Системы экспонент и их обобщения в пространствах аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЛШВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ЖБЕРСИТЕТ

^ ¡м. i. франка'

егс «— ° -х.

ю ^ На правах рукапису

/м

вшшщькии богдан василъобич-

СИСТЕМИ ЕК.СПОНЕНТ I ТХ узагаяьнення В ПРОСТОРАХ анал1т11чних фу11хц1й

(01.01.01 - ыатеыа'гичний аналгзЗ

Автореферат дгк.ертадП на эд^уття науковог'с ступени доктора фгзкко-матеыатячних наук

льбтэ - 1990

Дисертаидею с рукопис.

Робота виконана на кафедрi математичного анализу Дрогобицького

0ф1Шйн1 опоненти: доктор сЩзико-математичних наук, професор Гопьдберг A.A. , доктор ф1эико-магематичних наук, професор KopoöettoiK Ю. Ф. , доктор ф1зико-математичних наук, професор Седлецький A.M.

Пров1дна оргашзаШя; 1нститут прикладних проблем

мехаииси i математики HAH Укра!ни ' 1м. Я. С. Шдстригача, м. JlbBiB.

на эас1даши спеидал!зовано1 вчено! ради Д.04.04.01 при Льв1в-ському державному ун!верситет! ш. I. Франка за адресов: 290602, м. ЯъЫв, вул. Ун1верситетська, 1.

Э дисертацДес можна сзнайоштисъ у öidnioTeui Львавського державного университету i>,t. I. Франка за адресою: м. Лыив, вул. Драгоманова, 5.

J

державного педагог!чного iHCTinyry im. I.Франка.

j

Автореферат роз!слано

Вчений секретар спшиалазовано! вчено! ради

Микиток Я. В

ЭАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуалыпсть теми. Предмет достадхення. Дисертацхя присвячена проблет, яка в загальних рисах може бути описана так. Яким умова« повинна задоволъняти гидмножина U деякого niHiflHoro тополопчного простору Т, mod кохний элемент цього простору можна було в певному розумгши наблизитн лШйними KOMdiHauiHMM елеыент1В множили U? Нас ткавллть в основному анаШтичн! аспекта u.iei проблема i ми розглядаемо конкретн1 множини U в конкретних просторах. Предметом нашого досл1дження с уыови повяоти i властивост! неповних систем виду

| eK"Z j . а е IN , £1)

| zk e "Z | . 0<k<mn-l, k e Ш U Ш, mn e (N, n e IN, C2)

в одному банаховоыу простор i, Еа[2)1 ( означения див. нижче), а також базиси i абсолютно зображувалыи системи виду

<fCX zD>, п ё IN, СЗ)

А

в npocTopi Ar , 0 < R < + оо , функций, аиал1ти41шх .ь крузг SCR="Cz: |z|<R>, з TononoricD, яка задаеться piBHOMipHOB зб1кн!с~ тх> на коатому компакт! У R ,де f - uina функддя i <Xn>, neOl - ыножина Ср1зних) комплексних чисел. Властивост! цих систем т1сно пов'язаш з багатьма проблемами теорП анал1тичних функ-aifl Сописания нулхв, штерполяЩйн! задач!, 1нтегральн1 зобра~ ження). Системи (1)-(3) вшграэтъ важливу роль в р!яних разделах математики (теори чисел, Teopii хнгегральних i диферен-ц1альних р1внянь, теорН иеск1нченних систем л1нЩшхр!внянь) та И застосуваннях. Тому 1х досл1дкеннв приев* «вн! багаточи-сельн! робота, серед яких Ыдом! монограф!1 В. Бернштейна, Н.Де

sap

BihcoHa, Л.Шварц, А.Леонтьева, С.Мандельбройта, М.Шеремета та

Анших. Проте ряд проблем залишаються ыдкритиии, а результате

остаточного характеру е не так вже i багато. Це пояснюеться

досить складною заледахстю Mix вгастивостями систем (1)-(3) та

властивостями множили СХ У. Внявлення uiei залежност1 • е

п

актуальною проблемою i змхстом сЯльшост! досл1джень днх систем. В hamid podori для дегалькох проблем jiobhictd описаний зазначеннй вще взаемозв' язок.

Нехай D -дов1льиа необыежена опукла n-кутна, r£2, n € IN, область, 2*= С \ 5 i ЕаС2)] (в1дпов1дно Е*[23) - npocTip функ-ц1й f, аналхтичних в S (анал1тичних в 21*), для яких

| J|fiz)|a |dz|j < +00 , (4)

де супремум Сереться за BCiua в!др1зками уос 2 .( уос В*).Мохна оймежитись в1др1зками, паралельними сторонам дЗ). У випадку Я=2(/3), де ЗЗС/Э) =< z: (arg г -n\<n/Zß У, 1£/3<»оо, можна розгля-дати т1льки в1др1зки, да виходять i3 початку -координат. Функ-Ш1 f i3 npocTopiB E2[fi] i E*tBl) мають майхе всюди (м. в.) на дЯ кутов! граничн! значения С ix такох позначаемо через f(z) i, отжв, f прнродним чином визначена м. в. на дЪ ), f е L* СЭВ) i

piBHlCTb '

V2

I If 11= I )f(t)|a dt (5)

«30 J

визначае норму на кожному з них. Дкерелом досладжень в перших двох розд1лак е добре вiдома теорема Мюнца-Саса i отриманий U.Джрбашяном i Б.МарПросяиом £1] наступиий 11 аналог: якщо l<ß<*a, l/a^l/ß-l, CCi),)')={z: )><arg 2<y>, (х'я) -посл1довн!сть piawix комплексных чисел i3 £(-л/2а; л/2а) i #>n=arg кп, то для

того щоб система (2) не дула повнов в Е2(Я((3)1, неосШдко i досить. mod

' cos X! wa cos apn< +ю>

\KJ<1 fKj> 1 V

Ми описуемо Bci повш систем« вид1в CI) i C2) в будь-якому npocTopi Ег(Л], який мхстить принаЯмн1 одну фуншию виду F^Cz)=eXz. е€. При аьому сутгево нова ситуация виникае, коли £=QgW де Sa={z: |1ш 2|<<т, Re z<0>, 0<<7<+оо (1нш1 можлив1 випадки

под1сЗн1 до Я=Яо i 2--Ж/33). - Отрицания цього описания вимагало

р

розвитку Teopii простора FfCC ) (черео Н С С ) позначаемо про-

(? г * О +

ст1р фуикшй, аналгтичних у гивплснши Cf=Cz: Re г>0> , для' яких

г

(»00 -f (fC relp)lpe-pcr|sin 'dr[ < + со ) (6)

О '

i, эокрема, описания послхдовностей nyniB, кутових граничних значень i отримання хнтегральних эображень таких клас!в фуниий. Проблема описания пос.пдовноетей нул!в рхзних клас1в анал1тичних функцхй поепйно привертала до cede увагу. Згада-емо в цьому зв"язку buomi результата Ф.Карлсона В.Фукса, П. Малявена i Л. Рубеля, а серед недавн1х - результат» А.Гршина i М. Сод1на, 6.Хаб1булп1ка, А. Седлецького та 1нших. Проте питания про повне описания послхдовностей нулхв аналтгаих в С+ фуикшй f, як1 задавояьняють удаву С 6), а також наступи у уюву |fCzJ|< с^хр Ccr|zр, 0<сКш, z е €+, С7)

С тут i дат через с ,с .... позначаемо додатн1 стал! ) у

випадку сг>0 залишалось викритим. Ми повн1ств розв"яэуеыо цо

>

задачу. Добре вгдома теорема Пел1-В1нера мае piSHi

-6- ч форыулввання та р1зноманпт застосування.. Вона з одного боку дае ^ггегральне зображення функцШ з простору ) С через НРСС+). 0<р<+ю, позначаемо прост!р Хард1 в п!вплощин 1 С+), а з 1ншого - описуе 1х кутов! граничш функцИ. Поширенню И першого аспекту на аша класи анал!тичних функций присвячен1 росЗоти Б. Лев 1 на, М. Л1хта, М. Джрбашяна, М.Джрбашяна 1 В. Мартиросяна, Ю. Лэбарського, А.Седлецького та шишх. Ми узагальнсемо теорему Пел1-В1нера на простори , причому

обидва вказан! вище II аспекта. Резюмован! вчще результати разом 1з введении нами поняттям перетворення Фур"е-Яапласа фунший 13 ЕаС2М та встановленими для нього аналогами теореми про згортку 1 дво1сто! формули застосовуемо до вивчення деяких властивостей рхвняння згортки виду

| С С1+т) дСУ с!1 = 0, т< 0, д е 1. С8)

а також посл1довностей експонен!Пальних пол1ном1в

V

п ^

Р (2) = У"± е1г,мИ, С9)

п к. п п

кп

та ряд1В Д1рххле

со х

£ с!пе . (10)

П= 1

А.Леонтьев 121 показав, що кошу фушаию ТеА к, мохна розкласти у зб1жний в А к, 0<К<+оо, ряд Д1р1хле (10). В1н припускав, що СХ.^3 е пося1довн!стю нул1в деяко! шло! функцН порядку р-1 для кое$1'д1ерт1в с! вказував певт формула. Шз-н1ше Ю. Коробейнш (дивЛЗ!) знайшов ¿нший п!дх1д до 1ие1 проб; ми. Вт вв1в яоняття абсолютно зображувально! системм, одер-

жав критер!й того, щоб задана система в деяких лпийних тополопчних просторах була абсолютно зображувальною, i на ос-hobi цього описав всг абсолютно зображувальнГ системи виду (1) в простор! Arta деяких ibisiix просторах. Правда, цей тдх1д не дае формул для знаходження коефШенпв dn ряду (10). В роботах А.Леонтьева, Чан За Лика, В. Мусояна, Ю. Мельника. В. Шевцова, Ю. KopodeHHiKa, А.Абанана та íhuihx СдивЛЗ,4]) ochobhí результата про абсолютно зображувалып системи виду (1) переносились на системи виду СЗ). При цьому, як правило, припускалось, що f-Щла функцдя, для яко! С.тут i далх f =f<nl(0)/ní) f*0, n=0,1,2..........Cll)

Л

i для деякого p , 0 < p < + oo , icnye

' m %r if„iP/n= v0'íi2)

В зв"язку з цим виникло питания npoicTOTHicTb умови (12) i , зокрема, про мояслив1сть отримання основних фактib про абсолютно зображувальн! системи виду (3) при виконанн1 лише одн1е1 умови C11D. Це питания природне, бо легко отримати наступив твердження. Для того щоб для шло! 'функцп f 1снувала принайша одна мнолина ^ С така, що система (3) буде

повною в простор1 Ar, 0 < R < + m, необидно i досить, ш,об виконувалась умова (11).' Hauii результата у В1ДОМ1Й Mipí дають В1ДП0В1Дь на це питания, суть яно! полягаз в тому.то крхы умови СИ) на функции f все ж потребно накладати певш обмеження. »

Далi, система (1) не може утворьвати Оазис в npooTopi a r. алЬ Ю.Казьмш £5] показав, що система (3), в як1й 1, |q|>l,.

i f - ц!ла функщя з тейлоровськими коефщхентами fn=q"n<?"1,/f утворве базис в кожному npocTopi AR, l/|q|<R<l, i, таким чином принайми i для R е (0;+оз) базиси виду (3) в npocfopi Ай хсну-

сть. Деякх необххднх умови «Зазисносп системи СЗ) знайшов Ю. Коробейнхк [61. Питания про описания таких базис!в залишалось викритим. Наш! результати дають описания всхх. базис 1 в виду СЗ) в кожному простор;. А 0<К<+т. Отриманх факти про системи СЗ) дали нам змогу одержатм деякх новх результати про нескхнченнх системи лхнШих рхвнянь з матрицею Вандер-монда. Встановлення властивостей систем виду СЗ) в значнхй ш-р! спираеться на отриман1 нами результати з теорП ц1лих функ-ц1й. якх стосуються зв"язку мхж рхэними характеристиками щ-лих функШ. ¿ласгивостей шлих функций порядку р<1 та побу-дови Щлих функщй 1з наперед заданный властивостями. Кожна хз цих тем е предметом багатьох самостхйних дослхджщц» (тр. 12,3, 7,16]). Проте вхдиов1дн1 доведения ЕИмЗгада встановлення ряду нових сгивв1дношень в нових формах х при нових умовах.

¡Мета робота: 1) вивчення кутових - граничнах значень, посл1довностей нул1в та хнтегральних зображень певних клас1в анал1тичних функшй; 2) дослиження умов повноти систем експонент та властивостей непотпх систем х рхвнянь згортки; 3) описания базисхв 1 абсолютно зображувальних систем виду СЗ) в просторх Ак; 4) досл1дження властивостей ц1лих функцдй 1 побудова ц1лих функц1й 1з спец!альними властивостями.

Кетоди дося1дження. Використовуоться методи класичногс анал!зу, рхзнх методи теорИ аналхтичних фунмйй. В першш двох роздхлах широко використовуеться теорхя просторов Хардх.. В трьох осташих розд1лах розвинута спец!альна технхк; - отримання оцхнок, основана на теорхх максимального член степеневого ряду.

Наукова новизна. В роботх повнхств розв"язано дек1льк

актуальних задач 1, эокрема, описано: а) посл1довност! нулхв анал1тичних у прав1й п1впяовдн1 функций, як! задавояьняють умови (6) 1 С7); 6) кутов1 граничн1 функцИ тих анал!тичних у правей п1вплощин1 фунмШ, як1 належать простору Н 1<р<2, 0<стС+ш; в) вс! повна системи експонент в простор! Егса<71; г) вс1 базиси виду СЗ) в простор! А к , 0<К<+^. Отримано 1нтегральне зображення функций !з простору Н ). Введено поняття перетворення Фур"е-Лапласа фунмЦй 1з простору •Е ®[Я] 1 встановлено для нього аналоги дво!сто! формули та теореми про згортку. Введено поняття ц1ло! функцП М-регулярного зростання, вкаэано умови, при яких ц1ла функц1я .нульового порядку буде фуннцею М-регулярного зростання та побудовано Ц1Л1 фуккцИ М-регулярного зростання, як! волод;ють рядом додаткових вяастивостей 1 максимум модуля яких мае наперед задану швидкЮгь зростання. У вштадку Х^я описано вс! абсолютно зображуральн! системи виду (3) в простор! А к 1 побудовано ефективн! розклади фунмцй в ряди за гиео системою. Знайдено достапи умови хсяування ненульового розв"язку деяких р1внянь згортки 1 достатн1 умови для того, щоб задана функц!я була розв"язком такого р!вняння. Вивчено певн! властивост! неповних систем експонент ! одержано оцанки !ндикатор!в ряд!в Д!р!хле, а також деяк1 доповнення до в!домиХ результатов, як1 стосуиться повноти систем експонент з вагоп в Иг(Ю, зростання максисмума модуля Шлих функцШ, неск^нченних систем лШШшх рхвнянь та ¡нтерполяиНнт задач.

Теоретична ! практична ц!ня!сть, Робота мае теоретичний характер. Результат« можуть використовуватись при розв"язу-ванн! р1внянь типу згортки, неск!нченних систем лШйних р1внянь, досл1дженню умов повноти систем експонент, вивченн!

чо-

асимптотичяих властивостей ряд!в Д1р!хле,. а також !нтерпо-ляц!йних задач. Результата ыожуть стати корисними для пода-льшого розвитку теорН базис1в, теорП абсолютно зобраку-вальних систем 1 деяких крайових задач. Теореми 3.1 1 4.9 вже використат Ю. КоробейШком {15).

Особистий внесок дисертанта. 0сновн1 результат« дисерта-и.11 отриман! автором самост1йно. Леми 2.4-2.6 та теореми 2.21-2.25 Свони в автореферат! не формулюються) одержан! дисер-тантом в сп!вавторств1 з 0. Шаповаловським 1 належать обом авторам в однаков1й м!р1.

Апробац1я робота. Результата дисергацд1 допов1дались на республ1канськ!й конференцИ з теорН дали*/ Г субгармон1йних функц!й, Харк1в, 1990 р., на м1жнародн1й конференцИ, присвя-ченхй 100-р!ччю народження С.Банаха, Льв1в, 1992 р., на м1жна-родн1й конференцИ, присвячен!й пам"ят!.Ганса Гана, Черн!в1и, 1994 р., на селанарах у Львов! Скер1вник проф. А. Гольдберг), в .Ростов!-на-Дону Скеравник проф. Ю. Коробейнш), в Москв! Скерхвник проф. Ю. Каэьм^З.-

Публ^ацП, По тем! дисертацп опубликовано' 36 наукових праць. 0сновн1 результат« дисертадП шстяться в роботах [18-3^

Структура ! осГем днсертащ!. Дисертац1я складаеться !з вступу, п"яти роздШв I списку л!гуратури э 225 назв. 'Загалышй обсяг дисертацП 300 стор1нок.

ЗМ1СТ РОВОТИ

У встуга подано короткий 1с'горпчний огляд тема {юботи, загальна И ¿арактерЕетика та ииклад основних реоулыат!».

Розд1л 1. Кутоги гранили значения 1а хигегралыи

> I -

зебра*©1'Вя деяких кяас!в ашягхкчнш; функций. Б нерицй частая! цьэго росдолу наведено кеобх!дн1 для подаяьшого викоркстання

Biдомоетi про простор» Хард1 та деякх хншх простор» аналхтич-них функцхй. Крхм цього, тут в ряд1 леи вивчено властивост1 простору E^Iffl. Вони пдлком аналогхчш властивостям простору Хард1 H2(<D. Зокрема, ЕгШ - повний простхр i його ыозша роз-глядати як замкнутой пхдпростхр простору L2( сШ, a npocTip Е*Ш е спряжении (сильно) до ЕаШ. Вхдзначаемо такок, цо кожна функц1я ГеН^СС^) мае м. в. на «С+ кутовх граничн! значения, fC iy^e-"1у| eLp(K), i описуемо в теорем1 1,4 кутовх гранич-Hi функцх! елемент1в простору £+). При цьому називаеко визначену м. в. на уявн1й oci функцш f кутовою граничною функцхею для функцЛ feH £ (С+), якщо кутовх граничнх значения f на уявнхй oci дорхвншгь f^Ciy) для м.в. уеК. Це описания стае змхетовншим, якщо доыножити f tHa ц1лу функц!и е"^ i сформулювати в1дповх.дний результат.в асиметричк1й форма.. Нехай C(a,/3)={z:a(arg z </3>, 0<р-а<2я i Е£[£Са,/Ш - npocrip функцхй,

анал1тичних в С(а,/3), для яких + оо

||f||:= sup { J|f(Telp)|pdr 1 < +и . 0<р<+ш. <*<?<(> I 0 J

В1домо, mo функцП f i3 цього простору масть u. в. на ЗС(а,/Э)

р

кутов1 граничнх значения, i f 6 L (¿ССа,/33).

Теорема 1.2. Для того nod визначена м. в. на уявнхй oci

функцхя f така, ао ftСiy> б LP(0;+oo), 1<р<2, i { Ciy)ex,ry <jf

p . '

Ь С-ш;0), 0ia<+cn, dyna кутовов граничною функщею для деяко!

р . '

анал1тично1 в £• фуншШ f, для яко! f е Е [<К0;гг/2D] i

-3li/z р °

f(z)-е е Е [£С-гс/2;0)1, неойххдно i досить, nod знайшлась

о

-itctz р

така функцхя fa>mo fa(z)e еЕоССС-я/2;0)1. f3Cly)):^iyH р

+ f (iy) € L (-oo;0) x для м. в. riO виконуеться

+ 00 + 00 о

/1 ту- 1 Г ™ г 1 ГУ

Г С1у)е с!у + — ] Т Сх)е + ] Г С1у)е с1у = 0.

1 1 г

о р -00

У випадку р=1 доводимо т!льки необххдшсть, а у. випадку

£Г=0 Стод1 183 проепр Н ^ С С 3 сп1впадае з простором Хард1

НР(С+Э) 1з тео'ремн 1.2 отримуемо в1доме твердження (для р=2

воно належить Р. Пел1 1 Н. В1неру [91) про те, що функцдя

Г еЬр{0С+) (Зуде кутовоо граничною $ункщею для деяко! функцП

Г 6 Н Р(С + ) тод! 1 тчльки тод1, коли П обернене

перетворення Фур'с дорАвнюе нулю м. в. на вад'емному промен1

Д1йсно1 оси (воно справедлива, якщо 1<р£2).

В ход! доведения теореыи 1.2 знайдена формула (вона е

узагальненням формули Пуасона для пгвплощини), яка дае

можлив1сть знаходити гарыонШну в п!вплощин1 С функция, що

мае експонешиальне зростання 1 приймае задан1 значения на «С+.

Теорема 1.6. Р1вн1сгь + 00

дСг) = ~— [ в е 1НС ), 0<а<+со, (13)

I ■ I ° а +

4 2л о

задав тополог1чне С тобто гомеоморфне ) вгдображення простору

г г

ЬК€+) на Е^[1И 1 справедлива дво!ста формула

СС«)=^—/ дСг« б С+. (14)

1ШГ дЪ

С

Теорема 1.7. Клас Н 0<сг<+ос, с1ивпадае з множиноп"

анал1тичних в С функций як1 допускають зображення

$(*)= —Г ' к е IЧдЪ ) .

/....... •* О

1-12л дЪ

О

На осташш теорему ксжна дивитись як на узагальненнл

теореми Р. Пелх i. H.BiHepa [91 про 1нтегральне зобрахення функции Í3 простору Нг((П+).

Нехай 1ЛЮ - клас шлих фунший експонешЦального типу &д-сг, 0<сг<+оо, квадрат модуля як'их е сумовним на дхйснхй oci, T^CCJ - множина Bcix точок F виду F=(Fj,Fa,F3), де F¿e L*((R),

FiCz)=fiCz)eiOT, F3íz)=r3íz:e-iC2, ft e HaCC_), f3 e H2(C_). FtCz)+FeCz)+F3Cz)=0 для z 6 C_ i С_=ССп/2;Зп/2). Нехай, Kpiit

ЦЬОГО, 1 .13i СТОрОНИ dbg (ВХДПОВШЮ niBnpHMi Í3 нихньо!

1 верхнь.01 павплощин та В1др1зсж уявно! oci ), ор1снтац1я яких узгоджена а додатним обходом ¿ПК Теореми 1.10 - 1,12, Píbhoctí .

F.(z)= --i— í f(w)9-zvdw, fe Ег[Я], j=1.2,3, CIS) ilZn ij

задають взаемно однозначне воображения простору Ea[íM на Т^СС справедлива дво!ста формула

♦ 00 +00, о

fCW) = -^jFi(iy)ei^»>-i=rjF2Cx)ewxdx --О—J^Ciyíe1 .^dy, *2л o iiZn о -12л -оа

w е Ъа, i для Bcix TÍO', f'€ Ea t'an ige Еав12П виконуеться i

• t<a ■ O

J f(vm)gCw)dw = ifFiCiy)GCiy)elTydy - ifFjíiy)GCiy)elTydy +

ЗЯ a -ra

&

+ co

+ jV.,CjOGCx)eTX dx. C16)

o

де функц!я 6 визначена piвнiсто С14).

Визначене piBHicTB С15) шдобрагення простору E3[D J на

Т^СС_) називаемо перетворенням Фур"е-Лапласа функц1й 1з Ег[1П.

Роэд1л 2. Нул1 функидй, анал1тичних в п1вплошлн1, i anpoKGHMauiflHi властивост! систем експоненг. Нехай (X ) -

п

дсшльна посл1довн1сть точок ia <L¥, pn=arg Xn i Л+ - клас' аналатичних в С фушшй f20, як! мають нул! в ycix точках \ Сякщо ш член1в посла. довност1 (X ') дор1внюють X п , то вважаемо, то в точид Кп функтя f мае нуль, крагност1 k>rn). Нехай, дат,

sCi)= X cos V s.co-X Ке\,'1\,1г

kU |<t «< J<t

2си= I (тЬг ~ {И С05 ^

к |хп <1

Теорема 2.1. Для, того щоб 1сиувала функщя ГеА + , яка задовольняе умову (7), необх1дно 1 досить, ноб виконувались наступи1 дв! уыови

^Г Яе X. п< +ш , С17)

Теорема 2.4. Для того той хснувала функция ГеЛ^ П Н* (С+), 0<р<+оо, 0<а<+оо, необх1дно 1 досить,той виконувались умови С17) 1 (18).

Фушшг Б в теоремах 2.1 1 2.4 не можна, взагал! кажучи, заишшти функидею Бо.Таку зам1ну можна зробити, якщо О =0(О, 1-.+Ю. Але останнз ще не випяивае дэ (18). У випадку а=0 теореми 2.1 1 2.4 перетворюються в добре в!дом1 твердження про описания послхдовностей нул1в функидй 13 простор1в Хард1 НР(С+),

0<p<+oo. У випадку \,>0, Xn-Xn_i>h>0 С тод1 умова (17) зайва i

S(r)=So(r)+0(l)) теорему 2.1 дов1в В. Фукс 110]. Ж.-П. Кахан

[11] зауважив, що теорема В. Фукса залишаеться справедливою,

якщо А. >0 i n=0(X ), Пчсо. п п

. Теорема 2.5. Нехай (А п ) - послхдовнхстть рХзних комплексних чисел i3 С+. Тод! дпя того щоб система CD не була повнов в npocTopi Е а [Д о ] ,0<ст<+со, необхАдно i досить, щоб виконувались умови (17) 1 (18).

г

Зауважимо, що якщо , ю е " Е г[1П . Тому теорема 2.5 описуе bei noBHi системи виду (1) в mocTopi Еа[Яо ], а описания повних систем виду (2) Шститься в теоремi 2,9. Для 11 формулювання потребиi деякх позначення.

Нехай 2 дов1льна опукла необмежена n-кутна- область,-пеШ. Простiр Е2[Д] М1стить принайми! одну фушаЦю виду Fx(z)=ex=, Хе£, тод1 1 т1льки тод1,' коли виконуеться наступна умова: 1) 3D лежить в деякому кут1, величина якого е меншо» за л, тобто коли 3D е bIamíhhod в1д гпвплощини 1 смугл. Межа тако1 oönacTi складаеться Í3 п1впрямих 1 (.ln I, можливо, в1др!зк1в 1г'1з"--1п-.ах нумерация i opieHTauia узгоджена з додатнАм обходом дЪ). Через л/ß, 1</3<+со, позначимо величину кута Mix 11 i ln, а у випадку Ml 1п через 2а позначимо в!дстань мхж 11 та 1п. Нехай 1/а + 1/ß ~ Í С якщо fi=+a¡, то вважаемо, що а=1), В1зьмемо на 1 i 1 по одн1й точЩ так, щоб мдр^зок b , який

I П О

' 1х з"еднуе, утворовав р1внх кути з 1 t i. 1 . Позначимо. через'

Ь одиничний вектор, який лежить на серединному перпендикуляр! до bo i напрямлений в сторону необмежено1 частини В, а через 05рв<2л. - величину кута Mis дадатнш напрямом дАйсноТ oci i

вектором Ь ,БИМ1рюваного в!д uiel ooi в додатному напрямх. Якщо

л Z

уыова 1) виконуеться, то < е п ) с Е гШ тодх i тхльки тод!,

ч

коли посл1довн1сть (Хп) аадовольняе наступну умову : 2) |*>п-я+ра|< л/2а. Тому про повноту систем С13 i (2) в прос-Topi ЕаШ е сенс говорити тхльки у випадку виконання умов 1) та 2).

Теорема 2.9. Нехай (Хп) - псхшдовшсть ргзних кошлексних чисел, Ь^ =(рп i виконусться вказан1 вище умови 1) та 2). Тод1 для того nod система С 2) не була повнов в Е2Ш, неойх!дно I досить, mod у випадку /3=+оо CTodTo у випадку 1 II lnJ виконувались наступиi дв! умови

£ mJXJcosV+a,. йЩ I ran(lfr - ^Ьч ) - SLщ т ]< ,

а у випадку 1</К+со, наступи 1 дв1 умови

Zm |Х |acosaA <+ш, • (19)

п ■ п ' п

м*-

• • г-> -а

, > m IX | cosed <+оо. С20).

( , П ' П ' ' п

Поперадн! результата дають можливЦть отриыати HOBi факти про повноту система

i-t+ <\ -i/»ln t 1 в " ,П£№, (21)

в Ь (0;+л). Добре виомо, но система < е"1 Лп ) , п € М. е повною в ЬАС0; +оо). В. фукс [12] узагальнив це твердження довивши, фактично, ио якщо посл1довн1сть (Хп 3 додатних чисел задовольняе умову X. -X >Ь>0, п£2, то для того щоб система

П П - 1

(21) не була повною в 1г(0;-нп), необх1дно 1 достать, ш,об ♦ 00

| (ехр(25(г))/гг)с1т<+оо . С22)

Наступне твердження доповное- цей результат В. Фукса.

Теорема 2.10'. Нехай (X п ) - посл1довн1сть р1зних комплексних чисел 1з С+ . Якщо система (21) не е повною в ЬгС0; +оо), то виконуються умови С17) 1 (18) для ст=п/2. Якщо виконуються умови (17) I (18) для деякого а<п/2, то система С21) не е повною в 1а(0;«1>).

На основ! теорем 1.6 та 1.10-1.12 в теорем1 2.12. покаэуемо, то якщо система С2) не е повною в Е 2[Д ^ ,то кожна фушиЦя Г е Е 2[В а], яка належить замиканню л!н1йно1 оболонки системи (2), е розв'язком деякого р1вняяня С8), в якому д20, проте в1дм1 чаемо, що не кожний розв'язок 1з Е 2 СХН такого р1вняння належить, взагал1 кажучи, замиканню л1н1йно! оболонки його розв'яэк1в виду (2). Вказуемо (теорема 2.15) також достатн1 умови для того, щоб р1вняння (8) мало ненульовий розв'язок Г е Е а1ан 1 доводимо (теорема 2.14), но р1вняння (8} мае ненульовий розв'язок Г е Ег[В^1 тод1 1 т1льки ТОД1. коли с!м'я функцШ (С(7.)егт>, т<0, де в визначена р1вн1стю (14), не е повною в Н®(€ 5. .

с + »

Теорема 2.17. Для того щоб функидя Г € Е " [Я ] була

розв'язком pi-вняння (8) достатньо, тоб функцП ^(iy) i $зС1у), у е К, були Biдпов1дно кутовими граничними функциями таких аная1тичних в С .+ фуякц1й Р t i Р з ,що Pf 6 Е о'[С(0;л/2)1, Р Cz)e-2l0Z е Е'1СС-тг/2;0) 1, Р 6 Е'ССС-п^-.О)], Р CzJe2l0Z е

1 . О 3 0 3

Е'[СС0;п/2) 1 i Р Cz)+P Cz)+$ Cz)=0 для ^z € С ,де $=F.G,

о 1 з а + j J

F=CFi,Fz,F3) - пэретвореиня Фур'е - Лапласа функцП f i фуншйя G визначена р1вн!стю (143.

Якщо d теорему 1.2 вдалось довести i у випадку р=1, то тод1 можна було d стверджувати, що умови теореми ¿. 17 е також необх1дними i ц, я теорема була б хорошою ochobod для подальшого анал1зу р!вняння С8).

Дал! в теоремах 2.18 i 2.19 доказуемо, що якщо (X. п ) -посл1довн1сть pioHHx кошлексних чисел i3 С+, система (1) не е повною в Ег[И 1 i посл!довн1сть С9> зб1гаеться в Е2СВ 1 до F,

а сг

то 4снувть CKiH4eHHi границ! с^ n , к б IN, i F = О тод1 1 тальки тод1, коли bei d k =0. На основi цього отримуемо наступив твердження.

Теорема 2.20. Нехай (Х^) - посяхдовнЮть р1зних комп-лексних чисел ia С+ , 0<а<+со, Ъ о (r)=<z:. |1ш г \<ff, Rez<t>, 2)°=<z: |1ш z|<0>. Якщо виконуються умови С17) i (18),, а посл1довн1сть (9) з'б1гасться в Е а[1Кт)] для будь-якого т е CR до функцП F, обмехено! в D то F=0.

Ми вОзначаемо також, що якцо принайми! одна 1з умов С17) i (18? не внконуеться, то можна побудувати посл1довн!сть (9), яка зб!гаеться в Е2[1Кт)] для будь-якого г 6 К до функцП FzO. обмежено! в В ° . На теорему 2.20 можна дивитись як на -узагальнення добре в1Дсмого результату JI. Шварца t13]: якщо

го

оани 1 £ 1/\п<+оо, то сума збхжного в С ряду дхр!хле

п ~ I

СЮ) може бути сбмеженою на д1йсн!й ос1 т1льки у випадку Г^Э.

Вкажемо також на близыи. результат» Дж. Андерсона (1968 р\) 1

В.Мартиросяна (1989 р.). В теорем! 2.22, яка з одн1е1 сторони

доповнве хнший виомий результат Л. Шварца, а з 1ншо1 - уза-

гальнюс деякх результата А.Леонтьева, В.Сорок1вського, А.Го-

льдберга 1 Й. Островського та 0. Шаловаловського, як1 стосуються

оц1нок ].ндикатор1в ряд1в Д1р1хле (10), вказуемо умови, при

яких для абсолютно зсЯжного на дШнхй ос! ряду (10) 1з оШнки

со

|Г(х)|<у(х), х>хо, випливае, но I |с!пехр(Х.пх)| < уСС1+оС1))х),

п= I

Хч+го, де у ~ неспадна додатна фунШя на (-оо;+ш).

Роздал 3. Спец1альн1 властивост1 ц1лих фуикцШ. В § 3.1 наведен! необх1дн! для наступних роздШв вЛдомост1 про максимум модуля, максимальний член, мажоранту Ныэтона цхло1 функцП Г 1 встановлено ряд сп1вв!дношень м!к зростанням Мг(г)= =гаах(|Г(г)|:|г|=г> 1 поведшков 11 тейлоровських коеф1ц1ент1в

л

Г . Нагадаемо, то якщо Г - мажоранта Ньютона ц1ло1 функцН Г, то |Г (<? , * (П*+ю [ якщо 0<ж (Пя+го, то |Г (=?„ для вс!х

1 п 1 п г» п ' п' п

п>0, де К СП=|Г /Г |. Нехай Г Ч д - ц1л1 функцП,

' П 1 П - I П 1 л

— а:Ч1п*М (гЭ) „ —

^Ша, ' .г',

де 1 - фу ими я, оберяена до функцП аг(г)=1п Мг (г). Число ц*. яке називають Г - типом ц1ло1 функцП д, можна також визначити як точну иижню межу тих чисел ч, для яких при г>г (д) викону-еться М (г) < МЛдгЭ. Л.Нахбхн показав, но якщо Гя>0 1

О о

*пСП*+оо, то для <5удь-яко1 Шло! функцП д виконуег^ся <£=]£ (дивЛ143). Ми з"ясовуемо 1стотнхсть умов цього твердження.

' -20- . . Георема 3.1. Нехай ц1ла функидя f задовольняе умову С11), (бп3 - обмехена посл1довн1сть дШсних чисел if*- uina функ -ц1я з тейлоровськими коеф1ц!ентами f*=|Tn|exp(n<5n3. Для того mod для.кожно! Шло! функцИ g виконувалась р1вн1сть qf=uf■ не обх1дно i досить, щоб для деяко1 зб1*но1 до нуля посл1дов-ност1 (.6 3 посл1доьн1сть (* (f*)3 була неспадною:

П П г

о<* (f")<* cf*)<;.. . (гзз

1 я

Для того mod уыови г/ 3=0, 0<г) ®<+ю, т) '=+оо були екв1валентними в1дпов1дно умовам q'=0,0<q®<+oo, q5=+oo, необх1дно i досить, щоб умова (233 виконувалась для деяко! обмежеко! посл1довност1 Cdn) Зазначимо, що (23) виконуеться для деяко! обмехено! (зб!жно1 до нуля) посл1Довност! (<5п 3 тод1 i т1льки тод!, коли для деяко! обмежено1 (зб1жно1 до нуля) посл!довност1 Сбп) функц!я f* (Зуде мажорантою Ныл-она функцИ f.

Нехай m (r)=min<|g(z) |: |z|=r3, i\(t)= X 1.

|xn|< t

гГ п. (t)-n (03 NxCr) = | i -dt+nK(03 In г

о

Посл1довн1сть (х 3 додагних чисел називаемо майже спадною. як-

п

то Ш>13 СЗ к ёЮ CVk>k )(Yn>k): х <ах. . Uiny функц1о L

О 'О л )с *

називаемо ninov функц1ею Нерегулярного зроетання, якщо знай-деться така множина Eqc[0;+oo) нульово! вгдносно! Mipn, що при Гч+оо i r<$ Eo,,piBH0MipH0 по f€t0;2rr] виконуеться |L(re*p)|= =ML((l+o(l))r). В § 3.2 встановлено ряд нових сп!вв1дношень Mix Г^СгЗ.л^г) та М^СгЗ для ц1лих фунпцй виду

L(z)=CX -z) П Cl-z/X ), (24)

1 1 1 n

П — 2

як1 масть порядок зростання p <1, а також доведена наступна теорема, яка стикаеться з деякими результатами А. Гольдберга i Й. Островського С 1973р.), А. Гольдберга i М. Заболоцького (1983р.) та*хнших (див.17]), але мае трохи шший характер.

Теорема 3.3. Якщо для кожного р>0 посл1довнхсть (п/|\п|р) е майже спадноп, то ц!ла функидя (24) е цхлою фушшДею М-регулярного зростання. Якцо агд X^const^ то для того mod цхла функцхя виду (24) була функцхею М-регулярного зростання, неосШдно i досить, щоб для кожного р>0 послх.довн1сть (rv|Xn|p) була майже спаднои.

Зазначимо, но хснують цШ функцП М-регулярного зростання нульового порядку, для яких посл1довн!сть (п/|\р |) не е майже спаднов для кожного р>0.- Звернемо також увагу на розмщення виразу 1+о(1) в означеннх М-регулярного зростання та в наступному твердженнь

Теорема 3.7. Для будь-яко! ц1ло1 трансцендектно1 функцх! f хснуе ц1ла функцхя L така,' цо a) L мае нескхнченну множину нулхв i Bci 11 нулх npocTi; d) f^(r)=Mf((l+o(l)r),

Гч+оо; в) L g $yHKUieD М-регулярногр зростання; г) |Хп| = *(1+оСШх СП, п-00; д) |Х L'(X )| = М, С(1+о(Ш|Х р, п-со;

П ; П П Х- • • п *

е) множина <Л. лежить поза наперед задано» множиноо

Е0 чсЮ;+со) нульово! вхдносно! м1ри.

При доведён^ теореки 4.16 ми будуемо схы"ю ц1лих функШй L=Lf) r, якх залежать вхд числа ReCO; +coi i функцх 1 FeAR,&ne нам не вдалось знайти зыхстовне вхдхрване вхд теореыи 4.16 формулювання вхдповхдного результату. Теорема 3.7 вхдповхдае

випадку R=1 i F деяка фуикц!я 1з Àt . Зауважимо, що нас не

задовольняють сп1ввШошення виду ln !^Сг)=(1+о(Ш ln Mf(г)

ado ln h^(r)=ln MfCr)H)(.ln г) при r-»oo.

Роздал 4. Абсолютно зобраасузальн! системи. Сл1дом за

Ю.Коробейн1ком назвемо систему абсолютно зображувально» в

простор: ^, якщо кожну функЩ» Fe^ можна розкласти в ряд

(не обов"язково единим чином)

00

F(z)= У d fCX zJ, (2S)

n= t

oo

регулярно зб!жний в круз1 гобто такий, що ^T|dn|Mf (rJXJX

П:1

<+оо при rë[Q;R). Некай ыножина Ср1зних) комплексних чи-

сел таких, що lijj Хп=ш i f-щла трансдендентна функц1я. Скакемо, що fenD CfeP_, ГеБЕ), якщо icHye множина <Х. >® така, що сис-

К 1\ П il -1

тема СЗ) буде повнов (абсолютно зображувальнос, базисом) в npocwopi Ar. Нехай fewR С fePR, feBR). Скажемо, що 4 6

ЛЛпв] «X еЛ .[рв], О)" еЛ ,СВ_П. якщо система (3) е

I R П Г1 = 1 >1 к п nst Г К

повнов (абсолютно зображувальною, базисом) в A R. Для кожного Re(0;+oo] маемо nR:»PR=BR. Далх, нехай [f3 i A°Rif3 - множини

ц!лих функций g, для яких в1дпов!дно виконуеться ITgjlg^^11/п< < R, (38e=Rç(g)€CO;R))C3ro =г CgX+œ) (Vr>r ): Мд (r)<Mf CR0 г). Легко встановнти, що для кожного Re(0;+ooi клас пкскладаеться la ц1лих функцхй f, як1 задавольняють уыову (11).

, Теорема 4.9. Для того щоб fе^ ( f , 0<R<+m) необхадно i досить, щоб f задовольняла умову Cil) i для деяко! обмеже-но1 Сзб1жно1 до 0) посл1довност! (бп) виконувалась умова (23). 1э uiel теорема 4.9 вкпливае, ¡до класи т^ i ^ не

спхвпадають.

Теорема 4.13. Нехай ГеРк. 0<Р<+оо. Тод! для того щоб СХг1>®_(еЛг[Р1?], необххдно 1 досить, щоб

(И^ е(0;К)3 СЗРоеС0;г}} О сд еСО;+ао)) (УдеАК°СП):

зир

г — о

И (г)

<7

14,(1? г)

I о

< с эир

п- I

|д<\.) |

М,С1? |х р

Г 1 1 п 1

У випадку, коли Г задовольняе додаткову умову С12),

теорема 4.13 доведена КЗ. Коробейн1ком (див.[33). Доведения

теорем 4.9 1 4.13 спираються на деякх загальнх результата

Ю. Коробетпка [33. Эазначимо, но Ю. Коробейн1к [ 131 п1зн1ше

показав, влкористовуючи деякх сво! 1ншх результати та нашу

теорему 3.1, що теорема 4.9 залишаеться в сил1, якщо п1д ,

<Хп>®_1 розум1ти довхльну зл1ченну »дюжину {\п>™_1с£ (не

обов"язково вимагати, щоб X -.оо при n-.ro).

п

Якщо Г, то не кожну функцхю ГеАрМожна розклас-

ти в ряд (25), регулярно зб!жний в круз1 Але деякх функцП р€АЕ иокутъ бути розкладен! х в цьому випадку.

Теорема 4.14. Нехай Г - довхльна цхла функцхя, яка задовольняе умову (11). Тод1 хснуе множина <Хп>™=1 така, то кожну функцх. в • Г ГЭ можна розкласти в регулярно зб1жний в ус1й площин1 ряд (253.

Щдзначимо також наступне тверджения, яке лежить в оеновх доведень теорем 4.14,4.16,4.17 та 5.1 - 5.3 1 яке, як нам здаеться, е новим х для рядхв Дхр1хле.

Теорема 4.15 Нехай Г 1 I - довхльнх цШ функцх!, причо-му { задовольняе умову (113, а I мае нескшченну множшрг нул1в 1 х вс1 11 нул! простх. Тодх для того щоб кожну функцх Г)

FeA^jif3 можна було розкласти в регулярно збгжний в Kpy3i % R,

0<Rt<+co. ряд С25), в якому

шДХ ;F3

d = -к—а— , С £63

* п ' L'a )

ri

де 1 (z3=L(z)/(z-X 3,1. =1 (k>CQ)/ki 1 n n k, n n

® F

«lCX. ,F3 = ) -Л-1. , (273

L n I. к, n

kzo K

HeoöxiÄHü i досить, mod виконувались наступн1 дв1 умови: 13 для BCix XeC i nelN U (03 виконуеться

L(X3

X». £

00

23 Mf(r|Xn|/|XnL'(Xn3|<+m, relO-.R^.

П = 2

Звернемо увагу на те, ш.о в TeopeMi 4.13 нема жодних попереднхх обыежень на эростання L. Роблячи так1 обмеження i зауваживши, то 2ке А^ ff], JceJN U (0>, на основх теореми 4.15 можна отримувати розклади в ряди виду (253 i iHurnx класхв ана-лхтичних функцдй (в тому числх 'i в областях, вшинннх В1Д кругаЗ. ' '

Теореми 4.9 i 4.13 описують абсолютно зображувальн: сис-теми виду (33 в просторi А , Проте вони не вказують методу знаходження коеф!ц1ентав d ряду (233. Наступи! дЫ теореми до делко! м!ри эаповнюють цю прогалину.

Теорема 4.16. Нехай виконуються умови (113 i (233 для деяко! sdixHol до нуля послхдовност1 СД^З. Тод! для кожного R, 0<Ri'+®, i KOjßiQi функЩi FeAj, 1снуе шла функция L, яка мае

несканченну множину нул1в Аг вс1 II нут прост: х Т

роэкладаеться в регулярно зб1жний в круз! % к ряд (23) ¡,

коеф:ц1снти ^, якого знаходяться за формулой (26); при цвому

Шдб1р функцН Ь можна зд!йснрвати так. щоб множина

(И )ш = и У ХРО

п П=1 га/'"

мала едину граничну точку на ю х множина ПР„_, лежала поза заданою множиноо Ео= [0, +оо) нульово! вхдносно! М1ри. ;

Теорема 4.17. Пехай виконуються умови (11) 1 (23) для деяко! обмеженох послхдовностх (й п ). Тод 1 для кожнох функцН ГбАм хснуе ц1ла функция I, яка мае нескхнченну множину нулхв со'^^л^п-!' ВС1 11 Н/Л1 прост! ! Г роэкладаеться в регулярно збхжний в усхй плоцин! ряд (25), коефхц1ентиц с1п якого'" знаходятЬся за формулой (26); при цьому п1дб!р функцх! Ь можна .

здхйснювати так, аоб множина (и = и _ мала едину

п П=1 гедт г'® ®

граничну точку на со ! множина (I I, лежала поза заданою МНОХИНОЮ Ео0; +со) нульово! в1дносно1 м1ри.

В теоремах 4.16 х 4.17 при ф1ксоваиих Г х Й ц1ла функцхя Ь залежить, взагал! кажучи, в!д функцд! ГеАк.В той же час, для кожного Шдкласу Т0 кфункцхй Г !з Ак, для яких |Гп|<С1|Вп|,п>0, де В - дов1льна фасована фунюия хз А можна пШбрати ун!-версальну фушсцш L. В деяких випадках Сзокрема.у випадку можна вказати фуикцхю I, сп1льну для вс!х функцхй ГеАк. ГЗроте ми доказуемо, що якщо г1_хп|п1пН^(г)/1п%=+т, то в теорем! 4.16 . функцП Ь, сп!лыга! для вс1х функцхй ЕеАк, вказати не можна.

При додатков1й умов! (12) теореми, близькх до теорем 4.16 ! 4.17, ранхше доводились в роботах А.Леонтьева, В.Мусояна,

-26-

Ю. Мельника та iHiiiMX Сдив.[2-4]).

Розд1л S. Описания базисхв. На перший погляд систем! С1) бути базисом в простор! А кзавахае т1льки неперервн!сть в AR оператора диферешиювання. Для системи СЗ) аналог1чну роль вШграе оператор узагальненого диференциовання в ceHci Гельфонда-Леонтьева, який породхений функцхев f. Якщо вех fn^0, то цей оператор не е неперервним оператором i3 Аш в Ащ (i3 Ar, 0<R<+co, в А R) тод1 i тхльки тод1, коли

Ш = ю ( Ш ^*nCf} >1}' С2Ш

Тому мокна було б припустити, но якщо FePR i виконуеться (28), ToFeBg. Проте це не так, на що'вказуить наступи! теореми 5.1 -S.3, як1 описуить Bei базиси виду СЗ) в просторi А R.

Теорема 5.1. Для того щоб feBR, 0<R<+co, необх!дно i до-сить, щоб fePR i

*СГ) о""

С3tx> 1 >СЗЬг >DCVk>l)(Vn>k): —*-s (29)

1 * (f) er"

П

Теорема 5.2. ' Для того ш.о<5 feB^, необзидно i досить, uod

*.Cf) £7*

а а> 1)СЗ а >1)CV к>1)(\/ п>к): —Ь-< СЗОЗ

11 * Cf) er"

n

Эвернено увагу на те, що умети, якх описують клас ^ , е умовами на правильн!сть, але не на шешшсть, спадания |f |. Умови (29) i СЗО) обмежувть такок зростаиия Н((г). Маша сказати, що кпас Ö<R<+co) складаеться is тик шли;-: фушшдй f,

як! аадовольнявть умову

la м Cr) __£-- о

In2 г

__ In M Cr)

Tñ7r ( +C°

i тейлоровськх коефШенги яких у ведомому розум1нн1 правильно прямують до нуля.

Теорема S, 3. Нехай f е В., 0< R< +00. Тод! для того що<3

03 к

^„>„.,6 AfÍBR], нео&идно i досить, що<5

Пр. €C0;R))C3 R e(0;R)X3 с е(0; «*>))( Yk>l)CVn>k>:

* ■ * О

ü A k п

niW»^. Vp. : (32)

Ш SK

CV р eC0;R))C3"R eC0;R))C3 с e(0;+x))(Vie>lKVn>lc):

П V.CfVI*. lie, Б / p ; . (33)

Hirk i

Шла функтя (24) эадовольняла умовам

СУ í>0)(3 n éfOCY ni>n ): L'CX M. £ |/(1+гг)), (34)

О О П П L. л

In t^Cr) С i +cC 1) )r), " С35)

якш.0 R<+co, i эадовольняла умову

СЭ Ro >0)C3 no dH XV n >no ): |Xn L'an ) |> ML (RaM, C36) якщо R=+cn.

Доведения теорем 5.1-5.3 опираться на результата поперелШх лвох роздШв i використовують також деяк1 результата М. Драгътева 1953-1961 рок1в.

Умову (35) в теорем1 5.3 можна замгнити наступкои уковоо : фунтия С24) с Шлою функтею М-регулярного зростання. У випадку агд кпscons1, умову (35) в теорем! 5.3 можна опустити. Нам не вхдомо, чи так само можна поступит» i в загальному внпадку. Умови (23), (31). а також наступи умови

(3 сг> 1)СЭ т >1)П к>1Х1 аУс): /Х-п |<<г <Л

(Э р 6 ШЭ n e iNHV n>n ): *, CfX |Х |< * СО,

■ о .о 1 n/pi , 1 п 1 рп

де Cxi - uina частина числа х£0, е необх1дними для того, щоб

система СЗ) утворсвала базис в простор! Ар, 0<R<+®.

Георема 5.6. Нехай виконуеться умова (11),

- * (f) '

д := Ш ir-rrr< 1

П+ 1

i (Хп) - посл1довн1сть pi3Hnx комплексних чисел таких, що

П-.Ш и 11

Тод! система (З).утворюе базис в А .

Теорема 5.7. Нехай виконуеться умова (И), Д=0 i СХ )■-посл!довн!сть рхзних комплексних чисел таких, що

О <т #4гг5*Ш 4Нтг <.

П-.ГО П- I П-1

Тод! система СЗ) утворюе базис в Аш.

Теореми 5.1 i 5.2 показувть, но система (3) може утво-рсвати базис в А R т1льки при досить сильних обмеженнях.накла-дених на функц1г) f. В TeopeMi 5.17 показуемо, що система <§ (z)>™ , де

п пго

, Г fCtzJdt . ,

nct-v

Je = J

елементи яко! e ск1нченними лШйними комбшаидями елеменпв

системи (3), для деяких множин <Х >™ може утворввати базис в

Ая,0<К<+оо, якщо fePR. На ochobi результат1в останн!х трьох

po3fliniB в теоремах 5.11 i 4.19 отримуемо також дея>и узагаль-

некня t уточнения результатiE . Сан Хуана [17], як! стосусть-

ю

ся нескшчекних систем лиийяих р1внянь виду £ х X*=b ,

n= in

Основн! положения, як! виносяться йа захист

1. Опио поспиовностей нул1в 1 кутових граничних аначень функц1й !з вагових простор!в Харда в павплощин! з вагою показникового вигляду.

2. Критер1й повноти систем експонент в простор! Еа£П£у] .

3.-Критер1й базисност1 системи (.СС^г)} в простор1 А к>

4. Опис абсолютно зображувальних систем (ГСХ^г)} в простор! А й. . ,

Висновки

. В дисертацП вперше розв"яэано дек!льна актуальних оадач, ' як! эалишались в!дкрнтиыи, Зокрема-, описано: а) посл!довноот1 нул1в 1 кугов! граничн! значения фуикцШ 1э простору Н ££С б) вс1 повн! системи експонент в простор! Е1^ ]; в) вс! базиси вигляду г)) в простор! А к. При додатков1й умов1 X* оо. описано вс! абсолютно зображувальн! системи {Ил^г)) в простор! А к. Встановлено також нов1 сгпвв1длошення для ц!лих фунгаий 1 на основ! них для кожно! допустимо! функцП Г побудовано ефективн! розклади функцШ !а А, к в ряди за ' системою {ГСХпг)>. Огриманий при цьому повний опис посл!довностей нулхв анал1тичних в п!шпощш1 фушаЦй, як1 мають там експонекии альний тип, ко хна рсаглядати як розв"яаск класично! задач!. Результаты робота мають застосування при' досл!дженн1 р!внянь типу эгортки, неск!нченних систем лШйннх р!внянь, крайовкх задач для р1внякня Лапласа в п1бплошдш! та 1нших проблем.

-30-

Цитована литература

1. Джрбашян М. М. Мартиросян В. М. Теоремы типа Винера-Пели и Мюнца-Саса// Изв. АН СССР,сер. шлем.-1974.-41, N4.-С. 868-894.

2. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. -М.: Наука, 1976. -536 с.

3. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы// Успехи мат. наук, -1981. -36, вот. 1(217). -С! 73-126.

4. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент, -М. Наука, 1981. -320 с. .

5. Казьмин Ю.А. Об одной задаче А.О. Гелъфонда// Матем. сб. -1973. -132. N4. -С. S20-543.

6. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче, II. Приложение к LN* - пространствам и другие вопросы// Матем. сб. -1975. -140, HI. -С. 3-26.

7. Гольдберг А. А., Левин Б. Я., Островский И. В. Целые « кероморфные функции.// Итоги науки и техники. Современные проблема . математики. Фундаментальные направления. 1991. -ВИНИТИ. Т. 85.-С. 3-185.

8. Седлецкий A.M. Эквивалентное определение пространств Нр в полуплоскости и некоторые приложения// Матем. сб. -1975. -96. -N1. -С. 73-82.

9. Винер Н., Пели * Р. Преобразования Фурье в комплексной области. -М.: Наука. 1964. -268 с..

10. Fuchs W. Н. J. A generalization of Carlson's theorem // J. London Math. Soc. -1946. -21. -P. 106-110.

11. Kahane J.-P. Exiention du theorems de Carlson et applications. // C, R. Acad. Sci. 1952. -234, № 21, -P. 2038-2040.

12. Fuchs W.H.J. On the closure of <e 11 "> // Proc.

Combridge Phill. Soc. -1948. -18, M 2. -P. 91-105.

13. Schwartz L. Etude des sommes d'exponentielles reeles. -PaHs: Herman, 1943. -207p.

14. Boas R. P. Buck R. C. Polynomial expantions of analytic functions. -Berlin: Springer, 1958. -325p.

15. Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие системы и реализации сопряженого пространства// Изв. вузов. Матем. 1990. -N2. -С. 68-76.

16. Гришин А. Ф. Субгармонические функции конечного порядка. Автореферат дисс. ... докт. физ.-мат. наук.-Харьков -1992.-30 с. ■17. San Juan. Resolution d'un systeme infini ti d'équation lineries // C.r. Acad. Sei.' -1953. -239, ff 19. -P. 1841-1843.

OcHOBHi результата дисертацх! спуйл!кован! в наступних роботах.

18. Винницкий Б. В:0 росте целых функций, заданных рядами Дирихле //Докл. АН УССР, сер. А. - 197S. - №9, С. 771-774.

19. Винницкий Б.В. К вопросу о представлении аналитических функций рядами //Докл. АН УССР, сер. А. -1978, Ю. -C.583-58S.

«о

20.- Винницкий Б. В. 0 представлении функций рядами £ dnf(Xnz)

пи

//Укр. мат. журн. - 1979. - 31, N3. - С. 256-263.

21. Винницький Б. В. Про зображення шлих фуикщй рядами

Ed fCX z) // ВЛеник JlbBiBCbKoro ун-ту, Матем анал1з. - 1979,

n: t

- Вип. 14. - С. 31 -33.

22. Винницкий Б. В. 0 представлении аналитических функций рядами Jd f(Xnz) //Укр. мат. журн. - 1979.- 31. Н6.- С. 650 - 657.

Л= 1

-3223. Винницкий Б. В. О росте целых функций, представленных ря -«

дами I ^ г^ //Укр. мат.аурн. - 1979. - 31. N6. - С. 537 - 540.

пи

24. Винницкий Б.В, 0 представлении целых функций рядами

£ й ГСХ г) //Иатем. заметки. - 1980.- 27. N2. - С. 361-372. гГ1 п "

25. Винницкий Б. В. О рядах по системе {ПЛпг)> //Матем. замет ки. - 1981. - 29. М2. - С. 503-516.

26. Винницкий Б. В. (И условиях сходимости последовательностей в некоторых пространствах аналитических функцчй // Укр. мат журн. - 1982. - 34, N6. - С. 741-744.

27. ВинниЦкий Б.В. 0 полноте системы ШХпг)> // Укр. мат. хурн. - 1984. - 36. Ш. - С. 655-658.

28: Винницкий Б.В. Об описании некоторых абсолютно представ -ляющих систем // Укр. мат. хурн. - 1986. - 38, N1. - С. 93-95.

29. Винницкий Б. В. О построении целой функции произвольного порядка с заданными асимптотическими свойствами // Укр. мат журн. - 1986. - 38, N2. - С. 143-148.

30. Винницкий Б. В. Об описании базисор и? цообш.«нных систе! экспонент Иатем. сборн. - 1988 №). - <). УК 79.

31. Винницкий Б.В. Об эффективном разложении аналитически; функций в ряды по обобщенным системам экспонент Укр, ма' журн. - 1989. - 41, N9. - С. 302-ЗОЛ

32. Винницкий Б. В. Об эквивалентности норм условий дл целых функций нулевого порядка Изв. вузов. Математика. 1991. -не. - С.193-196.

33. Винницкий Б.В. О нулях функций, аналитических р полуплои кости и полноте систем экспонент Укр. мач журн. - 19£ - 46, Н5. - С. 484-500.'

-3334, Винницький Б. В. Про уэагальнення теореыи Пелх-Вшера // Матем. студи, - 1995. -Вип.4. - С. 37-44.

35. Винницький Б. В. Рхвняння згортки i кутов! граничн1 значения аналхтичних функцп! // Доп. НАН Укра1ни. - 1995. - Сер. А.

- №t0. - С. 16-27.

36. Винницкий Б. В. , Шаповаловский А. В. О поведении на действительной оси целых функций, представленных рядами Дирихле с комплексными показателями //Укр. мат. журн. - 1990. - 42, № 7:

- С. 882-888.

37. В. V. Vinrutsky, А. V. Shapovalovsky. On the Growth of Dirich-

let Series on the Real axis //J. Analysis.- 1995.-3.- P. 165-177.

-зи-

ВинницклИ Б. В. Системы экспонент и их обобщения в пространствах аналитических функций.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальн сти 01.01.01 - математический анализ, Львовский государственный университет, Львов, 1996.

Ошсаны полные системы экспонент в одном пространстве функций, аналитических в выпуклом неограниченном многоугольнике, базисы н абсолютно представляющие системы вида . <f(\nz)) в пространстве AR функцийt аналитических в круге, последовательности нулей и углоьые граничные значения функций из некоторых весовых пространств Харди в полуплоскости. Изучены также определенные свойства целых функций и некоторых уравнений свертки.

Vinnitsky В. V. Exponential systems and their generalizations in spaces of analytic functions.

The thesis for obtaining the Doctor of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01 . -mathematical analysis, Lviv State University, Lviv, 1996.

The complete exponential systems in one space of functions analytic in a convex unbounded polygon, the bases and absolutely representing systems of form if(XnzJJ in the space A R of functions analytic in a circle, the sequencees of zeros and the angle boundary values of functions from some weight Hardy classes in a half-plane are described. Certain properties of entire functions and convolution equations are also studied.

Ключов1 слова: аналтши функцИ, цШ функцП, нул1, Kyrobi граничн! значения, базиси, абсолютно эображувалып сис-теми, вагов1 простори Харда, системи экспонент, повн! систем«.