. Xie, G. Hu, Z. Qu, On-off intermittency in a coupled-map lattice system, Phys. Rev. E 52 (1995), No. 2, R1265-R1268.

132. N. Piatt, E. A. Spiegel, C. Tresser, On-off intermittency: a mechanism for bursting, Phys. Rev. Lett. 70 (1993), No. 3, 279-282.

133. P. M. Gade, R. E. Amritkar, Spatially periodic orbits in coupled-map lattices, Phys. Rev. E 47 (1993), No. 1, 143-154.

134. H. L. Yang, E. J. Ding, On-off intermittency in random map lattices, Phys. Rev. E 50 (1994), No. 5, R3295-R3298.

135. P. W. Hammer, N. Piatt, S. M. Hammel, J. F. Heagy, B. D. Lee, Experimental observation of on-off intermittency, Phys. Rev. Lett. 73 (1994), No. 8, 1095-1098.

136. J. F. Heagy, N. Piatt, S. M. Hammel, Characterization of on-off intermittency, Phys. Rev. E 49 (1994), No. 2, 1140-1150.

137. F. Xie, G. Hu, Transient on-off intermittency in a coupled map lattice system, Phys. Rev. E 53 (1996), No. 1, 1232-1235.

138. A. S. Pikovsky, G. V. Osipov, M. G. Rosenblum, M. Zaks, J. Kurths, Attractor-repeller collision and eyelet intermittency at the transition to phase synchronization, Phys. Rev. Lett. 79 (1997), No. 1, 47-50.

139. A. S. Pikovsky, M. Zaks, M. G. Rosenblum, G. V. Osipov, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators in terms of periodic orbits, Chaos 7 (1997), No. 4, 680-687.

140. K. J. Lee, Y. Kwak, Т. K. Lim, Phase jumps near a phase synchronization transition in systems of two coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 81 (1998), No. 2, 321-324.

141. M. Zhang, X. Wang, X. Gong, G. W. Wei, C.-H. Lai, Complete synchronization and generalized synchronization of one-way coupled time-delay systems, Phys. Rev. E 68 (2003), No. 3, 036208.

142. N. Tsukamoto, S. Miyazaki, H. Fujisaka, Synchronization and intermittency in three coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. E 67 (2003), No. 1, 016212.

143. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, Intermitted generalized synchronization in unidirectionally coupled chaotic oscillators, Europhysics Lett. 70 (2005), No. 2, 169-175.

144. О. E. Rossler, An equaion for continuous chaos, Phys. Lett. A 57 (1976), No. 5, 397-398.

145. Т. Мацумото, Хаос в электронных, схемах, ТИИЭР 75 (1987), No. 8, 66.

146. А. В. Андрушкевич, А. А. Кипчатов, JI. В. Красичков, А. А. Короновский, Экспериментальное двупараметрическое исследование неоднозначных режимов колебаний, Изв. вузов. Радиофизика XXXVIII (1995), No. 11, 1195-1203.

147. А. А. Кипчатов, А. А. Короновский, Тонкие эффекты самоподобного поведения кусочно-линейной системы вблизи линии бифуркации рождения тора, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 5 (1997), No. 2, 17-23.

148. А. А. Короновский, Мультипликаторы периодических решений для генератора с кусочно-линейным элементом, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 5 (1997), No. 2, 24-34.

149. М. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Effect of phase synchronization in driven and coupled chaotic oscillators, IEEE Transactions on Circuits and Systems I 44 (1997), No. 10, 874-881.

150. A. S. Pikovsky, M. I. Rabinovich, Stochastic oscillations in dissipative systems, Physica D 2 (1981), 8-24.

151. G. P. King, S. T. Gaito, Bistable chaos. I. Unfolding the cusp, Phys. Rev. A 46 (1992), No. 6, 3092-3099.

152. G. P. King, S. T. Gaito, Bistable chaos. II. Bifurcation analysis, Phys. Rev. A 46 (1992), No. 6, 3100-3110.

153. А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Новый тип универсальности при хаотической синхронизации динамических систем, Письма в ЖЭТФ 80 (2004), No. 1, 25-28.

154. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Обобщенная синхронизация хаотических осцилляторов как частный случай синхронизации временных масштабов, Письма в ЖТФ 30 (2004), No. 23, 54-61.415

155. А. Е. Храмов, А. А. Короновский, Ю. И. Левин, Синхронизация временных масштабов хаотических осцилляторов, ЖЭТФ 127 (2005), No. 4, 886-897.

156. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Анализ хаотической синхронизации динамических систем с плохо определенной фазой, Радиотехника и электроника 50 (2005), No. 8, 969-977.

157. А. А. Короновский, О. И. Москаленко, П. В. Попов, А. Е. Храмов, Некоторые общие подходы к анализу хаотической синхронизации в связанных динамических системах, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 12 (2004), No. 6, 159-190.

158. А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, О механизме разрушения полной хаотической синхронизации, Доклады Академии Наук 395 (2004), No. 1, 143-145.

159. А. А. Короновский, П. В. Попов, А. Е. Храмов, Хаотическая синхронизация однонаправленно связанных электронных сред со встречной волной, ЖТФ 75 (2005), No. 4, 1-9.

160. П. В. Попов, Р. А. Филатов, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Синхронизация пространственно-временного хаоса в пучково-плазменных системах со сверхкритическим током, Письма в ЖТФ 31 (2005), No. 6, 9-16.

161. А. А. Короновский, П. В. Попов, А. Е. Храмов, Хаотическая синхронизация однонаправленно связанных ламп обратной волны с поперечным полем, Изв. РАН, сер. физич. 68 (2004), No. 12, 1794-1798.

162. В. В. Бунина, А. А. Короновский, П. В. Попов, А. Е. Храмов, Хаотическая синхронизация в связанных лампах обратной волны с распределенным вводом сигнала, Изв. РАН, сер. физич. 69 (2005), No. 12, 1727-1731.

163. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, P. V. Popov, I. S. Rempen, Chaotic synchronization of coupled electron-wave systems with backward waves, Chaos 15 (2005), No. 1, 013705.

164. А. А. Короновский, A. E. Храмов, Анализ хаотической синхронизации динамических систем с помощью вейвлетного преобразования, Письма в ЖЭТФ 79 (2004), No. 7, 391-395.

165. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, М. К. Kurovskaya, О. I. Moskalenko, Synchronization of spectral components and its regularities in chaotic dynamical systems, Phys. Rev. E 71 (2005), No. 5, 056204.

166. А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Синхронизация спектральных компонент связанных хаотических осцилляторов, Письма в ЖТФ 30 (2004), No. 18, 56-64.

167. А. А. Короновский, М. К. Куровская, А. Е. Храмов, Временное запаздывание между неустойчивыми периодическими орбитами связанных хаотических осцилляторов, Письма в ЖТФ 31 (2005), No. 3, 60-66.

168. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, М. К. Kurovskaya, S. Boccaletti, Ring intermittency in coupled chaotic oscillators at the boundary of phase synchronization, Phys. Rev. Lett. 97 (2006), 114101.

169. А. А. Короновский, M. К. Куровская, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Два сценария разрушения режима хаотической фазовой синхронизации, ЖТФ 77 (2007), No. 1, 21-29.

170. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, М. К. Kurovskaya, Two types of phase synchronization destruction, Phys. Rev. E 75 (2007), No. 3, 036205.

171. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, P. V. Popov, Generalized synchronization in coupled Ginzburg-Landau equations and mechanisms of its arising, Phys. Rev. E 72 (2005), No. 3, 037201.

172. А. А. Короновский, О. И. Москаленко, Р. А. Филатов, А. Е. Храмов, Исследование обобщенной синхронизации хаотических систем, Изв. РАН, сер. физич. 69 (2005), No. 12, 1741-1745.

173. А. А. Короновский, П. В. Попов, А. Е. Храмов, Обобщенная хаотическая синхронизация в связанных уравнениях Гинзбурга-Ландау, ЖЭТФ 130 (2006), No. 4(10), 748-764.

174. А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, О механизмах, приводящих к установлению режима обобщенной синхронизации, ЖТФ 76 (2006), No. 2, 1-9.

175. А. А. Короновский, П. В. Попов, А. Е. Храмов, Обобщенная синхронизация и механизм ее возникновения в связанных автоколебательных средах, Письма в ЖТФ 31 (2005), No. 22, 9-16.

176. А. А. Короновский, О. И. Москаленко, А. Е. Храмов, Об установлении режима обобщенной синхронизации в хаотических осцилляторах, Письма в ЖТФ 32 (2006), No. 3, 40-48.

177. П. В. Попов, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Обобщенная синхронизация в уравнениях Гинзбурга-Ландау с локальной по пространству связью, Письма в ЖТФ 32 (2006), No. 14, 81-88.

178. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, Generalized synchronization: a modified system approach, Phys. Rev. E 71 (2005), No. 6, 067201.

179. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, О. I. Moskalenko, Generalized synchronization onset, Europhysics Letters 72 (2005), No. 6, 901-907.

180. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, О. I. Moskalenko, Are generalized synchronization and noise-induced synchronization identical types of synchronous behavior of chaotic oscillators?, Phys. Lett. A 354 (2006), No. 5-6, 423-427.

181. А. А. Короновский, О. И. Москаленко, Д. И. Трубедков, А. Е. Храмов, Обобщенная синхронизация и синхронизация, индуцированная шумом, единый тип поведения связанных хаотических систем, Доклады Академии Наук 407 (2006), No. 6, 761-765.

182. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, А. Е. Храмова, К вопросу о синхронном поведении связанных систем с дискретным временем, Письма в ЖЭТФ 82 (2005), No. 3, 176-179.

183. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, И. А. Хромова, Средняя длительность переходных процессов в динамических системах с дискретным временем, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 11 (2003), No. 1, 36-46.

184. А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, А. Е. Храмова, Универсальные закономерности переходных процессов, Изв. вузов. Радиофизика XLV (2002), No. 10, 880-886.

185. Г. Б. Астафьев, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, А. Е. Храмова, О переходных процессах в отображении Эно, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика И (2003), No. 4-5, 124-147.

186. Е. Н. Егоров, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Структура бассейнов притяжения аттракторов генератора "TORUS", Радиотехника и электроника 49 (2004), No. 6, 720-725.

187. А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, А. Е. Храмова, Универсальные скейлинговые закономерности переходных процессов, Доклады Академии Наук 383 (2002), No. 3, 322-325.

188. А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Переходные процессы в распределенной нелинейной активной среде винтовой электронный пучок — встречная электромагнитная волна, Изв. вузов. Радиофизика XLVII (2004), No. 5-6, 373-382.

189. А. А. Короновский, А. Е. Храмова, Зависимость длительности переходных процессов от начальных условий в отображении Заславского, ЖТФ 74 (2004), No. 5, 136-140.

190. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Изменение зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в системах с дискретным временем, Письма в ЖТФ 28 (2002), No. 15, 61-68.

191. А. А. Короновский, А. В. Стародубов, А. Е. Храмов, Методика определения длительности переходного процесса для динамических систем, находящихся в режиме хаотических колебаний, Письма в ЖТФ 29 (2003), No. 8, 32-40.

192. А. А. Короновский, А. Е. Храмова, Механизм усложнения зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в двумерном отображении, Письма в ЖТФ 29 (2003), No. 13, 10-18.

193. А. А. Короновский, К вопросу о зависимости длительности переходного процесса от точности ее определения в динамических системах, демонстрирующих квазипериодическое поведение, Письма в ЖТФ 29 (2003), No. 19, 31-39.

194. А. А. Короновский, А. В. Стародубов, А. Е. Храмов, Время покрытия аттрактора, временная размерность и ее связь с емкостной размерностью, Письма в ЖТФ 29 (2003), No. 24, 54-60.

195. Е. Н. Егоров, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Анализ переходных процессов в потоковой радиофизической системе, Письма в ЖТФ 30 (2004), No. 15, 70-76.

196. А. Е. Hramov, А. Е. Khramova, I. A. Khromova, A. A. Koronovskii, Investigation of transient processes in one-dimensional maps, Nonlinear Phenomena in Complex Systems 7 (2004), No. 1, 1-16.

197. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, I. S. Rempen, D. I. Trubetskov, Investigation of transient chaos in gyro-backward-wave-oscillator synchronized by the external signal, Izvestija vuzov. Prikladnaja Nelinejnaja Dinamika 10 (2002), No. 3, 97-108.

198. Г. Б. Астафьев, А. А. Короновский, A. E. Храмов, К вопросу о поведении динамических систем в режиме переходного хаоса, Письма в ЖТФ 29 (2003), No. 22, 1-9.

199. А. А. Короновский, И. С. Ремпен, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Переходной хаос в распределенной активной среде "винтовой электронный пучок — встречная электромагнитная волна", Изв. РАН, сер. физич. 66 (2002), No. 12, 1754-1760.

200. Г. Б. Астафьев, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Исследование переходного хаоса в сосредоточенных и распределённых системах с помощью вейвлетного анализа, Изв. РАН, сер. физич. 67 (2003), No. 12, 1674-1677.

201. А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, О сверхбыстрой синхронизации автоколебаний в распределенной активной среде "винтовой электронный пучок — встречная электромагнитная волна", Доклады Академии Наук 389 (2003), No. 6, 749-752.

202. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, И. А. Хромова, О времени установления синхронного режима колебаний в двух связанных идентичных подсистемах,

203. Письма в ЖТФ 30 (2004), No. 6, 79-86.420

204. А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Влияние внешнего сигнала на автоколебания распределенной системы винтовой электронный пучок — встречная электромагнитная волна, Изв. вузов. Радиофизика XLV (2002), No. 9, 773-792.

205. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, И. А. Хромова, Длительность установления режима полной синхронизации двух идентичных хаотических систем, Письма в ЖТФ 30 (2004), No. 7, 69-76.

206. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Введение в непрерывный вейвлетный анализ для специалистов в области нелинейной динамики. Часть 2. Пути в хаос с точки зрения вейвлетного анализа., Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 10 (2002), No. 1,2, 3-19.

207. А. А. Короновский, Г. Д. Кузнецова, И. С. Мидзяновская, Е. Ю. Ситникова, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Закономерности перемежающегося поведения в спонтанной неконвульсивной судорожной активности у крыс, ДАН (2006).

208. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Об эффективном анализе перехода к хаосу через перемежаемость с помощью вейвлетного преобразования, Письма в ЖТФ 27 (2001), No. 1, 3-11.

209. В. А. Гусев, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Применение адаптивных вей-влетных базисов к анализу нелинейных систем с хаотической динамикой, Письма в ЖТФ 29 (2003), No. 18, 61-69.

210. А. А. Короновский, А. А. Тыщенко, А. Е. Храмов, Исследование распределения турбулентных фаз при разрушении синхронизации с запаздыванием, Письма в ЖТФ 31 (2005), No. 21, 1-8.

211. В. Г. Анфиногентов, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Вейвлетный анализ и его использование для анализа динамики нелинейных динамических систем различной природы, Изв. РАН, сер. физич. 64 (2000), No. 12, 2383-2390.

212. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Непрерывный вейвлетный анализ в приложениях к задачам нелинейной динамики, Саратов: изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2002.

213. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения, М.: Физматлит, 2003.

214. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, An approach to chaotic synchronization, Chaos 14 (2004), No. 3, 603-610.

215. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, V. I. Ponomarenko, M. D. Prokhorov, Detecting synchronization of self-sustained oscillators by external driving with varying frequency, Phys. Rev. E 73 (2006), No. 2, 026208.

216. А. А. Короновский, В. И. Пономаренко, М. Д. Прохоров, А. Е. Храмов, Изучение синхронизации автоколебаний по унивариантным данным при изменении частоты внешнего воздействий с использованием вейвлетного анализа, Письма в ЖТФ 32 (2006), No. 11, 81-88.

217. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, I. S. Midzyanovskaya, Е. Sitnikova, С. М. Rijn, On-off intermittency in time series of spontaneous paroxysmal activity in rats with genetic absence epilepsy, Chaos 16 (2006), 043111.

218. M. H. Стриханов, Д. И. Трубецков, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Анализ и прогноз изменений научно-педагогического потенциала высшей школы России, Высшее образование в России (2003), No. 3, 3-17.

219. М. Н. Стриханов, Д. И. Трубецков, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, М. В. Храмова, В. В. Бунина, Т. Чварун, Проблема качества научных публикаций аспирантов, Высшее образование в России (2004), No. 9, 96-103.

220. А. А. Короновский, М. Н. Стриханов, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Анализ и прогноз тенденций изменения научно-педагогического потенциала профессорско-преподавательского состава высшей школы России, Науковедение (2002), No. 2, 82.

221. А. А. Короновский, М. Н. Стриханов, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, К вопросу об эффективности функционирования высшей школы (качественный подход), Науковедение (2002), No. 4, 82.

222. А. А. Короновский, М. Н. Стриханов, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Современное состояние высшей школы на примере одного вуза: методы диагностики и способы коррекции, Науковедение (2003), No. 4, 97.

223. А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, Нелинейная динамика в действии: Как идеи нелинейной динамики проникают в экологию, экономику и социальные науки, Саратов: Изд.-во ГосУНЦ "Колледж", 2002.

224. А. А. Короновский, М. Н. Стриханов, Д. И. Трубецков, Ю. П. Шараевский, А. Е. Храмов, Высшая школа россии с позиций нелинейной динамики, М.: Физматлит, 2007.

225. А. А. Короновский, О механизмах установления рыночной цены, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 4 (1996), No. 4, 5, 92-98.

226. И. С. Ремпен, А. А. Короновский, Нелинейная модель взаимодействия продавцов и потребителей, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 5 (1997), No. 5, 80-88.

227. А. А. Короновский, Д. И. Лопатников, А. Е. Храмов, Некоторые аспекты изменения численности народонаселения США с точки зрения нелинейной динамики., Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 10 (2002), No. 1,2, 146-156.

228. В. Г. Анфиногентов, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Некоторые модели класса решеточных газов, связанные с описанием численности популяций, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 8 (2000), No. 4, 74-84.

229. А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Динамика численности населения как процесс, подчиняющийся уравнению диффузии, Доклады Академии Наук 372 (2000), No. 3, 397-400.

230. Б. П. Безручко, А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Путь в синергетику, экскурс в десяти лекциях, М.: Комкнига, 2005.

231. D. S. Goldobin, A. S. Pikovsky, Synchronization and desynchronization of self-sustained oscillators by common noise, Phys. Rev. E 71 (2005), No. 4, 045201.

232. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, I. S. Rempen, Transient chaos into distributed systems of microwave electronics, Proceedings of Fourth IEEE International Vacuum Electron Source Conference (IVESC'2002). (July 15-19, 2002, Saratov, Russia), 2002, 375.

233. Г. Б. Астафьев, А. А. Короновский, A. E. Храмов, Переходные процессы в отображении Эно, Материалы VI научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 16-19 сентября 2002), 2002, 15.

234. D. I. Trubetskov, A. A. Koronovskii, А. Е. Hramov, Synchronization in microwave electronics, Int. Symp. "Topical problems of nonlinear wave physics", 2003, 82.

235. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, А. Е. Храмова, Исследование синхронизации хаоса в потоках и отображениях, Сборник тезисов III Международной конференции "Фундментальные проблемы физики" (13-18 июня 2005 года, Казань, Россия), 2005, 87.

236. А. А. Короновский, М. К. Куровская, А. Е. Храмов, Взаимосвязь фазовой синхронизации и синхронизации временных масштабов, Сборник тезисов III Международной конференции "Фундментальные проблемы физики" (13-18 июня 2005 года, Казань, Россия), 2005, 174.

237. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, А. Е. Храмова, Хаотическая синхронизация в отображениях и потоках, Труды VII Всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем" (19-22 сентября 2005 года, Нижний Новгород), 2005, 118-119.

238. А. А. Короновский, А. Е. Храмова, Связь синхронизации хаоса в отображениях и потоках, Нелинейные волновые процессы. Конференция молодых ученых. Нижний Новгород, 1-7 марта 2006 года. Тезисы докладов., 2006, 161-162.

239. О. И. Москаленко, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Аналитическое исследование несимметричного генератора Ван-дер-Поля, Труды школы-семинара "Волны-2006". Московская область, пансионат "Университетский", 22-27 мая 2006 г., 2006, 12-13.

240. Стефано Боккалетти, А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, А. Е. Храмова, Устойчивость синхронного состояния произвольной сети связанных элементов, Изв. вузов. Радиофизика XLIX (2006), No. 10, 917-924.

241. А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Совместные колебания, включая режимы синхронизации, в гирогенераторах со встречной волной и связанными линиями передачи, Радиотехника и электроника 49 (2004), No. 9, 1118-1127.

242. А. А. Короновский, Р. А. Филатов, А. Е. Храмов, Хаотическая синхронизация в пучково-плазменных системах со сверхкритическим током, Радиотехника и электроника 52 (2007), No. 3.

243. А. А. Короновский, В. И. Пономаренко, М. Д. Прохоров, А. Е. Храмов, Диагностика синхронизации автоколебательных систем при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейвлетного анализа, Радиотехника и электроника 52 (2007), No. 5.

244. Е. Н. Егоров, А. А. Короновский, Сравнение динамики радиофизической системы "Torus" в случае гладкой и кусочно-линейной вольтамперной характеристик, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 10 (2002), No. 1,2, 104-112.

245. А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Влияние сигнала сложной формы на колебания в активной среде "винтовой электронный поток — встречная электромагнитная волна", Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 10 (2002), No. 5, 3-18.

246. А. А. Короновский, И. С. Ремпен, А. Е. Храмов, Численное исследование управления хаотической динамикой в распределенной активной среде, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 12 (2004), No. 1-2, 51-79.

247. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Исследование когерентных структур в электронном пучке со сверхкритическим током с помощью вейвлетной бикоге-рентности, Физика плазмы 28 (2002), No. 8, 722-738.

248. А. А. Короновский, Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, Исследование колебаний в гир о генераторе со встречной волной и связанными электродинамическими системами, ЖТФ 73 (2003), No. 6, 110-117.

249. А. А. Короновский, И. С. Ремпен, Неустойчивость периодических стационарных волн в активной нелинейной среде с высокочастотными потерями, Письма в ЖТФ 24 (1998), No. 2, 80.

250. А. А. Короновский, Динамика решетки отображений с пороговой связью, Письма в ЖТФ 25 (1999), No. 4, 28-34.

251. А. Е. Храмов, А. А. Короновский, Ю. И. Левин, Исследование процессов струк-турообразования в электронном пучке с виртуальным катодом с помощью вейвлетной бикогерентности, Письма в ЖТФ 28 (2002), No. 13, 57-66.

252. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, О возможности увеличения порога автомодуляции в гирогенераторе со встречной волной и связанными электродинамическими системами, Письма в ЖТФ 29 (2003), No. 4, 63-70.

253. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Синхронизация колебаний распределенным внешним воздействием в гиролампе со встречной волной, Письма в ЖТФ 29 (2003), No. 12, 54-61.

254. И. С. Ремпен, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Управление хаосом в электронном пучке со сверхкритическим током в гидродинамической модели диода Пирса, Письма в ЖТФ 29 (2003), No. 23, 67-74.

255. Е. Н. Егоров, А. А. Короновский, К вопросу об управлении динамическими режимами в системе, демонстрирующей мультистабильность, Письма в ЖТФ 30 (2004), No. 5, 30-39.

256. А. А. Короновский, А. Е. Храмова, А. В. Стародубов, Взаимосвязь спектров, полученных по временным реализациям системы, с потоковым временем и её отображениям возврата, Письма в ЖТФ 32 (2006), No. 19, 86-94.

257. А. А. Короновский, А. Е. Храмов, В. Г. Анфиногентов, Феноменологическая модель электронного потока с виртуальным катодом, Изв. РАН, сер. физич. 63 (1999), No. 12, 2308-2315.

258. А. А. Короновский, И. С. Ремпен, А. Е. Храмов, Исследование неустойчивых периодических пространственно-временных состояний в распределённой автоколебательной системе со сверхкритическим током, Изв. РАН, сер. физич. 67 (2003), No. 12, 1705-1708.

259. Е. Н. Егоров, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Исследование мультистабиль-ности в распределенной активной среде с обратной связью, Изв. РАН, сер. физич. 67 (2003), No. 12, 1709-1713.

260. А. А. Короновский, А. Е. Храмова, Относительная геометрическая мера синхронизации систем с дискретным временем, Изв. РАН, сер. физич. 69 (2005), No. 12, 1732-1735.

261. Д. И. Трубецков, А. А. Короновский, А. Е. Храмов, Синхронизация автоколебаний в распределенной активной среде с высокочастотными потерями, Радиотехника 69 (2005), No. 3, 56-62.

262. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, V. I. Ponomarenko, М. D. Prokhorov, Detection of synchronization from univariate data using wavelet transform, Phys. Rev. E 75 (2007), No. 5, 056207.

263. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, I. S. Rempen, Controlling chaos in spatially extended beam-plasma system by the continuous delayed feedback, Chaos 16 (2006), No. 1, 013123.

264. R. A. Filatov, A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Chaotic synchronization in coupled spatially extended beam-plasma systems, Phys. Lett. A 358 (2006), 301-308.

265. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, Time scale synchronization of chaotic oscillators, Physica D 206 (2005), No. 3-4, 252-264.

266. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii, I. S. Rempen, Investigation of complex dynamics and regime control in Pierce diode with delay feedback, Nonlinear Phenomena in Complex Systems 6 (2003), No. 2, 687-695.

267. В. С. Афраймович, H. H. Веричев, M. И. Рабинович, Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах, Изв. вузов. Радиофизика XXIX (1986), No. 9, 1050.

268. Ю. И. Кузнецов, И. И. Мигулин, И. И. Минакова, Б. А. Сильное, Синхронизация хаотических колебаний, Доклады Академии Наук СССР 275 (1984), No. 6, 1388.

269. D. Y. Tang, R. Dykstra, M. W. Hamilton, N. R. Heckenberg, Experimental evidence of frequenct entrainment between coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. E 57 (1998), No. 3, 3649-3651.

270. E. Allaria, F. T. Arecchi, A. D. Garbo, R. Meucci, Synchronization of homoclinic chaos, Phys. Rev. Lett. 86 (2001), No. 5, 791-794.

271. I. Z. Kiss, J. L. Hudson, Phase synchronization and suppression of chaos through intermittency in forcing of an electrochemical oscillator, Phys. Rev. E 64 (2001), No. 4, 046215.

272. С. M. Ticos, E. Rosa, W. B. Pardo, J. A. Walkenstein, M. Monti, Experimental real-time phase synchronization of a paced chaotic plasma discharge, Phys. Rev. Lett. 85 (2000), No. 14, 2929.

273. E. Rosa, W. B. Pardo, С. M. Ticos, J. A. Walkenstein, M. Monti, Phase synchronization of chaos in a plasma discharge tube, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (2000), No. 11, 2551-2563.

274. V. S. Anishchenko, Т. E. Vadivasova, Synchronization of self-oscillations and noise-induced oscillations, Journal of Communications Technology and Electronics 47 (2002), No. 2, 117-148.

275. M. G. Rosenblum, J. Kurths, Analysis synchronization phenomena from bivariate data by means of the Hilbert transform, Nonlinear analysis of physiological data (H. Kantz and J. Kurths, eds.), Springer, Berlin, 1998, 91-99.

276. L. M. Pecora, T. L. Carroll, J. F. Heagy, Statistics for mathematical properties of maps between time series embeddings, Phys. Rev. E 52 (1995), No. 4, 3420-3439.

277. H. D.I. Abarbanel, N. F. Rulkov, M. M. Sushchik, Generalized synchronization of chaos: The auxiliary system approach, Phys. Rev. E 53 (1996), No. 5, 4528-4535.

278. K. Pyragas, Conditional Lyapunov exponents from time series, Phys. Rev. E 56 (1997), No. 5, 5183-5188.

279. A. Shabunin, V. Demidov, V. Astakhov, V. S. Anishchenko, Information theoretic approach to quantify complete and phase synchronization of chaos, Phys. Rev. E 65 (2002), No. 5, 056215.

280. А. В. Шабунин, В. E. Демидов, В. В. Астахов, В. С. Анищенко, Количество информации как мера синхронизации хаоса, Письма в ЖТФ 27 (2001), No. 11, 78-85.

281. I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, SIAM, Philadelphia, 1992.

282. G. Kaiser, A friendly guide to wavelets, Springer Verlag, 1994.

283. B. Torresani, Continuous wavelet transform, Paris: Savoire, 1995.

284. J. P. Lachaux, et al., Studying single-trials of the phase synchronization activity in the brain, Int. J. Bifurcation and Chaos 10 (2000), No. 10, 2429-2439.

285. J. P. Lachaux, et al., Estimating the time-course of coherence between single-trial brain signals: an introduction to wavelet coherence, Neurophysiol. Clin. 32 (2002), No. 3, 157-174.

286. M. L.V. Quyen, et al., Comparison of Hilbert transform and wavelet methods for the analysis of neuronal synchrony, J. Neuroscience Methods 111 (2001), 83-98.

287. D. J. DeShazer, R. Breban, E. Ott, R. Roy, Detecting phase synchronization in a chaotic laser array, Phys. Rev. Lett. 87 (2001), No. 4, 044101.

288. О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou, Bimodal oscillations in nephron autoregulation, Phys. Rev. E 66 (2002), No. 6, 061909.

289. A. Grossman, J. Morlet, Decomposition of Hardy function into square integrable wavelets of constant shape, SIAM J. Math. Anal. 15 (1984), No. 4, 273,

290. M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Locking-based frequency measurement and synchronization of chaotic oscillators with complex dynamics,

291. Phys. Rev. Lett. 89 (2002), No. 26, 264102.438

292. D. Pazo, M. Zaks, J. Kurths, Role of unstable periodic orbits in phase and lag synchronization between coupled chaotic oscillators, Chaos 13 (2002), 309-318.

293. T. Matsumoto, L. O. Chua, R. Tokunaga, Chaos via torus breakdown, IEEE Trans. Circuits and Syst. 34 (1987), No. 3, 240.

294. L. 0. Chua, The genesis of Chua's circuit, Archiv fiir Elektronik und Ubertragungstechnik 46 (1992), 250-257.

295. A. Shabunin, V. Astakhov, J. Kurths, Quantitative analysis of chaotic synchronization by means of coherence, Phys. Rev. E 72 (2005), No. 1, 016218.

296. R. Adler, A study of locking phenomena in oscillators, Proc. IRE 34 (1946), No. 6, 351-367.

297. П. С. Ланда, Беседа на VII международной школе "хаотические автоколебания и образование структур (хаос-2004)", Саратов, 1-6 октября 2004 года, 2004.

298. N. F. Rulkov, A. R. Volkovskii, A. Rodriguez-Lozano, Е. Del Rio, М. G. Velarde, Synchronous chaotic behaviour of a response oscillator with chaotic driving, Chaos, Solitons & Fractals 4 (1994), 201.

299. I. Noda, Y. Ozaki, Two-dimensional correlation spectroscopy: Applications in vibrational and optical spectroscopy, John Wiley & Sons, 2002.

300. C. Grebogi, E. Ott, J. A. Yorke, Unstable periodic orbits and the dimensions of multifractal chaotic attractors, Phys. Rev. A 37 (1988), No. 5, 1711-1724.

301. P. Cvitanovic, G. H. Gunaratne, I. Procaccia, Topological and metric properties of Нёпоп-type strange attractors, Phys. Rev. A 38 (1988), No. 3, 1503-1520.

302. P. Cvitanovic, Periodic orbits as the skeleton of classical and quantum chaos, Physica D 51 (1991), 138-151.

303. D. P. Lathrop, E. J. Kostelich, Characterization of an experimental strangeattractor by periodic orbits, Phys. Rev. A 40 (1989), No. 7, 4028-4031.439

304. Y.-C. Lai, Characterization of the natural measure by unstable periodic orbits in nonhyperbolic chaotic systems, Phys. Rev. E 56 (1997), No. 6, 6531-6539.

305. T. L. Carroll, Approximating chaotic time series through unstable periodic orbits, Phys. Rev. E 59 (1999), No. 2, 1615.

306. К. T. Dolan, Extracting dynamical structure from unstable periodic orbits, Phys. Rev. E 64 (2001), No. 2, 026213.

307. A. G. Balanov, N. B. Janson, V. Astakhov, P. V.E. McClintock, Role of saddle tori in the mutual synchronization of periodic oscillations, Phys. rev. E 72 (2005), No. 2, 026214.

308. N. F. Rulkov, Images of synchronized chaos: experiments with circuits, Chaos 6 (1996), 262-279.

309. Y. Nagai, Y.-C. Lai, Characterization of blowout bifurcation by unstable periodic orbits, Phys. Rev. E 55 (1997), No. 2, R1251-R1254.

310. V. Astakhov, A. Shabunin, T. Kapitaniak, V. S. Anishchenko, Loss of chaos synchronization through the sequence of bifurcations of saddle periodic orbits, Phys. Rev. Lett. 79 (1997), No. 6, 1014-1017.

311. К. T. Hansen, Alternative method to find orbits in chaotic systems, Phys. Rev. E 52 (1995), No. 3, 2388-2391.

312. P. So, E. Ott, S. J. Schiff, D. T. Kaplan, T. Sauer, C. Grebogi, Detecting unstable periodic orbits in chaotic experimental data, Phys. Rev. Lett. 76 (1996), No. 25, 4705-4708.

313. S. M. Zoldi, H. S. Greenside, Spatially localized unstable periodic orbits of a high-dimensional chaotic system, Phys. Rev. E 57 (1998), No. 3, R2511-R2514.

314. К. T. Dolan, A. Witt, M. L. Spano, A. Neiman, F. Moss, Surrogates for finding unstable periodic orbits in noisy data sets, Phys. Rev. E 59 (1999), No. 5, 52355241.

315. R. L. Davidchack, Y.-C. Lai, Efficient algorithm for detecting unstable periodic orbits in chaotic systems, Phys. Rev. E 60 (1999), No. 5, 6172-6175.

316. M. Dhamala, Y.-C. Lai, E. J. Kostelich, Detecting unstable periodic orbits from transient chaotic time series, Phys. Rev. E 61 (2000), No. 6, 6485-6489.

317. Y.-P. Tian, An optimization approach to locating and stabilizing unstable periodic orbits of chaotic systems, Int. J. Bifurcation and Chaos 12 (2002), No. 5, 1163-1172.

318. D. Pingel, P. Schmelcher, F. K. Diakonos, O. Biham, Theory and applications of the systematic detection of unstable periodic orbits in dynamical systems, Phys. Rev. E 62 (2000), No. 2, 2119-2134.

319. F. K. Diakonos, D. Pingel, P. Schmelcher, Analysing Lyapunov spectra of chaotic dynamical systems, Phys. Rev. E 62 (2000), No. 3, 4413-4416.

320. P. Schmelcher, F. K. Diakonos, Detecting unstable periodic orbits of chaotic dynamical systems, Phys. Rev. Lett. 79 (1997), No. 25, 4734-4736.

321. F. K. Diakonos, P. Schmelcher, 0. Biham, Systematic computation of the least unstable periodic orbits in chaotic attractors, Phys. Rev. Lett. 81 (1998), No. 20, 4349-4352.

322. P. Schmelcher, F. K. Diakonos, A general approach to the localization of unstable periodic orbits in chaotic dynamical systems, Phys. Rev. E 57 (1998), 2739-2746.

323. D. Pingel, P. Schmelcher, F. K. Diakonos, Detecting unstable periodic orbits in chaotic continuous-time dynamical systems, Phys. Rev. E 64 (2001), No. 2, 026214,

324. V. S. Anishchenko, S. Nikolaev, J. Kurths, Winding number locking on a two-dimensional torus: Synchronization of quasiperiodic motions, Phys. Rev. E 73 (2006), No. 5, 056202.

325. D. E. Postnov, A. V. Shishkin, О. V. Sosnovtseva, E. Mosekilde, Two-mode chaos and its synchronization properties, Phys. Rev. E 72 (2005), No. 5, 056208.

326. D. A. Smirnov, M. B. Bodrov, J. L.P. Velazquez, R. A. Wennberg, B. P. Bezruchko, Estimation of coupling between oscillators from short time series via phase dynamics modeling: Limitations and application to eeg data, Chaos 15 (2005), 024102.

327. Д. А. Смирнов, Максим Б. Бодров, Б. П. Безручко, Оценка связанности между осцилляторами по временным рядам путем моделирования фазовой динамики: пределы применимости метода, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 12 (2004), No. 6, 79-92.

328. В. P. Bezruchko, V. I. Ponornarenko, М. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, Characterizing direction of coupling from experimental observations, Chaos 13 (2003), No. 1, 179-184.

329. V. S. Anishchenko, Т. E. Vadivasova, G. I. Strelkova, Instantaneous phase method in studying chaotic and stochastic oscillations and its limitations., Fluctuation and Noise Letters 4 (2004), No. 1, L219-L229.

330. A. S. Pikovsky, M. G. Rosenblurn, J. Kurths, Synchronization in a population of globally coupled chaotic oscillaors, Europhysics Letters 34 (1996), No. 3, 165-170.

331. S. P. Kuznetsov, Igor R. Sataev, Universality and scaling for the breakup of phase synchronization at the onset of chaos in a periodically driven rossler oscillator, Phys. Rev. E 64 (2001), No. 4, 046214.

332. A. Akopov, V. Astakhov, Т. E. Vadivasova, A. Shabunin, T. Kapitaniak, Frequency synchronization of clusters in coupled extended systems, Physics Letters A 334 (2005), 169-172.

333. V. Astakhov, M. Hasler, T. Kapitaniak, A. Shabunin, V. S. Anishchenko, Effect of parameter mismatch on the mechanism of chaos synchronisation loss in coupled systems, Phys. Rev. E 58 (1998), No. 5, 5620-5628.

334. S. Jalan, R. E. Amritkar, Self-organized and driven phase synchronization on coupled maps, Phys. Rev. Lett. 90 (2003), No. 1, 014101.

335. G. V. Osipov, J. Kurths, Regular and chaotic phase synchronization of coupled circle maps, Phys. Rev. E 65 (2002), No. 1, 016216.

336. J. Y. Chen, K. W. Wong, Z. X. Chen, S. C. Xu, J. W. Shuai, Phase synchronization in discrete chaotic systems, Phys. Rev. E 61 (2000), No. 3, 2559-2562.

337. M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Comment on "Phase synchronization in discrete chaotic system", Phys. Rev. E 63 (2001), No. 5, 058201.

338. Y.-C. Lai, С. Grebogi, J. A. Yorke, S. C. Venkataramani, Riddling bifurcation in chaotic dynamical systems, Phys. Rev. Lett. 77 (1996), No. 1, 55-58.

339. В. В. Астахов, А. В. Шабунин, П. А. Стальмахов, Бифуркационные механизмы разрушения противофазной синхронизации хаоса в связанных системах с дискретным временем, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 14 (2006), No. 6.

340. P. Ashwin, I. Buescu, I. Stewart, From attractor to chaotic saddle: a tale of transverse instability, Nonlinearity 9 (1996), 703-737.

341. V. Astakhov, T. Kapitaniak, A. Shabunin, V. S. Anishchenko, Non-bifurcational mechanism of loss of chaos synchronization in coupled non-identical systems, Phys. Lett. A 258 (1999), 99-102.

342. E. Ott, J. C. Sommerer, Blowout bifurcations: The occurrence of riddled basins and on-off intermittency, Phys. Lett. A 188 (1994), 39.

343. M. Komuro, R. Tokunaga, T. Matsumoto, L. O. Chua, A. Hotta, Global bifurcation analysis of the double scroll circuit., Int. J. Bifurcation and Chaos 1 (1991), No. 1, 139-182.

344. Y.-C. Lai, Symmetry-breaking bifurcation with on-off intermittency in chaotic dynamical systems, Phys. Rev. E 53 (1996), No. 5, R4267-R4270.

345. M. И. Рабинович, Д. И. Трубецков, Введение в теорию колебаний и волн, М.Ижевск: РХД, 2000.

346. А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов, Н. М. Рыскин, Нелинейные колебания, серия "Современная теория колебаний и волн", М.: Физматлит, 2002.

347. A. G. Balanov, N. В. Janson, D. Е. Postnov, P. V.E. McClintock, Coherence resonance versus synchronization in a periodically forced self-sustained system, Phys. Rev. E 65 (2002), No. 4, 041105.

348. P. Woafo, R. A. Kraenkel, Synchronisation: stability and duration time, Phys. Rev. E 65 (2002), 036225.

349. D. E. Postnov, A. G. Balanov, N. B. Janson, E. Mosekilde, Homoclinic bifurcation as a mechanism of chaotic phase synchronization, Phys. Rev. Lett. 83 (1999), No. 10, 1942-1945.

350. S. Boccaletti, E. Allaria, R. Meucci, F. T. Arecchi, Experimental characterization of the transition to phase synchronization of chaotic C02 laser systems, Phys. Rev. Lett. 89 (2002), No. 19, 194101.

351. E. Rosa, E. Ott, M. H. Hess, Transition to phase synchronization of chaos, Phys. Rev. Lett. 80 (1998), No. 8, 1642-1645.

352. S. Guan, C.-H. Lai, G. W. Wei, Bistable chaos without symmetry in generalized synchronization, Phys. Rev. E 71 (2005), No. 3, 036209.

353. Г. В. Осипов, Беседа на международном симпозиуме "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics (NWP-2005)", Nonlinear Dynamics: Theory and Applications, Санкт-Петербург — Нижний Новгород, 2-9 августа 2005, 2005.

354. S. Fahy, D. R. Hamann, Transition from chaotic to nonchaotic behavior in randomly driven systems, Phys. Rev. Lett. 69 (1992), No. 5, 761-764.

355. A. Martian, J. R. Banavar, Chaos, noise and synchronization, Phys. Rev. Lett. 72 (1994), No. 10, 1451-1454.

356. B. Kaulakys, G. Vektaris, Transition to nonchaotic behavior in a brownian-type motion, Phys. Rev. E 52 (1995), No. 2, 2091-2094.

357. Y. Y. Chen, Why do chaotic orbits converge under a random velocity reset?, Phys. Rev. Lett. 77 (1996), No. 21, 4318-4321.

358. P. Khoury, M. A. Lieberman, A. J. Lichtenberg, Degree of synchronization of noisy maps on the circle, Phys. Rev. E 54 (1996), No. 4, 3377-3388.

359. M. K. Ali, Synchronization of a chaotic map in the presence of common noise, Phys. Rev. E 55 (1997), No. 4, 4804-4805.

360. P. Khoury, M. A. Lieberman, A. J. Lichtenberg, Experimental measurement of the degree of chaotic synchronization using a distribution exponent, Phys. Rev. E 57 (1998), No. 5, 5448-5466.

361. J. W. Shuai, K. W. Wong, Noise and synchronization in chaotic neural networks, Phys. Rev. E 57 (1998), No. 6, 7002-7007.

362. B. Kaulakys, F. Ivanauskas, T. Meskauskas, Synchronization of chaotic systems driven by identical noise, Int. J. Bifurcation and Chaos 9 (1999), No. 3, 533-539.

363. R. Toral, C. R. Mirasso, E. Hernandez-Garsia, O. Piro, Analytical and numerical studies of noise-induced synchronization of chaotic systems, Chaos 11 (2001), No. 3, 665-673.

364. С. T. Zhou, J. Kurths, Noise-induced phase synchronization and synchronization transitions in chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 88 (2002), 230602.

365. С. T. Zhou, J. Kurths, E. Allaria, Constructive effects of noise in homoclinic chaotic systems, Phys. Rev. E 67 (2003), No. 6, 066220.

366. С. T. Zhou, J. Kurths, Noise-induced synchronization and coherence resonance of a hodgkin-huxley model of thermally sensitive neurons, Chaos 13 (2003), No. 1, 401-409.

367. В. С. Анищенко, M. В. Ануфриева, Т. E. Вадивасова, Стохастический резонанс в бистабильной системе под воздействием хаотического сигнала, Письма в ЖТФ 32 (2006), No. 20, 12-17.

368. А. P. Kuznetsov, S. P. Kuznetsov, J. V. Sedova, Effect of noise on the critical golden-mean quasiperiodic dynamics in the circle map, Physica A 359 (2006), 48-64.

369. А. С. Захарова, Т. E. Вадивасова, В. С. Анищенко, Влияние шума на автогенератор спирального хаоса, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 14 (2006), No. 5, 44-61.

370. Т. Е. Вадивасова, В. С. Анищенко, Г. А. Окрокверцхов, А. С. Захарова, Статистические свойства мгновенной фазы зашумленных периодических и хаотических автоколебаний, Радиотехника и электроника (2006), 580-592.

371. S. P. Kuznetsov, Effect of noise on the dynamics at the torus-doubling terminal point in a quadratic map under quasiperiodic driving, Phys. Rev. E 72 (2005), No. 2, 026205.

372. V. S. Anishchenko, G. A. Okrokvertskhov, Т. E. Vadivasova, G. I. Strelkova, Mixing and spectral-correlation properties of chaotic and stochastic systems: Numerical and physical experiments, New Journal of Physics 7 (2005), 76-113.

373. А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов, А. В. Савин, И. Р. Сатаев, О критическом поведении неидентичных несимметрично связанных систем с удвоениями периода в присутствии шума, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 14 (2006), No. 5, 62-72.

374. А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов, Ю. В. Седова, О свойствах скейлинга идентичных связанных логистических отображений с двумя типами связи без шума и под воздействием шума, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 14 (2006), No. 5, 94-109.

375. О. В. Isaeva, S. P. Kuznetsov, А. Н. Osbaldestin, Effect of noise on the dynamics of a complex map at the period-tripling accumulation point, Phys. Rev. E 69 (2004), No. 3, 036216.

376. V. S. Anishchenko, Т. E. Vadivasova, A. S. Kopeikin, J. Kurths, G. I. Strelkova, Effect of noise on the relaxation to an invariant probability measure of nonhyperbolic chaotic attractors, Phys. Rev. Lett. 87 (2001), No. 5, 054101.

377. О. V. Sosnovtseva, A. I. Fomin, D. E. Postnov, V. S. Anishchenko, Clustering of noise-induced oscillations, Phys. Rev. E 64 (2001), No. 2, 026204.

378. V. S. Anishchenko, Т. E. Vadivasova, A. S. Kopeikin, J. Kurths, G. I. Strelkova, Peculiarities of the relaxation to an invariant probability measure of nonhyperbolic chaotic attractors in the presence of noise, Phys. Rev. E 65 (2002), No. 3, 036206.

379. S. Kim, Woochang Lim, A. Jalnine, S. P. Kuznetsov, Characterization of the noise effect on weak synchronization, Phys. Rev. E 67 (2003), No. 1, 016217.

380. В. С. Анищенко, Т. E. Вадивасова, Г. А. Окрокверцхов, Г. И. Стрелкова, Корреляционный анализ режимов детерминированного и зашумленного хаоса, Радиотехника и электроника 48 (2003), No. 7, 824.

381. J. V. Kapustina, А. P. Kuznetsov, S. P. Kuznetsov, E. Mosekilde, Scaling properties of bicritical dynamics in unidirectionally coupled period-doubling systems in the presence of noise, Phys. Rev. E 64 (2001), No. 6, 066207.

382. Т. Е. Vadivasova, G. I. Strelkova, V. S. Anishchenko, Phase-frequency synchronization in a chain of periodic oscillators in the presence of noise and harmonic forcings, Phys. Rev. E 63 (2001), 036225.

383. V. S. Anishchenko, A. S. Kopeikin, Т. E. Vadivasova, G. I. Strelkova, J. Kurths, Influence of noise on statistical properties of nonhyperbolic attractors, Phys. Rev. E 62 (2000), 7886-7893.

384. P. S. Landa, A. A. Zaikin, V. G. Ushakov, J. Kurths, Influence of additive noise on transitions in nonlinear systems, Phys. Rev. E 61 (2000), No. 5, 4809.

385. A. Neiman, A. Silchenko, V. S. Anishchenko, L. Schimansky-Geier, Stochastic resonance: Noise-enhanced phase coherence, Phys. Rev. E 58 (2007), 7118-7125.

386. P. S. Landa, A. A. Zaikin, Noise-induced phase transitions in a pendulum with a randomly vibrating suspension axis, Phys. Rev. E 54 (1996), No. 4, 3535-3544.

387. A. Neiman, V. S. Anishchenko, J. Kurths, Period-doubling bifurcations in the presence of colored noise, Phys. Rev. E 49 (2007), 3801-3806.

388. A. S. Pikovsky, Comment on "Chaos, noise, and synchronization", Phys. Rev. Lett. 73 (1994), No. 21, 2931.

389. L. Longa, E. M.F. Curado, F. A. Oliveira, Roundoff-induced coalescence of chaotic trajectories, Phys. Rev. E 54 (1996), No. 3, R2201-R2204.

390. С. T. Zhou, C.-H. Lai, Synchronization with positive conditional Lyapunov exponents, Phys. Rev. E 58 (1998), No. 4, 5188-5191.

391. H. Herzel, J. Freund, Chaos, noise, and synchronization reconsidered, Phys. Rev. E 52 (1995), No. 3, 3238-3241.

392. G. Malescio, Noise and synchronization in chaotic systems, Phys. Rev. E 53 (1996), No. 6, 6551-6554.

393. P. M. Gade, C. Basu, The origin of non-chaotic behavior in identically driven systems, Phys. Lett. A 217 (1996), No. 1, 21-27.

394. E. Sanchez, M. A. Matias, V. Perez-Munuzuri, Analysis of synchronization of chaotic systems by noise: an experimental study, Phys. Rev. E 56 (1997), No. 4, 4068-4071.

395. М. N. Lorenzo, V. Perez-Munuzuri, Colored-noise-induced chaotic array synchronization, Phys. Rev. E 60 (1999), No. 3, 2779-2787.

396. V. Perez-Munuzuri, M. N. Lorenzo, Experimental improvement of chaotic synchronization due to multiplicative time-correlated gaussian noise, Int. J. Bifurcation and Ghaos 9 (1999), No. 12, 2321-2327.

397. A. A. Minai, T. Anand, Chaos-induced synchonization in discrete time oscillators driven by a random input, Phys. Rev. E 57 (1998), No. 2, 1559-1562.

398. V. Loreto, G. Paladin, A. Vulpiani, Concept of complexity in random dynamical systems, Phys. Rev. E 53 (1996), No. 3, 2087-2098.

399. C.-H. Lai, С. T. Zhou, Synchronization of chaotic maps by symmetric common noise, Europhysics Letters 43 (1998), No. 4, 376-380.

400. A. A. Minai, Using chaos to produce synchronized stochastic dynamics in non-honogeneous map arrays with a random scalar coupling, Phys. Lett. A 251 (1999), No. 1, 31-38.

401. S. Rim, D.-U. Hwang, I. Kim, C.-M. Kim, Chaotic transition of random dynamical systems and chaos synchronization by common noises, Phys. Rev. Lett. 85 (2000), No. 11, 2304-2307.

402. A. S. Dmitriev, A. I. Panas, S. 0. Starkov, Experiments on speach and music signals transmission using chaos, Int. J. Bifurcations and Chaos 5 (1995), No. 4, 1249-1254.

403. А. С. Дмитриев, JI. В. Кузьмин, А. И. Панас, Схема передачи информации на основе синхронного хаотического отклика при наличии фильтрации в канале связи, Радиотехника (1999), No. 4, 75-78.

404. А. С. Дмитриев, А. И. Панас, С. О. Старков, Динамический хаос как парадигма современных систем связи, Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники (1997), No. 10, 4-26.

405. А. С. Дмитриев, С. О. Старков, Передача информации с использованием хаоса и классическая теория информации, Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники (1998), No. 11, 4-32.

406. Lj. Kocarev, К. S. Halle, K. Eckert, L. 0. Chua, U. Parlitz, Experimental demonstration of secure communications via chaotic synchronization, Int. J. Bifurcation and Chaos 2 (1992), No. 3, 709-713.

407. M. K. Cuomo, A. V. Oppenheim, S. H. Strogatz, Synchronization of Lorenz-based chaotic circuits with application to communications, IEEE Trans. Circuits and Syst. 40 (1993), No. 10, 626.

408. S. Hayes, C. Grebogi, E. Ott, Communication with chaos, Phys. Rev. Lett. 70 (1993), No. 20, 3031-3034.

409. Lj. Kocarev, U. Parlitz, General approach for chaotic synchronization with application to communication, Phys. Rev. Lett. 74 (1995), No. 25, 5028-5031.

410. J. H. Peng, E. J. Ding, M. Ding, W. Yang, Synchronizing hyperchaos with a scalar transmitted signal, Phys. Rev. Lett. 76 (1996), No. 6, 904-907.

411. S. Boccaletti, A. Farini, F. T. Arecchi, Adaptive synchronization of chaos for secure communication, Phys. Rev. E 55 (1997), No. 5, 4979-4981.

412. T. L. Carroll, G. A. Johnson, Synchronizing broadband chaotic systems to narrowband signals, Phys. Rev. E 57 (1998), No. 2, 1555-1558.

413. J. K. White, J. V. Moloney, Multichannel communication using an infinite dimensional spatiotemporal chaotic system, Phys. Rev. A 59 (1999), No. 3, 24222426.

414. S. Sundar, A. A. Minai, Synchronization of randomly multiplexed chaotic systems with application to communication, Phys. Rev. Lett. 85 (2000), No. 25, 5456-5459.

415. I. Fischer, Y. Liu, P. Davis, Synchronization of chaotic semiconductor laser dynamics on subnanosecond time scales and its potential for chaotic communication, Phys. Rev. A 62 (2000), 011801(R).

416. C.-M. Kim, S. Rim, W.-H. Kye, Sequential synhcronization of chaotic systems with an application to communication, Phys. Rev. Lett. 88 (2002), No. 1, 014103.

417. N. F. Rulkov, M. A. Vorontsov, L. Illing, Chaotic free-space laser communication over a turbuletn channel, Phys. Rev. Lett. 89 (2002), No. 27, 277905.

418. В. Д. Шалфеев, В. В. Матросов, М. В. Корзинова, Динамический хаос в ансамблях связанных фазовых систем, Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники (1998), No. 11, 44-56.

419. V. D. Shalfeev, Valeriy V. Matrosov, M. V. Korzinova, Communications using cascade coupled phase-locked loops chaos, Int. J. Bifurcations and Chaos 9 (1999), No. 5, 963-973.

420. K. Cuomo, A. V. Oppenheim, Communication using synchronized chaotic systems, US Patent No. 5,291,555, 2001.

421. H. D.I. Abarbanel, N. F. Rulkov, L. S. Tsimring, M. I. Rabinovich, Chaotic communication apparatus and method for use with a wired or wireless transmission link, US Patent No. 5,923,760, 1999.

422. C.-M. Kim, Synchronized chaotic system and communication system using synchronized chaotic system, US Patent No. 6,049,614, 2000.

423. T. L. Carroll, G. A. Johnson, Synchronizing autonomous chaotic systems using filters, US Patent No. 6,370,248, 2002.

424. K. Pyragas, Properties of generalized synchronization of chaos, Nonlinear Analysis: Modelling and Control IMI (1998), No. 3, 101-129.

425. V. I. Ponomarenko, M. D. Prokhorov, Extracting information masked by the chaotic signal of a time-delay system, Phys. Rev. E 66 (2002), No. 2, 026215.

426. R. Rico-Martinez, К. E. Kreischer, G. Flatgen, J. S. Anderson, I. G. Kevrekidis, Adaptive detection of instabilities: An experimental feasibility study, Physica D 176 (2003), 1-18.

427. P. Manneville, Y. Pomeau, Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems, Physica D 1 (1980), No. 2, 167-241.

428. S. P. Kuznetsov, Torus fractalization and intermittiency, Phys. Rev. E 65 (2002), No. 6, 066209.

429. P. Berge, Y. Pomeau, Ch. Vidal, L'ordre dans le chaos, Hermann, Paris, 1988.

430. M. Dubois, M. Rubio, P. Berge, Experimental evidence of intermiasttencies associated with a subharmonic bifurcation, Phys. Rev. Lett. 51 (1983), 1446-1449.450

431. P. S. Landa, A. A. Zaikin, M. G. Rosenblum, J. Kurths, Control of noise-induced oscillations of a pendulum with a randomly vibrating suspension axis, Phys. Rev. E 56 (1997), No. 2, 1465-1470.

432. О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov, N. A. Brazhe, A. R. Brazhe, L. A. Erokhova, G. V. Maksimov, E. Mosekilde, Interference microscopy under double-wavelet analysis: A new tool to studying cell dynamics, Phys. Rev. Lett. 94 (2005), 218104.

433. О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou, D. J. Marsh, Double-wavelet approach to studying the modulation properties of nonstationary multimode dynamics, Physiological Measurement 26 (2005), 351 — 362.

434. О. V. Sosnovtseva, A. N. Pavlov, E. Mosekilde, N.-H. Holstein-Rathlou, D. J. Marsh, Double-wavelet approach to study frequency and amplitude modulation in renal autoregulation, Phys. Rev. E 70 (2004), No. 031915.

435. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, В. T. Flannery, Numerical recipes, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

436. E. L. Van Luijtelaar, A. M. Coenen, Two types of electrocortical paroxysms in an inbred strain of rats, Neurosci. Lett 70 (1986), No. 3, 393-397.

437. В. Б. Казанцев, В. И. Некоркин, М. Г. Велардэ, Модель нейрона с осцилля-торной активностью ниже порога возбуждения, Изв. вузов. Радиофизика XLI (1998), No. 12, 1623-1635.

438. P. Suffczynski, S. Kalitzin, F. Н. Lopes da Silva, Neuroscience 126 (2004), 467-484.

439. E. Maris, В. M. Bouwman, P. Suffczynski, С. M. Rijn, Journal of Neuroscience Methods 152 (2006), 107-115.

440. И. С. Мидзяновская, Два типа разрядов "пик-волна" на электроэнцефалограмме крыс линии WAG/Rij, генетической модели absence эпилепсии, Журн. высш. нерв. деят. 49 (1999), No. 5, 855-859.

441. Guide for the care and use of laboratory animals, Washington, D. C., 1996.

442. Animal welfare act regulations, Title 9 Code of Federal Regulations, Parts 1, 2 and 3. USA, Legislation. Official Journal of European Communities. Vol.29, 1986.

443. International federation of societies for electroencephalography and clinical neurophysiology, a glossary of terms most commonly used by clinical electroencephalographers, Electroencephalogr. Clin. Neurophysiol., vol. 37, ch. 0, 538, 1974.

444. J. L. Cabrera, J. Milnor, On-off intermittency in a human balancing task, Phys. Rev. Lett. 89 (2002), No. 15, 158702.

445. J. L. Perez Velazquez et al., Type III intermittency in human partial epilepsy, European Journal of Neuroscience 11 (1999), 2571-2576.

446. R. E. Appleton, Vigabatrin in the management of generalized seizures in children, Seizure 4 (1995), 45-48.

447. J. P. Manning, D. A. Richards, N. G. Bowery, Pharmacology of absence epilepsy, Trends Pharmacol Sci. 24 (2003), No. 10, 542-549.

448. M. Vergnes, C. Marescaux, G. Micheletti, A. Depaulis, L. Rumbach, J. M. Warter, Enhancement of spike and wave discharges by gabamimetic drugs in rats with spontaneous petit-mal-like epilepsy, Neurosci Lett. 44 (1984), No. 1, 91-94.

449. S. P. Kuznetsov, A. P. Kuznetsov, Igor R. Sataev, Multiparameter critical situations, universality and scaling in two-dimensional period-doubling maps, Journal of Statistical Physics 121 (2005), No. 5-6, 697-748.

450. S. P. Kuznetsov, Igor R. Sataev, A new type of period-doubling scaling behavior in two-dimensional area-preserving map, Physics Letters A 350 (2006), 110-116.

451. A. Venkatesan, M. Lakshmanan, Different routes to chaos via strange nonchaotic attractors in a quasiperiodically forced system, Phys. Rev. E 58 (1998), No. 3, 3008-3016.

452. M. C. Depassier, J. Mura, Variational approach to a class of nonlinear oscillators with several limit cycles, Phys. Rev. E 64 (2001), 056217.

453. А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов, Критическая динамика одномерных отображений. Часть 1: Сценарий Фейгенбаума, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 1 (1993), No. 1,2, 15-33.

454. А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов, И. Р. Сатаев, Критическая динамика одномерных отображений. Часть 2. Двухпараметрический переход к хаосу, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 1 (1993), No. 3,4, 17-35.

455. А. П. Кузнецов, А. В. Савин, О проблеме границы хаоса и типичных структурах на плоскости параметров неавтономных дискретных отображений с удвоениями периода, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 8 (2000), No. 4, 25-36.

456. U. Feudel, С. Grebogi, В. R. Hunt, J. A. Yorke, Map with more than 100 coexisting low-period periodic attractors, Phys. Rev. E 54 (1996), No. 1, 71-80.

457. P. Grassberger, I. Procaccia, Characterization of strange attractors, Phys. Rev. Lett. 50 (1983), No. 5, 346-349.

458. J. P. Eckmann, S. O. Kamphorst, Liapunov exponents from time series, Phys. Rev. A 34 (1986), No. 6, 4971-4979.

459. P. Grassberger, I. Procaccia, Measuring the strangeness of strange attractors, Physica D 9 (1983), 189-208.

460. M. Ding, C. Grebogi, E. Ott, The dimension of strange nonchaotic attractors, Phys. Lett. A 137 (1989), 167.

461. M. Ding, C. Grebogi, E. Ott, T. Sauer, J. A. Yorke, Estimating correlation dimension from a chaotic time series: When does plateau onset occur?, Physica D 69 (1993), 404.

462. K. Pawelzik, H. G. Schuster, Generalized dimensions and entropies from a measured time series, Phys. Rev. A 35 (1987), No. 1, 481-484.

463. E. Barreto, B. R. Hunt, C. Grebogi, J. A. Yorke, From high dimension chaos to stable periodic orbits: The structure of parameter space, Phys. Rev. Lett. 78 (1997), No. 24, 4561-4564.

464. C. Grebogi, E. Ott, J. A. Yorke, Crises, sudden changes in chaotic attractors andchaotic transients, Physica D 7 (1983), 181.453

465. Т. Tel, Directions in chaos, bai-lin Hao ed., vol. 3, ch. 0, World Scientific and Singapore, 1990.

466. В. В. Астахов, Б. П. Безручко, О. Б. Пудовочкин, Е. П. Селезнев, Фазовая мультистабильность и установление колебаний в нелинейных системах с удвоением периода, Радиотехника и электроника 38 (1993), No. 2, 291-295.

467. Э. В. Кальянов, Переходные процессы в автостохастическом генераторе с запаздыванием, Письма в ЖТФ 26 (2000), No. 15, 26-31.

468. Б. П. Безручко, Т. В. Диканев, Д. А. Смирнов, Глобальная реконструкция уравнений динамической системы по временной реализации переходного процесса, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 9 (2001), No. 3, 3-14.

469. В. P. Bezruchko, Т. V. Dikanev, D. A. Smirnov, Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series, Phys. Rev. E 64 (2001), 036210.

470. I. Triandaf, E. M. Bollt, I. B. Schwartz, Approximating stable and unstable manifolds in experiments, Phys. Rev. E 67 (2003), 037201.

471. M. И. Яландин, В. Г. Шпак, С. А. Шунайлов, М. Р. Ульмаскулов, Экспериментальное исследование переходного процесса в импульсной релятивистской лов миллиметрового диапазона, Письма в ЖТФ 25 (1999), No. 10, 19-23.

472. С. Grebogi, Е. Ott, J. A. Yorke, Fractal basin boundaries, long lived chaotic trancients, and unstable-unstable pair bifurcation, Phys. Rev. Lett. 50 (1983), No. 13, 935-938.

473. L. Zhu, A. Raghu, Y.-C. Lai, Experimental observation of superpersistent chaotic transients, Phys. Rev. Lett. 86 (2001), No. 18, 4017-4020.

474. C. Grebogi, E. Ott, F. J. Romeiras, J. A. Yorke, Critical exponents for crisis-induced intermittency, Phys. Rev. A 36 (1987), No. 11, 5365-5380.

475. Y.-C. Lai, K. Zyczkowski, C. Grebogi, Universal behavior in the parametric evolution of chaotic saddles, Phys. Rev. E 59 (1999), 5261-5265.

476. Z. Kaufmann, A. Nemeth, P. Szwpfalusy, Critical states of transient chaos, Phys. Rev. E 61 (2000), 2543-2550.

477. M. Dhamala, Y.-C. Lai, E. J. Kostelich, Analyses of transient chaotic time series, Phys. Rev. E 64 (2001), 056207.

478. C. Grebogi, E. Ott, J. A. Yorke, Chaotic attractors in crisis, Phys. Rev. Lett. 48 (1982), No. 22, 1507-1510.

479. K. G. Szabo, Y.-C. Lai, T. Tel, C. Grebogi, Topological scaling and gap filling at crisis, Phys. Rev. E 61 (2000), No. 5, 5019-5032.

480. H. B. Stewart, Y. Ueda, Double crisis in two-parameter dynamical system, Phys. Rev. Lett. 75 (1995), No. 13, 2478-2481.

481. J. A.C. Gallas, C. Grebogi, J. A. Yorke, Vertices in parameter space: double crisis which destroy chaotic attractors, Phys. Rev. Lett. 71 (1993), No. 9, 1359-1362.

482. В. В. Рождественский, И. H. Стручков, Переходный хаос в системах с четной нелинейностью, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 1 (1993), No. 1,2, 83-92.

483. С. Grebogi, Е. Ott, J. A. Yorke, Critical exponents of chaotic transients in nonlinear dynamical systems, Phys. Rev. Lett. 57 (1986), No. 11, 1284-1287.

484. H. E. Nusse, J. A. Yorke, A procedure for finding numerical trajectories on chaotic saddles, Physica D 36 (1989), 137-156.

485. I. M. Janosi, T. Tel, Time-series analysis of transient chaos, Phys. Rev. E 49 (1994), No. 4, 2756-2763.

486. Y.-C. Lai, C. Grebogi, Converting transient chaos into sustained chaos by feedback control, Phys. Rev. E 49 (1994), No. 2, 1094-1098.

487. M. Dhamala, Y.-C. Lai, Controlling transient chaos in deterministic flows wiht applications to electrical power systems and ecology, Phys. Rev. E 59 (1999), No. 2, 1646-1655.

488. M. Franaszek, Influence of noise on the mean lifetime of chaotic transients, Phys. Rev. A 44 (1991), No. 6, 4065-4067.

489. J. A. Blackburn, N. Gr0nbech-Jensen, H. J.T. Smith, Stochastic noise and chaotic transients, Phys. Rev. Lett. 74 (1995), No. 6, 908-911.

490. E. G. Gwinn, R. M. Westervelt, Fractal basin boundaries and intermittency in the driven damped pendulum, Phys. Rev. A 33 (1986), No. 6, 4143.

491. I. M. Kyprianidis, M. L. Petrani, J. A. Kalomiros, A. N. Anagnostopoulos, Crisis-induced intermittency in a third-order electrical circuit, Phys. Rev. E 52 (1995), No. 3, 2268-2273.

492. J. C. Sommerer, E. Ott, C. Grebogi, Scaling law for characteristic times of noise-induced crises, Phys. Rev. A 43 (1991), No. 4, 1754-1769.

493. J. C. Sommerer, W. L. Ditto, C. Grebogi, E. Ott, M. L. Spano, Experimental confirmation of the scaling theory for noise-induced crises, Phys. Rev. Lett. 66 (1991), No. 15, 1947-1950.

494. N. J. Corron, Loss of synchronization in coupled oscillators with ubiquitous local stability, Phys. Rev. E 63 (2001), 055203.

495. B. P. Bezruchko, D. A. Smirnov, Constructing nonautonomous differential equations from experimental time series, Phys. Rev. E 63 (2000), No. 1, 016207.

496. B. P. Bezruchko, D. A. Smirnov, Constructing nonautonomous differential equations from a time series, Phys. Rev. E 63 (2001), No. 1, 016207.

497. Б. П. Безручко, Д. А. Смирнов, Метод восстановления уравнений с гармоническим внешним воздействием по временному ряду, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 9 (2001), No. 2, 27-38.

498. Б. П. Безручко, Д. А. Смирнов, И. В. Сысоев, Е. П. Селезнев, Реконструкция моделей неавтономных систем с дискретным спектром воздействия, Письма в ЖТФ 29 (2003), No. 19, 69-76.

499. Н. К. Leung, Critical slowing down in synchronizing nonlinear oscillators, Phys. Rev. E 58 (1998), No. 5, 5704-5709.

500. A. S. Dmitriev, M. Hasler, A. I. Panas, К. V. Zakharchenko, Basic principles of direct chaotic communications, Nonlinear Phenomena in Complex Systems 6 (2003), No. 1, 1-14.

501. В. В. Астахов, А. В. Шабунин, П. А. Сгальмахов, Противофазная синхронизация и формирование мулътистабилъности в симметрично связанных бистабильных системах, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика 14 (2006), No. 6.

502. В. В. Астахов, Б. П. Безручко, Ю. В. Гуляев, Е. П. Селезнев, Мультистабиль-ные состояния диссипативно связанных фейгенбаумовских систем, Письма в ЖТФ 15 (1989), No. 3, 60-65.

503. В. В. Астахов, Б. П. Безручко, В. И. Пономаренко, Е. П. Селезнев, Мультиста-бильность в колебательных системах с удвоением периода и однонаправленными связями, Доклады Академии Наук СССР 314 (1990), No. 2, 332-336.

504. В. В. Астахов, Б. П. Безручко, В. И. Пономаренко, Формирование мультиста-бильности, классификация изомеров и их эволюция в связанных фейгенбаумовских системах, Изв. вузов. Радиофизика 34 (1991), No. 1, 35-39.

505. В. В. Астахов, Б. П. Безручко, В. И. Пономаренко, Е. П. Селезнев, Мультиста-бильность в системе радиотехнических осцилляторов с емкостной связью, Радиотехника и электроника 36 (1991), No. 11, 2167-2171.

506. F. С. Moon, G.-X. Li, Fractal basin boundaries and homoclinic orbits for periodic motion in a two-well potential, Phys. Rev. Lett. 55 (1985), No. 14, 1439-1442.

507. C. Grebogi, E. J. Kostelich, E. Ott, J. A. Yorke, Multi-dimensioned intertwined basin boundaries and the kicked double rotor, Physica D 25 (1987), 347.

508. В. В. Астахов, Б. П. Безручко, Е. П. Селезнев, Изменение структуры разбиения плоскости параметров стохастической системы при возбуждении дополнительной моды, Письма в ЖТФ 13 (1987), No. 8, 449-452.

509. Б. П. Безручко, Е. П. Селезнев, Е. В. Смирнов, Эволюция бассейнов притяжения аттракторов симметрично связанных систем с удвоением периода, Письма в ЖТФ 21 (1995), No. 8, 12-17.

510. С. Grebogi, Е. Ott, J. A. Jorke, Metamorphoses of basin boundaries in nonlinear dynamical systems, Phys. Rev. Lett. 56 (1986), No. 10, 1011-1014.

511. E. Ott, Chaos in dynamical systems, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

512. H. E. Nusse, E. Ott, J. A. Yorke, Saddle-node bifurcation on fractal basin boundaries, Phys. Rev. Lett. 75 (1995), No. 13, 2482-2485.

513. L. Poon, J. Campos, E. Ott, C. Grebogi, Wada basin boundaries in chaotic scaterring, Int. J. Bifurcation and Chaos 6 (1996), 251-266.

514. C. Grebogi, S. W. McDonald, E. Ott, J. A. Yorke, Final state sensitivity: An obstruction to predictability, Phys. Lett. A 99 (1983), 415.

515. T. Tel, A. Fulop, T. Vicsek, Determination of fractal dimensions for geometrical multifractals, Physica A 159 (1989), 155.

516. A. P.S. Morua, C. Grebogi, Output functions and fractal dimensions in dynamical systems, Phys. Rev. Lett. 86 (2001), No. 13, 2778-2781.

517. E. Ott, C. Grebogi, J. A. Yorke, Controlling chaos, Phys. Rev. Lett. 64 (1990), No. 11, 1196-1199.

518. W. L. Ditto, S. N. Rauseo, M. L. Spano, Experimental control of chaos, Phys. Rev. Lett. 65 (1990), No. 26, 3211-3214.

519. E. Barreto, C. Grebogi, Multiparameter control of chaos, Phys. Rev. E 52 (1995), No. 4, 3553-3557.

520. Y. C. Kouomou, P. Woafo, Stability and optimal parameters for continuous feedback chaos control, Phys. Rev. E 66 (2002), No. 3, 036205.

521. V. Paar, H. Buljan, Bursts in the chaotic trajectory lifetimes preceding controlled periodic motion, Phys. Rev. E 62 (2000), No. 4, 4869-4872.

522. P. J. Aston, P. K. Marriot, Waiting time paradox applied to transient times, Phys. Rev. E 57 (1998), No. 1, 1181-1182.

523. R. Meucci, W. Gadomski, M. Ciofini, F. T. Arecchi, Transient statistics in stabilizing periodic orbit, Phys. Rev. E 52 (1995), No. 5, 4676-4680.

524. F. H. Willeboordse, K. Kaneko, Bifurcations and spatial chaos in an open flow model, Phys. Rev. Lett. 73 (1994), No. 4, 533-536.

525. J. K. John, R. E. Amritkar, Coherent structures in coupled map lattices, Phys. Rev. E 51 (1995), No. 5, 5103-5105.

526. J. P. Crutchfield, K. Kaneko, Are attractors relevant to turbulence?, Phys. Rev. Lett. 60 (1988), No. 26, 2715-2718.

527. Q. Zhilin, H. Gang, Spatiotemporally periodic states, periodic windows, and intermittency in coupled-map lattices, Phys. Rev. E 49 (1994), No. 2, 1099-1108.

528. Y.-C. Lai, R. L. Winslow, Geometric properties of the chaotic saddle responsible for supertransients in spatiotemporal chaotic system, Phys. Rev. Lett. 74 (1988), No. 26, 5208-5211.

529. Т. Тоффоли, H. Марголус, Машины клеточных автоматов, М.: Мир, 1991.

530. К. Brecher, Spirals: Magnificent mystery, Science Digest (1980).

531. Г. Г. Малинецкий, M. E. Степанцев, Моделирование движения толпы при помощи клеточных автоматов, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 5 (1997), No. 5, 75.

532. М. Гарднер, Крестики нолики, (1988).

533. S. Wolfram, Cellular automation fluids. 1: Basic theory, J. Stat. Phys. 45 (1986), 471.

534. U. Frish, D. d'Humieres, B. Hasslacher, P. Lallemand, Y. Pomeau, J.-P. Rivet, Lattice gas hydrodynamics in two and three dimensions, Complex systems 1 (1987), 469.

535. M. Gerhardt, H. G. Schuster, J. J. Tyson, A cellular automaton model of excitable media. III. Fitting the Belousov-Zhabotinskii reaction, Physica D 46 (1990), 416426.

536. K. Huang, Statistical mechanics, John Wiley & Sons, Inc., 1963.

537. Z. Csahok, T. Viksek, Lattice gas model for collectiv biological motion, Phys. Rev. E 52 (1995), No. 5, 5297.

538. B. Shonfish, Propogation of fronts in cellular automata, Physica D 80 (1995), 433.

539. G. S. Nusinovich, A. N. Vlasov, Т. M. Antonsen, Nonstationary phenomena in tapered gyro-backward-wave oscillators, Phys.Rev.Lett. 87 (2001), No. 21, 218301.

540. А. Ю. Дмитриев, Д. И. Трубецков, А. П. Четвериков, Нестационарные процессы при взаимодействии винтового электронного пучка со встречной волной в волноводе, Изв. вузов. Радиофизика 34 (1991), No. 9, 595.

541. Д. И. Трубецков, А. П. Четвериков, Автоколебания в распределённых системах "электронный поток — встречная (обратная) электромагнитная волна", Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 2 (1994), No. 5, 3.

542. А. Н. McCurdy, Nonlinear theory of large-signal mode locking in a girotron oscillator, Appl. Phys. Lett. 66 (1995), No. 14, 1845.

543. Д. И. Трубецков, A. E. Храмов, Синхронизация автоколебаний в распределенной системе "винтовой электронный поток — встречная электромагнитная волна", Письма в ЖТФ 28 (2002), No. 18, 34-42.

544. Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов, О синхронизации хаотических автоколебаний в распределенной системе "винтовой электронный поток — встречная электромагнитная волна", Радиотехника и электроника 48 (2003), No. 1, 116-124.

545. N. Hadyn, J. Luevano, G. Mantica, S. Vaienti, Multifractal properties of return time statistics, Phys. Rev. Lett. 88 (2002), No. 22, 224502.

546. В. К. Юлпатов, Вопросы радиоэлектроники, 1965, 15.

547. В. К. Юлпатов, Вопросы радиоэлектроники, 1965, 24.

548. Электроника ламп с обратной волной, под. ред В. Н.Шевчика и Д. И. Трубецкова ed., Саратов: Изд-во Сарат.ун-та„ 1975.

549. D. Sweet, Н. Е. Nusse, J. A. Yorke, Stagger-and-step method: detecting and computing chaotic saddles in higher dimensions, Phys. Rev. Lett. 86 (2001), No. 11, 2261-2264.

550. T. S. Parker, L. O. Chua, Practical numerical algoithms for chaotic systems, Springer-Verlag, Berlin, 1989.

551. Z. You, E. J. Kostelich, J. A. Yorke, Calculating stable and unstable manifolds, Int. J. Bifurcation and Chaos 1 (1991), 605-624.

552. E. J. Kostelich, J. A. Yorke, Z. You, Plotting stable manifolds: error estimates and noninvertible maps, Physica D 93 (1996), 210-222.

553. П. Самуэльсон, Экономика, vol. 1, 2, M.: МГП "АЛГОН", ВНИИСИ, 1992.

554. Кэмпбелл P. Макконнел, Брю Стенли, Экономикс: принципы, проблемы и политика, vol. 1, 2, М.: Республика, 1992.460

555. Р.Дж. Аллен, Математическая экономия, М.: Издательство иностранной литературы, 1963.

556. С. П. Капица, Феноменологическая теория роста населения Земли, Успехи Физических Наук 166 (1996), No. 1, 63-79.

557. Ю. М. Свирежев, Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии, 1987.

558. А. М. Гиляров, Экология, приобретающая статус науки, Природа (1998), No. 2, 89-99.

559. P. F. Verhulst, Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement, Corresp. Math. et. Phys. 10 (1838), 113-121.

560. Д. И. Трубецков, Колмогоров, Петровский, Пискунов, Фишер и нелинейное уравнение диффузии, Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика 5 (1997), No. 6, 85-94.

561. А. Н. Колмогоров, И. Г. Петровский, Н. С. Пискунов, Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и применение его к одной биологической проблеме, Бюл. МГУ. Сер. А. Вып. 6., 1937.

562. Historical census browser, university of Virginia, geospatial and statistical data center, 2004.

563. С. П. Капица, Сколько людей жило, живет и будет жить на земле, очерк теории роста человечества, М.: Международная программа образования, 1999.

564. S. P. Kapitza, Word population growth and global problems, M.: Moscow Institute of Physics and Technology, 1996.

565. C. Haub, M. Yanagisita, Population reference bureau, Washington D.C., 1985.

566. Z. Csahok, T. Vicsek, Lattice gas model for collective biological motion, Physical Review E 52 (1995), No. 5, 5297-5303.

567. P. Clavin, P. Lallemand, Y. Pomeau, G. Searby, Simulation of free boundaries in flow system by lattice-gas models, Jouranl of Fluid Mechanics 188 (2006), 437464.

568. В. Chopard, М. Droz, Cellular automata model for heat conduction in a fluid, Physics Letters A. 126 (1988), No. 8-9, 476-480.

569. К. C. Chan, N. Y. Liang, Critical phenomena in an immiscible lattice-gas cellular automata, Europhysics Letters 13 (1990), No. 6, 495-500.

570. Y. Aizawa, I. Nishikawa, K. Kaneko, Solution turbulence in one-dimensional cellular automata, Physica D 45 (1990), No. 1-3, 307-327.

571. Y. H. Qian, D. d'Humieres, P. Lallemand, Diffusion simulation with a deterministic one-dimensional lattice-gas model, Journal of Statistical Physics 68 (1992), No. 3/4, 563-573.

572. D. J. Jacobs, A. J. Masters, Domain growth in one-dimensional diffusive lattice gas with short-range attraction, Physical Review E 49 (1994), No. 4, 2700-2710.

573. M. Plap, J-E. Gouyet, Dendritic growth in a mean-field lattice gas model, Physical Review E 55 (1997), No. 1, 45-57.

574. Г. Г. Малинецкий, M. E. Степанцев, Построение моделей класса решеточных газов для решения задач газодинамики, Известия ВУЗов, Прикладная нелинейная динамика 4 (1996), No. 4,5, 59-64.

575. J. Hardy, Y. Pomeau, О. de Pazzis, Time evolution of a two-dimensional model system, Journal of Mathematical Physics 14 (1973), No. 12, 1746-1759.

576. U. Frish, B. Hasslacher, Y. Pomeau, Lattice-gas automata for Navier-Stokes equation, Physical Review Letters 56 (1986), No. 14, 1694-1696.

577. Дж.Дж. Стинглер, Экономическая теория информации, Экономика и математические методы 30 (1994), No. 1, 24.

578. P. J. Brockwell, R. A. Davis, Time series: Theory and methods, Springer-Verlag, 1991.

579. Cesare Marchetti, Perrin S. Meyer, Jesse H. Ausubel, Human population dynamics revisited with the logistic model: How much can be modeled and predicted?, Technological Forecasting and Social Change 52 (1996), 1-30.

580. Научный потенциал вузов и научных организаций Минобразования России, Статистический сборник, Москва, 1998.