Синтез дискретних адаптивних систем керування на основi теоретико-множинних моделей невизначеностi тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

9 — 3 '3 3

, Академш наук УкраТни

г Институт кибернетики 1меш В. М. Глушкова

1с..'/, — '

-..'-.»тек« С :~'Л

pv.sc вчАЦИ*

На правах рукопису

ЛИЧАК Михайло Михайлович

УДК 62-50:681.513

СИНТЕЗ ДИСКРЕТНИХ АДАПТИВНИХ

СИСТЕМ КЕРУВАННЯ НА ОСНОВ1 ТЕОРЕТИКО-МНОЖИННИХ МОДЕЛЕЙ НЕВИЗНАЧЕНОСТ1

01.01.11 — системний анал1з 1 автоматичне керування

Дисертац^я на здобуття ученого ступеня доктора 4изико-математичних наук у форм! науковоТ доповщ!

КиТв 1993

Робота виконана в 1нституп ибернетики 1меш В. М. Глуш-кова АН Украши.

Офщшш опоиенти: доктор 4нзико-математичних наук ЛАР1Н В. Б.,

доктор 4лзико-математичних наук НАКОНЕЧНИИ О. Г.,

доктор 4лзико-математичних наук КИРИЧЕНКО М. Ф.

Пров^на оргашзаш'я: Ф1зико-мехашчннй шститут АН Украши (м. Льв1в).

3 ахнет вщбудеться « ¿й. »

(Уере ЪНЯ , 1э93р. о —^—■

годиш на засианш спещал1зовано'1 ради Д 016.45.04 при 1нститут1 к5бернетики ¡меш В. М. Глушкова АН Украши за адресою:

252207 КиТв 207, проспект Академжа Глушкова, 40.

3 дисертащею можиа ознайомитись у пауково-техшчному арх1в1 шетитуту.

Дисертащя розклана ^ » Л1-ОП7070 19^3

Р-

Учений секретар спещал!зовано1 ради

ГУБАРЕВ В. Ф.

ЗЛГАЛЬНЛ У. ЛРЛКТЕРИС.ИКА РОБСТИ

Актуальн1ить 1 отан прэблеми. При поЗудов1 систем керування кон-

кретиими об'ектами консгруктоо повинен прикати до уваги яге наявШеть в рваяьних умовах тих юткх ?овн!шн1х неконтродьованюс збурень, що дють на об'ект керувлння, так 1 та, ш,э нав!ть длл об'екПв з в1дс:-лою структурою дШсн1 значения парзметрь в1дом1 лише не. л!Ш?но. Тому в бишлост1 в:шадк1в при постановц1 1 розз'язанк! задач синтезу керування необх)дно г.рахсаува^г наявШст:- невизначошос фактора, а тгч-мк можл»1р!сть уточнения апрЮрно1 ШформацИ про нп/, тобто необх)Г".о роз 'язувэт:; задачу синтезу адаптивного керування.

Важливсю проблемою тут е побудова 1 викорчетення формализовано! модел! п. й! нввизначеност1. В багатьох роботах 1з синтезу адаптивних систем керування вводиться ггрипущення, що вс1 неЕиня:;чо!т1 фгитори уэ-ють ймовфнюний характер 1 в зв'язку з цим пропонуй-ьо; зкаходитк оптимальна керування з умоьл мШШ'зацП математичного слодижпл де-якого (*ункц1оналу якост1, а отримуваШ в п$оцес1 адаптацЦ сп!ч:г.и па-раматр1в об'екта трактувати як випадков1 велич:;ни. При цьому 1гпсру-еться той факт, що отриманиЯ таким чином "оптимальний" розв'ягоч коже, взагал1 кажучи, нав1ть не гарантувати працездатн1сть сш!тезовано1 . системи в раалыгах умових. Через те, що на систему д1е лише одна конкретна р«ал1зац1я неконтрольованого збурення 1 1снув одне д1Ясне значения кожного параметра об'екта керування, немав н1яких гаранйй, що вони не виявляться наЯг!ршими з точки зору функцюналу якост1 при визначеному з умови оптимальное« для "ансамблю" систем закош керування.

Завдьки цим причинам, а також у зв'язку з тим, що для багатьох об'ект1в керування немае н1яких Шдстав вс1м наявним невизначеним фак-: рам приписувати ймов1рн1сний харе :тер, останнш часом все С1льш широко розповсюдкення отримав такий п1дх1д до постановки задач анаизу . 1 синтезу керування, коли використовуються множинн1 ощнки параметрш 1 збурень. Тод1 ефективнЮть синтезов"чого алгоритма керування вста-новлюеться шляхом перев1рки його роботи при вс1х можливих значениях па-раметр!в 1 збурень 1з в1домих 1х множинних оц!нок, що можуть уточню-ватись в процес1 керування за допомогою процедура 1дентиф1кац11.

1нтенсивн1 досл1дження з використанням ».„¡ожигаю! модел1 невизна-ченост1 ведуться вченими в Укра1н1 (зокрема, сп1вроб1тникаш Хнститу-ту к1бернетики 1мен1 В.-М.Глушкова АН Укра1ни), в Рос11 1 крвШах СНД, а також 1 в !нших краШах св!ту (зокрема, сп!вроб1тниками М1:шародно-

га Шституту прикладного системного анал!зу у В1дн1, Австр1я). Можна в]дзначити вклад таких учених, як Ф.С. Швепле, А. Б. Куржанський, Ф.Л.Чорноусько, В.М.Кунцевич, Б.М.Пшеничний, М.Ф.Кириченко, Г.М.Бакан, 0. Г. Наконечний та 1н..

Мета 1 эавдашш досл1джень. Досл!дження сггрямован1 на створення теоретичних осн^в синтезу адаптивних дискретних систем черування на бая1 теоретико-множинних моделей невизначеност!. Для досягнення поставлено ] мети необх!д\;э виршити так1 завдання:

1) веости 1 методично обгрунтувати використання множинних 0Ц1Н0К для вектора пост1йних параметр'в об'екта керування;

2) побудувати математичну модель неконтролъованих зОурень, для яких не (чи нев1дома) функц1я розпод1лу ймов1рност1, алв проявляешься рогулярШсть повед1нки стосовно ст1йкост! множинних ог.'нок IX значень;

3) розробити методи розв'язання ряду задач прикладно1 математики (зэкрема, р.зв'язання системи л1Шйних алгебра1чних р1внянь 1 опрокси-мац.11 функц1ональних залекностей), коли для числових параметрШ 1 збурень маемо лише множинн1 ощнки значень; ,

4} виновата теоретичн1 досл]дзкення метод1в 1дентиф1кацИ 1 кер: вання в умовах нестохастичнс задано1 невизначеност1 для деяких класш об' ект1в;

5) розроб:ти методи синтезу алгоритмш керування р!зними класами об'ект1в, в тому числ1 багатовим!рних, де ф1гурують матриця стану 1 матрица керування;

') вс.тановити зв'язок отриманих теоретичних результаив 1 проб-леми дискретного керування за допомогою засоб1в цифрово1 техн1ки не-перерь .им рухом динам1чного об'екта, враховуючи т<ж1 ирикладш аспек-ти, як виб1р величини тривалост1 такту керування 1 структуры обметания на вим1рювання вектора стану динам1чного об'екта.

Наукова новизна 1 значим1сть робота. Розроблено новий метод синтезу дйскреишх адшгшшйх"Ъ;стогГ~кврування на основ! теоретико-мно-хинних моделей невизначеност!. Бведо:шя моделей нового типу (якюно в1Г'1нш1х в1д ¡!мов)рн1сних) дозволило по новому ставити 1 "хгав'язу-вати задач1 теорП керування 1 прикладно! математики. Використашш множинних оцшок невизнанених факторт для розробки конструктиЕних алгоритмш ппраметрично! 1 структурно! 1дентиф1кац1!, адаптивного керування р131шми класами об'екгШ е в1дм№юю ознакою виконаних досл)д-жвнь. При цьому оптимально керування визначаетьоя з умови м1н1макс:у (мш1мум по керувзнню, а максимум по невизначених факторах у межах 1х

- 3 -

множинних сцшок) задансго критерШ яксст1. 0риг1нальн1сть розробле-них метод1в синтезу матричних алгоритма керування Шдтвэрдзгона отри-маним авторським свщоцтвом на винах1д конкретного вкгляду матричного регулятора. Через те, що на г~>актац1 дуже часто ыжористовусться циф-рове керування для формувзння заданого :игюр^рвного руху динамичного оО'екта, побудова таких математичних моделей в1дпов1дних систем керування 1з звороти1м зв'язком, що г.эзилляють пслирювьш на них метода тсори тлаизу 1 синтезу дискретнил систем керування, н вкрай ватиш-вим фактором практичного ззстосуванн I ш<з1 тесрц.

Апробац1я рсЭоти. Головн1 концепцП, 1де1, поло.чоння 1 результата ^оЪидхонь допошдались на: IV ВсесоюзнШ нград1 з проблем карування (м.Москва, 1974), V ВсесоюзнШ нарад1 з шнар1антност1, теорП чутливоси 1 1х застссування (м. Ки1в, 1976), VII ВсесоюзнШ наряд! з проблем керування (м.М1нськ, 1977), IV Всесоюзны нзр.гд1 з статис-тични.х метода теорП керування (м. Фрунзо, 1978), IX Бсесоязнт нзра-д1 з керування багптозв'язаними системами (м. 197Р), IV Лен'ч-

градськ' '/|у симпозиум "Теорш адаптнвн;« систем" (м. Л-" чшград, 1979), VII] ВсесоюзнШ нарад1 з проблем керування (м.Таллшн, 1980), IX МИша- . родн1й конференцИ з нелШШтос коливаннь ( м. КШв, 1981), Координа-щйнП нарад1 з проблем адаптаци 1 IX сем1нар1 з адаптавних систем (м. круизе, 1982), IX ВсесоюзнШ нарад1 з проблэм керування (м. Ереван, 1983), ВсесоюзнШ конференцИ "Теор1я адаптавних систем 1 1х застосу-вання" (м. Лешнград, 1983), X ВсесоюзнШ екустичнШ конференцИ (м.Москва, 1983), Координацией нарад1 з проблем адаптаци 1 ХП шко-л1-сем1нар1 з адаптавних систем (м.Моглльов, 1984), ШжнароднШ конференцИ з стохастично1 оптишзацИ (м.Ки1в, 1984), ХШ Вс^оюзнШ ШК0Л1 з адаптавних систем (М.Звенигород, 1986), X ВсесоюзнШ нарад1 з проблем керування (м. Алма-Ата, 1986), Всесоюзшй нарад1 з проблем в10-р.1золящ[ машин 1 приладш (м.Москва, 1986), XXI ВсесоюзнШ школ1 з явтоматизацП наукових досл!джень (м. Чолпон-Ата, 1987), 8-мому 1РАС/ 1Г0ГС5 симпоз!ум1 "1дентиф1кац1л 1 оЩнювання параметра систем" (м.Пе-кш, Китай, 1988), конференцИ 1РАС '' 'астосування мэтодш адаптивного керування в промиаловосгГ' (м. т6шс1, 1989), ВсесоюзнШ нарад! "Проб-леми комп'ютерного Штегрованого виробництва" (м.Ки1е, 1990), рес-публ1канському сем1нар1 "Дискретн1 системи керування" (м. Ки1в, ХК АНУ). 0публ1ковано по мэтер1алах досл1джень самосийно 1 в сшвавторств1 120 друкованих праць 1 винаходШ, основн1 результата по тем1 дисер-та.Л м!стяться в 34 наукових працях, наведених у списку Л1тератури.

КОРОТКИЙ 3MÍCT РОБОТИ

Розглядаються дискретш системи керування об'ектами, збурений рух яких описуеться в загальному випадку нелшшними р1зницеви','и piB-няннями вигляду

X = Ф(Х , U , L, F ), X. = X ° п = О, 1,.. , J )

m 1 V n' n О ' ' * 4 '

де У* = (кj , х2 n.....xm n) - т-м1рний вектор фазових координат

системи (т - символ трг>.спонування); U^ = (u1 , u2 n>---> ur n) ~ г-м1р"ий вектор керувшшя, виб1р якого здШснюеться конструктором системи керування для досягнення Tlei чи 1ншо1 мети керування; F^ = (f1 n.---. íj^ n) - к-м1рний вектор зовн1шн1х неконтрольованих збурень, як адитивних, так 1 мультипл1кативних, що дноть на об'ект керування; L - з-м1рний вектор постШних парамотрш об'екта, течн1 значения яких у загальному випадку конструктору системи керування нев1дом1; «>(') - деяка задана вектор-функц1я, обмекена на будь-як1й обмежешй мнлиШ значень X , U , L, F in.

л п п

Причини, що спонукають в1дцати виключну поровагу дискретним системам керування, перш за все пов'язат з тим, що реал1зац1я б1льш-ме?-ш складних ^лгоритмШ 1дентиф1кац11 i керування неможливг без застосу-вання обчислювалыкН техн1ки, ;му нав1ть для об'ект)в керувшшя, не-перервних по сво1й нрирод1, поведШка Bciel системи керування в ц1ло-му набувас явно' вираженого дискретного характеру. Кр1м того, будемо рахувати, що керування формуеться на uchobI дискретних вим1р1в вектора фазових координат системи, результатом яких е ш-м1рний вектор Y , де Y^= (y1 , ...,ут п), що являв собою вих1д деякого вишрного пристрою, оггасуваного ршняннями вигляду _

У1>п = (1 + Vi.n>"Xi.n + Sl.n' l = n = 0-1.....

де z± - адитивн1 похибки вим1рювань вектора фазових координат, що складагаъ вектор Z7n = (z1<n, z.¿ n,..., '¿m n). a v± - мультиплй.^-tubhI похибки цих ко BHMiplB, що складають Еектор VT =

V2.n.....Vm.n>'

Теоретико-шюжишП модел1 невизначеност1. Центральнич пунктом новог(ГЖдхЩу~доТ5ин^у^ систем керування е

введене в [13 припущення про те, що для вектора постШних параметра I, в1дома .лише його апрЮрна оц1нка у вигляд1 задано! стац]онарно1 множили V(0), якШ наложить значения вектора L, тобто

L€Í(0). (3)

Дана оцПша буде уточшшатися в пронес) вим!р1в 1 отримуваш апосте-

рюрн1 оцШки £(п) будуть використовуватись для розрахунку керувапня [2-ЗК

Природно, що так1 уточнения моклив1 лше при алалог1чних прилу-щеннях про збурення у вигля;. наложное?! значень вектор1в Рп, Zn I Чп деякжд вщомим множинпм С4-71, причому на значения ксжно! з компонент вектора в р1зн1 момента часу можуть бути накладет сп1льн1 обме-ження. В1дзначимо, що використанин абсолютною 61лыя1стю досл1дник1в при синтез! систем керування лизе Ш4юрмац11 про сбмежену величину збурень гфиводить в деяких випадках до "загруб1лостГ отримуваних при 1дентиф1кац11 оц1нок 1:ев1домих параметра 1 нздм1рного "песим1зму" при розрахунку керувань. В 18] була запропонована матемаплнз модель збурень, що, з одного боку, базуеться на множинних оц1нках 1х слзчень, а з 1ншого боку, дае досить батату Шформащю про характер 1х пове-д1нни.

Розглянемо скалярне дискретна обмекене збур^лня Г (п = = О, 1, 2,...) 1 породжуване ним однопарачетрична с1мейство обмежених процесс

5 (И) = - £ Г.,. п-О, 1,2..........(4)

п N + 1 1=о п+± де N > О - ц1ле число-параметр (при N = О маемо Гп(0) = Гп).

Позначимо

рЛЮ = 1пГ {Г (Ы)), р_(И) = зир {Г (Н)}. . (5)

1 пю п 2 аю п

Означения 1. СтацЮнарним невизначеним процесом називаеться обме-жений процес Г (п = О, 1, 2,...), що^породжуе зПдно з (4) однопара-метричне с1мейство обмежених процесШ Гп(М) з характеристик?-™ р1 (К) 1 рг(И) з (5).

3(4) 1(5) випливав, що якщо збурення I розглядаеться на 1н-"•"1рвал1 [О, М1, то значения с-'дь-яко! 11 конкретно1 реал1зац11 задовольняють нор1вностям

1 n ---

р,(Ю *- £ Г $ р (Л), п = 0,М-и, N = о,М, (6)

N + 1 1=о 1

як1 задають множину в простор1 значень збурення 1п. Позначимо цю мно-жицу через 5М. Вв1вши аналог1чн1 позначення для випадк1в 1нших збурень, запишемо, що

С V 2П С Зи. с (7)

В1дзначимо, що нершноси (6) при N = 0 задають звичпПн1 обмеження 31 гау 1 зверху на величину збурень, що Е1дпс®1дае апрЮрШй множит у ригляд! ПперпаралелеШпеда в простот Ен. Значения нер1вностей (6)

при N ф о дозволя6 отримувати с1лы11 точну оц1нку у вигляд1 опуклого ■ багатогранника, що належить цьому ПперпаралелепШеду, а силе дае досл1днику б1льш батату 1 змютовну 1нформад1ю. Як показано в 18], мнокинн1 оц1нки (7) задашь властивост1 збурень з т1ею к повн;тою, що 1 стати стичш характеристики випадкових процесш типу корелящйно1 функцП чи спектоально! густини.

Означения 2. Регулярним стадЮнарним невизначеним процесом нази-ваеться такий стацЮнрший невизначений процес Гп (зПдно з означениям 1), що при будь-якому N ^ 0 для будь-якого достатньо малого числа Е(К; > О (причому еДО) < р2(М) - юнуе таке доле число

е(Л) > 0 (1нтервал регулярности), що для будь-якого п > 0 на 1нтерва-л1 [п, п + е(Ы)] знайдеться таке п е (п, п + е(Л)], що

о* *

Г (Ю < р. (И) + е(Ю, . (8)

1

1 таке п2 € [п, п + е(Ы)], що

? (И) » р.(И) - еСИ). (9)

г

Як випливае з означения 2, регулярШсть процесу Гп означав, що кожний процес з однопараметричного сшвйства ГП(Н) при реал1зац^ в час1 багпторазово досягае значень, близьких до граничите. Ця власти-в1сть особливо важлива при вг.:сористанн1 оцшок (6) для розв'язку задач прикладно1 математики I теорИ керування, зокрема з.адач апрокси-мац11 1 1двнтиф1.'сац11 [9].

11аявн1сть невизначеносп в1дносно параметрш 1 збурень у вигляд1 (3) 1 (7) не дозволяе безпосередньо використовувати р1вняння (1) для ошю, руху 1 розв'язку задач керування. Нав1ть вимфявши точно почат- , кове значения вектора фазових координат Х0 неможливо однозначно пе-редбачлти значения X,. Математична модель, руху тут матиме виг ляд р1з-ницевого включения

х, € ас, = {X, : х, = Ф(Х0, и0, ь, ?0) V I € Р0 £ 8). (Ю) Аналог1чно описуеться один крок руху системи з дов1льного стану, однак прогноз руху на дек1лька крок1в е 01льш складним. В роботах [10], Г11 ] було запропонов :ю для ц1е1 мета використовувати р1зницев1 р1т няння, що визначають еволюцИо множин. Зауважимо лише, що в цьому

випадку сл1д враховувати той факт, що вектор параметра Ь пост1йний

*

1 його справжне значения Ь = Ь, що д1йсно реал1зуеться, залишаеться тим самим для вс1х момент1в часу.

Так, для Е1домо1 оЩнки початкового стану

х0 е а0 (11)

1 множили можливих керувань

и € а, (12)

де „ '

ит = (U0T, и/.....имт), (13)

можна визначити ощнку

V, = ^о- «о- Зи1'

дэ ф(') - вектор-функЩя перетворент множил МП, що отримана з (1) шляхом реал1заци М крок1в для визначення Х1;и череп початковий отга.

Методн розв'язання задач прикладно! математики. Задача вц-пгкан-ня ефективних cncüoOlB розв'язання системи лшшних аягебра!чттх piü-нянь в ii pl3H0MSHlnmx постановках, е, напевно, е 1сюричнсму план одн1ею з найдавн1ших проблем в математиц1. НаявШсть некинучих похи-бок (неточностей) в установлены числових коефЩЮТгш, що обу?/ов-люеться або неточн!стю вих1дних даних в т1й 2м1стовн1й задам, мптсма-тичною ..годеллю яко! в розглядувана система ршнянь, або иохкбксии заокруглення, acto 1 там 1 шшим разом, приводить до невизначеноот1 шу-. какого розв'язку. В [12] був заггропонований метод розрахунку мнсшиш вс1х розв'язк1в, як1 можуть бути отри"эн1 при вар1ац11 коефЩ1енИв системи ршнянь 1 1х правих частин у межах задано! точност1.

Розпянемо систему лШ1йних р1внянь

АХ = В, (16)

де X - гп-м!рний вектор, який потрЮно визначити; А - матриця коеф1-Ц1ент1в системи розм1рн1стю (г « т); В - г-м1рний вектор правих час-тин. Нехай 1стинн1 значения елеменйв матриц1 А i вектора В НсВ1дом1, а задан1 лише обмекен1 множини матриць 21 1 вектор1в S, яким вони належать, тоОто В1ДОМО, що

А € а, Б € В. (17)

У в1дпов1дност1 з наведеними в [11] 1 [2] означениями функцю-нальних пвретворень 1з мнсякинамм визначимо функЩю (в1дображення) елемент1в А с а 1 В е

g(A,B) = £Х: АХ = В), (18)

де ") - в загальному випадку деяка множила в евкл1довому простор1 Е™ (зокрема, одноточкова для випадку г = m 1 неЕироджено1 матри-Ц1 А).

Ця множина е пустою в тому випадку, коли не 1снуе X, що задо-ЕОльняють (16) для зад'аних А 1 В.

Будемо шукати мкожину

ЗГ = 5(81,©) = и и 5<А,В), {IV,

А€21 Ве®

тобто множину вс1х можливих розв'язк1в система р1внянь (16) при ВС1Х можливих у в1дпов1дност1 з (17) значениях коеф1ц1ент1в матриц1 А 1 правих частин системи. "

Означения 3. П1д розв'язком системи (16) 1 (17) Судемо розум1ти множину ЗС вс1х I )жливих X е Е"1, для кожного з яких знай^уться так1 А 1 В, що задовольняють (17), 1 для яких виконуеться (16).

Природно, що в ^-игальному випадку при в1дсутност1 додаткових умов в!дСору вс1 елементи Ц1е1 множини (якщо вона не пуста) р1вно-правн1 в тому сенс1, що жоден 1з них не може претендувати на роль едино "правильного" розв'язку.

Розглянемо тепер загальний випадок, коли ,

93 = и 1 = ' (20)

1

ДО - деяк1 шдмножини множини ® (>1в - к1лы<1сть цих шдмножин) 1

а = и к = (21)

к

да 21, - деяк1 Шцмножини множини 21 (N, - к1льк1сть цих п1дмножии).

К А

Тод1, п1; 'тавляючи (20) 1 (21) в (19), отримаемо

и и

к 1

де

I = У и ЗГк1. к = 1 = 1 .N3, (22)

= и У Ч(А.В). (23)

к1 Ае\ ве«1

1з р1вностей (22) 1 (23) випливае, що шукана множина 2, яка е розв'язком системи лШШних р1внянь (16) при умов! (17) в сенс1 наведе-ного в^ще означения, мае властивють, яку будемо назиь .ти властивЮтю 1гчпозитивност1. Д1ЙСИ0, ця множина може бути отримана 1з р1дмножин вигляду (23) шляхом 1х об'еднання. Тому при визначенш множини I можна представите множини 21 и 43 у вигляд! (20) 1 (21), тобто об гд-нання деякого числа шдмножин стандартного типу, для будь-яко! пари яких можна визначити множину вигляду (23), а Шсля цього скористува-тись сШыЛдношенням (22). 1з сказаного випливае, що необх1дно мати коь^труктивну методику знаходження множини-розв'язку систоми (16) для деякого стандартного типу непустих множин 21 1

Розглянемо задачу знаходження розв'язку систоми (16) в сенс1 да-ного означения 3 для випадку, коли в1дом1 оц1нки коеф1ц1ент1в матриц1 А 1 ггравих частин р!внянь у вигляд!

С п = ,-г- а-1-11' (<м>

Ь(0) £ Ь <Ь(1), (И5>

П XI п

и Ь'!<'(к = СО; 1}) - в1дом1 числа. Розв'язок представимо у вигляд! _

а = и зс'11, 1 = о,и0-1,

(1) 1 де 2Г ' - Д1як1 ощкл! шдмнокини (Ы0 - число таких шдмножин). 3

ц!ею метою розглянеко опечатку випадок, коли в1домо, що множила I повшств належить одному з орган?! з простору Ь", тоОто чистит просру, де вс1 координат»'» збер1гшоть св1й знак.

Поставимо у Ыдпев1дшсть кежнт 3-Я координат! вгжтора X у ви,м-леному орта!'т! число "О", якщо ця координата позитивна, 1 "1 якщо вона негативна. Впорядкована (по номорах компонент вектора X) поол1~ довШсть таких нул!в 1 одиниць I Суде хяракторизувпти ко.иний ортит простору Е"1. Якщо тачу посл1доен1сть розглндлтк як деяке число и дв1йков1й форм!, то десяткове значения цього числи оудо зэдчгаш номер 1 = 0,И-1 (Н = 2го) вид1л8ного ортан"а. Яаодомо матриц»

Еи) = Лаз (е^1'), 1 - 0.М-1, <?7)

де ¿-а д1агональна компонента доршнш "О", якщо х^ позитивно в 1-му

ортшт, 1 "1" - якщо негативна, тобто по д|агонал1 матрит Е(1) роз-

ташована посл1довн1сть и" ив 1 одиниць, що характеризуют 1-й ор-тант. Тод1 отримаемо, що кожниЯ ортант вид1ляеться системою нор1внос-

тей _

(I - 2Е(1))Х > 0, 1 = 0,И-1, (2В)

де I - одинична матриця.

Позначимо .

Ак = вк = (Ьпк>)' к = 0> (г9)

В цьому випэдку справедлива наступна лома. Лема 1. Нехай для систоми (16) при умовах (17) у виглядд обме-жень (24), (25) множина 1 повшстю наложить одному з ортантш Е"1, що вид1лясться жзр1вностями (28) для деякого 1 (з в1дпов!дною цьому 1 матрицею Е(1) з (28)). Тод1 мнокина 2 = ЗС(1)- розв'язок ще! систоми - виднеться умовами (27) сп1льно з нер1вностями

с,(1)-х - в0 > о. (30)

С0(1)-Х - в, * о,

де елвменти матриць Ск(1) = (с^'(1)1 (к = О; 1) визначаються таким чином: о

чином:

С(1) ' п = з = ТЯ •. (31).

Сп1вв1дношення (31) означають, що матриц! 0о(1) 1 Сп(1) складен1

з елеыенпв матриць А0 1 А1 таким чином, щр.при о'1^ = 1 3-й стов-Пбць матриц! С0(1) р1вний 3-му стовпцю , а ¿-Я стовсець 0, (1) р1вю1й 3-му стовпцю А0/ Якщо к = 0, то 3-Я сговпоць 0о(1) р1в-ний „ -ну стовпцю матриц! Ас, а 3-й стовпець 0^1) р1вний 3-му стовпцю А .

Заувэаимо, що мноиша яка вэдшиться нершостями (28) 1 (30) для доякого 1, в силу лЛИйност! цшс нер1вносугей гявляе собою оцуклнй полШдр (обо опуклий багатограшотс при обмакэност! ц1з!' мно-кини), що налезать 1-му ортшту простору Ещ.

В загал-нсму випадку можна викорпстати представления (26) для розв'язку зс, припустивши, що лозшз пЛдмжшша ловн!гао нш-эеить. одно-.' му з ортш!т1в простору Е™, який характеризуешься матрицею Е(1). Тод! справедлива наступна теорема. . "

Теорема 1. НехаД да система (16} прп умовах ( Уц множили и 1 © вид1ляються обмекенляш (24) 1 (25). Тод1 мпожгаю 2 - розв'язок система лшиших р1внянь (16) - мвз вигляд (26) (з'Н0 <= N '1з (27)), да йдшюзшни 2(1) ввдцидогьпя сп1яы10 норЦшоотями (28) 1 (30).

Справедливють теореми безпосородаьо вишпшаз 1з твардавшт по-пореднъо! леш! 1 розгляду посл1довносг1 1з II ортантШ. Таким чином, множима 2 являе собой об'еднання опуклих лол1одр!в (сбо опухллх Оага-•гогр£шн"гк1в у випадку обмеженост! 2), що налезать р1ишм орташвм претору Е™ 1 мокуть мати лише сп1льн1 точки (чи шдмыошш Шра "нуль") по г1лорплощинех, що рОЗДШШТЬ д1 ортанти. • Природао, ЩО Д8КК1 з Шдшкжин 2(1) моиуть виявитися пусппдп,. ЮОто система нарШцос^'ей (28) 1 (30) для деяких ортант!в Суде несум1сно». 1з аЮтавлэшш системи р1внянь (16) 1 системи нер1вностей {30) (враховуши (31)) випливае, що коане р1вняння з (16) при визнвчешИ п1дмш:;ин по-родхуа для кожного ортапта дв1 л1нШл1 нер1вност1 в (30), причому во1 ц1 пари нер1вноотей ¡юзалвшИ одна в!д одно!. Ця властна 1сть дозволяв будувати рекурентн1 процедури уточнения п1дмноиин шляхом посл!-довного приеднання в1доов1дних- пар нер1вностей 1 в1дгсидання не!нфор-мативних серед них (тобто таких пар нер!вностей, як1 не уточнюють 2С(1) в пор!внянн1 з попередньок» оц!нкою). Для цього церепишемо сюте-

му р!внянь (16) у вигляд!

АПХ = Ьп, П=1.Г, (32)

де Ап - п-й рядок матриц 1 А. Кожному скалярному р1Енянню з (32)в1д-

пов1дае така ныожика 2 , що для будь-якого ХеТГ.^ тапЧдугься так1 Апе21 1' Ь як1 задовольняють р1вн1сть (32) для вид1леногэ п. Згщно з теоремою 1 южна пнсгжнп мо;:;е Сути х^ядставлона в в.л\ляд1

ап « и ^1 = о.м-1. . (33)

де ' - спукла Шдмножина, що повнЮтго налекить 1-му ортанту простору Е"1 1 вид!ляетьс.; в цьому ортшШ окалярпига нер!вностяк:;

(1) *>г - » о, c'n)(i)-X - b(1 5 i 0.

и n

(34}

Тут O^'d) 1 c£n,(i) - П-! рядки матриць 0, (1) < CQ(i).

В той »9 час зпдно з нвзал'жн1ста обюпздъ н? р1зн1 элп'-лшти риц1. А х вектора В отримаемо, г,о

* = г, п аг п П <35?

Зв1дси вишпшаз рйницаве р1вггяшш еволгаци мютгш

П=Т^Г. (26)

таке, щс справедливо

2 = trr. (37)

1з (33) 1 (Зв) отримаемо систему иезалежних р!вницевих р!внянь

3(1) = а-(1) п 2(±) 1 = , п = 1 ,г-1

п+1 п 11 п И

(38)

¡о описують еволюц1ю вкладених охг'клих пол1вдр1в у кожному ортент1 простору Е™ окремо (за винятком тих ортант1в, де щ множини виявля-ються пустими). При цьому методика реал1зац11 операп.11 перетину опухс-тх мнэнин 2 "' 1 2^ в кожному р'внянн1 з (38) залишаеться аналогичною мэтодищ, описан1й в 121, бо у випадку обмежоност1 множин Х^1' нэобх1дно лише реал1зовувати на кожному кроц1 перо тин багато- • гранхшка 1з наШвпросторачи в (34) 1 "в1дкидання в1дтятих частин".

В1дзначимо,' що при яаявност1 апр1орно! оц1нки

2 с 20, (39)

¿в 20 - в1дома множина, представлена у вигляд1 об'еднання опуклих по-л!едр!в 2*11, що належать в!дпов1дним ортантам

30 = и 1 О.Н-1.- (40)

1 '

так а оЩика може оути конструктивно використана в описанШ рекурент-

шй процедур1. Для цього сл!д р1вняння (38) пошириги 1 на значения п ^ 0, замшивши початкову умову О^'1' = 2,'11 умовою (40). *

Представления розв'язку у вигляд1 (38) можь виявитися корисним, якщо множиио I використовуеться як область визначеност1 при розв'язку оптим]зпцШних задач. Так, у робот1 113) був запропонований 1терад1й- ' ниП алгоритм розв'язання одного 1з вар1ант)в задач1 Ш1йного "рогра-муь''ння, що використовуе геометричне представлоння про фор: ування ба-гатогранних мнсжин (61 1 1де1 методу посл1довного анал1зу вар1ант1в, а також засуосовуе для оптим1зац11 метод "в1дкидання в1дтятих чатин".

Класичною задачею прикладно1 математики е задача апроксимацП, коли необ.х1дно встановити функЩональну залежшсть у вигляд1

У(х) = £ (41)

Л-' 3

де х - скалярний аргумент; у С) скалярна функщяь (¡р^х)),^ -посл1довн1сть фуиктй, заданих чнаШтачно чи на ск1нченшй множит {X )|м_0 значень аргумента; - нев1дом1 числов1 параметри, що шд-лягають визначенню; Б - число опорги функцШ ч>3(х) в (41); М - число дискретних значень аргумента.

В рол! вих1дно1 апрюрно! ШформацИ задан1 числов1 значения Уп(п = 1,М), про яких В1ДОМО, що

Уп = (1 + у(хп) + 2п, П = О, 1, 2.....М. (42)

де пп - нев1дома адитиьна похибка визначення (вишрювань) значень ФункцП •) для заданого хп, ау^ - нев1дома мультшиикативна похибка них же вим1рт.

Використання модел1 у вигляд1.(42) для визначення (вим!рювання) значень функци у(х) в дискретних точках хп, тоОто врахування неминучих при цьому похибок, одразу ж робить принцишально некоректною ви-могу в1дшукати лише единий такий наб1р коефЩ1ент1в який забез-

печив би малу норму нев'язки м1к значениями у(х ) 1 у . Так, наприк-лад, при неточних вим1рах вимога високо1 точност1 пол1ном1ально1 ап-роксимапП по ск1нченн1й виб1рц! даних (тобто зведення И до задач 1 тторполяцП) приведе до невиправданс високого степеня апроксимуючого тюлИюма, причому залежного в1д к1лькост1 заданих числових значень <1"У1П<Ш1 (тим вищий степШь пол1 -ома, чим 01льша к1льк1сть числових даних).

г 13 -

В робот1 [9] було запропоновэпо Шдх1д, що використову8 оц1нки вигляду (6) , (7), тобто вводиться припущеши про те, що похибки 7д 1

в стацЮнпрш невизначен1 процеси. Цо дозволяв чпстину 1з Б параметрам пр1ф1внятп до нуля, а рейту оц1ннти з точки сору задоволен-ня сшвшднояень (¿2), тобто знайтн так! миошня! оципот для реити парсметр1в що узгодаулться з [шохилптш оцшками (7) (0Ц 1 Зн) похибок впзначвшш (вишршання) згдео з (42) зна«ет> фуккцН у(').

НэхаЗ могло вказану гаав1довн1сть фушщП 9?(х) и = 1,Б), обме-азшос па скШч№н1Й облест1 як1й гпчезкать дагаргши значения аргумента. Поставило ;й у в1дасБ1до1сть лося1довп1сг!ъ 'Жсдоши параметрш

^ = 1,2) 1 змишгк дпасрэтгатх параметр'в о^ (Л « 1,3), шо кабука-ють т!льки дпа значения: "нуль" 1 "адгапщя". Поеиг/ишо через ъ0(х) 3-м1рнкй фушаионалыпй вектор, компонентами якого в функц11 ф^х), в через Ь 1 д - в1дпов1дн1 3-м1рн1 вектора, складеп1 1з парачттрШ 1., 1 о^. Ввэдэмо функц1э

- а

У(Х, Ь, Д) г» 2 3. 1 (р4а), (43)

3-1 ->•>•'

яку Оудомэ нэзиватп епроксимуючоа фуншцею.

Шдставляоти II в (42) зам1сть у("), отрлмаемо сгПвв1дпо"вшя

в <1 * уП)Д Ч + ' П - ОД. (44) •

Природао. що ишсл1док п9внзпач8ност1 зпачень у 1 а , немояливо ви-

П 11

кагата викоианпя.цих сШвв1даозень для дзяко! поено! посл1довност1 значень (тобто некоректш нсмаготш» отриматн точкозу оцижу

1Юе1дс:,кпс пэржзтрш апроксимушо1 функцЦ).

Щипустнмо, цо поктор д якшось чином заданий. Тод1 иохна ввЕс.а-тп, по сшвв1даош0шгя (44) сШльно з (7) являють собою систему лишних р1впяпь в1дноспо тих кошонзнт вектора 1, для якнх в1даов1дн1 ь3 - 1, при наявност1 невизначенои! в коефЩ1ентах I вШших членах. Тод1 можпа шпсорастзтп формаМзм знаходеання розв'.тасу р1впянь типу (16), (17).

Ознзтепия 4. Щд гжгашлоэ оц1 дою вектора чпслових параметра Ь при П5В1ЮЧ'/ П1шченв1' вектора даскретних параметр^ д будегго розу?л1та 1зйу иаоетяу д) в простор1 Е3, цо для Оудь-якого значения

Ь е С(д) (45)

зпайдуться в1даов1да! '__

7п V 2п € V V п = 0,М, (46)

для яких задовольняються сп1вв!дношення (44).

Зауважимо, що для деяко1 посл1довност1 значень о^ = 1 може вия-витися, що Н1 для яких значень в!дпов1дних не 1снуе тако1 посл!-довност1 уп 1 (II = 0,М), для яко! задовольняеться (44). »

Означення 5. Будемо називати допустимою апроксимуючою функц1ею (ДАФ) таку функ"1ю вигляду (43) при певному значенн! вегт-ора дискрит-шгс параметр1в д, що в1дпов1дна множина »(л) (зг1дно з означениям 4) е непустою. »

Для знаходження допустимих апроксимуючих функцШ необх1дно при кожному значенШ вектора л встановити факт юнування непусто! множини ?(д) 1 знайти цю множину.

Нехай справедлива природне обмеження на мультишНквтивну похибку

|у I < 1 V п = О^М. • (47)

I П1

Тод1 сп1вв1дношення (44) можна перописати у вигляд1

3

•3=' __(48)

що являють собою систему л1н1йних алгебра!чних р!внянь в1дносьо нввЬ домих (з а^ = 1) з невизняченою правою частиною.

При р1вн1й к1лысост1 вим1р1в М 1 к1лькост1 нев1домих параметрш в (48) для невироджено! матриц1 коеф1ц1ент1в (1х роль грають значения множина ?(д) завжди непуста 1 отримуеться лшшним пе-ретворенням (п1сля перемножения на зворотну матрицю) множини т)ц. Про-те 1з з01льшенням числа вим1р1в можлива суперечн1сть сп1вв1дношонь (44) для деякого иевдало вибраного д, що породить пусту множину $?(д), тобто птоцедура визначения множинно! оц1нки ?(д) поел,, жить критер1ем р'дбору допустимих апроксимуючих функцШ.

Твердження 1. При розв'язку задач! апроксимацИ, коли похибки вим1рювань значень нев1домо1 функцИ (зг1дно з (42)) мають вигляА регулярна стацЮнарних невизначених процесш (зг1дно з означениям 2), для отримання достов1р!шх результата в1дбору ДАФ (зг1дно з означениям 5) потрЮно, щоб к!льк1сть вим1р1в суттево перевищувала к1льк1сть нев1-. домих параметра, о 1нтервал часу вим1рювання був 01льшим за максимально значения Штервалу регулярности самих похибок.

Останиё означае, що коли, наприклад, процеси уп 1 гп являють собою суми гармон1к з .н8в1домиыи-ампл1тудами, частотами 1 фазами, то яри наявност! апр!орно1 1нформац11 про деяку иижню частоту, як!й

крзтн1 (з достатньою точШстю) частота "значущих" гармонНс, то 1нтер-вал часу вга.ирювань повинен бути не менший (бажшо С1лыяий), н!ж ие-р1од ц1е! нижиьо! частоти.

Очевидно, що допустимит апроксимувчих фугасцШ в загапьному ви-падку буде досить багато. Необидно сформулювпти кр"тер11 вибору оптималнто1 ДАО l алгоритм 11 знаходження.

Введемо М-м1рний вактор E(L, складений 1L в!.дхилень значень дояко! ДАФ вигляду (43) в!д вим1ряних. значень функцН у('):

en(xn, Ь, д) * y(xn, L, д) - уп. (49)

На мнониш Ч введемо деяку корму в1д вектора в1дзшлень р[Е(Ь,д)J. Тод1 величина

1,(д) = min ЧрС)} (60)

1 ьео(д)

характеризуе точн1сть можливого 1 оптимального в югасичному розум1нн1 наблкжекня значэнь ДАФ до'вим1ряних значень. В1дм1нн1сть крктвр1в (50) в1д загальноприйнлтого п1дходу полягао j ¡яле в тому, що Шн1муь: . знаходиться для допустимих апроксимуючих функц1й, для яких ран Ига знайдена непуста множила д). Принцип1ально новим е запропонований в 191 критер1й 12(д), що.характеризуе м1ру невизначеност1 нев1домих значень ДАФ з вибраною И структурою, тобто "ширину трубки", § як1й знаходиться 1стинна функЩональна зр~.эгсн1сть. Позначимо через L аргу-гумент розв'язку задач1 м1н1м_1зацН в (50) 1 введемо М-м 1 рний^вектор

E(L, д), складений з в1дхилень значень ДАФ в1д значень у(х , L, д): „. - - * п

en(xn, L, д) = y(xn, L, д) - y(xn, L, д). (51)

Тод1 величина 12( д) мокэ бути визначена як

1_(д) = шах {р(Е(Ь, д)П, ' (52)

2 ЬеС(д)

до норма р(") визначаеться, як 1 в (50).

Очевидно, що величину вектора д (з компонентами "нуль" або "одиниця") сл1д вибираги так, щоб забезпечити найменш1 значения кри-тар11в 11 (') 1 1р(/), тобто гарантувати не т1лыш добре наближення до В1ДОИИХ В1га1ряних значень функц1' у('), але 1 добре наближення до нев1домих 1стинних ll значень (що в1др1зняються в1д в1домих за раху-нок похибок вим!рювань). Це означав, що потрЮно розв'язати задачу векторно! оптим1задИ з компонентами 1,0 1 12(") векторного крите-р1ю. Скориставмось стандартним прийомом зведення задач1 векторно! оптим1зац11 до скалярно!. Тод1 розв'язок задач1 апроксимацП в умовах ковизначеност! буде ' ■

д - arg min (1(д) = т11 (д) + (1 -д) 12(д)>,

* Д * • : (иЗ)

L = arg min, (р[Е(Ь,д)),

LeCU) ' ■ 6

де 0 < 7 < 1 — деяний числовий параметр, що вибираетъся з умов комп-

ром1су м1ж вимогами досягнення максимально можливо! точност! наблл-

ження до вим1ряних значень 1 м!н1мально1 м1ри невизначеност1 для .

знайдено1 структури ДАО.

Для досл1дкення властивостей розв'язку (53) розд1лимо всю множи-

ну д.пустимих апроксимуючих функЩй на.деяк1 Шдкласи.

Означения 6. Шдкласом однокореневих допустимих апроксимуючих.

функц1й будемо називати таку Шдмножину допустимих апроксимуючих

. ■ о ,

функц1й, серед яких е одна коранева ДАФ з дояким д * д. а в pem^l ДАФ

у векторах л мютяться компонента piBHl "одиницГ для тих j, для яких

о . ,

= 1, а також деяк1 lmil.o^ = 1.

1ншими словами, коренева ДАФ м1стить м1шманьну к1льк"ггь член1в апроксимуючо! функд1онально1 запежност1, а 1нш1 ДАФ 1з вид1леного п1дкласу отримуються шляхом доповнення в (43) додаткових член!в з öj = 1. Очевидно, що вс1 так1 алроксимуюч1 функцЦ та' -тж будуть допустим!, бо установивши для ьказаних 3, для яких додатково було прий-нято о =1, в1дпов1дн1 1. = О, отримаемо кореиеву ДАФ.- Позначимо

j j "■

множину векторы д для вид1леного п1дкласу через 3). ЗПдно з введении означениям 6 мымо

С(д) £ С(д) V д € а, (54)

зв1дки випливав справедливЮть иаступно1 теороми 191.

Теорема 2. Для Шдкласу однокореневих допустимих апроксимуючих

ф';нкц1й коренева ДАФ забезпечуе м!н1мальне ¡значения критерИо 12(д) J

максимальне значения критерНо 1.(д), тобто о ' о

12(д) < 12(д) 1 I, (д) I, (д) Уде®. (55)

Це означав, що розв'язок (53) для вид1леного itnacy функцШ ^(х) (J = 1,8} буде деяким компгом1сом м!ж зб1льшенням 12(д) I зменшенням 11 ( ) при зб1льшенн1 к1лькост1 члешв апроксимуючо! функц1о..альио1 залежност1 в пор1внянн1 з ц!ею к1льк1стю для деяко1 коренево1 ДАФ. Зв1дси випливаз алгоритм знаходження розв'язку (53). На початку шука-ються допустим! апроксимуюч! функц!! з м!н!мальною к!льк!стю член!в

функцюнального ряду (починаючи з одного 1 ••осгупово зб1льшуючи к1ль-• 1сть, поки не отримаемо ДАФ). При цьому сл1д вид.лити т!льки "ноза-лежн1" ДАФ, в тому сенс1, що з Ц1в1 ФункцИ не можо бути отримана така ж 1нша шляхом "обнуления" частини параметра. "НезаложнГ ДАФ 11риймаються за коренев1 ДАФ 1 для кожного шдкласу шуказться розв'я-зок задач1 (53) шляхом постуногого розширення к1лькост! члошв кожного шдкласу однокороневих ДАФ.» Отримпш розв'язки портшоються за величиною 1(д) 1 в рол! глобального розв'язку (53) на всьому клаш до-пустимих апроксимуючих функшя вйбираеться той, якиЯ забезпечуе шш-мум валичини Г(д) (зг1дно з (53)).

Теорвтичн1 досл!дгеиня иатод1п 1дентиф1к;ц11 1 керування в уио-вах цастохаспгаю1 неиизиачоностГ"длл деяких ¡сл с с ¡а"оЙ 'ект Гв 7 Рост 'л -зання задач! керування об'оттом~^Г~умоинх 1юёгохЪ1:тГг1'ност1П1сг игшачоно-ст1 розОивасться на наступи! етапи:

1) попвредня 1донтифтац1я (пасивна чи актипна) для иизиачоння структури об'екта 1 уточнения множинних о^Пюк Яого параметра;

2) синтез оптимального стаб1л1зуючого керупашш з використанням апрюрних гаралтованих множинних оцпюк збуршь 1 параметра;

3) синтез алгооитмт адаптивного ко])ування, що сум!щають власне процес керування I процедуру |дентиф1каци, в загйльному випадку, як результат розв'язку задач1 вокторно! оптам!зццИ.

Розглянемо спочатку клас статичних об'ектш !з скалярним вихо-дом, що описуються ршня ням вигляду (1) для ш = 1, к = 1 при тдеут-нсст1 X в прав1й частиш, тобто .

ХпИ = <, ип, Ь, гп, п), п = О, 1,2..........(56)

коли вим1рювання виходу здШсншгься' пристроем, функщонування якого описуеться ршшстю (2), тобто

У = (1 + V )Х + 2, П = О, 1, г,... (57)

"п п п п

Задача структурно1 1дентиф!кац11, природно, формулюзться як знаход-ження функцюнально! залежност! у вигляд1

ф(' ) =Д п> + гп. (&>

да - компонента вектора нев!домих параметр!в Ь, а^С) - дея]£1 "опорнГ фуннцН, задан! анал1тично або обчисхлеш таблично длл дот пустимих з.^чень керування

ип € И, (59)

де П - задана обмежена множина. Опис (58), (57) дозволяс застооувати

о

для розв'язку Ц1е! задач 1 результата, Вшсладен1 ранше пр ' розв'язан-

н1 задач1 г грокг.гмацП [91. А сама, при вибор! пэвно1 посл1довност1

опорщпс функц1й <р^С) 1 на основ1 (Ы + 1 )-го вим1р1в отримавмо сп!Ев1дношення

в г* -

3=1 гз1 п' з __(60)

V * (у ,, - а , )<1 + V Г1 - Г , п = О.М, 'п п+1 х п«-1 п.

де а3 - компонента вектора д, р1вн1 "нуль" ' "одшшця" (в1дпов!дно

до .гзибору посл1довност1 "; .

При припущеннях у аигляд1 (46), (47) в1дяосно характеру збурень V , г 1 Г , Оудзко роглядати сп1вв1дновення (60) як систему л1н1йних

п п п

алгебра!чнйх р1внянь в1дносно нев1домих 1 ^ (з а^ = 1) з нев:.значеною правою частиною. Де означаз, що в цьому випадку справедлив1 аналоПч-н1 означения 1 твердження, но 1 для задач1 апроксимаци, а також в!д-пов1дний алгоритм а розв'язання. В процес1 розв'язання задач1 структурно! И нтиф1кац11 одночасно розв'язуеться задача параметрично! 1дентиф1кад11, тобто для обрано! структура визначаються множили! оЩнки нев1домих параметра С И, [21:

Ь € (61)

де шюгаша в розв'язком системы р1внянь (60).

Лема 2. Нехай в систем1 р1внянь {60) (при вибраному вектор! д) матридя коеф1ц1внт1в л1во! частини А = (ч>3(ип)) в квадратною 1 неви-роджено», а т^- стацкзнарний невизначений процес. Тод» розв'язок сис-теми р1внянь (60) (множина $?м) в опуклою багатогранною множиною в простор! що отримуеться л1н1йним перетвореиням опукло1 множили (ба-гатогранника, Що вид1лявться нерШностями в иг ляду (6) для т^) з матрицею цього перетворення А-1.

Справедлив1сть леми достатньо очевидна [123. При цьому, зг1дно з посл1довн1стю вим1рювань, для опису процедура 1д8нтпф1кац11 доц1льно використати р1зницеве р1вняння еволюци множив

еп*1 = СП П 8п+1. е0 п = О, 1. 2,..., (62)

ГО 1 «»

де - апрЮрна оц1нка вектора параметр1в, а - алостерЮрна оц!нка, що отримуеться в результат! виы1ру величина уп+1 з умови виконання сп1вв1дношень (66), (57). Рекурентне сп!вв1дношення (62) в по сут1 р1внянням нел1н1йюго (в силу нел1н1йност1 операц11 перетину множин - П) ф!льтра з пам'яттю. ДоЩльно в!дм!тити, тона в!дм1-

;;у в1д традицШних метод1в розв'язання задач 1донтиф. ,ац11, що дозволять отримувати лише наближем точков1 оцПши параметра, оц1нки ви-гляду (62) в гарантованими в тому cencl, що 1стинн1 значения параметра об'екта, як1 оцшюються в процес! реал1зац11 цю1 процедури 1дон -тиф1кац11, належать множииам ?п [14]. В той же час при довольно ви-браних керуваннях 1 наявносп неконтрольованих збурень отримувши ощшш мокуть виявитися достатньо "грубими", тобто малоефгжтивними. Тому дощльно при вибрашй структур! об'екта реал1зувати режим актив-но1 1дентаф1к щП, вибираючи при цьому корув^.ля з умен, л отримшшя максимально! 1нформац11 про об'ект.

В [15] ДЛЯ Л1Н1ЙН.1х стьгичних oö'sktIb вигляду

*„♦, =I4+fn' п --- О, 1, 2,... (63)

1 при припущеинях про точие вим1рювання хп розв'язувалась задача ви-знвчення оптимального (в деякому сенс!) плану проведоння оксперимен-т!в для уточнения оц1нок параметра. В рол! критер1ю якост! рокуронт-но! процедури 1двнтиф1кац11 використовувався д!амотр множини С M6J, а керування визначалось як розв'язок задач!

min max d И?_.,(Х. 4)1, (64)

и tu х .cor n+1 n*1 n

n n+1 n*1

де di'l - д1аметр спрогнозовшю! множини ? 3fnt) - множила зиачонь вим1рювань, як1й буде належати чорговий вим1р X 1t значения якого залежать в1д вибраного 1^рування Un, роал1зованого значения збурень f 1 ютинного значения вектора параметрш L i i'n-

Досл1джувались ¿>ластивост! оптимального керування при дояких припущэннях про властивост! збурень '1 вигляд множили fl. Зяпроионова-но субоптимальний алгоритм керувшшя процесом 1дентифй<ацИ, який дозглляе суттево, гмекшити обчислювалыи затрата на його роал1зпцш. А саме, вектор U вибираеться колшеарним напряму д1аметра множини t'n 1 максимальним за модулем на множит ü. Доведона теорема п[~о зб1кн1сть цьогс алгоритму 1 отримана оЩнка ивидкосп зб!жност1 при повних умовах [151.

В [12], (181 рочв'язувалась задача синтезу керування в умовах не-визна"еност1 статичними об'ектами вигляду

X , = LTT + 1 ,u + Г , п - 0, 1..........' (65)

П+1 П m*1 п п _

де Гп - вектор лдомих (вим1рюваних) функцШ часу, LT = (L1 .lmtl) -(ш + 1 )-м1рний вектор нов1домих параметра, для яких задана апр1орна оЩнка у вигляд! (3), причому

1 >0. .(66) m-*- *

величина xn вишрюеться точно, а збурення -Г задовольняз обмэконшз

|in[ $ а = const V п >, О. * . (67)

Структуру керувшшя приймеко у в игл яд I

Un = V, + V V : (б8>

Остаточно отримзвмо модаль зй\ашуто1 системи

X , » X +?'?„ + lmtl-5„ + f„. П = О. 1..... (69)

n+ in n ГО+ inn.

дв ,

Г = Г - Г Г = f -f.. (70).

Il n n-1 n n n-1

Прийыемо, що метою кэрувишя e мшш1зац1я ц1льово! функц11

(функц!! локапьних втрат) взгляду

u = X2 ,. (71)

n п+1

тобто будемо розв'язувЕти задачу оптимально! стабиизади системи -(69), а отже 1 (65). Оптимально. стабШзуюче керування иукаеться з розв'язку задач 1 * •

min mai max ix^.J. (72)

fV Пг J

Теорема 3. Оптимальна керуванпя для задач! (72) 1 об'сета (65) . мае вигляд ( 68), дэ Un е корвнам, 1 притому единим, р1вняння .

ï(Un) = О, .'" '. , . \ , \'!3)

дэ _ ^ J _ ^ ' ä • „ , '

vlü ) = rnax(x + LT? + 1 + mln(x + LTf + 1 ^U ). (74)

Let? ■ L€Ö n n

Is /73) 1 (74) для випадку в1дсаих параметра вшшшаз очевидниА оптимальний розв лзок для^и^, при якому горетворюеться в нуль права частина (69), кр1м члена fn. Коли к для когшо! компонента s незя- . леки! 1нтервальн1 оц1ню1, тобто множина, 80 в г1перпаралелеп1педом,. то оптимально Un 1дентичне в!дпов1дному для випадку в1до;як значень параметр^, як1 plBHl середнШ точкам заданих штерватв-оцшок. В загальному випадку оптимальна 0п знаходиться ' чисельно 1з розв'язку р1вняння (73) за допомогою 1терац1йно1 процедури,яка значно спрошу-еться тим фактом, що функц!я <p(Un) е строго монотонно зростачжш £21. Головн1 труднопц тут пов'язан1 з необх!дн1стю розв'.язання на конког.!у кроц! 1терад11 задач1 л1н1йного програмування (зг1дио з.(74)) £133. Зауважимо, що структура керування у вигляд! (68) вибрана зг!дно

з методикою, заиропонованога в С 6 3 для випадку, коли адитивне збурення можна представити як розв'язок деякого л1н1йного р1зницевого р1внян-ня з в1домими коеф1ц1ентами, але з нев1домими початковими умовами. Запропонований п!дх1д до вибо^у структури стабШзуючого зворотного зв'язку С17] е подальшим узагальненням 1 розвитком давно 1 добре в1домого в теорИ автоматичного керування способу побудови систем керування з так званим астатизмом к-*'о порядку.

Для шдвшцення якост1 керування необх1дно в процес1 його реал!-зацП одночасно уточнювати множшш1 од)нки на основ1 вим1рювань,. тобто реал1зувати процедуру 1дентиф)кац11 (62). Зауважимо, що для об'ькта (65) множила являв собою г1персмугу в простор1 парамет-

р1в, "ширина" яко1 прямо пропорц1йна величин1 а в (67). При цьому може бути реал1зований найб!льш простий режим адаптивного керування, коли на кожному кроц1 п1сля вим1ру 1 отримування уточнено! оцШки вектора параметр 1в оцшка з (62) використовуеться в (74) зам1сть 5?0 (а фактично зам1сть ч). Проте в деяких випадках вим1рювання може ви "витись нешформативним в тому сенс1, що покращення ощнки не в1дбулося, .1 маемо

Твердження 2 С2]. Якщо для об'екта (65) при керуванн1 (68), (73), (74), поч1шаючи з деякого п = N. виконуеться нер!вн!сть

VII (76)

то процес 1дентиф1кац11 зупиниться на деяк1й непокращуван1й оц1нц1, що задовольняз (75),

При адаптивному керуванн1 об'ектами з нев1домими параметрами одночасно 1снують дв1 мети: власне керування (напршлад, оптимальна стаб1л1зац1я) 1 уточнения оц1нок параметра об'екта (1дентиф1кац1я). "Ьму в загалыюму випадку якють адаптивного керування може бути об'ективно оцШена лише за допомогою векторного критер1ю якост1 121, [183:

(77)

=

де - скалярна функц!я, що оцГиюе власне. динам1чн1 якост1 системи, а ып - скалярна функц1я, що оц1нюе як1сть розв'язання задач1 1денти-ф1кац11 (при цьому оц1нки максим1зуються по невизначених факторах).

Задачу векторно! 9птим1зац1! можна замШити задачею скалярно1 оптим!зац11 вигляду

min £u(n) « сш + (1 - a) u . 0 !S а < 1). (78)

г CÜ V

n ^

В залежносп В1д значения а оудэмо роэр13няти три режими роботи син-тезовано1 системи керування 12):

t) о. = 1 - режим оптимально! стеошза" ü (кроування знаходиться з умови ШнМзацП Т1льки функцИ локальних Втрат);

2) а = 0 - решил активно! 1дэнтиф1кац11 (керування знаходиться з умо: л м1н1м1зац11 т1льки функцН wn);

у 3) 0 < а < 1 - режим льного керування, в якому на основ! досягнутого компроШсу одночесно здШснюетьсл '¿ебезпечення штереси стаб1л1зац11 1 адаптацЦ.

Мокливий 1 1НШЙ п1дх!д до Естановлешш когшромюу Штересз, коли оптимальна керування знаходиться з укэви мШ1м!зац11 одшв! з компонент критер1ю (77), а 1з анал!зу lHsoi компонента визначаються лише додатков1 обыекення на керування при розв'язанн! Ц1в1 задач 1 м1н1м1зац1:.

Означення 7. Система, то складаеться з oö'eiira (1), вим1ршаль-ного пристрою (2) 1 керуючогс пристрою, що сиктезуе керування з допустимо! обласп вигляду (12) на ochobI вим1рювань, Шформаца про збурення у вигляд! ощнок (7) 1 оцШок вектора парамэтрШ сЗ'екта вигляду (3), що уточнюоться у в1дпов1дност1 з рекурентнои процедура» 1дентиф1кацН вигляду (62), називавться слабо адаптивною по в1дко2ш-ню до критерш (77), якщо 1снуе такий момент часу п = п,, що викону-ються нер1вност1 .

un < uO- "n < "о Vn>"n,. (Т9)

Озу-зчення 8. Адаптивною будемо казивати таку слабо адаптивну систему, для яко! у в1дсутност1 неконтрольованих збурень внконуеться

умова . _ ■ .

lim ы = 0, lim 2 = 0. (80)

Пх» П*кя п

Означення 9. Сильно адаптивною будемо називати таку вдштгавну систему, для яко! друга 1з умов (80) виконуеться 1 при наявност! неконтрольованих збурень.

Викладений п!дх1д використовувався для синтезу адаятишого керування р1зними класами oö'sktIb i16]-[21]. В роботах С191, [201 розглядались л1н1йн1 динам1чк). об'екти, зокрема нестШкГ 1 нэм1н1-мально-фазов!, а в робот! И") 1 так!, що м1стять чисто зап!знювання.

Hcbi результата для raix аналопчш отримаиим для статичиих об'ек-.тш (отрлмаш аналоги теореми 3 про оптимально квл /вання, о такоа твэрдяэння про влзстивост1 замкнуто! адаптивно1 системн керування). В роботах [161, [21 ] розглядалась задача адаптивного керування екстре-¡¿алышм оО'ектсм, що складазться з лшшно! сташонарно! динач1чно! частзшн з пЗдомголи параметрами i вж.ирвзача значень квадратично! функцЦ локальных втрпт з иэв1домими параметрами (в загальному випадку нестгщопаршши, ало з обмокеною пшвд<1ста Lx змиш).

В [22] були введет мотематичШ модол! об' ектю у вигляд1 матрич-н;я рйшщэыа рйзнянь, сналоПчшк по Форш ч 1), апэ з аЦщовипшми матрице» стену об'екту Xn 1 матрицея коруваши Un- Наприклод, до цього класу плюхать матричш ПърацШП алгоритми розв'язшшя дискрепшх гдатрэтних рйзпянь Ляпунова, Р1ккзт1 1 1х узагапьнень [23] (г>зуважкмо, що узагапьнеанл р!впягош Р1ккат1 було Enepue отримане в Í 5 ], 14)). До зпк також вЗдпосяться мотричш алгоритм!! керування спектралышми ха-рзктеряопжз!,!и. випадюпих ггрсцасш Í24] ¡28). В (2J наведено метод оштазу адйптлЕШпс нлтретшк ЗторсцШннх алгоритмш керування такими об'шстами для випадку, коли в!дсм1 множинш оцппш елементш матриць lx napav.eTpiB.

Задача оптимально! СТЕбШзацй на основ! фугесци локаяьних в.^ат (обо в пор1внянш з еталошюя коделлю (191) узагачьнювалаеь на виладок оц1ш(и якост! диначши системи за допомогс» сумарного функцю-нзлу [343.

Проблею! дискретного корувв;шл за допоиогсэ oocoOIb цкфрово! тохниш неперзрзти рухса дкнаи!чнаго со'с¡сто. ик внТ1зЖш;ШлошГ ра-ЩЩ розгляд * катемэтично! модел1 oo'acrln у вигляд1 (1) зумовлвний злстосувшщям обчиалювально1 тохшки для решпзаш систем керування, коли вш.нрювашя 1 змпь. керування здШснюються в днскротш момента часу (17], [293-1333. Як;до для лшШпих систем 1з зосоредженими параметрами ця побудова здШсшозться Шдносно просто [293-Г313, зокрема 1 при нзявност1 в об'ист! чистого зап1знення (173, то для систем з розпод!лешши параметрами все злачно ускладнивться 1321.

Розгллнемо той илос об'ект1в з розподьтениш! параметрами, рух

яких при t > t (t = nT - момент часу початку n-го такту керування, п п

Т - триваИсть такту керування) опксузться 1нтегралышм р1вгянням ви-гллду

"и „

х(й, г) = ; а(И, р, I - хп) х(р, гп) ар + мн, х) +'

р (81)

ч I Ь(Н, р, г - т) и(р, -с) йрйх, к е т,, \ ^

де х(И, X) - скгчярна двом1рна функц1я, що характеризуе ?ац об'екта; и(Ч, I) - розпод1лене скалярне керування; \(Н, г) - {зозподшне зовн1шнв неконтрольове :е збурення; а(И, р, t - Хп) 1 Ь(Н, р, г - т) -скаляря1 ядра 1нтегральних перетворень; Р>1 1 - двяк1 числа. В р1в-нянн1 (81) функц1я х(р, гп) (Р е (И,, й^]) характеризуе стан об'екта

в момент часу X ( х(Я, О) = х(0>(Н) - почетксвий стан об'екта ), а х(Л, г) (1 > Не ГИ1, 1?н)) - подальший стан об'екта в процес! ¿.у-» ху. Зауважимо, що це рШняння в адекватною мотематичною моделли 'дипа-м1ки р1зноман1тних об'ект1в керування з розпод1леними параметрами, зокрема при керуванн1, наприклад, тепловими 1 дифузШними процесами. Воно може бути формально представлэне у вигляд1 зм1ааного двом1рного 1нтегрального р1вняшш Вольтерра-Фредгольма, з обмеженою областю зм1-ни просторового аргументу И 1 необмеженою областю змши часового аргумент; X, якщо викориотати п1д знаком подвШного .лтеграла ядро, що м1ститиме двльта-функЩю вигляду о( т - гп).

Припустило, що цифрове розпод1лене керування мае вигляд

иш, I) = ип-й(И) при г € (хп, гп+1з, ^ = пт, п - о, 1, г..... (82)

де и(И) - деяка задана скалярна функц1я просторового аргументу, що

може ..дстити в загальному випадку дельта-функц11, але така, що 1снуе

обмежена функц1я „

т ^ ~

Ь(й) = I / Ь(Я, р. Т - х) и(Р) (1рйх, (83)

о и,

а ип - власне дискретне керування, посПйне на 1нтервал1 дискретн'хт .

за чесом (1;п, ]. Тод1 отримаемо 1з (81), що при ^ = 1;п+1 ^ „ г

Х(й, \+1) = I а(Л, р, Т) х(р, у Чр + Ь(Н) цп + х(В, 1п+1). Позначимо

хп(Ю - гп), хп(Я) - \(Н, гп+1). (84)

Тод1 отримаемо 1нтегрор1зницеве р1вняння, що в точною математич-ною моделлю процесу керування об'ектом з розпод1леними параметрами (81):

xn+1(R) = / a(R, p. T) xn(P) dp + b(R) t^ + *n<R). n = 0. 1,2.....

** roi <85>

R € [R,. R„}, X0(P) => X (p), p € (R,, RjjJ.

3 (85) видно, що знания початкового стану оО'зкта х10)(р) 1 зОурення \n(R) дозволяв для заданих а(') 1 bС) розрахувати по-дапьший рух оО'екта, залежно в1д значень дискретного керування un (п = = 0, 1,2,...). Це означав, що можна став и та задачу знаходжання тако1 посл1довност1 керувань и , що<5 перевести оО'ект з в1домого початкового стану x(R, tn) = x"^(R) в 1ншиЯ стан x<2)(R) з заданою точШстю. В [321 доведено тверждення про умови керовш cti такого оО'екта, ана-лог1чн1 твердженню про кероваШсть цифрових зачкнутих систем для ви-падку об'ект1в з зосв}.еджеь.1МИ параметрами.

Будемо вважати, що в оО'екта (81) в скалярниП вих1д y(t). якиЛ вим1рюеться в дискрета! момента часу t = t (п = 0, 1, 2,..), 1 зв'я-зок м1и дим виходом 1 функцию стану оО'екту задаеться штегральним

сп1вв1дношенням *»

y(tn) = ; с(р) х(Р, tn) dp *■ 4><tn), n = 0, 1,2..... (86)

"i

де c(p) - ядро данто сшвв1дношення, що в загальному випадку mi стать дельта-функц11, a >c(tn) - скалярш похиОки вимфювань. Тод1, при В1д-сугносп шум!в ('4>(tn) = О 1 MR, t) я 0), можна ставита задачу про в!дновлення з достатньою точШстю функцИ стану системи х(Н, tn) (R € (П1, R^) по вимц ших в дискретн1 момента часу значениях скалярного виходу y(tn) 1 в1д0мих керуваннях un на вход!.

В £32] Оули всгановлен! умови розв'язання дано1 задач 1, анало-г1чн1 твердженню про спостережуваШсть цифрових замкнутих систем з зосередженими параметрами.

Точна математична модель системи у вигляд! 1нтегрор1зницевого р1вняння (85), що огшсув рух оО'екта (81) (в дискротн1 момента часу) п1д д!ею керування (82), спШьно з 1нтегралышм сп1вв!дношеш1чм (86), що гтлсуе формування скалярного виходу оО'екта з розпод1леними параметрами, е досить складна 1 II важко Сезпосередньо використовувати для розв'язку конхрчтних задач керування. Тому дощлыю використати набликеш апроксимац1йн1 модел1, що дозволяють отримата опис у ви-гляд1 системи звичайних р!зннцевих р!внянь.

Для цього спор'чу використасмо методику представления роз'язку у

вигляд1 функЩоналыюго ряду. Справедлива наступна теорема {321.

Теорем, . 4. Нмхай параметри об'екта (81), Його початковий стан, д 1юч1 на нього зоурення 1 просгорова структура цифрового розподШжо-го коруванля так1, що справедлив1 сп1вв1дношення

xQ(R) = 2 V.o*i(R)' R € lRi' V» го = const'

v m- —

i a(R, р. T)93(p)dp aljtPl(R). . = 1 ,m, R e (R,, í^l, R, * = 1 *

(87)

«1

Ь(й) - Дь^Ю, Р € 1Н,. V*

хп(й) =Д^.„^(Н). И е [И,,

да 0, а1;), (1,;) = 1,1В) - деяк1 константа; л.1п(1 = 1,ш) - деяк1 функцИ дискретного часу, а ч>1(Н) (1 = 1 .и. И € (й,', Р^З> - деяка по-сл1довн1саъ функцШ. •

Тод1 функц1я стану об'ектя (81) при цифровому керуванн! (82) в дов1льний дискретний момент часу г = може бути представлена у ви-

гляд1 га „

*П<Н> =,2 ^.„^(й). (88)

де х (1 = 1,ш) - функцИ лише дискретного часу, що задовольняють систем1 звичайних р1зницевих р1внянь ,

*1.п*1 + ЬА + п = 0, 1, 2..... 1 = 7Я (89)

а скалярий вимфюваний вихщ, що формуеться. зпдно з сп1вв1дношенням (12), набувае вихляду

тп — »v

уп =ДсА.п + V

с = / с(р )(р. (р) йрш 191)

■н,

Зауважимо, що, як випливае з другого сп1вв1дношення в (87), фуик-ц11 (И) ^е в загальному випадку л1н1йними комб1нац1ями власних функцШ ядра а (И, р, Т). Тому для застосування Ц1е1 методики необх1дно, щоб Щ власн1 функцИ складали таку п 1л1довн1сть, що побудований на И основ1 функцЮнальний ряд за допомогою вибору коеф1ц1ент1в цьо-го ряду бути добрим наближенш дов!льно! функцИ з деякого класу на

1нтервал1 СИ,, й^!. В б!льшост1 випадк1в умов/ (87) виконуаться для .ткшченних ш лише наближено, а тому модель 189), (_ 0) е наблиаоною апроксимацШною 1 синтез на И основ1 в вт1ленням вщомого принципу керування першими "модами" об'екта з розпод1леними параметрами.

ДругиЯ метод отримання аЛроксимащЯно1 модел1 використовуе зам1-ну в (85) Штеграла скШченною сумою

Г а(Н

Р. Г)

хп(Р) ЧР

• Е

^=1

а«Хп<Н*>'

1.Н.

(92)

де 1^(1 = 1,11) ; ф1ксован1 точ)си на штервал^.й,, (^обто вузли 1нтерполяц11), а13 - коефщмнти, запеип вщ а( :!1, Р, Т) 1 вигляду формули, що застосовуьться для нобликеного обчислення визначеного Штеграла (формул прямочутникш чи трапецт, С1мпоона обо Шш.; (И - 1) - число пШнтервалШ, на я«1 розбиваеться 1нтервал [Я , И^) (в загальному випадку Ш пром1жки мокуть бути нершними, зокрома на основ1 апр1орно1 ШформацП про ступшь нер1вном1рност1 за простором функц11 стану даниЯ 1нтервал моке бути подиюний на дек1лька П1д1н-тервал1в, в кожному з яких використовуеться свШ крок штегрування).

При цьому аналопчно здШснюються зам1ни в (86): - м

; с(Р) х (р) йр - ^ г.х (и ), (93)

К, п 1=1

а отке.

'Д с1*п(Н1> + V

(94)

що залехать В1д с( р) 1 витляду формул, що засто-совуються для наближеного штегрування. Ввахоеться, що в (92) 1 (93)

де с1 - коофщшнти.

використовуються 0ДН1 1 Позначивши

а а вузли штерполяцИ ЯЛ! » 1,Н).

х, = х (Я.)» 1,п п 1

Ь± = Ь(П1),

.(Н,).

(95)

перейдемо до системи р1зницевих р1внянь, що являть собою апрок-симацйну модель руху системи (321.

феорема 5. Нехай для деякого класу функцШ хп(П) (И е 1Й,. И,, 1). ядер Штегральних сп1вв1дношень а( Н, р, Т) в (85) 1 с(р) в (86) при конкретному вибор1 в"эл1в 1нтерполяц11 Н1 € СН,, (1 « 1,Н) 1 ви-гллд! формули, що застосовуеться для наближеного обчислення визначе-

нпх штеграл1в в (92) 1 (93) (тоОто при певних значениях коефЩ1внт)ч аи 1 с13( = ' ,М)). сШввщношення (92) 1 (93) виконуються з достат-ньою точшстю, ршном1рно на видШеному клас1 функ'уй х^( И).

Тод1, якщо початковий стан 1 параметри об'екта керування, збурен* ня 1 множина допустимих керувань (що викорлстов; эться при синтез 1 в подальшому) так1, що розв'язки 1нтегрор1зницевого ршняння (85) належать даному класу функц1й, то перехщ системи в1д п-го до (п+1 )-го стан> з точшстю того ж порядку описуеться с..:ггемою шзницевих р1в-НЯ1>^ вигляду

N > ^ _

=л а±Л.» + V« + Ч.п- 1 ' 1'М. П = 0. 1. г.....

■ (96)

N

Уп «!*!.„ + V »1.0 = *'°Ч>» Н, € "V V'

де фазов1 координата х± п. введет зпдно з (95), утворюють К-м1рниЯ вектор стану систоми. •

Важливою проблемою при гинтез1 цифрового керування в виб1р оптимально! частота квантування за часом. В (293 на приклад1 задач1 Л1Н1Й-но-квадратичного синтезу досл1джува :эсь залежшсть якост1 керучання в1д тривалост1 такту керування - Т, було здШснено граничний пере-х1д - Т «■ О (при цьому дискретна матричне ршняння Р1ккат1 перетворилось в звичайне матричне р1вняння Р1ккат1). Показано, що кр1м вимоги м1н!м1зац11 затрат екергетичних ресурс1в на здШснення предесу керування, суттевим е також 1 вимога м1н1м1зац11 "1нформац1йних" витрат на керування, пов'язаних 1з зб1льшенням навантаження на обчислювальну техн1ку\що реал^уе алгоритм керування) при зменшешп Т.

В робот1 (30] була викладена методика розв'язку проблеми струк-турних обмежень, коли не вс1 компоненти вектора стану вих!дно1 модел1 об'екта доступн1 для безпосереднього вим1рювання 1, отже, не вс1 можуть використовуватись для формування керування. Було запропоновано при складанн1 математично1 модел1 у вигляд1 р1зницевих р1внянь виби-рати такиЯ вигляд фазового простору, щоб вектор стану був склвдений лише 1з значень вим1рюваних координат в р1зн1 момента часу, тобто ви-м1ряних як у розглядуваний момент часу, так 1 в попередн1 момента. Ран1ше вим1рян1 значения координат г.^ и цьому можуть збер1гатись в запам'ятовуючому пристро!.

ВИСНОВКж!

Таким чином, започатковано 1 сформовано новий науковий напрямок в теорП адшггивннх систем керування 1 прикладнШ мотематиц1, а такой отриман! вазслив1 прикладш результата для задач керування за допомогоы цифрово! техн!ки р1зноман1тними класями об'скт1в. При цьому можнм ви-д1лити так1 основн1 результата.

1. Розроблено новий н1дх1д до постановки 1 розв'язшшя задач тио-рИ керування 1 прикладно! математики, що грунтуеться на теоротако-мнокинних моделях невизначоносп. Вперше (в ' 979 р. в (гНвавторстШ з В. М.Кунцевичем) запропоновано 1 використано м"оиинш оц1нки параметра об'екта 1 збурень гля р зв'язку задач 1дентиф1кацИ 1 керування.

2. Введено формал!зоване означення понятая нввизиаченого проце-су, що викоуистовуе мнотшнн! оцИки Лого значонь в р1зн1 момента часу. При цьому використаш ст1Пк1 характеристики нбвизшшоного процесу, аналоПчн! такт характеристаш випадковог пронесу, як кореляшйна функтя.

3. Введено означення розв'язку систем лНПШшх алго0ра1чних рт-нянь як множинн в простор! зм1нних, коли для к00фщ1ш1тш 1 право1 частини системи за,, ли лише анрюрш ощнки у вигляд1 мнокин в прссто-р1 параметра. Розроблено конструктивний алгоритм знаходження цього розв'язку.

<1. Розв'язана в н'В1й постановц1 класична задача прикладно! ма-- тематики - задача апроксимацН числових да них функцюнальним рядом.

5. На основ1 запропонованого формал!зму разрешена методика структурно! 1дентиф1кац11 об'ект1в керування (тобто вибф к1лькост1 1 складу членш функцюнального ряду в задач1 апроксимацН).

6. Розроблеш мото; ' парамотрично! дантифШацИ 1 адаптивного керування з викорнстннням множшших оцшок новизначених »Дикторш. На основ1 запропонованнх мотоднз розроблена методика побудови алгоритм керування, як1 дозволяють отримувати гарантоваш результата нэнггь при . дйгфших екетремальних обставинах.

7. ПобудовшП бфективн1 алгоритми 1донтиф1кац1! 1 керування в умовах невизначеносп для статичних 1 лПИйних динам1чних об'ектт, а такой об'ект1в екстремального керування.

8. Вв"цен1 митематичш модел1 об'ект1в у вигляд1 матричних р1з-ницевих р1внян', де _1гурують матриця стану 1 матриця керування. Для такого класу об'ектШ розроблен! метода сштзу матричних алгоритма

керування.

9. Побуд~ваш матоматачш модел1 дискретного керування динам1ч-ними об'сктами з чнитим зашзненням 1 з розподЫюними параметрами, досл1дкена 1х керовашсть l спостережуваШсть, розроб.).'н1 методики по-будови спрощених апроксимуючшс математичних моделей замкнутих систем такого типу.

10. Запропонована методика вибору величини тривалост1 такту цифрового -чрування 1 розв'язання проблеми структ^рних обмекень на вим1рю-вання вектора стану динам]чногс об'екта.

OchobhI результата дасертацИ опублйсовии в наступим роботы.

1. Кунцевич В. Ы., Лычак М. М. Об оптимачььом и адаптивном управлении динамическими о&ьектами в условиях неопределенности //Автс 'атака и телемеханика. - 1979. - A3 1. - С-79-88.

2. Кунцович В. Ы., Лычак Н. М. Синтез оптимальных ы адаптивных систем управления. Игровой подход - Киев: Наук, думка, 1935. -245 с.

3. Kuntzevtch V.M., Lychak Ы.Ы. Guaranteed Estimates Adaptation and Robustness In Control Systems. - Berlin: Sprln.' - Verl., - 1922. -209 p. - ( Lecture Kotes in Controle and Information Sciences,

X 169).

4. Кунцевич В.M., Лычак M.M. Об од;, jfl игровой задаче управления и синтезе субоптимальных дискретных систем управления нелинейными объектами одного класса //Автоматика и телемеханика. - 1975. - & 11.. -С.45-51.

5. Кунцэвич В.М., Лычак М.М. Синтез дискретных систем управления при постоянно действующих ограниченных по модулю возмущениях // Автомртика и телемеханика. - 1977. - Jí 9. - С. 58-67.

6. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. - м.: Наука, 1977. - 400 с.

7. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Об оптимальном управлении динамическими объектами в условиях неопределенности //Автоматика. - 1978.- № 4.-С. 35-45.

8. Лычак М.М. Обобщенная дисперсионная функция случайных возмущений и множественные оценки значений шумов //Автоматика. - 1987. - J6 1. -С. 31-36.

9. Лычак М.М. О решении задачи структурной параметрической идентификации (дискретной аппроксимации) в условиях неопределенности //Автоматика. - 1990. - JÉ 6. - С 72-77.

10. кунцевич В.М., Лычак М.М. Разностные уравнения эволюции множеств

и устойчивости их решения //Докл. АН СССГ - 1982. - 269, А 3. -С. 547-549.

11. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Элементы теории эволюции множеств и устойчивости этих процессов //Кибернетика. - 1983. - Я 1. -С. 105-111.

12. Кунцевич В. М., Лычак H.H., Никитенко A.C. Решение системы линейных уравнений при наличии неопределенности в ее обеих частях // Кибернетика. - 1988. - JS 4, - С. 47-52.

13. Лычак М.М. Итерационный алгоритм решения задпчи линойного программирования //Автоматика. - 1990. - Ji t, • С. 42-54.

14. Кунцевич В. М., Лычак М.М. Получение гаранлфованннх оценок в задачах параметрической идентификации //Автоматика. - 1982. - Ji 4. -С. 49-59.

15. Кунцевич В. М., Лычак U.U., Никитенко A.C. Активная идентификащ1я параметров линейного статического объекта {игровая задача планирования эксперимента) //Автоматика и телемеханика. - 1987. - й 9. -С. 68-76.

16. Кунцевич В.М.,Лычак U.U. Игровые системы адаптивного управления //Кибернетика и вычисл. техника. - 1382. - Вып. 56. - С. 3-13.

17. Лычак М.М. Цифровое управление линейным динамическим объектом с запаздыванием // Там »е. - 1990. - Вып.87. - С.39-46.

18. Кунцевич В. М., Лычак М.М. Адаптивное управление статическими объектами с неизвес чыми и переменными во времени параметрами // Там же. - 1981. - Еып. 53. - С. 31-39.

19. Кунцевич D.M., .Гычак М.М. Адаптивное управление линейными не-устойчивими и неминимально-Фазовыми объектами //Автоматика и телемеханика. - 1985. -.4 2. - С. 108-117.

20. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез оптимального управления динамическими объектами с неизвестными параметрами //Автоматика.- 1980. -15 2. - С. 22-32.

21. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Экстремальное управление объектами с нестационарными параметрами //Кибернетика и вычисл. техника. -1986. - Внп.71. - С. 28-33.

22. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Анализ и синтез систем управления, описываемая одним классом разностных матричных уравнений //Автоматика и телемеханика. - 1980. - й7. - С. 78-86.

23. Куицович ь.М., Лычак М.М. О решении дискретных матричных уравне-

ний Ляпунова, Рнккати и их обобщений //Кибернетика. - 1980. -а з. - г. 13- i е.

24. A.c. 7638-17 СССР, ЫКИ G 05 В 11/00. Цифровой регулятор / В.М.Кунцевич, М. М. Лычак. - Опубл. 15.09.80, Бюл. JG 34.

25. Лычак М.М., Зелык Я.И., Борисенко А. И. Матр"чный алгоритм управления при наличии ограничений на управляющие воздействия //Кибернетика и вычисл. техника. - 1985. - Вып. 67, - С. 46-47.

26. С: 'димость матричного стохастического е горипла управления статическим объектом при огра лчениях на управления /А. И. Борисенко,

Я. И. Зелык, В.М.Кунцевич, М.М.Лычач //Автоматика. - 1985. -»г. - С. 43-51.

27. АСУ акустическими испытаниями /А. И. Бориоонко, Я. И. Зелык, В.М.Кунцевич, М.М. Лычак //Управляющие системы и машины. -1937. - » 4. - С. 115-119.

28. Матричные алгоритмы управления и идентификации в системе воспроизведен" я спектральных характеристик случайных процессов /А. И. Борисенко, Я. И. Зелык, М.М. Лычак, А. И. Савенков, В. iL Яковлев //Автоматика. - 1991. - Ji 1. - C.v 8.

29. Кунцович В.М., Лычак М.М. Синтез оптимального управления, реализуемого на ЦВМ, и выбор оптимальной частоты квантования пи времени //Автоматика и телемеханика. - 1980. - Ji 5. - С. 57-64.

30. Кунцевич В. М., Лычак М.М., Сукенник A.A. Об одной математической модели дискретных систем управления, снимающей проблему структурных ограничений //Кибернетика и вычисл. техника. - 1980. -

Вып. 49 - С. 19-23.

31. Личр-: М. М. Математические модели процесса цифрового управления динамическим объектом //Там ке. - 1989. - Вып. 83. - С. 14-22.

32. Лычак М.М. Цифровое управление объектами с распределенными пара-мэтрами //Автоматика. - 1989. - Я 4. - С. 3-10.

33. Бровдий Н. К., Лычак М. М., Платова Е. Л. Математическое описание управляемого процесса нагрева //Кибернетика и вычисл. техника. 1989. - Вып. 83. - С. 86-90.

34. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Управление в условиях неопределенности

(синтез адаптивных систем управления) //Автоматика.- 1987.- JS 5. -0.16-26.