Синтез и анализ оптимизационных моделей планово-профилактических ремонтов комплекса машин на ограниченном интервале времени тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

00-2 32

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УЖ 519.873

РОГОВ Александр Александрович

СИНТЕЗ Я АНАЛИЗ ОПТИМИЗАОДОННЫХ МОДОЕЙ ШШЮБО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКИХ РЕМОНТОВ КОМПЛЕКСА МАШИН НА ОГРЯйШЕШОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ

01.01.09 - математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1991

Работа выполнена на кафедре прикладной математики к кибернетики Петрозаводского государственного университета.

Научны® руководитель: доктор технических наук, профессор

ЧЕРНЕЩШЙ Владимир Ильич.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

ЗУБОВА Александра Федоровна;

кандидат физико-математических наук КИРПИЧНИКОВ Борис Константинович.

Ведущая организация: Белорусски® государственный университет.

Запита состоится " № " й 1992 г. в часов

на заседании специализированного совета К-063.57.16 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 190004. Санкт-Петербург, В.О., 10-я линия, дом 33, ауд. 83.

С диссертацией: можно ознакомиться в научной библиотеке университета ( г.Санкт-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9 ).

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просьба присылать в 2-х экземплярах по адресу: 193904, Санкт-Петербург, Пэтродворец. Библиотечная пл., С.-П.ГУ, факультет ПМ И ПУ, ученому секретарю специализированного совета Горьковому В.Ф.

Автореферат разослан - 23 « 19Э£_г.

Ученый секретарь

специализированного сопета В.Ф Горьковой

- 3 -

; Общая характеристика работы

'Актуальность теми. Одним из наиболее сложных и в тоже время наиболее ваших направлений в математической теории надежности - обширной и самостоятельной ветви прикладной математики, является решение различных оптимальных задач- Среда этих оптимальных задач одной из наиболее важных является проблема организации проведения планово-профилактических ремонтов (ППР) различных машин и механизмов. Своевременные и целесообразные по глубине и объему профилактические работы позволяют без дополнительных капиталовложений получить существенную отдачу, выражающуюся в увеличении объема выпускаемой продукции при сокращении эксплуатационных, затрат.

Этой проблемой давно и небезуспешно занимаются советские и зарубежные специалисты (Каштанов В.А..Зубова А.Ф.,Варлоу Р., Пропан Ф. и другие). Среди всех публикаций по данной проблеме основное внимание уделено случаю одной машины и бесконечному периода- планирования. Имеется всего несколько работ, где рассматривается конечный период планирования (Барлоу Р., Прошан Ф., Герцбах И.Б.). Случай комплекса машин представляет интерес только тогда, когда имеется ограничение на средство обслуживания, иначе вопрос решается для каждой машины в отдельности. Этот случай для бесконечного периода планирования рассматривали Бэрзилович Е.Ю. и Воскобоев В.Ф.

В доступной автору литературе случай конечного периода планирования для комплекса машин с ограничением на средство обслуживания не рассматривался, хотя он имеет большое научное я прчкгаческое значение в химической, целидозно-еукзгаой промышленности и других отраслях народного хозяйстьз.

Основной целью диссертационной работы является разработка и исследование научно обоснованной и практически реализуемой математической модели задачи планирования ППР комплекса машин на ограниченном интервале времени при ограничении на средство обслуживания с учетом полной информации о законах функционирования машин.

Научная новизна. Основные результаты диссертации таковы:

- построена новая математическая оптимизационная модель проведения ШР для комплекса машин, специфической особенностью которой являются конечный период планирования и реальный учет ограничений на средство обслуживания^ В качестве критерия оптимизации предложена и реализована математически максимизация среднего суммарного дохода предприятия при учете потерь из-за аварийных простоев машин, расходов на сверхурочные работы по ликвидации аварий и затрат на ППР;

- проведено аналитическое исследование полученной на основе модели проведения ППР оптимизационной модели для ряда частных случаев, а именно: комплекса, состоящего из одной машины; комплекса при фиксированном количестве ШР; комплекса, когда функции восстановления каждой машины линейны; комплекса, когда функции восстановления каждой машины имеют квадратичную зависимость на некотором фиксированном промежутке 10,г);

- предложен оригинальный численный метод решения задачи планирования профилактических работ с фиксированным числом ППР и выпуклой функцией восстановления каждой .машины на рассматриваем;1!.! промежутке;

- доказач ряд зшрактеризационных теорем для функций вое-

становления;

- предлагаемая оптимизационная модель и соответствующий численный метод внедрена в промышленное производство.

Основные положения методики исследований. При построении и исследовании оптимизационной модели задачи планирования ЛПР комплекса машин на ограниченном интервале времени использовались метода математической теории надежности и исследования операций, в частности, теории восстановления, линейного и нелинейного программирования, интегральных уравнений и операционного исчисления.

Программа исследований содержит следующие этапы:

- формулировка критерия оптимальности и разработка его аналитической структуры, позволяющей выразить в численном виде количественные показатели результатов работы машин и обслуживающего персонала на основе имеющейся или легко получаемой исходной информации;

- разработав системы математических зависимостей между исходными и результативными показателями, адэкватно отражающими реальную действительность (разработка соответствующей математической подали);

- исследование математической модели с целью математической постановки задач, разработки соответствующих алгоритмов и программ для их решения на ЭВМ;

- исследование и разработка систем прикладного математического обеспечения, предназначенного для автоматического решения комплекса задач, обеспечивающего расчет оптимального гргфша ШР и ряда вспомогательных задач в реальном масштабе времени, то эегь необходимо, чтобн математическое обеспечение

позволяло получать необходимую информацию в приемлемые для производства продукции сроки;

- coop статистической информации о работе комплекса машин и идентификация некоторых числовых характеристик математической модели функционирования каждой машины комплекса.

Следует отметать, что наряду с аналитической формулировкой адэкватного критерия оптимальности и ограничений, отражающих достаточно точно реальные условия, наибольшие математические трудности решения указанных выше этапов представляют: исследование уравнения восстановления и решение сметанных задач нелинейного программирования большой размерности с ограничением типа "либо-либо", а также разработка алгоритмов и программ для ПЭВМ.

Практическая ценность. Разработанная оптимизационная модель задачи планирования ППР в случае ее внедрения в производство позволяет экономить время инкерено- . техническому персоналу ремонтной службы предприятия и увеличить выпуск готовой продукции без увеличения ее стоимости.

Реализация работ в промышленности. Реализация собственных теоретических разработок в виду многоплановости поставленных задач исследования осуществлялась автором при участии группы преподавателей кафедры ШаК Петрозаводского университета под руководством профессора Чэр-нецкого В.И.

Предложенная оптимизационная модель и численный алгоритм' поиска приближенного решения Оили применеш: в программном модуле "1~рафик ГШ? (месячный)" программного комплекса "АРМы ог~-, дола ОГМ", который разрабвтшшлся д.'»! п/о "Сегежабумпром" выше

названной группой и бил сдан в опытную эксплуатацию в 1991 г, что подтверждено актом о внедрении (см. прилокеше).

Сданный программый модуль позволил сократить отказы систем механизмов, снизить потери- фонда рабочего времени , увеличить объем выпуска продукции и улучшить организацию труда ин-жонерно-технического персонала ремонтной службы.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на научном семинаре кафедры ШиК Петрозаводского ГУ (г. Петрозаводск 1991 г.), на международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (г. Москва, МГТУ, 1991 г).

Публикация работы. По материалам диссертации опубликовано 4 печатных работы и еще две по смежным вопросам.

Структура и • о б ъ е м работы. Диссертационная раОота состоит из введения, четырем глав, выводов но каждой главе, заключения, списка цитируемой литературы, содержащей 38 наименования, и приложения. Объем диссертации составляет 95 страниц машинописного текста, включая одно приложение.

СОДЕРЖАНИЕ РА Б ОЩ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируются основные требования к математической модели планировать ППР комплекса мааг.ш и реализуемой стратратегии ППР, дается анализ современных представлений по проблеме планирования ППР, приводится аннотация работы по Iлавам, формулируются основ!ше результаты работы,выносимые на за-

щиту.

При построении математической модели были сделаны следующие допущения:

- в базовом варианте модели предполагается, что комплекс обслуживается одной ремонтной бригадой, которая может одновременно осуществить профилактический ремонт не более чем на одной машине;

- планирование осуществляется для заданного конечного интервала длины Г (период планирования) и считчется, что в начальный момент все машины находятся в работоспособном состоянии;

- время аварийного восстановления кавдой машины не зависит от числа к времени предшествующи аварий;

- длительность проведения профилактического ремонта постоянна для каждой конкретной машины, но может быть различной для разных;

В основу модели автором положена следующая стратегия ППР: в случае отказа какой-нибудь машины из комплекса аварийная машина сразу подвергается аварийному восстановлению силами обслуживающего персонала без использования ремонтной бригады и без изменения срока начала очередного ирофилактического ремонта, который осуществляется в заранее фиксированный, оптимально выбранный момент времени. Такая стратегия ППР применяется на рядо предприятий при эвристическом выборе фиксированных моментов времени профилактических ремонтов.

В первой главе описываются особенности орга-нмитню П1П'. и дана краткая характеристика задач организации унрыик'ниа !И!!\ обсукцаотся вопрос о критериях оптимальности и

выбирается основной, а также стороится математическая модель, отражающая реальные условия.

Математическая формулировка выбранного критерия оптимальности и указанных выше ограничений экономического и технического характера сформулированы в виде следующей оптимизационной задачи: Найти вектор х* и план-график у(х)* такие, что при этом достигается максимум среднего суммарного дохода целевой функции И, то есть

й(х\у(х)*) = шах ( 2 (С(1)Т - (С-Л) + С(1))х(1)г(1)) -

1=1 ^

(1)

п х(1)

1=1 а=1 3 а 1 з

при условиях:

п _

2 х(1)р(1) « Г. з(1) >0, х(1) - целые, 1=1 ,п; (2)

и0(1) > 0, и3(1) 5 г(1) > О, 1=1.п. з=1,х(1) ; (3)

х(1) _

2 и„(1) = Т, 1=1,г; ' (4)

а=0

|ои3(1)(2^-1)+г(1)^ +|оиа(^)(,-22«)) +г(3)(1-а«)) (О,

_ _' _ (5)

г^ б (0,1 >. 1*3, 1=1 ,п, Л=1 ,п , р=0,х(1)-1 , ч=0диЯ,

Гло:

п - количество машин;

г(1), 1=ТТп - требуемое время профилактического ремонта 1 ма-шшш (час);

х(1), 1=Т7п - количество планово-профилактических ремонтов на 1 машине.

С(1), 1=ТТп - стоимость произведенной продукции на машине 1 за час работы;

0а(1), 1=1,п - средняя стоимость аварийного ремонта на малаше 1 (час);

СдрЦ), 1=Т7п - стоимость профилактического ремонта на маашнэ 1 (час);

?а(1), 1=7Тй - среднее время аварийного восстановления на машине 1 (час);

В^(Ъ). 1=ТТп - функция восстановления машина 1 за время !ОД1;

{О, если з = 0, 1, иначе;

' , р=0,г(1)-1 , q=0,xШ~1 - вспомога-

тельные переменные. Под "в"-®! рабочим циклом машины I будем понимать промежуток между началами а-1-ого и в-ого профилактическими ремонтами ( а=-1 соответствует началу периода планирования г=0, з=х(1) соответствует концу периода планирования). Через иБ(1), 1=Т7п, 8=0,х(1) обозначим длительность а-ого рабочего цикла машины 1.

Вэктор х=(х()), х(2).....х(п)) определяет количество

профилактических ремонтов каждой машины комплекса.

Множество у(х) » { (иа(1), йр^):" 1/3. i=;fTn. .Н~7п,' р=0Тх(1)-1, я=0,х(ЛгТ, а=0,х(1) ) назовем графиком ППР, соответствующим вектору х.

Неравенства (2)~(5) означают, что:'суммарная длитель-— несть всех планово-профилактических ремонтов на всех машинах не мохут проюсходить период планирования Т ; промежутки между

тогда и только тогда, когда обобщенная функция надежности F(t), с которой функция восстановления связана интегральным уравнением (7), на отрезке [0.Т1 будет иметь вид: F(t) = 1 - e~bt(ch(ct) - ^sh(ct)).

Теорема 2.5. Функция восстановления B(t) на отрезке

С0,Т], где Т < i arctg §,с>0, 0<b<c, имеет вид:

B(t) = ^-^-t2 + 2bt, тогда и только тогда, когда обобщенная функция надежности F(t), с которой функция восстановления связана интегральным уравнением (7), на отрезке [О,Г) будет иметь вид:

F(t) = 1 - e~bt(cos(et) - ^sln(ct)).

о

В третьей главе рассматриваются некоторые частные случаи оптимизационной задачи (1)-(5). Наиболее детально рассмотрен случай комплекса.состоящего из одной машины, т.е. п=1. В этом случае задача (1 )-(5) сводится к следущей: Найти х и у, максимизирующие целевой функционах R, т.е.

R(x.y) = or-iCfCjjpJxr -Jo(C+Ca)raB(ua-m'(s)) —> max, (8)

при ограничениях на переменные: хг^Т.х^О, х- целое, uQ > 0, ug ^ г > 0, в=Т7х: (9)

(10)

з=0 8

В случае фиксированного количества профилактических ремонтов, то есть х=к-1, с помощью замены переменных: и0 = ?И); и9 - г = V(S+-1), з=ТТх; *+1 = К; W = Т - хг, задачу (8)-(10) можно свести к следующей:

к

Е B(v(l)) -------> min, - (11)

1=1

при условиях: v(l) 5 О, 1=ТТЕ; (12)

к

Ет(1) = (13)

Задача (11)-(13) является частным случаем "задачи о режиме работы энергосистемы" и в общем случае решается методом динамического программирования. Однако, для двух частных случаев решение можно указать явно.

Утверждение 3.1. Если B(y) выпуклая функция, то

и _ Т - хг . u _ Т го ~ X + 1 ■ S ~ X + 1 ' и~ ',л

будут оптимальным решением задачи (11)-(13). Утверздение 3.2. Если B(v) вогнутая функция, тогда одним из оптимальных решений задачи (11>—(13) будет ребенке u0 ~ Т -xr; us = г, s=T7x.

Теорема 3.1. Если функция восстановления B(t) выпуклая, дважды дифференцируемая, и выполняются условия: (C+C—Jr

(Т+г)В' т - - В(Т) ? 0;

С + Cjjp - (С+Са)гаВ'(0) > О, то оптимальное число профилактических ремонтов задачи (8)-(10) равно одному из значений ixQ] или txQl+1, где х0 является корнем уравнения

(Тм-)В' (S^T) - (^DBt^S) - = □.

а а

Теорема 3.2. Если функция восстановления B(t) вогнутая, то оптимальным решением задачи (8)-(10) будет полный отказ от профилактических ремонтов.

- 17 -

Утверждение З.Э. Для любых фиксированных х(1) = к(1), 1=1 ,п, удовлетворяющих условию (2), задача (1)-(5) эквивалентна следующей: Найти вектор у минимизирующий целевой функционал Я, выражающий средние потери предприятия на аварийные работы за время Т:

п к(1)

И = £ Ь(1) 2 В1 (и (1)-т(з)г(1))-----> ш1п , (14)

1=1 8=0 1 3

где 1(1) = (С(1)<-Са(1))га,

1ри условиях на переменные а0(1), *(*) .....

з?0из(1) = Т' ио(1)Ж)' и8(1»г(1)>0, 1=Пп. в=1,к(1); (15)

_ _ _ (16)

'А3 е <0,1), 1=ТТп, л=1 ,п , р=0,к<1)-1 , q=0,k(<})-t. РЧ

Теорема 3.3. Если функционирование кавдой машины из комп-текса описывается процессом восстановления с линейной функцией юсстановлэния = <х(Ш, 1=1,п, и выпслняются условия

[ССИ+Спра) - (С(1)+С0(1))а(1)га(1))г(1) з> 0, 1-ЛТп.

•о задача (1)-(5) имеет хотя бы одно нег-рмвиальное решение.

Во всох остальных случаях решение будет тривиальным, то |сть следует полный отказ от профилактических ремонтов.

Утверждение 3.5. Если все функции восстановления В1(1) юмплекса из п машин являются квадратичными на промежутке 0,11, то есть имеют вид

= а(1) 1г ^ Ь11)Ь, а{1) > О.-Ь(Д) 5 0, 1=Г,п. огда решение задачи (14)-()6) и задачи

- 18 -

П K(t) ,

£JD(1) E (uq(l) - m(s)r(l)) —> min. (17)

1=1 s=0 3

где D(l) = L(i)a(l), при условиях (15)-(16), совпадают.

Утверждение 3.6. Решение задачи (17), (15), (16) имеет вид:

us(l) = т^р1 - v0(l), 3=ТТ¥ЦУ, 1=Пп, где vs(i) решение следующей задачи:

и Ш) о

£ D(l) z (Vod)г----> min,

1=1 з=0 8

при условиях i Ш)

£ v„(l) = 0. l=TTñ;

3=0 3

-T+kU)r(l) ^ Ya(l) ^ ^^Kxjrf11. з=0Д(Г), l=TTñ;

.•tpq(2Bpqi1) -al0V3(l)(22pq-1) + r(1)ZW + 8|,V3'><1-2z«> +

+r(j)(1-z^) < 0, Í {0.1>.l^,l=TTñ,J=TTñ,p=ü^í",q=0TxH, где

tJJ =

В четвертой главе анализируются возможные численные алгоритмы и метода решения задачи выбора оптимального графика ППР, рассматривается вопрос об адекватности модели реальному производству (на примере ЦЕЛ), и приводится алгоритм решения задачи для фиксированного количества планово-профилактических ремонтов методом частичного перебора.

Так как существующие численные методы решения аналогичных задач требуют существенной модификации, то автором предло-

оптимального графика планово-профилактических работ комплекса из "п" машин / Петрозаводский государственный университет.- Петрозаводск. 1991 г., 14 стр., библиография 4 названия. - Деп. В ВИНИТИ 16.08.91 Г., * 3477-ВЭ1. Рогов A.A., Чернецкий В.И. Об одном методе расчета оптимального графика планово-профилактических работ (ППР) бумагоделательных машин ЦБК // Математическое моделирование народнохозяйственных процессов: Ыеквузовский сборник. - Петрозаводск, 1990. - с. 42-56.

Чернецкий В.И.. Рогов A.A. Оптимизационная модель планово-профилактического ремонта систв.лы машин./ Актуальные проблемы фундаментальных наук. Тезисы докладов международной конференции. - М.: МГТУ, том 11, 1991 г., стр. 30-32.

Подписано к печати 18.12.91. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд.л.1. Усл.печ.л.1. Тираж 100 экз. Заказ * 200. Бесплатно.

Издательство Iffy Петрозаводск, пр.Ленкна.ЗЗ.